Teori RelativitasMirza SatriawanDecember 23, 2010Pengantar KelengkunganM. Satriawan Teori RelativitasQuiz1Apakah basis vektor dalam sistem koordinat melengkungselalu konstan?2Dalam sistem koordinat apakah basis vektornya selalukonstan?3Tuliskan rumusan derivatif kovarian, denganmenggunakan simbol Christoel4Tuliskan divergensi suatu vektor Vdalam koordinat polarM. Satriawan Teori RelativitasHubungan Gravitasi dan KelengkunganSalah satu hal fundamental dalam TRK adalah keberadaankerangka inersial. Kerangka yang titik-titik koordinatnyadalam keadaan diam relatif terhadap titik asal, dan semuapenunjuk waktunya berjalan dengan seragam relatif terhadappenunjuk waktu di titik asal. Kemudian dari postulat TRK, kitamemperoleh konsep mengenai interval invarian s2. Untukmengukur interval kita membutuhkan tensor metriks. Kitadapat saja menentukan sembarang tensor metrik yang kitapakai, tetapi menjadi tensor metrik yang dipilih karenakaitannya/kesesuaiannya dengan eksperimen, dankebenarannya dapat ditest dengan eksperimen. Misalnyaapakah dapat dibuat suatu kerangka acuan di mana semuapenunjuk waktu berjalan secara seragam? Untuk medangravitasi yang tak seragam, akan ditunjukkan berikutnya, tidakbisa. Jadi tidak ada kerangka inersial global untuk TRK.M. Satriawan Teori RelativitasEksperimen pergeseran merah gravitasiPartikel dengan massa diam m dilepaskan dari ketinggian hdan jatuh bebas dengan percepatan g. Sampai di bawahdengan kecepatan v = (2gh)1/2. Sehingga total energinyamenurut pengamat di bawah adalahm+12mv2+ O(v4) = m+ mgh + O(v4). Bila semua energi partikelini diubah menjadi foton yang kemudian dipancarkan ke atas.M. Satriawan Teori RelativitasSetelah sampai di atas, foton dengan energi E

diubah menjadipartikel dengan massa diam m

= E

. Agar kelestarian energiterjaga, maka haruslah m

= m, sehingga disimpulkan E

= m,atau untuk fotonE

E= h

h=mm+ mgh + O(v4)= 1 gh + O(v4) (1)Jadi foton yang naik melawan medan gravitasi akan kehilanganenergi, atau akan berkurang frekuensinya (mengalamipergeseran merah). Pergeseran merah ini bisa diukur secaraeksperimen dan pers. (1) telah ditest kebenarannya sampaiketelitian 1%. Eksperimen ini terkenal sebagai eksperimenPound-Rebka-Snider (PRS). Eksperimen tersebut menjaminkebenaran hukum kelestarian energi tetapi juga berarti tidakada kerangka inersial global dalam medan gravitasi.M. Satriawan Teori RelativitasKetiadaan kerangka inersial yang diam relatif di bumiEksperimen di atas dapat digambarkan dalam diagram ruangwaktu berikutyang mengggambarkan garis dunia dua gelombang fotonberturutan.M. Satriawan Teori RelativitasBagaimanapun pengaruh gravitasi kepada lintasan foton,karena medan gravitasinya tidak bergantung waktu, maka dualintasan di atas kongruen. Sehingga bila ruang waktu adalahMinkowskian, tbot= ttop (kerangka inersial).Tetapi t = 1/, dan hasil eksperimen di atas menunjukkan >

