prosiding seminar nasional matematika dan pend. matematika 2009.pdf

538
 P RO S IDIN G SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA Kont ri bus i M at e m at i ka da n Pe ndi di kan M ate m at i ka dalamM e num buhke m bangkan Kem andir i an dan Ke pe rcaya an Di ri Bangs a   J U RU S A N PEN DI DI K A N M A T EM A T I K A FAK ULTAS PE NDIDIK AN M ATEM ATIK A DAN ILM U PE NGETAH UAN ALAM UNIVERS ITA S PENDIDIK AN IN DON E S IA 2009

Upload: muji-gunarto

Post on 08-Jan-2016

110 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 1/537

 

PROSIDING

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA

DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalam Menumbuhkembangkan

Kemandirian dan Kepercayaan Diri Bangsa  

 J URU SAN PENDIDIKAN M ATEMATIKAFAK ULTAS PENDIDIK AN M ATEM ATIK A DAN ILM U PENGETAH UAN ALAM

UNIVERSITA S PENDID IK AN IN DON ESIA

2009

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 2/537

 

PROSIDING

SEM INA R NA SIONAL

MA TEM A T IKA DA N PENDID IKA N MATEMA T IKA

(Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalam Menumbuhkembangkan Kemandirian

dan Kepercayaan Diri Bangsa )Bandung, 19 Desember 2009

Penanggung jawab : Dra. Siti Fatimah, M.Si., Ph.D

Editor : Dewi Rachmatin, S.Si., M.Si

Al Jupri, S.Pd., M.Sc

Ahmad Solihin

Reviewer : Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D

Dra. Siti Fatimah, M.Si., Ph.D

Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si

Dr. H. Tatang Mulyana, M.Pd

Dr. Endang Mulyana M.Pd.

Drs. C. Jacob, M.Pd

Dr. Jarnawi Afgani Dahlan, M.Kes

Dr. Elah Nurlaelah, M.Si

Dra. Nurjanah, M.Pd

Dra. Entit Puspita, M.Si

Drs. Bambang Avip P. M., M.Si

Dra. Encum Sumiaty, M.Si

Dewi Rachmatin, S.Si., M.Si

Sekretariat : Jurusan Pendidikan Matematika

FPMIPA UPI

 Jl. Dr. Setiabudhi 229 Bandung

Telp/Fax : (022) 2004508

Website: http://matematika.upi.edu 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 3/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

ii

Daftar IsiDaftar IsiBidang Pendidikan MatematikaUpaya Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Siswa Melalui PembelajaranKooperatif Tipe Jigsaw

Heni Pujiastuti 1Profil Kemampuan Spasial Guru Matematika SMP Di Kota Medan

Edi Syahputra 8Penerapan Metode Lagrange Untuk Menentukan Maximum Utility Dari FungsiUtility Cobb-Douglas Dengan Kendala Harga

Eti Kurniati 9”Self-Regulated Learning ” Dalam Pembelajaran Matematika Di Sekolah 

Kms. Muhammad Amin Fauzi 10Analisis Proses Berpikir Matematika Antara Dosen, Mahasiswa (Guru Sd & NonGuru Sd) Pgsd Dan Siswa SD Dalam Pembelajaran Matematika(Penelitian Pada Mahasiswa PGSD, Guru SD Dan Siswa SD Di Banten)

Supriadi 24

Analisis Dan Evaluasi Kuisioner Evaluasi PengajaranYuliant Sibaroni 32

Pembelajaran Logika Matematis Dengan Pendekatan Kontekstual (ContextualTeaching And Learning) Dalam Upaya Meningkatkan Kemampuan PenalaranLogis

Susi Sulistianti, Cornelis Jacob, Jarnawi Afgani Dahlan 33Pengembangan Software Pembelajaran Matematika (Pokok Bahasan Statistika)

Rini Marwati, Rachmawati, Dian Usdiyana 44Berpikir Kreatif Dan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik: Apa,Mengapa, Dan Bagaimana Mengembangkannya Pada Peserta Didik

 Nur Izzati 49Dari Cerita Gauss Kecil Sampai Teorema Stewart

Al Jupri 61Penggunaan Model Pembelajaran Matematika Interaktif Berbasis KomputerUntuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif Matematis Siswa Sma

Ansri Yunita Sari, Yaya S. Kusumah, Jarnawi Afgani Dahlan 68Upaya Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Siswa Tunarungu Kelas ViiDengan Menggunakan Media Komik Di SDLB-B Santi Rama Jakarta

Rani Nalurit, Pinta Deniyanti S., Swida Purwanto 79Metode Socrates Dan Kemampuan Berpikir Kritis

Tina Yunarti 92Pengembangan Kecakapan Matematika Sekolah: Sebuah Telaah Teoritis

Jarnawi Afgani Dahlan 99Peningkatan Kwalitas Pembelajaran Dan Pemahaman Siswa Pada KonsepVolume Bola Melalui Lesson Study 

Drs. Encang Jana, M.Pd, Drs. Asep Syarifhidayat, M.Si. 111Perbaikan Pembelajaran Matematika Kelas Vii Materi Operasi PenjumlahanAljabar Melalui Lesson Study 

Sofwan Gozali, Asep Syarif Hidayat 116Pembelajaran Berdasarkan Pada Pengembangan Zpd Siswa

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 4/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

iii

Tatang Mulyana 121Meningkatkan Kebermaknaan Konsep Matematikamelalui Pembelajaran TematikPada Kelas Awal Sekolah Dasar

Yumiati, Saleh Haji 131Mengajar Pengenalan Pola Angka Secara Komprehensif

Alexander Agung S G, Stephanus Ivan G 138Penerapan Model Computer-Based Learning  Dalam Upaya MeningkatkanKemampuan Koneksi Matematis Siswa

Sintri Arini 143Penalaran Transformasional Dan Pembuktian Matematis

Armiati 153Percakapan Matematik Untuk Mengembangkan Kemampuan BerpikirMatematika Dalam Menyelesaikan Masalah (Mathematical Discourses To

 Develop The Ability Of Mathematical Thinking In Problem Solving) Endang Wahyuningrum 160

Metode  Law Of Comparative Judgement  Dan Aplikasinya Dalam Mengukur SikapMahasiswa Terhadap Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Pemilihan Mata Kuliah Pilihan

Dian Cahyawati S. 172Implementation Of E-Learning To Support Effective Teaching And Learning ForMathematics Student Teacher Educationcase Study In Mathematics EducationStudy Program Mathematics Department State University Of Jakarta (A SummaryReport Of Research Grant I-Mhere 2009)

Tutuk Narfanti, Ratnaningsih 179Meningkatkan Peran Serta Guru Dalam Penulisan Karya Ilmiah MenujuPengembangan Profesional

C. Jacob 189Pembelajaran Problem Posing Untuk Meningkatkan Kemampuan PenalaranMatematika Siswa Sekolah Dasar

Syarifah Nur Siregar 197

Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Dan KoneksiMatematis Melalui Computer Based Problem Solving Pada Siswa Smp

Yurniwati 206Pengaruh Pendekatan Matematika Realistik Terhadap Kemampuan Siswa DalamMemahami Konsep Pecahan Dan Operasinya Ditinjau Dari Tingkat KepandaianDan Jenis Kelamin

Saleh Haji 214

Planning A Lesson To Create An Excellent Mathematics TeachingAsep Sapa’at 228

Begitu Pentingkah Apersepsi Pada Proses Pembelajaran Siswa ?Endang Dedy, Encum Sumiaty 236

Kerangka Kerja Teoritis Pembuktian Matematika Untuk Mahasiswa S1Kusnandi 240

Kemampuan Penalaran Statistis Mahasiswa Dan Upaya MeningkatkannyaMelalui Pembelajaran Model Pace

Dadan Dasari 249Pengembangan Bahan Ajar Open – Ended Dalam Pembelajaran Matematika

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 5/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

iv

Dra. Nurjanah, M.Pd 265Bidang Matematika AnalisisPengembangan Ruang Fungsi Klasik

Encum Sumiaty 272Materi Geometri Dalam International Mathematical Olympiad

Soewono 279Transformasi Linear Pada Ruang Selisih Barisan Bilangan 

Cece Kustiawan 286 Quaternion Dan Aplikasinya Dalam Rotasi 3D

Feri Ferdian Sihabumillah 295Transformasi Matriks Deret Dirichlet Holomorfik

Ahmad Sofian , Siti Fatimah 301Bidang Kajian Matematika KomputasiPenentuan Hari Dan Hari Pasar, Konversi Tanggal Antara Masehi, Hijriyyah, DanJawa-Islam

Tika Fajar Muflihah 315Pengenalan Bunyi Ucapan Menggunakan Pohon Keputusan Relasi Acak

Riko Arlando Saragih , Simon Petro Sianipar 325Bidang Kajian Matematika AljabarAljabar Operator Pada Mekanika Kuantum Dan Aplikasinya Pada Partikel DalamKisi Satu Dimensi

Imam Nugraha Albania 333Solusi Sistem Persamaan Linier Dalam Suatu Grup Divisible

Edi Kurniadi 346Konstruksi Hasil Kali Tensor Modul Dan Sifat-Sifatnya 

Euis Hartini dan Edi Kurniadi 350 

Bidang Kajian Matematika TerapanSistem Tiga-Massa Yang Tereksitasi Secara Parametrik

Siti Fatimah 355Pemodelan Difusi Oksigen Di Jaringan Tubuh Dengan Konsumsi Oksigen LinierTerhadap Konsentrasi

Kartika Yulianti 362Peramalan Kebutuhan Tenaga Listrik Dengan wavelet – Jaringan Syaraf Tiruan

Daryono Budi Utomo 363Kalkulasi Probabilitas Terobosan Pada Dinding Potensial Berketebalan

 NanometerRatno Nuryadi 372

Metode Penyelesaian Numerik Persamaan Poisson Pada Semikonduktor DenganMenggunakan Matlab

Ratno Nuryadi 381Model Penyebaran Epidemik Tanpa Vaksinasi

Jonner Nainggolan, Rustam E. Siregar, Sudradjat, Diah Chaerani 390Rancangan Heterojunction Bipolar Transistor Silikon Germanium (Hbt’s Sige)Dengan Pendekatan Poisson Equation

Tossin Alamsyah, Djoko Hartanto, Nr Poespawati 399Perluasan Model Cutting Stock  Dua Dimensi

Khusnul Novianingsih 407

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 6/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

v

Model Penyebaran Penyakit Kaki Gaja Di Kelurahan Jati

Sampurna 

Husty Serviana Husain 420

Bidang Kajian Statistika

Aplikasi Metode Taguchi Untuk Penentuan Level Faktor Proses Produksi SemiMekanis Pada Pembuatan Bata Merah

Eri Satria Dan Ardina Kusharyanti 443Perbandingan Estimasi Rapat Spektral Daya Menggunakan Method Of Equal Distance (Med) Dan Mean-Square-Error-Method  (Msem) Untuk Komunikasi Bergerak

Riko Arlando Saragih Dan Hiskia Sembiring 453Desain Faktorial Fraksional 2k-P Serta Analisisnya Berbasis Web

Candra Aji Dan Dadan Dasari 462Penerapan Prosedur Lachenbruch Pada Kasus Quadratic Discriminant Analysis

Dewi Rachmatin Dan Kania Sawitri 469Pendekatan Model Persamaan Struktural Untuk Menentukan Pengaruh BauranPromosi Terhadap Citra Perusahaan Dan Kepuasan Konsumen Dalam Kaitannya

Dengan Loyalitas PelangganMuji Gunarto Dan Dian Cahyawati S 479

Seleksi Sub Model Pada Regresi Fuzzy Simetris Iqbal Kharisudin 490

Kekonvergenan Model Binomial Dalam Penentuan Harga Opsi Eropa Fitriani Agustina 501

Beberapa Distribusi Antrian Dan PengujiannyaRini Marwati 515

Kajian Tabel Kontingensi Dalam Analisis Ketergantungan Antara Dua FaktorKualitatif Dengan Koefisien Korelasi Dan Regresi Linier Sederhana

Iwa Sungkawa 524Optimalisasi Waktu Investasi Dengan Real Option Menggunakan Matlab

Sudradjat, Elis Hertini, Siska D. Angraeni 533Optimalisasi Waktu Investasi Dengan Fuzzy Real Option 

Sudradjat, Elis Hertini, Andine Astiany 538

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 7/537

 

BIDANG KAJIAN : PENDIDIKAN MATEMATIKA

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 8/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

1

UPAYA MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWAMELALUI PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE JIGSAW

Heni PujiastutiDosen Program Studi Pendidikan Matematika

FKIP Universitas Sultan Ageng [email protected] 

ABSTRAK

Penelitian tindakan kelas ini dilatarbelakangi oleh masih rendahnya nilai rata-ratamata pelajaran matematika siswa kelas VIII C semester ganjil SMP Al Kautsar BandarLampung tahun pelajaran 2005/2006. Nilai rata-rata mata pelajaran matematika yangdiperoleh siswa hanya mencapai 5,0. Sementara, indikator keberhasilan penguasaan suatumateri pokok yang ditetapkan oleh Departemen Pendidikan Nasional yang tercantumdalam Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) adalah lebih dari atau sama dengan 6,5.Keadaan ini mendorong penulis untuk melakukan suatu upaya untuk meningkatkan hasil belajar matematika siswa melalui pembelajaran kooperatif tipe jigsaw.

Penelitian ini dilakukan dalam tiga siklus, masing-masing siklus dilaksanakansebanyak empat kali pertemuan. Setiap siklus terdiri dari tahap-tahap menentukan perencanaan, pelaksanaan tindakan, pengamatan, dan refleksi. Faktor yang diteliti dalam penelitian ini adalah hasil belajar matematika siswa. Data hasil belajar matematika siswadiperoleh dengan melaksanakan tes formatif pada setiap akhir siklus. Data yang diperolehdari setiap siklus, selanjutnya dianalisis untuk mengetahui nilai rata-rata dan presentasesiswa mendapat nilai lebih dari atau sama dengan 6,5.

Berdasarkan analisis data hasil penelitian, diperoleh nilai rata-rata siswa darisetiap siklusnya. Nilai rata-rata siswa pada siklus I yaitu 7,44 dengan persentase siswayang mendapat nilai  6,5 sebesar 66,7%. Nilai rata-rata siswa pada siklus II yaitu 7,58dengan persentase siswa yang mendapat nilai   6,5 sebesar 71,8%. Selanjutnya padasiklus III, nilai rata-rata siswa yaitu 7,77 dengan persentase siswa yang mendapat nilai  6,5 sebesar 87,2%. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat peningkatan hasil

 belajar matematika siswa setelah diberikan pembelajaran kooperatif tipe jigsaw darisiklus I, siklus II, sampai dengan siklus III.

Kata Kunci:  Pembelajaran Kooperatif Tipe Jigsaw, Hasil Belajar Siswa 

A.  PENDAHULUAN1.  Latar Belakang

Hasil belajar matematika siswa kelas VIII C semester ganjil SMP Al KautsarBandar Lampung tahun pelajaran 2005/2006 masih rendah. Hal ini dapat dilihat dari rata-rata nilai mata pelajaran matematika yang diperoleh siswa hanya mencapai 5,0.Sedangkan indikator keberhasilan penguasaan suatu materi pokok menurut DepartemenPendidikan Nasional yang tercantum dalam Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK)adalah lebih dari atau sama dengan 6,5. Oleh karena itu, diperlukan suatu alternatif

 pembelajaran untuk mengatasi permasalahan tersebut. Alternatif pembelajaran yangdipilih yaitu pembelajaran kooperatif tipe jigsaw.

Slavin (1995: 25) mengungkapkan bahwa pembelajaran kooperatif tipe jigsawmerupakan suatu model pembelajaran yang fleksibel. Dalam arti bahwa jigsawmemberikan perubahan-perubahan yang berarti bagi siswa. Siswa akan terbiasa dalammempelajari materi yang diajarkan melalui aktivitasnya dengan mempelajari lembarkegiatan dan literature yang ada dalam suatu kelompok. Selain itu, siswa juga akanmemiliki kecakapan dalam menyampaikan pendapatnya melalui diskusi. Struktur tujuan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 9/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

2

dalam model belajar kooperatif tipe jigsaw akan menciptakan situasi dimana satu-satunyacara agar anggota kelompok dapat mencapai tujuan dan hasil belajar pribadi yangmaksimal hanya apabila kelompok itu berhasil. Oleh karena itu, siswa saling mendoronguntuk belajar, saling memperkuat upaya akademik dan saling berinteraksi yangmenunjang pencapaian hasil belajar yang maksimal.

Dalam pembelajaran kooperatif tipe jigsaw, siswa bekerja dan belajar dalamkelompok yang relatif heterogen yang beranggotakan empat sampai dengan enam siswa.Setiap anggota kelompok bertanggung jawab atas penguasaan materi yang ditugaskankepadanya, kemudian mengajarkan materi tersebut kepada anggota kelompok yang lain.Masing-masing anggota kelompok yang mendapat tugas penguasaan bagian materi itudisebut ahli. Setiap anggota kelompok dapat memilih materi yang akan dipelajarinya atauditunjuk oleh guru sesuai dengan kemampuan mereka. Anggota dari kelompok yang berbeda dengan topik yang sama (ahli) bertemu untuk berdiskusi antar ahli. Selanjutnya,anggota kelompok ahli kembali pada kelompok masing-masing untuk menjelaskankepada anggota dalam kelompoknya tentang apa yang dibahas dalam kelompok ahli.

Peningkatan hasil belajar melalui pembelajaran kooperatif tipe jigsaw sejalandengan hasil penelitian As’ari tahun 2002 yang menunjukkan bahwa pembelajarankooperatif tipe jigsaw dapat meningkatkan potensi siswa dalam hasil belajar akademis,

rasa percaya diri, sikap terhadap sekolah, dan hubungannya dengan teman sebaya. Olehkarena itu, dengan diterapkannya pembelajaran kooperatif tipe jigsaw diharapkan dapatmeningkatkan hasil belajar siswa kelas VIII C semester ganjil SMP Al Kautsar BandarLampung tahun pelajaran 2005/2006.2.  Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk meningkatkan hasil belajar matematika siswa kelasVIII C semester ganjil SMP Al Kautsar Bandar Lampung tahun pelajaran 2005/2006melalui pembelajaran kooperatif tipe jigsaw.3.  Ruang Lingkup Penelitian

Ruang lingkup dalam penelitian ini sebagai berikut:a.  Pembelajaran kooperatif tipe jigsaw adalah model belajar kelompok, dimana setiap

kelompok terdiri dari beberapa anggota (empat sampai dengan enam siswa). Setiapanggota kelompok bertanggung jawab atas penguasaaan materi yang telah

ditugaskan dan mampu mengajarkan materi tersebut kepada anggota lain dalamkelompoknya. b.  Hasil belajar matematika siswa adalah suatu pencapaian usaha belajar yang

ditunjukkan oleh nilai rata-rata tes pada setiap akhir siklus.c.  Penelitian tindakan kelas ini dilakukan pada siswa kelas VIII C semester ganjil SMP

Al Kautsar Bandar Lampung tahun pelajaran 2005/2006.

B.  METODE PENELITIAN1.  Subjek Penelitian

Subjek penelitian ini adalah siswa kelas VIII C semester ganjil SMP Al KautsarBandar Lampung tahun pelajaran 2005/2006 yang terdiri dari 39 orang; 28 siswa perempuan dan 11 siswa laki-laki. Dalam pembentukan kelompok kelas dibagi menjadi 9kelompok, dimana enam kelompok terdiri dari empat siswa dan tiga kelompok lain terdiri

dari lima siswa.

2.  Jenis PenelitianPenelitian ini merupakan penelitian tindakan kelas yang memuat tiga siklus.

Setiap siklus terdiri dari tahap-tahap menentukan perencanaan, pelaksanaan tindakan, pengamatan, dan refleksi. Masing-masing siklus terdiri dari empat pertemuan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 10/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 11/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

4

lembar catatan lapangan untuk melihat aktivitas siswa dan guru selama pembelajaran,dan perangkat tes formatif I.

§  Pelaksanaan TindakanSecara garis besar, urutan kegiatan setiap pertemuan pada setiap siklusnya sebagai berikut: (1) membaca, siswa membaca dan mempelajari topik-topik ahli yang telahditentukan selama 10 menit; (2) diskusi kelompok ahli, siswa dengan topik materiyang sama bertemu dalam kelompok ahli untuk berdiskusi selama 20 menit; (3)laporan kelompok , masing-masing ahli kembali ke kelompok asalnya untukmenjelaskan topik materi yang telah diskusikan kepada anggota kelompok asalnyaselama 30 menit. Setelah semua anggota menjelaskan topik materinya, siswadiberikan tugas dalam LKS untuk dikerjakan secara kelompok dan setiap akhir pertemuan diakhiri dengan presentasi kelompok serta pemberian penghargaanterhadap kelompok sesuai dengan kriteria yang ditetapkan ( good team, great team,dan super team). Selanjutnya, pada setiap akhir siklus dilakukan tes formatif.

§  PengamatanPengamatan adalah kegiatan yang mendokumentasikan segala sesuatu yang berkaitan

dengan pelaksanaan proses pembelajaran menggunakan lembar catatan lapanganyang telah disediakan.§  Refleksi

Pada tahap ini dilakukan kegiatan mengolah, menganalisis, dan membuat kesimpulan berdasarkan hasil tes formatif siswa dan lembar catatan lapangan. Hal ini bertujuanuntuk mengetahui perkembangan kemajuan siswa dan kekurangan dalam kegiatan pembelajaran kooperatif tipe jigsaw sebagai evaluasi dan pertimbangan untuk perbaikan pada siklus berikutnya.

Setelah proses pembelajaran kooperatif tipe jigsaw dilaksanakan, maka diperolehdata hasil tes formatif siswa dari setiap siklusnya. Selanjutnya, data tersebut diolah dandianalisis untuk mengetahui nilai rata-rata dan banyaknya siswa yang memperoleh nilailebih dari atau sama dengan 6,5. Hasil belajar siswa pada setiap siklus dapat dilihat padaTabel 1 dan peningkatan hasil belajar siswa dapat dilihat pada Tabel 2 di bawah ini.

Tabel 1. Hasil Belajar Siswa pada Siklus I, II dan III

SiklusNilai Rata-rata

(Nr)

Banyaknya siswa yangmemperoleh nilai ≥ 6,5

(%)

I 7,4466,7 %

(26 siswa)

II 7,5871,8 %

(28 siswa)

III 7,7787,2 %

(34 siswa)Tabel 2. Peningkatan Hasil Belajar Siswa

Siklus

Peningkatan Hasil Belajar

Nilai Rata-rata(Nr)

Banyaknya siswa yangmemperoleh nilai ≥ 6,5

(%)

I ke II 0,14 poin 5,1%

II ke III 0,19 pon 15,4%

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 12/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

5

3.  PembahasanPenerapan pembelajaran kooperatif tipe jigsaw dapat meningkatkan hasil belajar

matematika siswa. Hal ini dapat ditunjukkan dari perolehan hasil belajar siswa padasetiap siklus. Hasil belajar siswa pada siklus I dengan materi bahasan operasi hitung pada bentuk aljabar ini memperoleh nilai rata-rata 7,44. Siswa yang mendapat nilai lebih dariatau sama dengan 6,5 sebanyak 26 siswa atau 66,7%. Sedangkan siswa yang mendapatnilai kurang dari 6,5 sebanyak 13 siswa atau 33,3%. Menurut indikator keberhasilan maka pembelajaran siklus I dapat disimpulkan belum berhasil, karena banyaknya siswa yangmemperoleh nilai lebih dari atau sama dengan 6,5 belum mencapai 85%.

Berdasarkan catatan lapangan, pembelajaran kooperatif tipe jigsaw pada siklus I belum mencapai indikator keberhasilan disebabkan oleh beberapa kendala yang terjadi pada saat pelaksanaan, di antaranya:§  Masih banyak siswa yang belum mengerti tentang prosedur pelaksanaan

 pembelajaran kooperatif tipe jigsaw;§  Pengelolaan kelas masih kurang baik karena masih banyak siswa yang ribut, tidak

memperhatikan penjelasan guru, dan bermain-main pada saat diskusi kelompok;§  Siswa belum dapat beradaptasi dengan teman sekelompoknya sehingga belajar

kelompok belum berjalan dengan baik terutama saat belajar dalam kelompok ahli;

§  Kurangnya kesadaran siswa untuk mengerjakan soal-soal dalam LKS.Beberapa upaya perbaikan yang dilakukan pada siklus II yaitu memberikan penjelasan dan pemahaman kepada siswa tentang pentingnya kerjasama dalam kelompokyang terwujud melalui interaksi antar siswa dalam diskusi dan mengerjakan LKS. Selainitu, melakukan pendekatan kepada siswa secara individual terutama saat berdiskusi agarsiswa lebih bersemangat dalam kegiatan pembelajaran. Kemudian memberikankesempatan kepada siswa untuk mengemukakan pendapat dan bertanya terhadap kendalayang dihadapi dalam diskusi kelompok sehingga kelas akan lebih terkontrol.

Hasil belajar siswa pada siklus II dengan materi bahasan operasi hitung pada bentuk aljabar memperoleh nilai rata-rata 7,58. Siswa yang mendapat nilai lebih dari atausama dengan 6,5 sebanyak 28 siswa atau 71,8%. Sedangkan siswa yang mendapat nilaikurang dari 6,5 sebanyak 11 orang atau 28,2%. Hasil analisis terhadap hasil belajar siswa pada siklus II menunjukkan bahwa indikator keberhasilan pembelajaran masih belum

tercapai. Hal ini disebabkan oleh beberapa kendala yang terjadi pada saat pelaksanaansiklus II, diantaranya:§  Pengelolaan kelas masih kurang baik karena masih banyak siswa yang ribut, tidak

memperhatikan penjelasan guru, dan bermain-main pada saat diskusi kelompok ahli.§  Masih banyak siswa yang belum menyadari arti pentingnya belajar dalam kelompok.§  Masih banyak siswa dan kurang memahami topik materi yang ditugaskan.

Hasil belajar siswa dari siklus I ke siklus II menunjukkan adanya peningkatan. Nilai rata-rata tes formatif I adalah 7,44 sedangkan pada tes formatif II adalah 7,58,dengan demikian terdapat peningkatan sebesar 0,14 poin. Jika dilihat dari banyaknyasiswa yang memperoleh nilai lebih dari atau sama dengan 6,5 diketahui bahwa padasiklus I terdapat sebanyak 66,7% (26 siswa) sedangkan pada siklus II sebanyak 71,8% (28siswa), artinya terdapat peningkatan banyaknya siswa yang memperoleh nilai lebih dariatau sama dengan 6,5 dari siklus I ke siklus II sebesar 5,1%. Walaupun peningkatan ini

tidak terlalu tinggi, namun terlihat bahwa siswa mulai termotivasi untuk lebih aktif dalamkegiatan pembelajaran dan meningkatkan hasil belajarnya.

 Namun, tidak dapat dipungkiri bahwa masih banyak kendala yang dihadapiselama proses pembelajaran siklus II, seperti penguasaan kelas yang masih kurangsehingga banyak siswa yang tidak serius ketika belajar dalam kelompoknya masing-masing. Selain itu, terbatasnya waktu untuk mengadakan pendekatan dan bimbingankepada siswa secara individual. Oleh karena itu, perbaikan-perbaikan terhadap tindakan pada siklus II masih perlu dilakukan dan dilakukan pada siklus III. Perbaikan-perbaikan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 13/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

6

tersebut di antaranya meningkatkan usaha pendekatan secara individual terutama kepadasiswa yang hasil belajarnya masih rendah, serta memotivasi siswa untuk lebih giat belajardengan teman sekelompoknya dan saling membantu pada saat belajar dengan anggotasekelompoknya terutama siswa yang hasil belajarnya masih rendah.

Hasil belajar siswa pada siklus III dengan materi bahasan bentuk fungsi inimemperoleh nilai rata-rata 7,77. Siswa yang mendapat nilai lebih dari atau sama dengan6,5 sebanyak 34 siswa atau sekitar 87,2%. Sedangkan siswa yang mendapat nilai kurangdari 6,5 sebanyak 5 siswa atau 12,8%. Hal ini menunjukkan terdapat peningkatan hasil belajar siswa dari siklus II ke siklus III. Nilai rata-rata tes formatif II adalah 7,44sedangkan pada tes formatif III adalah 7,77, dengan demikian terdapat peningkatansebesar 0,19 poin. Jika dilihat dari banyaknya siswa yang memperoleh nilai lebih dariatau sama dengan 6,5 diketahui bahwa pada siklus II sebanyak 71,8% (28 siswa)sedangkan pada siklus III sebanyak 87,2% (28 siswa), artinya terdapat peningkatan banyaknya siswa yang memperoleh nilai lebih dari atau sama dengan 6,5 yaitu sebesar15,4%. Menurut indikator keberhasilan maka pembelajaran siklus III dapat disimpulkantelah berhasil, karena banyaknya siswa yang memperoleh nilai lebih dari atau samadengan 6,5 sudah mencapai lebih dari 85%.

Selain indikator keberhasilan yang telah ditetapkan yaitu 85% siswa memperoleh

nilai lebih dari atau sama dengan 6,5 dapat tercapai, pembelajaran kooperatif tipe jigsaw juga telah memberikan dampak positif bagi siswa, yaitu siswa menjadi lebih semangatdalam berdiskusi. Hal ini dikarenakan pembelajaran kooperatif tipe jigsaw memiliki beberapa kelebihan, di antaranya dapat memotivasi siswa untuk lebih giat belajar dan peran siswa yang berkemampuan tinggi sangat membantu teman sekelompoknya yang berkemampuan rendah dalam memahami konsep materi dan soal-soal dalam LKS. Selainitu, adanya diskusi dapat melatih siswa untuk berani bertanya kepada guru, lebih kritisdalam menyampaikan pendapat, berani menjelaskan dan mempresentasikan hasil belajarkepada temannya.

D.  SIMPULAN DAN SARAN1.  Simpulan

Berdasarkan hasil analisis data dan pembahasan, diperoleh kesimpulan bahwa

terdapat peningkatan hasil belajar matematika siswa kelas VIII C semester ganjil SMP AlKautsar Bandar Lampung tahun pelajaran 2005/2006 setelah diberikan pembelajarankooperatif tipe jigsaw. Peningkatan hasil belajar matematika siswa dari siklus I ke siklusII sebesar 0,14 poin dan 0,19 poin dari siklus II ke siklus III. Selain itu, terdapat peningkatan pula jika dilihat dari banyaknya siswa yang memperoleh nilai lebih dari atausama dengan 6,5. Banyaknya siswa yang memperoleh nilai lebih dari atau sama dengan6,5 mengalami peningkatan dari siklus I ke siklus II sebesar 5,1% dan dari siklus II kesiklus III sebesar 15,4%.

2.  SaranBerdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, beberapa saran yang dapat

diberikan di antaranya:a.  Sebelum melaksanakan pembelajaran kooperatif tipe jigsaw, hendaknya siswa

diberikan pemahaman yang cukup mengenai arti pentingnya kerjasama dan belajardalam kelompok, agar proses pembelajaran dapat berjalan dengan baik sesuai denganrencana yang telah tetapkan sehingga hasil belajar matematika yang diperoleh siswalebih maksimal. 

 b.  Untuk memperoleh peningkatan hasil belajar matematika yang lebih baik, perludilakukan penelitian tindakan yang memuat lebih dari tiga siklus.

c.  Untuk penelitian lebih lanjut, perlu diteliti mengenai penerapan pembelajarankooperatif tipe jigsaw sebagai upaya untuk meningkatkan kemampuan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 14/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

7

matematik yang lebih khusus, seperti komunikasi, representasi, koneksi, pemecahan masalah, penalaran, dan koneksi matematik. 

DAFTAR PUSTAKAAiny, Chusnal. (2000).  Model Pembelajaran Kooperatif Jigsaw dalam Pengajaran

 Matematika di Sekolah Dasar . Tesis PPs Program Studi Pendidikan MatematikaUNS Surabaya.Tidak diterbitkan.Arikunto, Suharsimi. (2003).  Dasar-dasar Evaluasi Pendidikan (Edisi revisi). Jakarta:

Bumi Aksara.

As’ari, Abdurrahman. (2003).  Pembelajaran Matematika Dengan Cooperatif Learning .(Makalah dalam Semiloka Pendidikan Matematika Di Universitas Lampungtanggal 31 Mei 2003).

Djamarah, Syaiful B. (1995). Strategi Belajar Mengajar . Jakarta: Rineka Cipta.

Ibrahim, Muslimin dkk. (2000).  Pembelajaran Kooperatif . Surabaya: University PressUNS.

Marsell, J. (1995). Psikologi Untuk Membimbing . Jakarta: Gunung Mulia.

 Nasution, S. (1987). Didaktik Asas-asas mengajar . Jakarta: Bumi Aksara.

Sardiman, AM. (1994). Interaksi dan Motivasi Belajar Mengajar . Jakarta: PT. RajaGrafindo Persada.

Slavin, RE. (1997). Educational Psychology. Boston: Allyn and Bacon.

Sudjana S, Djudju. (2000). Strategi Pembelajaran. Bandung: Falah Production.

Sugijono dan A. M Cholik. (2004). Matematika Untuk SMP Kelas VIII . Jakarta: Penerbit

Erlangga.

Tabrani, Rusyan A. (1989).  Pendekatan Dalam Proses Belajar Mengajar . Bandung:Remaja Rosdakarya..

Trisulistyorini, Heni. (2000).  Pengelolaan Kelas Yang Efektif (Suatu Pendekatan Praktis). Jakarta: Arcan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 15/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

8

Profil Kemampuan Spasial Guru Matematika SMP di Kota Medan

Edi SyahputraPendidikan Matematika FMIPA Unimed

Email: [email protected] 

Jozua SabandarJurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI 

ABSTRAK

Tulisan ini merupakan hasil penelitian tentang kemampuan spasial ( spatialability) guru matematika SMP di Medan. Hasil penelitian diperoleh dengan penelaahansecara mendalam hasil tes mengenai kemampuan spasial 59 orang guru matematika SMPnegeri dan swasta di Medan. Guru-guru yang diteliti dibagi atas tiga kategori masa kerjayaitu: kurang dari 15 tahun, antara 15 sampai 20 tahun, dan lebih dari 20 tahun.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa dari 20 item soal kemampuan spasial yangdiujikan skor terendah adalah 2 dan skor tertinggi adalah 20 dengan rata-rata 12,61 dan

simpangan baku 4,41789 (dengan asumsi setiap satu soal dijawab benar diberi skor 1).Hasil penelitian juga menunjukkan hubungan antara perolehan skor tes dan lamanya bertugas berkorelasi negatip yaitu r = -0,08528 dengan persamaan garis regresi liniersederhana y = 14,29 – 0,078x. Ini mengindikasikan bahwa lamanya bertugas berbandingterbalik dengan kemampuan spasial guru. Dengan kata lain bertambah lama seorang guru bertugas maka skor kemampuan spasialnya cenderung lebih rendah.

Secara deskriptip guru yang masa tugasnya kurang dari 15 tahun rata-rata skortesnya 17,5 sedangkan guru dengan masa tugas antara 15 sampai 20 tahun rata-rataskornya 12,76 dan guru bermasa tugas di atas 20 tahun rata-rata skor tesnya 11,94.Ditinjau dari usia guru, ternyata hubungan antara perolehan skor tes dan umur juga berkorelasi negatip yaitu r = -0,18147 dengan persamaan garis regresi linier sederhana y= 19,7 – 0,155x dan simpangan baku 5,17. Ini menunjukkan bahwa bertambah tua usiaguru maka skor hasil tesnya cenderung lebih rendah.

Kata Kunci : Kemampuan Spasial ( spatial ability)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 16/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

9

PENERAPAN METODE LAGRANGEUNTUK MENENTUKAN MAXIMUM UTILITY  

DARI FUNGSI UTILITY COBB-DOUGLASDENGAN KENDALA HARGA

Eti [email protected] 

FMIPA UNISBA

Abstrak

Metode Lagrange adalah suatu metode untuk mengidentifikasi titik stasioner darimasalah optimasi dengan kendala persamaan. Salah satu aplikasi dari metode inidigunakan untuk menentukan maximum utility , khususnya dari fungsi utility Cobb-Douglas, yaitu suatu fungsi utility yang merepresentasikan Cobb-Douglas preferences.

Tujuan dari tulisan ini adalah menunjukkan sifat-sifat fungsi utility Cobb-Douglas dan menerapkan metode Lagrange untuk menentukan maximum utility darifungsi utility Cobb-Douglas dengan kendala harga.Kata kunci   : fungsi utility Cobb-Douglas, metode Lagrange. Marshallian.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 17/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

10

”Self -Regulated Learn ing ” dalam Pembelajaran Matematika di Sekolah*)

Oleh :  Kms. Muhammad Amin Fauzi* * )  

Alamat : FM IPA Un imed Jl. Wil lem Iskandar Pasar V Medan Estate-Medan  Email : [email protected] m  

ABSTRAK  

 Di dalam proses pembelajaran Matematika setiap siswa atau peserta didik selalu diarahkan agar menjadi peserta didik yang mandiri, dengan mandiri siswa merasa percaya diri dan dapat menghadapi tantangan kehidupan diluar sekolah yang lebih kompleks. Untuk menjadi mandiri seseorang siswaharus belajar, sehingga dapat dicapai suatu kemandirian belajar khususnyadalam belajar matematika. Karena itu siswa harus difasilitasi dandikondisikan agar mereka dengan kesadaran mau belajar. Kemandirian

belajar atau belajar mandiri yang merupakan arti dari kata Self-Regulated Learning (SRL) merupakan suatu sifat yang sudah ada pada setiap orangdan situasi pembelajaran merupakan salah satu faktor yang menentukankeberhasilan belajar siswa di sekolah. Pembelajaran mandiri ditandai oleh peran kesadaran berpikir, penggunaan strategi dan motivasi yangberkelanjutan. Siswa yang meregulasi dirinya dalam belajar memegangkeyakinan dapat menyelesaikan tugas akademik mereka sehari-hari. Pengaturan diri dapat ditingkatkan melalui bimbingan yang tepat, strategi yang efektif dan menciptakan konteks yang mendukung dan menantang. Kemandirian belajar siswa dapat dibangun dan dikembangkan melalui proses scaffolding yang kendali secara berangsur-angsur bergeser dari para guru ke siswa sesuai dengan kemampuan dan karakteristik siswa, dengantahapan: observasi diri, mengendalikan diri dan akhirnya sampai pada apa

 yang disebut dengan siswa mandiri. Siswa yang mandiri bukan berartimemisahkan diri dengan orang lain. Dengan belajar mandiri, siswa dapatmentransfer hasil belajarnya yang berupa pengetahuan dan keterampilan kedalam situasi yang lain dan kepada siswa yang lain. Berarti di sini siswabekerja sama secara aktif dengan para guru dan siswa lainnya di dalamkelas. Belajar mandiri adalah kegiatan belajar aktif, yang didorong olehniat atau motif untuk menguasai suatu kompetensi guna mengatasi suatumasalah, dan dibangun dengan bekal pengetahuan atau kompetensi yangdimiliki. Penetapan kompetensi sebagai tujuan belajar, dan cara pencapaiannya baik penetapan waktu belajar, tempat belajar, irama belajar, gaya belajar, cara belajar, maupun evaluasi belajar dilakukan oleh siswa sendiri.

Kata Kunci : Kemandirian, Berpikir dan Belajar

*) Disampaikan pada Seminar Nasional tanggal 19 Desember 2009 diUPI Bandung**) Kms. Muhammad Amin Fauzi adalah Dosen Unimed Medan dan

Sedang Studi S3 Pendidikan Matematika di UPI Bandung

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 18/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

11

A. PendahuluanBelajar matematika berkaitan dengan aktivitas dan proses belajar dan berpikir.

Hal tersebut bertalian erat dengan karakteristik matematika sebagai suatu ilmu dan humanactivity, yaitu bahwa matematika dapat membentuk pola pikir (mind-set ), pola pembuktian yang logis dan taat azas serta konsisten. Pandangan matematika sebagaiaktivitas manusia membawa siswa selalu aktif dengan (menyelidiki, menemukan danmemecahkan masalah) dalam pembelajaran untuk mencapai aspek kemampuan formalsecara mandiri. Oleh karena itu, tanpa difasilitasi dan dikondisikan agar mereka dengankesadaran mau belajar, akan sangat sulit untuk dapat mencapai kemandirian belajar.Aktivitas kemandirian belajar akan terjadi apabila seseorang individu berhadapan dengansuatu situasi atau masalah yang mendesak dan menantang serta dapat memicunya untuk belajar memikirkan masalah yang sedang dihadapi agar diperoleh kejelasan atau jawabanterhadap masalah yang dihadapi atau dimunculkan dalam situasi di kelas atau di luarkelas.

Mengapa kemandirian belajar perlu dikembangkan dalam pembelajaranmatematika di kelas dan di luar kelas ? Ada anggapan beberapa orang (guru) denganmengajar rumus-rumus matematika dan dilanjutkan dengan meminta siswa untukmenghafalnya sudah cukup untuk digunakan dalam menyelesaikan masalah. Anggapan

seperti ini secara langsung membatasi kreatif siswa dan mengurangi kesempatan bahkanmungkin meniadakan kesempatan bagi siswa untuk belajar secara mandiri dan membatasi berlatih berpikir dalam pembelajaran matematika. 

Paling tidak secara umum, ada beberapa alasan yang berkaitan dengan pertanyaandi atas, pentingnya kehadiran kemandirian belajar siswa dalam proses pembelajaranmatematika karena tuntutan kurikum agar siswa dapat menghadapi persoalan di dalamkelas maupun di luas kelas yang semakin komplek dalam kehidupan sehari-hari. Disamping itu prinsip-prinsip pembelajaran mandiri yang dapat digunakan guru di dalamkelas, yaitu dalam kategori penilaian-diri, sebagai refleksi bagaimana para guru dapatmenganalisis gaya belajar mereka sendiri, mengevaluasi pemahaman mereka sendiri, danmodel pemantauan kognitif. Dalam kategori pengelolaan-diri, sebagai refleksi bagaimana para guru dapat meningkatkan penguasaan orientasi tujuan, waktu dan sumberdaya manajemen, dan menggunakan "kegagalan" sebagai introspeksi diri. Dalam

kategori membahas bagaimana pengaturan-diri  bisa diajarkan dengan berbagai taktikseperti instruksi langsung, metakognitif diskusi, pemodelan, dan penilaian kemajuan diri.Begitu juga terdapat fakta dilapangan dengan pembelajaran yang monoton tidak dapatmengembangan kemandirian belajar siswa secara optimal. Di sini memaksimalkan peranguru untuk membantu siswa menjadi lebih mandiri, punya strategi dan termotivasi dalam pembelajaran matematika mereka sehingga dapat menerapkan berbagai strategi merekadalam berbagai konteks yang bermakna di luar sekolah.

Alasan lain yang lebih spesifik terkait dengan paradigma keefektivan proses pembelajaran berkaitan dengan nuansa  student-centered-learning dan  self-regulated-learning. bahwa dalam aktivitas belajar siswa (baik di dalam kelas maupun di luar kelas)harus menjadi individu yang aktif (kritis, kreatif dan efektif) dalam membentuk pengetahuan, dapat menentukan sendiri kondisi belajar, proses belajar dan memilih pengalaman belajarnya serta pengetahuan utama yang ingin dicapai ( goals). Selain itu,

terdapat paradigma bahwa pembelajaran dikatakan efektif apabila ketika siswa dapatlebih berkembang dengan memanfaatkan pengalaman (terjadi asimilasi dan akomodasi)sehingga siswa dapat menggunakan pengetahuan yang baru secara aktif untuk memberimakna tersendiri sebagai skemata baru. Tentunya siswa tidak sekedar menjadi penerimainformasi yang pasif melainkan harus berjuang dengan berpikir (kritis, kreatif dan efektif)tentang topik yang sedang dipelajari. Pada kesempatan ini tentunya siswa diberikesempatan untuk memperdayakan dirinya dengan apa yang diketahuinya, sehingga pengetahuan dan pengalaman yang sudah ada diberi kesempatan untuk diberdayakan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 19/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

12

Untuk itu diperlukan upaya guru memfasilitasi dan mengkondisikan secarasengaja agar tercapai pembelajaran yang memungkinkan siswa untuk dapat mengalamidan mengembangkan dirinya dalam belajar matematika. Harapan ini tentunya menkajitentang upaya-upaya yang dapat dilakukan dalam menciptakan “ self-regulated ” dapatmenjadi referensi berguna bagi para praktisi pendidikan matematika dalam upayameningkatkan kualitas pembelajaran untuk mencapai hasil belajar yang lebih baik. 

B. Arti dan Peran Kemandirian Belajar dalam Berpikir dan BelajarPara ahli psikologi memberikan pengertian kemandirian belajar atau Self- 

Regulated Learn ing  (SRL) yang beragam, diantaranya pendapat Frank dan Robert (1988)SRL merupakan kemampuan diri untuk memonitor pemahamannya, untuk memutuskankapan ia siap diuji, untuk memilih strategi pemrosesan informasi yang baik. Konsep belajar mandiri (Self-directed learning ) sebenarnya berakar dari konsep pendidikan orangdewasa. Namun demikian berdasarkan beberapa penelitian yang dilakukan oleh para ahliseperti Garrison (1997), Schillereff (2001), dan Scheidet (2003) ternyata belajar mandiri juga cocok untuk semua tingkatan usia. Dengan kata lain, belajar mandiri sesuai untuksemua jenjang sekolah baik untuk sekolah menengah maupun sekolah dasar dalam rangkameningkatkan prestasi dan kemampuan siswa.

Istilah kemandirian belajar menjadi populer di tahun 1980-an karena muncul penekanan otonomi dan tanggungjawab siswa untuk bertanggung jawab terhadap pembelajaran mereka sendiri. Hal ini ditandai dengan banyaknya penelitian tentangstrategi kognitif, metakognitif dan motivasi dalam suatu kesatuan membangun interaksiantara kekuatan-kekuatan itu. Hal ini dianggap “diri” sebagai penentu keberhasilan dalammenetapkan tujuan pembelajaran dan persepsi diri mempengaruhi kualitas pembelajaranyang terjadi. Sementara itu, dalam sepuluh tahun terakhir, arah penelitian difokuskan pada perspektif konstruktivis SRL  (misalnya, Paris & Byrnes, 1989), berkaitan denganhal-hal sosial SRL (misalnya, Pressley, 1995; Zimmerman, 1989) dan berkaitan dengan perubahan perkembangan SRL (misalnya, Paris & Newman, 1990), dan pada taktik untukmempromosikan pengajaran SRL (misalnya, Butler & Winne, 1995). Sifat yang integratifdirangsang SRL peneliti untuk mempelajari lebih luas dan lebih dalam konteks masalah-masalah pengajaran dan pembelajaran sambil juga menunjukkan nilai SRL sebagai tujuan

 pendidikan di semua tingkatan kelas. Apa yang penting bagi guru adalah bahwa SRLdapat membantu menjelaskan cara-cara pendekatan kepada individu yang bermasalah,menerapkan strategi, memantau kinerja mereka, dan menafsirkan hasil usaha mereka.Dalam tinjauan singkat ini memfokuskan pada tiga karakteristik utama SRL; kesadaran berpikir, penggunaan strategi dan motivasi berkelanjutan yaitu:

(a) Kesadaran akan berpikir .Bagian dari menjadi mandiri melibatkan kesadaran berpikir efektif dan analisis dari salahsatu kebiasaan berpikir sendiri.  Metacognition,  atau berpikir tentang berpikir (Flavell,1978 dan Brown, 1978) pertama kali yang mempopulerkan. Mereka menunjukkan bahwa anak-anak usia 5-16 tahun menjadi semakin sadar tentang pengetahuan pribadimereka sendiri, karakteristik tugas yangdiberikan mempengaruhi belajar, dan strategimereka sendiri untuk pemantauan belajarnya. Paris dan Winograd (1990) merangkum

aspek-aspek metacognition  sebagai pengembangkan kompetensi siswa untuk penilaian-diri dan manajemen-diri dan membahas bagaimana aspek-aspek pengetahuan dapatmembantu mengarahkan upaya siswa ketika mereka belajar. Tujuan pendidikan tidaksemata-mata untuk membuat siswa memikirkan pemikiran mereka sendiri tetapi,sebaliknya, untuk menggunakan pengetahuan metakognitif untuk memandu rencana yangmereka buat, strategi yang mereka pilih, dan interpretasi aktivitas belajar merekasehingga kesadaran mengarah ke pemecahan masalah yang efektif. Pendekatan inikonsisten dengan pendapat Bandura (1986) yang menekankan bahwa pengaturan diri

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 20/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

13

melibatkan tiga proses yang saling berkaitan; pengamatan diri, evaluasi diri, dan reaksidiri. Memahami proses-proses ini dan menggunakannya adalah bagian dari SRL metakognitif.

(b) Penggunaan strategi .Bagian kedua SRL melibatkan perserta didik tumbuh dengan menggunakan strategi-untuk belajar, mengendalikan emosi, mengejar tujuan, dan sebagainya. Namun, kita harusmenekankan bahwa perhatian kita adalah dengan "yang strategis" ketimbang "memiliki"sebuah strategi. Ini adalah satu hal untuk mengetahui apakah strategi dengan hal yang berbeda cenderung untuk digunakan, memodifikasi sebagai perubahan kondisi tugas, danselalu dapat membahas dan mengajarkannya. Ada tiga aspek penting strategimetakognitif, sering disebut sebagai pengetahuan deklaratif (apa strategi), pengetahuan prosedural (bagaimana strategi beroperasi), dan pengetahuan kondisional (kapan danmengapa strategi harus diterapkan) (Paris, Lipson, & Wixson, 1983). Mengetahuikarakteristik strategi ini dapat membantu siswa untuk membedakan kontra produktif daritaktik dan kemudian menerapkan strategi yang tepat. Ketika siswa berstrategis,sebaiknya mereka mempertimbangkan pilihannya sebelum memilih taktik untukmemecahkan masalah dan kemudian mereka selalu mencoba dalam menggunakan strategi

itu. Kondisi yang optimal untuk mengembangkanpengaturan diri terjadi ketika siswamempunyai kesempatan untuk mencapai tujuan melaui penemuan bermakna. Meluangkanlebih banyak waktu untuk tugas-tugas mereka, menunjukkan konsentrasi yang lebih besar, memproses informasi lebih dalam dan menunjukkan tingkat ketekunan yang lebih besar. Di sisi lain, bila siswa merasa dipaksa untuk mencapai tujuan, mereka lakukantentunya kurang baik, skor rendah pada sejumlah hasil akademik. SRL mewujudkan pilihan-pilihan strategi ini karena mereka adalah hasil dari analisis kognitif sebagaialternatif untuk memecahkan masalah.

(c )  Motivasi berkelanj utan  Aspek ketiga adalah motivasi SRL karena belajar memerlukan upaya dan pilihan. SRL melibatkan motivasi dalam mencapai tujuan belajar, kesulitan yang dirasakan dan nilaitugas, persepsi diri dari kemampuan siswa untuk menyelesaikan tugas, dan potensi

tanggung jawab dari keberhasilan atau kegagalan. Kesadaran dan refleksi dapatmenyebabkan berbagai tindakan tergantung pada motivasi individu tersebut. pendidikSRL  dicirikan sebagai seperangkat sikap positif, strategi, dan motivasi untukmeningkatkan keterlibatan dengan tugas-tugas berpikir tetapi siswa juga dapat mengaturdiri untuk menghindari belajar atau untuk meminimalkan tantangan. Ketika siswa bertindak untuk menghindari kegagalan dari pada mengejar kesuksesan, atribut belajarmereka adalah kekuatan tak terkendali, mereka merusak belajar mereka sendiri. Dalam pandangan ini, guru perlu memahami motivasi siswa dalam memahami bagaimanamereka belajar, tugas apa yang mereka pilih, dan mengapa mereka menampilkankegigihan dalam belajar atau, sebaliknya, menghindari dan sikap apatis. Karena guru perlu mendiagnostik tentang gaya belajar siswa, akan sangat membantu siswa untukmenganalisis kesadaran, penggunaan strategi, dan motivasi mereka. Analisis ini padagilirannya, memungkinkan mereka untuk merancang lebih baik instruksi yang dapat

membuat pembelajaran lebih bermakna bagi mereka.

SRL mencakup tiga tahap dasar kegiatannya yakni sebelum, selama dan sesudahmelaksanakan tugas belajar, seperti terlihat pada gambar 1 berikut :

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 21/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

14

Slide 11

SRL m odel (Schmitz, 2001; Zimmerman, 2000)

Emot ion

Goals

Motivation

Situationalprecondi t ions

Task

Plannedstrategy

Pre-action

 Ac ti o n

Monitor ing

Learning strategyVolit ion

Time

 A chi eve m ent

Post-act ion

Em ot ion

Goal m odif icat ion

ValidationReflect ionComparison

Strategy modif icat ion

Individuallearningprocess

Social influence

 Gambar 1. SRL Model Schmitz dan Zimmerman

Zimmerman (1989) mendefinisikan SRL  sebagai derajat metakognisi,motivasional dan perilaku individu di dalam proses belajar yang dijalani untuk mencapaitujuan belajar. Sedangkan Winne (1997) menyatakan bahwa SRL mencakup kemampuanstrategi kognitif, belajar untuk belajar dan belajar sepanjang masa. Berbeda denganWinne (1997) dalam pandangan Wolters (1998) SRL adalah kemampuan seseorang untukmengelola secara efektif pengalaman belajarnya sendiri di dalam berbagai cara sehinggamencapai hasil belajar yang optimal. Selanjutnya pendapat Knain dan Turmo (2000) yangdimaksud SRL adalah suatu proses yang dinamik dimana siswa membangun pengetahuan,keterampilan, dan sikap pada saat mempelajari konteks yang spesifik. Untuk siswa perlumemiliki berbagai strategi belajar, pengalaman menerapkannya dalam berbagai situasi,dan mampu merefleksi secara efektif. Kemudian, Wolters, Pintrich dan karabenick (2003)menegaskan bahwa SRL  adalah suatu proses konstruktif dan aktif dimana siswamenentukan tujuan dalam belajar, dan mencoba untuk memonitor, mengatur, danmengendalikan kognisi, motivasi dan perilakuk dengan dibimbing dan dibatasi olehtujuan dan karateristik kontekstual dalam lingkungan.

Selanjutnya Montalvo dan Torres (2004) memberikan pengertian SRL yaitugabungan antara keterampilan dan kemauan. Demikian pula menurut Sumarmo (2004 :1)SRL merupakan proses perancangan dan pemantauan diri yang seksama terhadap proseskognitif dan afektif dalam menyelesaikan suatu tugas akademik. Dalam hal ini, Hargis(Sumarmo, 2004 :1) menekankan bahwa yang dimaksud SRL  bukan merupakankemampuan mental atau keterampilan akademik tertentu, tetapi merupakan proses pengarahan diri dalam mentranformasi kemampuan mental ke dalam keterampilan

akademik tertentu. Pengaturan diri mengacu pada pikiran, perasaan dan tindakan yangdirencanakan dan disesuaikan untuk mencapai tujuan (Zimmerman, 2000) meliputi :menetapkan tujuan untuk belajar, berkonsentrasi pada instruksi, menggunakan strategiyang efektif untuk mengorganisir ide-ide, menggunakan sumber daya yang ada secaraefektif, monitoring kinerja, mengelola waktu secara efektif dan memegang keyakinan positif tentang kemampuan seseorang. Pengaturan diri juga termasuk keterampilanmetakognitif (Flavell, 1979) yaitu pemahaman sendiri terhadap keterampilan kognitif,termasuk memori, perhatian dan masalah-masalah pemecahan masalah matematika.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 22/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

15

Pakar lain mendefinisikan SRL, antara lain : merupakan suatu proses  yang bersifat membangun dan aktif, di mana siswa menetapkan beberapa tujuan ( goals) belajar  mereka, kemudian mencoba untuk memonitor  , mengatur  (regulated ) dan mengendalikankesadaran  (cognition), motivasi ,  perilaku mereka yang diarahkan dan dibatasi oleh beberapa tujuan belajar mereka yang berhubungan dengan lingkungan belajar mereka(Pintrich 2000, hal : 453), sedangkan menurut Zimmerman (1989) merupakan strategi ,tindakan dan proses yang diarahkan untuk mendapatkan informasi atau kemampuan yangmelibatkan perantara , tujuan , dan persepsi strategi , tindakan dan proses yang diarahkanuntuk mendapatkan informasi atau kemampuan yang melibatkan perantara, tujuan, dan persepsi siswa.

SRL  dan keyakinan akan perlunya motivasi merupakan komponen yang kritis pada proses belajar mengajar saat ini (Schunk, 2005), dan sampai saat ini beberapa peneliti meyakini bahwa komponen SRL  punya hubungan dengan prestasi akademiksiswa  (Azevedo & Cromley, 2004; Kramarski & Gutman, 2006; Pintrich & De Groot,1990; Zimmerman, 1998). Disamping itu juga perlu diperhatikan beberapa faktorlingkungan sosial yang mempengaruhi siswa dalam menyelesaikan tugas (pekerjaanrumah). Sebagai contoh, beberapa peneliti juga menguji pengaruh orang tua dan paraguru terhadap siswa dalam menyelesaikan tugas mereka (Cooper, Jackson, Nye, &

Lindsay, 2001; Cooper & Valentine, 2001).Pengertian SRL yang lebih terinci lagi disampaikan oleh Hiemstra (1994:1) yangmendeskripsikan belajar mandiri sebagai berikut:1. Setiap individu siswa berusaha meningkatkan tanggung jawab untuk mengambil

 berbagai keputusan dalam usaha belajarnya.2. Belajar mandiri dipandang sebagai suatu sifat yang sudah ada pada setiap orang dan

situasi pembelajaran;3. Belajar mandiri bukan berarti memisahkan diri dengan orang lain;4. Dengan belajar mandiri, siswa dapat mentransfer hasil belajarnya yang berupa

 pengetahuan dan keterampilan ke dalam situasi yang lain.5. Siswa yang melakukan belajar mandiri dapat melibatkan berbagai sumber daya dan

aktivitas, seperti: membaca sendiri, belajar kelompok, latihan-latihan, dialogelektronik, dan kegiatan korespondensi.

6. Peran efektif guru dalam belajar mandiri masih dimungkinkan, seperti dialog dengansiswa, pencarian sumber, mengevaluasi hasil, dan memberi gagasan-gagasan kreatif.7. Beberapa institusi pendidikan sedang mengembangkan belajar mandiri menjadi

 program yang lebih terbuka (seperti Universitas Terbuka) sebagai alternatif pembelajaran yang bersifat individual dan program-program inovatif lainnya.

Berdasarkan beberapa pendapat para ahli dan beberapa pertimbangan di atas,maka belajar mandiri atau SRL dapat diartikan sebagai usaha individu untuk melakukankegiatan belajar secara sendirian maupun dengan bantuan orang lain berdasarkanmotivasinya sendiri untuk menguasai suatu materi dan atau kompetensi tertentu sehinggadapat digunakannya untuk memecahkan masalah yang dijumpainya di dunia nyata.

C. Aspek-aspek yang esensial di dalam kemandirian belajar (Self-RegulatedLearning )

Self -Regulated Learni ng   (SRL) merupakan suatu kecederungan menggunakankemampuan diri sendiri untuk menyelesaikan suatu masalah secara bebas, progresif, dan penuh dengan inisiatif. Kemampuan ini penting karena keberhasilan dalam kehidupanakan diukur dari kesanggupan bertindak dan berpikir sendiri, dan tidak tergantung kepadaorang lain.

Menurut Zimmerman (Pape et al, 2003) terdapat tiga tahap kemandirian dalam belajar yaitu :

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 23/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

16

1. Berpikir jauh ke depan. Dalam hal ini siswa merencanakan kemandirian perilakudengan cara menganalisis tugas dan menentukan tujuan-tujuan.

2. Kinerja dan kontrol. Dalam hal ini siswa memonotor dan mengotrol perilakunyasendiri, kesadaran, motivasi dan emosi

3. Refleksi diri. Dalam hal ini siswa menyatakan pendapat tentang kemajuan sendiri danmerubahnya sesuai dengan prilakunya.

Pada saat siswa mengembangkan dan menerapkan kemandirian belajarnya,sangat dipengaruhi oleh kepercayaan diri ( self-efficacy) dan motivasinya, sehingga dapatdikatakan bahwa menjadi siswa yang mandiri tergantung kepada kepercayaan terhadapdiri sendiri dan motivasinya. Untuk mengetahui seberapa self-efficacy  siswa dalammenyelesaikan soal matematika, berikut ini diberikan contoh.

Guru memberikan soal seperti pada gambar persegi PQRS berikut.

S b a R

a c a

b

b c b

P QDari gambar tersebut dengan menghitung luas persegi dari segitiga siku-siku yangmembentuknya, berapa luas persegi PQRS tersebut ?Setelah diberikan waktu untuk mengerjakan soal tersebut, misalkan ada tiga siswa yangmenyelesaikannya masing-masing sebagai berikut.Siswa-1: Setelah menyelesaikan soal itu dan diyakini benar, maka siswa-1 langsungmengumpulkan pekerjaannya.Siswa-2  : Setelah selesai mengerjakan soal, kemudian dia memeriksa jawabannya agardiyakini betul, baru dikumpulkan.

Siswa-3  : Mengerjakan soal tersebut dengan menggunakan dua cara penyelesaian dankedua jawaban itu betul. Di samping itu dia juga memeriksa kembali kebenaran jawabannya, dengan cara mengecek/membandingkan hasil cara 1 (menghitung luas persegi dan segitiga siku-siku yang membentuknya) dengan cara 2 (menghitung luas persegi PQRS secara langsung) setelah itu baru dikumpul.

Dari ketiga jawaban siswa itu, kita dapat mengatakan bahwa siswa-3 mempunyai self-efficacy  yang lebih tinggi. Hal ini dikarenakan kepercayaan diri akan benar atas jawaban soal matematika tinggi, proses yang dilalukannya memberikan kepercayaan diriyang mantap, ini ditunjukkan dengan menyelesaikan jawaban dengan dua cara dan benar,serta memeriksa ulang jawabannya. Begitu juga self-efficacy  siswa-2 lebih baikdibandingkan dengan siswa-1.

Apabila seorang siswa dalam menyelesaikan soal matematika dengan berbagaicara/strategi dan selalu menginginkan tantangan dengan soal lain yang sulit hal inimenunjukkan  self-efficacy nya tinggi. Membentuk budaya kemandirian dan percaya diriyang tinggi, karena seorang yang memiliki self-efficacy itu menandakan seseorang akan belajar terus walaupun dia sudah lulus, mempunyai motivasi intrinsik yang tinggi danselalu bertanya pada dirinya sendiri apakah jawaban saya sudah benar, apa ada yang salahdari jawaban dan bagaimana kalau dengan cara lain, tidak mustahil anak yang demikianmenjadi anak yang berbakat. Anak berbakat sering menunjukkan kemampuanleadership dan memiliki keterlibatan yang intens dalam komunitas bidang minat tertentu.Anak berbakat umumnya lebih independen, lebih dominan, lebih kuat dan lebih

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 24/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

17

kompetitif dibanding anak-anak umumnya. Suasana belajar yang mendukung situasi diatas tidak hanya interaksi guru dengan siswa, tetapi lebih dari itu seperti terlihat padagambar 2 berikut.

Gambar 2. Interaksi optimal antara guru-siswa dan siswa-siswaKadar suatu proses pembelajaran Ausubel (1978) mengatakan dalam dua dimensi

yaitu (1) kebermaknaan bahan ajar dan proses pembelajaran (2) modus-modus pembelajaran. Bahan ajar terkait dengan jenis isi pelajaran dan cara menyampaikannya, proses pembelajaran terkait dengan teori-teori belajar dan ketersediaan sumber belajar.Tidak semua modus ekspositoris selalu kurang/tidak bermakna bagi siswa dan tidakselamanya modus discovery selalu bermakna penuh bagi siswa. Hal ini menunjukkan bahwa dua dimensi proses pembelajaran menurut Ausubel di atas merupakan dua variabelindependen dalam mendukung SRL.

Bandura (Sumarmo, 2004: 2) menyatakan tiga langkah dalam melaksanakan SRL yaitu : mengamati dan mengawasi diri sendiri, membandingkan posisi diri dengan standartertentu, dan memberikan respon sendiri (respon positif dan respon negatif). Paris danWinograd (2004) menegaskan, tiga karakteristik utama dari SRL yaitu kesadaran berpikir, penggunaan strategi, dan motivasi yang terpelihara. Masing-masing karakteristik tersebutdipaparkan sebagai berikut :1.  Metakognisi

Pengertian metakognisi menurut Paris dan Winograd (2004) yaitu berpikirtentang berpikir. Masih menurut beliau bahwa aspek-aspek dari metakognisi ketika

mengembangkan kompetensi seseorang pada  self-appraisal   (menilai diri) dan  self-management   (mengatur diri), serta mendiskusikan bagaimana aspek-aspek dari pengetahuan ini dapat membantu mengarahkan upaya siswa ketika mereka belajar. Selainitu bandura (Paris dan Winograd, 2004) menekankan bahwa kemandirian belajarmelibatkan tiga proses yang saling berkaitan: observasi diri, evaluasi diri, dan reaksi diri.Memahami ketiga proses ini, kemudian menggunakannya merupakan bagian metakognisidari kemandirian belajar. Metakognisi merupakan kesadaran seseorang tentang proses berpikirnya pada saat melakukan tugas tertentu seperti doing   math  dan kemudianmenggunakan kesadaran tersebut untuk mengontrol apa yang dilakukan.2.  Penggunaan strategi

Bagian kedua dari kemandirian belajar adalah melibatkan urutan yang berkembang dari seseorang, untuk belajar, mengendalikan emosi, mengejar tujuan,dansebagainya.

Paris,Lipson, dan Wixson (Paris dan Winograd, 2004) menyatakan ada tigakomponen aspek penting dari strategi metakognisi, sering merujuk pada pengetahuan deklaratif (apa yang disebut dengan strategi), pengetahuan procedural(bagaimana strategi bekerja), dan pengetahuan kondisional (kapan dan mengapa suatustarategi diterapkan). Mengatahui ketiga karakter strategi dapat membantu siswa untukmembedakan strategi yang produktif, dan kemudian menerapkan strategi yangsesuai. Pada saat siswa menjadi strategis, mereka akan memperhatikan pilihan-pilihansebelum memilih strategi untuk menyelesaikan masalah. Pilihan ini merupakan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 25/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

18

kemandirian belajar, karena merupakan hasil dari analisis kognitif dari opsi-opsialternative untuk melakukan pemecahan masalah3.  Motivasi yang dipertahankan (sustained motivation)

Aspek ketiga dari kemandirian belajar adalah motivasi. Karena belajarmemerlukan upaya dan pilihan. Kemandirian belajar me;ibatkan keputusan motivasionaltentang tujuan sutu aktivitas, perasaan ketidakmampuan dan menilai tugas, persepsi diritentang kemampuan untuk menyelesaikan tugas, dan keuntungan potensial darikeberhasilan atau pertanggungjawaban atas kegagalan. Kesadaran dan refleksi dapatmengarah pada berbagai tindakan, bergantung pada motivasi sisiwa.

Selanjutnya, Paris dan Winograd (2004) mengelompokan dua belas prinsipkemandirian belajar ke dalam empat kategori:

1.  Menilai diri mengarah pada pemahaman belajar yang lebih dalam.Menilai diri secara periodic akan bermanfaat bagi guru dan sisiwa, karenamerupakan refleksi pada pembelajaran yang dinamik:a.  Menganalisis gaya dan strategi belajar, membandingkannya dengan yan lain,

meningkatkan kesadaran akan cara-cara belajar yang berbeda. b.  Mengevaluasi apa yang diketahui dan apa yang tidak diketahui, melihat

kedalaman pemahaman tentang pokok-pokok materi, mempromosikan upaya

yang efisien.c.  Penilaian diri dari proses belajar dan out-come secara periodic, adalah suatukebiasaan yang bermanfaat untuk dikembangkan, karena akan meningkatkan pengendalian kemajuan, menstimulasi strategi yang diperbaiki, danmeningkatkan perasaan self-efficacy.

2.  Mengatur diri dalam berpikir, berupaya,dan meningkatkan pendekatan yangfleksibel pada pemecahan masalah yang adaptif (menyesuaikan diri), tekun, pengendalian diri, strategis, dan berorientasi tujuan.a.  Mentargetkan tujuan yang sesuai dan dapat dicapai tetapi menantang, paling

efektif dipilih siswa. b.  Mengatur waktu dan sumber-sumber melalui perencanaan yang efektif dan

mengontrol , merupakan factor penting dalam menagatur prioritas, mengatasifrustasi, dan dengan tekun menyelesaikan tugas.

c.  Mereviu belajar sendiri, merevisi pendekatan, atau bahkan memulai sesuatudari yang baru, memonitor diri dan komitmen pribadi untuk mencapai kinerjastandar tinggi.

3.  Self-regulation dapat diajarkan dengan berbagai caraDikarenakan kemandirian belajar fleksibel dan adaftif, bebagai strategi yang berbeda dan motivasidapat ditekankan pada siswa yang berbeda. Self-regulationdapat diajarkan dengan pengajaran secara explisif, refleksi langsung, dan diskusimetakognisi; dapat ditingkatkan secara tidak langsung,dan diskusi metakognisi;dapat ditingkatkan secara tidak langsung, dengan pemodelan dan aktivitas yangmemerlukan analisis reflektif dari belajar, mengevaluasi, membuat peta, danmendidskusikan bukti-bukti dari pertumbuhan seseorang; terpilih dalam pengalaman naratif dan identitas dari setiap individu.

4.  Belajar adalah bagian dari kehidupan seseorang, dan sebagai akibat dari karakter

seseorang. Dengan pandangan ini, kemandirian belajar dibangun oleh karakterdari kelompok yang diikutinya.a.  Bagaimana individu memilih untuk menilai dan memonitor perilaku mereka,

umumnya konsisten dengan identitas yang mereka pilih dan inginkan.b.  Memperoleh perspektif sendiri pada pendidikan dan belajar, menyediakan

suatu kerangka kerja naratif, yang akan memperdalam kesadaran pribadi dari self-regulation.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 26/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

19

c.  Partisipasi dalam suatu komunitas yang reflektif akan meningkatkan banyakdan kedalaman pengujian kebiasaan self-regulation seseorang. 

Zimmerman (Darr dan Fisher, 2004) dengan ungkapan yang agak berbeda, bahwakemandirian belajar meliputi tiga fase utama yang berulang yaitu :  forethought   (pikiransebelumnya atau sesudahnya),  Performance control   (mengontrol kinerja) dan  self-reflection (refleksi diri). Forethought melibatkan menganalisis tugas dan mengatur tujuanyang dikehendaki.  Performance control mengacu pada memonitor dan mengontroltindakan kognitif, sikap, emosi dan motivasi yang mempengaruhi kinerja. Self-reflection berkaitan dengan membuat pertimbangan tentang apa yang telah dicapai dan merubah perilaku dan orientasi, apabila diperlukan.

Pendapat yang sejalan dengan Zimmerman di atas, yaitu Schunk dan Zimmerman(Sumarno, 2004 : 20) terdapat tiga phase utama dalam siklus kemandirian belajar yaitu :merancang belajar, memantau kemajuan belajar selama menerapkan rancangan, danmengevaluasi hasil belajar secara lengkap. Kegiatan masing-masing tahapan menurutSchunk dan Zimmerman dirinci sebagai berikut:1.  Merancang belajar meliputi kegiatan : menganalisis tugas belajar, menetapkan tujuan

 belajar dan merancang strategi belajar.2.  Memantau kemajuan belajar merupakan kegiatan dengan mengajukan pertanyaan

kepada diri sendiri: apakah strategi yang dilaksanakan sesuai dengan rencana,apakah saya kembali pada kebiasaan lama, apakah saya tetap memusatkan diri, danapakah strategi yang telah direncanakan berjalan dengan baik.

3.  Mengevaluasi hasil dilakukan melalui pertanyaan : apakah strategi telahdilaksanakan dengan baik (evaluasi proses), hasil apakah yang telah dicapai(evaluasi produk), dan kesesuaian strategi dengan jenis tugas belajar yang dihadapi.

Apabila kita perhatikan pengertian kemandirian belajar di atas dan aspek-aspeknya, meskipun para ahli memberikan penjelasan yang agak berbeda, tetapi memuattiga karakteristik utama yang serupa yaitu : individu merancang belajarnya sendiri sesuaidengan keperluan atau tujuan individu yang bersangkutan, individu memantau kemajuan belajarnya sendiri, mengevaluasi hasil belajarnya dan dibandingkan dengan standartertentu (Sumarno, 2004 : 4). Burt Sisco (Hiemstra, 1998) membuat sebuah model yangmembantu individu untuk menjadi lebih mandiri dalam belajar. Menurut Sisco ada 6

langkah kegiatan untuk membantu individu menjadi lebih mandiri dalam belajar, yaitu:(1) pre-planning (aktivitas sebelum proses pembelajaran), (2) menciptakan lingkungan belajar yang positif, (3) mengembangkan rencana pembelajaran, (4) mengidentifikasiaktivitas pembelajaran yang sesuai, (5) melaksanakan kegiatan pembelajaran danmonitoring, dan (6) mengevaluasi hasil pembelajar individu. 

Demikian pula, Pintrich (1999) menegaskan meskipun terdapat berbagai modelkemandirian belajar, tetapi pada umumnya model-model mengasumsikan bahwa aspek penting dari kemandirian belajar adalah siswa menggunakan berbagai strategi kognitifdan metakognitif untuk mengontrol dan mengatur belajarnya. Model kemandirian belajaryang dikemukakan oleh Pintrich (1999) meliputi tiga kategori umumnya yaitu ;1.  Cognitive learning strategies (strategi belajar kognitif)

Menurut Pintrich (1999) strategi ini merujuk pasa karya Weinstein dan Mayer padatahun 1986 yang meliputi tiga aspek strategi kognitif yaitu rehearsal (persiapan),

elaborasi, dan mengorganisasikan yang terkait dengan kinerja akademik di kelas.Staregi ini dapat diterapkan pada tugas-tugas memori sederhana (simple memorytask), seperti memanggil kembali informasi atau kata-kata, membuat daftar) sampaitugas yang lebih rumit. Berikut ini merupakan uraian singkat dari aspek strategikognitif:a.  Strategi rehearsal (persiapan) digunakan antara lain ketika : menghafalkan yang

dipelajari, mengucapkan dengan suara keras, menggarisbawahi kata-kata. Staregiini dianggap dapat membantu siswa memilih informasi penting dariteks, dan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 27/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

20

menyimpan informasi tersebut secara aktif dalam working memory, meskipunmungkin tidak merefleksikan proses pemahaman yang dalam.

 b.  Strategi elaborasi digunakan antara lain, meringkas suatu paragrap atau materi,menciptakan analogi, mencatat dengan mengorganisasikan kembali danmengkoneksikan ide-ide dari pada hanya mencatat apa yang ditulis guru di papan tulis, menjelaskan suatu ide kepada siswa lain, bertanya dan menjawab.

c.  Strategi organisasi adalah strategi yang menggunakan proses yang lebih dalam,digunakan antara lain untuk memilih ide utama dari teks atau materi,menggunakan berbagai teknik untuk memilih dan mengorganisasikan ide-ide(peta konsep, mengidentifikasikan struktur)

2.   Metacognitive and Self-regulatory Strategies  (strategi metakognitif dan strategimengatur diri)

Pintrich, Wolters dan Baxter (Pintrich, 1999) menyarankan bahwa pengetahuanmetakognitif dibatasi pada pengetahuan siswa tentang seseorang, tugas dan strategi,sedangkan pengaturan diri mengarah pada cara siswa memantau, mengontrol danmenagatur aktivitas kognitif dan sikap mereka. Pada umumnya, strategi mengatur diri danstrategi metakognitif meliputi tiga aspek strategi yaitu :  planning   (perencanaan),

monitoring  (pemantauan) dan regulation (pengaturan). Meskipun ketiga jenis strategi inisecara konsep saling berkaitan, tetapi dapat didiskusikan secara terpisah. Berikut inidijelaskan tiga aspek strategi mengatur diri dan strategi metakognitif:a.  Planning   (perencanaan), merupakan suatu aktivitas siswa yang meliputi :

menentukan tujuan untuk belajar, membaca sepintas sebelum benar-benar membaca,membuat pertanyaan sebelum membaca dan melakukan analisis masalah. Aktivitas inimembantu siswa merencanakan penggunaan strategi metakognitif dan memudahkansiswa untuk mengaktifkan aspek-aspek yang relevan dari pengetahuan sebelumnya,mengorganisasikan dan memahami materi.

b.  Monitoring   (pemantauan),  dalam hal ini memantau pikiran dan sikap akademikadalah aspek yang esensial dari kemandirian belajar. Untuk dapat menjadi  self-regulating (mandiri), harus ada suatu tujuan, standar atau criteria yang dibandingkandengan hasil pemikiran, sehingga terjadi proses pemantauan. Aktivitas pemantauan

meliputi antar lain : memantau perhatian pada saat membaca atau mendengar ceramahguru, self-testing melalui membuat pertanyaan untuk memantau pemahaman baik padasaat membaca atau mendengarkan di kelas, menggunakan strategi test-taking (antaralain memantau penggunaan waktu yang tersedia dan kecepatan bekerja) pada waktuujian. Srtategi pemantauan ini merupakan lampu kuning bagi siswa, dan dapatdiperbaiki dengan menggunakan strategi pengaturan selanjutnya. 

c.  Regulating (pengaturan),  strategi ini berkaitan erat dengan strategi pemantauan.Ketika siswa belajar dengan tujuan atau criteria tertentu, proses pemantauan terjadi,sehingga apabila terjadi penyimpangan dalam belajar, proses pemantauan akanmenyarankan suatu kebutuhan untuk proses regulation (pengaturan), dan proses pengaturan akan membawa sikap kembali menuju atau mendekati kriteri atau tujuan.Misalkan jika siswa membuat pertanyaan untuk memantau pemahaman, dan siswa belum memahami, maka strategi pengaturan yang dilakukan adalah kembali ke

konteks (The role of contex) atau mengulang materi yang belum dipahami ataumembaca kembali, termasuk memperlambat kecepatan dalam membaca. Dalam ujian,misalkan siswa belum dapat menjawab maka strategi pengaturan adalah menunda soaltersebut dn menyelesaikan soal lain. 

d.  Resource management strategies (strategi manajemen sumber),  strategi ini berkaitan dengan penggunaan, mengatur dan mengontrol lingkungan; misalkanmengatur waktu, lingkungan belajar, lingkungan orang sekeliling termasuk guru danteman sebaya, melalui penggunaaan strategi mencari bantuan (help-seeking ). 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 28/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

21

Masing-masing individu mempunyai tingkat kemandirian belajar yang bervariasi,tetapi belum ada aturan yang baku untuk menentukan hal itu. Pendapat Tillmann danWeiss (2000) bahwa siswa dikatakan mandiri dalam belajar, berarti yang bersangkutanmemiliki kemampuan untuk mengembangkan pengetahuan, keterampilan dan sikap, yangmeningkatkan dan menfasilitasi belajar selanjutnya dan juga mengabstraksi pengetahuanyang diperoleh untuk dapat ditranfer pada situasi belajar yang lain. Masih menurutTillmann dan Weiss (2000) siswa dikatakan mandiri dalam belajar pada tingkatan prilaku jika memilih, menyusun, dan mencipkana lingkungan sosial dan material secara aktifyang akan mengoptimalkan proses belajarnya; kemudian siswa dikatakan mandiri dalam belajar pada aktivitas metakognitif jika merencanakan, mengorganisasikan, danmengevaluasi secara terus menerus.

Demikian juga pendapat Yang (Sumarmo, 2004 : 2) siswa yang memilikikemandirian belajar yang tinggi cenderung belajar yang lebih baik dalam pengawasannyasendiri dari pada dalam pengawasan program; mampu memantau, mengevaluasi, danmengatur belajarnya secara efektif; menghemat waktu dalam menyelesaikan tugasnya;dan mengatur belajar dan waktu secara efisien. Dengan demikian kemandirian belajarakan terwujud apabila siswa aktif mengontrol sendiri segala sesuatu yang dikerjakan,mengevaluasi dan selanjutnya merencanakan sesuatu yang lebih dalam pembelajaran

yang dilalui dan siswa mau aktif di dalam proses pembelajaran yang ada.

D. Hasil-hasil Penelitian Pendukung SRL Penelitian telah menunjukkan bahwa peran metacognition  merupakan elemen

kunci dalam pengaturan diri. Pengaturan diri juga termasuk keterampilan metakognitif(Flavell, 1979) yaitu pemahaman sendiri terhadap keterampilan kognitif dalam pemecahan masalah. Penelitian yang dilakukan oleh Wolters (1998), memberikaninformasi yang menarik tentang hubungan SRL dengan regulation of motivation siswa.Dalam penelitian itu Wolters (1998) memilah  problem motivasional   dalam 3 (tiga)wilayah yakni: 1). materi pelajaran yang tidak relevan (tidak bernilai bagi siswa);2). materi pelajaran yang sulit; 3). materi pelajaran yang membosankan. Terhadap tiga persoalan motivasional tersebut responden dihadapkan pada empat kemungkinan strategi penyelesaian yang dipilih dalam wilayah a). extrinsic regulation; b). instrinsic regulation;

c ). information processing ; d) volition.Temuan penelitian ini menunjukkan bahwa, setiap inidividu akan menggunakanstrategi penyelesaian masalah yang berbeda-beda terhadap karakter problem motivasionalyang berbeda. Kondisi ini sangat relevan bagi anak berbakat yang memang lebihindependen, menyukai situasi kompetitif, memiliki minat yang luas terhadap bidang- bidang kehidupan. Kebebasan untuk menentukan sendiri pilihan-pilihan kegiatan belajar, pemecahan masalah dan target akhir adalah hal yang bisa menjadikan belajar sebagaisesuatu yang menantang dan menyenangkan (enjoying ).

Penelitian yang terbatas dilakukan (Duncan et al, 2007) menunjukkan bahwa potensi pengaturan diri memberikan hasil yang sama tanpa memandang jenis kelaminatau latar belakang sosio-ekonomi. Kinerja matematika hasilnya serupa untuk anak laki-laki dan perempuan, dan juga untuk anak-anak tinggi dan rendah latar belakang sosio-ekonomi keluarganya. Dukungan juga dari hasil penelitian (Gilliom et al, 2002)

mengatakan penggunaan pengaturan diri dalam melindungi diri dari gangguan adalahsetara dengan antara kelompok berpenghasilan rendah, sedang dan anak berpenghasilantinggi. Hasil temuan ini menunjukkan bahwa kemampuan penggunaan pengaturan diritidak bervariasi secara signifikan di seluruh kelompok pendapatan anak, tapi terkait berpenghasilan rendah dapat menghambat anak dalam pengembangan pengaturan diri.

Studi Pape et al (2003) tentang kemandirian belajar siswa dalam matematikamenunjukkan bahwa kemandirian belajar siswa dalam matematika pada akhir penelitianlebih baik dibandingkan dengan sebelumnya.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 29/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

22

E. PenutupPengaturan diri dapat ditingkatkan melalui bimbingan yang tepat, strategi yang

efektif dan menciptakan conteks-conteks pembelajaran yang menantang dan terkaitdengan struktur kognitis siswa. Pembelajaran mandiri ditandai dengan kesadaran berpikir, penggunaaan strategi dan adanya motivasi yang berguna untuk membangun pengalamansehungga siswa mengerti. Karena siswa mempunyai kesempatan untuk mengembangkanketerampilan mereka dengan memilih kegiatan mereka sendiri dengan mengambilinisiatif untuk menemukan kebermaknaan dalam belajar.

Guru di kelas memastikan bahwa siswa mendapatkan pengetahuan yangdibutuhkan untuk menyelesaikan tugas-tugas secara mandiri. Guru mendorong siswamemperoleh tujuan belajar, kesalahan dianggap sebagai kesempatan penting untuk belajarsebagai refleksi diri menuju lebih baik. Kesinambungan siswa belajar di sekolah dengan belajar di rumah menjadi modal penting untuk memperbaiki diri. Pengaturan diri sebagaikerangka untuk belajar adalah hal yang menghubungkan program-program yang berhubungan dengan strategi belajar, kemampuan berpikir dan belajar. Intervensi yang berfokus pada siswa memberikan keefektivan bagi untuk berpikir dan belajar. Berarti adakebutuhan untuk meningkatkan pembelajaran mandiri sebagai efek langsung pada

 pencapaian akademis. Secara khusus, teori pembelajaran mandiri menekankansignifikansi konsep diri siswa dan efektivitas diri untuk belajar, dengan cara ini membuatkoneksi diri penting antara bagaimana mengelola siswa belajar dan pemahaman dirimereka.

Daftar Pustaka

Bandura, A. (1986). Social foundations of thought and action: A social cognitive theory .Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.

Butler, DL, & Winne, PH (1995). Feedback and self-regulated learning: A theoreticalsynthesis. Review of Educational Research, 65 , 245–281.

Darr, C dan Fisher, J. (2004). Self-Regulated Learning in The Mathematics Class. [online] Tersedia: http://www.nzcer.org.nz/pdfs/13903.pdf   [11 Nopember 2009]

Flavell, JH (1978). Metacognitive development. In JM Scandura, & CJ Brainerd (Eds.),Structural/process theories of complex human behavior  . The Netherlands:Sijthoff & Noordoff.

Knain, E dan Turmo, A. (2000). Self-Regulated Learning. [online] Tersedia:http://www.pisa.no/nordisk-pisa2000/kap.8.pdf  [11 Nopember 2009]

Pape, S.J. et.al. (2003). “Developing Mathematics Thinking and Self-RegulatedLearning:Teaching Experiment in Seventh-Grade Mathematics Classroom”. Journal Educational Studies in Mathematics. 53. 179-202

Paris, S.G dan Winograd, P. (2004). The Role of Self-Regulated Learning in ContextualTeaching: Principle and Practices for Teacher Preparation. [online] Tersedia:http://www.ciera.org/library/archive/200104/0104parwin.htm   [11 Nopember2009].

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 30/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

23

Paris, SG, & Turner, JT (1994). Situated motivation. In P. Pintrich, C. Weinstein, & D.Brown (Eds.), Student motivation, cognition, and learning: Essays in honor ofWilbert J. McKeachie. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Paris, SG, Lipson, MY, & Wixson, K. (1983). Becoming a strategic reader.Contemporary Educational Psychology, 8 , 293–316.

Paris, SG, & Newman, RS (1990). Developmental aspects of self-regulated learning. Educational Psychologist, 25, 87–102.

Paris, SG, & Winograd, PW (1990). How metacognition can promote academic learningand instruction. In BJ Jones & L. Idol (Eds.), Dimensions of thinking andcognitive instruction (pp.15–51). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Pressley, M. (1995). More about the development of self-regulation: Complex, long-term,and thoroughly social. Educational Psychologist, 30 , 207–212.

Pintrich, P.R.(1999). The Role of motivation in Promoting and Sustaining Self-Regulated

Learning. [online] Tersedia: www.ece.uncc.edu/succed/journals/PDF-files/ijer -12.pdf. [11  Nopember 2009].

Sumarmo, U. (2004).  Kemandirian Belajar : Apa, Mengapa dan Bagaimana Dikembangkan pada Peserta Didik . Makalah Disajikan pada Seminar PendidikanMatematika di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Yogyakartatangggal 8 Juli 2004 : tidak diterbitkan.

Tilmann, K.J. dan Weisss, M. (2000). Self-Regulated Learning as a Cross-CurricularCompetence (PISA). [online] Tersedia: www. pisa.no/pdf/turmo-ioste2004.pdf[11 Nopember 2009].

Wolters, C.A; Pintrich, P.R; dan Karabenick, S.A (2003). Assessing Academic Self-

Regulated Learning. [online] Tersedia: www.childrends.org/Files/Wolters   Pintrich Karabenick Paper.pdf. [11  Nopember 2009].

Zimmerman, BJ (1989). A social-cognitive view of self-regulated academic learning. Journal of Educational Psychology, 81 , 329–339.

Zimmerman & D. Schunk (Eds.), Self-regulated learning and academic achievement:Theory, research, and practice (pp. 169–200). New York: Springer-Verlag.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 31/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

24

ANALISIS PROSES BERPIKIR MATEMATIKA ANTARA DOSEN,MAHASISWA (GURU SD & NON GURU SD) PGSD DAN SISWA SD DALAM

PEMBELAJARAN MATEMATIKA(Peneliti an pada Mahasiswa PGSD, Guru SD dan Siswa SD di Banten )

Supriadi

UPI Kampus Serang

Abstrak

Proses berpikir matematika pada setiap siswa, mahasiswa dan guru SDmempunyai kesamaan yaitu lebih menyenangi berpikir vertikal.Sehingga agar ada perubahan ke arah berpikir lateral maka perlu adanya perbaikan dalam bahan ajar, gurudan cara pandang siswa terhadap suatu permasalah matematika.

Kata Kunci: Proses Berpikir Matematika, Guru SD, Mahasiswa PGSD dan Siswa SD

PendahuluanTampaknya kita tidak bisa memungkiri sebuah ungkapan “Matematika”merupakan bagian tak terpisahkan dalam kehidupan seseorang”. Karena setiap aktivitasyang dilakukan seseorang, tentu tidak akan terlepas dari matematika. Matematikamerupakan aspek penting untuk membentuk sikap, demikian menurut Ruseffendi (1991),sehingga tugas pengajar selain menyampaikan materi matematika dengan baik juga harusdapat membantu membentuk pembentukan sikap peserta didiknya.

Matematika masih merupakan salah satu bidang studi yang sulit dan anggapan bahwa matematika tidak disenangi atau bahkan paling dibenci, masih saja melekat padakebanyakan siswa yang mempelajarinya (Ruseffendi,1984). Hal tersebut menjadi tugas pengajar untuk memperbaiki anggapan tersebut agar menjadi baik.

Anggapan negatif terhadap matematika tersebut menular di perkuliahanmatematika mahasiswa di Pendidikan Guru Sekolah Dasar (PGSD). Matematika masih

dianggap sebagai mata kuliah yang sulit dan banyak mahasiswa yang merasa takut jikamengontrak mata kuliah matematika. Anggapan tersebut berdampak pada hasil UTS danUAS mahasiswa PGSD yang selalu kurang memuaskan.

Permasalahan di atas tidak bisa ditumpahkan semuanya kepada dosen sebagai pengajar. Keberagaman mahasiswa yang melatarbelakangi pendidikan mahasiswa PGSD,yakni mereka berasal dari berbagai jurusan, baik IPA, IPS maupun bahasa. Sehinggamasih memungkinkan adanya anggapan negatif terhadap matematika.

Penulis mengamati terkadang proses berpikir matematika antara dosen denganmahasiswa sangat jauh, sedangkan dalam pembelajaran proses berpikir matematikaterhadap suatu permasalahan matematika diharapkan sama atau berdekatan.

Selain permasalahan diatas, lemahnya proses pembelajaran di PGSDmengakibatnya lemahnya proses berpikir mahasiswa. Mereka hanya dituntut menghafalinformasi, mengingat informasi dan mengumpulkannya tanpa dituntut memahami

informasi yang diperolehnya.Dari hasil pengamatan yang dilakukan Supriadi (2005) selama beberapa semester

terhadap mahasiswa D2 PGSD, S1 PGSD yang berasal dari SMA, SMK, MA dan SPG,dengan program studi IPA dan Non-IPA, ternyata kurang memuaskan dengandiperolehnya rerata kurang dari 50% dari skor maksimal untuk kedua kelompok tersebut.Mahasiswa masih kesulitan memahami matematika yang dipandangnya matakuliah yang paling sulit dan tidak menyenangkan. Ekspresi, komunikasi dan kemampuan berpikirmatematika diantara mahasiswa masih kurang. Kemudian didukung oleh penelitian

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 32/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

25

Tiurlina (2005) bahwa pemahaman konsep mahasiswa PGSD masih lemah dan dibawah50%.

Karakter mahasiswa PGSD berdasarkan pengamatan Supriadi (2005) adalah pertama, mahasiswa PGSD cenderung menyenangi soal-soal yang berbentuk rutinsehingga saat diberikan soal-soal yang bersifat tidak rutin mereka cenderung kesulitan.Kedua, pada umumnya kemampuan mahasiswa PGSD dalam penyelesaian permasalahanmatematika dapat dikatakan sedang dan rendah, jarang sekali mahasiswa yang berkemampuan tinggi. Ketiga, suasana kegiatan belajar mengajar mahasiswa PGSDcenderung tidak terlalu aktif.

Dari permasalahan di atas muncul sebuah pemikiran untuk melihat sejauh mana proses berpikir matematika antara dosen PGSD dan mahasiswa (Guru SD dan Non GuruSD), siswa SD dalam suatu kelas pembelajaran matematika. Menurut Suryadi. D (2009) berpendapat bahwa proses berpikir matematika seorang pengajar dan siswa denganmahasiswanya dapat digambarkan sebagai berikut:

Dosen Mahasiswa/Siswa

Gambar 1.

Dari gambar penulis menginterpretasikan bahwa proses berpikir matematika seorangdosen dengan proses berpikir matematika dapat diserap semuanya oleh mahasiswa . Iniadalah suatu situasi pembelajaran yang diharapkan.

Situasi yang kedua digambarkan sebagai berikut

Dosen Mahasiswa/Siswa

Gambar 2Dari gambar penulis menginterpretasikan bahwa proses berpikir matematika

seorang dosen dengan proses berpikir matematika hanya sebagaian yang bisa diserapsiswa. Ini adalah suatu situasi pembelajaran yang diharapkan.

Situasi yang ketiga digambarkan sebagai berikut:

Dosen Mahasisiwa/Siswa

Dari gambar penulis menginterpretasikan bahwa proses berpikir matematikaseorang dosen dengan proses berpikir matematika tidak bisa diserap siswa. Ini adalahsuatu situasi pembelajaran yang tidak diharapkan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 33/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

26

Berpikir matematikaMengenai soal berpikir ini terdapat beberapa pendapat, diantaranya ada yang

menganggap sebagai suatu proses asosiasi saja; pandangan semacam ini dikemukakanoleh kaum Asosiasionist. Sedangkan kaum Fungsionalist memandang berpikir sebagaisuatu proses penguatan hubungan antara stimulus dan respons. Diantaranya ada yangmengemukakan bahwa berpikir merupakan suatu kegiatan psikis untuk mencari hubunganantara dua objek atau lebih. Secara sederhana, berpikir adalah memproses informasisecara mental atau secara kognitif. Secara lebih formal, berpikir adalah penyusunan ulangatau manipulasi kognitif baik informasi dari lingkungan maupun simbol-simbol yangdisimpan dalam long term memory. Jadi, berpikir adalah sebuah representasi simbol dari beberapa peristiwa atau item (Khodijah, 2006:117). Sedangkan menurut Drever (dalamWalgito, 1997 dikutip Khodijah, 2006:117) berpikir adalah melatih ide-ide dengan carayang tepat dan seksama yang dimulai dengan adanya masalah. Solso (1998 dalamKhodijah, 2006:117) berpikir adalah sebuah proses dimana representasi mental barudibentuk melalui transformasi informasi dengan interaksi yang komplek atribut-atributmental seperti penilaian, abstraksi, logika, imajinasi, dan pemecahan masalah.

Dari pengertian tersebut tampak bahwa ada tiga pandangan dasar tentang

 berpikir, yaitu (1) berpikir adalah kognitif, yaitu timbul secara internal dalam pikirantetapi dapat diperkirakan dari perilaku, (2) berpikir merupakan sebuah proses yangmelibatkan beberapa manipulasi pengetahuan dalam sistem kognitif, dan (3) berpikirdiarahkan dan menghasilkan perilaku yang memecahkan masalah atau diarahkan padasolusi.Definisi yang paling umum dari berfikir adalah berkembangnya ide dan konsep(Bochenski, dalam Suriasumantri (ed), 1983:52) di dalam diri seseorang. Perkembanganide dan konsep ini berlangsung melalui proses penjalinan hubungan antara bagian-bagianinformasi yang tersimpan di dalam diri seseorang yang berupa pengertian-perngertian.Dari gambaran ini dapat dilihat bahwa berfikir pada dasarnya adalah proses psikologisKemampuan berfikir pada manusia alamiah sifatnya. Manusia yang lahir dalam keadaannormal akan dengan sendirinya memiliki kemampuan ini dengan tingkat yang relatif berbeda. Jika demikian, yang perlu diupayakan dalam proses pembelajaran adalahmengembangkan kemampuan ini, dan bukannya melemahkannya. Para pendidik yang

memiliki kecendrungan untuk memberikan penjelasan yang "selengkapnya" tentang satumaterial pembelajaran akan cendrung melemahkan kemampuan subjek didik untuk berfikir. Sebaliknya, para pendidik yang lebih memusatkan pembelajarannya pada pemberian pengertian-pengertian atau konsep-konsep kunci yang fungsional akanmendorong subjek didiknya mengembangkan kemampuan berfikir mereka. Pembelajaranseperti ini akan menghadirkan tentangan psikologi bagi subjek didik untuk merumuskankesimpulan-kesimpulannya secara mandiri.Tujuan berpikir adalah memecahkan permasalahan tersebut. Karena itu sering dikemukakan bahwa berpikir itu adalahmerupakan aktifitas psikis yang intentional, berpikir tentang sesuatu. Di dalam pemecahan masalah tersebut, orang menghubungkan satu hal dengan hal yang lain hinggadapat mendapatkan pemecahan masalah.

Menurut De Bono (1989 dalam Khodijah, 2006:119) mengemukakan dua tipe berpikir, sebagai berikut.1. Berpikir vertikal (berpikir konvergen) yaitu tipe berpikir

tradisional dan generatif yang bersifat logis dan matematis dengan mengumpulkan danmenggunakan hanya informasi yang relevan.2. Berpikir lateral (berpikir divergen) yaitutipe berpikir selektif dan kreatif yang menggunakan informasi bukan hanya untukkepentingan berpikir tetapi juga untuk hasil dan dapat menggunakan informasi yang tidakrelevan atau boleh salah dalam beberapa tahapan untuk mencapai pemecahan yang tepat.

B.Langkah-langkah pengamatan1. Dosen membuat sebuah soal yang akan ujikan ke mahasiswa, guru dan siswa SD

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 34/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

27

Azka mendapatkan uang di hari lebaran kemarin,

Coba tentukan Berapa rupiah uang Azka sekarang!

Dosen melakukan prediksi tipe-tipe jawaban-jawaban:Tipe A:Tipe ini di interpretasikan proses berpikir rendah karena hanya melakukan rutinitas penjumlahan biasaContoh tipe A: 5000+5000+5000+1000+1000+1000 atau 6000+6000+6000 dllTipe B:Tipe ini di interpretasikan proses berpikir sedang karena tidak hanya melakukan rutinitas

 penjumlahan biasa tetapi melakukan perkalian dengan mengelompokkanContoh tipe B: (5000x3)+(1000x3)Tipe CTipe ini di interpretasikan proses berpikir tinggi karena tidak hanya melakukan rutinitas penjumlahan biasa dan melakukan perkalian dengan mengelompokkan tetapi sudahmenyederhankan jawaban dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahanContoh tipe C: (5000+1000)x32. Dosen memberikan soal untuk diujikan kepada mahasiswa, guru dan siswa SD3. Dosen tidak memberikan bantuan berupa pertanyaan-pertanyan dan lainya.Sehingga

 proses berpikir matematika murni dari mahasiswa, guru dan siswa SD4. Dosen menganalisa hasil pengamatan untuk mengambil keputusan memberikan

 pembelajaran proses berpikir matematika5. Dari hasil analisis dosen memberikan pembelajaran yang dilakukan oleh Dosen PGSD

untuk di Perguruan Tinggi dan Guru SD untuk di Sekolah Dasar6. Dosen melakukan analisis data setelah adanya pembelajaran7. Dosen membuat kesimpulan dan saran-saran dalam perbaikan pembelajaran

C. PenelitianSubjek yang diikutsertakan adalah mahasiswa PGSD semester 7 sebanyak 6 kelas yangterdiri dari:

1.  3 kelas kelas reguler atau mahasiswa PGSD yang belum mengajar di SD2.  3 kelas lanjutan atau mahasiswa PGSD yang sudah mengajar di SD3.  3 sekolah dasar yang bedakan menjadi tingkatan tinggi, sedang dan rendah

Penelitian dilakukan selama 2 minggu dengan memberikan pembelajaran dikelas sebayak1 pertemuan dengan memberikan tes awal, pembelajaran dan tes akhir.Dan untuk

mendukung data pengamatan dosen melakukan wawancara dengan sebagian mahasiswadan siswa SD.Untuk memudahkan dalam melakukan interpretasi digunakan kategori persentase berdasarkan Kuntjaraningrat (Supriadi, 2003) sebagai berikut:

Setelah data ditabulasi dan dianalisis, maka terakhir data tersebut ditafsirkan denganmenggunakan persentase berdasarkan kriteria Kuntjaraningrat (Supriadi, 2003:84)sebagai berikut:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 35/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

28

Tabel 1 Kriteria Persentase Proses Bepikir Guru SD, Mahasiswa PGSD

dan Siswa SD

Persentase Kriteria

P=0% Tak seorang pun

0%<P<25% Sebagian kecil

25%!P<50% Hampir setengahnya

P=50% Setengahnya

50%<P<75% Sebagian besar

75%!P<100% Hampir seluruhnya

P=100% Seluruhnya

D. Hasil dan diskusi

Pengamatan Sebelum PembelajaranA. Pengamatan pada Mahasiswa PGSD

Tabel 2Kelas 1 (40 orang) Kelas 2 (39 orang) Kelas 3 (39 orang)TipeA

Tipe B Tipe C Tipe A Tipe B TipeC

TipeA Tipe B TipeC

87,5%10 % 0,25% 76,9% 23,1% 0 % 89,7% 5,1% 5,1%

Berdasarkan dari data dari tabel 2:  Mahasiswa hampir seluruhnya mengerjakan dengan cara 1 karena mahasiswaterbiasa dengan menyelesaikan cara-cara rutin sedangkan tidak rutin tidakterbiasa

  Mahasiswa sebagian kecil mengerjakan dengan cara 2 karena mahasiswamengenal sifat pengelompokkan dari cara 1

  Mahasiswa sebagian kecil mengerjakan dengan cara 3 karena siswa mampumenghubungkan kedua cara dari 1 dan 2 sehingga jawaban ini lebih baik. Dansiswa dapat menjawab dengan cara 3 karena siswa terbiasa denganmenyelesaikan cara-cara tidak rutin.

B. Pengamatan pada Guru SDTabel 3

Kelas 1 (40 orang) Kelas 2 (40 orang) Kelas 3 (40orang)

Tipe A Tipe B Tipe C Tipe A Tipe B Tipe C TipeA Tipe B Tipe C75% 25% 0% 90% 5% 5% 80% 15% 5%

Berdasarkan dari data dari tabel 3:  Guru hampir seluruhnya mengerjakan dengan cara 1 karena guru terbiasa dengan

menyelesaikan cara-cara rutin sedangkan tidak rutin tidak terbiasa.Sehinggadimungkinkan siswanya pun akan sama dengan gurunya dalam proses berpikir.

  Guru sebagian kecil mengerjakan dengan cara 2 karena guru mampu bepikirlebih dengan menggunakan mengenal pengelompokkan dari cara 1

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 36/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

29

  Guru sebagian kecil mengerjakan dengan cara 3 karena guru berpikir lebih baikmampu menghubungkan kedua cara dari 1 dan 2 sehingga jawaban ini lebih baik.Dan guru dapat menjawab dengan cara 3 karena siswa terbiasa denganmenyelesaikan cara-cara tidak rutin.

C. Pengamatan pada siswa Sekolah DasarTabel 4

SD tinggi (40 orang) SD sedang (40 orang) SD rendah (40orang)Tipe A Tipe B Tipe C Tipe A Tipe B Tipe C TipeA Tipe B Tipe C

100% 0% 0% 100% 0% 0% 100% 0% 0%

Berdasarkan dari data dari tabel 4:  siswa hampir seluruhnya mengerjakan dengan cara 1 karena siswa terbiasa

dengan menyelesaikan cara-cara rutin sedangkan tidak rutin tidak terbiasa  siswa sebagian kecil mengerjakan dengan cara 2 karena siswa mengenal sifat

 pengelompokkan dari cara 1  siswa sebagian kecil mengerjakan dengan cara 3 karena siswa mampu

menghubungkan kedua cara dari 1 dan 2 sehingga jawaban ini lebih baik. Dansiswa dapat menjawab dengan cara 3 karena siswa terbiasa dengan

menyelesaikan cara-cara tidak rutin.Berdasarkan data di atas dapat disimpulkan:1.   proses berpikir matematika pada siswa, mahasiswa dan guru SD masih dalam

tahap berpikit yang bersifat vertikal dari wawancara yang dilakukandiperoleh data bahwa mereka cenderung memilih cara yang mudah tanpaharus berpikir lebih tinggi lagi.Yang penting hasilnya betul.

2.  Proses bepikir ternyata tidak dipengaruhi oleh umur seseorang.3.  Proses berpikir matematika tidak dipengaruhi oleh tingkatan

sekolah.sehingga matematika bersifat general bagi semua.4.  Dosen dan guru perlu membuat bahan ajar, proses didaktik yang berbeda agar

 proses berpikir dapat ditingkatkan menjadi lebih baik.5.  Dosen/guru perlu merubah cara memberikan situasi didaktik yang

merangsang pada peningkatan proses berpikir

6.  Siswa harus dirubah proses belajarnya yang awalnya mengutamakan hasilmenjadi mengutamakan proses

Pengamatan setelah pembelajaran

A. Pengamatan pada Mahasiswa PGSDTabel 5

Kelas 1 (40 orang) Kelas 2 (39 orang) Kelas 3 (39 orang)Tipe A Tipe B Tipe C Tipe A Tipe B Tipe C TipeA Tipe B Tipe C

0% 50% 50% 0% 76,9% 23, 1% 0% 82% 18%

B. Pengamatan pada Guru SDTabel 6

Kelas 1 (40 orang) Kelas 2 (40 orang) Kelas 3 (40orang)TipeA

Tipe B Tipe C Tipe A Tipe B Tipe C TipeA TipeB

TipeC

0%90% 10% 0% 85% 15% 0% 80% 20%

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 37/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

30

C. Pengamatan pada siswa Sekolah DasarTabel 7

SD tinggi (40 orang) SD sedang (40 orang) SD rendah (40orang)TipeA

Tipe B Tipe C Tipe A Tipe B Tipe C TipeA Tipe B Tipe C

4% 90% 6% 5% 90% 5% 10% 86% 4%

Berdasarkan data di atas terjadi perubahan setelah dosen melakukan pembelajaran dengan pendekatan problem solving serta bahan ajar dibuat dosen dengan berdasarkan pada bahan ajar kontruktivis.

Dari data diperoleh bahwa rerata Mahasiswa PGSD sebagian besar 69,6%mengalami perubahan proses berpikir menjadi proses berpikir lateral walaupun pada proses berpikir hanya setengahnya 30,3% pada proses berpikir yang diharapkan.

Hampir seluruhnya guru SD sebanyak 85% mengalami perubahan proses berpikirdari cara biasa ke cara yang lebih bagus walaupun sebagian kecil (15%)sudah mengalami proses berpikir yang lebih baik

Hampir seluruhnya siswa SD 88,6 merubah proses berpikirnya menjadi lebih

 baik. Walaupun sebagian kecil (5%) siswa sudah berpikir yang diharapkan pada cara 3dan 6,3% sebagian kecil siswa masih ada yang masih menyukai cara 1.

E. Simpulan dan saran

Proses berpikir matematika dalam menyelesaikan suatu persoalan matematika baik pada mahasiswa PGSD, guru SD dan siswa SD tanpa adanya pertanyaan-pertanyaandengan mengharapkan kemandirian dalam penyelesaian ternyata proses berpikir lateralyang sifatnya mudah masih disenangi oleh semuanya.Hasil akhir masih dipandang paling penting dalam pembelajaran matematika. Sedangkan proses berpikir masih dianggapkurang.

Dalam menciptakan suasana pembelajaran yang dapat meningkatkan proses berpikir matematika maka perlu adanya perubahan pada tiga komponen yaitu guru, bahan

ajar dan siswa.

DAFTAR PUSTAKA

Khodijah, Nyayu. 2006. Psikologi Belajar . Palembang: IAIN Raden Fatah Press

Ruseffendi, E.T (1984). Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru.Bandung: Tarsito

.............(2006). Pengantar kepada Guru Membantu Mengembangkan Potensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA.Bandung: Tarsito

..............(1998). Dasar-dasar Penelitian Pendidikan dan Bidang Non-Eksakta Lainnya.Semarang:IKIP Semarang Press

Supriadi (2005). Pengamatan Kemajuan Pembelajaran Matematika PGSDUPI Serang.Makalah

Supriadi (2003). Pengaruh Media Kartun Matematika Terhadap Prestasi Belajar Siswa Di Sekolah Menengah Kejuruan.Skripsi

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 38/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

31

Suryadi, D.(2008). Metapedadidaktik dalam pembelajaran matematika: Suatu strategi Pengembangan Diri Menuju Guru Matematika Profesional :UPI

Suriasumantri (ed), 1983. Psikologi Pendidikan. Diakses dari http://www.andragogi.com.Senin, 4 Agustus 2008 Suryabarata, Sumadi. 2002. Psikologi Pendidikan.Jakarta: PT RajaGrafindo Persada

Wagito, Bimo. 1997. Pengantar Psikologi Umum. Yogyakarta: Andi Offset.

Whiterington. 1982. Psikologi Pendidikan. Diakses dari http://www.andragogi.com

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 39/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

32

Analisis dan Evaluasi kuisioner evaluasi Pengajaran

Yuliant [email protected] 

Institut Teknologi Telkom

Abstrak

Saat ini, masalah pendidikan menjadi masalah yang menjadi fokus utama dari pemerintah dimana peningkatan kualitas pendidikan menjadi titik utamanya. Sebagaiseorang pendidik, sering kali kita ingin mengamati dan meneliti hal-hal disekitar kita dandari hasil pengamatan yang dilakukan tersebut, kita berharap akan memperoleh suatu pengetahuan yang baru dan berguna bagi proses pembelajaran yang kita lakukan.

Salah satu instrumen yang sering digunakan untuk melakukan pengambilan data penelitian (survei) seperti ini adalah kuisioner. Sebuah kuisioner yang baik adalahkuisioner yang bisa memperoleh informasi yang relevan dengan tujuan survei, danmempunyai reliabilitas serta validitas yang tinggi. Tetapi perlu disadari juga bahwa hasil

kuisioner senantiasa terbatas, mengingat kompleksnya fenomena sosial masyarakat, dan juga rumitnya motivasi para responden yang diteliti.

Tulisan ini secara umum membahas bagaimana cara mendesain suatu kuisionersecara umum ditinjau dari ilmu statistik. Pembahasan yang dilakukan meliputi tahap-tahap pembentukan daftar pertanyaan, isi pertanyaan, cara penyampaian dan bentukdesain kuisionernya. Kuisioner yang sudah dibuat kemudian diuji tingkat validitas danrealibitasnya untuk mengetahui tingkat kevalidan atau kesahihan suatu instrument danseberapa jauh pengukuran yang dilakukan bebas dari varian kesalahan acak. Studi kasus pengukuran tingkat validitas dan reliabilitas terhadap kuisioner pengajaran (studi kasus:IT Telkom) dilakukan pada bagian akhir paper ini untuk dianalisa tingkat validitas danreliability kuisioner yang selama ini digunakan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 40/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

33

PEMBELAJARAN LOGIKA MATEMATIS DENGAN PENDEKATANKONTEKSTUAL (CONTEXTUAL TEACHI NG AND LEARNING) DALAM

UPAYA MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN LOGIS

(Penelitian Tindakan Kelas Terhadap Siswa Kelas X-1 Tahun Ajaran 2007-2008SMA Negeri 2 Cimahi)

Susi SulistiantiCornelis Jacob

Jarnawi Afgani Dahlan

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

Abstrak

Penalaran Logis sangat penting bagi pengambilan keputusan dan pemecahanmasalah. Namun, belum semua siswa SMA memiliki kemampuan penalaran logis yangmemadai, misalnya di Kelas X-1 SMA Negeri 2 Cimahi yang menjadi subjek penelitian

dalam penelitian ini. Oleh karena itu perlu dikembangkan suatu solusi untukmemecahkan masalah tersebut. Melalui Penelitian Tindakan Kelas, solusi yang dipiliholeh peneliti adalah Pendekatan Kontekstual (Contextual Teaching and Learning ).Setelah Pendekatan Kontekstual ini diterapkan pada materi Logika Matematis dan datayang diperlukan dikumpulkan melalui berbagai instrumen tes dan nontes, ternyatahasilnya cukup memuaskan. Berdasarkan instrumen tes, diketahui bahwa kemampuan penalaran logis siswa mulai siklus 3 terus meningkat. Selain itu, dapat disimpulkan pula bahwa kemampuan penalaran kondisional dan silogistik siswa untuk tiap siklusmengalami peningkatan dan penurunan. Berdasarkan rerata respons siswa pada jurnalharian, respons positif siswa terhadap pembelajaran matematika dengan menggunakanCT&L mencapai 53%. Berdasarkan skala sikap, sebagian besar siswa juga merespons baik penerapan CT&L dalam pembelajaran matematika. Dengan demikian, dapatdisimpulkan bahwa respons siswa terhadap CT&L dalam pembelajaran matematika

adalah positif.

A.  PendahuluanMatematika memegang kunci penting dalam setiap aspek kehidupan. Hampir

seluruh kegiatan manusia memerlukan dan berhubungan erat dengan matematika,misalnya berhitung, berdagang, berbelanja, dapat berkomunikasi melalui tulisan/gambarseperti membaca grafik, tabel, dan dapat membuat catatan-catatan dengan angka. Selainitu bagi mereka yang ingin melanjutkan studi, matematika diperlukan agar merekamampu mengikuti pelajaran matematika lebih lanjut dan membantu memahami bidangstudi lain seperti kimia, fisika, ekonomi, dan sebagainya.

Mengingat pentingnya matematika, maka setiap individu sedikitnya harus memilikikemampuan minimal dalam bermatematika. Banyak cara yang dapat dilakukan untukmempelajari matematika, salah satunya adalah melalui pendidikan formal di bangku

sekolah.Saat ini, kurikulum sekolah yang sedang diberlakukan pemerintah adalah

Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Kurikulum ini menyarankan bahwadalam setiap kesempatan, pembelajaran matematika hendaknya dimulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (Contextual problem) (Puskur, 2007).Tujuan diberikannya mata pelajaran matematika sekolah menurut KTSP adalah agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 41/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

34

1.  Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep danmengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat,dalam pemecahan masalah.

2.  Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematikadalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.

3.  Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancangmodel matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh.

4.  Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untukmemperjelas keadaan atau masalah.

5.  Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memilikirasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap uletdan percaya diri dalam pemecahan masalah (Puskur, 2007).

Jika dicermati, salah satu tujuan tersebut menekankan pentingnya kemampuan penalaran untuk dimiliki peserta didik. Hal tersebut cukup beralasan sebab, menurutDepdiknas (Shofiah, 2006: 1), materi matematika dan penalaran merupakan dua hal yangtidak dapat dipisahkan, karena materi matematika dipahami melalui penalaran dan penalaran dipahami dan dilatihkan melalui belajar matematika. Kemudian menurut Maria

(Shofiah, 2006: 2) penalaran dalam matematika memiliki kesamaan dengan penalarandalam kehidupan sehari-hari dalam menyelesaikan suatu permasalahan.Wahyudin (Hasanah, 2004: 10) juga mengemukakan bahwa, salah satu

kecenderungan yang menyebabkan sejumlah siswa gagal menguasai pokok-pokok bahasan matematika adalah akibat mereka kurang menggunakan nalar yanglogis dalam menyelesaikan persoalan matematika yang diberikan. Ini berarti bahwakemampuan penalaran diperlukan untuk mencapai hasil yang lebih baik dalammenyelesaikan suatu persoalan matematika.

 Namun, terkadang unsur perasaan, prasangka, dan emosi mengakibatkandiambilnya keputusan yang keliru. Tak jarang sesuatu yang hanya karena disenangidibenarkan. Serta terlalu cepat diambilnya keputusan yang salah yang berasal dari pendapat orang banyak yang sifatnya samar, seperti benar padahal salah. Seringkali pulatidak mampu diberikannya dasar atau fakta mengapa suatu pendapat itu dapat diterima

atau tidak dapat diterima. Akibat adanya kekeliruan yang sering dilakukan terhadap penelaahan persoalan seperti inilah, akhirnya membuat direnungkannya kembali bagaimana sebenarnya dan seharusnya cara berpikir dan bernalar yang benar. Selain itutimbul pula permasalahan seperti aturan, kaidah atau hukum-hukum apa yang harusdigunakan untuk membantunya. Inilah asal usul timbulnya Logika (Kusumah, 1986: 2).

Penalaran yang sesuai dengan aturan-aturan logika atau konsisten dengan aturan-aturan logika disebut penalaran logis (Jacob, 2001: 2). Matlin (Jacob, 2001: 4), membagi penalaran logis menjadi dua macam yaitu Penalaran Kondisional (PK) dan PenalaranSilogistik (PS).

PK berhubungan dengan pernyataan ”jika ...maka ....” Bagian ”jika ...” disebutanteseden atau implikan atau protasis; sedangkan bagian ”maka ...” disebut konsekuenatau implikeit atau apodosis (Copi dalam Jacob, 2001: 4).

Ada empat situasi PK yang dapat benar sebagai berikut.

1.  Mengesahkan anteseden, artinya bagian kalimat ”jika ...” adalah benar. Bentuk penalaran ini menuju konklusi valid atau konklusi benar.

2.  Mengesahkan konsekuen, artinya bagian kalimat ”maka ...” adalah benar. Bentuk penalaran ini menuju konklusi invalid atau konklusi tak benar.

3.  Menyangkal anteseden, artinya bagian kalimat ”jika ...” adalah salah. Bentuk penalaran ini menuju konklusi invalid atau konklusi tak benar.

4.  Menyangkal konsekuen, artinya bagian kalimat ”maka ...” adalah salah. Bentuk penalaran ini menuju konklusi valid atau konklusi benar (Jacob, 2007: 2).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 42/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

35

Silogisme (syllogism dilafalkan “sill-owe-jizz-um”) memuat dua premis, atau pernyataan yang harus kita asumsikan benar, ditambah suatu konklusi. Silogisme meliputikuantitas, sehingga menggunakan kata-kata: semua, untuk setiap, ada, tak satupun,atau istilah-istilah sinonim lainnya. Dalam PK, pernyataan sering dinyatakan denganhuruf-huruf p dan q. Sedangkan, dalam silogisme menggunakan simbol-simboltradisional A, B, dan C (Jacob, 2007: 2).

PS menurut Jacob ( 2007: 8) meliputi:1.  Modus Ponens (MP).2.  Modus Tollens (MT).3.  Silogisme Hipotetis Murni (SHM).4.  Barbara.5.  Silogisme Disjunktif (SD).6.  Dilemma Konstruktif (DK).

Karena melalui penalaran logis kita dapat mengetahui apakah keputusan ataukesimpulan yang kita ambil tepat (valid) atau tidak (invalid), tentu ini membuat penalaranlogis menjadi sangat penting untuk dimiliki setiap individu. Namun, belum semuaindividu memiliki kemampuan Penalaran Logis (PL) yang memadai. Berdasarkanwawancara yang dilakukan peneliti kepada guru matematika kelas X-1 SMA Negeri 2

Cimahi tahun pelajaran 2007-2008 pada tanggal 21 Desember 2007, diperoleh informasi bahwa materi Logika Matematis dalam KTSP merupakan materi yang harus diajarkan dikelas X, sedangkan menurut guru yang bersangkutan, siswa-siswi kelas X belummemiliki minat dan pengetahuan/wawasan yang cukup untuk mempelajari logika,terutama karena untuk mempelajari logika dibutuhkan pemikiran yang sungguh-sungguh.Sehingga, melalui pembelajaran ekspositori yang dominan guru tersebut lakukan,kesalahan-kesalahan dalam penalaran kondisional dan penalaran silogistik cenderungmasih sering dilakukan oleh siswa-siswinya.Contoh:1.  Jika diberikan argumen sebagai berikut.

 Jika dia bertemu dengan temannya, maka dia akan pergi untuk bermain. Dia tidak bertemu dengan temannya.∴ Dia tidak akan pergi bermain.

Maka menurut guru tersebut, argumen ini akan disimpulkan sebagai penarikankesimpulan yang valid oleh siswa-siswinya, padahal argumen tersebut invalid.2. Misalkan seorang pegawai di sebuah restoran mengatakan, ”Jika hari ini Selasa, maka

kami memasak rendang.” Maka, masih banyak siswanya yang keliru menyimpulkan(mengubah susunan kata dalam pernyataan tersebut sehingga penarikankesimpulannya menjadi salah) menjadi: ”Jika hari ini di restoran tersebut dimasakrendang, maka ini pasti hari Selasa.”

Masalah ini tidak dapat dibiarkan begitu saja, karena akan berakibat buruk padakeberhasilan belajar siswa, khususnya pada mata pelajaran matematika. Guru sebagaikomponen bangsa yang berada di garis terdepan sistem pengajaran, sangat dituntut untukmencari solusi dalam menyelesaikan permasalahan yang dihadapinya, salah satunyaadalah dengan cara memilih dan menerapkan model, strategi atau pendekatan yang sesuai bagi para siswanya.

Pendekatan pembelajaran yang memungkinkan terjadinya proses belajar yang didalamnya dimungkinkan untuk menerapkan pemahaman serta kemampuan akademiksiswa dalam berbagai variasi konteks, di dalam maupun di luar kelas, untukmenyelesaikan permasalahan nyata atau yang disimulasikan, dikenal dengan sebutan pendekatan kontekstual atau Contextual Teaching and Learning (CT&L). MenurutSuryadi (2003: 12), CT&L adalah suatu pendekatan yang memungkinkan terjadinya proses belajar dan di dalamnya siswa dimungkinkan menerapkan pemahaman sertakemampuan akademik mereka dalam berbagai variasi konteks, di dalam maupun luar

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 43/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

36

kelas, untuk menyelesaikan permasalahan nyata atau yang disimulasikan baik secarasendiri-sendiri maupun berkelompok. Hal senada juga diungkapkan Bern & Stefano(Jacob, 2003a: 1) yang mendefinisikan CT&L sebagai suatu pendekatan pembelajaranyang membantu guru menghubungkan konten materi pelajaran dengan situasi dunia nyatadan memotivasi siswa untuk membuat koneksi antara pengetahuan dan aplikasinyadengan kehidupan mereka sebagai keluarga, warga kota, dan pekerja, serta memotivasisiswa dengan mengajak bekerja keras yang membutuhkan belajar. Selanjutnya menurutJohnson (2007: 14), CT&L adalah sebuah sistem belajar yang didasarkan pada filosofi bahwa siswa mampu menyerap pelajaran apabila mereka menangkap makna dalam materiakademis yang mereka terima, dan mereka menangkap makna dalam tugas-tugas sekolah jika mereka dapat mengaitkan informasi baru dengan pengetahuan dan pengalaman yangsudah mereka miliki sebelumnya.

Landasan filosofis CT&L adalah konstruktivisme, yaitu filosofi belajar yangmenekankan bahwa belajar tidak hanya sekadar menghapal, tetapi merekonstruksikanatau membangun pengetahuan dan keterampilan baru lewat fakta-fakta atau proposisiyang mereka alami dalam kehidupannya. Konstruktivis juga berpandangan bahwa guruhanya bertugas sebagai fasilitator siswa dalam proses pembentukan pengetahuannya,karena kelak siswa akan hidup dalam dunia nyata yang tidak selamanya dibimbing oleh

guru. Dengan demikian, dalam proses pembelajaran dengan menggunakan CT&L, gurudituntut untuk dapat mengaitkan antara materi pembelajaran dengan situasi dunia nyatasiswa, dan mendorong siswa membuat hubungan antara pengetahuan yang dimilikinyadengan penerapannya dalam kehidupan mereka sehari-hari. Untuk dapat menerapkan pendekatan ini dengan baik, tentu guru sebagai perencana proses pembelajaran harusmengetahui ciri-ciri CT&L. Proses belajar yang diciptakan melalui CT&L secaraumum bercirikan beberapa hal berikut: belajar berbasis masalah kontekstual, self-regulated learning, muncul dalam berbagai variasi konteks, melibatkan kelompok belajardan menggunakan Authentic assessment  (Suryadi, 2003: 12).

 Belajar berbasis masalah kontekstual. Belajar berbasis masalah kontekstualmerupakan suatu strategi yang dimulai dengan menghadapkan siswa pada masalah nyataatau masalah yang disimulasikan. Pada saat siswa menghadapi masalah tersebut, mereka

mulai menyadari bahwa hal demikian dapat dipandang dari berbagai perspektif sertauntuk menyelesaikannya diperlukan pengintegrasian informasi dari berbagai disiplinilmu. Selain itu, studi yang dilakukan Utari, Rukmana, Dasari, dan Suhendra (Shofiah,2006: 8) juga menunjukkan bahwa agar kemampuan penalaran dan berpikir matematissiswa dapat berkembang secara optimal, siswa harus memiliki kesempatan terbuka untuk berpikir dan beraktivitas dalam memecahkan berbagai permasalahan.

 Belajar dengan multikonteks. Belajar dengan multikonteks yang didasarkan padateori belajar dan teori kognisi saat ini mengisyaratkan bahwa pengetahuan dan belajarhendaknya diperoleh serta dilakukan melalui suatu pengondisian yang melibatkan berbagai variasi konteks. Teori kognisi situasi mengasumsikan bahwa pengetahuan tidakdapat dipisahkan dari konteks dan aktivitas yang terkait dengan proses pengembangan pengetahuan tersebut. Sehingga, bagaimana seseorang belajar suatu himpunan khususdari pengetahuan dan keterampilan, serta situasi di mana orang belajar merupakan bagian

fundamental dari apa yang dipelajari (Jacob, 2003b: 2).Self-Regulated Learning (SRL). SRL mencakup tiga karakteristik sentral yaitu: (1)

kesadaran berpikir, (2) penggunaan strategi, dan (3) pemeliharaan motivasi.Pengembangan sifat  self-regulated   pada diri seseorang meliputi peningkatan kesadarantentang berpikir efektif serta kemampuan menganalisis kebiasaan berpikir. Seseorangmemiliki peluang untuk mengembangkan keterlibatannya dalam  self-observation,  self-evaluation, dan self-reaction untuk mengarahkan tiap rencana yang dia buat, strategi yangdipilih, serta evaluasi tentang pekerjaan yang dihasilkan. Aspek kedua dari SRL meliputi

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 44/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

37

strategi untuk belajar, mengontrol emosi, dan aspek-aspek lain yang menunjangterbentuknya kemampuan penggunaan strategi. Dan dalam kaitannya dengan pemeliharaan motivasi, beberapa aspek berikut perlu diperhatikan: tujuan aktivitas yangdilakukan, tingkat kesulitan dan skornya, serta persepsi siswa tentang kemampuannyauntuk mencapai tujuan tersebut. Dengan demikian, SRL meliputi sikap, strategi, sertamotivasi yang dapat meningkatkan upaya siswa dalam belajar (Suryadi, 2003: 13).

 Authentic Assessment.  Authentic Assessment   adalah suatu assessment   yang lebih berorientasi pada proses sehingga pelaksanaannya menyatu dengan proses pembelajaran.Dengan cara seperti itu maka setiap perkembangan yang terjadi menyangkut anak baik secara individu maupun kelompok akan terpantau, sehingga setiap kelebihanatau kelemahan yang ditemukan akan segera dapat dimanfaatkan sebagai balikanserta bahan untuk melakukan refleksi, baik bagi siswa maupun guru. Hal inisejalan dengan pendapat Apriyanto (Hidayati, 2005: 1) yang menyatakan bahwa pengajaran yang baik adalah pengajaran yang tidak semata-mata berorientasi pada hasil,tetapi juga berorientasi kepada proses, dengan harapan semakin tinggi proses makintinggi pula hasil belajar yang diperoleh. Jacob (2006: 16) juga menambahkan bahwasuatu asesmen adalah otentik apabila melibatkan siswa dalam tugas-tugas yang bermanfaat, signifikan, dan bermakna. Sehingga asesmen dilihat dan dirasakan sebagai

aktivitas belajar, bukan tes tradisional. Learning Community.  Aktivitas belajar yang dilakukan melalui CT&L biasanyamelibatkan suatu kelompok sosial tertentu yang dikenal sebagai learning community.Komunitas belajar ini memegang peranan penting dalam proses belajar, karena didalamnya terjadi suatu proses interaksi aktif baik antarsiswa maupun antara siswa denganguru. Dengan terjadinya interaksi tersebut, maka dengan sendirinya akan diperoleh banyak keuntungan, antara lain terjadinya: sharing  pengetahuan dan pendapat, refleksiatas hasil pemikiran masing-masing maupun kelompok, saling berargumentasi atas pendapat atau hasil masing-masing, dan akhirnya akan bermuara pada peningkatan pemahaman untuk masing-masing anggota kelompok.

