relativity 5

Download RElativity 5

Post on 17-Aug-2015

3 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

fisika modern

TRANSCRIPT

Teori RelativitasMirza SatriawanDecember 23, 2010Pengantar KelengkunganM. Satriawan Teori RelativitasQuiz1Apakah basis vektor dalam sistem koordinat melengkungselalu konstan?2Dalam sistem koordinat apakah basis vektornya selalukonstan?3Tuliskan rumusan derivatif kovarian, denganmenggunakan simbol Christoel4Tuliskan divergensi suatu vektor Vdalam koordinat polarM. Satriawan Teori RelativitasHubungan Gravitasi dan KelengkunganSalah satu hal fundamental dalam TRK adalah keberadaankerangka inersial. Kerangka yang titik-titik koordinatnyadalam keadaan diam relatif terhadap titik asal, dan semuapenunjuk waktunya berjalan dengan seragam relatif terhadappenunjuk waktu di titik asal. Kemudian dari postulat TRK, kitamemperoleh konsep mengenai interval invarian s2. Untukmengukur interval kita membutuhkan tensor metriks. Kitadapat saja menentukan sembarang tensor metrik yang kitapakai, tetapi menjadi tensor metrik yang dipilih karenakaitannya/kesesuaiannya dengan eksperimen, dankebenarannya dapat ditest dengan eksperimen. Misalnyaapakah dapat dibuat suatu kerangka acuan di mana semuapenunjuk waktu berjalan secara seragam? Untuk medangravitasi yang tak seragam, akan ditunjukkan berikutnya, tidakbisa. Jadi tidak ada kerangka inersial global untuk TRK.M. Satriawan Teori RelativitasEksperimen pergeseran merah gravitasiPartikel dengan massa diam m dilepaskan dari ketinggian hdan jatuh bebas dengan percepatan g. Sampai di bawahdengan kecepatan v = (2gh)1/2. Sehingga total energinyamenurut pengamat di bawah adalahm+12mv2+ O(v4) = m+ mgh + O(v4). Bila semua energi partikelini diubah menjadi foton yang kemudian dipancarkan ke atas.M. Satriawan Teori RelativitasSetelah sampai di atas, foton dengan energi E

diubah menjadipartikel dengan massa diam m

= E

. Agar kelestarian energiterjaga, maka haruslah m

= m, sehingga disimpulkan E

= m,atau untuk fotonE

E= h

h=mm+ mgh + O(v4)= 1 gh + O(v4) (1)Jadi foton yang naik melawan medan gravitasi akan kehilanganenergi, atau akan berkurang frekuensinya (mengalamipergeseran merah). Pergeseran merah ini bisa diukur secaraeksperimen dan pers. (1) telah ditest kebenarannya sampaiketelitian 1%. Eksperimen ini terkenal sebagai eksperimenPound-Rebka-Snider (PRS). Eksperimen tersebut menjaminkebenaran hukum kelestarian energi tetapi juga berarti tidakada kerangka inersial global dalam medan gravitasi.M. Satriawan Teori RelativitasKetiadaan kerangka inersial yang diam relatif di bumiEksperimen di atas dapat digambarkan dalam diagram ruangwaktu berikutyang mengggambarkan garis dunia dua gelombang fotonberturutan.M. Satriawan Teori RelativitasBagaimanapun pengaruh gravitasi kepada lintasan foton,karena medan gravitasinya tidak bergantung waktu, maka dualintasan di atas kongruen. Sehingga bila ruang waktu adalahMinkowskian, tbot= ttop (kerangka inersial).Tetapi t = 1/, dan hasil eksperimen di atas menunjukkan >

