RINGKASAN

Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan konsepsi mahasiswa calon guru

tentang limit fungsi ditinjau dari kemampuan matematika tinggi dan rendah. Penelitian

konsepsi ini difokuskan pada aspek pemahaman dan representasi tentang limit fungsi. Secara

teori, konsepsi merupakan struktur mental seseorang dalam merespon suatu permasalahan

tentang limit fungsi yang meliputi pemahaman dan representasi.

Penelitian ini merupakan jenis penelitian eksploratif. Penelitian ini, mengeplorasi

konsepsi mahasiswa dalam menjawab pertanyaan tentang limit fungsi disertai dengan

wawancara oleh peneliti. Data yang diperlukan dalam penelitian ini, berupa tulisan hasil

pekerjaan mahasiswa dalam menyelesaikan pertanyaan limit fungsi dan hasil wawancara.

Subjek penelitian adalah mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unsyiah

Banda Aceh dan dalam penelitian ini sebut sebagai mahasiswa calon guru dengan alasan

sepengetahuan peneliti, mahasiswa tersebut telah dibekali dasar pendidikan dan keguruan,

yaitu matakuliah tentang matematika dasar, matematika sekolah, landasan pendidikan,

psikologi perkembangan peserta didik, evaluasi pembelajaran matematika, strategi

pembelajaran matematika, dan perencanaan pembelajaran matematika. Pemilihan subjek

penelitian ini juga didasarkan pada tes kemampuan matematika (TPM). Mahasiswa yang

telah mengikuti TPM sebanyak 63 orang. Dari hasil TPM mahasiswa dikelompokkan ke

dalam tiga kelompok kemampuan, yaitu kemampuan tinggi dengan skor 80 Skor 100 dan

kemampuan rendah dengan skor 0 Skor < 60. Mahasiswa yang dipilih sebagai subjek

penelitian ini sebanyak adalah 4 orang dengan komposisi: 2 mahasiswa kemampuan tinggi

dan 2 orang mahasiswa kemampuan rendah. Mahasiswa yang berkemampuan tinggi diberi

label ST dan mahasiswa yang berkemampuan rendah diberi label SR. Instrumen penelitian ini

adalah instrumen utama dan bantu. Insrumen utama adalah peneliti sendiri, sedangkan

isntrumen bantu adalah tes kemampuan matematika (TK), tes konsepsi limit fungsi (TKLF),

dan pedoman wawancara.

Pengumpulan data penelitian ini dilakukan secara alami dengan wawancara berbasis

tugas. Wawancara dilakukan secara mendalam dengan format semi-terstruktur. Format ini

dipilih untuk mengetahui keterbukaan subjek dalam menyampaikan informasi. Subjek yang

sedang diwawancarai diberi kebebasan untuk mengikuti kecenderungan pikiran mereka

termasuk dalam menentukan arah topik perbincangan sehingga membentuk fokus

pembicaraan. Semua aktivitas wawancara direkam dengan Handycam.

Proses analisis data dalam penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah, yaitu (1)

menelaah data, dilakukan dengan membuat transkrip data dari hasil TKLF dan rekaman

wawancara, (2) pemeriksaan data, dilakukan dengan cara memeriksa keabsahan data atau

kredibilitas datayang dilakukan dengan teknik triangulasi waktu, (3) reduksi data, dilakukan

dengan cara menyeleksi data yang kredibel dan yang tidak kredibel, memfokuskan, membuat

rangkuman inti, dan mentransformasikan data mentah, (4) pemaparan dan penafsiran data,

dilakukan dengan menyusun data dengan melakukan pengelompokkan data yang diperoleh

sesuai dengan tujuan penelitian, penafsiran data dilakukan dengan mendeskripsikan konsepsi

yang dimiliki subjek tentang limit fungsi, (5) penarikan kesimpulan, dilakukan berdasarkan

hasil analisis data yang telah terorganisasi.

Hasil penelitian diperoleh konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi

tentang notasi limit fungsi dibagi menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, ST

mengungkapkan pengertian dengan menyatakan dengan kata-kata ketika mendekati

tetapi tidak harus sama dengan maka ( ) mendekati , (2) aspek penjelasan definisi,

ST mengungkapkan definisi limit fungsi dengan menggunakan kalimat, (3) aspek

penerapan, ST menentukan nilai limit fungsi dengan cara memfaktorkan, mengcensel,

menggunakan teorema limit jumlahan dari dua fungsi, dan pengertian notasi limit fungsi,

dan sifat limit fungsi, sehingga diperoleh nilai limit sama dengan 5. Aspek representasi,

yaitu (1) representasi verbal, ST mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit

kanan dengan menyatakan ke dalam bahasa, (2)) representasi grafik, ST mengungkapkan

definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasikan ke dalam grafik

fungsi, (3) representasi tabel, ST mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit

kanan dengan menyatakan ke dalam tabel, (4) representasi simbol, ST mengungkapkan

definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasi ke dalam simbol.

Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang notasi limit fungsi dibagi

menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, SR mengungkapkan pengertian dengan

menyatakan dengan kata-kata mendekati tetapi tidak harus sama dengan ( )mendekati , (2) aspek penjelasan definisi, SR mengungkapkan definisi limit fungsi

dengan menggunakan kalimat, (3) aspek penerapan. SR menentukan nilai limit fungsi

dengan dengan cara memfaktorkan, menyederhanakan mencoret faktor yang sama,

mensubstititusikan sehingga diperoleh 5. Aspek representasi, yaitu (1) representasi verbal,

SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan menyatakan ke

dalam bahasa, (2) representasi grafik, SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri,

dan limit kanan dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, (3) representasi tabel,

SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan menyatakan ke

dalam tabel, (4) representasi simbol, SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri,

dan limit kanan dengan merepresentasi ke dalam simbol.

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT seru sekalian alam, yang telah melimpah rahmat dan

karunia kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan laporan penelitian ini. Selawat dan

salam kepada junjungan Nabi Muhammad SAW dan shahabat beliu sekalian.

Laporan penelitian ini berjudul” Konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit fungsi

ditinjau dari kemampuan matematika.” Laporan penelitian terdiri dari enam bab yang

meliputi bab 1 pendahuluan, bab 2 tinjauan pustaka, bab 3 tujuan dan manfaat, bab 4 metode

penelitian, bab 5 hasil dan keluaran yang dicapai, bab 6 kesimpulan dan saran. Laporan ini

dilampirkan juga lampiran-lampiran.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1) Kemenristekdikti yang telah mendanai penelitian disertasi doktor ini sehingga dapat

mempercepat penyelesaian pendidikan doktor bidang Pendidikan Matematika di

Pascasarjana Universitas Negeri Surabaya (UNESA) Jawa Timur.

2) Lembaga penelitian dan pengabdian kepada Masyarakat (LPPM) Universitas Syiah Kuala

yang telah memvasilitasi dan merekomendasi demi terlaksananya penelitian disertasi

doktor ini.

3) Dekan FKIP Uiversitas Syiah Kuala yang telah memberikan dukungan dan izin kepada

peneliti untuk melaksanakan penelitian di lembaga ini.

4) Ibu Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si sebagai Promotor dan Bapak Dr. Tatag Yuli Eko Siswono,

M.Pd sebagai Co promotor yang telah membimbing penulis dalam menyelesaikan

pelaksanaan peneltian dan laporan, serta membimbing disertasi doktor.

5) Kepada Bapak Dr. Saiman, M.Pd, Bapak Dr. Zainal Abidin, M.Pd, Bapak Drs. Budiman,

M.Si, dan Drs. Hasbi, M.Pd yang telah melakukan validasi intrumen penelitian ini.

Demikianlah kata pengantar ini, penulis menyadari bahwa laporan penelitian ini

mempunyai banyak kelemahan, semoga dapat diperbaiki masa-masa yang akan datang.

Darussalam, Oktober 2017

Penulis

Usman, S.Pd, M.Pd

DAFTAR ISI

A.HALAMAN PENGESAHAN

RINGKASAN DAN SUMMARY

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

DAFTAR LAMPIRAN

BAB 1. PENDAHULUAN .............................................................................. 1

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA .................................................................. 8

BAB III. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN .............................. 18

BAB IV. METODE PENELITIAN .................................................................. 20

BAB V. HASIL DAN LUARAN YANG DICAPAI ............................... 25

BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN ....................................................... 86

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................. 91

LAMPIRAN-LAMPIRAN

B. DRAF ARTIKEL JURNAL INTERNASIONAL

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Deskripsi Aspek-aspek Konsepsi ................................ 14

DAFTAR DIAGRAM

Diagram 3.1 Prosedur Penelitian ................................ 24

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1: Instrumen

Lampiran2 :Personalia tenaga pelaksana beserta kualifikasinya

Lampiran 3: Artikel ilmiah (draf)

Lampiran 4:

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pengetahuan subjek matter guru merupakan faktor penting yang

mempengaruhi keefektivitas pembelajaran di sekolah (Shulman, 1986; Mastoride

& Zachariades, 2004, Dosmez, & Basturk, 2010). Pengetahuan subjek matter guru

merupakan dasar pengorganisasian pengetahuan dalam pikirannya Lioyd (1998).

Pengetahuan guru dikategori menjadi dua, yaitu pengetahuan konsten dan

pengetahuan tentang pembelajaran. Pengetahuan konten meliputi pengetahuan

tentang konsep dan prinsip matematika, dan pengetahuan cara menguji kebenaran

matematika. Pengetahuan tentang pembelajaran matematika meliputi tugas-tugas,

masalah, representasi dan penjelasan tentang pemahaman siswa (Shulman, 1986;

Steele, 1997; Dooren,dkk, 2002). Pengetahuan konten dan pembelajaran

matematika merupakan aspek konsepsi (Shulman, 1986). Ada banyak penelitian

berkaitan dengan pengetahuan subjek matter guru dan mahasiswa calon guru

(Ball, Lubienski & Mewbors, 2001,Zachariades, 2004). Oleh karena itu, konsepsi

tentang konsep matematika penting ditelusuri dalam pembelajaran matematika.

Program studi pendidikan matematika merupakan salah satu program studi

LPTK di Indonesia yang membekali mahasiswa tentang sikap, pengetahuan, dan

keterampilan dan menghasilkan calon guru matematika yang mampu

melaksanakan pembelajaran di sekolah. Permenristek dikti No. 44 Tahun 2015,

2

tentang standar pendidikan tinggi yang dituangkan dalam KKNI, yaitu “standar

kompetensi lulusan” pada pasal 5 ayat (1) “Standar kompetensi lulusan

merupakan kriteria minimal tentang kualifikasi kemampuan lulusan yang

mencakup sikap, pengetahuan, dan keterampilan, yang dinyatakan dalam rumusan

capaian pembelajaran lulusan”. Permenristek dikti ini menegaskan bahwa

pentingnya mahasiswa calon guru menguasai pengetahuan secara sistematis yang

diperoleh melalui penalaran dalam proses pembelajaran dinyatakan dalam capaian

pembelajaran. Namun pengetahuan mahasiswa/guru tentang gagasan suatu konsep

tidak saling terintegrasi (Cromu, 1991; Lioyd and Wilson, 1998; Mamona &

Downs, 2001; Caru, 2001). Seharusnya pengetahuan mahasiswa tentang suatu

konsep saling terintegrasi, baik terintegrasi antar konsep dalam matematika

maupun terintegrasi dengan konsep lain di luar matematika. Demikian pula,

mahasiswa mampu mendeskripsikan gagasan konsep, penyelesaian masalah

dalam berbagai representasi sehingga konsepsi tentang suatu konsep dalam

pikiran seorang mahasiswa benar-benar kuat dan mampu diterapkan dalam

pembelajaran di sekolah.

Limit fungsi merupakan salah satu topik penting dalam pembelajatan

kalkulus, matematika analisis di perguruan tinggi (Mastorides, Zachariades, 2004;

Cetin, 2009), karena banyak konsep matematika yang tergantung pada konsep

limit fungsi, seperti kekontinuan, turunan, integral, dan jumlah dari deret tak

hingga (Roh, 2008). Namun demikian, ada banyak hasil penelitian yang

menunjukkan bahwa guru, mahasiswa calon guru matematika mengalami

kesulitan dalam memahami konsep limit fungsi, menjelaskan kaitan definisi

3

formal limit fungsi dengan representasi, dan menggunakannya dalam

menyelesaikan masalah, akibatnya mahasiswa tidak memiliki pemahaman (Cetin,

2009; Bezuidenhout, 2001, Katara, 2011). Padahal pengetahuan suatu topik

matematika harus dimiliki oleh seorang guru dan memiliki kontribusi yang

signifikan terhadap pelaksanaan pembelajaran (Karsenty, Arcavi, & Hadas, 2007;

Even & Tirosh, 2002). Oleh karena itu, karena limit fungsi merupakan salah satu

topik dalam bidang kalkulus matematika sekolah menengah atas (Mastotides,

2004; Kurikulum 2013), maka pemahaman dan penalaran guru tentang limit

fungsi penting ditelusuri.

Konsepsi mahasiswa tentang limit fungsi penting diteliti dalam penelitian

pendidikan matematika (Erlia, 2006, Roh, 2008; Duru, 2010). Peran konsepsi

dalam pembelajaran di perguruan tinggi, apabila mahasiswa memiliki konsepsi

yang kuat terhadap konsep matematika maka akan mudah memahami konsep-

konsep lanjutannya Bezuidenhout (2001). Peran konsepsi mahasiswa calon guru

dalam melaksanakan pembelajaran matematika di sekolah, ia kelak ketika menjadi

guru akan mampu membimbing siswa dalam menyajikan gagasan konsep agar

lebih bermakna Bezuidenhout (2001), membimbing siswa dalam proses kognisi

dan metakognisi dalam menyelesaikan masalah Thompson (1992), sehingga siswa

memiliki pemahaman terhadap konsep matematika dan menyelesaikan masalah.

Dengan demikian, konsepsi mahasiswa calon guru penting diteliti agar dosen,

LPTK, lembaga penjaminan mutu di Indonesia memiliki gambaran karakterstik

mahasiswa calon guru/guru yang memiliki konsepsi yang kuat sehingga menjadi

4

landasan untuk memperbaiki dan meningkatkan mutu pembelajaran perguruan

tinggi dan sekolah.

Secara teoritis, konsepsi merupakan struktur pengetahuan yang dikontruksi

seseorang dalam mental digunakan untuk merespon permasalahan (Amatangelo,

2013: 6). Elia, dkk, 2006; Daru, 2010 memfokus penelitiannya pada konsepsi

fungsi yang meliputi pemahaman, representasi pengetahuan, dan pemecahan

masalah, Duru (2010), konsepsi sebagai pemahaman tentang kaitan limit,

kekontinuan dan diferensial fungsi.

Penelitian tentang konsepsi telah banyak dilakukan oleh para peneliti

pendidikan matematika atau psikologi kognitif. Penelitian Williams (1991)

tentang model limit fungsi diperoleh konsepsi mahasiswa tentang limit fungsi

dikacaukan dengan persoalan: suatu fungsi mendekati limit, limit adalah suatu

batas, limit adalah proses dinamis, limit adalah objek yang statis, dan sifat limit

adalah terkait dengan konsep pergerakan. Penelitian Duru, dkk (2010) tentang

konsepsi mahasiswa calon guru matematika mengenai hubungan antara

kekontinuan fungsi dan differensial diperoleh beberapa miskonsepsi yang dialami

mahasiswa calon guru matematika dalam menentukan kekontinuan fungsi dan

miskonsepsi yang dialami mahasiswa calon guru matematika pada hubungan

kekontinuan fungsi dengan differensial. Penelitian Elia, dkk (2007) memfokuskan

pada tiga aspek konsepsi siswa sekolah menengah pada materi fungsi, yaitu

gagasan siswa tentang fungsi, representasi, dan pemecahan masalah. Lebih lanjut

gagasan tentang fungsi dinyatakan dalam pemahaman siswa tentang fungsi.

5

Mengacu pada penelitian yang dilakukan Elia, dkk (2006) dan Duru, dkk

(2010), aspek konsepsi meliputi pemahaman dan representasi. Pemahaman

mahasiswa tentang konsep limit fungsi perlu dimiliki, agar mahasiswa mampu

menginterprestasi konsep, menjelaskan kaitan antar konsep, dan kaitan dengan

konsep lain Duru (2010). Representasi merupakan kemampuan untuk

mengeksprsi gagasan suatu konsep limit fungsi. Representasi yang dikaji dalam

penelitian adalah representasi eksternal (verbal, tabel, grafik dan simbol) dan

representasi internal Goldin (2001). Prinsip dan standar matematika sekolah

dalam NCTM (2000) memuat standar proses tentang representasi multiple penting

dalam pembelajaran matematika. Aspek representasi terhadap suatu konsep perlu

dimiliki mahasiswa calon guru agar penyajian konsep matematika dan pemecahan

masaalh dalam pembelajaran bermakna dan efektif. Stylianou (2010). Oleh karena

itu, representasi merupakan aspek penting dalam konsepsi yang ditelusuri dalam

penelitian ini.

Hasil studi pendahuluan mahasiswa Program Studi Pendidikan

Matematika FKIP Unsyiah dan pendidikan matematika STAIN Lhokseumawe,

Aceh Utara diperoleh aspek-aspek konsepsi, yaitu pemahaman mahasiswa dalam

merespon permasalahan limit fungsi meliputi mampu menginterpretasi simbol

limit dalam bentuk kata-kata atau gambar, menjelaskan kaitan gambar dengan

simbol, dan mampu menghitung nilai limit fungsi dengan menggunakan strategi

memfaktorkan, menderhanakan, dan mensubstitusikan, serta mengungkapkan

kaitan antara grafik fungsi dengan definisi limit fungsi. Temuan ini sesuai dengan

hasil penelitian Duru (2010), yaitu konsepsi mahasiswa calon guru tentang kaitan

6

limit fungsi dan kekontinuan fungsi. Selain itu, aspek konsepsi yang berkaitan

dengan representasi rmahasiswa mengungkapkan simbol, definisi, dan makna

limit fungsi dengan kata-kata, grafik, tabel dan simbol. Ungkapan mahasiswa

tentang kata “ limit fungsi” kecenderungan sebagai “mendekati”, “menuju”,

“dekat.”Studi pendahuluan tersebutt, konsepsi yang dimiliki mahasiswa ditinjau

dari kemampuan mahasiswa yang berkemampuan tinggi, namun tidak pada

mahasiswa yang berkemampuan sedang dan rendah.

Sehubungan dengan konsepsi merupakan struktur pengetahuan suatu

konsep matematika, maka konsepsi yang dibangun seseorang dalam pikiran

dipengaruhi kemampuan matematika. Kemampuan adalah kapasitas seseorang

untuk melakukan beragam tugas dalam suatu pekerjaan (Kondalkar, 2007). KTSP

(2006) membagi kemampuan matematika menjadi enam, yaitu memahami konsep

dan hubungan antar konsep, penalaran, komunikasi, pemecahan masalah, sikap

terhadap matematika. Kemampuan matematika dibagi atas tiga kategori, yaitu

tinggi, sedang, dan rendah. Dengan demikian, kemampuan seorang mahasiswa

dalam membangun konsepsi suatu konsep matematika dipengaruhi oleh

kemampuan matematika. Mahasiswa yang kemampuan tinggi memiliki konsepsi

yang berbeda dengan kemampuan sedang serta rendah. Jadi, kemampuan

matematika SMA merupakan salah satu dasar pemilihan subjek penelitian selain

sudah mengikuti perkuliahan kalkulus dan analisis real.

Mengacu pada uraian di atas, akan dilaksanakan penelitian yang berjudul “

Konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit fungsi ditinjau dari kemampuan

matematika’. Penelitian yang dilakukan ini merupakan bagian dari penelitian

7

disertasi dalam rangka menyelesaikan studi S3 (doktor) pendidikan matematika di

Universitas Negeri Surabaya (UNESA) dengan judul” Profil Konsepsi Mahasiswa

Calon Guru tentang Limit Fungsi ditinjau dari Kemampuan Matematika dan

Gender”. Penelitian disertasi menelusuri aspek-aspek konsepsi yang meliputi

pemahaman, representasi, bayangan mental, dan proposisi. Sedangkan penelitian

hibah disertasi doktor ini hanya menelusuri konsepsi pada aspek pemahaman dan

representasi. Penelitian ini diharapkan menghasilkan teori tentang konsepsi yang

meliputi pemahaman dan representasi pada mahasiswa calon guru matematika

yang berkemampuan tinggi dan rendah.

Penelitian yang dilakukan ini difokuskan pada konsepsi mahasiswa calon

guru ditinjau dari kemampuan matematika. Hal yang baru dari penelitian ini

adalah penelusuran aspek-aspek konsepsi meliputi pemahaman dan representasi

mahasiswa calon guru yang berkemampuan kemampuan matematika tinggi,

sedang dan rendah tentang limit fungsi. Sepengetahuan peneliti, penelitian yang

dilaksanakan ini masih sedikit diteliti di Indonesia.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan permasalahan di atas, rumusan masalah dalam penelitian ini

adalah “ Bagaimanakah konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit fungsi

ditinjau dari kemampuan matematika tinggi dan rendah?

8

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

A. Konsepsi dalam Matematika

Konsep merupakan ide abstrak yang dapat digunakan untuk

mengelompokkan objek, merepresentasikan unit-unit pengetahuan (Soedjadi,

2000; Solso, 2002: 273), gagasan tentang sesuatu (Stemberg, 2008). Konsep

berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi

suatu konsep (Soedjadi, 2000). Tall & Vinner (1981) mengkateogri konsep

menjadi dua jenis, yaitu definisi konsep formal dan definisi konsep personal.

Definisi konsep formal adalah kalimat atau kata-kata yang digunakan untuk

menjelaskan konsep secara akurat. Sedangkan definisi konsep personal

merupakan definisi suatu konsep yang direkomendasi seseorang melalui bayangan

konsep (concept image) yang bersangkutan yang dimilikinya. Definisi konsep

personal merupakan kalimat atau kata-kata yang digunakan individu untuk

menjelaskan konsep tertentu sebagai hasil rekonstruksinya terhadap bayangan

konsep tersebut.

Kata “ konsespsi” mengacu pada suatu struktur pengetahuan seseorang

yang menjabarkan bagaimana memberikan respon terhadap suatu permasalahan

Amatangelo (2013: 6). Zaslaysky (2005: 328)” mendefinisikan konsepsi tentang

definisi matematika adalah penjelasan tertulis dan penalaran verbal yang

diberikan. Lioyd (1998: 249) mendefinisikan konsepsi sebagai struktur mental

9

seseorang yang meliputi pengetahuan, keyakinan, pemahaman, preferen (pilihan),

dan pandangan. Penelitian Lioyd difokuskan pada dampak konsepsi guru tentang

materi fungsi terhadap pembaharuan kurikulum. Sfard (1991) menjelaskan

konsepsi merupakan hasil kontruksi teoritis terhadap gagasan pengetahuan formal,

yang meliputi representasi internal dan asosiasi-asosiasi yang dibangun oleh

konsep secara subjektif dalam pikiran seseorang. Lebih lanjut, Sfard menjelaskan

representasi internal meliputi deskripsi yang didukung oleh representasi verbal

dan didukung oleh bayangan visual. Berdasarkan representasi-representasi ini,

Sfard membagi konsepsi dibagi menjadi 2, yaitu konsepsi struktural dan konsepsi

opersional.

B Aspek-aspek Konsepsi

Berdasarkan definisi yang diungkapkan Zaslaysky (2005), Amatangelo

(2013), Lioyd (1998), dan Sfard (1991), konsepsi merupakan struktur

pengetahuan yang merupakan hasil konstruksi seseorang dalam pikiran yang

digunakan dalam merespon permasalahan matematika yang meliputi keyakinan,

pemahaman, representasi, bayangn mental, porposisi, preferen(pilihan), dan

pandangan. Dalam penelitian ini hanya difokuskan pada aspek pemahaman dan

representasi.

1. Pemahaman

Pemahaman merupakan suatu istilah yang digunakan untuk menggambarkan

penerimaan seseorang tentang suatu konsep atau ide yang menjadi

pengetahuannya. Sfard (1991) menjelaskan definisi pemahaman didasarkan pada

teori Skemp, yaitu pemahaman instrumental dan pemahaman relasional, dan teori

10

Hierbert, yaitu pemahaman konseptual dan pemahaman procedural. Skemp

(1987)) mendefinisikan pemahaman menjadi dua, yaitu pemahaman instrumental

dan pemahaman relasional. Pemahaman instrumental adalah kemampuan

seseorang menerapkan suatu prinsip, aturan, prosedur yang diingat sesuai dengan

pemecahan masalah tanpa mengetahui mengapa aturan tersebut berlaku.

Pemahaman relasional adalah kemampuan seseorang untuk menyimpulkan aturan

khusus atau prosedur dari hubungan matematis yang lebih umum. Hiebert &

Carpenter (1992: 67) mendefinisikan pemahaman yaitu. ide, prosedur atau fakta

dalam matematika dipahami apabila merupakan bagian dari kerangka internal.

Secara khusus, matematika dikatakan dipahami jika representasi mental dari

matematika merupakan bagian dari jaringan representasi.

Ghazali (2011) mengkategori pemahaman matematika menjadi dua, yaitu

pemahaman prosedural dan pemahaman konseptual. Pemahaman prosedural

matematika adalah suatu pengetahuan yang fokus pada keterampilan dan prosedur

langkah-langkah tanpa penunjukkan secara eksplisit terhadap ide-ide matematika.

Pemahaman konseptual adalah suatu pengetahuan yang memerlukan pemahaman

mendalam tentang gagasan dan konsep dasar matematika diterapkan dalam

menyelesaikan suatu permasalahan. Jadi, pemahaman konseptual merupakan

pemahaman yang menfokuskan pada keterampilan dan prosedur, sedangkan

pemahaman konseptual merupakan pemahaman yang menfokuskan pada gagasan

dan penggunaan suatu konsep dalam menyelesaiakan masalah matematika.

Berkaiatan dengan pemahaman, Aderson & Krathwohl (2001:67)

menjelaskan proses kognitif yang diasosiasikan dengan istilah memahami, yakni

11

sebagai konstruksi pengertian dari pesan-pesan yang disampaikan, baik secara

lisan, tertulis ataupun komunikasi dalam pembelajaran. Lebih lanjut Aderson & I

Krathwohl menjelaskan beberapa aktivitas- aktivitas proses kognitif yang

diasosiasikan dengan memahami, yaitu (1) menginterpretasi, yakni mengubah

suatu bentuk representasi, (2) memberi contoh, yakni menemukan contoh spesifik

terhadap konsep atau prinsip, (3) mengklarifikasi, yakni menyatakan apakah suatu

objek itu merupakan anggota atau bukan anggota dari suatu kelompok atau

kategori, (4) merangkum, yakni membuat abstraksi dari suatu tema umum, (5)

menginferensi, yakni merumuskan kesimpulan logis berdasarkan informasi yang

dijadikan, (6) membandingkan, yakni melacak keterhubungan dua ide atau

konsep, melihat perbedaan dan persamaan, dan (7) menjelaskan, yakni

membangun model sebab akibat terhadap suatu sistem tertentu. Jadi, dari uraian di

atas dapat dipahami bahwa pemahaman dapat ditelurusi melalui aktivitas-aktivitas

proses kognitif, yaitu menginterpretasi, membandingkan, dan menjelaskan.

2. Representasi

Representasi merupakan salah satu aspek dari struktur mental sebagai

dasar menelusuri konsepsi tentang matematika. Goldin (1998) menjelaskan

representasi merupakan konfigurasi, bentuk, atau susunan yang dapat

menggambarkan, mewakili, atau melambangkan sesuatu dalam suatu cara. Cai,

Lane & Jacabsin (1996) memandang representasi sebagai cara yang digunakan

seseorang untuk mengemukakan gagasan matematika. Sfard (1991) membagi

representasi menjadi empat jenis, yaitu representasi verbal, simbolik, grafik dan

aljabar. Goldin dan Shteingold (2001) membagi representasi menjadi dua, yaitu

12

representasi internal dan eksternal. Representasi internal meliputi: sintaksis,

notasional formal, imagistic, strategi dan proses holistic, dan afektif. Representasi

sintaksis menggambarkan kemampuan bahasa alami individu di mana kosa kata

bahasa dan sintaksis. Imagistic memuat konfigurasi kognitif visual-spasial dan

juga memuat kode kinestetik, terkait dengan gerakan nyata atau imajinasi dari

tangan dan tubuh, yang seringkali penting dalam memahami konsep matematika.

Notasional formal, yaitu siswa secara mental memanipulasi bilangan, melakukan

operasi aritmatika, atau melakukan tahap-tahap simbolik dalam menyelesaikan

persamaan aljabar. Proses strategic dan heuristic dalam merespon masalah sebagai

perkembangan seseorang secara mental mengorganisasikan metode-metode

seperti menentukan sub-sub tujuan. Afektif diperlukan tidak hanya untuk

memodelkan pembelajaran dan pemecahan masalah secara efektif, tetapi juga

membahas tujuan-tujuan pendidikan yang memuat kesenangan dan konsep diri

yang positif seperti konpetensi kognitif. Sistem ini juga memuat perubahan emosi

siswa, sikap, keyakinan, tata nilai tentang matematika atau diri mereka sendiri

dalam kaitan dengan matematika. Sfard (1991) membagi representasi internal

menjadi dua, yaitu representasi yang deskripsinya didukung oleh representasi

verbal dan representasi yang didukung oleh bayangan visual.