Tujuan Penelitian ini adalah untuk meneliti ada tidaknya peningkatan kemampuan penalaran logis siswa melalui pembelajaran matematika dengan CT&L. Sedangkan tujuankhususnya adalah untuk meneliti: 1) ada tidaknya peningkatan kemampuan penalaran

kondisional siswa melalui pembelajaran matematika dengan CT&L, 2) ada tidaknya peningkatan kemampuan penalaran silogistik siswa melalui pembelajaran matematikadengan CT&L, dan 3) bagaimana sikap siswa terhadap CT&L dalam pembelajaranmatematika.

B.  Metode PenelitianKajian ini disarikan dari penelitian tindakan kelas selama 5 siklus kepada siswa

SMA kelas X-1 semester genap SMA Negeri 2 Cimahi tahun pelajaran 2007-2008 yangterdiri atas 31 orang untuk materi Logika Matematis.

Proses pembelajaran yang diciptakan melalui CT&L yang diterapkan dalam penelitian ini bercirikan sebagai berikut: belajar berbasis masalah kontekstual, munculdalam berbagai variasi konteks,  self-regulated learning , melibatkan kelompok belajar,dan menggunakan authentic assessment .

Peningkatan kemampuan penalaran logis dalam penelitian ini diases dari perubahan rerata skor tes formatif siswa pada tiap siklus terhadap rerata skor tes formatifsiklus terdekat sebelumnya. Masing-masing Skor Maksimal Ideal, baik untuk tes formatif,subsumatif, maupun masing-masing tipe PL yang peneliti tetapkan adalah 10.

C.  Prosedur Penelitian1. Perencanaan Tindakan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 45/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

38

Setelah mengetahui masalah dan mengidentifikasi penyebab masalah, dibuatlahinstrumen, LKS, dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP). Instrumen yang peneliti siapkan adalah tes formatif, tes subsumatif, jurnal harian siswa, dan lembarobservasi. Sedangkan pedoman wawancara dibuat jika dirasa perlu (ada keteranganyang masih belum jelas terungkap bila hanya menggunakan jurnal harian atauinstrumen lainnya). Selain itu, bahan ajar yang peneliti siapkan adalah satuan pembelajaran, RPP dan LKS.

LKS yang peneliti buat terdiri dari 5 buah LKS yang masing-masing dibuatdengan konteks tertentu yang familiar dengan lingkungan anak-anak usia SMAtingkat awal, memuat kegiatan menemukan (inquiry) sebagai salah satu komponenCT&L, dan pertanyaan-pertanyaan yang memerlukan alasan-alasan serta penjelasandari para pengisinya untuk mengembangkan kemampuan penalaran logisnya.

2. Pelaksanaan PenelitianPelaksanaan penelitian disesuaikan dengan jadwal yang telah ditentukan oleh

sekolah. Adapun proses pelaksanaannya adalah sebagai berikut.a.  Penjelasan kepada subjek penelitian mengenai aturan belajar yang akan

diterapkan. b.  Melaksanakan pembelajaran dengan menerapkan CT&L.

c.  Menyebarkan jurnal harian siswa pada setiap akhir siklus pembelajaran.d.  Melakukan tes formatif setelah pembelajaran pada tiap akhir siklus.e.  Melaksanakan tes subsumatif setelah semua siklus dilaksanakan.f.  Menyebarkan skala sikap untuk diisi siswa setelah berakhirnya seluruh siklus.g.  Mewawancarai guru dan siswa mengenai pembelajaran matematika dengan

menggunakan CT&L (bila diperlukan).3.  Evaluasi

Hasil tes formatif, hasil observasi, jurnal harian siswa, hasil wawancara denganguru dan siswa (bila ada), dan data skala sikap siswa (setelah seluruh siklusdilaksanakan) dievaluasi untuk mengumpulkan informasi sesuai dengan tujuan penelitian.

4.  Analisis dan refleksiAnalisis dan refleksi ini selain didasarkan pada hasil evaluasi, juga didasarkan

 pada hasil diskusi antara peneliti dengan observer. Hasilnya digunakan sebagai bahanuntuk merencanakan dan memperbaiki siklus berikutnya.

D. Hasil Penelitian1. Analisis Data Tes

a. Perbandingan Rerata Skor Tes Formatif pada Tiap SiklusRerata skor tes kemampuan PK dan PS pada tiap siklus berdasarkan hasil tes

formatif 1 sampai 5 dapat dilihat pada Gambar 1.

Gambar 1 Gambar 2Perbandingan Rerata Skor Tes Perbandingan Rerata Skor Tes

Kemampuan PK dan PS Kemampuan PLpada Tiap Siklus pada Tiap Siklus

Berdasarkan Gambar 1 dan hasil evaluasi instrumen dapat diketahui bahwa:

6,0 

4,0 

6,4 

8,8 9,7

0

2

4

6

8

10 

12 

1 2 3 4 5

Siklus

Nilai TesFormati

2,3 

0,3

2,9

9,8 9,79,8

7,6

9,9 

7,7

9,7 

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4  5

Siklus

Rerata Nilai

Tes Formatif PK

PS

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 46/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

39

1) Rerata skor tes kemampuan PK dari siklus 1 ke siklus 2 menurun sebanyak86,9%. Hal yang sama juga terjadi pada rerata skor PS yang menurun sebanyak22,4%. Berdasarkan jurnal harian siswa 2, hal tersebut diakibatkan olehmenurunnya respons positif siswa terhadap pembelajaran di siklus 2. Sistem”Penunjukkan Langsung oleh Guru” menyebabkan kesempatan mereka untukmenjawab dibatasi, padahal mereka ingin turut berperan aktif di dalam pembelajaran. Hal ini sesuai dengan pendapat Darhim yang mengatakan bahwaminat berkorelasi positif dengan prestasi belajar (Maria, 2000: 17). Ini berartiguru harus berupaya kembali untuk mengoptimalkan SRL dalam pembelajaranselanjutnya agar motivasi belajar siswa bisa terus terpelihara dengan baik.Penurunan PK yang sangat drastis juga diakibatkan belum mampunya siswauntuk memikirkan adanya kemungkinan kesimpulan lain yang juga valid. Untuksoal PK yang diberikan di siklus 2 (soal terdapat Lampiran C.1), masih banyakyang menyimpulkan jawabannya hanya merah,  padahal hijau pun bisa. Hal inisenada dengan hasil penelitian Byrne (Matlin, 1994: 383) yang menemukan bahwa 46% mahasiswa yang diujinya memberikan kesimpulan yang salah, ketikadiberikan premis-premis:P1: Jika Caroline bertemu dengan Janet, maka Ia akan pergi bermain.

P2: Caroline tidak bertemu dengan Janet.46% mahasiswa Byrne tersebut menyimpulkan bahwa, ”Caroline tidak akan pergiuntuk bermain.” Rupanya 46% mahasiswanya tersebut berpikir bahwa Carolinehanya dapat bermain jika Ia bertemu dengan Janet tanpa memikirkan adanyakemungkinan lain, yakni bahwa Caroline mungkin akan pergi bermainmeskipun Ia tidak bertemu dengan Janet.

2)  Rerata skor tes kemampuan PK dari siklus 2 ke siklus 3 meningkat sebanyak867,0%, begitu juga untuk rerata skor PS yang meningkat sebanyak 30,3% darirerata skor di siklus 2. Berdasarkan jurnal harian siswa 3, hal ini diakibatkanmotivasi belajar mereka meningkat kembali, sebab guru mulai bisa bersikap adildalam diskusi kelas, semua siswa memiliki kesempatan yang sama untuk berpartisipasi dalam diskusi kelas, dan materi yang disajikan dalam bahasa yangsederhana pada LKS menyebabkan siswa mudah memahami materi yang

diberikan. Hal ini turut memperkuat hasil penelitian Wason dan Johnson-Lairdyang menyimpulkan bahwa individu akan mengalami kesulitan dalam PK jika persoalan yang diberikan mengandung materi yang abstrak. Dan hasil penelitianEvans dan Galotti di tahun yang berbeda juga menyimpulkan bahwa PK akanmenjadi sulit ketika premis-premisnya mengandung kalimat negatif (Matlin,1994: 381). Lippman juga menambahkan bahwa persoalan yang berhubungandengan PS akan menjadi lebih sulit untuk diselesaikan jika mengandungkalimat negatif, namun akan lebih mudah untuk diselesaikan jika menggunakankalimat aktif (Matlin, 1994: 389). Artinya, faktor bahasa dan keabstrakan sangatmempengaruhi tingkat kesukaran soal yang berkaitan dengan PK dan PS.

3)  Rerata skor tes kemampuan PK dari siklus 3 ke siklus 4 meningkat sebanyak237,9%, sedangkan skor tes kemampuan PS menurun sebanyak 22,2%. UntukPK, dasar-dasarnya, seperti implikasi, anteseden, dan konsekuen, sudah diberikan

 pada siklus-siklus sebelumnya, dan diperkuat pada apersepsi di siklus 4, sehinggauntuk PK dan untuk menguasai materi di siklus 4, siswa tidak mengalamikesulitan (data turut diperkuat oleh jurnal harian siswa 4). Hanya untuk PS, berdasarkan lembar jawaban siswa untuk tes formatif 4, dapat diketahui bahwa beberapa siswa belum mengerti relasi dari satu premis ke premis yang lain dancenderung bernalar sesuai dengan apa yang menurut mereka benar (tidakdidasarkan pada premis-pemis yang diberikan), sehingga kesimpulan yangdiambil menjadi salah. Selain itu, suasana di luar kelas turut mengganggu

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 47/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

40

konsentrasi siswa, padahal berdasarkan hasil penelitian Matlin dan asistennya,untuk dapat memecahkan persoalan yang berhubungan dengan PS secara baik,dibutuhkan waktu dan konsentrasi yang cukup (Matlin, 1994: 389).

4)  Rerata skor tes kemampuan PK dari siklus 4 ke siklus 5 menurun sebanyak1,0%, sedangkan kemampuan PS meningkat sebanyak 25,9%. Berdasarkan hasil

analisis terhadap lembar jawaban siswa pada tes formatif 5, penurunankemampuan PK tersebut disebabkan 3 orang siswa masih terpengaruh olehkeyakinan bias (hal-hal yang mereka yakini sebelumnya, tidak menyimpulkanhanya berdasarkan pada premis-premis yang telah diberikan).

Berdasarkan Gambar 2, dapat diketahui bahwa:1) Rerata skor tes kemampuan PL dari siklus 1 ke siklus 2 menurun sebanyak

33,3%.2) Rerata skor tes kemampuan PL dari siklus 2 ke siklus 3 meningkat sebanyak

60,0%.3) Rerata skor tes kemampuan PL dari siklus 3 ke siklus 4 meningkat sebanyak

37,5%.4) Rerata skor tes kemampuan PL dari siklus 4 ke siklus 5 meningkat sebanyak

10,2%. 

Kenaikan atau penurunan rerata skor tes kemampuan PL pada tiap siklus inidipengaruhi oleh kenaikan atau penurunan kemampuan masing-masing tipe PL padatiap siklus seperti yang telah diuraikan sebelumnya.

b. Rerata Skor Siswa pada Tes SubsumatifPerbandingan rerata skor siswa untuk masing-masing tipe PL berdasarkan hasil

tes subsumatif dapat dilihat pada Gambar 3.

Gambar 3Perbandingan Rerata Skor Kemampuan PK dan PS pada Tes Subsumatif

Berdasarkan Gambar 3, rerata skor tes kemampuan PS lebih besar daripadarerata skor tes kemampuan PK, sehingga rerata skor kemampuanPL-nya adalah 8,2. Rerata skor PS yang lebih besar dibandingkan rerata skor PK inicukup masuk akal sebab rerata skor kemampuan PS siswa pada masing-masing siklus juga lebih besar dibandingkan rerata skor kemampuan PK pada tiap siklus.

Berdasarkan hasil analisis terhadap data tes dapat diketahui bahwa faktor bahasa,keabstrakan, dan motivasi belajar, berpengaruh besar terhadap kemampuan PL subjek penelitian.

2.  Analisis Data Nontesa. Analisis Respons Siswa pada Tiap Siklus terhadap Pembelajaran Logika

Matematis dengan Menggunakan CT&L Berdasarkan Jurnal Harian SiswaRerata respons siswa pada tiap siklus terhadap pembelajaran Logika Matematis

dengan menggunakan CT&L berdasarkan jurnal harian siswa, jika digambarkandalam bentuk diagram lingkaran, maka hasilnya adalah Gambar 4.

7,7 

8,7 

7.0

7.2

7.4

7.6

7.8

8.0

8.2

8.4

8.6

8.8

Tipe PL

Nilai TesSubsumatif 

PK

PS

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 48/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

41

Positif 

53%

Negatif 

19%

Netral

28%

 Gambar 4 

Rerata Respons Siswa pada Tiap Siklus Berdasarkan Jurnal Harian Siswab. Analisis Respons Siswa Untuk Keseluruhan Siklus Terhadap Pembelajaran

Logika Matematis dengan Menggunakan CT&L Berdasarkan Skala SikapSiswa

Respons siswa untuk keseluruhan siklus  terhadap pembelajaran LogikaMatematis dengan menggunakan CT&L berdasarkan Skala Sikap, jika diringkas berdasarkan kisi-kisi skala sikap yang telah disusun oleh peneliti, maka hasilnyaadalah sebagai berikut.1)  Sebagian besar siswa sangat setuju bahwa pembelajaran matematika pada topik

logika matematis dengan menggunakan CT&L menarik, dan ingin topik laindiajarkan dengan pendekatan ini. Pembelajaran logika matematis denganmenggunakan CT&L juga sesuai dengan pembelajaran yang siswa inginkan.Selain itu, sebagian besar siswa juga setuju bahwa pembelajaran matematikadengan menggunakan CT&L menantang rasa ingin tahu siswa.

2)  Sebagian besar siswa setuju bahwa pujian yang diberikan guru terhadap siswamembuat mereka semangat dan termotivasi untuk terus meningkatkan prestasidalam belajar matematika. Pembelajaran matematika dengan menggunakanCT&L juga menuntut siswa untuk berpikir dengan sungguh-sungguh danargumentatif. Selain itu, belajar mengungkapkan idea atau gagasan membuatsiswa percaya diri. Bahkan, sebagian besar siswa sangat setuju bahwakesempatan berdiskusi dengan teman satu kelompok atau teman satu kelas jugamemudahkan siswa dalam memahami pelajaran matematika.

3)  Sebagian besar siswa setuju bahwa masalah-masalah yang diberikan membuatsiswa tertarik sehingga siswa ingin selalu mengerjakannya sampai selesai danmenemukan jawaban yang paling benar.

4)  Sebagian besar siswa juga setuju bahwa permasalahan yang diberikan guru dalam bentuk kehidupan nyata ataupun yang disimulasikan membuat siswa termotivasiuntuk mempelajari matematika. Mereka merasa tertantang untuk selalumengemukakan alasan ketika menjawab soal/permasalahan yang diberikan,karena soal-soal yang disajikan pada LKS yang diberikan guru,menantang mereka untuk berpikir sungguh-sungguh, dan membuat merekamenemukan konsep-konsep matematika. Selain itu, sebagian besar siswa sangatsetuju bahwa matematika membantu memecahkan persoalan sehari-hari, danLKS yang diberikan guru membantu siswa untuk memahami materi yang sedangdipelajari.

E. Penutup1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dapat disimpulkan adanya peningkatan kemampuanPL siswa mulai siklus 3 sampai siklus 5. Dari siklus 2 ke siklus 3, rerata skor teskemampuan PL siswa meningkat sebanyak 60,0%. Dari siklus 3 ke siklus 4, meningkatsebanyak 37,5%. Dari siklus 4 ke siklus 5, meningkat sebanyak 10,2%. Hanya dari

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 49/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

42

siklus 1 ke siklus 2 yang mengalami penurunan sebanyak 33,3%. Selain itu, dapatdisimpulkan pula bahwa:a. Kemampuan PK siswa untuk tiap siklus mengalami peningkatan dan penurunan. Dari

siklus 1 ke siklus 2, rerata skor tes kemampuan PK menurun sebanyak 86,9%.Sedangkan dari siklus 2 ke siklus 3, PK meningkat sebanyak 867,0%. Dari siklus 3 kesiklus 4, PK juga kembali meningkat, peningkatannya kali ini sebanyak 237,9%.Tetapi dari siklus 4 ke siklus 5, PK menurun sebanyak 1,0%.

 b. Kemampuan PS siswa untuk tiap siklus juga mengalami peningkatan dan penurunan.Dari siklus 1 ke siklus 2, rerata skor PS menurun sebanyak 22,4%. Dari siklus 2 kesiklus 3 meningkat sebanyak 30,3%. Dari siklus 3 ke siklus 4, PS kembali menurun, penurunannya sebanyak 22,2%. Tetapi, dari siklus 4 ke siklus 5, kemampuan PSkembali meningkat sebanyak 25,9%.

c. Berdasarkan rerata respons siswa pada jurnal harian, respons positif siswa terhadap pembelajaran matematika dengan menggunakan CT&L pada setiap siklus mencapai53%. Berdasarkan skala sikap, sebagian besar siswa juga merespons baik penerapanCT&L dalam pembelajaran matematika. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwarespons siswa terhadap CT&L dalam pembelajaran matematika adalah positif.

2. Saran

Berdasarkan kesimpulan yang telah diperoleh, maka peneliti menyarankan beberapa hal berikut:a. Materi pembelajaran yang dijiwai oleh konteks perlu disusun agar lebih bermakna

 bagi siswa. b. Strategi, metode, dan teknik belajar mengajar yang mampu mengaktifkan semangat

 belajar siswa, yang lebih konkret, yang menggunakan realitas, yang lebih aktual,yang lebih nyata, dan sebagainya perlu diupayakan.

c. Media pendidikan yang bernuansa CT&L, misalnya situasi alamiah, benda nyata, alat peraga dan sebagainya perlu dipilih dan dirancang agar membuat belajar lebihmenyenangkan dan bermakna.

DAFTAR PUSTAKA

Hasanah, A. (2004).  Mengembangkan Kemampuan Pemahaman dan Penalaranmatematik Siswa Sekolah Menengah Pertama melalui pembelajaran Berbasis Masalah yang Menekankan pada Representatif Matematik. Tesis TidakDiterbitkan. Bandung: FPMIPA UPI.

Hidayati, A. (2005).  Penerapan Model Pembelajaran Generatif Matematika dalamUpaya Meningkatkan Hasil Belajar Siswa. Skripsi Tidak Diterbitkan. Bandung:FPMIPA UPI.

Jacob, C. (2001).  Pembelajaran Penalaran Logis: Suatu Upaya Meningkatkan Penguasaan Konsep Matematika. Makalah Disajikan pada Seminar NasionalPendidikan Matematika Realistik Indonesia: Pendekatan Realistik dan Sanidalam Pendidikan Matematika di Indonesia. Yogyakarta: Universitas Sanata

Dharma.

Jacob, C. (2003).  Apa, Bagaimana, dan Mengapa CT&L. Makalah Disajikan padaPenataran CT&L Bagi Guru-guru Matematika SMP SE-JABAR. Bandung: 15-29September 2003; 30 September-14 Oktober 2003.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 50/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 51/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

44

PENGEMBANGAN SOFTWARE PEMBELAJARAN MATEMATIKA (POKOK BAHASAN STATISTIKA)

Rini Marwati ([email protected])Rachmawati

Dian UsdiyanaJurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

Para pendidik telah melakukan berbagai upaya untuk memudahkan orang untuk belajar matematika, baik dalam pengembangan materi ajar, maupun melalui pemanfaatanteknologi. Salah satu upaya yang dapat dilakukan adalah melalui software pembelajaran.Perancangan  software  pembelajaran sudah tentu harus melibatkan unsur pedagogimatematika, jadi tidak sekedar memindahkan buku ke dalam komputer. Dalam perancangannya, dapat dimanfaatkan kelebihan dari komputer, yaitu dalam hal animasidan visualisi. Untuk pengembangan  software  pembelajaran digunakan  Macromedia Flash, berdasarkan pertimbanggan kepraktisan penggunaan dan kesederhanaan keperluanhardware-nya. Salah satu dari keuntungan pembelajaran dengan komputer adalah dapat

digunakan secara mandiri, sehingga bagi siswa yang memerlukan pembelajaran secara berulang dapat melakukannya sendiri sehingga sampai pada tingkat pemahaman yangdiharapkan.

Kata kunci:  software pembelajaran, pedagogi matematika, animasi, visualisasi.

1. LATAR BELAKANGMatematika sebagai salah satu mata pelajaran utama di sekolah dianggap sebagai

salah satu mata pelajaran yang menjadi ukuran kualitas pembelajaran. Seiring dengan perkembangan teknologi dalam pembelajaran, maka sudah saatnya melakukan pembuatansoftware pembelajaran matematika yang mengacu pada kurikulum nasional. Pembuatansoftware ini harus mengacu pada kaidah-kaidah pembelajaran, interaksi manusia dankomputer, dan teruji secara ilmiah.

2. RUMUSAN MASALAHPermasalahan yang akan diungkap dalam tulisan ini adalah:

•  Bagaimana perancangan dan pembuatan software pembelajaran matematika yangmengacu pada kurikulum sekolah?

•  Bagaimana pendapat siswa mengenai pembelajaran matematika denganmenggunakan software pembelajaran?

3. PEMBAHASANSeiring dengan berkembangnya teknologi informasi, beberapa sekolah pada saat

ini sudah dilengkapi dengan laboratorium komputer. Tetapi pada umumnya penggunaanlaboratorium tersebut masih sebatas pada pembelajaran dengan menggunakan komputersebagai tool yang berorientasi pada komputer sebagai alat untuk melaksanakan perkerjaan

sekolah seperti (Microsoft Office Word) atau pengolahan data (Microsoft Office Excel).Padahal komputer juga dapat digunakan untuk pembelajaran matematika, dalam hal inikomputer sebagai tutor, siswa diinstruksi oleh komputer. Menurut Mulyono HAM (2000),media komputer dapat difungsikan untuk:

1.  Membantu konsentrasi siswa.2.  Mempermudah proses belajar-mengajar.3.  Meningkatkan efisiensi belajar mengajar.4.  Mempertahankan relevansi tujuan pembelajaran.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 52/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

45

Mengingat software yang dibuat ditujukan untuk pembelajaran matematikasekolah, sudah barang tentu dalam pembuatannya harus dapat mengakomodasi kurikulumsekolah. Tiga komponen utama yang harus diperhatikan dalam pengimplementasiankurikulum: (1) kompetensi dasar, yaitu uraian kemampuan siswa yang harus dimilikisecara memadai; (2) materi pokok, yaitu materi yang dipilih untuk mendukungkompetensi trsebut; dan (3) indikator pencapaian hasil belajar, yaitu kompetensi dasarspesifik yang menjadi ukuran tercapainya hasil belajar siswa. (Depdiknas, 2004).

Faktor lain yang harus dipertimbangkan adalah teknik pembelajaran denganmultimedia. Beberapa keuntungan pembelajaran dengan menggunakan media komputermenurut Heinich dkk. (dalam Aryanti, 2004) adalah:

a.  membangkitkan motivasi siswa dalam belajar b.  memfasilitasi siswa untuk belajar mandiric.  menghasilkan penguatan yang tinggid.  membantu anak yang lambane.  siswa dapat belajra sesuai gaya dan kecepatan masing-masingf.  siswa dapat mempelajari materi secara berulang

g.  mendorong siswa untuk belajar secara aktif dan mandirih.  adanya umpan balik dengan segera.

4. Pembuatan Software Pembelajaran SekolahSoftware pembelajaran sebaiknya dirancang dengan memanfaatkan keuntungan-

keuntungan di atas, di samping juga melibatkan teori pembelajaran dengan mediakomputer seperti interaksi manusia dengan komputer. Allesi (dalam Nurdiyati, 2006)menggambarkan pembelajaran berbasis komputer model tutorial dikembangkan denganstruktur program seperti pada diagram berikut:

Struktur Umum Bagan Alur Program Tutorial

Kerangka pembuatan software pembelajaran matematika sekolah dapatdigambarkan dalam bagan alur berikut:

Bagian

Pengenalan

Penyajian

Informasi

Pertanyaan

dan Respon

Penutup Pengulangan Umpan Balikdan Respon

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 53/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

46

Bagan Alur Pembuatan Software Pembelajaran Sekolah

Story board adalah rancangan software hasil pengolahan dari kurikulum sekolah, pedagogi, dan teknik pembelajaran dengan komputer. Rancangan ini merupakan skenariovisual dari pembelajaran yang merupakan garis besar dari uraian pokok bahasan. Story board adalah kumpulan sketsa yang mendeskripsikan secara singkat mengenai alur pembelajaran. Story board tidak mendeskripsikan pembelajaran secara rinci, tetapi lebihkepada gambaran pembelajaran. Sehingga bisa jadi seorang perancang pembelajarandengan komputer tidak perlu membuat sendiri softwerenya, tetapi menyerahkannya pada programer yang menguasai software aplikasi untuk membuat software pembelajaran yangdimaksud. Programer tinggal menerjemahkan story board tadi ke dalam software aplikasiyang dia kuasai.

Software aplikasi untuk membuat software pembelajaran sebaiknya dipilih yangdapat membuat animasi dan visualisasi yang tepat, disamping dapat mengakomodasikemampuan interaktif, karena salah satu kelebihan dari pembelajaran dengan komputeradalah kemampuan animasi dan visualisasi yang dapat menambahkan kesan nyata untukmemperkuat konsep dari materi pembelajaran.

Berikut ini adalah beberapa contoh tampilan dari software yang dibuat

KURIKULUMSEKOLAH

PEDAGOGI:Strategi pembelajaran

Perencanaan pembelajranEvaluasi pembelajaran

TEKNIKPEMBELAJARAN

DENGAN KOMPUTER

STORY BOARD

SOFTWARE APLIKASI

SOFTWAREPEMBELAJARAN

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 54/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

47

5. IMPLEMENTASI SOFTWARELangkah berikutnya setelah pembuatan software pembelajaran adalah

mengimplementasikannya pada siswa untuk mengetahui kebermanfaatan dari software pembelajaran yang dihasilkan. Untuk itu diberikan suatu angket dengan empat item yaitusangat setuju, setuju, tidak setuju, dan sangat tidak setuju. Dan diberikan pula isian untukkomentar di luar butir-butir pertanyaan yang ditanyakan.

Beberapa hal positif yang diperoleh dari hasil angket di antaranya adalah:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 55/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

48

•  Siswa senang belajar Matematika dengan menggunakan komputer.•  Pembelajaran Matematika dengan menggunakan komputer membuat siswa lebih

menyukai pelajaran Matematika.•  Belajar Matematika dengan menggunakan komputer membuat siswa merasa lebih

mandiri.

Di samping itu ada pula pendapat yang dapat dijadikan masukan untuk perbaikandalam pembuatan software, beberapa di antaranya adalah:•  Siswa berharap agar software diiringi dengan musik yang dapat menyemangati

 pembelajaran.•  Siswa merasa bahwa software masih seperti buku yang dipindahkan ke komputer.•  Siswa merasa bahwa pembahasan masih kurang jelas.•  Siswa menyarankan agar ada penjelasan alasan ketika siswa melakukan

kesalahan dalam mengerjakan kuis.

6. REFLEKSIBerdasarkan masukan dari para siswa, maka dilakukan perbaikan pada software.

Beberapa di antaranya adalah:•  Menyisipkan musik yang dapat dinyalakan atau dimatikan.

•  Menambah animasi dan visualisasi untuk memperjelas pembahasan materi.•  Menambah alasan kesalahan dalam latihan.

7. SARANUntuk mengukur kualitas pembelajaran dengan menggunakan software ini

diharapkan ada penelitian lebih lanjut yang membandingkan pembelajran denganmenggunakan software ini dengan software pembelajaran lainnya atau dengan pembelajaran tanpa bantuan komputer.

DAFTAR PUSTAKAEffendi, Empy dan Zhuang, Hartono. (2005).  E-learning Konsep dan Aplikasi.

Yogyakarta: Andi.

Hamalik, O. (1986). Media Pendidikan. Bandung: Alumni.

--------------. (1989).  Komputerisasi Pendidikan Nasional, Komputerisasi Informasi, Edukasi. Bandung: Mandar Maju.

Hartono, J. (1999). Pengenalan Komputer: Dasar Ilmu Komputer, Pemrograman, Sistem Informasi dan Intelegensi Buatan. Yogyakarta: Andi Offset.

Kusumah, Y.S. (2004).  Desain dan Pengembangan Courseware Matematika Interaktifuntuk Meningkatkan Kemampuan Kognitif dan Afektif Siswa. Makalah Seminar Nasional Pendidikan Matematika XII di UNY.

 Nurdyati, Y. (2006). Efektivitas Penggunaan Komputer dalam Pembelajaran Matematika Interaktif Model Tutorial untuk Meningkatkan Prestasi Belajar MatematikaSiswa SMP . Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung:tidak diterbitkan.

Wardhani, I. (2006). Efektivitas Penggunaan Komputer dalam Pembelajaran Matematika Interaktif Model Tutorial untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis dan Motivasi Belajar Matematika Siswa SMA. Skripsi Jurusan PendidikanMatematika FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan. 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 56/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 57/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

50

(2001), berpikir secara umum diasumsikan sebagai proses kognitif, aksi mental ketika pengetahuan diperoleh. Sementara, menurut Fisher (dalam Ratnaningsih, 2007), berpikir berkaitan erat dengan apa yang terjadi dalam otak manusia dan fakta-fakta yang ada didunia, berpikir mungkin bisa divisualisasikan, dan berpikir (apabila diekspresikan) bisadiobservasi dan dikomunikasikan.

Berpikir bisa terjadi di dalam alam sadar dan bisa juga terjadi di bawah alam sadar.Jika berpikir terjadi di bawah alam sadar, maka otak tidak mengetahui bahwa ia sedang berpikir, atau jika ia mengetahui itu, maka ia tidak mengetahui apa yang sedangdipikirkan. Jika berpikir terjadi didalam alam sadar, maka otak mengetahui bahwa ituadalah berpikir dan apa yang sedang dipikirkan.

Beyer, (1984, dalam Presseisen, 2001), mengemukakan bahwa berpikir merupakanmanipulasi mental terhadap input dari panca indera untuk merumuskan pikiran, memberialasan, atau penilaian. Maskanian, (1992), mengemukakan definisi berpikir secara umum,yaitu; menyusun pemikiran dan gagasan dengan penalaran, membentuk sebuah pendapat,menilai, mempertimbangkan, mempekerjakan dan membawa panca indera intelektualseseorang untuk bekerja, memusatkan pikiran seseorang pada suatu subjek yangdiberikan.

Lebih rinci, Sagala (2003) mengemukakan bahwa berpikir merupakan proses

dinamis yang menempuh tiga langkah berpikir yaitu: (1) pembentukan pengertian, yaitumelalui proses mendeskripsikan ciri-ciri objek yang sejenis, meklasifikasi ciri-ciri yangsama, mengabstraksi dan menyisihkan, membuang, dan menganggap ciri-ciri yanghakiki; (2) pembentukan pendapat, yang dirumuskan secara verbal berupa pendapatmenolak, menerima atau mengiakan, dan pendapat asumtif, yaitu mengungkapkankemungkinan-kemungkinan suatu sifat pada suatu hal; dan (3) Pembentukan keputusanatau kesimpulan sebagai hasil pekerjaan akal. Sementara, Ibrahim dan Nur (2000),mendefinisikan berpikir sebagai kemampuan untuk menganalisis, mengkritik, danmencapai kesimpulan berdasar pada inferensi atau pertimbangan yang saksama.

Guilford (dalam Evan, 1991), mengelompokkan kemampuan berpikir ke dalam duakelompok utama, yaitu; kemampuan memory dan kemampuan berpikir. Kemampuan berpikir dibedakan pula ke dalam tiga kategori, yaitu; kognitif, produktif, dan evaluatif.Kemampuan produktif terdiri dari dua jenis yaitu; konvergen dan divergen. Berpikirkonvergen mengarah kepada suatu jawaban konvensional atau yang ditentukan.Sebaliknya, berpikir divergen bergerak ke berbagai arah, tidak terhadap jawaban yangdiberikan. Berpikir konvergen fokus pada satu solusi yang benar, sedangkan berpikirdivergen menghasilkan solusi yang bervariasi. Berpikir kreatif termasuk jenis berpikirdivergen.

Ditinjau dari segi pendidikan matematika, berpikir matematis dapat diartikansebagai melaksanakan kegiatan atau proses matematika (doing math)  atau tugasmatematika (mathematical task). Ditinjau dari kedalaman atau kekompleksan kegiatanmatematika yang terlibat, berpikir matematis dapat digolongkan dalam dua jenis yaitu berpikir matematik tingkat rendah (low order mathematical thinking ) dan berpikirmatematika tingkat tinggi ( high order mathematical thinking ). Berpikir kreatif dan pemecahan masalah termasuk jenis berpikir tingkat tinggi (Soemarmo, 2008).

2.  Berpikir KreatifPada zaman dulu, masyarakat pada umumnya menganggap kreativitas adalah

 bawaan sejak lahir, sesuatu yang tidak dapat dipelajari, sekolah-sekolah tidak memiliki peraturan yang mendorong siswa untuk mengembangkan kekuatan kreatif mereka.Paradigma itu sekarang sudah berubah. Kreatif bukanlah milik seseorang, dan juga bukansesuatu yang luar biasa. Kreatif adalah milik semua orang, dan semua orang bisameningkatkan kreativitasnya, tetapi derajat kreativitasnya berbeda. Seperti yangdikemukakan oleh Evans, J. R., (1991), bahwa setiap orang mempunyai kemampuan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 58/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

51

kreatif, walaupun banyak orang yang tidak mengetahui bagaimana menjadi kreatif. Lebih jauh ia mengatakan bahwa kreativitas adalah suatu keahlian yang dapat diajarkan dandipelajari. Hal senada dikemukakan oleh Johnson, E. B., (2002), semua orang adalahkreatif, dan setiap manusia memiliki kapasitas untuk menggunakan pikiran dan imajinasimereka secara konstruktif untuk menghasilkan sesuatu yang baru.

Berbicara tentang berpikir kreatif tentu tidak terlepas dari apa yang disebut dengankreativitas. Menurut Murdock dan Puccio (2001), istilah berpikir kreatif dan kreativitasmerupakan dua hal yang tidak indentik, namun kedua istilah itu berelasi secarakonseptual. Kreativitas merupakan konstruk payung sebagai produk kreatif dari individuyang kreatif, memuat tahapan proses berpikir kreatif, dan lingkungan kondusif untuk berlangsungnya berpikir kreatif.

Pendapat lain, dikemukakan oleh Johnson, (2002); berpikir kreatif merupakansebuah kebiasaan dari pikiran yang dilatih dengan memperhatikan intuisi, menghidupkanimajinasi, mengungkapkan kemungkinan-kemungkinan baru, membuka sudut pandangyang menakjubkan, dan membangkitkan ide-ide yang tidak terduga. Intuisi bisamembisikan kepada kita untuk memecahkan sebuah soal matematika dengan cara yang berbeda, atau menyelidiki sebuah proyek dari sudut pandang yang tidak biasa. Einstein(dalam Johnson, E.B., 2002), mengatakan bahwa intuisi adalah penggerak utama yang

menjadikannya menemukan teori relativitas.Menurut Munandar (1999), berpikir kreatif adalah kemampuan – berdasarkan

data atau informasi yang tersedia- menemukan banyak kemungkinan jawaban terhadapsuatu masalah, dimana penekanannya adalah pada kuantitas, ketepatgunaan, dankeragaman jawaban. Makin banyak kemungkinan jawaban yang dapat diberikan terhadapsuatu masalah makin kreatiflah seseorang, tentunya dengan memperhatikan mutu ataukualitas dari jawaban tersebut. Secara operasional, Munandar mengemukakan; berpikirkreatif merupakan kemampuan yang mencerminkan kelancaran, keluwesan (fleksibilitas),orisinalitas dalam berpikir, serta kemampuan untuk mengelaborasi (mengembangkan,memperkaya, memperinci) suatu gagasan dan kemampuan memberikan penilaian atauevaluasi terhadap suatu obyek atau situasi.

Pendapat yang serupa dikemukakan Cotton, K (1991, dalam Pelita Pascasarjana,2008), bahwa berpikir kreatif memiliki karakteristik sebagai berikut: fluency(membangun banyak ide), flexibility (dapat merubah-ubah pandangan dengan mudah),originality (menghasilkan sesuatu yang baru), dan elaboration (membangun ide-ide berdasarkan ide-ide yang lain).

Berpikir kreatif berkaitan dengan berfikir divergen dan berfikir orisinal. Berfikirkreatif dapat digambarkan sebagai bentuk kombinasi baru dari ide-ide untuk memenuhisuatu kebutuhan atau sebagai berfikir dengan cara memproduksi hasil yang orisinal dantepat. Sesuatu dapat menjadi orisinal bagi seseorang, dan tidak harus original untuksemua orang (Lang dan Evans, D. N. 2006). Kata “orisinal” dalam kaitan dengankreativitas tidak perlu diartikan sesuatu yang benar-benar baru (sebelumnya belum pernahada), tetapi dapat saja hasil ciptaannya itu merupakan kombinasi dari apa-apa yang telahada sebelumnya. Atau mungkin pula sesuatu yang baru itu hanya baru bagi orangtersebut, jadi mungkin saja bagi orang lain bukan hal yang baru (Anderson, 1970, dalamWahidin, 2009).

Berpikir kreatif memuat aspek kognitif (aptitude),  afektif (nonaptitude) danmetakognitif. Williams, (1980, dalam Killen, R, 1998), mengemukakan delapan prilakusiswa berkaitan dengan berpikir kreatif. Empat diantaranya berhubungan dengan aspekkognitif yaitu; keterampilan berpikir lancar ( fluency), keterampilan berpikir luwes( flexibility), keterampilan berpikir orisinil (originality), dan keterampilan mengelaborasi(elaboration). Empat lagi berhubungan dengan aspek afektif, yaitu; mau mengambilaresiko ( Risk taking ), senang dengan kompleksitas (complexity), memiliki rasa ingin tahu (curiosity), dan suka berimajinasi (imajination).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 59/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

52

Keterampilan berpikir lancar ( fluency), yaitu kemampuan untuk mencetuskan banyak ide, hasil, dan respon. Keterampilan berpikir luwes ( flexibility) yaitu kemampuanuntuk menggunakan pendekatan yang berbeda, membangun berbagai gagasan, mampumerubah-ubah arah pemikiran atau pendekatan, dan menyesuaikan dengan situasi yang baru. Keterampilan berpikir orisinil (originality) yaitu kemampuan untuk membangunsesuatu yang baru, yang tidak biasa, ide-ide cerdas yang berbeda dengan cara-cara yangsudah lumrah. Mampu membuat kombinasi-kombinasi yang tidak lazim dari bagian- bagian atau unsur-unsur. Keterampilan mengelaborasi (elaboration) yaitu kemampuanuntuk merinci, memperluas, atau menambah ide-ide atau hasil.

Mau mengambil resiko ( Risk taking ), maksudnya siap menerima kegagalan dankritikan, berani melakukan tebakan, dan berani mempertahankan ide-ide sendiri. Senangdengan kompleksitas (complexity), maksudnya mencoba berbagai alternative, membawa persoalan ke luar dari kerumitan, dan menyelidiki ke dalam permasalahan atau gagasan-gagasan yang kompleks. Rasa ingin tahu (curiosity), maksudnya kemauan untuk memilikirasa ingin tahu dan yang mengherankan (aneh), suka mengotak-atik ide, suka terhadapsituasi yang menimbulkan teka-teki. Suka berimajinasi (imajination), maksudnyamempunyai daya untuk memvisualisasikan dan membangun mental images  (bayangan- bayangan mental) dan menjangkau di luar batasan-batasan riil atau sensual.

Kemudian Munandar (1999) menambahkan point kelima dari aspek kognitif(aptitude) dengan keterampilan menilai (evaluation), yaitu kemampuan memberikan penilaian atau evaluasi terhadap suatu obyek atau situasi. Menentukan patokan penilaiansendiri dan menentukan apakah suatu pertanyaan benar, suatu rencana sehat, atau suatutindakan bijaksana. Untuk aspek afektif (nonaptitude), Munandar menambahkan dengansifat menghargai, seperti: menghargai kesempatan-kesempatan yang diberikan;menghargai makna orang lain; menghargai hak-hak sendiri dan hak-hak orang lain; dll.

Kreatif dalam matematika mempunyai perbedaan dengan kreatif pada pada seni.Sesuatu yang "aneh", misalkan angka 3 disimbolkan dengan tanda "***" dapat dipandangkreatif dalam seni tetapi tidak dalam matematika. Jika seseorang dapat menemukanteorema baru atau menciptakan suatu struktur baru dalam matematika, maka seseorang itudapat dikatakan kreatif dalam matematika. Selain itu, dalam pendidikan matematika jikaseseorang dapat menyelesaikan suatu masalah dengan beberapa cara atau jawaban, maka

seseorang itu dapat juga disebut kreatif. Belajar matematika memungkinkan menjadikanseseorang kreatif jika ia dihadapkan pada suatu situasi yang menantang dan ia dapatmemberikan berbagai alternatif jawaban maupun penyelesaian.

Briggs dan Davis, (2008), mengemukakan bahwa kreatif dalam matematika bukanmerupakan solusi-solusi yang benar-benar baru, misalnya; ketika siswa mengetahui solusidari suatu masalah, itu adalah sama kreatifnya dengan menemukan suatu jawaban baru.Briggs dan Davis, (2008), mengemukakan lima komponen kreatif yang berhubungandengan pembelajaran matematika, yaitu; imajinasi (imagination), keaslian (originality), produktivitas (productivity), pemecahan masalah (problem solving), produksi dan hasilyang bernilai dan berharga (Production and outcome of value and worth).

Memperhatikan karakteristik yang termuat dalam berpikir kreatif, dapat dipahami bahwa berpikir kreatif merupakan bagian keterampilan hidup yang perlu dikembangkandalam menghadapi era informasi dan suasana bersaing semakin ketat. Pemikiran kreatif

 perlu dilatih karena membuat anak lancar dan luwes dalam berpikir, mampu melihatmasalah dari berbagai sudut pandang dan mampu melahirkan banyak gagasan. Manusiayang kreatif sangat memungkinkan dapat meningkatkan kualitas hidupnya. Dalam eraglobalisasi ini tak dapat dipungkiri bahwa kesejahteraan dan kejayaan masyarakat dannegara kita bergantung pada sumbangan kreatif, berupa ide-ide baru, penemuan- penemuan baru dan teknologi baru dalam anggota masyarakatnya.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 60/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

53

3. Pemecahan Masalah Matematik

3.1 Pengertian Masalah dan Pemecahan Masalah Matematik

Berbicara tentang pemecahan masalah matematik tentu tidak terlepas darimasalah itu sendiri. Suatu masalah biasanya memuat suatu kondisi yang mendorongseseorang untuk cepat menyelesaikannya akan tetapi tidak tahu secara langsung apa yangharus dilakukan untuk menyelesaikannya. Jika suatu persoalan diberikan kepada seoranganak dan anak tersebut dapat menyelesaikan dengan prosedur algoritme tertentu, maka persoalan itu belum bisa dikatakan sebagai masalah. Munandar (1991) mengatakan bahwa suatu masalah dapat diartikan sebagai suatu situasi dimana seseorang dimintamenyelesaikan persoalan yang belum pernah dikerjakan, dan belum memahami cara penyelesaiannya.

Sedangkan pemecahan masalah matematik adalah mengerjakan soal-soalmatematik yang cara menyelesaikannya belum diketahui sebelumnya, dan pemecahannyatidak dapat dilakukan dengan algoritma tertentu. Untuk menemukan pemecahannya siswaharus menggunakan pengetahuannya, dan melalui proses ini mereka akanmengembangkan pemahaman matematika baru.

Pemecahan masalah matematika seperti halnya pemecahan masalah pada umumnya

mempunyai berbagai interpretasi. Menurut Sumarmo (2008), pemecahan masalahmengandung dua makna yaitu, pemecahan masalah sebagai suatu pendekatan pembelajaran dan sebagai kegiatan. Sebagai pendekatan pembelajaran, pemecahanmasalah dapat digunakan untuk menemukan kembali (reinvention) dan memahamimateri/konsep/prinsip matematika. Pembelajaran diawali dengan penyajian masalah atausituasi yang kontektual kemudian melalui induksi siswa menemukan konsep/prinsipmatematika. Pemecahan masalah sebagai kegiatan, yaitu meliputi: kegiatanmengidentifikasi kecukupan data untuk pemecahan masalah, membuat model matematikdari suatu persoalan sehari-sehari dan menyelesaikannya, memilih dan menerapkanstrategi untuk menyelesaikan masalah matematika dan atau di luar matematika;menjelaskan atau menginterpretasikan hasil sesuai permasalahan asal, serta memeriksakebenaran hasil atau jawaban, serta menerapkan matematika secara bermakna.

Sedangkan menurut Baroody (1993), ada tiga interpretasi pemecahan masalah

yaitu: pemecahan masalah sebagai pendekatan (approach), tujuan (goal), dan proses( process) pembelajaran. Pemecahan masalah sebagai pendekatan maksudnya pembelajaran diawali dengan masalah, selanjutnya siswa diberi kesempatan untukmenemukan dan merekonstruksi konsep-konsep matematika. Pemecahan masalah sebagaitujuan berkaitan dengan pertanyaan mengapa matematika diajarkan dan apa tujuan pengajaran matematika. Pemecahan masalah sebagai proses adalah suatu kegiatan yanglebih mengutamakan pentingnya prosedur langkah-langkah, strategi/cara yang dilakukansiswa untuk menyelesaikan masalah sehingga menemukan jawaban.

Walaupun terdapat beberapa interpretasi pemecahan masalah, namun dalam prakteknya semua itu saling melengkapi. Kemampuan pemecahan masalah tergolong pada kemampuan tingkat tinggi, karena pada umumnya pemecahan masalah bersifat tidakrutin.

3.2 Proses Pemecahan Masalah Dalam memecahkan masalah ada beberapa tahap yang dilalui. Polya menyarankan

tahap-tahap tersebut sebagai berikut; (1) Memahami soal atau masalah; (2) Membuatsuatu rencana atau cara untuk menyelesaikannya; (3) Melaksanakan rencana; (4)Menelaah kembali terhadap semua langkah yang telah dilakukan (Ruseffendi, 2006).

Memahami masalah artinya membuat representasi internal terhadap masalah, yaitumemberikan perhatian pada informasi yang relevan, mengabaikan hal-hal yang tidakrelevan, dan memutuskan bagaimana merepresentasikan masalah. Untuk mempermudah

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 61/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

54

memahami masalah dan mempermudah mendapatkan gambaran umum penyelesaian,sebaiknya hal-hal yang penting hendaknya dicatat, dan kalau perlu dibuatkan tabelnyaatau pun dibuat sket atau grafiknya.

Membuat suatu rencana atau cara untuk menyelesaikannya, maksudnya adalahmerumuskan model matematika dari soal yang diberikan. Untuk itu, perlu adanya aturan-aturan tertentu yang dibuat oleh siswa selama proses pemecahan masalah berlangsungsehingga dapat dipastikan tidak akan ada satupun alternatif yang terabaikan. Kemampuanini sangat tergantung dari pengalaman siswa dalam menjawab soal. Semakin banyakvariasi pengalaman siswa, ada kecenderungan siswa lebih kreatif dalam menyusunrencana.

Melaksanakan rencana, yaitu menyelesaikan model matematika yang telahdirumuskan. Dengan kata lain siswa meyelesaikan soal itu dengan cara yang telahdirumuskan pada tahap dua.

Menelaah kembali terhadap semua langkah yang telah dilakukan, yaitu berkaitandengan penulisan hasil akhir sesuai permintaan soal, memeriksa setiap langkah kerja,termasuk juga melihat alternatif penyelesaian yang lebih baik.

3.3 Strategi Pemecahan Masalah

Sebuah persoalan tidak termasuk ke dalam masalah jika persoalan itu dapatdiselesaikan dengan prosedur algoritme tertentu. Untuk pemecahan masalahsesungguhnya, peserta didik harus menarik sejumlah kecakapan dan pengetahuan merekasebelumnya, kemudian memadukan itu semua dalam suatu cara baru untuk tiba padasuatu penyelesaian. Untuk itu, diperlukan berbagai strategi yang dapat membantu merekadalam memecahkan masalah.

Dari banyak deskripsi mengenai strategi-strategi pemecahan masalah, beberapayang terkenal adalah seperti yang dikemukakan oleh Polya dan Pasmep (dalam Shadiq,2004). Strategi-strategi tersebut diantaranya adalah: Mencoba nilai-nilai atau kasus-kasusyang khusus; Menggunakan diagram; Mencobakan pada soal yang lebih sederhana;Membuat tabel; Memecah tujuan; Memperhitungkan setiap kemungkinan; Berfikit logis;Menemukan pola; Bergerak dari belakang.

Selain strategi di atas, Stepelman dan Posamentier (1981) mengemukakan beberapa

strategi lagi sebagai tambahan, yaitu; menggunakan komputer, melakukan aproksimasi,menentukan syarat cukup dan syarat perlu, menentukan karakteristik dari objek,membuat gambar, dan mengumpulkan data. Dalam memecahkan suatu masalah, tentunyatidak menggunakan semua strategi di atas sekaligus, akan tetapi dipilih sesuai dengankondisi masalah.

B. Mengapa Kemampuan Pemecahan Masalah dan Berpikir kreatif perludikembangkan?

Berpikir kreatif dapat menolong seseorang untuk meningkatkan kualitas dankeefektifan kemampuan pemecahan masalahnya (Evan, J. R., 1991), sebaliknya pemecahan masalah dapat meningkatkan kemampuan berpikir kreatif (Briggs, M. danDavis, S., 2008). Kretivitas merupakan bentuk yang paling tinggi dari fungsi mental(Lang dan Evans, D. N. 2006). Hambatan untuk berpikir kreatif yang sering menghantui pemikiran siswa adalah ketakutan-ketakutan sosial, takut berbuat salah, kurang percayadiri, atau meyakini bahwa mereka tidak kreatif (Lang dan Evans, D. N. 2006).

Munandar (1999), menjelaskan mengapa berpikir kreatif atau kreatifitas pentingdalam hidup. Antara lain, karena dengan  berkreasi orang dapat mewujudkan dirinya, dan perwujudan diri termasuk salah satu kebutuhan pokok dalam hidup manusia. Hal inidiperkuat oleh Maslow 1968 (dalam Munandar S 1999), bahwa kreatifitas merupakanmanifestasi dari individu yang berfungsi sepenuhnya dalam perwujudan dirinya. Orang

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 62/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 63/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

56

Dalam Kurikulum 2004 (Kurikulum Berbasis Kompetensi) dan Kurikulum TingkatSatuan Pendidikan (KTSP) dinyatakan beberapa tujuan pembelajaran matematika disekolah, antara lain:

1.  Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan.2.  Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan.

3.  Mengembangkan kemampuan pemecahan masalah.4.  Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk

memperjelas keadaan atau masalah.5.  Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki

rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap uletdan percaya diri dalam pemecahan masalah.

Tujuan pembelajaran matematika di atas, mengisyaratkan bahwa apa pun topikmatematika yang diajarkan oleh guru, baik itu aljabar, aritmetika, geometri, statistika,maupun kalkulus, mesti difokuskan untuk mengembangkan kemampuan penalaran, pemecahan masalah, komunikasi, dan aktivitas kreatif , serta afeksi siswa. Selain itu,kemampuan pemecahan masalah  dan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis,kritis, dan kreatif , serta kemampuan bekerja sama, juga merupakan salah satu Standar

Kompetensi Lulusan (SKL) mata pelajaran matematika.

C. Bagaimana Mengembangkan Berpikir kreatif dan Kemampuan PemecahanMasalah pada Peserta Didik?

Menyadari akan pentingnya kemampuan berpikir kreatif dan pemecahan masalah,dirasakan perlu mengupayakan pembelajaran dengan menggunakan pendekatan- pendekatan yang dapat memberi peluang dan mendorong siswa untuk melatihkankemampuan kemampuan tersebut. Metode dan teknik-teknik kreatif membantu peserta didik untuk berpikir dan mengungkapkan diri secara kreatif, yaitu mampumemberikan macam-macam ide dan macam-macam jawaban dari suatu masalah dansekaligus dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah peserta didik.

Kreativitas pembelajaran matematika yang mudah dan menyenangkan perlu terusdikembangkan. Karena itu, matematika mesti diajarkan secara menarik dan terhubung

dengan dunia nyata sehingga siswa senang. Treffinger dan Feldhusen (1998, dalamTreffinger dan Isaksen, 2001), mengusulkan suatu model pembelajaran yang sistematisuntuk mengajar kreativitas, sebagai berikut:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 64/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

57

Tiga komponen model ini adalah mengajarkan pondasi alat-alat untukmembangkitkan atau memfokuskan pada option, membimbing siswa dalam bekerja padatugas-tugas realistik, dan menangani masalah-masalah menantang yang berhubungandengan kehidupan nyata. Komponen-komponen pembelajaran ini juga dipengaruhi olehkonteks atau lingkungan yang mendukung berpikir produktif, mengembangkanketerampilan metakognitif, dan memperhatikan pilihan gaya serta karakteristik siswa(Treffinger dan Isaksen, 2001).

Disamping itu, hasil penelitian Haji (2005) pada siswa kelas III SDPN SetiabudiUPI menemukan bahwa kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan pemahamansiswa yang diajar dengan pendekatan matematika realistik secara signifikan lebih baikdaripada siswa yang diajar dengan pendekatan biasa.

Dengan memperhatikan model, teknik-teknik, dan hasil penelitian di atas, makasemakin kuat bahwa pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik merupakan pendekatan pembelajaran yang tepat untuk mengembangkan kemampuan berpikir kreatifdan pemecahan masalah.

PMR mempunyai lima karakteristik yaitu: (1) menggunakan masalah kontekstual(dunia nyata) sebagai titik tolak belajar matematika; (2) menggunakan model, situasi, skema dan symbol-simbol yang menekankan penyelesaian secara informal sebelummenggunakan cara formal atau rumus; (3) menggunakan kontribusi  siswa (sumbangan pemikiran dari siswa), sehingga siswa dapat membuat pembelajaran menjadi konstruktifdan produktif, artinya siswa memproduksi sendiri dan menkonstruk sendiri (yangmungkin berupa algoritma, atau strategi penyelesaian siswa), sehingga dapatmembimbing para siswa dari level matematika informal menuju matematika formal; (4)menggunakan metode interaktif   dalam belajar matematika dan (5) mengaitkan  sesamatopik dalam matematika .

Perlu diingat bahwa konteks tidak perlu harus selalu berupa situasi nyata dalamkehidupan sehari-hari, tetapi dapat juga berupa situasi fantasi. Yang lebih penting di siniadalah agar siswa dapat menempatkan dirinya di dalam konteks, dan konteks itu sendiridapat diorganisir secara matematis.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 65/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

58

Contoh Pembelajaran Matematika Realistik Untuk Menanamkan KonsepPembagian.Tiga orang anak akan membagi 36 permen. Bisakah kamu membantu mereka membagi permen tersebut?

Jawaban siswa A.Siswa A mengelompokan permen itu menjadi tiga kelompok yang sama banyak. Satukelompok untuk satu anak. Kemudian ia menghitung banyak permen dalam satukelompok, diperoleh 12 permen.

Jadi setiap anak mendapat 12 permen.

Jawaban siswa B.

Siswa B (dalam bayangannya) membagikan permen satu per satu kepada ketiga anaktersebut, setiap 3 permen yang sudah dibagikan, siswa B melingkarinya. Aktivitas inidilakukannya berulang-ulang hingga semua permen habis dibagikan. Kemudian iamenghitung berapa banyak lingkaran yang dibuatnya, ternyata ia sudah 12 kali

melingkari, berarti ia sudah 12 kali membagikan permen kepada setiap anak, sehinggasiswa B menyimimpulkan bahwa setiap anak mendapat 12 permen.

Jawaban siswa C.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 66/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

59

Siswa C membagikan permen itu satu per satu hingga semua permen habis terbagi,kemudian ia menghitung bagian masing-masing anak, ternyata setiap anak mendapat 12 permen.Dari pembelajaran ini disimpulkan bahwa 36 : 3 = 12.

Daftar Pustaka

Baroody, A.J. 1993.  Problem Solving, Reasoning, and Communicating, K-8. Helping

Children think Mathematically. New York: Macmillan Publishing Company.

Biondi, A. M. 1972. The Creative Process. New York: D. O. K. Publisher.Briggs, M. dan Davis, S. 2008. Creative Teaching:Mathematics In The Early Years and

 Primary Classroom. New York: Routledge.

Depdiknas. 2006. Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan, Jakarta: Depdiknas.

Evans, J. R. 1991. Creative Thinking In The Decission and Management Sciences. Ohio:South-Western Publishing Co.

Haji, S. 2005.  Pengaruh Pendekatan Matematika Realistik terhadap Hasil Belajar Matematika di Sekolah Dasar. Disertasi Doktor pada PPS UPI.: Tidak

Diterbitkan.

Ibrahim, M. dan Nur, M. 2000.  Pengajaran Berdasarkan Masalah. Surabaya: UNESA-University Press.

Jica. 2001. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer . Bandung: Jica.

Johnson, E. B. 2002. Contextual Teaching and Learning . USA: Corwin Press.

Lang, H. R. dan Evans, D. N. (2006).  Models, Strategies, and Methods for EffectiveTeaching . Pearson: America.

Maskanian, B. 1992. To Think . [Online]. Tersedia: http://www.venusproject.com [20 Juli

2009]

McGregor. D. 2007.  Developing Thingking;Developing Learning, Aguide to ThingkingSkills in Education, England. Open University Press.

Munandar, S. C. U. 1999. Mengembangkan Bakat dan Kreativitas Anak Sekolah. Jakarta:PT Gramedia Widiasarana Indonesia.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 67/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

60

Murdock, M. C. dan Puccio, G. J. 2001. “Creative Thinking: An Essential Life Skill”dalam  Developing Minds A Resource Book for Teaching Thinking (3rd   Edition).Alexandria: ASCD.

 National Council of Teacher of Mathematics NCTM. (2000). Principles and Standars forSchool Matematic. Reston, VA :NCTM

Presseisen, B. Z. 2001. “ Thinking Skills: Meanings and Models Revisited” dalam Developing Minds A Resource Book for Teaching Thinking (3rd   Edition).Alexandria: ASCD.

Pelita Pascasarjana. (2008). Thinking Skill . [online]. Tersedia:http//www.pelitapascasarjana.blogspot.

Ratnaningsih, N. 2007.  Pengaruh Pembelajaran Kontekstual Terhadap Kemampuan Berpikir Kritis dan Kreatif Matematik Serta Kemandirian Belajar Siswa SMA.Disertasi Doktor pada PPS UPI: Tidak Diterbitkan.

Ruseffendi, E.T. 2006. Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensidalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito.

Sagala, Syaiful. 2003. Konsep dan Makna Pembelajaran. Bandung: Alfabeta.Shadiq, F. 2004. ”Pemecahan Masalah, Penalaran dan Komunikasi”. Makalah pada Diklat

Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar PPPG Matematika,Yogyakarta.

Soemarmo, U. (2008).  Berpikir Matematik: Apa, Mengapa, dan Bagaimana Cara Mempelajarinya.

Stepelman, J dan Posamentier, A.S. 1981. Taching Secondary School MathematicsTechnik and Enrichment Units (Third Edition): Columbus: Merrill Publishing

Company.

Treffinger, D. J. dan Isaksen, S. G. 2001. “Teaching for Creative Learning and ProblemSolving” dalam  Developing Minds A Resource Book for Teaching Thinking (3rd   Edition). Alexandria: ASCD.

Wahidin, D. 2009.  Berpikir Kreatif . [online]. Tersedia: http://didin-uninus.blogspot.com/2009/03/berpikir-kreatif.html [10 Juli 2009].

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 68/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

61

Dari Cerita Gauss Kecil Sampai Teorema Stewart

Al JupriJurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

e-mail:[email protected] 

Abstrak

Dalam artikel ini saya akan berbagi pengalaman pembelajaran tentang permasalahan teorema Stewart di dua kelompok berbeda. Pertama, pengalaman ketikamembina siswa-siswa sebuah Sekolah Menengah Atas (SMA) swasta di kota Bandunguntuk persiapan olimpiade matematika. Kedua, pengalaman ketika memberi tes padamata kuliah Kapita Selekta Matematika Sekolah untuk mahasiswa calon guru matematikadi Jurusan Pendidikan matematika, Universitas Pendidikan Indonesia tahun akademik2008/2009. Berdasarkan pengalaman di dua kelompok tersebut, permasalahan seputarteorema Stewart yang didiskusikan meliputi: soal matematika yang dapat diselesaikandengan teorema Stewart, strategi dan jawaban para siswa/mahasiswa dalam menjawab permasalahan terkait teorema Stewart, dan pembuktian teorema Stewart menggunakan

teorema Pythagoras—di mana pembuktiannya terinspirasi dari strategi para siswa danmahasiswa dari dua kelompok tersebut.

Kata Kunci:   Teorema Stewart, Pembuktian Teorema Stewart, Teorema Pythagoras,Pengalaman Pembelajaran, Conjecture of Students’ Thinking Processes.

PengantarDulu, sekitar enam tahun lalu, sewaktu menjadi mahasiswa di Jurusan Pendidikan

Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia saya terkagum-kagum dengan cerita masakecil matematikawan terbesar Jerman abad 19, Carl Friedrich Gauss. Kisah singkat masakecil Gauss yang pernah membuat saya terkagum-kagum kurang lebihnya seperti berikut.

Saat berusia sekitar 7 tahun, Gauss membuat gurunya tercengang karena mampumenentukan jumlah seratus bilangan asli pertama: 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99+100 dalam

waktu yang sangat cepat dan dengan cara yang luar biasa. Menurut cerita, sang gurumemberi masalah tersebut agar bisa sedikit santai, beristirahat menunggu siswa-siswanyasibuk bekerja. Tetapi, di luar dugaan, Gauss mampu menjawabnya dengan sangat cepat.Adapun cara yang dilakukan Gauss adalah seperti Gambar 1 berikut:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100.

Gambar 1. Strategi Gauss untuk menjumlahkan seratus buah bilangan asli pertama

Karena terdapat 50 pasang bilangan 101, maka jumlah seratus bilangan asli pertamatersebut adalah 50 x 101 = 5050 (O’Connor dan Robertson, 1996).

Apa yang terjadi pada guru Gauss, dalam keadaan yang agak serupa, terjadi pula pada diri saya. Kejadian tak terduga yang saya alami adalah tentang permasalahan yang

10 

10 

10 

10 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 69/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

62

terkait dengan teorema Stewart. Kejadian tersebut terjadi berulang pada dua kelompok berbeda, yaitu kelompok siswa SMA yang akan berlaga dalam olimpiade matematika dankelompok mahasiswa calon guru matematika, di Jurusan Pendidikan Matematika,Universitas Pendidikan Indonesia.

Oleh karena itu, tujuan saya menulis artikel ini adalah untuk berbagi pengalaman pembelajaran permasalahan seputar teorema Stewart yang terjadi di dua kelompoktersebut. Di mana pembahasannya meliputi prediksi (dugaan) kemungkinan pola pikiratau respon siswa/mahasiswa ketika diberi soal yang terkait teorema Stewart dan diskusi berbagai strategi serta jawaban para siswa/mahasiswa dalam menjawab permasalahan(soal) tersebut. Walau kedua pengalaman yang diceritakan sifatnya adalah anekdot, di bagian selanjutnya akan ditinjau implikasinya dalam konteks dunia pendidikanmatematika secara lebih luas, seperti pentingnya persiapan guru sebelum proses pembelajaran serta pembuktian teorema Stewart menggunakan teorema Pythagoras berdasarkan temuan-temuan dalam pekerjaan para siswa dan mahasiswa. Sehingga, halini diharapkan dapat dijadikan bahan renungan dan pembelajaran bagi para gurumatematika.

Dua Pengalaman Seputar Teorema Stewart

Pengalaman pertama  terjadi saat membina kelompok siswa SMA salah satusekolah swasta di Bandung untuk persiapan olimpiade matematika. Saat memberi pembinaan saya mengajukan soal latihan berikut ini.

Soal:  Pada Gambar 2 berikut diketahui segitiga PQR mempunyai panjangPR = QR dan S pada sisi PQ sehingga PS = 7 cm dan SQ = 3 cm. Jika RStegak lurus PR, tentukanlah panjang PR! (Kurniawan dan Suryadi, 2006)

Gambar 2. Segitiga PQR yang diketahui dalam soal

Dugaan saya ketika memberi soal tersebut adalah siswa akan menjawab soal denganmenggunakan teorema Stewart seperti berikut ini (selanjutnya disebut Cara 1).PQ.RS2 = PS.RQ2 + SQ. PR 2 – PQ.PS.SQ. (Teorema Stewart pada segitiga PQR)

10.RS2 = 7.RQ2 + 3. PR 2 – 10.7.3.

10.RS2 = 7.RQ2 + 3. PR 2 – 210 (1)

Sedangkan pada segitiga PRS berlaku:RS2 = 49 – PR 2  (2)

Dengan mensubstitusi (2) ke (1) maka diperoleh PR = cm.Lantas, apakah dugaan saya cocok dengan kenyataan yang terjadi?

Pada kenyataannya, yang terjadi, ada dua macam. Beberapa siswa menjawab soalseperti Cara 1 di atas. Sedangkan yang lain, secara tak terduga, ada seorang siswa yangmengerjakan dengan hanya menggunakan teorema Pythagoras—seperti berikut ini(selanjutnya disebut Cara 2).

QP

R

S

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 70/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

63

Gambar 3. Segitiga PQR dengan garis tinggi RT

Karena PR = RQ dan dengan membuat garis tinggi RT, maka PT = QT = 5 cm dan TS =2 cm (lihat Gambar 3). Sehingga dengan menggunakan teorema Pythagoras berturut-turut pada segitiga RTS, segitiga PRT, dan segitiga RTQ, maka berlaku hubungan-hubungan:

RS2 = RT2 + 4 (3)PR 2 = RT2 + 25 (4)

49 = RS

2

 + PR 

2

.

 

(5)Dari (3) dan (4) diperoleh:PR 2 – RS2 = 21 (6)

Dari (5) dan (6) diperoleh PR = cm.

Harus diakui, setidaknya oleh saya, cara yang dilakukan oleh siswa padakelompok olimpiade tersebut sangat elegan! Karena itu saya pun belajar dari cara yangdilakukannya. Karena cara ini berbeda dengan dugaan, maka saya pun meminta padasiswa yang bekerja dengan Cara 2 ini untuk menampilkannya ke depan kelas, agar siswa-siswa lain dapat mempelajari ide kreatifnya. Pengalaman ini saya jadikan bahan renunganuntuk saya terapkan di pengalaman pembelajaran berikutnya di kelompok berbeda.

Pengalaman kedua  terjadi saat memberi tes pada mata kuliah Kapita Selekta

Matematika Sekolah untuk mahasiswa calon guru matematika di Jurusan PendidikanMatematika, Universitas Pendidikan Indonesia, tahun akademik 2008/2009. Soal yangditeskan nyaris sama seperti soal yang diberikan untuk kelompok siswa olimpiade tadi.Perbedaannya adalah soal yang diberikan untuk mahasiswa calon guru itu tidakdilengkapi dengan Gambar 2.

Dengan berkaca pada pengalaman pertama, saya memperkirakan, ada dua responyang akan muncul. Pertama, berdasarkan soal yang diberikan, para mahasiswa diharapkanmampu mengkonstruksi gambar segitiga seperti Gambar 2. Kedua, para mahasiswa dapatmenerapkan teorema Stewart (seperti Cara 1) untuk menjawab soal atau menggunakanteorema Pythagoras untuk menjawabnya (seperti Cara 2). 

Bagaimanakah respon para mahasiswa terhadap soal tersebut, apakah sesuai perkiraan?

Lagi-lagi terjadi beberapa hal di luar dugaan. Dari analisis hasil pekerjaan

(jawaban) para mahasiswa yang benar, maka hasilnya dapat dikelompokkan empat respon berbeda, seperti berikut ini.Respon 1. Strategi yang digunakan mahasiswa dalam menjawab soal kurang lebih sama

seperti Cara 1. Jawaban soalnya adalah PR = cm. 

QP

R

ST

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 71/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

64

Respon 2. Strategi yang digunakan mahasiswa dalam menjawab soal kurang lebih sama

seperti Cara 1, tetapi berbeda jawaban, di mana PR = cm (lihat Gambar 4).

Gambar 4. Contoh jawaban mahasiswa yang termasuk Respon 2 

Jawaban berbeda ini disebabkan karena soal yang diberikan tidak disertai Gambar 2,akibatnya terjadi tafsiran lain (yang untungnya tafsirannya benar)—hal ini di luar dugaandan hasilnya cukup mengejutkan.

Respon 3. Strategi yang digunakan mahasiswa dalam menjawab kurang lebih samaseperti Cara 1, tetapi jawabannya sama seperti Respon2.

Respon 4. Strategi yang digunakan mahasiswa berbeda dengan Cara1 dan Cara 2, tetapi jawabannya sama dengan Respon 2 (lihat Gambar 5).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 72/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

65

Gambar 5. Contoh jawaban mahasiswa yang termasuk Respon 4 

Strategi mahasiswa di Respon 4  ini agak jauh dari perkiraan sebelumnya, yaitumahasiswa tidak menggunakan teorema Stewart ataupun teorema Pythagoras tetapimenggunakan konsep kesebangunan dua segitiga. Cara seperti ini bisa dikatakan cukupelegan—setidaknya oleh saya.

Implikasi dari Pengalaman

Dari uraian di atas, dapat dicatat beberapa hal berikut:

1.  Dari strategi Cara 2 yang digunakan oleh siswa di kelompok siswa-siswa olimpiadedan mahasiswa di atas, dapat dibuat kesimpulan sementara bahwa soal yang dapatdiselesaikan dengan teorema Stewart dapat juga diselesaikan dengan menggunakanteorema Pythagoras. Hal ini menginspirasi saya untuk menduga bahwa teorema

Stewart, kemungkinan besar, dapat dibuktikan dengan menggunakan teoremaPythagoras. Setelah dugaan ini ditindaklanjuti, ternyata teorema Stewart memangdapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Pembuktiannya yaituseperti berikut ini:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 73/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

66

Perhatikan segitiga PQR pada Gambar 6. berikut ini,

Gambar 6. Segitiga PQR sembarang untuk membuktikan teorema StewartDengan menarik garis tinggi RT, lalu menerapkan teorema Pythagoras pada segitigaPTR, segitiga QTR, dan segitiga STR, maka diperoleh hubungan-hubungan berikut:

PR 2 = PT2 + RT2  (7)RQ2 = QT2 + RT2  (8)RS2 = ST2 + RT2. (9)

Dengan mengalikan SQ dengan (7) , mengalikan PS dengan (8), dan mengalikan PQdengan (9), maka diperoleh:

SQ.PR 2 = SQ.PT2 + SQ.RT2  (10)

PS.RQ

2

 = PS.QT

2

 + PS.RT

2

  (11)PQ. RS2 = PQ.ST2 + PQ.RT2 . (12)Dengan menjumlahkan (10) dan (11), maka diperoleh

SQ.PR 2 + PS.RQ2 = PQ.RT2 + PS.QT2 + SQ.PT2. (13)Dari (12) dan (13) diperoleh:PQ.RS2 = PQ.ST2 + SQ.PR 2 + PS.RQ2 – PS.QT2 – SQ.PT2 

PQ.RS2 = SQ.PR 2 + PS.RQ2 + PQ.ST2 – PS.(SQ + ST)2 – SQ.(PS – ST)2 

PQ.RS2 = SQ.PR 2 + PS.RQ2 + PQ.ST2 – PS.(SQ2 + ST2 + 2SQ.ST)2 – SQ.(PS2 +ST2 – 2.PS.ST)

PQ.RS2 = SQ.PR 2 + PS.RQ2 + PQ.ST2 – PS.SQ2 – PS.ST2 – 2.PS.SQ.ST – SQ.PS2 

 – SQ.ST2 + 2.PS.ST.SQ

PQ.RS2 = SQ.PR 2 + PS.RQ2 – PS.SQ2 – SQ.PS2 

PQ.RS2 = SQ.PR 2 + PS.RQ2 – PS.SQ.(SQ + PS)

PQ.RS2 = SQ.PR 2 + PS.RQ2 – PQ.PS.SQ. (14)Hubungan (14) inilah yang disebut dengan teorema Stewart untuk segitiga PQRsembarang pada Gambar 6.

2.  Pengurangan keterangan dalam soal (dalam kasus di atas berupa penghilangan Gambar2) akan berakibat timbulnya tafsiran berbeda dengan maksud awal soal sebelum

dikurangi. Untungnya, dalam kasus di atas, pengurangannya berdampak positif yaknisoal menjadi bersifat terbuka. Akibatnya muncul variasi strategi menjawab, jawaban benar menjadi lebih dari satu jawaban, dan konsep matematika yang digunakan untukmenjawab lebih banyak. Tetapi untuk kasus lain, pengurangan keterangan soal perludiperhatikan secara cermat, karena tidak semua pengurangan keterangan dalam soalakan berdampak positif.

P Q

R

ST

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 74/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

67

3.  Dari pengalaman di atas, tampak bahwa sebagai guru kita perlu melakukan persiapansecara sungguh-sungguh dalam memberi perlakuan pada para siswa atau mahasiswakita. Persiapan itu tak hanya dari sudut pandang guru sendiri, tetapi guru perlumencoba berpikir dari sudut pandang siswa dengan cara membuat perkiraan/dugaan-dugaan berbagai respon pemikiran siswa yang akan mendapat perlakuan. Dugaan atauantisipasi tentang berbagai kemungkinan pemikiran siswa sebelum proses pembelajaran ini dalam istilah  Design Research (Penelitian Desain) disebut dengan“Conjecture of students’ thinking processes”  yang merupakan salah satu komponen penting dalam  Hypothetical Learning Trajectory (Gravemeijer, 2004; Bakker, 2004;Gravemeijer &Cobb, 2006). Tujuan dibuatnya “Conjecture of students’ thinking processes” di antaranya adalah agar guru makin menguasai materi pembelajaran sertaguru menjadi lebih siap dalam membantu siswa-siswinya dalam proses pembelajaran.

Dari beberapa catatan tadi, lebih lanjut dapat dikatakan bahwa, untuk menjadiseorang guru yang baik selain perlu melakukan persiapan sebaik mungkin sebelum proses pembelajaran, dengan mempersiapkan bahan pembelajaran beserta prediksi berbagaikemungkinan proses berpikir para siswa misalnya, guru juga hendaknya tidakmemandang remeh kemampuan para siswa/mahasiswa dalam proses pembelajaran, danguru pun dapat pula belajar dari apa yang dikerjakan oleh para siswa atau mahasiswanya.

Ucapan Terima KasihSaya mengucapkan terima kasih kepada kelompok siswa olimpiade yang pernah

saya bina, mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika angkatan 2008, serta temansejawat staf pengajar Kapita Selekta Matematika Sekolah Jurusan PendidikanMatematika, Universitas Pendidikan Indonesia. Tanpa mereka artikel ini tak akan pernahmuncul.

Daftar PustakaBakker, A. (2004).  Design research in statistics education: On symbolizing and

computer tools. Utrecht: Freudenthal Institute.

Gravemeijer, K. (2004). Local instruction theories as means of support for teachers in

reform mathematics education.  Mathematical Thinking and Learning,  6 (2) ,105-128 , Lawrence Erlbaum Association, Inc.

Gravemeijer, K., & Cobb, P. (2006). Design research from a learning design perspective.  Educational Design Research, Edited by Van den Akker, J.,Gravemeijer, K., McKenney, S., Nieveen, N. 17-51. London & New York:Routledge.

Kurniawan, & Suryadi. (2006). Siap Juara Olimpiade Matematika SMP . Jakarta:Erlangga.

O'Connor, J.J , & Robertson, E.F. (1996)  Johann Carl Friedrich Gauss. [Online]

Tersedia: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Gauss.html 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 75/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

68

PENGGUNAAN MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA INTERAKTIF BERBASIS KOMPUTER

UNTUK MENINGKATKANKEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF MATEMATIS SISWA SMA

Ansri Yunita SariYaya S. Kusumah

Jarnawi Afgani DahlanJurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

ABSTRAK

Hingga saat ini, pada pembelajaran matematika, konsep matematika diberikantanpa adanya proses penemuan sendiri oleh siswa. Dalam proses pembelajaran yangdilakukan, secara tidak langsung guru telah mengungkung cara berpikir siswa denganmemberikan tanhapan-tahapan baku terhadap proses berpikirnya. Hal ini mengakibatkansempitnya kesempatan untuk menumbuhkan ide-ide baru bahkan pemikiran-pemikiranorisinal yang dimiliki siswa terhadap sesuatu. Penelitian ini adalah penelitian

 pengembangan dengan metode eksperimen mengenai penggunaan Model PembelajaranBerbasis Komputer dalam pembelajaran matematika. Tujuan penelitian ini adalah untukmengetahui kemampuan berpikir kreatif matematis siswa yang mengikuti PembelajaranMatematika Berbasis Komputer. Subjek yang diteliti adalah Siswa SMA Kelas XI SMA Negeri 14 Bandung. Materi pokok yang dibuat program komputernya adalah mengenaiRuang sampel dan Peluang suatu kejadian. Tiga masalah yang diketahui dan dipecahkanmelalui penelitian ini antara lain terdapat perbedaan kemampuan berpikir kreatif antarasiswa kelompok eksperimen dan siswa kelompok kontrol, peningkatan kemampuankreatif matematis siswa kelompok eksperimen lebih tinggi dari kelompok kontrol, sertarespon yang baik dari siswa terhadap pembelajaran yang dilakukan.Kata kunci: Pembelajaran Berbasis Komputer, berpikir kreatif

I. PENDAHULUAN

Seiring dengan kemajuan zaman, mengakibatkan semakin tingginya daya saingdalam masayarakat. Hal ini menjadi tambahan alasan mengapa manusia dalam hidupnyaselalu dihadapkan pada masalah. Berbagai permasalahan yang dihadapi ini menuntutadanya potensi manusia dalam melahirkan pemikiran-pemikiran cepat dan tepat untukmemecahkan permasalahan tersebut. Hal ini menjadi landasan bahwa kemampuan kreatifmerupakan hal penting dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam menghadapi daya saing yang semakin tinggi dalam masyarakat, diperlukanadanya peningkatan kualitas sumber daya manusia. Bidang pendidikan merupakan ruang berpotensi untuk merealisasikannya. Oleh karena itu, penting pula kemampuan kreatifdalam bidang pendidikan sehingga dunia pendidikan mampu menciptakan sumber dayamanusia yang penuh potensi memberikan ide-idenya dalam menghadapi daya saing yangsemakin tinggi saat ini, bahkan menghadapi tantangan di masa yang mendatang.

Pembelajaran matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang mampu

mengembangkan kemapuan berpikir kreatif. Hal ini dikarenakan selama pembelajaranmatematika siswa terlatih untuk berpikir kreatif baik secara langsung maupun tidaklangsung. Melalui kemampuan kreatif dalam pembelajaran matematika diharapkan dapat berbanding lurus dengan hasil belajar siswa, yang dapat bermanfaat dalam menyelesaikan berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, perlulah pembelajaran matematika yang menarik bagi siswa sehingga mampu merangsang ide-idedalam pikiran siwa.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 76/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

69

Meskipun matematika merupakan salah satu aspek penting dalam menciptakangenerasi bangsa yang unggul, namun pada kenyataannya kemampuan matematis siswamasih jauh dari yang diharapkan.

Berdasarkan data prestasi PISA ( Program of International Student Assessment ),ranking siswa Indonesia hanya menempati peringkat ke-38 dengan skor 361 terpaut jauhdi bawah peringkat pertama (Korea) yang memiliki skor 550. Demikian pula, hasil survey pengukuran dan penilaian oleh the Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) tahun 2000 menunjukkan bahwa dalam matematika, anak-anak Indonesia masihrendah, hanya menduduki ranking ke-34 dari 38 negara (Kusumah, 2008: 4). Hal inimencerminkan bahwa proses pembelajaran yang dilaksanakan belum mampumemberikan hasil yang diharapkan.

Berkaitan dengan hal itu, diperlukan adanya perubahan dalam proses pembelajaran.Metode konvensional yang masih kuat dalam pembelajaran matematika saat ini,membentuk siswa yang pasif, yang hanya mendengarkan materi yang disampaikan tanpadisertai pemaknaan materi dalam memori kognitifnya.

Di sisi lain, pembelajaran saat ini menuntut adanya kondisi pembelajaran yangmenjadikan siswa sebagai subjek pembelajaran yaitu pembelajaran yang berpusat padasiswa. Berbeda halnya dengan pembelajaran secara konvensional yang menjadikan guru

sebagai pusat pembelajaran dan siswa sebagai objek pembelajaran yang hanya menerimatransfer ilmu pengetahuan. Pembelajaran dengan siswa sebagai pusat pembelajaran, akanmenciptakan kondisi kelas yang dinamis yang menuntut siswa untuk terlibat aktif dalam proses pembelajaran.

Pada kondisi semacam itu, adanya proses “perlakuan” yang dilakukan oleh siswa.Hal ini diharapkan dapat meningkatkan daya ingat siswa terhadap materi yangdisampaikan akan meningkat. Sejalan dengan hal ini, berdasarkan hasil penelitian,diungkapkan bahwa umumnya manusia mampu mengingat 20% dari apa yang dibaca,30% dari apa yang didengar, 40% dari apa yang dilihat, 50% dari apa yang dikatakan,60% dari apa yang dikerjakan, dan 90% dari apa yang dilihat, didengar, dikatakan dandikerjakan (Rose dan Nicholl dalam Sarhani, 2006: 16).

Menurut Ansari (dalam Rahman, 2006: 3) bahwa pada umumnya guru matematikamasih menganut paradigma pembelajaran yang bersifat teacher centered   dan merasa

enggan menerima pendekatan ‘baru’ yang bersifat student centered  dalam pembelajaranmasa kini. Hal ini mengakibatkan, rendahnya motivasi siswa dalam belajar sehinggamuncul ketidakbermaknaan proses pembelajaran yang dilakukan.

Konsep matematika diberikan tanpa adanya proses penemuan sendiri oleh siswa.Dalam proses pembelajaran yang dilakukan, secara tidak langsung guru telahmengungkung cara berpikir siswa dengan memberikan tahapan-tahapan baku terhadap proses berpikirnya. Hal ini mengakibatkan sempitnya kesempatan untuk menumbuhkanide-ide baru bahkan pemikiran-pemikiran yang tak terduga yang dimiliki siswa terhadapsuatu hal tertentu

Sejalan dengan hal di atas, Wahyudin (dalam Rahman, 2006: 3) mengungkapkan bahwa selama ini pembelajaran matematika didominasi oleh guru melalui metodeceramah dan ekspositorinya. Guru jarang mengajak siswa menganalisis secara mendalamtentang suatu konsep dan jarang mendorong siswa untuk menggunakan penalaran logis

yang lebih tinggi seperti membuktikan suatu konsep.Demikian pula Ruseffendi (dalam Rahman, 2006: 3) mengemukakan bahwa

“…pada umumnya orientasi pengajaran matematika itu kepada hasil, soal-soalnyaterutama mengenai ingatan, pemahaman, keterampilan, disuapi dan semacamnya”.Dengan adanya tahapan-tahapan baku dalam memecahkan suatu masalah yang diberikanguru kepada siswa, maka kesempatan untuk menemukan hal-hal baru hampir tidak ada peluang. Situasi ini tidak memberikan ruang kepada siswa untuk mengembangkankemampuan berpikirnya. Dengan demikian, terbentuklah pemikiran-pemikiran yang

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 77/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

70

terbiasa dengan hal-hal yang sudah dibakukan yang mengakibatkan kestatisan dalam cara berpikir siswa. Hal ini merupakan kabar buruk bagi sebuah harapan peningkatan potensisumber daya manusia yang selalu dielu-elukan dalam rangka menyikapi daya saing akibat perkembangan zaman. Apabila siswa telah dibiasakan dengan penggunaan tahapan-tahapan baku dalam memecahkan suatu masalah, maka tidak ada tantangan bagi siswadalam pembelajaran. Hal ini pun mengakibatkan rendahnya motivasi siswa dalam belajar.

Dengan demikian, muncul suatu anggapan bahwa hingga saat ini pembelajaranmatematika masih menemukan kendala dalam pelaksanaannya sehingga memerlukan pembaharuan-pembaharuan untuk memperbaikinya.

Walaupun pada kenyataanya dalam masyarakat, proses dan hasil pembelajaranmatematika belum dapat mencapai hasil yang maksimal, bukan berarti jalan untukmenuju ke sana sudah tertutup. Selama masih ada harapan yang menjadi motivasi dalammemberikan yang terbaik bagi kehidupan terutama masyarakat melalui matematika, maka peluang itu masih ada. Khususnya untuk meningkatkan kemampuan berpikir kreatifdalam pembelajaran matematika.

Salah satu upaya untuk memperbaiki pembelajaran yang belum memberikan hasilyang maksimal yaitu diperlukan adanya model pembelajaran yang mampumengembangkan aspek-aspek kemampuan berpikir kreatif siswa antara lain menemukan

ide-ide baru, menyampaikan ide-ide yang dimilikinya secara lancar, serta mampumengevaluasi ide yang telah disampaikannyaDalam hal ini terdapat alasan-alasan logis yang dapat dikemukakan mengapa model

 pembelajaran yang menjadi penekanan dalam upaya meningkatkan kemampuan berpikirkretaif siswa pada pembelajaran matematika. Pertama, adanya kebebasan bagi seorangguru dalam menentukan model pembelajaran yang akan dilakukannya sebagai suatustrategi yang tepat (menurutnya) untuk mencapai tujuan pembelajaran yang dilaksanakanyang sesuai dengan materi yang akan disampaikan.

Kedua, kemampuan dan keunggulan suatu model pembelajaran merupakan alatyang membantu atau memudahkan siswa memperoleh kebermaknaan dan pengalamandari pembelajaran yang dilakukan. Berkaitan dengan hal ini, walaupun isi materi yangdisampaikan memiliki tingkat kesukaran yang tinggi, namun bila guru dapat membuatdan menyajikannya secara menarik melalui model pembelajaran yang digunakan serta

mampu memotivasi siswa dalam pembelajaran maka ada kemungkinan siswa tidakmerasakan kesukaran materi tersebut, karena kesukaran tersebut dipandang sebagaisebuah tantangan yang harus dihadapi dan dipecahkan.

Ketiga, adanya hubungan yang kuat antara pembelajaran yang dilakukan denganhasil belajar yang diperoleh siswa. Hal ini mengakibatkan perlunya pembelajaran yangsesuai dengan karakter siswa dan memperhatikan adanya perbedaan kemampuan siswaserta karakteristik materi yang diajarkan.

Salah satu model pembelajaran yang dapat digunakan adalah Model PembelajaranMatematika Interaktif Berbasis Komputer.

Dengan karakteristik yang dimilikinya, pembelajaran model ini dipandang dapatmenumbuhkan kembali minat siswa dalam mengikuti pembelajaran matematika, sehinggamuncul suatu kemungkinan meningkatnya kemampuan berpikir kreatif yang dimilikinya

melalui kebiasaan memunculkan ide-ide dan gagasan-gagasan baru selama proses berpikirnya dalam memecahkan suatu masalah.Dari beberapa penelitian yang telah dilakukan, ditemukan bahwa siswa cenderung

memiliki minat belajar yang lebih tinggi bila dalam proses pembelajaran yang dilakukan,materi ajar disampaikan melalui penyajian menarik dengan menggunakan komputerdaripada pembelajaran secara konvensional.

Pembelajaran Berbasis Komputer

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 78/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

71

Pemanfaatan teknologi komputer saat ini sudah merupakan kebutuhan dalam segala bidang kehidupan termasuk bidang pendidikan. Sejalan dengan kenyataan itulah mulaidiperkenalkan pemanfaatan komputer dalam pendidikan. Menurut Nandika danSoekartawi” pemanfaatan komputer dalam pendidikan antara lain Computer-Assisted Instruction (CAI), Computer-Managed Learning (CML), dan  Computer-MediatedCommunication (CMC). 

CAI atau pembelajaran berbantuan komputer biasanya merupakan aplikasi programkomputer yang sudah dirancang khusus untuk pembelajaran. CAI dirancang berdasarkan“ programmed instruction” dari Skinner . CAI memiliki karakteristik yang berbasiskankomputer, sehingga program dapat berbentuk disket atau CD yang dapat dibawa kemana-mana oleh mahasiswa. CAI sangat tepat untuk simulasi dan drill and practice.

Sementara itu, CML memberikan kemudahan kepada dosen dan guru untukmengelola data perkuliahan menggunakan komputer dan program aplikasinya. DenganCML, dosen/guru dapat merancang basis data yang dapat memperlihatkan “track record ” pelajar (misalnya menggunakan program  MS   Excell atau MS Access), seperti kemajuanskor pelajar dari waktu ke waktu.

CMC sudah berbasis jaringan, artinya jika ingin menggunakan CMC, makakomputer guru atau dosen harus sudah terkoneksi pada jaringan internet. CMC biasa

digunakan untuk komunikasi, yaitu e-mail , chatting, atau browsing.Bundy (1986) menyatakan bahwa:

“ By building computer programs which “do” mathematics we can explore how it is possible to do mathematics; what the vital are talent that separates success from failure and how we all can learn to be better mathematician. The teacher and student of mathematics can expect a range of computational theories which will laybare the more mysterious aspect of the mathematician’s art: how good proof stepis chosen from among the possible ones, how interesting conjectures are made,how a mathematical mode is made. The teacher may also be interested in models of poor students which explain what it is that a student is doing wrong every time, he gets a wrong answer. Such “diagnostic models” will enable the teacher to designremedial instruction, tailor made, to put the student on the right road again”

Dalam dunia pendidikan, komputer memiliki potensi yang besar untukmeningkatkan kualitas pembelajaran, khususnya dalam pembelajaran matematika (TimMKPBM Jurusan Pendidikan Matematika UPI, 2003: 248), yang akan berbanding lurusdengan kemampuan matematis siswa. Sejalan dengan hal itu, Fey dan Heid (dalamKusumah, 2008: 5) menyatakan penggunaan  software computer untuk kegiatan pembelajaran sangat tidak terbatas, Fletcher (dalam Kusumah, 2008: 5) dan potensiteknologi komputer sebagai media pembelajaran matematika begitu besar. Glass (dalamKusumah, 2008: 5) menegaskan bahwa komputer dapat dimanfaatkan untuk mengatasi perbedaan individual siswa; mengajarkan konsep; melaksanakan perhitungan danmenstimulir belajar siswa. Siswa dapat mengatur kecepatan belajarnya, disesuaikandengan tingkat kemampuannya. Mereka dapat mengulang beberapa kali sampai benar- benar menguasai materi yang harus dipahaminya.

Kemampuan Berpikir Kreatif MatematisMatematika adalah sarana berpikir dalam menentukan dan mengembangkan ilmu

 pengetahuan dan teknologi. Bahkan matematika merupakan metode berpikir logis,sistematis dan konsisten. Sehingga, semua masalah kehidupan yang membutuhkan pemecahan secara cermat dan teliti selalu harus merujuk pada matematika.

Pemikiran-pemikiran yang diperoleh dengan menggunakan konsep matematika pada dasarnya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang muncul dalam

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 79/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

72

kehidupan sehari-hari. Kemampuan dalam memberikan sebuah pemikiran secara cepatdan tepat mengenai suatu permasalahan yang sedang terjadi sangat diperlukan. Terlebih pemikiran-pemikiran yang bersifat original secara luwes dapat disampaikan. Di sinilah pentingnya kemampuan kreatif matematis siswa. Melalui kemampuan kreatif yangdimilikinya, seseorang akan mampu menjalani hidupnya serta mampu menghadapitantangan yang ada. Dengan kreatif akan muncul ide-ide atau gagasan-gagasan yangdiciptakan

Kemampuan berpikir kreatif merupakan suatu kemampuan yang bersifat originaldan bersifat refleksif serta mengahasilkan sesuatu yang kompleks antara lain: mensintesisgagasan-gagasan, menentukan efektivitas gagasan, memunculkan ide-ide baru danmampu membuat keputusan dan memunculkan generalisasi. (Krulick dan Rudnick dalamPomalato, 2005).

Menurut Bawazir, ciri-ciri kreatif adalah (1) berpikir lancar dengan mengajukan banyak pertanyaan, jawaban dan gagasan; (2) berpikir luwes dengan menghasilkangagasan atau jawaban atau pertanyaan yang variatif, dapat melihat suatu masalah darisudut pandang yang berbeda-beda; (3) berpikir orisinal dengan mampu melahirkanungkapan, gagasan baru yang unit, tidak lazim dipikirkan orang; (4) mengevaluasi denganmenentukan patokan penilaian sendiri, mampu mengambil keputusan pada situasi yang

terbuka, bersikap kritis; (5) kritis dengan selalu terdorong untuk mengetahui segala hal;(6) imajinatif dengan membayangkan berbagai hal yang belum pernah terjadi; (7)tertantang oleh kemajemukan dengan tertarik pada situasi dan masalah yang rumit; (8) berani mengambil resiko dengan berani mengemukakan jawaban atau gagasan, meskipun belum tentu benar atau diterima, tidak takut gagal, tidak terikat pada hal yang berstruktur/konvensional; (9) sifat menghargai dengan menghargai kritik, bimbingan orang lain,maupun kemampuan dan bakatnya sendiri; (10) mengelaborasi dengan memperkaya danmengembangkan suatu gagasan atau produk, menambah atau merinci detail-detail suatuobjek, atau situasi sehingga menjadi lebih menarik.

Kapasitas kemampuan kreatif yang dimiliki seseorang akan terlihat pada cara iamemandang sebuah permasalahan, mengungkapkan pendapatnya mengenai permasalahanyang sedang terjadi, serta dari bagaimana ia memposisikan diri dalam mengambil peranterhadap permasalahan tertentu. Sejalan dengan hal ini Enden (2006) menyatakan bahwa

aspek-aspek sikap kreatif yaitu memiliki rasa ingin tahu, kemampuan untuk berespon atauminat yang luas, keterbukaan terhadap pengalaman atau rangasang, keberanianmengambil resiko, toleransi terhadap keadaan mendua atau fleksibel, kepercayaan diri,serta memiliki intuitif.

II. TUJUAN PENELITIANTujuan penelitian ini adalah sebagai berikut:

1.  Mengetahui kemampuan berpikir kreatif matematis siswa yang mendapatPembelajaran Matematika Interaktif Berbasis Komputer bila dibandingkan dengansiswa yang mendapat pembelajaran secara konvensional,

2.  Mengetahui perbedaan peningkatan kemampuan berpikir kreatif matematis siswa yangmendapat Pembelajaran Matematika Interaktif Berbasis Komputer dengan siswa yangmendapat pembelajaran secara konvensional,

3.  Mengetahui sikap siswa yang mendapat Pembelajaran Matematika Interaktif BerbasisKomputer terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.

III. METODE DAN DESAIN PENELITIANPenelitian ini termasuk pada penelitian kuantitatif dengan metode eksperimen

yaitu kajian terhadap suatu model pembelajaran yakni Model Pembelajaran MatematikaInteraktif berbasis Komputer serta pengaruhnya terhadap kemampuan berpikir kreatifmatematis.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 80/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

73

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam penelitian ini antara lain:a)  Terdapat dua kelompok siswa yaitu kelompok eksperimen dan kelompok kontrol.

Kelompok eksperimen adalah kelompok siswa yang mengikuti PembelajaranMatematika Interaktif Berbasis Komputer. Sedangkan kelompok kontrol adalahkelompok siswa yang mengikuti pembelajaran secara konvensional.

 b)  Dalam penelitian ini digunakan instrumen tes untuk mengetahui kemampuan kreatifkedua kelompok. Ada dua tes yang diberikan kepada siswa tes awal dan tes akhir.Tes awal diberikan untuk mengetahui kemampuan awal berpikir kreatif siswakelompok eksperimen dan kelompok kontrol. Sedangkan tes akhir digunakan untukmengetahui peningkatan kemampuan berpikir kreatif matematis siswa kelompokeksperimen dan kelompok kontrol.

Berdasaikan uraian di atas maka desain penelitian yang digunakan mengikuti pola desain kelompok pretes-postes (Ruseffendi, 2005: 50) seperti berikut ini.

A O X OA O X O

Keterangan:A: Sampel diambil secara acakO: Tes awal dan tes akhir mengenai kemampuan berpikir kreatif matematis

X: Pembelajaran dengan mengunakan Model Pembelajaran Matematika berbasisKomputerIV. HASIL DAN PEMBAHASAN

1.  Tes awalData yang diperoleh untuk mengukur kemampuan kreatif matematis siswa

 berupa data hasil tes awal dan tes akhir. Data hasil tes awal disajikan berikut:

Diagram 4.1Skor Tes Awal Kelompok Kontrol

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 81/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

74

Diagram 4.2Skor Tes Awal Kelompok Eksperimen

Skor rata-rata tes awal yang diperoleh siswa kelompok kontrol sebesar 9,06dengan nilai tertinggi 26,67  dan nilai terendah 0,00  sedangkan kelompokeksperimen skor rata-rata kelas sebesar 6,94 dengan nilai tertinggi 16,67 dan nilaiterendah 0,00. Jika dibandingkan antara skor rata-rata tes awal kelompok kontrol danskor rata-rata tes awal kelompok eksperimen, maka selisihnya tidak jauh berbeda.Hal ini menunjukkan bahwa kemampuan awal kedua kelompok sebelum diberikan perlakuan adalah sama.2.  Tes Akhir

Hasil tes akhir untuk kelompok kontrol dan kelompok eksperimendiperlihatkan berikut ini.

Diagram 4.3Skor Tes Akhir Kelompok Kontrol

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 82/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

75

Diagram 4.4Skor Tes Akhir Kelompok Kontrol

Pada diagram perolehan skor tes akhir, skor rata-rata yang diperoleh siswakelompok kontrol sebesar 43,74 dengan nilai tertinggi 88,24 dan nilai terendah 8,82.Sedangkan, skor rata-rata tes akhir kelompok eksperimen sebesar 50,23 dengan nilaitertinggi 94,12 dan 20,59 nilai terendah. Jika dibandingkan skor rata-rata tes akhirkelompokkontrol dan skor rata-rata kelompok eksperimen, dapat dilihat bahwakelompok eksperimen lebih besar. Hal ini menyatakan bahwa penguasaan materikelompok eksperimen lebih baik dari kelompok kontrol berdasarkan kemampuankreatif yang dimiliki. Dari data tersebut dapat dilihat bahwa nilai rata-rata keduakelompok memiliki nilai signifikan lebih besar dari 0,05, sehingga varians keduakelompok adalah sama atau homogen artinya setelah mengikuti pembelajarankemampuan kreatif kelompok kontrol dan kelompok eksperimen berbeda.

3.  GainBerdasarkan skor tes awal dan skor tes akhir, diperoleh selisih di antara

keduannnya yang disebut sebagai skor gain. Berikut penyajian gain skor kelompok

kontrol dan kelompok eksperimen.

Diagram 4.5Gain Skor Kelompok Kontrol

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 83/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

76

Diagram 4.6Gain Skor Kelompok Eksperimen

Pada diagram gain di atas, skor rata-rata gain dari kelompok kontrol adalahsebesar 34,68 dengan gain tertinggi 71,57 dan gain terendah -1,18. Sedangkan rata-rata gain skor kelompok eksperimen adalah sebesar 43,29 dengan gain tertinggi 94,12dan gain terendah 13,53. Jika dibandingkan antara rata-rata gain skorkelompokkontroldan rata-rata gain skor kelompok eksperimen, dapat dilihat gainnya lebih besar padakelompok eksperimen. Hal ini menunjukkan bahwa terdapat peningkatan kemampuankreatif matematis siswa yang lebih tinggi pada kelompok eksperimen yaitu kelompokdengan pembelajaran matematika dengan menggunakan program komputer dalam pengemasan materi yang disampaikan.

Dari data tersebut dapat dilihat bahwa kedua kelompok memiliki nilai signifikanlebih besar dari 0,05, sehingga varians kedua kelompok adalah sama atau homogen.Lebih lanjut bahwa nilai signifikan data gain lebih besar dari 0,05 sehingga setelahmengikuti pembelajaran gain kemampuan kreatif kelompok kontrol dan kelompokeksperimen berbeda.

V. KESIMPULAN DAN REKOMENDASI

Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut:1.  Kemampuan berpikir kreatif matematis siswa yang mengikuti pembelajaran dengan

menggunakan Model Pembelajaran Matematika Interaktif Berbasis Komputer lebih baik dari siswa yang mengikuti pembelajaran secara biasa.

2.  Peningkatan kemampuan berpikir kreatif matematis siswa yang mengikuti pembelajaran dengan menggunakan Model Pembelajaran Matematika InteraktifBerbasis Komputer lebih tinggi dari siswa yang mengikuti pembelajaran secara biasa.

3.  Respon yang baik dari siswa terhadap pembelajaran yang dilakukan yaitu sikap positif terhadap pembelajaran dengan menggunakan Model PembelajaranMatematika Interaktif Berbasis Komputer. Berdasarkan hasil yang diperoleh dalam penelitian ini, terdapat hal-hal yang

direkomendasikan antara lain:1.  Pembelajaran berbasis komputer selain dapat meningkatkan kemampuan berpikirkreaif siswa juga mampu membiasakan siswa untuk mandiri dalam belajar, terutamadalam memecahkan masalah. 

2.  Pada penelitian ini, program yang dibuat hanya pada materi/ pokok bahasan Ruangsampel dan Peluang suatu kejadian, perlulah kiranya diadakan suatu penelitiansejenis mengenai materi/ pokok bahasan lainnya terutama yang memerlukanketelitian dan proses dalam penyampaian konsepnya. 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 84/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

77

3.  Karakteristik pembelajaran ini antara lain mampu menyajikan materi denganmenarik dan interaktif, memberikan pengulangan dan balikan secara langsung, dapatdijadikan salah satu alternatif pembelajaran yang dilaksanakan di kelas. 

4.  Sebelum diadakan penelitian, perlu adanya analisis atau kajian terlebih dahulumengenai materi yang akan dibuat program komputernya sesuai dengan alokasiwaktu yang tersedia dan penting sekali mengobservasi fasilitas komputer yangtersedia di sekolah. Hal ini berpengaruh terhadap kualitas proses pembelajaran yangdilaksanakan. 

DAFTAR PUSTAKA

Bawazir, Djauharah. . Berpikir Kreatif sebagai cara Pemecahan Masalah [Online]. Tersedia: http://bunyan.co.id/new/?m=article&id=1224470694.

Bell, Frederick H. 1981. Teaching and Learning Mathematics (In Secondary Schools).Dubuque, lowa: Wm. C. Brown Company Publishers

Bundy, Alan. (1986). The Computer Modelling of Mathematical Reasoning . Oxford: The

Alden Press.

Darmawan, Deni. 2007. Teknologi Informasi dan Komunikasi. Bandung: ARUMMANDIRI PRESS.

Dasari, Dadan. 2002. Pengembangan Pembelajaran Matematika Berdasarkan Kurikulum Berbasis Kompetensi. Proceeding  National Science Education Seminar.Universitas Malang.

Kusumah, Yaya. S. 2008. Konsep, Pengembangan, dan Implementasi Computer-Based Learning dalam Peningkatan Kemampuan High-Order Mathematical Thinking .Bandung: Tidak diterbitkan.

Kusumah, Yaya. S. 2008. Pengembangan Model Computer Based E-Learning untuk Meningkatkan Kemampuan High-0rder Mathematical Thinking Siswa SMA. UsulPenelitian Hibah Bersaing Perguruan Tinggi Tahun Ajaran 2009/2010. Bandung:Tidak diterbitkan.

Mina, Enden. 2006. Pengaruh Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Open Ended terhadap Kemampuan Berpikir Kreatif Matematik Siswa SMA. Tesis SPS-UPI. Bandung: Tidak diterbitkan.

 Nandika dan Soekartawi. 2007. Pengalaman Departemen Pendidikan Nasional dalam Memanfaatkan TIK (Teknologi Informasi dan Komunikasi) untuk Pendidikan.[Online]. Tersedia: http://eii.itb.ac.id/jict/index.php/jict/article/ view/16.

Pomalato, Sarson Waliyatimas Dj. 2005. Pengaruh Penerapan Model Treffinger pada Pembelajaran Matematika dalam Mengembangakan Kemampuan Kreatif dan Pemecahan Masalah Matematika Siswa. Disertasi SPS-UPI. Bandung: Tidakditerbitkan.

Rahman, Ade. 2006. Pembelajaran Matematika Interaktif Berbasis Komputer TipeGuided Reinvention untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis dan Kreatif

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 85/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

78

Sisma SMA. Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI. Bandung:Tidak diterbitkan.

Ruseffendi, E.T. (2005). Dasar-dasar Penelitian Pendidikan dan Bidang Non Eksakta Lainnya. Bagi Para Peneliti, Penulis Skripsi, Penulis Thesis, Penulis Disertasi, Dosen Metode Penelitian dan Mahasiswa. Bandung: Tarsito.

Sarhani. 2006. Desain dan Pengembangan Bahan Ajar Matematika Interaktif TipeSimulasi untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Logis dan Kritis Siswa SMA.Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika. FPMIPA UPI Bandung: Tidak diterbitkan.

Tim MKPBM Jurusan Pendidikan Matematika UPI. 2001.Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer . Bandung: JICA UPI Bandung.

Suherman, Erman. (2003). Assesmen Proses dan Hasil dalam Pembelajaran Matematika.Makalah dalam Diklat KBK bagi guru-guru SLTP/SMU se-Jawa Barat. Bandung:Tidak diterbitkan.

Wahyudi, Dudi. (2004).  Pengembangan Model Bahan Ajar Matematika Interaktif Berbasiskan Teknologi Komputer untuk Meningkatkan Kemampuan penalaran Logis Siswa SMU. Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung:Tidak diterbitkan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 86/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

79

UPAYA MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MATEMATIKASISWA TUNARUNGU KELAS VII DENGAN MENGGUNAKAN MEDIA KOMIK

DI SDLB-B SANTI RAMA JAKARTA

Rani Nalurita1, Pinta Deniyanti S.2, Swida Purwanto3 Pendidikan Matematika, Universitas Negeri Jakarta

Email: [email protected] 

ABSTRAK

Penyandang tunarungu adalah mereka yang mengalami kehilangan seluruh atausebagian daya pendengarannya sehingga tidak atau kurang mampu berkomunikasi secaraverbal. Bagi anak tunarungu, keterbatasan input pendengaran dapat menimbulkan problem pada bahasa mereka. Sementara itu, problem berbahasa dapat menimbulkan efeknegatif pada pendidikan seperti membaca, menulis dan pemahaman. Efek negatif initerlihat dari beberapa kesulitan yang dialami siswa tunarungu dalam belajar matematikasehingga menyebabkan rendahnya hasil belajar matematika siswa. Tujuan penelitian iniadalah untuk meningkatkan hasil belajar matematika siswa tunarungu kelas VII di SDLB-

B Santi Rama Jakarta dengan menggunakan media komik. Penelitian ini adalah penelitiantindakan kelas yang terdiri atas tiga siklus. Setiap siklus dalam penelitian ini dilakukandalam empat tahap yaitu tahap perencanaan, tahap pelaksanaan, tahap pengamatan, sertatahap analisis dan refleksi. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa: (1) penggunaanmedia komik dapat meningkatkan hasil tugas siswa yang berupa soal cerita. Peningkatanhasil tugas siswa pada soal cerita dapat dilihat dari peningkatan persentase jawaban benarsiswa pada tugas yang berupa soal cerita tiap siklus, yaitu sebesar 34,8% pada siklus I,51,6% pada siklus II, dan 71,3% pada siklus III. (2) Penggunaan media komik dapatmeningkatkan hasil belajar matematika siswa. Peningkatan hasil belajar matematikasiswa dapat dilihat dari peningkatan rata-rata nilai tes akhir siklus siswa tiap siklus yaitusebesar 50 pada siklus I, 77 pada siklus II, dan 81 pada siklus III.Kata kunc i: penelitian tindakan kelas, tunarungu, media komik.

I. PENDAHULUANA. Latar Belakang Berdasarkan data yang diperoleh dari guru kelas VII-C, nilai Tes Hasil Belajar

(THB) matematika siswa kelas VII-C, yaitu sebesar 50, adalah di bawah KriteriaKetuntasan Minimal (KKM), yaitu 60, serta merupakan nilai terendah dibandingkandengan nilai THB siswa pada pelajaran lain. Hal ini merupakan masalah yang mendorongdilakukannya kegiatan pra penelitian di kelas VII-C SDLB-B Santi Rama Jakarta.

Berdasarkan hasil pengamatan dan wawancara yang dilakukan di kelas VII-C pada kegiatan pra penelitian diperoleh beberapa hal sebagai berikut:1.  Guru menggunakan beberapa metode dalam pembelajaran matematika siswa, yaitu

metode percakapan, ceramah, tanya jawab, dan latihan.2.  Pembelajaran matematika siswa disertai dengan pengajaran bahasa melalui

 percakapan oleh guru untuk mengembangkan kemampuan berbahasa dan komunikasi

siswa.3.  Siswa mudah lupa dengan penjelasan guru.

 Mahasiswa S1 pendidikan matematika FMIPA Universitas Negeri Jakarta

2 Dosen jurusan matematika FMIPA Universitas Negeri Jakarta3 Dosen jurusan matematika FMIPA Universitas Negeri Jakarta

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 87/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

80

4.  Siswa seringkali sulit memahami perkataan guru, sehingga guru harus mengulangkata-kata yang diucapkannya menggunakan ujaran dan isyarat beberapa kali agarsiswa mengerti maksud perkataan guru.

5.  Rendahnya persentase soal cerita (5,3%) dalam tugas siswa memperlihatkanrendahnya intensitas siswa dalam mengerjakan latihan berbentuk soal cerita.

6.  Siswa memerlukan waktu yang cukup lama untuk mencatat, karena seringkali bercanda ketika mencatat.7.  Siswa tidak menggunakan buku teks matematika dalam pembelajaran

matematika di kelas. Buku teks matematika hanya digunakan guru sebagai acuanmengajar.

8.  Berdasarkan hasil wawancara dengan siswa, siswa tidak mempelajari buku teksmatematika di rumah karena sulit dipahami. Selain itu, siswa mengenal komik dansuka melihat gambar pada komik.

9.  Berdasarkan hasil wawancara dengan guru, guru menggunakan media belajar sebagaialat bantu pembelajaran untuk membantu siswa memahami materi, dan belum pernahmenggunakan media sebagai sumber belajar siswa, salah satunya komik.

Berdasarkan hasil pra penelitian pada bagian 3, 4, 5, dan 6 di atas terlihat bahwasiswa mengalami kesulitan dalam belajar matematika. Usaha yang akan dilakukan untuk

membantu menyelesaikan permasalahan siswa kelas VII-C SDLB-B Santi Rama adalahdengan melakukan penelitian tindakan kelas. Penelitian tindakan yang dilakukan adalahmelalui penggunaan media komik pada pokok bahasan kelipatan, yang merupakan bahasan tentang bilangan.

Digunakannya media komik adalah karena adanya indikator pada bagian 7, 8,dan 9 pada paparan hasil pra penelitian di atas. Diharapkan komik dapat menjadialternatif sumber belajar bagi siswa selain guru yang mudah dipahami, sehingga dapatmeningkatkan hasil belajar siswa.

Pembelajaran matematika yang didukung dengan penggunaan media komik akanmemberikan kesempatan kepada siswa untuk dapat memahami materi pelajaran tidakhanya melalui guru, tetapi juga melalui gambar dan tulisan yang dirangkai dalam suatualur cerita gambar. Dengan demikian diharapkan dapat membantu siswa mengingat penjelasan guru dan memahami apa yang dikatakan guru dalam pembelajaran dengan

lebih baik.

B.  Fokus PenelitianFokus penelitian ini adalah upaya meningkatkan hasil belajar matematika siswa

tunarungu kelas VII-C SDLB-B Santi Rama dengan menggunakan media komik. Adapun beberapa hal yang diamati adalah sebagai berikut:1.  Apakah hasil tugas siswa tunarungu yang berupa soal cerita dapat meningkat dengan

menggunakan media komik?2.  Apakah hasil belajar matematika siswa tunarungu dapat meningkat dengan

menggunakan media komik?

C.  Tujuan PenelitianPenelitian ini bertujuan untuk meningkatkan hasil belajar matematika siswa

tunarungu kelas VII dengan menggunakan media komik.

D.  Manfaat PenelitianHasil penelitian diharapkan dapat bermanfaat bagi:

1.  Bagi guru, sebagai informasi yang dapat memperluas wawasan pendidikan dansebagai pendorong untuk melakukan penelitian yang bermanfaat bagi pembelajaranmatematika.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 88/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

81

2.  Bagi siswa, sebagai informasi yang dapat memicu semangat belajar siswa sehinggadapat meningkatkan hasil belajar matematika siswa.

3.  Bagi sekolah, sebagai masukan dalam rangka perbaikan pembelajaran matematikadan peningkatan mutu pendidikan.

4.  Bagi peneliti, informasi yang diperoleh dari penelitian ini diharapkan dapat

memperluas pengetahuan peneliti di bidang pendidikan.

II. KAJIAN PUSTAKAA.  Deskripsi Teoretis

1. Hakikat Belajar dan Hasil Belajar MatematikaWittig mendefinisikan belajar sebagai “ Any relatively permanent change in an

organism’s behavioral repertoire that occurs as a result of experience”.4 Belajar ditandaidengan adanya interaksi antara stimulus dan respons. Perubahan tingkah laku dalam belajar terjadi melalui rangsangan (stimulus) yang menimbulkan hubungan perilakureaktif (respons). Stimulans tidak lain adalah lingkungan belajar anak, baik yang internalmaupun eksternal yang menjadi penyebab belajar. Sedangkan respons adalah akibat ataudampak, berupa reaksi fisik terhadap stimulans. Hal ini sejalan dengan yang dikemukakan

Thorndike bahwa belajar adalah hubungan antara stimulus dan respons.Menurut Gagne, dalam setiap proses akan selalu terdapat hasil nyata yang dapatdiukur dan dinyatakan sebagai hasil belajar (achievement) seseorang.5 Sementara itu, AbuMuhammad mengartikan hasil belajar sebagai tingkat keberhasilan murid dalammempelajari materi pelajaran di sekolah, yang dinyatakan dalam bentuk skor yangdiperoleh dari hasil tes mengenai sejumlah materi pelajaran tertentu.6 

Belajar matematika pada hakikatnya merupakan suatu aktivitas mental untukmemahami hubungan antara objek-objek dalam suatu struktur matematika serta berbagaihubungan antara struktur-struktur tersebut melalui manipulasi simbol-simbol sehinggadiperoleh pengetahuan baru.7 

Dari paparan beberapa pendapat di atas dapat diinterpretasikan bahwa hasil belajarmatematika adalah kemampuan kognitif siswa yang dapat diukur dengan alat atau testertentu dimana kemampuan tersebut diperoleh setelah melalui proses belajar matematika.

2. Hakikat MediaSecara terminologis, media berasal dari bahasa latin dan merupakan bentuk

 jamak dari “medium”. Secara harfiah kata tersebut berarti “perantara” atau “pengantar”yaitu perantara atau pengantar sumber pesan dengan penerima pesan.8 Banyak batasanyang diberikan orang terhadap media. Asosiasi Pendidikan Nasional (National EducationAssosiation/NEA) memberikan batasan media sebagai bentuk-bentuk komunikasi baiktercetak, audio visual, serta peralatannya.9 Sementara itu, Briggs mendefinisikan, “Mediaadalah segala alat fisik yang dapat menyajikan pesan serta merangsang siswa untuk belajar.”

Berdasarkan beberapa pendapat di atas, media dapat diartikan sebagai alatkomunikasi baik berupa cetak maupun audio visual dan peralatannya yang dapat

4 Muhibbin Syah, Psikologi Belajar (Jakarta: PT Rajagrafindo Persada, 2003), hal. 65.5Abdullah Abu Muhammad Ibnu,  Prestasi Belajar   (2008), [ONLINE]Tersedia:http://spesialistorch.com/ content/view/120/29/ (21 Juli 2008).6 Ibid.7  Nurhayati Abbas,  Hubungan Antara Minat Terhadap Profesi Guru  (Jurnal Inovasi ProvinsiGorontalo, Volume 2, Nomor 1, 1 April 2007), [ONLINE]Tersedia:http://balihristi.gorontaloprov.go.id/index.php?option=com_content&task=view&id=27&Itemid=1 (21 Juli 2008).8  Arief S. Sadiman dkk., Media Pendidikan (Jakarta: Rajawali, 2006), hal.6.9  Ibid

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 89/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

82

merangsang siswa untuk belajar serta sehingga dapat mendorong terjadinya proses pembelajaran pada diri siswa.3. Hakikat Komik

Komik merupakan karya seni yang khas dengan menggabungkan senimenggambar, seni bercerita, dan seni tulis. Komik adalah suatu bentuk seni yangmenggunakan gambar-gambar tidak bergerak yang disusun sedemikian rupa sehinggamembentuk jalinan cerita.10  Scott McClaud memberikan pendapat bahwa komik dapatmemiliki arti:

”Gambar-gambar serta lambang-lambang lain yang terjukstaposisi(berdekatan, bersebelahan) dengan urutan tertentu untuk menyampaikaninformasi dan/atau tanggapan estetis dari pembacanya. Komik sesungguhnyalebih dari sekedar cerita bergambar yang menghibur.” 11 

Definisi lain tentang komik juga kemukakan oleh Ahmad Rohani dalam bukuMedia Instruksional Edukatif berikut ini.

”Komik merupakan suatu kartun yang mengungkapkan karakter danmemerankan suatu cerita dalam urutan yang erat, dihubungkan dengangambar, dan dirancang untuk memberikan hiburan kepada para pembaca.”12 

Berdasarkan beberapa definisi di atas dapat disimpulkan bahwa komik adalahkumpulan gambar-gambar tidak bergerak yang tersusun dengan urutan tertentu, terangkaidalam bingkai-bingkai yang diberi balon kata sebagai penunjang, serta mengungkapkankarakter dalam suatu jalinan cerita.B. Kerangka Berpikir

Anak tunarungu yang tergolong tuli adalah peserta didik yang mengalamikehilangan seluruh daya pendengarannya sehingga tidak mampu berkomunikasi secaraverbal. Anak tunarungu yang tergolong tuli ini memiliki gaya belajar visual karenaketergantungannya terhadap objek visual yang lebih dibandingkan anak mendengardisebabkan gangguan pada fungsi pendengarannya. Dengan demikian, anak tunarunguyang tergolong tuli akan dapat belajar secara maksimal jika belajar dengan memanfaatkanmateri atau media yang bersifat visual seperti komik.

Komik mengakomodasikan anak tunarungu dengan kemampuan dan ingatan

 jangka pendek yang rendah pada informasi verbal untuk dapat memahami dan mengingatkonsep verbal melalui penggabungan gambar dan kata-kata. Melalui gambar yangmengilustrasikan teks pada komik dapat membuat penjelasan panjang lebar dari topik pembelajaran menjadi lebih mudah dipahami dan diingat oleh anak tunarungu. Komikdapat dijadikan media dalam pembelajaran matematika yaitu sebagai sumber belajar yangtidak kaku serta mudah dibaca selain guru bagi anak tunarungu.

C. Hipotesis TindakanBerdasarkan deskripsi teoretis dan kerangka berpikir, dirumuskan hipotesis

tindakan, yaitu dengan penggunaaan media komik dapat meningkatkan hasil belajarmatematika siswa tunarungu kelas VII-C SDLB-B Santi Rama Jakarta.

III. METODOLOGI PENELITIAN

A.  Pendekatan, Jenis, dan Prosedur Penelitian

10  Wikipedia Indonesia,  Komik , [ONLINE] Tersedia: http://id.wikipedia.org/wiki/Komik   (5Oktober 2008).11

 Heru Dwi Waluyanto, Komik Sebagai Media Komunikasi Visual  (2008), [ONLINE] Tersedia:http://www.petra.ac.id/~puslit/journals/pdf.php?PublishedID=DKV05070104  (15 Juli 2008).12 Ahmad Rohani , Media Instruksional Edukatif  (Jakarta: PT Rineka Cipta, 1997), hal.78.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 90/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

83

Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif. Jenis penelitian ini adalah penelitian tindakan kelas (classroom action research). Prosedur penelitian ini berlangsung secara siklik. Peneliti merencanakan kegiatan yang terdiri atas tiga siklus,dimana pada setiap siklus terdiri atas empat kegiatan yaitu: perencanaan ( plan), pelaksanaan (action), pengamatan (observation), serta analisis (analyze) dan refleksi(reflection).B.  Kehadiran Peneliti dan Lokasi Penelitian

Pada penelitian tindakan ini, peneliti mahasiswa bertindak sebagai kolaboratoryang berposisi sebagai  participant observer . Guru matematika di kelas penelitian bertindak sebagai pelaksana sekaligus peneliti utama. Penelitian dilaksanakan di SekolahDasar Luar Biasa Tunarungu (SDLB-B) Santi Rama Jakarta yang terletak di Jl. RSFatmawati, Cipete, Jakarta Selatan.C.  Data, Teknik Pengumpulan Data, dan Subjek Penelitian

Sumber data pada penelitian ini adalah siswa kelas VII-C, guru, dan observer.Data yang dikumpulkan dalam penelitian adalah berupa data kuantitatif dan datakualitatif. Pengumpulan data dilakukan dengan penugasan, tes, observasi, danwawancara.1.  Data Kuantitatif

Data kuantitatif penelitian ini adalah berupa:a.  Data tes awal siswa diperoleh dari hasil ulangan harian matematika siswa padamateri bidang datar.

 b.  Data hasil tugas siswa (pekerjaan sekolah/PS dan pekerjaan rumah/PR) padasetiap siklus.

c.  Data hasil belajar siswa diperoleh dari hasil tes siswa pada setiap akhir siklus.d.  Data tes akhir siswa diperoleh dari hasil ulangan harian matematika siswa pada

materi kelipatan.2.  Data Kualitatif

Data kualitatif penelitian ini adalah berupa:a.  Data hasil pengamatan aktivitas guru dan siswa diperoleh dari hasil rekaman. b.  Data tentang perubahan-perubahan yang terjadi pada siswa diperoleh dari hasil

wawancara.

c.  Data tentang respon dan tanggapan siswa diperoleh dari hasil wawancara.d.  Data dokumentasi aktivitas siswa diperoleh dari hasil rekaman.Penelitian dilaksanakan terhadap siswa kelas VII-C SDLB-B Santi Rama Jakarta.

Dari seluruh siswa dipilih 2 orang siswa sebagai subjek penelitian yang diamati secaramendalam. Pemilihan ini berdasarkan pertimbangan, yaitu kedua siswa tersebut memilikikemampuan atas dan menengah, serta dapat berkomunikasi dengan baik .

D.  Instrumen PenelitianInstrumen utama penelitian kualitatif adalah peneliti, namun untuk

mengumpulkan data digunakan instrumen berupa:a.  Lembar tes awal penelitian b.  Lembar soal tugasc.  Lembar soal kuis setiap akhir siklus

d.  Lembar tes akhir penelitiane.  Rekaman videof.  Pedoman wawancara

E.  Pengecekan Keabsahan DataDalam penelitian  ini, untuk pengecekan kembali derajat kepercayaan data

digunakan triangulasi sumber yaitu dengan membandingkan data hasil pengamatan dan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 91/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

84

data hasil wawancara. Kegiatan triangulasi ini dilakukan peneliti dengan cara bertukar pikiran dengan guru dan pengamat (observer ).

F.  Analisis DataData yang telah terkumpul baik berupa data kuantitatif mapun data kualitatif

dilakukan proses yang meliputi: pengumpulan data, validasi (proses sinkronisasi yangdilakukan dari sudut pandang berbagai pihak), interpretasi (pengambilan hipotesis yangtelah divalidasikan), dan tindakan mencocokkan serta menghubungkan dengan teori yangada). Hasil analisis ini digunakan sebagai acuan perbaikan tindakan selanjutnya untukmemperoleh hasil yang lebih baik.

G.  Desain Penelitian

H.  TAHAPAN PENELITIANKegiatan pada penelitian ini dibagi menjadi dua tahap, yaitu kegiatan sebelum

 penelitian (pra penelitian) dan kegiatan penelitian. Kegiatan pra penelitian dilakukanuntuk mengetahui permasalahan serta tindakan yang tepat untuk memecahkan masalah,yaitu untuk meningkatkan hasil belajar matematika siswa. Sebelum melakukan penelitiantindakan, dilakukan kegiatan pra penelitian yang berupa pengamatan kelas, wawancara, pengenalan komik, pemberian tes awal penelitian.

Kegiatan penelitian terdiri dari siklus I, siklus II, dan siklus III. Tiap siklus terdiridari kegiatan perencanaan tindakan, pelaksanaan (penyajian materi dengan komik dan pemberian tugas), pengamatan, pemberian tes akhir siklus, dan wawancara.

IV. PAPARAN DATA DAN TEMUAN PENELITIANA.  Paparan Data

1.  Pra Penelitian

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 92/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

85

Dari hasil pengamatan kelas pada kegiatan pra penelitan dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:a.  Sumber belajar matematika siswa di kelas hanyalah guru. Siswa tidak menggunakan

 buku teks matematika sebagai sumber belajar selama pembelajaran matematika dikelas.

 b.  Siswa seringkali sulit memahami maksud perkataan guru. Hal ini dilihat dari pengulangan pertanyaan yang dilakukan guru dalam percakapan.

c.  Rendahnya persentase soal cerita (5,3%) dalam tugas siswa memperlihatkanrendahnya intensitas siswa dalam mengerjakan latihan berbentuk soal cerita.Sementara itu, kurangnya latihan mengerjakan soal cerita dapat menyebabkanrendahnya kemampuan siswa dalam menerapkan konsep matematika yang relevandan diperlukan dalam kehidupan sehari-hari siswa.

d.  Siswa memerlukan waktu yang lama untuk mencatat karena seringkali bercandaketika menulis catatan. Hal ini dapat mengurangi efektivitas pembelajaran siswa dikelas.

Dari hasil wawancara pada kegiatan pra penelitan dapat disimpulkan beberapahal sebagai berikut:1)  Siswa mudah lupa dengan materi yang telah disampaikan guru.

2)  Siswa tidak mempelajari buku teks matematika di rumah.3)  Buku teks matematika sulit untuk dipahami siswa.4)  Siswa mengenal komik dan senang melihat gambar komik.

 Nilai rata-rata Tes Hasil Belajar (THB) matematika siswa kelas VII-C padasemester genap tahun pelajaran 2007/2008 sebesar 50 adalah di bawah KKM (60), sertamerupakan yang terendah dibanding nilai rata-rata THB siswa pada pelajaran lain. Hal inimenunjukkan rendahnya hasil belajar matematika siswa. Dengan demikian, rendahnyahasil belajar matematika merupakan masalah yang dialami siswa kelas VII-C.