atau tbot < ttop yang berarti kerangka acuannya tidakinersial. Jadi kerangka acuan yang diam relatif di permukaanbumi, bukan kerangka acuan inersial.M. Satriawan Teori RelativitasPrinsip EkuivalensiSalah satu ciri kerangka inersial adalah, suatu partikel yangdiam akan tetap diam bila tidak ada gaya yang bekerjapadanya. Biasanya gravitasi dianggap gaya, tetapi gravitasimemiliki sifat yang unik, karena semua partikel (dan energi)akan terkena gravitasi, dan semua partikel yang memilikikecepatan awal sama, akan memiliki lintasan yang sama dalammedan gravitasi, tak bergantung pada susunan internalpartikelnya. Untuk gaya-gaya lain (gaya elektromagnetik,interaksi kuat, interaksi lemah) beberapa partikel ada yangterkena ada yang tidak. Misalnya gaya elektromagnetik hanyaterkena pada partikel bermuatan.M. Satriawan Teori RelativitasPartikel netral tidak terkena gaya ini. Jadi untuk gaya-gaya ini,selalu dapat didenisikan secara eksperimen, bagaimanalintasan partikel yang tidak terkena gaya. Tetapi tidak halnyauntuk gravitasi, tidak ada partikel (atau penanda) untukmembedakan lintasan partikel yang tidak terkena medangravitasi (karena semua pasti terkena dan tidak terbedakan).Tetapi ada kerangka dimana partikel-partikel memilikikecepatan yang seragam. Kerangka ini jatuh bebas dalammedan gravitasi. Semua partikel bebas akan memilikikecepatan relatif sama terhadap kerangka ini.M. Satriawan Teori RelativitasCara lain untuk memahami ini: Bayangkan dalam suatu ruangyang jauh dari benda-benda angkasa lain, sehingga medangravitasinya nol. Dalam ruang ini terdapat suatu pesawat roketyang dipercepat seragam ke depan. Bagi pengamat di dalamroket, dia merasa ada gaya gravitasi ke arah belakang roket, diajuga melihat sembarang benda-benda bila tidak ditopang akanjatuh ke arah belakang pesawat dengan percepatan yangsama. Dia juga melihat benda-benda memiliki berat yangbesarnya sebanding dengan massanya. Sedangkan kerangkainersial benda-benda, adalah kerangka yang jatuh (tertinggal)ke arah belakang pesawat.M. Satriawan Teori RelativitasJadi suatu medan gravitasi yang seragam ekuivalen dengansuatu kerangka yang dipercepat relatif terhadap suatukerangka inersial. Ini disebut sebagai prinsip ekuivalensilemah antara gravitasi dan percepatan. Ada bentuk lain yangnanti kita gunakan, yaitu prinsip ekuivalensi kuat yangmenyatakan bagaimana gaya alam bekerja dalam medangravitasi dengan mempostulatkan bahwa hukum gaya-gayatadi dalam kerangka inersial yang jatuh bebas identik denganhukum mereka dalam TRK.Perlu diperhatikan bahwa argumen di atas hanya benar untuksuatu daerah lokalitas tertentu dari medan gravitasi, karenamedan gravitasi (bumi) bersifat tak seragam.M. Satriawan Teori RelativitasPergeseran Merah dalam Kerangka Jatuh BebasTinjau kerangka yang awalnya diam ketika foton mulaidipancarkan ke atas dalam eksperimen PRS di atas, tapikemudian kerangka ini jatuh bebas. Lama perjalanan foton keatas t = h, dan selama itu kerangka acuan tadi telah memilikikecepatan menjauh ke bawah sebesar v = gh. Sehinggafrekuensi foton dilihat dari kerangka jatuh bebas dibandingfrekuensi foton

di kerangka diam di atas, dapat diperolehdari rumus pergeseran merah (efek Doppler relativistik)