Goldin dan Shteingold (2001) mengelompokkan representasi ke dalam tiga

bentuk, yaitu bentuk formal-notasional, spasial-visual, serta verbal. Friedlander

dan Tabach (2001) mengelompokkan representasi dalam representasi verbal,

numerik, grafis, dan aljabar. Representasi verbal pada umumnya digunakan dalam

menyatakan masalah dari awal proses dan diperlukan untuk memberikan

13

interpretasi akhir yang diperoleh dalam pemecahan masalah. Representasi numeris

merupakan representasi yang diperkenalkan kepada siswa pada tahap awal belajar

aljabar. Pendekatan numeris merupakan representasi yang dapat digunakan untuk

memberikan jembatan yang mudah dan efektif dalam aljabar dan umunya menjadi

dasar representsi yang lain. Representasi grafis merupakan bentuk representasi

yang efektif digunakan untuk menggambarkan nilai fungsi dari variabel real.

Representasi aljabar merupakan representasi yang ringkas, umumnya dan efektif

digunakan untuk menyatakan pola–pola dan model-model matematika. Jadi,

representasi eksternal meliputi verbal, grafik, simbolik, dan tabel. Sedangkan

representasi internal meliputi: sintaksis, notasional formal, imagistic, strategi dan

proses holistic, dan afektif.

C. Menelusuri Aspek-aspek Konsepsi Tentang Limit Fungsi

Struktur materi limit fungsi meliputi pengertian intuisi, definisi formal,

dan pembuktian Varberg (2007: 57). Limit fungsi merupakan konsep dasar

Kalkulus dan Matematika Analisis (Cetin, 2009; Roh, 2008). Tall & Vall (1981)

mengkategori konsep menjadi dua, yaitu definisi konsep formal dan definisi

konsep personal. Definisi konsep formal adalah kalimat ataua kata-kata yang

digunakan untuk menjelaskan konsep secara akurat. Sedangkan definisi konsep

personal merupakan definisi suatu konsep yang direkomendasi seseorang melalui

bayangan konsep (concept image) yang dimilikinya. Definisi konsep personal

adalah kalimat atau kata-kata yang digunakan seseorang untuk menjelaskan

konsep tertentu sebagai hasil rekonstruksinya dari bayangan konsep tersebut.

14

Purcell (1987), mendefinisi limit fungsi secara intuisi dan secara definisi

formal, yaitu definisi secara instuisi “ lim→ = artinya nilai fungsi ( )mendekati suatu limit untuk mendekati suatu bilangan ”. Sedangkan definisi

formal limit fungsi adalah “ lim→ = berarti untuk setiap > 0 yang

diberikan terdapat > 0 sedemikian sehingga | − | < asalkan 0 <| − | < , yakni 0 < | − | < → | − | < ”. Dengan demikian

tinjuan konsepsi tentang limit fungsi meliputi pemahaman dan representasi

mahasisiswa tentang definisi limit fungsi dan penggunaan definisi untuk

membuktikan limit fungsi.

Berikut disajikan deskripsi aspek-aspek konsepsi mahasiswa tentang limit

fungsi.

Tabel 2.1Deskripsi Aspek-aspek Konsepsi

AspekKonsepsi

Sub aspek Deskripsi

Pemahaman Pengertian: mengungkapkansuatu komsep ke dalam kata-kata atau diagram

Ungkapan subjek tentang arti limitfungsi

Menjelaskan:mengungkapkan sebab akibatdari model suatu konsep

Ungkapan subjek tentang penjelasandefinisi limit fungsi

Penerapan: menggunakankonsep atau sifat danmenjelaskan langkah-langkahbya

Ungkapan subjek tentangpenggunaan konsep, sifat limit fungsi

Representasi Representasi verbal:menyatakan suatu konsep kedalam bentuk kalimat

Ungkapan subjek tentang definisilimit fungsi dalam bentuk kalimat

Representasi grafik:menyatakan suatu konsepdalam bentuk grafik

Ungkapan subjek tentang definisilimit fungsi ke dalam bentuk grafikatau gambar

Representasi tabel:Menyatakan suatu konsepdalam bentuk table

Ungkapan subjek tentang definisilimit fungsi dalam bentuk tabel

15

Representasi simbol:menyatakan suatu konsepdalam bentuk simbolik

Ungkapan subjek tentang definisilimit fungsi dalam bentuk simbol

Deskripsi aspek-aspek konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit

fungsi, ditelusuri melalui tes berbasis wawancara. Subjek penelitian,

menyelesaikan tes konsepsi disertai dengan wawancara, sehingga diperoleh gejala

atau deskripsi aspek-aspek konspesi yang meliputi aspek pemahaman dan

representasi.

C. Hubungan Kemampuan Matematika dan Konsepsi

Kemampuan adalah kapasitas seseorang untuk menyelesaikan berbagai

ragam tugas dalam suatu pekerjaan. Menurut Poerwadaminta (1976), kemampuan

berasal dari kata “mampu” mempunyai arti kesanggupan, kecakapan, atau

kekuatan. Robbin, dkk (2008) membedakan kemampuan menjadi dua jenis, yaitu

kemampuan intelektual dan kemampuan fisik. Lebih lanjut, Robbin menjelaskan

emampuan intelektual adalah kemampuan yang dibutuhkan untuk melakukan

berbagai aktivitas mental-berpikir, menalar, dan menyelesaikan masalah.

Sedangkan kemampuan fisik adalah kemampuan pada tugas-tugas yang menuntut

stamina, keterampilan, kekuatan, dan karakteristik serupa. Sejalan dengan itu,

Stemberg (1996) membagi kemampuan intelegensi menjadi tiga aspek, yaitu

kemampuan analitik, kreatif, dan praktik. Jadi, kemampuan matematika yang

dimaksud dalam penelitian ini didasarkan pada kemampuan intelektual, yaitu

kemampuan untuk melakukan berbagai aktivitas mental–berpikir, analitik,

menalar, kreatif, dan menyelesaikan masalah matematika. Sehubungan dengan

intelegensi, Skemp (1987) menyatakan matematika merupakan contoh tepat dari

pemanfaatan intelegensi manusia dan matematika merupakan alat mental yang

16

paling kuat mampu beradaptasi dimana intelegensi manusia digunakan untuk

memenuhi kebutuhannya selama berabad-abad.

NCTM (2000) mendefinisikan kemampuan matematika meliputi

kemampuan pemecahan masalah, kemampuan berargumentasi, kemampuan

berkomunikasi, kemampuan membuat hubungan atau koneksi, kemampuan

representasiKurikulum 2013 menegaskan bahwa kemampuan matematika yang

diharapkan adalah (1) kemampuan memahami konsep, menjelaskan keterkaitan

antar konsep, dan mengaplikasikan konsep atau algoritma secara luwes, akurat,

efesien, dan tepat dalam pemecahasan masalah, (2) kemampuan menggunakan

penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat

generalisasi, menyusun bukti, menjelaskan gagasan dan pernyataan, (3)

memecahkan masalah, (4) mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel,

diagram, atau media untuk memperjelas keadaan atau masalah, dan (5) memiliki

sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari.

Kemampuan matematika merupakan kemampuan yang berkaitan dengan

potensi yang dimiliki seseorang yang mencakup pengetahuan matematika dan

keterampilan. Pengetahuan matematika dapat diukur berdasarkan pada dua

kemampuan, yaitu pemahaman konseptual dan prosedural. Pemahaman

konseptual adalah pemahaman tentang konsep-konsep, hubungan antar konsep,

kemampuan memberi alasan tentang apa yang dikerjakan, dan kemampuan

mengidentifikasi dan mengaplikasikan prinsip matematika. Pemahaman

prosedural meliputi aspek untuk menghubungkan dan mengkomunikasikan

17

algoritma. Kurikulum 2013 membagi pengetahuan menjadi tiga aspek,yaitu

pengetahuan fakta, pengetahuan konseptual, dan pengetahuan prosedural.

Berdasarkan beberapa pendapat ahli di atas, diperoleh rumusan

kemampuan matematika adalah kapasitas seseorang untuk menyelesaikan

berbagai ragam tugas matematika dalam suatu pekerjaan. Kemampuan

matematika meliputi kemampuan memahami konsep dan hubungan antar konsep,

penalaran pada pola dan sifat, memecahkan masalah, dan mengkomunikasikan

konsep dengan gambar atau grafik atau ilustrasi, simbol, tabel.

Konsepsi merupakan struktur pengetahuan dalam pikiran, sehingga

bagaimana seseorang mengungkapkan sesuatu ketika merespon suatu

permasalahan. Struktur pengetahun yang terbentuk dalam benak pikiran seseorang

dipengaruhi oleh kemampuan-kemampuan atau pengalaman-pengalaman untuk

mengkonstruk pengetahuan tersebut. Seseorang yang mempunyai kemampuan-

kemampuan yang baik maka hasil konstruksi pengetahuan dalam pikiran akan

baik pula. Dengan kata lain, seseorang yang mempunayi kekammpuan yang baik

maka akan menghasilkan konsepsi-konsepsi yang baik dalam merespon suatu

permasalahan.

18

BAB III

TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

A. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penelitian ini adalah untuk

mendeskripsikan konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit fungsi ditinjau dari

kemampuan matematika tinggi dan rendah.

B. Manfaat Penelitian

Manfaat hasil penelitian baik bagi pemangku kepentingan, pengembangan

ilmu pengetahuan dan teknik, maupun bagi publikasi ilmiah disajikan sebagai

berikut.

1. Hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai bahan pertimbangan bagi

pemerintah khusus Kemendikbud, yaitu (1) konsepsi yang dimiliki mahasiswa

calon matematika dapat dijadikan dasar untuk memetakan kompetensi

mahasiswa calon guru atau guru, (2) konsepsi sebagai dasar untuk

mengembangkan model pendidikan guru atau calon guru yang berkelanjutan.

Sedangkan bagi kementerian Ristek dan Dikti, hasil penelitian ini dapat

disajikan sebagai salah satu komponen capaian pembelajaran pada suatu mata

kuliah atau bidang keahlian, dan sebagai dasar pengembangan model

pembelajaran matematika di perguruan tinggi yang dapat meningkatkan

pengetahuan, keterampilan dan sikap mahasiswa.

19

2. Hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai hasil pengembangan teori psikologi

kognitif khususnya teori konsepsi yang meliptui pemahaman dan representasi

mahasiswa ditinjau dari kemampuan matematika. Sedangkan teori

pembelajaran matematika, hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai salah

satu dasar teori untuk mengembangkan model pembelajaran matematika

khususnya bidang Kalkulus di sekolah.

3. Hasil penelitian ini tentang konsepsi mahasiswa calon guru tentang limit fungsi

dapat dipublikasi sebagai hasil penelitian dalam jurnal internasional

20

BAB IV

METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh deskripsi secara objektif tentang konsepsi

mahasiswa calon guru tentang limit fungsi. Untuk memperoleh deskripsi tersebut, peneliti

melakukan pemeriksaan secara teliti dan mendalam serta melakukan triangulasi terhadap

aspek-aspek konsepsi yang dimiliki mahasiswa berdasarkan perbedaan kemampuan

matematika, yaitu tinggi, sedang, dan rendah. Dalam penelitian ini, mahasiswa diminta

menyelesaikan tugas tentang masalah limit fungsi disertai dengan wawancara oleh peneliti.

Wawancara ini bertujuan untuk menelusuri aktivitas-aktivitas pemahaman dan bentuk-bentuk

representasi yang dimiliki mahasiswa dalam menyelesaikan masalah limit fungsi.

Data yang diperlukan dalam penelitian ini, berupa tulisan hasil pekerjaan mahasiswa

dalam menyelesaikan masalah limit fungsi dan hasil wawancara. Hasil pekerjaan dan

wawancara mahasiswa berupa pemahaman-pemahaman mahasiswa dan bentuk-bentuk

representasi. Berdasarkan hal tersebut penelitian ini termasuk jenis penelitian kualitatif yang

bersifat eskploratif dengan alasan bahwa data utama penelitian ini adalah hasil tulisan dan

wawancara.

B. Subjek Penelitian

Subjek penelitian adalah mahasiswa pendidikan matematika yang telah menempuh

perkuliahan kalkulus dan analisis real di program studi pendidikan matematika Fakultas

Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Unsyiah Banda Aceh, Pendidikan Matematika

STAIN Lhokseumawe, dan pendidikan matematika FMIPA UNESA Surabaya. Pemilihan

subjek penelitian ini juga didasarkan pada tes kemampuan matematika (TPM). Kisi-kisi tes

21

kemampuan matematika meliputi: bidang aljabar, kalkulus, dan geometri. Hasil TPM

dikategori kemampuan tinggi dengan skor 80 Skor 100 dan kemampuan rendah dengan

skor 0 Skor < 60. Banyak mahasiswa yang dipilih sebagai subjek penelitian adalah 18

orang dengan komposisi: 12 orang mahasiswa pendidikan matematika FKIP Unsyiah, 3 orang

mahasiwa pendidikan matematika STAIN Lhokseumawe, dan 3 orang mahasiswa pendidikan

matematika FMIPA UNESA.

C. Instrumen Penelitian

Jenis instrumen yang digunakan dalam hal ini adalah instrumen utama dan instrumen

bantu. Instrumen utama adalah peneliti sendiri. Peneliti merupakan instrumen utama dalam

pengumpulan data penelitian ini, yaitu berperan dalam merencanakan, melaksanakan,

menganalisis data, dan melaporkan hasil penelitian. Sedangkan instrument bantu adalah tes

kemampuan matematika (TPM), tes konsepsi limit fungsi (TKLF), dan pedoman wawancara.

Instrumen TKLF dan pedoman wawancara digunakan untuk memperoleh data tentang

konsepsi yang meliputi pemahaman dan representasi. Aspek - aspek konsepsi tentang limit

fungsi meliputi pemahaman diungkapkan pada TKLF adalah menggambarkan grafik,

menentukan limit fungsi, menjelaskan definisi limit fungsi, dan menjelaskan hubungan antar

dalam konsep dalam limit fungsi. Sedangkan representasi adalah ungkapan subjek tentang

konsep limit fungsi dalam bentuk verbal, grafik atau gambar, tabel, dan simbol. Ungkapan

subjek konsep limit fungsi dengan menggunakan kosa kata dan sintaksis. Sebelum TKLF

digunakan untuk mengumpulkan data penelitian, instrumen ini divalidasi oleh ahli untuk

menilai validasi isi dan konstruk item-item tes. Validasi instrumen ini rencana dilakukan oleh

dua orang yang dinilai ahli dalam bidang analisis real.

Pedoman wawancara digunakan untuk memandu peneliti dalam memperoleh data

deskripsitif tentang pemahaman dan representasi dalam merespon pertanyaan tentang limit

fungsi. Pedoman wawancara yang dikembangkan dalam penelitian ini adalah pedoman

22

wawancara yang digunakan untuk mengeksplorasi dan mengklarifikasi hasil pekerjaan

mahasiswa yang dilakukan secara tertulis dan ucapannya. Pokok-pokok pertanyaan yang

dikembangkan dalam pedoman wawancara ini pada dasarnya sama dengan dengan pokok-

pokok pertanyaan pada instrumen TKLF yakni secara konsisten mengungkapkan aspek-

aspek konsepsi.

D. Pengumpulan data

Pengumpulan data dilakukan secara alami dengan wawancara berbasis tugas.

Wawancara dilakukan secara mendalam dengan format semi-terstruktur. Format ini dipilih

untuk mengetahui keterbukaan subjek dalam menyampaikan informasi. Subjek yang sedang

diwawancarai diberi kebebasan untuk mengikuti kecenderungan pikiran mereka termasuk

dalam menentukan arah topik perbincangan sehingga membentuk fokus pembicaraan. Semua

aktivitas wawancara direkam dengan handycam untuk penyusunan transkrip data.

3.5 Teknik Analisis Data

Data utama penelitian ini adalah data yang bersifat kualitatif yang dianalisis dari hasil

TKLF dan wawancara klarifikasinya untuk menjawab pertanyaan penelitian. Moleong (2005)

menyebutkan bahwa analisis data kualitatif dilakukan dalam suatu proses, yakni dilakukan

sejak pengumpulan data di lapangan dan terakhir pada waktu penyusunan laporan penelitian.

Untuk menganalisis data kualitatif, Miles dan Huberman (1992) mengelompokkan dalam tiga

tahap kegiatan, yaitu reduksi data, penyajian data dan penarikan kesimpulan. Proses analisis

data dalam penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah.

1) Telaah Data. Menelaah data dilakukan dengan membuat transkrip data dari hasil TKLF

dan rekaman wawancara. Data yang diperoleh dari hasil TKLF merupakan data tertulis.

Sedangkan data hasil wawancara merupakan transkrip data wawancara yang berupa

pertanyaan-pertanyaan dan jawaban-jawaban subjek.

23

2) Pemeriksaan data. Pemeriksanaan data dilakukan dengan memeriksa keabsahan data atau

kredibilitas data. Kredibilitas data dilakukan dengan teknik triangulasi waktu dari data

hasil TKLF dan hasil wawancara. Data tertulis yang diperoleh dari hasil TKLF dan hasil

transkrip data lisan yang dihasilkan dari hasil wawancara. Data penelitian ini dijustifikasi

sebagai data yang kredibel jika ada konsitensi, kesamaan data tentang konsepsi subjek

tentang limit fungsi yang diperoleh dari hasil pemberian TKLF dan hasil wawancara.

3) Reduksi data. Reduksi data dilakukan dengan menyeleksi data yang kredibel dan yang

tidak kredibel, memfokuskan, membuat rangkuman inti, dan mentransformasikan data

mentah. Hasil reduksi terhadap data yang tidak kredibel pada penelitian ini tidak

digunakan untuk mendeskripsikan konsepsi subjek tentang limit fungsi.

4) Pemaparan dan penafsiran data. Pemaparan dan penafsiran data dilakukan dengan

menyusun data dengan melakukan pengelompokkan data yang diperoleh sesuai dengan

tujuan penelitian. Pemaparan dengan melakukan pengelompokkan data yang dimaksud

adalah pengelompokkan konsepsi subjek tentang limit fungsi yang dilakukan pada data-

data subjek yang berkemampaun matematika tinggi dan rendah. Penafsiran data dilakukan

dengan mendeskripsikan konsepsi yang dimiliki subjek tentang limit fungsi. Konsepsi

subjek tentang limit fungsi dideskripsikan berdasarkan kesesuaian konsepsi tentang limit

fungsi, yaitu subjek yang memiliki konsepsi limit fungsi.

5) Penarikan kesimpulan. Penarikan kesimpulan dilakukan berdasarkan hasil analisis data

yang telah terorganisasi. Kesimpulan pada penelitian ini merupakan jawaban-jawaban atas

pernyataan penelitian yang bertujuan mendeskripsikan konsepsi mahasiswa calon guru

tentang limit fungsi ditinjau dari kemampuan matematika tinggi dan rendah.

24

Diagram 3.1 Prosedur Penelitian

Keterangan:: Aliran Kegiatan

: Aliran Siklus

: Mulai/Selesai

: Kegiatan

: Hasil Kegiatan

: Keputusan

Ya

Mulai

Melakukan Studi Literatur

Instrumen TKLF & Wawancra

Pengembangan Instrumen

Tes Kemampuan Matematika (TPM)

Subjek Terpilih: Berkemampuan tinggi dan rendah

Selesai

Analisis Data

Hasil Penelitian: KonsepsiMahasiswa Calon Guru Tentang

Limit Fungsi

Tes dan Wawancara ke-1 Wawancara ke-k, k 3

Data HasilWawancara

ke-2

Data HasilWawancara

ke-k

k

Data HasilWawancara

ke-1

Data Sahdan valid

Triangulasi

Tidak

Tes dan Wawancara ke-2

25

25

BAB V

HASIL DAN LUARAN YANG DICAPAI

A. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi Tentang Limit

Fungsi

Konsepsi mahasiswa calon guru berkemampuan tinggi tentang limit fungsi

dikelompokkan menjadi tiga aspek soal, yaitu soal limit fungsi bersifat umum,

dan soal limit fungsi bersifat terapan. Konsepsi ketiga aspek tersebut disajikan

sebagai berikut.

1. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi Tentang

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) = 𝑳, dan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙) = 𝑳

Konsepsi mahasiswa calon guru berkemampuan tinggi tentan limit fungsi

dibagi menjadi tiga materi, yaitu (1) lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, (2) lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dan (3)

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿. Data-data Konsepsi-konsepsi masing-masing (2) definisi

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dan lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, serta penjelasana dengan

bahasa, grafik, simbol. Konsepsi mahasiswa berkemampuan matematika tentang

arti dan definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dan lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 disajikan

sebagai berikut.

a. Hasil Konsepsi ST tentang notasi 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) = 𝑳, dan

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙) = 𝑳

26

Data hasil tes dan wawancara tentang konsepsi subjek berkemampuan

matematika tinggi (ST) dianalisis berdasarkan aspek-aspek konsepsi, yaitu

aspek pengertian, penjelasan definisi, dan representasi definisi. Hasil analisis

data konsepsi untuk masing-masing aspek disajikan sebagai berikut.

Pertama ditinjau aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari

pertanyaan yang diajukan tentang tuliskan arti notasi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST

mengawali dengan memperhatikan notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, lalu merespon

pertanyaan arti notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥

menuju 𝑎 sama dengan 𝐿. Pada penjelasan wawancara, ST menegaskan

pengertian lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 𝑎 sama dengan 𝐿, yaitu jarak 𝑓(𝑥) dapat

dibuat kecil mungkin ke 𝐿 asal jarak 𝑥 cukup kecil ke 𝑎 tetapi 𝑥 tidak sama

dengan 𝑎 dan sambil memperagakan dengan tangan maksud jarak dapat dibuat

sekecil mungkin, kemudian menjelaskan secara lisan arti notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

adalah jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 dapat dibuat sekecil mungkin asal 𝑥 cukup kecil ke 𝑎

tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. ST menjelaskan maksud jarak dapat dibuat

sekecil mungkin dengan menegaskan bahwa jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 lebih kecil

epsilon asal jarak 𝑥 ke 𝑎 kecil dari delta tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎.

Berdasarkan jawaban tertulis dan penjelasan ST menunjukkan bahwa

pengertian notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 sama

dengan 𝐿, berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sedekat mungkin ke 𝐿 dengan syarat

jarak 𝑥 dibuat cukup dekat ke 𝑎 tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. Jadi, dapat

27

disimpulkan bahwa pengertian ST tentang notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan

mengungkapkan ke dalam kata-kata.

Kedua ditinjau aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan

yang diajukan tentang tuliskan arti notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengawali

dengan memperhatikan notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, lalu merespon pertanyaan arti

notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menuliskan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari

arah kiri adalah 𝐿. Pada penjelaskan wawancara ST menjelaskan lim𝑓(𝑥)

ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari arah kiri adalah 𝐿 dengan menegaskan, yaitu jarak

𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 asal 𝑥 cukup dekat ke 𝑎 dari arah kiri

tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. ST mempergarakan dengan tangan maksud

notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 sebagai jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 dapat dibuat sekecil mungkin

dengan mengambil 𝑥 ke 𝑎 dari arah kiri cukup kecil tetapi 𝑥 tidak sama

dengan 𝑎. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan pengertian ST

tentang notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari kiri

sama dengan 𝐿, berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 dengan

syarat jarak 𝑥 ke 𝑎 cukup kecil tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. Jadi, dapat

disimpulkan interpretasi ST tentang notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan

mengungkapkan dalam kata-kata.

Ketiga ditinjau aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dari pertanyaan

yang diajukan tentang tuliskan arti notasi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengawali

dengan memperhatikan notasi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, lalu merespon pertanyaan arti

28

notasi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menuliskan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari

kanan sama dengan 𝐿. Pada wawancara ST menjelaskan maksud lim𝑓(𝑥)

ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari kanan sama dengan 𝐿 dengan menegaskan sebagai

jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 asal jarak 𝑥 dan 𝑎 cukup kecil

tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. ST memperagakan dengan tangan maksud notasi

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 sebagai jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 dengan

syarat mengambil nilai-nilai 𝑥 dari arah kanan ke 𝑎 dengan jarak cukup kecil

tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. Dari jawaban tertulis dan wawancara

menunjukkan bahwa pengertian ST tentang notasi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah

lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 𝑎 dari kanan sama dengan 𝐿, berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat

dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 dengan mengambil 𝑥 dari arah sebelah kanan ke

𝑎 cukup dekat tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎. Jadi, dapat disimpulkan

interpretasi ST tentang notasi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan ke dalam

kata-kata.

b. Hasil Konsepsi ST tentang Definisi 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) = 𝑳, dan

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙) = 𝑳

Data hasil tes dan wawancara terhadap subjek berkemampuan

matematika tinggi (ST) tentang konsepsi definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) =

𝐿, dan lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dianalisis berdasarkan aspek-aspek konsepsi, yaitu aspek

pengertian, penjelasan definisi, dan representasi definisi. Hasil analisis data

konsepsi untuk masing-masing aspek disajikan sebagai berikut.

29

Pertama aspek pemahaman definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan yang

diajukan tentang tuliskan dan jelaskan definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengawali

dengan memperhatikan notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, lalu mengungkapkan definisi

lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk setiap epsilon positif terdapat delta

positif yang berpadanan sehingga jika 𝑥 dikurang dengan 𝑎 besar nol dan kecil

dari delta maka harga mutlak selisih 𝑓(𝑥) dengan 𝐿 kecil dari epsilon. Lalu, ST

menjelaskan maksud definisi limit tersebut adalah berapapun epsilon yang

diberikan asal bilangan real positif pasti ada delta bilangan positif positif yang

berpadanan hingga jika jarak 𝑥 ke 𝑎 besar dari nol dan kecil dari delta maka

jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon. kemudian ST menjelaskan hubungan antara

epsilon dan delta dengan menegaskan bahwa diberikan berapapun epsilon

positif pasti ada delta positif dan diberikan contoh 휀 = 0,01 dan delta 𝛿 = 5휀,

selanjutnya, ST menjelaskan maksud 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 sebagai jarak antara 𝑥

dan 𝑎 lebih dari nol dan kecil dari delta dan maksud |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀 sebagai

jarak antara 𝑓(𝑥) dan L kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan

penjelasan, ST menunjukkan bahwa pemahaman definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah

diberikan setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real positif

yang berpadanan sedemikian sehingga jika jarak 𝑥 ke 𝑎 lebih besar dari nol

dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) dengan 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi,

dapat disimpulkan bahwa ST mempunyai pemahaman tentang definisi

lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿.

30

Kedua ditinjau dari aspek representasi verbal definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿.

Dari data jawaban tertulis dan wawancara, ST mendeskripsikan jawaban

pertanyaan terkait definisi limit fungsi diawali dengan menuliskan 𝑓

merupakan fungsi yang terdefinisi pada selang buka, kemudian menuliskan

lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah untuk setiap bilangan epsilon positif terdapat bilangan

delta positif yang berpadanan sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.

Selanjutnya, ST menjelaskan tulisan jawaban definisi limit fungsi tersebut

dengan menyebutkan untuk setiap bilangan epsilon positif terdapat bilangan

delta positif yang berpadanan dimana jika mutlak dari 𝑥 dikurang 𝑎 lebih besar

dari nol dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon.

Berdasarkan data jawaban tertulis dan wawancara dapat disimpulkan bahwa ST

merepresentasikan definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan ke dalam

kalimat.

Ketiga ditinjau dari aspek pemahaman definisi lim𝑋→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿. dari

pertanyaan yang diajukan pada soal A2 tentang tuliskan dan jelaskan definisi

lim𝑋→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿,ST mengawali dengan memperhatikan notasi lim𝑋→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿,

lalu mengungkapkan definisi lim𝑋→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk setiap

휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑎 − 𝑥| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Kemudian

ST menjelaskan maksud ungkapan definsi tersebut adalah 𝑥 sangat dekat ke 𝑎

dari arah kiri yang berarti jarak antara 𝑥 dan 𝑎 lebih besar dari nol dan kecil

dari delta maka mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kecil dari epsilon. Berdasarkan

penjelasan ST, pemahaman ST definisi lim𝑋→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah diberikan

31

bilangan epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan positif yang

berpadanan sehingga jika jarak 𝑎 dengan 𝑥 lebih besar nol dan kecil dari delta

maka jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ST

mempunyai pemahaman tentang definisi lim𝑋→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿.

Keempat ditinjau dari aspek representasi verbal lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari

data jawaban tertulis dan wawancara, ST mendeskripsikan jawaban pertanyaan

terkait definisi limit kiri dengan menuliskan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah

untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑎 − 𝑥| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| <

휀, kemudian menjelaskan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat

delta bilangan real positif yang berpadanan sedemikian sehingga jika nol besar

dari 𝑎 dikurang 𝑥 kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari

epsilon. Dari jawaban tertulis dan penjelasan wawancara menunjukkan bahwa

ST mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam

kalimat dan menyebutkan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat delta

positif yang berpadanan sehingga jika nol besar dari 𝑎 dikurang 𝑥 kecil dari

delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan

bahwa ST merepresentasikan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan

ke dalam kalimat.

Kelima ditinjau dari aspek pemahaman definisi lim𝑋→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari

pertanyaan yang diajukan pada soal A2c tentang tuliskan dan jelaskan definisi

lim𝑋→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengawali dengan memperhatikan notasi lim𝑋→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿.

lalu mengungkapkan definisi lim𝑋→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk setiap

32

휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Kemudian

ST menjelaskan maksud ungkapan definsi tersebut adalah jarak antara 𝑥 dan 𝑎

dari araha kanan lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿

kecil dari epsilon yang diberikan. Berdasarkan penjelasan ST, pemahaman ST

definisi lim𝑋→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah untuk setiap epsilon bilangan real positif

terdapat delta bilangan positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 𝑎lebih besar nol

dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon. Jadi, dapat

disimpulkan bahwa ST mempunyai pemahaman tentang definisi lim𝑋→𝑎+

𝑓(𝑥) =

𝐿.