Berdasarkan hasil pengamatan dan wawancara, rendahnya hasil belajarmatematika siswa ini diperkirakan karena beberapa kesulitan yang seringkali dialamisiswa dalam belajar berupa kesulitan dalam memahami materi dan mudah lupa dengan penjelasan guru. Selain itu, kurangnya ketersediaan sumber belajar bagi siswa jugadianggap dapat menjadi penyebab rendahnya hasil belajar matematika siswa secara tidak

langsung.Berdasarkan hasil pra penelitian, perlu dilakukan suatu tindakan untuk mengatasikesulitan belajar siswa, sehingga dapat meningkatkan hasil belajar matematika siswa.Indikator yang digunakan dalam usaha peningkatan hasil belajar matematika siswa pada penelitian ini adalah peningkatan hasil ulangan harian dan hasil tugas matematika siswa.2.  Siklus I 

Berdasarkan pengamatan yang telah dilakukan selama siklus I dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:a.  Ketertarikan siswa terhadap komik masih kurang. Kekurangtertarikan siswa terhadap

komik menyebabkan siswa tidak membaca komik dengan baik, sehingga tidak dapatmenjawab dengan benar beberapa pertanyaan guru tentang komik.Kekurangtertarikan siswa terhadap komik ini disebabkan oleh kalimat-kalimat penjang dalam komik yang membuat siswa akhirnya malas membaca komik.

 b.  Selama pembelajaran dengan menggunakan komik, siswa terlihat kurang perhatianterhadap apa yang disampaikan guru. Kekurangperhatian siswa terhadap apa yangdisampaikan guru ini disebabkan oleh siswa yang seringkali bercanda dengan siswalain karena kurang tertarik dengan komik yang digunakan dalam pembelajaran.

c.  Siswa kurang memahami kata tanya “berapa” dalam soal, sehingga guru beberapakali memberikan pemahaman arti kata tersebut kepada siswa ketika siswamengerjakan soal.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 93/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

86

Berdasarkan analisis dari hasil tugas dan hasil tes akhir siswa, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:1)  Rata-rata nilai tes akhir siklus yang diperoleh siswa pada siklus I adalah di bawah

KKM yaitu sebesar 50. Sebanyak 4 dari 8 siswa belum menguasai materi karenamemperoleh nilai tes akhir siklus kurang dari KKM. Sementara itu, sebanyak 4 siswa

lainnya menunjukkan kecukupan penguasaan materi karena memperoleh nilai cukup,yaitu sama dengan atau sedikit di atas KKM.2)  Kemampuan siswa dalam mengerjakan soal cerita masih kurang. Hal ini dapat dilihat

dari rendahnya persentase jawaban benar siswa pada tugas dan tes akhir yang berbentuk soal cerita berikut ini.

3)  Kesalahan siswa dalam mengerjakan soal cerita disebabkan oleh kekurangpahamanatau ketidakpahaman siswa terhadap soal. Hal ini dapat dilihat dari besarnya persentase jawaban salah dan kosong siswa pada tugas sebesar 67% (lihat halaman 48gambar 4) dan pada tes akhir (66%) yang berupa soal cerita. Besarnya persentase jawaban salah dan kosong siswa pada tes akhir yang berupa soal cerita ditunjukkan pada diagram berikut ini.

Beberapa kekurangan yang terjadi pada siklus I sebagai perbaikan pada siklus IIadalah sebagai berikut:

a)  Komik memuat kalimat-kalimat yang panjang sehingga membuat siswa malasmembacanya.

 b)  Komik tidak terdapat nomor halaman sehingga menyulitkan guru ketika memintasiswa melihat pada halaman yang dimaksudkan oleh guru.

c)  Kalimat soal terlalu panjang sehingga siswa kurang baik/teliti membacanya.d)  Siswa kurang memahami kata tanya “berapa” dalam soal, sehingga guru beberapa

kali memberikan pemahaman terhadap kata tersebut kepada siswa ketika siswamengerjakan soal.

e)  Siswa tidak menggunakan kalimat lengkap dalam menjawab soal cerita pada tugas,walaupun guru telah seringkali mengingatkan siswa agar menjawab dengan kalimatlengkap.

f)  Rendahnya intensitas waktu siswa dalam mengerjakan tugas ketika pembelajarandapat mengurangi pemahaman siswa terhadap materi.

1)  Penggunaan satu komik selama siklus I dianggap kurang dapat membantu siswamemahami masalah dalam soal cerita, sehingga menyebabkan kurangnya pemahamansoal cerita siswa. Melalui ilustrasi yang ditampilkan pada komik memungkinkansiswa melihat masalah secara lebih jelas, sehingga dapat membantu siswa ketika pengerjaan soal cerita.

3.  Siklus II Berdasarkan pengamatan yang telah dilakukan selama siklus II dapat disimpulkan

 beberapa hal sebagai berikut:a.  Ketertarikan siswa terhadap komik yang digunakan dalam pembelajaran meningkat

dibandingkan saat siklus I. Ketertarikan siswa terhadap komik yang meningkat dapatmembuat siswa lebih bersemangat mengikuti pembelajaran. Hal ini dikarenakankomik pada siklus II berisi kalimat-kalimat yang lebih pendek dan sederhanadibandingkan komik pada siklus I sebelumnya sehingga siswa tidak lagi malasmembacanya. Selain itu, komik juga dapat mengalihkan perhatian siswa terhadap apayang dikatakan guru dalam pembelajaran. Hal ini dikarenakan gambar komik yangmenarik perhatian siswa sehingga siswa seringkali melihat pada komik.

 b.  Siswa masih belum terbiasa dengan adanya komik sebagai sumber belajar lain selainguru di kelas.

c.  Penggunaan komik dapat menambah perbendaharaan kata yang dimiliki siswa,sehingga dapat turut membantu mengembangkan kemampuan berbahasa siswa

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 94/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

87

tunarungu. Hal ini dilakukan dengan menyisipkan satu atau beberapa kata yang belum diketahui atau jarang digunakan siswa dalam balon kata yang relevan denganmateri.

Berdasarkan analisis hasil tugas dan hasil tes akhir siswa, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:1)   Nilai rata-rata keseluruhan tugas siswa pada siklus II mengalami penurunan dari rata-

rata tugas siswa pada siklus I, yaitu dari 96 menjadi 74. Jumlah pemberian tugas padasiklus II lebih sedikit dari siklus I, tetapi pembahasan terhadap soal pada siklus IIdilakukan lebih banyak dari siklus I. Walaupun nilai tugas siswa secara keseluruhan pada siklus II mengalami penurunan, namun hasil tugas soal cerita siswa mengalami peningkatan. Hal ini dilihat dari persentase jawaban benar siswa pada soal ceritatugas. Penurunan nilai tugas ini dapat disebabkan karena berkurangnya butir soaltugas siswa pada siklus II dibandingkan pada siklus I.

2)   Nilai rata-rata siswa pada tes akhir siklus II mengalami peningkatan dari nilai rata-rata siswa pada tes akhir siklus I sebelumnya, yaitu dari rata-rata 50 menjadi 77.Peningkatan nilai rata-rata tes akhir siswa ini diikuti dengan peningkatan nilai seluruhsiswa, termasuk nilai kedua subjek penelitian. Salah satu hal yang mendukungterjadinya peningkatan ini adalah banyaknya soal tes pada siklus II yang lebih sedikit

dari siklus I.3)  Soal cerita yang digunakan pada tugas dan tes akhir siklus II adalah berbentuk isian.Bentuk isian ini mempermudah siswa dalam pengerjaan soal cerita karena selainsiswa tidak perlu menggunakan kalimat lengkap dalam menjawab, siswa juga tidakdibingungkan lagi dengan kata tanya “berapa” dan “apa” dalam soal. Hal ini dapat juga dilihat dari menurunnya persentase jawaban salah dan kosong siswa pada tugasyang berupa soal cerita.

Penggunaan komik pada siklus II selain digunakan pada penyajian materi, jugadigunakan sebagai PR. Melalui penggunaan 2 komik pada siklus II dan komik siklus Isebelumnya, dapat semakin membantu siswa dalam memahami konsep dalam soal cerita.Hal ini dimungkinkan karena dengan adanya lebih banyak penggambaran konsep melaluiilustrasi yang ada dalam komik, siswa dapat semakin mengingat konsep tersebut,sehingga semakin membantu siswa memahami soal cerita. Soal cerita yang diberikan

kepada siswa adalah memuat konsep yang digambarkan dalam komik.Dengan mengerjakan PR yang berupa komik di rumah, siswa membaca komik dirumah sehingga siswa dapat mengulang dan mengingat materi yang telah dipelajari disekolah secara keseluruhan. Berdasarkan hal ini dapat dikatakan bahwa selain menjadisumber belajar di sekolah, komik juga dapat menjadi sumber belajar siswa di rumah.

Kekurangan yang terjadi pada siklus II sebagai perbaikan pada siklus III adalah pembelajaran yang masih kurang efektif. Hal ini dapat dilihat dari waktu yang digunakanguru untuk melakukan percakapan cerita komik dengan siswa masih terlalu lama,sehingga mengurangi waktu siswa untuk tanya jawab materi dan mengerjakan tugas.4.  Siklus III

Berdasarkan pengamatan selama siklus III, dapat disimpulkan beberapa hal berikut.a.  Melalui penggunaan komik dapat mengurangi waktu pemberian catatan oleh guru dan

memperbanyak waktu tanya jawab materi dan pemberian tugas kepada siswa,sehingga dapat lebih mengefektifkan pembelajaran matematika siswa.

 b.  Melalui penggunaan komik dimana terdapat isian dan kesalahan perhitungan yangsengaja dibuat didalamnya dapat digunakan sebagai bahan tanya jawab untukmelakukan lebih banyak aktivitas tanya jawab antara guru dengan siswa. Hal inidapat lebih meningkatkan perhatian dan keaktifan siswa.

Berdasarkan analisis hasil tugas dan hasil tes akhir siswa dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 95/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

88

1)   Nilai rata-rata tes akhir siswa pada siklus III mengalami peningkatan sebesar 4 darinilai rata-rata tes akhir siswa pada siklus II, yaitu dari 77 menjadi 81.

2)   Nilai rata-rata tugas siswa pada siklus III mengalami peningkatan sebesar 9 dari nilairata-rata tugas siswa pada siklus II, yaitu dari rata-rata 74 menjadi 83. Darikeseluruhan tugas yang diberikan guru, sebanyak 16 dari 24 soal (66,7%) adalah berupa soal cerita, sedangkan 8 dari 24 soal lainnya (33,3%) adalah berupa isian dan pertanyaan singkat. Hasil tugas siswa yang berupa jawaban benar pada soal ceritamengalami peningkatan pada siklus III dibandingkan pada 2 siklus sebelumnya.Peningkatan kemampuan siswa dalam mengerjakan soal cerita dapat menunjukkan pemahaman siswa terhadap soal cerita yang lebih baik dibandingkan pada siklus II.

3)  Dengan memperbanyak pemberian butir soal cerita dalam tugas kepada siswa dapatmeningkatkan kemampuan siswa dalam mengerjakan soal cerita sehinggameningkatkan hasil tes akhir siswa. Pemberian soal cerita pada siklus II adalahsebanyak 4 soal, sedangkan pemberian tugas berupa soal cerita pada siklus III adalahsebanyak 16 soal.

Berdasarkan analisis hasil tes akhir penelitian siswa diperoleh beberapa halsebagai berikut:a)   Nilai rata-rata siswa pada tes akhir penelitian mengalami peningkatan dari tes awal

 penelitian, yaitu dari 66 menjadi 75. Sebanyak 7 dari 8 siswa mengalami peningkatannilai dari tes awal penelitian. b)  Sebanyak 15% dari 16% jawaban salah siswa pada soal cerita menunjukkan siswa

kurang memahami soal. Sebagian besar kesalahan yang dilakukan siswa dalammengerjakan soal cerita pada tes akhir penelitian ini menunjukkan siswa kurangmemahami soal karena tidak membaca soal dengan baik/teliti.

B. Temuan PenelitianSelama penelitian berlangsung, diperoleh beberapa temuan penelitian sebagai

 berikut:1.  Siklus I

Temuan negatif: penggunaan kalimat panjang dalam komik membuat siswa malasmembaca komik.

2.  Siklus IIa.  Temuan positif: penggunaan komik dapat menambah perbendaharaan kata yang

dimiliki siswa. b.  Temuan negatif: komik dapat mengurangi perhatian siswa terhadap guru. Dengan

adanya komik yang disukai siswa, siswa seringkali melihat pada komik, sehinggakurang memahami apa yang dikatakan guru karena tidak melihat kearah guruketika guru sedang berbicara.

3.  Siklus IIITemuan positif: dengan adanya isian serta kesalahan yang harus dibenarkan siswadalam komik dapat lebih mengaktifkan siswa dalam tanya jawab materi.

V. PembahasanDari hasil penelitian dan temuan penelitian dapat dikemukakan beberapa hal

sebagai berikut:

A.  Penggunaan komik dapat meningkatkan hasil belajar matematika siswa tunarungukelas VII-C SDLB-B Santi Rama Jakarta.

Hal ini ditandai dengan adanya peningkatan nilai rata-rata ulangan harianmatematika siswa setelah tindakan (tes akhir penelitian) dari nilai rata-rata ulangan hariansiswa sebelum tindakan (tes awal penelitian), serta peningkatan nilai rata-rata tes akhirsiklus siswa.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 96/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

89

Komik sebagai media yang dapat meningkatkan hasil belajar matematika siswakarena komik sebagai media yang bersifat menyenangkan dan memudahkan siswamemahami materi sehingga dapat merangsang siswa untuk belajar, serta komik sebagaimedia penyajian materi yang dapat menjadi sumber belajar bagi siswa baik di sekolahmaupun di rumah, dan sebagai media yang dapat meningkatkan efektifitas pembelajaransiswa di kelas.B.  Penggunaan komik dapat meningkatkan hasil tugas siswa yang berupa soal cerita.

Dengan menggunakan komik, soal cerita dapat ditransformasikan ke dalam suatualur cerita yang tidak kaku dan mudah dipahami. Melalui transformasi ini, siswa diajakuntuk dapat memahami soal cerita secara tidak langsung.C.  Penggunaan kalimat panjang pada komik membuat siswa tunarungu malas membaca

komik.Anak tunarungu memiliki akses terbatas kepada bahasa lisan yang menyebabkan

rendahnya kemampuan berbahasa anak tunarungu. Salah satu dampak dari hal ini adalahanak tunarungu mengalami kesulitan dalam memahami suatu bacaan. Kesulitan membacainilah yang membuat anak tunarungu kemudian enggan membaca, walaupun sebenarnyakalimat panjang dalam komik memuat kata-kata yang sudah dimengerti siswa. Hal inisebagaimana yang dikemukakan Daud Pamungkas, “Antara minat baca dan dan

keterbacaan wacana terdapat hubungan timbal balik.”13

  Ketiadaan minat bacamenyebabkan keengganan membaca pada pembacanya. Begitu pula sebaliknya, salahsatu faktor yang menyebabkan keengganan membaca adalah faktor keterbacaan wacana.

D.  Penggunaan komik dapat Menambah Perbendaharaan Kata yang Dimiliki SiswaTunarungu.

Penggunaan komik dalam pembelajaran matematika dapat menambah perbendaharaan kata yang dimiliki siswa, sehingga dapat turut membantumengembangkan kemampuan berbahasa siswa. Hal ini dilakukan dengan menyisipkansatu atau beberapa kata yang belum diketahui atau jarang digunakan siswa dalam komikyang relevan dengan materi pembelajaran.

E.  Komik dapat Membuat Siswa Tertarik sehingga Mengurangi Perhatian Siswa

Terhadap Guru.Gambar komik yang disukai siswa mampu menarik perhatian siswa, sehingga

membuat siswa seringkali melihat pada komik. Hal ini dapat menyebabkan siswa tidakmelihat ke arah guru ketika guru sedang berbicara. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa penggunaan komik dalam pembelajaran dapat mengganggu keterarahwajahansiswa dengan guru.

F.  Melalui Isian dan Kesalahan Perhitungan yang Harus Dibenarkan Siswa dapat LebihMengaktifkan Siswa dalam Tanya Jawab Materi.

Dengan adanya isian, siswa dapat berhitung sembari membaca komik. Aktivitas berhitung sembari membaca ini dapat mengurangi aktivitas bercanda siswa dengan siswalain. Hal ini dapat meningkatkan perhatian siswa terhadap apa yang disampaikan guru

dalam pembelajaran untuk kemudian meningkatkan keaktifan siswa.Dengan adanya kesalahan yang secara sengaja dibuat dalam komik dan tanpa

diketahui siswa sebelumnya untuk dibenarkan oleh siswa dapat menambah bahan tanya jawab antara guru dan siswa. Ketersediaan bahan tanya jawab memungkinkan guru untukdapat memberikan lebih banyak pertanyaan kepada siswa. Guru memancing siswa

13  Daud Pamungkas,  Faktor-faktor yang Mempengaruhi Kecepatan Baca, [ONLINE] Tersedia:http://www.geocities.com/daudp65/e-book/part1/succes4c.html (19 Januari 2009).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 97/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

90

 berpikir dan mengundang partisipasi aktif siswa melalui tanya jawab berdasarkan komiksehinggga dapat meningkatkan keaktifan siswa dalam pembelajaran.

VI. KesimpulanBerdasarkan uraian hasil penelitian diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

A.  Penggunaan media komik dapat meningkatkan hasil tugas siswa pada soal cerita. Halini dilihat berdasarkan analisis jawaban siswa pada tugas yang berupa soal cerita tiapsiklus. Dari analisis tersebut didapat bahwa terjadi peningkatan persentase jawaban benar siswa pada tugas yang berupa soal cerita yaitu sebesar 34,8% pada siklus I,51,6% pada siklus II, dan 71,3% pada siklus III.

B.  Penggunaan media komik dapat meningkatkan hasil belajar matematika siswa.Peningkatan hasil belajar siswa ini ditunjukkan dengan peningkatan rata-rata nilaiulangan harian matematika siswa setelah tindakan (tes akhir penelitian) dari sebelumtindakan (tes awal penelitian), serta peningkatan rata-rata nilai tes akhir siswa tiapsiklus. Rata-rata nilai tes awal penelitian siswa adalah 66 dan rata-rata nilai tes akhir penelitian siswa adalah 75. Rata-rata nilai tes akhir siklus siswa adalah 50 pada siklusI, 77 pada siklus II, dan 81 pada siklus III.

DAFTAR PUSTAKAAbbas, Nurhayati. 2007. Hubungan Antara Minat Terhadap Profesi Guru (Jurnal Inovasi

Provinsi Gorontalo, Volume 2, Nomor 1, 1 April 2007), [ONLINE] Tersedia:http://balihristi.gorontaloprov.go.id/index.php?option=com_content&task=view&id=27&Itemid=1 (21 Juli 2008).

 Arikunto, Suharsimi dkk. 2007. Penelitian Tindakan Kelas. Jakarta: Bumi Aksara.

Bunawan, Lani.  2000.  Penguasaan Bahasa Anak Tunarungu. Jakarta: Yayasan SantiRama.

Direktorat Pendidikan Sekolah Luar Biasa. 2009. Informasi Pendidikan Anak Tunarung u.

[ONLINE] Tersedia: http://www.ditplb.or.id/2009/app/ cacatdetail.php?option=com _content&task=view&id=18&tuna=tunarungu&jenis=1 (14 Januari 2009).

Kotvas, Bro. Jo. 2007. Some Differences Beetwen Deaf and Hearing Worlds. [ONLINE]Tersedia: http://deafworldmissions.wordpress.com/category/  deaf-culture/  (20Januari 2009).

 Kurniawan, Agus. 2004. Skripsi Pengembangan Komik sebagai Salah Satu Media Belajar Matematika untuk Sekolah dasar Kelas V. Jakarta: Lembaga Penelitian IKIP.

Lestari, Nurintan. 2004. Upaya Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Siswa dengan Menggunakan Media Komik Matematika di Kelas III SD Negeri Pinangsia 06 Pagi Jakarta Barat. Jakarta: Lembaga penelitian IKIP Jakarta.

 Meadow dan Ray. 2008. Differentiated Instructional Strategies.  [ONLINE] Tersedia:http://www.ttaconline.org/staff/sol/sci_deaf.ht m (Senin, 21 Juli 2008). 

Moleong, Lexy J. 2004. Metode Penelitian Kualitatif. Bandung: Rosdakarya.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 98/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

91

Pamungkas, Daud.  Faktor-faktor yang Mempengaruhi Kecepatan Baca, [ONLINE]Tersedia: http://www.geocities.com/daudp65/e-book/part1/  succes4c.html  (19Januari 2009).

Rohani, Ahmad. 1997. Media Instruksional Edukatif. Jakarta: PT Rineka Cipta.

Sadiman, Arief S. 2006. Media Pendidikan. Jakarta: Rajawali.

Subando, Joko. 2005.  Peranan Gambar sebagi Media Ilustrasi dalam Proses Pembelajaran Matematika.  [ONLINE] Tersedia:http://digilib.art.itb.ac.id/go.php?id=jbptitbart-gdl-s2-2004-ramlan-424  (Senin,21 Juli 2008).

Sudrajat, Akhmad. 2008. Sumber Belajar untuk Mengefektifkan Pembelajaran Siswa.2008. [ONLINE] tersedia: http://akhmadsudrajat.wordpress.com/ 2008/04/15/sumber-belajar-untuk-mengefektifkan-pembelajaran-siswa/  (13Februari 2009).

Sunardi, 2000. Kecenderungan dalam Pendidikan Luar Biasa. Jakarta: DepartemenPendidikan dan Kebudayaan.

Syah, Muhibbin, 2003. Psikologi Belajar Jakarta: PT Rajagrafindo Persada.

Wikipedia Indonesia. 2008.  Komik . [ONLINE] Tersedia: http://id.wikipedia.org/ wiki/Komik  (5 Oktober 2008).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 99/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

92

METODE SOCRATES DAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS

Tina YunartiPendidikan Matematika Universitas Lampung

ABSTRAK

Tulisan ini merupakan kajian teoritis mengenai efek Metode Socrates terhadapkemampuan berpikir kritis siswa dalam pembelajaran di kelas. Metode ini diyakini dapatmeningkatkan kemampuan berpikir siswa melalui serangkaian pertanyaan karena padadasarnya seseorang akan berpikir bila dihadapkan oleh suatu masalah atau pertanyaan.Metode Socrates merupakan salah satu metode yang mengutamakan keterampilan bertanya guru. Metode ini memiliki enam karakteristik pertanyaan yang dapatmemancing siswa berpikir secara kritis untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi.

Kata Kunci: Metode Socrates, berpikir kritis

1. Pendahuluan

Pada saat ini pembelajaran yang mengutamakan kemampuan berpikir siswamenjadi banyak pembicaraan. Salah satunya adalah pembelajaran berpikir kritis.Kebutuhan akan kemampuan berpikir kritis saat ini sangat tinggi. Bahkan Partnership for21st Century Skills (2008) mengatakan:

“All Americans, not just an elite few, need 21st century skills that willincrease their marketability, employability and readiness for citizenship,such as: thinking critically and making judgments about the barrage ofinformation that comes their way every day—on the Web, in the media,in homes, workplaces and everywhere else. Critical thinking empowersAmericans to assess the credibility, accuracy and value of information,analyze and evaluate information, make reasoned decisions and take purposeful action.”

Jika negara maju seperti Amerika Serikat saja membutuhkan kemampuan berpikir kritis dalam kehidupan mereka sehari-hari, sudah barang tentu bangsa Indonesialebih membutuhkannya agar mampu bersaing dengan negara lain.

Banyak orang yang menduga, bahwa dengan mempelajari matematika makadengan sendirinya kemampuan berpikir kritis akan muncul. Dengan kata lain, tidakdiperlukan keterampilan khusus dalam mengajar karena matematika sendiri sudahmemuat logika berpikir. Jawaban yang diperoleh dari banyak studi adalah: tidak. Kitasudah seharusnya mengajarkan siswa tentang “how to think ” sebagai pengganti dari “whatto think ” (Clement and Lochhead dalam Schafersman, 1991). Hal ini tidak hanya berlakuuntuk pelajaran matematika saja melainkan untuk seluruh pelajaran.

Salah satu metode pembelajaran yang diharapkan dapat meningkatkankemampuan berpikir kritis siswa adalah Metode Socrates. Metode Socrates merupakansebuah metode yang memuat suatu percakapan atau diskusi antara dua orang atau lebih

untuk menemukan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan yang sulit (Harrington, 2001).Makalah ini bertujuan untuk mengkaji secara teoritis efek dari penggunaan

Metode Socrates terhadap kemampuan berpikir kritis. Diharapkan, melalui pemahamanyang diperoleh dapat menjadi pertimbangan guru untuk meningkatkan kemampuan berpikir kritis siswa melalui Metode Socrates.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 100/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

93

2. PembahasanMenurut Peter Appelbaum  (dalam Kincheloe dan Weil, 2004), sebagian besar

guru matematika sudah merasa memberlakukan pembelajaran berpikir kritis di kelasmereka. Pendapat guru-guru  tersebut bisa saja benar karena pada kenyataan denganmempelajari matematika siswa menjadi aktif berpikir. Matematika yang bersifat rasional,sistematis, jelas, memiliki bahasa yang ringkas, memiliki asumsi-asumsi, dan memiliki berbagai teknik pengambilan keputusan memang menuntut siswa untuk berpikirmenyelesaikan masalah yang diberikan. Oleh karena itu, para guru merasa sah-sah saja jika senantiasa memberikan soal-soal rutin kepada siswa mereka. Mereka merasa hal itusudah teramat cukup untuk membuat siswa mereka berpikir keras.

Pendapat di atas sudah jelas keliru. Siswa yang pandai menyelesaikan soal-soalrutin belum bisa dinamakan seorang pemikir kritis karena hanya mampu menjawab pertanyaan-pertanyaan rutin saja. Untuk bisa dinamakan pemikir kritis, siswa harusdilatih atau dihadapkan dengan pertanyaan-pertanyaan kompleks dalam aktivitas mentalseperti pemecahan masalah, menganalisis, mengevaluasi, pengambilan keputusan, inkuiri, dan lain-lain.

Ada banyak definisi mengenai berpikir kritis. Beberapa dia antaranya adalahsebagai berikut:

Critical thinking is reasonable, reflective thinking that is focused ondeciding what to believe or do (Ennis, 1995).

Halpern (1999) telah mengumpulkan beberapa definisi tentang berpikir kritis, yaitu:Critical thinking is the intellectually disciplined process of activelyand skillfully conceptualizing, applying, analyzing, synthesizing,and/or evaluating information gathered from, or generated by,observation, experience, reflection, reasoning, or communication, as a guide to belief and action. (Michael Scriven & Richard Paul for theNational Council for Excellence in Critical Thinking Instruction)

Critical thinking is that mode of thinking-about any subject, content,or problem-in which the thinker improves the quality of his or her

thinking by skillfully analyzing, assessing, and reconstructing it.Critical thinking is self-directed, self-disciplined, self-monitored, and self-corrective thinking. It presupposes assent to rigorous standards ofexcellence and mindful command of their use. It entails effectivecommunication and problem-solving abilities, as well as acommitment to overcome our native egocentrism and sociocentrism.(The Critical Thinking Community)

We understand critical thinking to be purposeful, self-regulatory judgment which results in interpretation, analysis, evaluation, andinference, as well as explanation of the evidential, conceptual,methodological, criteriological, or contextual considerations uponwhich that judgment is based. (The Delphi Report)

Berdasarkan pendapat-pendapat di atas dapat dikatakan bahwa berpikir kritis adalahsebuah proses berpikir yang terorganisir, disiplin, rasional, logis, dinamis, mandiri, dan jelas yang digunakan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan yang kompleks dalamaktivitas mental seperti pemecahan masalah, menganalisis, mengevaluasi, pengambilankeputusan, inkuiri , dan lain-lain.

Pada dasarnya, semua manusia mampu untuk berpikir kritis. Kita semua dibekaliotak yang sama untuk melakukan kegiatan berpikir tingkat tinggi ini. Menurut Johnson

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 101/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

94

(2002), berpikir kritis bukanlah sesuatu yang sulit untuk dipraktekkan dan bukan hanyamilik orang-orang dengan IQ tinggi. Berpikir kritis adalah sesuatu yang semua orangdapat melakukannya. Jika seorang anak bertanya “Mengapa?”, maka hal tersebutmerupakan sinyal bahwa mereka memerlukan penjelasan yang dapat mereka mengerti.Hal ini berarti, mereka adalah pemikir kritis. Akan tetapi, menurut The Critical ThinkingCommunity (2009), kebanyakan kita berpikir bias, distorsi, saling lepas, tidak memilikiinformasi yang jelas, dan sangat merugikan. Hal tersebut tentu saja tidak kita inginkan.Oleh karena itu, berpikir kritis harus menjadi kebiasaan dan budaya dalam masyarakatkita.

Ada beberapa alasan pentingnya membentuk budaya berpikir kritis dimasyarakat. Salah satunya adalah untuk menghadapi perubahan dunia yang begitu pesatyang selalu muncul pengetahuan baru tiap harinya. Wilson (dalam Muhfahroyin. 2009)mengemukakan beberapa alasan tentang perlunya kemampuan berpikir kritis ini, yaitu:

1. Pengetahuan yang didasarkan pada hafalan telah didiskreditkan; individu tidak akandapat menyimpan ilmu pengetahuan dalam ingatan mereka untuk penggunaanyang akan datang.

2. Informasi menyebar luas begitu pesat sehingga tiap individu membutuhkankemampuan yang dapat disalurkan agar mereka dapat mengenali macam-macam

 permasalahan dalam konteks yang berbeda pada waktu yang berbeda pula selamahidup mereka.3. Kompleksitas pekerjaan modern menuntut adanya staf pemikir yang mampu

menunjukkan pemahaman dan membuat keputusan dalam dunia kerja4. Masyarakat modern membutuhkan individu-individu untuk menggabungkan

informasi yang berasal dari berbagai sumber dan membuat keputusan.Dengan kata lain, pekerja yang memasuki tempat kerja di masa mendatang harus

 benar-benar memiliki berbagai kemampuan yang akan menjadikan mereka pemikirsistem, pemecah masalah, pembuat keputusan, dan orang yang tak pernah henti belajarsepanjang hidup mereka. Jangan sampai kita mendapati ketidakmampuan para lulusanuniversitas dalam berpikir dan membuat keputusan sendiri secara mandiri. Untuk itu, paradigma berpikir dalam pendidikan harus segera dibenahi. Setiap orang harusmenyadari pentingnya berpikir kritis dalam pembelajaran.

Keterkaitan berpikir kritis dalam pembelajaran adalah perlunya mempersiapkansiswa agar menjadi pemecah masalah yang tangguh, pembuat keputusan yang matang,dan orang yang tak pernah berhenti belajar. Penting bagi siswa untuk menjadi seorang pemikir mandiri sejalan dengan meningkatnya jenis pekerjaan di masa yang akan datangyang membutuhkan para pekerja handal yang memiliki kemampuan berpikir kritis.Selama ini, paradigma kemampuan berpikir masih belum merasuk ke jiwa siswa sehingga belum dapat berfungsi maksimal di masyarakat yang serba praktis saat ini.

Salah satu cara untuk meningkatkan kemampuan berpikir siswa adalah melalui pertanyaan. Hal ini didasari oleh kenyataan bahwa seseorang akan berpikir jikadihadapkan oleh suatu masalah. Umumnya, masalah-masalah yang dihadapi tersebutdipresentasikan dalam bentuk pertanyaan-pertanyaan. Thinking is not driven by answersbut by questions  (The Critical Thinking Community, 2009). Agar dapat berpikir, kitaharus berhadapan dengan pertanyaan-pertanyaan yang merangsang pemikiran kita. Dalam

 pembelajaran, pertanyaan-pertanyaan tersebut bisa dimunculkan baik oleh guru maupunsiswa.

Salah satu metode pembelajaran yang menganut aliran konstruktivisme danmenonjolkan keterampilan bertanya dari guru adalah Metode Socrates. Metode Socrates,dinamakan demikian untuk mengabadikan nama penciptanya. Socrates (469 BC-399 BC)merupakan filsuf Yunani, yang tinggal di Athena selama masa kejayaan Yunani. Ayahnyaadalah Sopronicus, sorang pemahat batu, dan ibunya adalah Phaenarete , seorang bidan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 102/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

95

Socrates dikenal di Athena pada saat dia berusia empatpuluhan karenakebiasaannya terlibat dalam percakapan filosofi di lingkungan publik maupun swasta.Subjek percakapan yang sering diperbincangkan bergulir sekitar mendefinisikan hal-halseperti, keadilan, keindahan, keberanian, kesederhanaan, persahabatan, dan kebaikan.Pelacakan definisi difokuskan pada kebenaran alami dari sifat subjek melalui pertanyaandan tidak hanya pada bagaimana kata tersebut digunakan dengan benar dalam kalimat.Gaya percakapan Socrates sendiri melibatkan penolakan/penyangkalan pengetahuan.Dalam percakapan-percakapan tersebut, Socrates bersikap sebagai siswa dan lawan bicaranya dianggap sebagai guru. Dalam dialog-dialognya, Socrates hanya menginginkan jawaban-jawaban pendek yang merupakan nilai-nilai spesifik dan menolak untuk bergerak maju ke topik yang lebih sulit sampai pemahaman yang tepat mengenai prinsipdasar tercapai.

Metode Socrates bisa juga disebut sebagai Metode Elenchus, yang artinya penyelidikan atau uji silang. Melalui penyelidikan seseorang akan jujur memeriksakesadaran yang dimilikinya dan melihat konsekuensi yang dihasilkan dari kesadaran itu.Jika ternyata konsekuensinya mengarah pada ketidakbahagiaan, keyakinan itu harusdirumuskan kembali. (Tobucil, 2007).

Metode Socrates pertama kali diperkenalkan oleh muridnya, Plato, yang

menggambarkannya dalam “dialog-dialog Socrates”. Plato menggunakannya sebagaimetode dari penemuan filosofi yang digunakan untuk menilai konsep-konsep moralmasyarakat saat itu. Oleh karena itulah saat ini Socrates dianggap sebagai “bapak filsafat”dunia barat.

Dialog Socrates meminta kita untuk secara sukarela memeriksa seluruhkebenaran yang selama ini kita yakini, juga segala hal yang selama ini dianggap remeh.Dialog Socrates menegaskan bahwa kearifan tidak bisa dilakukan sendirian. Dibutuhkankawan dialog (bukan lawan) untuk setiap pencarian kebkebenaran. Kawan dialog inisecara kritis terus memberikan pandangan lain dari dalam dirinya. Pandangan lain itu bisa berbentuk hipotesis, keyakinan, dugaan atau teori-teori yang ditawarkan kawan dialog.Kesemuanya menjadi cermin bagi seluruh keyakinan kita. Seluruh ketidaksetujuan dan pertentangan merupakan cermin yang sangat dibutuhkan agar kita bisa berkaca danmenemukan cacat dari kesadaran yang selama ini dianggap telah sempurna (Tobucil,

2007). Menurut Maxwell (2008), Metode Socrates adalah sebuah metode yangmenggunakan pertanyaan induktif untuk membawa seseorang secara sukses memahami pengetahuan melalui langkah-langkah kecil. Adalah jauh lebih mudah untuk memimpinorang, dengan langkah-langkah kecil untuk mencapai pengetahuan tertentu melaluiserangkaian pertanyaan daripada memaksa seseorang untuk meninggalkan ide yangdisimpan dalam hati dan memikirkan kembali isu yang kontroversial. Dalam MetodeSocrates sebuah jawaban yang benar dapat diketahui melalui penanya Socrates. Dalam pembelajaran di kelas, penanya yang dimaksud adalah guru yang sudah mengetahui jawabannya.

Menurut Maxwell (2008), Metode Socrates memiliki tujuan utama pada aspek-aspek pengembangan kemampuan berpikir kritis yang tidak datang begitu saja dari pembelajaran dengan kesalahan berlogika untuk mengevaluasi argumen-argumen atau

 pemecahan masalah. Metode ini datang dari inspirasi berkomunikasi secara sosial untukmemenuhi rasa haus akan pemahaman dan untuk merasakan kerja keras saatmengkreasikan pemahaman sebagai sebuah perjalanan yang menyenangkan.

Bekerjanya Metode Socrates untuk kemampuan berpikir kritis meliputi duadaerah dampak, yaitu “The Safety Factor ” dan “The Preference Factor .” Kedua daerahtersebut mempengaruhi kesehatan psikologi manusia yang terkait dengan kemampuanmereka untuk berpikir kritis.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 103/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

96

a. The Safety Factor  (Faktor Keselamatan) Faktor keselamatan merupakan faktor yang menanyakan seberapa siap seseorang

untuk mengatasi konflik interpersonal, marginalisasi masyarakat, ancaman fisik, dankematian. Faktor keselamatan mempengaruhi kualitas berpikir kritis kita melaluidinamika keinginan kita untuk keselamatan diri baik fisik maupun sosial. Struktur-struktur kepercayaan dibentuk dan dirawat sebagai sebuah respon atas permintaanlingkungan kita.

Kita tidak dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis tanpamengembangkan kemampuan bertanya tentang sesuatu dan segala sesuatu. Orang-orangyang takut untuk bertanya sering tidak mampu untuk berpikir kritis. Ironisnya, untukorang-orang yang selalu bangga akan kemampuannya dalam berpikir, bahkan dalamlingkungan sosial yang terbaik sekalipun, kita tidak bisa mengorganisasikan secaraoptimal untuk memperbaiki rasa takut saat bertanya. Kesimpulan yang mengkhawatirkankemampuan kita untuk menyelidiki sesuatu datang dari banyak pihak. Keluarga,kelompok, sekolah, masyarakat, korp, dan pemerintah, semuanya sudah menghalangikeinginan untuk membuat kita percaya bahwa kita akan hati-hati dalam bertanya.

b. The Preference Factor  (Factor yang Lebih Disukai) 

Faktor yang disukai meliputi pengaruh kemampuan berpikir kritis kita melaluiinteraksi-interaksi yang menyenangkan, kepercayaan pribadi, dan komitmen-komitmensebelumnya untuk mengambil sebuah sisi khusus dalam variasi isu atau konflik-konfliksosial. Berpikir kritis bukanlah suatu keterampilan yang dapat diterapkan untuk segalahal. Seseorang dapat saja berpikir sangat kritis pada suatu isu tetapi tidak pada isu lain.Ukuran kemampuan berpikir kritis seseorang sering dikorelasikan dengan pencapaian pribadinya dalam sebuah isu. Seseorang dapat membangun kapasitas yang luar biasauntuk tetap berpikir kritis dan menemukan bahwa kesenangan mereka untuk berbicaradalam berbagai isu dapat membuat kualitas berpikir kritis mereka berubah sangat hebat.

Menurut Paul (1993), ada enam buah tipe pertanyaan Socrates yang membedakanMetode Socrates dari metode-metode lainnya. Keenam tipe pertanyaan tersebut adalah:2.1. Pertanyan-pertanyaan tentang kejelasan (Questions of Clarification):

•  Dapatkah anda menjelaskan tentang …?

•  Apa yang anda maksudkan tentang …?•  Dapatkah anda memberi contoh tentang…?

2.2. Pertanyaan-pertanyaan yang menyelidiki asumsi-asumsi (Questions that probeassumptions):•  Apa yang anda asumsikan?•  Asumsi apa yang dapat digunakan sebagai pengganti?•  Sepertinya anda memiliki asumsi …. Apakah saya benar?

2.3. Pertanyaan-pertanyaan yang menyelidiki alasan-alasan dan bukti-bukti (Questionsthat probe reasons and evidence)•  Apa yang bisa dijadikan contoh mengenai …?

•  Apakah alasan-alasan ini cukup memadai?

•  Bagaimana anda mengetahuinya?

2.4. Pertanyaan-pertanyaan tentng titik-titik pandang atau perspektif (Questions ofviewpoints or perspectives)•  Tampaknya anda mendekati isu ini dari perspectif …. Mengapa anda memilih

 perspektif ini dibandingkan yang lain?•  Bagaimana respon kelompok lain? Mengapa? Apa yang dapat mempengaruhi

mereka?

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 104/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

97

2.5. Pertanyaan-pertanyaan yang menyelidiki implikasi-implikasi dan konsekuensi-konsekuensi (Questions that probe implications and conseuences)•  Apa yang anda impliksikan dengan hal tersebut?•  Saat anda mengatakan …., apakah anda mengimplikasikan …..?•  Akan tetapi jika ini terjadi, apa yang akan terjadi sebagai hasilnya? Mengapa?

2.6. Pertanyaan-pertanyaan tentang pertanyaan (Questions about questions)•  Apakah … meletakkan pertanyaan secara berbeda?•  Mengapa pertanyaan ini penting?•  Bagaimana seseorang dapat membentuk pertanyaan ini?

Jika diamati, pertanyaan-pertanyaan di atas bersifat tertutup namun membutuhkan pemikiran mendalam. Dalam praktek penggunaannya, guru dapat memilih pertanyaan- pertanyaan yang disajikan secara sistematis dan terstruktur agar dapat mengantarkan pemahaman konsep yang benar kepada siswa.

3. Simpulan dan SaranAdalah sesuatu yang penting bahwa guru untuk menemukan kesenangan mereka

dalam bertanya dengan menggunakan Metode Socrates. Jika anda tidak nyaman saat bertanya, jangan menggunakan Metode Socrates. Anda tidak siap. Ini penting karenaMetode Socrates menggunakan kedua faktor tersebut dengan memberi kesempatanmemberikan pertanyan-pertanyaan positif. Saat seseorang berada pada posisi dengan diadiberi pertanyaan secara bersahabat, penuh rasa hormat, dan bermanfaat, maka ia akan berusaha untuk merasakan nilai dari pertanyaan-pertanyaan yang baik. Merekaterinspirasi untuk melihat pertanyaan-pertanyaan tersebut sebagai bagian penting darihidup mereka. Hal ini secara khusus benar jika seseorang memperoleh pengalamanmendapatkan bahwa kepercayaan atau ide pribadi mereka dibantah dengan cara yang positif.

Di pertengahan dialog Socrates, seseorang dapat belajar untuk merasa tidak bersalah saat harus membuang ide-ide atau kepercayaan yang mereka miliki. Hal ini benar karena aplikasi yang berhasil dari Metode Socrates memberikan orang-orang

kesadaran bahwa jika mereka bekerja keras mereka dapat membuat ide kreatif yang lebih baik. Atau, mereka merasa baik-baik saja saat mereka mengetahui bahwa mereka tidaktahu. Kita semua pasti pernah mengalami rasa gelisah dan takut menghadapi pertanyaan.Melalui penggunaan Metode Socrates kita dapat menawarkan pengalaman positif yangseimbang dalam menjawab pertanyaan yang dapat menginspirasikan seseorang untuk berpikir kritis tanpa beban.

Daftar Pustaka

Ennis, R. (1995). Critical Thinking . Prentice Hall

Halpern, D. (1999). Critical Thinking.  New Directions for Teaching and LearningVolume: Issue: 80, Pages: 69-74

Harrington, N.A. (2001). What is Socrates Method?.  [Online]. Tersedia:.http://www.greatbooksacademy.org/html/what_is_the_Socrates_method_.html [3 April 2009]

Johnson, E.B. (2002). Contextual Teaching and Learning: what it is and why it’s here to stay. California: Corwin Press, Inc.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 105/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

98

Kincheloe, J & Weil, D. (2004). Critical Thinking and Learning”: An Encyclopedia for Parents and Teachers Greenwood Press.

Maxwell,M. (2008). The Socratic Method and its Effect on Critical Thinking . [Online].Tersedia: http://www.socraticmethod.net/ . [3 April 2009]

Muhfahroyin. (2009). Memberdayakan Kemampuan Berpikir Kritis. [Online]. Tersedia:http://muhfahroyin.blogspot.com/2009/01/berpikir-kritis.html [2 Mei 2009]

Partnership for 21st Century Skills. (2008). A Resource an Policy Guide. [Online].Tersedia: www.21stcenturyskills.or g [2 Mei 2009].

Paul, R. (1993). Critical Thinking: How to Prepare Students for a Rapidly ChangingWorld.

Schafersman, S D.(1991). An Intoduction to Critical Thinking. [Online]. Tersedia:http://www.freeinquiry.com/critical-thinking.html [May 25th 2009].

Terrell, M. (2003). Asking good questions in the mathematics classroom. AMS-MERWorkshop Excellence in Undergraduate Mathematics: Mathematics for Teachersand Mathematics for Teaching, March 13-16, 2003; Ithaca College, Ithaca, NewYork

The Critical Thinking Community (Foundation for Critical Thinking). (2009). OurConcept of Critical Thinking. [Online]. Tersedia:http://www.criticalthinking.org/aboutCT/ourConceptCT.cf m. [24 Mei 2009]

Tobucil. (2007).  Madrasah Falsafah Sofia di Tobucil . [Online]. Tersedia:http://www.criticalthinking.org/aboutCT/ourConceptCT.cf m. [30 Mei 2009]

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 106/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

99

Pengembangan Kecakapan Matematika Sekolah:Sebuah Telaah Teoritis

Jarnawi Afgani DahlanJurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

A.  AbstrakSering terdengar pertanyaan yang terlontar dari masyarakat seperti “Mengapamatematika diajarkan di sekolah?” Dengan kata lain, masyarakat belummengetahui dengan sesungguhnya apa kegunaan matematika dalamkehidupan. Meskipun mereka menyadari bahwa matematika digunakan dalamkeseharian, seperti dalam jual beli, dan kegiatan lainnya, namun sebagian besar masyarakat, belum mengetahi secara sepenuhnya mengapa matematikadiajarkan. Visi pembelajaran matematika belum sepenuhnya dikenal olehmasyarakat. Akibatnya, secara khusus siswa, berpandangan bahwamatematika itu membosankan dan tak bermanfaat. Artikel ini mencobamengupas tentang kecakapan-kecakapan yang diharapkan muncul dalam proses pembelajaran matematika. Kilpatric, dkk. (2001) menyebutkan

mathematical proficiency yang terdiri dari lima untaian tak terpisahkan, yakniconceptual understanding, procedural fluency, strategic competence,adaptive reasoning, dan productive disposition.

Kata Kunci: Kecakapan Matematika, Conceptual Understanding, ProceduralFluency, Strategic Competence, Adaptive Reasoning, dan ProductiveDispositon

B.  Matematika, Pengertian dan Tujuan Pembelajarannya

Sering menjadi topik yang banyak dibicarakan tentang apa itu matematika danapa kegunaan dari matematika. Sayangnya menurut Ramaley (2007) hal tersebut seringterjadi miskonsepsi. Pada tahun-tahun belakangan ini masyarakat mencobamendefiniskan matematika, misalnya mathematics as the study of pattern  atau thelanguage of sicence, tetapi para matematikawan professional menghindar untukmendefinisikan matematika. Definisi terbaik menurut Ramaley (2007) adalah definisiyang diungkapkan oleh Adler pada sekitar tahun 1960an, yakni matematika adalah apayang para matematikawan kerjakan (mathematics is what mathematicians do). Hal yangsama terjadi juga dalam sains, para scientist  mendefiniskan science is what scientist do.

Definisi lain yang muncul pada beberapa tahun kebelakang dikemukakan oleh Norman Gottlieb, dia mengatakan bahwa “ Mathematics is the study of precisely definedobjects”. BSNP (2006) dalam Standar Isi kurikulum menjelaskan bahwa matematikamerupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang dan

matematika diskrit. Untuk menguasai dan mencipta teknologi di masa depan diperlukan penguasaan matematika yang kuat sejak dini. Mata pelajaran Matematika perlu diberikankepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didikdengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, sertakemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar peserta didik dapatmemiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti, dan kompetitif.

Visi pendidikan matematika menurut NCTM (2000) harus mempunyai ambisiyang tinggi. Keberhasilan yang diharapkan merupakan kesatuan dari kurikulum

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 107/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 108/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

101

Gambar 1I nterwined Strands of Mathematical Prof iciency

C.  Pemahaman Konseptual (Conceptual Understanding )Kompetensi konseptual berkaitan dengan suatu pemahaman dari ide-ide

matematika yang terintegerasi dan fungsional. Dengan pemahaman konseptual siswa jauhlebih mengetahui fakta-fakta dan metode yang asing, yang belum pernah mereka lakukan.Mereka memahami mengapa suatu ide matematika itu penting dan bagian-bagiannya berguna. Mereka mampu mengorganisasikan pengetahuan secara menyeluruh, yaknimampu memperoleh ide baru melalui pengaitan ide-idenya dengan apa yang telah mereka punyai.

Pemahaman konseptual ini juga sangat mendukung daya ingat (retention). Jika

fakta dan metode yang dipelajari dengan pemahaman dilakukan secara terkoneksi,mereka akan mudah mengingat dan menggunakan, serta merekonstruksinya kembalidikala mereka lupa. Jika siswa paham suatu metodenya saja, maka tidak menjaminmereka dapat mengingatnya dengan benar.

Indikator yang penting dari pemahaman konseptual adalah mampumerepresentasikan situasi secara matematis dengan cara yang berbeda dan mengetahui bagaimana representasi yang berbeda tersebut dapat berguna untuk maksud yang berbeda.Memperoleh sebuah cara dalam ranah matematika akan berimplikasi mampu melihat berbagai koneksi representasi dengan yang lainnya, mungkin kesamaannya, dan mungkin perbedaannya. Dengan demikian, siswa yang mempunyai pemahaman konseptual akankaya dan luas koneksi-koneksi yang dibuatnya.

Sebagai contoh, misalkan siswa menjumlahkan dua buah bilangan pecahan, sebut

5

2

3

1

+ . Mereka dapat menggambar sebuah bangun datar dalam bentuk persegi ataulingkaran atau mereka menggunakan benda konkrit untuk menunjukkan pejumlahankedua pecahan tersebut. Mereka juga dapat menggunakan cerita realistik yang berkaitandengan masalah tersebut. Mereka dapat menggunakan garis bilangan, menyatakan setiap pecahan dengan segmen dan penjumlahannya dengan cara menggabungkan segme-segmen tersebut. Melalui pecahan sejenis (renaming the fractions), mereka akanmemperoleh pecahan dengan penyebut (denominator)  yang sama, siswa akan sampai pada pengukuran persekutuan untuk pecahan dan kemudian dapat menjumlahkannya dan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 109/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

102

 besaran jumlah kedua pecahan tersebut akan terlihat pada garis bilangan. Variasi tersebutakan memberikan dorongan pada siswa untuk mendiskusikan persamaan dan perbedaandari representasi-representasi tersebut, kelebihannya, dan bagaimana mereka harusmengkoneksikan jika mereka memperoleh hasil yang sama.

Pengkoneksian lebih bermanfaat apabila hubungan pengaitan antar konsep danmetode menggunakan cara-cara yang tepat. Pengetahuan yang telah dipelajari melalui pemahaman menjadi dasar dalam pengembangan pengetahuan baru dan berguna sebagai penyelesaian baru dalam menyelesaiakan masalah-masalah yang tidak bisaa (unfamiliar ).Ketika siswa telah memperoleh pemahaman konseptual dalam matematika, mereka akanmelihat koneksi antara konsep dan prosedur dan juga dapat memberikan argument untukmenjelaskan mengapa beberapa fakta atau kenyataan sebagai konsekuensi dari faktalainnya. Mereka lebih percaya diri, sehingga dapat mengantarkan mereka untukmempelajari konsep yang lebih tinggi.

Pemahaman konseptual juga akan menolong siswa dalam mengkritisi kesalahan penyelesaian soal-soal matematika, khususnya soal-soal yang berkaitan dengan perhitungan. Misalnya, ketika siswa menyelesaikan perkalian 9,83 dengan 7,65 danmereka memperoleh hasil 7519,95. Siswa akan segera memutuskan bahwa jawaban yangdiperolehnya salah. Siswa menjastifikasinya melalui perbandingan, yakni 10 x 8 hasilnya

80, jadi haruslah hasil dari 9,83 x 7,65 kurang dari 80. Untuk siswa tingkat sekolahmenengah, misalnya dalam perhitungan teori peluang.Pemahaman konseptual digunakan oleh siswa dalam menyelesaikan suatu

masalah matematika dengan sifat-sifat atau aturan-aturan yang ada sehingga masalahtersebut menjadi lebih mudah diselesaikan. Sebagai contoh, untuk siswa tingkat sekolahdasar, bisaanya siswa lebih mudah menyelesaikan penjumlahan menempatkan bilanganterbesar lebih dahulu, yakni 11 + 3 dibandingkan dengan 3 + 11. Manakala siswadihadapkan pada soal perhitungan 3 + 11, siswa yang mempunyai pemahamn konseptualakan menggunakan sifat komutatif, sehingga dia menyelesaikannnya melalui penjumlahan 11 + 3. Begitu juga untuk soal 8 + 9, siswa bisaanya lebih menjumlahkan bilangan dobel (misalnya 6 + 6, 8 + 8). Siswa yang mempunyai pemahaman konseptualakan mereduksi 8 + 9 menjadi 1 lebih dari 8 + 8. Pengaitan-pengaitan tersebutmemberikan kemudahan bagi siswa untuk membangun pengetahuan yang baru

dibandingkan dengan menghapal konsep tanpa bermakna.

D.  Kelancaran Prosedur (Procedural F luency )

Kelancaran prosedur berkaitan dengan pengetahuan prosedur atau algortima, pengetahuan yang berkaitan dengan kapan dan bagaimana menggunakan secara tepat, danketrampilan dalam keluwesannya, keakuratannya, serta keefesienannya. Sebagai contohdalam konsep bilangan, kelancaran prosedur secara khusus diperlukan untuk mendukung pemahaman konsep nilai tempat dan bilangan rasional, serta dalam melakukan analisis persamaan dan perbedaan antara metode-metode operasi perhitungannya, yaknimelakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian sebaik yang dilakukandengan menggunakan kalkulator, komputer, atau alat-alat lainnya yang digunakan untukmembantu perhitungan.

Siswa memerlukan cara yang efisien dan akurat dalam melakukan perhitunganfakta dasar dalam bilangan cacah, misalnya 7 + 8, 17 – 9, 8 x 9, dan lain-lain tanpamenggunakan alat bantu hitung seperti tabel fakta perhitungan fakta dasar. Mereka juga perlu mengetahui cara yang layak/benar untuk melakukan pejumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan multidigit baik secara mental maupun menggunakan pensil dan kertas.

Dalam penggunaan alat-alat untuk perhitungan, beberapa algoritma menjadisangat penting sebagaimana konsep itu sendiri, atau dengan kata lain ada kaitan antara

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 110/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

103

 pemahaman konsep dengan prosedur. Siswa perlu melihat bahwa prosedur-prosedurdapat dikembangkan sehingga akan menyelesaikan bagian-bagian dari masalah. Denganmempelajari algoritma sebagai prosedur yang umum, siswa dapat mengubah wawasan kedalam fakta bahwa matematika terstruktur dengan baik (well structured ), sehingga pengembangan prosedur tersebut menjadi alat yang kuat dalam menyelesaikan tugas-tugas rutinnya.

Hal tersebut penting, sehingga prosedur yang dilakukan dalam perhitunganmenjadi efisien, akurat, dan hasilnya benar. Keakurat dan keefesienan dapat ditingkatkandengan latihan, sehingga dapat membantu siswa memberikan kelancaran. Selain itu siswa juga perlu luwes dalam menggunakan prosedur. Tidak semua perhitungan selalu mirip.Sebagai contoh dalam perkalian, Kadangkala anak perlu luwes dalam menggunakan prosedur atau algoritma perkalian. Anak harus dapat menggunakan berbagai variasistrategi mental untuk perkalian yang melibatkan bilangan 10, 20, atau 300. Contohlainnya adalah dalam penjumlahan 199 dengan 67 atau menghitung hasil kali 4 dan 26dengan menggunakan strategi mental yang cepat dibandingkan dengan caramenghitungnya dengan menggunakan pensil dan kertas. Dengan kata lain, keluwesandalam menggunakan strategi akan membawa anak pada kemampuan menaksir hasilsebuah perhitungan atau penyelesaian masalah matematika, mampu memperkirakan

apakah jawaban yang telah dibuatnya itu benar atau salah, dan bahkan pada akhirnyasiswa akan mampu memilih cara yang paling tepat untuk digunakan dalam menyelesaikansuatu masalah.

Kelancaran prosedur dan pemahaman konseptual sering terlihat seperti saling bersaing dalam pembelajaran matematika sekolah. Namun, hal tersebut tidak tepat.Sebagaimana telah dibahas bahwa keduanya merupakan jaringan yang saling melengkapi.Pemahaman membuat keterampilan belajar menjadi lebih mudah, tidak rentanmemunculkan kesalahan, serta tidak mudah lupa. Artinya kedua hal itu (pemahamankonseptual dan kelancaran prosedur) apabila muncul dalam pembelajaran matematika,maka akan saling menguatkan. Sebagai contoh, seorang anak akan kesulitan dalammelakukan perhitungan yang melibatkan bilangan multi digit apabila dia tidakmempunyai kelancaran dalam prosedur, dilain pihak anak yang hanya mengembangkan prosedur tanpa pemahaman, akan mengalami kesukaran memahami mengapa prosedur

tersebut dapat digunakan. Akibatnya seringkali terjadi anak akan menggunakan prosedurtanpa memperhatikan syarat-syarat dari prosedur tersebut. Jika tidak cukup lancar prosedurnya, siswa akan mengalami kesulitan dalam mendalami pemahaman idematematika atau menyelesaikan masalah matematika. Namun demikian, ketika mereka berlatih prosedur matematika tanpa memahaminya, maka hal tersebut akan berbahaya.Mereka akan menggunakan prosedur yang salah. Kilpatrick, Swafford & Findell (2001)memberi contoh hasil tes yang diberikan pada siswa kelas 2 pada topik pengurangan,yakni 62 – 48 = ?. Hasilnya hanya 38% siswa yang benar mengerjakan soal tersebut.Banyak siswa yang mengerjakan dengan hasil 26. Jika siswa telah belajar pengurangandengan pemahaman, maka hal tersebut tidak akan terjadi.

26

48

62

−  

Ketika ketrampilan dipelajari tanpa pemahaman, mereka telah belajar pengetahuan seperti kepingan yang terpotong-potong. Mempelajari topik baru harusdilakukan dengan usaha yang keras, karena pengetahuan sebelumnya tidak memberi artiatau berpengaruh terhadap pengetahuan yang baru tersebut. Akhirnya muncul pemikirandalam diri siswa bahwa setiap masalah mempunyai prosedur yang berbeda-beda. Sebagaicontoh, ketika siswa belajar tentang suatu prosedur untuk menyelesaikan masalah

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 111/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

104

 pengurangan tanpa pengelompokan kembali dan menganggap berbeda ketika belajartentang prosedur masalah pengurangan dengan pengelompokkan.E.  Kompetensi Strategis (Strategic Competence )

Kompetensi strategis berkaitan dengan kemampuan (ability) untuk memformulasimasalah secara matematis, merepresentasikan, dan menyelesaikannya. Untaian ini samadengan penyelesaian masalah dan memformulasi masalah dalam matematika dan bidangsains, dan penyelesaian masalah matematik, khususnya studi yang lebih luas lagi.

Meskipun di sekolah, siswa sering dihadirkan dengan masalah yang jelas penyelesaiannya, di luar sekolah mereka sering berhadapan dengan situasi yang mungkinsulit untuk digambarkan bagaimana jalan keluar untuk menyelesaikan masalah yangdihadapinya. Kemudian siswa perlu untuk dapat memformulasi masalah tersebutsehingga dapat menggunakan matematika untuk menyelesaikannya. Konsekuensinya,mereka mungkin memerlukan pengalaman dan latihan memformulasi masalah sebaikmenyelesaikannya. Mereka harus mengetahui berbagai strategi penyelesaian yangmungkin yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah yang khusus. Sebagaicontoh, siswa kelas 6 mungkin ditanya tentang permasalahan kantin sekolah. Beberapahal yang mungkin ingin diketahui misalnya apakah makanan yang dijual terlalu mahal

atau apakah jenis makanan yang dijual mencukupi atau terlalu sedikit, dan pertanyaanlainnya.Dengan formula ditangan mereka, langkah pertama yang dilakukan oleh siswa

adalah menyusun representasi secara matematik dalam berbagai bentuk, misalnya dalam bentuk numerik, symbol, verbal, atau dalam bentuk grafik. Siswa kelas 5 sekolah dasardapat menyusun rute yang dapat dilaluinya dari rumah ke sekolah baik melalui gambar peta maupun menyatakannya secara verbal. Representasi dari situasi masalah akanmampu memberikan beberapa implikasi pada siswa, yakni siswa dapat membangun bayangan mental dari komponen-komponen penting suatu masalah. Artinya siswa akanmampu memilih metode mana yang tepat untuk digunakan dari berbagai metode yangtelah dipahaminya. Untuk merepresentasikan suatu masalah dengan akurat, pertama kalisiswa harus paham situasinya, termasuk didalamnya elemen-elemen kunci. Merekakemudian perlu mengembangkan representasi matematika dari masalah sehingga element

kunci matematikanya diperoleh dan menghilangkan hal-hal yang tidak relevan. Langkahini mungkin difasilitasi dengan cara menggambar, menuliskan persamaan, ataumenemukan beberapa representasi yang nyata.

Untuk menjadi penyelesai masalah yang cakap, siswa harus belajar bagaimanamembentuk representasi mental dari masalah, mendeteksi kaitan-kaitan matematis, danmenemukan metode penyelesaian yang baru ketika diperlukan. Karaktersitik mendasaryang diperlukan selama proses penyelesaian masalah adalah keluwesan ( flexibility).Keluwesan berkembang seiring dengan perkembangan pengetahuan yang sering munculketika menyelesaikan masalah non rutin daripada masalah rutin.

Masalah rutin adalah suatu masalah yang siswa mengetahui bagaimanamenyelesaikannya didasarkan pada pengalaman masa lalunya. Ketika siswa dihadapkan pada masalah rutin, siswa mengetahui metode penyelesaian yang dan telah ada dalam

 pikirannya. Masalah-masalah rutin berkaitan hanya bersifat mengulang kembali pikiran,siswa hanya perlu meniru dan menggunakan prosedur penyelesaian yang telahdiketahuinya. Sebagai contoh, tentukan hasil kali 567 dan 46 adalah masalah rutin untuksebagian besar orang dewasa mereka mengetahui apa dan bagaimana mengerjakannya.

Sebaliknya, soal/masalah non rutin adalah soal yang mana siswa/pembelajar tidakserta merta mengetahui metode/prosedur penyelesaian yang harus digunakan. Masalahnon rutin mengharuskan pemikiran yang produktif karena pembelajar perlu menemukansebuah cara untuk memahami dan menyelesaikan masalahnya. Sebagai contoh, untuk

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 112/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

105

anak SMP masalah non rutin sering diperoleh pada majalah atau Koran sebagaimanacontoh berikut:

Sebuah toko sepeda memiliki jumlah total 36 sepeda roda dua dan roda tiga. Keseluruhan rodanya ada 80 buah. Berapa banyak sepeda (roda dua) dan sepeda roda tiga di toko tersebut?

Sebuah pendekatan penyelesaian yang cukup beralasan adalah kesemua sepeda (36) paling sedikit mempunyai roda dua buah, dengan demikian banyaknya roda adalah 36 x 2= 72. Karena disana ada 80 roda, maka 8 roda sisanya (80 -72) untuk sepeda dengan tigaroda. Dengan demikian banyaknya sepeda yang mempunyai dua roda adalah 36 – 8 = 28 buah.

Pendekatan yang cukup canggih mungkin menggunakan metode “guess andcheck”: jika misalkan terdapat 20 sepeda (roda dua) dan 16 roda tiga, maka akandiperoleh (20 x 2) + (16 x 3) = 88 roda sepeda, hal ini terlalu banyak. Dengan mereduksi banyaknya sepeda roda tiga, misalkan 24 sepeda roda dua dan 12 sepeda roda tiga,diperoleh banyaknya roda (24 x 2) + (12 x 3) = 84 buah. Kemudian sepeda roda tigadireduksi lagi 4 buah, sehingga diperoleh 28 sepeda roda dua dan 8 sepeda roda tiga, danhasil pemeriksaan menunjukkan bahwa banyaknya roda (28 x 2) + (8 x 3) = 80 buah roda.

Cara yang formal adalah menggunakan aljabar, yakni sistem persamaan linear.Misalkan sepeda rida dua b dan sepeda roda tiga t , maka diperoleh persamaan 36=+ t b  dan 8032   =+ t b . Dengan menggunakan eliminasi atau substitusi diperoleh nilai b = 28 dan t = 8.

Terdapat kaitan yang saling mendukung antara kompetensi strategis dan keduakeahlian lainnya, pemahaman konseptual dan kelancaran prosedur, seperti beberapa pendekatan penyelesaian pada masalah di toko sepeda di atas. Pengembangan strategiuntuk masalah non rutin bergantung pada pemahaman banyaknya pengaitan yang adadalam masalah dan pengaitan-pengaitan tersebut akan memberi dampak ketikamenyelesaikan soal rutin. Sama saja, pengembangan kompetensi dalam menyelesaikansoal non rutin merupakan sarana dan motivasi untuk pembelajaran penyelesaian masalahrutin dan untuk memahami konsep-konsep matematika.

Siswa yang kelancaran prosedurnya telah berkembang, maka mereka akan

menggunakan kompetensi strategis dalam memilih prosedur yang efektif. Mereka jugatelah belajar bahwa memunculkan penyelesaian suatu masalah matematika begantung pada kemampuan untuk menggunakan prosedur yang siap dan sebaliknya, pengalamandalam menyelesaikan masalah membantu mereka memperoleh konsep dan ketrampilan baru. Terpenting, anak-anak menggunakan berbagai strategi untuk menyelesaikanmasalah dan cenderung memilih strategi-strategi yang tepat dalam menyelesaikanmasalah tersebut. Mereka dengan demikian telah menunjukkan dasar-dasar dari adaptivereasoning  yang merupakan cabang atau helaian dari kahlian matematika lainnya.

F.  Penalaran Adaptif (Adaptive Reasoning )

Penalaran adaptif terkait dengan kapasitas berfikir logis tentang kaitan antarakonsep dan situasi. Penalaran yang benar dan valid (sahih), datang dari pertimbangan

yang hati-hati dari berbagai kemungkinan, dan termasuk didalamnya pengetahuan bagaimana menjastifikasi sebuah kesimpulan. Dalam matematika, penalaran adaptifmerupakan perekat sehingga berlaku untuk semua, dan menjadi pedoman dalam pembelajaran. Penalaran adaptif ini untuk menavigasi berbagai fakta, prosedur, konsepdan metode penyelesaian dan melihat bahwa semua cocok satu sama lain. Dalammatematika, penalaran deduktif digunakan untuk menjawab perdebatan danketidaksetujuan. Jawaban yang benar disebabkan mereka mengikuti langkah-langkahsecara logis yang dimulai dari asumsi-asumsi. Siswa yang tidak setuju tentang jawaban

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 113/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

106

matematikanya perlu untuk melakukan pemeriksaan bersama gurunya, mengumpulkan pendapat dari temannya, atau mungkin juga mengambil data dari luar kelas. Prinsipnya,mereka perlu memeriksa bahwa penalaran yang digunakannya sahih.

Beberapa konsepsi penalaran matematika dibatasi untuk bukti formal atau penalaran deduktif. Ide dari penalaran adaptif ini lebih luas, termasuk didalamnya tidakhanya penjelasan informal dan jastifikasi tetapi juga intuisi dan penalaran deduktif yangdidasarkan pada pola analogi, dan metapora. Kemampuan seseorang dalam menemukankorespondensi secara analogi merupakan kekuatan dalam mekanisme penalaran.Penalaran analogi, metapora, dan representasi mental dan fisik merupakan alat berfikir  yang sering menjembatani penyusunan hipotesis, sumber operasi dan tehnik penyelesaianmasalah, dan membantu dalam pembelajaran.

Perwujudan dari penalaran adaptif dalah kemampuan memberi alasan ( justify)dalam pekerjaanya. Disini digunakan kata  justify  yang berkaitan dengan kecukupan bernalar. Bukti ( proof ) merupakan perwujudan dari pemberian alasan ( justification),tetapi tidak semua pemberian alasan merupakan pembuktian. Pembuktian (formal dannon formal) harus lengkap secara logis, tetapi jastifikasi mungkin hanyalah anggapan dari penalaran. Jastifikasi dan penalaran merupakan pertanda dari matematika formal, seringterlihat sebagai bidang kajian dari siswa di kelas yang tinggi. Siswa perlu menjastifikasi

dan menjelaskan ide-ide matematikanya secara terurut untuk membuat penalarannya jelas, mengasah ketrampilan bernalarnya, dan mengembangkan pemahamankonseptualnya.

Pengembangan dari keahlian ini memerlukan waktu yang cukup panjang. Siswa perlu menggunakan konsep dan prosedur baru dalam beberapa kali untuk menjelaskandan menjastifikasi melalui pengaitan konsep dan prosedur sehingga merekamemahaminya. Sebagai contoh, siswa tidak cukup hanya dengan latihan soal penjumlahan pecahan setelah prosedurnya dikembangkan. Jika siswa telah memahamialgoritma, mereka juga memerlukan pengalaman dalam menjelaskan danmenjastifikasinya dengan beberapa masalah yang berbeda.

Penalaran adaptif berinteraksi dengan untaian keahlian yang telah dibahassebelumnya, secara khusus hal tersebut terjadi ketika menyelesaikan masalah non rutin.Siswa menggambarkan kompetensi strategisnya untuk memformulasi dan

merepresentasikan suatu masalah, penggunaan pendekatan yang heuristic akanmenyediakan strategi penyelesaian, tetapi penaran adaptif terjadi ketika mereka sedangmenentukan keabsahan strategi yang akan digunakan. Pemamahan konseptualmenyediakan metapora dan representasi yang sehingga dapat menjadi sumber penalaranadaptif, sehingga siswa akan menentukan apakah penyelesaiannya dapat dibenarkan dankemudian menjastifikasinya. Seringkali suatu strategi membantu kelancaran dalammelakukan perhitungan, pengukuran, atau lainnya, tetapi penalaran adaptif harusdigunakan untuk menentukan apakah prosedur itu tepat menggunakannya.

G. Watak Produktif  (Productive Dispositi on)

 Productive disposition terkait dengan kecenderungan untuk melihat  sense  dalammatematika, untuk melihat kegunaan dan manfaat, untuk percaya bahwa usaha yang terus

menerus dalam belajar matematika bermanfaat, dan untuk mengecek diri sendiri sebagaiseorang pembelajar efektif. Jika siswa mengembangkan kemampuan pemahamankonseptual, kelancaran prosedur, kompetensi strategis, dan penelaran adaptif, merekaharus memandang bahwa matematika itu understandable, not arbitrary; sehingga berusaha dengan tekun, hal itu dapat dipelajari dan digunakan; sehingga mereka menjadicakap. Pengembangan productive disposition menyediakan banyaknya kesempatan untukmembuat rasa dari matematika, mengatur manfaat ketekunan, dan memperoleh hadiahdari munculnya rasa dalam matematika (dalam bentuk kepuasan).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 114/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

107

 Productive disposition  berkembang ketika untaian yang lain bekerja danmembantu masing-masing untaian tersebut berkembang. Sebagai contoh, siswa yangmembangun kompetensi strategis melalui pemecahan masalah non rutin, sikap dankepercayannya tentang dirinya sebagai pembelajar matematika menjadi lebih positif.Lebih banyak konsep-konsep matematika yang dipahaminya, lebih sensitive dalammatematika. Sebaliknya, ketika siswa jarang menyelesaikan masalah-masalahmatematika, mereka beranggapan bahwa mengingat lebih baik daripada membentuk rasadalam matematika, akhirnya mereka akan kehilangan kepercayaan dirinya sebagaiseorang pembelajar. Sama juga, ketika siswa melihat dirinya sebagai seorang yangmampu dalam pembelajaran matematika dan menggunakannya dalam penyelesaianmasalah, mereka dapat mengembangkan kemampuan kelancaran procedural ataukemampuan penalaran adaptifnya. Disposisi siswa terhadap matematika merupakan factorutama dalam menentukan keberhasilan pendidikannya. Siswa yang berpandangan bahwakemampuan matematikanya kurang sehingga dalam proses belajar matematika seringmenghindari mengerjakan soal matematika, maka mereka akan mudah gagal. Sebaliknya,siswa yang berpandangan bahwa kemampuannya akan lebih luas dengan meresponmasalah atau soal-soal yang diberikan, maka mereka akan memanfaatkan kesempatan-kesempatan untuk mencoba soal-soal yang diberikan.

Siswa yang rasa matematikanya telah berkembang akan percaya diri terhadapkemampuan yang dimilikinya. Mereka melihat bahwa matematika adalah rasional, dapatdimengerti dan terpercaya. Dengan usaha dan pengalaman yang tepat, mereka dapat belajar. Hal tersebut berbeda dengan siswa yang mempunyai pandangan bahwa dalammatematika ada hal-hal yang misterius, sukar dan lain sebagainya. Dengan demikian,seorang guru harus mampu membangkitkan siswanya untuk mau bekerja keras, berpandangan positif terhadap matematika, sehingga akan memunculkan rasa matematikadan akhirnya akan berhasil dalam belajar matematika.

H.  Sifat-sifat Kecakapan Matematika

Sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya, bahwa kelima  strand   kecakapanmatematika (mathematical proficiency) satu sama lain saling berkaitan. Artinya adalah

kelimanya harus berkembang secara sinkron, guru tidak boleh menekankan pada satu atau beberapa kecakapan tersebut. Selain itu, perkembangan kecakapan tersebut memerlukanwaktu. Tugas matematika menjadi suatu hal yang sangat penting dalam mengembangkankelima kecakapan matematika tersebut.The Strands of Profi ciency Are In terwoven

Pasti anda pernah membuat tali yang dibuat atau dianyam dari beberapa talilainnya, atau lihatlah sumbu kompor minyak tanah. Kelima kecakapan matematika yangtelah dibahas sebelumnya laksana sumbu kompor yang terjalin dari untaian tali-talilainnya. Sumbu kompor sebagai kecakapan matematika, dan tali-tali yang dianyamnyamerupakan conceptual understanding, procedural fluency, strategic competence,adaptive reasoning, dan productive disposition.

Pertanyaan yang muncul adalah bagaimana untaian-untaian tersebut terjalinsehingga membentuk kecakapan matematika? Penelitian baru-baru ini (Kilpatrick, dkk.,

2001) mengindikasikan bahwa dua strand  dari kecakapan berinteraksi secara kontinyu.Seperti seorang anak yang memperoleh pemahaman konseptual, prosedur perhitungantelah diingatnya dengan baik dan telah banyak menggunakan prosedur secara luwes, iaakan menggunakannya dalam menyelesaikan permasalahan yang baru. Pada gilirannya, prosedur tersebut menjadi sesuatu yang otomatis, anak akan memungkinkan berfikirtentang aspek-aspek lain dari masalah dan mengerjakan hal-hal yang baru dari masalah,hal tersebut akan mengantarkan pada pemahaman baru. Ketika prosedur digunakan, anakdapat mereflesikannya melalui mengapa prosedur tersebut dapat bekerja atau dapat

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 115/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

108

digunakan, dan hal tersebut akan memberi penguatan pada pemahaman konseptual.Tentu saja hal tersebut tidak selalu penting, berguna atau mungkin terjadi dalammembedakan konsep dari prosedur, karena pemahaman dan pekerjaan saling terkoneksidengan cara-cara yang kompleks.

Untuk lebih jelasnya, pandanglah sebuah contoh perkalian multidigit dari bilangan Cacah, misalkan 47 x 268. Beberapa algoritma dapat digunakan untukmenghitungnya, salah satunya menguraikan 47 menjadi 40 + 7, kemudian menghitung40 x 268 dan 7 x 268. Hasilnya kemudian dijumlahkan. Atau dengan menggunakan cara perkalian ke bawah

12596

1072

1876

47

268

×

 

Kebisaaan dengan algoritma tersebut bagi siswa yang lebih tinggi mendoronganuntuk melihat berapa banyak pengetahuan yang diperlukan untuk itu. Hal tersebut

memberikan pengetahuan bahwa 40 x 268 adalah 4 x 10 x 268, kemudian dari 7 x 268diperoleh kombinasi dari perkalian dasar 7 x 8, 7 x 60, 7 x 200, serta 4 x 8, 4 x 60, dan 4x 200. Sambil siswa belajar menghitung prosedur perkalian multidigit, mereka jugaharus mengembangkan pemahaman yang lebih dalam tentang perkalian dan sifat-sifatnya. Dilain pihak sambil mereka mempelajari lebih dalam tentang pemahamankonsep, mereka harus menjali lebih lancar dalam melakukan perhitungan. Seorang pemula yang lupa akan algoritma perkalian tetapi memahami sifat distributive dapatmerekonstruksi perkalian multi digit tersebut menjadi 268 x 47 = 268 x (40 + 7) = (268 x40) + (268 x 7) dan kemudian mengerjakannya. Seorang pemula yang hanya menghafalalgortima tanpa pemahaman dan lupa ketika harus melakukan perhitungan, maka diaakan mengalami kegagalan.

Proficiency Are Not Al l Or Nothing

Kecakapan matematika tidak dapat ditandai kehadiran dan tidaknya secarasederhana. Setiap ide matematika dapat dipahami pada setiap tingkatan melalui berbagaicara. Sebagai contoh, konsep yang nampak simple seperti bilangan ganjil dan genapmemerlukan penggabungan beberapa cara berfikir: pemilihan titik-titik pada garis bilangan, pengelompokkan item-item dengan dua-dua, pengelompokkan barang ke dalamdua kelompok, dan melihat bilangan hanya pada digit terakhir. Ketika anak pertama kali belajar tentang bilangan ganjil dan genap, mereka dapat mengetahui satu atau duainterpretasi tersebut. Tetapi untuk usia yang lebih tinggi, pemahaman mendalam dari bilangan ganjil dan genap semua interpretasi tersebut saling berkaitan dan dapatdijastifikasi antara satu dengan yang lainnya.

Prof iciency Depelovs Over T imeKecakapan dalam matematika diperoleh dari waktu ke waktu. Setiap tahun di

sekolah, siswa akan memperoleh peningkatan kecakapannya. Sebagai contoh, di kelastiga sekolah dasar mereka harus lebih cakap dalam penjumlahan bilangan cacahdibandingkan dengan kelas satu.

Perolehan kecakapan memerlukan waktu. Siswa perlu sedikit waktudiikutsertakan dalam aktivitas-aktivitas topik matematika tertentu sehingga kecakapanmereka menjadi berkembang. Ketika mereka diberi satu atau dua contoh untukmengilustrasikan mengapa sebuah prosedur bekerja atau apakah maksud suatu kosep dankemudian bergerak untuk melakukan latihan prosedur atau mengidentifikasi konsep,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 116/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

109

mereka akan mudah gagal dalam belajar. Untuk menjadi ahli, mereka perlu secarakontinyu mengerjakan matematik (doing mathematics)- dalam hal ini melalui problemsolving, penalaran, pengembangan pemahaman, latihan ketrampilan- dan membangun pengaitan antara pengetahuan sebelumnya dengan pengetahuan baru.

I.  Penutup: Pengembangan Proficiency  dalam Pembelajaran Matematika

Kecakapan dalam pembelajaran matematika berkaitan dengan keefektifan; yaknikonsistensi dalam membantu siswa belajar memanfaatkan konsep atau isi matematika.Ini memerlukan kepandaian dalam banyak hal: dapat bekerja secara efektif denganmemperluas keragaman lingkungan yang berbeda dan mengkaitkan berbagai konsepmatematika.

Walaupun mitos umum menyatakan bahwa pembelajaran hanya memberikankontribusi lebih kecil daripada bakat atau seorang guru adalah dilahirkan, namundemikian praktek pembelajaran yang efektif dapat dipelajari. Karena Kecakapanmatematika terjalin dari lima untaian, maka pembelajarannya harus mampumemunculkan kelima untaian tersebut: pemahaman konseptual berkaitan dengan pengetahuan inti matematika, siswa, dan bahan-bahan yang diperlukan dalam

 pembelajaran; kelancaran prosedur dalam melaksanakan langkah-langkah dasar yang bisadilakukan (routin); kompetensi strategis dalam perencanaan pembelajaran dan pemecahanmasalah secara efektif yang muncul dalam pembelajaran; penggunaan nalar dalammenjastifikasi dan menjelaskan suatu kegiatan yang terlihat dalam proses kegiatanmatematika; dan productive disposition terhadap matematika, pembelajaran, pengajaran,dan lingkungan pembelajaran.

Program-program persiapan dan pengembangan professional guru dapatmembantu pemahaman guru terhadap matematika dan dalam mengajarnya, bagaimanasiswanya belajar matematika, dan bagaimana memfasiltasi pembelajarannya. Dalam program ini, guru tidak hanya diberi resep untuk pembelajaran yang siap pakai danmerupakan solusi yang jitu dalam mengantisipasi masalah pembelajaran matematika,tetapi mereka membisaakan mengajar dengan mengacu pada masalah-masalah yangmuncul dalam proses pembelajaran sebelumnya. Kilpatriptric & Swafford (2006)

memberi rekomendasi:The integrated and balanced development of all five strands ofmathematical proficiency should guide the teaching and learning schoolmathematics. Instruction should not be based on extreme position that student learn, on one hand, solely by internalizing what a teacher or book says or, on the other hand, solely by interventing mathematics on theirown.Proses pengembangan kecakapan matematika melalui 5 untaian tersebut akan

memberikan kebermaknaan bagi siswa. Keseluruhan proses matematika yang dilakukanoleh siswa dapat dirasionalisasi sesuai dengan perkembangan kognitifnya. Siswamenggunakan prosedur matematika dengan paham, artinya mengerti mengapa haltersebut digunakan. Jika terdapat hasil penyelesaian yang salah atau ada perhitunganyang tidak tepat, maka dia menyadarinya bahwa hal tersebut tidak mungkin terjadi. Hal

yang demikian dalam matematika disebut metakognisi.

Daftar PustakaBadan Standar Nasional Pendidikan (2006).  Panduan Penyusunan Kurikulum Tingkat

Satuan Jenjang Pendidikan Dasar dan Menengah. Jakarta : BSNP.

Bell, Frederick H., (1978). Teaching and Learning Mathematics (in Secondary Schools). USA : Wm. C. Brown Company Publisher.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 117/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

110

Ernest, Paul, (1991). The Philosophy of Mathematics Education. USA : The Falmer Press.

Kilpatric, J., Swafford, J., & Findell, B., (2001).  Adding It Up. Helping Children Learn Mathematics. USA : National Research Council.

 National Council of Theacher of Mathematics., (1989). Curriculum and EvaluationStandards for School Mathematics. USA : NCTM.

 National Council of Theacher of Mathematics, (2000).  Principles and Standards forSchool Mathematics. USA : NCTM.

Posamentier, Alfred S. & Stepelman, Jay. (1990). Teaching Secondary School Mathematics (Techniques and Enrichment Units). Columbus: Merril PublishingCompany.

Ramaley, Judith A., (2007).  Aims of Mathematics Education. Dalam Assessing Mathematical Proficeincy. Editor : Alan H. Schoenfeld. USA : CambridgeUniversity Press.

Suydam, Marilyn N., (1980). Untangling Clues from Research on Problem Solving. Dalam Problem Solving in School Mathematics, editor Stephen Krulik danRobert E. Reys. USA : NCTM.

Wittmann, Erich CH., (1997).  Mathematics Education as a “ Design Science” dalam Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity. Edited byAnna Sierpinska & Jeremy Kilpatrick. Boston : Kluwer Acdemic Publisher.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 118/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

111

PENINGKATAN KWALITAS PEMBELAJARAN DAN PEMAHAMANSISWA 

PADA KONSEP VOLUME BOLA MELALUI LESSON STUDY  (Kajian terhadap Open Lesson dua siklus kelas IX

 pada Lesson Study Berbasis Sekolah di SMPN 1 Jatigede) 

Drs. Encang Jana, M.Pd Kepala SMPN 1 Jatigede Sumedang

Drs. Asep Syarifhidayat, M.Si. Dosen FPMIPA UPI Jurusan Pend. Matematika, Pembimbing MGMP Wil F

ABSTRAK  Makalah ini mengkaji peningkatan kualitas pembelajaran dan pemahaman siswatentang materi Volume bola di kelas IX SMPN 1 Jatigede melalui lesson study Berbasis Sekolah. Melalui proses dua siklus open lesson  pada kelas yang

 berbeda dengan materi yang sama secara berkelanjutan ini, diperoleh data-datayang menunjukan peningkatan tersebut, antara lain peningkatan perencanaan

 pemberlajaran, proses pembelajaran, yang berupa bahan ajar, kreativitas siswa,dan interaksi siswa, serta peningkatan langkah-langkah pembelajaran dan aktivitasguru. Anlaisa data dilakukan berdasarkan informasi yang disampaikan observermelalui aktivitas refleksi siklus ke-1 dan siklus ke-2. Berdasarkan analisa tersebutdiperoleh kesimpulan bahwa melalui  Lesson Study  terjadi peningkatan kualitas

 pembelajaran pada materi volume bola di kelas IX SMPN 1 Jatigede KabuaptenSumedang.

Kata Kunci : Open Lesson dua Siklus, Perbaikan Kualitas Pembelajaran 

PENDAHULUAN Memahami suatu konsep matematika perlu pemahaman konsep lain

sebagai prasyarat. Artinya memahami konsep matematika tidak bisa loncat-loncat.Banyak peserta didik yang merasa kesulitan untuk memahami matematika,diantaranya karena kurang menyadari pentingnya konsep atau pengetahuan

 prasyarat. Bagaikan seorang anak yang belum bisa berjalan disuruh untukmengikuti lomba lari. Apa yang terjadi? Ia akan terinjak-injak oleh peserta laindan bukan suatu hal yang mustahil suatu saat ia akan membenci dan tidak maulagi berurusan dengan yang namanya lomba lari. Pemahaman konsep sebagai

 prasyarat untuk memahami konsep selanjutnya merupakan hal yang tidak dapatditawar lagi.

Mencermati masalah di atas pendidik saat ini dapat digolongkan pada duakelompok besar; pertama pendidik yang suka merefleksi pembelajarannya dan

yang kedua adalah pendidik sering menyalahkan peserta didiknya. Kelompok pertama berpikir; mengapa konsep tertentu sukar dikuasai peserta didik dan berusaha untuk memperbaiki pembelajarannya. Kekurangan pada pembelajaranyang telah lalu diminimalisir pada pembelajaran berikutnya. Demikian seterusnya,sehingga pembelajaran yang dilaksanakan makin baik kualitasnya.

Kelompok kedua akan terus melanjutkan pembelajaran ke pembelajaranselanjutnya dengan mengabaikan kesulitan yang dialami peserta didiknya.Mereka beranggapan bahwa bila peserta didik kurang memahami konsep, hal itu

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 119/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

112

semata-mata diakibatkan oleh kesalahan peserta didik itu sendiri yang belajarnyatidak benar, tidak serius dan intelegensinya rendah. Akibat dari kelompok keduaini dapat kita bayangkan; pembelajaran matematika akan makin menyulitkan

 peserta didik. Mereka akan tidak senang akan matematika, belajar matematika penuh dengan keterpaksaan bahkan akan membencinya. Matematika akan menjadi

 beban dipundak peserta didik yang memungkinkan prestasi mereka dalammatematika kurang atau bahkan tidak bisa diharapkan lagi.

Kelompok pertama adalah kelompok yang peduli pada proses pembelajaran. Mereka memikirkan bagaimana meningkatkan kualitas proses pembelajaran. Menganalisa proses pembelajaran untuk meningkatkan proses pembelajaran yang akan datang. Setiap saat menciptakan perubahan untukmewujudkan pembelajaran yang lebih baik. Bagaimana menyusun rencana

 pembelajaran yang sesuai, bagaimana melaksanakan pembelajaran yang membuat peserta didik berpikir dan belajar dan merefleksi proses pembelajaran yang telahterjadi. Setiap saat berpikir untuk menciptakan pembelajaran yang lebih baik, danlebih baik lagi. Dalam benak mereka selalu ada pembelajaran yang lebih baik dari

 pembelajaran yang telah mereka dilakukan. Bagi mereka tidak ada istilah

 pembelajaran yang terbaik.Bagaimana untuk mengubah kelompok kedua menjadi kelompok pertama

dan meningkatkan kualitas kelompok pertama supaya lebih baik lagi, perlu adanya pembinaan pendidik yang menyeluruh. Pembinaan tidak hanya pada proses pembelajaran, melainkan mulai pada proses perencanaan, kemudian pelaksanaandan diteruskan kepada refleksi pembelajaran. Dilaksanakan secara terus menerusdan bersama-sama, sehingga terjadi lingkungan yang saling belajar.

KAJIAN TEORI Lesson Study  merupakan model pembinaan profesi pendidik melalui

 pengkajian pembelajaran secara kolaboratif dan berkelanjutan berlandaskan prinsip-prinsip kolegalitas dan mutual learning   untuk membangun komunitas belajar. Pembinaan profesi pendidik melalui pengkajian pembelajaran artinya pembinaan berdasarkan masalah nyata sehari-hari yang terjadi di dalam kelas.Masalahnya akan berbeda antara suatu daerah dengan daerah lainnya. Secarakolaboratif dan berkelanjutan berarti dikerjakan secara bersama-sama, salingmendukung dan dilaksanakan terus menerus (improvement continuous).Berlandaskan prinsip-prinsip kolegalitas dan mutual learning , artinya tidakdikenal aku senior dan anda yunior,  siapapun dapat berperan sebagai pendidikmodel dalam suatu waktu dan menjadi pengamat di lain waktu. Diantara pendidikterjadi saling belajar terutama ketika melaksanakan open class. Membangunkomunitas belajar artinya membangun masyarakat (pendidik, kepala sekolah,

 pengawas, dosen, pakar, dan dinas terkait) yang berusaha terus menerus

 bagaimana meningkatkan kualitas pembelajaran. Lesson study  dilaksanakan dalam tiga tahapan, yaitu:  plan (merencanakan), do(melaksanakan), dan  see (refleksi). Pertama   tahap perencanaan ( plan) dimulaidengan melakukan identifikasi masalah pembelajaran, yang meliputi; materi ajar,teaching material   (hands-on), strategi pembelajaran dan menentukan siapa yangakan berperan menjadi pendidik model. Analisis materi ajar perludipertimbangkan kedalaman materi ditinjau dari tuntutan kurikulum, latar

 belakang pengetahuan dan kemampuan peserta didik, kompetensi yang

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 120/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 121/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

114

sebelumnya. dengan cara demontrasi guru model pada awal pembelajaranmenyuruh siswa untuk menunjakan diameter bola. Pada siklus kedua sesuaianjuran dari para observer, kepada siswa djelaskan pula bola secar penuh sehingga

 pemahaman konsep volume bola dapat ditangkap secara utuh.Pemahaman utuh mengenai volume bola ini membuat interaksi dalam

kelompok ketika mengerjakan LKS lebih menarik. Pada siklus kedua, Interaksidalam kelompok dipicu juga oleh adanya penjelasan terlebih dahulu pada LKS,sehingga siswa langsung dapat bekerja, tidak seperti pada siklus pertama dimanaawal-awalnya siswa ragu untuk mengerjakan LKS dan berdiskusi karena belummemahami LKS, dan baru bisa bekerja setelah ada penjelasan dari guru padasetiap kelompok.

Teknik bertanya dari guru model yang lebih bervasiasi pada siklus keduamembuat pembelajaran lebih aktif, sehingga siswa lebih berani menjawabwalaupun ada beberapa siswa yang salah menjawab tapI berani untukmengacungkan lagi tanganya pada pertanyaan-pertanyaan berikutnya. Dengan

 banyaknya siswa yang berani menjawab pertanyaan guru model pada sikluskedua, makin banyak pula siswa yang berani bertanya pada guru, bila mereka

mengalami kesulitan dalam belajar bila dibandingkan dengan siklus pertama. Halitu menunjukan bahwa siswa lebih memahami materi yang diajarkan.

Peningkatan pemahaman siswa pada siklus yang kedua, dapat pula dilihatdari jawaban siswa yang lebih beragam. Jika pada open lesson pertama hanya adadua bentuk variasi yang berbeda, pada siklus kedua, sampai terjadi 3 variasi

 jawaban yang berbeda (lihat gambar). Hal lain yang dapat menunjukan peningkatan tersebut, yaitu pada siklus kedua lebih banyak kelompok yang dapatmenyelesaikan pekerjaannya tepat waktu, dan lebih banyak siswa yang menjawabdengan benar evaluasi pada akhir pembelajaran.

Dari segi langka-langkah pembelajaran, perbaikan pada siklus kedua adalah pendahuluan yang lebih kongkrit, presentasi siswa lebih efektif dan terkelolasecara baik, karena hanya dua kelompok yang presentasi ke depan dan kelompoklainnya telah selesai mengerjakan tugasnya, sehingga himbauan guru untukmemperhatikan presentasi temanya dapat dilaksanakan oleh siswa lainya. Hallainya adalah pengambailan kesimpulan pembelajaran yang dilakukan sebelumsiswa diberi soal evaluasi, tidak seperti pada siklus pertama, dimana kesimpulandilakaukan setelah siswa mengerjakan soal evaluasi, sehingga banyak siswa yanglebih faham lagi dalam mengerjakan soal evaluasi. Akibatnya waktu lebih effektifdan pembelajaran dapat selesai tepat waktu.

Perubahan-perubahan pada siklus kedua seperti yang dijelaskan di atas,sebaian besar berdasarkan pada usulan-usulan para observer melalui prosesrefelksi  pertama, yang kemudian diramu lagi oleh guru model sendiri sehinggamenghasilkan perbaikan-perbaikan untuk pembelajaran pada siklus kedua. Hal-

hal yang masih dipertahankan pada siklus kedua adalah pengelompokan siswayang tetap berjumlah 4 orang. Akan tetapi, pada siklus kedua lebih merata dalam pembagian kelompok berdasarkan jender, karena keadaan kelasnya yang lebihmemungkinkan. Perubahan denah duduk pada pada siklus kedua seharusnyamemungkinkan siswa dapat berdiskusi antar kelompok, akan tetapi hal itudirasakan oleh beberapa observer tidak terjadi.

Adapun temuan-temuan lain yang didapatkan dari kedua pembelajarantersebut yang harus segera diupayakan perbaikannya oleh pihak sekolah secara

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 122/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

115

keseluruhan, untuk semua pembelajaran, yaitu adanya kendala pada pengelompokan siswa yang harus ditindaklanjuti oleh walikelas dan guru BPsupaya keadaan kelas lebih kondusip untuk belajar. Seperti adanya siswa yangmembutuhkan perhatian lebih dari guru-guru karena diindikasikan siswa tersebutsering tidak konsentrasi dan mengganggu teman-temannya, padahal diharapkan

siswa tersebut akan berubah, sekiranya mendapat perhatian lebih. Hal itu dapatdilihat dari kelakuan siswa tersebut yang selalu mengatakan “apa kata dunia” jikamerasa benar dalam menjawab pertanyaan.

KESIMPULANPelaksanaan pembelajaran dengan pola lesson study  membawa pengaruh pada

 perbaikan kualitas rencana pelaksanaan pembelajaran dan perbaikan kualitas pelaksanaan pembelajaran. Hal ini terjadi akibat refleksi yang dilaksanakansetelah pembelajaran berlangsung. Proses ini harus terus menerus dilaksanakankarena tidak ada pembelajaran yang sempurna, tetapi yang ada adalah

 pembelajaran yang lebih baik, lebih baik dan lebih baik.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 123/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

116

PERBAIKAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA KELAS VIIMATERI OPERASI PENJUMLAHAN ALJABAR

MELALUI LESSON STUDY  (Kajian terhadap Open Lesson dua siklus kelas VII

 pada Lesson Study berbasis MGMP di SMPN 2 Ujungjaya) 

Sofwan Gozali Peserta Lesson Study Berbasis MGMP Wilayah F Tomo

Asep Syarif Hidayat Dosen FPMIPA UPI Jurusan Pend. Matematika, Pembimbing MGMP Wil F

ABSTRAK  Makalah ini mengkaji perbaikan pembelajaran pada dua kelas yang berbedadengan materi operasi penjumlahan aljabar di kelas VII SMPN 2 Ujungjaya.Melalui proses dua siklus open lesson yang berkelanjutan ini diperoleh data-datayang menunjukan peningkatan tersebut, antara lain peningkatan perencanaan

 pemberlajaran, proses pembelajaran yang berupa kualitas apersepsi, LKS,

 pemahaman dan interaksi siswa, serta peningkatan langkah-langkah pembelajarandan aktivitas guru. Anlaisa data dilakukan berdasarkan informasi yangdisampaikan observer melalui aktivitas refleksi siklus ke-1 dan siklus ke-2.Berdasarkan analisa tersebut diperoleh kesimpulan bahwa melalui  Lesson Study terjadi peningkatan kualitas pembelajaran pada materi operasi penjumlahanaljabar di kelas VIIX SMPN 2 Ujungjaya Kabuapten Sumedang.

 Kata Kunci: Lesson Stidy berbasis MGMP, Open Lesson dua Siklus 

Semenjak lesson study  diperkenalkan di Kabupaten Sumedang melaluiProgram SISSTEMS sekitar tahun 2006 telah terlihat perubahan pembelajaranyang dilaksanakan di sekolah-sekolah khususnya tingkat SMP. Di wilayah FSMPN 1 Tomo yang terdiri dari 12 SMP dan MTs, telah memperlihatkan

 peningkatan kualitas pembelajaran sedikit demi sedikit. Peningkatan tersebutantara lain pembelajaran semakin berpusat pada siswa, kulaitas RPP meningkat,LKS dibuat oleh guru bersangkutan, metode pembelajaran yang makin variatifdan kreatif, hak semua siswa untuk memperoleh pengajaran makin meningkat,dan lain sebaginya. Menurut hasil penelitian LPMP Jawa Barat tahun 2008, salahsatu anggota di Wilayah F yaitu SMPN 1 Jatigede merupakan sekolah terbaik diKabupaten Sumedang pada katagori Standar Proses sehingga memperolehProgram Pendampingan LPMP selama tiga tahun.

Pada saat perubahan program pelaksanaan  Lesson Study dari SISSTEMS  kePELITA, terjadi pula perubahan pendekatan pelaksanaan  Lesson Study dari satukali Open Lesson  ( Plan, Do, dan See) ke dua kali Open Lesson  ( Plan, Do, See-

 Plan, Do, See). Perubahan ini memberikan dampak yang lebih terlihat terhadap peningkatan mutu pembelajaran. Hal itu segera diadovsi oleh Lesson StudyBerbasis MGMP di Wilayah kami.

PENDAHULUAN

Kemampuan siswa memahami konsep matematika yang rendah, selaludikeluhkan oleh sebagian besar guru matematika. Guru yang tidak professional

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 124/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

117

menyikapi hal tersebut dengan cara menerima apa adanya bahwa konsepmatematika itu susah dibandingkan dengan mata pelajaran lain, lebih parah lagi

 bila guru menyalahkan kemapun siswa yang rendah. Apabila guru mampumereflleksikan setiap pembelajaran, menyalahkan hal-hal yang ada diluar guru itumungkin dapat dicegah. Refleksi adalah cara terbaik untuk meningkatkan

 pembelajaran. Refleksi dapat dilakukan secara individu, dengan kolega di sekolahatau melalui diskusi dengan sesama guru di tingkat yang lebih tinggi.

 Lesson study adalah proses guru merefleksi pembelajaran sehingga mampumeningkatkan kualitas pembelajarannya pada tahap selanjtnya. Makalah inimengkaji peningkatan mutu pembelajaran matematika di kelas VII materi OperasiPenjumlahan Aljabar, dengan guru model Ibu Enung Sri Kania, S.Si di SMPN 2Ujungjaya Kabupaten Sumedang. Kegiatan ini dilakukan melalui open lesson duasiklus sehingga peningkatan kualitas pembelajaranya lebih terlihat. Open lesson 

 pertama dilakukan di kelas VII A, kemudian direkomendasikan perubahan- perubahan berdasrkan pada repleksi pertama untuk perbaikan pada open lesson kedua di kelas VII B dengan materi yang sama tetapi RPP dan LKS hasil

 perubahan. Melalui proses refelksi ke dua dapat dilihat peningkatan-penginkatan

kualitas pembelajaran yang terjadi. Adapun perbaikan yang terjadi, menurut paraobserver   antara lain meliputi peningkatan bahan ajar, aktivias siswa, interaksisiswa, seting kelas, langkah-langkah pembelajaran dan aktivitas siswa. Selain itu,melalui kedua refleksi tersebut dikemukakan temuan mengenai kondisi beberapasiswa yang membutuhkan perhatian khusus dari semua guru supaya semua siswadapat memperoleh pendidikan yang dibutuhkannya.

KAJIAN TEORI

 Lesson Study merupakan salah satu upaya untuk meningkatkan proses danhasil pembelajaran yang dilaksanakan secara kolaboratif dan berkelanjutan olehsekelompok guru. Tujuan utama  Lesson Study  yaitu untuk : (1) memperoleh

 pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana siswa belajar dan guru mengajar;(2) memperoleh hasil-hasil tertentu yang bermanfaat bagi para guru lainnya dalammelaksanakan pembelajaran; (3) meningkatkan pembelajaran secara sistematismelalui inkuiri kolaboratif. (4) membangun sebuah pengetahuan pedagogis,dimana seorang guru dapat menimba pengetahuan dari guru lainnya. Manfaatyang yang dapat diambil  Lesson Study, diantaranya: (1) guru dapatmendokumentasikan kemajuan kerjanya, (2) guru dapat memperoleh umpan balikdari anggota lainnya, dan (3) guru dapat mempublikasikan dan mendiseminasikanhasil akhir dari Lesson Study. Lesson Study dapat dilakukan melalui dua tipe yaitu

 berbasis sekolah dan berbasis MGMP.  Lesson Study  dilakukan berdasarkantahapan-tahapan secara siklik, yang terdiri dari: (1) perencanaan ( plan); (b)

 pelaksanaan (do); refleksi (check); dan tindak lanjut (act ). Lesson Study  bukanlah suatu strategi atau metode dalam pembelajaran,tetapi merupakan salah satu upaya pembinaan untuk meningkatkan proses

 pembelajaran yang dilakukan oleh sekelompok guru secara kolaboratif dan berkesinambungan, dalam merencanakan, melaksanakan, mengobservasi danmelaporkan hasil pembelajaran.  Lesson Study bukan sebuah proyek sesaat, tetapimerupakan kegiatan terus menerus yang tiada henti dan merupakan sebuah upayauntuk mengaplikasikan prinsip-prinsip dalam Total Quality Management , yakni

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 125/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

118

memperbaiki proses dan hasil pembelajaran siswa secara terus-menerus, berdasarkan data.  Lesson Study  merupakan kegiatan yang dapat mendorongterbentuknya sebuah komunitas belajar (learning society) yang secara konsistendan sistematis melakukan perbaikan diri, baik pada tataran individual maupunmanajerial. Slamet Mulyana (2007) memberikan rumusan tentang  Lesson Study 

sebagai salah satu model pembinaan profesi pendidik melalui pengkajian pembelajaran secara kolaboratif dan berkelanjutan berlandaskan pada prinsip- psrinsip kolegalitas dan mutual learning   untuk membangun komunitas belajar.Sementara itu, Catherine Lewis (2002) menyebutkan bahwa:

“lesson study is a simple idea. If you want to improve instruction, whatcould be more obvious than collaborating with fellow teachers to plan, observe,and reflect on lessons? While it may be a simple idea, lesson study is a complex

 process, supported by collaborative goal setting, careful data collection on student learning, and protocols that enable productive discussion of difficultissues”. 

Bill Cerbin & Bryan Kopp mengemukakan bahwa Lesson Study memiliki 4

(empat) tujuan utama, yaitu untuk : (1) memperoleh pemahaman yang lebih baiktentang bagaimana siswa belajar dan guru mengajar; (2) memperoleh hasil-hasiltertentu yang dapat dimanfaatkan oleh para guru lainnya, di luar peserta  LessonStudy; (3) meningkatkan pembelajaran secara sistematis melalui inkuirikolaboratif. (4) membangun sebuah pengetahuan pedagogis, dimana seorang gurudapat menimba pengetahuan dari guru lainnya.

METODOLOGI Materi operasi penjumlahan aljabar ini belum dipahami dengan baik oleh

siswa walaupun hal itu biasa mereka temukan dalam kehidupan sehari-hari,terbukti masih banyak siswa yang tidak mampu mengoperasikan pada bentukaljabar sederhana sekalipun, hal itu terjadi baik dikelas VII A mapun di kelas VIIB.. Pada siklus pertama siswa didril pemahaman mengenai operasi bilangan bulat

 pada awal pembelajaran. Pada siklus kedua selain cara tersebut, siswa diajak berpikr secara konkret dengan cara guru model memperlihatkan buah jeruk dan buah salak untuk pendekatan penjulahan suku sejenis dan tak sejenis.

Demontrasi operasi penjumlahan melalui hal yang konkret memicu siswauntuk meneliti lebih jauh, sehingga interaksi dalam kelompok ketika mengerjakanLKS lebih menarik. Pada siklus kedua, Interaksi dalam kelompok dipicu jugaoleh adanya penjelasan terlebih dahulu pada LKS, sehingga siswa langsung dapat

 bekerja, tidak seperti pada siklus pertama dimana awal-awalnya siswa ragu untukmengerjakan LKS dan berdiskusi karena belum memahami LKS, dan baru bisa

 bekerja setelah ada penjelasan dari guru pada setiap kelompok.

Media yang digunakan pada siklus pertama dan kedua tidak terlalu jauh berbeda, yakni menggunkan kertas kecil dengan warna berbeda untuk variable berbeda, namun pada siklus kedua atas usulan observer pada refleksi pertama,setiap kertas warna diberi label positif dan negative serta menggunakan warna

 putih untuk variable.Teknik bertanya dari guru model yang lebih bervasiasi pada siklus kedua

membuat pembelajaran lebih aktif, sehingga siswa lebih berani menjawabwalaupun ada beberapa siswa yang salah menjawab tapi berani untuk

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 126/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

119

mengacungkan lagi tanganya pada pertanyaan-pertanyaan berikutnya. Dengan banyaknya siswa yang berani menjawab pertanyaan guru model pada sikluskedua, makin banyak pula siswa yang berani bertanya pada guru, bila merekamengalami kesulitan dalam belajar bila dibandingkan dengan siklus pertama. Halitu menunjukan bahwa siswa lebih memahami materi yang diajarkan.

Peningkatan pemahaman siswa pada siklus yang kedua, dapat pula dilihatdari jawaban siswa yang lebih beragam. Jika pada open lesson pertama hanya adadua bentuk variasi yang berbeda, pada siklus kedua, sampai terjadi 3 variasi

 jawaban yang berbeda). Hal lain yang dapat menunjukan peningkatan tersebut,yaitu pada siklus kedua lebih banyak kelompok yang dapat menyelesaikan

 pekerjaannya tepat waktu, dan lebih banyak siswa yang menjawab dengan benarevaluasi pada akhir pembelajaran.

Dari segi langka-langkah pembelajaran, perbaikan pada siklus kedua adalah pendahuluan yang lebih kongkrit, presentasi siswa lebih efektif dan terkelolasecara baik, karena hanya dua kelompok yang presentasi ke depan dan kelompoklainnya telah selesai mengerjakan tugasnya, sehingga himbauan guru untukmemperhatikan presentasi temanya dapat dilaksanakan oleh siswa lainya. Hal

lainya adalah pengambailan kesimpulan pembelajaran yang dilakukan sebelumsiswa diberi soal evaluasi, tidak seperti pada siklus pertama, dimana kesimpulandilakaukan setelah siswa mengerjakan soal evaluasi, sehingga banyak siswa yanglebih faham lagi dalam mengerjakan soal evaluasi. Akibatnya waktu lebih effektifdan pembelajaran dapat selesai tepat waktu.

Perubahan-perubahan pada siklus kedua seperti yang dijelaskan di atas,sebaian besar berdasarkan pada usulan-usulan para observer melalui prosesrefelksi  pertama, yang kemudian diramu lagi oleh guru model sendiri sehinggamenghasilkan perbaikan-perbaikan untuk pembelajaran pada siklus kedua. Hal-hal yang masih dipertahankan pada siklus kedua adalah pengelompokan siswayang tetap berjumlah 4 orang. Akan tetapi, pada siklus kedua lebih merata dalam

 pembagian kelompok berdasarkan jender, karena keadaan kelasnya yang lebihmemungkinkan. Perubahan denah duduk pada pada siklus kedua seharusnyamemungkinkan siswa dapat berdiskusi antar kelompok, akan tetapi hal itudirasakan oleh beberapa observer tidak terjadi.

Adapun temuan-temuan lain yang didapatkan dari kedua pembelajarantersebut yang harus segera diupayakan perbaikannya oleh pihak sekolah secarakeseluruhan, untuk semua pembelajaran, yaitu adanya kendala pada

 pengelompokan siswa yang harus ditindaklanjuti oleh walikelas dan guru BPsupaya keadaan kelas lebih kondusif untuk belajar. Seperti adanya siswa yangmembutuhkan perhatian lebih dari guru-guru karena diindikasikan siswa tersebutsering tidak konsentrasi dan mengganggu teman-temannya, padahal diharapkansiswa tersebut akan berubah, sekiranya mendapat perhatian lebih.

Adapun yang menjadi pencerahan bagi kami guru-guru matematika diwilayah F SMPN 1 Tomo adalah penjelasan dari dosen Pembina dari UPI yaitumengenai konsep expresi yang berbeda dengan pengertian Varabel. Semntara ini

 biasanya kami menganggap bahwa expresi itu varaibel yang berbeda. Kemudian penggunaan pendekatan sebuah benda untuk mengganti varabel ternyata dapatmenyesatkan siswa jika tanpa penjelasan yang lebih lanjut. Seperti konsep 2m +4m digunakan pendekatan 2 mangga + 4 mangga menjadi 6 mangga. Dan semua

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 127/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

120

 penjelasan itu baru kami (guru-guru matematika SMP) dapatkan pada acararefleksi tersebut.

PEMBAHASAN DAN SARANTidak ada pembelajaran yang sempurna, akan tetapi peningkatan mutu

 pembelajarn yang harus terus diupayakan. Maka melalui open lesson  dua siklusini dapat terlihat terjadinya peningkatan mutu pembelajaran pada mata pelajaranmatematika kelas VII SMPN 1 Jatigede tentang materi layang-layang. Indikasiterjadinya peningkantan tersebut berdasarkan pada pendapat para observer yangmelihat adanya perubahan-perubahan pada siklus yang kedua sehingga siswa lebihdapat memahami materi pelajaran yang ditunjukan dengan makin beragamnya

 jawaban siswa, makin banyaknya siswa yang aktif bertanya dan makin banyaksiswa yang dapat menyelesikan soal evaluasi dengan baik dibandingkan denganopen lesson siklus pertama.

Menurut para observer, peningkatan mutu pembelajaran pada siklus keduaantara lain; setting kelas makin baik sehingga siswa makin aktif dan mudah

 berdiskusi kelompok, pembukaan lebih menarik sehingga siswa tertantang untuk

 belajar, materi ajar yang berupa LKS, dengan penjelasan yang cukup dan alat peraga lebih menarik sehingga makin memudahkan siswa untuk memahi pelajaran, dan teknik bertanya guru lebih bervariasi sehingga membuat siswa tidaksegan untuk menjawab pertanyaan guru walaupun jawabanya belum tentu benar.Perubahan-perubahan pada siklus kedua tersebut sebagian besar berdasarkan padahasil refleksi para observer  pada open lesson pertama. Walaupun ada beberapa hallain yang berasal dari guru model sendiri, seperti tampilan guru yang lebih tenangdan humoris, warna alat peraga lebih menarik dengan menggunakan skotlite,selalu menyuruh siswa mengulangi jawabannya bila tidak terdengar oleh temanya,dan membantu kelompok yang ketinggalan.

Dari uraian diatas penulis sarankan hal-hal sebagai berikut: Untukmembantu siswa memahami sesuatu, guru harus mulai dari hal-hal yang kongkrit.Untuk meningkatkan mutunya, guru harus mengikuti lesson study  berbasisMGMP sekaligus berbasis Sekolah. Jika memungkinkan laksanakan Open lesson dua siklus supaya peningkatan kualitas pembelajaran dapat dilakukan oleh guru-guru secara kolaboratif dan berkelanjutan.

DAFTAR PUSTAKA Depdiknas, JICA, IDCJ, 2008, “Buku Petunjuk Guru untuk Pembelajaran yang

lebih baik”, Edisi Pertama.

Yaya Kusumah, 2005, “ Peningkatan Profesionalisme Guru Mathematica melalui IT-Based Teaching dan Implementasi On-Service Lesoon Study”, Makalah

 pada Seminar Nasional Mathematical, UPI.

Sumarno Joko, 2006, ”Upaya Peningkatan hasil belajar matematika melalui pembelajaran dengan teknik ‘Berpikir Berpasangan Berempat’ bagi siswakelas VII B SMP Negeri 2 Bobotsari”,  Jurnal Pendidikan Widya Tama Vol. 3 (4).

Wikipedia.2007. Lesson Study. Online: http://en.wikipedia.org/wiki/Lesson_study  Lesson Study untuk Meningkatkan Proses dan Hasil Pembelajaran:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 128/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 129/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

122

hingga dewasa ini masih didominasi guru dan kurang memberikan akses bagi siswa untuk berkembang secara mandiri melalui belajar yang mengutamakan penemuan.

Dengan pembelajaran yang lakukan oleh guru-guru matematika kita dewasaini, mutu pembelajaran matematika di Indonesia kurang memuaskan. Di tingkatnasional, batas kelulusan matematika pada ujian nasional masih di bawah batas

kewajaran, yaitu masih kurang dari 6,0. Selanjutnya di tingkat internasional, menuruthasil penelitian Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS)terhadap siswa SMP tahun 2007, Indonesia berada pada urutan 36 dari 48 negara pesertauntuk bidang matematika, dengan nilai rata-rata 397.

Sehubungan dengan permasalahan yang telah dikemukakan, kita perlu mencarisuatu pembelajaran yang dapat mengakomodir tujuan pembelajaran matematika. Olehkarena itu, dalam makalah ini penulis mencoba memaparkan suatu PembelajaranBersasarkan pada Pengembangan ZPD Siswa, yaitu Pembelajaran Analitik-SintetikIntervensi Konvergen (PASIK) atau Pembelajaran Analitik Sintetik Intervensi Divergen(PASID).

B.  Teori Belajar1.  Teori Belajar PiagetJean Piaget adalah salah seorang penemu teori belajar perkembangan kognitif

yang termasuk pada aliran teori belajar konstruktivisme. Salah satu implikasi dari teori belajar tersebut terhadap pembelajaran adalah anak harus membangun sendiri pengetahuan barunya melalui pengalaman-pengalaman yang sudah dimilikinya. MenurutPiaget (dalam Ruseffendi, 1988), perkembangan kognitif anak akan melalui empat tahapyang sama, yaitu (1) tahap sensori motor, (2) tahap preoperasi kongkrit, (3) tahap operasikongkrit, dan (4) tahap operasi formal. Namun kecepatan perkembangan kognitif setiapanak akan berbeda-beda, kecepatan tersebut sebagian besar tergantung pada seberapa jauhanak memanipulasi dan aktif berinteraksi dengan lingkungan. Dengan demikian, peranguru dalam pembelajaran adalah sebagai fasilitator, guru harus menciptakan lingkungan belajar yang kondusif sehingga anak akan lancar dalam menghubungkan pengetahuan

yang sudah dikuasainya dengan pengetahuan baru yang akan diperolehnya. Karli dan Yuliariatiningsih (2003) menyatakan bahwa perolehan pengetahuansiswa diawali dengan diadopsinya hal baru sebagai hasil interaksi dengan lingkungannya.Selanjutnya, hal baru tersebut dibandingkan dengan pengetahuan siap yang telahdimilikinya. Jika hal yang baru tidak sesuai dengan pengetahuan siapnya, maka akanterjadi konflik kognitif yang mengakibatkan adanya ketidakseimbangan dalam strukturkognitif siswa (skemata). Untuk terjadinya keseimbangan diperlukan adanya adaptasiantara pengetahuan baru dengan pengetahuan siap siswa yang melalui proses akomodasi(penyusunan struktur kognitif siswa yang diakibatkan adanya pengetahuan baru) danasimilasi (penyerapan informasi baru dalam kognisi siswa). Melalui proses akomodasidalam kegiatan pembelajaran, siswa dapat memodifikasi struktur kognisinya menujukeseimbangan sehingga terjadi asimilasi. Proses akomodasi dan asimilasi akan cepatterjadi jika dalam pembelajaran siswa diberikan kesempatan untuk bereksplorasi.

Misalkan pada seorang anak telah terbentuk skemata fungsi linear, yaitu pengertian fungsi linear, domain dan daerah hasil fungsi linear, dan grafik fungsi linear.Selanjutnya anak tersebut diperkenalkan dengan fungsi kuadrat. Karena pengetahuananak yang sudah terbentuk dalam skematanya adalah fungsi linear, maka skemata anaktersebut tidak cocok dengan fungsi kuadrat. Oleh karena itu anak akan mengalamiketidakseimbangan (disequilibrium). Agar skemata tentang fungsi kuadrat tersebut dapatterbentuk, maka skemata tentang fungsi linear yang telah dimiliki anak direstrukturisasisehingga pengetahuan tentang fungsi kuadrat dapat diakomodasi dan selanjutnya

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 130/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

123

diasimilasi dan diadaptasi, sehingga anak akan mengalami keseimbangan (equilibrium).Akhirnya terbentuklah skemata baru pada anak tersebut berupa pengetahuan baru yaitufungsi kuadrat. Untuk lebih jelasnya, skema proses perolehan pengetahuan baru dapatdilihat pada Gambar 1.

Berdasarkan pada teori perkembangan kognitif Piaget, maka dalam kegiatan pembelajaran harus diperhatikan hal-hal sebagai berikut :(1). Piaget (dalam Budiningsih, 2005), mengatakan bahwa perolehan kecakapanintelektual akan berhubungan dengan proses mencari keseimbangan antara apa yangmereka rasakan dan ketahui pada satu sisi dengan apa yang mereka lihat sebagai suatufenomena baru melalui proses asimilasi dan akomodasi. Oleh karena itu dalam pembelajaran perlu menata pengetahuan baru yang akan diperoleh anak sehingga berbentuk suatu masalah yang akan memicu terjadinya konflik kognitif.

Gambar 1. Skema Perolehan Pengetahuan Baru

Hal Baru(Hasil Interaksi Dua Arah antara Siswa dengan Lingkungan)

Skema

Dibandingkan dengan Konsepsi Awal

TidakCocok

Cocok

Intervensi dari

GuruAkomodasi Asimilasi

Ketidakseimbangan

Mengerti

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 131/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 132/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

125

Gambar 2. Skema ZPD pada Suatu Pembelajaran

Pada tahap 2, setelah dibantu oleh pihak lain yang lebih dewasa, selanjutnya anakakan terdorong untuk menyelesaikan masalah tersebut secara mandiri dan bekerja secaraindependen.Pada tahap 3, penyelesaian masalah sudah terinternalisasi dan terotomatisasi, anak tidakmemerlukan bantuan dari pihak lain. Anak dapat menyelesaikan masalah yang serupadengan lancar.Pada tahap 4,  jika diberikan masalah baru, anak menyelesaiakan masalah baru tersebut

dengan menggunakan cara-cara seperti pada tahap 1 sampai dengan tahap 3.

3.  Teori Belajar dari BrunerMenurut Bruner (dalam Ruseffendi, 1988), terdapat empat dalil yang berkaitan

dengan pembelajaran matematika. Keempat dalil tersebut adalah (1) dalil penyusunan,(2) dalil notasi, (3) dalil pengkontrasan dan keanekaragaman, dan (4) dalil pengaitan.

Dalil penyusunan menyatakan bahwa cara terbaik bagi siswa untuk memulai belajar konsep dan prinsip dalam matematika adalah dengan mengkonstruksi sendirikonsep dan prinsip yang dipelajari itu. Ketika siswa mengalami kesulitan mendefinisikansuatu konsep, seyogyanya guru memberikan bantuan secara tidak final sehingga bentukakhir dari konsep ditemukan oleh siswa sendiri. Misalkan seorang guru akanmenyampaikan konsep daerah hasil fungsi kuadrat. Jika guru tersebut berpedoman padadalill penyusunan dari Bruner, maka guru tersebut akan memberikan masalah-masalah

khusus yang berkaitan dengan daerah hasil fungsi kuadrat. Masalah-masalah khusustersebut kemudian diselesaikan oleh anak dengan bantuan secara tidak langsung dantidak final. Selanjutnya dengan menggunakan cara-cara yang sama, anak dimotivasiuntuk menemukan daerah hasil fungsi kuadrat dalam bentuk umum.

Dalil notasi menyatakan bahwa notasi matematika yang digunakan harusdisesuaikan dengan tingkat perkembangan mental anak (enaktif, ikonik, dan simbolik).Kita dapat memilih notasi y = 2x + 3 untuk anak SMP dari pada notasi f(x) = 2x + 3.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 133/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

126

Dalil pengkontrasan dan keaneragaman menyatakan bahwa suatu konsep harusdikontraskan dengan konsep lain dan harus disajikan dengan contoh-contoh yang bervariasi. Misalnya, konsep bilangan ganjil dikontraskan dengan bilangan genap, penyajian lingkaran senggunakan roda sepeda, permukaan piring dan sebagainya.

Dalil pengaitan menyatakan bahwa agar anak berhasil dalam belajar matematika,anak tersebut harus diberikan kesempatan untuk mengaitkan antara suatu konsep dengankonsep lain, antara suatu topik dengan topik lain, antara suatu cabang matematika dengancabangan cabang matematika lain. Misalnya, terdapat kaitan antara konsep fungsi kuadratdengan konsep jarak dari sebuah titik ke sebuah garis. Jarak dari sebuah titik ke sebuahgaris secara analitik dapat dicari dengan menggunakan konsep fungsi kuadrat.

C.  Pembelajaran Analitik SintetikAnalitik-sintetik dapat dipandang sebagai pendekatan dan metode pembelajaran.

Menurut Rusefendi (1988), pendekatan analitik adalah cara menyelesaikan soal dimulaidari yang tidak diketahui, sedangkan pendekatan sintetik adalah cara menyelesaikan soaldimulai dari yang diketahui. Sedangkan menurut Hudoyo (2001), metode analitik adalahcara menyelesaikan masalah dimulai dari yang tidak diketahui, mencari hubungan antarayang tidak diketahui dengan yang diketahui, memikirkan langkah-langkah

 penyelesaiannya, akhirnya mendapatkan hasil yang dikehendaki. Sementara metodesintetik merupakan lawan dari metode analitik.Selain itu, analitik-sintetik dapat pula dipandang sebagai kegiatan yang

menampilkan aktivitas siswa dalam proses pembelajaran. Munandar (1999), mengatakan bahwa kegiatan analitik adalah kegiatan yang menampilkan aktivitas siswa dalam halmembedakan, menguji, menggolongkan, menyususn, menguraikan, membandingkan,membuat deduksi, dan memeriksa. Sementara kegiatan sintetik meliputi merancang,menggabungkan, menambah, membangun, mengembangkan, mengelola, merencanakan,mengusulkan, dan membuat hipotesis. Hal senada dikemukakan pula oleh Sternberg(2002), yang menyatakan bahwa kegiatan analitik adalah kegiatan yang menampilkanaktivitas siswa dalam hal menganalisis, mengevaluasi, menjelaskan, membandingkan danmengkontraskan, dan mempertimbangkan nilai. Sementara kegiatan sintetik adalahkegiatan yang menampilkan aktivitas siswa dalam hal menciptakan, menemukan,

menyelidiki, membayangkan, menduga, dan menyatukan.Beberapa kegiatan analitik yang mungkin dilakukan pada pembelajaranmatematika adalah menganalisis suatu masalah menjadi bagian-bagian yang lebih kecildan lebih sederhana, seperti menganalisis elemen, menganalisis hubungan, menganalisis pola, dan menganalisis aturan. Sementara kegiatan sintetiknya adalah memadukan bagian-bagian secara logik sehingga diperoleh penyeleseaian suatu masalah, sepertimenemukan hubungan, menemukan konsep, menemukan konjektur, dan menyusun pembuktian. Ketika melakukan kegiatan analitik, anak banyak diberikan kesempatanuntuk: (1) Membaca dengan kritis; (2) Meningkatkan daya analisis; (3) Mengembangkankemampuan observasi/mengamati; (4) Meningkatkan rasa ingin tahu , meningkatkankemampuan bertanya dan refleksi; (5) Metakognisi; (6) Melakukan diskusi. Ketikamelakukan kegiatan sintetik, anak banyak diberikan kesempatan untuk : (1)Mengemukakan ide-ide melalui tanya-jawab (brainstorming ); (2) Melakukan spekulasi,

membuat hipotesis, mengembangkan ide-ide (ekspansi), melakukan modifikasi, membuatanalogi, dan membuat prediksi.

Pembelajaran analitik-sintetik termasuk pembelajaran berbasis masalah Olehkarena itu, karakteristik dari pembelajaran berbasis masalah juga merupakan karakteristikdari pembelajaran analitik-sintetik. Secara rinci karakteristik dari pembelajaran analitik-sintetik adalah sebagai berikut :(1) Pembelajaran diawali dengan mengajukan masalahmatematika kepada siswa sehingga akan terjadinya konflik kognitif yang akanmengakibatkan terjadinya proses asimilasi, akomodasi dan ekuilibrasi; (2) Masalah

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 134/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

127

dianalisis dari hal yang cukup besar dan umum menjadi bagian-bagian yang lebih kecil,lebih khusus dan lebih sederhana; (3) Konjektur dan pembuktian konjektur disintesis olehsiswa secara berkelompok dengan menggunakan pendekatan induktif-deduktif; (4)Pemberian intervensi dari guru ketika menganalisis masalah, mensintesis konjektur dan pembuktian konjektur, dan ketika menyelesaikan masalah; (5) Menyajikan hasil kegiatananalisis dan sintesisnya di forum kelas; (6) Menerapkan teorema yang sudah diperolehdalam menyelesaikan soal-soal, terutama tipe analisis, sintesis, dan evaluasi. Sementarakarakteristik pembelajaran berbasis masalah menurut Herman (2006), (1) pembelajarandiawali dengan menghadapkan siswa dengan masalah matematika, (2) penyelesaianmasalah dilakukan melalui kegiatan kolaboratif, (3) siswa diberikan kesempatan untukmelakukan elaborasi masalah dan eksplorasi berbagai alternatif penyelesaian masalah, (3)siswa dituntut untuk menyajikan temuan penyelesaian masalah kepada teman dangurunya, (4) siswa dibiasakan untuk melakukan refleksi tentang efektivitas cara berpikir dan kegiatan yang telah ditempuhnya.

Salah satu karakteristik pembelajaran analitik-sintetik yang cukup menarikadalah adanya intervensi dari guru, yaitu teknik intervensi secara konvergen ataudivergen. Teknik intervensi secara konvergen adalah bentuk intervensi yang dilakukanguru dengan cara mengajukan pertanyan investigasi yang bersifat tertutup. Sementara

teknik intervensi secara divergen adalah bentuk intervensi yang dilakukan guru dengancara mengajukan pertanyan investigasi yang bersipat terbuka. Berkaitan dengan pertanyaan konvergen dan divergen, Ruseffendi (1988) mengemukakan bahwa yangdimaksud dengan pertanyaan konvergen adalah pertanyaan yang hanya memiliki satu jawaban yang benar. Sementara pertanyaan divergen adalah pertanyaan yang memiliki jawaban tidak terduga dan lebih dari satu jawaban yang benar. Selain itu, Munandar(2004) menyatakan pula bahwa pertanyaan konvergen adalah pertanyaan yang jawabannya memberikan tekanan pada pencapaian jawaban tunggal, paling tepat, atausatu-satunya jawaban yang benar. Sementara pertanyaan divergen adalah pertanyaanyang jawabannya memberikan tekanan pada keragaman banyaknya jawaban yang benar.

Ketika melakukan intervensi konvergen atau divergen dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan apa, mengapa, dan bagaimana siswa diberikan kesempatan untuk berkembangnya sikap-sikap berikut : 

(1). Sikap klarifikatif yaitu sikap selalu ingin menjelaskan penyelesaian masalah yangtelah dibuatnya.(2). Sikap terbuka yaitu sikap mau menerima penyelesaian masalah yang berdasarkan pada sudut pandang yang berbeda.(3). Sikap obyektif yaitu sikap membuat penilaian yang adil terhadap suatu penyelesaianmasalah.

(4). Sikap fleksibel yaitu sikap menyesuaikan pendiriannya dengan informasi baru yanglebih canggih.(5). Sikap berfantasi yaitu sikap melakukan perenungan untuk mencari ide penyelesaianmasalah.(6). Sikap berinkubasi yaitu sikap hati-hati dan teliti dalam mengeluarkan ide baru suatu penyelesaian masalah.(7). Sikap tidak takut mengambil resiko yang telah diperbuatnya.

(8).Sikap sensitif yaitu sikap peka melihat kekurangsempurnaan penyelesaian masalahyang dibuat oleh orang lain.(9). Sikap tenang dan selalu bergairah dalam menyelesaikan suatu masalah.

Misalkan siswa dihadapkan pada masalah berikut : Dari selembar seng yang berukuran 600 cm X 100 cm akan dibentuk sebuah talang. Tentukan ukuran tinggi talangsupaya talang dapat menampung air sebanyak-banyaknya.Bentuk intervensi konvergen yang dapat dilakukan ketika menganalisis masalah :

-  Apakah ada hubungan antara lebar talang dengan tinggi talang ? Mengapa ?