atau tbot < ttop yang berarti kerangka acuannya tidakinersial. Jadi kerangka acuan yang diam relatif di permukaanbumi, bukan kerangka acuan inersial.M. Satriawan Teori RelativitasPrinsip EkuivalensiSalah satu ciri kerangka inersial adalah, suatu partikel yangdiam akan tetap diam bila tidak ada gaya yang bekerjapadanya. Biasanya gravitasi dianggap gaya, tetapi gravitasimemiliki sifat yang unik, karena semua partikel (dan energi)akan terkena gravitasi, dan semua partikel yang memilikikecepatan awal sama, akan memiliki lintasan yang sama dalammedan gravitasi, tak bergantung pada susunan internalpartikelnya. Untuk gaya-gaya lain (gaya elektromagnetik,interaksi kuat, interaksi lemah) beberapa partikel ada yangterkena ada yang tidak. Misalnya gaya elektromagnetik hanyaterkena pada partikel bermuatan.M. Satriawan Teori RelativitasPartikel netral tidak terkena gaya ini. Jadi untuk gaya-gaya ini,selalu dapat didenisikan secara eksperimen, bagaimanalintasan partikel yang tidak terkena gaya. Tetapi tidak halnyauntuk gravitasi, tidak ada partikel (atau penanda) untukmembedakan lintasan partikel yang tidak terkena medangravitasi (karena semua pasti terkena dan tidak terbedakan).Tetapi ada kerangka dimana partikel-partikel memilikikecepatan yang seragam. Kerangka ini jatuh bebas dalammedan gravitasi. Semua partikel bebas akan memilikikecepatan relatif sama terhadap kerangka ini.M. Satriawan Teori RelativitasCara lain untuk memahami ini: Bayangkan dalam suatu ruangyang jauh dari benda-benda angkasa lain, sehingga medangravitasinya nol. Dalam ruang ini terdapat suatu pesawat roketyang dipercepat seragam ke depan. Bagi pengamat di dalamroket, dia merasa ada gaya gravitasi ke arah belakang roket, diajuga melihat sembarang benda-benda bila tidak ditopang akanjatuh ke arah belakang pesawat dengan percepatan yangsama. Dia juga melihat benda-benda memiliki berat yangbesarnya sebanding dengan massanya. Sedangkan kerangkainersial benda-benda, adalah kerangka yang jatuh (tertinggal)ke arah belakang pesawat.M. Satriawan Teori RelativitasJadi suatu medan gravitasi yang seragam ekuivalen dengansuatu kerangka yang dipercepat relatif terhadap suatukerangka inersial. Ini disebut sebagai prinsip ekuivalensilemah antara gravitasi dan percepatan. Ada bentuk lain yangnanti kita gunakan, yaitu prinsip ekuivalensi kuat yangmenyatakan bagaimana gaya alam bekerja dalam medangravitasi dengan mempostulatkan bahwa hukum gaya-gayatadi dalam kerangka inersial yang jatuh bebas identik denganhukum mereka dalam TRK.Perlu diperhatikan bahwa argumen di atas hanya benar untuksuatu daerah lokalitas tertentu dari medan gravitasi, karenamedan gravitasi (bumi) bersifat tak seragam.M. Satriawan Teori RelativitasPergeseran Merah dalam Kerangka Jatuh BebasTinjau kerangka yang awalnya diam ketika foton mulaidipancarkan ke atas dalam eksperimen PRS di atas, tapikemudian kerangka ini jatuh bebas. Lama perjalanan foton keatas t = h, dan selama itu kerangka acuan tadi telah memilikikecepatan menjauh ke bawah sebesar v = gh. Sehinggafrekuensi foton dilihat dari kerangka jatuh bebas dibandingfrekuensi foton

di kerangka diam di atas, dapat diperolehdari rumus pergeseran merah (efek Doppler relativistik)