Keenam ditinjau dari aspek representasi verbal lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari

data jawaban tertulis dan wawancara, ST mendeskripsikan jawaban pertanyaan

terkait definisi limit kanan dengan menuliskan definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah

untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| <

휀, kemudian menjelaskan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat

delta bilangan real positif yang berpadanan sehingga jika 𝑥 dikurang 𝑎 lebih

besar dari nol dan kecil dari delta maka mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kecil dari

epsilon. Dari jawaban tertulis dan penjelasan wawancara menunjukkan bahwa

ST mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam

kalimat dan menyebutkan bahwa untuk setiap epsilon bilangan real positif

terdapat delta bilangan real positif yang berpadanan sehingga jika 𝑥 dikurang 𝑎

lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari

33

epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa STL merepresentasikan definisi

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan ke dalam kalimat.

Ketujuh ditinjau dari aspek representasi grafik lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari data

jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait penjelasan

definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan grafik, STL menggambarkan definisi

lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali menggambar sumbu X, sumbu Y, menetapkan titik 𝑎

pada sumbu X, dan titik 𝐿 pada sumbu Y, selanjutnya menggambarkan grafik

fungsi 𝑓 yang tidak terdefinisi di titik 𝑎. Selanjutnya ST mengganbar interval

terbuka (𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀) pada sumbu Y, dan interval terbuka (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿)

pada sumbu X, lalu menghasilkan gambar seperti [STJTKLF1A2aii]. STL

menjelaskan gambar grafik 𝑓 tersebut adalah fungsi 𝑓 terdefinisi pada selang

terbuka yang memuat 𝑎, lalu disebutkan jika nilai 𝑥 dekat ke 𝑎 tetapi tidak

sama dengan 𝑎 dan kurang dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.

Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST

merepresentasikan definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menggambarkan ke dalam

grafik fungsi 𝑓 dan menjelaskan sesuai definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 yang telah

diungkapkan sebelumnya.

Kedelapan ditinjau dari aspek representasi grafik definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿,

dari data jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait

penjelasan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan grafik, ST menggambarkan definisi

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali menggambar sumbu X, sumbu Y, menetapkan titik 𝑎

34

pada sumbu X, dan titik 𝐿 pada sumbu Y, selanjutnya menggambarkan grafik

fungsi 𝑓 yang tidak terdefinisi di titik 𝑎. Selanjutnya ST mengganbar interval

terbuka (𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀) pada sumbu Y, dan interval terbuka (𝑎 − 𝛿, 𝑎) pada

sumbu X, lalu ST menegaskan bahwa setiap diambil sebarang epsilon positif

ada delta lebih besar nol sehingga jika 𝑎 kurang 𝑥 lebih besar nol dan kecil dari

delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan

wawancara menunjukkan bahwa ST merepresentasikan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) =

𝐿 dengan menggambarkan ke dalam grafik fungsi 𝑓 dan menjelaskan sesuai

definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 yang telah diungkapkan sebelumnya.

Kesembilan ditinjau dari aspek representasi grafik lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari

data jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait

penjelasan definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan grafik, ST menggambarkan definisi

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali menggambar sumbu X, sumbu Y, menetapkan titik 𝑎

pada sumbu X, dan titik 𝐿 pada sumbu Y, selanjutnya menggambarkan grafik

fungsi 𝑓 yang tidak terdefinisi di titik 𝑎. Selanjutnya ST mengganbar interval

terbuka (𝑎, 𝑎 + 𝛿) pada sumbu X, dilanjutkan menggambar interval terbuka

(𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀) pada sumbu Y. Selanjutnya, ST menjelaskan grafik fungsi

definisi limit kanan tersebut , yaitu sebuah grafik fungsi 𝑓, titik 𝑎 pada sumbu

X, jika jarak 𝑥 ke 𝑎 dari arah kanan lebih besar dari nol dan kecil dari delta

maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon yang diberikan. Dari jawaban tertulis

dan penjelasan menunjukkan ST merepresentasikan definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿

dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi. Jadi, dapat disimpulkan

35

bahwa ungkapan ST tentang definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dinyatakan dalam bentuk

representasi grafik fungsi.

Kesepuluh ditinjau dari aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) =

𝐿 , dari jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait

penjelasan definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan simbol, ST mendeskripsikan definisi

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali dengan membaca kembali definisi limit fungsi yang

telah ditulis sebelumnya, kemudian menuliskan sebagai berikut ∀휀 > 0 ∃𝛿 >

0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. ST menjelaskan ungkapan definisi

simbol dengan menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif

sehingga jika jarak 𝑥 ke 𝑎 lebih besar dari nol dan kecil delta maka jarak

𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan penjelasan ST

merepresentasikan definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan ke dalam

simbol. Kesebelas ditinjau dari aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) =

𝐿, dari jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait

penjelasan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan simbol, ST mendeskripsikan

penjelasan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali dengan membaca kembali definisi

limit fungsi yang telah ditulis sebelumnya, kemudian menuliskan sebagai

berikut ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑎 − 𝑥 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. ST menjelaskan

ungkapan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyebutkan untuk setiap epsilon

positif terdapat delta positif sedemikian hingga jika 𝑎 dikurang 𝑥 lebih besar

nol dan kecil delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon. Dari jawaban

36

tertulis dan penjelasan ST merepresentasikan lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan

mengungkapkan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑎 − 𝑥 < 𝛿 →

|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀

Keduabelas ditinjau dari aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿,

dari jawaban tertulis dan wawancara ST merespon pertanyaan terkait

penjelasan definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan simbol, ST mendeskripsikan

penjelasan definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali dengan membaca kembali definisi

limit fungsi yang telah ditulis sebelumnya, kemudian menuliskan sebagai

berikut ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Selanjutnya ST

menjelaskan ungkapan definisi lim𝑋→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan simbol dengan

menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sedemikian

hingga jika 𝑥 dikurang 𝑎 dari arah kanan maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari

epsilon. Dari jawaban tertulis dan penjelasan ST merepresentasikan definisi

lim𝑋→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mengungkapkan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 >

0 ∋ 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.

c. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi Tentang

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒇(𝒙) = 𝑳 dengan 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐+𝒙−𝟔

𝒙−𝟐

Konsepsi subjek berkemampuan tinggi (ST) dibagi menjadi jenis tiga

pertanyaan, yaitu (1) perhitungan nilai lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6

𝑥−2, (2)

arti lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6

𝑥−2, dan (3) definisi lim

𝑥→2𝑓(𝑥) = 𝐿. Hasil

konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi disajikan sebagai berikut.

37

Pertama aspek menentukan nilai limit fungsi, dari pertanyaan yang

diajukan tentang hitunglah nilai lim𝑥→2

𝑓(𝑥) dengan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6

𝑥−2, ST mengawali

langkah perhitungan dengan menuliskan bentuk lim𝑥→2

𝑥2+𝑥−6

𝑥−2, selanjutnya

memfaktorkan bentuk 𝑥2 + 𝑥 − 6 menjadi (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) sehingga diperoleh

lim𝑥→2

(𝑥−2)(𝑥+3)

(𝑥−2) dimana 𝑥 − 2 ≠ 0, kemudian ST mengkencel faktor (𝑥 − 2) di

pembilang dengan (𝑥 − 2) di penyebut dengan alasan 𝑥 menuju ke 2 dan 𝑥 −

2 ≠ 0, sehingga diperoleh lim𝑥→2

𝑥 + 3. Selanjutnya, ST menyatakan bentuk

lim𝑥→2

𝑥 + 3 menjadi lim𝑥→2

𝑥 + lim𝑥→2

3 dengan alasan menggunakan teorema limit:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥), kemudian nilai lim𝑥→2

𝑥 sama dengan 2

dengan alasan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 adalah 2, selanjutnya nilai lim𝑥→2

3 sama

dengan 3 dengan alasan lim 3 ketika 𝑥 menuju 2 adalah 3 dan ditegaskan limit

fungsi konstan di setiap titik adalah tetap. Selanjutnya diperoleh 2 + 3 sama

dengan 5. Berdasarkan jawaban tertulis dan wawancara ST menunjukkan bahwa

menentukan nilai lim𝑥→2

𝑥2+𝑥−6

𝑥−2 dengan cara memfaktorkan, mengkencel faktor yang

sama di pembilang dan penyebut dengan alasan 𝑥 menuju ke 2 dan penyebut tidak

sama dengan nol, menggunakan teorema jumlah limit fungsi, menggunakan arti

notasi limit fungsi diperoleh nilai limit sama dengan 5. Jadi, dapat disumpulkan

bahwa ST menentukan nilai lim𝑥→2

𝑓(𝑥) dengan cara memfaktorkan, mengcensel,

teorema limit jumlahan dari dua fungsi, dan menggunakan pengertian notasi limit

fungsi, dan sifat limit fungsi.

38

Kedua aspek pengertian, ST mengungkapkan pengertian notasi

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 sama dengan 5,

yakni jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 5 dengan mengambil jarak 𝑥 ke

2 cukup kecil. Selanjutnya, ST menjelaskan maksud “dapat dibuat sekecil

mungkin” dan “ cukup kecil ” yaitu sebagai jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil

mungkin ke 5, yaitu sekecil epsilon, dan jarak 𝑥 ke 2 dapat dibuat cukup kecil,

yaitu sekecil delta tetapi 𝑥 tidak sama dengan 2. Dari jawaban tertulis dan

wawancara ST menunjukkan bahwa pengertian notasi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 adalah

lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 sama dengan 5, yakni jarak antara 𝑓(𝑥) dan 5 dapat

dibuat sekecil mungkin sekecil epsilon apabila dapat dibuat jarak 𝑥 ke 2 cukup

kecil sekecil delta tetapi tidak sama dengan 2. Jadi, dapat disimpulkan bahwa

pemahaman ST dalam mengungkapkan pengertian notasi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan

menyatakan ke dalam bentuk kata-kata.

Ketiga aspek penjelasan definisi, dari pertanyaan yang diajukan tentang

tuliskan definisi definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5, ST mengawali merespon dengan

memperhatikan kalimat pertanyaan, setelah itu, menuliskan definisi limit dengan

pelan-pelan sambil memperhatkan kebenaran kalimat, kemudian memperhatikan

kembali kalimat definisi yang telah ditulis. ST menyatakan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5

adalah untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga nilai mutlak dari

selisih 𝑓(𝑥) dengan ke 5 kecil dari epsilon asal nilai mutlak dari selisih 𝑥 dengan

2 lebih besat dari nol dan kecil dari delta. ST menjelaskan maksud definisi dengan

menegaskan diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta positif

39

sehingga jarak antara 𝑓(𝑥) dan 5 kecil dari epsilon apabila jaraka 𝑥 ke 2 lebih

besar dari nol dan kecil dari delta. Dari penjelaskan jawaban tertulis dan

wawancara menunjukkan ST menjelaskan definisi limit dengan menyatakan

diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta positif sehingga jika

jarak 𝑥 ke 2 lebih besar dari nol dan kecil dari deltamaka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 5

kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan penjelasan ST tentang definisi

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 adalah diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat

delta positif sehingga jika jarak 𝑥 ke 2 lebih besar dari nol dan kecil dari

deltamaka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 5 kecil dari epsilon.

Keempat aspek representasi verbal, dari data jawaban tertulis ST

menjawab pertanyaan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan mendekripsikan menjadi

kalimat, yaitu diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta positif sedemikian

hingga jika nilai mutlak dari selisih x dengan 2 besar nol dan kecil delta maka

nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 5 kecil dari epsilon. Pada penjelasan

wawancara, ST menyebutkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 diungkapkan dengan

diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta positif sehingga nilai mutlak dari

selisih x dengan 2 besar dari nol dan kecil dari delta maka nilai mutlak dari selisih

𝑓(𝑥) ke 5 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan

bahwa ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan mendeskripsikan ke

dalam bentuk kalimat, yaitu diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta

positif sedemikian hingga jika nilai mutlak dari selisih x dengan 2 besar nol dan

kecil delta maka nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 5 kecil dari epsilon. Jadi,

40

dapat disimpulkan bahwa ungkapan ST tentang definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dinyatakan

dalam bentuk representasi verbal.

Kelima aspek representasi grafik. ST menjawab pertanyaan terkait dengan

definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan menggambarkan ke dalam bentuk grafik fungsi

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 dengan 𝑥 tidak sama dengan 2, menggambar interval buka (2 −

𝛿, 2 + 𝛿) pada sumbu X, dan menggambarkan interval buka (5 − 휀, 5 + 휀) pada

sumbu Y. menyatakan untuk sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta

bilangan rela positif sehingga jika diambil sebarang 𝑥 dekat ke 2 dengan jarak 𝑥

ke 2 kecil dari delta dan besar dari nol maka 𝑓(𝑥) dalam selang buka (5 − 휀, 5 +

휀). ST menjelaskan grafik fungsi 𝑓 dengan menyatakan untuk sebarang epsilon

bilangan real positif delta bilangan real positif sehingga jika 𝑥 sebarang anggota

(2 − 𝛿, 2 + 𝛿) dan 𝑥 tidak sama dengan 2 maka f(x) dalam (5 − 휀, 5 + 휀). Dari

jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa STL menggambarkan

definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 ke dalam bentuk grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 dengan 𝑥 tidak

sama dengan 2, menggambar interval buka (2 − 𝛿, 2 + 𝛿) pada sumbu X, interval

buka (5 − 휀, 5 + 휀) dan menyatakan untuk sebarang epsilon bilangan real positif

delta bilangan real positif sehingga jika 𝑥 sebarang anggota (2 − 𝛿, 2 + 𝛿) dan 𝑥

tidak sama dengan 2 maka 𝑓(𝑥) dalam (5 − 휀, 5 + 휀). Jadi, dapat simpulkan

bahwa ungkapan ST tentang definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dinyatakan dalam bentuk

representasi grafik.

Keenam aspek representasi tabel, dari pertanyaan yang diajukan ST

menjawab pertanyaan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan tabel ST

41

dengan memilih beberapa nilai 𝑥 dan menghitung nilai 𝑓(𝑥). ST menegaskan

bahwa jarak nilai-nilai 𝑥 ke 2 kecil dari bilangan rela dan jarak nilai-nilai 𝑓(𝑥) ke

5 kecil dari bilangan rel yang diberikan. ST menjelaskan untuk sebarang epsilon

bilangan positif terdapat delta bilangan positif sehingga jika jarak nilai-nilai 𝑥 ke

2 lebih besar dari nol dan dan kecil delta maka jarak nilai-nilai 𝑓(𝑥) ke 5 lebih

kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST

mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan nilai-nilai 𝑥 dan nilai-

nilai 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan menyatakan untuk sebarang epsilon bilangan

positif terdapat delta bilangan positif sehingga jika jarak nilai-nilai 𝑥 ke 2 lebih

besar dari nol dan dan kecil delta maka jarak nilai-nilai 𝑓(𝑥) ke 5 lebih kecil dari

epsilon. Jadi, dapat disumpulkan bahwa ungkapan ST tentang definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) =

5 dinyatakan dalam bentuk representasi tabel.

Ketujuh aspek representasi simbol. ST menjawab pertanyaan terkait

penjelaskan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan simbol dengan mendeskripsikan, yaitu

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 5| < 휀. ST menjelaskan bahwa

untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sedemikian hingga jika nilai

mutlak dari selisih 𝑥 dengan 2 besar nol dan kecil delta maka nilai mutlak dari

selisih 𝑓(𝑥) dengan 5 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara

menunjukkan bahwa ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan

mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 5| < 휀

dengan menjelaskan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sedemikian

hingga jika nilai mutlak dari selisih 𝑥 dengan 2 besar nol dan kecil delta maka

42

nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 5 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan

bahwa ungkapan ST tentang definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dinyatakan dalam bentuk

representasi simbol.

3. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi Tentang

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−

𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏 dengan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+

𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐 dengan 𝒇(𝒙) =

Hasil Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi (ST) dibagi

berdasarkan tiga pertanyaan, yaitu (1) perhitungan nilai lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1 dengan

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2 dengan 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 2𝑥 + 1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 2

, (2) arti lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1 dan

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2, (3) definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1 dan lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2. Hasil konsepsi

subjek berkemampuan matematika tinggi yang didasarkan pada ketiga pertanyaan

tersebut disajikan sebagai berikut.

Pertama aspek pemahaman menentukan nilai lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1, Dari

pertanyaan yang diajukan tentang menghitung nilai lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1, ST

menetapkan persamaan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dengan 𝑥 ≥ 2, selanjutnya

menggambar grafik fungsi𝑓, menetapkan persamaan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 dengan

𝑥 < 2, menggambarkan grafik fungsi 𝑓. Kemudian ST mnghitung lim𝑥→2−

𝑥 + 1

dengan memisahkan lim𝑥→2−

𝑥 + 1 menjadi lim𝑥→2−

𝑥 + lim𝑥→2−

1 dengan alasan

pemisahan dilakukan dengan menggunakan teorema lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥). Selanjutanya ST menggunakan lim𝑥 ketika 𝑥 menuju 2 dari

kiri sama dengan 2, limit fungsi konstan ketika 𝑥 menuju 2 dari kiri sama dengan

2, selanjutnya dijumlahkan diperoleh nilai limit sama dengan 3. Dari jawaban

43

tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST menentukan lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3

dengan menggunakan teorema limit dari jumlah dua fungsi, pengertian notasi

limit fungsi dan limit fungsi konstan diperoleh nilai limit sama dengan 3. Jadi,

dapat disimpulkan bahwa ST mempunyai pemahaman dalam menentukan

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan mnetapkan fungsi dan domain, menggunakan teorema

limit dari jumlah dua fungsi, pengertian limit fungsi, dan limit fungsi konstan.

Kedua aspek menentukan nilai lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2. ST menentukan nilai

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2 dengan menyatakan lim𝑥→2+

𝑥 + 2 menjadi lim𝑥→2+

𝑥 + lim𝑥→2+

2

dengan alasan menggunakan sifat jumlahan limit fungsi. Kemudian diperoleh 4

dengan alasan limit fungsi identitas ketika 𝑥 menuju 2 dari kanan adalah 2

dijumlah dengan limit fungsi konstan 2 ketika 𝑥 menuju 2 dari kiri adalah 2

sehingga diperoleh 4. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa

ST menentukan lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menggunakan teorema limit dari jumlah

dua fungsi, penegrtian limit fungsi identitas, dan limit fungsi konstan 2

diperoleh nilai limit kiri sama dengan 4. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ST

mempunyai pemahaman dalam menentukan lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan

menggunakan teorema limit dari jumlah dua fungsi, limit fungsi identitas, dan

limit fungsi konstan 2, atau dengan cara merepresentasikan lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) menjadi

grafik fungsi dan menyebutkan bahwa nilai-nilai 𝑥 menuju 2 dari kanan 𝑓(𝑥)

menuju 4.

Ketiga aspek pengertian lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1, dari jawaban tertulis pengertian

notasi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 menunjukkan bahwa ST mengungkapkan pengertian

44

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan limf(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 dari arah kiri

sama dengan 3, yaitu jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3 dengan

syarat mengambil nilai 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kiri. Pada penjelasan

wawancara ST menyebutkan bahwa jarak antara 𝑓(𝑥) ke 3 dapat dibuat sekecil

mungkin dengan mengambil nilai 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kiri. Dari

jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST mengungkapkan arti

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 dari arah kiri

sama dengan 3. Jadi, dapat disimpulkan pemahaman ST tentang notasi

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan ke dalam kata-kata.

Keempat aspek pengertian lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2, dari jawaban tertulis

pengertian notasi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 menunjukkan bahwa ST mengungkapkan

pengertian lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 dari

arah kanan sama dengan 4, yakni jarak antara 𝑓(𝑥) dan 4 dapat dibuat sedekat

mungkin dengan syarat mengambil nilai 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kanan.

Pada penjelasan wawancara ST menyebutkan bahwa jarak antara 𝑓(𝑥) dan 4

dapat dibuat sekecil mungkin dengan mengambil nilai-nilai 𝑥 cukup dekat ke 2

dari arah kanan. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST

mengungkapkan pengertian lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥

menuju 2 dari arah kanan sama dengan 4, yakni jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sedekat

mungkin ke 4 asal jarak 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kanan. Jadi, dapat

disimpulkan bahwa pemahaman ST tentang notasi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan

menyatakan ke dalam kata-kata.

45

Kelima aspek penjelasan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan yang

diajukan tentang jelaskan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, ST mengawali dengan

memperhatikan pertanyaan, lalu mengungkapkan dengan menyatakan untuk setiap

epsilon positif terdapat delta positif sedemikian sehingga jika 2 dikurang x di

antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon. Ungkapan definisi

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 diregaskan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif

sedemikian sehingga jika 2 dikurang 𝑥 lebih besar dari nol dan kecil dari delta

maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari epsilon. Berdasarkan penjelasan wawancara,

pemahaman ST tentang definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 adalah untuk setiap epsilon positif

terdapat delta positif sedemikian sehingga jika 2 dikurang 𝑥 lebih besar dari nol

dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon. Jadi, dapat

disimpulkan bawaj ST mempunyai pemahaman definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3. Jadi,

dapat disimpulkan STL mempunyai pemahaman definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3.

Keenam aspek penjelasan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, dari pertanyaan yang

diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, STL mengawali

dengan memperhatikan notasi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, lalu mengungkapkan dengan

menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga nilai

mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 4 kecil dari epsilon asal selisih 𝑥 dengan 2 dari

kanan kecil dari delta. Berdasarkan penjelasan wawancara, pemahaman ST

tentang definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 adalah untuk setiap epsilon positif terdapat delta

positif sedemikian sehingga jika 𝑥 dikurang dengan 2 lebih besar dari nol dan

46

kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan

bawaj ST mempunyai pemahaman definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4.

Ketujuh aspek representasi verbal dengan lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan

yang diajukan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, ST menjawab pertanyaan

dengan mendeskripsikan, yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat ∃> 0 sedemikian

sehingga 0 < 2 − 𝑥 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿1| < 𝜖. Pada wawancara, STL menyebutkan

untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sedemikian sehingga jika 2

dikurang 𝑥 di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon. Dari

jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa ST mendeskripsikan definisi

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan untuk setiap epsilon positif terdapat delta

positif sehingga jika 2 dikurang 𝑥 di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3

kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan ST merepresentasikan lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3

ke dalam bentuk kalimat.

Kedelapan aspek representasi verbal definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, dari

pertanyaan yang diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, ST merespon

dengan menuliskan untuk setiap 휀 > 0 terdapat ∃> 0 sedemikian sehingga 0 <

𝑥 − 2 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿2| < 𝜖. Pada wawancara, ST menjelaskan ungkapan

definisi tersebut dengan menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta

positif sedemikian sehingga jika 𝑥 dikurang 2 di antara nol dan delta maka jarak

𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan

bahwa ST mendeskripsikan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan untuk

setiap epsilon positif terdapat delta positif sedemikian sehingga jika 𝑥 dikurang 2

47

di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari epsilon. Jadi, dapat

disimpulkan ST merepresentasikan lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 ke dalam bentuk kalimat.

Kesembilan aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, dari

pertanyaan yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3

dengan grafik, ST menggambarkan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, yaitu menggambarkan

grafik fungsi 𝑓, menetapkan titik 2 pada sumbu X, menetapkan titik 3 pada sumbu

Y, menggambar interval buka dengan jarak titik 2 ke batas bawah adalah 𝛿 pada

sumbu X, menggambar interval buka dengan jarak titik 3 ke batas bawah adalah 휀

pada sumbu Y, dan menegaskan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta

positif sedemikian sehingga jika selisih 2 dengan 𝑥 dari kiri kecil dari delta maka

jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara

menunjukkan ST menjelaskan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan merepresentasikan

ke dalam grafik fungsi 𝑓, menggambar interval buka pada sumbu X, dan interval

buka pada sumbu Y, dan menyatakan diberikan sebarang epsilon positif terdapat

delta positif sehingga selisih 𝑓(𝑥) dengan 3 kecil dari epsilon asal selisih 2

dengan 𝑥 dari kiri kecil dari delta. Jadi, dapat disimpulkan ST menjelaskan

definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi 𝑓.

Kesepuluh aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, dari

pertanyaan yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4,

dengan grafik, ST menggambarkan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, yaitu menggambarkan

grafik fungsi 𝑓, menetapkan titik 2 pada sumbu X, menetapkan titik 4 pada sumbu

48

Y, menggambar interval buka dengan jarak titik 2 ke batas bawah adalah 𝛿 pada

sumbu X, menggambar interval buka dengan jarak titik 4 ke batas bawah adalah 휀

pada sumbu Y, dan menegaskan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta

positif sedemikian sehingga jika selisih 2 dengan 𝑥 dari kiri kecil dari delta maka

jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara

menunjukkan ST menjelaskan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan merepresentasikan

ke dalam grafik fungsi 𝑓, menggambar interval buka pada sumbu X, dan interval

buka pada sumbu Y, dan menyatakan diberikan sebarang epsilon positif terdapat

delta positif sehingga jika selisih 𝑥 dengan 2 di antara nol dan delta maka jarak

𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan ST menjelaskan definisi

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi 𝑓.

Kesebelas aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan

yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan grafik, ST

mengungkapkan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan membuat tabel, memilih beberapa

nilai 𝑥 yang mendekati 2 dari kiri dan dari kanan, menghitung nilai-nilai 𝑓(𝑥)

dengan mensubtitusikan nilai 𝑥 ke persamaan 𝑓(𝑥), kemudian mentabulasikan

nilai-nilai 𝑥 dan nilai 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan menegaskan bahwa nilai-nilai 𝑥

mendekati 2 dari kiri nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 3 kecil dari epsilon.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa ST menjelaskan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan

merepresentasikan ke dalam tabel.

Kedua belas aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, dari

pertanyaan yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4

49

dengan grafik, ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan membuat tabel,

memilih beberapa nilai 𝑥 yang mendekati 2 dari kiri dan dari kanan, menghitung

nilai-nilai 𝑓(𝑥) dengan mensubtitusikan nilai 𝑥 ke persamaan 𝑓(𝑥), kemudian

mentabulasikan nilai-nilai 𝑥 dan nilai 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan menegaskan

bahwa nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari kanan maka nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥)

dengan 4 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ST menjelaskan

definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan merepresentasikan ke dalam tabel.

Ketiga belas aspek representasi simbol definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, dari

pertanyaan yang diajukan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan

simbol, ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan ∀휀 > 0

∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 2 − 𝑥 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 3| < 휀. ST menjelaskan ungkapan definisi

tersebut dengan menyebutkan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat delata

positif sehingga selisih 2 dengan 𝑥 dari kiri besar dari nol dan kecil dari delta

maka nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 3 kecil dari epsilon. Jadi, dapat

disimpulkan bahwa ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan

merepresentasikan ke dalam symbol.

Keeempat belas aspek representasi simbol lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, dari pertanyaan

yang diajukan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan simbol, ST

mengungkapkan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋

0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 4| < 휀. ST menjelaskan ungkapan definisi tersebut

dengan menyebutkan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat delata positif

50

sehingga selisih 𝑥 dengan 2 dari kiri besar dari nol dan kecil dari delta maka nilai

mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 4 kecil dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan

bahwa ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan merepresentasikan ke

dalam simbol.

B. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah Tentang

Limit Fungsi

Konsepsi subjek berkemampuan rendah (SR) tentang limit fungsi

dikelompokkan menjadi tiga aspek soal, yaitu soal limit fungsi bersifat umum,

dan soal limit fungsi bersifat terapan. Konsepsi ketiga aspek tersebut disajikan

sebagai berikut.

1. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah Tentang

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) = 𝑳, dan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙) = 𝑳

a. Hasil Konsepsi SR tentang Notasi 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) = 𝑳, dan

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙) = 𝑳

Hasil konsepsi subjek berkemampuan matematika rendah (SR) tentag limit

fungsi dibagi berdasarkan tiga jenis pertanyaan TKLFA, yaitu (1) pertanyaan

terkait dengan arti lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dan lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, (2)

pertanyaan terkait dengan definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dan

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿. Hasil konsepsi subjek berkemampuan matematika redah

disajikan sebagai berikut.

51

Pertama aspek pengertian lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR dalam menjawab

pertanyaan terkait dengan arti lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 diawali dengan memperhatikan

notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, kemudian mengungkapkan arti notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿,

yaitu untuk 𝑥 mendekati 𝑎 tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎, maka 𝑓(𝑥) mendekat

𝐿. Pada jawaban wawancara SR menjelaskan maksud ungkapan tersebut

dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi dan menyatakan nilai 𝑥

mendekati 𝑎 tetapi tidak sama dengan 𝑎 maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿 .sambil

menperhatikan jawaban tertulis dan diucapkan dengan suara pelan-pelan. Dari

jawaban tertulis dan penjelasan dalam wawancara menunjukkan bahwa SR

mengungkapkan pengertian notasi limit fungsi dengan mennyatakan ketika 𝑥

mendekati 𝑎 tetapi tidak sama dengan 𝑎 maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿, menjelaskan

dengan merepresentasikan ke dalam grafik dan menyatakan bahwa nilai-nilai 𝑥

mendekati 𝑎 tetapi tidak sama dengan 𝑎 maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. Jadi, dapat

disimpulkan bahwa pemahaman SR tentang notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan

menyatakan ke dalam kata-kata.