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 135/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 136/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

129

!(5!"#%(5%( ;4 "!$%$6* ).24

%+%6 ).27

;4

.6# /%0%$%1 <=<

.6# /%0%$%1 <=>

.6# /%0%$%1 <=?

/%0%$%1 </%(@*'*2(+!'3!(0* 4*3!'5!(A78(3!'5!(

;)4

B)4

/%(@*'*

/%(@*'*

/%(@*'* /%(@*'*2(+!'3!(0* 4*3!'5!(A78(3!'5!(

/%0%$%1 >

/%0%$%1 ?

 Gambar 4. Model Pengembangan Empat Tahap dari ZPD melalui PASID atau

PASIK

D.  DAFTAR PUSTAKA

Bransford, J, Brown, A, & Cocking, R. (2000).  How People Learn: Brain, Mind, and Experience & School . Washington DC: National Academy Press.

Budiningsih, C.A. (2005).  Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Rineka Cipta.Depdiknas(2006). Kurikulum 2006 . Jakarta: Depdiknas.

Rohaeti, E.E. (2008).  Pembelajaran dengan Pendekatan Eksplorasi untuk Mengembangkan Kemampuan Berpikir Kritis dan Kreatif Matematik SiswaSekolah Menengah Pertama. Bandung: Sekolah Pasca Sarjana UPI.

Herman, T. (2005).  Pembelajaran Berbasis Masalah untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematis Tingkat Tinggi Siswa Sekolah Menengah Pertama (SMP).Bandung: Program Pasca Sarjana UPI.

Hudoyo, H. (2001). Pengembangan Kurikulum dan Pembelajaran Matematika. Malang:Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Negeri Malang.

Karli, H. dan Yuliariatiningsih, M. S. (2003).  Implementasi Kurikulum Berbasis Kompetensi. Bandung: Bina Media Informasi.

Syaban, M. (2008).  Menumbuhkembangkan Daya dan Disposisi Matematis SiswaSekolah Menenah Atas Mlalui Model Pembelajaran Investigasi. Bandung:Sekolah Pasca Sarjana UPI.

Munandar, S. C. U. (2004). Pengembangan Kreativitas Anak Berbakat . Jakarta: RinekaCipta.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 137/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

130

Munandar, S. C. U. (1999). Kreativitas dan Keberbakatan. Jakarta: Gramedia.

Ruseffendi, E. T. (1988).  Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA.Bandung: Tarsito.

Seto, K. (2004). Bermain & Kreativitas. Jakarta: Papas Sinar.

Sternberg, R. J. (2002). Raising the Achievement of All Students: Teaching for Succesful Intelegensi. New Haven: Educational Psychology Yale University.

Thrap, R.G. dan Gallimore, R. (1988).  Four-Stage Model of ZPD. [Online]. Tersedia:http://www.ncrel.org/sdrs/area/issues/students/learning/lr  1 zpd.htm.

Widdiharto, R.W. (2004).  Model-Model Pembelajaran Matematika SMP . Yogyakarta:PPPG Matematika.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 138/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

131

MENINGKATKAN KEBERMAKNAAN KONSEP MATEMATIKAMELALUI PEMBELAJARAN TEMATIKPADA KELAS AWAL SEKOLAH DASAR

YumiatiDosen JPMIPA FKIP Universitas Terbuka

Saleh HajiDosen JPMIPA FKIP Universitas Bengkulu 

Abstrak

Pembelajaran di Sekolah Dasar pada saat ini dilakukan secara parsial. Masing-masing mata pelajaran diberikan secara terpisah. Hal ini tidak sesuai dengan hakikat anak pada usia Sekolah Dasar yang pemikirannya masih holistik. Akibatnya hasil belajar siswaSekolah Dasar khususnya mata pelajaran matematika rendah. Untuk itu model pembelajaran parsial perlu ditinjau kembali. Salah satu alternatif model pembelajaranyang dapat membantu anak mengembangkan pemikiran yang holistik adalah pembelajaran tematik. Model pembelajaran tematik merupakan model pembelajaran yang

memungkinkan menyatukan berbagai mata pelajaran (kehidupan sehari-hari) melaluisuatu tema tertentu, sehingga dapat meningkatkan kebermaknaan konsep matematika pada siswa kelas awal Sekolah Dasar.

Kata kunci  : pembelajaran, sekolah dasar, tematik

PENDAHULUAN

Untuk beberapa Sekolah Dasar (SD) di Indonesia, beberapa mata pelajarandiberikan secara parsial dan beberapa mata pelajaran diberikan secara terpadu. Secara parsial berarti mata pelajaran-mata pelajaran diberikan secara terpisah. Secara terpadu berarti penyatuan dari beberapa mata pelajaran yang mempunyai hubungan kedekatan.Untuk kelas 3 sekolah dasar, mata pelajaran-mata pelajaran yang diberikan secara parsial

adalah Matematika, Pendidikan Agama, Bahasa Indonesia, Pendidikan Pancasila danKewarganegaraan, Pendidikan Jasmani dan Kesehatan, dan Kerajinan Tangan danKesenian. Sedangkan mata pelajaran-mata pelajaran yang diberikan secara terpadu adalahIlmu Pengetahuan Alam dan Ilmu Pengetahuan Sosial. Ilmu Pengetahuan Alammerupakan mata pelajaran hasil perpaduan dari mata pelajaran Biologi, Kimia, danFisika. Sedangkan Ilmu Pengetahuan Sosial merupakan mata pelajaran hasil perpaduanmata pelajaran Sejarah, Ekonomi, dan Geografi.

Pembelajaran secara parsial dimaksudkan untuk memperkuat struktur mata pelajaran-mata pelajaran yang bersangkutan. Seperti mata pelajaran matematika diberikansecara terpisah dengan mata pelajaran lain dimaksudkan agar siswa dapat memahamikonsep matematika dengan baik secara hierarkhis. Namun dalam pembelajaran secara parsial, pengetahuan matematika diberikan terlalu teoritis sehingga siswa tidakmengetahui keterkaitan matematika dengan bidang studi lain atau dengan kehidupan

sehari-hari (Fauzan, 2000). Matematika terkesan sebagai ‘ilmu kering’ yang dirasakankurang ada gunanya bagi kehidupan siswa. Siswa menjadi kurang termotivasi dalam belajar matematika sehingga siswa menjadi pasif dan takut dalam belajar matematika(Armanto, 2000).

Pembelajaran terpadu dimaksudkan agar siswa dapat mengetahui hubunganantara mata pelajaran-mata pelajaran yang terkait. Mengetahui keterkaitan konsep dari beberapa mata pelajaran dapat memberikan pengertian kebermaknaan dari konsep yang bersangkutan. Pengertian kebermaknaan inilah yang dapat menyebabkan siswa

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 139/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 140/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

133

memperhatikan hal-hal sebagai berikut: a. banyaknya jam pelajaran dari masing-masingmata pelajaran, b. hirarkhis dari masing-masing mata pelajaran, dan c. pentingnya tema.

Langkah-langkah pembelajaran tematik, antara lain: a. menentukan tema, b.mengidentifikasi konsep-konsep yang akan dibahas, c. memilih kegiatan pembelajaranyang sesuai, dan d. menyusun jadwal kegiatan secara sistematis (Lonning and De Franco,

1994, h. 22-23). Dapat pula dilakukan dengan langkah-langkah berikut: a.mengidentifikasi tema, b. mengidentifikasi berbagai domain, c. mengidentifikasi konsep-konsep yang dapat dikembangkan dan berhubungan dengan tema, d. membuat peta yangmenghubungkan konsep-konsep, dan e. mengembangkan kegiatan spesifik yangmenimbulkan eksplorasi elemen-elemen yang tercantum dalam jaringan peta (Farida,1999, h. 22).

Dalam menentukan tema, hal-hal yang perlu diperhatikan adalah minat siswadan guru, kejadian yang aktual, dan penting untuk saat itu, mengacu pada kurikulum bahkan mengacu pada kehidupan sehari-hari siswa dan masalah yang dihadapi olehmasyarakat di lingkungan tersebut (Collins and Hazel, 1991, h. 8; Kovalik & Olsen,1994, h.5). Misalkan tema yang dipilih adalah ‘Terminal Mobil’. Konsep-konsep yangmengacu pada tema tersebut terdiri atas: konsep penjumlahan, dan pengurangan

(matematika); konsep lingkungan (IPS); konsep tumbuhan, hewan, dan bahan makananlain yang dijual oleh penjual (IPA); konsep kalimat tanya dalam berkomunikasi antaraorang-orang yang berada di terminal (Bahasa Indonesia); konsep ketertiban (PendidikanPancasila dan Kewarganegaraan), dan konsep anyaman (Kertakes). Hubungan antaratema dengan mata pelajaran-mata pelajaran tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 1 Hubungan tema ‘Terminal Mobil’ dengan berbagai mata pelajaran

Melalui pengkaitan dengan hal-hal yang telah diketahui siswa dalam hal ini terminalmobil dengan konsep yang akan diajarkan maka akan memudahkan siswa dalammemahami secara bermakna konsep matematika tersebut, seperti konsep penjumlahan,dan pengurangan dapat terbentuk. Konsep penjumlahan didapat melalui interaksi antara penumpang dengan pengusaha mobil dan konsep pengurangan didapat melalui banyaknyauang kembalian yang diterima oleh penumpang. Dengan mengkaitkan benda kongkritdalam kehidupan sehari-hari yang telah dipahami siswa maka dapat terbentuk pemahaman konsep matematika yang bermakna. Sehingga pada saat anak melakukan

Matematika 

IPA  Terminal Mobil  IPS 

Bahasa Indonesia  Kertakes Pendidikan Pancasiladan Kewarganegaraan 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 141/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

134

suatu algoritma akan disertai oleh pemahaman konsep. Kebermaknaan pemahamankonsep inilah akan dapat bertahan lama dalam memori anak. Menurut Ausubel dalamHudoyo (1979, h. 108), bahan pelajaran yang bermakna (meaningful) adalah bahan pelajaran yang cocok dengan kemampuan siswa dan relevan dengan struktur kognitifyang dimiliki siswa, khususnya siswa-siswa yang berada pada kelas-kelas awal SD yaknikelas 1, 2, dan 3. Siswa-siswa pada kelas ini tahap perkembangan mentalnya berada padaawal perkembangan konkrit yang memiliki beberapa ciri, antara lain: a. lebih mudahmemahami hal-hal yang konkrit dan kontekstual, b. lebih mudah bila hal-hal yang dekatdengan kehidupan sehari-hari, dan c. berpikirnya holistik.

Kegiatan pembelajaran tematik dapat dilakukan di dalam kelas maupun di luarkelas. Kegiatan di luar kelas dengan mengunjungi terminal mobil misalnya memberikankesempatan kepada anak untuk berinteraksi langsung dengan objek yang akan dipelajari.Interaksi ini dapat memacu aktifitas anak. Karena anak melakukan sendiri dalam kegiatan pembelajaran tersebut. Aktifitas melihat, mendengar, berbuat, dan berinteraksi dengan penumpang maupun sopir di dalam terminal. Kombinasi aktifitas-aktifitas tersebutmemberikan kesan yang mendalam bagi siswa terhadap objek yang dipelajarinya. Dengan berinteraksi dan mengalami sendiri, kesenangan anak dapat tumbuh. Sehingga dapatmembentuk sikap positif terhadap konsep maupun terhadap bidang studi yang dipelajari.

Selain anak mempelajari konsep-konsep berbagai bidang studi, pengetahuan anaktentang tema dalam hal ini pengetahuan tentang ‘Terminal Mobil’ dengan berbagaiaktifitasnya akan dapat tumbuh. Pengetahuan anak dapat menjadi lebih banyak darisekedar pengetahuan tentang konsep-konsep dari berbagai bidang studi.

Atas dasar langkah-langkah pembelajaran tematik tersebut, maka satuan pelajaranyang perlu disusun terdiri atas: a. Tema, b. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar, c.Sub Tema, d. Indikator, e. Alat Evaluasi, f. Kegiatan Belajar Mengajar, dan g. KegiatanMingguan/Harian. Pada point a yakni tema, pembelajaran tematik diarahkan pada tujuanagar siswa dalam memahami tentang karakteristik tema tersebut dan dapat memahamistandar kompetensi dan kompetensi dasar dari masing-masing bidang studi.

Tema yang telah ditentukan di mana di dalamnya terdapat berbagai konsep mata pelajaran khususnya mata pelajaran matematika dikonstruksi sendiri oleh anak berdasarkan pengetahuan awal yang telah dimiliki oleh anak. Pengetahuan tentangrealitas harus ditemukan dan dikonstruksikan oleh aktifitas anak (Setiono, 1983, h. 17).Hal ini didasarkan atas asumsi teori kognitif bahwa manusia itu adalah mahluk yang aktifdalam hubungan dengan lingkungannya. Atas dasar asumsi tersebut, anak bertindak aktifdalam memahami konsep matematika yang terdapat pada tema. Kaum konstruktivismenyatakan bahwa belajar itu sesuatu proses untuk membangun pengetahuan.Pengetahuan fisik dan logico-matematika tidak dapat diperoleh hanya dengan diberitahusaja (Kamii, 1979). Individu harus secara aktif berinteraksi dengan lingkungannya.

Tema yang berhubungan dengan lingkungan kehidupan sehari-hari anak dapatmemberikan kesempatan kepada anak untuk berinteraksi dengan lingkungan hidupnya.Keterkaitan konsep-konsep abstrak dengan kehidupan nyata dapat membantu anak dalammemaknai konsep tersebut (Setiati, 1998, h. 20). Dengan pemahaman konsep secara bermakna, maka pengetahuan yang diperoleh siswa dapat tersimpan lama pada ‘long term

memory’  yang menjadi modal siswa untuk memahami konsep-konsep berikutnya. Selainkebermaknaan, tema kehidupan sehari-hari kaya akan pengetahuan yang ada di dalamnya.Sehingga anak akan banyak mendapatkan pengetahuan darinya. Aktifitas anak dalammemahami konsep-konsep yang terdapat dalam tema akan terpacu. Karena anakdihadapkan pada masalah nyata yang sering dijumpai dalam kehidupannya. Aktifitasmendengar, melihat, dan berbuat dilakukan secara bersamaan. Hal tersebut sebagian dariindikator keaktifan siswa (Burton, 1994, h. 9).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 142/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

135

Keuntungan-keuntungan pembelajaran tematik bagi siswa antara lain: a. belajar berfokus pada proses, b. mendobrak rintangan artifisial, c. berpusat pada anak, d. siswa bergairah dalam penemuan dan penyelidikan di dalam dan di luar kelas, e. mempertinggiapresiasi dan pemahaman, f. mengoptimalkan pengetahuan awal siswa dalammengembangkan pengetahuan baru, dan g. merangsang kreasi siswa (Setiati, 1998, h. 25-26). Sedangkan keuntungan-keuntungan bagi guru antara lain: a. tersedianya waktu yanglebih banyak untuk pencapaian tujuan pembelajaran, b. hubungan antara subyek, topik,dan tema dapat dikembangkan secara logis, c. pembelajaran dapat ditunjukkan sebagaiaktifitas yang terus menerus, d. guru bebas membantu siswa melihat masalah dari berbagai sudut pandang, e. asesmen lebih holistik, autentik, dan bermakna, f. guru dapatmengembangkan proses pemecahan masalah, berpikir kreatif dan kritis (Meinbach,Rothlein, & Fredericks, 1995, h. 3-4).

Hasil penelitian Haji (2008) menunjukkan hasil belajar siswa Sekolah Dasar yang diajarmelalui pembelajaran tematik lebih baik daripada pembelajaran biasa dengan selisih nilai postest dengan pretest pada Pendekatan Tematik dalam Pembelajaran Matematika adalah37,788. Hal ini menunjukkan bahwa Pendekatan Tematik dalam PembelajaranMatematika dapat membantu pemahaman siswa terhadap materi matematika sebesar37,788%. Sedangkan kontribusi pembelajaran konvensional terhadap pemahaman siswa

terhadap materi Matematika sebesar 11,846%. Perbedaan penambahan kemampuanMatematika antara hasil dari Pendekatan Tematik dalam Pembelajaran Matematika dankonvensional menunjukkan bahwa kedua pembelajaran tersebut memberikan pengaruhyang berbeda. Perbedaan tersebut selain ditunjukkan oleh perbedaan penambahan pengetahuan, secara statistik ditunjukkan dengan hasil pengujian hipotesis yangmenunjukkan bahwa terdapat perbedaan yang signifikan antara hasil belajar matematikasiswa yang diajar dengan Pendekatan Tematik dalam Pembelajaran Matematika dengan pembelajaran konvensional.

PENUTUP

Pembelajaran tematik di sekolah dasar dapat membantu siswa dalam memahami konsepmatematika secara bermakna. Selain itu pembelajaran tematik dapat meningkatkankreatifitas dan memperluas pengetahuan siswa tentang keterkaitan matematika dengankonsep mata pelajaran lain atau dengan kehidupan sehari-hari. Sehingga diharapkanterjadi peningkatan prestasi belajar siswa dan terbentuknya sikap positif siswa terhadapmatematika.

DAFTAR PUSTAKA

Armanto, Dian (2000). Teaching Learning Multiplication and Division Using RME in Indonesia: The First Orientation of the Implementation Phase. Paper presentedat Seminar on Realistic Mathematics Education at IKIP Bandung, 25-26 January2000.

Asy’ari, Maslichah (1977). Pembelajaran Terpadu antar Bidang Studi Sebagai Variasi Pengajaran di Sekolah Dasar dengan Tema Sentral Materi Bidang IPA. Tesis.Bandung: PPS IKIP Bandung.

Burton, William H. (1994). The Guide of Learning Activities. New York: Appleton-Century-Crofts Inc.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 143/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

136

Collins, G. & Hazel, D. (1991). I ntegrated Learni ng . Australia: Book-Shelf Publishing.

Depdikbud (1994/1995). Kur iku lum Pendidikan Dasar . Jakarta: Depdikbud.

Depdikbud (1999). Penyempurnaan/Penyesuaian Kurikulum 1994. Jakarta: Depdikbud.

Diana, Nirva (1999). Pengembangan Model Pembelajaran Terpadu Jaring Laba-Laba diSekolah Dasar . Tesis. Bandung: PPS IKIP Bandung.

Farida, F. (1999). Pembelajaran Ilmu Pengetahuan Alam di Sekolah Dasar dengan Model Pembelajaran Terpadu antar Bidang Studi dengan Tema Sentral AirSebagai Sumber Kehidupan. Tesis. Bandung: PPS IKIP Bandung.

Fauzan, Ahmad (2000).  A Developmental Research on the Development and Implementation of the Geometri Module at Grade 4 in Indonesian elementarySchool . Paper presented at Seminar on Realistic Mathematics Education at IKIPBandung, 25-26 January 2000.

Francis, Raymond and Underhill, Robert G. (1996). A Procedur for Integrating Math andScience Units. School Science and Mathematics , 96(3):114-119.

Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an Education Task . Holland: D. ReidelPublishing Company.

Haji, S. (2008). Pengaruh Pembelajaran Tematik terhadap Hasil Belajar Matematika diSekolah Dasar . Laporan Penelitian. Bengkulu: Lemlit Universitas Bengkulu.

Hudoyo, Herman (1979).  Pengembangan Kurikulum Matematika & Pelaksanaannya di Depan Kelas. Surabaya: Usaha Nasional.

Gunarsa, Singgih D. (1990).Dasar dan Teori Perkembangan Anak . Jakarta: BPK

Gunung Mulia.

Kamii, C. (1979). Teaching for thinking and creativity: A Piagetian point of view. DalamA.E. Lawson: 1980 AETS year book.

Lonning, R.A. & De Franco, T.C. (1994). Development and Implementation of an Integrated Mathematics/Science Preservice Elementary Methods Cour ce.Journal School Science and Mathematics, 94(1): p. 5-10.

Meinbach, A.M., Rothlein, L. & Fredericks, A.D. (1995). The Complete Guide toThematic Units: Creating The Integrated Curriculum. Amerika: ChristopherGordon.

McDonald, Jacqueline and Czerniak, Charlene (1994). Developing InterdisciplinaryUnits: Strategies and Examples. Journal School Science and Mathematics,94(1): p. 5-10.

Roth, Wolff-Michael (1993). Problem-Centered Learning for Integration of Mathematicsand Science in a Constructivist Laboratory: A Case Study.School Science andMathematics , 93(3):113-121.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 144/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

137

Setiati, Hari (1998). Pembelajaran Terpadu Antar Bidang Studi Sebagai Alternatif Pengajaran di Sekolah Dasar dengan Tema Sentral Cara Hidup Sehat . Tesis.Bandung: PPS IKIP Bandung.

Setiono, Kusdwiratri (1983). Teori Perkembangan Kognitif . Bandung: Fakultas PsikologiUNPAD.

Stuessy, Carol L. and Naizer, Gilbert L. (1996).  Reflection and Problem Solving: Integrating Methods of Teaching Mathematics and Science. School Science andMathematics, 96(4): 120-127.

Suyanto, S. (1996). Pembelajaran IPA Terintegrasi melalui Tematik Unit . CakrawalaPendidikan, 15(1): 97-104.

Susan (1996). Development Unitizing . Journal for Research in MathematicsEducation, 27(2): 10-15.

Tiro, Muhammad A. (1996). Pengajaran IPA dan Matematika pada Kelas-Kelas Pemula

Sekolah Dasar di Sulawesi Selatan. Jurnal Penelitian Pendidikan Dasar,1(1):77-89.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 145/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

138

Mengajar Pengenalan Pola Angka secara Komprehensif

Alexander Agung S GDepartemen Matematika, Binus University

[email protected] 

Stephanus Ivan GDepartemen Teknik Mesin, UNIKA Atmajaya Jakarta

[email protected] Abstrak  

Pengenalan pola merupakan salah satu hal yang harus dikuasai siswa terutamadalam pelajaran Matematika. Pada tingkat dasar, bidang Matematika yang terutamadiajarkan adalah Aritmetika, dimana media utama yang digunakan adalah angka. Dalamtulisan ini, kami menyusun strategi untuk mengajarkan pengenalan pola angka inisecara komprehensif yaitu melalui pengajaran secara induktif dan selanjutnyadilengkapi dengan pengajaran secara deduktif.

Untuk pengajaran induktif, kami menggunakan Model Sistem untukmenggambarkan pendekatan yang digunakan. Sedangkan untuk pengajaran deduktif

digunakan Metode Horisontal (METRIS

TM

) sebagai pendekatan utamanya. Dengan pengajaran secara induktif dan secara deduktif sekaligus ini, diharapkan siswa dapatmelakukan aktivitas dan proses berpikir kreatif dan logis secara sinergis sehinggamenghasilkan pemahaman yang mendalam dalam bidang aritmetika.

Kata Kunci  : Aritmetika, Pengenalan Pola, Angka, Pengajaran Induktif, PengajaranDeduktif, Model Sistem, Metode Horisontal

1. Pendahuluan

Aritmetika adalah ilmu hitung dasar yang merupakan bagian dari matematika danmerupakan materi utama dalam pendidikan dasar. Pengajaran aritmetika yang selama inidilakukan cenderung mengajarkan logika terstruktur agar siswa dapat menjelaskan hasil

dalam setiap langkah perhitungannya. Selain itu seringkali siswa juga diajarkan penguasaan prosedur berhitung standar dengan mengerjakan banyak latihan soal(mencongak).

Belajar matematika berkaitan erat dengan aktivitas dan proses berpikir.Pengajaran aritmetika secara tradisional di atas cenderung bersifat deduktif dan memangmampu membuat siswa dapat berpikir secara logis. Logis disini berarti siswa mampumenghitung secara terstruktur dan menjelaskan apa yang telah dilakukan dalam proses perhitungannya. Tetapi aktivitas dan proses berpikir ini belum lengkap, siswa juga perlumempunyai kemampuan berpikir yang kreatif. Kreativitas sendiri dapat didefinisikansebagai kemampuan menemukan keteraturan pola dalam fakta-fakta yang ada. Pengajaranaritmetika yang menggunakan media angka, juga dapat digunakan untuk mengajarkankepada siswa cara berpikir yang kreatif ini yaitu dengan cara mengajarkan PengenalanPola Angka secara Induktif. Kreativitas dengan angka ini sudah dikompetisikan dalam

Olimpiade Kreativitas Angka (OKA) dengan menggunakan materi [4]. Dalam OKA I(2008), peserta yang mengikuti sangat beragam tingkat pendidikannya, mulai SD, hinggamahasiswa. Namun yang tak terduga dalam kompetisi tersebut justru pemenang utamanyaadalah siswa SD. Hal ini membuktikan bahwa potensi kreativitas seseorang sudahtertanam sejak dari kanak-kanak.Jika dilihat berdasarkan proses pengolahan informasi dalam [6], strategi belajar-mengajar dapat dibedakan menjadi berikut:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 146/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

139

a. Strategi pengajaran induktif adalah pengajaran dimana proses pengolahan informasi bertolak dari contoh-contoh konkrit menuju kepada generalisasi atau konsep yang bersifat umum. b. Strategi pengajaran deduktif merupakan kebalikan dari proses pengajaran induktif.Para siswa pertama-tama diperkenalkan kepada generalisasi atau konsep yang bersifatumum kemudian diarahkan untuk melihat konsekuensi dari generalisasi atau konseptersebut dengan melakukan proses pengambilan kesimpulan.Dalam tulisan ini, kami menyusun strategi untuk mengajarkan Pengenalan Pola Angkasecara komprehensif yaitu melalui pengajaran secara induktif dan selanjutnyadilengkapi dengan pengajaran secara deduktif.

2. Pengajaran secara Induktif

Sebagaimana yang telah disebutkan pada bagian sebelumnya, pengajaran induktifselalu bertolak dari contoh-contoh yang ada dan kemudian siswa dibimbing menujukepada generalisasi atau konsep yang bersifat umum. Secara umum prosedur StrategiPengajaran Induktif adalah sebagai beikut:

•  Dimulai dengan memberikan contoh-contoh yang mengandungi ciri yang sama.

Contoh-contoh ini digunakan untuk membimbing siswa dalam membuatkesimpulan•  Guru tidak menguraikan isi pelajaran, tetapi membimbing siswa untuk mencari

kesimpulan sendiri berdasarkan contoh-contoh yang diberikan.•  Setelah siswa mengenali Pola dari contoh-contoh yang diberikan, siswa diminta

memberikan contoh yang serupa.•  Guru beralih memberikan contoh-contoh lain yang berbeda tetapi mempunyai

karakterisitik yang berhubungan dengan contoh-contoh sebelumnya. Kemudianmeminta siswa mengenali Pola dari contoh-contoh yang baru ini dan jugahubungannya dengan contoh-contoh sebelumnya.

•  Pengajaran secara induktif selalu mengikuti urutan yang pasti, yaitu: dimulaidengan contoh-contoh spesifik dan membawa kepada kesimpulan umum.Untuk menggambarkan pendekatan yang digunakan dalam pengajaran

Pengenalan Pola Angka, digunakan Model Sistem sebagai berikut:

Gambar 1: Model Sistem

Dalam Model Sistem ini, contoh-contoh yang diberikan terdiri dari “input” yang berupa soal-soal yang mempunyai karakteristik yang sama dan “output” yang berupahasil perhitungannya. Sedangkan isi pelajaran yang ingin disampaikan oleh gurumerupakan “proses” yang harus ditemukan sendiri oleh siswa dengan mengenali Polayang menghubungkan “input” dengan “output” nya.Contoh pengajaran Pengenalan Pola Angka dengan menggunakan Model Sistem iniadalah sebagai berikut:

1.  Memberikan contoh-contoh yang mengandung ciri yang sama sebagai berikut:93 × 97 = 902192 × 98 = 901685 × 85 = 7225

Proses

Input Output

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 147/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 148/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 149/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

142

a. Perhatikan pada soal ini, melibatkan bilangan kembar pada digit puluhan yaitu bilangan 4, dan penjumlahan digit satuan sama dengan sepuluh (7+3=10) makaterapkan Pola Horisontal di atas:

212037)14(44347 ||||   =×+×=×  

 b. Gunakan aturan notasi pagar untuk mendapatkan hasil akhirnya.202121204347 ||   ==×  

Proses pengajaran secara deduktif ini terus melengkapi pengajaran induktif yangtelah dilakukan sebelumnya sehingga menghasilkan pengajaran Pengenalan Pola Angkayang bersifat komprehensif.

4. KesimpulanDengan mengkombinasikan Pengajaran Induktif dengan Pengajaran Deduktif

dalam sebuah Pembelajaran Komprehensif di bidang Pengenalan Pola Angka, maka dapatdisinergikan aktivitas dan proses berpikir siswa secara logis dan juga kreatif sekaligus.Hal ini merupakan inovasi dari pengajaran aritmetika secara tradisional yang cenderunghanya bersifat deduktif saja. Sehingga secara umum hasil Pengajaran Komprehensif ini

adalah pemahaman siswa yang mendalam dalam bidang aritmetika.

Daftar Pustaka

Agung, A; Ivan,S; Metris: Perkalian yang Ajaib, Kawan Pustaka, 2007

-------------------------------  Pangkat Ajaib, Grassindo, 2009

-------------------------------  Pembagian Ajaib, Grassindo, 2009

Ivan,S; Metris: Mencetak Einstein, Metris Pustaka, 2008

----------------- Gen Metris, Metris Pustaka, 2009

Roestiyah, NK; Strategi Belajar Mengajar , Rineka Cipta, 2008

Herlina, L;  Penerapan “Metode Horisontal” untuk Meningkatkan Pemahaman Operasi Bilangan pada Siswa Kelas II Sekolah Dasar Pasir Kaliki III Kecamatan CimahiUtara Kota Cimahi, Skripsi Program Studi Pendidikan Guru Sekolah Dasar,Fakultas Ilmu Pendidikan, UPI Bandung, 2008

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 150/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

143

PENERAPAN MODEL COMPUTER-BASED LEARNI NG  DALAM UPAYAMENINGKATKAN KEMAMPUAN KONEKSI MATEMATIS SISWA

Sintri AriniJurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

e-mail: [email protected] 

ABSTRAK

Latar belakang dilakukan penelitian ini karena masih rendahnya kemampuankoneksi matematis. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, sebuah model pembelajaranyang penuh dengan inovasi tinggi diaplikasikan dalam pembelajaran matematika, modeltersebut adalah model computer-based learning . Kemampuan koneksi matematika yangditeliti adalah kemampuan koneksi internal dan eksternal . Tujuan penelitian ini adalahuntuk mengetahui informasi mengenai kemampuan koneksi matematis siswa setelahmemperoleh pembelajaran dengan menggunakan model computer-based learning   sertamengetahui tanggapan siswa terhadap pembelajaran matematika dengan menggunakanmodel computer-based learning . Metode penelitian yang digunakan adalah penelitian

eksperimen. Subjek yang diteliti adalah siswa kelas SBI (Sekolah BerstandarInternasional) XI D SMA Negeri 5 Bandung dengan pokok bahasan Statistika. Instrumenyang digunakan dalam penelitian ini adalah tes formatif untuk mengetahui kemampuankoneksi matematis, lembar observasi untuk mengetahui aktivitas siswa dan guru selama proses pembelajaran, jurnal harian, angket, dan wawancara untuk mengetahui tanggapansiswa terhadap pembelajaran matematika dengan menggunakan model computer-basedlearning . Dari pembahasan hasil penelitian, setelah diterapkan pembelajaran matematikadengan menggunakan model computer-based learning diketahui bahwa kemampuankoneksi matematis siswa mengalami peningkatan, baik pada koneksi internal maupun pada koneksi eksternal. Selain itu, tanggapan siswa terhadap pembelajaran ini padaumumnya positif. Mengingat manfaat yang diperoleh dari penelitian ini, pembelajaranmatematika dengan menggunakan model computer-based learning dapat menjadi salahsatu alternatif dalam melaksanakan pembelajaran dengan memperhatikan kekurangan-

kekurangan yang terdapat dalam penelitian.

Kata kunci: model computer-based learning , kemampuan koneksi matematis.

A. Latar Belakang

Menurut Suherman, dkk. (2001: 59) salah satu fungsi matematika sekolah adalahsebagai pembentukan pola pikir dan pengembangan penalaran untuk mengatasi berbagai permasalahan, baik masalah dalam mata pelajaran ataupun dalam kehidupan sehari-hari.Pendapat tersebut senada dengan Coernellius (Marlina, 2004: 20) yang mengemukakan bahwa, “Tujuan pembelajaran matematika di sekolah di antaranya adalah untukmemberikan perangkat dan keterampilan yang perlu untuk penggunaan dalam dunianya,kehidupan sehari-hari, dan dengan mata pelajaran lain.” Pendapat-pendapat tersebut juga

sejalan dengan Davis (Marlina, 2004: 21) yang menyatakan bahwa “Tujuan pembelajaranmatematika salah satunya memberikan sumbangan pada permasalahan sains, teknik,filsafat, dan bidang-bidang lainnya.”

Beberapa pendapat mengenai pembelajaran matematika di atas sesuai dengan standarkurikulum yang dikemukakan oleh  National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) dalam  Principles and Standards for School Mathematics  (NCTM, 2000)disebutkan bahwa terdapat lima standar yang mendeskripsikan keterkaitan antara pemahaman matematika dengan kompetensi matematika yaitu: kemampuan pemecahan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 151/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

144

masalah ( problem solving ), kemampuan komunikasi (communication), kemampuan penalaran (reasoning ), kemampuan koneksi (connection), dan kemampuan representasi(representation), dimana kemampuan-kemampuan ini juga termasuk kedalamkemampuan berpikir matematis tingkat tinggi (high-order mathematical thinking ).

Salah satu komponen dari berpikir matematis tingkat tinggi (high-ordermathematical thinking ) adalah koneksi matematis. Koneksi matematis merupakan pengaitan antar topik matematika, matematika dengan pelajaran lain atau dengan topiklain, serta pengaitan matematika dengan kehidupan (House and Coxford, 1995). Hal ini di jelaskan oleh Sumarmo (2003) bahwa koneksi matematis (mathematical connections)merupakan kegiatan yang meliputi: mencari hubungan antara berbagai representasikonsep dan prosedur; memahami hubungan antar topik matematik; menggunakanmatematika dalam bidang studi lain atau kehidupan sehari-hari; memahami representasiekuivalen konsep yang sama; mencari koneksi satu prosedur lain dalam representasi yangekuivalen; menggunakan koneksi antar topik matematika, dan antar topik matematikadengan topik lain. Koneksi matematis bertujuan untuk membantu persepsi siswa dengancara melihat matematika sebagai bagian yang terintegrasi dengan kehidupan. Tujuan pembelajaran koneksi matematis di sekolah dapat dirumuskan ke dalam tiga bagian yaitumemperluas wawasan pengetahuan siswa, memandang matematika sebagai suatu

keseluruhan yang terpadu bukan sebagai materi yang berdiri sendiri, serta mengenalrelevansi dan manfaat matematika dalam konteks dunia nyata.Berdasarkan uraian di atas, dapat dikatakan secara umum bahwa kemampuan

 berpikir tingkat tinggi, khususnya kemampuan koneksi matematis, sangat penting dimilikioleh siswa. Tetapi sayangnya, menurut hasil studi Bank Dunia pada tahun 2005, siswaIndonesia kurang memiliki kemampuan berpikir tingkat tinggi dibanding rekannya dariJepang, Korea, Australia, Hong Kong dan Thailand. Hasil penelitian ini senada denganhasil penelitian yang dilakukan oleh  Programme for International Student Assessment  (PISA, 2003). Penelitian tersebut mengemukakan bahwa kemampuan siswa dalammenerapkan konsep-konsep matematika ke dalam masalah-masalah yang berkaitan (yangdikenal dengan istilah koneksi matematis) sangat rendah. Hasil dari penelitian itumenunjukkan bahwa 69% siswa Indonesia hanya mampu mengenali tema masalah tetapitidak mampu menemukan keterkaitan antara tema masalah dengan pengetahuan yang

telah dimiliki. Keterkaitan yang dimaksud disini adalah koneksi antara tema masalahdengan penggetahuan yang dimiliki.Berdasarkan permasalahan di atas, diperlukan proses pembelajaran yang efektif

 bagi siswa. Ruseffendi (1991: 8) menyatakan bahwa terdapat sepuluh faktor yangmempengaruhi proses belajar siswa yaitu: kecerdasan siswa, kesiapan siswa, bakat siswa,kemauan dan minat siswa yang termasuk faktor dari dalam diri siswa. Serta penyajianmateri, sikap dan pribadi diri, suasana belajar, kompetensi guru, dan kondisi guru yangtermasuk ke dalam faktor dari luar diri siswa. Penyajian materi merupakan faktor luaryang mempengaruhi proses belajar siswa. Penyajian materi yang efektif tentunya sangatdipengaruhi oleh penggunaan teknologi yang efektif pula.

Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi semakin meluas ke berbagaiaspek kehidupan. Dunia pendidikan termasuk ke dalam salah satu aspek kegiatan yangmembutuhkan teknologi, misalnya dalam penyajian materi pada pelaksanaan kegiatan

 proses belajar mengajar. Sudarya (2004: 3) menyatakan bahwa dunia pendidikan harusmulai dengan metode baru dengan memanfaatkan infrastruktur modern yang bernamakomputer. Pembelajaran dengan menggunakan infrastruktur modern yang bernamakomputer ini lebih dikenal dengan computer-based learning .

Pemanfaatan computer-based learning   dalam dunia pendidikan khususnyamatematika dapat diterapkan dalam proses pembelajaran dan pengembangan bahan ajar.Kusumah (2003: 1) menyatakan bahwa pengembangan dan pembaharuan pendidikan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 152/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

145

matematika, khususnya dalam proses pembelajaran dan desain bahan ajar interaktifmatematika memerlukan penggunaan teknologi multimedia interaktif.

Model computer-based learning   dalam proses belajar dapat membangkitkanminat belajar siswa, karena model computer-based learning  dalam proses belajar dapatmerangsang siswa untuk secara langsung mempelajari materi pelajaran tanpa menunggu penjelasan dari guru. Computer-based learning   digunakan untuk membimbing siswaagar dapat belajar mandiri, berpikir sistematis, kritis, analitis, dan berpartisipasi aktifdalam belajar melalui kegiatan untuk merasakan masalah dengan stimulus-stimulus yangada pada computer-based learning  ini dan dorongan untuk mencari informasi apabila adahal-hal yang belum dimengerti. Darsono (2001) menyatakan bahwa prinsip memahamisendiri (belajar sendiri) sangat penting dalam belajar dan erat kaitannya dengan prinsipkeaktifan. Siswa yang belajar dengan melakukan sendiri (tidak minta tolong orang lain)akan memberikan hasil belajar yang lebih cepat dalam pemahaman yang lebih mendalam.Prinsip ini telah dibuktikan oleh John Dewey dengan “learning by doing ”nya. Apalagiuntuk bangsa Indonesia yang merupakan negara kepulauan, model computer-basedlearning  dirasa sangat tepat untuk digunakan dalam proses belajar.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah penelitian ini adalah sebagai berikut:a.  Bagaimanakah kualitas peningkatan kemampuan koneksi matematis siswa yang

mendapatkan pembelajaran dengan model computer-based learning ? b.  Apakah peningkatan kemampuan koneksi matematis siswa yang mendapatkan

 pembelajaran dengan model computer-based learning   lebih tinggi daripada siswayang tidak mendapatkan pembelajaran dengan model computer-based learning ?

c.  Bagaimana respon siswa terhadap pembelajaran model computer-based learning ?

C. Tujuan Penelitian

Sejalan dengan permasalahan di atas, tujuan penelitian ini adalah ingin:1.  Mengetahui kualitas peningkatan kemampuan koneksi matematis siswa yang

mendapatkan pembelajaran dengan model computer-based learning dansiswa yang tidak mendapatkan pembelajaran dengan model computer-basedlearning ;

2.  Mengetahui bahwa peningkatan kemampuan koneksi matematis siswa yangmendapatkan pembelajaran dengan model computer-based learning   lebihtinggi daripada siswa yang tidak mendapatkan pembelajaran dengan modelcomputer-based learning ;

3.  Mengetahui respon siswa terhadap pembelajaran dengan model computer-based learning .

D. Hipotesis

Hipotesis yang diajukan dalam penelitian ini adalah, “peningkatan kemampuan

koneksi matematis siswa yang mendapatkan pembelajaran dengan model computer-based learning   lebih baik daripada siswa yang tidak mendapatkan pembelajarandengan model computer-based learning ”.

E. Definisi OperasionalAgar tidak terjadi perbedaan pandangan dalam peristilahan yang digunakan

dalam penelitian ini, maka diberikan beberapa definisi operasional untuk istilah-istilah sebagai berikut:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 153/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

146

1.  Koneksi matematis dalam penelitian ini ialah keterkaitan atau hubungan topikmatematika yang sedang dibahas dengan topik lain, baik antara topikmatematika, topik matematika dengan topik lain di luar matematika/pelajaran lain,maupun matematika dengan kehidupan sehari-hari.

2.  Kemampuan koneksi matematis siswa dalam penelitian ini ialah kemampuan siswadalam menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan koneksi matematis.

3.  Computer-based learning  adalah proses interaksi peserta didik dengan pendidik dansumber belajar pada suatu lingkungan belajar dengan menggunakan jasa bantuan perangkat elektronika, khususnya perangkat komputer.

F. Studi Literature  

1. Koneksi MatematisKoneksi matematika mencakup koneksi antar konsep dalam matematika dan

koneksi matematika dengan bidang studi lain serta dengan dunia nyata. Hal ini berdasarkan pernyataan NCTM (Ruspiani, 2000:10) yang membagi koneksi matematikamenjadi dua jenis yaitu: (1) hubungan antara matematika dengan situasi masalah yang berkembang di dunia nyata atau pada disiplin ilmu lain, (2) hubungan antara dua

representasi yang ekuivalen dalam matematika dan prosesnya yang saling berkorespondensi. Hal senada diungkapkan oleh Kusuma (2003: 15) bahwa koneksimatematika terdiri dari koneksi internal matematika dan koneksi eksternal matematika.Sedangkan Mikovich dan Monroe (Yusepa, 2002: 25) mengklasifikasi koneksimatematika menjadi tiga macam, yaitu koneksi dalam matematika, koneksi untuk semuakurikulum, dan koneksi dengan konteks dunia nyata.

Dalam Shadily dan Echols (1975: 139) connection  mempunyai arti hubungan,sambungan, pertalian, atau sangkut paut. Ini berarti koneksi matematika dapat dipandangsebagai hubungan matematika. Hubungan tersebut selain hubungan antar konsep dalammatematika, juga hubungan matematika dengan disiplin ilmu lain, serta hubungan antaramatematika dan dunia nyata.

Coxford (Tusniawati, 2007: 11) menyatakan bahwa pentingnya koneksimatematis ditekankan pada standar NCTM. Menurut Coxford, dalam setiap level kelas,

standar tersebut menekankan agar siswa memiliki pengalaman dalam menggunakankoneksi matematis. Dia menambahkan bahwa siswa yang memiliki pengalaman dalam berbagai koneksi matematis akan mampu: (1) menghubungkan konsep dan prosedur pengetahuan, (2) menggunakan matematika dalam bidang yang lain, (3) menggunakanmatematika dalam kehidupan sehari-hari, (4) melihat matematika sebagai bagian yangterintegrasi, (5) menerapkan pola pikir dan model matematika untuk menyelesaikanmasalah dalam disiplin ilmu yang lain seperti kesenian, musik, psikologi, sains, dan bisnis, (6) menggunakan dan menghargai koneksi antar topik matematika, (7) mengenalrepresentasi yang ekuivalen dalam suatu konsep.

Menurut Bruner (Yaniawati, 2001: 27) tak ada konsep atau operasi yang takterkoneksi dengan konsep atau operasi lain dalam suatu sistem. Pernyataan inimenunjukkan bahwa tiap topik terkait dengan topik lain dalam matematika sendirimaupun dengan topik bidang selain matematika, bahkan dengan kehidupan sehari-hari.

Rincian dan contoh koneksi matematis (Kartika, 2004:18) disajikan sebagai berikut.1.  Koneksi antar konsep matematikaMatematika merupakan ilmu yang terstruktur dan saling terkait antar satu topik dengantopik lainnya. Dalil pengaitan Bruner (Suherman, dkk. 2001:48) menyatakan bahwadalam matematika antara satu konsep dengan konsep lainnya terdapat hubungan erat, bukan saja dari segi isi, namun juga dari segi rumus-rumus yang digunakan. Materi yangsatu mungkin merupakan prasyarat bagi yang lainnya, atau suatu konsep tertentudiperlukan untuk menjelaskan konsep lainnya. Ini sejalan dengan pendapat Ruseffendi

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 154/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

147

(1991: 152) tak ada konsep atau operasi yang tidak terkoneksi dengan koneksi lain dalamsuatu sistem.

2. Koneksi matematika dengan luar topik matematikaKoneksi matematika dengan luar topik matematika, terdiri dari koneksi dengan

disiplin ilmu lain dan koneksi dengan dunia nyata.a.  Koneksi matematika dengan disiplin ilmu lain.

Sujono (1988: 20) mengungkapkan bahwa matematika merupakan alat yang efisien dandiperlukan oleh semua ilmu pengetahuan, dan tanpa bantuan matematika semuanya tidakakan mendapat kemajuan yang berarti. Banyak ilmu-ilmu lain yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika. Antara lain ilmu fisika, kimia, biologi,teknik, pertanian, social, ekonomi, psikologi, filsafat. Selain itu, matematika jugamengabdi cabang ilmu humanisme yang meliputi seni lukis, salah satunya Golden Ratio dipergunakan dalam menentukan perbandingan ukuran dalam melukis. b. Koneksi matematika dengan dunia nyata.Ilmu matematika merupakan pendekatan yang logis yang dapat diterapkan di berbagailapangan. Matematika merupakan ilmu yang menyajikan dan menelaah hal-hal yangabstrak, sehingga seolah-olah tak ada hubungannya dengan kehidupan nyata. Pada

hakikatnya matematika telah berakar dalam setiap kegiatan manusia, dari hal yangsederhana sampai pada penelitian lanjut oleh para ahli dalam berbagai ilmu. Persoalandalam kehidupan sehari-hari biasanya berbentuk soal verbal atau dikenal dengan namasoal cerita.

2. Pembelajaran dengan KomputerKomputer merupakan alat yang bisa dimanfaatkan sebagai media utama dalam

 pembelajaran karena berbagai macam kemampuan yang dimilikinya, diantaranyamemiliki respon yang cepat secara virtual (tampilan) terhadap masukan yang diberikansiswa (user ), mempunyai kapasitas untuk menyimpan dan memanipulasi informasi, sertadapat digunakan secara luas sebagai alat dalam kegiatan pembelajaran. Di samping itu,komputer memiliki kemampuan yang lain yaitu dapat mengendalikan dan mengatur berbagai macam media dan bahan pembelajaran seperti film, video, slide, dan informasi

yang dapat dicetak.Terdapat dua macam pembelajaran berbasis komputer (Computer-Based Instruction) yaitu Computer Assisted Instruction  (CAI) dan Computer Managed Instruction  (CMI). Dalam CAI, siswa berinteraksi langsung (online) dengan komputersedangkan CMI membantu guru dalam mengadministrasi proses pembelajaran dan siswatidak online  dengan komputer. Dalam CAI terdapat berbagai keperluan pembelajarankhusus antara lain drill  dan practice, tutorial, permainan, simulasi, discovery/inquiry, dan pemecahan masalah. Masing-masing mempunyai aturan yang berbeda-beda dalam pengoperasiannya. Untuk mengoperasikan komputer digunakan suatu program. Programadalah suatu kumpulan perintah untuk komputer agar dapat dijalankan. Programseringkali disebut juga dengan  software. Sehingga dalam kegiatan pembelajaran yangmenggunakan komputer, mau tidak mau harus membuat suatu program aplikasi khususuntuk kegiatan pembelajaran yang biasa disebut courseware.

Menurut Ying (1999), courseware  adalah suatu istilah kombinasi antara katakursus (course) dengan perangkat lunak ( software), adalah bahan/materi dibidang pendidikan dalam suatu kit untuk para guru atau pelatih atau seperti pengajaran tambahanuntuk para siswa, yang dipaket dalam penggunaanya dengan suatu computer. courseware dapat meliputi : materi pengajaran untuk tentor dalam suatu kelas, bahan untuk pelatihan berbasis komputer (Computer-Based Training /CBT), situs web yang menawarkan tutorialinteraktif, bahan ajar yang dikoordinasikan dalam pembelajaran jarak jauh, seperti tatapmuka yang dilakukan lewat internet dan video untuk pengunaan secara individu atau

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 155/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

148

sebagai bagian dari kelas. Sedangkan CD-ROM merupakan suatu piranti umum untukmendistribusikan courseware  yang tidak ditawarkan secara online. Bagi para guru dan pelatih, isi courseware meliputi informasi set-up, rencana pengajaran, materi pengajaran,dan latihan.G. Metode dan Desain Penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian eksperimen. Desain yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

Eksperimen A O X OKontrol A O O

A = Pengelompokan subjek secara acakX = Kelas yang mendapatkan pembelajaran dengan menggunakan computer-

 based learningO = Adanya tes awal dan tes akhir

H. Populasi dan Sampel Penelitian 

Populasi dalam penelitian ini adalah seluruh siswa kelas XI SMA Negeri 5

Bandung. Dari keseluruhan kelas XI diambil dua kelas SBI. Pemilihan kelas eksperimendan kelas kontrol dilakukan secara acak. Terpilih kelas XI D sebagai kelas eksperimendan kelas XI C sebagai kelas kontrol.

I. Instrumen Penelitian

Alat pengumpul data pada penelitian ini adalah tes koneksi, angket, pedomanwawancara, lembar observasi, dan jurnal harian.1. Tes Koneksi

Terdapat dua tes dalam penelitian ini yaitu tes awal dan tes akhir. Tipe tes yangdigunakan adalah tes pilihan ganda dan tes uraian. Alat evaluasi ini terlebih dahuludiujicobakan untuk mengetahui validitas, reliabilitas, tingkat kesukaran, dan daya pembeda.

2. Angket, Pedoman Wawancara, Lembar Observasi, dan Jurnal HarianAngket, pedoman wawancara, lembar observasi, dan jurnal harian ini digunakanuntuk mengetahui sikap siswa terhadap pembelajaran model computer-based learning .

J. Prosedur Penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:1. Mengobservasi sekolah2. Menetapkan pokok bahasan yang akan digunakan dalam penelitian3. Menyusun rencana program pembelajaran4. Membuat instrumen penelitian5. Mengevaluasi instrumen oleh dosen pembimbing6. Melakukan uji coba instrumen penelitian

7. Melaksanakan penelitian dengan langkah-langkah sebagai berikut:a.  Memberikan tes awal pada kelas eksperimen dan kelas kontrol b.  Melaksanakan pembelajaran matematika dengan menggunakan model computer-

based learning   pada kelas eksperimen dan menggunakan cara ekspositori/cara biasa pada kelas kontrol

c.  Mengobservasi kelas eksperimend.  Memberikan angket dan jurnal harian kepada siswa kelas eksperimene.  Memberikan tes akhir pada kelas eksperimen dan kelas kontrol

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 156/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

149

8. Mengumpulkan, mengolah, dan menganalisis data9. Membuat kesimpulan berdasarkan hipotesis

K. Tekhnik Pengolahan data

Setelah data dikumpulkan, selanjutnya peneliti melakukan pengolahan pada datatersebut. Langkah-langkah yang digunakan dalam mengolah data tersebut adalah:1. Pengolahan data hasil tes:

a.  Uji normalitas dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov b.  Uji homogenitas dengan menggunakan uji Levenec.  Uji perbedaan dua rata-rata dengan menggunakan uji t dua pihakd.  Uji t satu pihak

2. Pengolahan data hasil angket, wawancara, jurnal, dan hasil observasiPengolahan data pada hasil angket adalah data disajikan dalam bentuk tabel

distribusi frekuensi, lalu diubah dalam bentuk persentase perbutir soal pada angket dan persentase keseluruhan siswa berdasarkan kategori sikap positif dan negatif, serta penafsiran hasil persentase.

Data hasil wawancara dan jurnal diringkas dan disimpulkan untuk menjawab

 permasalahan dalam penelitian ini.Data hasil observasi disajikan dalam bentuk tabel untuk memudahkan dalammembaca data.

L. Deskripsi dan Analisis Data Kemampuan Koneksi Matematis

Gambar 1: hasil tes awal kemampuan koneksi matematis siswa

Gambar 2: hasil tes akhir kemampuan koneksi matematis siswa

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 157/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

150

Dari kedua diagram di atas, terlihat bahwa skor tes awal kelas eksperimen dankelas control perbandingannya tidak terlalu jauh berbeda, hal ini menunjukkan bahwakemampuan koneksi matematis siswa (awal) kedua kelas homogen. Pada tes awal rata-rata kelas eksperimen adalah 3,1 dan rata-rata kelas eksperimen adalah 3,8. Pada tesakhir rata-rata kelas eksperimen adalah 6,7 dan rata-rata kelas kontrol adalah 6,5.Berdasarkan perolehan skor tes akhir pada kedua kelas tersebut, dapat diketahui bahwaskor tes akhir pada kelas eksperimen lebih tinggi dari pada skor tes akhir pada kelascontrol. Hal ini menunjukkan bahwa kemampuan koneksi matematis siswa denganmenggunakan model computer-based learning  lebih baik dari pada pembelajaran dengancara biasa.

Gambar 3: Diagram hasil gain kedua kelas

Perolehan rata-rata nilai gain pada kelas eksperimen adalah 3,6 dengan nilai gaintertinggi adalah 5,5 dan nilai gain terendah adalah 2. Sedangkan rata-rata nilai gain pada

kelas control adalah 2,6 dengan nilai gain tertinggi adalah 5 dan nilai gain terendahadalah 0,5. Dari hasil rata-rata gain kedua kelas tersebut, kita peroleh informasi bahwanilai rata-rata gain kelas eksperimen lebih tinggi daripada rata-rata gain kelas kontrol.Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa peningkatan kemampuan koneksi matematis siswa pada pembelajaran yang menggunakan model computer-based learning   lebih baik dari pada pembelajaran yang menggunakan cara biasa.M. Analisis Data Hasil Angket

Dari hasil angket, dapat disimpulkan bahwa siswa memberikan sikap yang positifterhadap pembelajaran menggunakan model computer-based learning .

N. Analisis Data Hasil Jurnal

Dari hasil jurnal yang ada, dapat dijelaskan bahwa:1.  Penggunaan model computer-based learning  merupakan suatu model pembelajaranyang inovatif dan kreatif di dalam pembelajaran matematika, sehingga model inidapat dijadikan suatu alternative dalam strategi mengajar.

2.  Model computer-based learning   sebagai perpaduan dari media pendidikan danhiburan dapat membuat suasana kelas menjadi lebih kondusif dan menyenangkanserta melatih anak untuk dapat belajar secara mandiri.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 158/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

151

3.  Model computer-based learning   dapat meningkatkan rasa ingin tahu siswa karenamateri dikemas secara menarik dan ringan.

Dari hasil jurnal selama 2 kali pertemuan dikelas eksperimen penelitimenyimpulkan bahwa siswa memberikan sikap positif terhadap model computer-basedlearning .

O. Analisis Data Hasil Observasi

Dari hasil observasi dapat disimpulkan bahwa selama proses pembelajarandengan menggunakan model computer-based learning   siswa terlihat aktif. Siswa secaramandiri memperlajari materi yang telah disiapkan dalam bentuk  software. Hal ini jugaterlihat ketika siswa diberikan latihan yang berupa kuis, siswa mengerjakan kuis tersebutsecara antusias dan kritis.

P. Kesimpulan

Berdasarkan data yang diperoleh dari hasil penelitian dan analisis data serta pengujian hipotesis yang telah dilakukan, dapat ditarik kesimpulan yaitu:

1.  Peningkatan kemampuan koneksi matematis siswa yang menggunakan modelcomputer-based learning  cukup tinggi.2.  Siswa yang mendapat pembelajaran matematika dengan menggunakan model

computer-based learning, kemampuan koneksi matematisnya lebih baik daripadasiswa yang mendapatkan pembelajaran matematika dengan cara biasa.

3.  Siswa kelas SBI (Sekolah Berstandar Internasional) XI D SMA Negeri 5 Bandungmenunjukkan sikap yang positif terhadap model computer-based learning . Sikap positif itu diantaranya adalah siswa lebih aktif dan mandiri dalam memahami pelajaran dan siswa terlihat antusias dan penasaran didalam pembelajaranmatematika.

Q. Saran

Berdasarkan uraian di atas, peneliti memberikan beberapa saran sebagai berikut:1.  Model computer-based learning  dapat digunakan sebagai suatu alternatif model pembelajaran, akan tetapi dalam implementasinya harus disesuaikan denganmateri pelajaran yang akan diajarkan, serta memperhatikan situasi dan kondisiyang ada.

2.  Guru harus melakukan persiapan yang matang sebelum memulai pembelajarandengan mengguankan model computer-based learning , mulai dari instrumentsoftware yang akan digunakan, computer, dan alokasi waktu.

Daftar PustakaHafitria, S. (2007). Pengaruh Penerapan Peta Pikiran (Mind Map) Dalam Pembelajaran

 Matematika Terhadap Kemampuan Koneksi Matematis Siswa SMP . SkripsiPPS UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Kusumah, Y.S. (2008).  Konsep, Pengembangan, dan Implementasi Computer-Based Learning Dalam Peningkatan Kemampuan High-Order MathematicalThinking . Bandung: UPI Press.

Linda, A. (2008).  Pembelajaran Matematika Menggunakan Mulitimedia Interaktif untuk Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Siswa SMU . Tesis PPS UPIBandung: Tidak diterbitkan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 159/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

152

 Nopianto, H. (2006).  Pembelajaran Matematikan Berbasis Komputer Tipe TutorialUntuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif Siswa SMP . (Online).Tersedia: [email protected].

Rohim, G. (2006).  Meningkatkan Kemampuan Pemahaman dan Komunikasi MatematisSiswa Melalui Pembelajaran Multimedia Berbasis Teknologi KomputerTipe Simulasi. Skripsi PPS UPI Bandung: Tidak diterbitkan.

Ruseffendi, E.T. (1991).  Pengantar    Kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya Dalam Pengajaran Matematika Untuk MeningkatkanCBSA. Bandung: Tarsito.

Setiadi, Y. (2005).  Desain Dan Pengembangan Bahan Ajar Matematika Interaktif Berbasis Teknologi Komputer Tipe Tutorial Untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Siswa SMA. (Online). Tersedia:[email protected].

Setiawan, A. (2008).  Implementasi Model Pembelajaran Conceptual Understanding Procedures (CUPs) Sebagai Upaya untuk Meningkatkan Kemampuan Koneksi Matematis Siswa. Skripsi PPS UPI Bandung: Tidak diterbitkan.

Sudjana. (2005).  Metoda Statistika. Bandung: Tarsito.

Tusniawati. (2007).  Pengaruh Pembelajaran Berbasis Masalah Terstruktur Terhadap Kemampuan Koneksi Matematis Siswa SMA. Skripsi PPS UPI Bandung:tidak diterbitkan.

Yuhana, Yuyun dan Hendrayana, A. (2008).  Pengembangan Model Bahan Ajar Matematika Interaktif Berbasiskan Teknik Komputer . (Online). Tersedia:http://eii.itb.ac.id 

Yulianti, K. (2004).  Penerapan Model Siklus Belajar (Learning Cycle) Pada Pembelajaran Barisan Dan Deret Dalam Upaya Meningkatkan Kemampuan Koneksi Matematik . Skripsi PPS UPI Bandung: tidakditerbitkan.

Walpole, R. E. (1995).  Pengantar Statistika  (terjemahan). Jakarta: Gramedia PustakaUtama.

Kizmaz, H. (1981). On Certain Sequence Spaces .  Canad. Mat. Bull. Vol. 24  (2).169-176.

Yee, L. P. (1989). Zeller Theory and Classical Sequence Spaces .  Lee Kong Chian

Centre for Mathematical Research.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 160/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

153

Penalaran Transformasional dan Pembuktian Matematis

ArmiatiJurusan Matematika FMIPA UNP Padang

Email: [email protected] 

Abstrak

Penalaran merupakan proses bepikir yang menghubung-hubungkan fakta-faktaatau evidensi-evidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan. Dalammatematika dikenal penalaran matematis, dan matematika itu sendiri adalah ilmu yangdiperoleh melalui bernalar. Secara umum terdapat dua tipe penalaran matematis, yaitu penalaran deduktif dan penalaran induktif. Tetapi dikenal pula jenis penalaran ke tigayaitu penalaran transformasional, penelaran jenis ini belum begitu banyak dibicarakan.Penalaran matematis sangat berkaitan dengan pembuktian, karena salah satu caramengembangkan kemampuan penalaran adalah melalui pembuktian.Tulisan ini akanmembahas penalaran transformasional dan pembuktian matematis.

Kata Kunci : Penalaran, penalaran transformasional, pembuktian

A.  PendahuluanKemampaun penalaran merupakan salah satu tujuan diberikannya pelajaran

matematika kepada siswa yang tertuang dalam kurikulum 2004 (KBK) dan KurikulumTingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Tetapi kenyataannya kemampuan ini belum begitudikembangkan dalam pembelajaran matematika, Berdasarkan data laporan TIMSS (2003,2007) diketahui bahwa kelemahan siswa Indonesia terutama terlihat dalam soal aplikasi(pemecahan masalah), dan penalaran matematis. Kondisi ini sangat memprihatinkan,karena kedua kemampuan tersebut diperlukan dalam menghadapi dunia yangsesungguhnya, yaitu dunia kerja. Kemampuan penalaran sangat dibutuhkan untukmengambil sebuah keputusan, artinya seseorang membutuhkan kemampuan penalaranuntuk sampai kepada suatu keputusan yang benar dan valid.

Secara umum disebutkan ada dua tipe penalaran yaitu penalaran deduktif dan penalaran induktif, tetapi ada jenis penalaran ketika yang didalamnya tercakup dua tipe penalaran sebelumnya. Makalah ini akan membahas tentang penalaran jenis ketiga yaitu penalaran transformasional. Penalaran dapat dikembangkan melalui pembuktian, makalahini juga akan mengkaji tentang pembuktian matematis.

B.  PembahasanPenalaran merupakan proses bepikir yang menghubung-hubungkan fakta-fakta

atau evidensi-evidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan (Keraf, 1982, p.5). Shurter dan Peire (dalam Sumarmo 1987) mendefinisikan penalaran sebagai proses penarikan kesimpulan logis berdasarkan fakta dan sumber yang relevan. Kedua pengertian ini menyiratkan bahwa kemampuan penalaran diperlukan untuk dapatmemperoleh suatu kesimpulan berdasarkan fakta-fakta yang ada serta sumber-sumber

yang relevan sebelum mengambil keputusan.Sehubungan dengan matematika, Tinggi (1972) dan Soedjadi (2000) menjelaskan

 bahwa matematika merupakan ilmu pengetahuan yang diperoleh melalui bernalar,merupakan pengetahuan tentang bernalar logik dan pengetahuan tentang struktur yanglogis. Sementara menurut Ruseffendi (2006) matematika terbentuk sebagai hasil pemikiran yang berhubungan dengan ide, proses dan penalaran. Artinya dalam usahanyamemahami pengetahuan matematika seseorang melakukan kegiatan penalaran. Jadi sudah

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 161/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

154

sewajarnyalah kalau kemampuan penalaran itu dikembangkan melalui pembelajaranmatematika.

Penalaran matematis adalah kemampuan untuk berpikir secara logis dansistematis. Penalaran matematis tidak hanya diperlukan dalam bidang matematika, tetapi juga dibidang lain yaitu dalam mengevaluasi argumen dan menyeleksi. Artinyakemampuan penalaran matematis perlu dikembangkan agar siswa dapat mengembangkan potensinya secara maksimal dalam menghadapi kehidupan dan mampu bersaing untuk bisa bertahan hidup dalam dunia yang selalu berubah.

Penalaran matematis diperlukan untuk mencapai kemampuan mengkonstruksikonjekture matematika, mengembangkan dan mengevaluasi argumen, serta menyeleksidan menggunakan berbagai tipe representasi (NCTM (2000). Berdasarkan standart yangdiberikan NCTM ini tersirat bahwa penalaran matematis tidak hanya diperlukan dalam bidang matematika, tetapi juga dibidang lain yaitu dalam mengevaluasi argumen danmenyeleksi. Ungkapan ini menyiratkan bahwa ketika seseorang dihadapkan padasejumlah pernyataan atau argumen, kemampuan penalaran matematis diperlukan untukmembuat pertimbangan atau mengevaluasi pernyataan tersebut sebelum ia membuatkeputusan. Selain itu tersirat pula bahwa kemampuan penalaran diperlukan untukmemilah dan memilih agar didapatkan suatu kesimpulan yang benar, sehingga akan

diperoleh suatu keputusan yang valid.Klauer ( 2001) menyebutkan, secara umum ada dua tipe penalaran yaitu deduktifdan induktif. Penalaran deduktif merupakan proses penalaran dari sekumpulan premisumum untuk mendapatkan konklusi yang valid secara logis. Sedangkan penalaraninduktif adalah proses penalaran dari premis-premis khusus atau dari observasi untukmendapatkan konklusi yang lebih umum atau suatu aturan secara menyeluruh.Selanjutnya Klauer dalam Christov (2007) mendefinisikan penalaran induktif sebagai perbandingan sistematis dan analitis dari objek-objek yang dimaksudkan pada penemuankesamaan dan atau perbedaan antara atribut atau relasi.

Sementara itu Simon (1996) menyebutkan ada jenis penalaran yang ke tiga yaitutransformasional. Menurutnya penalaran transformasional melebihi deduksi dan induksi,yang tidak hanya berupa mengumpulkan informasi, tetapi lebih merupakan pengembangan kepekaan terhadap situasi matematika yang dihadapi seseorang. Hal itu

merupakan realisasi (fisik atau mental) dari objek-objek yang merupakan transformasiyang dialami sekumpulan operasi pada objek yang melahirkan pertimbangan terhadapobjek dan hasil-hasil dari operasi itu. Dalam penalaran transformasional hal itumerupakan kemampuan sentral yang tidak hanya memberikan suatu pernyataan statis,tetapi lebih ke suatu proses dinamis yang berupa pernyataan baru atau lanjutan dari pernyataan yang lebih umum.

Penalaran tansformasional adalah penalaran dengan analogi dan antisipasi.Penalaran ini dapat menghasilkan suatu cara yang berbeda dari berpikir untukmatematika, sebagai sekumpulan pertanyaan dan permasalahan yang berbeda. Penalarantransformasional ditingkatkan oleh fluency (kelancaran) dan flexibility ( kelenturan),yaitu kemampuan untuk mengatasi perasaan yang mendalam dalam situasi matematikadan untuk menghasilkan pemikiran kreatif dalam situasi matematika (Haylock, 1978).Gray & Tall (1994 memfokuskan pada fleksibelitas sebagai suatu alat untuk

menghubungkan proses dan konsep. Penalaran transformasional tidak hanya berupasekumpulan informasi, tetapi lebih mengembangkan kepekaan situasi matematikaseseorang. Penalaran ini merupakan realisasi (fisik atau mental) dari suatu operasi atausekumpulan operasi pada objek yang dibawa untuk pertimbangan transformasi melaluiobjek dan menghasilkan operasi.

Avila & McGraw (tanpa tahun) menyebutkan bahwa penalaran transformasionalmemuat visualisasi mental action dan hasil-hasil dari action. Misalnya dalam materigeometri penalaran transformasional berarti memvisualisasikan bagaimana perubahan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 162/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 163/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

156

diketahui dan diyakini oleh siswa. Skema pembuktian dikelompokkan ke dalam tiga kelasutama:

•  External conviction (keyakinan eksternal) yang terdiri dari ritual, authoritarian,symbolic

•  Empirical (secara empiris) yang terdiri dari; inductive dan perceptual

•  Analytical (secara analitis) yang terdiri dari tansformational danaxiomatic

Skema pembuktian ritual adalah sikap yang mempertimbangkan argumen hanya berdasarkan tampilan di permukaan saja, argumen yang salah dianggap biasa, dan pembuktian kontradiksi tidak dipakai karena ” bukti kontradiksi tidak terlihat sebagai bukti matematika”. Dalam skema pembuktian simbolik fakta matematika hanyadibuktikan menggunakan penalaran simbolis, yaitu menggunakan simbol tanpamenyebutkan pengertiannya. Skema pembuktian otoriter dipercaya pada otoritasseseorang, (buku, guru). Skema pembuktian induktif dipercaya melalui sedikit contohtanpa perumuman (generalisasi). Skema pembuktian perceptual didasarkan pada bayangan mental (mental image) yang belum sempurna tanpa melakukan deduksi. Skema pembuktian trasformasional mencakup suatu proses deduktif, termasuk generalisasi,

 berorientasi pada tujuan dan antisipasi operasi mental, dan bayangan transformational(transformational image). Skema pembuktian aksiomatik bertujuan menyatakan suatusistem aksiomatik.

Knuth (Sabri, 2003) memperkenalkan tiga tingkatan yang berkenaan denganformalitas suatu bukti, yaitu bukti formal, bukti kurang formal dan bukti informal. Tigatingkatan ini dimaksudkan untuk membedakan bukti sebagai konsep yang dipakai dalammataematika dengan yang dipakai dalam kehidupan sehari-hari. Menurut Hanna (Sabri,2003) ciri-ciri bukti formal adalah (1) Setiap definisi, asumsi, dan system aksioma yangmendasarinya dinyatakan secara eksplisit, (2) Setiap langkah-langkah pembuktian disertaialasan deduktifnya

Berkenaan dengan diterimanya suatu teorema, Hanna (Hanna & Jahnke, 1996)memberikan lima kriteria

(1)  Teoremanya dapat dipahami, ada konsep yang tersirat dalam teorema dan tidak

ada yang diragukan kebenarannya dari teorema tersebut(2)  Teorema tersebut mempunyai implikasi yang cukup signifikan dalam satu atau

 beberapa cabang matematika sehingga memungkinkan diadakan penyelidikanlebih lanjut

(3)  Teorema tersebut dibangun dari beberapa hasil-hasil matematika yang sudah ada(4)  Penulis teorema mempunyai reputasi yang sudah diakui sebagai pakar dalam

 bidang matematika yang berhubungan dengan teorema tersebut(5)  Memuat argumentasi-argumentasi yang meyakinkan dan akurat

Dari pembahasan tentang penalaran transformasional dan pembuktian matematisdapat dilihat bahwa penalaran ini dapat dikembangkan melalui masalah-masalahmatematis yang menuntut pembuktian. Masalah-masalah tidak rutin yang membutuhkananalisis dan berpikir tingkat tinggi juga dapat mengembangkan kemampuan penalaran

transformasional.Soal berikut memperlihatkan bagaimana siswa menggunakan penalaran

transformasional dalam pembuktian. Diberikan sebuah kubus yang dibuat dari kubus-kubus kecil yang semua sama, ambil sebuah kolom dari kubus kecil. Banyaknyakubus kecil yang tersisa akan habis dibagi oleh enam. Cobalahterangkan mengapa hal ini bisa terjadi

(diambil dari penelitian Marco Cartiglia, Fulvia Furinghetti & Domingo Paola

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 164/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

157

Departimento di Matematica dell’Universita’di Genova, Italy)Untuk menyelesaikan soal, siswa menggunakan situasi konkrit dengan

memanfaatkan beberapa kubus kecil, mendapatkan ide baru, atau membayangkangambarnya, selanjutnya dari fakta-fakta yang ia peroleh ia menarik kesimpulan. Prosesyang terjadi dalam pikiran siswa tersebut melibatkan analogi dan intisipasi. Gambar berikut menjelaskan proses yang terjadi dalam pikiran siswa untuk mendapatkankesimpulan.

Berikut merupakan laporan solusi yang digambarkan siswa:Saya tidak puas dengan penguraian menggunakan simbol perhitungan (sayatelah berpikir: mengapa saya tidak menggunakan pemfaktoran ?)[ Ia

menghubungkan fakta bahwa sebelum menguraikan n3

  – n ia bekerja  melalui gambar ] dan saya telah melihat bagian-perbagian sebab saya inginmendapatkan sebuah bukti geometri [Andrea mencoba untuk memberikan pengertian tentang apa yang ia kerjakan. Ia terlihat terganggu oleh pembauranantara konteks geometri dari masalah dan alabar]. Tanpa sadar mungkin daricelah yang sangat kecil saya mulai menemukan kolom dalam pernyataan. Waktu saya melihat kolom, saya menyadari bahwa dua kolom sisa harus dipindahkanagar sebuah balok terbentuk [yang ia maksud paralelogram] yang tingginyaadalah ( x – 1), bagian dalam x, dan bagian kolom yang lebih besar (x + 1). Karena volume balok adalah b – h – p, saya menulis x (x-1)(x+1) yang samadengan pemfaktoran dalam perhitungan. Untuk lebih memahami ide saya lihat gambar yang memberikan langkah-langkah dalam operasiPenalaran transformasional meningkat melalui tiga jenis tanda-tanda (gelagat)

yang digunakan dalam satu cara yang terintegrasi. Pierce mendeskripsikan tiga tanda ituadalah icon   yaitu sesuatu yang menunjuk objek berdasarkan kesamaan, indek   yaitusesuatu yang menunjuk objek berdasarkan pendapat dalam beberapa cara, simbol   yaitusesuatu yang menunjuk objek berdasarkan beberapa persetujuan (konvensi). Pada permasalahan di atas siswa menggunakan semua jenis tanda ini dalam suatu cara yangterintegrasi. Pada awalnya icon (menggambarkan) adalah cara menguraikan masalahdengan kata-kata sendiri. Isyarat dengan tangan adalah suatu pengertian untukmeningkatkan penalaran transformasional. Dalam banyak kata-kata ditulis oeh siswa

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 165/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

158

(saya bermaksud menemukan sebuah solusi hanya dengan bilangan), kita melihat bahwasimbolnya tersembunyi, sedangkan gambar membawa suatu pengertian. Terlihat bahwaoperasi siswa melalui gambar adalah model simbolik. Ia memanipulasi kubus-kubussatuan sebagai representasi dari simbol aljabar x (x-1)(x+1).

Uraian di atas menjelaskan bahwa penalaran transformasional adalah suatu penalaran yang lebih komplek, didalamnya tercakup penalaran induktif dan juga penalaran deduktif. Proses induktif terjadi ketika ia mengambil beberapa kubus kecil, danmel;akukan pengamatan. Sedangkan proses deduktif terjadi ketika ia mengambil bentukumum dengan suatu variabel untuk menghasilkan rumus, dan kemudian membuktikanrumus tersebut.

Selanjutnya perhatikan masalah berikut yang berkaitan dengan tempat duduk disuatu stadion.

Berapa tinggi dari dasar jika anda duduk di barisan ke 5, ke 10 dan baris ke 50 ?.Dapatkanlah sebuah metoda yang akan menuntun anda untuk menjelaskan berapa tinggidari dasar jika duduk di sebarang baris.

Untuk masalah ini ada beberapa cara yang mungkin akan dimunculkan siswadalam menjawab. Mereka mungkin mencoba untuk menemukan sebuah solusi untuk beberapa kasus khusus. Misalnya menghitung tinggi dari dasar jika duduk dibaris ke 1, ke2 dan ke 3. Kemudian ia melihat pola yang muncul untuk mendapatkan solusi umumdari permasalahan. Bentuk penyelesaian ini menggunakan penalaran induktif. Beberapa siswalainnya mungkin melihat persoalan secara global, yaitu dengan memperhatikan tinggitempat duduk dan mencermati bagaimana perubahan tinggi itu jika barisan naik. Cara inimenggunakan penalaran transformasional.C.  Penutup

Penalaran transformasional adalah penalaran yang melebihi penalaran induktifdan penalaran deduktif, penalaran yang tidak hanya berupa mengumpulkan informasi,tetapi lebih merupakan pengembangan kepekaan matematika seseorang, penalarandengan analogi dan antisipasi, penalaran transformasional ditingkatkan oleh fkuency dan

flexibility, yaitu kemampuan untuk mengatasi perasaan yang mendalam dalam situasimatematika, menghasilkan pemikiran kreatif dalam situasi matematika, meningkatkansensitifitas, tidak hanya memberikan suatu pernyataan statis, tetapi lebih ke suatu prosesdinamis

Pembuktian dalam matematika berperan sebagai metode uji untuk pengetahuanmatematika yang terpercaya, yang berbeda dengan metode induktif yang diterapkandalam bidang ilmu pengetahuan alam”. Artinya melalui pembuktian terjadi kegiatan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 166/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

159

 bernalar, yaitu proses bepikir yang menghubung-hubungkan fakta-fakta atau evidensi-evidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan.

Penalaran transformasioanl dapat dikembangkan melalui masalah-masalahmatematis yang menuntut pembuktian. Masalah-masalah tidak rutin yang membutuhkananalisis dan berpikir tingkat tinggi juga dapat mengembangkan kemampuan penalarantransformasional.

Daftar PustakaAvila & McGraw (tanpa tahun).  Developing Mathematical Reasoning Among Middle

School Immigrant Student Building on First and Second LanguageCompetencies. University of Arizona

Finlow-Bates, K. (1996).  Investigating Notion of Proof: A Study of Students’ Proof Activities within The Context of A Fallibilist and Social Theory. Disertasi. SouthBank University:

Hanna, G.& Jahnke, N. (1996). “ Proof and Proving”. Dalam A.J Bishop et al. (ed) Internatioanl Handbook of Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer

Academic publishers

Haylock, D.W. (1987).  A Framework for Assessing Mathematical Creativity inSchoolchildren. Educational Studies in Mathematics, V. 30, 197 -210

Harel, G. & Sowder, L.: 1998, ‘Students’ proof schemes: Results from exploratorystudies’, Research in Collegiate Mathematics Education, v.III, 234-283.

Knuth, E.J. (2002). “ secondary School Mathematics Teacher’s Conception of Proof”. Jounal for Research in Mathematics Education. 33 (5), 379-405

Lee, P.Y. (2004). “ What Do We Do with School Geometri”. Makalah pada conferenceon Recent Progress in Mathematics Education (CRPME2004), 6-9 september

2004. ITB Bandung

Marco Cartiglia, Fulvia Furinghetti & Domingo Paola. (2004) , PATTERN OF REASONING IN CLASSROOM. Proceedeng of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2004 Vol 2pp287 – 294

 NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Sabri. (2003).  Prospective Secondary School Teachers’ Conceptions of Mathematical Proof in Indonesia. Tesis magister pada Universitas Curtin, Australia

Simon, M.A. (1996). Beyond Inductive and deductive Reasoning: the Search for a

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 167/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

160

PERCAKAPAN MATEMATIK UNTUK MENGEMBANGKAN KEMAMPUANBERPIKIR MATEMATIKA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH(MATHEMATI CAL DI SCOURSES TO DEVELOP THE ABI LI TY OF

MATHEMATICAL TH INKI NG IN PROBLEM SOLVING)

Endang Wahyuningrum,[email protected] 

ABSTRACT

Teaching paradigm shift in the paradigm of learning which give more to the role of students in their learning conducted in a democratic process, educate, motivate, andencourage creativity and dialogue. National Council of Teachers of Mathematics(NCTM, 2000) standardizes five basic communication ability in mathematic, There are a problem solving, verification and reasoning, connections and representation.

 Excavate their own ability, to formulate the problem and the problems on other people are one of the indications of the thinking ability of students. Ability students canbe developed through communication and expose that one of them can be packed in the

 form of conversation mathematics (mathematical discourse). Ability to solve the problemand ability to communicate mathematical ideas spontaneously cannot be obtainedimmediately. These abilities are built through training made repeatedly and continuously.

This article includes the study of mathematics is learned in school, communication,mathematics, problem solving and related research, eliciting and related research. Thisis expected to complete the information useful about mathematics and problem solving. Based on the study of literature the author concludes that the ability to empower studentsto communicate in the form of conversation is a potential ability to improve problem- solving.Key words : communication, mathematical discourses, mathematical thinking abilities, problem solving

A. PENDAHULUAN 

Prinsip (dalam Peraturan Pemerintah Republik Indonesia nomor 19 tahun 2005tentang Standar Nasional Pendidikanp) bahwa penyelenggaraan pendidikan dinyatakansebagai suatu proses pembudayaan dan pemberdayaan peserta didik yang berlangsungsepanjang hayat tersebut menyebabkan adanya pergeseran paradigma proses pendidikanyaitu dari paradigma pengajaran ke paradigma pembelajaran yang memberikan peranlebih banyak kepada peserta didik dalam membangun pengetahuannya.Setiap penyelenggara dan satuan pendidikan harus berpedoman pada kriteria minimal yangditetapkan pemerintah dalam Peraturan Pemerintah Republik Indonesia nomor 19 tahun2005 tentang Standar Nasional Pendidikan dan salah satunya adalah pembelajarandilaksanakan dalam proses yang demokratis, mendidik, memotivasi, mendorongkreativitas dan dialogis. Menindaklanjuti aturan pemerintah tersebut, guru sebagai agen pembelajaran hendaknya kreatif mengembangkan potensi dan kreativitas peserta didikdalam proses pembelajaran.

Dalam proses pembelajaran matematika, seringkali sulit bagi guru untuk mengetahuikesulitan peserta didik (selanjutnya disebut sebagai siswa) dalam memahami matematika.Adanya siswa yang mengalami kesulitan baru diketahui setelah evaluasi akhir pelajaranselesai dinilai. Sebagai perbaikan, pembelajaran harus mampu menggali kemampuansiswa dalam menemukan dan menyampaikan permasalahannya sendiri. Kemampuanmenggali sendiri, merumuskan masalah dan menyampaikan masalah pada orang lainmerupakan salah satu indikasi adanya kemampuan berpikir dalam diri siswa. Kemampuan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 168/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

161

siswa ini dapat dikembangkan melalui komunikasi yang salah satunya dapat dikemasdalam bentuk percakapan matematik (mathematical discourse).

Dalam proses belajar matematika (NTCM) menetapkan lima kemampuan yang harusdikuasai siswa yaitu, kemampuan penalaran, koneksi, komunikasi, pemecahan masalahdan kemampuan representasi matematika (NCTM, 2000). Selain itu, Henry Pollakseorang matematikawan yang berkonsentrasi pada kajian matematika industri (NTCM,1989: 4) menyatakan bahwa kemampuan matematika yang harus dimiliki seorang pekerjadan dituntut dalam dunia industri meliputi: (i) kemampuan mengatasi masalah dengan penanganan yang tepat, (ii) pengetahuan tentang beragam teknik untuk memahami danmenyelesaikan masalah, (iii) memahami konsep matematika yang mendasari suatumasalah, (iv) kemampuan bekerja sama dengan rekan kerja dalam mengatasi suatumasalah, (v) kemampuan memahami penerapan ide-ide matematika pada masalah-masalah yang kompleks dan yang sering terjadi, (vi) kemampuan mempersiapkan untuksituasi masalah yang terbuka, karena sebagian besar masalah nyata sulit untukdiformulakan dengan baik, (vii) memiliki kepercayaan dalam manfaat dan nilaimatematika.

Tuntutan industri sebagai stakeholder terhadap kemampuan pekerja diterjemahkandalam lima tujuan siswa belajar matematika (NTCM, 1989: 5) yaitu: (i) siswa belajar

matematika untuk memberikan penilaian terhadap matematika, (ii) siswa menjadi percayadiri terhadap kemampuan mereka dalam mengerjakan matematika, (iii) siswa belajaruntuk menjadi seorang yang terampil menyelesaikan masalah ( problem solver ), (iv)mereka belajar untuk mampu mengkomunikasikan idenya secara matematik, dan (v)mereka belajar untuk mampu bernalar secara matematik. Berdasarkan penalaran dankajian ilmiah yang dikuasainya, siswa mampu menjadi problem solver yang baik.

Aspek pemahaman matematis yang diperoleh siswa melalui belajar dan memecahkanmasalah matematika mencakup pemahaman proses dan produk. Pemahaman produkdalam matematika mencakup pemahaman konsep, postulat, rumus, hukum pernyataan,teorema dan lain-lain. Sedangkan pemahaman proses, terbatas pada proses mengenaiaspek kognitif yang sesuai dengan aspek kognitif pemahaman. Kedua pemahaman dapatdiperoleh siswa secara efektif melalui proses belajar yang menyertakan kemampuankomunikasi siswa dalam menyampaikan gagasannya secara eksplisit.

Kemampuan pemecahan masalah dan mengkomunikasikan gagasan matematikasecara spontan dan bermakna bukanlah kemampuan yang dapat diperoleh seketika.Kemampuan itu harus dibangun melalui latihan dan pembiasaan yang dilakukan secara berulang dan terus menerus sejak level belajar hingga pada level-level berikutnya.

B. PEMBAHASAN Mengingat begitu kuatnya tuntutan stakeholder terhadap kemampuan matematika

siswa dan begitu strategisnya kemampuan siswa dalam pemecahan masalah matematikaserta dalam mengkomunikasikan gagasan matematikanya, maka sangatlah penting untukmengkaji seluk beluk komunikasi matematik, percakapan matematik (mathematicaldiscourse) dan kemampuan pemecahan masalah.

Komunikasi matematikaWilliams and Baxter (1996) dalam Harbaugh (2005) berargumen bahwa sebagian

 besar pengetahuan matematika yang didiskusikan dalam kelas sudah dikreasikan dandiupayakan agar siswa merasa seolah-olah merekalah adalah arsitek dari konstruksi ilmumatematika. Namun upaya ini tidak bermakna seperti yang diharapkan karena upaya inisering dilakukan sebagai ritual. Penekanan komunikasi dalam kelas matematikamembantu pergeseran kelas dari suasana dimana siswa tergantung sepenuhnya pada guru

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 169/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

162

ke suasana lain dimana siswa berasumsi dirinya lebih bertanggungjawab dalammemvalidasi pemikiran mereka (NTCM, 1989, p. 79).

Banyak pendidik matematika percaya komunikasi adalah bagian yang penting darimatematika. Komunikasi adalah cara untuk menyampaikan ide dan mengklarifikasi pemahaman. Melalui komunikasi, ide menjadi objek refleksi, perbaikan, diskusi dan perubahan. Proses komunikasi juga membantu membangun makna dan kemapanan suatuide dan membuatnya diketahui khalayak (NTCM, 2000).

Komunikasi matematik dapat merupakan kegiatan sentral di kelas dalammengeksplore kemampuan siswa yang dapat memaksimalkan pemahaman konsepmatematika siswa dan meningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematika (Lim,C. S. & Chew, C.M.: 2007). Selama belajar matematika, siswa perlu mengaitkan bahasasehari-hari dengan bahasa matematika dan symbol. Ketika menyelesaikan masalah, siswa perlu melakukan koneksi penting antara informasi yang konkret dengan situasi yangabstrak. Melalui komunikasi matematik yang efektif siswa akan dapat mengelola danmemperkuat pemahaman konsep matematika mereka serta dapat menjelaskan pemikiranmatematik mereka secara runut, logis dan jelas pada teman sebaya, guru dan lainnya.

Baroody dalam Lim (2007) mengajukan dua alasan pentingnya komunikasimatematik. Pertama, matematika secara esensi adalah sebuah bahasa bagi dirinya.

Matematika tidak hanya alat berfikir yang membantu manusia untuk menemukan polasuatu fenomena, menyelesaikan masalah dan menggambarkan kesimpulan, tetapi jugaalat untuk mengkomunikasikan pemikiran, bermacam ide secara jelas, tepat dan singkat.Dan pada kenyataannya matematika dipertimbangkan sebagai bahasa universal dengansimbol dan strukturnya yang unik. Masyarakat di seluruh permukaan bumi dapatmenggunakan bahasa matematika untuk mengkomunikasikan informasi secara matematikmeskipun bahasa ibu mereka berbeda.

Kedua, belajar mengajar matematika adalah kegiatan sosial yang menyertakansedikitnya dua komponen yaitu guru dan siswa. Dalam proses belajar mengajar, sangatlah penting memahami bahwa pemikiran dan ide dikomunikasikan pada orang lain melalui bahasa. Secara mendasar, perpindahan ide dan pengalaman ini menyatakan adanya suatu proses belajar mengajar. Didalamnya, komunikasi dengan teman sebaya sangatlah penting untuk mengembangkan keterampilan berkomunikasi sebagaimana belajar untuk

 berfikir seperti ahli matematika dan menyelesaikan masalah dengan sukses. Baroodydalam Lim (2007) mengusulkan juga bahwa dengan memotivasi siswa untuk bicaramengenai gagasan mereka adalah cara yang istimewa dan baik bagi siswa untuk mencarikesenjangan pemahaman, ketidakkonsistenan, atau kekurangjelasan dalam pemikiranmereka. Komunikasi antara siswa sebaya dan guru akan memperkuat pemahaman pengetahuan konsep matematika. Ketika siswa berfikir merespon, berdiskusi, merinci,menulis, membaca, mendengarkan dan menemukan suatu konsep matematika, merekamemperoleh dua keuntungan yaitu: pertama, mereka berkomunikasi untuk mempelajarimatematika; dan kedua, mereka belajar mengkomunikasikannya secara matematik(NTCM, 2000)

Guru dapat mempelajari pemikiran siswa melalui percakapannya dengan temansebaya dan guru mempercepat pemahaman yang dalam tentang pengetahuan konsepmatematika. Siswa dapat mengelola dan memperkuat pemikiran matematika mereka

melalui percakapan. Ketika siswa menjelaskan metode penyelesaian masalah yangmereka gunakan, menpertanggungjawabkan penalaran mereka dihadapan kelas dan guru,dan memformulakan pertanyaan tentang sesuatu yang masih belum dipahaminya secarautuh, mereka memperoleh kemampuan menjangkau ke bagian terdalam pemikiranmereka. Dengan cara ini siswa juga berkesempatan menguji ide mereka dalam komunitasmatematik di kelas untuk mengetahui apakah penjelasan gagasan mereka dapat dipahami.Komunitas pendidikan matematika memiliki ketertarikan yang kuat tentang penggunaan percakapan matematik dalam proses belajar mengajar matematika (NTCM, 1991).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 170/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

163

Mengapa Mathematical Discourse?Standar Kompetensi Kurikulum (Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 23

Tahun 2006) dimana kecakapan atau kemahiran matematika yang diharapkan dapattercapai dalam belajar matematika mulai dari SD dan MI sampai SMA dan MA adalahsebagai berikut, (1) menunjukkan pemahaman konsep matematika yang dipelajari,menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secaraluwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah, (2) memiliki kemampuanmengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, grafik atau diagram untukmemperjelas keadaan atau masalah, (3) menggunakan penalaran pada pola, sifat ataumelakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, ataumenjelaskan gagasan dan pernyataan matematika, (4) menunjukkan kemampuan strategikdalam membuat (merumuskan), menafsirkan, dan menyelesaikan model matematikadalam pemecahan masalah, (5) memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalamkehidupan.

 NTCM (1991) menetapkan enam standar untuk pengajaran matematika yaitu: pertama, tugas-tugas matematika yang bermanfaat; kedua, peran guru dalam percakapan(discourse); ketiga peran siswa dalam percakapan; keempat, alat-alat yang menunjang percakapan; kelima lingkungan belajar; keenam, analisis belajar mengajar. Dengan

memperhatikan standar pengajaran matematika secara nasional dan internasional terlihat bahwa peran guru sangatlah penting untuk mengembangkan kemampuan siswa berkomunikasi dalam percakapan matematika dan kemampuan pemecahan masalah.

 NCTM (1991, p. 35) telah menetapkan salah satu dari keenam standar untuk pengajaran matematika adalah menyangkut peran guru dalam mengelola percakapanmatematik di kelas. Untuk memperjelas standar tersebut banyak aspek peran guru dalam percakapan yang telah teridentifikasi yaitu agar guru selalu dengan seksama bersikap: (1)memperhatikan ide-ide yang dikemukakan siswa; (2) meminta siswa untukmengklarifikasi dan menjastifikasi ide-ide mereka baik secara lisan atau tertulis; (3)memutuskan mana diantara ide-ide yang dikemukakan siswa yang harus dikejar untukdibahas secara mendalam oleh siswa selama diskusi; (4) memutuskan kapan memberi bantuan dengan menambahkan informasi yang dibutuhkan siswa; dan (5) kapan harusmembiarkan siswa berjuang mendapat solusi dari kesulitan yang mereka hadapi.

 NCTM’s Communication Standard (NTCM, 2000, p. 60) merekomendasikan gurudan program yang telah dirancang agar memungkinkan siswa mampu: mengelola danmemperkuat proses berfikir matematikanya melalui komunikasi; menyampaikan pemikiran matematika mereka secara koheren dan jelas pada teman sebaya, guru danlainnya; menganalisis dan menilai proses berfikir matematikanya dan juga strategilainnya; serta menggunakan bahasa matematika untuk mengekspresikan idematematikanya secara tepat.

Percakapan Matematik (mathematical discourse)Percakapan di kelas (the discourse of a classroom) dalam NCTM (2000), yang

merupakan cara untuk merepresentasikan, memikirkan, membicarakan, mempertanyakan,menyetujui, dan tidak menyetujui suatu konteks. adalah inti belajar matematika dan dapatmenggambarkan pemahaman siswa. Didalam percakapan terjadi pertukaran ide-ide, proses yang memuat informasi tentang apakah ide-ide itu diperlukan, siapa yang sedang bicara, apa yang dibicarakan, bagaimana percakapan itu terjadi, siapa yang mengajukan pertanyaan, ide dan cara berfikir siapa yang bernilai.

Percakapan matematik (NTCM, 2000) memungkinkan siswa mencapai pemahamanyang ditargetkan. Percakapan yang memuat tanyajawab (Piccolo, D., Carter, T.,Harbaugh, A., Capraro, M. M., & Capraro, R. M., 2008) dapat menjadi kendaraan bagisiswa untuk mengalami perubahan menuju pada level berfikir matematik yang lebihtinggi, bahkan bagi gurupun sebagai pengelola utama proses pembelajaran di kelas dapat

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 171/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

164

memanfaatkan kondisi percakapan matematik di kelas sebagai refleksi untuk melakukan perubahan yang mampu mengeksplore secara maksimal semua komponen kelas dalamupaya meningkatkan level berfikir matematik siswa pada level tertingginya. Melalui percakapan matematik di kelas, siswa memperoleh wawasan yang menjadikannya percaya diri mengatur menentukan disposisi secara mandiri proses berfikir dan belajarnyadidalam komunitas belajar.

Banyak cara guru untuk mengelola kelas agar potensi kelas dalam mengeksplorekemampuan anak untuk memahami konsep matematika dan kemampuan menyelesaikanmasalah terekspose secara maksimal hingga siswa menyadari dan percaya bahwa dirinyamampu berfikir dan bekerja secara matematik. Lampert melakukan kajian tentang percakapan matematik di kelas dengan memfasilitasi diskusi kelas secara utuh dimana para siswa bersama menentukan penyelesaian suatu masalah (Lampert, 1986: dalam NTCM 2000). Lesh melakukan penelitian menggunakan kelompok kecil siswa yangtanpa didampingi guru (Lesh, 1985 dalam NTCM, 2000). Berikut akan dijelaskan peranguru, siswa dan peran alat bantu dalam menciptakan percakapan matematik yang berkualitas.

Peran guru matematika mengelola percakapan dikelas (NTCM, 2000)

Dalam mengelola proses belajar matematika di kelas agar potensi siswa tergali secaramaksimal, peran guru sangatlah penting dengan cara: (1) mengajukan pertanyaan dantugas yang membangkitkan, melibatkan dan menantang setiap siswa untuk berfikir; (2)mendengarkan dengan seksama ide-ide yang disampaikan siswa; (3) meminta siswauntuk mengklarifikasi dan mempertahankan kebenaran pendapat siswa secara lisan dantulisan; (4) memutuskan ide yang mana yang harus benar-benar diperjuangkan dalamdiskusi; (5) memutuskan kapan dan bagaimana notasi dan bahasa matematika digunakan pada ide yang disampaikan siswa; (6) memutuskan kapan memberikan informasi, kapanmengklarifikasi suatu isu, kapan membuat pemodelan, kapan membimbing dan kapansaatnya membiarkan siswa berjuang dengan kesulitan dalam percakapan; (7) memonitorkeikutsertaan siswa dalam diskusi dan memutuskan kapan dan bagaimana memotivasisetiap siswa untuk berpartisipasi.

Percakapan matematik dikelas memiliki tema yang mendorong seluruh komponenkelas untuk mengkreasi segala sesuatu yang memiliki arti. Guru mempunyai peran sentraldalam mengarahkan percakapan yang berkontribusi terhadap pemahaman matematikasiswa. Percakapan matematika yang efektif umumnya tidak akan terjadi secara spontan dikelas. Percakapan matematika yang efektif memerlukan suasana dimana pikiran setiaporang dihargai dan dengan penalaran dan argumen tentang makna matematika sebagaiaturannya. Siswa, dimana baginya gurulah yang harus paling banyak berperan sedangkandirinya pasif, perlu dibimbing dan dimotivasi agar berpartisipasi secara aktif dalam percakapan suatu komunitas dengan berkolaborasi. Beberapa siswa yang secara khusus berhasil dalam kelas matematika konvensional mungkin resisten untuk berbicara, menulisdan bernalar bersama-sama tentang matematika.

Satu aspek dari peran guru adalah menyemangati siswa untuk bernalar tentangmatematika. Guru harus melakukan hal ini melalui pemberian tugas yang telah gurusiapkan begitupula dengan pertanyaan-pertanyaan yang akan mereka tanyakan. Sebagaicontoh, guru secara berkala menyertakan pernyataan siswa dengan kata tanya “mengapa”atau dengan meminta mereka untuk menjelaskan. Dengan melakukan hal ini secarakonsisten, tidak bergantung pada kebenaran pernyataan siswa, merupakan bagian yang penting dalam mewujudkan sebuah percakapan yang fokus pada penalaran matematik.Menanamkan perhatian ketertarikan dengan meminta siswa untuk menjelaskan ataumengembangkan suatu ide, membantu mewujudkan norma-norma kesopanan dan penghormatan dari pada kritikan dan perdebatan. Guru juga menstimulus percakapan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 172/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

165

dengan meminta siswa untuk menuliskan penjelasan tentang penyelesaian mereka danmemberikan keputusan terhadap ide mereka.

Dengan menekankan tugas yang fokus pada berfikir dan bernalar memberikankesempatan pada guru untuk memperoleh informasi akan penilaian terhadap proses yangsedang berlangsung. Pengajuan pertanyaan yang baik dapat membangkitkan danmemperluas pemikiran siswa secara simultan. Keterampilan guru dalammemformulasikan pertanyaan dalam mengelola percakapan baik secara lisan maupuntulisan untuk mengarahkan penalaran matematika adalah penting.

Gambaran kedua dari peran guru adalah aktif dalam cara yang berbeda dengan yang biasa terjadi dalam percakapan di kelas konvensional. Guru harus memotivasi danmenuntut siswa melakukan atau mengerjakan secara virtual semua percakapan, pemodelan, dan penjelasan mereka sendiri. Guru harus lebih mendengarkan, dan siswalebih banyak bernalar. Untuk percakapan yang mempromosikan belajar siswa, guru harusmengelola percakapan kelas dengan hati-hati. Karena banyak ide yang akan muncul,guru harus menyaring dan mengarahkan eksplorasi siswa dalam berargumen denganmenetapkan beberapa point penting yang dapat dijadikan bahan percakapan utama, danmeninggalkan point-point lainnya yang kurang penting untuk dibicarakan. Denganmelakukan hal ini mencegah siswa untuk aktif dan berbicara yang tidak fokus.

Pengetahuan akan matematika, kurikulum dan siswa akan mengarahkan keputusan-keputusan guru terhadap isi dan proses percakapan. Sebagai upaya mengklarifikasi ataumemprovokasi pertanyaan, guru juga menyediakan informasi dan memimpin siswa.Keputusan tentang kapan membiarkan siswa berjuang untuk menjadikan idenya ataumasalah yang diajukannya layak tanpa masukan bimbingan guru, kapan meminta dengan pertanyaan yang terarah, kapan mengatakan pada siswa sesuatu secara langsung adalah penting dalam mengelola percakapan matematika yang produktif.

Aspek ketiga dari peran guru dalam mengelola percakapan di kelas adalahmemonitor dan mengorganisir partisipasi siswa. Siapa yang berkomentar secara sukareladan siapa yang tidak ? bagaimana respon siswa terhadap siswa lainnya? Apa perbedaansiswa yang dapat merekam atau merepresentasikan pemikiran mereka kedalam tulisan?Apakah mereka dapat menuangkannya dalam kata-kata, dan dalam konteks yang bagaimana? Guru harus komitmen untuk melibatkan setiap siswa berkontribusi dalam

kegiatan berfikir di forum percakapan kelas. Guru harus menetapkan kapan siswa harus bekerja dan berbicara dalam kelompok kecil dan kapan dalam kelompok besar merupakankajian yang sangat bermanfaat. Mereka harus membuat keputusan yang sensitif tentang bagaimana bercakapan beralih giliran, secara substansi, jika percakapan fokus pada belajar untuk bernalar secara matematik. Guru harus menahan diri dari memanggilseorang siswa yang kelihatannya memiliki jawaban yang benar untuk memungkinkan pemikiran yang lebih bervariasi lainnya muncul dan tereksplore dalam percakapan.Dengan menunjukkan perhatian pada pemikiran dan asumsi yang disampaikan siswa,guru dapat memotivasi siswa untuk berpartisipasi dalam norma-norma yangmemungkinkan anggota kelompok menjasitifikasi ide-ide mereka. Guru harus berfikirluas tentang banyak cara untuk mengajak siswa berkontribusi dalam percakapan di kelas.Guru melayani dengan berperan sebagai fasilitator dalam percakapan matematik di kelasdengan menginisiasi diskusi dan dengan peran yang tidak evaluatif.

Peran siswa dalam percakapanSiswa sebagai subjek dalam pembelajaran matematika merupakan pemeran utama

dalam proses percakapan matematik. Dengan memerankan dirinya sebagai orang yangmemiliki keyakinan akan kemampuan membangun pengetahuan matematika bagi dirinyadan memiliki motivasi mandiri untuk menyampaikan gagasan matematikanya sebagaiupaya mengklarifikasi apa yang dipahami secara terbuka, dalam percakapan matematiksiswa harus: (1) mendengarkan, merespon, bertanya pada guru atau lainnya; (2)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 173/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

166

menggunakan cara yang bervariasi untuk bernalar, membuat koneksi, menyelesaikanmasalah dan berkomunikasi; (3) menginisiasi suatu masalah dan pertanyaan; (4) membuatdugaan dan menyampaikan solusi; (5) mengeksplore contoh-contoh dan bukan contohuntuk menginvestigasi suatu dugaan (a conjecture); (6) berusaha untuk yakin pada dirimereka sendiri dan lainnya akan validitas suatu representasi, solusi, dugaan, dan jawaban;dan (7) bersandar pada bukti dan argument secara matematik untuk menetapkankebenaran.

Alat-alat untuk meningkatkan percakapan matematika di kelasPercakapan kelas (classroom discourse) sangat mempengaruhi apa yang dipelajari

siswa tentang matematika. Siswa harus terlibat dalam membuat konjektur, mengusulkansuatu pendekatan dan solusi suatu masalah, dan berargumen tentang kebenaran suatuklaim tertentu. Mereka harus belajar memverifikasi dan merevisi bukti-bukti matematikdan menggunakan bervariasi alat-alat matematika. Apakah bekerja dalam grup kecil ataugrup besar mereka harus menjadi pendengar bagi komentar teman lainnya, mereka harus berbicara dengan yang lainnya dengan tujuan untuk meyakinkan atau menanyakan pasangan lainnya. Percakapan harus fokus pada ide-ide matematika, menggunakan ide-ide matematika dalam membuat dan menyelesaikan masalah.

Dalam percakapan matematik kadang guru dan siswa membutuhkan alat yang potensial memaksimalkan proses berpikir yang meningkatkan kemampuan siswa dalammemahami konsep matematika, beberapa alat yang dapat digunakan adalah: (1)computer, kalkulator dan produk teknologi lainnya; (2) benda-benda konkret yang dapatdigunakan sebagai model; (3) Lukisan, diagram, table dan grafik; (4) symbol-simbol danaturan yang telah lama berlaku; (5) analogis, cerita-cerita; dan (6) presentasi tertulis.

Untuk mewujudkan percakapan yang fokus pada pengeksploran ide-ide matematika,tidak hanya melaporkan jawaban yang benar, tapi juga mencakup pendekatan dankomunikasi matematika terhadap penalaran matematika yang luas dan bervariasi. Guruharus menghargai dan memotivasi penggunaan beragam alat daripada secara berlebihanmenggunakan simbol-simbol matematika konvensional. Beragam makna dari komunikasitentang matematika sebaiknya diterima, termasuk gambar, diagram, simbol, dan analogis.Guru sebaiknya memperkenalkan notasi yang biasa digunakan pada saat tertentu ketika

 percakapan berlangsung. Guru sebaiknya membantu siswa belajar menggunakankalkulator, komputer dan temuan teknologi sebagai alat yang dapat digunakan dalam percakapan matematika.

Karena percakapan kelas matematika merefleksikan pesan tentang apa yang memberimakna untuk mengetahui matematika, apa yang membuat sesuatu benar dan beralasan,dan pekerjaan apa yang memerlukan matemátika, ini adalah fokus apa yang arus siswa pelajari tentang matemátika dan juga bagaimana mereka mempelajarinya. Oleh karenaitu, percakapan kelas matematika muncul pada cara untuk mengetahui dan berkomunikasisecara matematika. Aktifitas dan percakapan di kelas memberikan kesempatan padasetiap siswa untuk belajar tentang topik tertentu serta mengembangkan kemampuanmereka dalam bernalar dan berkomunikasi tentang topik tersebut. Sikap siswa terhadapmatematika juga secara mendasar dipengaruhi oleh pengalaman yang mereka peroleh saat beraktifitas secara matematika. Meskipun guru terlihat diam sesaat, guru tetap berperan

utama dalam memotivasi percakapan matematika yang berkualitas. Keterampilan gurudalam mengembangkan dan mengintegrasikan tugas dan percakapan dengan cara yangmempromosikan belajar siswa tergantung pada konstruksi dan pengelolaan darilingkungan belajar yang mendukung dan menumbuhkan beragam aktifitas dan pemikiran.

Intervensi GuruDalam percakapan matematika The Math Forum’s Bridging Research and Practice

Group mengidentifikasi adanya intervensi guru dalam upaya memaksimalkan kualitas

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 174/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

167

 percakapan matematik di kelas. Guru menggunakan banyak pendekatan dalam membantusiswa mengembangkan kemampuan berfikir matematika siswa. Intervensi ini seringdilakukan guru dalam mengelola percakapan matematik di kelas. Ketika guru merefleksi proses pembelajaran yang telah dilakukannya, kadang dalam pemikiran guru muncul pertanyaan “apakah pernyataan berulang bagi siswa telah membantu mereka untukmemperjelas kata-kata mereka sendiri dan untuk mencapai pemahaman permasalahan?”.Atau di dalam kasus-kasus yang lain muncul pemikiran “apakah dirinya telah terlalu banyak dan terlalu cepat-cepat membantu para siswa menuju akhir yang sama”.

Para guru sering kali menghadapi keadaan di mana strategi yang serupa dapatmenjurus kepada hasil-hasil yang berlawanan. Guru menghendaki para siswamengembangkan kapasitas mereka untuk mengidentifikasi pertanyaan yang baik. Gurumenghendaki siswa menemukan bahwa dirinya dapat menyelesaikan masalahmatematika, dan menilai apakah suatu solusi bisa dipahami. Guru menunjukkan padasiswa bahwa setiap gagasan yang diusulkan dihargai, dan masing-masing orang di dalamkelas bertanggung jawab untuk mengevaluasi apakah satu gagasan matematika sesuaiatau tidak. Siswa juga merasakan bahwa ada otoritas guru yang mendidik di dalam kelas.

Intervensi berbentuk Pertanyaan

Bentuk intervensi bisa bervariasi. Pertanyaan merupakan salah satu bentuk intervensiyang sering digunakan guru. Satu upaya yang dapat dibuat secara eksplisit denganharapan bahwa para siswa bertanggung jawab untuk meningkatkan pemecahan masalahmereka adalah guru akan secara teratur menanyakan mereka pertanyaan-Beberapa contoh pertanyaan-pertanyaan bahwa para guru adalah:1.  Apa yang anda melakukan? (dapatkah anda menguraikannya dengan tepat?)2.  Mengapa anda melakukan nya? (Bagaimana cara itu berkait dengan solusi?)3.  Bagaimana cara itu membantu anda? (Apa yang anda lakukan dengan hasil ketikaanda memperolehnya?)

Menanyakan kembali pada siswa yang bertujuan untuk mempertanggungjawabkan pertanyaan atau gagasan mereka serta memberikan para siswa bantuan-bantuan mulaidengan mengidentifikasi kesenjangan, celah atau jurang kebutuhan-kebutuhan yangmereka dapatkan saat bekerja dengan permasalahan. Para siswa dapat memiliki kebiasaan

tentang bertanya satu sama lain melalui pertanyaan-pertanyaan ini sebagai suatu hal yangreguler dalam proses pemecahan masalah mereka.Proses tanya jawab dapat membantu para siswa mengenali apa yang sudah mereka

 pahami dan apa yang belum mereka pahami. Guru juga menghendaki para siswa menjadi bertanggung jawab mengidentifikasi dan mengajukan pertanyaan-pertanyaan merekasendiri. Guru menghendaki mereka bertanya tentang apa yang mereka tidak memahami.Guru menghendaki mereka untuk memperbincangkan tentang sumber daya yang sudahmereka jelajah, dalam proses pemecahan masalah, di mana yang sedang mereka pikirkanatau sudah terpecahkan. Sebelum mengajukan pertanyaan, guru sebaiknya berpikirtentang bagaimana menyampaikan pertanyaan-pertanyaan matematika. Berpikir tentang pertanyaan-pertanyaan yang mungkin siswa tanyakan berguna untuk membedakan antara pertanyaan-pertanyaan terarah dan tidak terarah.

Intervensi Pengulangan pernyataan siswa oleh guru (Revoicing)Dalam percakapan di kelas seringkali guru melakukan intervensi dengan

mengucapkan kembali kepada kelas suatu pernyataan seorang siswa yang bermaksud agarsiswa sekelas memahami dengan jelas apa yang disampaikan temannya. Wells (1999)dalam kajiannya menemukan adanya “revoicing” yaitu guru mengulang atau menyatakankembali apa yang disampaikan siswa. Revoicing berfungsi untuk memperjelas kontribusisiswa, dan fungsi lainnya adalah untuk mengarahkan ide-ide siswa agar tetap fokus padatopik diskusi sehingga diskusi kondusif memfasilitasi respon siswa.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 175/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

168

Intervensi berbentuk bantuan (Scaffolding)Bantuan atau  scaffolding didefinisikan sebagai suatu bentuk bimbingan yang

sistematik yang diberikan pada siswa untuk mengembangkan dan mencapai potensialmaksimalnya (Chi, Siler, Jeong, Yamauchi & Hausmann, 2001 dalamOzmantar danRoper, 2004). Elemen utama dari scaffolding adalah kepekaan guru dalam memahami perkembangan siswa (sensitive) dan intervensi positif guru dalam perkembangan siswayang sedang terlibat dalam menyelesiakan tugas tetapi mengalami kesulitan dalammengerjakannya secara mandiri. Bantuan dalam percakapan matematik berpotensimengarahkan pemikiran matematika siswa pada tujuan memperkuat identitas merekasebagai orang yang berfikir dan berlaku dalam koridor matematik (Bell, 2009). Bantuanyang diberikan secara eksplisit mensaranai suasana yang aman dan potensial mendukungupaya eksperimen siswa bersentuhan dengan bahasa yang tidak familiar baginya.

Secara emosional bantuan memungkinkan siswa berpartisipasi lebih efektif dalam percakapan matematik saat kata-kata yang bersifat mendukung dilibatkan dalam percakapan tentang kesulitan menyelesaikan masalah dan kesalahan-kesalahan dalam proses berfikir matematik merupakan suatu kesempatan untuk belajar dengan pemahaman.

Penyelesaian masalah yang didukung dengan percakapan arahan guru yang dilakukan

temporer dan berulang terhadap aktifitas strategis yang dianggap penting mengeksposesiswa tentang pengalaman yang bervariasi dan lebih banyak contoh peluang untuk berlaku dan berfikir strategis. Ketika siswa dilibatkan dalam percakapan saat diskusimatematik berlangsung, para siswa terlibat dalam proses berkreasi suatu pengetahuan,khususnya penentu dan pelaku aturan dalam proses belajar.

Mengapa Problem Solving?Matematika bukanlah pelajaran yang mudah untuk dipelajari dan sesuai dengan

karakteristiknya sebagai sebuah kajian abstrak, pencapaian ketuntasan belajar sangat penting untuk dicermati. Berkaitan pembelajaran matematika di sekolah, selain penguasaan materi matematika, terdapat lima kemampuan yang harus dikuasai siswayaitu, kemampuan penalaran, koneksi, komunikasi, pemecahan masalah dan kemampuanrepresentasi matematika (NCTM, 2000)

Problem solving (pemecahan masalah)Definisi pemecahan masalah yang diutarakan oleh Polya (1973) adalah usaha mencari

 jalan keluar dari suatu kesulitan guna mencapai suatu tujuan yang tidak segera dapatdicapai. Oleh karena itu pemecahan masalah merupakan suatu tingkat aktivitas intelektualyang tinggi. Jenis belajar ini merupakan suatu proses psikologi yang tidak hanyamelibatkan aplikasi dalil-dalil atau teorema-teorema yang dipelajari.

 NCTM (2000) menstandarkan lima dasar kemampuan matematika yang salah satunyaadalah problem solving (pemecahan masalah. Problem solving merupakan landasan darisemua aktifitas matematika. Meskipun problem solving sebagai bagian integral darimatematika keseluruhan, namun banyak siswa yang mengerahkan konsentrasi secara utuhdalam perjuangan menyelesaikan masalah. Kenyataannya, dalam menyelesaikan soalcerita seringkali siswa mengalami kesulitan dibandingkan jika mereka menyelesaikan

soal perhitungan.Kemampuan menyelesaikan masalah akan meningkat ketika siswa memiliki

kesempatan menyelesaikan masalah dan memperhatikan masalah tersebut diselesaikan.Lebih jauh, penyelesaian masalah memberi kesempatan mempelajari konsep baru danuntuk melatih mempelajari keterampilan menyelesaikan masalah. Penyelesaian masalahmenjadi penting karena dalam menyelesaikan masalah siswa mengerahkan semuakemampuannya. Dalam menyelesaikan masalah siswa harus menerapkan beragamstrategi termasuk mencari pola, mendaftar berbagai kemungkinan, mencoba kasus

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 176/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

169

khusus, memperhatikan kembali kasus lama yang relevan, menebak dan memeriksa,mengkreasikan masalah yang ekuivalen dan lebih simpel (NTCM, 2000). Strategi lainyang juga bermanfaat bagi siswa dalam menyelesaikan masalah misalnya bentuk soalyang memberi kesempatan pada siswa menyelesaikan masalah dengan lebih dari satucara, menemukan informasi yang dibutuhkan, mengabaikan informasi yang tidakdibutuhkan, membuat dan membaca gambar, tabel atau grafik, menuliskan persamaan,menyelesaikan masalah secara bertahap, menggunakan penalaran logika, mengkreasidaftar yang tertata, dan mengkombinasikan berbagai strategi. 

Kerangka kerja pemecahan masalah oleh Polya NCTM (1989) menyatakan bahwa problem solving merupakan fokus utama dari

kurikulum matematika dan ujuan utama dari semua pembelajaran matematika serta bagian integral dari semua aktifitas matematika. Sebagai pengaruh teori belajar kognitif problem solving dipahami sebagai kegiatan mental yang kompleks yang terdiri dari bermacam keterampilan dan kegiatan kognitif.

Garofalo, J., & Lester, F. (1985) dalam (Kirkley J., 2003) menyatakan bahwa problem solving melibatkan keterampilan berfikir matematika tingkat tinggi sepertivisualisasi, asosiasi, penalaran, manipulasi, abstraksi, analisis, sintesis, generalisasi.

James W. , Fernandez M. L., dan Hadaway N., (1993) memperkenalkan alur proses problem solving dengan tahapan yang tidak linear namun bersiklus. Setelah siswadiberikan masalah, siswa akan melalui proses problem solving dengan tahapansebagaimana yang di perkenalkan oleh Polya (Polya, 1973) yaitu : (i) Pemahaman padamasalah (ii) Membuat Rencana Pemecahan Masalah (iii) Malaksanakan Rencana (iv)Memeriksa kembali

Problem solving (Kirkley J., 2003) merupakan keterampilan dasar yang diperlukan peserta didik pada masa kini. Pendidik meninjau ulang kurikulum untuk menyertakanlingkungan pembelajaran terintegrasi yang mendorong para peserta didik untukmenggunakan keterampilan berfikir tingkat tinggi dan secara khusus keterampilan problem solving. Gerakan perubahan dalam pendidikan saat ini mengarah pada penyertaan problem solving sebagai komponen utama dalam kurikulum. Problem solving bukan topik terpisah tetapi suatu proses yang melingkupi ke seluruh bagian program dan

menyediakan konteks dimana konsep dan keterampilan dapat dipelajari (NCTM, 1989). NCTM (1989: p.23) mengidentifikasikan bahwa tujuan utama dari pendidikanmatematika untuk mengembangkan kekuatan matematika yaitu: “kemampuan siswadalam melakukan eksplorasi, konjektur, dan penalaran secara logis, begitu pulakemampuan untuk menggunakan berbagai metode matematika secara efektif untukmnyelesaikan masalah non rutin.

Penerapan problem solving bertujuan untuk meningkatkan unjuk kerja peserta didikdalam menyelesaikan masalah secara benar. Tujuan spesifik dari problem solving dalammatematika adalah: 1) meningkatkan keinginan peserta didik untuk berusahamenyelesaikan masalah dan meningkatkan ketekunan peserta didik ketika menyelesaikanmasalah, 2) meningkatkan kemandirian pemahaman konsep peserta didik yangmenyebabkan timbulnya keyakinan peserta didik akan kemampuannya dalammenyelesaikan masalah, 3) membuat peserta didik menyadari strategi dalam

menyelesaikan masalah, 4) membuat siswa sadar akan nilai dari masalah-masalahterdekat dalam cara menyelesaikan yang sistematis, 5) membuat siswa sadar bahwa banyak masalah yang dapat diselesaikan melalui berbagai cara, 6) meningkatkankemampuan peserta didik dalam memilih strategi penyelesaian yang tepat, 7)meningkatkan kemampuan peserta didik dalam menerapkan strategi penyelesaian secaraakurat, 8) meningkatkan kemampuan peserta didik untuk memperoleh lebih banyak jawaban yang benar dari suatu masalah.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 177/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

170

C. SIMPULAN

Penulis menyimpulkan bahwa pemberdayaan kemampuan siswa berkomunikasi berbentuk percakapan matematik potensial meningkatkan kemampuan pemecahanmasalah.

DAFTAR PUSTAKA

Bell, C.V. (2009) The Role of Classroom Discourse in Promoting Equity in MathematicsClassrooms.  Presented at the CCMS preconference meeting,2009 T3 InternationalConference Seattle, Washington. February 26, 2009.University of Missouri, KansasCity. School of Education Curriculum and Instructionwww.ccms.osu.edu/pub/Publications/Seattle.ppt 

Chamberlin S. A., (…) What Is Problem Solving In The Mathematics Classroom?. University Of Wyoming. [Online] dirujuk dari:  people.exeter.ac.uk/ PErnest/pome23/Chamberlin What Math Prob Solving  .

Harbaugh A. P.. (2005).  Authoritative Discourse In The Middle School MathematicsClassroom: A Case Study. A Dissertation. Texas A&M University

James W. , Fernandez M. L., dan Hadaway N., (1993). Mathematical Problem Solving. Department of Mathematics Education EMAT 4600/6600 . University of Georgia. [Online] dirujuk dari: http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/PSsyn.hatml 

Kirkley J., (2003). Principles for Teaching ProblemSolving . Technical Paper #4. IndianaUniversity.Copyright .PLATO Learning, Inc.

Lim, C. S. dan Chew, C. M., (2007).  Mathematical Communication in Malaysian Bilingual Classrooms. Paper to be presented at 3rd  APEC-Tsukuba InternationalConference: Inovation of classroom teaching and learning through lesson study-

focusing on mathematical communication. Tokyo dan Kanazawa, Jepang.

 National Council of Teachers of Mathematics, (2000). Principles and Standars for School Mathematics. Virginia, USA: NCTM

 National Council of Teachers of Mathematics, (1991). Professional Standards Teaching.Virginia, USA: NCTM

 National Council of Teachers of Mathematics, (1989). Curriculum and EvaluationStandars for School Mathematics. Virginia, USA: NCTM.

Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 23. (2006)  tentang Standar Kompetensi Lulusan untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah.  [Online]. Tersedia:

http://www.puskur . net/index.php?menu= profile&pr0=148&iduser=5.

Piccolo, D., Carter, T., Harbaugh, A., Capraro, M. M., & Capraro, R. M.  (2008). Meaningful discourse in middle school: Linking research to practice, Journal ofAdvanced Academics.

Polya G., (1973).  How to Solve It. A New Aspect of Mathematical Method . SecondEdition.. New Jersey: Princeton Press University

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 178/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

171

The Math Forum’s Bridging Research and Practice Group, (…..).  Encouraging Mathematical Thinking, Discourse around a Rich Problem. http://mathforum.org/brap/wrap/resources.html 

Wells, G. (1999).  Dialogic inquiry: Toward a sociocultural practice and theory ofeducation. Cambridge: Cambridge University Press. 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 179/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

172

METODE LAW OF COMPARATIVE JUDGEMENT  DAN APLIKASINYADALAM MENGUKUR SIKAP MAHASISWA TERHADAP FAKTOR-FAKTOR

YANG MEMPENGARUHI PEMILIHAN MATA KULIAH PILIHAN(Studi Kasus Mahasiswa Aktif Jurusan Matematika Fakultas MIPA Unsri) 

Dian Cahyawati S.Jurusan Matematika FMIPA Unsri

e-mail : [email protected] 

ABSTRAK

Sikap mahasiswa terhadap pemillihan mata kuliah pilihan menentukan jumlahmahasiswa yang mengikuti mata kuliah pilihan tertentu. Kadangkala, akibat pemilihanini terjadi penumpukan mahasiswa pada salah satu mata kuliah pilihan. Sikap mahasiswauntuk memilih mata kuliah pilihan dipengaruhi oleh tingkat kepentingan dari berbagaifaktor. Pengukuran terhadap sikap mahasiswa terhadap pemilihan mata kuliah pilihan inimemerlukan metode yang sesuai untuk mengukur sikap, salah satunya adalah Metode Law of Comparative Judgement   ( LCJ ). Menggunakan metode ini dapat diperoleh nilai

 pembobot untuk faktor-faktor yang diamati, yang menyatakan besarnya tingkatkepentingan suatu faktor terhadap faktor lainnya yang dijadikan faktor pembanding.Diamati tujuh faktor untuk mengukur sikap mahasiswa terhadap pemilihan mata kuliah pilihan yaitu kesesuaian dengan bidang minat, informasi dari panduan tentang gambaranmata kuliah, dosen yang mengajar, cara penilaian dosen yang mengajar, pengaruh teman,mencukupi jumlah SKS pada KRS, dan faktor keterbatasan mata kuliah pilihan yangditawarkan. Berdasarkan hasil metode  LCJ   diperoleh bahwa faktor yang dijadikan pembanding adalah pengaruh teman. Ranking pertama atau tingkat kepentingan tertinggiyang menentukan mahasiswa memilih mata kuliah pilihan tertentu adalah cara penilaiandosen yang mengajar, sebesar 1,94 kali lebih penting dibandingkan dengan faktor pengaruh teman. Tingkat kepentingan faktor berikutnya dan besarnya pembobot masing-masing berturut-turut adalah dosen yang mengajar (1,89), memenuhi jumlah SKS padaKRS (1,80), kesesuaian dengan bidang minat (1,71), informasi dari panduan tentang

gambaran mata kuliah (1,67), dan keterbatasan mata kuliah pilihan yang ditawarkan(1,26).Kata Kunci : Pengukuran Sikap, Skala Sikap, Metode Law of Comparative Judgement

PENDAHULUAN

Sikap mahasiswa terhadap pemilihan mata kuliah pilihan menentukan jumlahmahasiswa yang mengikuti mata kuliah pilihan tertentu. Kadangkala, akibat pemilihanini terjadi penumpukan mahasiswa pada salah satu mata kuliah pilihan. Sikap mahasiswauntuk memilih mata kuliah pilihan dipengaruhi oleh tingkat kepentingan dari berbagaifaktor. Faktor-faktor itu antara lain faktor adanya bidang minat, informasi dari buku panduan tentang gambaran mata kuliah, dosen yang mengajar, cara penilaian dosen, danlain-lain. Pengukuran sikap mahasiswa terhadap faktor-faktor di atas memerlukan

metode tertentu yang sesuai untuk mengukur sikap.Salah satu definisi sikap diberikan oleh Alport (1996) dalam buku Simamora

(2002), memandang sikap sebagai respon terhadap suatu faktor dalam suasanamenyenangkan atau tidak menyenangkan secara konsisten. Schifman dan Kanuk (1997)dalam buku yang sama, menyatakan bahwa sikap adalah ekspresi perasaan (inner feeling )yang mencerminkan apakah seseorang senang atau tidak senang, suka atau tidak suka,setuju atau tidak setuju terhadap suatu faktor.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 180/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

173

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis faktor-faktor yang mempengaruhi mahasiswadalam memutuskan untuk mengambil mata kuliah pilihan. Analisis dilakukan denganmengukur skala sikap mahasiswa terhadap pemilihan mata kuliah pilihan, sehinggadiperoleh bobot tingkat kepentingan dari faktor-faktor yang diamati. Faktor-faktor yangdiamati dinilai tingkat kepentingannya berdasarkan persepsi mahasiswa, menggunakanmetode pengukuran sikap.

Salah satu metode pengukuran sikap yaitu metode  Law of Comparative Judgement ( LCJ ). Menggunakan metode ini dapat diperoleh nilai pembobot untukfaktor-faktor yang diamati, yang menyatakan besarnya tingkat kepentingan suatu faktorterhadap faktor lainnya yang dijadikan faktor pembanding.

METODE LAW OF COMPARATIVE JUDGEMENT

Al Rasyid (1994) menyatakan bahwa pengukuran merupakan suatu proseskuantifikasi, dalam bentuk usaha untuk mencantumkan bilangan pada sebuah sistemmateri yang bukan bilangan, untuk menyatakan sifat-sifat yang dimiliki oleh materitersebut berdasarkan peraturan yang sesuai dengan sifat-sifat itu. Proses kuantifikasi atau pengukuran pada umumnya selalu dilakukan dalam setiap penelitian untuk

mendeskripsikan suatu faktor, menguji hipotesis atau melakukan analisis lebih lanjut.Pengukuran disebut valid atau sah apabila alat ukur yang digunakan sesuai dengan

faktor yang diukur. Untuk mengukur faktor-faktor yang sudah jelas memiliki nilai bilangan atau sudah memiliki kuantitas, maka proses pengukuran relatif lebih mudah.Lain halnya dengan pengukuran terhadap sikap dalam penelitian sosial, yang belummemiliki nilai kuantitas yang jelas, harus menggunakan metode pengukuran yang sesuai.

Salah satu metode pengukuran untuk mengukur sikap adalah metode  Law ofComparatif Judgement (LCJ). Metode ini disebut juga sebagai metode Pair Comparison.Kegunaannya adalah untuk mengukur sikap kepentingan relatif beberapa faktor melalui pemberian bobot (pembobot) terhadap faktor yang diamati.