=1 + gh

1 g2h2= 1 + gh + O(v4) (2)M. Satriawan Teori RelativitasDari pers. (1) didapatkan bahwa oleh pengamat jatuh bebassama dengan pengamat yang ada ada di bawah, jadi tidak adapergeseran merah yang teramati oleh pengamat jatuh bebas.Ini menjadi dasar kuat bagi postulat bahwa kerangka jatuhbebas adalah kerangka inersial. Akan tetapi karena gravitasisecara umum tidak seragam, maka tidak mungkin membuatkerangka inersial global. Kita hanya dapat membuat kerangkainersial lokal. Sembarang medan gravitasi, untuk daerah yangcukup kecil, dapat dianggap seragam, sehingga dapat dibuat dilokalitas tersebut suatu kerangka inersial, yaitu kerangka yangsesaat jatuh bebas di daerah tersebut. Ini semacam KDS uida,tetapi untuk daerah lokalitas tertentu dan waktu tertentu saja.M. Satriawan Teori RelativitasKelengkunganDalam TRK, dua garis dunia partikel bebas yang awalnyaparalel akan tetap paralel. Sama seperti sifat geometri Euclid.Jadi ruang TRK, yaitu ruang Minkowski adalah ruang datar,yang memenuhi aksioma Euclid mengenai paralelisme. Hanyasaja ruang Minkowski memiliki metrik yang berbeda, (-1,1,1,1)alih-alih (1,1,1,1) , sehingga ruang Minkowski adalah ruangdatar dengan geometri non Euklidan.Dalam ruang waktu gravitasi tak seragam, garis dunia duapartikel bebas yang awalnya paralel tidak selalu paralel.Aksioma Euklid tidak terpenuhi, sehingga ruangnya tidakdatar, atau ruangnya melengkung. Sebagai contoh, dipermukaan bola, dua garis (bagian dari lingkaran garis lintang)yang awalnya paralel (disebut sebagai geodesi), akanberpotongan di kutub. Tetapi secara lokal, ruangnya sepertiruang datar. Ini adalah sifat dari geometri Riemann. Hasilterepenting dari Einstein adalah dia mengidentikasikanlintasan partikel yang jatuh bebas dengan geodesi geometrimelengkung. M. Satriawan Teori RelativitasAljabar Tensor dalam Koordinat PolarTinjau suatu bidang Euklid. Sistem koordinat kartesan dengankoordinat x dan y dapat diganti dengan sistem koordinat polardengan koordinat r dan , dengan relasir = (x2+ y2)1/2; x = r cos ; = arctan yx; y = r sin (3)Perubahan kecil r dan dihasilkan oleh x dan y melaluir = xrx +yry = cos x + siny = yr2x +xr2y = 1r sinx + 1r cos y (4)M. Satriawan Teori RelativitasDapat juga digunakan koordinat lain, misalkan kita simbolkandengan dan . = (x, y); =xx + yy = (x, y); =xx +yy (5)Agar sistem koordinat (, ) menjadi sistem koordinat yangbaik, maka hubungannya dengan (x, y) harus satu-satu. Secaramatematis ini berarti bila = = 0, maka x = y = 0. Inibenar bila determinan transformasi di pers. (5) tidak noldet

/x /y/x /y

0 (6)Determinan ini disebut sebagai Jacobian dari transformasikoordinat. Bila Jacobiannya nol di suatu titik, makatransformasinya dikatakan singular di titik tersebut.M. Satriawan Teori RelativitasVektor dan bentuk satuCara lama untuk mendenisikan vektor adalah sebagai sesuatuyang bertransformasi, terhadap sembarang transformasikoordinat, seperti transformasinya pergeseran, r. Yaitu suatuvektor dapat direpresentasikan sebagai pergeseran (x, y),atau dalam koordinat polar (r, ), atau secara umum(, ). Untuk pergeseran yang kecil

=

/x /y/x /y xy

(7)Dengan mendenisikan matrix transformasi(

) =

/x /y/x /y

(8)Transformasi sembarang vektor dapat ditulis seperti pada TRKV

=

V(9)M. Satriawan Teori RelativitasKita dapat mendenisikan suatu vektor dengan cara lain (yanglebih alami). Misalkan diberikan suatu skalar . Untuk suatusistem koordinat (, ), selalu dapat dibentuk derivatif /dan /. Bentuk satu (forma satu) d didenisikan sebagaiobyek geometri yang komponennya dalam koordinat (, )d (/, /) (10)Transformasi komponen, diperoleh otomatis dari aturanderivatif berantai=xx+yy(11)demikian pula untuk /.M. Satriawan Teori RelativitasAtau dapat ditulis

//

=

x/ y/x/ y/ /x/y

(12)sehingga matriks transformasinya(

) =

x/ y/x/ y/

(13)Jadi mula-mula yang dideniskan adalah bentuk satu besertacara tertransformasinya. Kemudian vektor didenisikansebagai fungsi linier dari bentuk satu ke bilangan real. Vektoryang didenisikan seperti ini, tetap akan bertransformasiseperti pers.(7).M. Satriawan Teori RelativitasDapat ditunjukkan bahwa (

) dan (

)Tadalah inversesatu terhadap yang lain.