Kedua aspek pengertian lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿. Pada jawaban tertulis],

menunjukkan bahwa SRL mengungkapkan arti notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 bahwa

untuk 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekat ke 𝐿. SRL

menjelaskan makna“ 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri” adalah nilai-nilai 𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿, dan dijelaskan dengan

ucapan kata-kata dengan pelan-pelan serta sambil memperhatikan dan

menunjukkan nilai-nilai 𝑥 yang digambarkan pada grafik tersebut. Dari

52

jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan SR mengintepretasi notasi limit

kiri dengan mengkoversikan ke dalam kata-kata, menjelaskan makna “𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kiri” dengan menggunakan grafik dan menyebutkan

nilai-nilai 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. Jadi, dapat

disimpulkan bahwa pemahaman SR tentang notasi limit kiri dengan

menginterpretasi ke dalam kata-kata, menjelaskan makna dengan

merepresentasikan dengan grafik dan menjelaskan dengan menggunakan grafik

tersebut dengan ucapan kata-kata “ nilai-nilai 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri

𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.

Ketiga aspek pengertian lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿. Pada jawaban tertulis enunjukkan

bahwa SR mengungkapkan arti notasi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 bahwa untuk 𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. SR menjelaskan

makna “ x mendekati 𝑎 dari sebelah kanan ” dengan menggunakan grafik

fungsi yang telah digambar dan diungkapkan bahwa nilai-nilai 𝑥 mendekati 𝑎

dari sebelah kanan maka 𝑓(𝑥) mendekati L. Dari jawaban tertulis dan

wawancara menunjukkan SR mengintepretasi notasi limit kanan dengan

mengkoversikan ke dalam kata-kata, menjelaskan makna “𝑥 menuju 𝑎 dari

sebelah kanan” dengan menggunakan grafik dan dijelaskan dengan kata-kata.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa pemahaman SR tentang notasi limit kanan

dengan menginterpretasi ke dalam kata-kata, menjelaskan makna dengan

merepresentasikan dengan grafik dan menyebutkan dengan bahasa.

53

b. Data Konsepsi SR tentang Definisi 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝑳, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂−

𝒇(𝒙) = 𝑳, dan

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂+

𝒇(𝒙) = 𝑳

Hasil konsepsi subjek berkemampuan matematika rendah (SR) tentang

definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dan lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 disajikan sebagai

berikut.

Pertama aspek penjelasan definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan yang

diajukan, SRL mengungkapkan kembali soal, yaitu lim𝑓(𝑥) untuk 𝑥 mendekati

𝑎 adalah L, menjelaskan definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk

setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real positif sehingga

harga mutlak dari selisih 𝑥 dengan 𝑎 di antara nol dan delta maka harga

mutlak selisih 𝑓(𝑥) dengan 𝐿 kurang dari epsilon, dan saat menjelaskan

definisi limit tersebut SR memperhatikan ungkapan tulisan definisi limit

tersebut. Selanjutnya, SR menjelaskan maksud ” untuk setiap epsilon bilangan

positif terdapat delta positif” dengan menegaskan tiap-tiap epsilon ada delta

dan menyebutkan contoh 휀 = 0,01 dan delta 𝛿 = 0,01. Kemudian, SRL

menjelaskan “ 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿” sebagai jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta,

dan “ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀” sebagai jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Dari

jawaban tertulis dan penjelasan wawancara menunjukkan bahwa SRL

menjelaskan definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menegaskan untuk setiap epsilon

bilangan real positif terdapat delta bilangan real positif sehingga jarak antara 𝑥

dan 𝑎 di antara nol dan delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kurang dari

epsilon, dan menjelaskan dengan contoh nilai epsilon dan delta serta

54

menegaskan tiap-tiap epsilon bilangan real positif ada delta bilangan real

positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di antara nol dan delta jarak anatara 𝑓(𝑥)

dan 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi, dapat simpulkan bahwa SR menjelaskan

definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real

positif terdapat delta bilangan real positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di

antara nol dan delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kurang dari epsilon, dan

menjelaskan dengan contoh epsilon dan delta.

Kedua aspek penjelasan definisi lim𝑋→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan yang

diajukan, SRL menjelaskan definisi lim𝑋→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menegaskan untuk

setiap epsilon bilangan positif ada delta positif sedemikian hingga jarak 𝑥 ke 𝑎

dari sebelah kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari

epsilon, dan saat menjelaskan definisi, SRL memperhatikan ungkapan tulisan

definisi tersebut dan menjelaskan dengan suara pela-pelan. Selanjutnya, SR

menjelaskan maksud “ untuk setiap epsilon bilangan positif terdapat delta

positif” dengan menyebutkan contoh 휀 = 0,01 dan delta 𝛿 = 0,01 dengan

alasan setiap epsilon positif ada delta positif. Kemudian, SRL menjelaskan

maksud “0 < |𝑥 − 𝑎−| < 𝛿” dengan menyatakan jarak 𝑥 ke a di antara nol dan

delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri, dan |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀 dinyatakan

sebagai jarak 𝑓(𝑥) ke L kurang dari epsilon. Dari penjelasan wawancara

menunjukkan bahwa SR menjelaskan definisi limit kiri dengan menegaskan

untuk setiap epsilon bilangan real positif ada delta positif sedemikian hingga

jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kir

maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon, menjelaskan dengan menyebutkan

55

contoh nilai epsilon dan delta. Jadi, dapat disimpulkan SR menjelaskan definisi

limit kiri dengan menegaskan untuk setiap epsilon bilangan real positif ada

delta positif sedemikian hingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.

Ketiga aspek penjelasan definisi lim𝑋→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan yang

diajukan, SR menjelaskan definisi lim𝑋→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyebutkan untuk

setiap epsilon bilangan positif ada delta positif sedemikian hingga jarak 𝑥 ke

𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka

jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon, dan saat menjelaskan definisi, SR

memperhatikan ungkapan tulisan definisi tersebut dan menjelaskan dengan

suara pelan-pelan. Dari penjelasan wawancara menunjukkan bahwa

penjelasan SR tentang ungkapan definisi limit kanan dengan menegaskan

bahwa untuk setiap epsilon bilangan positif ada delta positif sedemikian

hingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari

sebelah kanan maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi, dapat

disimpulkan penjelasakn SR tentang definisi limit kanan dengan menegaskan

untuk setiap epsilon bilangan positif ada delta positif sedemikian hingga

jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kanan

maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.

Keempat aspek representasi verbal definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari

pertanyaan yang diajukan terkait dengan pertanyaan definisi limit fungsi, SR

mengungkapkan definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan mendeskripsikan, yaitu untuk

56

setiap bilangan 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 maka

|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Pada wawancara, SR menyebutkan untuk setiap epsilon

bilangan positif ada delta positif sehingga nilai mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di

antara nol dan delta maka nilai mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kurang dari epsilon.

Dari jawaban tertulis dan jawaban wawancara menunjukkan bahwa SR

menggukapkan definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam kalimat

dan menyebutkan untuk setiap epsilon bilangan positif ada delta positif

sehingga nilai mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di antara nol dan delta maka nilai mutlak

𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kurang dari epsilon definisi epsilon delta. Jadi, dapat

disimpulkan bahwa SR mengungkapkan tentang definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

dengan menyatakan ke dalam bahasa.

Kelima aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿. Dari

pertanyaan yang diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR

mendeskripsikan, yaitu untuk setiap bilangan epsilon positif terdapat delta

positif sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎−| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Selanjutnya SRL

menjelaskan dengan menyebutkan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat

delta positif sehingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Dari

jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan SR menjelaskan definisi limit

kiri dengan menyatakan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif

sehingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari

sebelah kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon Jadi, dapat disimpulkan

57

SRL mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam

kalimat.

Keenam aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari

pertanyaan yang diajukan terkait dengan pertanyaan, SR mendeskripsikan

definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿i dengan menyatakan untuk setiap bilangan 휀 > 0

terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎+| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀. Pada

wawancara SR menyebutkan untuk setiap epsilon bilangan positif terdapat

delta bilangan positif sehingga harga mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di antara nol dan

delta dimana 𝑥 mendekati a dari sebelah kanan harga mutlak 𝑓(𝑥) dikurang

𝐿 kurang dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan

bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan untuk

setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jika harga mutlak 𝑥

dikurang 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kanan

maka harga mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi, dapat

disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kanan dengan

menyatakan dalam bahasa.

Ketujuh aspek representasi grafik definisi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan

yang diajukan terkait definisi dengan grafik, SR mengungkapkan definisi

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menggambar sumbu X dan sumbu Y, menandai titik 𝑎

pada sumbu X dan titik 𝐿 pada sumbu Y, menggambarkan grafik fungsi 𝑓.

Pada wawancara SR menyebutkan jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon asal

jarak 𝑥 dengan 𝑎 besar nol dan delta. Dari jawaban tertulis dan wawancara

58

menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan

merepresentasikan definisi ke dalam grafik fungsi dan menegaskan jarak

𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon asal jarak 𝑥 dengan 𝑎 besar nol dan delta.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi.

Kedelapan aspek representasi grafik dari lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan

yang diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mengungkapkan

definisi diawali dengan menggambar sumbu X, sumbu Y, menandai titik 𝑎

pada sumbu X, titik L pada sumbu Y, dan menggambar grafik fungsi 𝑓.

Selanjutnya pada wawancara SR menegaskan untuk 𝑥 mendekati 𝑎 maka

𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan SR

mengungkapkan definisi limit kiri dengan merepresentasi ke dalam grafik

fungsi dan menegaskan untuk 𝑥 mendekati 𝑎 maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. Jadi,

dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kiri dengan

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi.

Kesembilan aspek representasi grafik lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari pertanyaan

yang diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mengungkapkan

definisi limit kanan dengan merepresentasikan definisi limit kanan diawali

dengan menggambarkan sumbu X, sumbu Y, menandai titik 𝑎 pada sumbu

X, menandai titik 𝐿 pada sumbu Y, menggambar grafik fungsi , menggambar

interval buka (𝑎, 𝑎 + 𝛿) pada sumbu X, menggambar interval buka (𝐿, 𝐿 +

휀). Pada wawancara SRL menjelaskan, yaitu untuk 𝑥 mendekati 𝑎 dari

59

sebelah kanan maka 𝑔(𝑥) mendekati 𝐿. Dari jawaban tertulis dan

pwawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kanan

dengan merepresentasi ke dalam grafik fungsi dan menegaskan untuk 𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka 𝑔(𝑥) mendekati 𝐿. Jadi, dapat

disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kanan dengan

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi.

Kesepuluh aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari

pertanyaan yang diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR

mengungkapkan dengan mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <

|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Pada wawancara SR menjelaskan untuk

setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di

antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Dari jawaban

tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi

limit fungsi dengan menyatakan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 →

|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 dan menegaskan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat

delta positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di antara nol dan delta maka

jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR

mengungkapkan definisi limit fungsi dengan menyatakan dalam simbol.

Kesebelas aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari

pertanyaan yang diajukan terkait definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, SRL

mengungkapkan definisi limit kiri dengan mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0

∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎−| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Pada wawancara SRL

60

menjelaskan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak

antara 𝑥 dan 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah

kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan

wawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kiri

dengan mendeskripiskan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎−| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) −

𝐿| < 𝜖 dan menegaskan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif

sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎

dari sebelah kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon. Jadi, dapat

disimpulkan SR mengungkapkan definisi limit kiri dengan menyatakan dalam

simbol.

Keduabelas aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, dari

pertanyaan yang diajukan terkait definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR

mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎+| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| <

휀. Pada wawancara, SR menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat

delta positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 antara nol dan delta dimana 𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.

Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SR

mengungkapkan definisi limit kanan dengan mendeskripsikan ∀휀 > 0 ∃𝛿 >

0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎+| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀, dan menyebutkan untuk setiap

epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 antara nol

dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿

kurang dari epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan

definisi limit kanan dengan menyatakan ke dalam simbol.

61

2. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah Tentang

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒇(𝒙) = 𝑳

Hasil konsepsi subjek berkemampuan matematika rendah (SR) tentang

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6

𝑥−2 dibagi berdasarkan tiga pertanyaan, yaitu (1)

menentukan nilai limit fungsi, (2) arti notasi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 𝐿, (3) definisi

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan kata-kata, grafik, tabel, dan simbol. Hasil konsepsi SR

disajikan sebagai berikut.

Pertama aspek nementukan nilai limit fungsi, dari pertanyaan yang

diajukan terkait menghitung nilai lim𝑥→2

𝑓(𝑥) dengan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6

𝑥−2, SR mengawali

dengan memfaktorkan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6

𝑥−2, dilanjutkan dengan melakukan

penyerhanaan sehingga diperoleh lim𝑥→2

𝑥 + 3. Pada wawancara SR menyebutkan

penyederhaan dilakukan dengan mencoret faktor sama di pembilang (𝑥 − 2) dan

penyebut (𝑥 − 2) dengan alasan faktornya sama. Selanjutnya SR disubstitusikan

𝑥 sama dengan 2 ke bentuk lim𝑥→2

𝑥 + 3 sehingga diperoleh 5. Dari jawaban tertulis

dan wawancara menunjukkan bahwa SR menentukan nilai lim𝑥→2

𝑓(𝑥) dengan

memfaktorkan 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6

𝑥−2, menyederhakan dengan cara menceret faktor yang

sama di pembilang dan penyebut, mensubstitusikan 𝑥 sama dengan 2 ke lim𝑥→2

𝑥 + 3

sehingga diperoleh 5. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR menentukan nilai

62

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan cara memfaktorkan, menyederhanakan mencoret faktor

yang sama, mensubstititusikan, sehingga diperoleh 5.

Kedua aspek pengertian lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5, dari pertanyaan arti notasi limit

fungsi, SR mengungkapkan yang diawali dengan memahami pertanyaan dengan

mengucapkan dengan bahasa sendiri, selanjutnya, menyatakan arti notasi

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5, yaitu untuk 𝑥 mendekati 2 tetapi 𝑥 tidak sama dengan 2 maka

𝑓(𝑥) mendekati 5. Pada wawancara, SR menjelaskan maksud ungkapan

pengertian tersebut dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, dan

menegaskan bahwa nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2, maka

𝑓(𝑥) mendekati 5. Dari data jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan SR

mengungkapkan arti notasi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan memahami pertanyaan,

menyatakan ke dalam kata-kata, dijelaskan dengan merepresentasikan ke dalam

grafik fungsi dan ditegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2,

maka 𝑓(𝑥) mendekati 5. Jadi, dapat simpulkan bahwa SR dalam

mengungkapkan arti lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan ke dalam kata-kata,

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, dan ditegaskan bahwa nilai-nilai 𝑥

mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2, maka 𝑓(𝑥) mendekati 5.

Ketiga aspek penjelasan definisi limit fungsi, dari pertanyaan wawancara

yang diajukan terkait dengan penjelaskan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5, disebutkan untuk

setiap epsilon bilangan positif ada delta bilangan positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 di

antara nol dan delta maka jarak fungsi 𝑓(𝑥) ke 5 kurang dari epsilon. Pada

wawancara SR menjelaskan maksudnya untuk setiap epsilon ada delta positif

63

dengan menegaskan bahwa tiap-tiap epsilon positif ada delta positif. Selanjutnya,

SL menjelaskan maksud 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 dan |𝑓(𝑥) − 5| < 휀 dengan menyatakan

sebagai jarak antara 𝑥 dan 2 di antara nol dan delta dan sebagai jarak antara 𝑓(𝑥)

ke 5 kurang dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan

bahwa SRL menjelaskan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan menegaskan untuk setiap

epsilon bilangan real positif ada delta bilangan real positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 di

antara nol dan delta maka jarak fungsi 𝑓(𝑥) ke 5 kurang dari epsilon. Jadi, dapat

disimpulkan SR menjelaskan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan menegaskan untuk

setiap epsilon bilangan real positif ada delta bilangan real positif sehingga jarak 𝑥

ke 2 di antara nol dan delta maka jarak fungsi 𝑓(𝑥) ke 5 kurang dari epsilon.

Keempat aspek representasi verbal, dari pertanyaan yang diajukan terkait

dengan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan

mendeskripsikan , yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 <

|𝑥 − 2| < 𝛿 maka |𝑥2+𝑥−6

𝑥−2− 5| < 휀. Pada penjealskan wawancara SR

menyebutkan untuk setiap epsilon bilangan positif ada delta bilangan positif

sehingga jarak 𝑥 ke 2 di antara nol dan delta maka jarak fungsi ini 𝑓(𝑥) ke 5

kurang dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa

SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan mendeskripsikan dalam bentuk

kalimat, yaitu untuk setiap epsilon bilangan positif terdapat delta positif sehingga

jarak 𝑥 dan 2 di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 5 kurang daripada

epsilon. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5

dengan menyatakan ke dalam kalimat.

64

Kelima aspek representasi grafik, dari pertanyaan yang diajukan terkait

definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan ilustrasi grafik, SR merepresentasikan limit fungsi

ke dalam grafik fungsi, yaitu menggambarkan sumbu X, sumbu Y, menandai titik

2 pada sumbu X, titik 5 pada sumbu Y, menggambar grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3.

Pada wawancara, SR menegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 tetapi tidak sama

dengan 2 maka 𝑓(𝑥) mendekati 5. Dari jawaban tertulis dan wawancara

menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi dan menegaskan 𝑥 mendekati 2 tetapi

tidak sama dengan 2 maka 𝑓(𝑥) mendekati 5. Jadi, dapat simpulkan bahwa SR

mengungkapan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan merepresentasikan ke dalam grafik

fungsi.

Keenam aspek representasi numerik, dari pertanyaan yang diajukan terkait

definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5, SR menyatakan nilai-nilai 𝑥 dan nilai-nilai 𝑓(𝑥) dari

perhitungan ke dalam tabel, selanjutnya disebutkan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 maka

nilai 𝑓(𝑥) mendekati 5. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa

SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan nilai-nilai 𝑥 dan

𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan ditegaskan 𝑥 mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2

maka 𝑓(𝑥) mendekati 5 . Jadi, dapat disimpulkan bahwa SRL mengungkapkan

definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan menytaakan ke dalam numerik.

Ketujuh aspek representasi simbol, dari pertanyaan yang diajukan terkait

penjelasan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan simbol, SR mengungkapkan definisi

tersebut dengan mendeskripsi ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <

65

|𝑥 − 2| < 𝛿 → |𝑥2+𝑥−6

𝑥−2− 5| < 휀. Pada wawancara SR menyebutkan bahwa

untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 itu di

antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−6

𝑥−2 jarak ke 5 kurang dari epsilon.

Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SRL

mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan ke dalam

representasikan ke dalam bentuk simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <

|𝑥 − 2| < 𝛿 → |𝑥2+𝑥−6

𝑥−2− 5| < 휀. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR

mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan menyatakan ke dalam bentuk

simbol.

3. Hasil Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah Tentang

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−

𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+

𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐

Hasil konsepsi subjek berkemampuan matematika rendah (SR) tentang

lim𝑥→2

_ 𝑓(𝑥) = 𝐿1 dan lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2 disajikan sebagai berikut.

Pertama aspek menentukan nilai lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1, dari pertanyaan yang

diajukan terkait menentukan nilai lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1, SR menetapkan fungsi 𝑓(𝑥) =

𝑥 + 1 dengan 𝑥 < 2, selanjutnya disubstitsuikan persamaan fungsi ke

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1 diperoleh lim𝑥→2−

𝑥 + 1 . Pada wawancara SR menjelaskan dengan

substitusikan 𝑥 mendekat 2 dari sebelah kiri ke lim𝑥→2−

𝑥 + 1 diperoleh nilai limit 3.

Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SR menentukan

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) dengan menetapkan fungsi dan membentuk lim𝑥→2−

𝑥 + 1 = 𝐿1, kemudain

66

mensubstutusikan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri diperoleh nilai lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) sama

dengan 3. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR menentukan nilai lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) dengan

mensubstitusikan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri ke lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1 diperoleh

nilai lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) sama dengan 3.

Kedua aspek menentukan nilai lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2, dari pertanyaan yang

diajukan terkait menentukan nilai lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2, SR melakukan dengan cara

menetapkan persamaan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dengan 𝑥 lebih atau sama dengan 2,

dibentuk lim𝑥→2+

𝑥 + 2 = 𝐿2. Pada wawanacara, SL menjelaskan dengan

substitusikan 𝑥 mendekat 2 dari sebelah kanan ke lim𝑥→2+

𝑥 + 2 diperoleh nilai

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) sama dengan 4. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan

bahwa SR menentukan lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) dengan menetapkan persamaan fungsi,

membentuk lim𝑥→2+

𝑥 + 2 = 𝐿2, mensubstitusikan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kanan

diperoleh nilai limit sama dengan 4. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR

menentukan lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 mensubstistukan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kanan

diperoleh nilai limit sama dengan 4.

Ketiga aspek pengertian lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3. dari pertanyaan yang diajukan

terkait arti notasi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan dengan menyatakan

dengan menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 3.

Selanjutnya, SR menjelaskan ungkapan arti lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, lalu memilih beberapa nilai-nilai 𝑥

67

mendekati 2 dan disubstitusikan ke 𝑔(𝑥) . Kemudian pada wawancara SRL

menegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 3.

Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SRL mengungkapkan

pengertian notasi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah

kiri f(𝑥) mendekati 3, dijelaskan dengan merepresentasikan ke dalam grafik

fungsi dan ditegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥)

mendekati 3. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan arti i

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan ke dalam kata-kata, direpresentasikan ke

dalam grafik fungsi, dan ditegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari kiri maka 𝑓(𝑥)

mendekati 3.

Keempat aspek pengertian lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, dari pertanyaan yang diajukan

terkait dengan arti notasi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan dengan

menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4. Selanjutnya, SR

menjelaskan dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, lalu memilih

beberapa nilai 𝑥 mendekati 2 dari kanan dan disubstitusikan ke dalam 𝑔(𝑥).

Kemudian SR menegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥)

mendekati 4. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan bahwa SRL

mengungkapkan arti lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan dengan kata-kata, yaitu 𝑥

mendekati 2 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4, dijelaskan dengan

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, dan ditegaskan nilai-nilai 𝑥 mendekati

2 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4. Jadi, dapat disimpulkan ahwa ST

mengungkapkan arti lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan mengungkapkan dengan kata-kata,

68

dijelaskan dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi serta ditegaskan x

mendekati 2 dari kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 4.

Kelima aspek penjelasan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan yang

diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan definisi

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan, yaitu untuk setiap epsilon positif terdapat

delta positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 dari kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥)

ke 3 kurang dari epsilon. Pada wawancara SR menegaskan maksud ungkapan

definisi tersebut adalah tiap–tiap epsilon bilangan real positif terdapat delta

bilangan real positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 dari kiri di antara nol dan delta maka

jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari epsilon. Selanjutnya SR menjelaskan makna ” untuk

setiap epsilon bilangan positif terdapat delta positif “ sebagai tiap-tiap epsilon

positif ada delta positif dengan alasan pada definisi disebutkan untuk setiap

epsilon positif terdapat delta positif. Kemudian, SR menjelaskan makna “0 <

|𝑥 − 2−| < 𝛿” sebagai jarak 𝑥 ke 2 dari sebelah kiri di antara nol dan delta dan

|𝑓(𝑥) − 3| < 휀 sebagai jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari epsilon. Dari penjelasan

wawancara dan jawaban tertulis menunjukkan bahwa SR menjelaskan definisi

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan bahwa untuk setiap epsilon bilangan real

positif terdapat delta bilangan real positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 2 dari

sebelah kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari epsilon. Jadi,

dapat disimpulkan SR menjelaskan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan

mengungkapkan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan

69

real positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 2 dari sebelah kiri di antara nol dan

delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari epsilon.

Keenam aspek penjelasan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, dari pertanyaan yang

diajukan terkait dengan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SR menjelaskan dengan

menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan

positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 dari sebelah kanan di antara nol dan delta maka jarak

𝑓(𝑥) ke 4 kurang dari epsilon, dan saat menjelaskan SR memperhatikan ungkapan

definisi tersebut dan diucapkan dengan pelan-pelan. Pada wawancara, SRL

menjelaskan kaitan epsilon dengan delta, yaitu tiap-tiap epsilon positif pasti ada

delta positif. Selanjutnya, SR menjelaskan maksud 0 < |𝑥 − 2+| < 𝛿 sebagai

jarak antara 𝑥 dan 2 tetapi sebelah kanan di antara nol dan delta dan |𝑓(𝑥) − 4| <

휀 sebagai jarak antara 𝑓(𝑥) dan 4 kurang dari epsilon. Dari hasil wawancara dan

jawaban tertulis menunjukkan bahwa SR definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan

menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real

positif sehingga jika jarak antara 𝑥 ke 2 dari sebelah kanan di antara nol dan

delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 4 kurang dari epsilon.

Ketujuh aspek representasi verbal definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan

yang diajukan terkait represenstasi definisi limit kiri, SR mendeskripsikan, yaitu

definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan mendeskripsikan, yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat

𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 2−| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 3| < 휀. Pada wawancara, SR

menyebutkan untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak 𝑥

ke 2 dari sebelah kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari

70

epsilon. Dari jawaban tertulis dan wawancara menggambarkan bahwa SR

mengungkapkan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan mendeskripsikan, yaitu untuk

setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real positif sehingga

jika jarak antara 𝑥 dan 2 dari sebelah kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥)

ke 3 kurang dari epsilon.maka. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR

mengungkapkan definisi limit kiri dengan menyatakana ke dalam kalimat.

Kedelapan aspek representasi verbal, dari pertanyaan yang diajukan terkait

dengan representasi definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan dengan

mendeskripsikan, yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 <

|𝑥 − 2+| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 4| < 휀.. Pada wawancara, SR menyebutkan untuk

setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta positif sehingga 0 < |𝑥 − 2+| <

𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 4| < 휀. Dari jawaban tertulis dan wawancara menunjukkan

bahwa SRL mengungkapkan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan mendeskripiskan

dalam kalimat, untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 2+| < 𝛿

maka |𝑓(𝑥) − 4| < 휀. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan ke dalam kalimat.

Kesembilan aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, dari

pertanyaan yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi limit kanan dengan

grafik, SRL menggambarkan ke dalam grafik fungsi, yaitu menggambar grafik

fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 dimana 𝑥 < 2 dengan cara mensubstitusikan nilai 𝑥 = 1 dan

𝑥 = 2, disubstusikan ke 𝑓(𝑥), lalu ditarik garis dari titik (1,2) dan (2, 4) sehingga

diperoleh grafik garis lurus. Pada wawancara SR menyebutkan fungsi tidak ada

71

dengan alasan 𝑥 lebih kecil dari 2. Selanjutnya SR menegaskan bahwa nilai-nilai

𝑥 mendekati 2 dari kiri 𝑓(𝑥) mendekati 3 sambil memperhatikan grafik fungsi.

Dari jawaban tertulis dan hasil wawancara menunjukkan bahwa SR

mengungkapkan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan merepresentasikan ke dalam

grafik fungsi dan menegaskan 𝑥 mendekati 2 dari kiri 𝑓(𝑥) mendekati 3. Jadi,

dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi limit kiri dengan

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi.

Kesepuluh aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, dari

pertanyaan yang diajukan terkait definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SRL mengungkapkan

dengan menggambarkan ke dalam grafik fungsi, yaitu menggambar grafik fungsi

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dimana 𝑥 ≥ 2 dengan cara mensubstitusikan nilai 𝑥 = 2,5 dan 𝑥 =

2, disubstusikan ke 𝑓(𝑥), lalu ditarik garis dari titik 2,5, 4,5) dan (2, 4) sehingga

diperoleh grafik garis lurus. Pada wawancara ditegaskan bahwa nilai-nilai 𝑥

mendekati 2 dari kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4. Dari jawaban tertulis dan hasil

wawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4

dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi dan menegaskan 𝑥 mendekati 2

dari kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SRL

mengungkapkan definisi limit kiri dengan merepresentasikan ke dalam grafik

fungsi.

Kesebelas aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, dari pertanyaan

yang diajukan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan tabel, SR

mengungkapkan dengan memilih beberapa nilai 𝑥 mendekati 2 dari kiri, lalu

72

disubstitusikan ke dalam fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, kemudian nilai-nilai 𝑥 dan 𝑓(𝑥)

dinyatakan ke dalam tabel. Pada wawancara ST menegaskan bahwa nilai-nilai 𝑥

mendekati 2 dari kiri 𝑓(𝑥) mendekati 3. Dari jawaban tertulis dan hasil

wawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3

dengan merepresentasikan ke dalam tabel dan menegaskan 𝑥 mendekati 2 dari kiri

𝑓(𝑥) mendekati 3. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi

limit kiri dengan merepresentasikan ke dalam tabel.

Kedua belas aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, dari

pertanyaan yang diajukan terkait penjelasan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan tabel,

SR mengungkapkan dengan memilih beberapa nilai 𝑥 mendekati 2 dari kanan,

lalu disubstitusikan ke dalam fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, kemudian nilai-nilai 𝑥 dan

𝑓(𝑥) dinyatakan ke dalam tabel. Pada wawancara SR menegaskan bahwa nilai-

nilai 𝑥 mendekati 2 dari kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4. Dari jawaban tertulis dan hasil

wawancara menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4

dengan merepresentasikan ke dalam tabel dan menegaskan 𝑥 mendekati 2 dari

kanan 𝑓(𝑥) mendekati 3. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan

definisi limit kiri dengan merepresentasikan ke dalam tabel.