Langkah kerja metode LCJ  adalah sebagai berikut.1.  Tentukan faktor amatan yang akan diboboti. Buatlah pasangan antar faktor-

faktor tersebut.2.  Tentukan banyaknya responden (n) yang dianggap sebagai penilai atau

 pengambil keputusan dari pasangan-pasangan yang terbentuk.3.  Buatlah item pertanyaan untuk menentukan faktor mana yang lebih penting

dibandingkan dengan faktor lainnya untuk setiap pasangan yang ada.4.  Data hasil penilaian responden dicatat dan ditampilkan dalam bentuk matriks-

matriks.Misalkan faktor yang diamati adalah A, B, C, D dan E. Matriks-matriks yangterbentuk adalah sebagai berikut:

a.  Matriks-1. Data Penilaian Responden yang Menyatakan bahwa Faktor pada Kolom Lebih Penting daripada Baris

Faktor A B C D EA 0 f *)  g h iB j**) 0 k l mC n o 0 p qD r s t 0 uE v w x y 0

Keterangan : *) ada f orang yang menyatakan bahwa B lebih pentingdaripada A

**) ada j orang yang menyatakan bahwa A lebih pentingdaripada B

 b.  Matriks-2. Matriks Proporsi Responden untuk Matriks-1

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 181/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

174

c.  Matriks-3. Matriks Nilai Z (Distribusi Normal Baku) untuk Matriks-2d.  Matriks-4. Tambahkan Dua Baris pada Matriks-3 untuk Mengisikan Nilai

Jumlah Nilai-Nilai Z ( ∑ Z ) dan Nilai Rata-Rata Z ( Z  )

5.  Lakukan transformasi nilai  Z untuk setiap faktor kedalam nilai pembobot Y yang bersesuaian, melalui perhitungan:

a.  Tentukan nilai rata-rata  Z yang paling kecil ( min Z  )

 b.   Nilai min Z  dijadikan nilai 1 dan dijadikan sebagai faktor pembanding

c.  Hitung nilai transformasi K  = 1 + | min Z  |

d.  Tentukan nilai pembobot  faktor Y  untuk masing-masing faktor, yaitu

 faktor Y   =  faktor  Z  + K  

e.  Bobot yang diperoleh untuk masing-masing faktor (A, B, C, D dan E)adalah :

 AY   =  A Z  + K    DY  =  D Z  + K  

 BY  =  B Z  + K    E Y  =  E  Z  + K  

C Y  = C  Z  + K  6.   Nilai-nilai pembobot yang diperoleh diartikan sebagai besarnya tingkatkepentingan untuk masing-masing faktor yang dibandingkan dengan faktor yangmemiliki nilai pembobot paling kecil (faktor pembanding).

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah survei dengan instrumen penelitiannya berupa kuesioner.

PopulasiPopulasi dalam penelitian ini adalah mahasiswa aktif yang sudah pernah

mengambil mata kuliah pilihan di Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas

Sriwijaya. Dalam hal ini, mahasiswa aktif adalah mahasiswa yang masih terdaftar sampaidengan semester Genap 2008/2009.

Teknik SamplingTeknik sampling yang digunakan untuk mendapatkan responden adalah teknik

sampling acak sederhana. Ukuran sampel yang diambil berdasarkan formula

21 e N 

 N n

+=   (Slovin, dalam Umar (1998)). Jumlah populasi sebanyak 159 dan

 besarnya toleransi kekeliruan 10%, sehingga diperoleh sampel sebanyak 67 responden.

Faktor yang Diamati untuk Mengukur SikapPengukuran sikap mahasiswa terhadap pemilihan mata kuliah pilihan dilakukan

melalui penilaian mahasiswa terhadap tingkat kepentingan faktor-faktor berikut.1.  Kesesuaian dengan Bidang Minat2.  Informasi dari Panduan tentang Gambaran Mata Kuliah3.  Dosen yang Memberikan Kuliah4.  Cara Penilaian Dosen yang Memberikan Kuliah5.  Pengaruh Teman6.  Mencukupi jumlah SKS dalam KRS7.  Keterbatasan Mata Kuliah Pilihan yang Ditawarkan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 182/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

175

HASIL DAN PEMBAHASAN

Deskripsi Data

Data yang dianalisis menggunakan metode  LCJ   merupakan data primer yangdiperoleh melalui survei. Teknik pengumpulan datanya dilakukan dengan penyebarankuesioner terhadap sampel terpilih dari mahasiswa aktif yang tercatat sampai dengansemester genap 2008//2009 dan telah pernah mengambil mata kuliah pilihan di JurusanMatematika Fakultas MIPA Unsri. Pengumpulan data dilakukan pada bulan Mei 2009.

Seluruh kuesioner yang disebarkan terhadap sampel yaitu sebanyak 67 respondenmemenuhi kriteria untuk dianalisis. Deskripsi sederhana karakteristik respondenditampilkan pada Tabel 1 di bawah ini :

Tabel 1. Deskripsi Sederhana Karakteristik Responden

Karakteristik FrekuensiPersentase

(%)

Jumlah Sampel 67 100Jenis Kelamin Laki-Laki 27 40,3

Perempuan 40 59,7Semester Empat 17 5,97

Enam 22 8,96Delapan 18 26,87Sepuluh 6 32,84Dua Belas 4 25,37

Berdasarkan karakteristik responden di atas, terlihat bahwa mahasiswa yang aktif,masih mencakup mahasiswa yang sudah semester dua belas atau tahun ke lima perkuliahan. Hasil survei juga memberikan informasi bahwa mata kuliah pilihan yangditawarkan oleh jurusan banyak yang telah diambil oleh mahasiswa.

Beberapa mata kuliah pilihan yang ditawarkan jurusan pada semester ganjil dangenap yang pernah diambil oleh mahasiswa adalah Analisis Regresi, Statistika Nonparametrik, Desain Eksperimen, Analisis Multivariate, Pengantar Proses Stokastik,Analisis Survival, Demografi, Matematika Ekonomi, Matematika Asuransi, Teori Graf,Program Linier, Optimasi, Topologi, Program Komputer II, Simulasi Komputer I,Simulasi Komputer II, Basis Data.

Analisis Data Menggunakan Metode LCJ

Sikap mahasiswa yang diamati adalah sikap terhadap pemilihan mata kuliah pilihan. Pengukuran terhadap sikap ini dilakukan dengan cara meminta penilaianmahasiswa terhadap faktor-faktor yang diberikan, yang dapat mempengaruhi pemilihanmata kuliah pilihan. Penilaian ini dilakukan berdasarkan tingkat kepentingan mahasiswaterhadap faktor-faktor yang diberikan. Faktor-faktor yang diberikan adalah :

1.  Kesesuaian dengan Bidang Minat (M)2.  Informasi dari Panduan tentang Gambaran Mata Kuliah (G)3.  Dosen yang Memberikan Kuliah (D)4.  Cara Penilaian Dosen yang Memberikan Kuliah (N)5.  Pengaruh Teman (T)6.  Mencukupi jumlah SKS dalam KRS (C)7.  Keterbatasan Mata Kuliah Pilihan yang Ditawarkan (P)

Berikut adalah langkah-langkah analisis data yang dilakukan dengan metode LCJ :

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 183/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

176

1. Ketujuh faktor di atas dipasang-pasangkan untuk membentuk pertanyaan- pertanyaan dalam kuesioner.

2. Diperoleh kombinasi pertanyaan sebanyak 21 pertanyaan.3. Setiap pertanyaan pada kuesioner dinilai tingkat kepentingannya oleh

responden. Apabila faktor pertama dinilai lebih penting oleh responden, makaresponden memberikan nilai 1 untuk pertanyaan itu, dan 0 menyatakan bahwafaktor kedua merupakan faktor yang lebih penting.

4. Berdasarkan data yang telah diolah diperoleh hasil sebagai berikut.

Matriks-1. Data Penilaian Responden yang Menyatakan bahwaFaktor pada Kolom Lebih Penting daripada Baris

Faktor M G D N T C PM 0 24* 42 46 11 39 24G 43** 0 41 45 11 35 18D 25 26 0 26 18 34 21 N 21 22 41 0 11 24 25T 56 56 49 56 0 48 38C 28 32 33 43 19 0 14

P 43 49 46 42 29 53 0Keterangan : *) ada 24 responden yang menyatakan bahwa gambaran mata kuliah (G)

lebih penting daripada kesesuaian dengan bidang minat (M)**) ada 43 responden yang menyatakan bahwa kesesuaian bidang minat (M)

lebih penting daripada gambaran mata kuliah (G)

Matriks-2. Proporsi Responden untuk Matriks-1Faktor M G D N T C P

M 0,00 0,36 0,63 0,69 0,16 0,58 0,36G 0,64 0,00 0,61 0,67 0,16 0,52 0,27D 0,37 0,39 0,00 0,39 0,27 0,51 0,31 N 0,31 0,33 0,61 0,00 0,16 0,36 0,37

T 0,84 0,84 0,73 0,84 0,00 0,72 0,57C 0,42 0,48 0,49 0,64 0,28 0,00 0,21P 0,64 0,73 0,69 0,63 0,43 0,79 0,00

Matriks-3. Nilai Z untuk Proporsi pada Matriks-2Faktor M G D N T C P

M 0,00 -0,36 0,32 0,49 -0,98 0,21 -0,36G 0,36 0,00 0,28 0,44 -0,98 0,06 -0,62D -0,32 -0,28 0,00 -0,28 -0,62 0,02 -0,49 N -0,49 -0,44 0,28 0,00 -0,98 -0,36 -0,32T 0,98 0,98 0,62 0,98 0,00 0,57 0,17C -0,21 -0,06 -0,02 0,36 -0,57 0,00 -0,81P 0,36 0,62 0,49 0,32 -0,17 0,81 0,00

Matriks-4. Jumlah dan Nilai Rata-Rata Z untuk Masing-MasingKolom pada Matriks-3

Faktor M G D N T C PM 0,00 -0,36 0,32 0,49 -0,98 0,21 -0,36G 0,36 0,00 0,28 0,44 -0,98 0,06 -0,62D -0,32 -0,28 0,00 -0,28 -0,62 0,02 -0,49 N -0,49 -0,44 0,28 0,00 -0,98 -0,36 -0,32T 0,98 0,98 0,62 0,98 0,00 0,57 0,17

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 184/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

177

C -0,21 -0,06 -0,02 0,36 -0,57 0,00 -0,81P 0,36 0,62 0,49 0,32 -0,17 0,81 0,00

Jumlah 0,69 0,45 1,98 2,31 -4,29 1,30 -2,43Rata2 0,10 0,06 0,28 0,33 -0,61 0,19 -0,35

Faktor yang memiliki Nilai  Z   paling kecil ( Z  min) adalah faktor T yaitu sebesar-0,61, sehingga faktor T dijadikan faktor pembanding yang nilai  Z nya harusdijadikan nilai 1 melalui pembobotan. Untuk menentukan besarnya pembobot bagisetiap faktor dicari terlebih dahulu nilai K yaitu nilai transformasi setiap faktormelalui perhitungan:

K = 1 + | Z  min|= 1,61

Bobot yang diperoleh untuk masing-masing faktor (M, G, D, N, T, C dan P) adalah

nilai rata-rata  Z  :

M = 0,10 + 1,61 = 1,71

G = 0,06 + 1,61 = 1,67D = 0,28 + 1,61 = 1,89 N = 0,33 + 1,61 = 1,94T = -0.61 + 1,61 = 1,00C = 0,19 + 1,61 = 1,80P = -0,35 + 1,61 = 1,26

 Nilai-nilai pembobot untuk masing-masing faktor merupakan hasil transformasiskala pengukuran untuk masing-masing faktor. Nilai pembobot ini diartikansebagai besarnya tingkat kepentingan faktor tersebut yang dibandingkan dengannilai transformasi faktor yang paling kecil (dalam hal ini adalah T yaitu faktorPengaruh Teman).

Interpretasi Hasil

Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat diinterpretasikan bahwa dari tujuhfaktor yang diamati untuk dinilai tingkat kepentingannya oleh mahasiswa, faktor yangmemiliki nilai transformasi terkecil adalah faktor Pengaruh Teman. Hal ini berarti faktorPengaruh Teman merupakan faktor yang dianggap paling tidak penting menurutmahasiswa dalam menentukan keputusan pengambilan mata kuliah pilihan. Dengan katalain, keputusan mengambil mata kuliah pilihan cenderung tidak dipengaruhi oleh teman.

 Nilai pembobot yang paling tinggi diperoleh pada faktor N yaitu faktor CaraPenilaian Dosen yang Mengajar. Hal ini dapat diartikan bahwa cara penilaian dosen yangmengajar memiliki tingkat kepentingan tertinggi (merupakan peringkat pertama) dalamhal pengambilan mata kuliah pilihan. Sedemikian pentingnya sehingga nilaikepentingannya sebesar 1,94 kali daripada faktor pengaruh teman.

Tingkat kepentingan kedua adalah faktor Dosen yang Memberikan Kuliah. Nilainya sebesar 1,89. Artinya bahwa dosen yang memberikan kuliah memiliki tingkatkepentingan sebesar 1,89 kali daripada pengaruh teman.

Peringkat kepentingan ketiga adalah faktor Memenuhi Jumlah SKS pada KRS, bobotnya sebesar 1,80. Artinya, faktor ini lebih penting 1,80 kali dibandingkan denganfaktor pengaruh teman. Peringkat keempat adalah faktor Kesesuaian dengan BidangMinat yang memiliki tingkat kepentingan sebesar 1,71 kali daripada faktor pengaruhteman. Faktor Adanya Informasi dari Panduan tentang Gambaran Mata Kuliah, memiliki

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 185/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

178

tingkat kepentingan sebesar 1,67 kali dibandingkan faktor pengaruh teman, dan peringkatkeenam adalah faktor Keterbatasan Mata Kuliah Pilihan yang Ditawarkan, memilikitingkat kepentingan sebesar 1,26 kali lebih tinggi dibandingkan faktor pengaruh teman.

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Beberapa kesimpulan yang dapat diambil berdasarkan hasil yang diperolehadalah sebagai berikut:

1)  Metode  LCJ   relatif mudah digunakan untuk menentukan bobot faktor dalammengukur skala sikap, tetapi apabila jumlah faktor makin banyak, maka metodeini cenderung akan membosankan, karena kombinasi faktor yang perlu dinilaioleh responden akan bertambah banyak.

2)  Urutan peringkat faktor berdasarkan tingkat kepentingan mahasiswa yangmenentukan pemilihan mata kuliah pilihan adalah berturut-turut mulai peringkat pertama adalah faktor Cara Penilaian Dosen yang Mengajar, Dosen yangMengajar, Memenuhi Jumlah SKS dalam KRS, Kesesuaian dengan Bidang

Minat, Informasi dari Panduan tentang Gambaran Mata Kuliah, KeterbatasanMata Kuliah Pilihan yang Ditawarkan, dan terakhir adalah faktor PengaruhTeman.

3)  Cara Penilaian Dosen yang Mengajar memiliki tingkat kepentingan sebesar 1,94kali lebih penting dibandingkan dengan faktor Pengaruh Teman. Tingkatkepentingan faktor berikutnya dan besarnya pembobot masing-masing berturut-turut adalah Dosen yang Mengajar (1,89), Memenuhi Jumlah SKS pada KRS(1,80), Kesesuaian dengan Bidang Minat (1,71), Informasi dari Panduan tentangGambaran Mata Kuliah (1,67), dan Keterbatasan Mata Kuliah Pilihan yangDitawarkan (1,26).

Saran

Apabila faktor yang diamati semakin banyak, maka pasangan faktor yangdiperoleh akan semakin banyak juga, sehingga hal ini cenderung akan mengakibatkankebosanan responden dalam memberikan responnya terhadap kuesioner yang diberikan.Karena itu, jumlah faktor menjadi faktor yang perlu dipertimbangkan untukmenggunakan metode LCJ . Atau dapat dicoba untuk menganalisis data dengan metode pengukuran sikap yang lain.

Berkaitan dengan faktor penentu pemilihan mata kuliah pilihan oleh mahasiswa,disarankan agar cara penilaian dosen yang mengajar dapat ”seragam”, agar dapatmeminimalisir pemilihan berdasarkan faktor ini. Diharapkan, pemilihan mata kuliah pilihan ditentukan dan diputuskan berdasarkan faktor utama yaitu kesesuaian dengan bidang minat.

DAFTAR PUSTAKA

Al Rasyid, H. 1994. Teknik Penarikan Sampel dan Penyusunan Skala. Jurusan StatistikaFMIPA UNPAD. Bandung

Bungin, B. 2006. Metodologi Penelitian Kuantitatif . Prenada Media Group, Jakarta

Simamora, B.  2002.  Panduan Riset Perilaku Konsumen,  Gramedia Pustaka Utama,Jakarta

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 186/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 187/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

180

Bagi Program Studi (prodi) pendidikan matematika di Jurusan Matematika UNJ,kegiatan perkuliahan berbasis MCL diharapkan memiliki dua keunggulan.Mahasiswa calon guru matematika memiliki bekal pengalaman yang bermaknaketika mengikuti perkuliahan yang difasilitasi oleh teknologi informasi berbasisMCL dan termotivasi untuk mengembangkan metode pembelajaran matematika berbasis MCL dalam kegiatan pembelajaran matematika di sekolah. Selain itu,kegiatan perkuliahan berbasis MCL diharapkan mampu menunjang pembelajaranyang interaktif. Dengan demikian, fasilitas pembelajaran berbasis MCL diharapkanmeningkatkan keaktifan mahasiswa untuk menambah wawasan, meningkatkan dayakritis sekaligus kemampuan mengungkapkan pendapat di lingkungan akademik. Dilain pihak penggunaan ICT dalam perkuliahan diharapkan dapat meningkatkanefektifitas perkuliahan. Sayangnya, penggunaan teknologi informasi dan komunikasiterutama yang menunjang kegiatan perkuliahan seperti yang telah disebutkan di atas belum tersedia di Jurusan Matematika UNJ. Dengan demikian perlu dikembangkansebuah sistem perkuliahan yang berbasis MCL dengan memanfaatkan ICT.Dalam makalah ini akan dibahas tiga hal yang berkaitan dengan penggunaan ICTdalam perkuliahan dan kaitannya dengan persiapan calon guru menghadapi pesatnya penggunaan ICT dalam pembelajaran. Tulisan ini akan menyampaikan beberapa

fasilitas e-learning yang dibutuhkan oleh dosen dan mahasiswa dalam rangkamenunjang efektifitas perkuliahan di Prodi Pendidikan Matematika FMIPA UNJ.Selanjutnya akan dibahas prototype e-learning yang menyediakan fasilitas e-learningsesuai dengan kebutuhan dosen dan mahasiswa di Prodi Pendidikan MatematikaUNJ. Sebagai tahap akhir, akan dipaparkan hasil evaluasi penggunaan prototype e-learning dalam ujicoba perkuliahan.

Sesuai dengan uraian yang telah disampaikan di atas, maka ditetapkanlah tiga targetutama dalam penelitian ini. Ketiga target tersebut anatara lain:a.  Data jenis e-learning (pembelajaran online) yang dibutuhkan baik bagi dosen

dan mahasiswa prodi pendidikan matematika UNJ sebagai analisis kebutuhan. b.   Prototype  e-learning yang diujicobakan pada minimal satu mata kuliah di

Jurusan Matematika UNJ sehingga dapat menunjukkan peran e-learning dalam

efektifitas perkuliahan di Prodi Pendidikan Matematika.c.  Evaluasi prototype e-learning yang telah diujicobakan

Secara kusus, penelitian ini bermanfaat bagi prodi pendidikan matematika danJurusan Matematika FMIPA UNJ.  Prototype  yang dihasil dalam penelitian pengembangan ini dapat dikembangkan dan diterapkan pada semua mata kuliah diJurusan Matematika FMIPA UNJ. Lebih jauh lagi,  prototype yang dihasilkan dapatdikembangkan di lingkungan UNJ sebagai alternatif bentuk e-learning . Bagimahasiswa, e-learning  yang dikembangkan dapat membantu mahasiswa mengakses berbagai materi perkuliahan secara efektif dan efisien. Dengan demikian, mahasiswaakan mendapati materi perkuliahan tersedia secara online dan dapat diunduh kapansaja. Selain itu, kegiatan perkuliahan dapat terfokus pada diskusi memecahkan permasalahan yang dialami oleh mahasiswa terkait dengan materi perkuliahan.

2.  Kajian Pustaka2.1.  I nformation and Communication Technology  (ICT) dalam Pendidikan2.1.1.  ICT dalam Pembelajaran Matematika

Perkembangan teknologi informasi (ICT) terjadi begitu cepat (Webb and Downes,2003). Berbagai bidang termasuk dunia pendidikan telah menikmati peran ICTdalam kegiatan sehari-hari (Ferbar dan Trkman, 2003). Salah satu indikator perkembangannya adalah sangat mudahnya kita temui berbagai macam  software 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 188/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

181

 pembelajaran baik yang dijual secara komersil maupun yang beredar secara luas dangratis di dunia maya. Di samping itu, penggunaan komputer beserta perangkat lunakyang berbasis website tidak asing lagi bagi banyak praktisi pendidikan di Indonesia.Studi mengenai pengaruh penggunaan berbagai media pembelajaran berbasis ICT pun telah banyak dilakukan (Ferbar dan Trkman, 2003). Contohnya penelitian yangdilakukan di Belanda (Harskamp dan Suhre, 2006) menyimpulkan bahwa pembelajaran matematika berbantukan computer dapat membantu meningkatkan pemahaman matematika siswa. Artinya, penggunaan program dan instruksi pembelajaran yang tepat dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah siswadalam pembelajaran matematika (Ferbar dan Trkman, 2003: Harskamp dan Suhre,2006).

2.1.2.   Multi Channel Learning (MCL) dan e-learning  dalam PerkuliahanTidak hanya penggunaan teknologi yang bersifat offline, materi pembelajaranmatematika yang bersifat online  juga telah dikembangkan (Ferbar dan Trkman,2003: Groth, 2006). Sayangnya pustaka yang membahas penelitian tentang pengaruh penggunaan media pembelajaran online  di Indonesia masih sangat terbatas. Padakenyataannya, dunia maya menyediakan berbagai alternatif sumber belajar yangdapat dipergunakan di dalam kelas. Di samping itu, berbagai forum diskusi

menawarkan kesempatan belajar kepada semua pihak untuk dapat belajar di luarkelas dalam suasana yang nyaman (Groth, 2006). Di satu sisi, hal ini membukawawasan para pendidik dan peserta didik tentang berbagai alternatif sumber belajaryang dapat digunakan. Di sisi lain, hal ini merupakan tantangan yang harus dijawaboleh guru. Guru harus memiliki kemampuan untuk menjadi fasilitator belajar dalamlingkungan yang telah digambarkan di atas. Penelitian (Groth, 2006) membuktikan bahwa guru matematika di era globalisasi ini dituntut untuk mampumengintegrasikan penggunaan ICT dalam kegiatan pembelajaran. Oleh karena itu,dalam masa persiapan profesinya sebagai guru, pengenalan berbagai bentuk pembelajaran berbantukan ICT perlu untuk diperkenalkan (Webb and Downes,2003: Groth, 2006). Salah satu bentuk pembelajaran berbantukan ICT yang mulai banyak diterapkan dalam dunia pendidikan adalahe-learning .Dalam media online  ini, peserta didik memiliki akses terhadap berbagai sumber

 belajar yang digunakan di dalam kegiatan perkuliahan15

. Di samping itu, berbagaiforum diskusi yang disediakan secara online dapat menstimulus interaktifitas antarmahasiswa-mahasiswa dan dosen-mahasiswa (Ferbar dan Trkman, 2003: Groth,2006). Dengan memanfaatkan ICT, arus informasi antar berbagai pihak yang terlibatdalam kegiatan perkuliahan seperti dosen, mahasiswa dan administrator diharapkandapat berjalan dengan baik.Sebagaimana yang telah dicontohkan oleh beberapa universitas di Indonesia, e-learning telah dipergunakan secara meluas. Contoh lain yang tidak kalah pentingnyaadalah penggunaan e-learning sebagai penunjang kegiatan perkuliahan mahasiswaUniversitas Terbuka (UT). Dalam hal ini, e-learning telah mendapatkan pengakuan bahwa system ini dapat memfasilitasi kegiatan perkuliahan yang terhalang jarak danwaktu. Sayangnya, hasil penelitian yang berhubungan dengan hal ini belum banyakdipublikasikan secara meluas. Khususnya pada kegiatan perkuliahan mahasiswa

calon guru matematika, efektifitas penggunaan system semacam ini (e-learning) belum ter-dokumentasikan dengan baik.

3.  Metodologi Penelitan

3.1.  Data, Responden dan Lokasi Penelitian

O G'1 +$+ 9#4#/(+ ;'$7 %+'1'3+ 21#> 4#$#1+(+ *('3' &#(+&' 3#1'&9'$'&'$ 4#$%+%+&'$ 4'9P' 9'/0'$'<

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 189/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

182

Data penelitian ini terdiri dari data kualitatif kuantitatif. Data kualitatif terdiri atasdata utama dan data penunjang dalam penelitian ini. Data kuantitatif berperan sebagaidata penunjang dalam penelitian ini. Data kualitatif antara lain berupa hasil surveytentang analisis kebutuhan mahasiswa dan dosen terhadap penyediaan e-learning diProdi Pendidikan Matematika UNJ dan hasil survey evaluasi efektifitas penggunaane-learning yang telah diujicobakan. Data kuantitatif yaitu berupa data aktifitasmahasiswa dan dosen dalam penggunaan e-learning system dalam mata kuliah yangdiujicobakan. Responden penelitian ini terdiri dari dua kelompok. Kelompok pertamayaitu dosen di Prodi Pendidikan Matematika UNJ. Kelompok kedua yaitu mahasiswaProdi Pendidikan Matematika UNJ. Kedua kelompok ini berpartisipasi dalam tiaptahapan penelitian ini. Pengembangan  prototype e-learning   ini dilaksanakan di jurusan matematika UNJ. Sasaran pengguna prototype ini adalah civitas akademikJurusan Matematika UNJ. Uji coba prototype akan dilaksanakan di JurusanMatematika UNJ.

3.2.  Instrumen PenelitianInstrumen penelitian ini terdiri dari dua perangkat kuesioner. Perangkat pertama yaitukuesioner analisis kebutuhan. Perangkat kedua yaitu prototype e-learning yang

dikembangkan dalam penelitian sebagai produk utama penelitian. Perangkat ketigakuesioner evaluasi efektifitas penggunaan e-learning   yang digunakan dalam penelitian.

3.3.  Penelitian PengembanganPenelitian merupakan penelitian pengembangan produk. Secara umum, metodologi penelitian pengembangan memuat tiga komponen utama yaitu: model pengembangan, prosedur pengembangan dan validasi produk. Secara umum ketigakomponan utama dapat dijabarkan seperti dalam bagan berikut ini:

Ketiga komponen tersebut difasilitasi oleh tiga tahapan utama dalam peneltian ini.Tahapan tersebut dijabarkan lebih lanjut pada bagian berikut.

3.3.1.  Tahap Analisis KebutuhanTahap ini merupakan tahap persiapan dari seluruh rangkaian kegiatan inti penelitian. Dalam tahap ini, survey berupa kuesioner dilakukan untuk mendapat

1. Persiapan

2. Pembuatan Produk

3. Uji coba Produk

4. Validasi dan Evaluasi Produk

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 190/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 191/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

184

Di lihat dari pendapat kedua kelompok responden tersebut, ditemukan bahwa baik dosen dan mahasiswa mengharapkan bahwa penggunaan teknologi dapatmengatasi permasalahan tersebut.

4.1.2.  Pendapat dosen dan mahasiswa tentang perlunya “e-learning” dalamperkuliahanDalam kuesioner yang sebarkan baik kepada dosen maupun mahasiswa didpatkaninformasi bahwa semua responden setuju bahwa Prodi Pendidikan Matematika perlu untuk menyediakan system pembelajaran online (e-learning) yang berbasiswebsite. Beberapa alasan yang dikemukakan oleh dosen dan mahasiswa antaralain:a.  E- learning dapat meingkatkan interaksi pembelajaran dosen dan mahasiswa b.  Mempermudah distribusi materi perkuliahanc.  Memperkecil hambatan jarak dan waktud.  Memberikan wawasan, pengalaman dan keterampilan berbasis teknologi

kepada mahasiswa4.1.3.  Jenis “e-learning” yang diharapkan oleh dosen dan mahasiswa

Dari kuesioner ini pula didapatkan keterangan mengenai beberapa fasilitas yangdiharapkan dapat menunjang kegiatan perkuliahan melalui e-learning. Beberapa

fasilitas tersebut antara lain:a.  Berbasis website, sehingga dapat diakses di luar lingkungan kampus b.  Memilki fasilitas download dan upload file, dosen dapat mendistribusikan

 berbagai macam jenis file materi perkuliahanc.  Memiliki fasilitas forum diskusi, membangun interaksi antar dosen dan

mahasiswa juga mahasiswa dan mahasiswa.d.  Disamping itu, mahasiswa dan dosen mangharapkan bias mendapatkan

informasi yang “up to date” berkaitan dengan nilai dan evaluasi yang terjadidalam perkuliahan.

e.  Bagi dosen, e-learning diharapkan dapat memberkan informasi tentang jumlah dan data mahasiswa yang mengikuti perkuliahan mereka termasukdata tentang selesai atau tidaknya tugas yang diberikan oleh dosen ke padamahasiswa

f.  Bagi mahasiswa, fasilitas up-load file yang merupakan tugas dari dosen jugadiperlukan mengingat hal ini dapat menunjang efektifitas perkuliahan merekatermasuk menunjang kegiatan belajar mereka terkait dengan materi yangdisampaikan dosen.

4.2.  Tahap Pengembangan PrototypeSetelah mendapatkan informasi di atas, maka peneliti menentukan jenis system yangakan digunakan. Pemilihan ini meliputi jenis content management system(CMS)yang akan digunakan, nama website yang akan digunakan dalam penelitian, pemilihan hosting dari website yang dibuat, dan pe-rekrut-an seorang web developeryang sekaligus administrator dari website yang dibuat. Hal ini perlu untuk dilakukanmengingat keterbatasan dana dan waktu yang tersedia dalam penelitian. Dasar dari pemilihan tersebut adalah hasil penelitian pendahuluan di atas.Dalam penelitian ini peneliti menggunakan cms bernama Moodle dengan catatan,

Moodle memfasilitasi hal-hal yang diharapkan oleh para responden penelitian yangmerupakan target dari penelitian ini. Program Moodle ini dikombinasikan denganwebsite beralamat di http://www.elevasi.or g. Website ini dapat diakses oleh dosendan mahasiswa baik di dalam dan di luar kampus. Untuk keperluan pemeliharaan program berikut website ini, peneliti dibantu oleh seorang administrator. Berkaitandengan proses penyesuaian diri mahasiswa dan dosen dalam mengguanakan websiteini, maka pembangunan system terfokus pada tiga hal utama yaitu:a.  Fasilitas upload dan download file baik bagi dosen dan mahasiswa

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 192/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

185

 b.  Penggunaan forum onlinec.   Paperless assignment  (penyerahan tugas secara online)d.  Pemberian tautan dari dosen ke website lain yang menunjang materi perkuliahanDalam perjalannanya, website ini pernah mengalami serangan hacker yangmengakibatkan website ini tidak dapat digunakan oleh mahasiswa selama dua pekan.Dari peristiwa ini, disadari bahwa keamanan website melalui keamanan hostingwebsite juga mempengaruhi efektifitas penggunaan e-learning berbasis website ini.Website ini diujicobakan pada dua mata kuliah yaitu Bahasa Inggris Matematika Idan Geometri Ruang.

4.3.  Tahap EvaluasiDalam tahap evaluasi ini, kuesioner disebarkan kepada 44 orang respondenmahasiswa dari kedua mata kuliah yang diikutsertakan dalam ujicoba penelitian ini.Tujuh belas orang dari responden tersebut adalah peserta mata kuliah GeometriRuang, sedangkan 27 orang yang lain adalah peserta mata kuliah Bahasa InggrisMatematika I. Sesuai dengan yang telah dijelaskan pada bagian pendahuluan,tahapan ini akan melihat dua bagian penting dari penggunaan website yang dibangundalam proses perkluliahan. Berikut adalah penjelasannya.

4.3.1.  Evaluasi penggunaan ‘e-learning” dalam rangka menunjang kegiatanperkuliahanDari 44 orang responden, 26 di antaranya menyatakan bahwa penggunaanwebsite tersebut menunjang efektifitas perkuliahan mereka. Hal ini dikemukakandengan beberapa alasan, antara lain:a.  Fasilitas download dan upload membantu mereka meng-akses materi

 perkuliahan b.  Fasilitas link ke website penunjang membantu mereka menemukan

 penunjang materi perkuliahanc.  Website ini memungkinkan mereka memperkecil jarak karena dapat

mengirimkan tugas secara onlined.  Memberikan pengalaman dan pembelajaran penggunaan teknologi kepada

mahasiswaSampai dengan laporan ini diturunkan tingkat partisipasi aktif mahasiswa padatiap mata kuliah yang diujicobakan telah mancapai ±80%. Mayoritas mahasiswamengoptimalkan peran fasilitas download materi perkuliahan dan penggunaanlink website yang telah disediakan oleh dosen. Selain itu, mahasiswa jugamengoptimalkan fasilitas pengiriman tugas secara online yang telah disediakanoleh dosen melalui website tersebut. Sampai dengan laporan ini diturunkan,tingkat partisipasi mahasiswa peserta perkuliahan masih terus bertambah seiringdengan beban perkuliahan yang mengharuskan mereka banyak berinteraksimelalui website tersebut. Poin interaksi ini menjadi sangat vital mengingat ±25%responden mengeluhkan bahwa mereka tidak didukung oleh fasilitas internetyang mudah dijangkau. Tidak ada penjelasan lebih lanjut mengenai hal ini.Dengan demikian diambillah data tambahan pendukung penelitian yang akan

disampaikan pada bagian 1.3.3.4.3.2.  Evaluasi terhadap system dan tampilan website yang digunakan dalam

penelitianSecara umum, baik dosen dan mahasiswa yang menggunakan fasilitas website initidak menemukan banyak kesulitan untuk beradaptasi dengan cms yangdigunakan. Akan tetapi, memang diperlukan proses adaptasi yang cukup lama baik bagi dosen maupun mahasiswa untuk terbiasa memanfaatkan fasilitas yangtelah disediakan dalam web ini untuk menunjang interaksi perkuliahan. Berkaitan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 193/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

186

dengan adanya downtime system akibat pembajakan website pada pecan ke-4 danke-5, perlu adanya kehati-hatian dalam memilih hosting yang aman, kuat danterpercaya. Hal ini sangat penting mengingat bahwa website semacam inimemuat data mahasiswa berikut data penting lainnya.Salah satu poin penting yang disampaikan oleh responden berkaitan denganwebsite yang digunakan adalah perlu ditambahkannya aplikasi interaktif lain,sayangnya tidak jelaskan oleh responden secara lebih mendetail. Selain itu,tampilan website perlu diubah agar menjadi tidak monoton dan menjadi lebihmenarik. Hal ini merupakan saran yang perlu diperhatikan mengingat untukmendapatkan program yang memiliki tampilan lebih baik diperlukan dana yangtidak sedikit. Hal ini berkaitan dengan lisensi dan fleksibilitas tampilan websiteatau[pun program yang digunakan. Berdasarkan hasil evaluasi tersebut, websitee-learning pun diperbaiki terutama mengingat adanya kerusakan yang terjadiselama pekan ke-4 dan ke-5. Mengingat keterbatasan waktu, maka data penelitiandiambil sampai dengan tahapan ini. Akan tetapi, kegiatan perkuliahanmenggunakan e-learning ini tetap dilaksanakan ditargetkan sampai dengan akhirsemester satu tahun 2009.

5.  Diskusi Hasil Penelitian

5.1.  Memperkenalkan “e-learning system” kepada dosen dan mahasiswa di ProdiPendidikan Matematika UNJPaparan yang disampaikan pada bagian 4., menunjukkan bahwa penggunaan e-learning dalam kegiatan perkuliahan di Prodi Pendidikan Matematika merupakan halyang sangat baik. Data hasil penelitian menunjukkan bahwa penggunaan e-learning berbasis website dapat menunjang efektifitas perkuliahan calon guru matematika.Dari segi mahasiswa peserta perkuliahan, system yang digunakan terbukti membantumereka mempersiapkan diri untuk kuliah. Selain itu, beberapa responden menyatakan penggunaan website ini mendorong mereka untuk berinteraksi slebih banyak denganteknologi, terutama yang menunjang proses belajar. Akan tetapi hal inipun tidak lepasdari kendala. Salah satu kendala yang diungkapkan oleh responden adalahketerbatasan perangkat komputer dan akses internet. Memang hal ini masih dapatdiatasi oleh responden mengingat tingkat partisipasi mereka lebih dari 50%.

Kekawatiran yang dihadapi adalah jika website ini diterapkan secara masal, makaissue keterbatasan ini akan menjadi lebih banyak lagi. Namun, secara positif, penelitimeyakini bahwa hal ini dapat diatasi. Penyediaan hotspot dan internet secara gratisdan bertanggung jawab yang sudah banyak dimanfaatkan oleh mahasiswa bias lebihdioptimalkan. Dengan demikian hal ini bias menjadi salah satu solusi.Dari segi dosen, peneliti memandang bahwa sosialisasi penggunaan website sepertiyang diujicobakan dalam penelitian ini harus merupakan sebuah pelatihan yangintensif. Baik dosen dan mahasiswa perlu beradaptasi dengan berbagai fasilitasteknologi yang tersedia dalam system yang telah disediakan. Disarankan, pelatihan penggunaan website semacam ini harus melalui beberapa tahap. Tahapan tersebutantara lain: tahap perkenalan pembuatan profile, tahap pemberian nama mata kuliahdan editing   pertemuan dalam perkuliahan, tahap pembuatan materi dan proses up-load materi ke dalam system yang dibagun, dan ditambahklan pula dengan

keterampilan pembuatan aktifitas perkuliahan bagi mahasiswa dan cara penggunaannya. Dengan tahapan tersebut, diharapkan dosen dapat lebih nyamanmenggunakan website tesebut.Secara umum, moodle telah menyediakan berbagai fasilitas yang dapat digunakandalam e-learning system. Berbagai fasilitas yang dibutuhkan seperti yangdisimpulkan dalam penelitian awalan dapat digunakan dalam Moodle. Beriringandengan tersedianya fasilitas ini, dosen diminta lebih optimal dalam menggunakansystem ini. Tidak hanya digunakan untuk mendistribusikan materi perkuliahan, dosen

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 194/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

187

diharapkan juga memotivasi diri sendiri untuk kreatif beradaptasi dengan systemyang telah disediakan. Yang perlu diingat adalah, efektifitas yang ditunjanginteraktifitas perkuliahan bergantung pada bagaimana pengampu mata kuliahmenyeting program perkuliahan termasuk penugasannya.

5.2.  Tantangan dalam implementasi “e-learning”Bagian akhir dari bagian 4., menunjukkan implementasi e-learning   dalam kegiatan perkuliahan menghadapi tantangan dan hambatan. Tantangan yang dihadapi antaralain: sosialisasi penggunaan website bagi mahasiswa dan dosen (dalam jumlah yang besar), memberikan fasilitas kemudahan akses internet berikut perangkat komputersehingga manfaat program ini dapat dirasakan secara merata dan memotivasi dosen pengampu mata kuliah agar lebih kreatif mendisain perkluliahan berikut penugasannya.

6.  Kesimpulan dan Saran6.1. Kesimpulan

Dari penelitian ini diketahui bahwa jenis e-learning yang dibutuhkan di ProdiPendidikan Matematika UNJ antara lain harus memiliki fasilitas:

a.  Berbasis website b.  Memilki fasilitas download dan upload filec.  Memiliki fasilitas forum diskusid.  Informasi yang berkaitan dengan nilai dan evaluasi dalam perkuliahan.e.  Khusus bagi dosen: informasi tentang jumlah dan data mahasiswa peserta

 perkuliahanDari beberapa criteria tersebut maka dipilihlah moodle sebagai program yangdigunakan sebagai prototype e-learning dalam penelitian ini. Selain itu, penggunaane-learning berbasis website ini ternyata menunjang efektifitas perkuliahan pada matakuliah yang diujicobakan.

6.2. SaranPemanfaatan e-learning berbasis website ini tidaklah lepas dari hambatan dantantangan seperti yang telah disampaikan pada bagian 4 dan 5 pada makalah ini.

Bagi stakeholder di Prodi Pendidikan Matematika pada khususnya dan UNJ padaumumnya, diharapkan dapat mendukung penggunaan e-learning semacam ini denganmenyediakan akses yang luas kepada mahasiswa dan dosen. Selain itu, hendaknyadosen dimotovasi untuk lebih kreatif dalam merancang kegiatan perkuliahan. Salahsatu upayanya adalah dengan mengadakan pelatihan yang intensif mengenai penggunaan system semcam e-learning ini.

Daftar PustakaDrent, M. dan Meelissen, M. (2007). Which Factors Obstruct or Stimulate Teacher

 Education to Use ICT Innovatively? Jurnal Computer and Education (2007). Hal.1–13.

Ferbar, L., dan Trkman, P., (2003).  Impact of Information and Technology on

 Mathematics Education – A Slovenian Experience. Informing Science June 2003.

Groth, E. R. (2006).  Analysis of an Online Case Discussion about Teaching Stchastics.  Mathematics Teacher education and Development Vol. 7 2005/2006 .Mathematics Education Research Group of Australasia., Hal. 53 – 71.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 195/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 196/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

189

MENINGKATKAN PERAN SERTA GURUDALAM PENULISAN KARYA ILMIAH

MENUJU PENGEMBANGAN PROFESIONAL

C. JacobEmail: [email protected] 

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

ABSTRAK

Usaha untuk meningkatkan kualitas sumber daya manusia semakin penting dalam erainformasi ini. Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang semakin ketat, dandunia sukar diprediksi memacu bangsa-bangsa di dunia untuk memantapkan sistem pendidikannya. Melalui pendidikanlah karakteristik suatu bangsa dapat dibentuk.Kegiatan-kegiatan ilmiah (diskusi, seminar, workshop, dan konferensi) memberikanmakna pada perkembangan masyarakat belajar dan merupakan penyempurnaan darikehidupan intelektual di kampus maupun di luar kampus (masyarakat umumnya).

Kata kunci: Karya ilmiah, Pengembangan Profesional.

1. PendahuluanMeningkatkan peran serta guru dalam penulisan karya ilmiah tidak dapat

dipisahkan dari posisi dan peran guru dalam suatu institusi (sekolah). Kedudukanguru di sekolah sangat penting. Seharusnya dengan kemampuan profesional danhubungan yang dekat dengan siswa, sejawat, guru sangat menentukan perkembanganinstitusi (sekolah), karena guru dapat mempengaruhi lingkungan intelektual dansosial kehidupan sekolah, terutama menciptakan iklim pembelajaran siswa lebihkondusif dan efektif. Dalam hal ini, guru berfungsi sebagai perancang, pelaksana, pengevaluasi proses pendidikan dan pengajaran.

Di samping sebagai pengajar, guru juga sebagai peneliti dan penyebar informasi.Lebih tegas Boyer (1987) mengutip ungkapan seorang profesor psikologi,

mengatakan bahwa profesional dalam kampus (sekolah) terdiri dari: “Mengajaradalah penting, tetapi penelitian dan publikasi ilmiah adalah lebih penting”(Jacob, 2002a, h. 53). Pernyataan Boyer ini nampaknya merupakan peringatan/tantangan bagi dosen/guru bahwa tugas dosen/guru bukan hanyamengajar, tetapi juga meneliti dan menulis. Reputasi seorang dosen/guru tidak dinilaidari “kehebatan” dalam mengajar saja, tetapi juga dari “reputasi skolarnya” seperti penyajian makalah dalam seminar-seminar regional/nasional/internasional, penulisanartikel dalam jurnal-jurnal ilmiah, dan penyusunan buku-buku berbobot. Kemampuandosen/guru dalam berpikir logis dan kritis, menguasai prinsip-prinsip penelitian sertamampu melaksanakan dan mengomunikasikan hasil-hasil penelitian menyebabkandosen/guru selalu tanggap terhadap perkembangan ilmu, teknologi, sosial, dan budaya di lingkungannya. Implikasinya bahwa dosen/guru dapat memperbaiki danmeningkatkan kualitas mengajarnya, serta memperbaiki dan meningkatkan prestasi

mahasiswa/siswanya.Justru dengan keprofesionalan dosen/guru itulah diharapkan dapat ditularkan

kepada mahasiswa/siswanya. Menurut Naisbitt dan Aburdene (1990) bahwaindividulah yang mengubah dirinya lebih dulu sebelum berusaha mengubahmasyarakat (Jacob, 2002a, h. 53). Lagi pula, dosen/guru merupakan fondasi dan unitdasar perubahan dan pengembangan masyarakat ilmiah.

Perguruan tinggi/sekolah sebagai pusat intelektual dan kultural diharapkanmemberikan kontribusi yang besar pada pengembangan IPTEK terutama yang

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 197/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

190

relevan dengan kepentingan pembangunan (dalam dunia pendidikan). Dalam hal ini,guru merupakan unsur penting di sekolah memiliki posisi strategis dalam proses pengembangannya. Dengan demikian, keterlibatan guru dalam usaha-usaha pengembangan IPTEK seperti penelitian, penulisan makalah ilmiah dan pembuatanrancang bangun teknologi, baik melalui kegiatan kurikuler maupun kegiatankokurikuler, mutlak diperlukan.

Adapun beberapa kendala yang menyebabkan kurang optimalnya peran sertaguru dalam penulisan karya ilmiah adalah sebagai berikut:(1)  Guru kurang memiliki wawasan yang luas tentang perkembangan IPTEK

dewasa ini.(2)  Guru memiliki keterbatasan pengetahuan dan keterampilan pada aspek

metodologi dalam penulisan karya ilmiah.(3) Guru kurang menumbuhkembangkan“budaya membaca dan menulis.”(4) Guru sebagian besar kurang menyadari pentingnya penulisan karya ilmiah

terhadap pengembangan akademis, baik bagi dirinya maupun bagi masyarakatsekitarnya.

(5)  Guru kurang berpikir dan bernalar secara logis, kritis, kreatif, dan matematissecara optimal.

Makalah ini bertujuan membahas beberapa hal yang berkaitan dengan kendala-kendala tersebut di atas. Hal-hal ini menyangkut hubungan antara perkembanganIPTEK dan karya ilmiah, peran guru sebagai agen pengembangan IPTEK, sertausaha-usaha dalam meningkatkan peran serta guru dalam penulisan karya ilmiah.

Dengan pedoman ini diharapkan peserta Seminar dapat:1. Memahami pengertian dasar karya ilmiah beserta aspek-aspeknya.2. Meningkatkan pengetahuan tentang teknik penulisan karya ilmiah, khususnya

untuk makalah seminar dan jurnal ilmiah.3. Memiliki kegairahan dalam menyusun makalah seminar dan artikel untuk

 jurnal ilmiah.

2. Perkembangan IPTEK dan Karya Ilmiah2.1 Pengembangan IPTEK dan Perubahan Masyarakat Morgan (1979) mendefinisikan ilmu pengetahuan (science) sebagai aktivitas

yang menghasilkan pengetahuan dan pemahaman tentang dunia di sekeliling kita.Sedangkan, teknologi oleh Morgan didefinisikan sebagai suatu aktivitas yangmenghasilkan prosedur-prosedur untuk membangun dan menciptakan sesuatu dalam bentuk prototipe dan model produk-produk atau dalam bentuk penemuan atau invensi(invention) (Jacob, 2002a, h. 54).

Dari definisi Morgan tersebut dapat dinyatakan bahwa teknologi adalah aplikasidari ilmu pengetahuan. Secara lebih spesifik dapat dikatakan bahwa ilmu pengetahuan bersifat murni, sedangkan teknologi merupakan pertemuan antaraformula-formula ilmu pengetahuan dan realitas material. Dengan demikian, teknologimerupakan aplikasi formula-formula ilmu pengetahuan dalam kehidupan praktis.

UNESCO (1986) melukiskan adanya hubungan timbal-balik antara perkembangan IPTEK dan perubahan masyarakat. Peran IPTEK dalam perubahanmasyarakat besar sekali. Penyebaran pengetahuan, produk dan proses baru yangdiperoleh dari kemajuan IPTEK kemudian mentransformasi struktur dan pola pikirserta perilaku sosial masyarakat. Sebaliknya, perkembangan IPTEK dalam suatumasyarakat juga ditentukan oleh faktor-faktor sosial dan budaya dalam masyarakattersebut. Dalam masyarakat yang memiliki sikap dan keyakinan positif terhadap perkembangan dan penyebaran IPTEK yang melembaga dalam struktur sosial,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 198/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

191

ekonomi dan politik memberi peluang yang besar berkembangnya IPTEK dalammasyarakat tersebut.

Selanjutnya, akan disajikan: (1) Karya ilmiah, (2) Peningkatan danPemasyarakatan Penulisan Karya Ilmiah, (3) Usaha-usaha dalam MeningkatkanPeran serta Guru dalam Penulisan Karya Ilmiah, dan (4) Pengembangan professionalguru matematika.

3. Pengertian Karya IlmiahKarya ilmiah adalah karya tulis yang disusun secara sistematis menurut aturan

atau kaidah-kaidah tertentu (keilmuan) berdasarkan hasil berpikir ilmiah. Adapunyang dimaksud dengan kaidah-kaidah keilmuan adalah bahwa karya ilmiahmenggunakan metode ilmiah (scientific method) di dalam membahas permasalahan,menyajikan kajiannya dengan menggunakan bahasa standard dan tata tulis ilmiah,serta menggunakan prinsip-prinsip keilmuan atau berpikir ilmiah (scientific thinking)a.l., seperti: bersifat objektif, logis, empiris (berdasarkan fakta), sistematis, lugas, jelas, dan konsisten. Pada mulanya, karya tulis ilmiah adalah tulisan yang didasarkanatas suatu penelitian ilmiah. Namun, belakangan mulai berkembang suatu paradigma baru bahwa suatu karya tulis ilmiah tidak harus didasarkan atas penelitian saja

melainkan juga suatu kajian terhadap suatu masalah yang dianalisis oleh ahlinyasecara profesional. Menurut pandangan ini, nilai keilmiahan suatu karya dilihat daridigunakannya metode baru dalam menelaah suatu permasalahan dan kebaruan suatu permasalahannya. Pada dasarnya, proses berpikir ilmiah terdiri dari langkah-langkahtertentu yang didukung oleh tiga unsur pokok: pengajuan masalah, perumusanhipotesis, dan verifikasi yang dilaporkan dengan metode penulisan tertentu. Jadi,karya ilmiah sebenarnya merupakan tulisan hasil berpikir ilmiah yang bukan hanyamelalui suatu penelitian saja. Sehingga, karya tulis lain yang mendekati karakteristikini seperti halnya deduktif, induktif, dan penelaahan kritis juga dapat digolongkansebagai karya ilmiah.

Ada tiga (3) syarat utama dalam menulis karya ilmiah, yaitu yang menyangkutformat, bahasa, dan publikasi. Pertama, karya ilmiah harus mempunyai formatkhusus, misalnya pada laporan penelitian harus memuat bagian-bagian abstrak,

 pendahuluan, metode, hasil, pembahasan, kesimpulan dan saran, serta daftar pustaka.Kedua, bahasa dan gaya (style) harus baku dan logis, bukan bahasa sehari-hari yang bersifat tidak jelas (ill-defined/undefined) dan emosional. Ketiga, karya ilmiah harusdipublikasikan/disebarkan melalui seminar atau konferensi nasional maupuninternasional, jurnal, majalah, buku, atau media/forum lain sehingga dapat diketahuioleh masyarakat ilmiah.

Karya ilmiah biasanya disajikan dalam bentuk makalah, artikel, laporan hasil penelitian, skripsi, tesis, atau disertasi. Dalam pedoman ini dibatasi pada penulisanmakalah dan artikel khususnya untuk jurnal ilmiah.

4. Peningkatan dan Pemasyarakatan Penulisan Karya IlmiahPembudayaan penulisan karya ilmiah dalam semua bidang dapat mempercepat

 berkembangnya IPTEK. Ada tiga jalur pengembangan dan pemasyarakatan penulisan

karya ilmih, yaitu: (1) melaksanakan proses pembelajaran inovatif, (2) meningkatkan peran dan keterlibatan PT/sekolah, dan (3) memanfaatkan jaringan informasi(internet) (Jacob, 2002a, h. 55).

Agar mahasiswa/guru dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis dankreatif, maka mereka harus diajar/dilatih oleh staf PT yang mereka sendiri adalah pemikir kritis dan kreatif, yang merealisasikan dan menyimulasikan kualitas inidalam setiap fase mengajarnya (Jacob, 2000a, h. 597). Adapun persiapan untukmengajar berpikir kritis adalah sebagai berikut: (1) telah menguasai keterampilan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 199/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

192

 berpikir dan siap untuk mengajarkanya lebih familiar eksplisit, lebih tepat, dan secarametakognitif; (2) penguasaan disiplin ilmu; (3) meningkatkan keterampilan berpikirkritis dan kreatif melalui kegiatan-kegiatan seminar, konferensi atau workshoptingkat regional/nasional/internasional; (4) mampu meredesain pelajaran.Selanjutnya, faktor yang tidak kalah pentingnya adalah “keterampilan  berpikirdisiplin-khusus”, yaitu: (1) argumentasi, (2) definisi, (3) strategi pemecahan masalahdan pengambilan keputusan, (4) konseptualisasi atau klasifikasi, dan (5) kreativitas(Barnes, dalam Jacob, 2000a, h. 597-598).

Perguruan Tinggi sebagai pusat kreativitas harus dapat berperan sebagai pengembang IPTEK, khususnya untuk pembangunan, sehingga iklim keilmiahandapat tercermin dalam aktivitas-aktivitasnya. Hal ini sesuai dengan apa yangdikemukakan oleh Direktorat Pembinaan Penelitian dan Pengabdian pada Masyarakat(1988) bahwa untuk mencapai sasaran program peningkatan dan pengembangan penelitian di PT, perlu dikembangkan suasana dan semangat ilmiah yang kondusifserta etika penelitian dalam pengembangan dan penguasaan IPTEK di setiap kampus.

Kampus (sekolah) adalah suatu organisasi sosial tempat pendidikan berlangsung.Toffler (1981) melukiskan bahwa sekolah di masa depan (dalam era informasi) harusmengarahkan mahasiswa/siswa untuk “belajar bagaimana untuk   belajar”

(“learning how to learn”). Hal ini berarti bahwa tugas guru (dosen) tidak hanyamemberikan informasi tetapi juga “mengajar bagaimana untuk belajar” (“teaching how to learn”); dan “belajar bagaimana untuk mengajar” (“learninghow to teach”); tentang mengklasifikasi, mereklasifikasi, mengevaluasi,memindahkan, mengolah, dan mengomunikasikan informasi.

Salah satu kecenderungan mega (megatrends) yang dikemukakan oleh Naisbitt (1984) adalah perubahan masyarakat industri menjadi masyarakat informasi.Rogers et al. (1988) mengartikan masyarakat informasi sebagai mayoritas tenaga kerjaterdiri dari pekerja dengan aktivitas pokok memproduksi, memproses, ataumendistribusikan informasi atau memproduksi pengetahuan. Sebagai dampaknya, polaekonomi/produksi yang terjadi dalam era informasi ini semakin mengarah pada pola“padat otak” (“brain-intensive industry”). Sehubungan dengan itu, ada empat prasyarat dasar untuk berpartisipasi secara penuh dalam masyarakat informasi

(information society), yaitu akses pada jaringan telepon, televisi, komputer, dan internet.

5. Usaha-usaha dalam Meningkatkan Peran serta Guru dalam Penulisan KaryaIlmiah

Dengan melihat konsep, cakupan dan peran penulisan karya ilmiah, serta potensidan permasalahan yang dimiliki guru, seperti yang telah disajikan sebelumnya, penyajimengidentifikasi beberapa usaha yang dapat meningkatkan peran serta guru dalam penulisan karya ilmiah. Usaha-usaha tersebut sebagai berikut:

(1)  Dialog-dialog ilmiah guru intra dan inter-profesi yang membahas topik-topikkhusus.

(2)  Menyelenggarakan kegiatan-kegiatan pelatihan tentang wawasan IPTEK danmetodologi penulisan karya ilmiah/PTK, dengan tugas-tugas yang menarik.

(3)  Mengaitkan kegiatan-kegiatan kokurikuler dengan kegiatan-kegiatan

kurikuler, khususnya yang menyangkut penulisan karya ilmiah sesuai dengandisiplin ilmu masing-masing.

(4)  Menyediakan media massa yang cukup dan representatif, misalkan dalam bentuk surat kabar guru, majalah, buletin, dll., yang dapat digunakan sebagaiwahana latihan menulis dan aktualisasi idea-idea bagi guru. 

(5)  Mempersiapkan guru untuk mengikuti lomba penulisan karya ilmiah secaramatang dalam waktu yang cukup lama atau menyediakan dana untukmelakukan PTK secara rutin dan kompetitif.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 200/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

193

(6)  Menyelenggarakan pameran-pameran/pagelaran-pagelaran karya tulis ilmiah,rancang bangun atau prototipe yang dihasilkan oleh guru di tingkatkecamatan, kabupaten, provinsi, dan nasional/internasional.

6. Pengembangan Profesional Guru MatematikaAda suatu konsensus yang semakin meningkat dalam literature tentang elemen-

elemen pengembangan professional efektif bagi kepala sekolah dan para guru.Pengembangan efektif secara logis melekat dalam realitas sekolah dan karya paraguru (termasuk guru matematika). Kepala sekolah melibatkan orang dewasa, sepertidilaporkan oleh Knowles (1980): (a) kebutuhan pelajar orang dewasa terarah padadiri-sendiri (self-directed), (b) mereka menampilkan kesiapan untuk belajar kapanmereka membutuhkan suatu yang dirasakan, dan (c) mereka menentukan dengansegera aplikasi keterampilan dan pengetahuan baru. Berdasarkan pada teori belajarorang dewasa, kemudian, kepala sekolah dan guru dapat memiliki suatu kebutuhansecara terarah pada diri-sendiri, untuk pengembangan professional berdasarkan pada bidang perbaikan kebutuhan mereka, dan untuk aplikasi dari apa yang mereka pelajaridalam pengembangan professional. Selama waktu dan situasi berkembang di managuru dapat berdialog dengan guru lainnya, dan kepala sekolah dapat berdialog dengan

kepala sekolah lainnya adalah kritis untuk aplikasi pengetahuan yang ditingkatkanefektif dalam sesi pengembangan professional.Agar efektif, pengembangan professional harus secara internal bertalian secara

logis, teliti, berkaitan dengan kampus (sekolah) serta misi dan visi sekolah, dantujuan pembelajaran guru, dan terus-menerus sepanjang tahun (Little, 1993; Renyi,1996; Sparks & Hirsch, 1997; dalam Lunenburg & Irby, 2006).

Setiap pengembangan professional yang tidak terus-meneus dan terintegrasi tidakefektif terhadap derajat yang telah ditetapkan oleh kepala sekolah. Suatu pendekatan pengembangan professional mencakup kerjasama yang baik antara universitas-sekolah (Darling-Hammond, dalam Lunenburg & Irby, 2006); jaringan guru dankolaboratif (Little, & Renyi dalam Lunenburg & Irby, 2006); studi guru ataukelompok inquiry (Clair dalam Lunenburg & Irby, 2006); penelitian guru, dan pengembangan portfolio.

Pengembangan professional kualitas-tinggi terhadap konten yang setepat-tepatnya dan relevan, strategi dan dukungan organisasional yang menjamin persiapan dan pengembangan karier-panjang guru dan kepala sekolah yang kompetensi, berekspektasi,dan pengaruh tindakan lingkungan belajar dan mengajar. Misi pengembangan professional adalah untuk mempersiapkan dan mendukung guru dan kepala sekolah untukmembantu semua siswa mencapai standar belajar dan pengembangan tinggi.

7. Pengembangan Profesional Efektif  Menurut Lunenburg dan Irby (2006 : 122-128) bahwa ada sepuluh (10) Prinsip

Pengembangan Profesional Efektif:1.  Terfokus pada guru sebagai sentral bagi belajar siswa, juga mencakup semua

anggota lain dari komunitas sekolah.

2.  Terfokus pada individu, kolegial, dan perbaikan organisasional.3.  Respek dan memelihara intelektual dan kapasitas kepemimpinan guru, kepala

sekolah, dan yang lainnya dalam komunitas sekolah.4.  Merefleksikan penelitian dan praktik terbaik yang ada dalam mengajar, belajar,

dan kepemimpinan.5.  Mendorong guru untuk mengembangkan keahlian selanjutnya dalam materi

 pelajaran, strategi mengajar, penggunaan teknologi, dan elemen-elemen esensiallainnya dalam mengajar sampai standar tinggi.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 201/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

194

6.  Mengembangkan inquiry dan perbaikan kontinu yang melekat dalam kehidupansehari-hari sekolah (meliputi penelitian tindakan kelas dan portfolio evaluasi).

7.  Direncanakan secara kolaboratif dengan siapa dapat berpartisipasi dalam danmemfasilitasi pengembangan.

8.  Memerlukan waktu substansial dan sumber-sumber lain.9.  Digerakan oleh suatu rencana jangka-panjang yang berkaitan secara logis.10. Dievaluasi pada basis pengaruh kuat pada keefektivan guru dan belajar siswa,

dan asesmen membimbing usaha pengembangan professional sebelumnya.

DAFTAR PUSTAKA

Altbach, P. G. (1981). Strak realities:The academic profession.  In P. G. Altbach & R. O. Berdahl (eds.). Higher Education Society. Buffalo, New York: Prometheus Books. 

American Psychological Association [APA]. (1985).  Publication manual of the American Psychological Association (3rd ed.). Washington, DC.: AmericanPsychological Association.

American Psychological Association [APA]. (1994).  Publication manual of the American Psychological Association (3rd ed.). Washington, DC.: American PsychologicalAssociation.

American Psychological Association [APA]. (2001).   Publication manual of the American Psychological Association (5th ed.). Washington, DC.: American Psychological Association.

Ary, D., Jacobs, L. Ch., &Razavieh, A. (1985).  Introduction to research in education(2nd ed.). New York: Holt Rinehart and Winston.

Barnes, C. A. (1992). Critical thinking: Educationl imperative. San Francisco:Jossey-Bass Publishers.

Bauer, H. H. (1994). Scientific literacy and the myth of the scientific method. Urbana andChicago: University of Illinois Press.

Berg, K. E., & Latin, R. W. (1994).  Research methods: Essentials of modern in health, physical, education, and recreation. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Bordens, K. S., & Abbott, B. B. (2005).  Research design and methods: A processapproach (6th ed.). Washington, DC.: McGraw-Hill Higher Education.

Boyer, E. L. (1987). College: The undergraduate experience in America.  New York: Harper & Row, Publishers.

Daepp, U., & Gorkin, P. (2003).  Reading, writin, and proving: A closer look atmathematics. New York: Springer-Verlag New York, Inc.

Gay, L. R. (1981).  Educational research: Competencies for analysis & application (2nded.). Columbus: Charles E. Merrill Publishing Company A Bell & HowellCompany.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 202/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

195

Gay, L. R. (1992).  Educational research: Competencies for analysis & application. NewYork: Merrill, an imprint of MacMillan Publishing Company.

Hinkle, D. E., Wiersma, W., & Jurs, St. G. (1988).  Applied statistics for the behavioral sciences (2nd ed.). Boston: Houghton Mifflin Company.

Hult, Ch. A. (1996).  Researching and writing across the curriculum. Boston: Allyn andBacon.

Jacob, C. (2000a). Mengajar berpikir kritis: Suatu upaya meningkatkan efektivitas belajarmatematika.   Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia (Journal of Indonesian Mathematical Society), Vol. 5, 595-598. Bandung: ITB. 

Jacob, C. (2000b).  Belajar bagaimana untuk belajar matematika: Suatu telaah  strategis belajar efektif.  Prosiding Seminar Nasional Matematika: Peran Matematika Memasuki Milineum III. ISBN: 979-96152-0-8; 443-447. Surabaya: ITS Surabaya.

Jacob, C. (2002a). Meningkatkan peran serta mahasiswa dalam penulisan karya

ilmiah. Prosiding Seminar Matematika Tingkat Nasional: Peranan Matematikadalam Peningkatan Kualitas Sumber Daya Manusia untuk Menghadapi Era Industri dan Informasi. ISSN: 1693-0800; 53-57. BEM Himaptika ‘Identika’ bekerja sama dengan Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UniversitasPendidikan Indonesia.

Jacob, C. (2002b).  Matematika sebagai komuniksi.  Jurnal Matematika atau Pembelajarannya.Bagian I, Tahun VIII,Edisi Khusus; 378-382.Malang: UM.

Jacob, C. (2003). Mengajar keterampilan metakognitif dalam rangka upaya memperbaikidan meningkatkan kemampuan belajar matematika.  Jurnal Matematika, Aplikasidan Pembelajarannya (JMAP). ISSN: 1412-8632, 17-20. Jakarta: JurusanMatematika FMIPA UNJ.

Jacob, C. (2003).  Pengaruh mengajar keterampilan metakognitif kepada siswa dengankemampuan matematika rendah.  Laporan Hasil Hibah Penelitian Projek DUE- LIKE Tahun 2003. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.

Jacob, C. (2005).  The means-ends analysis: Mathematical problem solving strategy. Proceeding Seminar Nasional Matematika (SNM)-2005. ISSN: 1907-2562, 164-168. Departemen Matematika FMIPA UI Depok.

Jacob, C. (2006).  Asesmen otentik (Authentic assessment): Suatu kunci kepada pembelajaran efektif.  Jurnal Matematika Integratif. ISSN: 1412-6184,13-24.Vol. 5 No. 2 Oktober 2006. Bandung: Jurusan Matematika FMIPA UNPAD.

Jacob, C. (2007).  Pengembangan kompetensi menuju guru matematika professional.Makalah Disajikan pada Konferensi Nasional Pendidikan Matematika II danKongres Guru Matematika Indonesia I. Bandung: FPMIPA UPI.

Jacob, C. (2007).  Logika informal: Pengembangan penalaran logis.  Laporan Hasil Penelitian Hibah Kompetitif UPI Tahun 2007. Bandung: Universitas PendidikanIndonesia.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 203/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

196

Jacob, C. (2008).  Guru sebagai peneliti dalam pendidikan matematika: Suatu upayameningkatkan kualitas mengajar.  MIMBAR PENDIDIKAN: Jurnal Kependidikan(Guru dan Tuntunan Profesional), Vol. XXXII, 1(59-67). Bandung: UPI.

Katz, M. J. (1985).  Elements of the scientific paper.  New Haven: Yale University Press.

Lunenburg, F. C., & Irby, B. J. (2006).  The principalship: Vision to action.  Australia:WADSWORTH Cengage Learning.

Morgan, R. P. (1979). Science and technology for development: The role of U.S.Universities. New York: Pergamon Press.

 Naisbitt, J. (1984).  Megatrends.  New York: Warner Books, Inc.

 Naisbitt, J., & Aburdene, P. (1990). Megatrends 2000 (Terjemahan  F. X. Budijanto). Jakarta: Penrbit PT Gramedia.

Rogers, E. M., Burdge, R. J., Korsching, P. F., & Donnermeyer, J. F. (1980).  Social

change in rural societies (3th ed.). Englewood Cliffs: Prentice Hall. 

Toffler, A. . (1986).  Future schock. New York: Bantam Books.

UNESCO. (1981).  New technology for development. Paris: UNISCO.

Vockell, E. L., & Ashe, J. W. (1995).  Educational research (2nd d.). EnglewoodCliffs: Merrill, an imprint of Prentice Hall.

Wiersma, W. (1995).  Resarch methods in education: An introduction (6th ed.). Boston:Allyn and Bacon. 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 204/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

197

PEMBELAJARAN PROBLEM POSING  UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIKA

SISWA SEKOLAH DASAR

Syarifah Nur Siregar

Abstrak

Penelitian eksperimen dengan desain kelompok kontrol pretes-postes ini bertujuan untuk mengetahui perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematikaantara siswa yang mengikuti pembelajaran problem posing dan siswa yang mengikuti pembelajaran biasa ditinjau dari kualifikasi sekolah (rendah, sedang, dan tinggi). Subjek penelitian adalah siswa kelas IV SDN yang terdapat di Kota Bandung. Hasil penelitianmenunjukkan bahwa peningkatan kemampuan penalaran matematika siswa yangmengikuti pembelajaran problem posing lebih baik daripada siswa yang mengikuti pembelajaran biasa, baik untuk sekolah kualifikasi rendah, sedang, ataupun tinggi.

Kata kunci: pembelajaran problem posing, kemampuan penalaran matematika.

Pendahuluan

Pendidikan adalah salah satu pilar utama yang memungkinkan suatu negaramengalami kemajuan dalam bidang pengetahuan dan teknologi. Pendidikan merupakaninvestasi jangka panjang dan memerlukan biaya besar. Jika pendidikan tidak ditanganidengan baik maka dapat berakibat fatal, karena dampaknya langsung berhubungandengan manusia. Sebaliknya, bila pendidikan berhasil dikembangkan dan dikelola dengan baik, maka dalam jangka panjang akan memberikan sumbangan yang besar bagi bangsadan negara.

Dalam bidang pendidikan, pengembangan dan penguasaan pengetahuan,khususnya di bidang matematika, Indonesia tertinggal jauh dari banyak negara di dunia.Hasil penelitian The Third International Mathematic and Science Study (TIMSS) tahun

1999 memperlihatkan bahwa prestasi belajar siswa Indonesia dalam bidang matematika berada pada posisi ke-36 dari 38 negara yang ikut berpartisipasi. Hasil penelitian TIMSSempat tahun kemudian, yaitu pada tahun 2003 menempatkan siswa Indonesia pada peringkat ke-36 dari 45 negara (Mullis dalam Sabandar, 2008).

Untuk mengejar ketertinggalan tersebut perlu ditingkatkan motivasi, kemampuan,dan kreativitas siswa dalam belajar matematika sesuai dengan tuntutan era penuh perubahan. Oleh karena itu, maka harus dikembangkan pembelajaran matematika yangtidak hanya mentransfer pengetahuan kepada siswa tetapi juga membantu siswa untukmencerna dan membentuk pengetahuan mereka sendiri serta mampu memecahkanmasalah-masalah yang dihadapinya. Pembelajaran matematika yang demikian itu tidakmungkin bisa dicapai dengan hanya melalui hafalan, latihan pengerjaan soal yang bersifatmekanistik, rutin, dan algoritmis, serta proses pembelajaran biasa yang cenderung berpusat kepada guru. Oleh karena itu, diperlukan metode dan pendekatan yang sesuai

untuk mengubah dari situasi guru mengajar kepada situasi siswa belajar, dari alam berpikir guru ke alam berpikir siswa.

Pembelajaran matematika di sekolah dasar tidak hanya diarahkan pada peningkatan kemampuan siswa dalam berhitung, tetapi juga diarahkan pada peningkatankemampuan penalaran logis, sistematis, kritis, cermat, dan kreatif dalammengkomunikasikan gagasan atau dalam memecahkan masalah. Hal ini didorong oleh perkembangan arah pembelajaran matematika yang digagas oleh  National Council ofTeacher of Mathematics  (NCTM) di Amerika pada tahun 1989 yang mengembangkan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 205/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

198

Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics,  di mana pemecahanmasalah dan penalaran menjadi tujuan utama dalam program pembelajaran matematika disekolah dasar.

Perubahan paradigma pembelajaran matematika ini kemudian diadaptasi dalamkurikulum di Indonesia yaitu pada Kurikulum 2004 (KBK) dan Kurikulum 2006 (KTSP).Dalam KTSP ditekankan agar siswa memiliki kemampuan menggunakan matematikasebagai cara bernalar yang dapat dialihgunakan pada setiap keadaan, seperti berpikirkritis, logis, sistematis, bersifat objektif, jujur, dan disiplin dalam memandang danmenyelesaikan suatu masalah. Kemampuan-kemampuan ini sangat berguna dalammengikuti pendidikan yang lebih tinggi, sebagai bekal hidup di masyarakat serta bekaldalam dunia kerja.

Di antara berbagai kompetensi yang diharapkan muncul sebagai dampak dari pembelajaran matematika adalah kemampuan penalaran matematika. Kemampuan penalaran merupakan kemampuan untuk menarik kesimpulan berdasarkan fakta dansumber yang relevan. Kemampuan ini meliputi kemampuan untuk berpikir informal,konjektur, membuat generalisasi serta menggunakan beragam cara untuk membuktikan.Kemampuan penalaran merupakan bagian terpenting dalam matematika. Priatna (2003)menyatakan bahwa melalui kegiatan bernalar dalam matematika, diharapkan siswa dapat

melihat bahwa matematika merupakan kajian yang masuk akal atau logis. Dengandemikian siswa merasa yakin bahwa matematika dapat dipahami, dipikirkan, dandievaluasi.

Kemampuan penalaran sangat penting dalam matematika. Hal ini sesuai denganyang dinyatakan Kusumah (2008) bahwa ciri utama matematika adalah penalarandeduktif, yaitu kebenaran suatu konsep atau pernyataan yang diperoleh merupakan akibatlogis dari kebenaran sebelumnya sehingga belajar matematika berarti belajar bernalarsecara deduktif yang memerlukan proses dan latihan yang tidak mudah, serta menuntutkeseriusan, konsentrasi, dan waktu yang lebih.

Menyadari pentingnya kemampuan penalaran matematika, perlu diupayakansuatu pembelajaran matematika yang mampu meningkatkan kemampuan tersebut. Salahsatu cara yang dapat dilakukan adalah menekankan pengembangan kemampuan siswadalam membentuk soal/membuat pertanyaan ( problem posing ).  Problem posing  

merupakan salah satu inti kegiatan matematika sehingga merupakan komponen yangsangat penting dalam kurikulum matematika sebagaimana yang dinyatakan oleh English(1998: 83): ” It is well recognized that problem posing is an important component of themathematics curriculum and, indeed, lies at the heart of mathematical activity.” Halsenada juga dikemukakan oleh NCTM (Silver et al , 1996: 293) yang menyatakan:

”...students be given increased oppurtunities for ‘investigating and formulatingquestions from problem situations’, and refers explicity to problem posing byarguing that students should also have some experience recognizing and formulating their own problems, an activity which is the heart of doingmathematics.”

Rekomendasi tersebut menunjukkan bahwa  problem posing   merupakan suatuaktivitas dalam pembelajaran matematika yang dapat mengembangkan kemampuan

matematika siswa, karena dalam pembelajaran dengan problem posing , siswa baik secaraindividu maupun kelompok akan mendapat pengalaman langsung untuk mengajukanmasalahnya sendiri.

Dalam kegiatan pembelajaran  problem posing , siswa dibimbing untukmerumuskan atau mengajukan masalah atau pertanyaan berdasarkan situasi masalah yangdiberikan oleh guru. Dalam merumuskan suatu masalah, siswa harus berpikir dan bernalar, menciptakan ide-ide matematis, dan berargumen dalam merumuskan danmenyelesaikan soal, menggunakan informasi yang tersedia untuk menyelesaikan masalah

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 206/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

199

serta memikirkan cara yang paling tepat dan masuk akal untuk menyelesaikan masalahyang telah dirumuskan.

Selain itu, problem posing  memberikan kesempatan seluas-luasnya kepada siswauntuk merekonstruksi pikirannya dalam membentuk soal atau membuat pertanyaan.Kegiatan ini memungkinkan siswa untuk melakukan kegiatan yang lebih bermakna sesuaidengan skemata yang dimiliki siswa (Hudoyo, 1988).

 Problem posing   pada umumnya digunakan pada tiga bentuk kegiatan kognitifyang bersifat matematis, yaitu: (1) sebelum pemecahan masalah, yang merupakan suatu pengembangan masalah awal dari suatu situasi yang diberikan; (2) pada saat pemecahanmasalah, yang merupakan tahap perumusan ulang masalah atau soal agar menjadi mudahuntuk diselesaikan; dan (3) setelah pemecahan masalah, yang merupakan modifikasitujuan atau kondisi dari masalah yang sudah dipecahkan untuk merumuskan masalah baru(Silver dan Cai, 1996). Situasi didefenisikan sebagai: ”Some blockages that must beexperienced by the problem solvers, they do not know at first how to proceed ” (Kroll etal ., 2001: 1).

Pembelajaran matematika melalui  problem posing   diharapkan dapat menjadi pembelajaran yang efektif karena kegiatan  problem posing   sesuai dengan pola pikirmatematis dalam arti: (1) pengembangan matematika sering terjadi dari kegiatan problem

 posing , dan (2) problem posing  merupakan salah satu tahap berpikir matematis (Suryanto,1998).Berdasarkan uraian di atas, permasalahan yang akan diungkap dan dicari

 penyelesaiannya adalah apakah terdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaranmatematika antara siswa yang mengikuti pembelajaran problem posing   dan siswa yangmengikuti pembelajaran biasa ditinjau dari kualifikasi sekolah rendah, sedang, dan tinggi.

Metode PenelitianPenelitian yang dilakukan merupakan penelitian eksperimen (experimental

research), yaitu penelitian yang melihat hubungan sebab akibat dimana perlakuan yangdiberikan terhadap variabel bebas dilihat hasilnya pada variabel terikat (Ruseffendi,2005). Variabel bebas (independent variable) dalam penelitian ini adalah pembelajaran problem posing   sedangkan variabel terikat (dependent variable) adalah kemampuan

 penalaran matematika.Desain penelitian yang digunakan adalah desain kelompok kontrol pretes-postes,yaitu adanya pretes dan postes (0) yang berbentuk tes penalaran matematika. Kelompokyang satu (kelompok eksperimen) memperoleh perlakuan pembelajaran  problem posing  (X) sedangkan kelompok yang satu lagi (kelompok kontrol) tidak memperoleh perlakuan pembelajaran  problem posing . Kelompok kontrol tidak memperoleh perlakuan khusus.Desain penelitian ini dapat digambarkan sebagai berikut:

A 0 X 0A 0 0Populasi dalam penelitian ini adalah siswa kelas IV Sekolah Dasar Negeri (SDN)

di Kota Bandung. Dari sebanyak 769 sekolah, terlebih dahulu digolongkan sekolah kedalam tiga kategori, yaitu sekolah dengan kualifikasi rendah, sedang, dan tinggi berdasarkan perolehan nilai rata-rata matematika pada UASBN tahun 2008. Dari setiap

kualifikasi dipilih satu atau dua sekolah yang kemudian ditentukan sekolah yang menjadikelompok eksperimen dan kelompok kontrol.

Data yang diperoleh dari penelitian ini adalah data kuantitatif berupa hasil teskemampuan penalaran matematika. Analisis data dilakukan dengan uji ANOVA dua jalur.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 207/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

200

Hasil dan PembahasanPeningkatan kemampuan penalaran matematika siswa diperoleh dari selisih skor

 postes dan skor pretes dibagi selisih skor ideal dan skor pretes. Secara deskriptif peningkatan kemampuan penalaran matematika siswa ditunjukkan pada Tabel 1.

Tabel 1: Peningkatan Kemampuan Penalaran Matematika Siswa Pembelajaran Kualifikasi Sekolah N x   sd   x  in  x aks 

 Problem posing  Rendah 19 0,30 0,17 0,08 0,67Sedang 20 0,38 0,15 0,13 0,76Tinggi 27 0,28 0,23 0,00 1,00

BiasaRendah 26 0,22 0,08 0,08 0,38Sedang 17 0,20 0,13 0,06 0,50Tinggi 27 0,21 0,17 0,00 0,71

Dari Tabel 1 dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan peningkatankemampuan penalaran matematika antara siswa yang mengikuti pembelajaran  problem posing   dan siswa yang mengikuti pembelajaran biasa. Siswa yang mengikuti pembelajaran  problem posing   peningkatan yang lebih tinggi jika dibandingkan dengan

siswa yang mengikuti pembelajaran biasa. Diagram batang peningkatan kemampuan penalaran matematika ditunjukkan pada Gambar 1.

0.30

0.22

0.38

0.20

0.28

0.21

0.00

0.05

0.100.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Rendah Sedang Tinggi

Eksperimen

Kontrol

 Gambar 1: Diagram Batang Peningkatan Kemampuan Penalaran Matematika

Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa siswa yang mengikuti pembelajaran  problem posing , peningkatan kemampuan penalaran matematika tertinggi terdapat pada siswa darisekolah kualifikasi sedang, kemudian diikuti siswa dari sekolah kualifikasi rendah, dan

tinggi. Sedangkan siswa yang mengikuti pembelajaran biasa, peningkatan kemampuan penalaran matematika tertinggi terdapat pada siswa dari sekolah kualifikasi rendah,kemudian diikuti siswa dari sekolah kualifikasi tinggi, dan sedang. Dengan kata lain, jikaditinjau dari kualifikasi sekolah, siswa yang berada pada sekolah kualifikasi sedangmemperoleh peningkatan yang lebih baik daripada siswa yang berada pada sekolahkualifikasi rendah dan tinggi. Bahkan siswa yang berada pada sekolah kualifikasi rendahmemperoleh peningkatan yang lebih baik daripada siswa yang berada pada sekolahkualifikasi tinggi.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 208/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

201

Hal ini mengindikasikan bahwa pembelajaran  problem posing   kurang sesuaidiberikan pada sekolah kualifikasi tinggi. Hal ini bisa saja terjadi karena siswa yang berada pada sekolah kualifikasi tinggi sudah mempunyai pengetahuan awal yangmemadai sehingga siswa tidak perlu mengerahkan segenap kemampuannya untukmengerjakan lembar aktivitas siswa dan lembar problem posing . Pengetahuan awal yangdimiliki siswa pada umumnya diperoleh dari bimbingan belajar di luar jam sekolah.Sebaliknya, siswa yang berada pada sekolah kualifikasi rendah dan sedang lebihtermotivasi dan tertantang untuk dapat menyelesaikan masalah dan membuat pertanyaan.Perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematika antara siswa pada sekolahkualifikasi rendah dan sedang lebih disebabkan kepada kebiasaan siswa belajar.

Dari hasil analisis inferensial, pengolahan data diawali dengan menguji persyaratan uji statistik antara lain uji normalitas menggunakan Kolmogorov Smirnovdan uji homogenitas menggunakan Levene, yang kemudian dilanjutkan dengan ujiANOVA dua jalur. Hasil uji persyaratan analisis dari keseluruhan data dipenuhi.

Untuk mengetahui perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematika berdasarkan pembelajaran dan kualifikasi sekolah serta interaksi antara pembelajaran( problem posing   dan biasa) dengan kualifikasi sekolah (rendah, sedang, dan tinggi)terhadap kemampuan penalaran matematika, maka dilakukan uji ANOVA dua jalur yang

ditunjukkan pada Tabel 2.

Tabel 2: Uji ANOVA Dua Jalur Peningkatan Kemampuan Penalaran Matematika 

Source

Type IIISum ofSquares df Mean Square F Sig.

Corrected Model .507(a) 5 .101 3.731 .003Intercept 9.172 1 9.172 337.199 .000Pembelajaran .409 1 .409 15.046 .000Kualifikasi_Sekolah

.038 2 .019 .693 .502

Pembelajaran *Kualifikasi_Sekolah

.079 2 .040 1.456 .237

Error 3.536 130 .027Total 13.362 136Corrected Total 4.044 135

Dari Tabel 2 dapat dilihat bahwa nilai F untuk faktor pembelajaran sebesar15,046 dengan nilai signifikan sebesar 0,000. Nilai signifikan ini lebih kecil dari tarafsignifikan 0,05 sehingga dapat disimpulkan bahwa hipotesis nol yang menyatakan tidakterdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematika berdasarkan faktor pembelajaran ditolak. Dengan kata lain, terdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematika yang signifikan antara siswa yang mengikuti pembelajaran problem posing  dengan siswa yang mengikuti pembelajaran biasa.

Dari Tabel 2 juga dapat dilihat hasil perhitungan nilai F untuk faktor kualifikasisekolah adalah sebesar 0,693 dengan nilai signifikan sebesar 0,502 yang lebih besar dari0,05. Ini berarti bahwa hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak terdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematika berdasarkan kualifikasi sekolah dapatditerima. Dengan kata lain, tidak terdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaranmatematika berdasarkan kualifikasi sekolah.

Selain itu, dari Tabel 2 dapat dilihat bahwa nilai F untuk interaksi pembelajarandan kualifikasi sekolah adalah sebesar 1,456 dengan nilai signifikan (P-value) sebesar

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 209/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

202

0,237. Karena nilai signifikan lebih besar dari 0,05 maka hipotesis nol yang menyatakantidak ada interaksi antara faktor pembelajaran dengan faktor kualifikasi sekolah dapatditerima. Grafik interaksi antara faktor pembelajaran dengan faktor kualifikasi sekolahterhadap peningkatan kemampuan penalaran matematika disajikan pada Gambar 2.

Rendah Sedang Tinggi

Kualifikasi_Sekolah

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

   E  s   t   i  m  a   t  e   d   M  a  r  g   i  n  a   l   M  e  a  n  s

Pembelajaran

Problem Posing

Biasa

Estimated Marginal Means of Penalaran

 Gambar 2: Interaksi Antara Faktor Pembelajaran dengan Faktor Kualifikasi Sekolah

terhadap Peningkatan Kemampuan Penalaran Matematika

Dari Gambar 2 dapat ditafsirkan bahwa pembelajaran tidak bergantung kepadakualifikasi sekolah. Ini berarti bahwa pembelajaran  problem posing  sesuai untuk semuakualifikasi sekolah dalam hal meningkatkan kemampuan penalaran matematika. Hal inidapat dilihat dari rerata gain ternormalisasi siswa yang mengikuti pembelajaran  problem posing   lebih tinggi daripada siswa yang mengikuti pembelajaran biasa. Gambar 2 jugamenunjukkan bahwa siswa pada sekolah kualifikasi sedang memperoleh manfaat terbesar

dalam pembelajaran  problem posing   jika dibandingkan dengan siswa pada sekolahkualifikasi rendah dan tinggi dalam hal peningkatan kemampuan penalaran matematika.Hal ini dapat dilihat dari selisih rerata gain ternormalisasi antara siswa yang mengikuti pembelajaran problem posing  dan siswa yang mengikuti pembelajaran biasa sebesar 0,08untuk sekolah kualifikasi rendah; 0,18 untuk sekolah kualifikasi sedang; dan 0,07 untuksekolah kualifikasi tinggi.

Dari analisis data hasil penelitian yang telah dikemukakan menunjukkan bahwa pembelajaran  problem posing   lebih baik dalam meningkatkan kemampuan penalaranmatematika dibandingkan dengan pembelajaran biasa. Hasil temuan ini memperkuattemuan Bharata (2002) yang dalam penelitiannya menemukan bahwa pembelajaran problem posing   lebih baik daripada pembelajaran biasa dalam hal meningkatkan hasil belajar aritmetika siswa.

Perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematika ini merupakan suatu

hal yang wajar karena perbedaan pembelajaran yang dilakukan. Dalam pembelajaran biasa, siswa hanya menerima materi secara informatif dari guru dan kemudianmengerjakan soal latihan yang cenderung sama dengan contoh soal yang dibahassebelumnya. Hal ini mengakibatkan siswa tidak menggunakan daya nalarnya secaramaksimal untuk mencari dan menggali pengetahuannya sendiri serta menyelesaikanmasalah yang ada.

Sedangkan dalam pembelajaran  problem posing , fokus kegiatan belajarsepenuhnya berada pada siswa. Siswa mulai menggunakan pikiran dan daya nalarnya

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 210/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

203

untuk dapat menjawab beberapa pertanyaan dan kemudian menuangkannya pada lembaraktivitas siswa. Siswa juga akan dapat merumuskan pertanyaan jika siswa bisa bernalar(induktif dan deduktif) dari situasi yang diberikan, dan selanjutnya mengungkapkan pikirannya tersebut dalam bentuk pertanyaan.

Peranan guru dalam kedua pembelajaran juga berbeda. Guru dalam pembelajaran problem posing  berperan sebagai fasilitator dan motivator yang tidak hanya memfasilitasidan mengakomodasi siswa, namun juga terus memotivasi agar setiap siswa berpartisipasidan bertanggung jawab sepenuhnya dalam pembelajaran. Sedangkan peran guru dalam pembelajaran biasa adalah sebagai sumber belajar satu-satunya yang menjelaskan konsep,menjelaskan contoh soal, dan memberikan soal-soal latihan.

Berdasarkan hasil pengamatan yang dilakukan, salah satu faktor yangmenyebabkan peningkatan kemampuan penalaran matematika siswa yang mengikuti pembelajaran  problem posing   lebih baik daripada siswa yang mengikuti pembelajaran biasa adalah disebabkan siswa terstimulus secara aktif dalam kegiatan pembelajaran.Siswa tidak merasa tertekan dalam menyelesaikan tugas-tugas yang diberikan guru, siswa juga termotivasi untuk mengajukan pertanyaan berdasarkan kemampuan dankebutuhannya tanpa tekanan dari guru, serta siswa juga tidak merasa cemas dengankeharusan menyelesaikan semua pertanyaan yang diajukannya. Temuan ini sejalan

dengan hasil penelitian Stoyanova dan Ellerton (1996) yang melaporkan bahwa pembelajaran dengan  problem posing   dapat memacu siswa terlibat secara aktif dalam belajar.

Walaupun pembelajaran  problem posing   dapat meningkatkan kemampuan penalaran matematika, namun peningkatan tersebut belum cukup baik. Peningkatankemampuan penalaran matematika siswa yang mengikuti pembelajaran  problem posing  masih tergolong rendah, kecuali untuk sekolah kualifikasi sedang yang mempunyai peningkatan sedang.

Mengapa pembelajaran  problem posing   belum mampu meningkatkankemampuan penalaran matematika siswa mencapai kategori yang tinggi? Banyak faktoryang dapat mempengaruhi hasil belajar matematika siswa, namun yang sempat diamati diantaranya adalah pengetahuan awal dan kebiasaan siswa belajar selama ini. Kurangnya pengetahuan awal siswa menyebabkan siswa sulit untuk menemukan dan

mengembangkan sendiri pengetahuannya. Selama ini pembelajaran yang dialami siswahanya sekedar menerima materi yang bersifat hafalan sehingga pengetahuan siswa tidak bertahan lama. Selain itu, pembelajaran yang dilakukan guru selama ini cenderungmembuat siswa menganggur (teacher centered ). Pembelajaran seperti ini memungkinkansiswa terbagi menjadi dua kelompok yaitu, ada siswa yang aktif dan ada pula siswa yang pasif. Fenomena ini merupakan salah satu penghambat keberhasilan penerapan suatumodel pembelajaran baru seperti pembelajaran  problem posing   yang menuntut seluruhsiswa aktif dalam kelas.Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dikemukakan dapatdiambil kesimpulan sebagai berikut.1.  Terdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematika antara siswa

yang mengikuti pembelajaran  problem posing   dan siswa yang yang mengikuti

 pembelajaran biasa. Lebih jauh lagi, peningkatan kemampuan penalaran matematikasiswa yang mengikuti pembelajaran  problem posing  lebih baik daripada siswa yangmengikuti pembelajaran biasa.

2.  Tidak terdapat perbedaan peningkatan kemampuan penalaran matematika berdasarkan faktor kualifikasi sekolah.

3.  Tidak terdapat interaksi antara faktor pembelajaran dengan faktor kualifikasi sekolahdalam hal meningkatkan kemampuan penalaran matematika.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 211/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

204

RekomendasiPenelitian ini menunjukkan bahwa pembelajaran  problem posing   lebih baik

daripada pembelajaran biasa dalam meningkatkan kemampuan penalaran matematikasiswa sekolah dasar. Dengan demikan, pembelajaran  problem posing   berpotensi untukdapat diterapkan di sekolah dasar dalam upaya meningkatkan kemampuan penalaranmatematika. Pembelajaran  problem posing  merupakan pembelajaran yang memusatkan perhatian kepada siswa dan diharapkan dapat dilakukan oleh para guru matematika atauguru kelas pada pelajaran matematika di sekolah untuk mencapai kompetensi matematikaseperti termuat dalam KTSP. Oleh karena itu, guru harus berupaya meninggalkan tradisimengajar dan menggantinya dengan membelajarkan siswa melalui  problem posing .Upaya guru ini harus didukung oleh banyak pihak seperti orang tua, sekolah, dan pemegang kebijakan.

Daftar Pustaka

Bharata, H. (2002).  Pembelajaran Problem Posing Dibandingkan dengan Pembelajaran Biasa terhadap Hasil Belajar Aritmetika. Tesis pada PPs UPI Bandung: tidakditerbitkan.

English, L.D. (1998). “Children’s Problem Posing Within Formal and InformalContexts”. Journal for Research in Mathematics Education. 29, (1), 83-106.

Hudoyo, H. (1988). Mengajar Belajar Matematika. Jakarta: Depdikbud.

Kroll, D.L., Masingila, J.O. dan Mau, S.T. (2001). Cooperative Problem Solving: What About Grading?  [Online]. Tersedia:http://enc.org/profesional/research/journal/math/document.shtm?input=ENC-002228-2228.

Kusumah, Y.S. (2008).  Konsep Pengembangan dan Implementasi Computer-Based Learning dalam Meningkatkan Kemampuan High Order Mathematical Thinking .

Pidato pada Pengukuhan Jabatan Guru Besar Tetap dalam Bidang PendidikanMatematika pada FPMIPA UPI, Bandung.

 NCTM. (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Virginia:Reston.

Priatna, N. (2003).  Kemampuan Penalaran dan Pemahaman Matematika Siswa Kelas 3Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri di Kota Bandung . Disertasi pada PPsUPI Bandung: tidak diterbitkan.

Ruseffendi, E. T. (2005).  Dasar-dasar Penelitian Pendidikan dan Bidang Non-Eksakta Lainnya. Bandung: Tarsito.

Sabandar, J. (2008).  Pembelajaran Matematika Sekolah dan Permasalahan Ketuntasan Belajar Matematika. Pidato pada Pengukuhan Guru Besar dalam BidangPendidikan Matematika pada FPMIPA UPI, Bandung.

Silver, E.A., et al . (1996). “Posing Mathematical Problems: An Exploratory Study”. Journal for Research in Mathematics Education. 27, (3), 293-309.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 212/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

205

Silver, E.A. dan Cai, J. (1996). “An Analysis of Arithmetic Problem Posing by MiddleSchool Students”. Journal for Research in Mathematics Education. 27, (5), 521-539.

Stoyanova, E. dan Ellerton, N.F. (1996). “A Framework for Research into StudentsProblem Posing in Schools Mathematics”. In P.C. Clarkson (Ed.). Technology in Mathematics Education. Melbourne: Mathematics Education Research Group ofAustralia. (Halaman 518-525).

Suryanto. (1998). ” Pembentukan Soal dalam Pembelajaran Matematika”. Makalah padaSeminar Nasional Upaya-upaya Meningkatkan Peran Pendidikan Matematikadalam Menghadapi Era Globalisasi, Malang.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 213/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

206

MENINGKATKAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAHDAN KONEKSI MATEMATIS

DENGANCOMPUTER-BASED PROBLEM SOLVING  PADA SISWA SMP

Yurniwati16 

Abstract: Purpose of this research is to know improvement of ProblemSolving and Connection Skills in consequence of learning throughComputer-Based Problem Solving (CBPS) and conventional. Population ofthe research is 208 Secondary School student in Grades VII divided in 3experimental classes and 3 control classes from different rank qualityschool (good, middle and low) with Cluster Sampling technique. Thefindings of this research are: (1) CPBS can increase student’s ProblemSolving and Connection Skill better than conventional; (2) Applying ofCPBS in middle school quality is giving improvement of Problem Solvingand Connection Skill better than good and low quality school.

Kata-kata Kunci: Pemecahan masalah matematis, Koneksi Matematis,

Computer-Based Problem Solving  (CBPS )

PENDAHULUAN

Matematika sebagai salah satu mata pembelajaran yang dipelajari siswa di SD,dalam kurikulum KTSP bertujuan agar siswa mampu menggunakan atau menerapkan

matematika yang dipelajari disekolah untuk kehidupan sehari-hari dan membantu siswamempelajari pengetahuan lainnya. Selanjutnya dengan belajar matematika diharapkansiswa memperoleh kemampuan bernalar yang tercermin melalui berpikir kritis, logis,sistematis dalam memecahkan masalah matematis, atau secara umum disebut kemampuan berpikir tingkat tinggi. Dalam hal ini, kurikulum kita sudah mewadahi pengembangankemampuan berpikir tingkat tinggi siswa.

Ditinjau dari faktor guru, dipahami bahwa tentu ada beberapa kelemahan gurudalam kegiatan belajar-mengajar matematika. Hasil survei IMSTEP-JICA (1999)menunjukkan bahwa penurunan kualitas pemahaman matematika SD dan SMPdisebabkan oleh proses pembelajaran, yang pada umumnya terlalu berkonsentrasi kepada penyelesaian soal yang bersifat prosedural. Kemudian studiyang dilakukan secara intensif oleh Direktorat Dikmenum pada tahun 2002 menunjukkan

 bahwa walaupun di sebagian sekolah (terutama didaerah perkotaan) menunjukkan adanya

 peningkatan mutu pendidikan yang cukup menggembirakan namun pembelajaran siswadan pemahaman siswa SMP pada beberapa mata pelajaran (termasuk matematika)menunjukkan hasil yang kurang memuaskan. Armanto (2002) mengemukakan pola pembelajaran di SMP cenderung text book oriented  dan tidak terkait dengan kehidupansehari-hari siswa. Kebanyakan guru mengajar dengan menggunakan buku paket sebagai“resep”, mereka mengajarkan matematika halaman per halaman sesuai dengan apa yang

Q 81*3$+ "/27/'3 E2&(2/ L5RN "#$%+%+&'$ :'(#3'(+&' F")S %29#$ "D5E-T)" FCK

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 214/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

207

tertulis di buku paket, Selain itu strategi pembelajaran lebih didominasi oleh upaya untukmenyelesaikan materi pembelajaran dalam waktu yang tersedia, dan kurang adanya upayaagar terjadi proses dalam diri siswa untuk mencerna materi secara aktif dan konstruktif.Cara mengajar demikian sudah merupakan karakteristik umum bagaimana gurumelaksanakan pembelajaran matematika di Indonesia.

Pada umumnya dalam pembelajaran matematika, guru melaksanakan pembelajaran secara konvensional yang mempunyai tahapan pembelajaran seperti berikut: (1) Guru membahas pekerjaan rumah; (2) Guru menjelaskan materi baru besertacontoh soal; (3) Guru memberikan latihan soal yang mirip dengan contoh yang telahdijelaskan; (4) Guru memberi tugas pekerjaan rumah. Kegiatan pembelajaran sepertidemikian sering ditemui dan menjadi rutinitas setiap hari dan kurangnya kegiatan siswa belajar aktif seperti kegiatan manipulatif, bereksperimen dan berdiskusi. Akibatnya siswatidak memahami pengetahuan yang mendasari tentang sebuah konsep, bagaimanamembangun sebuah konsep dan aplikasinya pada masalah dalam kehidupan sehari-hari,serta hubungan antara konsep dan pemecahan masalah.

Seperti telah diuraikan sebelumnya bahwa salah satu tugas pembelajaranmatematika adalah untuk mengembangkan kemampuan pemecahan masalah dankemampuan bernalar siswa. Namun pembelajaran konvensional hanya menekankan aspek

hafalan dan aplikasi prosedur pada masalah sehingga hanya melibatkan berpikir tingkatrendah. Dengan demikian pembelajaran konvensional tidak berpeluang cukup untukdapat meningkatkan kemampuan berpikir tingkat tinggi.

Terkait dengan masalah rendahnya hasil belajar matematika siswa di SMPsampai saat ini, sudah saatnya untuk membenahi proses belajar-mengajar matematikaterutama mengenai metode, pendekatan atau teknik belajar yang digunakan guru agarterjadinya peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematis dan koneksimatematis. Salah satu upaya yang dapat dilakukan adalah dengan melibatkan kemampuan pemecahan masalah matematis dan koneksi matematis.

Salah satu pendekatan pembelajaran yang dapat mengembangkan kemampuan pemecahan masalah dan koneksi matematis adalah pembelajaran berbasis masalah. Bay(dalam Shinn et al., 2003) menjelaskan pembelajaran berbasis masalah dalam matematikaadalah mengajarkan pengetahuan dan keterampilan dalam bentuk pemecahan masalah.

Masalah disajikan sebagai konteks dan stimulus untuk belajar. Menurut Liu (2005) pembelajaran berbasis masalah mempunyai karakteristik esensial seperti berikut: (1)Belajar terpusat kepada siswa; (2) Bentuk masalah otentik yang mengarahkan fokus belajar; (3) Informasi baru diperoleh melalui  self directed   learning ; (4) Belajar terjadidalam kelompok kecil, dan (5) Guru berperan sebagai fasilitator.

Dalam kelas pembelajaran berbasis masalah, siswa bekerja dalam kelompokuntuk menyelesaikan masalah. Mereka melakukan eksplorasi, manipulasi dengan bendakonkret atau gambar, mencari hubungan, analisis dan sintesis untuk menemukan solusi.Setelah mereka menemukan solusi masalah, mereka menyajikan temuan mereka keseluruh siswa dan kegiatan pembelajaran diakhiri dengan refleksi. Dengan demikian pembelajaran berbasis masalah mempunyai potensi untuk mengembangkan keterampilan berpikir tingkat tinggi. Guru dalam kelas pembelajaran berbasis masalah memfasilitasi proses belajar dengan memonitor kemajuan siswa dan mengajukan pertanyaan untuk

mendorong siswa dalam proses pemecahan masalah.Seiring dengan kemajuan teknologi, teknologi komputer juga memasuki dunia

 pendidikan. Banyak  software  pembelajaran matematika tersedia yang dapat digunakandalam pembelajaran matematika. Komputer mempunyai kelebihan yaitu mampumenampilkan visual dengan tepat dan cepat. Visualisasi yang ditampilkan secara menarikdapat digerakkan (dianimasi) dan diubah bentuk dan ukurannya sehingga memberikesempatan kepada siswa untuk melakukan eksplorasi dan observasi dengan mudah.Eksplorasi sangat diperlukan ketika siswa berusaha memahami suatu konsep atau

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 215/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

208

membangun pengetahuan. Fasilitas yang dimiliki tersebut memberi kontribusi kepada pembelajaran matematika siswa. Alagic (Conway, 2005) menyebutkan peran komputerdalam pembelajaran matematika sebagai berikut: (1) Mengembangkan kemampuanmultirepresentasi; (2) Meningkatkan pemahaman konseptual; (3) Mengakomodasi gaya belajar yang berbeda. Mengingat kontribusi komputer sangat besar terhadap pembelajaranmatematika, maka dalam penelitian ini komputer digunakan sebagai alat untuk membantusiswa dalam pemecahan masalah.

Ekstig (2004) menjelaskan bahwa pemecahan masalah melibatkan berbagaikegiatan yang berbeda. Beberapa kegiatan menuntut pemikiran kreatif, seperti membuat perencanaan, analisis dan membuat kesimpulan. Kadangkala siswa melakukan analisisdan membuat kesimpulan berdasarkan tampilan visual.

Berdasarkan kepada uraian di atas, diduga Computer Based Problem Solvingdapat dijadikan sebagai salah satu cara untuk meningkatkan kemampuan berpikir tingkattinggi. Untuk menguji kebenaran dugaan tersebut, maka perlu diadakan penelitian. Olehsebab itu dilakukan penelitian dengan judul: Meningkatkan Kemampuan PemecahanMasalah Matematis dan Koneksi Matematis melalui Computer Based Problem Solving pada siswa SMP.

METODEPopulasi penelitian adalah siswa SMP Negeri yang terletak di Jakarta Timur. Di

antara SMP tersebut dipilih yang telah memiliki infrastruktur (ketersediaan laboratoriumkomputer) yang lengkap, karena hal ini menjadi salah satu persyaratan dalam penelitianini.

Sampel penelitian dipilih dengan teknik kelompok atau cluster sampling, yaitu pengambilan sampel secara random yang didasarkan kepada kelompok, tidak didasarkankepada individu (Ruseffendi, 1998). Dalam penelitian ini dilibatkan tiga peringkatsekolah yaitu baik, sedang dan kurang. Penentuan peringkat sekolah berdasarkan kepada pengelompokkan yang dibuat oleh Dinas Pendidikan DKI Jakarta tahun ajaran2006/2007. Kemudian pada setiap peringkat sekolah dipilih satu sekolah secara acak.Dari setiap sekolah dipilih dua kelas secara random, satu kelas sebagai kelas eksperimen

dan satu kelas lainnya sebagai kelas kontrol.Disain penelitian adalah kelompok kontrol pretes-postes. Sampel dipilih secara

acak , selanjutnya untuk kelompok eksperimen diberikan perlakuan CPBS dan padakelompok kontrol belajar secara konvensional. Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini adalah tes KBMTT dan lembar observasi. Tes KBMTT berbentuk soaluraian yang terdiri atas 8 (delapan) butir soal untuk mengukur KBMTT siswa.Penyusunan instrumen KBMTT mengikuti saran pembimbing dan berpedoman padaSilabus Kurikulum Matematika Kelas II SMP. Lembar observasi bertujuan untukmencatat kejadian atau peristiwa khusus yang terjadi selama proses pembelajaran.

Berdasarkan pada klasifikasi Guilford (Ruseffendi, 1994) dapat disimpulkan bahwa instrumen tes KBMTT dapat digunakan karena mempunyai koefisien reliabilitas =0,785 (termasuk kategori tinggi) dan semua soal valid sehingga instrumen tes KBMTT

layak digunakan.Pengolahan data diawali dengan menguji terpenuhinya persyaratan statistik yang

diperlukan sebagai dasar dalam pengujian hipotesis antara lain uji normalitas danhomogenitas baik terhadap bagian-bagiannya maupun secara keseluruhan. Uji normalitasdilakukan dengan Kolmogorov-Smirnov. Uji homogenitas dilakukan dengan Uji Barlettkarena banyaknya data pada setiap kelompok berbeda. Selanjutnya dilakukan Anova dua jalur yang disesuaikan dengan permasalahannya. Pengujian setelah Uji Anova dilanjutkandengan uji Tukey. Seluruh perhitungan statistik menggunakan bantuan komputer

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 216/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 217/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

210

masalah matematis secara signifikan di sekolah peringkat baik, sedang dan kurang.Peningkatan terbesar terjadi pada siswa di sekolah peringkat sedang. Dengan demikianfaktor pembelajaran dan peringkat sekolah secara bersama-sama mempengaruhi peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematis.

b.  Aspek Koneksi MatematisHasil analis uji Anova tentang pemecahan masalah matematis disajikan pada

Gambar 2, berikut:

Gambar 2Grafik Hasil Perhitungan Anova Koneksi Matematis

Pada Gambar 2 tampak bahwa CBPS  berpengaruh terhadap peningkatan koneksimatematis siswa daripada pembelajaran konvensional. Pengaruh terbesar terjadi padasiswa peringkat baik dan sedang. Ditemukan terdapat interaksi antara faktor pembelajarandengan faktor peringkat sekolah. Dengan demikian faktor pembelajaran dan peringkatsekolah secara bersama-sama memberi pengaruh kepada peningkatan kemampuankoneksi matematis.

PEMBAHASAN

Dalam penelitian ini telah dihasilkan beberapa temuan tentang peningkatanKBMTT siswa melalui penerapan CBPS   dibandingkan dengan pembelajaran secarakonvensional. Temuan ini kemudian dianalisis berdasarkan faktor peringkat sekolah(baik, sedang, kurang), pendekatan pembelajaran (CBPS , Konvensional) dan tingkatkemampuan siswa (tinggi, menengah, kurang). Berikut ini temuan penelitian dibahassesuai dengan faktor-faktor tersebut.

1. CBPS

Peningkatan kemampuan pemecahan masalah dan koneksi matematis melaluiCBPS   disebabkan oleh adanya perbedaan mendasar yang terjadi selama proses

 pembelajaran pada kelompok siswa yang mendapat pembelajaran dengan CBPS   dansiswa yang mendapat pembelajaran secara konvensional. Perbedaan mendasar antaraCBPS  dan pembelajaran konvensional terletak pada orientasi belajar. Pada pembelajarankonvensional siswa memperoleh pengetahuan tentang fakta, konsep dan prosedur sepertiaturan dan rumus-rumus dari guru dan buku sumber. Kemudian pengetahuan tersebutdigunakan untuk menjawab soal-soal bersifat mengulang dan aplikasi prosedur padamasalah rutin.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 218/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

211

Sedangkan pada pembelajaran berbasis masalah yang terjadi adalah sebaliknya, pada awal pembelajaran siswa dihadapkan pada masalah. Bertitik tolak dari masalahsiswa bekerja dalam kelompok mencari solusi masalah. Dalam upaya mencari solusimasalah, siswa melakukan eksplorasi, menemukan pola, membuat kesimpulan danmembuat generalisasi. Dalam proses pemecahan masalah tersebut siswa memperoleh pengetahuan dan keterampilan baru. Dengan demikian dapat dikemukakan bahwa dalam pembelajaran masalah siswa menyelesaikan masalah untuk memperoleh pengetahuan danketerampilan.

Tidak seperti dalam pembelajaran secara konvensional, suasana kelas dalamCBPS   bersifat dinamis. Siswa dikondisikan dan terlihat sibuk berdiskusi dalamkelompoknya dalam upaya menyelesaikan masalah. Kesibukan siswa tersebut terjadikarena dalam CBPS  pembelajaran tidak saja menekankan pada pengetahuan tetapi jugaketerampilan yang diperlukan dalam belajar seperti pemecahan masalah, pemerolehan pengetahuan dan bekerja sama. Hal ini merupakan salah satu karakteristik pembelajaran berbasis masalah yaitu pembelajaran terpusat kepada siswa, karena dalam pembelajaran berbasis masalah siswa dituntut berusaha dengan bersungguh-sungguh mencari penyelesaian masalah, mengidentifikasi apa yang dipelajari dan bagaimana cara terbaikuntuk menyelesaikan masalah. Siswa perlu mengetahui bagaimana mengidentifikasi

informasi yang penting yang perlu mereka pelajari, di mana memperoleh informasi dan bagaimana menggunakan informasi tersebut untuk menyelesaikan masalah.

2. Peringkat SekolahDalam penelitian ini faktor sekolah dibedakan atas tiga kategori yaitu peringkat

 baik, sedang dan kurang. Selanjutnya ketiga kategori tersebut dikaitkan dengan pendekatan pembelajaran dan tingkat kemampuan siswa. Ditinjau dari pendekatan pembelajaran, terjadi peningkatan daya matematis pada siswa di peringkat sekolah sedanglebih baik dari pada siswa di peringkat sekolah baik dan kurang. Kesimpulannya adalahCBPS   dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah dan penalaran matematissiswa di semua peringkat sekolah termasuk siswa di peringkat sekolah kurang.

Peningkatan pemecahan masalah dan koneksi matematis yang dicapai oleh siswa peringkat sedang disebabkan oleh kerja sama yang berlangsung dengan baik dalam

kelompok. Setiap anggota merasa sebagai bagian dari kelompok akibatnya merekamempunyai tanggung jawab yang sama untuk mencapai tujuan kelompok yaitumenyelesaikan masalah dengan baik. Mereka saling berbagi pendapat, mendengarkan danmenanggapi pendapat teman dengan baik. Selain itu pada sekolah peringkat sedang, perbedaan kemampuan antara siswa yang pandai dan sedang tidak terlalu jauh. Hal inimembuat diskusi diantara mereka berlangsung lebih baik.

Pada sekolah peringkat baik, belajar kelompok tidak berfungsi dengan baikkarena siswa pada peringkat sekolah baik mempunyai kecendrungan untuk bersaingdiantara mereka. Setiap siswa ingin menunjukkan kemampuannya kepada siswa lainsehingga esensi yang terdapat dalam belajar kelompok seperti tanggung jawab kepadatugas kelompok, interaksi antar siswa dan komunikasi terjadi.

Berbeda dengan siswa peringkat sekolah baik dan sedang, siswa pada sekolah peringkat kurang sering mengalami “kebuntuan” dalam kelompok. Artinya terjadi situasi

siswa tidak menemukan ide sehingga mereka tidak tahu apa yang harus dilakukan,informasi apa yang diperlukan dan bagaimana memperoleh informasi. Meskipun gurutelah berusaha “menghidupkan” kelompok dengan memberi petunjuk kecil (hint ), pemberitahuan tentang kekeliruan dalam memahami soal, mengarahkan siswa padainformasi tertentu, menyederhanakan masalah dan berusaha agar siswa tidak frustasi. Namun interaksi antara siswa berjalan lambat karena siswa mengalami kesulitanmemahami masalah, membuat representasi masalah, menjelaskan pendapat ataumemahami pendapat dari teman.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 219/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

212

Walaupun demikian siswa pada sekolah peringkat kurang sangat terbantu denganadanya fasilitas visual yang dimiliki  sofware GeoGebra. Pendapat ini sesuai denganRobyler et al (1998) yang menyatakan bahwa pembelajaran berbasis komputer lebihefektif pada siswa berkemampuan rendah daripada siswa berkemampuan tinggi. Kegiatanmanipulatif yang dilakukan siswa dengan animasi visual membantu siswa memahamikonsep abstrak. Menurut teori belajar Bruner yang membagi tahapan belajar atas tigatingkat yaitu enaktif (belajar menggunakan benda kongkret), ikonik (belajarmenggunakan gambar) dan simbolik (belajar dengan menggunakan simbul). Dalam halini siswa peringkat sekolah kurang berada pada tahap ikonik yaitu memerlukan gambaruntuk memahami konsep abstrak.

Mencermati interaksi yang terjadi antara faktor pembelajaran dan faktor peringkat sekolah dapat disimpulkan peningkatan daya matematis tergantung kepada peringkat sekolah. CBPS   efektif meningkatkan daya matematis pada siswa sekolah peringkat sedang. Hal ini dapat dipahami karena aspek keterlibatan siswa secara aktif,dan belajar kelompok berlangsung dengan baik pada siswa sekolah peringkat sedang.

3. Pemecahan Masalah Matematis dan Koneksi MatematisKemampuan berpikir yang dikembangkan dalam penelitian ini meliputi

kemampuan memecahkan masalah tidak rutin, melakukan penalaran untuk menemukan pola, membuat kesimpulan dan koneksi matematis. Siswa yang mengalami pembelajarandengan CBPS   memperoleh peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematislebih baik daripada pembelajaran konvensional dan temuan ini sesuai dengan temuanSuhendra (2005). Peningkatan kemampuan pemecahan masalah tampak pada saat siswamampu representasi masalah dan memahami konsep-konsep matematika yang terdapatdalam masalah. Hal demikian disebabkan oleh pada pembelajaran melalui CBPS   siswadihadapkan kepada berbagai masalah dan siswa fokus kepada proses pemecahan masalahsehingga kemampuan siswa mengatasi masalah realita meningkat. Selain itu kemampuansiswa memahami keterkaitan antara masalah realita dengan matematika menimbulkanmotivasi intrinsik pada siswa, karena dapat meyakinkan siswa bahwa matematika bukanlah hal yang asing jauh dari kehidupan sehari-hari, melainkan matematika adalahaktivitas kehidupan sehari-hari.

Kemampuan matematis lain yang berkembang adalah koneksi matematis. CBPS  meningkatkan kemampuan koneksi matematis lebih baik dari pada siswa yang belajarsecara konvensional. Hal ini paling menonjol dalam koneksi matematika tampak ketikasiswa menghubungan masalah dalam kehidupan sehari-hari dengan konsep matematika.Ketika siswa dihadapkan kepada masalah sehari-hari siswa dengan mudah dapatmenemukan konsep-konsep matematika yang terkandung dalam masalah tersebut.

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan1.  Terdapat peningkatan kemampuan pemecahan masalah dan koneksi matematis

secara signifikan pada siswa yang mendapat pembelajaran dengan CBPS   daripadasiswa yang mendapat pembelajaran secara konvensional.

2.  Berdasarkan peringkat sekolah, penerapan CBPS   mengakibatkan peningkatankemampuan pemecahan masalah matematis dan koneksi matematis terbesar padasiswa dari sekolah peringkat sedang daripada siswa di peringkat sekolah baik dankurang.

3.  Faktor pembelajaran dan faktor peringkat sekolah secara bersama-samamempengaruhi peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematis siswa.

4.  Faktor pembelajaran dan faktor peringkat sekolah secara bersama-samamempengaruhi peningkatan kemampuan pemecahan masalah matematis siswa.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 220/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

213

B. Saran1.  CBPS   dapat digunakan untuk meningkatkan kemampuan pemecahan masalah

matematis dan koneksi matematis pada siswa di peringkat sekolah baik dan terutamadi sekolah peringkat sedang, diharapkan CBPS   terus dikembangkan di lapangansecara meluas.

2.  Berdasarkan pada penggunaan Software  GeoGebra yang tidak terbatas padamateri persamaan garis maka dianjurkan untuk memperluas penerapan CBPS  padatopik matematika lain seperti geometri.

3.  Perlu dilakukan sosialisasi kepada guru tentang kemampuan pemecahanmasalah matematis dan koneksi matematis dan CBPS  serta pengembangannya dalam proses pembelajaran.

4.  Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut tentang bagaimana pelaksanaan danupaya-upaya yang dapat dilakukan untuk meningkatkan KBMTT melalui CBPS padasiswa di sekolah peringkat kurang.

DAFTAR PUSTAKA

Ashari, A. (2007). Laporan Hasil Seminar dan Lokakarya Pembelajaran Matematika 15 –

16 Maret 2007 Di P4TK (PPPG) Matematika. [Online]. Tersedia:http://fadjarp3g.files.wordpress.com/2008/06/07-lapsemlok_limas_.pdf .  [14Agustus 2008]

Kickbush, K. (1993). Teaching for Understanding; Educating Students for Performance.[Online]. Tersedia di http://www. Weac.org/ . [3 Maret 2006]

DfES. (2005). A Meta-analysis of The Impact of The Implementation of Thinking SkillsApproaches on Pupils. [Online]. Tersedia: http://eppi.ioe.ac.uk/EPPIWebContent/reel/review_groups/thinking_skills/t_s_rv2/t_s_rv2.pdf . [3 November 2006]

Ekstig, K. (2004).  Improved Understanding in Mathematics through Computer Based Problem Solving. [Online]. Tersedia di www.vxu.se/msi/picme10/L5EK.pdf . [5 

 Mei 2007]Ruseffendi, E.T. (1994).  Dasar-dasar Penelitian Pendidikan dan Bidang Non-eksakta

 Lainnya. Semarang: IKIP Semarang Press.

Charles, J. (2001).  Fostering Colaboration and Developing Higher-Order Thinking with Digital Video. [Online]. Tersedia: http://center.uoregon.edu/ISTE/ uploads/NECC2005/KEY_7435090/Charles_NECC2005ConferencePaper1_RP.txt. \ . [5 Februari 2007]

Robyler et al. (1998).  Learning Technologies and Student Performance. [Online].Tersedia: http://www.soe.vcu.edu/merc/briefs/brief4.htm. [19 November 2006]

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 221/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

214

Pengaruh Pendekatan Matematika Realistikterhadap Kemampuan Siswa

dalam Memahami Konsep Pecahan dan OperasinyaDitinjau dari Tingkat Kepandaian dan Jenis Kelamin 

Saleh Haji

ABSTRAK

Salah satu penyebab rendahnya hasil belajar matematika di Sekolah Dasar adalah pendekatan pembelajaran matematika yang dilakukan saat ini kurang dapatmengembangkan kemampuan siswa. Oleh karena itu perlu dilakukan perubahan pendekatan dalam pembelajaran matematika yakni Pendekatan Matematika Realistik(PMR). Jenis penelitian ini adalah eksperimen, dengan disain faktorial 2x2x3. Faktor pendekatan pembelajaran terdiri atas 2 level yaitu pendekatan matematika realistik dan pendekatan biasa; faktor jenis kelamin terdiri atas 2 level yaitu laki-laki dan perempuan;dan faktor tingkat kepandaian terdiri atas 3 level yaitu pandai, sedang, dan rendah.Pengujian hipotesis menggunakan uji ANOVA Dua-Jalur. Temuan yang diperoleh

sebagai berikut: (1) Kemampuan pemahaman pecahan dan operasinya, siswa yang diajarmelalui pendekatan matematika realistik lebih baik daripada siswa yang diajar melalui pendekatan biasa; (2) Terdapat interaksi yang signifikan antara pendekatan pembelajarandengan jenis kelamin terhadap kemampuan pemahaman pecahan dan operasinya; (3)Terdapat interaksi yang signifikan antara pendekatan pembelajaran dengan tingkatkepandaian terhadap kemampuan pemahaman pecahan dan operasinya; (4) Terdapatinteraksi yang signifikan antara jenis kelamin dengan tingkat kepandaian terhadapkemampuan pemahaman pecahan dan operasinya.

Kata kunci : Pendekatan matematika realistik, pemahaman pecahan dan operasinya

Pendahuluan

Rendahnya hasil belajar matematika merupakan salah satu masalah dari permasalahan dalam bidang pendidikan matematika di negara kita. Masalah lain adalahkesan sebagian siswa yang menyatakan bahwa matematika merupakan mata pelajaranyang sukar dan kurang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Banyak siswaSekolah Dasar khususnya yang kurang menyenangi mata pelajaran matematika (Soedjadi,1996). Menurut Suwarsono (2001), sampai sekarang dunia pendidikan matematika masihmemiliki berbagai masalah. Dua masalah besar dan amat penting adalah, pertama, sampaisekarang pelajaran matematika di sekolah masih merupakan pelajaran yang menakutkan bagi banyak siswa, antara lain karena bagi banyak siswa pelajaran matematika terasasukar dan tidak menarik. Kedua, banyak orang belum bisa merasakan manfaatmatematika dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini dikemukakan juga oleh Hinduan (2001), banyak siswa kita yang tidak menyukai dan bahkan takut atau membenci mata pelajaranMIPA (Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam). Pada jenjang pendidikan dasar, masih

terdapat masalah tentang pemahaman siswa terhadap beberapa konsep matematika yang berkaitan dengan pecahan, geometri, dan soal cerita (Soedjadi, 1999/2000).

Untuk mengatasi masalah rendahnya hasil belajar matematika siswa, perludilakukan berbagai upaya antara lain perbaikan terhadap pendekatan dalam pembelajaranmatematika yang dilakukan guru saat ini. Dari pembelajaran yang berorientasi pada guru(teacher center ) menjadi pembelajaran yang berorientasi pada siswa ( student center ).Pembelajaran yang berorientasi pada siswa didasari atas teori konstuktivis. Teori inimenjelaskan bahwa siswa mengkonstruksi sendiri pengetahuan yang diperolehnya. Salah

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 222/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

215

satu model pembelajaran yang didasari oleh paradigma konstruktivis adalah model pembelajaran matematika realistik (PMR). Model pembelajaran ini memandang bahwamatematika sebagai aktifitas manusia. Pembelajaran matematika realistik didasari ataslima karakteristik dan tiga prinsip RME ( Realistic Mathematics Education). Kelimakarakteristik tersebut adalah: 1. menggunakan konteks, 2. menggunakan model, 3.menggunakan kontribusi dari hasil siswa sendiri, 4. interaktivitas dalam proses pembelajaran, dan 5. terintegrasi dengan berbagai topik. Sedangkan tiga prinsip PMRadalah: 1. penemuan kembali dan progresif matematika, 2. fenomena pendidikan, dan 3. pengembangan model oleh siswa sendiri (De Lange, 1987; Gravemeijer, 1994). Melaluikarakteristik dan prinsip RME diduga pembelajaran matematika realistik dapatmenumbuhkan kemampuan pemahaman konsep pecahan dan keterampilan melakukanoperasi hitung pecahan.

Rumusan MasalahRumusan masalah dalam penelitian ini adalah apakah kemampuan pemahaman

konsep pecahan dan keterampilan menyelesaikan operasi hitung pecahan, siswa yangdiajar melalui pendekatan matematika realistik lebih baik daripada siswa yang diajarmelalui pendekatan biasa ditinjau dari tingkat kepandaian dan jenis kelamin?

Tujuan PenelitianPenelitian ini bertujuan untuk mengetahui apakah kemampuan pemahaman

konsep pecahan dan keterampilan menyelesaikan operasi hitung pecahan, siswa yangdiajar melalui pendekatan matematika realistik lebih baik daripada siswa yang diajarmelalui pendekatan biasa ditinjau dari tingkat kepandaian dan jenis kelamin.

KAJIAN PUSTAKA

 Realistic mathematics education  ( RME ) merupakan suatu pendekatan dalam pembelajaran matematika yang didasari atas pandangan bahwa matematika sebagaiaktivitas manusia (Gravemeijer, 1994). Menurut Freudenthal (1971), matematika sebagaiaktivitas manusia. Aktivitas manusia yang dimaksud meliputi mencari masalah,

mengorganisasikan materi yang relevan, membuat model matematika, penyelesaianmasalah, mengorganisasikan ide-ide baru dan pemahaman baru yang sesuai dengankonteks (Freudenthal, 1971). Pengorganisasian aktivitas-aktivitas manusia tersebutdinamakan sebagai matematisasi. Sebagai suatu aktivitas manusia, matematika berhubungan dengan kehidupan nyata. Aktivitas manusia dalam kehidupan nyata sebagaisumber sekaligus sebagai objek dari belajar matematika. Menurut Krutetskii (1976),kehidupan nyata dapat menjadi objek dari pembelajaran matematika. Aktivitas manusiadalam kehidupan nyata, seperti aktivitas jual-beli di pasar maupun dalam rumah tangga.

Matematika dipandang sebagai aktivitas manusia dan matematika harusdihubungkan dengan realitas (Freudenthal, 1991). Sehingga matematika berada dalamkonteks manusia (De Lange, 1987). Konteks mempunyai peran yang penting dalam pembelajaran matematika realistik. Konteks mengarahkan siswa pada pemahan konsepmaupun algoritma dalam matematika. Menurut Traffers dan Gofree (1985), konteks

memegang peranan yang penting dalam pembelajaran matematika realistik.Pendekatan matematika realistik menempatkan siswa sebagai subyek sekaligus

sebagai obyek dalam pembelajaran matematika. Sebagai subyek, siswa berusaha sendiriuntuk memecahkan suatu persoalan maupun untuk memahami suatu konsep matematikadan menemukan algoritma penyelesaian masalah tanpa atau dengan bimbingan guru.Sedangkan sebagai obyek, siswa sebagai komponen yang akan ditingkatkankemampuannya dalam pembelajaran matematika.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 223/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

216

Dalam pendekatan matematika realistik, guru memanfaatkan realitas danlingkungan yang telah dikenal peserta didik untuk memahami konsep matematika yangterkandung dalam lingkungan tersebut. Melalui pemanfaatan konteks lingkungan, makadiharapkan siswa dapat menemukan strategi informal dalam menyelesaikan soalmatematika. Dengan strategi informal yang ditemukan siswa tersebut dapatmenumbuhkan pemahaman materi secara bermakna. Sehingga pengetahuan yangdiperolehnya tersebut dapat diingat, serta bertahan lama dalam benak siswa. Hasil penelitian Carpenter dan Moser (dalam Darhim, 2004), siswa cenderung menggunakanstrategi informal dalam menyelesaikan soal matemtika.

Selain itu, guru berfungsi sebagai pembimbing siswa dalam menyelesaikanmasalah maupun dalam menemukan konsep matematika. Menurut Traffers dan Goffree(1985), guru berperan mengarahkan siswa membangun konsep, menyusun model,menerapkan konsep, dan menyelesaikan masalah. Sedangkan menurut Marpaung (2001), peran guru pada pembelajaran matematika realistik adalah sebagai fasilitator, pembimbing, atau teman belajar yang lebih berpengalaman.

Melalui pendekatan matematika realistik selain diharapkan pemahaman konsepyang dimiliki siswa lebih bermakna dan dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-haridalam menyelesaikan masalah yang serupa, juga diharapkan agar nilai-nilai moral dan

sikap yang dimiliki siswa mengalami perbaikan dan peningkatan. Hal ini dapat terjadikarena peran guru yang memberikan kesempatan kepada siswa untuk melakukan diskusidan berinteraksi dengan berbagai komponen dalam kegiatan pembelajaran matematika.

Pendekatan matematika realistik (PMR) atau  RME   memiliki lima karakteristikyaitu: (1) The use of contexts  (penggunaan konteks), (2) The use of models (penggunaanmodel), (3) The use of students’ own productions and   constructions  (penggunaankontribusi dan hasil siswa sendiri); (4) The interactive character of the teaching process (Interaktivitas dalam proses pengajaran), dan (5) The intertwinement of various learning strands  (terintegrasi dengan berbagai topik pembelajaran lainnya (De Lange, 1987;Gravemeijer, 1994).