/x /y/x /y x/ x/y/ y/

=xx+yyxx+yyxx+yyxx+yy=

/ // /

=

1 00 1

(14)M. Satriawan Teori RelativitasKurva dan VektorDenisi: Lintasan (path) kumpulan sederetan titik-titik yangterhubung di suatu bidang. Kurva: Lintasan yangberparameter. Kurva adalah pemetaan suatu interval garisbilangan real ke suatu lintasan pada suatu bidang. Jadi kurvaadalah lintasan dengan bilangan real diasosiasikan ke setiaptitiknya. Misal: ( = f (s), = g(s), a s b). Bila kita gantiparameternya, misal s

= s

(s) maka akan kita dapatkan kurvayang baru ( = f

(s

), = g

(s

), a

= s

(a) s

b

= s

(b)). Bisaada takhingga banyak kurva yang memiliki lintasan yangsama. Derivatif suatu medan skalar sepanjang kurva iniadalah d/ds. Bila s diganti maka derivatifnya juga berganti.M. Satriawan Teori RelativitasDapat dituliskand/ds = d, V (15)dengan komponen dari V adalah (d/ds, d/ds).Vektor V bergantung pada kurvanya, sedangkan d hanyabergantung pada . Jadi V adalah vektor karakteristik darikurva, disebut sebagai vektor tangen. Jadi vektor adalahsesuatu yang menghasilkan d/ds bila diberi . Dalampandangan modern, vektor tangen terhadap suatu kurvadisebut sebagai d/ds. Suatu lintasan memiliki tak hinggabanyak tangen vektor di satu titik, tetapi suatu kurva hanyamemiliki satu tangen vektor di satu titik. Parameter s tidakberubah terhadap transformasi koordinat, tetapi komponen Vakan berubah, sesuai aturan derivatif berantai

d/dsd/ds

=

/x /y/x /y dx/dsdy/ds

(16)M. Satriawan Teori RelativitasBentuk satu basis dan vektor basis dalam koordinatpolarBasis koordinatnyae

= e(17)atauer= xrex + yrey=xrex +yrey= cos ex + siney(18)demikian juga untuke=xex +yey= r sinex + r cos ey(19)M. Satriawan Teori Relativitasdi mana telah digunakanxr=xrdemikian juga untuk tranformasi baliknya akan digunakanrx=rxAnalog dengan sebelumnya, bentuk satu basisnyad =xdx + ydy,= 1r sindx + 1r cos dy (20)serupa dengan itu diperolehdr = cos dx + sindy (21)M. Satriawan Teori RelativitasBerikut adalah sketsa gambar basis-basis tersebutPerhatikan bahwa untuk titik yang berbeda basisnya berbeda.Selain itu panjang dari setiap basis di titik yang berbeda bisatidak sama. Sebagai contoh dari pers. (19) diperoleh|e|2=e e= r2sin2 + r2cos2 = r2. (22)Dapat ditunjukkan bahwa|er| = 1, |dr| = 1, |dr| = 1, |d| = r1.M. Satriawan Teori RelativitasTensor metrikPerkalian titik di atas dihitung dengan mengetahui bentuktensor metrik dalam koordinat (x, y):ex ex=ey ey= 1, ex ey= 0; (23)atau dalam notasi tensor (dalam koordinat kartesan)g(e,e) = (24)Untuk koordinat polar, komponennyag

= g(e

,e

) =e

e

(25)dengan memakai pers.(19) dan (18), diperolehgrr= 1, g= r2, gr= 0 (26)M. Satriawan Teori RelativitasSehingga komponen g dalam koordinat polar dapat ditulis(g) =

1 00 r2

, (27)Cara yang paling esien untuk menunjukkan metrik sekaliguskoordinatnya, adalah dengan menggunakan elemen garisdalam sistem koordinat tersebut, yang tidak lain adalah besardari sembarang vektor pergeseran innitesimal d

l:d

l d

l = ds2= |drer + de| = dr2+ r2d2(28)Tensor metrik dapat juga dituliskan dalam basis tensornyag = gdx dx= dr dr + r2d d (29)Perhatikan, bentuk ini tidak sama dengan yang sebelumnya, inimasih dalam basis bentuk satunya, bukan dalam bentukhasilnya perkalian titik, seperti pada sebelumnya.M. Satriawan Teori RelativitasMetrik yang kita peroleh sebelumya memiliki inverse