Ketiga belas aspek representasi simbol definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, dari soal

yag diajukan terkait dengan penjelasan lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan simbol, SR

mengungkapkan dengan mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <

|𝑥 − 2−| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 3| < 휀. Pada wawancara SR menyebutkan bahwa untuk

setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real positif sehingga

73

jarak antara 𝑥 dan 2 dari sebelah kiri berada di antara nol dan delta maka jarak

antara 𝑓(𝑥) dan 3 kurang dari epsilon. Dari jawaban tertulis dan hasil wawancara

menunjukkan bahwa SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan

mendeskripsikan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2−| < 𝛿 →

|𝑓(𝑥) − 3| < 휀 Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR mengungkapkan definisi

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan ke dalam simbol.

Keempat belas aspek representasi simbol dari definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, dari

pertanyaan yang diajukan terkait dengan penjelasan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SR

mengungkapkan dengan mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <

|𝑥 − 2∓| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 4| < 휀. Pada wawancara SR menyebutkan bahwa

untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 dari

sebelah kanan di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kurang dari epsilon.

Dari jawaban tertulis dan penjelasan wawancara menunjukkan bahwa SR

mengungkapkan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋

0 < |𝑥 − 2∓| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 4| < 휀. Jadi, dapat disimpulkan bahwa SR

mengungkapkan definisi limit kanan merepresentasikan ke dalam simbol.

C. Keluaran yang Dicapai

Berdasarkan analisis data konsepsi tentang tentang limit fungsi diperoleh

profil konsepsi-konsepsi subjek berkemampuan tinggi (ST) dan subjek

74

berkampuan matematika rendah (SR). Profil konsepsi masing-masing subjek

disajikan sebagai berikut.

1. Profil Konsepsi ST tentang Limit Fungsi

Profil konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang limiit

fungsi dibagi menjadi menjadi dua jenis, yaitu pengertian dan definisi. Profil

konspepsi-konsepsi disajikan sebagai berikut.

a. Profil Konsepsi ST tentang Notasi limit Fungsi

1) Aspek pengertian notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan pengertian

notasi lim𝑋→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 sama dengan

𝐿, berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sedekat mungkin ke 𝐿 dengan syarat

jarak 𝑥 dibuat cukup dekat ke 𝑎 tetapi 𝑥 tidak sama dengan 𝑎.

2) Aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan pengertian

notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 dari kiri

sama dengan 𝐿 berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿

dengan syarat jarak 𝑥 ke 𝑎 cukup kecil dari kiri tetapi 𝑥 tidak sama

dengan 𝑎.

3) Aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan pengertian

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju ke 𝑎 sama dengan 𝐿

berarti jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sekecil mungkin ke 𝐿 dengan mengambil

𝑥 dari arah sebelah kanan ke 𝑎 cukup dekat tetapi 𝑥 tidak sama dengan

𝑎.

b. Profil Konsepsi ST tentang Definisi Limit Fungsi

75

1) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST menjelaskan definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

adalah diberikan bilangan epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan

positif yang berpadanan sehingga jika jarak 𝑎 dengan 𝑥 lebih besar nol dan

kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon.

2) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿. ST menjelaskan definisi

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah diberikan bilangan epsilon bilangan real positif terdapat

delta bilangan positif yang berpadanan sehingga jika jarak 𝑎 dengan 𝑥 lebih

besar nol dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon.

3) Aspek penjelasa definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST menjelaskan definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) =

𝐿 adalah untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan

positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 𝑎 lebih besar nol dan kecil dari delta

maka jarak 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kecil dari epsilon.

4) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi

dengan mendeskripsikan ke dalam kalimat, yaitu untuk setiap bilangan epsilon

positif terdapat bilangan delta positif yang berpadanan dimana jika mutlak dari

𝑥 dikurang 𝑎 lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥)

dan 𝐿 kecil dari epsilon.

5) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkpakan definisi

dengan mendeskripsikan ke dalam kalimat, yaitu untuk setiap epsilon positif

terdapat delta positif yang berpadanan sehingga jika 𝑎 dikurang 𝑥 lebih besar

dari nol dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon.

76

6) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi

dengan mendeskripsikan ke dalam kalimat, yaitu untuk setiap epsilon bilangan

real positif terdapat delta bilangan real positif yang berpadanan sehingga jika 𝑥

dikurang 𝑎 lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak antara 𝑓(𝑥) ke 𝐿

kecil dari epsilon.

7) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi

dengan menggambarkan dalam bentuk grafik fungsi, dimana jika nilai 𝑥 dekat

ke 𝑎 tetapi tidak sama dengan 𝑎 dan kurang dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿

kurang dari epsilon.

8) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi

dengan menggambarkan dalam bentuk grafik fungsi, dan menegaskan setiap

sebarang epsilon positif ada delta lebih besar nol sehingga jika 𝑎 kurang 𝑥

lebih besar nol dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon,

9) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi

menggambarkan dalam bentuk grafik fungsi, dan menegaskan jarak 𝑥 ke 𝑎

dari arah kanan lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿

kecil dari epsilon yang diberikan.

10) Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi

dengan mendeskripiskan ke dalam simbol, yaitu untuk setiap epsilon positif

terdapat delta positif sehingga jika jarak 𝑥 ke 𝑎 lebih besar dari nol dan kecil

delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon.

77

11)Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan

definisi dengan mendeskripsikan ke dalam simbol, yaitu untuk setiap epsilon

positif terdapat delta positif sedemikian hingga jika 𝑎 dikurang 𝑥 lebih besar

nol dan kecil delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon.

12)Aspek representasi simboldefinisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, ST mengungkapkan definisi

dengan mendeskripsikan ke dalam simbol, yaitu untuk setiap epsilon positif

terdapat delta positif sedemikian hingga jika 𝑥 dikurang 𝑎 dari arah kanan

maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kecil dari epsilon.

c. Profil Konsepsi ST tentang 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒇(𝒙) = 𝑳 dengan 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐+𝒙−𝟔

𝒙−𝟐

Berdasarkan hasil analisis data konsepsi tentang lim𝑥→2

𝑓(𝑥), diperoleh

profil konsepsi-konsepsi sebagai berikut.

1) Aspek menentukan nilai lim𝑥→2

𝑓(𝑥), ST menentukan nilai lim𝑥→2

𝑓(𝑥) dengan

cara memfaktorkan, mengcensel, teorema limit jumlahan dari dua fungsi,

dan menggunakan pengertian notasi limit fungsi, dan sifat limit fungsi,

sehingga diperoleh nilai limit sama dengan 5.

2) Aspek pengertian lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5, ST mengungkapkan arti notasi

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5, yaitu memahami pertanyaan dengan menyebutkan

pertanyaan dengan bahasa sendiri, menyatakan ke dalam kata-kata, yaitu

ketika 𝑥 mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2, maka 𝑓(𝑥) mendekati 5.

3) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5, ST menjelaskan definisi, ayitu

untuk setiap epsilon bilangan real positif ada delta bilangan real positif

78

sehingga jarak 𝑥 ke 2 di antara nol dan delta maka jarak fungsi 𝑓(𝑥) ke 5

kurang dari epsilon.

4) Aspek representasi verbal, ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5,

dengan mendeskripsikan , yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga

0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 maka |𝑥2+𝑥−6

𝑥−2− 5| < 휀.

5) Aspek representasi grafik, ST mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5

dengan menggambarkan ke dalam bentuk grafik fungsi 𝑓(𝑥) dengan 𝑥

tidak sama dengan 2, menggambar interval buka (2 − 𝛿, 2 + 𝛿) pada

sumbu X, dan menggambarkan interval buka (5 − 휀, 5 + 휀) pada sumbu Y,

lalu menyatakan untuk sebarang epsilon bilangan real positif delta bilangan

real positif sehingga jika 𝑥 sebarang anggota (2 − 𝛿, 2 + 𝛿) dan 𝑥 tidak

sama dengan 2 maka 𝑓(𝑥) dalam (5 − 휀, 5 + 휀).

6) Aspek representasi tabel, ST mengungkapkan definisi 𝑙im𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan

menyatakan nilai-nilai 𝑥 dan nilai-nilai 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan

menyatakan untuk sebarang epsilon bilangan positif terdapat delta

bilangan positif sehingga jika jarak nilai-nilai 𝑥 ke 2 lebih besar dari nol

dan dan kecil delta maka jarak nilai-nilai 𝑓(𝑥) ke 5 lebih kecil dari epsilon.

7) Apek representasi simbol, ST mengungkapkan definisi 𝑙im𝑥→2

𝑓(𝑥) =

5 dengan mendeskripsikan, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 →

|𝑓(𝑥) − 5| < 휀, ditegaskan bahwa untuk setiap epsilon positif terdapat

delta positif sedemikian hingga jika nilai mutlak dari selisih 𝑥 dengan 2

79

besar nol dan kecil delta maka nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 5 kecil

dari epsilon.

d. Profil Konsepsi ST tentang 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−

𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏 dan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+

𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐

Berdasarkan analisis data konsepsi tentang lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1 dan

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2 maka diperoleh profil konsepsi sebagai berikut.

1) Aspek menentukan nilai lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1, ST menentukan nilai limit dengan

cara menggunakan teorema limit dari jumlah dua fungsi, pengertian notasi

limit fungsi, dan limit fungsi konstan diperoleh nilai limit sama dengan 3.

2) Aspek menentukan nilai lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2. ST menentukan nilai limit dengan

menggunakan teorema limit dari jumlah dua fungsi, penegrtian limit fungsi

identitas, dan limit fungsi konstan 2 diperoleh nilai limit kiri sama dengan 4.

3) Aspek pengertian lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝐿1, ST mengungkapkan arti lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3

dengan menyatakan limf(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 dari arah kiri sama dengan 3,

yaitu jarak 𝑓(𝑥) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3 dengan syarat mengambil

nilai 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kiri.

4) Aspek pengertian lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2, ST mengungkapkan arti lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4

dengan menyatakan lim𝑓(𝑥) ketika 𝑥 menuju 2 dari arah kanan sama dengan

4, yakni jarak antara 𝑓(𝑥) dan 4 dapat dibuat sedekat mungkin dengan syarat

mengambil nilai 𝑥 cukup dekat ke 2 dari arah kanan.

80

5) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, ST menjelaskan definisi

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan untuk setiap epsilon positif terdapat delta

positif sedemikian sehingga jika 2 dikurang x di antara nol dan delta maka

jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon.

6) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, ST menjelaskan definisi

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan untuk setiap epsilon bilangan resl positif

terdapat delta bilangan real positif sedemikian sehingga jika 𝑥 dikurang dengan

2 lebih besar dari nol dan kecil dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kecil dari

epsilon.

7) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, ST mengungkapkan definisi

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan mendeskripsikan, yaitu untuk setiap 휀 > 0 terdapat ∃>

0 sedemikian sehingga 0 < 2 − 𝑥 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿1| < 𝜖.

8) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, ST mengungkapkan definisi

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan mendeskripsikan untuk setiap 휀 > 0 terdapat ∃> 0

sedemikian sehingga 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿2| < 𝜖.

9) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, ST mengungkapkan definisi

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menggambarkan grafik fungsi 𝑓, menetapkan titik 2

pada sumbu X, menetapkan titik 3 pada sumbu Y, menggambar interval buka

(2 − 𝛿, 2) pada sumbu X, menggambar interval buka (3 − 휀, 3) pada sumbu Y,

dan menegaskan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta positif

81

sedemikian sehingga jika selisih 2 dengan 𝑥 dari kiri kecil dari delta maka

jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon.

10) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, ST mengungkapkan definisi

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menggambarkan grafik fungsi 𝑓, menetapkan titik 2

pada sumbu X, menetapkan titik 4 pada sumbu Y, menggambar interval buka

(2, 2 + 𝛿) pada sumbu X, menggambar interval buka (4, 4 + 휀) pada sumbu Y,

dan menegaskan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta positif

sedemikian sehingga jika selisih 2 dengan 𝑥 dari kiri besar dari ol dan kecil

dari delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kecil dari epsilon.

11) Aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, ST mengungkapkan definisi

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan beberapa nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari kiri

dan nilai-nilai 𝑓(𝑥) yang diperoleh dari hasil subtitusi nilai 𝑥 ke persamaan

𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan menegaskan jika nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari arah

kiri maka nilai mutlak dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 3 kecil dari epsilon.

12) Aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, ST mengungkapkan definisi

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 menyatakan beberapa nilai 𝑥 mendekati 2 dari arah dari kanan,

nilai-nilai 𝑓(𝑥) yag diperoleh dari subtitusi nilai 𝑥 ke 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan

menegaskan jika nilai-nilai 𝑥 mendekati 2 dari arah kanan maka nilai mutlak

dari selisih 𝑓(𝑥) dengan 4 kecil dari epsilon.

13) Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, ST mengungkapkan

definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3 dengan menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0

∃𝛿 > 0 ∋ 0 < 2 − 𝑥 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 3| < 휀.

82

14)Aspek representasi simbol lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, ST mengugkapkan definisi

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋

0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 4| < 휀.

2. Profil Konsepsi SR tentang Limit Funsgsi

a. Profil Konsepsi SR tentang Notasi Limit Fungsi

Berdasarkan analisis data konsepsi tentang arti notasi limit fungsi,

maka diperoleh konsepsi disajikan sebagai berikut.

1) Aspek pengertian notasi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mengungkapkan pengertian

notasi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah 𝑥 mendekati 𝑎, tetapi tidak sama dengan 𝑎

𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.

2) Aspek engertian notasi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mengungkapkan pengertian

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekat

ke 𝐿.

3) Aspek engertian notasi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mengungkapkan pengertian

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.

b. Profil Konsepsi SR tentang Definisi Limit Fungsi

1) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, penjelasan SR tentang definisi

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta

bilangan real positif sehingga jarak antara 𝑥 dan 𝑎 di antara nol dan delta

maka jarak antara 𝑓(𝑥) dan 𝐿 kurang dari epsilon.

83

2) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, penjelasan SR tentang definisi

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah untuk setiap epsilon bilangan real positif ada delta

positif sedemikian hingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.

3) Aspek penjelasan definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, penjelasan SR tentang definisi

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 adalah untuk setiap epsilon bilangan positif ada delta

positif sedemikian hingga jarak 𝑥 ke 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon.

4) Aspek reprentasi verbal definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendeskripsikan definisi

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 ke dalam kalimat, yaitu untuk setiap epsilon bilangan positif

ada delta positif sehingga nilai mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di antara nol dan delta

maka nilai mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kurang dari epsilon.

5) Aspek reprentasi verbal definisi li𝑚𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendeskripsikan

definisi li𝑚𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, yaitu untuk setiap epsilon positif terdapat delta

positif sehingga jika harga mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di antara nol dan delta

dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka harga mutlak 𝑓(𝑥) dikurang

𝐿 kurang dari epsilon.

6) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendeskripsikan

definisi untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif sehingga jika harga

mutlak 𝑥 dikurang 𝑎 di antara nol dan delta dimana 𝑥 mendekati 𝑎 dari

sebelah kanan maka harga mutlak 𝑓(𝑥) dikurang 𝐿 kurang dari epsilon.

84

7) Aspek reprentasi grafik definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR merepresentasikan

definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menggambarkan grafik fungsi dan

menegaskan jarak 𝑓(𝑥) ke 𝐿 kurang dari epsilon asal jarak 𝑥 dengan 𝑎

besar nol dan delta.

8) Aspek representasi grafik definisi li𝑚𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR merepresentasikan

definisi li𝑚𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 ke dalam grafik fungsi dan menegaskan untuk 𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kiri maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.

9) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR merepresentasikan

definisi li𝑚𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 ke dalam grafik fungsi dan menegaskan untuk 𝑥

mendekati 𝑎 dari sebelah kanan maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿.

10)Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendeskripsikan

definisi lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0

∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.

11) Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendekripsikan

definisi lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0

∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎−| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.

12) Aspek reprentasi simbol definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿, SR mendeskripsikan

definisi lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 dengan menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 >

0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 𝑎+| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.

c. Profil Konsepsi SR tentang 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒇(𝒙) = 𝑳 dengan 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐+𝒙−𝟔

𝒙−𝟐

85

1) Aspek menentukan nilai limit fungsi, SR menentukan menentukan nilai

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) dengan cara memfaktorkan, menyederhanakan mencoret faktor yang

sama, mensubstititusikan, sehingga diperoleh 5.

2) Aspek pengertian, SR mengungkapkan pengertian notasi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 adalah 𝑥

mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2 𝑓(𝑥) mendekati 5.

3) Aspek penjelasan definisi, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan

menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif ada delta bilangan real

positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 di antara nol dan delta maka jarak fungsi 𝑓(𝑥) ke

5 kurang dari epsilon.

4) Aspek representasi verbal, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan

mendeskripsikan dalam bentuk kalimat, yaitu untuk setiap epsilon bilangan

positif terdapat delta positif sehingga jarak 𝑥 dan 2 di antara nol dan delta maka

jarak 𝑓(𝑥) ke 5 kurang daripada epsilon

5) Aspek representasi grafik, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi dan menyatakan 𝑥 mendekati 2

tetapi tidak sama dengan 2 𝑓(𝑥) mendekati 5.

6) Aspek representasi tabel, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan

mendeskripsikan nilai-nilai 𝑥 dan 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan menyatakan 𝑥

mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2 maka 𝑓(𝑥) mendekati 5.

7) Aspek representasi simbol, SR mengungkapkan definisi lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 5 dengan

menyatakan ke dalam simbol, yaitu ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 →

|𝑥2+𝑥−6

𝑥−2− 5| < 휀.

86

d. Profil Konsepsi SR tentang 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−

𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏 dan 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+

𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐

1) Aspek menentukan nilai lim𝑥→2

_ 𝑓(𝑥) = 𝐿1, SR menentukan nilai limit kiri

dengan menetapkan persamaan fungsi 𝑓(𝑥), mensubstitusikan 𝑥 mendekati

2 dari sebelah kanan ke lim𝑥→2

_ 𝑓(𝑥) = 𝐿1 sehingga diperoleh 𝐿1 sama dengan

3.

2) Aspek menentukan nilai lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2, SR menentukan nilai limit kanan

dengan menetapkan persamaan fungsi 𝑓(𝑥), mensubstitusikan 𝑥 mendekati 2

dari sebelah kanan ke lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝐿2 sehingga diperoleh 𝐿2 sama dengan 4.

3) Aspek pengertian lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan pengertian limit kiri

dengan menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kiri f(𝑥) mendekati 3.

4) Aspek pengertian lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan pengertian limit kanan

dengan menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari sebelah kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4.

5) Aspek menjelaskan definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan definisi limit

kiri dengan menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta

bilangan real positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 2 dari sebelah kiri di

antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari epsilon.

6) Aspek penjelasan definisi li𝑚𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan definisi limit

kanan dengan menyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat

delta bilangan positif sehingga jarak 𝑥 ke 2 dari sebelah kanan di antara nol dan

delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kurang dari epsilon.

87

7) Aspek representasi verbal definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan definisi

limit kiri dengan menyatakan untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 <

|𝑥 − 2−| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 3| < 휀, dinyatakan untuk setiap epsilon bilangan

real positif terdapat delta bilangan real positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan

2 dari sebelah kiri di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 3 kurang dari

epsilon.

8) Aspek representasi verbal definisi li𝑚𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan dengan

menyatakan untuk setiap 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga 0 < |𝑥 − 2+| < 𝛿

maka |𝑓(𝑥) − 4| < 휀, dinyatakan untuk setiap epsilon bilangan real positif

terdapat delta bilangan real positif sehingga jika jarak antara 𝑥 dan 2 dari

sebelah kanan di antara nol dan delta maka jarak 𝑓(𝑥) ke 4 kurang dari epsilon.

9) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan definisi

limit kiri dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi dan menyatakan 𝑥

mendekati 2 dari kiri 𝑓(𝑥) mendekati 3.

10) Aspek representasi grafik definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan definisi

limit kanan dengan menggambarkan ke dalam grafik fungsi dan menyatakan 𝑥

mendekati 2 dari kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4.

11) Aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan dengan

menyatakan nilai-nilai x mendekati 2 dari kiri dan f(x) dalam tabel dan

menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari kiri 𝑓(𝑥) mendekati 3.

88

12) Aspek representasi tabel definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan dengan

menyatakan nilai 𝑥 mendekati 2 dari kanan, dan 𝑓(𝑥) ke dalam tabel, dan

menyatakan 𝑥 mendekati 2 dari kanan 𝑓(𝑥) mendekati 4.

13) Aspek representasi simbol definisi lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 3, SR mengungkapkan

dengan menyatakan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2−| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 3| <

휀.

14) Aspek representasi simbol dari definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4, SR mengungkapkan

definisi lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 4 dengan menyatakan ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∋ 0 <

|𝑥 − 2∓| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 4| < 휀.

BAB VI

KESIMPULAN DAN SARAN

A.Kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis data tentangn konsepsi subjek berkemampuan

matematikan tinggi dan subjek berkemampuan matematika rendah tentang limit

fungsi, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1. Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi tentang Limit Fungsi

Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang notasi limit

fungsi dibagi menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, ST

mengungkapkan pengertian dengan menyatakan dengan kata-kata ketika 𝑥

89

mendekati 𝑎 tetapi 𝑥 tidak harus sama dengan 𝑎 maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿, (2)

aspek penjelasan definisi, ST mengungkapkan definisi limit fungsi dengan

menggunakan kalimat, (3) aspek penerapan, ST menentukan nilai limit fungsi

dengan cara memfaktorkan, mengcensel, menggunakan teorema limit jumlahan

dari dua fungsi, dan pengertian notasi limit fungsi, dan sifat limit fungsi,

sehingga diperoleh nilai limit sama dengan 5. Aspek representasi, yaitu (1)

representasi verbal, ST mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan

limit kanan dengan menyatakan ke dalam bahasa, (2)) representasi grafik, ST

mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, (3) representasi tabel, ST

mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan

menyatakan ke dalam tabel, (4) representasi simbol, ST mengungkapkan

definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasi ke

dalam simbol.

2. Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah tentang Limit

Fungsi

Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang notasi limit

fungsi dibagi menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, SR

mengungkapkan pengertian dengan menyatakan dengan kata-kata 𝑥 mendekati

𝑎 tetapi 𝑥 tidak harus sama dengan 𝑎 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿, (2) aspek penjelasan

definisi, SR mengungkapkan definisi limit fungsi dengan menggunakan

kalimat, (3) aspek penerapan. SR menentukan nilai limit fungsi dengan dengan

cara memfaktorkan, menyederhanakan mencoret faktor yang sama,

90

mensubstititusikan sehingga diperoleh 5. Aspek representasi, yaitu (1)

representasi verbal, SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan

limit kanan dengan menyatakan ke dalam bahasa, (2) representasi grafik, SR

mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan

merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, (3) representasi tabel, SR

mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan

menyatakan ke dalam tabel, (4) representasi simbol, SR mengungkapkan

definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasi ke

dalam simbol.

B. Saran

Penelitian konsepsi ini difokuskan pada aspek pemahaman dan

representasi, diharapkan dapat dikembangkan pada aspek lain, yaitu aspek

pengetahuan, aspek pandangan, keyakinan. Selain itu, penelitian konsepsi dapat

juga dikembangkan pada pembelajaran matematika yang dilakukan guru atau

dosen dalam kelas. Terima kasih kepada kemenristekdikti yang telah mendanai

kegiatan penelitian disertasi doktor pada tahun 2017 .

91

86

BAB VI

KESIMPULAN DAN SARAN

A.Kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis data tentangn konsepsi subjek berkemampuan matematikan

tinggi dan subjek berkemampuan matematika rendah tentang limit fungsi, maka diperoleh

kesimpulan sebagai berikut.

1. Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Tinggi tentang Limit Fungsi

Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang notasi limit fungsi

dibagi menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, ST mengungkapkan pengertian

dengan menyatakan dengan kata-kata ketika mendekati tetapi tidak harus sama

dengan maka ( ) mendekati , (2) aspek penjelasan definisi, ST mengungkapkan

definisi limit fungsi dengan menggunakan kalimat, (3) aspek penerapan, ST menentukan

nilai limit fungsi dengan cara memfaktorkan, mengcensel, menggunakan teorema limit

jumlahan dari dua fungsi, dan pengertian notasi limit fungsi, dan sifat limit fungsi,

sehingga diperoleh nilai limit sama dengan 5. Aspek representasi, yaitu (1) representasi

verbal, ST mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan

menyatakan ke dalam bahasa, (2)) representasi grafik, ST mengungkapkan definisi limit

fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, (3)

representasi tabel, ST mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan

dengan menyatakan ke dalam tabel, (4) representasi simbol, ST mengungkapkan definisi

limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan merepresentasi ke dalam simbol.

87

2. Konsepsi Subjek Berkemampuan Matematika Rendah tentang Limit Fungsi

Konsepsi subjek berkemampuan matematika tinggi tentang notasi limit fungsi dibagi

menjadi dua aspek, yaitu (1) aspek pengertian, SR mengungkapkan pengertian dengan

menyatakan dengan kata-kata mendekati tetapi tidak harus sama dengan ( )mendekati , (2) aspek penjelasan definisi, SR mengungkapkan definisi limit fungsi

dengan menggunakan kalimat, (3) aspek penerapan. SR menentukan nilai limit fungsi

dengan dengan cara memfaktorkan, menyederhanakan mencoret faktor yang sama,

mensubstititusikan sehingga diperoleh 5. Aspek representasi, yaitu (1) representasi verbal,

SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan menyatakan ke

dalam bahasa, (2) representasi grafik, SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri,

dan limit kanan dengan merepresentasikan ke dalam grafik fungsi, (3) representasi tabel,

SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan menyatakan ke

dalam tabel, (4) representasi simbol, SR mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri,

dan limit kanan dengan merepresentasi ke dalam simbol.

B. Saran

Penelitian konsepsi ini difokuskan pada aspek pemahaman dan representasi,

diharapkan dapat dikembangkan pada aspek lain, yaitu aspek pengetahuan, aspek pandangan,

keyakinan. Selain itu, penelitian konsepsi dapat juga dikembangkan pada pembelajaran

matematika yang dilakukan guru atau dosen dalam kelas. Terima kasih kepada

kemenristekdikti yang telah mendanai kegiatan penelitian disertasi doktor pada tahun 2017 .

88

DAFTAR PUSTAKA

Amirali, M. (2010). “Students’Conceptions of The Nature of Mathematics and AttitudesTowards Mathematics Learning.” Journal of Research and Reflection in Educatioan.Vol 4, o 1, pp 27-41.

Anderson, Orin, W & Krathwohl, D, R. (2001). A Taxonomy for Learning Teaching andassesing. A Revision of Bloom’s Taxonomy of Educational Objectives. New York:Addion Wesley Logman, Inc.

Bartle, R. (2002). Instruction to Real Analysis, 2nd ed. John Wiley & Sons, New York.Bezuidenhout, J. (2001). Limit and Continuity: Some Conceptions of First-year Students In

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 32(4),pp 487-500.

Cetin, N. (2009). “The Performance of Undergraduate Students in The Limit Concept.”Internatonal Journal of Mathematical Educatioan in Science andTechnology.Vol.40.No.3. April 2009. Pp: 323-330.

Cormu, B. (1991). Limits.In Tall, D.(ed).Advanced Mathematical Thinking. Pp:153-166.Dordrech/Boston/London: Kluwer Academic Publiher.

Depdiknas. 2006. Standar Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan: matematika SMA.Jakarta: Depdiknas.

Dooren, W, V, dkk. (2002). “The Impact of Preservice Teachers’ Concent Knowledge onTheir Evaluation of Students’ Strategies for Solving Aritmhmatic and Algenbra WordProblems.” Journal for Research in Mathematics Education. NCTM. Vol.33.No.3.November 2002.pp: 319-351.

Donmez, G & Basturk, S. (2010). Pre-service Mathematical Teachers”Knowledge ofDifferent Teaching Methods of The Limit and Continuity Concept. Prcedia Social andBehavioral Sciences. No.2. pp: 461-465.

Duru, A., Koklu, O., & Jakubowski, E. (2010). “ Pre-Sevice Mathematics Teachers’Conceptioans about The relationship between Continuity and differentiability of aFunction. Scientific Research and Essay. 5.pp.1519- 1529.

Elia, E, dkk. 2007. “Relations Between Secondary Pupils’Conceptions About Functions andProblem Solving in Differents Representations.” International Journal of Science andMathematics Education. No.5,pp: 533-556.

Friedlander A. & Tabach, M. (2001) .”Promoting Multiple Representaions in Algebra.” InCuoco, Albert A. The Role of Representation in School Mathematics 2001 YearBook. Reston, VA:NCTM

Goldin, G.A. & Shteingold, N. (2001).”System of Representation and The Development ofMathematical Concept”. In Cuaco, Albert A.(Ed).The Roles of Representation inSchool Mathematics 2001 Yearbook. Restom, VA: NCTM

Habre, S & Abboud, M. (2006). “Students’ Conceptual Understanding of a Function and itsDerivative in an Experimental Calculus Course.” Journal of Mathematics Behavior.No.25.pp 57-72.

Johansson, A. D. & Sumpter, L. (2010). Children’s Conceptions About Mathematics andMathematics Education. Diakses tanggal 22 April 2015.

Jordaan, T. (2005). “Misconceptions of The Limit Concept in Mathematics Course forIngineering Students.” Unpublished Master Thesis, University of South Africa.

Kalathil, R, R, and Sherin, M, G. (2001). Role of Students’Representations in TheMathematics Classroom. In H, Fishmain & S. O’Connor-Divelbiss (Eds), urthInternatioanl Conference of the Learning Sciences. Pp, 27-28. Mahwah, NJ:Erlbaum.

89

Katsberg, S.E. (2002). “Understanding Mathematics Concepts: The Case of the LogaristhmicFunctional.” Doctoral Dissertationa. University of Georgia.