Karakteristik pertama mengemukakan pentingnya menggunakan konteks dalam pemebelajaran matematika. Pentingnya masalah konteks dapat dilihat dari fungsi konteksitu sendiri. Menurut Van den Heuvel-Panhuizen (dalam Sabandar, 2001), konteks

 berfungsi agar soal dapat dipecahkan serta menunjang terbentuknya berbagai strategi.Karakteristik kedua mengemukakan tentang pentingnya menggunakan model dalammenyelesaikan masalah matematika. Model sebagai representasi dari suatu masalahdiperlukan untuk memudahkan penyelesaian dari masalah tersebut yang berfungsi sebagai‘jembatan’ menuju ke kegiatan matematisasi vertikal. Karakteristik ketiga mengenai pemanfaatan hasil kontruksi maupun kontribusi siswa dalam memecahkan suatu masalah.Kontruksi maupun kontribusi siswa diperoleh melalui berbagai kegiatan, antara lain:kegiatan konstruksi, refleksi, antisipasi, maupun integrasi dalam pembelajaranmatematika. Karakteristik ke empat mengenai perlunya interaksi antar siswa maupunantara siswa dan guru dalam pembelajaran matematika. Interaksi antar siswa maupunantara siswa dan guru dalam bentuk negosiasi, interpretasi, diskusi, kerjasama, danevaluasi antar siswa maupun antara siswa dan guru merupakan kegiatan-kegiataninteraktifitas dalam pembelajaran matematika. Karakteristik ke lima mengenai pentingnya

keterkaitan antar topik dalam matematika maupun antara topik dalam matematika dengantopik lain di luar matematika. Keterkaitan antar topik dapat memudahkan siswa dalammemahami suatu konsep yang terdapat dalam topik yang bersangkutan.

Selanjutnya  RME   memiliki tiga prinsip: 1)  Re-invention  dan  progresivemathematization, 2)  Didactical phenomenology  dan 3) Self-developed model(Gravemeijer, 1994). Melalui prinsip guided reinvention, siswa diberi kesempatan untukmengalami proses yang sama dengan para ilmuwan matematika saat menemukan suatukonsep, rumus, maupun algoritma penyelesaian suatu masalah. Melalui didactical

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 224/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

217

 phenomenology, topik-topik matematika yang disampaikan ke siswa berasal darifenomena kehidupan sehari-hari. Sedangkan melalui  self-developed models, siswamengembangkan model sendiri dalam menyelesaikan masalah kontekstual.

METODE PENELITIAN

Penelitian ini berbentuk eksperimen dengan jenis kelompok kontrol hanya-postesyang terdiri atas dua kelompok. Kelompok pertama diberikan perlakuan dengan pendekatan matematika realistik (PMR) kemudian diberikan tes pemahaman konsep pecahan dan operasinya. Kelompok kedua diberikan perlakuan dengan pendekatan biasa(PB) lalu diberikan tes yang sama dengan kelompok pertama.

Disain penelitian ini adalah disain faktorial, karena penelitian ini memanipulasidua variabel bebas yaitu pendekatan matematika realistik dan pendekatan biasa dalam pembelajaran matematika . Selain untuk mengetahui pengaruh pendekatan matematikarealitistik dan pendekatan biasa terhadap hasil belajar siswa secara individual dalamaspek pemahaman konsep pecahan dan operasinya, juga untuk mengetahui pengaruh darimasing-masing variabel bebas tersebut terhadap variabel kontrol yaitu jenis kelamin dan

tingkat kepandaian.Disain faktorial dalam penelitian ini melibatkan 3 faktor yaitu: 1. pendekatandalam pembelajaran matematika yang terdiri atas pendekatan matematika realistik dan pendekatan biasa, 2. Jenis kelamin yang terdiri atas laki-laki dan wanita, dan 3. tingkatkepandaian terdiri atas pandai, sedang, dan rendah. Oleh karena itu, disain eksperimennyaadalah 2x2x3 faktorial.

Subyek PenelitianSubyek penelitian ini adalah siswa kelas 3 Sekolah Dasar Percobaan Negeri

(SDPN) UPI Bandung pada Tahun Ajaran 2002/2003 yang terdiri atas siswa kelas 3A dansiswa kelas 3B. Jumlah siswa kelas 3A sebanyak 42 orang terdiri atas 26 laki-laki dan 16wanita, sedangkan jumlah siswa kelas 3B sebanyak 40 orang terdiri atas 19 laki-laki dan11 wanita. Menurut Ruseffendi (1998a), subyek penelitian dalam kategori percobaan

minimum 30 subyek.

Prosedur PenelitianProsedur yang digunakan dalam penelitian ini dilaksanakan melalui tiga tahap,

yaitu:(1) Tahap persiapan, meliputi:

a.  Menyusun dan membuat rencana pembelajaran berupa Satuan AcaraPembelajaran/SAP.

 b.  Membuat instrumen penelitian, tentang kemampuan pemahaman konsep pecahandan operasinya.

c.  Menjudgment  (menimbang) instrumen tes hasil belajar oleh para ahli dan praktisi pendidikan matematika.

d.  Mengujicobakan soal tes hasil belajar untuk mengetahui validitas dan

realibilitasnya. Uji coba instrumen dilaksanakan pada siswa kelas 4 SDPN UPIBandung.

(2)  Tahap pelaksanaan, meliputi:2a. Memberikan perlakuan pendekatan matematika realistik dan pendekatan biasa.

Perlakuan pada penelitian ini adalah pendekatan matematika realistik.Sebagai pengontrol dilakukan pendekatan biasa. Pendekatan biasa dalam pembelajaran matematika adalah pendekatan dalam pembelajaran matematikayang umumnya dilakukan pada saat ini di sekolah. Petugas yang melakukan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 225/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 226/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

219

Teknik Pengolahan DataTeknik pengolahan data dalam penelitian ini adalah dengan menggunakan teknik

statistik deskriptif dan statistik inferensial. Statistik deskriptif adalah statistik yangdigunakan untuk menggambarkan atau menganalisis suatu statistik hasil penelitian, tetapitidak digunakan untuk membuat kesimpulan yang lebih luas (Sugiyono, 2002).Sedangkan statistik inferensial berkenaan dengan pengambilan kesimpulan mengenaikeseluruhan data berdasarkan pada data sampel (Ruseffendi, 1998b).

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Berdasarkan hasil perhitungan dan uji hipotesis, diperoleh Fhitung  = 164,728 lebih besar dari F0,95(1,72) = 3,98 berarti menolak Ho yaitu terdapat perbedaan yang signifikankemampuan pemahaman pecahan siswa yang diajar melalui pendekatan matematikarealistik dengan yang diajar dengan menggunakan pendekatan biasa. Perbedaankemampuan pemahaman pecahan dari ke dua kelompok penelitian ditunjukkan pula darinilai rata-rata yang dicapai siswa dalam menyelesaikan soal-soal topik pecahan. Nilairata-rata topik pecahan dari siswa kelompok eksperimen adalah 27,265, sedangkankelompok kontrol sebesar 20,09. Karena nilai rata-rata siswa yang diajar melalui PMR

lebih besar daripada siswa yang diajar melalui pendekatan biasa, maka kemampuan pemahaman pecahan, siswa yang diajar melalui pendekatan matematika realistik lebih baik daripada siswa yang diajar melalui pendekatan biasa.

Perbedaan juga terletak dalam proses pemahaman maupun penyelesaian soal pecahan. Siswa yang diajar melalui PMR menggunakan ilustrasi berupa gambar dalammemahami dan menyelesaikan soal-soal pecahan tersebut. Dengan menggunakan ilustrasigambar, siswa dapat memahami soal dengan baik dan dapat memberikan inspirasi dalammenemukan penyelesaian dari suatu soal.

Sedangkan siswa yang diajar dengan pendekatan biasa cenderung dalam memahamimaupun menyelesaikan soal pecahan secara prosedural yang terikat dengan rumus atauaturan baku yang berkaitan dengan permasalahan dalam soal dan kurang disertai denganaspek pemahaman dalam menyelesaikan soal pecahan.Perbedaan hasil penyelesaian instrumen pecahan dari ke dua kelompok penelitian tersebuttampak pada Gambar 2 berikut ini.

27.27

20.09

0.00

5.00

10.00

15.0 0

20.00

25.00

30.00

PM R PB

 

Gambar 2 Kemampuan Pemahaman Pecahan antaraSiswa yang diajar melalui PMR dan PB

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 227/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

220

Perbedaan hasil dalam menyelesaikan soal-soal pecahan dari ke dua kelompokmerupakan penemuan yang sangat berarti karena, para siswa yang diajar melalui pendekatan matematika realistik mampu melakukan berbagai operasi hitung pecahan,yang memang sukar dari beberapa hasil penelitian (studi). Siswa yang melalui PMR tetapmenunjukkan keunggulannya, karena pemahaman mereka terhadap pecahan baik. Olehkarena itu, pembelajaran biasa semakin tertinggal begitu matematika mulai sukar.

Kesukaran yang dialami siswa yang diajar melalui PMR dalam memahami maupunmengoperasikan pecahan dapat teratasi dengan cara memberikan masalah kontekstualyang berhubungan dengan pecahan, kemudian siswa mengilustrasikan dengan berbagaimodel dalam bentuk gambar dan selanjutnya siswa menyelesaiakan model tersebut.Pemahaman yang muncul dari aktifitas seperti itu mampu memberikan pengertian yangmendalam dan bermakna bagi siswa. Hal ini berbeda dengan pembelajaran biasa yangumumnya cenderung ‘memaksakan’ suatu formula (aturan) untuk dipahami oleh siswa.Seperti aturan penjumlahan pecahan berpenyebut sama yaitu ‘untuk menjumlahkan pecahan berpenyebut sama dilakukan dengan cara menjumlahkan pembilang dengan pembilang sedangkan penyebutnya tetap’. Cara ini kurang memberikan pemahaman yang bermakna bagi siswa yang diajar melalui pendekatan biasa.

Selain faktor pemahaman, PMR mampu membangkitkan kreativitas siswa dalam

mengungkapkan pengertian suatu pecahan yang disajikan dengan menggunakan berbagaigambar. Hal ini tampak dari hasil pekerjaan siswa pada soal berikut ini, ‘Buatlah 3gambar berbeda yang menunjukkan pecahan 4/6’. Siswa yang melalui PMR   dapatmembuat gambar yang berbeda dalam bentuk geometrisnya, sedangkan siswa yangmelalui pembelajaran biasa hanya dapat memunculkan satu bentuk gambar geometrisyaitu segiempat.

Perbedaan proses maupun hasil dalam menyelesaikan soal-soal topik pecahan yangdilakukan oleh siswa yang pembelajarannya melalui PMR dengan siswa yang diajar oleh pendekatan biasa ditunjukkan melalui hasil pekerjaan mereka.

Perbedaan dalam proses mengoperasikan suatu pecahan ditunjukkan oleh siswakelompok eksperimen. Siswa yang diajar melalui PMR menggunakan ‘jalan’ dalammemperoleh hasil hitungannya, sedangkan siswa yang diajar melalui pendekatan biasa,umumnya langsung menjawab hasilnya. Seperti dalam menyelesaikan soal berikut ini.

83  +

82  =

823 +  =

85 , sedangkan siswa kelompok kontrol menjawabnya demikian,

83 +

8

2=

8

5.

Perbedaan lainnya, terletak dalam hasil penyelesaian suatu soal. Beberapakesalahan yang dilakukan oleh siswa yang diajar melalui pendekatan biasa, antara lain:(a)  Diberikan sebuah lingkaran dengan enam juring yang luasnya sama. Tiga juring

diarsir. Pecahan yang menunjukkan pada bagian yang diarsir dari gambar tersebutadalah 3.

(b) 8

3 +

8

2 =

16

(c)  4

1 + 4

2 = 5

(d)  1 +3

2 =

3

(e)  1 -4

1 =

4

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 228/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

221

(f)  Menggambarkan bentuk geometris yang menyatakan suatu pecahan tertentu dengantidak sama bagian-bagiannya.

Berkaitan dengan topik pecahan, kemampuan siswa yang mampu dikembangkanmelalui pendekatan matematika realistik adalah kemampuan dalam memamahi pecahanmelalui suatu gambar dan kemampuan dalam membuat berbagai variasi gambar yangmenunjukkan nilai dari suatu pecahan. Berdasarkan kemampuan-kemampuan tersebut,siswa yang diajar melalui pendekatan matematika realistik dapat memecahkan soal-soalmengenai pecahan yang tidak dapat diselesaikan oleh siswa yang diajar melalui pendekatan biasa. Seperti penyelesaian soal-soal berikut ini: 4/6 + ….. = 5/6 dan …… +2/8 = 7/8. Dalam menyelesaikan soal-soal tersebut, siswa melakukan dengan caramemindahkan bilangan pecahan yang terdapat pada ruas kiri ke ruas kanan disertaidengan perubahan operasi menjadi operasi lawan. Dalam menjawab soal tersebut, siswamelakukannya demikian, memindahkan 4/6 ke ruas kanan menjadi -4/6, sehinggadiperoleh 5/6-4/6=1/6. Jadi jawaban siswa adalah, 4/6 + 1/6 = 5/6. Begitu pula dengan penyelesaian soal yang lain, siswa melakukannya dengan cara memindahkan 2/8 ke ruaskanan menjadi -2/8. Sehingga diperoleh 7/8-2/8 = 5/8. Jadi, jawaban siswa adalah 5/8+2/8 = 7/8. Cara seperti di atas ditemukan siswa melalui suatu kegiatan penyelidikanmelalui penyelesaian bentuk soal yang sama pada bilangan bulat, yaitu: 1 + … = 3 dan

…. + 1 = 3. Siswa menganalogkan bilangan pecahan dengan bilangan bulat.Contoh dari kegiatan matematisasi horisontal yang dilakukan siswa yang diajarmelalui pendekatan matematika realistik dalam menyelesaikan soal pengurangan pecahan, mengilustrasikan ‘pengurangan pecahan’ dengan menggunakan gambar berikutini.

- =¾ - ¼ = 2/4

Contoh dari kegiatan matematisasi vertikal yang dilakukan siswa yang diajarmelalui pendekatan matematika realistik dalam menyelesaikan soal berikut ini.

8

3  +

8

2  =

8

23 +  =

8

Sedangkan siswa yang diajar melalui pendekatan biasa hanya melakukan kegiatan

matematisasi vertikal dalam menyelesaikan soal pengurangan pecahan berikut ini.

(5c)6

5  -

6

3  =

6

35 −  =

6

(5d)8

7 -

8

3 -

8

1  =

8

137   −− =

8

Berdasarkan hasil pekerjaan siswa yang diajar melalui pendekatan matematikarealistik dalam menyelesaika soal-soal pada instrumen topik pecahan dapat dikemukanlangkah-langkah yang mereka lakukan dalam menyelesaikan soal-soal topik pecahansebagai berikut.Langkah-Langkah Penyelesaian:1.  Membuat gambar bilangan-bilangan pecahan yang mau dioperasikan.2.  Menggabungkan gambar-gambar pada langkah 1.3.  Penterjemahan gambar

Langkah-langkah siswa tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut:1.  Membuat gambar bilangan-bilangan pecahan yang mau dioperasikan.

Penggambaran bilangan pecahan disesuaikan dengan kemampuan siswa.2.  Menggabungkan gambar-gambar pada langkah 1.

Penggabungan berbagai gambar disesuaikan dengan operasinya. Cara menggabungkangambar pada operasi tambah melalui penambahan bagian-bagian yang diarsir.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 229/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

222

Sedangkan cara menggabungkan gambar pada operasi kurang melalui pengurangan bagaian-bagian yang diarsir.

3.  Penterjemahan gambarGambar yang dihasilkan pada langkah 2 selanjutnya diterjemahkan ke dalam bilanganyang merupakan hasil jawaban dari permasalahan.

Langkah-langkah siswa dalam menyelesaikan soal-soal mengenai pecahan dapatdigambarkan sebagai berikut:

Membuat gambar bilangan pecahan

Menggabungkan gambar

Penterjemahan gambar

Gambar 3 Langkah-langkah Siswa yang Diajar Melalui PMRdalam Menyelesaikan Soal-Soal Pecahan

Perbedaan langkah-langkah yang dilakukan siswa yang diajar melalui pendekatanmatematika realistik dengan siswa yang diajar melalui pendekatan biasa dalammenyelesaikan beberapa soal tentang pecahan disajikan pada Tabel 2 berikut ini.

Tabel 1 Perbedaan Langkah-Langkah Penyelesaian Soal tentang PecahanMelalui PMR dan PB

Pendekatan Matematika Realistik (PMR) Pendekatan Biasa (PB)

Langkah-Langkah Penyelesaian:

1.  Membuat gambar bilangan-bilangan

 pecahan yang mau dioperasikan.2. Menggabungkan gambar3. Penterjemahan gambar

Contoh penyelesaian soal pengurangan pecahan

4

3 -

4

1  =

Cara penyelesaiannya sebagai berikut:

¾ ¼

- =

=4

Jadi, ¾ - ¼ = 2/4

Langkah-Langkah Penyelesaian:

1.  Menjumlahkan atau mengurangkan

 pembilang dengan pembilang,sedangkan penyebut yang sama tetap.2.  Diperoleh penyelesaian soal.

Contoh  penyelesaian soal pengurangan pecahan

4

3 -

4

1  =

Cara penyelesaiannya sebagai berikut:

43  - 41   = 4 13 −  = 42  

Penyelesaian soal penjumlahan pecahan:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 230/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

223

Penyelesaian soal penjumlahan pecahan:

……. +8

2  =

8

Cara penyelesaian sebagai berikut:

8

5

8

27

8

2

8

7=−=−  

Sehingga:

8

5 +

8

2 =

8

……. +8

2  =

8

Siswa mengalami kesulitan dalammenyelesaikan soal di atas.

Kemampuan Pemahaman Pecahan menurut Interaksi antara PendekatanPembelajaran dengan Tingkat Kepandaian 

Berdasarkan hasil analisis, diperoleh Fhitung = 11,115 lebih besar dari F0,95(1,75) =3,98 berarti menolak Ho yaitu terdapat interaksi yang signifikan antara pendekatan pembelajaran dengan tingkat kepandaian terhadap kemampuan pemahaman pecahan. Halini berarti, tidak terdapat perbedaan antara kemampuan pemahaman pecahan siswa pandai, sedang, dan rendah yang diajar melalui pendekatan matematika realistik denganyang diajar melalui pendekatan biasa. Hal ini menunjukkan bahwa pendekatanmatematika realistik lebih mampu mengoptimalkan kemampuan siswa pandai, sedang,maupun rendah dalam topik pecahan daripada pendekatan biasa.

Gambar 4 Kemampuan Pemahaman Pecahan menurut Interaksiantara Pendekatan Pembelajaran dengan Tingkat Kepandaian

Kemampuan Pemahaman Pecahan menurut Interaksi antara Jenis Kelamin denganTingkat Kepandaian

40

30

20

10

Tingkat Kepandaian

Pandai

Rendah

Sedang

0 Pendekatan Biasa Pendekatan Matematika Realistik

Skor 

Pendekatan Pembelajaran

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 231/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

224

Berdasarkan hasil analisis, diperoleh Fhitung  = 3,98 lebih besar dari F0,95(1,75)  =2,949 berarti menolak H0  yaitu terdapat interaksi yang signifikan antara jenis kelamindengan tingkat kepandaian terhadap kemampuan pemahaman pecahan. Hal ini berarti,tidak terdapat perbedaan antara kemampuan pemahaman pecahan siswa laki-laki pandai,sedang, dan rendah dengan siswa perempuan pandai, sedang, dan rendah yang diajarmelalui pendekatan matematika realistik dan yang diajar melalui pendekatan biasa.

Gambar 5 Kemampuan Pemahaman Pecahan menurut Interaksiantara Jenis Kelamin dengan Tingkat Kepandaian

Kemampuan Pemahaman Pecahan menurut Interaksi antara Pendekatan

Pembelajaran dengan Jenis KelaminBerdasarkan hasil analisis, diperoleh Fhitung = 3,98 lebih besar dari F0,95(1,75) = 2,378

 berarti menolak H0 yaitu terdapat interaksi yang signifikan antara pendekatan pembelajaran dengan jenis kelamin terhadap kemampuan pemahaman pecahan. Hal ini berarti, tidak terdapat perbedaan antara kemampuan pemahaman pecahan siswa laki-lakidengan siswa perempuan yang diajar melalui pendekatan matematika realistik maupunyang diajar melalui pendekatan biasa.

Tingkat Kepandaian 

SedangRendah Pandai

30

28

26

24

22

20

18

16

Jenis Kelamin

Laki-Laki 

Perempuan

Skor 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 232/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 233/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

226

Darhim (2004). Pengaruh Pembelajaran Matematika Kontekstual Terhadap Hasil Belajar dan Sikap Siswa Sekolah Dasar Kelas Awal Dalam Matematika.Disertasi Doktor pada PPS UPI Bandung: tidak diterbitkan.

De Lange, J. (1987). Mathematics, Insight and Meaning . Utrecht: OW&CO.

Depdikbud (1995).  Laporan Hasil Evaluasi Efektivitas Pencapaian Sasaran dan Program. Jakarta: Depdikbud.

Freudenthal, H. (1971). “Geometry between the Devil and the Deep Sea”. EducationalStudies in Mathematics, 3, 413-435.

Gravemeijer, K.P.E. (1994).  Developing Realistic Mathematics Education. Utrecht:Freudenthal Institute.

Hinduan, A.A. (2001). “Upaya Meningkatkan Kualitas Pendidikan IPA di Sekolah

 Melalui Program “PILOTING” FPMIPA-UPI dalam Proyek IMSTEP”. Makalah disajikan dalam National Seminar On Science and MathematicsEducation, 21 Agustus 2001, JICA dan Dikti, Bandung.

Kruterskii, V.A. (1976). The Psychology of Mathematical Abilities in School Children.Chicago: University of Chicago Press.

Marpaung, Y. (2001). “Prospek RME untuk Pembelajaran Matematika di Indonesia”. Makalah disajikan pada Seminar Nasional Realistik Mathematics Education(RME) di Jurusan Matematika F. MIPA UNESA tanggal 24 Februari.

Ruseffendi, E.T. (1998a).  Dasar-Dasar Penelitian Pendidikan dan Bidang Non-Eksaktalainnya. Semarang: IKIP Semarang Press.

Ruseffendi, E.T. (1998b). Statistika Dasar Untuk Penelitian Pendidikan. Bandung: IKIPBandung Press.

Sabandar, J. (2001). “Refleksi dalam Pembelajaran Matematika Realistik”. MakalahSeminar Nasional tentang Pendidikan Matematika Realistik Indonesia, 14-15 November 2001, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

SDPN Setiabudi. (2002).  Laporan Ujian Akhir Sekolah Tahun Pelajaran 2001/2002.Bandung: SDPN Setiabudi.

Sidi, D.I. (1998). ”Pendidikan Ilmu Pengetahuan Alam di Lingkungan Pendidikan Dasardan Menengah: Tantangan dan Pengembangan”. Makalah disampaikan dalamSeminar dan Lokakarya Pendidikan MIPA di Indonesia, 31 Juli 2000, ITB

Bandung.

Soedjadi, R. (1996). “Diagnostik Kesulitan Belajar Siswa SD dalam Belajar Matematika”.  Proceedings Hasil Desimilasi Penelitian PMIPA LPTK Tahun1995/1996. Jakarta: Depdikbud.

Soedjadi, R. (1999/2000).  Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Jakarta: DiktiDepdiknas.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 234/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

227

Sugiyono (2002). Statistika untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.

Sunoto, U. (2002). “Pendekatan Keterampilan Proses Melalui Metode Penemuan untuk Meningkatkan Prestasi Belajar Matematika Siswa”. Matematika, JurnalMatematika atau Pembelajarannya. 7(Edisi Khusus), 618-625.

Suwarsono, St. (2001). “Pembelajaran Matematika di Sekolah dalam Rangka Meningkatkan Kualitas Sumber Daya Manusia”.  Prosiding Seminar NasionalMatematika, FMIPA UNY Yogyakarta.

Treffers, A. & Goffree, F. (1985). “Rational Analysis of Realistic Mathematics Education”. Proceedings of Ninth International Conference for the Psychologyof Mathematics Education. Noordwijkerhout, 22-29 July.

Umaedi (2000). “Implementasi Kurikulum: Proses Pembelajaran MIPA di SLTP danSMU”. Makalah Semiloka Pendidikan MIPA di ITB, 31 Juli – 2 Agustus 2000.

Wertheimer, M. (1959). Productive Thinking . New York: Harper & Row.

Zamroni (2001 ). “Peran Kolaborasi Sekolah-Universitas dalam Meningkatkan Mutu Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam di Indonesia”. Makalahdisampaikan dalam Seminar Nasional Pendidikan MIPA , 21 Agustus 2001,UPI Bandung.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 235/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

228

PLANNING A LESSON TO CREATEAN EXCELLENT MATHEMATICS TEACHING

Asep Sapa’at

Lembaga Pengembangan InsaniDompet Dhuafa Republika

([email protected])

Abstract

The pursuit of mathematics teaching excellence is about constantly reflecting on one’steaching practices and actively seeking improvements in teaching for the purpose ofensuring that students are learning.

The three main things of mathematics teaching excellence is about being effective inteaching design and delivery, student learn best through active construction of

knowledge, and teaching can only be valued when the process and outcome are madetransparent.

An effective instruction is indicated by designing lesson plan well. The lesson plansshould be suitable to the students’ characteristics and needs. Using qualitative methodswith descriptive case study as its framework, three teachers’ lesson plans of mathematicsteachers at SMART Ekselensia Indonesia were analyzed using theories that were adaptedfrom  National Council of Teachers of Mathematics Professional Standards  (1991). Thedata were gained from documentation and interview. The three teachers’ lesson plansunder study showed that the aspects taken into their lesson plan might contradict whatwere expected. It is indication that the teachers need improvement of how to formulatelesson plans properly.

Keywords: mathematics teaching, lesson plan

I.  Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologimodern, mempunyai peran penting dalam pengembangan berbagai disiplin ilmu yanglain, dan memajukan daya pikir manusia.

Matematika perlu diberikan kepada peserta didik untuk membekali peserta didikdengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis dan kreatif, sertakemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar peserta didik dapat

memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti, dan kompetitif (BSNP,2006).

Brown (1994) menyatakan, ”Students need to actively engage in acquiringknowledge and skills, and to develop mathematical thinking through the process ofmathematical activities. Thus students will be able to use these knowledge and skillseffectively in their daily life as well as in their future carriers”.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 236/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

229

Untuk membantu peserta didik memiliki kompetensi matematik, maka seorang pengajar dituntut harus mampu merancang desain pengajaran matematika yang efektif.Desain pengajaran matematika merupakan skema pengajaran yang memuat aspek tujuan pembelajaran, strategi pembelajaran, dan asesmen pembelajaran yang terintegrasi antarasatu sama lain. NCTM (2000: 20) menyatakan bahwa mengajar matematika yang efektifmemerlukan pemahaman tentang apa yang siswa ketahui dan perlukan untuk belajar dankemudian memberi tantangan dan mendukung mereka untuk mempelajarinya dengan baik.

Penerapan prinsip pengajaran matematika yang efektif menjadi sebuah hal yangsangat penting. Van De Walle (2007) menegaskan bahwa pengajaran yang efektifmerupakan kegiatan yang terpusat pada siswa. Di dalam kelas yang bersifatkonstruktivis, tekanan diberikan kepada pembelajaran, bukan pada pengajaran. Jadi,dalam konteks mengajar, seorang pengajar harus memiliki pengetahuan tentang kontenmateri yang akan diajarkan dan strategi efektif untuk menyajikan materi ajar kepada peserta didik.

OFSTED (Muijs, D. and Reynolds, D.: 2008) dalam laporan penelitiannya

mengemukakan bahwa faktor-faktor umum guru/mengajar yang berhubungan denganhasil belajar yang positif dapat dilihat dari aspek-aspek: (1) pengetahuan yang baikmengenai subjek yang diajarkan; (2) keterampilan bertanya yang baik; (3) ada penekanandalam pengajaran; (4) strategi pengelompokan yang seimbang; (5) tujuan yang jelas; (6)manajemen waktu yang baik; (7) perencanaan yang efektif; (8) organisasi kelas yang baik; dan (9) penggunaan orang dewasa lain secara efektif di kelas.

Perencanaan yang efektif merupakan salah satu indikator yang dapatmenyebabkan suksesnya proses pembelajaran di kelas. Prinsip “gagal merencanakansama artinya dengan merencanakan untuk gagal” harus dimaknai secara tepat. Rencana pembelajaran (lesson plan) merupakan salah satu dokumen yang dapat dikaji untukmenggambarkan apakah desain pengajaran matematika dapat berkontribusi danmemfasilitasi proses pencapaian kompetensi matematik peserta didik. Di dalam proses

 penyusunan rencana pembelajaran dapat dilihat sejauhmana kemampuan guru untukmenentukan tujuan pembelajaran, memilih berbagai strategi pembelajaran, danmenggunakan alat asesmen secara efektif dan sesuai dengan tujuan pembelajaran yanghendak dicapai.

Arends (2001: 71) menyatakan, “ Planning and making decision aboutinstruction are among the most important aspects of teaching, because they are majordeterminants of what is taught in schools and how it is taught”.

Berdasarkan uraian di atas, fokus penelitian ini adalah untuk mengidentifikasi berbagai aspek penting yang harus dimunculkan oleh guru dalam membuat formatrencana pembelajaran. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengidentifikasi kualitasrencana pembelajaran yang didesain dan digunakan oleh guru matematika yang mengajar

di SMART Ekselensia Indonesia.

1.2 Kajian Teori

Perencanaan pembelajaran sangat penting untuk kebutuhan mengajar. Ilustrasiini dapat digambarkan secara jelas oleh Clark & Lampert (1986) sebagai berikut:“Teacher planning is a major determinant of what is taught in schools. The curriculumas published is transformed and adapted in the planning process by additions, deletions,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 237/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

230

interpretations, and by teacher decisions about pace, sequence, and emphasis. And inelementary classrooms, where a teacher is responsible for all subject matter areas, planning decisions about what to teach, how long to devote to each topic, and how much practice to provide take on additional significance and complexity. Other functions ofteacher planning include allocating instructional time for individuals and groups of students, composing student groupings, organizing daily, weekly, and term schedules,compensating for interruptions from outside the classroom and communicating with substitute teachers”.

Senada dengan pemikiran di atas, Simon and Tzur (1999) menyatakan pula,“ Moreover, planning lessons that focus more on student learning process requiresteachers to have more knowledge about their student, such as their thinking process, inaddition to having knowledge of the contents of mathematics”.

Kemudian, Arends (2001) menyatakan, “Teacher planning is multifaceted butrelates to three phases of teaching: prior to instruction, in which decisions are madeabout what will be taught and for how long; the instructional phase, in which decisionsare made about question to ask, wait time, and specific orientations; and after

instruction, where decisions are made about how to evaluate student progress and whattype of feedback to provide”.

Desain pengajaran matematika harus memiliki struktur yang sistematis danmampu memberikan kesempatan luas kepada peserta didik untuk mendapatkan pengalaman belajar. Gambar di bawah ini merupakan struktur pengajaran yangmencerminkan adanya integrasi antara tujuan pembelajaran (learning objectives), strategi pembelajaran (instructional strategies), dan asesmen pembelajaran (assessment oflearning).

Gambar 1.Desain Pengajaran Matematika

II.  Metodologi

Dalam penelitian ini digunakan metode deskriptif. Tujuannya untukmendeskripsikan profil dokumen rencana pembelajaran matematika yang dibuat subjek penelitian, yaitu 3 orang guru yang mengajar matematika di SMP & SMA SMARTEkselensia Indonesia.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 238/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

231

Untuk mengetahui kualitas dokumen rencana pembelajaran matematika yangtelah dibuat subjek penlitian, maka digunakan model penilaian rencana pembelajarandengan menggunakan penilaian rubrik yang diadaptasi dari National Council of Teachersof Mathematics Professional Standards  (1991). Adapun model penilaian yang dipakaidalam penelitian ini dapat dilihat pada tabel berikut.

Model Penilaian Rubrik Rencana Pembelajaran Matematika

KomponenRencanaPembelajaran

Sangat Baik(3 poin)

Baik(2 poin)

Kurang Baik(1 poin)

TujuanPembelajaran

Rencana pembelajaranmenampilkan tujuan pembelajaran yang jelasdimana siswa akanmampu mengetahui danmelakukan sesuatu

setelah pembelajaranselesai.

Rencana pembelajaranmenampilkan tujuan pembelajaran, tetapi beberapatujuan pembelajaran tidak jelas.

Tidak ada tujuan pembelajaran yang jelasyang harus dikuasaisiswa setelah pembelajaran selesai.

TugasMatematika

.Tugas matematika yangdiberikan berhubungandengan tujuan pembelajaran yang akandicapai. Tugasmatematika melibatkansiswa dalam aktivitas penalaran dan refleksi:analisis siswa, sintesis

siswa, atau evaluasiinformasi, membangunkonsep dengan pemahaman sendiri.

Tugas matematika dapatmeningkatkan pemahaman konseptualsiswa pada topik materiyang sedang dipelajari,dan mampumenyediakankesempatan bagi siswa

untuk mendapatkan pengalaman belajarautentik melalui kegiatan pemecahan masalahtidak rutin.

Beberapa tugas matematikayang diberikan guru

 berhubungan dengan tujuan pembelajaran.

Tugas matematika yangdiberikan kepada siswamembutuhkan penyelesaianmasalah tidak rutin dengan beragam cara. Tugasmatematika melibatkan siswamenerapkan pengetahuanyang dimiliki sebelumnya.

Tugas matematika tidak berhubungan dengantujuan pembelajaranyang telah ditetapkan.

Tugas matematika hanyamenuntut siswamenyelesaikan masalahdengan menggunakan pemahaman prosedural.

ProsedurPembelajaran Prosedur pembelajaran

Prosedur pembelajaran dapatmenggambarkan langkah-

Aktivitas pembelajaransecara umum tidak dapat

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 239/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

232

 jelas dan detail, termasukada alokasi waktu untuksetiap aktivitas pembelajaran. Prosedur pembelajaran yangdibuat memungkinkanguru mampu memonitoraktivitas belajar siswa.

langkah aktivitas pembelajaran, tetapi tidakdetail.

digambarkan secara jelasdan detail.

KomunikasiKelas

Rencana pembelajaranmenggambarkan peranguru dalam memberikan pertanyaan yangmenantang kemampuan berpikir siswa,mendengarkan ide siswa,memonitor aktivitas

 belajar siswa, danmemfasilitas komunikasidi antara siswa.

Rencana pembelajaranmenggambarkan peransiswa yang dapat berkomunikasi denganguru dan rekan siswalainnya dalam berargumentasimatematik, berbagi ide, bekerja sama, dan

memberikan alasan atas pemikiran mereka dalamlingkungan belajar yangsaling menghormati.

Rencana pembelajaranmenggambarkan peran gurudalam memberikan

 pertanyaan kepada siswa danmenjadi sumber pengetahuan bagi siswa.

Rencana pembelajaranmenggambarkan peran siswasebagai pendengar ide-ideguru, penjawab pertanyaan- pertanyaan guru, danmengikuti prosedur yangditetapkan guru.

Rencana pembelajarantidak dapatmengidentifikasi peranguru dan peran siswadalam situasi aktual pembelajaran.

Assessment

Asesmen berhubungandengan tujuan pembelajaran.

Strategi asesmendigambarkan secara rinciuntuk mendapatkan buktihasil belajar siswa dan

memodifikasi pembelajaran agar sesuaidengan kebutuhan belajar seluruh siswa.

Alat asesmen, sepertirubrik disediakan untukmencapai tujuan

Asesmen berhubungan dengantujuan pembelajaran.

Alat asesmen yang digunakantidak relevan dengan tujuan pembelajaran.

Asesmen tidak

 berhubungan dengantujuan pembelajaran.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 240/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 241/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

234

Dokumen rencana pembelajaran B dan C sudah dapat menggambarkan adanyaupaya guru untuk menempatkan dirinya sebagai fasilitator pembelajaran. Siswadikondisikan untuk dapat bertukar gagasan dan pengalaman belajar matematika melaluikegiatan diskusi kelompok. Guru memfaslitasi terjadinya komunikasi interaktif antaraguru-siswa, siswa-siswa, dan siswa-media pembelajaran. Upaya ini cukup strategis untukmelaksanakan pembelajaran matematika yang lebih bermakna dan menyenangkan.

3.5 Asesmen PembelajaranArends (2001) mendefinisikan asesmen sebagai berikut, “ Assessment is the

 process of collecting a full range of information about students and classrooms for the purpose of making instructional decisions”.

Ketiga subjek penelitian tidak melampirkan contoh asesmen pada dokumenrencana pembelajaran. Hal ini menyebabkan penulis tidak dapat mengidentifikasirelevansi antara tujuan pembelajaran dan asesmen pembelajaran.

IV.  Kesimpulan

Berdasarkan hasil temuan dan analisis terhadap dokumen rencana pembelajaranmatematika yang telah dibuat oleh 3 orang guru matematika di SMART Ekselensia

Indonesia, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut.

Pertama, ditunjau dari aspek tujuan pembelajaran, A dan C menyatakan tujuan pembelajaran dalam ranah kognitif, afektif, psikomotorik. Sedangkan B menyatakantujuan pembelajaran dalam ranah kognitif dan afektif saja. Secara umum, ketiga subjek penelitian sudah dapat menyatakan tujuan pembelajaran dengan baik, yaitu menyatakan pengetahuan atau kemampuan yang harus dikuasai siswa setelah pembelajaran dilakukan.

Kedua, ditinjau dari aspek tugas matematika, B dan C pada praktik pelaksanaan pemberian tugas matematika, menggunakan perpaduan penggunaan metode diskusikelompok dan manipulasi terhadap media pembelajaran untuk membantu siswamemahami materi matematika yang diajarkan. Sedangkan A masih menggunakan metodeceramah dan penugasan untuk memfasilitasi siswa ketika belajar matematika di kelas.

Ketiga, ditinjau dari aspek prosedur pembelajaran, semua subjek penelitian sudahmenyatakan langkah-langkah pembelajaran secara detail, namun tidak disertai penentuanalokasi waktu dari setiap langkah pembelajaran tersebut.

Keempat, ditinjau dari aspek komunikasi kelas, A masih menempatkan dirinyasebagai sumber pengetahuan bagi siswa. Sedangkan, B dan C sudah menempatkandirinya sebagai fasilitator pembelajaran dengan menciptkan terjadinya komunikasi produktif antara guru-siswa, siswa-siswa, siswa-media pembelajaran.

Kelima, ditinjau dari aspek asesmen pembelajaran, ketiga subjek penelitian tidakmelampirkan contoh asesmen pada dokumen rencana pembelajaran, sehingga penulistidak dapat mengidentifikasi relevansi antara tujuan pembelajaran dan asesmen

 pembelajaran yang dicantumkan dalam dokumen rencana pembelajaran.

Keenam , semua dokumen renpel matematika yang telah dikaji pada dasarnya perlu diperbaiki dan ditingkatkan kualitasnya. Artinya, dalam membuat renpelmatematika, setiap guru belum dapat memahami dan mengintegrasikan kelima aspek pembelajaran matematika--tujuan pembelajaran, tugas matematika, prosedur pembelajaran, komunikasi kelas, dan asesmen--dalam bentuk sebuah rencana pembelajaran yang baik.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 242/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

235

V.  Daftar Pustaka Arends, R.I. 2001.  Learning to Teach (Fifth Edition). New York: McGraw-Hill Higher

Education.

Brown, A. 1994. The Advance of Learning. Educational Researcher, 23(8), 4-12, National Council of Teachers of Mathematics, 2006. Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade 8 Mathematics. A Quest for Coherence. NationalCouncil of Teachers of Mathematics. (1980).  An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics of The 1980’s.

BSNP (2006).  Panduan Penyusunan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan Jenjang Pendidikan Dasar dan Menengah. Jakarta: BSNP.

Clark, C. M., and Lampert, M. 1986. The Study of Teacher Thinking: Implications forTeacher Education, 37, 27 – 31.

Mager. 1962. Course Design  Centre for Teaching & Learning . Tersedia dihttp://www.smu.edu.sg/centres/ctl/TE/CourseDesign.as p 

Muijs, D. and Reynolds, D. 2008.  Effective Teaching: Teori dan Aplikasi. Yogyakarta:Pustaka Pelajar.

 National Council of Teachers of Mathematics Professional Standards. 1991. OMS Rubric for Lesson Plan Evaluation. Tersedia di -http://www.lsi.fsu.edu/Uploads/1/docs/FLDOE  / Rubric %20for%20Lesson %20Pla n %20Evaluation.doc

 National Council of Teachers of Mathematics. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: Author.

Simon, M. A. & Tzur, R. 1999.  Explicating The Teacher’s Perspective from The

 Researcher’s Perspective: Generativing Account of Mathematic’s Teacher’s Practice. Journal for Research in Mathematics Education, 30(3), 252 – 264.

Van De Walle J. A. 2007.  Matematika Sekolah Dasar dan Menengah (Edisi Keenam).Jakarta: Penerbit Erlangga

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 243/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

236

Begitu Pentingkah Apersepsi pada Proses Pembelajaran Siswa ?Oleh:

Endang Dedy dan Encum SumiatyJurusan Pendidikan Matematika UPI Bandung

Alamat e-mail:[email protected] 

 AbstrakApersepsi yang dilakukan pada tahap awal pembelajaran pada umumnya dianggap halyang kecil, terkadang terlupakan. Namun demikian berdasarkan fakta dilapangan banyak penulis jumpai menjadi sangat fatal akibatnya tatkala siswa dihadapkan pada permasalahan inti dalam KBM. Ketidakbisaan siswa dalam menyelesaikan masalah ataudalam proses menemukan konsep ternyata sangat dipengaruhi oleh ketidakmatangansewaktu apersepsi, yang akhirnya tujuan akhir dari pembelajaran itu tidak tercapai atautidak sesuai dengan harapan.

Kata Kunci :   Apersepsi, KBM, Kematangan apersesi, proses menemukan konsep,menyelesaikan Masalah

A. PENDAHULUAN

Keberhasilan seorang siswa dalam belajar tentu sangat dipengaruhi oleh berbagaifaktor, yaitu faktor dari dalam diri siswa dan faktor dari luar. Faktor luar yang sangatdominan dalam kegiatan belajar di sekolah adalah seorang guru model.

Guru model seperti apakah yang diharapkan dapat memotivasi dan memfasilitasisiswa untuk belajar secara maksimal? Berawal dari pertanyaan inilah berbagai pihak yang berkepentingan bersama-sama memperbaiki pembelajaran, dan salah satu lembaga yang berperan aktif adalah FPMIPA UPI.

FPMIPA UPI bekerjasama dengan pihak JICA, DIKTI, dan Dinas Pendidikandalam berbagai program dengan tujuan untuk meningkatkan guru yang profesioanal.Program ini diawali dengan PILOTING (di SMPN 1 Lembang, SMPN 12 Bandung,

SMAN 1 Lembang,dan SMAN 9 Bandung), Lesson Study (LSMGMP dan LSBS dikabupaten Sumedang dan Karawang), dan PELITA(di kabupaten Sumedang). Adapunciri khas dari ketiga program ini adalah adanya Plan, Do, dan See.

Pada saat Plan, semua permasalahan dibicarakan, mulai dari telaah kurikulum, pemantapan konsep yang akan disajikan pada saat PBM, sampai dengan merancang RPP.Walaupun sudah didiskusikan antara guru-guru MGMP Matematika di kelompok masing-masing, tetapi tetap saja pada saat do (pelaksanaan PBM) selalu masih ada yang harusdiperbaiki, diantaranya mengenai penyampaian bahan prasyarat (apersepsi).

B. PEMBAHASANMelalui kerjasama FPMIPA, JICA, dan Dinas Pendidikan ternyata disambut baik

oleh para guru dilapangan, walaupun pada awalnya masih enggan atau sulit untuk datangke sekolah yang ditunjuk oleh pihak Dinas sebagai base come. Pertemuan yang dilakukan

untuk bidang studi matematika dilakukan secara rutin dua minggu sekali setiap hari rabu(sebagai hari MGMP Matematika).

Hari rabu pertama dari pihak FPMIPA berdiskusi membuat perencanaan dan harirabu berikutnya hanya guru-guru MGMP Matematika saja yang melanjutkan hasil pertemuan pertama, yang selanjutnya pada rabu berikutna dilakukan do (pelaksanaan pembelajaran). Pada saat pembelajaran, yang berperan hanya guru model dan yanglainnya, yaitu guru-guru MGMP Matematika, Kepala sekolah, pihak Dinas, dan atau guru

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 244/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

237

undangan menjadi observer atau sebagai pengamat jalannya pembelajaran. Tugasobserver hanya mengamati kegiatan siwa selama PBM.

Berdasarkan hasil pengamatan selanjutnya diungkapkan pada saat refleksi.Terdapat beberapa hal yang harus diperbaiki bersama untuk melakukan pembelajaran dikelas, diantaranya yang tidak kalah penting adalah penyampaian bahan prasyarat sebelum pembelajaran dimulai.

Penyampaian bahan prasyarat terkadang dianggap kecil, sehingga pada saatkegiatan inti berlangsung, masih banyak siswa yang tidak bisa mengikuti pembelajarandengan baik. Sebagai contoh bagaimana pentingnya apersepsi dapat kita jumpai dari permasalahan berikut.

Contoh 1. Guru model akan membelajarkan siswa mengenai sistem persamaan linear dua peubah.

Guru model langsung memberikan permasalahan kontekstual yang sangat dekatdengan kehidupan siswa Contoh konteksnya sebagai berikut“Pak Ali akan bepergian jauh, tetapi tidak sempat membawa makanan, khususnya untuksarapan pagi. Kebetulan mobil yang ditumpanginya lewat kota Sumedang. Pak Alimembeli tahu dan lontong yang dimasukkan ke dalam dua keranjang. Keranjang pertama

 berisi 15 tahu dan 10 lontong, sedangkan keranjang kedua berisi 20 tahu dan 10 lontong.Jika uang yang dibayarkan kepada pemilik toko itu masing-masing sebesar Rp. 9.000,00dan Rp. 11.000,00, berapakah harga satu buah tahu dan satu bungkus lontong?”

Semua siswa langsung penasaran bagaimana cara menentukan harga satu buahtahu dan satu bungkus lontong, sambil mengamati keranjang yang berisi lontong dantahu. Kepenasaranan siswa terjawab sudah, sebab guru model sangat melibatkan siswa bagaimana menyelesaikan permasalahan di atas dengan cara eliminasi, dan siswa nampakmulai bergairah untuk mempelajari materi hari itu.

Berikutnya siswa secara berkelompok dibagi LKS berupa permasalahan yang berkenaan dengan materi yang sedang dipelajari, yang terdiri dari 3 soal. Soal pertama bersifat kontekstual, tetapi soal kedua dan ketiga sudah dinyatakan dalam bentuk modelmatematikanya. Misalkan ketiga soal itu bentuk atau model matematikanya sebagai berikut:

1. Misalkan a  adalah harga sebuah apel dan  s  adalah harga sebuah salak. Modelmatematikanya:

=+=+

000.846

500.1058

 sa

 sa 

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi SPLDV

2.

=−=−

253

152

 y x

 y x 

3.

−=+=+−

174

1225

 y x

 y x 

Analisa hasil temuan:- Pada soal nomor 1, umumnya siswa tidak langsung dapat menyelesaikannya, sehinggaguru

model memberikan bantuan hampir ke setiap kelompok. Hal ini terjadi karena padaawal pembelajaran tidak tesampaikan mengenai KPK.

- Pada soal nomor 2 dan 3, sampai hampir berakhir PBM masih banyak siswa yang tidak bisa sama sekali menyelesaikannya. Berdasarkan hasil refleksi, ternyata siswa tidak bisa mengoperasikan dua buah bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif.,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 245/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

238

tidak bisa mengoperasikan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, dantidak bisa mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif.

Contoh 2. Guru model akan membelajarkan siswa mengenai penerapan kesebangunandalam

kehidupan sehari-hari.Permasalahan: Siswa diminta secara berkelompok mengukur tinggi tiang

 bendera,tinggi tiang basket, dan tinggi pohon yang ada dilapangan sekolahnya.

Pada LKS sudah dituliskan ada dua cara untuk melakukan pengukuran. Cara kesatu, bila ada cahaya matahari dan cara kedua, bila tidak menggunakan cahaya matahari.Siswa secara berkelompok dibagi tugas oleh guru model, ada kelompok yangmenggunakan cahaya matahari (pada saat itu udara cerah) dan ada kelompok yang tidakmenggunakan cahaya matahari.

Sebelum terjun ke lapangan guru model mengingatkan kembali tentangkesebangunan dan konsep perbandingan, tetapi tanpa pengarahan bagaimana cara kerja dilapangannya.

Setelah sampai ke lapangan pada umumnya siswa tidak langsung kerja, tetapi membacadulu petunjuk yang ada di LKS. Beberapa kejadian yang muncul diantaranya:- masih banyak kelompok siswa yang tetap tidak memahami langkah kerja yang ditulisdi

LKS, sehingga guru model nampak sangat kelelahan memberikan arahan.- Diantara kelompok siswa ada yang kebagian menaksir tinggi tiang bendera. Tiang

 bendera yang ada di lapangan upacara itu ternyata tidak tegak (agak miring), tetapisiswa memandang tegak, sehingga pada saat menggunakan alat peraga khususnya yangmenggunakan bantuan cahaya matahari tongkatnya diletakkan/ditancapkan tegakseperti gambar berikut.

C C

E E

A D B A D B

Cara menaksir yang pertama Cara menaksir yang kedua

Keterangan:  AC  tinggi tiang bendera

 DE  tinggi tongkatB bayangan bendera dan bayangan

tongkat

- Tedapat beberapa temuan hasil diskusi kelas yang langsung ditindak lanjuti oleh model,diantaranya ada kelompok siswa yang tidak memahami arti perbandingan senilai, caramengubah dari satuan panjang meter ke cm juga sebaliknya, serta cara pembulatan.

Analisa hasil pengamatan- Pada saat apersepsi nampaknya siswa belum memahami betul mengenai perbandingan

senilai.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 246/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

239

- Karena pada saat apersepsi guru model hanya memberikan contoh dua buah segitigasebangun yang siku-siku, maka ketika di lapangan akan menaksir tinggi tiang yangtidak tegak tetap saja siswa memandangnya tegak.

- Pada saat apersepsi sebaiknya diingatkan kembali bagaimana mengubah satuan panjang, misalnya dari meter ke centi meter, serta bagaimana melakukan pembulatan.

- Sebelum ke lapangan sebaiknya siswa diminta membaca dulu petunjuk LKS nya denganseksama, sehingga tidak akan terjadi lagi seperti yang kita saksikan bersama, gurumodel sangat kecapaian membantu siswa baik menerjemahkan petunjuk LKS maupun bagaimana cara menggunakan alat peraganya.

- Pada saat apersepsi semua prasyarat dan semua kemungkinan dua buah segitigasebangun harus tersampaikan dengan baik, sehingga semua kemungkinan yang terjadiselama KBM dapat teratasi.

Rekomendasi:- Pada saat apersepsi semua prasyarat harus tersampaikan dan terserap dengan baik oleh

siswa.- Awali pembelajaran dengan permasalahan yang akan dicari solusinya oleh siswa.

- Guru harus terus menerus meningkatkan diri khususnya mengenai keempat

kompetensi- Tidak pernah ada kata terlambat untuk terus memperbaiki pembelajaran

DAFTAR PUSTAKAEisuke Saito. 2007. Beberapa Langkah Prioritas untuk Lesson Study. SISTEM

 NEWSLETTER: Jurnal (No. 5)

Suherman, E. dan Winataputra (1992 ). Strategi Belajar Mengajar Matematika. Jakarta.Universitas Terbuka, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.

Sumar Hendayana, dkk. 2006. Lesson Study. UPI Press.

Yoko Takimoto. 2007 . Tujuan Lesson Study, Tujuan SISTEMS. SISTEM

 NEWSLETTER: Jurnal (No. 4)

Yoko Takimoto. 2007 . Laporan Kegiatan MGMP Forum pada Bulan Januari . SISTEM NEWSLETTER: Jurnal (No. 5)

Yoko Takimoto. 2007 . Program Pertukaran Pengalaman di Sumedang anatara 3 Dinas Pendidikan Kabupaten dan 3 Universitas. SISTEM NEWSLETTER: Jurnal (No.5)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 247/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

240

KERANGKA KERJA TEORITIS PEMBUKTIAN MATEMATIKAUNTUK MAHASISWA S1 

Oleh:Kusnandi

[email protected] Uiversitas Pendidikan Indonesia

ABSTRACT

Competence of proving insists student on analyzing and elaborating premises andconclusion, and also he should make connection between both. Kusnandi (2008)had developed learning model by abductive-deductive strategy to promotingreading and proving ability for the first year students in university. Based ontheoretical research on structure of proof, the strategy with little extension also can be applied effectively on advanced subject such as analysis real and algebraabstract with the more operational problems. The extension strategy can beidentified to be two kinds, namely knowledge of initial strategy and existential ofkey concept. The first one contain the knowledge of an indirect proof, a

construction proof, and how to prove the conclusion that contain the quantifier“for every”, statement “ p  or q”, and the others. The initial strategy is veryimportant as the first step in proving. Without this, it is very difficult to prove theconclusion. The second one often is met when we construct the existential anobject. It is rather difficult to find ideas of the key concept. Only student whostudies much in proving can appear the key concept.

Key words: framework, abductive-deductive strategy, mathematics proof, realanalysis, agebra abstract

PENDAHULUANMengembangkan program pendidikan matematika yang berfokus pada peningkatan

kemampuan berpikir matematik merupakan suatu keharusan untuk menghadapi berbagai

tantangan dan persaingan di era globalisasi ini. Kemampuan berpikir matematik ini bertahap mulai tahapan paling rendah berupa tahap reproduksi hingga tahapan yang lebihtinggi berupa berpikir koneksi dan analisis. Kemampuan membuktikan secara matematikmenuntut mahasiswa menganalisis dan mengelaborasi fakta-fakta yang diberikan, baikfakta di dalam premis, maupun fakta di dalam konklusi. Selain itu, mahasiswa jugadituntut untuk dapat membuat suatu koneksi antara kedua fakta tersebut.

Kurikulum Jurusan Pendidikan Matematika telah menyajikan berbagai bidangkajian matematika yang tersebar pada kelompok bidang kajian analisis, aljabar, statistikadan komputasi dengan tuntutan kemampuan berpikir matematik yang berbeda-beda.Pengembangan pokok-pokok kajian pada mata kuliah bidang analisis dan aljabarmemiliki kekhasan yang relatif tidak berbeda. Pembahasan pokok kajian itu diawalidengan mendefinisikan suatu objek. Sifat-sifat (teorema) dari objek yang didefinisikanditurunkan dari definisi berdasarkan aturan yang telah diketahui sebelumnya dan atau

melalui lemma  yang harus diketahui terlebih dahulu. Hal-hal yang khusus dari objekdalam teorema dapat diidentifikasi dan menghasilkan suatu corollary 

Bukti dari suatu lemma, teorema, dan corollary yang disajikan dalam buku teksdikembangkan secara deduktif dari premis menuju konklusi yang seringkali tidak mudahuntuk dapat memahaminya secara komprehensif, terlebih lagi bagi mahasiswa pemuladalam belajar membuktikan. Kesulitan mahasiswa dalam membuktikan merupakan suatugejala umum yang ditemui, baik di dalam negeri (Sabri, 2003, Juandi, 2006, Arnawa,2006) maupun di luar negeri (Moore,1994, Tucker, 1999, dan Weber, 2002).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 248/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

241

Kusnandi (2008) telah mengembangkan suatu pembelajaran dengan strategiabduktif-deduktif (PSAD) untuk dapat menumbuhkembangkan kemampuan membaca bukti dan kemampuan membuktikan pada mahasiswa pemula belajar bukti dengankerangka kerja disajikan pada Gambar 1. Model kerangka kerja strategi abduktif-deduktifini sangat efektif untuk menumbuhkembangkan kemampuan membuktikan padamahasiswa pemula belajar bukti, dengan masalah pembuktian terbatas pada bentukimplikasi,  p  ⇒  q  pada mata kuliah yang materinya belum seabstrak seperti pada matakuliah dalam kelompok aljabar atau analisis lainnya. Dari bentuk ini mahasiswa dituntutuntuk mengelaborasi data  p  dan target akhir q  dengan proses seperti pada skemaabduktif-deduktif di atas.

Gambar 1 Model Kerangka Kerja Strategi Abduktif-Deduktif

Untuk mata kuliah – mata kuliah yang lebih abstrak, masalah pembuktian bukanhanya bentuk implikasi p  ⇒  q, tetapi juga bentuk lainnya dengan tingkat kesulitan bisalebih tinggi dari sebelumnya. Bentuk masalah pembuktian itu di antaranya: masalahmenunjukkan keberadaan suatu objek, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktiandengan kontrapositif, dan yang lainnya.

Berdasarkan uraian di atas, dipandang perlu untuk memperluas efektifitas strategiabduktif-deduktif pada masalah pembuktian lainnya dalam mata kuliah-mata kuliahdengan topik kajian yang lebih abstrak. Sehingga hasilnya diharapkan tersusunnyakerangka kerja proses pembuktian matematika secara umum, yang dapat memudahkandosen matematika dalam mengimplementasikannya di lapangan.

STRATEGI ABDUKTIF DEDUKTIFToulmin (dalam Pedemonte, 2003) mengajukan skema yang menggambarkan

struktur suatu argumentasi. Langkah pertama dalam setiap argumentasi menurut Toulminadalah menyatakan suatu pendirian ( standpoint ) berupa pendapat atau pernyataan. Dalamistilah Toulmin, pendapat ini diberi nama claim. Selanjutnya, claim yang diajukan harusdidukung oleh data  di mana hubungan antara data dengan claim  dijastifikasi ataudijembatani oleh suatu aturan (warrant ).  Data – warrant – claim  merupakan strukturdasar suatu argumentasi. Unsur bantuan lainnya seperti backing   diperlukan ketikawarrant  yang digunakan tidak langsung dapat diterima. Struktur dasar argumentasi dari

   P  r  o  s  e  s   D  e   d  u   k

   t   i   f

   P  r  o  s  e  s   A   b   d  u   k

   t   i   f

Skema Abduktif-Deduktif

DATA

TargetAntara

TARGETAKHIR

TargetAntara

Proses Kunci

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 249/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 250/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

243

B AC ⇒  B A ⇒  C 

∴  Premis yang lebih memungkinkan adalah C ∴   C di mana C adalah konsep kunci yang menjembatani antara fakta A dan kesimpulan B

Model-model argumentasi dalam pembuktian matematika yang telah

dikembangkan itu bukan model penulisan bukti matematika. Model itu hanya merupakansuatu strategi yang diharapkan dapat menjembatani kepada pemahaman mahasiswaterhadap suatu pernyataan matematika, dengan memahami langkah-langkah di dalammembuktikan pernyataan tersebut.

PENERAPAN STRATEGI PEMBUKTIAN ABDUKTIF-DEDUKTIFPADA BIDANG ANALISIS DAN ALJABAR

Berdasarkan analisis teoritis terhadap struktur pembuktian pada kedua bidangkajian, analisis real dan aljabar, tampak bahwa strategi pembuktian secara abduktif-deduktif dapat diterapkan pada masalah pembuktian yang dapat dibuktikan melalui prosesdeduktif, proses abduktif atau proses abduktif-deduktif. Perbedaan yang menonjol antarmasalah pembuktian untuk mahasiswa pemula belajar bukti dengan masalah pembuktian

 pada kedua bidang kajian ini diuraikan di bawah ini:1.  Jenis masalah pembuktian di kedua bidang kajian itu, terutama pada bidang analisisreal, lebih bervariasi. Hal ini menuntut pengetahuan strategi awal dalammembuktikannya. Jenis-jenis masalah pembuktian itu diantaranya:a.  Masalah dengan konklusi berbentuk   “p atau q” 

Mengingat konklusi yang harus ditunjukkan adalah kebenaran dari salah satu dari p atau  q, maka strategi awal untuk menunjukkannya adalah dengan memisalkan p  tidak benar, kemudian tunjukkan kebenaran dari q. Kebenaran dari q  dapatdiproses melalui proses deduktif, abduktif atau abduktif-deduktif. Sebagaiilustrasi perhatikan contoh masalah pembuktian berikut:

“ Misalkan a, b adalah bilangan real dengan ab = 0. Tunjukkan bahwa  a = 0atau  b = 0.”

Strategi awal masalah ini adalah dengan memisalkan a  ≠  0, kemudiab harus

ditunjukkan bahwa b  = 0. Selanjutnya adalah memproses pembuktian secaradeduktif, abduktif atau abduktif-deduktif dengan fakta yang dimiliki.

PREMIS KONKLUSI

P1: ab = 0 P2:  a ≠  0

C: b = 0

Di dalam pernyataan “ p atau q” tidak menutup kemungkinan keduanya benar.Oleh karena itu, proses pembuktikan dilakukan dengan menunjukkan kebenaran p  dan q. 

 b.   Masalah dengan konklusi memuat ungkapan berkuantor   “untuk setiap” atau 

“untuk semua”.Strategi awal yang diperlukan untuk membuktikan suatu pernyataan yangmemuat ungkapan ini sangat penting sehingga premis yang diberikan dapatdigunakan dan diorganisir serta diarahkan pada konklusi yang diharapkan.Strategi awal apa yang dibutuhkan dan bagaimana hubungannya dengan premisyang diberikan, perhatikan contoh berikut:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 251/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

244

“ Misalkan S adalah himpunan tak kosong bagian dari himpunanbilangan real R dan u = sup S. Tunjukkan bahwa untuk setiap ∈  > 0 

terdapat ∈ε s   S sehingga u - ε  < ε s .

Strategi awal untuk membuktikan “untuk setiap ∈ > 0 terdapat ∈ε s  S sehingga

u - ε  <ε

 s ” adalah mengambil sembarang

∈ > 0. Dalam hal ini kita bekerja

dengan hanya satu bilangan ∈   > 0 yang sembarang. Dengan demikian kitamemiliki fakta sebagai berikut

PREMIS KONKLUSI

P1: u = sup SP2: ∈ > 0 sembarang 

C: ∃   ∈ε s  S ∋   u - ε  < ε s  

Kemudian kita harus menunjukkan keberadaan ∈ε s  S yang memenuhi u - ε  

< ε s . Dalam hubungannya dengan premis yang diberikan, gunakan ∈  > 0  pada

 pengertian u = sup S  . Dalam hal ini adalah u –  ∈< u yang berdasarkan sifat

suprimum  akan terdapat ∈ε s   S   sehingga u - ε   < ε s (sesuai dengan sifatdalam konklusi yang diharapkan). Sifat yang dimiliki oleh sembarang ∈  > 0 dalam konklusi itu akan berlaku secaraumum untuk setiap ∈  > 0. Sehingga konklusi yang diharapkan telah diperoleh.

c.   Masalah dengan premis  dan konklusi memuat ungkapan berkuantor   “untuk setiap” atau “untuk semua”.Strategi awal yang dimiliki pada konklusi yang memuat ungkapan “untuk setiap”atau “untuk semua” pada jenis masalah (b) dapat digunakan untuk masalah ini.Hubungan antara strategi awal pada jenis masalah (b) dengan premis yangmemuat ungkapan berkuantor “untuk setiap” atau “untuk semua” perlu pemahaman yang lebih lanjut. Apabila domain dari ungkapan berkuantor pada premis dan konklusi itu sama, maka strategi awal jenis masalah (b) dapat

diberlakukan pada ungkapan berkuntor dalam premis, sehingga sifat yang adadalam premis berlaku juga untuk strategi awal yang dimiliki. Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh masalah pembuktian berikut ini:

“ Misalkan ( xn) adalah barisan bilangan real yang konvergen. Tunjukkanbahwa  ( xn) merupakan barisan Cauchy.”

Berdasarkan definisi, premis dari masalah di atas ( lim ( xn) = x ) adalahP: untuk setiap ε   > 0 terdapat bilangan asli  K ( ε ) sehingga untuk semua

 bilangan asli n  )(ε K ≥  berlaku | xn – x| < ε  .

Sedangkan kondisi yang harus dimiliki untuk tiba pada konklusi adalahC: untuk setiap ε   > 0 terdapat bilangan asli  H (ε ) sehingga untuk semua

 bilangan asli n, m  )(ε H ≥  berlaku | xn – xm| < ε  .

Berdasarkan konklusi (C ) di atas, strategi awal yang harus dimiliki adalahmengambil sembarang

ε > 0. Kemudian kita harus mencari bilangan asli H (

ε)

sehingga untuk semua bilangan aslin, m  )(ε H ≥   berlaku | xn – xm| < ε  

Karena domain dari ungkapan berkuantor dalam premis (P) adalah sama, makasifat yang dimiliki oleh premis itu akan berlaku juga untuk ε   > 0 yang telahdimiliki. Oleh karena itu keberadaan bilangan asli  K (ε ) dijamin sehingga untuksemua bilangan asli n  )(ε K ≥  berlaku | xn – x| < ε .

Proses selanjutnya adalah menjembatani antara

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 252/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

245

n  )(ε K ≥  berlaku | xn – x| < ε  

dann, m  )(ε H ≥   berlaku | xn – xm| < ε  

dengan  H (ε ) yang harus dicari.d.  Masalah dengan konklusi menunjukkan ketunggalan dari suatu objek . Strategi

awal menunjukkan ketunggalan adalah memisalkan terdapat dua objek yangmemiliki sifat dalam konklusi itu. Kita harus menunjukkan bahwa kedua objekitu adalah sama. Sebagai ilustrasi perhatikan contoh masalah berikut:

“ Misalkan M adalah suatu himpunan bagian dari grup G. Tunjukkanbahwa subgrup terkecil yang memuat M adalah tunggal.” 

Strategi awal menunjukkan ketunggal adalah memisalkan  H 1  dan  H 2  masing-masing merupakan subgrup terkecil yang memuat  M . Kita akan menunjukkan bahwa  H 1  =  H 2. Berdasarkan pengertian terkecil,  H 1  adalah subgroup terkecilyang memuat  M , sedangkan kita pandang  H 2  subgrup yang memuat  M , maka berlaku

 H 1  ⊆ H 2 Sekarang kita perhatikan subgrup terkecil  H 2  yang memuat  M , denganmemandang H 1 sebagai subgrup yang memuat M . Dari sini akan diperoleh

 H 2  ⊆ H 1 Dari  H 1  ⊆ H 2 dan H 2  ⊆ H 1 diperoleh

 H 1 = H 2 Dari sini dapat disimpulkan bahwa subgrup terkecil yang memuat M adalahtunggal.

2.  Dalam beberapa pembuktian dalam bidang kajian analisis dan struktur aljabar sangatsering muncul koncep kunci  yang kadang-kadang sulit dipahami kemunculangagasannya. Konsep kunci ini sangat menentukan pencapaian konklusi yangdiharapkan. Oleh karena itu, pengalaman mahasiswa dalam membuktikan sangat berperan dalam memunculkan konsep kunci ini. Sebagai ilustrasi, perhatikan pembuktian masalah berikut ini:

Ketidaksamaan Cauchy :  Jika  n  ∈ N dan  a1, . . . , an  dan  b1, . . . , bn adalah bilangan real , maka berlaku

(a1b1 + . . . + anbn)2 ≤   (a1

2 + . . . + an2)(b1

2 + . . . + bn2) (5)

Untuk membuktikan ketaksamaan ini, didefinisikan fungsi F : R →  R untuk t∈ R dengan

 F (t ) = (a1 – tb1)2  + . . . + (an  – tbn)

2 atau

 F (t ) = A – 2 Bt  + Ct 2  ≥  0dengan

 A = a12 + . . . + an

2,  B = a1b1 + . . . + anbn, C  = b12 + . . . + bn

2  Karena fungsi kuadratik   F  (t ) adalah nonnegatif untuk semua t ∈  R, maka fungsiini tidak memiliki dua akar real yang berbeda. Dengan demikian, nilai

diskriminan, ∆  = (–2 B)2 – 4 AC  = 4( B2 – AC )harus memenuhi 0≤∆ . Sehingga diperoleh   B2  ≤   AC   yang tepat sama denganketaksamaan (5).

Konsep kunci dalam pembuktian Ketaksamaan Cauchy di atas adalah mendefinisikanfungsi  F : R →  R dengan

 F (t ) = (a1 – tb1)2  + . . . + (an  – tbn)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 253/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

246

Fungsi F  ini sangat menentukan tercapainya konklusi yang diharapkan. Akan tetapigagasan untuk mendefinisikan atau memunculkan konsep kunci itu sangat sulit.Dalam bidang kajian Struktur Aljabar, pendefinisian fungsi seperti di atas sangatsering muncul pada masalah menunjukkan suatu isomorphik, seperti contoh berikut:

 Misalkan G adalah suatu grup dan I (G) menyatakan grup dari semua innerautomorphisma dari G. Tunjukkan bahwa terdapat suatu isomorphisma dari I (G) ke grup faktor G/Z di mana Z adalah center dari G.Konsep kunci untuk membuktikan masalah ini adalah pendefinisian fungsi

ϕ  : G  →  I (G)

 g a 1− g  f    ∀   g  ∈ G

Proses pembuktian selanjutnya menunjukkan bahwa ϕ   merupakan suatu

homomorphisma dari G onto I (G), dan menunjukkan bahwa Ker(ϕ ) = Z (G)

3.  Strategi awal yang berhubungan dengan teknik membuktikan pada bidang kajiananalisis dan struktur aljabar lebih bervariasi. Teknik pembuktian tak langsung, baikmenggunakan teknik kontradiksi maupun teknik kontrapositif, dan teknikmengkonstruksi keberadaan suatu objek sering diperkenalkan dalam pembuktian.Khususnya teknik pembuktian tak langsung seringkali dapat lebih mudah dalam

membuktikan suatu masalah dibandingkan dengan teknik pembuktian secaralangsung. Perbedaan antara pembuktian tak langsung dengan secara langsung(strategi pembuktian dengan abduktif –deduktif) hanya terletak pada adanya strategiawal dalam pembuktian tak langsung. Sedangkan proses pembuktian selanjutanyaadalah sama, yaitu mengembangkan premis yang dimiliki. Konklusi yang diharapkandalam pembuktian tak langsung adalah adanya suatu kontradiksi untuk teknikkontradiksi, atau negasi dari premis pernyataan semula untuk teknik kontrapositif.

KERANGKA KERJA TEORITIS PEMBUKTIAN MATEMATIKABerdasarkan kajian secara teoritis terhadap struktur pembuktian pada bidang analisis

real dan struktur aljabar, kerangka kerja teoritis pembuktian matematika dapat dilihat pada Gambar 3.

Gambar 3 Kerangka Kerja Teoritis Pembuktian Matematika

    P   r   o   s   e   s    D   e    d   u    k    t    i    f

    P   r   o   s   e   s    A    b    d   u    k    t    i    f

Kerangka Kerja Pembuktian dengan Abduktif-Deduktif

DATA

TargetAntara

TARGETAKHIR

Target

Antara

Proses Kunci

KonsepKunci

Strategi

Awal

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 254/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

247

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Kesimpulan dari hasil kajian secara teoritis terhadap pembuktian matematika padamata kuliah bidang analisis real dan struktur aljabar adalah sebagai berikut:

1.  Proses pembuktian masalah dalam bidang analisis dan struktur aljabar yang telahdinyatakan secara operasional (premis dan konklusi dapat dielaborasi berdasarkan aturan yang telah dijamin kebenarannya) dapat dikonstruksi melalui penerapan strategi abduktif-deduktif.

2.  Pengetahuan tentang strategi awal seperti teknik pembuktian tak langsung danteknik mengelaborasi konklusi, dalam memulai suatu pembuktian perlu dimilikimahasiswa, sehingga masalah dapat dirumuskan dalam bentuk yang lebihoperasional.

3.  Konsep kunci yang menentukan keberhasilan proses pembuktian seringkalimuncul ketika mengkonstruksi bukti dalam bidang analisis dan struktur aljabar.Pengalaman dalam mengkonstruksi bukti sangat berperan dalam melahirkangagasan dari konsep kunci tersebut.

SaranKerangka kerja yang dihasilkan dalam penelitian ini disusun secara teoritis

 berdasarkan kajian terhadap bentuk-bentuk permasalahan dan struktur pembuktian dalam bidang analisis real dan aljabar abstrak. Untuk melihat efektifitas dan memvalidasikerangka kerja pembuktian ini disarankan dilakukan penelitian lanjutan denganmengimplementasikannya di lapangan.

DAFTAR RUJUKANArnawa. 2006.  Meningkatkan Kemampuan Pembuktian Mahasiswa dalam Aljabar

 Abstrak Melalui Pembelajaran Berdasarkan Teori APOS . (Disertasi).Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.

Hoyles, C. dan Kuchemann, D. (2002). Students’ understanding of logical implication. Educational Studies in Mathematics 51, 193-223.

Juandi, D. 2006.  Meningkatkan Daya Matematik Mahasiswa Calon Guru Matematika Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah. (Disertasi). Bandung: UniversitasPendidikan Indonesia

Kusnandi. 2008.  Pembelajaran Matematika dengan Strategi Abduktif-Deduktif untuk Menumbuhkembangkan Kemampuan Membuktikan Pada mahasiswa (Disertasi). Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.

Moore, R.C. 1994. Making the transition to Formal Proof.  Educational Studies in Mathematics, 27: 249-266.

Pedemonte, B. 2003. What kind of proof can be constructed following an abductiveargumentation. Proceeding of the third Conference of the European Society for Research in Mathematics Education.

Sabri. 2003.  Prospective Secondary School Teachers’ Conceptions of Mathematical Proof in Indonesia. Thesis: Curtin University of Technology.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 255/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 256/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

249

KEMAMPUAN PENALARAN STATISTIS MAHASISWA DAN UPAYAMENINGKATKANNYA MELALUI PEMBELAJARAN MODELPACE

Dadan DasariJurusan Pendidikan Matematika UPI

ABSTRAK

Penelitian ini berfokus pada upaya untuk mengetahui perbandingankemampuan penalaran statistis mahasiswa, sebagai akibat dari penggunaan pembelajaran model PACE dan pembelajaran konvensional. Subyek populasi dalam penelitian ini adalah mahasiswa pendidikan matematikadan matematika yang mengambil mata kuliah statistika dasar dipilih dariUniversitas negeri yang menyelengarakan program studi matematika dan pendidikan matematika secara bersamaan. Tingkat ketercapaiankemampuan penalaran statistis sebagai hasil dari proses pembelajaran yangdilakukan dinyatakan dalam level-level yang merujuk pada taksonomi

SOLO (Structure of Observed Learning Outcome). Hasil penelitian inidiantaranya menyimpulkan bahwa kemampuan penalaran statistismahasiswa yang mendapat pembelajaran model PACE secara signifikanlebih baik dari mahasiswa dengan pembelajaran konvensional, baikditinjau dari jenis program studi dan kemampuan awal mahasiswa.Pencapaian level penalaran statistis untuk mahasiswa dengan dengan pembelajaran model PACE adalah multistruktural yang hampir mendekatirelasional, sedangkan mahasiswa dengan pembelajaran konvensionalmultistruktural. Kemampuan penalaran mahasiswa dengan kemampuanawal rendah yang mendapat pembelajaran model PACE lebih baik darimahasiswa dengan kemampuan awal menengah yang mendapat pembelajaran konvensional.

Kata kunci : Pembelajaran model PACE, penalaran statistis, taksonomi SOLO

A.  Pendahuluan

Jika dicermati permasalahan dalam pembelajaran yang timbul di berbagai jenjangsekolah, termasuk di jenjang pendidikan tinggi terdapat bentuk kesamaan. Diantaranya pembelajaran masih didominasi model pembelajaran konvensional, yang umumnyadipacu oleh batas capaian kuantitas materi. Evaluasi lebih berfokus pada aspek kognitifyang relatif masih rendah, sebagai akibat jarangnya mahasiswa dihadapkan padalingkungan belajar yang bernuasa tantangan dengan tuntutan tingkat kemampuan kognitifyang lebih tinggi. Akibatnya, pembelajaran konvensional tidak mampu mengembangkan

kemampuan mahasiswa secara optimal (Lee, 2000).Pada era informasi global ini, semua pihak dimungkinkan untuk mendapatkan

informasi secara melimpah, cepat, mudah dari berbagai sumber dari berbagai penjurudunia. Untuk itu, manusia dituntut memiliki kemampuan dalam memperoleh, memilih,mengelola, dan menindaklanjuti informasi itu untuk dimanfaatkan dalam kehidupan yangdinamis, sarat tantangan, dan penuh kompetisi. Ini semua menuntut kita untuk memilikikemampuan berfikir dan bernalar yang tidak linear lagi, namun lebih mengarah kepadayang divergen.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 257/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

250

Kemampuan ini dapat tumbuh dan berkembang dalam lingkungan yang relevan.Upaya membangun lingkungan yang dimaksud dapat dilakukan dan dikembangkanmelalui kegiatan pembelajaran yang diselenggarakan di berbagai jenjang pendidikan.Dengan demikian pemilihan paradigma pembelajaran memainkan peranan yang sangatstrategis dalam peningkatan kualitas sumber daya manusia Indonesia.

Dengan mencermati permasalahan-permasalahan yang timbul dalam dunia pendidikan, terutama yang berkaitan dengan prestasi belajar, praktek pembelajaran dikelas, pentingnya meningkatkan kemampuan berpikir dan bernalar tingkat tinggi, makaupaya inovatif untuk menanggulanginya perlu segera dilakukan.

Statistika dapat dipandang sebagai pengetahuan yang menyediakan sarana untukdapat memberikan solusi terhadap fenomena atau permasalahan terjadi di dalamkehidupan, di lingkungan pekerjaan, dan di dalam ilmu pengetahuan itu sendiri (Moore,1997). Secara khusus statistika digunakan untuk menguraikan dan memprediksifenomena yang memerlukan kumpulan hasil dari pengukuran. Pertanyaannya,kemampuan dasar esensial statistika seperti apakah yang dapat memberikan arah untukmasyarakat dengan karakter budaya-teknologi dan budaya sarat-informasi yang sedangterjadi saat ini?

Berikut adalah gambaran tentang bagaimana masyarakat modern memerlukan

kemampuan literasi dan penalaran statistis. Pertama, statistika dapat membantumeningkatkan tingkat kepercayaan terhadap sesuatu dengan memberikan eviden yangcukup memadai (Ainley, 2000). Kedua, statistika dapat dipandang sebagai suatu intrumenyang dapat meningkatkan keberhasilan secara ekonomis (Descamps Janssens, &Vanlangendock, 2001). Dan ketiga, statistika dijadikan sebagai bahasa kekuatan.(Denzen, 2001).

Gambaran di atas, memperlihatkan bahwa kebutuhan akan kemampuan penalaranstatistis dalam masyarakat modern adalah suatu keniscayaan. Sebagai konsekuensinya bila kita menginginkan suatu komunitas belajar mempunyai kemampuan statistis yangmemadai, kita perlu mengajarkan statistika dengan paradigma baru yang tidak lagi hanyasekedar hitung menghitung rutin yang sarat dengan rumus matematis yang kadangdisertai kurangnya pemaknaan atas apa yang dilakukan.

Salah satu alternatif model pembelajaran yang diduga dapat meningkatkan

kemampuan penalaran statistis mahasiswa adalah model PACE . Menurut Lee (2000)model PACE ( Projects, Activities, Cooperative learning, and Exercises) adalah model pembelajaran beraliran konstruktivisme yang memiliki prinsip: (a) Peserta didik belajardengan mengkonstruksi pengetahuannya melalui proses yang terbimbing, (b)Memecahkan masalah secara aktif melalui kerja kelompok yang bernuansa belajar aktif,(c) Latihan dan umpan balik merupakan strategi untuk memahami konsep baru. Modelini menempatkan peserta didik sebagai pusat proses belajar, instruktur berperan sebagaifasilitator yang mengarahkan dan membimbing untuk menemukan dan memahami konsep baru.

Dibandingkan dengan lingkungan belajar kelas konvensional, suatu lingkungan belajar dengan model  PACE  menyediakan banyak kesempatan kepada mahasiswa dalammengembangkan kemampuan penalaran statistis mereka, untuk mengekplorasi, mencarisolusi, mengkomunikasikan gagasan, mengadaptasi prosedur penyelesaian, serta memiliki

 banyak kesempatan untuk mempelajari proses statistis. (Lee, 1998)Dalam kenyataannya agak sulit menentukan tingkat ketercapaian kemampuan

dalam domain kognitif sebagai hasil dari sebuah proses pembelajaran, dalam hal ini pembelajaran statistika model  PACE , untuk itu diperlukan sebuah acuan yang jelas.Khusus untuk subdomain kognisi penalaran, Biggs & Collis (1982 ) mengemukakan limalevel kemampuan penalaran yang didasarkan atas hasil belajar. Tatanama lima level penalaran tersebut selanjutnya disebut taksonomi SOLO (Structure of Observed LearningOutcome) , level yang dimaksud adalah:  prestructural , unistructural , multistructural ,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 258/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

251

relational , dan extended abstract . Selanjutnya Reading dan Reid (2006)memodifikasinya untuk keperluan dalam statistika dengan lingkup materi terbatas dan bukan materi lanjut, menjadi empat level yaitu: prestruktural, unistruktural,multistruktural dan relasional.

Dengan diketahui tingkat efektifitas dan implikasi dari pembelajaran model PACE , yakni dengan mengetahui tingkat pencapaian kemampuan penalaran statistismahasiswa dalam pembelajaran statistika, maka model ini dapat dijadikan sebagaialternatif pembelajaran statistika di perguruan tinggi. Hal lain, apabila permasalahandalam penelitian ini dapat dipecahkan maka akan memberikan kontribusi kepadamahasiswa, sehingga pada gilirannya ia akan menjadi lulusan yang memiliki kemampuan penalaran statistis yang memadai.

B. Penalaran StatistisPenalaran statistis diartikan sebagai cara menalar dengan menggunakan idea

statistis dan bisa dipahami dari informasi statistis (Garfield dan Charce, 2000). Hal inimeliputi pembuatan interpretasi berdasarkan pada data, representasi data, atau ringkasanstatistis data. Bentuk penalaran statistis dapat berupa kombinasi idea tentang data dan peluang, seperti inferensia dan interpretasi hasil statistis. Pemahaman konsep dari idea

idea penting seperti: pemusatan, sebaran, keterkaitan, peluang, keacakan, dan sampling,merupakan bagian dari bentuk penalaran statistis tersebut.Secara singkat Lovett (2001) mendefinisikan penalaran statistis sebagai: to use of

 statistical tools and concepts ….. to summarize, make prediction about, and drawconclusion from data. Dengan redaksi yang hampir sama Ben-Zvi dan Garfield (2004)menyatakan bahwa penalaran statistika didefinisikan sebagai cara seseorang menalardengan menggunakan ide-ide dan fakta yang bersumber dari informasi statistika.

Untuk menentukan kemampuan penalaran yang akan dikembangkan, perludiketahui terlebih dahulu tipe miskonsepsi atau tipe penalaran salah yang dilakukantatkala menganalisa informasi statistis. Garfield & Ahlgren (1988), dan Shaoughnessy(1992) telah menemukan beberapa tipe miskonsepsi atau kesalahan penalaran pesertadidik di dalam pembelajaran statistika. Beberapa contoh dari miskonsepsi tersebut akandiuraikan di bawah ini.

 Miskonsepsi tentang Mean.  Rerata diartikan sebagai bilangan persekutuan, untukmendapatkannya yakni menjumlahkan seluruh bilangan dan kemudian hasilnya dibagioleh banyaknya nilai data ( tanpa memperhatikan outlier /data pencilan). Rerata jugasering diartikan sama dengan median. Miskonsepsi lain terjadi tatkala membandingkankelompok-kelompok data, seringkali secara eksklusif hanya terfokus pada selisih darirerata kelompok-kelompok tersebut, tanpa memperhatikan variabilitas yang dimilikinya. Berorientasi pada Outcome. Sebuah model intuitif probabilistis akan membuat siswamemilih untuk membuat kesimpulan ya atau tidak atas dasar kejadian tunggal, tidak lagimelihat rangkaian dari kejadian-kejadian tersebut secara lebih menyeluruh. Sebagaicontoh: Badan meteorologi dan geofisika memprediksikan bahwa kemungkinan akanhujan sebesar 70% untuk rentang waktu 10 hari. Apabila secara aktual dari 10 hari, 7 haridiantaranya turun hujan. Apakah prediksi di atas bagus adanya? Apabila siswa menjawab bahwa badan tersebut tidak melakukan tugasnya dengan baik, dengan alasan karena

mestinya hujan berlangsung setiap hari dan peluang hujan tiap harinya adalah 70%. Halini terjadi karena para siswa hanya terfokus pada kejadian tunggal, tidak memperhatikansebuah rangkaian kejadian yang memuat kejadian tunggal tadi. Hal lain yang analog,dugaan 30% hujan akan diartikan sebagai tidak akan hujan.Sampel yang baik ditunjukkan dengan besarnya prosentase yang tinggi dari

 populasinya. Tidak adanya batasan yang jelas berapa ukuran sampel yang akan dipilih,dengan ditunjukkan besarnya prosentase dari populasi sudah cukup bahwa sampel yangdiperoleh adalah sampel baik.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 259/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

252

 Hukum Bilangan Kecil . Sampel dengan ukuran kecil akan menyerupai populasinya, jugasampel kecil digunakan sebagai dasar untuk inferensia dan generalisasi. (Kahneman,Slovic, & Tversky, 1982) Miskonsepsi sifat representatif . Menduga bahwa likelihood dari sampel didasarkan atasseberapa dekat menyerupai populasi. Sehingga, sampel dari pengetosan mata uang yangmempunyai kejadian gabungan dari muka (M) dan belakang (B) diputuskan sebagaisampel yang lebih baik dari sampel yang memiliki kejadian yang terdiri dari banyaknyamuka (M) lebih banyak dari banyaknya belakang (B). (Kahneman, Slovic, & Tversky,1982) Bias equiprobabilitas. Kejadian-kejadian dalam ruang sampel mempunyai kecenderungankemungkinan sama (equally likely). Sebagai contoh kejadian muncul mata 5 tiga kalidengan kejadian muncul mata 5 sekali pada percobaan melempar sebuah dadu tiga kali,dipandang sebagai kejadian-kejadian yang tidak mempunyai kemungkinan yang sama(Lecoutre, 1992).

Mengases kemampuan penalaran statistis sangat tergantung kepada topikstatistika apa yang dipelajari, setelah itu lalu menentukan model penalaran yang akandijadikan sebagai rujukan. Ada beberapa model penalaran yang yang dapat dijadikanrujukan, pada penelitian ini model penalaran yang dirujuk adalah model dari Reading dan

Reid (Reading dan Reid, 2006). Kedua peneliti ini mengembangkan model denganmembuat interpretasi dari taksonomi SOLO (Structure of Observed Learning Outcome)yang digagas pertama oleh Biggs & Collis (1982). Pada taksonomi SOLO terdapat limalevel kognitif:  Prestructural , Unistructural ,  Multistructural ,  Relational , dan  Extended Abstract . Model ini kemudian dimodifikasi untuk keperluan dalam statistika denganlingkup materi terbatas dan bukan materi lanjut, menjadi empat level yaitu: prestruktural, unistruktural, multistruktural dan relasional.

Berikut disajikan model yang terdiri dari empat level hasil modifikasi Readingdan Reid dan terapannya untuk menguraikan penalaran statistika.

 Level Penalaran Deskripsi Penalaran Statistika

 Prestructural  (P)Unistructural  (U) Multistructural (M) Relational (R)

Tidak memiliki landasan konsep yang jelas.Hanya berfokus pada satu konsep statistika saja.Berfokus pada lebih dari satu konsep statistika.Mengembangkan kaitan dengan berbagai konsep statistikalainnya

Level penalaran di atas bersifat hirarkis dimulai dari yang paling rendah: Prestructural,Unistructural, Multistructural, dan Relational. Contoh berikut merupakan soal yangdigunakan pada penelitian ini dan disertai rambu-rambu pengukuran denganmenggunakan model penalaran seperti disebutkan di atas.

Diketahui dua kelompok data A dan B, masing-masing kelompok mempunyai duavariabel. Data lengkapnya disajikan dalam tabel berikut

AX1 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5Y1 8.08 6.95 7.58 8.81 8.33 9.96 7.24 4.26 10.84 4.82 5.68

BX2 8 8 8 8 8 8 8 19 8 8 8

Y2 6.58 5.76 7.71 8.84 8.47 7.04 5.25 12.50 5.56 7.91 6.89

Apakah yang anda dapat jelaskan dari masing-masing kelompok data di atas, dilihatdari keeratan hubungan (korelasi) antara dua variabel penyusunnya?

Gambar 1: Contoh soal penalaran statistis

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 260/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

253

Apabila seorang mahasiswa dengan hanya menghitung korelasi keduanya, dandiperoleh koefisien korelasi ( r) = 0,816 dan menyimpulkan bahwa antara variabel-variabel untuk masing-masing kelompok mempunyai korelasi linear positif yang sangattinggi (kuat); ia berada pada level unistruktural, karena ia hanya terfokus pada satukonsep saja. Bagi mahasiswa yang mencoba melakukan analisa eksplorasi lebih lanjut,dengan membuat plot data akan diperoleh:

Gambar 2: Plot Data untuk KorelasiPlot di atas memperlihatkan bahwa untuk data kelompok A terjadi hubungan

linear yang positip, sedangkan untuk data kelompok B memperlihatkan tidak adahubungan linear dan ada satu titik pencilan (outlier ). Bila jawabannya sampai pada tahaptersebut, ia berada pada level multistruktural.

Bila jawabannya dilanjutkan dengan cara pengujian signifikansi hubungan antarvariabel tersebut; ia berada pada level relasional. Sebaliknya apabila tidak bisa menjawab,

atau jawabannya sama sekali tidak ada relevansinya; ia berada pada level prestruktural.

C. Pembelajaran Model PACE Reformasi pembelajaran matematika sangat berpengaruh pada proses

 pembelajaran statistika dan probabilitas. Statistika mempunyai substansi dan model penalaran serta berpikir tersendiri, oleh karena itu kerangka kerja pedagogis yangdirancang harus memperhatikan karakter tersebut. Moore (1997) menyarankan sebuah

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 261/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

254

sinergi antara content-pedagogy-technology dalam upaya membantu peserta didik belajarstatistika.

Upaya untuk mengantisipasi perubahan paradigma dalam pembelajaran statistika,dari teacher-centered   menjadi  student-centered   dan mengimbangi perkembanganteknologi yang begitu pesat, Lee (2000) menyarankan penggunaan strategi dalam pembelajaran statistika. Strategi yang diajukan diberi nama PACE  ( Projects, Activities,Cooperative learning, Exercises). Berdasarkan hasil kajiannya prinsip dari model iniadalah sebagai berikut: (a) peserta didik belajar dengan mengkonstruksi pengetahuannyamelalui proses yang terbimbing, (b) memecahkan masalah secara aktif melalui kerjakelompok yang bernuansa belajar aktif, (c) latihan dan umpan balik merupakan strategiuntuk memahami konsep baru. Pendekatan ini menempatkan peserta didik sebagai pusat proses belajar, instruktur berperan sebagai fasilitator yang mengarahkan danmembimbing untuk menemukan dan memahami konsep baru. Pada pendekatan ini,statistika didekati sebagai tool   sains dalam usaha memecahkan permasalahan dunianyata. Siswa mempunyai banyak kesempatan untuk bekerja pada situasi team ataukelompok belajar terutama yang berkaitan dengan penulisan laporan,mengkomunikasikan dan presentasi untuk mempertanggungjawabkan hasil ataukesimpulan yang diperoleh.

Aktivitas . Setiap aktivitas didesain untuk memperkenalkan beberapa konsep barudan mereview konsep yang sudah dipelajari. Mahasiswa dibimbing untuk bekerja dalamrangkaian pelaksanaan aktivitas kegiatan, mengumpulkan data, analisis data, danmenyajikan temuannya.

Project . Memfasilitasi mahasiswa agar memperoleh kesempatan untuk entri data, produksi data, meringkas data, analisis data, laporan, dan presentasi hasil. Proyek dibuatterstruktur dengan arahan pemilihan topik dari pengajar atau mahasiswa sendiri yangmemilihnya. Hal ini dikandung maksud untuk lebih membangkitkan motivasi dan interes.Tentu saja proyek diberikan setelah konsep esensial yang yang mendukung proyektersebut diperkenalkan terlebih dahulu.

Pembelajar an Kooperati f.   Ada berbagai macam tipe kooperatif, pada modelPACE kerja kelompok yang diimplementasikan bergantung pada ukuran kelas dan penataannya. Ukuran kelasnya sekitar 40 siswa dan kelas laboratorium komputer

memiliki 20 sampai 30 unit, diskusi kelompok kecil dirasa lebih cocok untukdiimplementasikan. Aktivitas laboratorium menjadi suatu yang tidak bisa dipisahkandalam kegiatan pembelajaran statistika. Penggunaan paket program komputer sepertiMINITAB, EXCEL, SPSS, dan SAS akan sangat membantu upaya pencapaian tujuan pembelajaran statistika. 

Latihan . Secara esensial membantu mahasiswa untuk memahami konsep danketerampilan dari apa yang sudah dipelajari. Mahasiswa dapat memanfaatkan komputeruntuk membantu menganalisis, meringkas dari apa yang diperoleh.

Berikut disajikan perbedaan karakteristik pemebelajaran model PACE dengan pembelajaran konvensional.

Tabel 1.

Perbedaan KarakteristikPembelajaran Model PACE dan Konvensional

 No. Model PembelajaranPACE Konvensional

1 Bahan ajar  pembelajaran disajikan dalam bentuk masalah yang harus diselesaikanmelalui aktivitas mental mahasiswa(activity) untuk membangun pengetahuan

Bahan ajar  disajikan dalam bentuk buku ajar. Konsepdijelaskan langsung olehdosen.Memberi contoh soal dan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 262/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

255

statistika penyelesaiannya2 Dosen   berperan sebagai fasilitator dan

mengarahkan untuk terlibat aktif dalamdiskusi (cooperative), serta mendoronguntuk memecahkan masalah,

Dosen  berperan sebagai sebagaisumber belajar, memberi contohsoal dan latihan sertamengevaluasinya.

3 Mahasiswa   Sebagai pemecah masalah,dimana permaslahannya dikreasidosen(exercises) dan dikreasi kolaboratifdosen dan mahasiswa ( Projects)

Mahasiswa  Sebagai penerima pengetahuan yang diberikan dosendan menyelesaikan soal. 

3 Interaksi   dalam pembelajaran bersifatmulti arah.

Interaksi   bersifat satu arah ataudua arah.

C. Metode PenelitianPenelitian ini adalah kuasi eksperimen dengan desain kelompok kontrol hanya

 postes. Sebagai kelompok kontrolnya adalah mahasiswa yang diberi pembelajaranstatistika dasar seperti biasa berlangsung selama ini, konvensional. Langkah awal adalahmenentukan unit-unit eksperimen untuk dijadikan kelas kontrol dan kelas eksperimen,yang dipilih dari masing-masing program studi (pendidikan matematika, dan

matematika).Pada kelompok eksperimen diberikan perlakuan pembelajaran model PACEsedangkan pada kelompok kontrol tidak diberi perlakuan khusus, pembelajaran berlangsung seperti biasanya atau konvensional. Pada desain ini, terlihat bahwasemua kelompok masing-masing setelah diberi perlakuan diukur dengan postes.Adapun variabel bebasnya adalah pembelajaran model PACE dan pembelajarankonvensional. Sedangkan variabel terikatnya adalah kemampuan penalaran statistis.Variabel kontrolnya adalah program studi, dan kemampuan awal mahasiswa. Modellinear dari desain eksperimen yang dikembangkan adalah model  split plot design  (Montgomery, 1991), seperti berikut ini:

i = 1,2 j = 1,2 k = 1,2,3dengan 

= Kemampuan penalaran statistis mahasiswa yang dipengaruhi oleh faktor

 program studi ke-i, model pembelajaran variasi ke-j dan kemampuanawal mahasiswa variasi ke-k

= variabel program studi ke-i.

= variabel pembelajaran variasi ke-j

= kemampuan awal mahasiswa variasi

= galat eksperimen

Instrumen yang digunakan adalah Tes Kemampuan Awal Statistika, TesKemampuan Penalaran Statisis, kedua instrumen tersebut telah diujicoba dan dinyatakanvalid.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 263/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

256

D. Hasil Penelitian dan PembahasanData kuantitatif pertama yang akan dijadikan dasar untuk kegiatan analisa adalah

data hasil tes kemampuan awal statistis (KAS). Data hasil tes yang dilakukan kepadaseluruh sampel yang terdiri dari 112 orang mahasiswa, 56 orang dari program studi pendidikan matematika dan 46 orang dari program studi matematika akan dijadikan pedoman pengelompokkan mahasiswa kedalam kelompok tinggi, tengah dan bawah padakelasnya. Sebaran lengkap subyek sampel hasil pemilihan tersebut disajikan dalam tabel berikut:

Tabel 2.Sebaran subyek sampel penelitian

Kel.Eksperimen

(Model PACE)Kontrol(Konv)

Dik Nondik Total Dik Nondik TotalAtas 10 8 18 6 9 15

Tengah 16 11 27 8 11 19Bawah 10 8 18 6 9 15

Total 36 27 64 20 29 4963 49

Tes KAS bertujuan untuk mengetahui pengetahuan awal mahasiswa atau pengetahuan yang telah dimiliki mahasiswa dan untuk mengetahui kesetaraan sampel penelitian. Untuk keperluan tersebut, dilakukan uji ANOVA dengan terlebih dahulumemeriksa asumsi normalitas dan kehomogenannya. Berikut sebaran data hasil tes KAStersebut.

Tabel 3.Deskripsi Data KAS Berdasarkan Prodi dan Model Pembelajaran

Prodi Model Pemb.Skor

RerataSimp.BakuMin. Maks.

Dik

PACE (36) 11 17 14,278 1.560

Konv (20) 11 17 14,000 1,789Total :56

NondikPACE (27) 12 20 14.519 2.293Konv (29) 5 17 14.138 2.431Total: 46

Catatan: Skor Ideal adalah 20Dengan menggunakan analisis variansi satu jalur dan mengambil taraf signifikansi 5%,diperoleh kesimpulan dari keempat kelompok tidak terdapat perbedaan rerata nilai tesKAS untuk masing-masing kelas. Artinya keempat kelompok kelas mempunyaikemampuan awal yang setara.

Rekapitulasi data kemampuan yang mendeskripsikan penalaran statistismahasiwa dikaitkan dengan faktor kemampuan awal dan program studi adalah sebagai

 berikut: Tabel 4.Rekapitulasi Data Kemampuan Penalaran Statistis

Kemampuan Statistika

Awal 

DataStat.

PembelajaranTotalModel PACE Konvensional

DikNondi

kTota

lDik

NonDik

Total

Atas n 10 8 18 6 9 15 33

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 264/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

257

Rerata 126 114 120.8 87.5 83.56 85.13

104,64

DeviasiStandar

9.49 7.05 14.26 10.97 17.18 14.68

23.01

Level

Penalaran

R R R M+  M M+  R

Tengah

n 16 11 27 8 11 19 33Rerata 94.8

892.27 93.8 77.38 65.73 70.6

384,24

DeviasiStandar

10.59

7.16 9.28 19.66 17.84 19.02

18,11

LevelPenalaran

M+  M+  M+  M M M M+ 

Bawah

n 10 8 18 6 9 15 33Rerata 81.2 72.63 77.39 46.67 62.33 56.0

767,70

DeviasiStandar

14.76

6.67 12.36 24.22 19.85 22.31

20,38

LevelPenalaran

M+ M M U+  M M- M

Total

n 36 27 20 29Rerata 99.7

593,00 71,20 70,21

DeviasiStandar

20,85

19,46 24,27 19,89

LevelPenalaran

M+ M+ M M

Total

n 63 49Rerata 96.83 70.10Deviasi

Standar

20.22 21.75

LevelPenalaran

M+ M

Catatan : Skor ideal adalah 150, KPS = Kemampuan Penalaran StatitisKPS = 0 Prestruktural(P); 0 < KPS ≤ 50 Unistruktural (U);50 < KPS ≤  100 Multistruktural (M); 100 < KPS≤  150 Relasional(R)M+ = Multistruktural yang hampir mendekati RelasionalU+ = Unistruktural yang hampir mendekati Multistruktural

Selanjutnya tabel berikut menyajikan sebaran level penalaran statistis mahasiswa berdasarkan kemampuan awal, model pembelajaran dan program studi.

Tabel 5.

Sebaran Level Penalaran Statisis BerdasarkanProgram Studi dan Model pembelajaran

Program studi Pendidikan Matematika MatematikaTotal

Pembelajaran Konv PACE Total Konv PACE Total PrestrukturalUnistruktural Multistruktural Relasional  

0(0)3(15)16(80)1(5)

0(0)0(0)22(61)14(39)

0(0)3(5)38(68)15(27) 

0(0)7(24)21(72)1(4)

0(0)0(0)19(70)8(30)

0(0)7(13)40(71)9(16) 

0(0)10(9)78(70)24(21)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 265/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

258

Total 20(100)

36(100) 56(100)

29(100)

27(100)

56(100)

112(100)

Keterangan: Data dalam sel a(b) ; a frekuensi , b prosentase

Tabel 6 Sebaran Level Penalaran Statisis Mahasiswa MatematikaBerdasarkan Kemampuan Awal dan model Pembelajaran

Kemampuan Awal Bawah Tengah AtasPembelajaran Konv PACE Konv PACE Konv PACE PrestrukturalUnistruktural Multistruktural Relasional  

0(0)4(44)5(56)0(0)

0(0)0(0)8(88)1(12)

0(0)3(27)8(73)0(0)

0(0)0(0)9(82)2(18)

0(0)0(0)8(88)1(12)

0(0)0(0)2(25)6 (75)

Total 9(100) 9(100) 11(100) 11(100) 9(100) 8(100)Keterangan: Data dalam sel a(b) ; a frekuensi , b prosentase

Untuk mengetahui signifikansi perbedaan kemampuan penalaran statistis

 berdasarkan program studi dan model pembelajaran, digunakan uji ANOVA dua jalur.Hasil perhitungan tersaji pada Tabel 7, 8, 9 dan 10, sedangkan gambaran interaksinyatersaji pada Gambar 3, 4, 5 dan 6.

Tabel 7. ANOVA Skor Rerata Kemampuan Penalaran Statistis Mahasiswa

Berdasarkan Program studi dan Model Pembelajaran 

SumberJumlahKuadrat

dkRerata

KuadratF p-value H0

Prodi 401.6 1 401.6 0.91 0.343 TerimaPembelajaran 17656.8 1 17656.8 39.82 0,000 TolakInteraksi 222 1 222 0.50 0.481 TerimaTotal 67592.3 111

Berikut uraian berdasarkan perhitungan pada Tabel 7, ditinjau dari programstudi, tidak terdapat perbedaan yang signifikan mengenai kemampuan penalaran statistisantara mahasiswa pada prodi matematika dan pendidikan matematika. Ditinjau darimodel pembelajaran terdapat perbedaan yang signifikan mengenai kemampuan penalaranstatistis antara mahasiswa yang memperoleh pembelajaran model PACE dan modelkonvensional. Ternyata tidak terjadi interaksi antara faktor program studi dan model pembelajaran dalam hal kemampuan penalaran statistis mahasiswa. Gambarnya sebagai berikut:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 266/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

259

Gambar 3. Interaksi antara Prodi dan Model Pembelajaran dalam hal kemampuanPenalaran Statistis

Selanjutnya untuk menentukan model pembelajaran yang paling paling baik digunakanuji lanjutan. Diperoleh kesimpulan bahwa mahasiswa di kedua prodi yang memperoleh pembelajarn model PACE lebih baik dari pembelajaran konvensional.

Berikut uraian berdasarkan perhitungan pada Tabel 8, ditinjau dari kemampuanawal statistika (KAS), terdapat perbedaan yang signifikan mengenai kemampuan penalaran statistis antara mahasiswa kelompok bawah, tengah dan atas. Ditinjau darimodel pembelajaran terdapat perbedaan yang signifikan mengenai kemampuan penalaranstatistis antara mahasiswa yang memperoleh pembelajaran model PACE dan modelkonvensional. Ternyata tidak terjadi interaksi antara faktor KAS dan model pembelajarandalam hal kemampuan penalaran statistis mahasiswa. Gambar nya sebagai berikut

Tabel 8. ANOVA Skor Rerata Kemampuan Penalaran Statistis Mahasiswa

Berdasarkan KAS dan Model Pembelajaran 

Sumber JumlahKuadrat

dk RerataKuadrat

F p-value H0

KAS 21728.2 2 10864.1 46.43 0.000 TolakPembelajaran 19280.4 1 19280.4 82.40 0,000 TolakInteraksi 1042.52 2 521.2 2.23 0.113 TerimaTotal 67592.3 111

KAS: Kemampuan Awal Statistika

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 267/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

260

Gambar 4. Interaksi antara Kemampuan Awal Statistika dan Model Pembelajaran dalamhal kemampuan Penalaran Statistis

Berikut uraian berdasarkan perhitungan pada Tabel 9, ditinjau dari kemampuanawal statistika (KAS), terdapat perbedaan yang signifikan mengenai kemampuan

 penalaran statistis antara mahasiswa kelompok bawah, tengah dan atas. Ditinjau dari program studi terdapat perbedaan yang signifikan mengenai kemampuan penalaranstatistis antara mahasiswa prodi matematika dan pendidikan matematika. Ternyata tidakterjadi interaksi antara faktor KAS dan program studi dalam hal kemampuan penalaranstatistis mahasiswa. Gambar nya sebagai berikut:

Tabel 9. ANOVA Skor Rerata Kemampuan Penalaran Statistis Mahasiswa

Berdasarkan KAS dan Program Studi 

SumberJumlahKuadrat

dkRerata

KuadratF p-value H0

KAS 22862.8 2 11431.4 4.63 0.034 TolakProdi 1847.3 1 1847.3 28.65 0,000 TolakInteraksi 693.3 2 346.7 0.87 0.422 TerimaTotal 67592.3 111

KAS: Kemampuan Awal Statistis

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 268/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

261

Gambar 5. Interaksi antara Kemampuan Awal Statistika dan Program Studi dalam halkemampuan Penalaran Statistis

Berikut uraian berdasarkan perhitungan pada Tabel 10, ditinjau dari programstudi, tidak terdapat perbedaan yang signifikan mengenai kemampuan penalaran statistisantara mahasiswa pada prodi matematika dan pendidikan matematika. Ditinjau darimodel pembelajaran terdapat perbedaan yang signifikan mengenai kemampuan penalaranstatistis antara mahasiswa yang memperoleh pembelajaran model PACE dan modelkonvensional. Ditinjau dari kemampuan awal statistika (KAS), terdapat perbedaan yangsignifikan mengenai kemampuan penalaran statistis antara mahasiswa kelompok bawah,tengah dan atas. Ternyata tidak terjadi interaksi antara faktor KAS, program studi, danmodel pembelajaran dalam hal kemampuan penalaran statistis mahasiswa. Gambar nyadisajikan sebagai berikut:

Tabel 10. ANOVA Skor Rerata Kemampuan Penalaran Statistis Mahasiswa

Berdasarkan Prodi (P), Model Pembelajaran (M) dan Kemampuan Awal Statistika(K) 

SumberJumlahKuadrat

dkRerata

KuadratF p-value H0

Prodi (P) 1955,6 1 379 1.70 0,195 TerimaModel Pemb(M) 17522 1 18224 81,89 0,000 TolakKAS (K) 22783,3 2 11034,2 49,58 0.000 TolakInteraksi P*M 226 1 384 1,73 0,192 TerimaInteraksi P*K 676 2 337,5 1,52 0,224 TerimaInteraksi M*K 895,2 2 438,5 1,97 0,145 TerimaInteraksi P*M*K 1280,9 9 640,5 2,88 0,061 TerimaGalat 22253,3 100 222,5Total 67592,3 111

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 269/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

262

Gambar 5. Interaksi antara Kemampuan Awal Statistika dan Program Studi dalam halkemampuan Penalaran Statistis

E. Kesimpulan

Dari hasil penelitian ini dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:1.  Kemampuan penalaran statistis mahasiswa yang memperoleh pembelajaran model

PACE lebih baik daripada pembelajaran konvensional. Katagori kemampuan penalaran statistis pada kedua kelompok pembelajaran model PACE termasuk levelmultistruktural yang hampir mendekati relasional, sedangkan pembelajarankonvensional tergolong level multistruktural.

Hal ini berlaku baik ditinjau berdasarkan nilai rerata hasil tes kemampuan penalaran statistis, maupun berdasarkan telaah sebaran level penalaran individu .

2.  a. Kemampuan penalaran statistis mahasiswa yang memperoleh pembelajaranmodel  PACE   pada kedua program studi tidak berbeda. Level kemampuan penalaran pada kedua kelompok program studi adalah multistruktural.

 b.  Kemampuan penalaran statistis mahasiswa program studi pendidikanmatematika yang mendapat pembelajaran model  PACE lebih baik darimahasiswa yang mendapat pembelajaran dengan model konvensional. Levelkemampuan penalarannya masing-masing multistruktural yang hampirmendekati relasional dan multistruktural.

c.Kemampuan penalaran statistis mahasiswa program studi matematika yangmendapat pembelajaran model PACE lebih baik dari mahasiswa dengan pembelajaran model konvensional. Level kemampuan penalaran keduanya

multistruktural.3.  a. Kemampuan penalaran statistis mahasiswa pendidikan matematika dengan

kemampuan awal rendah yang memperoleh pembelajaran model PACE   lebih baik dari mahasiswa pendidikan matematika dengan kemampuan rendah dansedang dengan model konvensional. Level kemampuan penalaran dari ketigakelompok tersebut adalah multistruktural, unistruktural dan multistruktural.

 b.  Kemampuan penalaran statistis mahasiswa pendidikan matematika dengankemampuan awal menengah yang memperoleh pembelajaran model  PACE  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 270/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

263

lebih baik dari mahasiswa pendidikan matematika dengan kemampuanmenengah dan atas dengan model konvensional. Level kemampuan penalarandari ketiga kelompok tersebut adalah multistruktural.

c.Kemampuan penalaran statistis mahasiswa matematika dengan kemampuan awalrendah yang memperoleh pembelajaran model  PACE   lebih baik darimahasiswa matematika dengan kemampuan rendah dan sedang dengan modelkonvensional. Level kemampuan penalaran dari ketiga kelompok tersebutadalah multistruktural.

d.  Kemampuan penalaran statistis mahasiswa pendidikan matematika dengankemampuan awal menengah yang memperoleh pembelajaran model  PACE  lebih baik dari mahasiswa matematika dengan kemampuan menengah dan atasdengan model konvensional. Level kemampuan penalaran dari ketigakelompok tersebut adalah multistruktural.

F. ImplikasiMelalui penelitian ini terungkap bahwa ditinjau secara keseluruhan, kemampuan

 penalaran statistis mahasiswa yang dalam pembelajarannya menggunakan model PACElebih baik dari mahasiswa yang pembelajarannya menggunakan model konvensional.

Implikasi dari kesimpulan penelitian ini adalah:1.  Pada model pembelajaran yang dikembangkan, stimulus yang dikemas dalam bentukaktivitas mental berupa permasalahan statistika yang berkarakteristik tak terstruktur,dilanjutkan dengan latihan dan proyek menjadi sarana yang efesien dalam rangkaterjadinya konflik kognitif peserta didik sebagai upaya awal untuk mengkontruksi pengetahuan barunya yang selanjutnya dapat meningkatkan kemampuan penalaranstatistis mahasiswa.

2.  Kemampuan penalaran statistis mahasiswa sebagai akibat dari penerapan pembelajaran model  PACE   secara sederhana dapat dilihat dari kemampuan awalstatistika mahasiswa. Makin tinggi kemampuan awal mahasiswa maka makin tinggi pula kemampuan penalaran statistis mahasiswa tersebut.

G.  Saran

Saran-saran yang dapat dikemukakan:1.  Keberhasilan suatu pembelajaran tidak hanya ditentukan oleh hasil belajar tetapi jugaoleh keaktifan mahasiswa dalam proses pembelajaran. Oleh karena itu, seorang dosenyang menerapkan pendekatan pembelajaran model  PACE   perlu mengelola kelasdengan baik agar mahasiswa tetap terlibat secara aktif dalam proses pembelajaran.

2.  Mengetahui tingkat kemampuan awal, serta kemampuan potenial yang dimiliki peserta didik akan sangat membantu menciptakan lingkungan belajar (learningcommunity) yang efektif meningkatkan kecakapan yang diharapkan.

DAFTAR PUSTAKAAinley, J. (2000). Transparency in Graph and Graphing Task. An Iterative Design

Process. Journal of Mathematical Behavior , 19, 365-384

Biggs, J. B. (1992). Modes of learning, forms of knowing, and ways of schooling. DalamM. Shayer & A. Efklides (Eds.), Neo-Piagetian theories of cognitivedevelopment: Implications and applications for education (pp. 31-51). Routledge,London.

Biggs, J. B., & Collis, K. F. (1982). Evaluating the quality of learning: The SOLOtaxonimy. New York, NY: Academic Press.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 271/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

264

Ben-Zvi, D., dan Garfield, J. (2004). Statistical literacy, reasoning, and thinking:Goals,definitions, and challenges. In D. Ben-Zvi & J. Garfield (Eds.), TheChallenge of Developing Statistical Literacy, Reasoning, and Thinking  (pp. 3– 15). Dordrecht,The Netherlands: Kluwer Academic Publishers

Descamps, K. Janssens, D. dan Vanlangendonck, B. (2001). Statistics in Workplace. Nieuwe Wiskrant, 20(1), 4-8

Denzen, Van (2001). On The Perception of Time Trends in Resource Outcome: Its Importance in Fisheries Co-management Agriculture and Whaling . Enschede,the Nedherlands: Twente University

Garfield, J., dan Chance, B (2000). Assessment in statistics education: Issues andchallenges. Mathematics Thinking and Learning, 2, 99-125.

Garfield, J. dan Ahlgren, A. (1988). Difficulties in Learning Basic Concepts in Statistics:Implication for Research.  Journal for Research in Mathematics Education. 11 , pp. 44-63.

Kahneman, D., Slovic, P., dan Tversky, A. (Eds.). (1982). Judgment underuncertainity:Heuristics and biases. New York: Cambridge University Press.

Lecoutre, M. P. (1992). Cognitive Models and Problem Spaces in “ Purely Random”Situations. Educational Studies in Mathematics. 23, 557-568

Lee, C. (1998). An assessment of the PACE strategy for an introductory statisticscourse. Paper presented at the Fifth International Conference on TeachingStatistics, Singapore.

Lee, C. (2000). Computer Assisted Approach for Teaching Statistical Concept. Journal ofComputers in the Schools. 16(1), 193-208.

Lovett, M. (2001). A collaborative convergence on studying reasoning processes: A casestudy in statistics. In D. Klahr & S. Carver (Eds.), Cognition and Instruction:Twenty-Five Years of Progress (pp. 347-384). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Montgomery, D. C. (1991). Design and Analysis of Experiment, 3rd  ed . Singapore: JohnWiley & Sons.

Moore, D. S. (1997). New Pedagogy and New Content: The Case of Statistics . International Statistics Review, 65(2), 123-165

 NCTM [National Council of Teachers of Mathematics] (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston,Virginia: NCTM

Reading, C., dan Reid, J. (2006). A emerging hierarchy of reasoning about distribution:From a variation perspective. Statistics Education Research Journal, 5(2), 46-68.

Shaughnessy, M. (1977) Misconceptions of probability: an experiment with a small-group, activity-based, model building approach to introductory probability at thecollege level. Educational Studies in Mathematics 8(3), 295-316.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 272/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

265

Pengembangan Bahan Ajar Open- Ended  dalam Pembelajaran Matematika

AbstrakOleh: Nurjanah

Dosen Jurusan Pendidikan Matematika UPI Bandung

Pengembangan bahan ajar dengan pendekatan open- ended   dalam pembelajaranmatematika adalah memberikan permasalahan yang bukan rutin yang bersifat terbuka.Sedangkan dasar keterbukaannya (openness) dapat diklasifikasikan ke dalam tiga tipe,yakni: process is open, end product are open dan ways to develop are open. di sekolah.Pendekatan open- ended   bisa memberikan kesempatan kepada siswa untukmenginvestigasi berbagai strategi dan cara yang diyakininya sesuai dengan kemampuanelaborasinya dan juga mengandung potensi yang cukup besar untuk meningkatkankualitas proses hasil pembelajaran matematika karena siswa dituntut untuk berimprovisasimengembangkan metode, cara, atau pendekatan yang bervariasi dalam memperoleh jawaban yang benar.

Kata kunci:Open-ended, process is open, end product are open, ways to develop areopen.A.  LATAR BELAKANG MASALAH

Pendekatan open-ended   merupakan suatu upaya pembaharuan pendidikanmatematika yang pertama kali dilakukan oleh para ahli pendidikan matematika Jepang.Pendekatan ini lahir sekitar 20 tahun yang lalu dari hasil penelitian yang dilakukanShigeru Shimada, Toshio Sawada, Yoshiko Yashimoto, dan Kenichi Shibuya (Nohda,2000). Munculnya pendekatan ini sebagai reaksi atas pendidikan matematika sekolah saatitu yang aktivitas kelasnya disebut dengan ”issey jugyow”  ( frontal teaching ); gurumenjelaskan konsep baru di depan kelas kepada para siswa, kemudian memberikancontoh untuk penyelesaian beberapa soal.

Dalam pembelajaran matematika tradisional, dalam buku sumber maupun guruseringkali terbiasa mengujikan persoalan matematika dengan cara dan jawabannya

tunggal (konvergen, problem tertutup), dan open-ended   persoalan (divergen, problemterbuka). Dengan demikian untuk menghadapi persoalan open-ended  siswa dituntut untuk berimprovisasi mengembangkan metode, cara, atau pendekatan yang bervariasi dalammemperoleh jawaban yang benar. Pada sisi lain, siswa tidak hanya diminta jawaban, akantetapi diminta untuk menjelaskan bagaimana proses untuk mencapai jawaban tersebut.Jadi matematika tidak dipandang sebagai produk semata tapi juga sebagai proses.

Pembelajaran open-ended   bisa memberikan kesempatan kepada siswa untukmenginvestigasi berbagai strategi dan cara yang diyakininya sesuai dengan kemampuanelaborasinya. Studi yang dilakukan oleh Becker dan Shimada (1997) tentang penggunaanopen-ended   problem yang dapat mengarahkan siswa untuk berpikir bebas bagaimana caramereka menemukan sendiri penyelesaian dari suatu masalah. Efektivitas penggunaanopen-ended   problem  juga menurut Becker dan Shimada dapat meningkatkan kualitas pembelajaran matematika dan juga sebagai sarana untuk mengembangkan kemampuan

 berpikir tingkat tinggi.Berdasarkan uraian di atas penulis merasa sangat tertarik untuk mengembangkan

 bahan ajar open-ended dalam pembelajaran matematika.“ Bagaimana mengembangkan bahan ajar open-ended dalam pembelajaranmatematika?”.

B. PEMBAHASAN1.  Prinsip Pembelajaran Open-Ended  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 273/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

266

Formulating a problemmathematically

Investigation various approach tothe formulated problem

Posing advanced problem

Situation A Situation C

Solving 1 New Problem 1

Solving 2 New Problem 2

Solving 3  New Problem 3

Original

Menurut Nohda (2000: 1-39) pembelajaran dengan menggunakan pendekatanopen-ended  mengasumsikan tiga prinsip, yakni sebagai berikut:1.   Related to the autonomy of student’ activities. If requires that we should appreciate

the value of student’ activities of fear of being just non-interfering.2.   Related to evolutionary and integral nature of mathematical knowledge. Content

mathematics is theoretical and systematic. Therefore, the more essential certainknowledge is, the more comprehensively it derives analogical, special and generalknowledge. Metaphorically, more essential knowledge opens the door ahead morewidely. At the same time, the essential original knowledge can be reflected on manytimes later in the course of evolution of mathematical knowledge. This reflection onthe original knowledge is a driving force to continue to step forward across the door.

3.   Related to teachers’ expedient decision-making in class. In mathematics class,teachers often encounter student’s unexpected ideas. In this bout, teachers have animportant role to give the ideas full play, and to take into account that other studentscan also understand real amount of unexpected ideas. 

Jenis masalah yang digunakan dalam pembelajaran melalui pendekatan open-ended   ini adalah masalah yang bukan rutin yang bersifat terbuka. Sedangkan dasarketerbukaannya (openness) dapat diklasifikasikan ke dalam tiga tipe, yakni:  process is

open, end product are open dan ways to develop are open. Prosesnya terbuka maksudnyaadalah tipe soal yang diberikan mempunyai banyak cara penyelesaian yang benar. Hasilakhir yang terbuka, yaitu ketika siswa telah selesai menyelesaikan masalahnya, merekadapat mengembangkan masalah baru dengan mengubah kondisi dari masalah yang pertama asli). Dengan demikian pendekatan ini menyelesaikan masalah dan jugamemunculkan masalah baru ( from problem to problem). Sedangkan situasi dalam pengajaran dengan pendekatan open-ended  adalah sebagai berikut:

2. MENGKONSTRUKSI MASALAHUntuk mengkondisikan siswa agar dapat memberikan reaksi terhadap situasimasalah yang diberikan berbentuk open-ended tidaklah mudah. Biasanya masalah yangdigunakan merupakan masalah non-rutin, yakni masalah yang dikonstruksi sedemikianhingga siswa tidak serta merta dapat menentukan konsep matematika prasarat danalgoritma penyelesaiannya. Sawada, T., 1997 : 28 – 31) mengemukakan bahwa secaraumum terdapat tiga tipe masalah yang dapat diberikan, yakni menemukan pengaitan, pengklasifikasian, dan pengukuran.

 Jenis 1 menemukan hubungan. Siswa diberi fakta-fakta sedemikian hingga siswa dapatmenemukan beberapa aturan atau pengaitan yang matematis. Contohnya sebagai berikut:

Team Main Menang Kalah Seri Nilai Rasio

menangA 25 16 7 2 50 0.696B 21 11 8 2 35 0.579C 22 9 9 4 31 0.500D 22 8 13 1 25 0.381E 22 6 13 3 21 0.316

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 274/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

267

Tabel diatas menunjukan catatan lima team sepak bola. Coba cari pengaitan atau aturanyang menghubungkan antara nilai-nilai pada kolom-kolom tersebut. Tuliskan cara ataustrategi penyelesaianya !

 Jenis 2 Menklasifikasi. Siswa ditanya untuk mengklasifikasi yang didasarkankarakteristik yang berbeda objek dari beberapa objek tertentu untuk memformulasi beberapa konsep matematika. Contohnya sebagai berikut :Perhatikan gambar bangun ruang berikut:

Pilih satu atau lebih bangun yang memiliki ciri atau karakteristik sama dengan gambar bangun B dan tuliskan cirri-ciri yang sama tersebut.

 Jenis 3 Pengukuran. Siswa diharapkan menggunakan pengetahuan dan keterampilanmattematika yang telah dipelajari. Contohnya sebagai berikut :

A. B. C.

Misalkan tiga orang siswa melemparkan 5 buah kelereng, yaitu hasilnyanampak pada gambar diatas. Dalam permainan ini, pemenangnya adalah siswa yang pancaran hasil lemparannya terkecil. Pikirkan berapa cara yang dapat dilakukan untukmenentukan derajat pencaran.

Soal-soal yang diberikan sebaiknya mempertimbangkan waktu pengerjaan,

keterwakilan materi, dan tingkat kesukaran soal. Soal yang baik dapat mengarahkan siswa pada pengembangan belajar selanjutnya.

Menurut Shimada (1997) kegiatan pembelajaran matematika dengan pendekatanopen-ended dapat dilakukan melalui strategi cooperative learning. Berikut adalahkegiatannya:

(a)  Aktivitas belajar dimulai dengan memunculkan masalah dari dunia nyata untukdiselesaikan.

AB

D

C

EF

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 275/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

268

(b)  Masalah pada dunia nyata tidak sepenuhnya harus emprik, tetapi mungkin berupadunia konseptual.

(c)  Masalah tersebut kemudian ditranslasikan ke dalam bahasa matematika melaluiabstraksi, idealisasi dan simplikasi (abstrak, ide/angan-angan).

(d)  Penggunaan teori matematika dalam mencari penyelesaian masalah dengan caramembuat hipotesisnya

(e)  Dilakukan percobaan untuk memformulasikan masalah dengan cara berfikir yangdisebut axiomatisasi.

3. Pendekatan Open – Ended  dalam Pembelajaran MatematikaDalam makalah ini penulis akan memberi contoh bagaimana siswa dapat

mengkontruksi pengetahuannya sehingga kemampuan konseptualnya dapat terbentuk.Pada pembelajaran mencari luas daerah lingkaran, siswa ditugaskan membawa berbagai benda yang permukaannya berbentuk lingkaran. Setelah itu benda tersebutdijiplak pada kertas karton. Tugas selanjutnya, siswa disuruh menggunting lingkaranitu menjadi beberapa juring dan disuruh untuk membuat bangun datar dari potongan juring- jring tersebut. Selanjutnya siswa disuruh membuktikan bahwa luas daerahlingkaran adalah πr 2 .

Di bawah ini adalah hasil pekerjaan siswa dalam membuktikan luas daerah lingkaran.

Luas daerah lingkaran = Luas daerah segitiga= ½ x alas x tinggi 

= ½ x ( ¼ x keliling lingkaran) x 4r= ½ x 2πr x r= πr 2 

1

23

4

9

1214

16A B

¼ keliling 

4 r  

56

7

8

10

1113

15

119 10

13

15 16

14

12

21 3

5

7

8

64

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 276/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

269

Luas daerah lingkaran = Luas daerah trapesium

= t ba × 

  

    +

= t ba ×       +2  

Karena, a + b = ½ keliling lingkaran dan t = 2 × jari-jari, maka:L:uas daerah lingkaran = ½ × ½ × 2πr × 2r  

= πr 2 

Luas daerah lingkaran  = Luas daerah belah ketupat= ½ × diagonal1 × digonal2 = ½ × ¼ × keliling × 4r

= ½ × keliling × r= ½ × 2πr × r= πr 2 

Contoh lain yaitu topik tentang relasi dan fungsi. Siswa diberi gambar kumpulan binatang. Siswa disuruh untuk mengelompokan binatang berdasarkan jenis makanananyaseperti gambar di bawah ini.

Pokok bahasan: Pengertian relasi, cara menyatakan relasi dengan diagram panah,himpunan pasangan terurutdan diagram Cartesius .

1

2

34

9

1214

16A B

2 r  

56

7

8

10

1113

15

1 2 3 4

8765

9 10 11 12 13

161514

1

2

3

4

5 6

7 8

1

2 3

4

5

67

8

A B

B2

4r  

¼ keliling 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 277/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

270

1.  Amatilaha.  yang kalii!

Amati gambar- gambar binatang di atas. Kelompokkan binatang-binatang tersebutmenjadi beberapa himpunan. Buatlah relasi yang mungkin dari himpunan- himpunantersebut kemudian nyatakan dengan menggunakan cara yang kalian ketahui. Dari permasalahan ini siswa dapat membuat relasi dengan cara yang berbeda- beda tetapi jawabannya benar.

C.PENUTUPPembelajaran dengan pendekatan open- ended   dapat mempengaruhi aktivitas

 belajar siswa dalam kelas. Berdasarkan pengalaman penulis mengamati pembelajaran

matematika di kelas dengan pendekatan open- ended dapat disimpulkan: (1).siswa terlibataktif dalam mengkonstruk pengetahuan matematika, (2) dapat meningkatkan kemampuan penalaran adaptif siswa, (3) lebih membuat siswa bebas dalam menentukan jawabansesuai dengan konsep-konsep matematika lain yang telah dikuasainya dan memperolehvariasi jawaban serta cara mendapatkan jawaban tersebut yang masing-masingkebenarannya dapat diuji, (4) membuat siswa mandiri dalam menyelesaikan permasalahan matematika dan aktivitas siswa lebih terfokus kepada pembelajaran yangdilaksanakan. (5) memberikan kesempatan lebih luas khususnya pada siswa yang

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 278/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

271

 prestasinya kurang untuk dapat menyelesaikan soal-soal dengan menggunakan caranyasendiri, (6) memberikan kesempatan kepada siswa untuk mmemperoleh pengalaman lebih banyak dalam upaya menemukan cara-cara efektif dalam menyelesaikan masalah dengandibantu oleh gagasan-gagasan dari teman-temannya. Namun tidak menutup mata bahwa pendekatan open- ended   juga memiliki kekurangan , diantaranya: (1) sulit menciptakanmasalah matematis yang baik dan representatif, (2) siswa yang memiliki prestasi lebihtinggi, terkadang cenderung akan ragu-ragu dengan jawabannya, (3) siswa yang merasakesulitan dalam menyelesaikan soal dengan cara tertentu, cenderung akan merasa kurang puas walaupun ia telah dapat menyelesaikan soal dengan cara lain, karena dalam pendekatan open- ended   parameter-parameter matematik senantiasa masihmemungkinkan untuk dikembangkan lebih lanjut.