1 00 r2

1=

1 00 r2

, (30)dengan ini kita dapat memetakan antara vektor dan bentuksatu. Misalkan bila diberi medan skalar , dan gradiennya d,maka komponen vektor dari

d adalah(

d)= g,(31)untuk koordinat polar(

d)r= gr,= grr,r+gr,= /r;(

d)= g,= gr,r+g,=1r2/ (32)Komponen dari bentuk satu dan vektor gradien memilikikomponen berbeda! (hanya sama dalam koordinat kartesan)M. Satriawan Teori RelativitasKalkulus Tensor dalam koordinat polarKomponen dari basis vektor ex dalam koordinat polar adalah(rx, x) = (cos , r1sin), yang jelas masing-masingnyatidak konstan. Bilaex diderivatifkan, haruslah nol, tetapiderivatif terhadap komponennya tidak menghasilkan nol. Inikarena basis vektor koordinat polar bukanlah vektor yangkonstan.Derivatif dari basis vektor dalam koordinat polar:rer=r(cos ex + siney) = 0 (33)er=(cos ex + siney) =1re. (34)M. Satriawan Teori RelativitasDemikian pulare=r(r sinex + r cos ey) =1re(35)e=(r sinex + r cos ey) = rer. (36)Untuk vektor ex, derivatifnya terhadap koordinat polarex=(cos er 1r sine) = 0 (37)M. Satriawan Teori RelativitasDerivatif sembarang vektor dalam koordinat polarSembarang vektor V dalam koordinat polar, memilikikomponen (Vr, V). Derivatifnya, misalnya terhadap r adalah

Vr=r(Vrer + Ve)=Vrr er + Vrerr+ Vre + Ver(38)Secara umum

Vx=Vxe + Vex(39)suku terakhir, sebagai vektor dapat dituliskan dalamkombinasi linear dalam basis vektornya,er= e(40)koesien disebut sebagai simbol Christoel.M. Satriawan Teori RelativitasDari hasil-hasil sebelumnya, diperoleh simbol Christoeldalam koordinat polar.1err= 0 rr= 02er=1re rr= 0, r=1r3er=1re rr= 0, r=1r4e= rer r= r, = 0M. Satriawan Teori RelativitasDerivatif KovarianDengan menggunakan simbol Christoel, derivatif terhadapsembarang vektor menjadi

Vx=Vxe + Ve(41)atau dapat juga dituliskan sebagai

Vx=

Vx+ V

e(42)sehingga komponen

V/xadalahVx+ V(43)Didenisikan notasi derivatif baruV;= V,+V(44)sehingga

V/x= V;eM. Satriawan Teori RelativitasObyek

V/x, untuk tertentu adalah suatu vektor. Tetapiuntuk sembarang nilai ,

V/xdapat dianggap sebagai suatutensor tipe

11

yang memetakan vektor e ke

V/x. Medantensor ini disebutsebagai derivatif kovarian dari V dandisimbolkan sebagai

V. Komponennya(

V)= (

V)= V;(45)Dalam koordinta kartesan komponennya V, tetapi dalamkoordinat lengkung lainnya, komponennya secara umumseperti pada pers. (45). Untuk mendapatkan komponennya,dapat digunakan pers. (44) atau menggunakan transformaitensor dari komponennya pada koordinat kartesan. Untukmedan skalar, karena skalar tidak bergantung pada basisvektor, maka derivatif kovariannya sama dengan derivatifbiasa.f = f /x; f = df . (46)M. Satriawan Teori RelativitasDivergensi dan LaplasianDalam koordinat kartesan, divergensi suatu vektor Vadalahsuatu skalar V, , yang bisa dilihat sebagai kontraksi dari V, terhadap kedua indeksnya. Sebagai skalar, nilainya invariantidak bergantung pada sistem koordinat. Dalam koordinatlengkung, divergensi diberikan oleh V