Kataras, I, Guven, B, Cekmez, E. (2011). “A Cross-Age Study of Students’ Understanding ofLimit and Continuity Concepts.”Boletin de Educaqao Mathematica. Vol.24. No38.April 2001, pp: 245-264.

Permenristek- Dikti. (2015). Standar Nasional Pendidikan Tinggi. Jakarta: Kemenristek-DiktiPoerwadaminta, W, J, S. (1976). Kamus Umum Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai PustakaLikwanbe, B & Christiansen, I,M. (2008). “A Case Study of the Development of In-service

Teachers’ Concept Images of the Derivative.” Journal Pythagoras.68.pp: 22-31.Lioyd, G, M. (1998). “Supporting Innovations: The Impact of A Teacher’s Conceptions of

Function on His Implementation of A Reform Curriculum.” Journal for Reseach inMathematics Education. Vol.29. No. 3.pp: 248-274.

Mastorides, E, & Zachariades, T. (2004). Secondary Mathematics Teachers’ KoowledgeConcerning the Concept of Limit and Continuity. Proceedings of the 28th Conferenceof the International Group for the Psycholoy of Mathematics Educationa. Vol 4. Pp:481-488.

Moleong, Lexy J. (2005). Metodologi Penelitian Kaulitatif. Edisi Revisi. Bandung: RemajaRosdakarya Offset.

Muhadjir, Neong.(2002). Metode Penelitian Kualitatif. Yogjakarta:Rake Surasin.NCTM. (2000). Principles and Standars for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.Pape, S, J and Tchoshanov, M, A. (2001). The role of Representation (s) in Developing

Mathematical Understanding. Juornal Theori Into Practice. Vo. 40. No 2, pp: 118-127.

Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processesand Objects as Different Sides of The Same Coin. Educational Studies inMathematics, 22.pp 1-36.

Shulman, L.S. (1986). Those who Understand: Knowledge Growth in Teaching. EducationalResearcher, No.15.pp: 4 -14.

Skemp, R. (1987). The Psychology of Learning Mathematics. Expand American Edition.New Jersey: Laewrence Associated Publishers.

Soedjadi, R. (2000). Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia, Konstalasi Keadaan MasaKini Menuju Harapan Masa Depan. Jakarta: Dirjen Dikti. Depdiknas.

Solso, R,L, Maclin, O.H dan Maclin, M.K. (2002). Psikologi Kognitif EdisiKedelapan.Erlangga: Jakarta.

Star, J.R & Hoffmann, A.J. (2002). Assesing Students’ Conceptions of Reform Mathematics.In Mewborn, D., Sztajn, P., White, D., Wiegel, H., Bryant, R., & Nooney, K.(Eds),Proceeding of the twenty-fourth annual meeting of the North American chapter of theInternational Group for the Psychology of Mathematics Education.pp 1729-1732.

Steele, D,F & Widman, T, F. (1997). Practitioner’s Research: A Study in ChangingPreservice Teachers’ Conceptions About Mathematics and Mathematics Teacher andLearning. Journal International School Science and Mathematics.Vol 97 (4). April1997.pp 184-191.

Sternberg, R,J. (2008). Psikologi Kognitif. Edisi Keempat. Jogjakarta: Pustaka Pelajar.Robbins, S.P and Judge, T.A .(2008). Perilaku Organisasi Buku I. Jakarta: Salemba Empat.Roh, K, H. (2008). Students’ Images and Their Undersrstanding of Definitions of The Limit

of a Sequence. Educ Stud Math. 69. Pp: 217-233.Tall, D., & Vinner, S. (1981). “Concept image and concept definition in mathematics with

particular reference to limits and continuity.” Published in Educational Studies inMathematics, 12 (2), 151-169.

90

Tall, D. (1988). “Concept Image and Concept Definition.” Senior Secondary MathematicsEducation, (ed.Jan de Lange, Michiel Doorman), OW & OC Utrescht, 37-41.

Tall, D. (1992). The Transition to advanced Mathematical Thinking: Functions, Limits,infinity and Proof In Grouws, DA (ed). Handbook of Research on MathematicsTeaching and Learning. New York: McMillan:

Thompson, A, G. (1992).” Teachers’Beliefs and Conceptionas: A Synthesis of TheResearch”. Grouws, (Ed). Handbook of Research on Mathematics Teaching andLearning (pp.65-97).New York:McaMillan.

Varberg, D, dkk. (2007). Kalkulus Jilid 1 Edisi Kesembilan. Erlangga: Jakarta.Vinner, S. (1991). “The Role of Definitions in The Teaching and Learning of Mathematics”.

In D.Tall (Ed), Advanced mathematical thinking (pp.65-81), Dordrecht: KluwerAcademic Publishers.

Williams, SR. 1991. “Models of Limit held by College Calculus Students”. In Journal forReseatch in Mathematics Education. 22(3). pp 219-236.

Zaslavsky, O & Shir, K. (2005). “Students’ Conceptions of a Mathematical Definition.”Journal for Research in Mathematics Education, Vol.36.No.4, pp 317-346.

EVALUASI ATAS CAPAIAN LUARAN KEGIATAN

Ketua : Usman, S.Pd, M.Pd

Perguruan Tinggi : Universitas Syiah Kuala

Judul : Konsepsi Mahasiswa Calon Guru tentang Limit Fungsi Ditinjau dariKemampuan Matematika

Waktu Kegiatan : tahun ke 1 dari rencana 1 tahun

Luaran yang direncanakan dan capain tertulis dalam proposal awal:

No Luaran yang Direncanakan Capaian1 Artikel seminar nasional Sudah di cetak (100%)2 Artikel Proseding Konferensi Internasional Sudah keluar (100%)3 Artikel jurnal nasional Draf (50%)4 Artikel jurnal Internasional Draf (50%)

1.PUBLIKASI ILMIAH

Artikel Jurnal KeteranganNama jurnal yang dituju IEJME-MATHEMATICSEDUCATIONKlasifikasi jurnal Jurnal InternasionalImpact factor Jurnal 0,75 (Q4)Judul artikel Profil Konsepsi Mahasiswa Calon Guru tentang Limit

Fungsi Ditinjau dari Kemampuan MatematikaStatus naskahDraf artikel DrafSudah dikirim ke jurnal BelumSedang ditelaahSedang direvisiSedang direvisiRevisi sudah dikirim ulangSudah diterimaSudah diterbit

2.BUKU AJAR

BukuJudul :PenulisPenerbit:

3.PEMBICARA PADA TEMU ILMIAH (SEMINAR/SIMPOSIUM)

Temu Ilmiah Ke 1 Nasional InternasionalJudul Makalah Differences Conception Prospective Students

Teacher About Limit of Function Based GenderNama temu Ilmiah International Conference on Mathematics Pure,

Apllied, ComputationTempat Pelaksanaan Institut Teknologi Surabaya (ITS) Surabaya-Draf makalah Sudah-Sudah dikirim Sudah-Sedang direview Sudah-Sudah dilaksanakan SudahTemu Ilmiah Ke 2Judul Makalah Explorating the Conception of Prospective

Students Teacher about Limit of FunctionNama temu Ilmiah The 4th International Conference on Research,

Implementation anda Educatioan ofMathematics and Science 2017

Tempat Pelaksanaan FMIPA Universitas Negeri Yogjakarta (UNY)Yogjakarta

-Draf makalah Sudah-Sudah dikirim Sudah-Sedang direview Sudah-Sudah dilaksanakan Sudah

4.SEBAGAI INVITED SPEAKER

Nasional InternaionalBukti undangan daripanitia

- -

Judul makalah - -Penulis - -Penyelenggara - -Tempat Pelaksanaan - -Draf makalah - -Sudah dikirim - -Sedang dikirim - -Sudah dilaksanakan - -

5. UNDANGAN SEBAGAI VISITING SCIENTIST PADA PERGURUAN TINGGILAIN

Nasional InternaionalBukti undangan daripanitia

- -

Judul makalah - -Penulis - -Penyelenggara - -

6. CAPAIAN LUARAN LAINNYA

HKI -TEKNOLOGI TEPAT GUNA -REKAYASA SOSIAL -JEJARING KERJA SAMA -PENGHARGAAN -LAINNYA -

Jika luaran yang direncanakan tidak tercapai, uraikan alasannya,Ada satu keluaran penelitian yang tidak bisa dicapai pada tahun 2017, yaitu buku ajar.

Peneliti tidak bisa menyelesaikan draf keluaran tersebut dengan alasan sedang dan akan

mempersiapkan Draf Disertasi Doktor, ujian tertutup, dan ujian terbuka. Dengan

pertimbangan alasan tersebut penulis tidak memenuhi keluaran penelitian yang sudah

direncanakan dalam proposal sebelumnya. Demikian deskripsi ini disampaikan.

Banda Aceh, 25 Oktober 2017

Ketua,

Usman, S.Pd, M.Pd

1

Draf Artikel Jurnal Nasional

ANALISIS ASPEK–ASPEK KONSEPSI MAHASISWA CALON GURUMATEMATIKA TENTANG LIMIT FUNGSI : STUDI KASUS RM

OlehUsman

Universitas Syiah Kuala,Banda Aceh, email: usmanagani@yahoo.co.idDwi Juniati

Universitas Negeri Surabaya, Indonesia, email: dwijuniati@unesa.ac.idTatag Yuli Eko Siswono

Universitas Negeri Surabaya, Indonesia, email: tatagsiswono@unesa.ac.id

ABSTRAK: Salah satu permasalahan dalam pembelajaran matematika di perguruan tinggiadalah kondisi konsepsi limit fungsi yang lemah. Sejalan dengan permasalahan itu, dilakukanpenelitian bertujuan untuk mengekplorasi aspek –aspek konsepsi tentang limit fungsi.Penelitian ini menggunakan metode penelitian kualitatif eksploratif dengan metode tugasberbasis wawancara. Subjek penelitian adalah mahasiswa pendidikan matematika UniversitasSyiah Kuala yang telah menempuh kuliah semester V dengan alasan mahasiswa tersebut telahmemperoleh pengalaman mengikuti perkuliahan kalkulus dan Analisis Real. Instrumenpenelitian adalah intrumen utama adalah peneliti dan intrumen bantu adalah tes kemampuanmatematika, tes konsepsi, dan wawancara. Pemilihan subjek didasarkan pada hasil teskemampuan matematika yang dikelompokkan dalam kelompok tinggi dan rendah. Analisisdata dilakukan dengan cara mereduksi data, paparan data, mengintepretasi, danmenyimpupakan slkan. Hasil analisis data diperoleh RM mempunyai konsepsi limit fungsiyang meliputi pemahaman, yaitu pengertian, penjelasan, penerapan, dan representasi, yaituverbal, grafik, dan simbol.

Kata kunci: Konsepsi, Pemahaman, Representasi, Limit Fungsi

PENDAHULUANLimit fungsi merupakan konsep dasar dalam kalkulus dan matematika analisis.

Ervynck (1981) menjelaskan bahwa limit fungsi merupakan konsep dasar untuk memahami

konsep-konsep di dalam kalkulus dan analisis real. Sejalan dengan pendapat itu,Cetin (2009:

323) menyatakan bahwa limit fungsi merupakan salah satu konsep dasar dan mempunyai

peran penting dalam membangun konsep lain dalam kalkulus, seperti kekontinuan fungsi,

turunan, dan integral. Menurut Swinyard and Larsen (2012), definisi formal limit fungsi di

suatu titik adalah lim→ = jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga0 < | − | < → | − | < merupakan dasar bagi mahasiswa belajar matematika

formal, kekontinuan fungsi, turunan fungsi, integral dan deret Taylor. Dengan demikian, limit

fungsi merupakan salah satu konsep dasar kalkulus dan analisis real untuk memahami konsep

kekontinuan fungsi, turunan fungsi, dan integral.

2

Namun demikian, salah satu permasalahan pembelajaran matematika di perguruan

tinggi adalah kondisi konsepsi tentang suatu konsep atau keterampilan menyelesaikan

masalah yang masih lemah. Lemahnya konsepsi yang dimiliki mahasiswa terhadap suatu

konsep ditandai kesulitan mahasiswa mengungkapkan kaitan suatu konsep dan konsep lain,

kesulitan mengungkapkan suatu konsep ke dalam berbagai bentuk representasi. Hal ini sesuai

pertanyaan Davis dan Vinner (1981) yang menyatakan bahwa mahasiswa kesulitan dalam

menjelaskan mengapa limit fungsi merupakan konsep dasar dalam Kalkulus. Selanjutnya,

mahasiswa kesulitan mengungkapkan gagasan secara bermakna peran limut fungsi dalam

Kalkulus, dan kesulitan mengungkapkan hubungan antara pengetahuan limit fungsi,

kekontinuan, turunan, dan integral. Oleh karena itu, penelitian tentang konsepsi penting

diteliti oleh pengajar atau dosen, untuk mengetahui kondisi konsepsi yang dimiliki

mahasiswa dalam pikiran terhadap suatu konsep matematika.

Sejalan dengan itu, Roh (2008) menegaskan bawha penelitian konsepsi tentang limit

fungsi merupakan salah satu topik penting dalam penelitian pendidikan matematika.

Bezuidenhout (2001) menegaskan bahwa mahasiswa yang mempunyai konsepsi suatu konsep

berarti mahasiswa tersebut menunjukkan mampu mengungkapkan dengan berbagai cara atau

bentuk kaitan antarkonsep secara bermakna. Jadi, peran pendidik atau dosen di perguruan

tinggi membimbing mahasiswa untuk mengungkapkan secara bermakan kaitan antara

pengetahuan yang lama dan pengetahuan baru.

Beberapa penelitian tentang konsepsi limit fungsi telah dilakukan oleh peneliti-

peneliti sebelumnya. Sebagai contoh, Duru (2010) telah melakukan penelitian tentang

konsepsi tentang limit fungsi, kekontinuan fungsi, dan kaitan keduanya. Penelitian ini

difokuskan pemahaman mahasiswa calon guru matematika. Bezuidenhout (2001) melakukan

penelitian tentang konsepsi mahasiswa tentang limit fungsi dan kekontinuan pada kalkulus.

Bezuidenhout mengembangkan konsepsi didasarkan pada teori konstruktivis dan teori

bayangan konsep. Oleh katena itu, penelitian konsepsi mahasiswa tentang limit fungsi

penting ditelisi agar dosen memperoleh gambaran konsepsi yang dimiliki mahasiswa

terhadap suatu konsep limit fungsi tersebut.

Mahasiswa pendidikan matematika merupakam suatu kelompok mahasiswa yang

dididik untuk menjadi calon guru matematika. Penelitian tentang konsepsi mahasiswa

terhadap konsep matematika penting diteliti agar dosen memperoleh gambaran kondisi

konsepsi tentang suatu konsep yang dmiliki oleh seorang mahasiswa. Konsepsi tentang suatu

konsep yang dimiliki mahasiswa calon guru akan berdampak pada pelaksanaan pembelajaran

yang akan dilaksakan kelak ketika menjadi guru. Jika mahasiswa mempunyai konsepsi

3

tentang suatu konsep matematika maka mahaiswa tersebut kelak menjadi guru, akan lebih

mudah membimbing siswa membangun pengetahuan dalam pikirannya, melalui aktivitas

penyajian konsep, kaitan antar konsep, serta penyajian konsep dengan berbagai bentuk

representasi. Dengan penyajian konsep dalam berbagai representasi maka siswa akan lebih

mudah mengasimilasi dan akomodasi pengetahun yang dimilikinya dengan pengetahuan baru

sehingga belajar siswa lebih bermakna.

Konsepsi merupakan suatu kondisi struktur kognitif seorang individu dalam pikiran

terhadap konsep matematika setelah merespon suatu permasalahan. (Usman, 2017). Aspek

konsepsi meliputi pemahaman dan representasi. Oleh karena itu, perlu ditelusuri aspek-aspek

konsepsi tentang limit fungsi pada mahasiswa calon guru matematika. Sejalan dengan itu,

tujuan penelitian ini adalah untuk mendeskripsikan aspek-aspek konsepsi khusus pada aspek

pemahaman dan representasi.

KAJIAN LITERATURKonsepsi merupakan suatu kondisi struktul mental seorang individu ketika merespon

suatu permasalahan. Sfad (1991) mendefinisikan konsepsi sebagai keseluruhan representasi

internal dan asosiasi-asioasi dari konsep yang dibangun dalam pikiran seseorang.Representasi

yang dimaksud adalah representasi struktural yang meliputi verbal dan simbolik, sedangkan

presentasi operasional meliputi grafik dan aljabar. Lioyd (1998) mendefinisikan konsepsi

didasarkan pada struktur mental umum seorang individu meliputi pengetahuan, keyakinan,

pemahaman, pilihan, dan lainnya. Jadi, konsepsi merupakan struktur mental seorang individu

ketika merespon suatu permasalahan yang meliputi pemahaman dan representasi.

Sejalan dengan teori pemahaman, Skemp (1987) mengkategori pemahaman menjadi

tiga, yaitu pemahaman instrumental, relasional, dan formal. Pemahaman instrumen adalah

kemampuan seorang individu menerapkan suatu konsep atau prosedur yang diingat sesuai

dengan pemecahan masalah tetapi tidak mengetahui mengapa konsep atau prosedur itu

digunakan. Pemahaman relasional adalah kemampuan seorang individu menghubungkan

konsep atau aturan atau prosedur matematika yang khusus ke yang lebih umum. Pemahaman

formal adalah kemampuan menghubungkan simbol-simbol matematika dan notasi dengan

ide-de matematika yang relavan dan menggabungkan ide-ide tersebut ke dalam rantai

penalaran logis.

Hiebert dan Carpenter (1992) menjelaskan pemahaman matematika adalah gagasan,

prosedur, fakta dalam matematika dipahami jika ia mampu membangun jaringan internal.

Lebih khusus, matematika dikatakan dipahamai oleh seorang individu jika mampu

membangun representasi mental. Aderson dan Krathwohl (2001:p67) menjelaskan bahwa

4

proses-proses kognitif yang diasosiakan dengan istilah memahami adalah seseorang

dikatakan memahami sesuatu jika ia mampu mengkonstruksi pengertian dari pesan-pesan

yang disampaikan baik secara lisan maupun tulisan atau dengan grafik. Lebih lanjut, Aderson

menjelaskan beberapa aktivitas proses kognitif yang diasosiakan dengan memahami, yaiti

intepretasi, menjelaskan dengan contoh, mengklarifikasi, merangkum, merumuskan

kesimpulan, membandingkan, dan menjelaskan dengan mengungkapkan sebab akibat.

Menurut Goldin (2001), representasi merupakan bentuk-bentuk yang mengambarkan

suatu konsep matematika. Lebih lanjut dijelaskan, representasi dibagi dua, yaitu representasi

internal dan eksternal, Representasi internal adalah verbal, imagistik, formal notasional, dan

strategi, sedangkan eksternal adalah bentuk formal dan notasional, spasial–visual, verbal.

Friendiander dan Tabach (2001) mengelompokkan representasi menjadi empat, yaitu verbal,

numerik, grafik, dan aljabar.

Berdasarkan uraian beberapa pendapat ahli, diperoleh aspek konsepsi yang diteliti

dalam penelitian ini adalah pemahaman dan representasi. Deskripsi aspek-aspek pemahaman

dan representasi disajikan dalam tabel berikut.

Tabel ADeskripsi Aspek Konsepsi Limit Fungsi

Aspek Konsepsi Subaspek Konsepsi Deskripsi

Understanding

Pengertian: ungkapan seorangindividu tentang notasi suatukonsep matematikadalam bentukkata-kata, grafik atau sebaliknyabaik secara lisan maupun tulisanyang dideskripsikan oleh seorangindividu sebagai arti dari notasisuatu konsep

Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang notasilimit fungsi dinyatakan dalam bentuk kata-kata,grafik/ilustrasiUngkapan mahasiswa tentang arti notasi limit kiridinyatakan dalam bentuk kata-kata,grafik/ilustasiUngkapan mahasiswa tentang arti notasi limitkanan dinyatakan dalam bentuk kata-kata,grafik/ilustrasi

Menjelaskan: ungkapan-ungkapanseorang individu tentang suatukonsep baik dalam bentuk kata-kata, gambar, lisan yangdideskripsikan oleh seseorangsebagai bentuk sebab akibat darisuatu konsep matematika

Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit fungsi yang dinyatakan dalam bentuk kata-kata, gambar, lisan sebagai bentuk sebab akibatUngkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit kiri yang dinyatakan dalam bentuk kata-kata, gambar, ucapan konsep lainnya sebagaisebab akibatUngkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit kanan yang dinyatakan dalam bentuk kata-kata,grafik, ucapan konsep lainnya sebagai sebabakibat

Penerapan: ungkapakan-ungkapanseorang individu tentangpenggunaan suatu konsep/definisi,sifat atau metode, atau alasan-alasan penggunaannya yangdideskripsikan dalam bentuklisan,tulisan dalam menyelesaikansuatu masalah matematika.

Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentangpenggunakan suatu konsep, sifat atau metodedalam limit fungsi, dan alasan-alasannya dalambentuk kata-kata, simbol, gambar, grafik dalammenyelesaikan soal-soal limit fungsi.

RepresentasiRepresentasi verbal: ungkapan-ungkapan suatu konsep dalam

Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit fungsi, limit kiri, limit kanan dalam bentuk

5

bentuk kata-kata baik secara lisanmaupun tulisan yangdideskripsikan oleh seorangindividu sebagai bentuk suatukonsep matematika

kata-kata baik lisan maupun tulisan yangdideskripsikan oleh mahasiswa sebagai bentukdefinisi limit fungsi, limit kiri, dan limit kanan.

Representasi grafik: ungkapan-ungkapan suatu konsep dalambentuk grafik dan unsur-unsurnyayang ditampilkan sebagai bentukkonsep matematika

Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit fungsi, limit kiri, limit kanan dalam bentukgrafik dan unsur-unsurnya yang ditampilkansebagai bentuk definisi limit fungsi, limit kiri,limit kanan

Representasi tabel: ungkapan-ungkapan suatu konsep dalamtabel dan unsur-unsurnya yangdideskripsikan oleh seorangindividu sebagai bentuk konsepmatematika

Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit fungsi, limit kiri, limit kanan dalam tabeldan unsur-unsurnya yang ditampilkan sebagaibentuk definisi limit fungsi, limit kiri, dan limitkanan

Representasi simbol: ungkapan-ungkapan suatu konsep dalamsimbol dan unsur-unsurnya yangdideskripsikan oleh seorangindividu sebagai bentuk konsepmatematika

Ungkapan-ungkapan mahasiswa tentang definisilimit fungsi, limit kiri, limit kanan dalam bentuksimbol yang dideskripsikan oleh mahasiswasebagau bentuk definisi limit fungsi, limit kiri,dan limit kanan

Dari deskripsi aspek-aspek konsepsi dan subaspek konsepsi, akan dianalisis

menganalisis data-data penelitian baik dalam bentuk lisan maupun tulisan.

METODE PENELITIANPenelitian ini merupakan penelitian kualititatif eksploratif. Subjek penelitian adalah

mahasiswa semester V Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Universitas Syiah Kuala Banda Aceh Indonesia tahun akademik 2013. Instrumen

penelitian adalah tes kemampuan matematika (TKM), tes konsepsi limit fungsi, dan pedoman

wawancara. Ketiga intrumen tersebut telah diuji validitas oleh ahli. Kisi-kisi tes kemampuan

matematika disajikan pada tabel berikut.

Setelah intrumen tes validasi oleh ahli, kemudian digunakan tes kemampuan

matematika pada pelaksanaan tes yang diikuti sebanyak 64 orang mahasiswa. Setelah

dilakukan koreksi terhadap jawaban hasil kerja mahasiswa diperoleh skor kemampuan

matematika yang dikelompokkan menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok kemampuan tinggi

dengan skor : 80 < ≤ 100, kemampuan sedang dengan skor : 60 < ≤ 80, dan

kemampuan rendah dengan skor: 0 < ≤ 60. Berdasarkan skor tersebut subjek yang dipilih

dalam penelitian ini adalah mahasiswa dari kelompok kemampuan tinggi dan kemampuan

rendah, masing-masing sebanyak 1 orang. Keempat subjek tersebut diberi label, masing-

masing, yaitu S01 sebagai label subjek berkemampuan tinggi kedua, S02 sebagai label subjek

berkemampuan matematika rendah. Kedua subjek tersebut diberikan tes konsepsi berbasis

tugas dan wawancara tentang limit fungsi.

6

Analisis data dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah, yaitu menelaah data,

memeriksa data, reduksi data, memaparkan dan menafsirkan data, serta menarik kesimpulan

(Miles dan Huberman, 2014). Data yang dianalisis adalah data hasil tes yang berupa

tulisan,ucapan-ucapan dari jawaban wawancara.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASANBerdasarkan hasil tes dan wawancara, dilakukan analisis terhadap data-data aspek

konsepsi, yaitu pemahaman dan representasi. Deskripsi analisis aspek konsepsi disajikan

sebagai berikut.

1. Aspek Pemahaman Notasi → , → , →a. Pengertian → , → , →

Dari pertanyaan pertama yang diajukan pada subjek RM terkait dengan pengertian

notasi lim→ , RM merespon pertanyaan dengan mengungkapkan sebagai berikut.

Dari ungkapan tulisan arti notasi limit fungsi, RM menjawab pertanyaan wawancara

dengan menyebutkan ketika mendekati maka mendekati . Maksud “ mendekati

“ dijelaskan oleh RM, yaitu nilai-nilai mendekati maka mendekati . Dari data-data

tulisan dan wawancara menunjukkan RM mengungkapkan pengertian lim→ , yaitu

ketika mendekati maka mendekati . Jadi, RM mengungkapkan pengertianlim→ dengan menyatakan dalam bentuk kata-kata.

Dari pertanyaan kedua yang diajukan pada RM terkait dengan pengertianlim→ , RM merespon pertanyaan dengan mengungkapkan sebagai berikut.

Dari ungkapan tulis arti notasi limit kiri, SRM menjawab pertanyaan wawancara

dengan menyebutkan ketika mendekati dari sebelah yang lebih kecil dari maka

mendekati . Maksud “ mendekati dari sebelah yang kecil dari “ dijelaskan oleh RM,

yaitu nilai-nilai dibelah kiri mendekati maka mendekati . Dari data-data tulisan

dan wawancara menunjukkan RM mengungkapkan pengertian lim→ , yaitu ketika

7

mendekati dari sebelah kiri maka mendekati . Jadi, RM mengungkapkan pengertianlim→ dengan menyatakan dalam bentuk kata-kata.

Dari pertanyaan ketiga yang diajukan pada RM terkait dengan pengertianlim→ , RM merespon pertanyaan dengan mengungkapkan sebagai berikut.

Dari ungkapan tulis arti notasi limit kanan, selanjutnya RM menjawab pertanyaan

wawancara dengan menyebutkan ketika mendekati dari kanan maka mendekati .

Maksud “ mendekati dari kanan “ dijelaskan oleh RM, yaitu nilai-nilai yang dpilih dari

sebelah kanan , mendekati maka mendekati . Dari data-data tulisan dan wawancara

menunjukkan RM mengungkapkan pengertian lim→ yaitu ketika mendekati

dari sebelah kanan maka mendekati . Jadi, RM mengungkapkan pengertianlim→ dengan menyatakan dalam bentuk kata-kata.

Dari analisis data tulisan dan wawancara, diperoleh bahwa RM mengungkapkan

pengertian lim→ dengan menyatakan dalam bentuk kata-kata, lim→ dengan

menyatakan dalam bentuk kata-kata, dan lim→ dengan menyatakan dalam bentuk

kana-kata. Temuan ini didukung oleh temuan penelitian Bezuidenhout (2001) bahwa

mahasiswa calon guru mengungkapkan pengertian limit fungsi di suatu titik adalah

mendekati.

b. Aspek Penjelasan Definisi → , → , →Dari pertanyaan wawancara yang diajukan pada RM terkait dengan penjeleasan

definisi lim→ , RM mengungkapkan, yaitu diberikan sebarang epsilon anggota

bilangan real positif dapat delat bilangan real positif sedemikian hingga jarak antara

dan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari data

wawancara menunjukkan RM menjelaskan definisi lim→ dengan menegaskanlim→ jika diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat delta

bilangan real positif sedemikian hingga jarak antara dan kecil dari epsilon asal jarak

antara dan lebih dari nol dan kecil dari delta. Jadi, RM menjelaskan definisi lim→dengan menyebutkan diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat delta

8

bilangan real positif sedemikian hingga jarak antara ( ) dan kecil dari epsilon asal jarak

antara dan lebih dari nol dan kecil dari delta maka L adalah lim→ ( ).Dari pertanyaan wawancara yang diajukan pada RM terkait penjelasan definisilim→ = , RM mengungkapkan, yaitu diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta

positif sehingga jarak dari selisih ( ) dengan kecil deri epsilon asal selisih dengan

lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari data wawancara menunjukkan RM menjelaskan

definisi lim→ = dengan menegaskan adalah lim→ ( ) jika diberikan sebarang

epsilon anggota bilangan real positif dapat delta bilangan real positif sedemikian hingga

jarak antara ( ) dan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari nol dan kecil

dari delta. Jadi, RM menjelaskan definisi dengan menyatakan jika diberikan sebarang epsilon

anggota bilangan real positif dapat delta bilangan real positif sedemikian hingga jarak antara( ) dan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari nol dan kecil dari delta

maka L adalah lim→ ( ).Dari pertanyaan wawancara yang diajukan pada RM terkait penjelasan definisilim→ = , RM mengungkapkan, yaitu diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta

positif sehingga jarak dari selisih ( ) dengan kecil deri epsilon asal selisih dengan

lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari data wawancara menunjukkan RM menjelaskan

definisi lim→ = dengan menegaskan adalah lim→ ( ) jika diberikan sebarang

epsilon anggota bilangan real positif dapat delta bilangan real positif sehingga jarak dari

selisih ( ) dengan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari nol dan kecil dari

delta. Jadi, RM menjelaskan definisi limit dengan menyatakan merupakan lim→ ( ) jika

diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat delta bilangan real positif

sehingga jarak selisih ( ) dengan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari

nol dan kecil dari delta.