Demikian isi makalah ini, mudah- mudahan dapat menjadi inspirasi buat guru-guru di lapangan dalam mengajarkan matematika serta menjadi wacana buat praktisi dilapangan dalam membuat buku ajar.

DAFTAR PUSTAKA

Becker, J.P. dan Shimada, S. (1997). The Open-Ended Approach: A New Proposal forTeaching Mathematics. Virginia: NCTM.

 Nohda. (2000). Teaching by Open-Approach Method in Japanese MathematicsClassroom. In. T. Nakahara & M. Koyama (Eds.).  Proceeding of the 24th Conference of International Group Of Mathematics Education, Vol 4(pp. 145-152). Hirosima: Hirosima University.

 Nurjanah, Afgani, J., Rohayati, A. (2009).  Pengembangan Bahan Ajar Open- Endeddalam Meningkatkan Kemampuan Penalaran, Komunikasi, dan Pemecahan Masalah Matematik di SMP. Penelitian Hibah Bersaing: Dikti

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 279/537

 

BIDANG KAJIAN : ANALISIS 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 280/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

272

PENGEMBANGAN RUANG FUNGSI KLASIKOleh:

Encum SumiatyFPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bandung

e-mail: [email protected] 

Abstrak

Diketahui ruang fungsi klasik ),0(   ∞ p L . Melalui operator T pada ruang fungsi klasik

),0(   ∞ p L . akan dibentuk sebuah ruang fungsi baru yang dinamai ruang fungsi Cesaro

 pCES  . Selanjutnya, pada karya tulis ini dipaparkan pula bahwa ruang fungsi Cesaro

merupakan ruang yang lengkap terhadap norm yang didefinisikan padanya, mempunyaisifat solid, dan terbagi.

 Kata Kunci: Ruang fungsi klasik ),0(   ∞ p L  , Operator, Ruang fungsi Cesaro  pCES  ., sifat

 solid,

dan sifat terbagi.

A PENDAHULUANKajian mengenai pembentukan ruang barisan ataupun pembentukan ruangi fungsi

 berkembang cukup pesat, diantaranya Unoningsih [7], Sumiaty [6], dan Herdi [1]. Selainitu, melalui ruang yang terbentuk karena peran operator dapat ditemukan beberapa sifatyang dapat diturunkan dari ruang asalnya.

Berdasarkan hal di atas maka penulis termotivasi untuk melakukan kajiantentang ruang fungsi, khususnya ruang fungsi klasik ),0(   ∞ p L yang dimodifikasi, yaitu

dengan cara mengoperasikan suatu operator linier T pada ruang fungsi klasik ),0(   ∞ p L  

yang selanjutnya dapat ditemukan hubungan antara ruang fungsi klasik ),0(   ∞ p L  denganruang fungsi yang terbentuk, yang selanjutnya disebut sebagai ruang fungsi Cesaro.

Pembahasan mengenai suatu ruang fungsi baru selalu dikaitkan dengan pembentukannya, dan sifat-sifat yang berlaku pada ruang fungsi tersebut. Oleh karena itu,yang menjadi kajian utama dalam karya tulis ini adalah bagaimana definisi ruang fungsi

yang baru (ruang fungsi Cesaro) yang dikaitkan dengan ruang fungsi klasik ),0(   ∞ p L ,

dan menelusuri sifat-sifat yang berlaku pada ruang fungsi baru (ruang fungsiCesaro).Secara khusus, masalah tersebut dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu:1. Bagaimana definisi ruang fungsi Cesaro2. Sifat-sifat apa yang berlaku pada ruang fungsi Cesaro.

B. Teori PendukungPada bagian ini diberikan beberapa teori pendukung yang menunjang pembuktian

materi yang akan dikaji.

1. Norma, Ruang Bernorma, dan Ruang Banach

Definisi  1 ( Norma, Ruang Bernorma, Ruang Banach ) Diberikan X suatu ruang vektor.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 281/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

273

(i) Sebuah norma pada ruang X yang dinotasikan dengan .  adalah fungsi yang

memetakanunsur-unsur di X keR  , sehingga untuk setiap x, y •  X dan a • R memenuhi:

(N1) || x || 0 , dan || x||=0•  x=0(N2) || x ||=||• || x |

(N3) || x+ y||!|| x||+|| y||(ii) Ruang vektor X yang dilengkapi dengan .   disebut ruang bernorma yang

dinotasikandengan ( X , ||• ||) atau X .

(iii) Ruang bernorma X (( X , ||• ||)) disebut ruang Banach jika untuk setiap barisanCauchy

 pada X konvergen di X . Dengan kata lain X ruang bernorma yang lengkap.

Hubungan antara ruang metrik dengan ruang bernorma dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema 2

 Jika X ruang bernorma maka X ruang metrik .Dengan mendefinisikan suatu fungsi d ( x, y)=|| x" y|| maka fungsi tersebut jelas akanmemenuhi syarat dari suatu metrik

Teorema 3 (Kelengkapan L p (0, #) Ruang fungsi klasik Lp (0,#), 1< p<# adalah ruang fungsi bernorma yang lengkap.

2. Himpunan Solid

Defi nisi 4 Diberikan X suatu himpunan tak kosong.. X dikatakan solid jika | y| ! | x| untuk suatu x • X mengakibatkan y•  X.

3. Himpunan Padat dan Ruang Terbagi

Defi nisi 5 (H impunan Padat )

D iberikan X suatu ruang metrik. Sebuah himpunan bagian M dari X dikatakan padat di X jika M = X . Dengan M menyatakan penutup dari M . Defin isi 6 (Ruang Terbagi) Diberikan X suatu ruang metrik . X dikatakan terbagi (separable) jika memiliki himpunanbagian terhitung (countable) yang padat di X .

4. Ekuivalensi Norma pada Ruang Bernorma

Defi nisi 7 (Ekui valensi Norma)Sebuah norma || .|| pada sebuah ruang vektor X dikatakan ekuivalen dengan sebuah

norma|| .||0  di X jika terdapat bilangan positif a dan b sedemikian sehingga untuk setiap x •  Xberlaku a|| x||0 ! || x|| ! b|| x|| .

5. Fungsi TerukurSebelumnya akan diberikan terlebih dahulu definisi dari fungsi tangga.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 282/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

274

Defi nisi 8 (Fungsi Tangga) Misalkan I • R  adalah sebuah interval dan misalkan s: I $ R  . Fungsi s disebut fungsitangga jika s hanya memiliki berhingga nilai berbeda, setiap nilai diasumsikan pada satuinterval atau lebih.

Berikut ini adalah definisi dari fungsi terukur.

Defi nisi 9 (Fungsi Terukur )

Sebuah fungsi f :[a,b] $ R  dikatakan terukur jika terdapat sebuahbarisan fungsi tangga { sk  }  pada [a,b] sehingga )(lim)(  x s x f  k 

k    ∞→=  untuk setiap x • [a,b]. 

C. PEMBAHASAN

1. Pembentukan Ruang Fungsi CesaroMisal A adalah suatu operator linear dan Y  adalah sebuah ruang fungsi.

Didefinisikan ruang baru X, }:{: Y  Af  f  X    ∈= . Asumsikan bahwa pemetaan dari X  ke Y  

adalah satu-satu dan surjektif.

Proses pembentukan ruang fungsi Cesaro dinyatakan dalam definisi berikut.Defi nisi 1

 Misal }:{: Y  Af  f  X    ∈= . X disebut ruang fungsi Cesaro yang dinotasikan dengan CES  p

 jika A adalah operator linear T dengan

dt t  f  x

 x f T  x

∫ =0

)(1

)({   dan ∞<<∞=  p LY   p 1,),0(  

Dengan kata lain ),0(   ∞∈  p L f   jika dan hanya jika

∞<

   

  

 ∫ ∫ ∞

 p p

dxdt t  f  x

/1

0

)(1

 

Berdasarkan Definisi 1 di atas menunjukkan bahwa ruang fungsi Cesaro memuat semuafungsi terukur f sehingga jika ditransformasikan oleh operator T  terdapat pada ruang

fungsi klasik .),0(   ∞ p L  

Contoh 1Fungsi f dengan 1)(0   <≤ t  f    dan turun untuk semua ),0(   ∞∈t  adalah anggota dari

ruang fungsi Cesaro CES  p. Sebagai contoh f(t) = 0 untuk semua ),0(   ∞∈t   adalah

anggota dari ruang fungsi Cesaro CES  p, sebab

= f    ∞<=

  

 

 

 

 =

  

 

 

 

 ∫ ∫ ∫ ∫ 

  ∞∞

001

 )(1

/1

0

/1

0

 p p p p

dxdt  x

dxdt t  f  x

 

Contoh 2Bila fungsi f dengan 1)(   ≥t  f   dan tidak turun untuk semua ),0(   ∞∈t   bukan anggota dari

ruang fungsi Cesaro CES  p.. Misal t t  f  2)(   =  untuk semua ),0(   ∞∈t    bukan anggota

dari ruang fungsi Cesaro CES  p, sebab

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 283/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

275

= f     

  

 =

   

  

 =

   

  

 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 

  ∞∞∞

0

/1

0 0

/1

0 0

21

 )(1

dx xdxdt t  x

dxdt t  f  x

 p

 p p x p p x

= ∞ 

2. Kelengkapan Fungsi Cesaro

Pada fungsi Cesaro didefinisikan fungsi.

,

= f 

 p p x

dxdt t  f  x

/1

0 0

)(1

   

  

 ∫ ∫ ∞

 

Dapat ditunjukkan bahwa fungsi  .  yang didefinisan di atas adalah suatu norma, sebab

untuk setiap f, g ∈ CES  p dan skalar α berlaku:

(N1 ) = f  0)(1

/1

0 0

   

  

 ∫ ∫ ∞

 p p x

dxdt t  f  x

 sebab 0)(   >≥t  f   

dan0= f    0)(   =⇔ t  f   untuk semua ),0(   ∞∈t   

(N2) = f α

 p p x p p x

dxdt t  f  x

dxdt t  f  x

/1

0 0

/1

0 0

)(1

 )(1

   

  

 =

   

  

 ∫ ∫ ∫ ∫ 

  ∞∞

αα  

=

 p p x

dxdt t  f  x

/1

0 0

)(1

   

  

 ∫ ∫ ∞

α  

=

 p p x p

dxdt t  f  x

/1

0 0)(

1

   

  

 

∫ ∫ ∞

α  

=

 p p x

dxdt t  f  x

/1

0 0

)(1

   

  

 ∫ ∫ ∞

α  

=  f .α  

(N3) =+ g  f 

 p p x

dxdt t  g  f  x

/1

0 0

))((1

   

  

 +∫ ∫ 

 

≤  +

     

 ∫ ∫ ∞

 p p x

dxdt t  f  x

/1

0

)(1

 p p x

dxdt t  g  x

/1

0 0

)(1

   

   ∫ ∫ 

 

=  g  f   +  

Karena norma yang didefinisikan memenuhi ketiga aksioma norma, maka ruang fungsiCesaro CES  p merupakan ruang bernorma.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 284/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

276

Selanjutnya akan dibahas mengenai kelengkapan ruang fungsi Cesaro CES  p  yangdituangkan pada teorema berikut.

Teorema 2

 Ruang fungsi Cesaro CES p adalah ruang fungsi bernorma yang lengkap (ruang Banach).

Bukti.Misalkan { y m } adalah barisan Cauchy di CES p . Diberikan sembarang! > 0, terdapat bilangan asli N sehingga untuk semua m,n> N berlaku

ε<

−=− ∫ 

∞  p

 p

nmnm dxt  yt  yT t  yt  y

/1

0

)()()()(  

ε

ε

ε

<−⇒<−⇒

<−⇒ ∫ ∞

)()(

)()(

)()(0

t  yt  yT 

t  yt  yT 

dxt  yt  yT 

nm

 p pnm

 p p

nm

 

Karena ),0(   ∞ p L merupakan ruang lengkap, maka ada y(t ) ∈  ),0(   ∞ p L  sehingga

)()( t  yt  ym   → untuk m → ∞. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa y(t ) ∈ CES p.

∫ ∫ ∫    +−≤⇒

+−≤+−= x

m

 x

m

 x

mmmm

dt t  ydt t  yt  ydt t  y

t  yt  yt  yt  yt  yt  yt  y

000

)()()()(

)()()()()()()(

 

)()()()(

)(1

)()(1

)(1

000

t  yT t  yt  yT t  yT 

dt t  y

 x

dt t  yt  y

 x

dt t  y

 xmm

 x

m

 x

m

 x

+−≤⇒

+−≤⇒ ∫ ∫ ∫  

Karena ),0()(   ∞∈  pm  Lt  yT   dan karena ),0(   ∞ p L merupakan ruang lengkap maka

∞<− )()( t  yt  yT  m . Akibatnya ∞<)(t  yT  . Hal ini berarti bahwa )(t  yT    ∈  ),0(   ∞ p L .

Dengan kata lain bahwa y(t ) ∈ CES p. Karena setiap barisan Cauchy { y m } di CES pkonvergen ke y(t ) ∈ CES p , maka ruang fungsi Cesaro CES p merupakan ruang yanglengkap (lengkap Banach)

3. Sifat-sifat Ruang Fungsi CesaroBerikut ini akan dibahas mengenai sifat yang diwariskan dari ruang fungsi klasik

),0(   ∞ p L ke ruang fungsi yang baru terbentuk, yaitu ruang fungsi Cesaro CES p .

Teorema Ruang fungsi Cesaro CES p adalah ruang solid.Bukti:

Misalkan  pCES  f  ∈ , maka ),0(   ∞∈  p L f T  , denan

∞<= ∫  x

dt t  f  x

 x f T 0

)(1

))((  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 285/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

277

Jika )()( t  f t  g    ≤  untuk setiap ),0(   ∞∈t  , maka

∞<≤= ∫ ∫  dt t  f  x

dt t  g  x

 x g T  x x

00

)(1

)(1

))((  

Hal ini berarti bahwa ),0(   ∞∈  p L g T  . Dengan kata lain  pCES  g ∈  

Terbukti bahwa CES merupakan ruang solid.

Teorema 3 Ruang fungsi Cesaro p CES adalah ruang terbagi (separable).Bukti:Misalkan W adalah ruang dari semua fungsi terukur bernilai rasional (0,∞) sehingganorma

 p p

dxdt t  f  x

/1

0 0

)(1

   

  

 ∫ ∫ ∞

konvergen

Akan ditunjukkan bahwa W merupakan subruang dari ruangCES p , yaitu dengan

menunjukkan bahwa W merupakan ruang bernorma.Diambil sebarang  f, g ∈ W dan skalar α, diperoleh

(N1 ) = f  0)(1

/1

0 0

   

  

 ∫ ∫ ∞

 p p x

dxdt t  f  x

 

dan

0= f    0)(   =⇔ t  f   untuk semua ),0(   ∞∈t  , sebab

= f  0 ⇔ 

 p p x

dxdt t  f  x

/1

0 0

)(1

   

  

 ∫ ∫ ∞

= 0

⇔ 

 p x

dt t  f  x      

    ∫ 

0

)(1 = 0

⇔ ∫  x

dt t  f  x 0

)(1

 = 0 (karena ),0(   ∞∈ x , maka x ≠ 0

⇔  )(t  f   = 0

⇔  f (t  ) = 0

(N2) = f α

 p p x p p x

dxdt t  f  x

dxdt t  f  x

/1

0 0

/1

0 0

)(1

 )(1

   

  

 =

   

  

 ∫ ∫ ∫ ∫ 

  ∞∞

αα  

=

 p p x

dxdt t  f  x

/1

0 0

)(1

   

  

 ∫ ∫ ∞

α  

=

 p p x p

dxdt t  f  x

/1

0 0

)(1

   

  

 ∫ ∫ ∞

α  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 286/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

278

=

 p p x

dxdt t  f  x

/1

0 0

)(1

   

  

 ∫ ∫ ∞

α  

=  f .α  

(N3) =+ g  f 

 p p x

dxdt t  g  f  x

/1

0 0

))((1

   

  

 +∫ ∫ 

 

≤  +

   

  

 ∫ ∫ ∞

 p p x

dxdt t  f  x

/1

0 0

)(1

 p p x

dxdt t  g  x

/1

0 0

)(1

   

  

 ∫ ∫ ∞

 

=  g  f   +  

Karena norma yang didefinisikan memenuhi aksioma norma (N1), (N2), dan (N3), makaW merupakan subruang fungsi bernorma.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa W padat di CES p.Perhatikan himpunan dari semua fungsi bernilai rasional dan semua titik akumulasinya

yaitu fungsi bernilai irrasiona W  , sehingga membentuk ruang fungsi CES p, Ini berarti

W = CES p, Berdasarkan definisi, maka CES p  merupakan ruang terbagi

DAFTAR PUSTAKA

Herdi (2006) Ruang Fungsi Cesaro. Sripsi.

H.L.Royden (1989). Real Analysis (third Edition). New York:Macmillan Publishing Company.

I.J. Maddox (1970). Element of Funcional Analysis . London:

Cambridge Univ. Press.

L.P Yee (1984). Cesaro Sequence Spaces . Journal vol 13, 29-45,Victoria University.

Sumiaty (2006) Pengembangan Ruang Barisan Klasik

Unoningsih and L.P. Yee (1993). Bounded Additi veFunctionals , Journal, 547.

R. G. Bartle (1999). I ntr oduction to Real Analysis (third Edition). New York: John Wiley & Sons.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 287/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

279

 p

CX

B

MATERI GEOMETRI DALAM INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD

SoewonoFakultas Sains – Institut Teknologi Telkom

e-mail : [email protected] 

AbstrakSalah satu materi International Mathematical Olympiad (IMO) adalah Geometri.

Konsep yang mendasarinya adalah Geometri-Euclidean, dengan cakupan mayormengenai konfigurasi yang ada pada segitiga dan lingkaran.

Untuk mencari solusi soal geometri, dapat dipakai cara : murni geometri,trigonometri, analitik, aljabar, teori bilangan, dan kombinatorika.

Dalam paparan materi ini, dibahas bebeapa teorema, antara lain : Erdös-Mordell;Pedoe inequality; Weitzenbock; Cantor; Nine-point-circle; Garis Euler, Feuerbach;Fagnano dan Schwarz problem; Segitiga pedal, Garis Simson; dan teorema klasik yang paling tua yaitu Menelaus dan Ceva.

DARI TEOREMA STEWART KE TEOREMA ERDÖS-MORDELL

A.  Teorema StewartJika cevian AX panjangnya p, membagi BC menjadi segmen BX = m dan segmenXC = n, maka :

Bukti :

1) 

2) 

……..(2)

, substitusikan pada persamaan (2)

maka diperoleh :

atau

Jadi,

Beberapa hal yang dapat terjadi pada teorema Stewart :1.  Jika , maka cevian menjadi garis berat/median, berarti

, dengan lain perkataan X terletak di tengah-tengah BC. Notasi

ditulis sama dengan yang berarti panjang garis berat dari titik

sudut A. Teorema Stewart, menjadi teorema garis berat :

dimana a, b, dan c menyatakan panjang sisisegitiga ABC.

Analog, dapat dicari :atau

i

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 288/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

280

 N

M

CLB

P

2.  Selanjutnya, apabila , maka cevian menjadi garis tinggi segitiga

ABC, yang dinyatakan dengan notasi .

Jadi,

3.  Apabila cevian membagi sudut , maka merupakan garis bagi.

Menurut kaidah sinus :

dan

Dari kedua persamaan terakhir, diperoleh :

dan

Panjang , biasanya diberi notasi , dengan demikian

B.  Segitiga PedalAndaikan suatu titik terletak di dalam segitiga ABC, selajutnya melalui dibuat

garis tegak lurus pada sisi-sisi , dan ; masing-masing titik potongnya pada

sisi tersebut adalah dan .

Definisi:Segitiga disebut segitiga pedal

dari segitiga , dan titik disebut“titik pedal”

Sudut siku-siku di dan , memberikan indikasi bahwa titik-titik dan

terletak pada satu lingkaran dengan diameter .

Dengan lain perkataan, titik terletak pada circumcircle dari segitiga .

Pada segitiga , berlaku hubungan , analog dalam segitiga ;

, sehingga diperoleh hasil .

Analog :

dan

Pertanyaan, apa yang terjadi, jika ?

1.  Jika circumradius dari segitiga pedal , maka : ,tetapi . Sehingga diperoleh :

2.  Jika adalah incentre, maka dengan demikian

A

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 289/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

281

A

B CD

EF

H

Jadi,

•  Selanjutnya, dapat dikembangkan bahwa dalam segitiga pedal , berlaku:

•  Apa yang terjadi jika terletak pada circumcircle dari segitiga ?

C.  Segitiga Orthic (orthic triangle)Garis-garis tinggi , dan dari segitiga adalah konkuren, artinya ketiga

garis tinggi tersebut bertemu di satu titik. Titik konkurensinya diberi notasi , disebut

orthocentre dari segitiga .

Segitiga yang dibentuk oleh kaki-kaki dari garis tinggi segitiga disebutsegitiga orthic.Timbul pertanyaan apakah segitiga orthic pasti merupakan segitiga pedal? Atausegitiga pedal adalah segitiga orthic?Dapat dibuktikan bahwa di antara segitiga yang ada di dalam suatu segitiga, hanyasegitiga orthic yang mempunyai keliling minimal. Dari sini muncul Fagnano’s problem dan Schwarz’s problem.Lemma : Misalkan diberikan segitiga dan andaikan pula bahwa dan

adalah titik kaki dari garis tinggi masing-masing pada sisi dan

yang ditarik dari titik sudut dan

Maka dapat dibuktikan, bahwa, segitiga – segitiga dan

adalah sebangun.

Bukti : Perhatikan quadrilateral

Dari sini, disimpulkan ,

Analog : danSebagai latihan, dapat dibuktikan bahwa :

a)   b)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 290/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

282

A

BCD

EF

H

A1

BC1

O

A

B C

 NM

L

X YB1

PC1

Segitiga Medial (medial triangle)

Segitiga yang dibentuk dari menghubungkan titik tengah dari sisi-sisi segitiga,disebut segitiga medial.

Pada gambar di samping, segitiga

merupakan segitiga medial dari segitiga

disebut centroid

disebut orthocentre, dan

orthocentre dari segitiga disebut

Perhatikan segiempat à   parallelogram, dengan demikian dan

saling membagi, artinya à   dan dengan

demikian : dan mempunyai centroid yang sama, yaitu .

Orthocentre dari sama dengan circumcentre dari , yaitu

; karena dan , keduanya saling tegak lurus pada , jadi

, , jadi : titik – titik kolinear dan

.

Garis yang menghubungkan ketiga titik disebut garis EULER.Corollary : Centroid membagi jarak dari orthocentre ke circumcentre dalam

 perbandingan 2:1

D.  Lingkaran Sembilan Titik (Nine-point circle)

 Nine-point circle adalah nama lingkaran yang diberikan oleh O. Terquem, versiPerancis menyebut Euler-circle dan versi Jerman member nama Feuerbach-circle. Nine-point circle, terkait dengan Sembilan titik penting yang ada pada segitiga.Definisi : Suatu lingkaran melalui titik tengah dari sisi-sisi segitiga dan melalui

titik kaki dari garis tinggi serta titik tengah dari segmen garis yangmenghubungkan orthocentre dengan titik sudut segitiga, disebutlingkaran Sembilan titik.

Teorema : Titik pusat dari lingkaran sembilan titik terletak pada garis Euler, pertengahan antara orthocentre dan circumcentre.

Dari konsep nine-point circle muncul teorema Feuerbach dan teorema Cantor.

E.  Teorema Erdös – MordellAndaikan suatu titik di dalam segitiga . Jika berturut-turut

menyatakan jarak dari ke sisi-sisi segitiga , maka :

Bukti :Buat garis yang melalui titik , sejajar dengan

; memotong sisi dan berturut-turut di

dan .

dan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 291/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

283

Menurut, segitiga pedal :

tetapi : dan

dengan demikian,

 berarti :

Maka :

Selanjutnya, gunakan , maka :

UNSUR – UNSUR SEGITIGA

Menelaus points, Centroid, Circumcenter, Incenter,Excenters, Orthocenter, Pedal point, Nagel point,

Gergonne point, Fermat point, Steiner point,Torricelli point, Lemoine point, Brocard point,

Isogonal Conjugates, Nine-point center

Cevians, Dividends,Medians, Altitudes,Internal Bisectors,Eksternal Bisectors,PerpendicularBisectors, Euler line,Pascal line, Simson

Incircles,Excircles, Area,

Perimeter,Circumcircle,

Inradius, Exradii,Circum radius

Egyptian triangle, Heronian triangle,Pedal triangle, Medial triangle, Orthic

triangle, Napolean (inner & outer)triangle, Apollonius circle, Tritangent

circle, Nine-point circle

SEGITIGAADALAH POLIGONSENGAN TIGA SISI

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 292/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

284

METODE MEMECAHKAN MASALAH

REDUCTIO AD

BACKWARDMOVEMENT

FOREWARDMOVEMENT

METODE MEMECAHKANMASALAH DALAM

GEOMETRI

PUREGEOMETR 

 

TRIGONOMETR  

COMBINATORIC 

ALGEBRA NUMBERTHEORY

ANALYTICGEOMETR 

THEOREMS

Pythagoras, Ceva,Menelaus, Law ofSines, Law ofCosines, Pappus,Morley, Stewart,Heron, Leibniz,Desarque, Triangleinequality, VarignonButterfly, Ptolemy,Viviani Pascal,Brahmagupta, CarnotMiquel, Napolean,Steiner, Steiner-Lehmus, Euler,Simson

Caunchy-SchwarzErdös-Mordell

Pedoe’sinequality Chord,

Secant, Power point Jensen’sinequality, AM-GM-HM-QM

inequality,Feuerbach,

Cantor

Ravi-substitution,Viete, Chebyshev

 Nesbitt’s inequality

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 293/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

285

DAFTAR PUSTAKACoxeter, H.S. M and Greitzer, S. L. 1967. Geometry Revisited 7 th  edition.  The

Mathematical Association of America.

Engel, Arthur. 1998. Problem-Solving Strategies. New York : Springer-Verlag, Inc.

Eves, Howard. 1972. A Survey of Geometry, revised edition. Allyn and Bacon, Inc.

Larson, Loren C. 1983.  Problem-Solving Through Problems.  New York : Springer-Verlag, Inc.

Wallace, Edward C., West, Stephen F. 1998. Roads to Geometry 2nd edition. Prentice-HallInc.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 294/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

286

TRANSFORMASI LINEARPADA RUANG SELISIH BARISAN BILANGAN

Cece KustiawanJurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

ABSTRAK

Dalam karya tulis ini didefinisikan ruang barisan l  ∞  (himpunan barisan bilangan

yang terbatas), c (himpunan barisan bilangan yang konvergen) dan c0 (himpunan barisan bilangan yang konvergen ke nol), sebagai berikut ;

l ∞≥

→∞

→∞

= = < ∞

= =

= = =

{ { }: sup }

{ { }: lim }

{ { }: lim }

x x x

c x x x ada

c x x x

k k 

k k 

k k 

1

0 0

 

Selanjutnya didefinisikan barisan selisih bilangan tingkat satu dari ruang barisan di atas

sebagai berikut ;

}cx:}x{x{)(c

}cx:}x{x{)(c

}x:}x{x{)(

0k 0

∈∆==∆∈∆==∆∈∆==∆   ∞∞   ll

 

dengan }xx{}x{x 1k k k    +−=∆=∆  

Dan akhirnya didefinisikan barisan selisih bilangan yang diperumum yaitu tingkat ke-p, p∈ N dari ruang barisan di atas sebagai berikut ;

l l∞ ∞= = ∈= = ∈

= = ∈

( ) { { }: }

( ) { { }: }

( ) { { }: }

∆ ∆∆ ∆

∆ ∆

 pk 

 p

 pk 

 p

 pk 

 p

x x x

c x x x c

c x x x c0 0

 

dengan ∆ ∆ ∆ ∆ p pk 

 pk 

 pk x x x x= = −− −

+{ } { }1 11  dan ∆ p

k  j

k j j

 p

x  p j

x= −         

     +

=∑ ( )1

0

 

Ketiga ruang barisan selisih bilangan tersebut, yaitu l  ∞ ( )∆ p , c  p( )∆   dan c  p0 ( )∆  

masing-masing merupakan ruang Banach terhadap norm x x x p ii

 p  p∆   ∆= +

=   ∞∑ 1 dan

sekaligus mereka merupakan ruang BK (Banach Kontinu).Kemudian dicari karakteristik suatu matriks agar merupakan transformasi linear daril  ∞ ( )∆   ke c dan dari l  ∞   ke c( )∆   dan dilanjutkan dengan transformasi linear pada

 barisan selisih bilangan yang lebih umum, yaitu transformasi linear dari l  ∞   ke c  p( )∆  

dan dari l  ∞ ( )∆ p  ke c.

Pendahuluan

Dalam karya tulis ini akan dibicarakan transfomasi linear dari ruang barisan bilangan ke ruang barisan bilangan yang lain. Telah diketahui bahwa setiap fungsi lineardari ruang vektor berdimensi n ke ruang vektor berdimensi m dapat disajikan oleh suatumatriks berukuran mxn. Dalam pembicaraan kali ini fungsi linear yang dimaksud adalahfungsi dari ruang barisan bilangan berdimensi tak hingga (terhitung) ke ruang barisan bilangan berdimensi tak hingga (terhitung). Oleh karena itu matriks transformasinya

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 295/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

287

 berukuran (tak hingga x tak hingga), yaitu A={ank } dengan k, n∈ N. Selanjutnyahimpunan seluruh matriks pemetaan dari ruang barisan X ke ruang barisan Y ditulisdengan notasi (X,Y).

1. Transformasi Linear pada )(∆∞l  dan c( )∆  

Dalam pasal ini akan dibicarakan karakteristik suatu matriks agar merupakantransformasi linear dari l  ∞( )∆  ke c dan dari l  ∞  ke c( )∆  sebagaimana tertuang dalam

dua teorema berikut ini dan dilanjutkan dengan transformasi linear dari ruang barisan bilangan ke ruang barisan bilangan yang lainnya.

Teorema 1.1

Untuk setiap matriks transformasi dari l  ∞ ( )∆  ke c berlaku hubungan 

A a cnk = ∈   ∞{ } ( ( ), )l   ∆  jika dan hanya jika

(i) { }a cn1   ∈  dan { ( )}A k cn   ∈  

(ii) R c∈   ∞( , )l  

dengan A k kan nk k ( ) = =

∑ 1  dan { }R r ank nvv k = = = +

∑{ } 1 .Bukti:

( )⇒   Jika A a cnk = ∈   ∞{ } ( ( ), )l   ∆   maka { }{ ( )}A x a xn nk k  k =

=

∞∑ 1  konvergen untuk

setiap x ∈   ∞l ( )∆   dan { ( )}A x cn   ∈ . Khususnya jika x e= = ∈   ∞( ) ( , , , ) ( )1 1 0 0   L l   ∆  

maka { }A e a cn n( ) { }( )11= ∈   dan jika x k = ∈   ∞{ } ( )l   ∆   dengan k  ∈ N   maka

{ ( )} { ( )}A x A k cn n= ∈ . Jadi (i) terbukti.

Selanjutnya akan diperlihatkan R c∈   ∞( , )l . Diambil sebarang y yk = ∈   ∞{ }   l .

Jika x D∈ ⊂∞ ∞l l( ) ( )∆ ∆  dibentuk x yk vv

k = −   −=∑ 11

 dengan y0=0.

Betul-betul { }yk    ∈   ∞l   sebab {y } { }k k k x x= − ∈+ ∞1   l . Jadi untuk x ∈   ∞l ( )∆  di atas

diperoleh

A x a x a x a x a xn nk k  k  n n n( ) = = + + +=

∞∑ 1 1 1 2 2 3 3   L  

= − + − − + − − − +a y a y y a y y yn n n1 0 2 0 1 3 0 1 2( ) ( ) ( )   L  

= − + + − + + −( ) ( )a a y a a yn n n n2 3 1 3 4 2L L L  

= − − −=

=

∞∑ ∑y a y anvv nvv1 2 2 3  L  

= − − +r y r yn n1 1 2 2   L  

= −=

∞∑ r ynk k k 1, ∀n∈ N.

Jadi { }{ ( )}A x r yn nk k  k = −

=

∞∑ 1 konvergen ∀ ∈   ∞y   l  sebab A c∈   ∞( ( ), )l   ∆ .

Hal ini berarti R c∈   ∞( , )l .( )⇐  Diketahui (i) dan (ii), akan diperlihatkan A c∈   ∞( ( ), )l   ∆ .

Diambil sebarang x ∈   ∞l ( )∆  dengan

∆∈>=

=∞ ).(D}'x{dengan,1k ,'x

1k ,xx

k k 

1k 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 296/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

288

Karena Dl  ∞ ( )∆   ekuivalen topologis dengan l  ∞   maka terdapat tepat satu

y yk = ∈   ∞{ }   l  sehingga x yk vv

k ' = −   −=∑ 11

 dengan y0=0 dan diperoleh

A x a x a x a x a xn nk k  k  n n n( ) ' '= = + + +=

∞∑ 1 1 1 2 2 3 3   L  

= + − − + − − − +a x a y y a y y y

n n n1 1 2 0 1 3 0 1 2( ) ( )   L  

= − + + − + + −a x a a y a a yn n n n n1 1 2 3 1 3 4 2( ) ( )L L L  

= − − −=

=

∞∑ ∑a x y a y an nvv nvv1 1 1 2 2 3  L  

= − − −a x r y r yn n n1 1 1 1 2 2   L  

= − ∀ ∈ ∈=

∞∞∑a x r y nn nk k  k 1 1 1

, N dan y   l .

Karena { }a cn1   ∈   maka { }a x cn1 1   ∈ , dan karena R c∈   ∞( , )l   maka { }r ynk k k =

∞∑ 1 

konvergen untuk setiap y ∈   ∞l . Akibatnya { ( )}A xn   konvergen ∀ x ∈   ∞l ( )∆ . Hal ini

 berarti A a cnk = ∈   ∞{ } ( ( ), )l   ∆ . µ  

Teorema 1.2 Untuk setiap matriks transformasi dari l  ∞  ke c( )∆  berlaku hubungan

A a cnk = ∈   ∞{ } ( , ( ))l   ∆  jika dan hanya jika

(i) a nk k =

∞∑   < ∞1

 untuk setiap n∈ N

(ii) B c∈   ∞( , )l  

dengan B b a ank nk n k  = = −   +{ } { },1 .

Bukti:

( )⇒   Jika A a cnk = ∈   ∞{ } ( , ( ))l   ∆   maka { }{ ( )}A x a xn nk k  k =

=

∞∑ 1  konvergen untuk

setiap x ∈   ∞l , dan { ( )} ( )A x cn   ∈ ∆ . Oleh karena itu

{ }{ } { }:a a a ank k k k  k ∈ ∞   =

∈ = = = < ∞∑ N   l l

β1 1 .

Jadi ank k =

∞∑   < ∞1

 untuk setiap n∈ N dan (i) terbukti.

Selanjutnya karena { ( )} ( )A x cn   ∈ ∆   ∀ ∈   ∞x   l   maka { ( )}∆A x cn   ∈   dan diperoleh

{ } { }{ ( )} { ( )} ,∆ ∆A x a x b x B x c xn nk k  k  nk k k  n= = = ∈ ∀ ∈=

=

∞∞∑ ∑1 1

  l .

Hal ini berarti B c∈   ∞( , )l  dan (ii) terbukti.

( )⇐  Karena a nk k =

∞∑   < ∞1

 maka { }ank k ∈ ∞∈ = N   l l1β . Jadi { }a xnk k k =

∞∑ 1 konvergen

untuk setiap x ∈   ∞l , dan karena B c∈   ∞( , )l  maka diperoleh

{ } { }{ ( )} { ( )} ,B x b x a x A x c xn nk k  k  nk k k  n= = = ∈ ∀ ∈=

=

∞∞∑ ∑1 1

∆ ∆   l .

Jadi { ( )} ( )A x cn   ∈ ∆ , ∀ x ∈   ∞l  yang berarti A a cnk = ∈   ∞{ } ( , ( ))l   ∆ . µ  

Teorema 1.3 

Didefinisikan { }M x x x x xk k 

k k 0 1 0= = ∈ − =∞ →∞   +{ }: , lim( )l   maka berlaku

l l∞ ∞∩ = ∩ =c c M( ) ( )∆ ∆0 0 .

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 297/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

289

Bukti:Jika x c∈ ∩∞l 0 ( )∆  maka jelas x c∈ ∩∞l ( )∆  sebab c c0 ( ) ( )∆ ∆⊂ .

Sebaliknya jika x c∈ ∩∞l ( )∆  maka x ∈   ∞l  dan lim( )k 

k k x x t→∞   +− =1  (ada).

Jadi untuk setiap bilangan ε>0 terdapat bilangan asli n0  sehingga jika k ≥n0  berakibat

( )x x tk k − − <+1   ε ⇔ − − <+t x xk k ( )1   ε  ⇔ − − < < − ++ +( ) ( )x x t x xk k k k  1 1ε ε .

Untuk n∈ N diperoleh [ ] [ ]( ) ( )x x t x xk k k 

n

n

k k k 

n− − < < − ++= =   +=∑ ∑ ∑11 1 11

ε ε  

⇔ − − < < − ++ +( ) ( )x x n nt x x nn n1 1 1 1ε ε  

⇔  −

− < <  −

++ +x x

nt

x x

nn n1 1 1 1ε ε .

Karena x ∈   ∞l  maka supk 

k x≥

< ∞1

. Akibatnya untuk n → ∞  diperoleh

0 0 0− < < + ∀ε >ε εt ,   yang berarti t=0. Jadi untuk k ≥n0  di atas diperoleh

( )x xk k − − <+1 0   ε . Hal ini berarti lim( )k 

k k x x→∞   +− =1 0  atau ∆x c∈ 0  atau x c∈ 0 ( )∆ .

Dengan demikian x c∈ ∩∞l 0 ( )∆ . µ  

Teorema 1.4Untuk M0 yang didefinisikan pada teorema 1.3 berlaku hubungan( , ) ( , )M 0   l l l∞ ∞ ∞= .

Bukti:

Jika A ∈   ∞ ∞( , )l l   maka { }{ ( )}A x a xn nk k  k =

=

∞∑ 1  konvergen untuk setiap x ∈   ∞l ,

dan { ( )}A xn   ∈   ∞l . Khususnya jika x M∈ ⊂   ∞0   l   maka { ( )}A xn   ∈   ∞l . Jadi

A M∈   ∞( , )0   l  atau ( , ) ( , )l l l∞ ∞ ∞⊂ M0 .

Sebaliknya jika A M∈   ∞( , )0   l  maka { }{ ( )}A x a xn nk k  k =

=

∞∑ 1 konvergen untuk setiap

x M∈ 0 , dan { ( )}A xn   ∈   ∞l . Akan diperlihatkan A ∈   ∞ ∞( , )l l .

Jika y k = ∈   ∞{y }   l  maka ∆ ∆y yk = ∈   ∞{ }   l  dan berarti { }∆yk   terbatas.

Oleh karena itu terdapat barisan bagian { }( )∆yk i i∈ N  yang konvergen, yaitu

{ }( )∆y ck i i∈   ∈ N   atau {y } ( )( )k i i c∈   ∈ N   ∆ . Dipihak lain karena y k = ∈   ∞{y }   l   maka

{y }( )k i i∈ ∞∈ N   l . Jadi {y } ( )( )k i i c M∈ ∞∈ ∩ = N   ∆   l 0 . Karena A M∈   ∞( , )0   l   maka

a ynk i k ii ( ) ( )=

∞∞∑   ∈

1  l . Jadi untuk y ∈   ∞l  di atas diperoleh

A y a y a y a y nn nk k  k  nk i k ii nk j k j j( ) ,( ) ( ) ( ) ( )= = + ∈ ∀ ∈

=

=

=

∞∞∑ ∑ ∑1 1 1

  l  N  

dengan k i k j i, j( ) ( ),≠ ∀ ∈ N . Hal ini berarti A ∈   ∞ ∞( , )l l . µ  

Teorema 1.5 Untuk setiap matriks transformasi dari l  ∞  ke M0 berlaku hubungan

A a Mnk = ∈   ∞{ } ( , )l 0  jika dan hanya jika

(i) supn

nk k a

∈  =

∞∑   < ∞ N

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 298/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

290

(ii) lim ,n

nk n k  k a a

→∞   +=

∞− =∑ 11

0 .

Bukti:

( )⇒   Jika A a Mnk = ∈   ∞{ } ( , )l 0   maka { }{ ( )}A x a xn nk k  k =

=

∞∑ 1  konvergen untuk

setiap x ∈   ∞l

, dan { ( )}A x Mn   ∈ 0 .Oleh karena itu { }{ } { }:a a a ank k k k  k ∈ ∞   =

∞∈ = = = < ∞∑ N   l l

β1 1

. Jadi diperoleh

ank k =

∞∑   < ∞1

, ∀n∈ N yang berakibat supn

nk k a

∈  =

∞∑   < ∞ N

1 dan (i) terbukti.

Akan diperlihatkan lim ,n

nk n k  k a a

→∞   +=

∞− =∑ 11

0 . Karena { ( )} ( )A x M cn   ∈ ⊂0 0  ∆ ,

∀ x ∈   ∞l   maka { } { }{ ( )} ( ),∆ ∆A x a x a a x cn nk k  k  nk n k k  k = = − ∈

=

∞+=

∞∑ ∑1 11 0 , ∀ x ∈   ∞l  

atau lim ( ),n

nk n k k  k a a x

→∞   +=

∞− =∑ 11

0 , ∀ x ∈   ∞l . Berarti untuk setiap bilangan ε>0 terdapat

 bilangan asli n0 sehingga jika n≥n0 berakibat

( ),a a xnk n k k  k    − <+=

∑ 11   ε , ∀ x ∈   ∞l . (1.1)

Selanjutnya barisan bilangan x xk = { }  didefinisikan

x

 jika a a

 jika a a

 jika a ak 

nk n k  

nk n k  

nk n k  

=− − <

− =− >

+

+

+

1 0

0 0

1 0

1

1

1

, ( )

, ( )

, ( )

,

,

,

 

maka { }xk    ∈   ∞l . Akibatnya dari persamaan (1.1) diperoleh

( ), ,a a x a ank n k k  k  nk n k  k − = − <+=

∞+=

∞∑ ∑11 11  ε , untuk setiap n≥n0.

Hal ini berarti lim ,n

nk n k  k a a

→∞   +=

∞− =∑ 11

0 .

( )⇐  Diketahui (i) dan (ii), akan diperlihatkan A M∈   ∞( , )l 0 .

Karena supn

nk k a

∈  =

∞∑   < ∞ N

1 maka terdapat bilangan T≥0 sehingga a Tnk k =

∞∑   ≤1

, ∀n∈ N.

Jika x ∈   ∞l  maka supk 

k x≥

< ∞1

. Jadi terdapat bilangan T1≥0 sehingga x Tk   ≤ 1 , ∀k ∈ N.

Akibatnya diperoleh

A x a x a x a x TTn nk k  k  nk k k  nk k k ( ) = ≤ = ≤

=

=

=

∞∑ ∑ ∑1 1 1 1 , ∀n∈ N.

Jadi sup ( )n

nA x≥

< ∞1

 yang berarti { ( )}A xn   ∈   ∞l , ∀ x ∈   ∞l . (1.2)

Dipihak lain karena lim ,n

nk n k  k a a

→∞   +=

∞− =∑ 11

0  maka untuk setiap bilangan ε>0 terdapat

 bilangan asli n0  sehingga jika n≥n0  berakibat a aTnk n k  k 

  − <++=

∞∑ 111 1,ε . Akibatnya

untuk x ∈   ∞l  di atas diperoleh

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 299/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

291

∆ ∆A x a x a a x

a a xT

T n n

n nk k  k  nk n k k  k 

nk n k k  k 

( ) ( )

, .

,

,

= = −

≤ − <+

  < ∀ ≥

=

∞+=

+=

∑ ∑

∑1 11

111

1 01

εε

 

Berarti lim ( )n n

A x→∞

  =∆ 0  atau { ( )}∆A x cn

  ∈0

 atau { ( )} ( )A x cn

  ∈0

 ∆ . (1.3)

Dari persamaan (1.2) dan (1.3) maka { ( )} ( )A x c Mn   ∈ ∩ =∞l 0 0∆ , ∀ x ∈   ∞l . Hal ini

 berarti A M∈   ∞( , )l 0 . µ  

Teorema 1.6 

Jika A∈(c,c) dan supn

nk k r 

∈  =

∞∑   < ∞ N

1 maka A M c∈( , )0  

dengan r ank nvv k =

= +

∞∑ 1.

Bukti:

Jika A∈(c,c) maka { }{ ( )}A x a xn nk k  k =

=

∞∑ 1  konvergen ∀ ∈x c , dan { ( )}A x cn   ∈ .

Diambil sebarang x M∈ 0  maka diperolehA x a x a x a x a xn nk k  k  n n n( ) = = + + +

=

∞∑ 1 1 1 2 2 3 3   L  

= + + + − + + + ++ + + − + + + ++ + + − + + + +

x a a a x a a a

x a a a x a a a

x a a a x a a a

n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n

1 1 2 3 1 2 3 4

2 2 3 4 2 3 4 5

3 3 4 5 3 4 5 6

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

L L

L L

L L L

 

= + + − − + + − − + + −x a a x x a a x x a an n n n n n1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4( ) ( )( ) ( )( )L L L L  

[ ]= − − + − +=

=

=

∞∑ ∑ ∑x a x x a x x ank k  nk k  nk k 1 1 1 2 2 2 3 3( ) ( )   L  

[ ]= − − + − +=

∞∑x a r x x r x xnk k  n n1 1 1 1 2 2 2 3( ) ( )   L  

= − −=

+=

∑ ∑x a r x xnk k  nk k k  k 1 1 11 ( ) .

A x x a r x xn nk k  nk k k  k ( ) ( )= − −

=

∞+=

∞∑ ∑1 1 11, ∀ ∈x M 0   (1.4)

Karena supn

nk k r 

∈  =

∞∑   < ∞ N

1  maka ∃  bilangan T≥0 sehingga r Tnk k =

∞∑   ≤1

, ∀ ∈n N .

Akibatnya r T k nnk   ≤ ∀ ∈, , N  ⇒ { }r nk   terbatas.

Jadi x a x a x a x a x r  nk k  n nk k  n n1 1 1 1 1 2 1 1 1 1=

=

∞∑ ∑= + = +  terbatas, ∀ ∈n N . (1.5)

Dipihak lain karena x M c∈ ⊂0 ( )∆  maka ∆x c∈ .

Akibatnya { }{ ( )} ( )A x a x x cn nk k  k k ∆ = − ∈=

∞+∑ 1 1  sebab A∈(c,c).

Jadi lim ( )n nk k  k k a x x t→∞   =

+∑   − =1 1  (ada) dan berakibat

[ ]lim ( ) lim ( ) ( )n

nk k k  k  nn nr x x r x x r x x

→∞   +=

→∞− = − + − +∑ 11 1 1 2 2 2 3   L  

[ ]= − + − +→∞   =

=

∞∑ ∑lim ( ) ( )n

nvv nvvx x a x x a ada1 2 2 2 3 3

  L  

sebab r r Tnk k  nk k =

=

∞∑ ∑≤ ≤1 1

, ∀ ∈n N  (terbatas).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 300/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

292

Jadi lim ( )n

nk k  k k r x x→∞   =

∞+∑   −

1 1  ada. (1.6)

Dari (1.5) dan (1.6) maka persamaan (1.4) berakibat lim ( )n

nA x ada→∞

, ∀ ∈x M 0   yang

 berarti { ( )} ,A x cn   ∈   ∀ ∈x M 0 . Jadi A M c∈( , )0 . µ  

2 Transformasi Linear pada l  ∞ ( )p∆  dan c( )p∆  

Setelah kita membicarakan transformasi linear pada barisan selisih bilangantingkat satu, dalam pasal ini akan dibicarakan transformasi linear pada barisan selisih

 bilangan yang lebih umum, yaitu transformasi linear dari l  ∞  ke c  p( )∆  dan dari l  ∞ ( )∆ p  

ke c sebagaimana tertuang dalam dua teorema berikut ini.

Teorema 2.1 

Untuk setiap matriks transformasi dari l  ∞  ke c  p( )∆  berlaku hubungan,

A a cnk  p= ∈   ∞{ } ( , ( ))l   ∆  jika dan hanya jika

(i) a nk k =

∞∑   < ∞1

, untuk setiap n∈ N

(ii) B c∈   ∞( , )l  

dengan B b a ank  p

nk  p

n k = = −− −+{ } { },∆ ∆1 1

1 .

Bukti:

( )⇒  Jika A a cnk  p= ∈   ∞{ } ( , ( ))l   ∆ , maka { }{ ( )}A x a xn nk k  k 

==

∞∑ 1 konvergen, untuk

setiap x ∈   ∞l , dan { ( )} ( )A x cn p∈ ∆ . Oleh karena itu,

{ }{ } { }:a a a ank k k k  k ∈ ∞   =

∞∈ = = = < ∞∑ N   l l

β1 1

.

Jadi ank k =

∞∑   < ∞1

, untuk setiap n∈ N dan (i) terbukti.

Selanjutnya, karena { ( )} ( )A x cn p∈ ∆ , ∀ ∈   ∞x   l , maka { ( )}∆ p

nA x c∈  dan diperoleh;

{ } { }{ ( )} { ( )} ,∆ ∆ pn

 pnk k k  nk k k  nA x a x b x B x c x= = = ∈ ∀ ∈=

∞=

∞∞∑ ∑1 1

  l .

Hal ini berarti B c∈   ∞( , )l  dan (ii) terbukti.

( )⇐   Karena a nk k =

∞∑   < ∞1

, maka { }ank k ∈ ∞∈ = N   l l1β . Jadi { }a xnk k k =

∞∑ 1 

konvergen, untuk setiap x ∈   ∞l , dan karena B c∈   ∞( , )l , maka diperoleh ;

{ } { }{ ( )} { ( )} ,B x b x a x A x c xn nk k  k 

 pnk k k 

 pn= = = ∈ ∀ ∈

=

=

∞∞∑ ∑1 1

∆ ∆   l .

Jadi { ( )} ( )A x cn p∈ ∆ , ∀ x ∈   ∞l , yang berarti A a cnk 

 p= ∈   ∞{ } ( , ( ))l   ∆ . µ  

Teorema 2.2

Untuk setiap matriks transformasi daril

 ∞ ( )∆ p

 ke c berlaku hubungan,A a cnk 

 p= ∈   ∞{ } ( ( ), )l   ∆  jika dan hanya jika

(i) { } ,a c j pnj   ∈ ≤ ≤1  dan { ( )}A k cn p ∈  

(ii) R k r c p p

nk = ∈−∞{ } ( , )1

l  

dengan A k k an p p

nk k ( ) =

=

∞∑ 1 dan r ank nvv k 

== +

∞∑ 1.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 301/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

293

Bukti:

( )⇒   Jika A a cnk  p= ∈   ∞{ } ( ( ), )l   ∆   maka { }{ ( )}A x a xn nk k  k 

==

∞∑ 1 konvergen untuk

setiap x  p∈   ∞l ( )∆ , dan { ( )}A x cn   ∈ .

Khususnya jika x e  j pke j= = ∈− ∞

( ) ( , , , , , , ) ( )( )0 0 0 1 0L L l   ∆ , ( )1 ≤ ≤ j p   maka

{ }A e a cn j

nj( ) { }( ) = ∈ , dan jika diambil x k  p p= ∈   ∞{ } ( )l   ∆   dengan k  ∈ N   maka

{ ( )} { ( )}A x A k cn n p= ∈ . Jadi (i) terbukti.

Selanjutnya akan diperlihatkan R k r c p p

nk = ∈−∞{ } ( , )1

l .

Diambil sebarang y yk = ∈   ∞{ }   l . Jika x D  p p∈ ⊂∞ ∞l l( ) ( )∆ ∆  dibentuk

xk v

 pyk 

 p

v

k p

v= −  − −

−  

     =

−∑ ( )11

11 

= −  + − −

−  

        = = = =

=   − − −∑ ( )11

10

1 1 2 0 p

v

v p p p

k p v

 py dengan y y yL .

Betul-betul { }yk    ∈   ∞l  sebab {y } { }k 

 p

 p

k x x= − ∈− −

+ ∞∆ ∆1 1

1   l .Jadi untuk x  p∈   ∞l ( )∆  di atas diperoleh

A x a xn nk k  k ( ) =

=

∞∑ 1 

= −  − −

−  

     

  

     

=

=

−∑ ∑ak v

 pynk k 

 p

v

k p

v1 11

1

1( )  

= − + −+ −

+ − −−

  

     

  

      −−

+ −=

−−   =

−∑ ∑( ) ( )( )

1 11

1

2

21

11 1 1

 p pk pk 

n p

 p v

v p

n p

nk p R k p

k p v

 py n R n x  

= − + − −−+ −=

− −∑( ) ( )1 1 111

 p pk pk 

n p

k  p

n p

nk p R z n R n x  konvergen

dengan z k p

k p v

 p yk p v

v= + − + − −−        −   =∑1 1

2

21 1( ) .

Jadi { }{ ( )}R y r y cn nk k  k = ∈

=

∞∑ 1, ∀ y ∈   ∞l  yang berarti R k r c p

 pnk = ∈−

∞{ } ( , )1l .

( )⇐  Diketahui (i) dan (ii), akan diperlihatkan A c p∈   ∞( ( ), )l   ∆ .

Diambil sebarang x  p∈   ∞l ( )∆  dengan

xx k p

x k p dengan x Dk 

k k  p=

  ≤ ≤> ∈

  ∞

,

' , , { '} ( ).

1

l   ∆ 

Karena D  pl  ∞ ( )∆   ekuivalen topologis dengan l  ∞   maka terdapat tepat satu

y yk = ∈   ∞{ }   l  sehingga

x k v p

yk  p

v

k p

v= −   − −−

      

  =

−∑ ( )1 111

 

= −  + − −

−  

        = = = =

=   − − −∑ ( )11

10

1 1 2 0 p

v

v p p p

k p v

 py dengan y y yL .

Jadi untuk x  p∈   ∞l ( )∆  di atas dan p<t diperoleh

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 302/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

294

A x a xn nk k  k 

t( ) =

=∑ 1  = +

= = +∑ ∑a x a xnk k k 

 p

nk k k p

t

1 1'  

= + −  − −

−  

     

 

= =

= +∑ ∑∑a x ak v

 pynk k k 

 p

nk  p

vv

k p

k p

t

1 111

1

1( ) , ∀ ∈ ∈   ∞n N dan y   l  

Selanjutnya karena { } ,a c j pnj   ∈ ≤ ≤1   maka { }a x cnk k k 

 p

=∑   ∈1   dan karena

R k r c p p

nk = ∈−∞{ } ( , )1

l   maka { }k r y pnk k k 

−=

∞∑ 1

1  konvergen untuk setiap y ∈   ∞l .

Akibatnya { ( )}A xn   konvergen untuk setiap x  p∈   ∞l ( )∆ . Hal ini berarti

A a cnk  p= ∈   ∞{ } ( ( ), )l   ∆ . µ  

DAFTAR PUSTAKA

Et, Mikail (1993). On Some Di fference Sequence Space . Tr. J. of Math. 17. 18-24.

Et, Mikail dan Colak, R. (1995). On Some General ized Di fference Sequence Spaces . Soochow J. of Math. 21 (4). 377-386.

---------------------------- (1997). On Some General ized Di f ference Sequence Spaces and

Related M atrix Transformations . Hokkaido Math. J. Vol. 26. 483-492.

Kamthan, P. K. dan Gupta, M. (1981). Sequence Spaces and Series . Marcel Dekker Inc., New York.

Kizmaz, H. (1981). On Certain Sequence Spaces .  Canad. Mat. Bull. Vol. 24  (2).169-176.

Yee, L. P. (1989). Zeller Theory and Classical Sequence Spaces .  Lee Kong ChianCentre for Mathematical Research.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 303/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

295

Quaternion dan Aplikasinya dalam Rotasi 3D

Feri Ferdian Sihabumillah

Abstrak  

Quaternion merupakan suatu bilangan yang diperluas dari bilangan kompleks.Perluasan ini disebabkan karena terdapat suatu homomorfisma ring injektif dari ke ,

di mana adalah himpunan dari semua quaternion. Himpunan memenuhi semua

aksioma untuk suatu field, kecuali hukum komutatif untuk perkalian sehinggamerupakan suatu division ring . Quaternion diterapkan dalam mekanika tiga dimensi,seperti dalam rotasi 3D yang merepresentasikan objek-objek di ruang tiga dimensi.

Kata kunci: Quaternion, extension of complex numbers, spatial rotation.

Kita tahu bahwa bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan real dan

yang dinyatakan dengan lambang . Dengan menganggap sebagai , yaitu

suatu ruang vektor berdimensi dua atas bilangan real, kita dapat memilih basis dansedemikian sehingga bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi

linear . Dengan adanya bilangan kompleks ini, kita kemudian dapat

menentukan akar-akar persamaan dari persamaan , yaitu dan .Hal menarik yang sekaligus menjadi permasalahan dalam makalah ini adalah

 bagaimana jika prosedur yang sama diterapkan pada , yaitu suatu ruang vektor berdimensi dua atas bilangan kompleks? Apakah dengan menerapkan prosedur ini pada

memotivasi adanya definisi bilangan baru? Jika memang demikian, bagaimana

 bilangan tersebut menjelaskan fenomena akar kuadrat dari ?Untuk menjawab permasalahan di atas, maka makalah ini dibuat. Lebih jauh,

makalah ini juga menjelaskan sifat-sifat dan aplikasi dari bilangan tersebut dalam rotasi3D.

QuaternionHimpunan dari semua quaternion, dinotasikan dengan , adalah sama dengan

, yaitu suatu ruang vektor berdimensi empat atas bilangan real. Jadi, dapatdinyatakan sebagai suatu himpunan dari quadruple, yaitu

.

Jika , maka dapat dituliskan sebagai suatu kombinasi linear dari basis dan

, yaitu .

Pada quaternion , nilai disebut dengan bagian skalar dari

quaternion dan nilai disebut dengan bagian vektor dari quaternion .

Quaternion disebut dengan quaternion imajiner murni jika bagian skalarnya bernilai

nol. Sedangkan jika bagian vektornya bernilai nol, maka quaternion disebut denganquaternion skalar. Dari uraian di atas, diperoleh bahwa suatu vektor di merupakansuatu quaternion imajiner murni.Defi nisi 1

Diberikan quaternion . Operasi pada didefinisikan

dengan1. 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 304/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

296

2. 

3. 

,

di mana .

Dengan menggunakan hubungan , diperoleh tabel berikut.

Table 1. Perkalian Elemen Basis

Dengan memperhatikan table di atas, diperoleh bahwa dan . Ini

menunjukkan bahwa perkalian quaternion tidak bersifat komutatif. Jika, di mana dan masing-masing menyatakan bagian skalar

dan bagian vektor dari quaternion , maka hasilkali quaternion dan dapatdinyatakan sebagai.

Ini memperlihatkan bahwa ketidakkomutatifan perkalian antarquaternion berasal dari perkalian quaternion imajiner murni.

Teorema 1Perkalian dua quaternion adalah komutatif jika dan hanya jika bagian vektor keduaquaternion adalah kolinear.

Quaternion sebagai Pasangan Terurut dari Bilangan KompleksDiberikan sebagai suatu ruang vektor berdimensi dua atas bilangan kompleks.

Pilih basis dan sedemikian sehingga suatu vektor di dapat dituliskan sebagai suatu

kombinasi linear . Dengan menggunakan hukum distributif dan

 perkalian elemen basis, diperoleh.

Kemudian, suatu vektor di bersesuaian dengan quaternion . Jika

setiap elemen dari ditulis sebagai pasangan terurut dan quaternion sebagai quadruple,diperoleh hubungan

.

Konjuget, Norm, dan Pembagian pada Quaternion

Defi nisi 2  

Diberikan quaternion . Konjuget dari didefinisikandengan .

Adapun operasi konjuget pada quaternion disajikan pada teorema berikut.

Teorema 2  Diberikan . Operasi konjuget pada quaternion adalah

1. 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 305/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

297

2.  .

Selanjutnya, kita akan membahas tentang norm dan sifat-sifatnya padaquaternion.

Defi nisi 3  

 Norm dari quaternion didefinisikan dengan.

Adapun sifat-sifat norm dari suatu quaternion disajikan pada teorema berikut.

Teorema 3  Diberikan , maka

1. 

2. 

3. Teorema 4  Himpunan adalah suatu ruang metrik.

Suatu quaternion dengan norm satu disebut dengan quaternion satuan. Jika, maka quaternion satuan dari q (disebut juga versor   dari ) didefinisikan

dengan

Selanjutnya, akan dicari sedemikian sehingga . Karena

, maka invers dari adalah

.

Sekarang, kita telah siap mendefinisikan operasi pembagian pada .

Defi nisi 4

Diberikan quaternion . Jika membagidinotasikan dengan , maka didefinisikan dengan

.

Jika , di mana dan masing-masing menyatakan

 bagian skalar dan bagian vektor dari quaternion , maka hasilbagi quaternion oleh

di atas dapat dinyatakan sebagai

.

Dengan menggunakan hasil sebelumnya, yaitu , kita juga dapat menuliskan

sebagai .

Definisi selanjutnya akan menjelaskan kemungkinan lain tentang hasilbagi daridua quaternion.

Defi nisi 5

Misalkan . Jika membagi , maka hasilbaginya adalah salah satu dari

atau .

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 306/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

298

Hasil yang telah kita peroleh sejauh ini memotivasi adanya teorema berikut.Teorema 5  Himpunan dengan operasi jumlah dan hasilkalinya merupakan suatu division ring .

Akar kuadrat dari

Terdapat dua bilangan di , yaitu dan yang kuadratnya adalah . Jika kitamembicarakan hal ini di , maka terdapat tak berhingga banyak akar kuadrat dari .

Untuk melihat ini, diberikan dengan . Ini berarti bahwa

.

Diperoleh, , , , dan . Oleh karena itu,

haruslah atau .

Kasus 1: Jika , maka . Tetapi, hal ini tidak

mungkin karena .

Kasus 2: Jika , maka .

Ini berarti bahwa kuadrat suatu quaternion adalah jika dan hanya jika quaternion

tersebut adalah suatu vektor di (quaternion imajiner murni) dengan norm satu. Solusi

quaternion untuk akar kuadrat dari ini mencakup setiap titik pada permukaan dari

 sphere satuan di .

sebagai Gabungan dari Bidang Kompleks

Telah dijelaskan pada bagian sebelumnya bahwa pada himpunan terdapat tak

 berhingga banyak akar kuadrat dari . Jika , akan ditunjukkan bahwa

adalah suatu homomorfisma ring injektif. Bukti:Ambil sebarang . Diperoleh,

1. 

2. 

Karena sembarang, maka berlaku

dan . Jadi, suatu homomorfisma.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa . Ambil sebarang dengan

, akan ditunjukkan bahwa . Perhatikan bahwa

di, di karena homomorfisma

di

Karena sembarang, maka dengan berlaku .

Akibatnya, .

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 307/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

299

Dari penjelasan di atas, diperoleh bahwa adalah suatu homomorfisma ring injektif.

Sekarang perhatikan bahwa karena , maka setiap quaternion yang bagian

skalarnya tidak nol adalah peta unik dari setiap anggota di . Tuliskan sebagai jumlah

dari bagian skalar dan bagian vektornya, yaitu . Karena

, maka . Karena adalah suatuquaternion imajiner murni satuan, maka berdasarkan pembahasan sebelumnya diperoleh

 bahwa . Kemudian, didefinisikan

Maka juga adalah suatu homomorfisma ring injektif. Sekarang perhatikan bahwa untuk

, diperoleh

.

Kemudian, adalah gabungan dari bidang kompleks yang beririsan dalam garis real

 biasa, di mana gabungannya diambil atas sphere dari akar kuadrat dari .

Aplikasi Quaternion dalam Rotasi 3D Diberikan sebagai suatu koordinat titik pada hyperspherical  

. Titik merepresentasikan suatu rotasi di sekitar sumbu

yang diberi arah oleh vektor dengan suatu sudut

. Dengan kata lain, dan

.

Definisikan quaternion

,

di mana adalah suatu vektor satuan dari . Diberikan sebagai suatu vektor di3 R . Dalam hal ini, adalah quaternion imajiner murni. Maka, hasilkali quaternion

menghasilkan vektor yang dirotasikan oleh sudut mengelilingi sumbu .

Operasi ini disebut juga dengan konjugasi oleh . Ini berarti bahwa perkalian quaternion

adalah komposisi dari rotasi. Sebagai contoh, jika dan adalah quaternion yang

merepresentasikan rotasi, maka konjugasi oleh dinyatakan dengan

yang mana sama seperti konjugasi oleh

kemudian oleh .

Contoh:Misalkan merotasikan titik-titik di 3 R   dengan sudut mengelilingi sumbu

. Diperoleh, . Misalkan

. Diperoleh,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 308/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

300

.

Jadi, bayangan titik oleh rotasi sejauh mengelilingi sumbu

adalah .

KesimpulanQuaternion merupakan suatu kombinasi linear dari vektor di sehingga

quaternion dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari bilangan kompleks. Adanyasuatu homomorfisma ring injektif dari ke menjadikan sebagai gabungan dari bidang kompleks yang beririsan dalam garis real. Ini berarti bahwa quaternion adalah bilangan yang diperluas dari bilangan kompleks. Dengan operasi penjumlahan danhasilkali yang didefinisikan padanya, himpunan memenuhi semua aksioma untuk suatu

field, kecuali hukum komutatif untuk perkalian sehingga merupakan suatu division

ring . Setiap quaternion merepresentasikan suatu rotasi di sekitar sumbu yang dibangun

oleh bagian vektor quaternion tersebut dengan sudut . Jika adalah sebarang vektor di

, maka hasilkali quaternion menghasilkan vektor yang dirotasikan oleh sudutmengelilingi vektor satuan .

Daftar Rujukan

Dedy, E. dan Sumiaty, E. (2001). FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS . Bandung: JICA.

Purcell, E. J., Varberg, D., dan Rigdon, S. E. (2004).  Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan.Jakarta: Erlangga.

Sangadji. (2006). QUATERNION DAN APLIKASINYA. Risalah Lokakarya Komputasidalam Sains dan Teknologi Nuklir XVII, Agustus 2006 (301-307).

http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion 

http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation 

http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/ 

http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/transfor ms/index.htm 

http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/arithmetic/index.htm 

http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/functions/index.htm 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 309/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

301

Transformasi Matriks Deret Dirichlet Holomorfik

Ahmad Sofian dan Siti FatimahJurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

Abstrak

Transformasi matriks takhingga adalah salah satu transformasi yang biasadigunakan untuk mentransformasikan suatu barisan ke dalam suatu barisan lain ataumentransformasikan suatu deret ke dalam suatu barisan. Pandang transformasi matrikstakhingga yang mentransformasikan fungsi holomorfik di yang dapat

direpresentasikan dalam bentuk deret dirichlet

suatu domain konveks terbatas

serta suatu barisan vektor kompleks di ke dalam suatu barisan fungsi

dengan . Selanjutnya akan diberikan

kondisi pada matriks takhingga sedemikian sehingga fungsi

konvergen seragam pada subset kompak dan deret dirichlet

holomorfik juga konvergen pada daerah kekonvergenannya. 

1.  PendahuluanSebagaimana diketahui, dalam matematika dipelajari objek-objek seperti

 bilangan dan himpunan serta relasi antara objek-objek tersebut. Salah satu yang palingmenarik dipelajari adalah suatu relasi antara objek-objek tersebut. Relasi yang banyakdipelajari adalah transformasi diantara koleksi objek-objek tersebut.

Kata-kata fungsi, pemetaan, dan transformasi adalah tiga kata yang sinonim, olehkarenanya pada beberapa materi tertentu, transformasi telah dikenal dari analisis real atau

mata pelajaran lainnya. Di dalam konteks tulisan ini, transformasi lebih umum daripadayang dibicarakan di dalam analisis real dan karena alasan itulah maka penulis lebih banyak menggunakan kata transformasi daripada fungsi atau pemetaan.

Secara khusus tulisan ini akan mempelajari transformasi dari suatu ruang yangmempunyai struktur (aljabar) ke dalam ruang lain yang mempunyai struktur (aljabar),yang memelihara atau mengawetkan sifat-sifat yang dimiliki oleh objek-objek yangditransformasikan, yaitu berupa transformasi matriks takhingga. Sebagaimana telahdiketahui transformasi matriks takhingga adalah salah satu transformasi yang biasadigunakan untuk mentransformasikan suatu barisan ke dalam suatu barisan lain ataumentransformasikan suatu deret ke dalam suatu barisan.

Pada tulisan ini akan dibahas beberapa jenis transformasi matriks takhingga,diantaranya yaitu transformasi yang memindahkan barisan bilangan real konvergen kedalam barisan bilangan real konvergen lain, barisan bilangan kompleks konvergen kedalam barisan bilangan kompleks konvergen lain, dan fungsi holomorfik di yang

dapat direpresentasikan dengan deret dirichlet holomorfik ke dalam suatu barisan fungsiholomorfik di .

Selanjutnya didefinisikan matriks takhingga , dimana

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 310/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

302

Misalkan ruang barisan konvergen atau deret konvergen atas lapangan  (atau

!). Suatu transformasi matriks takhingga

disebut mengawetkan kekonvergenan jika mentransformasikan sebarang

 barisan konvergen atau deret konvergen di ke dalam suatu barisan atau deret konvergen

lain yang merupakan elemen di

Dalam mempelajari transformasi matriks takhingga di atas, hal yang

 paling menarik adalah mempelajari sifat yang harus dipenuhi oleh matriks tersebutsehingga memelihara atau mengawetkan sifat-sifat yang dimiliki oleh objek yang

ditransformasikan.Misalkan diberikan sebarang barisan bilangan real Matriks takhingga

mentransformasikan barisan bilangan real ke dalam barisan

 bilangan real dengan

.

Transformasi disebut mengawetkan kekonvergenan jika matriks tersebut

mentransformasikan setiap barisan konvergen ke dalam barisan konvergen

. Hal yang sangat menarik adalah mempelajari sifat-sifat yang harus dimiliki

sehingga kondisi berikut dipenuhi. Misalkan barisan konvergen ke maka

 barisan juga konvergen ke .

Pada tulisan ini akan dipelajari sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh sehingga

kondisi diatas terpenuhi. Terdapat dua sifat utama yang harus dipenuhi oleh transformasi, yaitu:

1)  untuk setiap k  yang tetap;

2)  .

Selanjutnya konsep diatas diperluas dengan mendefinisikan transformasi matriks

takhingga yang mentransformasikan barisan bilangan kompleks

konvergen ke dalam barisan bilangan kompleks konvergen dengan

.

Akan dipelajari dua sifat yang harus dipenuhi oleh matriks sedemikian sehingga

mengawetkan kekonvergenan, yaitu mentransformasikan barisan konvergen ke

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 311/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

303

dalam barisan konvergen Jika barisan konvergen ke limit dan

memenuhi kondisi berikut ini:1)  ada untuk setiap k  yang tetap;

2) 

dengan barisan adalah barisan konvergen dan barisan

adalah barisan terbatas, konvergen dan konvergen. Maka barisan

konvergen ke limit .

Dimotivasi oleh dua masalah di atas, akan dibahas inti dari tulisan ini, yaitumengenai transformasi matriks takhingga yang mentransformasikan deret

konvergen ke dalam suatu barisan . Deret tersebut

terdefinisi jika z " % #  % suatu domain konveks terbatas dan

suatu barisan vektor kompleks di .

Sebagaimana diketahui, deret mendefinisikan fungsi holomorfik

 pada daerah kekonvergenannya (lihat persamaan

 pada bagian 3.3). Untuk selanjutnya didefinisikan barisan fungsi

dengan

Barisan tersebut konvergen seragam pada daerah kekonvergenannya, sedemikian

sehingga setiap deret juga konvergen pada daerah kekonvergenannya.

Selanjutnya deret disebut deret Dirichlet holomorfik, yaitu deret yang

diperoleh dari hasil transformasi ; oleh . Kajian

mendalam mengenai dapat dilihat pada persamaan pada bagian 3.3.

Pada bagian 3.3 tersebut dibahas kondisi-kondisi yang harus dipenuhi olehsehingga termuat pada , dimana adalah koleksi semua matriks

yang mempunyai sifat bahwa jika barisan , suatu barisan fungsi

yang diberikan oleh

konvergen seragam di , maka setiap deret dirichlet holomorfik juga

konvergen di .

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 312/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

304

2.  Teori Fundamental Penderetan Fungsi HolomorfikKonsep tentang kekonvergenan  barisan bilangan real, barisan bilangan kompleks

dan deret bilangan kompleks sangat diperlukan untuk mempelajari transformasi suatu barisan konvergen ke dalam suatu barisan lain yang konvergen dan transformasi suatuderet konvergen ke dalam suatu barisan konvergen. Untuk mengetahui apakah suatu barisan itu konvergen atau tidak, perlu diperiksa apakah barisan tersebut mempunyai limitatau tidak. Hal ini disebabkan bahwa suatu barisan dikatakan konvergen jika barisantersebut mempunyai limit (atau limitnya ada). Kekonvergenan suatu barisan disajikan pada definisi berikut.Definisi 2.1. Suatu  barisan di (atau di ) dikatakan konvergen ke (atau

) , atau dikatakan limit dari , jika terdapat bilangan asli

sedemikian sehingga suku-suku memenuhi dan ditulis

Sedangkan kekonvergenan suatu deret bilangan kompleks disajikan pada definisi berikut.

Definisi 2.2. Suatu deret bilangan kompleks konvergen ke jumlah jika barisan jumlah parsial konvergen ke ; dan ditulis

Selanjutnya dinyatakan pula bahwa deret konvergen mutlak di jika deret

konvergen di

Berkaitan dengan deret bilangan kompleks yang konvergen, terdapat korelasiyang menarik antara deret bilangan kompleks konvergen dengan fungsi holomorfik di .

Sebagaimana pada fungsi real, fungsi kompleks juga dapat dideretkan pada daerahkonvergensinya, dan menurut taylor fungsi holomorfik di memiliki representasi deret

 pada cakram kekonvergenannya, yang dinyatakan pada teorema berikut.

Teorema 2.3. Deret Taylor (Churchill 2004:182) Misalkan bahwa fungsi holomorfik pada cakram , yang berpusat

di dan dengan radius . Maka mempunyai representasi deret kuasa

dimana

Yakni, deret konvergen ke jika terletak di dalam cakram buka.

Inti dari pembahasan pada tulisan ini adalah mempelajari transformasi matrikstakhingga deret dirichlet holomorfik. Oleh karena itu pada bagian ini akan diperkenalkansekilas mengenai deret dirichlet holomorfik, untuk lebih detailnya lihat pada bagian 3.3.Konsep deret dirichlet ini adalah perluasan dari konsep deret taylor. Di dalam konsepderet taylor, fungsi holomorfik di dapat direpresentasikan dalam bentuk deret taylor.

Sedangkan di dalam konsep deret dirichlet holomorfik, fungsi holomorfik di dapat

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 313/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

305

direpresentasikan dalam bentuk deret dirichlet holomorfik, yaitu

dengan adalah barisan bilangan kompleks, (mengenai lihat persamaan

 bagian 3.3) dan adalah barisan vektor kompleks di

3.  Transformasi Matriks Takhingga Mengawetkan Kekonvergenan3.1 Transformasi Barisan Bilangan Real ke dalam Barisan Bilangan Real Lain

Pada bagian ini dibahas sifat utama yang harus dipenuhi oleh transformasimatriks sedemikian sehingga kondisi berikut ini dipenuhi; misalkan

adalah barisan bilangan real yang konvergen ke limit , transformasi

mentransformasikan ke dalam barisan bilangan real yang didefinisikan

sebagai berikut:

Barisan akan konvergen ke limit yang sama yakni ke limit jika

memenuhi sifat-sifat sebagaimana dinyatakan dalam Teorema 3.1a berikut ini.Teorema 3.1a.  Jika konvergen ke limit , ditulis dan

memenuhi kondisi berikut ini:1)  untuk setiap k  yang tetap;

2) 

Maka barisan konvergen ke limit , dan ditulis

Bukti. Asumsikan bahwa kondisi dan terpenuhi. Misalkan

ini berarti terdapat sedemikian sehingga

 berlaku , karena barisan konvergen ke limit maka barisan

terbatas, oleh karenanya berlaku

misalkan . Jika maka

 berlaku . Oleh karenanya diperoleh

Sesuai kondisi terdapat sedemikian sehingga

 berlaku Jika berlaku

Maka berlaku

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 314/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

306

.

Karena sebarang, maka terbukti bahwa Ini berarti bahwa

mengawetkan kekonvergenan. Lebih jauh, kekonvergenan barisan ke limit

ternyata diawetkan oleh , karena barisan juga konvergen ke limit

3.2 Transformasi Barisan Bilangan Kompleks ke dalam Barisan BilanganKompleks Lain

Pada bagian 3.1 telah dibahas transformasi yang mentransformasikan barisan

 bilangan real konvergen ke dalam barisan bilangan real lain yang juga konvergen. Sifat-sifat utama yang harus dipenuhi oleh menyebabkan barisan-barisan di atas konvergen

ke nilai yang sama. Berikut ini akan dibahas perluasan konsep transformasi pada

 barisan bilangan kompleks.Definisikan transformasi matriks dimana untuk sebarang barisan

 bilangan kompleks yang konvergen ke limit ditransformasikan oleh ke

dalam barisan bilangan kompleks baru yang didefinisikan dengan:

.

Barisan konvergen ke limit .

Pada teorema berikut, dipelajari dua sifat yang harus dipenuhi oleh matriks

sedemikian sehingga mengawetkan kekonvergenan, yaitu mentransformasikan barisan

yang konvergen ke limit ke dalam barisan konvergen yang

konvergen ke limit

Teorema 3.1b Jika barisan konvergen ke limit , ditulis dan

memenuhi kondisi berikut ini:

1)  ada untuk setiap k  yang tetap;

2) 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 315/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

307

dengan barisan adalah barisan konvergen dan barisan

adalah barisan terbatas, konvergen dan konvergen.

Maka barisan konvergen ke limit , dan ditulis

Bukti. Ambil sebarang barisan yang konvergen ke limit ditulis .Diberikan sebarang maka sedemikian sehingga berlaku

Karena barisan konvergen maka barisan terbatas, oleh

karenanya berlaku

Misalkan . Jika maka

 berlaku . Oleh karenanya diperoleh

Sesuai kondisi misalkan bahwa ini berarti terdapat

sedemikian sehingga berlaku dan karena barisan

terbatas maka sedemikian sehingga Sesuai kondisi yaitu

ada untuk setiap k   yang tetap maka terdapat

sedemikian sehingga berlaku

Misalkan deret

dan

konvergen mutlak.Selanjutnya didefinisikan

dan

Jika maka berlaku

Akibatnya diperoleh

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 316/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

308

Karena sebarang, maka terbukti bahwa barisan konvergen ke Ini

 berarti bahwa mengawetkan kekonvergenan.

3.3 Transformasi Matriks Deret Dirichlet HolomorfikSebelum membahas bagian ini, terlebih dahulu diperkenalkan suatu notasi dasar

yang akan digunakan pada tulisan ini, adalah notasi

ruang fungsi holomorfik di , dimana fungsi-fungsi holomorfik tersebut konvergen

seragam pada subset kompak dari yakni , kompak.

Jika , maka

.

Misalkan suatu domain konveks di , dengan supporting function

didefinisikan sebagai berikut

Untuk suatu titik , dinotasikan

dan

 jelas bahwa dan

Juga diperoleh

Lebih jauh, karena jelas bahwa

dan karenanya,

Misalkan suatu barisan vektor kompleks di . Pandang deret dirichlet

Terdapat sifat yang khas dari koefisien deret jika deret tersebut konvergen di ,

yang dinyatakan dalam teorema berikut ini.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 317/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

309

Teorema 3.2 . Jika deret dirichlet konvergen di dan jika ,

maka

Sebaliknya, jika koefisien memenuhi kondisi dan jika

maka deret konvergen mutlak di .

Bukti.  Misalkan bahwa deret konvergen pada . Ini berarti

dan berakibat bahwa barisan terbatas. Ambil suatu

titik tetap , maka untuk sebarang terdapat konstanta positif

sedemikian sehingga

dan berdasarkan ekuivalen dengan

Dengan mengkombinasikan pertidaksamaan dengan dan diperoleh

Akibatnya,

dengan , diperoleh

Misalkan berlaku

dan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 318/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

310

Misal kompak. Ambil suatu titik tetap . Jelas bahwa .

Akan ditunjukkan

Berdasarkan , diberikan , $   sedemikian sehingga

 berlaku

atau

Karenanya, berlaku

dan berdasarkan $  sedemikian sehingga berlaku

Karenanya, berlaku

sehingga diperoleh

Terbukti bahwa deret konvergen mutlak di .

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 319/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

311

Dari teorema ini, diperoleh bahwa jika terpenuhi, maka deret

konvergen di jika dan hanya jika ia konvergen mutlak di .

Selanjutnya, akan diperkenalkan notasi yang juga akan dipergunakan pada tulisanini, adalah notasi himpunan barisan yang memenuhi kondisi dan

 berdasarkan Kothe, biasa disebut ruang barisan. Terdapat beberapa sifat dari ruang iniyang akan digunakan pada pembahasan selanjutnya.

Pandang deret dirichlet

dan berdasarkan Teorema 3.2  jumlah deret dirichlet di atas adalah suatu fungsiholomorfik di , dan ditulis

dengan adalah fungsi holomorfik di .

Selanjutnya, dinotasikan oleh suatu koleksi semua matriks yang

mempunyai sifat bahwa jika barisan , suatu barisan fungsi yang

diberikan oleh

konvergen seragam di , maka setiap deret dirichlet juga konvergen di

.

Pada teorema berikut dibahas kondisi untuk matriks yang diberikan

Sedemikian Sehingga Termuat Pada Kelas .

Teorema 3.5. Jika kondisi berikut ini terpenuhi:

dan

maka matriks termuat di .

Bukti. Asumsikan bahwa kondisi dan terpenuhi. Misalkan .

Ambil sebarang subset kompak K di , maka diperoleh untuk suatu .

Sesuai kondisi , barisan terbatas dan karenanya

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 320/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

312

akibatnya, .

Lebih jauh, berdasarkan kondisi , untuk terdapat N(s)

sedemikian sehingga

atau ekuivalen dengan

Maka kita punya ,

yang sesuai dengan kondisi .

Karenanya, setiap deret konvergen mutlak di ruang ,

dan karenanya merepresentasikan fungsi holomorfik di .

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa barisan konvergen seragam pada K. Misalkan

diberikan sebarang, pilih sedemikian sehingga

 Notasikan

Pertama, pandang kolom dari matriks . Menurut kondisi diperoleh

 bahwa terdapat sedemikian sehingga

maka , kita peroleh

yang sesuai dengan kondisi .

Dengan memfokuskan pada deret berdasarkan diperoleh

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 321/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

313

Akibatnya, diperoleh

Terbukti bahwa konvergen seragam pada K.

4.  KesimpulanJika ruang yang mempunyai struktur (aljabar) maka akan

mengawetkan struktur yang ada jika memenuhi beberapa kondisi. Dari hasil

 pembahasan diperoleh bahwa;1)  Jika konvergen ke limit , ditulis dan memenuhi

kondisi berikut ini:a)  untuk setiap k  yang tetap;

 b) 

Maka barisan konvergen ke limit , ditulis Ini berarti

 bahwa mengawetkan struktur di X.

2)  Sedangkan jika barisan bilangan kompleks konvergen ke limit dan

memenuhi kondisi berikut ini:

a)  ada untuk setiap k  yang tetap;

 b) 

dengan barisan adalah barisan konvergen dan barisanadalah barisan terbatas, konvergen dan konvergen. Maka barisan

 bilangan kompleks konvergen ke limit , ditulis . Ini

 berarti bahwa mengawetkan struktur di X.

3)  Selanjutnya, jika suatu koleksi semua matriks yang

mempunyai sifat bahwa jika barisan , suatu barisan fungsi yang

diberikan oleh

konvergen seragam di , maka setiap deret dirichlet juga konvergen di

. Jika memenuhi kondisi berikut ini:

a) 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 322/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

314

 b) 

maka matriks termuat di .

Daftar PustakaBorwein, D. and Jakimovski, A. “ Matrix transformations of power series”,  Proc. Amer.

 Math. Soc., 122 (1994), 511-523.

Churchill, Ruel V. and Brown, James Ward. “Complex Variables and Applications”,seventh edition, McGrawhill International Editions, 2003.

Le Hai Khoi. “Holomorphic Dirichlet series in several variables”, Math. Scand., 77(1995), 85-107.

Le Hai Khoi. “ A Note Matrix transformations of Holomorphic Dirichlet series”,Portugaliae J. Math., 56 (1999), 195-203.

Le Hai Khoi. “Holomorphic Dirichlet series in several variables”, Math. Scand., 77(1995), 85-107.

Poyla, G. and Szego, G. “Problems and Theorems in Analysis”, Volume I, SpringerInternational Student Edition, 1972.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 323/537

 

BIDANG KAJIAN : KOMPUTASI

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 324/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

315

PENENTUAN HARI DAN HARI PASAR, KONVERSI TANGGAL ANTARAMASEHI, HIJRIYYAH, DAN JAWA-ISLAM

Tika Fajar MuflihahMahasiswa S1 Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

ABSTRAK

Sistem pembagian waktu atas suatu periode seperti hari, minggu, bulan, dantahun, serta pengaturan pembagian tersebut dalam susunan tertentu di sebut sistem penanggalan atau kalender. Sistem penanggalan yang paling banyak digunakan olehmasyarakat Indonesia adalah sistem penanggalan Masehi, sistem penanggalan Hijriyyah,dan sistem penanggalan Jawa-Islam. Sistem penanggalan Masehi anggaran perhitungannya didasarkan pada lamanya peredaran/pergeseran semu tahunan matahari pada lingkaran ekliptika. Sedangkan sistem penanggalan Hijriyyah dan sistem penanggalan Jawa-Islam anggaran perhitungannya didasarkan pada peredaran sinodis bulan.

Sistem penanggalan mempunyai keteraturan dan selalu berulang, oleh karena itu

memungkinkan untuk membuat formula matematika yang sesuai dengan sistem penanggalan tersebut sehingga dapat mengubah sistem penangalan antara Masehi,Hijriyyah dan sistem penanggalan Jawa-Islam, bahkan dapat pula menentukan namaharinya. Untuk menyusun formula tersebut, dalam makalah ini akan menggunakankonsep kekongruenan yang merupakan salah satu cara untuk menelaah konsepketerbagian pada himpunan bilangan bulat.

PENDAHULUANSistem pembagian waktu atas suatu periode seperti hari, minggu, bulan, dan

tahun, serta pengaturan pembagian tersebut dalam susunan tertentu disebut sistem penanggalan atau kalender (Armando, 2005: 80). Sistem penanggalan yang digunakanoleh manusia umumnya didasarkan pada peredaran matahari, bulan, atau campuran antara peredaran bulan dan matahari (Santoso, 2005: 1). Sekarang, sistem penanggalan yang

 paling banyak digunakan oleh masyarakat Indonesia dalam menentukan peristiwa- peristiwa penting di antaranya adalah sistem penanggalan Masehi, sistem penanggalanHijriyyah, dan sistem penanggalan Jawa-Islam.

Sistem penanggalan atau kalender merupakan salah satu persoalan dalamkehidupan sehari-hari yang mempunyai keteraturan dan selalu berulang dalam kurunwaktu tertentu. Satu tahun dalam sistem penanggalan Masehi lamanya 365 hari 6 jamatau 365 ¼ hari atau 365,25 hari (Dershowitz dan Reingold, 2007: 34). Satu tahun dalam

sistem penanggalan Hijriyyah lamanya30

11354  hari (Dershowitz dan Reingold, 2007:

64). Sedangkan satu tahun dalam sistem penanggalan Jawa-Islam8

3354 hari (Santoso,

2005: 3). Ketiganya mempunyai 12 bulan dalam satu tahun.

Karena sistem penanggalan mempunyai keteraturan dan selalu berulang makamemungkinkan untuk membuat formula matematika yang sesuai dengan sistem penanggalan tersebut dengan menggunakan konsep kekongruenan sehingga dapatmengubah sistem penangalan Masehi menjadi sistem penanggalan Hijriyyah dan sistem penanggalan Jawa-Islam ataupun sebaliknya, bahkan dapat pula menentukan nama haridalam siklus 7 harian serta hari pasar dalam siklus 5 harian.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 325/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

316

Dalam tulisan ini akan ditinjau tiga hal: 1.  Bagaimana cara untuk melakukan konversi sistem penanggalan Masehi menjadi

sistem penanggalan Hijriyyah dan sistem penanggalan Jawa-Islam dan sebaliknya?2.  Bagaimana cara untuk menentukan nama hari (dalam siklus 7 harian), jika tanggal,

 bulan, dan tahun sistem penanggalan Masehi diketahui?3.  Bagaimana cara menentukan nama hari pasar (dalam siklus 5 harian), jika tanggal,

 bulan, dan tahun sistem penanggalan Jawa-Islam diketahui?

SISTEM PENANGGALAN MASEHISistem penanggalan ini diperkenalkan tahun 46 sebelum Masehi (SM) oleh raja

Romawi Julius Caesar sehingga disebut sistem Julian dan mulai belaku pada tahun 46 SM(Santoso, 2005:1). Beberapa ciri pokok dari sistem ini adalah (Santoso, 2005: 1;Dershowitz dan Reingold, 2007: 33-34) :a.  Anggaran perhitungannya didasarkan pada lamanya peredaran/pergeseran semu

tahunan matahari pada lingkaran ekliptika, sehingga disebut solar calendar atau tahunsurya.

 b.  Satu tahun lamanya 365 hari 6 jam atau 365 ¼ hari atau 365,25 hari.c.  Setiap 4 tahun terdapat:

1)  Satu tahun panjang (tahun kabisat) yang lamanya 366 hari, serta2)  Tiga tahun pendek (tahun basithah) yang masing-masing lamanya 365 hari.d.  Tahun panjang (kabisat) ditetapkan tiap tahun ke-empat dari daur (siklus) 4 tahunan

atau pada setiap bilangan tahun yang habis dibagi 4.e.  Satu tahun terdiri dari 12 bulan, masing-masing diberi nama dan urutan sebagai

 berikut.1. Januari 31 hari2. Februari 28/29 hari3. Maret 31 hari4. April 30 hari5. Mei 31 hari6. Juni 30 hari

7. Juli 31 hari8. Agustus 31 hari9. September 30 hari10. Oktober 31 hari11. November 30 hari12. Desember 31 hari

f.  Awal tahun dimulai setiap tanggal 1 Januari.

g.  Awal musim bunga ditetapkan pada tanggal 24 Maret, yaitu saat matahari berada pada gugus aries.h.  Tanggal 25 Desember dipercayai sebagai hari kelahiran Isa AlMasih, maka mulai

 bulan berikutnya (Januari) diberi nomor tahun sehingga kalender Julian ini dikenal juga sebagai kalender Masehi atau Miladiah.

Menurut Santoso (2005: 1) pada tahun 325 M sistem kalender ini mengalamisedikit perubahan yaitu awal musim bunga menjadi tanggal 21 Maret (sebelumnyatanggal 24 Maret). Perubahan ini dilakukan pada konsili (pertemuan pimpinan Gereja) di Nicea.

Tahun 1582 M, awal musim bunga diubah kembali menjadi tanggal 11 Maret,10 hari lebih awal dari dari musim bunga yang ditetapkan konsili Nicea (Dershowitz danReingold, 2007: 34). Kemudian Paus Gregorius XIII memperbaiki sistem Julian inisebagai berikut (Santoso, 2005: 1; Dershowitz dan Reingold, 2007: 33-34; Resch, 1969:

448-449; Tn, 2007: 14).a.  Awal musim bunga ditetapkan kembali tanggal 21 Maret. b.  Tanggal 5 Oktober 1582 M diubah menjadi tanggal 15 Oktober 1582 M. hal ini

dilakukan untuk menghilangkan pebedaan 10 hari karena mengubah awal musim bunga tanggal 11 menjadi tanggal 21 Maret, sehinga tanggal 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, dan 14 Oktober 1582 M ditiadakan.

c.  Tahun panjang (kabisat) ditetapkan pada tiap bilangan tahun yang habis dibagi 4,kecuali bilangan tahun abad yang tidak habis dibagi 400 bukan tahun panjang

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 326/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

317

(kabisat). Jadi, tahun 1700, 1800, 1900, 2100, … dst. bukan tahun panjang (kabisat),dan tahun 1600, 2000, 2400, … dst. adalah tahun panjang (kabisat).

Sistem Gregorius ini sebenarnya belum sempurna, masih ada sedikit penyimpangan, tetapi sangat kecil. Menurut Santoso (2005: 2) penyimpangan satu hariakan terjadi setiap 3334 tahun sekali, sehingga koreksi itu baru dapat dilakukan padatahun 4916 M mendatang. Sedangkan menurut Resch (1969: 450) penyimpangan satuhari akan terjadi setiap 3300 tahun sekali.

Konversi sistem penanggalan dalam makalah ini dibatasi dari tahun 1 Masehi.

SISTEM PENANGGALAN HIJRIYYAHSistem penanggalan Hijriyyah ditetapkan oleh khalifah Umar ibn Khattab dan

 berlaku mulai 20 Jumaditstsani 17 Hijriyyah. Permulaan tahun Hijriyyah ditetapkan samadengan tahun hijrahnya Rasulullah dari Makkah ke Yastrib (Madinah). Nama-nama bulandan sistem perhitungannya tetap menggunakan sistem yang dipakai oleh masyarakat Arabsebelumnya (Santoso, 2005: 2).

Ciri-ciri pokok dari sistem penanggalan Hijriyyah menurut hisab ‘urfi atauhisab isthilah adalah sebagai berikut (Santoso, 2005: 2; Armando, 2005: 81; Dershowitzdan Reingold, 2007: 63-64).

a.  Perhitungannya didasarkan pada peredaran sinodis bulan, yaitu waktu yangdiperlukan bulan untuk mengelilingi bumi, mulai bulan baru sampai bulan baru berikutnya. Peredaran sinodis lamanya rata-tara 29 hari, 12 jam, 44, menit, dan 28detik atau 29,53 hari. Sehingga satu tahun lamanya menjadi 354 hari, 8, jam, 48

menit, dan 30 detik atau30

11354  hari.

 b.  Setiap 30 tahun terdapat:1)  11 tahun panjang (kabisat) yang masing-masing lamanaya 355 hari, serta2)  19 tahun pendek yang masing-masing lamanya 354 hari.

c.  Tahun panjang (kabisat) ditetapkan pada tahun ke-2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 21, 24, 26,dan 29 setiap daur (siklus) 30 tahunan.

d.  Satu tahun terdiri dari 12 bulan yang masing-masing diberi nama dan urutan sebagai berikut.

1. Muharram 30 hari2. Shafar 29 hari3. Rabi’ul-awwal 30 hari4. Rabi’uts-tsani 29 hari5. Jumadil-awal 30 hari6. Jumadits-tsani 29 hari

7. Rajab 30 hari8. Sya’ban 29 hari9. Ramadhan 30 hari10. Syawwal 29 hari11. Dzul-qa’dah 30 hari12. Dzul-hijjah 29/30 hari

Bulan bernomor ganjil lamanya 30 hari dan bulan bernomor genap lamanya 29 hari.Tambahan satu hari pada tahun panjang (kabisat) pada bulan Dzul-hijjah.

e.  Satu daur (siklus) 30 tahunan lamanya 10631 hari.Hasil perhitungan berdasarkan hisab ‘urfi ini umumnya relatif sama dengan

hasil perhitungan hisab haqiqi. Tetapi untuk waktu tertentu berbeda dengan perhitunganhisab haqiqi walaupun perbedaannya jarang dan kecil sekali. Hasil perhitungan hisab ‘urfitidak dapat dijadikan pedoman dalam beribadah oleh umat Islam. Hasil hisab ‘urfi dapatdigunakan jika sesuai dengan hisab haqiqi, karena hisab haqiqi didasarkan pada posisi bulan sebenarnya (Santoso, 2005: 2).

Menurut Dershowitz dan Reingold (2007: 63-64) tanggal 1 Muharram 1 H bertepatan dengan tanggal 16 Juli 622 M, sehingga selisih tetap antara sistem

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 327/537

 

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian danKepercayaan Diri Bangsa

318

 penanggalan Masehi dan Hijriyyah adalah lamanya hari sampai tanggal 15 Juli 622 M,yaitu 621 tahun, 6 bulan, dan 15 hari atau 227016 hari.

Konversi sistem penanggalan dalam makalah ini dibatasi dari tahun 1Hijriyyah.SISTEM PENANGGALAN JAWA-ISLAM

Sistem penanggalan Jawa ditetapkan oleh Prabu Syaliwahyono (Aji Saka) satutahun setelah ia dinobatkan sebagai raja, tanggal 1 Kasa tahun 1 Saka, bertepatan denganSabtu, 14 Maret 78 Masehi. Semula sistem penanggalan ini berwindu 30 tahun, dan berpedoman pada peredaran matahari. Satu tahun lamanya 365 atau 366 hari dan berlakusampai tahun 1555 Saka (Santoso, 2005: 3).

Sistem penanggalan ini diperkenalkan bersamaan dengan penyebaran agamaHindu di Pulau Jawa, sehingga dinamakan sistem penanggalan Jawa-Hindu.

Pada tahun 1043 H (1633 M / 1555 Saka) sistem ini diubah oleh raja Mataram,Sultan Mochammad (terkenal dengan gelar Sultan Agoeng Praboe Anyokrokoesoemo)yang menjadikan bulan sebagai pedoman, berwindu 8 tahun, dan sistem perhitungannyameniru sistem penanggalan Hijriyyah, sedangkan nomor tahunnya melanjutkan nomortahun Saka (1555, 1556, 1557, ..., dst.). kemudian sistem ini dikenal dengan sistem penanggalan Jawa-Islam. Ciri-ciri pokoknya adalah sebagai berikut (Santoso, 2005: 4;

Latifa, 2002).a.  Anggaran perhitungannya didasarkan pada peredaran sinodis bulan sehinggadinamakan lunar calendar atau tahun chandra

 b.  Satu tahun lamanya 354,375 hari =8

3354 hari.

c.  Setiap satu windu (8 tahun) terdapat:1)  Tiga tahun panjang (kabisat) yang masing-masing lamanya 355 hari.2)  Lima tahun pendek yang masing-masing lamanya 354 hari.Sehingga setiap satu windu berjumlah 2.835 hari.

d.  Tahun panjang (kabisat) terdapat pada tahun ke-2, 5, dan 8, setiap satu windu.e.   Nama-nama dan urutan bulannya hampir sama dengan sistem penanggalan Hijriyyah,

yaitu sebagai berikut.1. Suro 30 hari

2. Sapar 29 hari3. Mulud 30 hari4. Bakdo Mulud 29 hari5. Jumadil-awal 30 hari6. Jumadil akhir 29 hari7. Rejeb 30 hari8. Ruwah 29 hari9. Poso 30 hari10. Sawal 29 hari11. Dulkangidah 30 hari12. Besar 29/30 hari

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 328/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

318

Di daerah Pasundan nama-nama bulan tersebut sedikit berbeda, yaitu: Muharam,Sapar, Mulud, Silih-mulud, Jumadil-awal, Jumadil-ahir, Rajab, Rewah, Puasa,Sawal, Hapit, dan Rayagung.

f.  Setiap 30 tahun lamanya akan menjadi 10.6314

1  hari, lebih

4

1hari dari sistem

 penanggalan Hijriyyah, selisih ini menjadi 1 hari setiap 120 tahun. Untuk itu, setiap120 tahun diadakan pengurangan satu hari. Atau setiap bilangan tahun kelipatan 120yang seharusnya tahun panjang (kabisat) diubah menjadi tahun pendek. Sehinggasetiap 120 tahun sama dengan sistem penanggalan Hijriyyah yaitu 42.524 hari.

g.  Selain siklus 7 harian (mingguan), pada sistem penanggalan Jawa terdapat siklus 5harian yang disebut hari pasaran. Nama dan urutan hari pasaran tersebut adalah: Legi,Pahing, Pon, Wage, Kliwon.

Konversi penanggalan dalam makalah ini dibatasi dari tahun 1555 Saka.

KEKONGRUENAN

Definisi (Kartasasmita, 1982: 32):Jika m   suatu bilangan bulat positif membagi ba −   maka dikatakan a   kongruenterhadap b  modulo m  dan ditulis )(mod mba ≡ . Jika m  tidak membagi ba −  maka

dikatakan a  tidak kongruen terhadap b  modulo m  dan ditulis )(mod mba ≡ .

Teorema (Kartasasmita, 2007: 32):Untuk bilangan bulat sebarang a  dan b , )(mod mba ≡   jika dan hanya jika a  dan b  

memiliki sisa yang sama jika dibagi m .Bukti:Pandang )(mod mba ≡ . Ini berarti kmba   += , dengan k   bilangan bulat. Menurut

Algoritma Pembagian, r qmb   += , dengan mr  <≤0 . Maka

r mk qkmr qmkmba   ++=++=+= )()(  

Ini berarti a  seperti b  memiliki sisa r  jika dibagi m .Andaikan r mqa   += 1   dan r mqb   += 2   dengan dengan r   yang sama, mr  <≤0 .

Maka mqqba )( 21 −=−  yang berarti .  bam   −  Ini berarti )(mod mba ≡ .

FUNGSI BILANGAN BULAT TERBESAR

Definisi (Kartasasmita, 1982: 96) :Untuk  x   bilangan real, [ ] x   menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau

sama dengan  x ; dengan kata lain [ ] x   adalah bilangan bulat tunggal yang memenuhi

[ ]  x x x   ≤<−1 .

Teorema (Kartasasmita, 1982: 98):

 jika a   dan n   dua bilangan bulat positif dengan na ≤   maka

a

n  adalah banyaknya

 bilangan bulat di antara 1, 2, 3, …, n  yang terbagi a .Bukti:Misalkan a , 2 a , 3 a , …, ka  semua bilangan bulat positif yang lebih kecil atau samadengan n  yang masing-masing terbagi a .

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 329/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

319

Maka ak nka )1(   +<≤   dan 1+<≤ k a

nk  . Ini berarti k 

a

n =

. Banyaknya bilangan

 bulat di antara 1, 2, 3, …, n  yang terbagi a  adalah k  buah.

KONVERSI ANTAR SISTEM PENANGGALAN MASEHI, HIJRIYYAH, DANJAWA-ISLAM

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam sistem penanggalan Masehi adalah:1.  Satu daur (siklus) 4 tahunan lamanya 1461 hari.2.  Mulai 1582 M bilangan abad yang tidak habis dibagi 400 bukan tahun panjang.

Sehingga satu daur (siklus) 400 tahunan lamanya 146097 hari.3.  Terdapat penghapusan 10 hari pada bulan Oktober 1582 M.

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam sistem penanggalan Hijriyyah adalah:1.  Satu daur (siklus) 30 tahunan lamanya 10631 hari yang terdiri dari 11 tahun panjang

(kabisat) dan 19 tahun pendek.2.  Tahun panjang (kabisat) ditetapkan pada tahun ke-2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 21, 24, 26,

dan 29 setiap siklus 30 tahunan.Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam sistem penanggalan Jawa-Islam adalah:

1.  Satu daur (siklus) 120 tahunan lamanya 42.524 hari .2.  Satu daur (siklus) 8 tahunan lamanya 2.835 hari yang terdiri dari 3 tahun panjang

(kabisat) dan 5 tahun pendek.3.  Tahun panjang (kabisat) ditetapkan pada tahun ke-2, 5, dan 8 setiap daur (siklus) 8

tahunan.Konversi sistem penanggalan Masehi menjadi sistem penanggalan Hijriyyah

dan sistem penanggalan Jawa-Islam dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.1.  Inputnya adalah tanggal, bulan, dan tahun dalam sistem penanggalan Masehi.2.  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Masehi sampai dengan tanggal

tersebut.3.  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Hijriyyah.JH (Hijriyyah) = JH (Masehi) – Selisih tetap Masehi dengan Hijriyyah

4.  Mengubah jumlah hari (Hijriyyah) menjadi sistem penanggalan Hijriyah.5.  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Jawa-Islam.

JH (Jawa-Islam) = JH (Masehi) – Selisih tetap Masehi dengan Jawa-Islam6.  Mengubah jumlah hari (Jawa-Islam) menjadi sistem penanggalan Jawa-Islam.7.  Outputnya adalah tanggal, bulan, dan tahun dalam sistem penanggalan Hijriyyah

dan sistem penanggalan Jawa-Islam.Konversi sistem penanggalan Hijriyyah menjadi sisem penanggalan Masehi dan

sistem penanggalan Jawa-Islam dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.1.  Inputnya adalah tanggal, bulan dan tahun dalam sistem penanggalan Hijriyyah.2.  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Hijriyyah sampai dengan tanggal

tersebut.3.  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Masehi.JH (Masehi) = JH (Hijriyyah) + Selisih tetap Masehi dengan Hijriyyah

4.  Mengubah jumlah hari (Masehi) menjadi sistem penanggalan Masehi.5.  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Jawa-Islam.

JH (Jawa-Islam) = JH (Masehi) – Selisih tetap Masehi dengan Jawa-Islam6.  Mengubah jumlah hari (Jawa-Islam) menjadi sistem penanggalan Jawa-Islam.7.  Outputnya adalah tanggal, bulan, dan tahun dalam sistem penanggalan Masehi dan

sistem penanggalan Jawa-Islam.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 330/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

320

Konversi sistem penanggalan Jawa-Islam menjadi sisem penanggalan Masehidan sistem penanggalan Hijriyyah dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.1.  Inputnya adalah tanggal, bulan dan tahun dalam sistem penanggalan Jawa-Islam.2.  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Jawa-Islam sampai dengan

tanggal tersebut.3.  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Masehi.

JH (Masehi) = JH (Jawa-Islam) + Selisih tetap Masehi dengan Jawa-Islam4.  Mengubah jumlah hari (Masehi) menjadi sistem penanggalan Masehi.5.  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Hijriyyah.

JH (Hijriyyah) = JH (Masehi) – Selisih tetap Masehi dengan Hijriyyah6.  Mengubah jumlah hari (Hijriyyah) menjadi sistem penanggalan Hijriyah. Dengan

 berpedoman bahwa:7.  Outputnya adalah tanggal, bulan, dan tahun dalam sistem penanggalan Masehi dan

sistem penanggalan Hijriyyah.

PENENTUAN NAMA HARI (siklus 7 harian)Metode 1

Penentuan nama hari (siklus 7 harian) dalam sistem penanggalan Masehi dapatdilakukan dengan cara menentukan terlebih dahulu jumlah hari (JH) sistem penanggalanMasehi sampai dengan hari tersebut. Sehingga

)7(moda JHM  ≡  

JikaJumatharimaka0=a  Sabtuharimaka1=a  Mingguharimaka2=a  

Seninharimaka3=a  Selasaharimaka4=a  Rabuharimaka5=a  Kamisharimaka6=a  

Metode 2Dalam selang waktu antara tahun 1600 dan N, dapat dihitung:

-  Banyak tahun yang habis dibagi 4 =

4

1600

4

 N  

= 4004

  −

 N 

 

-  Banyak tahun abad = − 1001600

100 N   

= 16100

  −

 N 

 

-  Banyak tahun abad yang habis dibagi 400 =

400

1600

400

 N  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 331/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

321

= 4400

  −

 N 

 

-  Banyak tahun abad yang tidak habis dibagi 400 =     

   −

−−

4

40016

100

 N  N  

= 12400100  −

 N  N 

 

Sehingga, jika T adalah banyaknya tahun panjang (kabisat), maka

T =     

   −

−−

12400100

4004

 N  N  N  

= 3884001004

  −

+

 N  N  N 

 

Jika dimisalkan N= 100C + D, dengan D<100, maka

+=

425

4

 DC 

 N ; C 

 N =

100

;

=

4400

C  N  

Dan

T = 38844

25   −

+−

+ C 

C  D

C   

Menurut Uspensky dan Heaslet (1939: 206) karena pada tahun panjang(kabisat) penambahan satu hari terletak pada akhir bulan Februari, maka lebih mudahuntuk bekerja dengan menganggap bahwa awal tahunnya adalah bulan Maret. Sedangkanuntuk menentukan hari minggu, senin, selasa, ..., dst. ditentukan oleh bilangan hari 0, 1,2, ..., dst..

Misalkan bilangan hari pada 1 Maret 1600 ditunjukkan oleh 'a   yang

ditentukan oleh kekongruenan

)7(mod3882544

1600100'   −+

+−

+−++≡ C 

C C 

 D DC aa  

Atau

)7(mod244

' C C  D

 Daa   −

+

++≡  

Diketahui bahwa 1 Maret 1938 adalah hari selasa (Uspensky dan Heaslet,1939: 207).

2'≡a  

38= D ; 19=C  ; )7(mod6244  ≡−

+

+ C 

C  D D  

Sehingga

3

)7(mod62

=+≡

a

Dengan demikian, 1 Maret 1600 M bertepatan dengan hari rabu. Sehingga

)7mod( 244

3' C C  D

 Da   −

+

++≡  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 332/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

322

Ini adalah kekongruenan untuk menentukan hari pada 1 Maret untuk setiap tahun setelahtahun 1600 M.

Menurut Uspensky dan Heaslet (1939: 208) Ungkapan [ ]2,06,2   −m  memberikan hasil yang sama dengan uraian di atas jika m   adalah nomor bulan yangdimulai dari bulan Maret. Sehingga bilangan hari ditenukan oleh

[ ]   ( )7mod 244

2,06,2 C C  D

 Dmk  f    −

+

++−+≡ , dengan k   adalah

tanggal dan m  adalah nomor bulan yang dimulai dari bulan Maret.

PENENTUAN NAMA HARI PASAR (siklus 5 harian)Penentuan nama hari (siklus 5 harian) dalam sistem penanggalan Jawa-Islam

dapat dilakukan dengan cara menentukan terlebih dahulu jumlah hari (JH) sistem penanggalan Jawa-Islam sampai dengan hari tersebut. Sehingga

)5(moda JHJ  ≡  

JikaKliwonharimaka0=a  Legiharimaka1=a  

Pahingharimaka2=a  

Ponharimaka3=a  Wageharimaka4=a  

KESIMPULAN1.  Konversi system penanggalan Masehi, Hijriyyah, dan Jawa-Islam dapat dilakukan

sebagai berikut.a.  Konversi sistem penanggalan Masehi menjadi sistem penanggalan Hijriyyah dan

sistem penanggalan Jawa-Islam dapat dilakukan dengan langkah-langkah

sebagai berikut.1)  Inputnya adalah tanggal, bulan, dan tahun dalam sistem penanggalan

Masehi.2)  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Masehi sampai dengan

tanggal tersebut.3)  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Hijriyyah.4)  Mengubah jumlah hari (Hijriyyah) menjadi sistem penanggalan Hijriyah.5)  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Jawa-Islam.6)  Mengubah jumlah hari (Jawa-Islam) menjadi sistem penanggalan Jawa-

Islam.7)  Outputnya adalah tanggal, bulan, dan tahun dalam sistem penanggalan

Hijriyyah dan sistem penanggalan Jawa-Islam. b.  Konversi sistem penanggalan Hijriyyah menjadi sisem penanggalan Masehi dan

sistem penanggalan Jawa-Islam dapat dilakukan dengan langkah-langkahsebagai berikut.1)  Inputnya adalah tanggal, bulan, dan tahun dalam sistem penanggalan

Hijriyyah.2)  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Hijriyyah sampai dengan

tanggal tersebut.3)  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Masehi.4)  Mengubah jumlah hari (Masehi) menjadi sistem penanggalan Masehi.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 333/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

323

5)  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Jawa-Islam.6)  Mengubah jumlah hari (Jawa-Islam) menjadi sistem penanggalan Jawa-

Islam.7)  Outputnya adalah tanggal, bulan, dan tahun dalam sistem penanggalan

Masehi dan sistem penanggalan Jawa-Islam.c.  Konversi sistem penanggalan Jawa-Islam menjadi sistem penanggalan Masehi

dan sistem penanggalan Hijriyyah dapat dilakukan dengan langkah-langkahsebagai berikut.1)  Inputnya adalah tanggal, bulan dan tahun dalam sistem penanggalan Jawa-

Islam.2)  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Jawa-Islam sampai

dengan tanggal tersebut.3)  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Masehi.4)  Mengubah jumlah hari (Masehi) menjadi sistem penanggalan Masehi.5)  Menghitung jumlah hari (JH) sistem penanggalan Hijriyyah.

6)  Mengubah jumlah hari (Hijriyyah) menjadi sistem penanggalan Hijriyah.7)  Outputnya adalah tanggal, bulan, dan tahun dalam sistem penanggalanMasehi dan sistem penanggalan Hijriyyah.

2.  Penentuan nama hari (siklus 7 harian) dapat dilakukan dengan 2 metode, yaitu:Metode 1Menentukan terlebih dahulu jumlah hari (JH) sistem penanggalan Masehi sampaidengan hari tersebut. Sehingga

)7(moda JHM  ≡  

JikaJumatharimaka0=a  Sabtuharimaka1=a  Mingguharimaka2=a

 Seninharimaka3=a  Selasaharimaka4=a  Rabuharimaka5=a  Kamisharimaka6=a  

Metode 2Untuk menentukan nama hari: minggu, senin, selasa, ..., dst. ditentukan oleh bilangan hari 0, 1, 2, ..., dst.. Sedangkan bilangan hari f ditentukan oleh:

[ ]   ( )7mod 244

2,06,2 C C  D

 Dmk  f    −

+

++−+≡ , dengan k  adalah tanggal

dan m  adalah nomor bulan yang dimulai dari bulan Maret.

c.  Penentuan nama hari (siklus 5 harian) dapat dilakukan dengan cara dengan caramenentukan terlebih dahulu jumlah hari (JH) sistem penanggalan Jawa-Islamsampai dengan hari tersebut. Sehingga

)5(moda JHJ  ≡  

JikaKliwonharimaka0=a  Legiharimaka1=a  

Pahingharimaka2=a  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 334/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

324

Ponharimaka3=a  Wageharimaka4=a  

DAFTAR PUSTAKA

Armando, Nina M. (2005). Ensiklopedi Islam. Jakarta: PT. Ichtiar Baru van Hoeve.

Dershowitz, Nachum dan Reingold, Edward M. (2007). Calendrical Calculations. NewYork: Cambridge University Press.

Kartasasmita, Bana. (1982).  Pengantar Teori Bilangan. Bandung: Jurusan Matematika,Institut Teknologi Bandung.

Latifa, adji abu. (2002).  Kalender Jawa. [Online]. Tersedia: http://www.babadbali.com.[

9 November 2009]

Resch, R.D. (1969).  McGraw-Hill Encyclopedia of Science and Technology. New Yorkdan London: McGraw-Hill Book Company, INC.

Santoso, M. Iqbal. (2005). Sistem Penanggalan.  Garut: Materi Pelajaran Ilmu Falak:Tidak diterbitkan.

Uspensky, J.V. dan Heaslet, M.A. (1939).  Elementary Number Theory.  New York danLondon: McGraw-Hill Book Company, INC.

 ___________. (2007). The New Book of Knowledge.  Danbury: Scholastic LibraryPublishing, INC.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 335/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

325

Pengenalan Bunyi Ucapan Menggunakan Pohon Keputusan Relasi Acak

Riko Arlando Saragih(1)

dan Simon Petro Sianipar(2)

 Jurusan Teknik Elektro Univeristas Kristen MaranathaEmail : [email protected] 

(1)Dosen Jurusan Teknik Elektro Jurusa Univeristas Kristen Maranatha(2) Alumni Jurusan Teknik Elektro Jurusa Univeristas Kristen Maranatha

ABSTRAK

Kemajuan teknologi yang sangat pesat memungkinkan segala sesuatu dapatdilakukan dengan cepat dan tepat. Pengenalan suara merupakan suatu cara yang dapatdilakukan untuk mempercepat pekerjaan karena dengan pengenalan suara, maka mesin

ataupun komputer dapat mengerti apa yang diucapkan.Dalam tulisan ini akan dipaparkan mengenai pengenalan bunyi ucapan (kata)menggunakan pohon keputusan relasi acak dengan terlebih dahulu menghitung nilai spectrogram dari sinyal suara dan dilakukan per frame. Selanjutnya dilakukan pembangkitan pohon keputusan untuk mengenali kata apa yang diucapkan.

Dari hasil simulasi diperoleh bahwa panjang (durasi) ucapan sangatmempengaruhi pengenalan. 

Kata kunci  : pengenalan bunyi ucapan, spectrogram, pohon keputusan 

1.  PendahuluanKemajuan teknologi yang pesat mengakibatkan segala sesuatu harus dilakukan

dengan cepat. Dengan pengenalan suara, sesuatu dapat dikenal sebagai unit (kata),

sehingga sebuah informasi dapat dipahami secara cepat.Dalam tulisan ini bunyi ucapan (kata) dicirikan dengan menggunakan spectrogram yang akan digunakan untuk membentuk pohon keputusan relasi acak. Pohonkeputusan bertujuan untuk mencirikan sinyal suara untuk memudahkan pengenalan kata.

Konsep dari pohon keputusan adalah mengubah data menjadi pohon denganaturan-aturan keputusan yang ditentukan. Hasil dari pengenalan suara berupa kata yangdapat digunakan untuk berbagai aplikasi misalnya, voice dialing , membuka aplikasidalam komputer ataupun untuk keamanan.

2.  Kajian Literatur2.1 Konsep tentang Sinyal Suara Manusia (Speech) [3] 

Sinyal suara merupakan gelombang yang merambat dengan cara menghasilkan perubahan tekanan pada medium yang dilaluinya. Alat yang umum digunakan untuk

menangkap gelombang suara adalah mikrofon, yang bekerja dengan cara mengkonversi perubahan tekanan medium menjadi perubahan  tegangan elektrik analog. Sinyal inikemudian diubah menjadi sinyal digital dengan melalui proses  sampling   dankuantitasi.

Sampling yaitu mengambil nilai−nilai sinyal pada waktu–waktu tertentu sesuai perioda sampling yang digunakan. Misalnya, jika diambil periode sampling (T) sebesar 5milidetik, artinya hanya mengambil nilai sinyal setiap 5 milidetik. Dengan demikian

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 336/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

326

diperoleh sebanyak 200 nilai sampel setiap detiknya. Dengan kata lain frekuensi sampling(Fs) proses tersebut adalah 200Hz.

Selanjutnya nilai-nilai sampel yang diperoleh dikuantisasi. Kuantisasi dilakukanuntuk membatasi resolusi nilai amplituda sinyal. Misalnya menggunakan 8 bit untukrepresentasi nilai, maka tersedia 28  = 256 level nilai yang dapat digunakan untukrepresentasi nilai sinyal.

Hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa sinyal dengan frekuensi di bawah Fs/2saja yang dapat direkonstruksi dengan baik. Fs/2 merupakan batas frekuensi paling tinggiyang terkandung dalam sinyal. Jadi, jika ingin mempertahankan frekuensi di bawah 4kHz, maka sinyal harus disampling dengan Fs minimal 8 kHz (syarat Nyquist).

Jika frekuensi Fs/2 lebih kecil dari syarat Nyquist, maka akan mengalamialiasing.  Frekuensi tersebut diasumsikan sebagai frekuensi lain yang berada di bawahfrekuensi Nyquist karena memiliki hasil sampling  yang sama.

2.2 Window Hamming[2] 

Window berfungsi memberi batas sinyal, sehingga bisa dicuplik pada durasitertentu. Jenis window yang digunakan untuk mencuplik sinyal akan mempengaruhi hasilanalisa Fourier. Ada berbagi jenis window antara lain Hanning, Blackman, Rectangular(”no windowing”), Hamming, dan lain sebagainya.

Dalam penelitian ini window yang digunakan adalah window Hamming. WindowHamming dapat dihitung dengan Persamaan (1):

   

  

−−=

1

2cos46,054,0][

 N 

nnw

  π  , 0 ≤ n ≤  N − 1

0][   =nw , untuk n yang lain (1)

Proses windowing dilakukan dengan mengalikan sinyal masukan x[n] (dalam waktudiskrit) dengan window w[n]:

][][][ nwn xn y   =   (2)

2.3 Transformasi Fourier Diskrit (TFD) [1] Transformasi Fourier merupakan perhitungan matematis untuk mengubah sinyal

dari domain waktu menjadi domain frekuensi. Dengan mengkonversi sinyal (dalamdomain waktu) ke domain frekuensi, maka dapat diperoleh respon frekuensi dari sinyaltersebut.

Transformasi Fourier Diskrit (TFD) merupakan salah satu cara untuk melakukananalisa sinyal waktu diskrit x[n]. TFD dapat dihitung menggunakan Persamaan (3):

10,][][21

0

−≤≤=   

  

  −−

=∑  N k en xk  X 

n N 

k  j N 

n

π  (3)

Sementara invers dari Transformasi Fourier Diskrit (ITFD) digunakan untuk

menghitung kembali representasi sinyal waktu diskrit x[n] dari sinyal yang dinyatakandalam domain frekuensi X[k]. ITFD dihitung dari Persamaan (2.4) sebagai berikut :

10,][1

][21

0

−≤≤=   

  

  −

=∑  N nek  X 

 N n x

n N 

k  j N 

π  (4)

Untuk menghitung TFD secara cepat dapat menggunakan  Fast FourierTransform  (FFT). FFT pada dasarnya merupakan TFD dengan jumlah sampel [N] bilangan pangkat 2 dengan memecah sejumlah N sampel dalam domain waktu menjadidomain frekuensi. Jika jumlah sampel bukan merupakan kelipatan 2, maka sisanya akan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 337/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

327

diberi ’0’ (sebelum atau sesudah sinyal). Misalnya, N hanya 230, maka nilai ’0’ akandiisikan di awal atau di akhir sinyal, sehingga N menjadi 256.

2.4 Spectrogram [4] Salah satu cara untuk mencirikan sinyal suara (speech) dan merepresentasikannya

adalah melalui representasi spektral. Cara yang paling populer dalam hal ini adalah spectrogram yang merupakan suatu bentuk citra (image) yang merepresentasikan nilaifrekuensi sinyal pada waktu tertentu. Gambar 1 memperlihatkan contoh ilustrasi ciri danrepresentasi bunyi ucapan suara manusia dengan menggunakan  spectrogram.

Gambar 1. Contoh bunyi ucapan suara manusia dan spectrogram-nyaPerhatikan dalam Gambar 1, bahwa pada saat nilai waktu ( t ) antara 0,25 detik

sampai dengan 1 detik, terlihat banyaknya nilai frekuensi yang muncul pada bagian spectrogram-nya cukup banyak (dicirikan dengan beberapa warna). Hal ini sesuai dengantampilan grafik domain waktu yang menunjukkan simpangan gelombang pada waktutersebut cukup tinggi dan beragam.

Sedangkan pada saat nilai t   antara 2 sampai dengan 2,5 detik, terlihat bahwa spectrogram menunjukkan sedikit sekali variasi warna, yang menunjukkan komponenfrekuensi yang muncul sangat sedikit. Hal ini sesuai dengan bentuk gelombang dalamdomain waktu yang hampir tidak ada sinyal ucapan (jeda).

Warna pada  spectrogram  menunjukkan tingkat energi pada setiap frekuensi.Kuning dan hijau menunjukkan energi menengah, merah menunjukkan energi rendah,dan biru menunjukkan energi tertinggi.

2.5 Pohon Keputusan Acak (Random Decision Tree) [4] Pohon keputusan adalah salah satu metode klasifikasi yang paling populer karena

mudah untuk diinterpretasi oleh manusia karena model yang digunakan berupa struktur pohon atau struktur berhirarki. Konsep dari pohon keputusan adalah mengubah datamenjadi pohon keputusan dan aturan-aturan keputusan. Contoh pohon keputusan dapatdilihat pada Gambar 2.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 338/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

328

Gambar 2. Contoh pohon keputusanDari Gambar 2 dapat dilihat contoh pengklasifikasian satu kelompok masyarakat.Kelebihan dari metode menggunakan pohon keputusan adalah :(a)  Daerah pengambilan keputusan yang sebelumnya kompleks dan sangat global dapat

diubah menjadi lebih simpel dan spesifik.(b)  Eliminasi perhitungan-perhitungan yang tidak diperlukan karena ketika menggunakan

metode ini, maka sample diuji hanya berdasarkan kriteria atau kelas tertentu.(c)  Fleksibel untuk memilih ciri (feature) dari internal node yang berbeda. Ciri yang

terpilih akan membedakan suatu kriteria dibandingkan kriteria yang lain dalam node yang sama. Kefleksibelan metode ini meningkatkan kualitas keputusan yangdihasilkan jika dibandingkan ketika menggunakan metode penghitungan satu tahapyang lebih konvensional.

Tujuan relasi acak adalah mencari kemiripan antara sinyal suara yang akan

diujikan dengan sinyal suara yang terdapat di dalam data base secara acak. Ada beberapacara untuk mencari relasi atau kemiripan yang dilakukan dalam penelitian ini, yaitu :1.  Level atau berapa panjang bit pada level terakhir dari setiap frame.2.  Ada berapa banyak perubahan panjang bit dalam setiap frame sinyal suara.3.  Mencocokkan bit-bit yang sama untuk setiap perubahan koefisien spectrogram.

3. Perancangan Sistem Pengenalan Bunyi Ucapan yang DilakukanPada bagian ini akan disampaikan perancangan sistem pengenalan suara dengan

 pohon keputusan yang dilakukan. Langkah penting dalam proses pengenalan suara yangdilakukan adalah ekstraksi ciri (fitur) suara (bunyi ucapan) tertentu. Langkah ini bertujuan untuk menghasilkan karakteristik khas suatu kata dari beberapa orang sehinggaciri (identitas) kata (bunyi ucapan) tersebut dapat diketahui dan dapat dibedakan dengankata yang lain.

Metode ekstraksi ciri (fitur) suara yang digunakan dalam penelitian ini adalahmenggunakan spectrogram. Metode ini membutuhkan sejumlah operasi pengolahan dasarterhadap sinyal. Pada dasarnya  spectrogram  digunakan untuk menyatakan perubahanfrekuensi dari sinyal ucapan setiap waktu. Spectrogram  dapat dianggap sebagai citra dengan nilai intensitas pikselnya menyatakan kandungan energi (fungsi frekuensi) untuksetiap waktu. Spectrogram yang diperoleh merupakan keluaran dari prosedur  smoothing  (merata-ratakan) dalam domain waktu dan frekuensi sekaligus.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 339/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

329

Sebelum proses ektraksi ciri ini, maka sinyal suara dalam domain waktu (diskrit)dikelompokkan ke dalam beberapa frame yang memiliki ukuran yang seragam denganmenggunakan window Hamming (dalam tulisan ini 256 sampel atau 32 milidetik denganfrekuensi sampling 8 kHz). Kemudian keluaran dari sinyal suara yang telah di-windowdihitung Transformasi  Fourier -nya. Hasilnya merupakan sebuah vektor yangmenunjukkan energi dalam domain frekuensi. Vektor ini dapat disebut sebagai estimasispektrum dari sinyal untuk frame tertentu. Untuk memperoleh informasi  spectrogram,maka dicari nilai log dari absolut (mutlak) komponen riil dan imajiner dari setiap entrivektor hasil Transformasi Fourier sinyal suara yang telah di-window. Penjelasan tentang proses ektraksi ciri suara ini dapat dilihat dalam Gambar 3.

Gambar 3. Blok Diagram Ekstraksi Ciri SuaraLangkah berikutnya yang penting dalam proses pengenalan suara adalah

 pengenalan bunyi suara (ucapan) kata itu sendiri melalui pembentukan pohon keputusan berdasarkan informasi  spectogram yang diperoleh. Tahap pengenalan bunyi suara(ucapan) kata dapat dilihat dalam Gambar 4.

Gambar 4. Blok Diagram Pengenalan SuaraPenjelasan tentang Gambar 4 (khususnya sesudah blok  spectogram) adalah

sebagai berikut :1.  Satu frame sinyal suara yang menghasilkan 18 nilai  spectrogram  dikuantisasi

dengan sembilan selang. Nilai selang didapat dari selisih   nilai maksimum dannilai minimum koefisien  spectrogram  dan dibagi dengan sembilan (tahapkuantisasi).