;

dan memenuhiV,= V

;

(47)Sebagai contoh, untuk koordinat polar akan didapatkanV;=1rr(rVr) +V. (48)Laplasian adalah divergensi dari suatu gradien. Gradienadalah suatu bentuk satu. Karena kita sebelumnya hanyamemiliki divergensi dari suatu vektor, maka kita harusmengubah gradien menjadi vektor. Dalam koordinat polar,sudah kita dapatkan komponen dari vektor gradien suatumedan skalar , yaitu (,r, ,/r2).M. Satriawan Teori RelativitasDengan memasukkan komponen vektor gradien ke dalamrumus divergensi suatu vektor di atas diperoleh (dalamkoordinat polar) 2 =1rr(rr ) +1r222(49)M. Satriawan Teori RelativitasDerivatif bentuk satu dan tensor tipe lainnyaUntuk mendapatkan derivatif bentuk satu, digunakan sifatbahwa bentuk satu bekerja pada vektor menghasilkan skalar.Misalkan p adalah bentuk satu dan V adalah vektor, danmisalkan p, V = pV(suatu skalar). Sehingga =pxV+ pVx . (50)sebagai komponen dari

V bentuk V/xdapat digantidengan memakai pers.(44) sehingga =pxV+ pV;pV. (51)atau =

px p

V+ pV;. (52)Semua suku di atas adalah komponen suatu tensor, maka sukudalam kurung juga harus komponen dari suatu tensor, yangtidak lain adalah derivatif kovarian dari p Jadi( p) ( p)alpha p;= p,p(53)M. Satriawan Teori RelativitasUntuk pers.(50), sekarang menjadi(pV) = p; V+ pV;. (54)Prosedur yang sama dapat digunakan untuk memperolehderivatif kovarian tensor lainnyaT= T,T T(55)A= A,+A + A(56)B= B,+B B(57)(58)M. Satriawan Teori RelativitasSimbol Christofell dan Tensor MetrikDalam koordinat kartesan, komponen suatu bentuk satu sertavektor yang terkait dengannya, akan sama. Karena derivatifkovarian dalam koordinat kartesan hanyalah derivatif biasaterhadap komponen, maka komponen derivatif kovarian darisuatu bentuk satu dan vektor terkait haruslah sama. Bila Vadalah suatu vektor, danV = g(

V, ) adalah bentuk satu terkait,maka dalam koordinat kartesan V = g(

V, ) (59)Tapi persamaan di atas adalah peramaan tensor, sehinggaharus benar untuk sembarang koordinat. DisimpulkanV;= gV;(60)Kesimpulan ini membawa akibat berikut ini: Berawal dariV= gV. Bila dilakukan derivatif kovarian (dalamsembarang koordinat)V;= g; V+ gV;(61)sehingga g;= 0 dalam sembarang sistem koordinat (dalamkoordinat kartesan, hal ini adalah trivial).M. Satriawan Teori RelativitasMencari Simbol Christoel dengan metriksSebelumnya akan ditunjukkan bahwa = . Dalamkoordinat kartesan (dengan adalah sembarang skalar)memiliki komponen . Derivatif kovarian yang kedua memiliki komponen , ;, atau dalam koordinat kartesanadalah ,,. Karena derivatif biasa dapat dipertukarkan maka,,= ,,. Tetapi bila suatu tensor itu simetrik dalam suatusistem koordinat, dia akan tetap simetrik dalam koordinat lain.Jadi , ;= , ;, atau,,,= ,,,(62)Tapi karena ,,= ,, maka = .M. Satriawan Teori RelativitasSekarang dengan memakai g;= 0 kita dapat tuliskang, = g + gkemudian tukarkan indeks dan g, = g + gdan tukarkan indeks dengan g, = g + gJumlahkan dua persamaan pertama dan kurangkan denganyang ketiga, diperoleh setelah beberapa penyederhanaang, + g, g,= 2gSetelah dikalikan dengan g, dibagi dua, diperoleh=12(g, + g, g, ) (63)M. Satriawan Teori RelativitasM. Satriawan Teori RelativitasM. Satriawan Teori RelativitasM. Satriawan Teori Relativitas