Dari anaslisi data diperoleh penjelasan definisi lim→ = adalah L merupakanlim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat delta bilangan

real positif sehingga jarak selisih ( ) dengan kecil dari epsilon asal jarak selisih dengan

lebih dari nol dan kecil dari delta. RM menjelaskan definisi lim→ = , yaitu

merupakan lim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat

delta bilangan real positif sehingga jarak selisih ( ) dengan kecil dari epsilon asal selisih

dengan lebih dari nol dan kecil dari delta. Sedangkan penjelasan RM tentang definisi

9

lim→ = , yaitu merupakan lim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon anggota

bilangan real positif dapat delta bilangan real positif sehingga jarak selisih ( ) dengan

kecil dari epsilon asal selisih dengan lebih dari nol dan kecil dari delta. Temuan ini

didukung temuan penelitian Swinyard (2011:112) yang menyatakan subjek mempunyai

pemahaman secara koheren dalam mengungkapkan definisi − limit fungsi.

c.Aspek PenerapanDari pertanyaan yang diajukan pada RM terkait dengan menentukan nilailim→ = dengan = , RM melakukan pemfaktoran dari bentuk kuadrat,

mengkencel faktor yang sama di pembilang dan penyebut dengan alasan penyebut tidak sama

dengan nol, dan menggunakan metode substitusi, yaitu x mendekati 2 maka ( ) mendekati

5, sehingga diperoleh nilai limit sama dengan 5. Sedangkan pertanyaan kedua terkait

menentukan nilai lim→ − = dan lim→ = dengan = + 2, ≥ 2+ 1, < 2,RM menentukan nilai lim→ − = dengan mensubstitusikan mendekati 2 dari kiri

sehingga diperoleh 2, dan mensubtitusikan mendekati 2 dari kanan, diperoleh ( )mendekati 3. Dari analisis data menunjukkan RM menentukan nilai limit fungsi dengan

menerapkan metode memfaktorkan, mencoret faktor yang sama dipembilang dan penyebut

dengan alasan tidak sama dengan nol, mensubtitusi.

2.Aspek Representasi Definisi → = , → = , → =Dari pertanyaan pertama yang diajukan pada RM terkait dengan representasi definisilim→ = , lim→ = , lim→ = , RM mengungkapkan sebagai berikut.

Gambar 01

Gambar 02

Gambar 03

10

Dari jawaban tulisan definisi limit fungsi (Gambar 01), selanjutnya RM menjawab

pertanyaan wawancara dengan menyebutkan diberikan sebarang epsilon anggota bilangan

real positif dapat delta bilangan real positif sedemikian hingga jarak antara dan kecil

dari epsilon asal jarak antara dan lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari jawaban tulisan

dan wawancara menunjukkan RM merepresentasikan definisi limit fungsi ke dalam bentuk

kata-kata dan mendeskripsikan unsur-unsur yang merupakan definisi limit fungsi.

Dari jawaban tulisan definisi limit kiri (gambar 02), selanjutnya RM menjawab

pertanyaan wawancara dengan menyebutkan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta

positif sehingga jarak dari selisih dengan kecil deri epsilon asal selisih dengan

lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari jawaban tulisan dan wawancara menunjukkan RM

merepresentasikan definisi limit kiri ke dalam bentuk kata-kata, dan medeskripsikan unsur-

unsur yang merupakan definisi limit kiri.

Dari jawaban tulisan definisi kanan (gambar 03), selanjutnya RM menjawan

pertanyaan wawancara dengan menyebutkan diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta

positif sehingga jarak dari selisih dengan kecil deri epsilon asal selisih dengan

lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari jawaban tulisan dan wawancara menunjukkan RM

merepresentasikan definisi limit kanan ke dalam bentuk kata-kata dan mendeskripsikan

unsur-unsur yang merupakan definisi limit kanan.

Dari pertanyaan kedua diajukan pada RM terkait representasi grafik definisilim→ , lim→ , lim→ , RM mengungkapkan definisi limit fungsi

dengan merepresentasikan ke sebagai berikut.

Gambar 04 Gambar 05 Gambar 06

11

Dari gambar 04 menunjukkan, RM merepresentasikan grafik fungsi yang tidak

harus terdefinisi di x sama dengan a, membentuk interval buka pada sumbu Y dengan titik-

titik ujung − dan + dimana diberikan bilangan real positif, ada bilangan real

positif, dibentuk interval buka pada sumbu X dengan titik-titik ujung − dan + . Pada

wawancara, RM menegaskan diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta

bilangan positif yang berpadanan sedemikian hingga jika diambil sebarang dalam inerval

buka ( − , + ) maka ( ) dalam interval buka ( − , + ). Dari gambar dan

wawancara menunjukkan RM merepresentasikan definisi lim→ = ke dalam grafik

fungsi, dan mengambarkan unsur-unsur yang merupakan definisi limit fungsi.

Dari gambar 05 menunjukkan RM merepresentasikan grafik fungsi yang tidak harus

terdefinisi di x sama dengan a, membentuk interval buka pada sumbu Y dengan titik-titik

ujung − dan + dimana diberikan bilangan real positif, ada bilangan real positif,

dibentuk interval buka pada sumbu X dengan titik-titik ujung − dan . Pada wawancara,

RM menegaskan diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan

positif yang berpadanan sedemikian hingga jika diambil sebarang dalam inerval buka ( −, ) dan x tidak sama dengan a maka ( ) dalam interval buka ( − , + ). Dari gambar

dan wawancara menunjukkan RM merepresentasikan definisi lim→ = ke dalam grafik

fungsi, dan mengambarkan unsur-unsur yang merupakan definisi limit kiri.

Dari gambar 06 menunjukkan RM merepresentasikan grafik fungsi yang tidak harus

terdefinisi di x sama dengan a, membentuk interval buka pada sumbu Y dengan titik-titik

ujung dan + dimana diberikan bilangan real positif, ada bilangan real positif,

dibentuk interval buka pada sumbu X dengan titik-titik ujung dan + . Pada wawancara,

RM menegaskan diberikan sebarang epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan

positif sedemikian hingga jika diambil sebarang dalam inerval buka ( + ) dan x tidak

sama dengan a maka ( ) dalam interval buka ( − , + ). Dari gambar dan wawancara

menunjukkan RM merepresentasikan definisi lim→ = ke dalam grafik fungsi, dan

mengambarkan unsur-unsur yang merupakan definisi limit kanan.

Dari pertanyaan kelima yang diajukan pada RM terkait representasi simbol definisilim→ = , RM mengungkapkan definisi limit fungsi dengan merepresentasikan ke

sebagai berikut.

Gambar 07

12

Gambar 08

Gambar 08

Dari jawaban tulisan definisi limit fungsi (Gambar 07), selanjutnya RM menjawab

pertanyaan wawancara tentang penjelasan definisi yang diungkapkan dengan simbol, yaitu

diberikan sebarang epsilon anggota bilangan real positif dapat delta bilangan real positif

sedemikian hingga jarak antara ( ) dan kecil dari epsilon asal jarak antara dan lebih

dari nol dan kecil dari delta. Dari jawaban tulisan dan wawancara menunjukkan RM

merepresentasikan definisi limit fungsi ke dalam bentuk simbol dan mendeskripsikan unsur-

unsur yang merupakan definisi limit fungsi.

Dari jawaban tulisan definisi limit kiri (Gambar 08), selanjutnya RM menjawab

pertanyaan wawancara tentang penjelasan ungkapan definisi dengan simbol, yaitu diberikan

sebarang epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak dari selisih ( ) dengan kecil

deri epsilon asal selisih dengan lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari jawaban tulisan

dan wawancara menunjukkan RM merepresentasikan definisi limit kiri ke dalam bentuk

simbol, dan medeskripsikan unsur-unsur yang merupakan definisi limit kiri.

Dari jawaban tulisan definisi kanan (Gambar 09), selanjutnya RM menjawab

pertanyaan wawancara terkait dengan penjelasan ungkapan definisi dengan simbol, ayitu

diberikan sebarang epsilon positif terdapat delta positif sehingga jarak dari selisih ( )dengan kecil deri epsilon asal selisih dengan lebih dari nol dan kecil dari delta. Dari

jawaban tulisan dan wawancara menunjukkan RM merepresentasikan definisi limit kanan ke

dalam bentuk kata-kata dan mendeskripsikan unsur-unsur yang merupakan definisi limit

kanan.

13

Dari analisis data di atas, diperoleh bahwa RM merepresentasikan definisilim→ = dengan mengungkapkan ke dalam bentuk verbal, grafik, dan simbol. RM

mampu merepresentasikan definisi lim→ = dengan mengungkapkan ke dalam bentuk

verbal, grafik, dan simbol. Demikian juga, RM juga merepresentasikan definisi lim→ =dengan mengungkapkan ke dalam bentuk verbal, grafik, dan simbol. Dengan demikian, RM

mampu merepresentasikan definisi lim→ = , lim→ = dan lim→ = ke

dalam bentuk berbagai representasi, yaitu verbal, grafik, dan simbol.

Kesimpulan dan Saran

Dari hasil analisis disimpulkan RM mengungkapkan pengertian lim→ = ,lim→ = dan lim→ = dengan menyatakan ke dalam kata-kata. Aspek konsepsi

pada penerapan, RM menerapkan metode pemfaktoran, mengcoret, dan substitusi, serta

mampu menjelasan alasan mengapa metode dan konsep itu digunakan. Konsepsi RM terkait

dengan merepresentasikan definisi lim→ = , lim→ = dan lim→ =diungkapkana dalam kalimat, grafik, dan simbol. Penyajian definisi limit fungsi dengan

representasi grafik dan penjelasan kaitannya dengan representasi verbal dalam perkuliahan

mempermudah mahasiswa mengasimilasi dan akomodasi sehingga kontruksi kaitan tentang

definisi limit lebih bermakna. Dengan demikian diharapkan pada dosen, guru di sekolah dan

dosen di perguruan tinggi yang mengasuh mata kuliah kalkulus dan matematika analisis

untuk melakukan kuliah tambahan atau kuliah tutorial bagi mahasiswa yang mempunyai

konsepsi yang lemah, dan diharapkan dosen dapat mengembangkan pembelajaran kalkulus,

matematika analisis untuk membangun konsepsi mahasiswa tentang limit fungsi, dan konsep-

konsep lain, yaitu fungi konsepsi, diferensial, dan integral.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Direktorat Riset dan Pengabdian Masyarakat

Direktorat Jenderal Penguatan Riset dan Pengembangan Kementrian Riset, Teknologi dan

Pendidikan Tinggi (Kemenristek Dikti) yang telah memberikan dana hibah penelitian

disertasi doktor dengan Surat Perjanjian Penugasan Pelaksanaan Program Penelitian

Nomor:105/SP2H/LT/DPRM/IV/2017 tanggal 3 April 207. Dan terima kasih juga kepada

Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat (LPPM) Universitas Syiah Kuala

yang telah menfasilitasi kegiatan penelitian disertasi doktor, dan juga kepada promotor dan

kopromotor yang telah membimbing penelitian ini mulai penyusuann proposal hingga

laporan penelitian, dan produk-produk penelitian.

DAFTAR PUSTAKA

14

Anderson, Orin, W & Krathwohl, D, R. (2001). A Taxonomy for Learning Teaching andassesing. A Revision of Bloom’s Taxonomy of Educational Objectives. New York:Addion Wesley Logman, Inc.

Bezuidenhout, J. (2001). Limit and Continuity: Some Conceptions of First-year Students. InInternational Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 32(4),487-500.

Cetin, N. (2009). The Performance of Undergraduate Students in The Limit Concept.International Journal of Mathematical Education in Science and Technology..40(3),323-330.

Cornu, B, (1991), Limits, In A, J. Bishop, Mathematics Education Library. 11, 153-166.Cottrill, J., Dubinsky,E., Nochols, D., Schwingerdoerf,K., Thomas,K., & Vidakovic,D.

(1996), Understanding the limit concepts: Beginning with a coorninated processsckema. Juornal of mathematical Behavior, 15.167-192.

Duru, A., Koklu, O., & Jakubowski, E. (2010). Pre-Service Mathematics Teachers’Conceptions about The relationship between Continuity and differentiability of aFunction. Scientific Research and Essay. 5(12). 1519- 1529.

Evangelidou, A, Spyrou, P, Ellia, L, and Gagatsis (2004). University Students’ conceptions ofFunction. Paper of Proceeding of the 28 Conference of the International Group forthe Psychology of Mathematics Education. Volume 2, page: 351-358.

Ervynck,G, (1981). Conceptual difficulties for first year University Students in theacquisirtion of Limit of a Function. In Equipe de Recherche Pedagogie (Ed.),Proceedings of the Fifth conference of the International Group for the psychology ofmathematics education. page: 330-333.

Fernandez, E. (2004). The students’ take on the epsilon-delta definition of a limit, Primus,14(1), 43-54.

Friedlander, A. & Tabach, M. (2001) .”Promoting Multiple Representaions in Algebra.” InCuoco, Albert A. The Role of Representation in School Mathematics 2001 YearBook. Reston, VA:NCTM

Goldin, G. A. & Shteingold, N. (2001).”System of Representation and The Development ofMathematical Concept”. In Cuaco, Albert A.(Ed).The Roles of Representation inSchool Mathematics 2001 Yearbook. Restom, VA: NCTM

Miles, M,B & Huberman, A, M. (1994). Qualitatif Data Analysis. London, SAGEPublications

Skemp, R. (1986). The Psychology of Learning Mathematics. Expand American Edition.New Jersey: Lawrence Associated Publishers.

Swinyard, C. (2011). Reinventing the formal definition of limit: The Case of Amy and Mike.Journal of Mathematicsal Behavior. 30 (2011), 93-114

Swinyard,C and Larser, S, (2012), Coming to Understand the Formal Definition of LimitInsights Gained From Engaging Students in Reinvention. Journal for Research inMathematics Education. 43(4), 465-493.

Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept Image and Concept Definition in Mathematics withParticular Reference to Limits and Continuity. Published in Educational Studies inMathematics, 12 (2), 151-169.

Williams, S,R. (1991). Models of Limit Held by College Calculus Students. Journal forResearch in Mathematics Education. 22(3), 219-236

1

Draf Artikel Jurnal Internasional

PROFILE OF PROSPECTIVE STUDENTS TEACHER CONCEPTION ABOUT THEDEFINITION OF LIMIT FUNCTIONS BASED ON MATHEMATICAL ABILITY

UsmanUniversitas Syiah Kuala,Banda Aceh, email: usmanagani@yahoo.co.id

Dwi JuniatiUniversitas Negeri Surabaya, Indonesia, email: dwijuniati@unesa.ac.id

Tatag Yuli Eko SiswonoUniversitas Negeri Surabaya, Indonesia, email: tatagsiswono@unesa.ac.id

ABSTRAK: The conception of function limits is the cognitive structure of function limitsthat need to be built into the minds of the students so that the concepts can be assimilated andaccommodated meaningfully with other concepts in calculus and mathematical analysis.However, some students of mathematics teacher candidates in universities had difficulty inbuilding conceptions about the concept of function limit. The study aims to explore theconception of prospective student teachers about the definition of function limit in terms ofhigh and low ability. This research uses explorative qualitative research method. The subjectof the research is mathematic’s student of Syiah Kuala University who has been studying forthe semester V with the reason that the student has gained experience in studying calculusand real analysis. Subject selection is based on math skills tests grouped in high and lowability groups. The instruments of this research are math ability test, functional limitconception test, and interview. Data analysis was done by reducing data, data exposuring,interpretating, and concluding. The result of data analysis found that there were differencesdescription of student candidate's concept of limit function definition in terms of high andlow mathematical ability in expressing ideas, formal definition of limit function, and mentalimage in expressing the concept of limit function relation.

Kata kunci: Conception, Understanding, Mental Image, Limit Function, Mathematical Abilty

INTROCUCTIONLimit function is a basic concept in calculus and mathematical analysis. Cetin (2009:

323) asserted that “ limit is one the most fundamental and inportant concepts of calkulus

since it estabilisher a framework necessary to have a complete acquitition of the basic

concepts of calkulus such as continuity, diferentiation and integral. It is also confirmed by

Ervynck (1981), the limit concept has long been considered fundamental to an understanding

of calculus and real analysis. Davis and Vinner (1981), had referred to students’ failure to

explain why the concepts of “ limit” is fundamental to calculus. Students ‘ failure to express

meaningful idea an the limit concepts’role in calculus may to a large extens be ude to

inappropriate and weak mental link between knowledge of limit and knowledge of other

calculus concepts such as continuity, derivative, and integral. The formal definition of limit at

2

a poin” lim→ = if for every > 0, there exists a > 0 such that 0 < | − | < →| − | < ” is foundational as students proceed to more formal, rigorous mathematics,

continuity, derivarive, intergal, and Taylor series approximations are jurs a few of topics in

an analysis course for which the formal definition of limit serves as an indispensable

componen (Swinyard and Larsen, 2012). Referring to some of these expositions, the concept

of function limits has an important role in pedagogic considerations and as an object of

research in mathematics education.

Conception research on limit function is one of the most important topics in

mathematics education research (Roh, 2008). Bezuidenhout (2001) explained that the student

with mature conceptions of the mentioned concepts should be able to relate those concepts in

a meaningful way. Conceptions about mathematical concepts are constructed in the mind of

students with a strong concept then will be able to link between one concept with another

concept with meaningful way. Students will be able to link the concept of function limit to

the concept of distance, interval, absolute value, and various forms of representation. It is also

strengthened by Bezuidenhout (2001) On the results of research findings explained that

“Well-constructed mental representation of the network of relatonships among caculus

concepts are essential for a thorough understanding of the conceptual underpinning if the

calculus, whic includes the fundamental role of the limit concepts. Such a network of mental

creations underlis an dindividual’s problem solving ability in the calkulus.

This research explored student conception about function limit which consist of

understanding and mental image. The theoretical framework that constructs conception is the

understanding described by Skemp (1976), Hiebert and Carpenter (1992), and mental image

theory by Tall dan Vinner (1981). According to Skemp (1976), he described that relational

understanding involves knowing both what to do and why it work, while instrumental

understanding involve knowing only what to do, the rule not the reason why the role works.

Jadi, the relational understanding comes from an understanding of deeper relationship among

the concepts anda processes associated with a particular concept, and the instrumental

understanding refers to an algoritma understanding of a concepts or process. While

Hiebertand Carpenter (1992) explained that a mathematical idea or procedur or fact is

understand if it is a part of an internal network. More specially the mathematics is understood

if its mental representations is part of network representations. This theory considers that the

concept or fact or procedure of mathematics is understood by a student if he was be able to

build a network of internal understanding in his mind. The concept of limit is understood by

3

the student if the representation of the definition of the limit function built into the student's

mind is part of the representational network of the overall concept of function limits. If the

student was be able to construct various representations of the definition of limit function in

mind which is part of the network of representation of the concept of limit function then it is

said that the student had an understanding of the limit function.

Conception can also be a mental image (Liyad, 1998). The mental image in

mathematics was explained by Tall and Vinner (1981) that the term concept image to

describe the total cognitive structure that is associated with the concepts, which includes all

the mental picture and associated properties and prosess.” In this study, mental images are a

collection of cognitive structures in the mind of a person associated with the concept of a

function limit consisting of images in the mind and associated with the nature of the concepts

and processes of the concept of the function limit. The mental image of the function limit in

the form of words or graphs or illustrations of functions has limits or no limits at a point,

associated with the properties of any values approaching a number, the value of a function

approaching a value. And the process of relationship between the value of the independent

variable and the dependent variable.

Some research on the concept of function limit has been done by researchers. For

example, Duru (2010) has under taken research on conceptions to explore the understanding

of prospective student teachers about limit functions, continuous and differential functions,

and their relationships. Bezuidenhout (2001) has an exploration of the student's conception of

semester 2 concerning limit functions and continuity in calculus. The theoretical framework

developed by Bezuidenhout refers to constructivist theory and concept imagery. Therefore,

research of student conception about limit of function is important to be explored so that the

lecturer can get a picture of the conception that the student has on a concept of limit of the

function.

Mathematics education students were one group of individuals who were prepared to

become math teachers. Students had different characteristics when viewed from the ability of

mathematics. Some research results on differences in mathematical ability and gender of men

and women. For example, Baton et al (1999) study concluded that boys tend to obtain high

scores from women on aspects of space representation, measurement, and complex problems,

whereas women tend to score higher than men in terms of computing, Simple problem, and

read the graph. This is reinforced by the results of research Artila, et al (2011) that the ability

of men and women lies in the ability of verbal, spatial, and arithmetic. Women generally

excel in verbal abilities while men excel in spatial and arithmetic abilities. From the results of

4

this study showed that there are differences in the ability of mathematical components of

verbal, spatial, computing, reading graphs, and solve complex problems in men and women.

Conception was a cognitive structure as a formula of one's construction results in

mind to a mathematical concept based on interaction with the environment and experience. A

person's learning experience in constructing mathematical concepts, the relationship between

concepts, and problem solving affects the conceptions that the person constructs on advanced

mathematical concepts. The conception of the definition of limits constructed by students was

influenced by mathematical skills. The mathematical abilities in this study are performance

obtained through tests on knowledge and skills as a result of interaction with the environment

and the learning experience of mathematics. The knowledge and skills tested consist of: (1)

pre-calculus: function, absolute value, limit function, (2) calculus: derivative and integral, (3)

algebra: polynomial, sequence and series and liner program, (4) space geometry. The results

of mathematics ability test of teacher candidates were grouped into high and low group.

This study aimed to explore the conception of high and low ability students about

limit functions, more specifically exploring conceptions on the aspects of understanding and

mental image. From the study, there was a picture of the understanding and mental image of

the prospective student teachers with high and low math skills about the definition of limit

function.

RESEARCH METHODThis research was an explorative qualitative research. The subject of the research was

a semester V student of mathematics education department of Teacher Training and

Education Faculty of Syiah Kuala University Banda Aceh, Indonesia, in academic year 2013.

After assigning the subject of research, then they will be giving and conducting math ability

test . The instrument of mathematical ability test has been tested by experts. Mathematical

ability test items are presented in the following table.Table A

Mathematics Capability TestMathematics Capability Test Aspect

Pre-calculus includes absolute value, function, limit functionCalculus includes derivative, integral.Algebra includes polynomial, sequence and series, linearprogrammingGeometry: Space geometry

5

The test of mathematical ability was followed by 64 students of mathematics

education department as a prospective students teacher. After the answers were being

corrected obtained the score of mathematical ability grouped into 3 groups, namely high

ability with score : 80 < ≤ 100, Moderate ability with score : 60 < ≤ 80, And

low ability with score: 0 < ≤ 60. Based on the scores, students were selected from

high ability and low ability group, each of them 2 people. The four subjects were labeled, S01

as the only high-ability subject, the S02 label as the second high-ability subject, the S03 label

as the third low math subject and S04 as the fourth low math subject. The four subjects were

task-based tests on the concepts of function limits and interviews. The conception test

instrument has been tested for validity by the expert. Test items from limit function concepts

are presented in the following table.

Table BConception Test of Limit Function

Concept test aspect

Expressing the notation of limit function, left-hand limit, right-hand limit

Reveals the definition of limit function, left-hand limit, right-hand limit withwords, graphs, tables, symbols

Reveals the relationships that can be made between the concept of limit functions

After the subject responds to each question, proceed with an interview to explore the

understanding and mental image of the definition of limit functions. Aspects of understanding

and mental shadow are presented in the following table C.

6

Table CDescription of Conception Aspect of Limit Function

ConceptionAspects

Sub-aspect Description

Understanding

Interpretation of limitfunction notation

The expression of the limit function notation withwords and graphs.Expression notationof left-hand limit with words andgraphs / illustrationsExpression notation of right-hand limit with words andgraphs / illustrations

Describe the definitionof limit functions withsentencerepresentation, graphs,and tables or symbols

Expression of limit function definition with words,graphs, tables, and symbolsThe phrase definition of the left-hand limit with words,graphs, tables, and symbolsExpression of right-hand limit definition with words,graphs, tables, and symbols

Explain the concept oflimit function byexample

Expression of concept or definition of limit function,left-hand limit, right-hand limit with example

Explain the cause andeffect of the right-handlimit concept

Expression of relations between representations of thedefinition of limit functionsThe expression of the relationship betweenrepresentations of the left-hand limit definitionThe expression of the relation between representationsof the right-hand limit definition

Mental ImageDefine the relationshipbetween the concept oflimit functions

The expression of the relationship between the conceptof limit functions obtained through rememberingactivities, making connections, and explaining the formof words or graphs or illustrations.

From the table C, the aspects of conception explored include understanding, namely the

interpretation of functional limit notations, explaining the definition of function limits,

explaining the definition of the left-hand limit, and explaining the definition of the right-hand

limit. The mental image, the process of remembering the shadow of the concept, explaining,

and applying the shadow of the concept in solving the problem.

RESULT AND DISCUSSIONBased on the results of tests and interviews obtained conceptions described in aspects

of students' understanding of the notation of function limit, function limit definition, and

7

mental image of the limit functions concept. The analysis results of each aspect are described

as follows.

1. Understanding of Limit Function and one sided Limit Notationa. Understanding of Limit Function Notation

From the result of the analysis, it is found the subject understanding (S01) in

interpreting the notation lim→ = by remembering the notation lim→ = ,

expressing with the words, ie " the distance ( ) and can be made as small as possible

from small enough to but different from . "Furthermore the meaning of the word" to

"is explained by the subject (S01) by representing the functional limit notation to the

function graph, and stated that" the distance ( ) and is close enough to take the distance

values of to a quite small ". While the subject (S02, S03, and S04) expressed the notationlim→ = with words and explained by saying "when approaches but is not equal to

a then ( ) approaches . "S02, S03, and S04 explained the meaning of" close to ” "by

representing the graph and stating" taken values of greater or less than and close to

then ( ) approaching . " S01 and S02 explained the meaning " is different from "

says that may be the same or may not be equal to ". But the understanding of the subject

(S03 and S04) about the meaning of different from is not equal to . When given the

test "what is the meaning of the notation lim→ = with = ." Subject S01

mentions the meaning The notation of lim→ = , ie "distance ( ) and can be made as

small as possible from small enough to 2 but is different with 2." While subject (S02,

S03 , And S04) reveals that " is close to 2 but is not equal to 2 then ( ) is close to 5".

The understanding of S02 about the meaning of approaches 2 but is not equal to 2 by

testing if equals 2 then (2) is undefined, whereas S03 and S04 express the reason that

approaches 2 but never gets to 2. Thus, Subjects (S01, S02, S03, and S04) about functional

limit notations are associated with words, and are represented by graphs and are unified

(coherent) expressions of words with graphical representations.

From the description there was difference of understanding of subject of male gender

(S01) and female gender (S02) high math ability in expressing notation lim→ = , ie S01

mention as distance ( ) can be made as small as if can be close enough to but is

different from a. Whereas subject comprehension (S02) reveals that "any arbitrary value of

approaches a, then ( ) approaches ". Similarly, male subjects (S03) with low math skills

and low-mathematics mathematics (S04) subjects had the same understanding in expressing

8

the notation lim→ = with words and graphical representation, but explains with a

unified language in explaining the function limit notation.

b. Understanding of one sided Limit NotationIn the test of the notation of the left-hand and right-hand limits, the result of the

analysis was obtained by understanding the subject (S01) in interpreting the notationlim→ = by remembering the notation lim→ = , and the notation expressed by

S01 with the words, ie "distance ( ) can be made close to possible to origin quite close

to from the left. Understanding the subject (S01) meaning " toward from the left" was

explained by mentioning the values of taken from the left then the distances of ( ) and

are quite small. The understanding of the left limit notation is expressed by the subject

(S01) by representing the graph, and is explained by a coherent language between the left

limit notation and the graph representation. While the subject (S02) expressed the left limit

notation with the words, "when approaches a from the left the distance ( ) approaches

," and is represented by graph and is explained by a coherent language between

representations Graph with the expression of function limit notation. When given the test

"what is the meaning of the notation lim→ = 3," it is found that the subject (S01)

mentions the meaning of the notation lim→ _ = 3, ie "the distance ( ) and 3 can be made

as small as possible from quite small to 2 from the left." The subject (S01) described the

meaning of the left-hand limit notation by using a function limit representation and is

described coherently. While subject (S02) reveals that "when approaches 2 from the left 2

then ( ) approaches 3". The meaning of the left-hand limit notation is explained by subject

(S02) by representing the graph and is explained by a coherent language. Thus, subject

comprehension (S01 and S02) functional limit notations were associated with words, and

were repressed with graphs and unified (coherent) expressions of words with graphical

representations. From the description there was a difference in the understanding of male

gender subject (S01) and female gender subject (S02) with high mathematical ability aboutlim→ = , ie S01 expressing as distance ( ) can be made as small as when can

be close enough to but to go from left. While the subject understanding (S02) reveals

that "any values of are approached from the left then ( ) approaches ."