=1 + gh

1 g2h2= 1 + gh + O(v4) (2)M. Satriawan Teori RelativitasDari pers. (1) didapatkan bahwa oleh pengamat jatuh bebassama dengan pengamat yang ada ada di bawah, jadi tidak adapergeseran merah yang teramati oleh pengamat jatuh bebas.Ini menjadi dasar kuat bagi postulat bahwa kerangka jatuhbebas adalah kerangka inersial. Akan tetapi karena gravitasisecara umum tidak seragam, maka tidak mungkin membuatkerangka inersial global. Kita hanya dapat membuat kerangkainersial lokal. Sembarang medan gravitasi, untuk daerah yangcukup kecil, dapat dianggap seragam, sehingga dapat dibuat dilokalitas tersebut suatu kerangka inersial, yaitu kerangka yangsesaat jatuh bebas di daerah tersebut. Ini semacam KDS uida,tetapi untuk daerah lokalitas tertentu dan waktu tertentu saja.M. Satriawan Teori RelativitasKelengkunganDalam TRK, dua garis dunia partikel bebas yang awalnyaparalel akan tetap paralel. Sama seperti sifat geometri Euclid.Jadi ruang TRK, yaitu ruang Minkowski adalah ruang datar,yang memenuhi aksioma Euclid mengenai paralelisme. Hanyasaja ruang Minkowski memiliki metrik yang berbeda, (-1,1,1,1)alih-alih (1,1,1,1) , sehingga ruang Minkowski adalah ruangdatar dengan geometri non Euklidan.Dalam ruang waktu gravitasi tak seragam, garis dunia duapartikel bebas yang awalnya paralel tidak selalu paralel.Aksioma Euklid tidak terpenuhi, sehingga ruangnya tidakdatar, atau ruangnya melengkung. Sebagai contoh, dipermukaan bola, dua garis (bagian dari lingkaran garis lintang)yang awalnya paralel (disebut sebagai geodesi), akanberpotongan di kutub. Tetapi secara lokal, ruangnya sepertiruang datar. Ini adalah sifat dari geometri Riemann. Hasilterepenting dari Einstein adalah dia mengidentikasikanlintasan partikel yang jatuh bebas dengan geodesi geometrimelengkung. M. Satriawan Teori RelativitasAljabar Tensor dalam Koordinat PolarTinjau suatu bidang Euklid. Sistem koordinat kartesan dengankoordinat x dan y dapat diganti dengan sistem koordinat polardengan koordinat r dan , dengan relasir = (x2+ y2)1/2; x = r cos ; = arctan yx; y = r sin (3)Perubahan kecil r dan dihasilkan oleh x dan y melaluir = xrx +yry = cos x + siny = yr2x +xr2y = 1r sinx + 1r cos y (4)M. Satriawan Teori RelativitasDapat juga digunakan koordinat lain, misalkan kita simbolkandengan dan . = (x, y); =xx + yy = (x, y); =xx +yy (5)Agar sistem koordinat (, ) menjadi sistem koordinat yangbaik, maka hubungannya dengan (x, y) harus satu-satu. Secaramatematis ini berarti bila = = 0, maka x = y = 0. Inibenar bila determinan transformasi di pers. (5) tidak noldet

/x /y/x /y

0 (6)Determinan ini disebut sebagai Jacobian dari transformasikoordinat. Bila Jacobiannya nol di suatu titik, makatransformasinya dikatakan singular di titik tersebut.M. Satriawan Teori RelativitasVektor dan bentuk satuCara lama untuk mendenisikan vektor adalah sebagai sesuatuyang bertransformasi, terhadap sembarang transformasikoordinat, seperti transformasinya pergeseran, r. Yaitu suatuvektor dapat direpresentasikan sebagai pergeseran (x, y),atau dalam koordinat polar (r, ), atau secara umum(, ). Untuk pergeseran yang kecil

=

/x /y/x /y xy

(7)Dengan mendenisikan matrix transformasi(

) =

/x /y/x /y

(8)Transformasi sembarang vektor dapat ditulis seperti pada TRKV

=

V(9)M. Satriawan Teori RelativitasKita dapat mendenisikan suatu vektor dengan cara lain (yanglebih alami). Misalkan diberikan suatu skalar . Untuk suatusistem koordinat (, ), selalu dapat dibentuk derivatif /dan /. Bentuk satu (forma satu) d didenisikan sebagaiobyek geometri yang komponennya dalam koordinat (, )d (/, /) (10)Transformasi komponen, diperoleh otomatis dari aturanderivatif berantai=xx+yy(11)demikian pula untuk /.M. Satriawan Teori RelativitasAtau dapat ditulis

//

=

x