In the test of the meaning of right-hand limit notation, the result of the analysis was

obtained by understanding the subject (S01) in interpreting the notation lim→ = by

expressing it into words, ie "distance ( ) was made close to possible to from close

9

enough to a from the right direction. "The understanding of the subject (S01) meaning"

toward a from the right direction "was explained by mentioning the values of x close to a

from the right direction then the distance ( ) can be made small enough to . Understanding

the subject (S01) by expressing the meaning of the right-hand limit notation with a coherent

language between words with graphical representations. While the subject (S02) expresses

the right limit notation with the words, "when approaches from the right, the distance( ) approaches ," and explained the meaning of the right-hand limit notation by

representing it with the graph and is explained by the unified language between graphical

representation with the expression of the meaning of limit function’s notation. Furthermore,

when the subject was given the question "what is the meaning of the notation lim→ = 4"it was found that the subject (S01) mentioned the notation of lim→ = 4 ie "the distance( ) and 4 can be made as small as possible from x quite small to 2 from the left." Subject

(S01) explains the meaning of the right-hand limit notation by using a function limit

representation and was explained by a unified language (coherent). While subject (S02)

revealed that "when approaches 2 from the right direction 2 then ( ) approaches 4". The

meaning of the right-hand limit notation is explained by the subject (S02) by representing the

graph and is explained by a coherent language. The understanding of the subject (S01 and

S02) about the notation lim→ _ = 3 and lim→ = 4 is expressed by attributing

meaning notation lim→ = and lim→ = which has been expressed by the subject

with words and graphical representations.From the description there were differences concept of subject S01 and S02 in

expressing the meaning of notation lim→ = . The subject S01 expressed the meaning of

the notation lim→ = as a distance ( ) Can be made as small as possible with L when

x can be made close enough to a but x to a from the right direction, while subject S02 as the

value of variable approaching a then the variable value f (x) approaches L. Furthermore, the

conception of subject S03 and subject S04 expressed the meaning of notation lim→ =That S01 expresses the meaning of the limit notation as the value of the variable x approaches

the number a then the variable f (x) approaches the number L. While the subject S04 as the

variable value x to the number a but not equal to a, then the value of variabel f(x)

approaching L .

10

2. Understanding the Definition of Limit Function and Limit one sided Limita. Understanding the Definition of Limit Function

The results of the tests and interviews about the definition of lim→ obtained

the definition of function limit by the subject (S01 and S02) by the definition of function

limitation by representing the words and symbols. The definition of function limit is

explained by S01 and S02 by stating that whatever epsilon is given from a positive real

number there is a corresponding positive delta such that if the distance to a is large from

zero and small from the delta then the distance to the small of epsilon . Understanding

the subject (S01 and S02) about "for every epsilon positive real number there is a delta of

positive real numbers" by mentioning the example "ε = 0,01 and delta δ = ε or delta less than

epsilon.", and " 0 | | "as the distance between with a more than zero and small

of the delta and 0 | | never zero by reason of distance indicating a number is

never negative. The subject comprehension (S01 and S02) about " | | " is

described as the distance to the small L of epsilon and possibly the distance to L is

zero with the reason of constant function limit in each The point is the same. But the subject

(S03 and S04) mentions the meaning and " 0 | | " as the distance between x with

a more than zero and a small of the delta and 0 | | can not be zero by reason of

the definition mentioned so. The subject comprehension (S03 and S04) about " | |" is explained as the distance to is less than epsilon and it is not possible the distance

to is zero by reason of the definition mentioned distance to is less than

epsilon and epsilon is a positive real number. When given the question what is the definition

of lim→ with the subject expressions (S01 and S02) the definition of

the limit by words. All subjects reveal lim→ 5 by associating the expression of the

definition of lim→ previously understood.

The subject comprehension (S01 and S02) about the definition of function limits is

expressed by representing the graph. The graph representation of functional limit definition

of each subject S01 and S02 is presented in Figure 01 and Figure 02 below.

11

Figure

01: representation graphic

Figure 02: representation graphic

The representation of the function definition limit graph is explained by S01 and

S02 by the language ie given any epsilon positive real number there is a delta of positive

numbers corresponding so that if taken any in the open inerval , then ) In

the open interval , . When given the question what is the definition oflim→ 5 with the subject expressions (S01 and S02 ) About the

definition of the limit by representing it with words, graphs, and symbols. The graphical

representation of the definition of the limit definition is given by S01 and S02 by stating that

given any epsilon positive real number there is always a corresponding positive number delta

so that if any is taken in the open inerval 2 , 2 it must be In the open

interval 5 , 5 . From the description shows that the understanding of S01 and S02

the definition of function limits is expressed by the representation of language, graphics, and

tables. The understanding of S01 and S02 represents the definition of function limits by

relating the definition of function limit definition which is expressed by a set of formal

definition definitions of function limits.

The subject comprehension (S03 and S04) about the definition of function limits is

expressed by representing the graph. The graph representation of the function limit definition

of each subject S03 and S04 is presented in Figure 03 and Figure 04 below.

Figure 03: representation graphicFigure 04: representasi graphic

12

The representation of the function definition limit graph is explained by S03 with the

language ie each positive epsilon has a positive delta so that the distance to is between

zero and delta then the distance ( ) to is less epsilon. The understanding of S03 about

"the distance of to between zero and delta" as the absolute value of is reduced

between zero and delta, and the understanding of "the distance ( ) to is less epsilon as

the absolute value of ( ) less less than epsilon . While S04 is explained by language, ie

for every epsilon more than zero there is a delta of more than zero such that if the difference

of with is less than delta and more than zero then the difference ( ) with is less than

epsilon. The word "difference" expressed by S04 on the definition of function limits implies a

misconception in expressing the definition of limit functions.

From the description it is found that there is no difference in understanding of

subjects with high math skills (S01) and understanding of subjects with high mathematics

(S02) in expressing definitions lim→ = . However, subjects with low math skills (S03)

and low mathematics subjects (S04) had different understandings, and there was a

misconception on the subject S04 about the definition of limit function.

b. Understanding the Definition of one sided LimitThe results of tests and interviews about the definition of lim→ = obtained

understanding of the definition of function limit by the subject (S01 and S02) by expressed

represent the definition of the limit with the words and symbol representation, and explained

That for every positive epsilon there is a positive delta such that 0 < − < then| − | < . The subject (S01 and S02) expresses the definition of the left limit by

representing the graph, and is coherently explained, that given any positive epsilon there is a

corresponding positive delta so that if the difference of with is more than zero and

smaller than the delta then ( ) in open interval − and .

The results of tests and interviews about the definition of lim→ = obtained

understanding of the definition of function limit by the subject (S01 and S02) by being

expressed represent the definition of right limit with words and symbol representation, and

explained That for every positive epsilon there is a positive delta such that 0 0 < − <then | − | < |. When given the question what is the definition of lim→ = andlim→ = with = + 2, ≥ 2+ 1, < 2, then the subject expressions S01 and S02

are represented by words, graphs, and symbols. S01 and S02 understanding about

13

lim→ − = and lim→ = by associating with the phrase definition lim→ =and lim→ = are understood. Understanding the subject (S01 and S02) expresses the

definition of the left and right limits by explaining each of these definitions with a coherent

sentence between the various representations of the left and right limit definitions. The

expression of explanation, ie, given any positive epsilon there is a corresponding positive

delta so that if the difference of with is more than zero and smaller than the delta and

approaches from the left then ( ) in the open interval and + . The understanding of

the subject (S03 and S04) about the expression of the definition of the left and right limits is

explained by incoherent sentences between the various representations of the definitions of

the left and right-hand limits

3. Mental Image about Limit Function

Test results and interviews about relationships that can be made from lim→ = ,

with lim→ = , and lim→ = Obtained mental image on the four subjects (S01,

S02, S03, S04) as follows. The test results and interview S01 in responding to questions

related to the relationship between lim→ = with lim→ = and lim→ =It is found that S01 reveals the problem with its own language, revealing each meaning of

notation lim→ = By saying that "when x goes to a then f (x) to L," lim→ = That

when x goes to a from the left then f (x) goes to L, and lim→ = That when x goes to

a from right then f (x) goes to L. Next S01 explained that lim→ = There if and only iflim→ = exist and lim→ = exist and = . So, S01 makes a relationship

formula of lim→ = , with lim→ = and lim→ = By remembering each of

the meanings of the limit notation expressed in words, relating to the existence of the left and

right limits expressed in words, and explained by examples, graphs and explained by words.

From the test results, interviews, and analysis it was found that the subject S02

revealed the relationship lim→ = , with lim→ = , and lim→ = By

revealing the problem with its own language, expressing meaning lim→ = , As x toward

a then f (x) to L, meaning of lim→ = As x falls from the left then f (x) to L, and

meaning of lim→ = As x toward a from the right direction then f (x) to L, it is further

revealed that the function limit is equally heading to L with reason lim→ = exist if and

only if lim→ = exist and lim→ = exist and equal. S02 explained the

14

relationship formula by mentioning the example graph lim→ = 3 with = + 1 andlim→ = 3 with the reason lim→ exist and equal to 3 if and only if lim→ equal

with lim→ equal to 3. Next S02 explain the relationship with mentioning the example of

a function graph with a lymph value (x) not present with the reason of the left-hand limit

value when x towards 2 from left equal to 3 and the right-hand limit when x toward 2 from

right equal to 4. So, S02 made the relationship lim→ = with lim→ = andlim→ + = by remembering mental image concept of lim→ = , lim→ =and lim→ + = , Formulate relationships with words, explained by example graphs and

words by imagining the concept of existence of the left-hand and right-hand limits and the

relationship with the lim→ = .

From the results of tests, interviews, and analsis obtained that S03 reveal the

relationship lim→ = with lim→ = , and lim→ = By revealing the problem

with its own language. Given the meaning of the notation lim→ = , lim→ = , andlim→ = By expressing the meaning of each such limit, ie lim→ = For x close to

a, then f(x) approaches L, lim→ = As x approaches a from the left then f (x)

approaches L, dan lim→ = As x approximates a from the right, then f (x) approaches

L. Furthermore, the relationship is expressed, ie "x is close to a, both from the left and the

right, f(x) is close to L. lim→ 2 + 5 bahwa “ was close to 2 from the left and from the right,

then f (x) approaches 9. From the description S03 understands the problem by revealing the

problem in its own language, formulating the relationship by imagining the three concepts of

the limit as x equally close to a Then f (x) is close to L, and is explained by imagining the

graph of lim→ 2 + 5 = 9.From the test result, interview and analysis data obtained that S04 reveal the

relationship lim→ = , lim→ = and lim→ = By revealing the problem

with its own language, given the meaning of the notation lim→ = , lim→ = andlim→ = By revealing each of the meanings of the limit notation. Next formulated the

relationship with the words, ie x is close to a then f (x) is close to L with reason when x

approaches a, then f (x) approaches L, when x approaches a from the left then f (x)

approaches L, and when x approaches a from the right direction f (x) approaches L. then the

15

relationship x equals close to a, then f(x) approaches L with the reason that the limit is

equally close. The interviews described are equally close to that by mentioning examples and

graphs. Thus, S04 expresses the relationship between these three limiting concepts by

expressing the problem in its own language, visualizing the three concepts of the limit by

expressing the relation as x equals a then f (x) approaching L.

Thus, there was no difference in the concept of S01 and S02 in expressing the

relationship between the three concepts of limit function. While S03 and S04 there were

differences in expressing the relationship of the three function limits on activity explaining

the relationship with the example and the graph. Subject S03 describes the relationship

between the three concepts of function limits with words, examples, and graphs, whereas S04

describes the relationship between the three concepts of function limits with words.

CONCLUSIONThe results of this study obtained a picture of the conception of high-ability students

and low on the definition of function limits. The result shows that there was difference of

conception of students with high mathematics ability of male and female gender in

expressing the meaning of notation lim→ = , lim→ = and lim→ = .

Student S01 expresses the notation of limit as distance can be made as small as possible,

while student S02 expressed as x approaching a, f (x) approaching L. Low-skilled students of

both male and female sexes reveal the notation of function limit notation as x approaches a, f

(x) approaches L. There was no difference in the expression of functional limit notation by

students S02, S03, and S04. The difference of student conception in expressing the meaning

of functional limit notation is influenced by the mathematical ability which is understood by

the students, namely knowledge of pre-calculus, and algebra, and geometry. Knowledge of

pre-calculus, algebra, and geometry as well as the skill of solving the problem lead to student

differences in constructing conceptions in his mind.

Conceptions of students S01 and S02 in expressing the definition of function limit

obtained no difference. However, students of S03 and S04 had differences in the definition of

function limits in terms of expressing the definition of function limits with graphical

representations and symbols. S04 difficulties in revealing the definition of function limits, the

definition of the left-hand limit and the definition of the right-hand limit expressed by graphic

representation, namely the difficulty of expressing the expression of the definition of limit

with the verbal with the graph, the difficulty of expressing the definition of function limit

with the graph. Actually, the presentation of the definition of function limits with graphs can

16

facilitate students in expressing the definition of the limit itself. In another section it was also

found that S3 and S4 had difficulty expressing the definition of function limits with symbols,

namely the difficulty of disclosing the relation of each symbol in the definition phrase with

the idea of function limit. Thus it is expected that teachers in schools and lecturers at

universities who take care of the calculus and mathematics courses of analysis to conduct

additional courses or tutorial courses for students who have a weak conception, and expected

lecturers can develop learning calculus, mathematical analysis to build student conceptions

about Limit functions, and other concepts, namely the function of conception, differential,

and integral.

REFERENCESArtila, A., Rosselli,M., Inozemtseva, O. (2011). Gender differences in cognitivedevelopment. Development Psychology. 47(4), Juli 2011.984-990

Beaton, A.E., Mullis, I.V.S., Matin, M., Gonzales, E. J., Kelly, D. L., and Smith,T. A. (1999).Mathematics Achievement in the Middle School Years: IEA’s Third InternationalMathematics and Science Study (TIMSS). Boston College, USA

Bezuidenhout, J. (2001). Limit and Continuity: Some Conceptions of First-year Students. InInternational Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 32(4), 487-500.

Bulden, S, D, Harries, T, V, and Newton, D, P. (2010). Pre-service Primary teachers’conception of creativity in mathematics. Journal Mathematical Teacher Education. 13. 325-343. Do1: 101007/s 10649.009.9207.z

Cetin, N. (2009). The Performance of Undergraduate Students in The Limit Concept.International Journal of Mathematical Education in Science and Technology..40(3), 323-330.

Cornu, B. (1991). Limits, In A, J. Bishop, Mathematics Education Library. 11, 153-166.

Cottrill, J., Dubinsky,E., Nochols, D., Schwingerdoerf,K., Thomas,K., & Vidakovic,D.(1996), Understanding the limit concepts: Beginning with a coorninated process sckeme.Jourrnal of mathematical Behavior, 15.167-192.

Duru, A., Koklu, O., & Jakubowski, E. (2010). Pre-Service Mathematics Teachers’Conceptions about The relationship between Continuity and differentiability of a Function.Scientific Research and Essay. 5(12). 1519- 1529.

Evangelidou, A., Spyrou, P., Ellia, L., and Gagatsis (2004). University Students’ conceptionsof Function. Paper of Proceeding of the 28 Conference of the International Group for thePsychology of Mathematics Education. Volume 2, page: 351-358.

Ervynck,G, (1981). Conceptual difficulties for first year university students in theacquisirtion of limit of a function. In Equipe de Recherche Pedagogie (Ed.), Proceedings of

17

the Fifth conference of the International Group for the psychology of mathematics education.page: 330-333.

Fernandez, E. (2004). The students’ take on the epsilon-delta definition of a limit, Primus,14(1), 43-54.

Hiebert, J. and Carpenter, T.P. (1992). Learning and Teaching with understanding. In D,Groews, (Ed), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. 65-97. NewYork:MacMillan

Johnson, L. J., Bluew, G. W., Shimizu, J. K., Graysay, D,, and Konnova, S. (2014). Ateacher’s conceptions of definition and use of examples when doing and teachingmathematics. Journal Mathematical Thinking and Learning. 16(4). 285-311. Doi:10.1080110986065.2014.953018.

Lioyd, G, M. (1998). Supporting Innovations: The Impact of A Teacher’s Conceptions ofFunction on His Implementation of A Reform Curriculum. Journal for Reseach inMathematics Education. 29(3). 248-274.

Roh, K, H. (2008). Students’ Images and Their Undersrstanding of Definitions of The Limitof a Sequence. Educ Stud Math. 69. 217-233.

Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processesand Objects as Different Sides of The Same Coin. Educational Studies in Mathematics, 22.1-36.

Skemp, R. (1986). The Psychology of Learning Mathematics. Expand American Edition.New Jersey: Lawrence Associated Publishers.

Star, J. R & Hoffmann, A. J. (2002). Assesing students’conceptions of reform mathematics.In Mewborn, D., Sztajn, P., White, D., Wiegel, H., Bryant, R., & Nooney, K.(Eds),Proceeding of the twenty-fourth annual meeting of the North American chapter of theInternational Group for the Psychology of Mathematics Education. 1729-1732.

Stylianou, D, A. (2010). Teachers conception of representation in middle schoolmathematics. Journal Mathematical Teacher Education. 13. 325-343. Do1: 101007/s10857:0109143.y

Swinyard,C and Larser, S, (2012), Coming to understand the Formal Definition of LimitInsights Gained From Engaging Students in Reinvention. Journal for Research inMathematics Education. 43(4), 465-493.

Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics withparticular reference to limits and continuity. Published in Educational Studies inMathematics, 12 (2), 151-169.

Turgut, M & Yulmaz, S.(2012). Relationship Among Preservive Primary Teachers’ Gender,Academic Success and Spatial Ability. International Journal of Instruction. 5(2). 5-20.

18

Unal, H., Elizabeth Jakubowski and Darryl Corey.(2009). Differences in learning geometryamong high and low spatial ability pre-service mathematics teachers. International Journal ofMathematics Education in Science and Technology. 40(8), 997-1012.

Zaslavsky, O & Shir, K. (2005). Students’ Conceptions of a Mathematical Definition.Journal for Research in Mathematics Education. 36(4), 317-346.

Williams, S,R. (1991). Models of Limit Held by College Calculus Students. Journal forResearch in Mathematics Education. 22(3), 219-236

Yang, J. C, and Chen, S.Y. (2010). Effects of gender differences and spatial abilities within adigital pentominoes game. Computers & Education. Vol.55.pp.1220-1233.DOI:10.1016/j:compedu.2010.05.019

Zhu, Cheng. (2007). Gender differences in mathematical problem solving pattens: A reviewof literature. International Educational Journal. Vol.8.No.2.pp 187-203.http;//iej.com.au

PROFIL HASIL PENELITIAN DISERTASI DOKTOR

PenelitiUsmanPendidikan Matematika FKIPUniversitas Syiah KualaEmail: usmanagani@yahoo.co.id /usmanagani@unsyiah.ac.id

Ringkasan EksekutifKonsepsi merupakan struktur mentalseseorang dalam merespon suatupermasalahan limit fungsi. Strukturmental ini berupa pemahaman danrepresentasi. Pemahaman meliputipengertian, menjelaskan, menggunakan.Representasi meliputi representasiverbal, representasi grafik, representasitabel, dan representasi simbol. Subjekberkemampuan matematika tinggimempunyai konsepsi yang sempurnatentang limit fungsi fungsi. Sedangkansubjek berkemampuan matematikarendah mempunyai konsepsi yang kurangsempurna tentang limit fungsi, dimanakekurangsempurnaan pada ungkapandefinisi limit fungsi dengan grafik dansimbol.Kata Kunci: Konsepsi, Pemahaman,represensi, Limit Fungsi

HKI dan Publised

Latar Belakang Hasil dan ManfaatPemahaman merupakan aspek konsepsi yang dimiliki seorang mahasiswa individu untukmerespon suatu pertanyaan yang berupa ungkapan dalam bentuk kata-kata daripengertian notasi limit fungsi, limit kiri dan limit kanan. Sedangkan representasimerupakan aspek konsepsi yang berupa ungkapan seorang mahasiswa tentang definisilimit fungsi, limit kiri, dan limit kanan yang berupa ungkapan dalam kalimat, grafik, tabel,dan simbol. Dengan metode eksplorasi berbasis tugas dan wawancara pada subjekdiharapkan akan diperoleh aspek-aspek konsepsi yang berupa pemahaman, represenrtasitentang limit fungsi, limit kiri dan limit kanan.

MetodeMetode penelitian ini adalah menggunakan pendekatan eksploratif berbasis tugas danwawancara. Sedangkan tahapan penelitian meliputi : studi literatur, pengembanganinstrumen, tes kemampuan matematika, mengelompokkan subjek ke dalam kelompoktinggi dan rendah, pemilihan subjek dari setiap kelompok sebanyak dua orang,pemberian tes konsepsi dan wawancara, dan analisis data. Analisis data meliputitahapan: menelaah data, memeriksa data, reduksi data, memaparkan dan menafsirkandata, serta menarik kesimpulan.

Hasil PenelitianHasil penelitian menunjukkan konsepsi subjek berkemampuan tinggi (ST) tentanglimit fungsi, yaitu (1) mengungkapkan arti notasi limit fungsi, limit kiri dan limit kanandengan menyatakan ke dalam kata-kata dan grafik (2) mengungkapkan definisi limitfungsi, limit kiri, dan limit kanan dengan menyatakan ke dalam kalimat (verbal),grafik, tabel, dan simbol yang memuat unsur-unsur pembentuk definisi formal, (3)menerapkan, menggunakan metode pemfaktoran, sifat limit fungsi, dan pengertianlimit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi. Sedangkan konsepsi subjekberkemampuan matematika rendah (SR) tentang limit fungsi menunjukkan, yaitu (1)mengungkapkan arti notasi limit fungsi, limit kiri dan limit kanan dengan menyatakanke dalam kata-kata dan grafik, (2) mengungkapkan definisi limit fungsi, limit kiri, danlimit kanan dengan menyatakan ke dalam kalimat (verbal) dan simbol denganmemuat unsur pembentuk definisi formal, sedangkan ungkapan definisi limit kiri danlimit kanan dalam verbal dan simbol SR mengalami kesalahan dalam mengungkapkansalah satu unsur pembentuk definisi formal. Ungkapan SR definisi limit fungsi, limitkiri dan limit kanan dalam representasi grafik dan tabel, SR tidak menunjukkan unsur-unsur pembentuk definisi formal. (3) menerapkan, SR menggunakan metodepemfaktoran, substitusi untuk menentukan nilai limit fungsi.

Gambar 1. Representasi Verbal ST

Konsepsi: ungkapan ST definisi limit fungsi dalam representasi verbal denganmemuat unsur-unsur pembentuk definisi formal

Gambar 2. Representasi Grafik ST

Konsepsi: ungkapan ST definisi limit fungsi dalam representasi grafik denganmemuat unsur-unsur pembentuk definisi formal

Gambar 3. Representasi Simbol ST

Konsepsi: ungkapan ST definisi limit fungsi dalam representasi simbol dengan memuatunsur-unsur pembentuk definisi formal

POSTERPENELITIAN DISERTASI DOKTOR

PROFIL KONSEPSI MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKATENTANG LIMIT FUNGSIOlehUsman. Dwi Juniati, Tatag Yuli Eko Siswono

KERANGKA TEORI

Lioyd (1998):Konsepsi: strukturmental meliputipengetahuan,keyakinan,pemahaman, pilihan,dan lainnya.

Thompson (1992)Konsepsi : strukturmental meliputi aspekkeyakinan, makna-makna, konsep-konsep, aturan,proposisi bayanganmental, representasi,dan lainnya

PemahamanRepresentasi

PENDAHULUAN

Salah satu permasalahan dalam pembelajaranmatematika lanjut (Kalkulus dan Analisis Real)di perguruan tinggi adalah mahasiswamempunyai konsepsi yang lemah terhadap limitfungsi.

Lemahnya konsepsi pada mahasiswa terjadikarena mahasiswa mengalami kesulitanmengungkapkan kaitan antara konsep jarakdengan konsep limit fungsi, konsep intervaldan konsep limit fungsi, konsep barisankonvergen dan konsep limit fungsi, konseplimit fungsi dengan kekontinuan fungsi,turunan fungsi, dan integral.

Tujuan: Mendeskripsikan aspek–aspek konsepsitentang limit fungsi mahasiswa calon gurumatematika.

Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan konsepsi mahasiswa calon guru

HASIL PENELITIAN

METODE

Pengembangan Instrumen:Tes Kemampuan Matematika (TPM)Tes Konsepsi Limit FungsiPedoman Wawancara

Pelaksanaan TPM

Pelakanaan TKLF danWawancara

Penelitian Kualitatif Eplorasif

Analisis Data: (1) menelaah data dan membuat transkrip data, (2)pemeriksaan data, (3) reduksi data, (4) pemaparan dan penafsiran data, (5)penarikan kesimpulan,

Aspek Pemahaman

Pengertian:

Penerapan

Penjelasan

lim→ = , ketika mendekati/menuju ke , tetapi tidakharus sama dengan maka ( ) mendekati/ menuju kelim→ = , ketika mendekati/menuju ke dari arah kiri

maka ( ) mendekati/menuju ke

lim→ = , ketika mendekati/menuju ke dari arah

kanan maka ( ) mendekati/menuju ke

Menentukan nilai limit fungsi dengan cara mengunakan metodepemfaktoran, pencoretan/pengcencelan,subtitusi, sertapenjelasan alasan penggunaannya atau penjelasan lamgkah-langkah

adalah lim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon bilangan real positif dapat cari

delta bilangan real positif yang berpadanan sedemikian hingga jika jarak ke lebhdari nol dan kecil dari delta maka jarak ( ) ke kecil dari epsilon.

L adalah lim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon bilangan positif terdapat delta

bilangan positif yang berpadanan sehingga jika selisih dengan lebih dari nol danlebih kecil dari delta maka jarak antara ( ) dan kecil dari epsilon.

L adalah lim→ ( ) jika diberikan sebarang epsilon bilangan positif terdapat delta

bilangan positif yang berpadanan sehingga jika selisih dengan lebih dari nol danlebih kecil dari delta maka jarak antara ( ) dan kecil dari epsilon.

Aspek Representasi

Representasi Verbal

Representasi Grafik

Representasi Simbol

lim→ : untuk setiap epsilon bilangan real positif terdapat delta bilangan real

positif yang berpadanan sedemikian sehingga 0 | | maka | |lim→ : untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif yang berpadanan

sehingga jika 0 maka | |lim→ , untuk setiap epsilon positif terdapat delta positif yang berpadanan

sedemikian sehingga 0 maka | |

Bentuk grafik yang menggambarkan definisi limit fungsi

lim→lim→

lim→

Ucapan Terima KasihTerima kasih penulis sampaikan kepada Direktorat Riset dan Pengabdian MasyarakatDirektorat Jenderal Penguatan Riset dan Pengembangan Kementrian Riset, Teknologi danPendidikan Tinggi (Kemenristek Dikti) yang telah memberikan dana hibah penelitian disertasidoktor dengan Surat Perjanjian Penugasan Pelaksanaan Program PenelitianNomor:105/SP2H/LT/DPRM/IV/2017 tanggal 3 April 207. Selanjutnya, terima kasih kepadaketua dan staff LPPM Universitas Syiah Kuala yang telah memfasilitasi kegiatan PDD, danjkepada promotor dan kopromotor yang telah membimbing penelitian ini mulai penyusuanproposal hingga laporan penelitian.

International Conference on Research, Implementation and

Education of Mathematics and Science (ICRIEMS)

Faculty of Mathematics and Natural Science, Yogyakarta State University Jl. Colombo 1 Karangmalang Yogyakarta 55281, Phone. 0274-550846

http://seminar.uny.ac.id/icriems, e-mail: icriems@uny.ac.id

No : 17/UN.34.13/ICRIEMS/2017 27 Maret 2017

Re : Acceptance of abstract

To : Usman

Universitas Syiah Kuala (BANDA ACEH)

Congratulations! The Faculty of Mathematics and Natural Science, Yogyakarta State University kindly invite

you to attend in The 4th International Conference on Research, Implementation and Education of

Mathematics and Science (4th ICRIEMS) on 15 – 16 May 2017, which has a theme of "Research and

education for developing scientific attitude in sciences and mathematics”.

Your abstract entitled:

Exsplorating Conception Prospective Students Teacher Abilyty Higly Mathematical About Limit Of

Function

has been reviewed by a scientific team organized by the conference committee and the result indicates that

your abstract is accepted to be presented in the parallel session. If the reviewer has requested any revision, it

must be revised. This abstract will be published in the conference booklet.

For abstract with more than one author, we would appreciate very much if the name of the author who will

give the presentation is well informed. This would greatly assist us in preparing the presenter’s certificate

earlier.

The committee also invites all authors to submit full papers that will be peer reviewed by ICRIEMS

committee. Each accepted and selected paper will be assigned one of the publication categories as follows.

Category 1: SCOPUS Indexed AIP Conference Proceedings.

Category 2: DOAJ Indexed Journals: JPMS, JSD, or Jurnal Inovasi Pendidikan IPA.

Category 3: Reguler ICRIEMS Proceedings indexed by Google Schoolar

Full-paper is due on Sunday, 16 April 2017 and will not be extended to allow sufficient period of reviewing

process. Guidelines and more information can be found in the website:

www.seminar.uny.ac.id/icriems.

We look forward to seeing you soon!

  

  

No. : 5/LOA/ICoMPAC/2016 Subject: Official Letter of Acceptance

Dear Usman Agani,

On behalf of the Committee of International Conference on Mathematics: Pure, Applied and Computation, ICoMPAC 2016, we are pleased to inform you that your paper “Differences Conception Prospective Students Teacher About Limit of Function Based Gender “ has been accepted to be presented in the conference.

We hope that you would be able to attend the conference that will be held by Mathematics Department, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

Should you have any enquiries and questions, please email us at icompac@its.ac.id while for more detailed information, please find it in our website http://www.icompac.its.ac.id/.

We look forward to your contribution at Surabaya.

Best Regards, Conference Chairman

Dr. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si

NIP. 19830517 200812 1 003