2.  Pembentukan pohon keputusan ditandai dengan adanya perpindahan selang.

Perpindahan selang dicirikan berdasarkan ’1’ atau ’0’. Aturan perpindahan nilaiselang adalah sebagai berikut :

(a)  Jika selisih antara koefisien  spectrogram ke-(N+1) dengan ke-N positif,maka daun diset ’1’.

(b)  Jika selisih antara koefisien  spectrogram ke-(N+1) dengan ke-N negatif,maka daun diset ’0’.

(c)  Jika selisih antara koefisien  spectrogram  ke-(N+1) dengan ke-N nol,maka daun diset ’1’ atau ’0’ sesuai dengan daun sebelumnya. Apabila

Sinyal Suara Spectrogram

Kuantisasi

PohonKeputusan

Hasil Pengenalan

Sinyal suara Framing 32 ms

Windowing(Hamming)

FFTLog (abs FFT)

Spectrogram

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 340/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

330

daun sebelumnya ’1’ maka daun diset ’0’ pada level yang sama, tetapi bila pada daun sebelumnya ’0’ maka daun diset ’1’. Tetapi apabila padalevel tersebut daun sudah terisi, maka pohon turun ke level berikutnyadengan menset daun ‘0’.

3.  Satu sinyal suara terdiri dari beberapa frame dan satu frame terdiri dari satu pohon keputusan. Semua pohon yang dibentuk dari beberapa sinyal masukandijadikan database. 

4.  Hasil Simulasi dan PembahasanDalam bagian ini akan disajikan hasil simulasi untuk pengenalan bunyi ucapan

(kata). Kata atau ucapan yang digunakan dalam penelitian ini adalah one, two, three, four, five, six, seven, eigth ,nine, dan oh. Dalam penelitian ini nilai  spectrogram dikuantisasidalam sembilan selang.

Karena panjang ucapan yang berbeda, pengenalan suara dibagi dalam duakelompok, yaitu untuk bunyi ucapan one, two, three, four, six, eight, oh   (kelompok

 pertama) dan  five, seven, nine (kelompok kedua). Tabel 1 menyajikan hasil simulasi pengujian bunyi ucapan one, two, three, four, six, eight dan oh. Sedangkan Tabel 2 untuk pengujian sinyal suara five, seven, dan nine.

Tabel 1. Pengujian sinyal suara one,two,three,four,six,eight dan ohSinyal yang

diuji

Sinyal

dalamdatabase    O  n

  e   1

   O  n

  e   5

   T  w

  o   4

   T  w

  o   6

   T   h

  r  e  e   2

   T   h

  r  e  e   5

   F  o

  u  r   4

   S   i  x

   2

   E   i  g   h   t   2

   E   i  g   h   t   3

   O   h

   2

   O   h

   6

One3   XOne4Two5  Two7 XThree4   XThree6  Four5Four7Six1Six3  

Eight1    Eight4Oh8    Oh9

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 341/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

331

Tabel IV-2 Pengujian sinyal suara five,seven, dan nineSinyal yang

diuji

Sinyaldalamdatabase    N

   i  n  e   1

   N   i  n  e   4

   N   i  n  e   6

   S  e  v  e  n   8

   S  e  v  e  n   2

   F   i  v  e   2

   F   i  v  e   4

   F   i  v  e   9

 Nine2 Nine5 Nine7 XSeven4

Seven5Seven6Five1Five5 & Five7

Keterangan:& = Pengenalan benar dengan nilai kemiripan terbanyakX = Pengenalan yang salahDari hasil simulasi diperoleh hasil bahwa tingkat keberhasilan pengenalan bunyi

ucapan (kata) ± 81,8%. Hasil ini merupakan gabungan dari kedua kelompok bunyiucapan yang dibagi dalam dua kelompok berdasarkan durasi pengucapan kata (jumlahsuku kata). Masih adanya ketidaktepatan hasil pengenalan disebabkan kemiripan

 spectrogram dari bunyi ucapan, terutama yang hampir mirip mengucapkannya(melafalkannya).

5.  PenutupDari hasil simulasi dapat disimpulkan sebagai berikut bahwa panjang sinyal suara

untuk pengucapan yang sama harus memiliki panjang yang sama agar pohon yangdibentuk memiliki jumlah yang sama untuk meningkatkan akurasi pengenalan bunyiucapan (kata).

Sedangkan sarannya adalah untuk memperoleh hasil pengenalan yang lebih baikmungkin dapat menggunakan alokasi (jumlah) bit yang berbeda pada setiap frameuntuk merepresentasikan ciri (fitur) bunyi ucapan (kata) yang lebih spesifik. Selain itumungkin bisa juga dicari parameter lain (selain  spectrogram) untuk merepresentasikanciri (fitur) sebuah bunyi ucapan (kata) tertentu.

Daftar PustakaB.A Shenoi, “ Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design”, New

Jersey, 2006.

D.S.G Pollock, “ A Hand Book Time-Series Analysis, Signal Processing and Dynamic”, California, 1999’.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 342/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

332

Fatimah, “Perancangan dan Implementasi Pengenalan Suara Menggunakan Analisis Spektral.

Y.Amit and D.Geman, “Shape quntization and recognition with randomizedtrees,”Neural comput.,  vol.9,pp. 1545-1588,1997.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 343/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

332

BIDANG KAJIAN : ALJABAR

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 344/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

333

ALJABAR OPERATOR PADA MEKANIKA KUANTUMDAN APLIKASINYA PADA PARTIKEL DALAM

KISI SATU DIMENSI

Imam Nugraha Albania

ABSTRAK

Mekanika kuantum merupakan cabang ilmu fisika yang menjelaskan tentanggerakan, kuantitas fisis, dan interaksi partikel dalam skala atomik. Konsep aljabaroperator khususnya dalam ruang  Hilbert   dapat diaplikasikan pada mekanika kuantum.Partikel dalam kisi satu dimensi adalah sistem mekanika kuantum yang dapat dijelaskandengan menggunakan konsep aljabar operator. Keadaan sistem tersebut direpresentasikanke dalam bentuk persamaan Schrödinger . Persamaan Schrödinger  ini bergantung kepadaoperator  Hamiltonian. Agar kelakuan sistem dapat diprediksi maka dicari solusi

 persamaan Schrödinger   tersebut. Selanjutnya dengan memanfaatkan teorema Stone ketunggalan solusi dapat diuji.

Kata kunci  : mekanika kuantum, partikel dalam kisi satu dimensi, operator Hamiltonian, persamaan Schrödinger , persamaan diferensial, ruang Hilbert .

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang MasalahPada umumnya, setiap kejadian di alam mengalami perubahan yang sangat

 bergantung pada keadaan awal serta parameter waktu. Banyak diantaranya dapatdimodelkan menjadi suatu persamaan diferensial. Solusi persamaan diferensial tersebutdicari, sifat-sifatnya dikaji agar kelakuan sistem dapat diprediksi.

Salah satu contoh fenomena alam yang dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan diferensial yaitu fenomena perilaku sistem dalam skala atomik yang dapatdijelaskan dengan konsep mekanika kuantum. Dalam kasus ini, persamaan diferensialtersebut dinamakan persamaan gelombang. Mekanika kuantum merupakan suatu teorimendasar dari fisika yang mengembangkan dan mengoreksi teori mekanika  Newton[11:55]. Teori ini berhubungan dengan dinamika dari benda dan mengaitkan besaran fisisseperti energi dan momentum. Mekanika kuantum menggambarkan dengan akurasi yangsangat tinggi fenomena-fenomena di mana mekanika  Newton  tidak dapat bekerja.Misalnya perilaku sistem dalam skala atomik. Salah satu cara untuk menjelaskan masalahdalam mekanika kuantum adalah melalui persamaan gelombang yang diperkenalkan oleh Erwin Schrödinger (1887-1961), oleh karena itu disebut sebagai persamaan Schrödinger[11:55]. Persamaan ini berbentuk suatu persamaan diferensial parsial yang melukiskan bagaimana fungsi gelombang berubah dari waktu ke waktu.

Pondasi mekanika kuantum berasal dari dualisme  gelombang partikel yangdiprakarsai oleh  Einstein  dengan memanfaatkan ide  Planck   pada tahun 1900 bahwaenergi gelombang dapat diuraikan menjadi paket-paket kecil, kemudian berdasarkan ideini  Einstein menunjukkan bahwa gelombang elektromagnetik  (misalnya: sinar-X, radiasiultraviolet, radiasi infra-merah, dll) dapat diuraikan oleh partikel dengan energiterkuantisasi yang bergantung pada frekuensi. Selanjutnya teori modern dari mekanikakuantum muncul pada tahun 1925 ketika  Heisenberg dan Schrödinger memperkenalkanmetode matematika yang bekerja pada konsep mekanika kuantum.  Heisenberg

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 345/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

334

memperkenalkan mekanika matriks  sementara Schrödinger memperkenalkan mekanikagelombang, kemudian Schrödinger menunjukkan bahwa kedua metode matematikatersebut adalah setara [11:55]. Di lain pihak  Dirac memperkenalkan teori transformasi yang menggabungkan kedua metode matematika tersebut.

Masalah dalam tulisan ini adalah bagaimana mambahas aspek-aspek matematikayang terlibat dalam mekanika kuantum terutama dalam persamaan diferensial yangmuncul dan perhitungannya. Kemudian evolusi dari sistem kuantum yang digambarkanoleh persamaan Schrödinger melalui operator  Hamiltonian. Selain itu akan dijelaskan pula bagaimana ruang  Hilbert   dan aljabar operator dapat digunakan dalam konsepmekanika kuantum, khususnya terhadap ketunggalan suatu solusi persamaanSchrödinger . Selanjutnya dibahas bagaimana aspek matematika yang telah disebutkandapat menjelaskan salah satu masalah dalam mekanika kuantum, serta interpretasi fisisdari sistem yang dibahas di dalam tulisan ini. Sedangkan sistem yang dibahas dalamtulisan ini adalah  partikel dalam kisi satu dimensi. Secara umum tulisan ini akanmembahas perhitungan-perhitungan, teorema-teorema yang berkaitan, syarat-syarat

 berdasarkan teori partikel dalam kisi satu dimensi, serta pendekatan yang digunakandalam mencari solusi persamaan Schrödinger   untuk partikel dalam kisi satu dimensi,kemudian menganalisa ketunggalan solusi berdasarkan teori pendukung.

KONSEP DASAR MEKANIKA KUANTUM

II.1 Pengenalan Mekanika KuantumKeadaan awal suatu objek dan parameter waktu pada umumnya adalah dua hal

yang sangat mempengaruhi terhadap perubahan yang dialami objek. Banyak kejadianseperti ini yang dapat dimodelkan ke dalam suatu bentuk  persamaan diferensial

(misalnya: persamaan gelombang 2 ;tt xxu k u x= −∞ < < +∞   [12:32]). Agar karakteristik

dari sistem objek tersebut dapat diketahui, maka solusi persamaan diferensial yang telahdimodelkan harus dipecahkan.

Sistem dalam skala atomik dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaandiferensial yang dijelaskan dengan menggunakan konsep mekanika kuantum. Dalamkasus ini persamaan diferensial-nya disebut  persamaan gelombang . Mekanika kuantumadalah cabang ilmu fisika yang menjelaskan tentang gerakan, kuantitas (misalnya: energi,momentum, dll ) dan interaksi partikel dalam skala atomik (misalnya: elektron, proton,neutron) atau subatomik (misalnya:  foton, neutrinos) dan suatu teori fundamental yangmengembangkan teori mekanika  Newton. Mekanika  Newton  tidak dapat bekerja padasistem dalam skala atomik atau yang lebih kecil (misalnya:  subatomik ). Istilah kuantum(jamaknya adalah kuanta) diambil dari bahasa Latin yang artinya “berapa banyak ” yaituteori yang menjelaskan kuantitas fisika tertentu dalam unit-unit yang terpisah sedemikiansehingga energi objek terkuantisasi [16:1].

Dalam mekanika  Newton  masa depan objek telah ditentukan berdasarkankedudukan awal, momentum awal, dan gaya-gaya awal lainnya yang beraksi. Dalamsistem makroskopik  (misalnya: bola, batu) kuantitas seperti yang disebutkan diatas dapatditentukan dengan ketelitian yang “cukup,” sedangkan dalam sistem mikroskopik(misalnya: atom, molekul ) karakteristik masa depan objek seperti pada mekanika  Newton tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang “cukup.” Fungsi gelombang (wave function) dalam mekanika kuantum bekerja pada bilangan kompleks. Keadaan objek pada suatusistem dalam mekanika kuantum tidak dapat ditentukan dengan ketelitian yang baik,akibatnya muncul dugaan-dugaan tentang keadaan objek yang kemudian disajikansebagai nilai peluang dalam sistem pada keadaan dan waktu tertentu [16:2].

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 346/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

335

II.2 Efek Mekanika Kuantum Efek kuantum adalah gejala-gejala yang muncul dalam sistem mekanika kuantum

yang tidak terdapat pada mekanika Newton. Ada tiga kelas gejala dari efek kuantum:i)  Kuantisasi dari kuantitas fisika tertentu.ii)  Azas ketidakpastian.iii)  Dualisme gelombang [16:5].

II.3 Persamaan Schrödinger  Bergantung terhadap WaktuSolusi dari persamaan Schrödinger   merupakan fungsi gelombang ( , )t ψ  x   yang

merupakan fungsi dua variabel x dan t . Variabel x menyatakan kedudukan partikel dalamdimensi berhingga dan variabel t   menyatakan waktu. Oleh karena itu persamaanSchrödinger   umumnya merupakan persamaan diferensial parsial, itulah petunjuk palingumum untuk mendapatkan persamaan Schrödinger .

Petunjuk yang lebih khusus dapat diperoleh dari azas-azas mekanika kuantum.Terdapat tiga azas penting dalam mekanika kuantum yaitu azas tentang pendeskripsian

keadaan sistem, azas tentang pendeskripsian besaran fisis, dan azas tentang pengukuran beserta aspek-aspeknya. Berdasarkan azas tentang pendeskripsian keadaan sistem, yaitukeadaan sistem kuantum digambarkan oleh fungsi gelombang ( , )t ψ  x , diperoleh

 petunjuk bahwa fungsi gelombang ( , )t ψ  x   yang diperoleh dari persamaan Schrödinger  

harus dapat digunakan untuk mengetahui nilai berbagai besaran fisis yang dimiliki olehsistem.

Selanjutnya kedua petunjuk tersebut digunakan dengan menerapkan pada kasuskhusus yaitu pengukuran energi total bagi sistem konservatif. Pada sistem konservatif

 berlaku hukum kekekalan energi, yaitu K k p E E + =∑ ∑  di mana k  E ∑  menyatakan

 jumlah energi kinetik,  p E ∑   menyatakan jumlah energi potensial dan K adalah suatu

konstanta. Pada sistem konservatif, energi total bersifat tetap dan tidak bergantung

terhadap posisi dan waktu. Sebagai teori yang “baru,” persamaan Schrödinger -punharuslah konsisten dengan hukum kekekalan energi tersebut. Secara matematis hukum

kekekalan energi dirumuskan sebagai berikut2

( )2

 pV E 

m + =x ; di mana

2

2

 p

m= k  E    dan

( )V  x =  p E  . Perhatikan bahwa untuk mendapatkan rumusan kuantum E, persamaan di atas

harus diubah menjadi persamaan operator. Berdasarkan azas pendeskripsian besaran fisis,maka persamaan operator yang setara dengan persamaan di atas yaitu:

21 ˆˆ ˆ( )2

 p V E m

  + =x   ...(2.3.1)  

di mana dalam sistem kuantum operator momentum ˆ p dirumuskan sebagai berikut:

ˆ   p i  ∂=∂x

h   ...(2.3.2)  dan ˆ( ) ( )V V =x x   ...(2.3.3)  

Selanjutnya substitusi persamaan (2.3.2) dan (2.3.3) ke persamaan (2.3.1), diperoleh:2

2

2

1 ˆ( )2

V E m

∂− + =∂

xx

h   ...(2.3.4)  

 jika dievaluasi pada sembarang fungsi gelombang ( , )t ψ  x , persamaan (2.3.4) menjadi:2 2

2ˆ( , ) ( ) ( , ) ( , )

2t V t E t  

m  ψ ψ ψ 

− ∂ + =∂

x x x xx

h ...(2.3.5)  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 347/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

336

Sejauh ini belum diketahui cara kerja operator ˆ E  terhadap fungsi ( , )t ψ  x . Oleh

karena itu, haruslah menemukan cara kerja operator ˆ E   tersebut. Untuk keperluan ini

digunakan azas pengukuran, khususnya yang berhubungan dengan dampak pengukuranterhadap keadaan sistem. Menurut azas ini, fungsi gelombang ( , )t ψ  x   tidak berubah

akibat pengukuran, jika fungsi gelombang tersebut merupakan fungsi eigen bagi besaran

yang diukur. Selanjutnya, azas ini digunakan untuk menemukan rumusan operator ˆ E .Perhatikan bahwa bentuk umum fungsi gelombang adalah:

( )( , ) i k t t e   ωψ    −= xx ...(2.3.6)  

fungsi gelombang pada persamaan (2.3.6) memiliki frekuensi sudut sebesar ω .Berdasarkan kaitan  Planck-Einstein  bahwa  E    ω= h , artinya bahwa persamaan (2.3.6)memiliki energi sebesar ωh . Persamaan (2.3.6) adalah fungsi eigen untuk operator

energi ˆ E  dengan nilai eigen ωh , sehingga diperoleh persamaan nilai eigen berikut:

ˆ( , ) E t ψ  x ( , )t ωψ = xh =

( )

( )i k t 

e  ω

ω  −x

h =

( )

( )i k t 

i et ω−∂

∂x

h = ( , )i t t ψ 

∂∂ xh  

diperoleh ˆ   E it 

∂=∂

h ...(2.3.7)  

Kemudian persamaan (2.3.7) disubstitusi ke persamaan (2.3.5), diperoleh:2 2

2( , ) ( ) ( , ) ( , )

2t V t i t  

m t ψ ψ ψ 

− ∂ ∂+ =∂ ∂

x x x xx

hh   ...(2.3.8)  

 persamaan (2.3.8) merupakan persamaan diferensial parsial yang jika diselesaikanmenghasilkan fungsi gelombang ( , )t ψ  x . Selanjutnya untuk menggeneralisasi,

asumsikan ( )V  x  menjadi ( , )V t x  sehingga persamaan (2.3.8) menjadi:2 2

2( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

t V t t i t  

m t 

ψ ψ ψ − ∂ ∂+ =

∂ ∂

x x x x

x

hh   ...(2.3.9)  

 persamaan (2.3.9) merupakan persamaan Schrödinger  yang bergantung terhadap waktu.

MEKANIKA KUANTUM SEBAGAI MASALAH MATEMATIKA

III.1 Keadaan Kuantum (Quantum State )Seluruh aspek serta berbagai informasi dari sistem mekanika kuantum secara

lengkap dapat diperoleh dari keadaan kuantum, semua dugaan-dugaan yang berada padasistem kuantum beserta operasinya ada pada keadaan kuantum ini. Keadaan kuantumyang ditetapkan secara tertentu dapat dijelaskan oleh vektor keadaan (vector state) ataufungsi gelombang. Fungsi gelombang tiada lain adalah persamaan Schrödinger , di mana persamaan ini sangat bergantung kepada Hamiltonian-nya.

Selanjutnya interpretasi fisika yang mendasar menyebutkan bahwa  Hamiltonian

adalah suatu sistem yang didefinisikan sebagai: H T V E = + =   ...(3.1.1)  

dengan T   menyatakan energi kinetik total, dan V menyatakan energi potensial total,sementara  E   menyatakan energi total sistem [20:2]. Sedangkan operator  Hamiltonian

didefinisikan sebagai operator ˆ H sedemikian sehingga energi  E  dari suatu sistem dengan

fungsi gelombang ψ   adalah suatu nilai eigen dari ˆ H ψ  , yakni [6:1]:

ˆ H E ψ ψ =   ...(3.1.2)  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 348/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

337

III.2 Gelombang Bloch  Gelombang Bloch atau keadaan Bloch  adalah fungsi gelombang dari suatu

 partikel yang ditempatkan dalam potensial periodik [14:1]. Keadaan ini berisi hasil kaliantara gelombang bidang dengan fungsi periodik yang potensial-nya memiliki periodisitas yang sama [14:1].Teorema 

 Fungsi gelombang dengan fungsi potensial periodik ( )r nK u  mempunyai bentuk  

( ) ( )r r r iK nK nK  e uψ    = .

III.3 Partikel dalam Kisi sebagai Masalah Mekanika KuantumIII.3.1 Interpretasi fisis dan bentuk Bloch  

Partikel dalam kisi satu dimensi adalah suatu sistem kuantum yang menggunakan persamaan Schrödinger   di mana masalahnya terjadi dalam model kisi kristal yang

 berperiodik. Artinya bahwa jarak antara satu kisi dengan kisi yang lain adalah sama dandisederhanakan ke dalam kasus satu dimensi [15:1]. Contoh dari struktur kristal kisidiperlihatkan seperti pada Gambar 3.1.

Di sini partikel dalam kisi yang dibicarakan adalah ion positif dengan jarak antara dua ion adalah a , dan potensialnyaadalah fungsi periodik dengan periode a . Misalkan  L  adalah panjang kisi sedemikian sehingga nilai L jauh lebih besar dari nilaia, hal ini menggambarkan banyaknya ion dalam kisi. Ketikamemperhatikan ion di ujung kisi terdapat masalah pada syarat batas, maka untuk mempermudah selanjutnya kisidirepresentasikan sebagai cincin dengan keliling L [15:1].

Karena kisi periodik telahdirepresentasikan sebagai cincin makadiperoleh syarat batas berikut:

( ) ( )0  Lψ ψ =   ...(3.3.1.1)  

 jika  N   menyatakan banyaknya ion dalamkisi, maka diperoleh hubungan:

. L Na=   ...(3.3.1.2)  

Karena potensialnya adalah fungsi periodik dengan periode a , maka berdasarkanteorema  Bloch  solusi dari persamaan Schrödinger   dalam dimensi-n ketika potensialnya

 periodik dapat ditulis sebagai berikut [21:199] ( ) ( )r r r iK  K K e uψ    =   ...(3.3.1.3)  

sedangkan dalam satu dimensi menjadi ( ) ( )  iKx

 K K e u xψ    =   ...(3.3.1.4)  di mana ( ) K u x   adalah fungsi periodik yang memenuhi ( ) ( ) K K u x a u x+ =   dan

( ) ( ) K K 

d d u x a u x

dx dx+ = . Untuk membuktikan bahwa fungsi gelombang ( ) xψ   

mempunyai bentuk  Bloch (4.3.1.4), selanjutnya didefinisikan operator translasi aT   

dengan definisi [21:199]:

Gambar 3.1 Sistem kristal heksagonal

 Gambar 3.2 Grafik pot ensial periodik 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 349/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

338

( ) ( )ˆaT f x f x a= +   ...(3.3.1.5)  

dengan( ) x   sembarang fungsi. Akan dibuktikan bahwa operator translasi ˆ

aT    komut

dengan operator  Hamiltonian ˆ H . Selanjutnya berdasarkan (3.1.2), ( ) xψ   adalah fungsi

eigen dari ˆ H .

( ) ( )ˆ ˆ ˆa aT H x T E xψ ψ =   ( )a ET xψ =   ( ) E x aψ = +  

( ) ( )ˆ ˆ ˆa HT x H x aψ ψ = +   ( ) E x aψ = +  

sehingga diperoleh ˆ ˆ ˆ ˆa a HT T H − = 0   ...(3.3.1.6)  

artinya bahwa operator translasi aT    dan operator  Hamiltonian ˆ H   saling komut. Dua

operator yang saling komut mempunyai fungsi eigen sekutu [21:28], sehingga ( ) xψ   

dapat dipilih sebagai fungsi eigen baik dari aT    maupun dari ˆ H . Misalkan suatu

konstanta c adalah nilai eigen yang bersesuaian, maka

( ) ( ) ( )ˆaT x x a c xψ ψ ψ = + =  kemudian ( ) ( )nna c xψ ψ + =  

 berdasarkan (4.3.1.1) dan (4.3.1.2) maka diperoleh syarat batas ( ) ( ) x Lψ ψ = + ,

kemudian, ( ) ( ) x L x Naψ ψ + = +   ( ) N c xψ =   ( )  ψ =   ...(3.3.1.7)  

dari sini diperoleh bahwa 1 N c   = .

Perhatikan bahwa 1 1 0i= +   ( ) ( )cos 2 sin 2 ; 0, 1, 2,... g i g g π π= + = ± ±  

( )2i g e   π=2  g 

i N  N e cπ  

   = = .

Jadi diperoleh

2  g 

i  N c eπ  

   =  untuk 0,1, 2,..., 1 g N = − .

Solusi yang memenuhi (4.3.1.5) dan (4.3.1.7) dengan fungsi potensial ( ) g u x  

 berperiode a mempunyai bentuk [21:200]

( ) ( )2  g x

i N a

 g g e u xπ

ψ       =   ( )

2

  g 

i x Na

 g e u xπ  

   =   ...(3.3.1.8)  

dengan mengambil2 2

; 0,1,2,... g g 

 K g  Na L

π π= = =   maka persamaan (3.3.1.8) dapat

dituliskan kembali menjadi ( ) ( )iKx K K  x e u xψ    =  yang merupakan bentuk Bloch.

III.3.2 Hamiltonian

Selanjutnya dicari persamaan Schrödinger   untuk satu ion postif yang bebasdalam kisi, dalam hal ini ion positif sebagai satu partikel bebas yang berenergi potensial

( )0V x dan energi kinetik-nya berdasarkan [18:7] diberikan oleh2

2 K 

 p E 

m=   dengan

 p i= ∇h . ( ) ( ) ( )2 2 2 2

20 0 02

ˆ ˆ ˆ2 2 2 K P 

 p d  H E E V x V x V x

m m m dx= + = + = − ∇ + = − +h h

 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 350/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

339

selanjutnya persamaan Schrödinger   untuk satu ion positif ini adalah ˆ H E ψ ψ =   yang

ekivalen dengan ( )

2 2

022

V x E m dx

ψ 

ψ ψ − + =h

.

III.3.3 Model Kronig-PenneyUntuk menyederhanakan masalah

fungsi potensial periodik digunakanaproksimasi dengan cara potensial segi-empat(model  Kronig-Penney) yang dapatdigambarkan sebagai berikut [15:2].

III.3.4 Bentuk solusi persamaan Schrödinger

Karena sistem memiliki fungsi potensial periodik, maka cukup dicari bentuksolusi untuk satu periode saja seperti diperlihatkan pada gambar berikut [15:3].

Di sini diperoleh dua daerah yang harus dipecahkansecara terpisah yaitu (i) 0  x a b< < −   dan (ii) 0b x− < < .Untuk daerah pertama diperoleh persamaan Schrödinger  sebagai berikut:

2 2

22

d  E 

m dx

ψ ψ − =h

  ...(3.3.4.1)

dan solusi untuk persamaan Schrödinger  tersebut adalah i x i x Ae A eα αψ    −′= + , di mana A 

dan  A′   adalah suatu konstanta [15:3]. Turunan pertama dan kedua dari ψ    terhadap  x 

 berturut-turut adalahi x i xd 

i Ae i A edxα αψ 

α α   −′= −  

dan2

2 2 2

2

i x i xd  Ae A e

dxα αψ 

α α α ψ  −′= − − = − , sehingga dengan mensubstitusi ke

 persamaan (3.3.4.1) diperoleh 2

2

2mE α   =

h. Untuk daerah kedua diperoleh persamaan

Schrödinger   sebagai berikut ( )2 2

022

d  E V 

m dx

ψ ψ − = +h

  ...(3.3.4.2) dan solusi untuk

 persamaan Schrödinger   tersebut adalah i x i x Be B eβ βψ    −′= + , di mana  B dan  B′   adalah

suatu konstanta [15:3]. Turunan pertama dan kedua dari ψ    terhadap  x  berturut-turut

adalah i x i xd 

i Be i B edxβ β

ψ β β   −′= − dan

2

2 2 22 i x i xd 

 Be B edxβ β

ψ β β β ψ  −′= − − = − , sehingga

dengan mensubstitusi ke persamaan (3.3.4.2) diperoleh( )02

2

2m E V β

  +=

h.

Selanjutnya dicari fungsi ( )u x  untuk setiap daerah:

Gambar 3.3 Grafik potensial  segi empat −

Gambar 3.4 Grafik potensial

dalam satu periode segi empat −

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 351/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

340

( )   ( ) ( )( )0 ,i k x i k xi x i x ikx i x ikx ikx i x ikx ikx x a b Ae A e Ae A e e Ae A eα αα α α αψ    − − +− + − − −′ ′ ′< < − = + = + = +

 jadi ( )  ( ) ( )

0

i k x i k x

u x a b Ae A e

α α− − +

′< < − = + , kemudian dengan cara yang serupadiperoleh ( )   ( ) ( )0 i k x i k xu b x Be B eβ β− − +′− < < = + .

Fungsi gelombang ( )ψ    dan fungsi potensial periodik ( )u x   dapat ditulis

kembali menjadi:

( ); 0

; 0

i x i x

i x i x

 Ae A e x a b x

 Be B e b x

α α

β βψ 

′   + < < −= ′+ − < <

( )( ) ( )

( ) ( )

; 0

; 0

i k x i k x

i k x i k x

 Ae A e x a bu x

 Be B e b x

α α

β β

− − +

− − +

  ′+ < < −= ′+ − < <

.

Syarat bahwa fungsi gelombang harus kontinu dan mulus di nol berturut-turut

adalah ( ) ( )0 0ψ ψ − +=  dan ( ) ( )0 0 x xψ ψ − +=  [15:3]

(i)  ( ) ( )0 0ψ ψ − += 0 B B A A A A B B′ ′ ′ ′⇒ + = + ⇒ + − − =   ...(3.3.4.3)

(ii)  ( ) ( )0 0 x x i B i B i A i Aψ ψ β β α α− + ′ ′= ⇒ − = −  

0. A A B Bα α β β′ ′⇒ − − + =   ...(3.3.4.4)  

Kemudian ( ) ( )u b u a b− = −   dan ( ) ( ) x xu b u a b− = − , karena ( ) xu b−   ada

maka u harus kontinu di b− .

(iii)  ( ) ( )u b u a b− = −   ( ) ( ) ( )( ) ( )( )i k b i k b i k a b i k a b Be B e Ae A eβ β α α− − + − − − + −′ ′⇒ + = +  

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0i k a b i k a b i k b i k b Ae A e Be B eα α β β− − − + − − − +′ ′⇒ + − − = ...(3.3.4.5)

(iv) ( ) ( ) x x

u b u a b− = −

 

( )   ( )( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( )i k a b i k a b i k bk Ae k A e k Beα α βα α β

− − − + − − −′⇒ − − + − −  

( )   ( ) 0i k bk B e   ββ   +′+ + =   ...(3.3.4.6)  

Persamaan (3.3.4.3),(3.3.4.4),(3.3.4.5), dan (3.3.4.6) dapat dibentuk menjadi matriks:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )   ( )( ) ( )   ( )( ) ( )   ( )( ) ( )   ( )( )

1 1 1 1 0

0

0

0

i k a b i k a b i k b i k b

i k a b i k a b i k b i k b

 A

 A

e e e e  B

 Bk e k e k e k e

α α β β

α α β β

α α β β

α α β β

− − − + − − − +

− − − + − − − +

− −     − −   ′   ⋅ = − −   ′ − − + − − +  

 

kemudian agar solusi yang diperoleh tidak trivial , maka

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )   ( )( ) ( )   ( )( ) ( )   ( )( ) ( )   ( )( )

1 1 1 1

det 0i k a b i k a b i k b i k b

i k a b i k a b i k b i k b

e e e e

k e k e k e k e

α α β β

α α β β

α α β β

α α β β

− − − + − − − +

− − − + − − − +

− − − − = − − − − + − − +

 

diperoleh determinan di atas sama dengan( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2i a b k i k b i a b k i k b i a b k i k b i a b k i k be e e eα β α β α β α β

α α α α− − − − − − + − − − − + + − − + + +− − +  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 352/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

341

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )4 2 2 2i a b k i a b k i a b k i k b i a b k i k b i a b k i k be e e eα α α β α β α βαβ αβ αβ αβ

− − − − + − − − − − − + − − − − + ++ − − −( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 4i a b k i k b ib k i k b i a b k i k b i a b k i k be e e eα β β β α β α βαβ αβ β β− − + + + − − + + − − − − − − + − −− + + −

( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2   ...(4.3.4.14)i a b k i k b i a b k i k be eα β α ββ β

− − + + − − + + +− +  

kemudian dengan menyederhanakan (4.3.4.14) lebih lanjut menggunakan  software Mathematica 5.0 diperoleh:

( ) ( )   ( ) ( )   ( )   ( ) ( )( )( )2 2 2 24 1 4 2i a b k   iak iak  e e e Cos a b Cos b Sin a b Sin bαβ αβ α β α β α β− − + + − − + + −  kemudian dengan membuat persamaan di atas menjadi sama dengan nol maka diperoleh:

( ) ( )  ( )

( ) ( )  ( )2 2 21

2 2

iak 

iak 

eCos a b Cos b Sin a b Sin b

e

α βα β α β

αβ

+ +− − − =  

selanjutnya berdasarkan (A.2.2) diperoleh:

( ) ( )( )

21cos

2 2 2 2

iak iak iak iak iak   iak iak iak iak iak  

iak iak iak  

e e e e e e e e e eak 

e e e

− − −+ +    + += = ⋅ = =    

.

Dalam penyederhanaan lebih lanjut digunakan beberapa sifat berikut yangdiaproksimasi dari model Kronig-Penney [15:4]:

0 00; ;b V V b→ → −∞ ⋅  adalah suatu konstanta20;b bβ β⇒ →  adalah suatu konstanta ( ) ( )2; 0; ; 1b Sin b b Cos bα β β β→ → → .

Selanjutnya diperoleh:

( ) ( )  ( )

( ) ( )2 2

2Cos a b Cos b Sin a b Sin b

α βα β α β

αβ

+− − −  

( )   ( )2

2Sin abaCos a

aαβα

α= − ⋅  

Jadi diperoleh bentuk solusi persamaan Schrödinger   untuk partikel dalam kisisatu dimensi dalam satu periode sebagai berikut:

( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

; 0

; 0

i k x i k xikx

i k x i k xikx

e Ae A e x a b x

e Be B e b x

α α

β βψ 

− − +

− − +

  ′+ < < −= ′+ − < <

  ...(4.3.4.15)  

dengan syarat

( ) ( )  ( )2 2

 ; ; 0, 1, 2,...,2 2

Sin aba n N  Cos ak Cos a k n

a L

αβ πα

α= − ⋅ = = ± ± ± .

ALJABAR OPERATOR PADA MEKANIKA KUANTUM

IV.1 Teorema Stone

Teorema Misalkan X suatu ruang Banach, persamaan Schrödinger abstrak adalah

( ) ( ) ,d 

u t iAu t t  dt 

  = − ∈ !   ...(4.1.1)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 353/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

342

di mana ( ): A D A X X ⊆ →   operator linear. Jika A self-adjoint, maka persamaan

(4.1.1) mempunyai bentuk solusi tunggal .

IV.2 Adjoin dari Operator Hamiltonian  

Operator Hamiltonian untuk partikel dalam kisi satu dimensi adalah:

( )2 2

02ˆ

2

d  H V x

m dx= − +h

 dengan ( )00

0 ; 0

; 0

 x a bV x

V b x

< < −= − − < <

,

kemudian akan diselidiki apakah operator  Hamiltonian ˆ H   tersebut  self-adjoint   atautidak. Selanjutnya karena fungsi dari sistem yang dibicarakan adalah kontinu, maka ruang

 Hilbert yang digunakan adalah ( )22 : : L f f z

= → < ∞

∫ ! ! .

Akan dibuktikan terlebih dahulu kelinearan dari operator  Hamiltonian ˆ H .  perhatikan operator Hamiltonian  2 2ˆ : H L L→ , ambil sembarang fungsi Bloch 2, f g L∈  

dan α ∈! . Selanjutnya diperoleh:

( )  ( )

( )22

2

d f g  H f g f g 

m dx

++ = − + +h

( )2 2 2

2 22

d f d g   g 

m dx dx

 = − + + +  

 

h

2 2 2 2

2 22 2

d f d g   f g 

m dx m dx

 = − + + − +  

 h h ˆ ˆ   Hf Hg = +   ...(4.2.1)  

kemudian ( )  ( )

( )22

2

d f  H f f 

m dx

αα α= − +h   ( )

( )22

22

d f  f 

m dxα α= − +h

 

2 2

2 ˆ  2

d f   f Hf m dx

α α  = − + =    

h   ...(4.2.2)  

 jadi berdasarkan (4.2.1) dan (4.2.2) maka operator  Hamiltonian ˆ H  merupakan operatorlinear.

Menurut definisi adjoin diperoleh persamaan *ˆ ˆ Hf g f H g =  

dengan definisi hasil kali dalam di 2 L  adalah ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x dx∞

−∞

= ∫  .

( )( ) ( )

22

2 L

d f x Hf g f x g x dx

m dx

 = − + ⋅  

 

∫   h

 

( )( ) ( ) ( )

22

2.

2 L L

d f x x dx f x g x dx

m dx

 = − ⋅ + ⋅  

 ∫ ∫ h

  ...(4.2.3)  

Misalkan

( ) ( )u g x du d g x dx= ⇒ = , dan( ) ( )22 2

22 2

d f x df xdv dx v

m dx m dx= − ⇒ = −h h

,

sehingga persamaan (4.2.3) menjadi

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 354/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

343

( )( )

  ( )( ) ( ) ( )

2 2

.2 2 L L

 Ldf x df x g x d g x dx f x g x dx

m dx m dx

 = − ⋅ + ⋅ + ⋅  

   ∫ ∫ h h

  ...(4.2.4)  

Misalkan ( ) ( )2 p d g x dp d g x dx= ⇒ = , dan( )

( )2 2

2 2

df xdq dx q f x

m dx m= ⇒ =h h

,

sehingga persamaan (4.2.4) menjadi

( )  ( )

( )  ( )2

*ˆ2

 Ld g x df x f x g x f H g 

m dx dx

 ⋅ − ⋅ +      

h.

Teorema Stone (IV.1) menjamin jika operator Hamiltonian ˆ H   self-adjoint , maka bentuk solusi persamaan Schrödinger  partikel dalam kisi adalah tunggal [11:58].Perhatikan bahwa:

( )  ( )

( )  ( )2

*ˆ ˆ

2

 Ld g x df x Hf g f x g x f H g 

m dx dx

 = ⋅ − ⋅ +  

   

h  ...(4.2.5)  

 jadi berdasarkan persamaan (4.2.5) operator Hamiltonian ˆ H   self-adjoint  jika dan hanya

 jika ( )  ( )

( )  ( )

0 Ld g x df x

 f x g xdx dx

 ⋅ − ⋅ =      

. Tetapi tidak ada jaminan bahwa kondisi

( )  ( )

( )  ( )

0 Ld g x df x

 f x g xdx dx

 ⋅ − ⋅ =      

  selalu dipenuhi, sehingga dapat disimpulkan

 bahwa operator  Hamiltonian ˆ H  untuk partikel dalam kisi satu dimensi tidak perlu  self-adjoint , dengan kata lain bahwa ketunggalan bentuk solusi persamaan Schrödinger dari  partikel dalam kisi satu dimensi tidak dijamin.

PENUTUP

V.1 Kesimpulan1.  Partikel dalam kisi adalah suatu sistem kuantum yang terjadi dalam model kisi

kristal di mana jarak antara satu kisi dengan kisi yang lain adalah sama. Didalam tulisan ini kasus dari sistem kuantum partikel dalam kisidisederhanakan ke dalam kasus satu dimensi sehingga disebut partikel dalamkisi satu dimensi. Dalam sistem ini diasumsikan bahwa ion tidak keluar darimasing-masing daerah yang dibatasi oleh kisi dan tidak ada interaksi antaraion yang satu dengan ion yang lain.

2.  Bentuk persamaan Schrödinger untuk partikel dalam kisi satu dimensi adalah:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2

2 2

02

  ;02

; 02

d   x E x x a bm dx

d  x E V x b x

m dx

ψ ψ 

ψ ψ 

− = < < −− = + − < <

h

h.

3.  Bentuk solusi dari persamaan Schrödinger   untuk partikel dalam kisi satudimensi dalam satu periode adalah:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 355/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

344

( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )

; 0

; 0

i k x i k xikx

i k x i k xikx

e Ae A e x a b x

e Be B e b x

α α

β βψ 

− − +

− − +

  ′+ < < −= ′+ − < <

 

dengan syarat ( ) ( )  ( )2

2

Sin abaCos ak Cos a

a

αβα

α= − ⋅ ;

2 nk 

 L

π=   di mana

0, 1, 2,...,2

 N n = ± ± ± .

4.  Terdapat beberapa kaitan antara konsep aljabar operator dan konsep mekanikakuantum, khususnya untuk partikel dalam kisi satu dimensi, yaitu:

(i)  Menguji kelinearan dari operator Hamiltonian ˆ H .(ii) Penggunaan sifat dua operator yang saling komut dan membuktikan

 bahwa fungsi gelombang ( )ψ   memiliki bentuk Bloch.

(iii)Ruang  Hilbert sebagai konsep aljabar operator,  yang digunakan dalammencari adjoin dari operator  Hamiltonian  ˆ H   untuk menganalisaketunggalan sebagai konsep mekanika kuantum.

5.  Bentuk solusi dari persamaan Schrödinger   partikel dalam kisi satu dimensitidak tunggal, tetapi dalam kondisi tertentu menjadi tunggal. Kondisi yangdimaksud agar solusi menjadi tunggal adalah:

( )  ( )

( )  ( )

0 Ld g x df x

 f x g xdx dx

 ⋅ − ⋅ =      

.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H., dan Rorres, C. (2000).  Elementary Linear Algebra: ApplicationVersion Eighth  Edition. New York: John Wiley.

Chester, M. (1987). Primer of Quantum Mechanics. New York: John Wiley.

Kittel, C. (1996). Introduction to Solid State Physics. New York: John Wiley.

Landau, L. (2000). “Mathematical Physics and Quantum Field Theory”.  Journalof Differential Equations. 147-154.

Mathworld. (2006). Periodic Function. [Online]. Tersedia:http://mathworld.wolfram.com/PeriodicFunction.html [20 April 2006]

Mathworld. (2006). Hamiltonian Operator .  [Online]. Tersedia:http://scienceworld.wolfram.com/physics/HamiltonianOperator.html  [20April 2006]

Muhtar, S. (2004). Grup Operator Linear dan Aplikasinya pada PersamaanSchrödinger.  Tesis Magister pada Departemen Matematika. InstitutTeknologi Bandung: tidak diterbitkan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 356/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

345

Pauling, L., dan Bright Wilson, E. (1935).  Introduction to Quantum Mechanics. New York: McGraw-Hill.

Pratt, S. (2001). “ Heisenberg and Schrödinger   representations”.  Journal of Physics. 851.

Purcell, E., dan Varberg, D. (---). Kalkulus dan Geometri Analitis: Jilid 1. Jakarta:Erlangga.

Rosjanuardi, R., Sumiaty, E. dan Muhtar, S. (2006).  Aljabar Operator dan Mekanika Kuantum. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.

Strauss, W. (1992).  Partial Differential Equations An Introduction. New York:John Wiley.

Sutopo. (2003).  Pengantar Fisika Kuantum: Common Textbook (Edisi Revisi).Malang: Universitas Negeri Malang.

Wikipedia. (2006). Bloch wave. [Online]. Tersedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_wave [16 Maret 2006]

Wikipedia. (2006). Particle in a one-dimensional lattice (periodic potential).[Online]. Tersedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_in_a_one_dimensional_lattice_ (periodic_potential) [10 Februari 2006]

Wikipedia. (2006). Quantum mechanics. [Online]. Tersedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics [16 Maret 2006]

Wikipedia. (2007). Euler’s formula. [Online]. Tersedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Eulers_formula [23 Mei 2007]

Wikipedia. (2006). Momentum. [Online]. Tersedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Momentum [17 Maret 2006]

Wikipedia. (2007). Crystal structure. [Online]. Tersedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_structur e [20 April 2007]

Wikipedia. (2006). Hamilton’s equation. [Online]. Tersedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton's_equations [16 Maret 2006]

Yariv, A. (1982).  An Introduction to Theory and Application of Quantum Mechanics. California: John Wiley.

Ziedler, E. (1995). Applied Functional Analysis. New York: Springer-Verlag.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 357/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

346

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER DALAM SUATU GRUP DIVISIBLE

Edi KurniadiJurusan Matematika FMIPA Unpad

E-mail : [email protected]/[email protected] 

ABSTRAK

Berdasarkan definisi grup divisble, semua persamaan linier berbentukdengan n  bilangan bulat positif dapat diselesaikan dalam suatu grup

divisible D. Tulisan ini akan membuktikan bahwa semua sistem persamaan linierkonsisten juga dapat diselesaikan dalam suatu grup divisible. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jika suatu sistem persamaan atas suatu grup divisible D dapat diselesaikan dalamsuatu grup yang memuat D, maka sistem persamaan itu dapat diselesaikan di  D  juga. 

Kata kunci : divisibilitas, grup divisible, dan sistem persamaan.

1.  PENDAHULUAN

Perkalian unsur-unsur suatu grup dengan bilangan-bilangan bulat sering diperkenalkandalam konsep grup. Tulisan ini akan dimulai dengan konsep divisibilitas elemen-elemensuatu grup dengan bilangan-bilangan bulat. Dari konsep divisibilitas ini kemudian akandiperkenalkan suatu persamaan linier dan solusi dari persamaan linier tersebut. Dalamtulisan ini akan dibahas interpretasi lain dari suatu sistem persamaan linier dan solusinyadalam suatu grup divisible D.Langkah kerja yang akan dilakukan oleh penulis dalam makalah ini yaitu membahas

definisi divisibilitas dan sifat-sifatnya, definisi grup divisible, contoh, dan sifatnya,interpretasi kompatibilitas dan solvabilitas dari suatu sistem persamaan menurutKert sz[1], sistem persamaan dalam suatu grup divisible dan solusinya menurut

Gacs lyi[2].

2.  DIVISIBILITAS, GRUP DIVISIBLE DAN SIFAT-SIFATNYA

Konsep divisibiltas merupakan kosep dasar dari pendefinisian suatu grup divisible.Olehkarena itu, berikut diberikan definisi divisibilitas dan sifatnya.

Definisi 1. Elemen a dari suatu grup A dapat dibagi (divisible) oleh bilangan bulat positifn, dinotasikan oleh n|a,  jika persamaan

nx=a (a ) (1)

dapat diselesaikan di A.

Ekuivalen dengan mengatakan bahwa  A memuat suatu elemen b sehingga  x=b suatusolusi dari (1). Solusi dari (1) ekuivalen dengan mengatakan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 358/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

347

Berikut adalah beberapa konsekuensi dari konsep divisibilitas di atas1.  Jika  x=b suatu solusi dari (1) maka koset b + A[n] adalah himpunan semua solusi-

solusi dari (1). Catatlah bahwa  A[n] = {a | }.

2.  Jika A bebas torsi, maka solusi dari (1) unik.3.  Jika (n,o(a))=1, maka (1) selalu dapat diselesaikan.4.  m|a dan n|a mengakibatkan [m,n]|a. 5.  n|a dan n|b mengakibatkan n|a b. 

6.  Untuk semua homomorfisma , n|a di A mengakibatkan n| di B 

Definisi 2. Suatu grup  D dikatakan divisible  jika n|a untuk semua dan semua

 bilangan bulat positif n.

Definisi 3. Suatu grup  D dikatakan  p-divisible  jika  pk  D=D untuk semua bilangan positif k. 

Contoh dari grup divisible ini adalah grup himpunan semua bilangan rasional ! , grup

kuasiklik Z ( p"), dan grup faktor ! / Z .

Berikut adalah teorema yang cukup penting dalam pembahasan masalah sistem persamaan dalam tulisan ini

Teorema 1.  Setiap grup divisible adalah injektif. 

3.  SISTEM PERSAMAAN DAN SOLUSINYA DALAM GRUP DIVISIBLE

Sistem persamaan atas suatu grup A adalah himpunan semua persamaan

(ai ) (2)

Dimana nij adalah bilangan bulat sehingga untuk i fixed, nij=0, kecuali untuk sejumlahhingga i. Sedangkan himpunan peubah, I dan J adalah himpunan indeks.

Selanjutnya perhatikan bahwa

 x j = g  j (   )

solusi dari (2) jika (2) dipenuhi ketika  x j  diganti oleh  g  j. Solusi dari (2) dapat dipandangsebagai elemen (..., g  j,...) dari hasil kali langsung A J .

Selanjutnya menurut Kert sz[1], sistem persamaan (2) dapat diinterpretasikan dalam bentuk yang lain. Persamaan di ruas kiri dari (2) dapat dipandang sebagai elemen darigrup bebas X atas himpunan peubah . Misalkan Y subgrup dari X yang dibangun

semua elemen berbentuk dari persamaan (2).

Sekarang perhatikan(3)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 359/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

348

Mengakibatkan suatu homomorfisma jika dan hanya jika setiap

representasi dari 0 sebagai kombinasi linier dari dipetakan ke 0. Sistem (2)

disebut kompatibel jika (3) memperluas suatu homomorfismaMaksud dari kalimat di atas dituangkan dalam teorema berikut

Teorema 2. Suatu himpunan generator-generator X = grup F adalah

himpunan bebas generator-generator [dan F grup bebas] jika dan hanya jika setiap pemetaan φ dari X ke suatu grup A dapat diperluas menjadi suatu (tunggal)homomofisma ψ  : F → A.

Bukti :Di sini hanya akan dibuktikan syarat perlunya saja.Misalkan X himpunan bebas generator-generator dari F. Jika φ : xi  ai  pemetaan

dari X ke suatu grup A, definisikan ψ  : F → A oleh

Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan dan suatu homomorfisma.

Berdasarkan hal di atas, sistem yang kompatibel dapat diinterpretasikan menjadi pasangan (Y , ) dengan Y   grup bagian dari grup bebas  X   dan suatu

homomorfisma dari Y ke grup A.Di sini  x j = g  j (   ) solusi dari (2) jika dan hanya jika korespondensi

(4)

Memperluas suatu homomorfisma yang restriksinya adalah Y  oleh .

Jadi, sistem (Y , ) mempunyai solusi jika ada suatu homomorfisma sehingga

diagram berikut komutatif

Dengan pemetaan injektif, dan pemetaan bijektif. Dalam hal ini ( X , )

solusi dari (Y , ).

Langkah terakhir yang akan dilakukan adalah membahas sistem persamaan dalamsuatu grup divisible dan solusinya menurut Gacs lyi[2].

Y X

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 360/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

349

Berikut adalah teorema-teorema yang berkaitan dengan pernyataan terakhir diatas.

Teorema 3 (Gacs lyi[2]). Setiap sistem persamaan kompatibel atas suatu grup Amempunyai solusi di A jika dan hanya jika A divisible.Bukti :Karena persamaan (1) untuk n suatu sistem yang kompatibel dan mempunyaisolusi di A maka A divisible. Sebaliknya, Misalkan (Y , ) suatu sistem persamaan

kompatibel atas suatu grup divisible A. Karena setiap grup divisible adalahinjektif maka diperluas menjadi suatu homomorfisma . Jadi, sistem

mempunyai solusi di A.

Hasil yang lebih penting diberikan berikut ini sebagai konsekuensi dari teorema 2

di atas

Akibat 1 (Gacs lyi[2]). Suatu sistem persamaan atas suatu grup divisible Ddapat diselesaikan di D jika dan hanya jika setiap sistem bagian hinggamempunyai suatu solusi di D. 

4.  KESIMPULAN

Dalam tulisan berikutnya dapat diselidiki tentang sistem homogen dan interpretasi laintentang sistem homogen menurut Kert sz[1]. Detailnya tentang solusi sistem homogen

 baik yang trivial maupun nontrivial. Dapat diselidiki bahwa sistem homogen dalam n persamaan dengan n + 1 peubah mempunyai solusi nontrivial dalam sebarang grup

yang berbeda dengan O.

DAFTAR PUSTAKA

Kert sz, A., The general theory of linear equation systems over semisimple ring, Publ. Math. Debrecen  4 (1995)

Gacs lyi, S., On algebraically closed abelian groups, Publ. Math. Debrecen 2(1952)

L sz , F., 1970 , Infinite Abelian Groups, Academic Press, New York andLondon.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 361/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

350

KONSTRUKSI HASIL KALI TENSOR MODULDAN SIFAT-SIFATNYA

Euis Hartini dan Edi KurniadiJurusan Matematika FMIPA Unpad

E-mail : [email protected] / [email protected] 

ABSTRAK

Misalkan R suatu gelanggang dan misalkan  A dan B keduanya modul kanan ataukeduanya modul kiri atas  R. Hom R( A, B) adalah suatu grup Abel yang ditentukan

oleh pasangan ( A, B). Dalam hal yang persis sama, dapat dilihat bahwa hasil kalitensor adalah grup Abel yang ditentukan oleh pasangan modul. Pertama, hasil kalitensor A⊗ B memerlukan modul kiri atau modul kanan atas  R. Ke dua, hasil kalitensor yang merupakan suatu grup Abel berasal dari suatu pemetaan kanonik Ax B →  A⊗ B. Dalam tulisan ini akan dibahas bagaimana mendapatkan suatu hasil kalitensor modul beserta sifat-sifatnya.

Kata-kata Kunci : modul, grup Abel, pemetaan kanonik

1.  PENDAHULUAN

Hasil kali tensor sangat berguna dalam mempelajari struktur aljabar tingkatlanjut. Sebagai contoh, definisi aljabar atas suatu gelanggang dapat dikarakterisasidengan menggunakan hasil kali tensor, begitu juga dengan dualnya yaitu koaljabaratas suatu gelanggang dapat dikarakterisasi dengan hasil kali tensor. Oleh karenaitu, tulisan ini diharapkan bermanfaat sebagai dasar untuk mempelajari struktur-struktur tersebut yang memerlukan operasi hasil kali tensor beserta sifat-sifatnya.

Langkah kerja yang akan dilakukan dalam tulisan ini adalah mengonstruksi hasilkali tensor beserta sifatnya dan memberikan contoh hasil kali tensor.

2.  PEMETAAN BALANCE DAN KONSTRUKSI HASIL KALI TENSOR

Sebelum mengonstruksi hasil kali tensor, berikut diberikan definisi pemetaanbalance.

Definisi  1. Misalkan  A R dan  R B  berturut-turut menyatakan modul kanan danmodul kiri atas suatu gelanggang  R. Jika U menyatakan suatu grup Abel aditif,maka suatu pemetaan balance  jika dipenuhi :

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 362/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

351

1. 

2.  )

3. untuk semua dan .

Contoh 1. Pemetaan balance

Untuk 1 , dengan 1 pembangun dari ideal (n) + (m) =

. Grup kuosien isomorf dengan .

Definisikan pengaitan

oleh

dengan . Dapat ditunjukkan bahwa suatu pemetaan balance. 

Bukti :Langkah pertama adalah membuktikan bahwa suatu pemetaan. Untuk itu, ambil (i+(n) ,

 j+(m)) dan (a+(n) , b+(m)) sebarang dengan i+(n) = a+(n) dan

 j+(m) = b+(m). Diperoleh bahwa i = a + n1 dan  j = b + m1 untuk suatu dan

. Tetapi ij = (a+n1) (b+m1) = ab + am1 + bn1 + a1b1. Sehingga dari sini

diperoleh bahwa ij – ab yang menunjukkan bahwa ij + (d ) = ab + (d ). Jadi,

suatu pemetaan.Langkat terakhir yaitu menunjukkan balance yaitu memenuhi definisi 1 di atas. Tapi

dari sifat koset dapat ditunjukkan bahwa balance.

Untuk mendefinisikan hasil kali tensor, berikut adalah konstruksinya.

KONSTRUKSI IMisalkan A dan B masing-masing modul kanan dan kiri atas suatu gelanggang R.Definisikan S=S (A, B ) suatu grup Abel bebas atas Ax B. Setiap unsur dari S dapatditulis secara tunggal sebagai suatu jumlah hingga dengan k bilangan

 bulat.KONSTRUKSI IIMisalkan H grup bagian dari S yang semua unsurnya dibangun oleh :1. 

2.  )3. 

untuk semua dan .

Selanjutnya definisikan suatu grup Abel aditif S / H. Untuk (a, b) ,definisikan . Restreksi padaoleh AxB menghasilkan suatu pemetaan kanonik .

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 363/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

352

Dari konstruksi I dan II di atas berikut diberikan definisi formalnya.

Definisi 2. Misalkan  A dan  B  berturut-turut modul kanan dan modul kiri atassuatu gelanggang R. Hasil kali tensor dari modul  A dan B adalah pasangan (T, ) dimana T adalah grup Abel dan suatu pemetaan balance. Untuksebarang pemetaan , terdapat homomorfisma grup Abel tunggal

sedemikian sehingga f = f’ .

Lebih jelasnya lagi tentang hasil kali tensor dituangkan dalam teorema berikut.

Teorema 1.  Misalkan A dan B berturut-turut modul kanan dan modul kiri atas suatu gelanggang R. Maka ( ) suatu hasil kali tensor dari A dan B atas R. Lebih jauh jika ( X, )  sebarang hasil kali tensor yang lain, maka terdapatisomorfisma grup Abel sedemikian sehingga .

Bukti :Pertama-tama dapat ditunjukkan bahwa suatu grup Abel dan

suatu pemetaan balance. Sekarang misalkansebarang pemetaan balance. Karena S modul bebas atas  , definisikan suatuhomomorfisma grup Abel dengan .Untuk kasus ini . Oleh karenanya, ada S/H = dengan

.Tinggal menunjukkan bahwa unik.Misalkan suatu homomorfisam grup Abel yang lain sehingga

. Ambil dan tuliskan . Sekarang perhatikan,

. Hal ini menunjukkan bahwa .Perhatikan diagram berikut

Karena ( ) suatu hasil kali tensor maka suatu pemetaan balancedan terdapat dengan . Demikian juga karena ( )

suatu hasil kali tensor maka suatu pemetaan balance danterdapat dengan . Jadi diperoleh dan juga

. Hal ini menunjukkan bahwa dan suatu pemetaan identitas. Jadi,mendefinisikan suatu isomorfisma.

Berikut adalah contoh-contoh hasil kali tensor.

 A x

 X

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 364/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

353

Contoh 2Untuk 1 , dengan 1 pembangun dari ideal (n) + (m)

= . Grup kuosien isomorf dengan . Demikian juga untuk dan . Maka merupakan hasil kali tensor dari dan.

Bukti :Pertama buktikan bahwa suatu grup Abel aditif. Kemudian definisikan

 pemetaan balance

oleh dengan .Langkah terakhir, misalkan

Sebarang pemetaan balance ke suatu grup Abel C. Kemudian tunjukkan bahwa terdapat

homomorfisma grup Abel

Sedemikian sehingga . Jadi menurut teorema 1 di atas merupakanhasil kali tensor dari dan .

Contoh 3Jika dengan gcd( p,q) = 1, maka /( p) /(q) = 0.

Bukti:Karena gcd( p,q) = 1 maka ada s, t di sehingga sp + tq =1. Perhatikan bahwa

.

Jadi, dipeoleh bahwa /( p) /(q) = 0.

Contoh 4.Untuk sebarang dan himupunan semua bilangan rasional maka

/(n)=0.

Bukti:Ambil sebarang, tulis  x = ny untuk suatu  y di . Jadi,

. Diperoleh bahwa

/(n)=0.

Berikut adalah sifat penting dari hasil kali tensor yang dituangkan dalam teorema berikut.

Teorema 2. Misalkan A, A’, A’’ modul kanan atas gelanggang R dan misalkan B, B’, B’’modul kiri atas gelanggang R. Jika dan suatu homomorfisma atas

 gelanggang R, maka ada homomorfisma grup Abel natural dengan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 365/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

354

Untuk semua . Lebih jauh, jika dan

homomorfisma maka

 Dengan kata lain jika dan isomorfisma maka juga suatu isomorfisma.

4.  KESIMPULAN

Kajian lebih jauh tentang hasil kali tensor dan sifat-sifatnya dapat diaplikasikan dalamstruktur aljabar lanjut. Misalnya bagaimana mendefinisikan aljabar atas suatu lapanganmelalui suatu hasil kali tensor, begitu juga dengan dualnya. Dalam kajian tersebut penggunaan hasil kali tensor akan memberikan kemudahan untuk mempelajari strukturaljabar lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Dauns, John., 1994, Modules and Rings, Cambridge university Press.

E.Kurniadi dan Irawati, 2007, Aljabar atas suatu Lapangan dan Dualisasinya,Institut Teknologi Bandung

Passman, Donald., 1991, A Course in Ring Theory, University of Wiconsin,california

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 366/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

354

BIDANG KAJIAN : TERAPAN

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 367/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

355

Sistem Tiga-massa yang Tereksitasi Secara Parametrik

Siti FatimahProdi Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika UPI

1. PendahuluanMeredam atau mengurangi vibrasi yang ditimbulkan oleh arus induksi pada suatu

konstruksi telah banyak diupayakan oleh para ahli. Penelitian-penelitianpun banyakdilakukan untuk mencari cara yang paling efektif dan efisien. Pada bidang Mekanika,untuk mengurangi pengaruh dari arus induksi pada suatu model  sistem masa-pegas telah banyak digunakan absorber, yaitu peredam yang menggunakan kombinasi pegas danmasa. Cara lainnya adalah dengan mengkombinasikan dua buah peredam yang berbeda.Hasil penelitian Tondl (1991 dan 2001), menunjukkan bahwa cara ini dapat mengurangivibrasi dengan efektif. Namun, kedua cara di atas memiliki kelemahan yaitu

kebergantungannya kepada masa peredam, semakin besar vibrasi yang timbul makasemakin besar pula massa peredam yang diperlukan.

Hasil penelitian Tondl (1997) mengenai  sistem dua-masa, yaitu sistem yangmemuat dua buah masa yang dikenai arus induksi, telah diperlihatkan bahwa apabilasistem tersebut diberi gaya luar sedemikian hingga sistem berperiodik, maka vibrasiakibat arus induksi dapat dikurangi. Keuntungan dari cara ini adalah tidak diperlukan peredam dengan masa yang besar untuk mengurangi vibrasi. Pada modelnya, Tondlmemanfaatkan interaksi antar dua buah osilator. Hasil kajian Fatimah dan Verhulst(2003) dan Fatimah (2004) mengenai sistem dua massa yang tereksitasi secara parametrikmenunjukkan hal yang sama.

Dari sudut pandang matematis, analisis pada  sistem dua-massa  yang dibahasFatimah (2003) ternyata tidak menunjukkan fenomena yang kompleks, sepertimunculnya barisan bifurkasi dan  period-doubling   yang menyebabkan terjadinya solusichaos. Hal ini disebabkan sistem tersebut tidak memiliki interaksi antar fase yang cukupkuat (Kusumo, 2008). Sistem-sistem yang memiliki interaksi fase yang kuat biasanyamenunjukkan dinamik yang kompleks, sebagaimana ditunjukkan pada studi Fatimah danRuijgrok (2002) tentang sistem yang memuat dua buah osilator dimana salah satuosilatornya tereksitasi secara parametrik serupa dengan persamaan  Mathieu. Hal yangsama ditunjukkan pada studi Fatimah (2005), Tuwankotta (2006) dan Kusumo (2008).

Pada tahun 2000, Ecker dan Tondl memodelkan suatu sistem yang terdiri daritiga buah massa. Pada studinya telah dipelajari bagaimana meredam arus vibrasi padasistem dengan menggunakan peredam yang tereksitasi secara parametrik. Namun, studisecara matematis belum dilakukan karena dengan pendekatan yang digunakannya tidakcukup banyak informasi yang diperoleh dari sistem tersebut.

Pada tulisan ini dikaji model berdasarkan hasil penelitian Ecker dan Tondl

dengan memanfaatkan interaksi antar osilator sebagaimana dilakukan pada sistem dua-massa yang telah diteliti oleh Fatimah (2005). Model dimodifikasi dengan memanfaatkanosilator Mathieu dan Rayleigh. Pada penelitian Fatimah (2001), interaksi antara osilatorRayleigh dan van der Pol pada sistem dua-massa menyebabkan dinamik yang cukupkompleks yaitu ditemukanya  strange attractor   yang mengindikasikan terjadinya chaos pada sistem. Pada sistem tiga-massa ini akan diteliti apakah ada dinamik yang komplekstersebut.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 368/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

356

2. ModelModel pada penelitian ini terdiri dari tiga buah masa, yaitu sebuah masa pusat

dan dua buah masa eksternal. Ketiga masa tersebut masing-masing bergantung dandihubungkan oleh sebuah pegas linear. Dengan demikian, model akan memuat tiga buahosilator. Masa pusat dari model tersebut dikenai oleh arus induksi yang menyebabkannya bervibrasi. Gaya luar berupa eksitasi parametrik   yang periodik akan diberikan padasistem masa (lihat Gambar 1). Sistem tersebut mempunyai positif damping serupadengan yang terdapat pada persamaan Rayleigh.

Model tersebut di atas akan merupakan sistem persamaan diferensial nonlinearorde dua yang bergantung kepada parameter-parameter yang berhubungan dengankecepatan arus induksi dan gaya akibat eksitasi parametrik. Jika model tidak dikenaiarus-induksi maka akan diperoleh sistem  persamaan Mathieu, yaitu tiga buah persamaandiferensial orde dua yang memuat fungsi non-linear yang bergantung pada waktu.Sebaliknya, jika model tidak dikenai eksitasi parametrik maka akan diperoleh sebuah persamaan Rayleigh.  Jadi persamaan yang diperoleh dari model yang dibicarakan

memuat kombinasi dari persamaan Mathieu dan persamaan Rayleigh.

Gambar 1.

Pada Gambar 1 diperlihatkan model yang memiliki sebuah masa pusat m dan dua buah massa eksternal dan .  Ketiga masa tersebut dihubungkan oleh pegas lineardengan konstanta .  Masa dapat bergerak ke atas dan ke bawah yang dinyatakandengan variabel  x   . Masa dikenai arus-induksi dengan koefisien kecepatannyadinyatakan dengan . Arus induksi menyebabkan masa bervibrasi. Pada massa dan

masing-masing dipasangkan sebuah damper taklinear dengan koefisien periodik

, sedemikian sehingga gaya yang ditimbulkannya berlawanan dengan gaya yangditimbulkan oleh arus induksi .Jika , artinya arus induksi tidak bekerja pada masa m, maka akan diperoleh

sistem persamaan nonlinear yang memuat persamaan  Mathieu. Persamaan ini memuatsuku yang menyatakan eksitasi parametrik. Jika , artinya tidak ada pengaruheksitasi parametrik, maka akan diperoleh persamaan  Rayleigh. Jika kedua gaya bekerjamaka persamaan tersebut merupakan kombinasi antara persamaan Mathieu dan persamaan Rayleigh. Akan diperoleh tiga buah persamaan pada sistem tersebut. Untuk

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 369/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

357

selanjutnya model yang dikaji disebut  sistem tiga-massa yang tereksitasi secara parametrik . Sistem tersebut dibangun oleh persamaan-persamaan differensial berikut ini:

(1)

Pada model di atas, untuk kasus , kemudian gunakan

transformasi variabel waktu dimana , diperoleh sistem:

(2)

dimana , , , , ,.

3. Analisis dari Sistem Tiga-massa yang Tereksitasi Secara ParametrikSistem persamaan (2) ditransformasikan dengan menggunakan transformasi

linear berikut:

dimana transformasi tersebut merupakan hasil dari duakali transformasi yaitu: pertamamemisahkan sistem menjadi dua sistem yang tidak terpasang, dan ; keduamereduksi sub-sistem pertama ke dalam bentuk quasi-normal. Variabel-variabel ,

adalah koordinat-koordinat normal yang berkorespondensi dengan vibrasi darisistem. Adapun coefisien konstan dan dinyatakan dengan:

dimana dan . Setelah melakukan transformasi pada sistem (2), diperolehsistem persamaan differensial yang memuat persamaan Mathieu non-linear, berikut ini:

(3)

dengan,

dimana frekuensi-frekuensi dari normal mode dari sistem (3) adalah:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 370/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

358

dan, , ,

, ,

, , , .

 Nampak bahwa sistem (3) terdiri dari dua buah sub-sistem yang terpasang (sub-sistem pertama dan kedua) dan sub-sistem ketiga yang tidak terpasang. Sub sistem yangtidak terpasang dari sistem (3) diberikan oleh persamaan:

(4)

Sub-sistem yang terpasang dari sistem (3) adalah:

(5)

Berikut adalah hasil-hasil utama dari sistem (5).

3.1 Kestabilan dari Solusi TrivialSistem yang tak terpasang adalah persamaan Mathieu dengan damping. Dinamik

 pada persamaan tersebut dapat di lihat pada Verhulst (2006). Adapun sub-sistem yangterpasang (5) merupakan sistem yang tereksitasi parametrik, sekaligus memuat eksitasisendiri  self-excited   . Inisiasi dari eksitasi sendiri pada sistem (5) adalah untukatau . Adapun kondisi yang harus dipenuhi untuk memperoleh interval dimana

solusi trivial dari sistem (5) stabil, yaitu:

atau

Adapun batas kestabilan dari solusi tersebut adalah:

dimana dan,

untuk nilai yang real.Pada Gambar 1 diperlihatkan batas kestabilan dan eksistensi dari solusi trivial sistem (5),

 pada bidang . Solusi trivial ada dan stabil untuk dan , di bawahgaris . Pada Gambar 2 diperlihatkan pada bidang , untuk nilai dantetap.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 371/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

359

Gambar 1. Eksistensi dan batas kestabilan dari solusi trivial sistem (5)untuk nilai tetap dan .

Gambar 1. Eksistensi dan batas kestabilan dari solusi trivial sistem (5)untuk nilai tetap dan .

3.2.2 Solusi Non-trivialPada sistem dengan parameter berperiodik, resonansi parametrik terjadi di sekitar

nilai-nilai:

,

dan

,

Misalkan solusi dari persamaan (5) adalah:

(6)

Substitusikan (6) pada (5), dan membandingkan koefisien-koefisien dari  ,, , , amplitudo dan ditentukan oleh persamaan:

sehingga diperoleh:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 372/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

360

dan

Untuk kasus dan , solusi non-trivial ada untuk >0 dan

DAFTAR PUSTAKA

Fatimah, S and Verhulst, F (2003). Suppressing flow-induced vibrations by parametricexcitation. Nonlinear Dynamics Journal, 31, 275-298.

Fatimah, S. (2004). Redaman Vibrasi Arus Induksi dan Dinamik Solusi pada Persamaanvan der Pol yang Tereksitasi Secara Parametrik . Laporan penelitian, Dana SP4.

Chow, S.N., and Hale, J.K. (1982).  Methods of BifurcationTheory. Appl. math.sciences,Springer-Verlag., New York.

Ecker, H. and Tondl, A. (2000). Suppression of flow-induced vibrations by adynamic absorber with parametric excitation. Proc. of 7 th InternationalConference on Flow-induced Vibrations FIV2000, Switzerland.

Fatimah, S. (2005). Dinamika pada sistem Autoparametrik dengan Osilatormemuat kombinasi dua buah Eksitasi Eksternal . Laporan penelitian, DanaSP4.

Guckenheimer, J.M and Holmes, P.J. (1990). Nonlinear Oscillations, dynamical systemsand bifurcations of vector fields.  Appl.math.sciences, Springer-Verlag, NewYork.

Kusumo, F. A. (2008).  Analisis Sistem Konservatif yang Terpertubasi secara Singular .Disertasi, ITB.

Kuznetsov, Y.A.  (1997).  Elements of Applied Bifurcation Theory.  Second edition,Springer, New York.

Sanders, J.A. and Verhulst, F. (1985).  Averaging Methods in Nonlinear DynamicalSystem. Appl.math.sciences 59, Springer-Verlag, New York.

Tondl, A. (1991). Quenching of self-excited Vibrations, Elsevier, Prague.

Tondl, A. (1997). To the interaction of different types of excitation.  In Proc. ofSem. Interactions and Feedback 97 , Prague, 25-26, 111-118, Prague.

Tondl, A., Kotek, V., and Kratochivil, C. (2001). Vibration Quenching of Pendulum Type System by means of Absorbers, CERM akademicke,Chezh Republic.

Thompson, J.M.T. and Stewart, H.B. (2002).  Nonlinear Dynamics and Chaos. sec.edition, John Wiley and Sons, Ltd, England.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 373/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

361

Tuwankotta, J.M. (2006). Chaos in Coupled Ocsillators with widely separatedFrequencies and Energy-preserving nonlinearity.  Int. Journal on Nonlinear Mechanics, 41, 180-191.

Wiggins, S. (1990).  Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos.Spriger-verlag, New York.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 374/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

362

PEMODELAN DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUHDENGAN KONSUMSI OKSIGEN LINIER TERHADAP KONSENTRASI

Kartika YuliantiJurusan Pendidikan Matematika

FPMIPA - Universitas Pendidikan Indonesiae-mail: ykar_tika @ yahoo.com

Abstrak

Oksigen memegang peranan penting bagi kelangsungan metabolisme sel didalam jaringan (tissue) tubuh. Perpindahan oksigen dari darah ke jaringan tubuh terjadi di pembuluh kapiler dengan cara difusi. Daerah kapiler-jaringan dapat direpresentasikandengan model Silinder Krogh. Berdasarkan model tersebut, diturunkan sebuah persamaandifusi yang menggambarkan penyebaran konsentrasi oksigen di suatu jaringan dengan

memperhatikan laju konsumsi oksigen yang merupakan fungsi linier terhadapkonsentrasi. Persamaan difusi tersebut diselesaikan pada keadaan tunak ( steady state)dengan mengkaji beberapa keadaan fisis dari pembuluh kapiler beserta jaringan yangmelingkupinya. Berdasarkan solusi yang diperoleh, ketahanan massa dari dinding kapilerdan jari-jari jaringan memberikan pengaruh terhadap distribusi oksigen di jaringan tubuh.

Kata kunci : Persamaan difusi, Silinder Krogh.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 375/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

363

Peramalan Kebutuhan Tenaga Listrik DenganWavelet – Jari ngan Syaraf T ir uan

(Studi kasus : PLN Area Pelayanan Surabaya Barat)

Daryono Budi UtomoJurusan Matematika FMIPA ITS

e-mail: [email protected] 

ABSTRAK

Salah satu target kinerja di lingkungan PT.PLN Distribusi Surabaya Baratadalah memprediksi kebutuhan daya. Oleh karena itu setiap APJ, khususnyaPT.PLN APJ Surabaya Barat, selalu mentargetkan Kwh beli dan Kwh jual. Denganmemprediksi pemakaian energi listrik yang dipakai masyarakat (Kwh jual),

diharapkan kita dapat menentukan langkah-langkah untuk mencapai targetkebutuhan daya (Kwh) yang diinginkan. Jaringan syaraf tiruan dapat dipakai untuk meramalkan apa yang akan terjadi

dimasa yang akan datang berdasarkan kejadian yang ada di masa lampau, khususnya peramalan pemakaian beban listrik. Penelitian ini mengaplikasikan salah satuarsitektur jaringan syaraf tiruan, yaitu recurrent neural network dengan algoritma pelatihan real time recurrent learning untuk memprediksi pemakaian beban listrik(Kwh jual) setiap bulannya. Selanjutnya akan diukur keakuratan dari aplikasi inidengan cara menghitung kesalahan peramalan. Dari hasil pengujian, aplikasi inidapat menjadi salah satu alternatif untuk masalah peramalan pemakaian bebanlistrik, namun keakuratannya hanya untuk satu bulan kedepan. Selain itu akan dicari banyaknya layer input dan layer yang tersembunyi (hidden layer) sehinggamenghasilkan kesalahan peramalan terkecil.

Kata Kunci : Jaringan syaraf tiruan, Reccurent neural network, Real time,recurrent learning. 

1.  PENDAHULUAN

Kebutuhan akan tenaga listrik di suatu daerah terus meningkat dari waktu kewaktu sejalan dengan meningkatnya kegiatan ekonomi dan kesejahteraan masyarakat didaerah tersebut. Dinamika konsumsi energi listrik juga dapat digunakan sebagai indikatorkecenderungan kemana perkembangan dari sektor atau daerah tersebut bergerak. Semakinmeningkatnya kebutuhan akan tenaga listrik ini tentunya harus diantisipasi denganmenyediakan sistem kelistrikan yang lebih memadai baik jumlah maupun kualitasnya di

masa-masa yang akan datang. Dengan demikian dalam sistem ketenagalistrikan sangatdibutuhkan peramalan (prakirakan) dengan baik untuk mengetahui kebutuhan tenagalistrik dalam kurun waktu untuk mengurangi ketidakpastian lingkungan.

Salah satu target kinerja di lingkungan PT.PLN Distribusi Surabaya Barat adalahmemprediksi kebutuhan daya. Oleh karena itu setiap APJ, khususnya PT.PLN APJSurabaya Barat, selalu mentargetkan Kwh beli dan Kwh jual. Dengan memprediksi pemakaian energi listrik yang dipakai masyarakat (Kwh jual), diharapkan kita dapat

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 376/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

364

menentukan langkah-langkah untuk mencapai target kebutuhan daya (Kwh) yangdiinginkan. 

Jaringan syaraf tiruan dapat dipakai untuk meramalkan apa yang akan terjadidimasa yang akan datang berdasarkan kejadian yang ada di masa lampau, khususnya peramalan pemakaian beban listrik.

Pada penelitian ini akan dibahas peramalan data time series dengan menggunakanmetoda integrasi antara wavelet   dengan jaringan syaraf tiruan yang selanjutnyadinamakan WRNN (Wavelet Recurrent Neural Network). Untuk simulasi program ditulisdengan memanfaatkan modul-modul program yang ada pada MATLAB, data aktual yangdigunakan adalah pemakaian daya listrik APJ. Untuk mengukur keakuratan hasil peramalan data digunakan Mean Absolute Percentage Error  (MAPE).

2.  MODEL PREDIKSI

Konsep yang penting dari wavelet adalah dekomposisi dan rekuntruksi.

Proses Dekomposisi – Filtering  dan Down-SamplingProses dekomposisi dapat diilustrasikan pada Gambar 1 :

Gambar 1 Tree Dekomposisi Wavelet.

Gambar 1 tersebut menunjukkan bahwa suatu sinyal atau data dapat didekomposisi

menjadi beberapa komponen resolusi yang lebih rendah. Hal ini dilakukan dengan caramemisah koefisien aproksimasinya.

Dekomposisi dilakukan dengan proses  filtering (pemfilteran) dan down-sampling  untuk mendapatkan koefisien skala dan wavelet. Proses pemfilteran dilakukan dengankonvolusi data input (barisan input) dengan koefisien filter. Untuk suatu barisan input

)(n x   dan koefisien filter ][nh , maka barisan output )(n y   dengan panjang  N   dapat

dirumuskan secara matematis sebagai berikut:

∑−

=

−=1

0

)(][)( N 

k n xk hn y   (2.33)

dimana N  adalah banyaknya panjang filter koefisien filter.Dua operasi dasar dalam proses pemfilteran adalah down-sampler  dan up-sampler .

Prinsip kerja down-sampler   yang digunakan pada proses down-sampling   adalah dengan

cara mengambil sinyal )(n x  sebagai input  dan menghasilkan output   )(n y   = )2( n x .Hal ini dapat diilustrasikan pada Gambar 2 :

Gambar 2 Down-Sampler yang Digunakan pada Proses Down-Sampling .

 x(n) x(2n)2

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 377/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

365

Proses down-sampling  pada gambar di atas dapat diabstraksikan sebagai berikut, yaitu jika )(n x  adalah himpunan bilangan dengan indeks n  yang terurut maka akan dihasilkan

)(n y   dengan anggota himpunannya adalah anggota himpunan )(n x   yang berindeksgenap. Pada dasarnya, proses pemfilteran dan down-sampling sesuai dengan rumusanmatematis yang telah didefinisikan pada Persamaan dibawah ini:

][]2[][ 1 mck mhk c  jm

 j   +∑   −=   (2.34)

][]2[][ 1 mck m g k d   jm

 j   +∑   −=   (2.35)

Persamaan di atas menujukkan bahwa koefisien ][k c j   diperoleh dari hasil konvolusi

koefisien fungsi skala pada skala 1+ j   dengan koefisien  ]2[ k mh   − . Sedangkan

koefisien ][k d  j   diperoleh dari konvolusi koefisien fungsi skala pada skala 1+ j  

dengan koefisien ]2[ k m g    − . Proses down-sampling ditandai dengan adanya proses pengurangan indeks sebesar k 2 .

Selanjutnya, dalam diagram dekomposisi wavelet yang dilustrasikan pada Gambar3, Lo_D disebut sebagai filter dekomposisi low-pass  yang mewakili ][nh   dan Hi_D

sebagai filter dekomposisi high-pass yang mewakili ][n g  .  Sedangkan koefisien  jc 

didefinisikan sebagai aproksimasi pada level  j   dan  jd  sebagai detail pada level  j .

Gambar 3 adalah ilustrasi diagram dekomposisi wavelet tahap awal.

Gambar 3 Dekomposisi Wavelet Tahap Awal (pada Level 1+ j ).

Proses pemfilteran dan down-sampling dapat diulang lagi pada koefisien skala untukmendapatkan koefisien aproksimasi dan detail pada resolusi yang lebih rendah. Hal ini

dapat dilakukan dengan cara memisah koefisien aproksimasi menjadi dua bagian denganmenggunakan skema yang sama, mengganti 1+ jc   dengan  jc   sehingga menghasilkan

1− jc  dan 1− jd   , dan seterusnya. Proses tersebut dapat dilustrasikan pada Gambar 4.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 378/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

366

Gambar 4 Dekomposisi Wavelet Tahap Kedua ( pada Level  j )

Sehingga, proses dekomposisi wavelet yang diilustrasikan pada Gambar 3 dan 4dapat digabungkan secara lengkap menjadi:

Gambar 2.5 Proses Dekomposisi Wavelet 1-D

Proses Rekonstruksi – Filtering  dan Up-Sampling  Prinsip kerja pada saat proses rekonstruksi merupakan kebalikan dari apa yang

dilakukan pada saat proses dekomposisi. Proses rekonstruksi dimulai dengan up-samplingkemudian  filtering (pemfilteran). Pada prinsipnya, proses up-sampling   dan pemfilteransesuai dengan rumusan matematis yang ada pada Persamaan :

∑∑   −+−=+m

 jm

 j j mk  g md mk hmck c ]2[][]2[][][1 

Persamaan ini menunjukkan bahwa ][1 k c j+   didapatkan dengan cara

menjumlahkan hasil konvolusi  jc   dengan ]2[ mk h   −   dan hasil konvolusi  jd    dengan

]2[ mk  g    − . Pengurangan indeks k   pada kefisien h  dan sebesar m2  menunjukkanadanya proses up-sampling .

Sedangkan proses up-sampling dapat didefinisikan dengan persamaan sebagai berikut:

)()2( n xn y   =   dan 0)12(   =+n y   (2.37)

Selanjutnya, proses up-sampling   dilakukan pada koefisien aproksimasi dankoefisien detail . Hal ini dimaksudkan untuk menjadikan ukuran inputan filter dua kalilipat dengan menyisipkan elemen nol (0) diantara komponen inputan filter. Sehingga,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 379/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

367

dengan mengkonvolusi hasil up-sampling  pada  jc dengan Lo_R (filter rekonstruksi low-

 pass) dan j

d  dengan Hi_R (filter rekonstruksi high- pass) maka akan diperoleh hasil

rekonstruksi.Uraian mengenai proses rekonstruksi di atas diilustrasikan pada Gambar ( 2.6).

Gambar 6 Proses Rekonstruksi Wavelet 1-D

Metoda peramalan yang digunakan pada penelitian ini Wavelet-RNN. Sedangkanteknik jaringan syaraf tiruan yang dipilih adalah Elman RNN yang mempunyai arsitektursebagai berikut:

Gambar 7. Arsitektur RNN

Jaringan Elman RNN yang ditunjukkan pada Gambar 7 mempunyai 3 layer yaitu:1.  layer input yang terdiri dari n  neuron2.  layer hidden yang terdiri dari m neuron3.  layer output yang terdiri dari 1 neuron

dan loop feedback terjadi dari neuron hidden ke- k   ke neuron hidden ke- k . Jumlah n dan m dipilih secara variatif sehingga diperoleh nilai n dan m yang optimal.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 380/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

368

Prediksi data time series, pada penelitian ini menggunakan metode wavelet- jaringan syaraf tiruan selanjutnya disebut WNN (Wavelet-Neural Network). Model yangdigunakan untuk mendapatkan prediksi data time series diperlihatkan pada Gambar 8.

Gambar 8 Model Prediksi Data Time Series 

Untuk mendapatkan prediksi data dari model, melalui 3 tahapan sebagai berikut1.   Pre-processing   data, data mentah yang akan diolah diperbaiki terlebih

dahulu menggunakan Wavelet.2.  Pemroses (Prediction), melakukan pelatihan dan pengujian denganJaringan Syaraf tiruan.

3.  Post-processing, untuk mengembalikan data seperti semula. Hasil dari post processing  ini merupakan data prediksi.

3.  METODOLOGI

Metodologi penelitian yang dilakukan peneliti adalah1.  Pengumpulan data kebutuhan tenaga listrik2.  Melakukan pre-processing data.3.  Membangun model peramalan data time series dengan menggunakan Wavelet

digabung JST

4.  Membangun perangkat lunak dari model yang telah terbentuk pada langkah (3)dengan menggunakan MATLAB berbasis GUI

5.  Melakukan uji coba terhadap perangkat lunak yang dihasilkan dari (4) untukmelakukan uji praktis dan uji teoritis.

6.  Mengevaluasi kinerja perangkat lunak yaitu dengan mengubah jenis fungsiwavelet yang digunakan.

Data yang digunakan adalah data kebutuhan tenaga listrik PLN Area PelayananSurabaya Barat. Data diambil berupa data kebutuhan tenaga listrik bulanan selama periode 2006-2009. Data tersebut dikelompokkan berdasarkan jenis pelanggan yaitu pelanggan Rumah Tangga, Bisnis, Industri, Sosial, PJU.

4.  HASIL DAN PEMBAHASANLangkah-langkah untuk peramalan data kebutuhan listrik adalah sebagai berikut:

a)  Pelatihan yang bertujuan membangun model JST yang diperlukan.1.  Pembacaan data kebutuhan listrik2.  Penghalusan data dengan transformasi wavelet3.  Pelatihan data dengan RNN4.  Reconstruksi data hasil pelatihan

 b)  Pengujian yang bertujuan menguji model JST yang diperoleh.1.  Pembacaan data kebutuhan listrik2.  Pengujian data dengan RNN hasil pelatihan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 381/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

369

3.  Perhitungan Error

Pembuatan program peramalan kebutuhan listrik menggunakan wavelet-RNNmengacu pada arsitekur RNN seperti yang tampak pada Gambar 2.Pembuataan program menggunakan program MATLAB 7.0 dengan memanfaatkanfungsi-fungsi yang ada pada MATLAB

Dalam melakukan uji coba program, menggunakan ketentuan sebagai berikut :Ø   Banyak data untuk trainning dan testing 24Ø   Banyak data untuk uji short term prediction 6Ø   Banyak neuron yang digunakan 1Ø   Banyak prediktor yang digunakan 2dataØ   Wavelet yang digunakan : Haar

Untuk mengukur jaringan digunakan MSE ( Mean  Absolute Percentage Error ) yangdinyatakan dengan:

( ) %100*11

  −=   ∑=

 N 

i i

ii

 x y x

 N  MAPE   

i x  = Data aktual

i y  = Data hasil training  

 N  = Banyak data yang di training

Sebagai contoh kasus diambil data untuk pelanggan industri, hasil yang didapat untuk pelanggan yang lain error hasil uji mirip dengan pelanggan industri. Hasil programdinyatakan dalam nilai numeric diperlihatkan pada table 1. sedangkan grafik data prediksidiperlihatkan pada gambar 9.

Tabel 1. Hasil Program

D.Aktual RNN E.RNN WRNN E.WRNN1.0e+008 *1.1327 1.0877 0.0449 1.0979 0.03481.2095 1.1601 0.0494 1.1711 0.03841.0984 1.1519 -0.0535 1.1539 -0.05551.2313 1.1540 0.0773 1.1648 0.06651.2577 1.2344 0.0233 1.2445 0.01321.0369 1.1540 -0.1172 1.1472 -0.1104

MAPE RNN = 0.318415MAPE WRNN = 0.263503

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 382/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

370

Gambar 9. Hasil prediksi untuk data pelanggan bisnis5.  KESIMPULAN

Pada program peramalan kebutuhan listrik, algoritmanya mempunyai urutanlangkah sebagai berikut:1.  Pelatihan , yang bertujuan membangun model JST yang diperlukan.2.  Pengujian, yang bertujuan menguji model JST yang diperoleh.

Perhitungan error menggunakan MAPE (Mean Abolute Percentage Error),semakin kecil nilai MAPE  performance  jaringan semakin baik. jadi performance  jaringan diukur dengan MAPE.

Berdasarkan uji coba yang telah dilakukan akan diperoleh berapa jumlah neuroninput dan berapa jumlah neuron hidden yang mempunyai nilai error yang palingkecil. Nilai-nilai tersebut akan dipilih sebagai model peramalan kebutahan tenagalistrik, agar hasil peramalan yang dilakukan mendekati nilai sebenarnya

6.  DAFTAR PUSTAKA

Budi utomo.Daryono, (2007), ”Wavelet-jaringan saraf tiruan untuk prediksi data timeseries”, Matematika ITS, Surabaya.

Cai, X., dkk, (2004), “Time Series Prediktion with RNN using a Hibrid PSO-EAAlgorithm”, University of missouri,Rolla.

Doya, K., (2002), ”Recurrent Network : Learning Algorithms”, Kyoto

Haykin.Simon, ( 1994 ), ”Neural Networks A Comprehensive Foundation”, Mc MasterUniversity Hamilton, Ontario, Canada.

J.  C. Aussem.A and Murtagh.F,(1998), ”Wavelet-based feature extraction anddecomposition strategies for financial forecasting”, Journal of ComputationalIntelligence in Finance, 6:5-12.

Lin.Feng,Yu.Huo,dkk, ”Time Series Forecasting with Neural network”, Department ofmathematics and computing central Queensland University Rockhampton, QLD4702, Australia.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 383/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

371

Mahmudah.Wilda,(2006), ”Fourier – recurrent neural network jenis elman untuk prediksidata time series”, Matematika ITS, Surabaya.

Makridakis, (1999), “Metode dan Aplikasi Peramalan”, Binarupa Aksara, Jakarta.

Wang and Ding (2003), “ Wavelet Network Model and Its Application to the Predictionof Hydrology”, Department of Hydrology and Water Resources, Hydraulic Schoolof Sichuan University, Chengdu, Sichuan 610065, China.

Youse. Shahriar. W .I, and Reinarz.D, (2005), ” Wavelet-based prediction of oil prices ”,Chaos, Solitons and Fractals, 25:265-275.

Zhang, Y.Q., Chan, L.W., (2000), “ Forenet : Fourier Recurrent Neural Network for TimeSeries Prediction”, Proseeding of International Conference on Neural InformationProcessing, The chinese University of Hongkong New Territories, Hongkong, hal.

576-582.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 384/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

372

Kalkulasi Probabilitas Terobosan pada Dinding Potensial BerketebalanNanometer

Ratno NuryadiPusat Teknologi Material, Badan Pengkajian dan Penerapan Teknologi (BPPT)

BPPT Gedung II Lt. 22. Jl. M.H. Thamrin No. 8 Jakarta 10340E-mail : [email protected] 

Abstrak

Makalah ini membahas kalkulasi probabilitas terobosan yang melewati dinding potensial tunggal berketebalan sangat tipis dari material Si/SiO2/Si. Kalkulasi probabilitasterobosan dilakukan dengan cara penyelesaian persamaan Schrodinger pada strukturSi/SiO2/Si dengan ketebalan lapisan SiO2  dalam sekala nanometer. Hasil kalkulasi

menunjukkan bahwa osilasi probabilitas terobosan muncul, dan hal ini disebabkan olehefek interferensi gelombang ketika elektron menerobos memasuki daerah Fowler- Nordheim. Kecenderungan osilasi probabilitas terobosan lebih cepat muncul ketikadinding potensial dikenakan medan listrik pada lapisan tebal SiO2. Model kalkulasi inisangat berguna untuk menerangkan fenomena fisika yang terjadi pada divaisnanoelektronik, seperti resonance tunneling diode, field emitter dan single electrontunneling device.

I.  PENDAHULUANSebagian besar produk elektronika dalam kehidupan kita sehari-hari seperti

handphone, komputer, peralatan medis dan barang-barang elektronik rumah tanggamenggunakan rangkaian terpadu (integrated circuits=IC) berbasis silikon (Si), yangsangat membutuhkan performa yang tinggi. Hal ini dapat dicapai dengan cara

memperkecil ukuran transistor untuk menghasilkan integritas yang tinggi, dan menurut International Technology of Roadmap for Semiconductor  (ITRS) saat ini ukuran transistordi level penelitian sudah berkisar 20 nanometer (nm) [1]. Ukuran ini jika diperkecil lagiakan muncul permasalahan yang serius terkait operasi transistor karena persoalan panas, besarnya medan listrik dan munculnya kebocoran arus. Hal ini bisa mengakibatkan tidak beroperasinya transistor tersebut.

Para ilmuwan sekarang sedang berlomba untuk mencari solusi masalah tersebut.Ada dua cara yang bisa ditempuh. Pertama adalah mengeksplorasi material pengganti Siuntuk dijadikan divais transistor. Dalam hal ini telah banyak yang melakukan penelitiantentang divais transistor berbasis GaAs, carbon nanotube, C60 dan lain-lain. Yang keduaadalah mencari divais baru dengan prinsip kerja yang berbeda dengan konvensionaltransistor sekarang. Dalam hal ini para ilmuwan menggali keunikan fisika kuantum untukmerealisasikan tujuan tersebut. Efek terobosan (tunnel effect ) merupakan salah satu

fenomena fisika kuantum, yang selama ini telah mempunyai aplikasi pada beberapadivais seperti divais terobosan resonansi (resonant tunneling device) [2], divais elektrontunggal ( single electron device) [3-5] dan detektor foton tunggal ( single-photon

 

detector ) [6, 7]. 

Pemahaman tentang fenomena efek terobosan ini sangat diperlukan baik dari segi fenomena fisika maupun dalam mendesain struktur divais bersekalananometer.

Makalah ini akan memaparkan metode perhitungan probabilitas terobosan dananalisanya pada struktur material Si/SiO2  untuk 

 

struktur dinding potensial tunggal.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 385/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

373

Probabilitas terobosan elektron pada dinding potensial merupakan salah satu faktor penting yang menentukan besarnya arus listrik yang mengalir pada struktur tersebut,selain kecepatan elektron dan jumlah elektron yang mengalir.

 

Osilasi probabilitasterobosan dipelajari secara numerik dengan cara penyelesaian persamaan Schrodinger,yang merupakan persamaan dasar dalam fisika kuantum.

II.  METODE PERHITUNGANPerhitungan probabilitas terobosan dilakukan dengan metode penyelesaian

 persamaan Schrodinger dengan pendekatan transfer matrix  [8-11]. 

Metode ini bisamenyelesaikan semua bentuk dinding potensial dengan perhitungan yang akurat, yangmerefleksikan fenomena fisika kuantum.

 

Persamaan (1) di bawah ini adalah persamaanSchrodinger dalam bentuk dimensi satu,

. (1)

di mana adalah konstanta Planck, dan m adalah masa efektif dari elektron.

Gambar 1 menjelaskan diagram potensial energi pada dinding potensial tunggal.Fungsi gelombang  jψ   pada posisi  j, yang merefleksikan sebuah elektron dengan

energi E  yang bergerak tegak lurus pada dinding, dapat ditulis sebagai:. (2)

Sedangkan pada posisi fungsi gelombangnya dapat ditulis sebagai,

. (3)

Dalam hal ini, ) xik  jexp   adalah gelombang yang bergerak ke kanan, sedangkan

 xik  j−exp  adalah gelombang yang bergerak ke kiri. Untuk menyelesaikan persamaandi atas, perlu diberikan asumsi syarat daerah perbatasan bahwa dan

di titik harus kontinyu. Untuk yang kontinyu maka,

, (4)

. (5)

Untuk yang kontinyu menjadi,

, (6)

, (7)

, (8)

dengan catatan,

. (9)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 386/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

374

Gambar 1. Diagram potensial energi pada sebuah dinding potensial.

Dengan melakukan penjumlahan persamaan (5) dan persamaan (8) akanmenghasilkan,

. (10)

Persamaan (10) di atas dapat ditulis menjadi,

. (11)

Kemudian, dengan melakukan pengurangan, yaitu persamaan (5) dikurangi persamaan (8) maka akan dihasilkan,

. (12)

Persamaan (12) di atas dapat ditulis,

. (13)

Persamaan (11) dan persamaan (13) dapat ditulis menjadi persamaan matriksebagai berikut,

, (14)

di mana,

. (15)

Persamaan (14) dapat ditulis,

, (16)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 387/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

375

, (17)

, (18)

, (19)

Dari sini akan hitung . Dari persamaan (19 akan dihasilkan nilai

sebagai berikut,

, (20)

, (21)

dengan catatan,

. (22)

Di sini diasumsikan bahwa dan (tidak ada refleksi gelombang

 pada titik ), sehingga persamaan (21) menjadi,

. (23)

Dengan menyelesaikan baris ke-2 dari persamaan matrik pada persamaan (23)maka,

, (24)

. (25)

Selanjutnya baris pertama dari persamaan (23) dapat ditulis sebagai berikut,. (26)

Dengan substitusi persamaan (25) ke dalam persamaan (25) menjadi,, (27)

. (28)

Dari matrik di persamaan (15) akan didapatkan nilai adalah,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 388/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

376

, (29)

, (30)

. (31)

Dari persamaan (28) dan (31) didapatkan,, (32)

, (33)

. (34)

Dari persamaan (28) dan persamaan (34) maka akan didapatkan nilai adalah,

. (35)

Selanjutnya akan dibahas probabilitas terobosan yang bisa ditulis sebagai berikut,

. (36)

Dengan substitusi harga , , dan harga pada persamaan (35) ke dalam persamaan (36), maka akan didapatkan

 persamaan probabilitas terobosan menjadi,

. (37)

III.  HASIL PERHITUNGANTeori probabilitas terobosan yang telah dipaparkan sebelumnya akan

disimulasikan pada bagian ini. Struktur yang dipakai untuk perhitungan probabilitasterobosan adalah dinding potensial tunggal dengan struktur material Si/SiO2/Si,sebagaimana terlihat di gambar 2. Diasumsikan bahwa kedua lapisan Si bertipe n dengankonsentrasi doping phospor yang tinggi. Dalam perhitungan ini, lapisan Si sebelah kiri

diberi tegangan V=0 volt, dan lapisan Si sebelah kanan diberi tegangan sebesar positif V.Dengan kondisi ini maka elektron akan mengalir dari pita konduksi Si sebelah kiri ke pitakonduksi Si sebelah kanan dengan menerobos dinding potensial SiO 2. Tinggi dinding potensial SiO2 adalah 3.1 eV yang didapatkan dari perbedaan energi antara energi afinitaselektron pada Si dan SiO2.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 389/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

377

Gambar 2 . (a) Lapisan tipis SiO2 diapit dengan dua lapisan Si (struktur Si/SiO2 /Si) dan

(b) diagram pita konduksi dari struktur tersebut.

Gambar 3 . Plot probabilitas terobosan terhadap voltase pada struktur Si/SiO 2 /Si denganketebalan lapisan SiO2  80 Å (8 nm). Perhitungan dilakukan dengan metode WKB dan penyelesaian persamaan Schrodinger.

Gambar 3 adalah grafik propabilitas terobosan T  versus tegangan V  pada lapisan

tipis SiO2  dengan ketebalan 80 Å (8 nm). Garis normal adalah hasil perhitungan penyelesaian persamaan Schrodinger dengan metode yang dijelaskan sebelumnya,sedangkan garis putus-putus merupakan hasil perhitungan WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin). Perhitungan probabilitas dengan metode WKB diperoleh denganmenggunakan rumus di bawah ini [12],

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 390/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

378

  −−=

∫ dx

 E  xU m LT WKB

h

)((*22exp

,(38)

 

di mana  L  adalah lebar dinding potensial. Di bawah tegangan 3.5 V, kedua hasil perhitungan mempunyai kondisi yang hamper sama, tetapi perbedaan karakter terjadiketika tegangan di atas 3.5 V yaitu munculnya karakter gelombang/osilasi (adanya nilai-nilai puncak pada tegangan tertentu) pada hasil perhitungan dengan menggunakan persamaan Schrodinger, yang mana itu tidak terjadi pada perhitungan denganmenggunakan WKB.

Karakter osilasi ini muncul ketika terobosan elektron memasuki daerah Fowler- Nordheim (FN). Hal ini bisa diketahui dari besar tegangan yang dikenakan pada lapisanSi sebelah kanan. Diketahui bahwa tinggi dinding potensial SiO 2  adalah 3.1 eV, jadi posisi dinding potensial di perbatasan SiO2/Si akan sejajar dengan posisi elektron yang

masuk dari lapisan Si sebelah kiri ketika tegangan diberikan sebesar 3.1 V. Daerah FNmuncul ketika tegangan diberikan lebih dari 3.1 V.

Telah dijelaskan dalam beberapa makalah bahwa penyebab sifat isolasi ini adalahinterferensi gelombang yang terjadi di atas dinding potensial SiO 2  [13-15]. Detailnyasebagai berikut. Kita anggap bahwa gelombang elektron telah menembus dinding SiO 2.Perlu dicatat di sini bahwa, dalam daerah FN, bentuk dinding potensial sudah berbentuksegitiga. Meskipun sudah melewati dinding potensial SiO 2, gelombang elektron harusmelewati daerah vacuum sebelum mencapai Si sebelah kanan. Di saat gelombangelektron mencapai perbatasan SiO2/Si, elektron masih terkena efek perubahan potensialmeskipun secara energi itu terjadi di bawah energi elektron. Hasilnya, gelombangelektron ini pecah menjadi dua, yaitu ada yang tetap menuju ke arah kanan tetapi ada jugayang menuju ke arah kiri. Gelombang yang menuju ke sebelah kiri akan berbenturandengan dinding SiO2 di sebelah kiri lagi dan mental ke kanan. Gelombang ke arah kanan

ini akan merasakan lagi efek perubahan potensial ketika sampai di perbatasan SiO 2/Si,sehingga pecah menjadi dua gelombang yaitu satu ke arah kanan dan satu ke arah kiri.Kejadian ini terjadi secara berulang-ulang. Pada kondisi tertentu, fase gelombang yang bolak-balik tersebut sama dengan gelombang elektron yang keluar dari SiO2 di sebelahkiri sehingga terjadi interferensi dan berakibat menguatnya amplituda gelombangtersebut. Amplituda gelombang ini akan kembali ke semula lagi ketika interferensigelombang sudah tidak terjadi. Fenomena inilah yang menyebabkan sifat osilasi padadaerah FN.

Gambar 4 adalah grafik probabilitas terobosan hasil perhitungan penyelesaian persamaan Schrodinger pada lapisan tipis SiO2  dengan ketebalan masing-masing 10Å,20Å, 30Å, 40Å, 50Å, 60Å, 70Å, 80Å, 90Å dan 100Å. Terlihat dalam grafik bahwa perbedaan ketebalan lapisan SiO2 meskipun sebesar 10Å pun, berakibat perubahan harga probabilitas terobosan secara eksponensial. Secara sistematik, ditemukan juga bahwakarakter isolasi lebih mudah didapatkan di tegangan rendah untuk lapisan tebal SiO 2,meskipun harga probabilitas terobosan rendah. Hal ini menjadi informasi penting dalammelakukan disain dan analisis suatu divais yang memanfaatkan struktur dinding potensialtunggal.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 391/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

379

Gambar 4 . Plot probabilitas terobosan terhadap tegangan V pada struktur Si/SiO2 /Sidengan vareasi ketebalan lapisan SiO2.

IV.  KESIMPULAN

Metode perhitungan probabilitas terobosan dipelajari pada makalah ini denganmemecahkan masalah pada persamaan Schrodinger dari sisi teori secara transfer matrixhingga simulasi numerik. Melalui metode perhitungan transfer matrix, dilakukan simulasi perhitungan probabilitas terobosan pada struktur Si/SiO2/Si dengan ketebalan lapisan

SiO2  antara 10Å sampai dengan 100Å. Hasil yang didapatkan adalah ditemukannyaosilasi probabilitas terobosan ketika terobosan elektron memasuki daerah Fowler- Nordheim, sedangkan sifat osilasi seperti ini tidak dijumpai pada metode WKB. Hal inilebih mudah dijumpai pada struktur lapisan tebal SiO 2. Karakter osilasi probabilitasterobosan ini muncul disebabkan interferensi gelombang yang terjadi di atas dinding potensial SiO2 pada daerah Fowler-Nordheim.

DAFTAR PUSTAKA

International Technology of Roadmap for Semiconductors (ITRS), 2008 Update.

R. Tsu and L. Esaki, Appl. Phys. Lett. 22, 562 (1973).

K.K. Likharev, IBM J. Res. Develop. 32(1), 144 (1988).

R. Nuryadi, H. Ikeda, Y. Ishikawa, and M. Tabe, IEEE Trans. Nanotechnol. 2, 231 (2003).

R. Nuryadi, H. Ikeda, Y. Ishikawa and M. Tabe, Appl. Phys. Lett., 86, 133106 (2005).

S. Komiyama, O. Astafiev, V. Antonov, T. Kutsuwa, and H. Hirai, Nature London, 403,405 (2000).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 392/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

380

R. Nuryadi, Y. Ishikawa and M. Tabe, Phys. Rev. B, 73, 045310 (2006).

R. Nuryadi, Prosiding Seminar Nasional Ilmu Komputer dan Aplikasinya 2009 (SNIKA2009), 26 November 2009.

B.  E. Simion, and C. I. Ciucu, Romanian Reports in Physics, Vol. 59, Number3, pp. 803-814, Sept. 2007.

A.  Harwit, J.S. Harris, Jr. and A. Kapitulnik, J. Appl. Phys. 60, 3211 (1986).

Y. Ando and T. Itoh, J. Appl. Phys. 61(4), 1497 (1987).

J.G. Simmons, J. Appl. Phys. 34(6), 1793 (1963).

F.  Lewicki and J. Maserjian, J. Appl. Phys. 46(7), 3032 (1975).

K.J. Hebert and E.A. Irene, J. Appl. Phys. 82(1), 291 (1997).

L. Lai and E.A. Irene, J. Appl. Phys. 87(3), 1159 (2000).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 393/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

381

Metode Penyelesaian Numerik Persamaan Poisson pada Semikonduktor denganMenggunakan MATLAB

Ratno NuryadiPusat Teknologi Material, Badan Pengkajian dan Penerapan Teknologi (BPPT)

BPPT Gedung II Lt. 22. Jl. M.H. Thamrin No. 8 Jakarta 10340E-mail : [email protected] 

Abstrak

Perkembangan divais semikonduktor yang sangat cepat dan dinamis telahmenjadi perhatian besar baik bagi kalangan industri, peneliti maupun pendidikan.Perkembangan divais baru perlu diikuti dengan kemampuan analisis yang kuat terutama penggunaan komputer dalam menyelesaikan persamaan matematika terkait. Integrasikomputer dalam riset dan pendidikan khususnya MIPA menjadi hal yang sangat urgen

dan tidak bisa terelakkan lagi. Dalam paper ini akan dibahas metode penyelesaiannumerik dari persamaan Poisson pada sistem sambungan pn semikonduktor denganmenggunakan MATLAB. Metode numerik ini didasarkan pada teknik penyelesaianmatematika Newton-Raphson dan sangat berguna untuk tujuan pendidikan IPA danteknik analisa numerik pada suatu divais elektronika tertentu.

I.  PENDAHULUANDivais semikonduktor mempunyai aplikasi yang sangat luas dalam kehidupan

kita sehari-hari, seperti handphone, komputer, alat-alat listrik rumah tangga dan lain-lain.Dalam rangka untuk meningkatkan performa dari divais semikonduktor, ukuran divaisdibuat semakin kecil disertai dengan meningkatnya kemampuan divais tersebut [1].Dalam riset divais semikonduktor, selain tema fabrikasi divais, karakterisasi, aplikasi pada sistem tertentu, bagaimana proses disain dan analisis dari divais yang dimaksud

merupakan tema riset yang sangat penting [2-3]. Pada proses disain dan analisis,dibutuhkan kemampuan modeling yang perlu diback-up  dengan skil penyelesaian persamaan matematika yang terkait dan programming. Ketepatan dalam disain dananalisis akan sangat membantu proses eksperimen divais, baik dari sisi prioritaseksperimen maupun dari sisi berapa vareasi eksperimen yang akan dilakukan. Apalagi proses simulasi pada divais nano, metode perhitungan secara numerik banyak dilakukanuntuk menerangkan fenomena yang ada di dalamnya [4-6].

Pada makalah ini akan dilakukan proses perhitungan karakteristik divaissemikonduktor dengan mengambil sampel sambungan semikonduktor  pn. Dalam hal ini, persamaan Poisson yang merupakan persamaan standar pada semikonduktor diselesaikansecara numerik dengan metode Newton-Raphson. Dalam proses penyelesaian persamaanPoisson digunakan program MATLAB. Makalah ini akan menjelaskan secara detailtentang model perhitungan, implementasi program MATLAB berikut hasil perhitungan

dan konfirmasi kebenaran dari model perhitungan pada makalah ini.

II. MODEL PERHITUNGAN Model perhitungan karakteristik divais semikonduktor sambungan  pn berangkat

dari persamaan Poisson [7]. 

Pada bagian ini dijelaskan rumus dasar persamaan Poissonsampai dengan perincian proses simulasi dengan metode Newton-Raphson [2-3].Persamaan (1) di bawah ini adalah persamaan Poisson dalam bentuk dimensi satu,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 394/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

382

, (1)

di mana , r   adalah konstanta dielektrika semikonduktor dan adalah

 permitivitas ruang hampa. adalah densitas muatan (muatan cm-3).

Ketika diasumsikan bahwa semua dopant terionisasi, maka densitasmuatan di dalam semikonduktor bisa dinyatakan sebagai,

. (2)

Pada persamaan (2) di atas, q  adalah muatan elektronik, adalah konsentrasi

atom donor, adalah konsentrasi atom akseptor, p adalah konsentrasi hole dan n 

adalah konsentrasi elektron. Dalam hal ini besar profil doping

diasumsikan diketahui.

Metode numeric untuk penyelesaian sambungan pn dengan sedikit arus listrik atautanpa aliran arus listrik dikenal dengan metoda Newton-Raphson. Dalam prosesiterasi, iterasi ke l+1 untuk memprediksi nilai ditentukan dari nilai pada

interasi ke l  dan harga penambahan . Hal ini diberikan dengan persamaan.

. (3)

Persamaan (1) dalam proses iterasi bisa dinyatakan dalam persamaan berikut yangdidapat dari substitusi persamaan (3) ke persamaan (1),

. (4)

Selanjutnya persamaan bisa disederhanakan menjadi,, (5)

atau

. (6)

Dengan penguraian diferensial tingkat dua sebagai berikut,

, (7)

maka dengan substitusi persamaan (7) ke dalam persamaan (6) didapatkan,. (8)

Dalam hal ini nilai grid  j=1,2,….,m. Dicatat bahwa harga potensial diketahui diujung jauh dari sambungan  pn. Ada dua titik ujung potensial yang diketahui disini, yaitu titik ujung sebelah kiri dan sebelah kanan, yang selanjutnya bisa

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 395/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

383

dinyatakan sebagai, di sebelah kiri pada semikonduktor p dan di

sebelah kanan pada semikonduktor  p. Perlu diikuti juga asumsi pada persamaan

(8), dan . Sementara itu, nilai potensial adalah,, (9)

sedangkan nilai potensial adalah,

, (10)

di mana k  adalah konstanta Boltzmann, T  adalah suhu mutlak dalam Kelvin dan

adalah konsentrasi muatan intrinsik.Dengan mendefinisikan ruas kanan persamaan (8) sebagai , dan

, (11)

maka persamaan (8) menjadi,

. (12)

Persamaan (12) bisa dinyatakan dalam matrik sebagai,

. (13)

Koefisien matrik pada persamaan (13) merupakan matrik tri-diagonal. Dengan penyelesaian persamaan matrik ini, akan dihasilkan nilai yang selanjutnya

 bisa didapatkan nilai . baru melalui persamaan (3). Proses iterasi berjalan

sampai terhenti ketika memenuhi kondisi di mana harga eror lebih kecil daridefinisi nilai toleransi, sebagai berikut :

. (14)

Untuk menyelesaikan persamaan Poisson pada persamaan (1), perludidefinisikan lebih spesifik harga densitas muatan pada persamaan (2). Padasambungan  pn  semikonduktor dengan tipe sambungan abrupt pada keadaansetimbang, maka konsentrasi elektron dan hole dinyatakan sebagai,

, (15)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 396/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

384

. (16)

Dengan mensubstitusi persamaan (15) dan (16) ke dalam persamaan (2) makaakan didapatkan,

, (17)

dan differensial tingkat satu persamaan (17) terhadap V  adalah,

. (18)

III.  IMPLEMENTASI MATLAB

Perlu di catat bahwa pada MATLAB indeks barisan bermula dari nilai 1, bukan 0 dan diakhiri dengan (m+2) bukan (m+1). Karena itu, untuk membuatstruktur sambungan  pn, maka titik grid nomor 1 sampai dengan (m/2+1) adalahsemikonduktor jenis p dan titik grid dari nomor (m/2+2) sampai dengan (m+2)merupakan semikonduktor jenis n. Sambungan terdapat di antara titik grid(m/2+1) dan (m/2+2).

Pada makalah ini akan didemondtrasikan solusi dimensi satu penyelesaian persamaan Poisson pada sambungan  pn  semikonduktor silikon pada keadaansetimbang di suhu ruangan. Pertama diasumsikan bahwa besar konsentrasi donordan akseptor adalah sama. Di bawah ini adalah perintah program dalamMATLAB pada definisi dari sambungan pn semikonduktor.T=300; % Suhu pada Kelvin (K)

k=1.38066e-23; % Konstanta Boltzmanne0=8.85418e-14; % permitivitas ruang hampa (F/cm)q=1.602e-19; % Besar satu muatan (C)eSi=11.8*e0; % Konstanta dielektrika silikon pada 300K(F/cm)ni=1.45e10; % Konsentrasi intrinsic silicon pada 300K(cm-3)

 NA=1e16; % Konsentrasi akseptor (cm-3) ND=1e16; % Konsentrasi donor (cm-3)kT_by_q=k*T/q;VP=-kT_by_q*log(NA/n0); % Persamaan (9)VN=kT_by_q*log(ND/n0); % Persamaan (10)m=120; % jumlah titik griddelta=1e-6; % jarak antar grid (cm)

Harga awal dari potensial V bisa dibuat dengan program MATLAB sebagai berikut,V=zeros(m+2,1);V(1:m/2+1,1)=VP;

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 397/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

385

V(m/2+2:m+2,1)=VN;Untuk komputerisasi agar hasil jawaban didapatkan lebih baik, maka

 persamaan matrik pada persamaan (13) harus diselesaikan. Untuk hal tersebut, adatiga step yang harus dilalui. Pertama, ruas kanan dari persamaan (13) perlu dibuatterlebih dahulu menjadi,d2V_by_dx2=(V(1:m,1)-2*V(2:m+1,1)+V(3:m+2,1))/delta^2;rho=q*(ND-NA-2*ni*sinh(V(2:m+1,1)/(k*T/q)));F=d2V_by_dx2+rho/eSi;Yang kedua, koefisien matrik pada persamaan (13) dibuat.Mj=2/delta^2+(2*q*ni/(eSi*(k*T/q)))*cosh(V(2:m+1,1)/(k*T/q));CM=sparse(1:m,1:m,Mj,m,m)+sparse(1:m-1,2:m,(-1/delta^2)*ones(m-1,1),m,m)+sparse(2:m,1:m-1,(-1/delta^2)*ones(m-1,1),m,m);Selanjutnya adalah perhitungan matrik,DV=CM\F

Dalam rangka perbaikan dari solusi yang dihasilkan melalui proses iterasi, maka,V(2:m+1)=V(2:m+1)+DV;Proses kalkulasi diatas harus dilakukan dalam satu loop, dan akan berakhir setelahnilai eror pada persamaan (14) terpenuhi dengan perintah sebagai berikut,eror=norm(DV,2)/sqrt(m);

IV.  HASIL KALKULASIDalam rangka menguji model perhitungan yang diterangkan sebelumnya,

dilakukan kalkulasi dengan menggunakan MATLAB pada sambungan  pn semikonduktor silikon. Gambar 1 merupakan divais struktur sambung  pn. Padadivais  pn  ini baik semikonduktor tipe  p  maupun tipe n  mempunyai besarkonsentrasi doping yang sama, yaitu  N  A= N  D=10-16  cm-3. Panjang semikonduktor

tipe p dan tipe n masing-masing 0.6 mikrometer, sehingga total panjang divais  pn ini 1.2 mikrometer. Besar potensial built-in  adalah 0.6951 V yang didapat dariselisih harga potensial jauh dari batas sambungan pada semikonduktor tipe  p sebesar -0.3475 V dan harga potensial jauh dari batas sambungan padasemikonduktor tipe n sebesar 0.3475 V.

Gambar 1. Diagram struktur divais semikonduktor pn dengan panjang 1.2mikrometer.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 398/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

386

Gambar 2. Hasil perhitungan distribusi potensial pada sambungan semikonduktor pn dengan metode Newton-Raphson.

Gambar 2 menunjukkan hasil perhitungan distribusi potensial denganmetode Newton-Raphson yang dijelaskan pada makalah ini. Grafik garis putus-

 putus merupakan potensial awal V  yang diberikan untuk proses kalkulasi. Setelah proses iterasi berjalan, harga potensial terus dikoreksi dan setelah harga V  

mendekati kebenaran, maka proses iterasi akan berhenti. Grafik garis normal(tidak putus-putus) pada gambar 2 merupakan hasil akhir potensial V . Proseskalkulasi berhenti setelah nilai eror pada persamaan (14) lebih kecil dari nilaiyang ditentukan. Pada kalkulasi gambar 2 didefinisikan nilai minimumeror=22.2e-16. Tabel 1 menunjukkan perubahan nilai eror pada setiap prosesiterasi. Kalkulasi berjalan selama 7 kali dan setelah itu kalkulasi berhenti karenaharga eror lebih kecil dari 22.2e-16.

Gambar 3 menunjukkan grafik perhitungan konsentrasi muatan masing-masing konsentrasi elektron (garis normal) yang dikalkulasi dengan persamaan(15) dan konsentrasi hole (garis putus-putus) yang dihitung dengan persamaan(16). Daerah di dekat batas sambungan  pn, yaitu daerah deplesi, konsentrasimuatan baik elektron maupun hole relatif kecil sekali dibandingkan dengan

 jumlah konsentrasi muatan di ujung divais. Hal ini disebabkan karena muatan didaerah deplesi ini terdefusi ke arah ujung semikonduktor karena adanya medanlistrik di daerah deplesi tersebut. Harga potensial untuk kalkulasi gambar 3 inimenggunakan hasil grafik potensial pada gambar 2. Dari nilai besar konsentrasielektron dan hole dapat dikalkulasi densitas muatan dengan penyelesaian

 persamaan (17), dan hasilnya bisa dilihat pada gambar 4. Karakter dari densitasmuatan ini sebagai berikut. Di daerah deplesi, harga mutlak densitas muatan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 399/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

387

relatif lebih besar dibandingkan dengan di ujung semikonduktor. Tetapi ada perbedaan jenis muatan, untuk daerah semikonduktor tipe  p  densitas muatan

 bernilai negatif, sedangkan di daerah semikonduktor tipe n  densitas muatan bernilai positif.

Tabel 1. Harga eror pada persamaan (14) pada setiap iterasi pada kalkulasidengan metode Newton-Raphson.

Iterasi Eror(V)1 0.06392 0.03413 0.00764 6.1348e-45 5.7064e-6

6 6.2000e-107 1.8107e-16

Gambar 3. Hasil perhitungan konsentrasi elektron dan hole pada sambungan pn, yang masing-masing dihitung melalui persamaan (15) dan (16).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 400/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

388

Gambar 4. Hasil perhitungan densitas muatan yang dihitung berdasarkan persamaan (17) melalui metode Newton-Raphson.

Gambar 5. Hasil perhitungan harga ruas kiri dan harga ruas kanan pada persamaan (1) dengan menggunakan nilai potensial pada gambar 2.

Gambar 5 menunjukkan harga ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan(1). Harga potensial yang digunakan untuk penyelesaian persamaan (1) ini, baikruas kiri maupun kanan, adalah dengan menggunakan harga potensial padagambar 2. Gambar ini digunakan untuk melakukan konfirmasi ketelitian darimodel perhitungan pada makalah ini. Terlihat pada gambar bahwa harga ruas kiri dan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 401/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

389

ruas kanan hampir sama, yang berarti model kalkulasi yang digunakan pada simulasi iniadalah benar adanya.

V.  KESIMPULAN

Makalah ini telah membahas model perhitungan numerik penyelesaian persamaan Poisson pada semikonduktor dengan menggunakan MATLAB. PersamaanPoisson diselesaikan dengan metode Newton-Raphson. Sebagai ujicoba perhitungan iniadalah sambungan  pn  semikonduktor. Didapatkan hasil bahwa potensial pada divais  pn dapat terkalkulasi dengan baik melalui program MATLAB, dan didapatkan hasilsebagaimana metode pendekatan deplesi. Beberapa kalkulasi untuk konfirmasi kebenaran progam ini telah dilakukan dengan kesimpulan model perhitungan ini mempunyai akurasiyang tinggi. Namun demikian, model penyelesaian pada makalah ini adalah untuk kasuskeadaan setimbang, dalam arti pada divais tidak diberikan tegangan. Model dengan pemberikan tegangan pada divais perlu dilakukan studi lebih lanjut.

DAFTAR PUSTAKAInternational Technology of Roadmap for Semiconductors (ITRS), 2008 Update.

G. R. Shapiro, IEEE Trans. Education 38(4), 380 (1995).

R.A. Jabr, M. Hamad and Y.M. Mohanna, International Journal of Electrical EngineeringEducation 44(1), 23 (2007).

R. Nuryadi, Prosiding Seminar Nasional Ilmu Komputer dan Aplikasinya 2009 (SNIKA2009), 26 November 2009.

C. E. Simion, and C. I. Ciucu, Romanian Reports in Physics, Vol. 59, Number 3,

 pp. 803-814, Sept. 2007.

Y. Ando and T. Itoh, Journal of Applied Physics 61(4), 1497 (1987).

S.M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, Second Edition (John Wiley & Son,1981) p. 76.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 402/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

390

MODEL PENYEBARAN EPIDEMIK TANPA VAKSINASI

 Jonner Nainggolan Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Cenderawasih Jayapura dan Mahasiswa

S3 UNPAD [email protected]  

 Rustam E. Siregar Dosen Jurusan Fisika FMIPA Universitas Padjadjaran Bandung

Sudradjat Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Bandung

[email protected] 

 Diah Chaerani

 Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran [email protected] 

ABSTRAK

Model deterministik penyebaran penyakit tipe SIR  dalam tulisan ini adalah modelepidemik dengan tidak memasukkan faktor vaksinasi. Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit dapat diketahui dari nilai basic reproduction number  (R 0), danuntuk lebih memperjelas model diberikan contoh numerik.

Kata kunci : Deterministik, SIR, epidemik, basic reproductive number. 

1.  Pendahuluan

Penyebaran berbagai penyakit menular masih merupakan masalah di berbagainegara di dunia termasuk di Indonesia. Strategi pencegahan epidemik berkaitan eratdengan nilai ambang yang lebih dikenal dengan basic reproduction number  atau biasanyadinotasikan dengan R 0, basic reproduction number   didefinisikan sebagai jumlahekspektasi kasus infeksi sekunder yang disebabkan oleh masuknya satu individu infected  (diasumsikan infectious) selama masa hidupnya sebagai infectious (periode infectious) kesuatu populasi yang semuanya  susceptible (Diekmann dkk, [4]). The basic reproductionnumber   ini tidak dapat dihitung secara eksplisit pada banyak kasus karena diskripsimatematika tentang individu infectious  dengan tingkat heterogenitas yang tinggi sulitdiukur dalam suatu populasi. Pada penyebaran epidemik, transmisi tidak terjadi jikaR 0 ! 1, akan tetapi jika R 0 > 1 epidemik akan menyebar dalam suatu quasi-equilibrium.Jika peluang musnahnya epidemik semakin besar maka dapat menurunkan  R0 hingga di bawah 1 (Jacquez, [6]).

Keberhasilan pengendalian penyebaran suatu penyakit bergantung tingkat parameter-parameter yang terlibat pada model tersebut. Model penyebaran epidemik adayang deterministik dan stokastik dengan beberapa tipe antara lain: SI , SIS , SIR, SIRS ,SEIR, SEIRS   dan lain-lain. Beberapa penelitian bidang epidemiologi telahmengembangkan model tipe SIR dengan menambah beberapa variabel, dan memperoleh parameter penentu penyebaran infeksinya. Hethcote dkk, [5] telah mengungkapkanmodel deterministik tipe SIR  dengan menambahkan faktor demografi, kemudianmengembangkannya pada skedul vaksinasi optimal. Tuckwell, dkk, [8] telah menyelidiki

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 403/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

391

sifat-sifat model epidemik stokastik tipe SIR. Model yang dibahas dalam tulisan iniadalah model deterministik penyebaran penyakit tanpa vaksinasi pada tipe SIR, sertabasic reproduction number,  untuk lebih memperjelas model diberikan perhitungannumerik.

2. Model Deterministik Epidemik2.1 Model Deterministik tipe SI

Model tipe SI   merupakan yang paling sederhana diantara model epidemik.Sehingga model tipe SI   disebut model simpel. Pada model tersebut populasi dibagimenjadi dua kelas yaitu: Kelas individu  susceptible (S)  adalah  individu yang belumterinfeksi dan rentan untuk terinfeksi, infectives (I) adalah individu yang sudah terinfeksidan dapat menyebarkan penyakit ke sejumlah individu lain. Susceptible yang terinfeksiakan langsung menjadi infective  dan akan tetap menjadi infective  karena tidak terdapatfase removal . Kecepatan penyebaran epidemik model ini proporsional terhadap banyaknya kontak antara subpopulasi  suscpeptible dan subpopulasi infective. Pada model

epidemik tipe SI diasumsikan populasi homogen dengan jumlah total individu  N + 1,terjadinya epidemik dimulai pada saat t   = 0 oleh satu individu terinfeksi dalam satukelompok dengan N susceptible lainnya. Misalkan jumlah  susceptible pada saat t  adalahS(t), dan jumlah infected  pada saat t   adalah  I(t), sehingga S(t) + I(t) = N + 1. Jumlahinfected   baru dalam interval waktu ∆t   dinyatakan dengan βS(t)I(t)∆t , dimana β  adalahtingkat infeksi (tingkat kontak). Maka

∆S = -βS(t)I(t)∆t , prosesnya dijelaskan dalam persamaan diferensial sebagai berikut (Bailey, [1]):

).1(   +−−=−= S  N S SI dt 

dS ββ   (1)

Jika dimisalkan skala waktu τ = βt , persamaan diferensial menjadi

),1(   +−−= S  N S 

dS 

τ

 

 penyelesaiannya

C S nn

S n

  +=+−+

++

−   τ)1ln(1

1ln

1

dengan kondisi awal S = N  dan τ = 0 diperoleh jumlah susceptible pada waktu τ 

ττ )1(

)1()( ++

+= N e N 

 N  N S  . (2)

Akibatnya jumlah infected  pada waktu τ  adalah

 I( τ ) = N – S + 1 =τ)1(1

)1(+−+

+ N  Ne

 N   (3)

Jika setiap individu akan terinfeksi, S( τ )   0 dan  I( τ )   0 untuk semua nilai berhingga

 pada saat τ adalah positif. Definisikan T 1 = inf{τ  : S( τ ) > N }, yaitu nilai akhir jumlahinfectious adalah 1. Oleh karena itu persamaan  I( τ ) turunannya positif untuk τ  berhingga, ditentukan T 1 dari I(T 1 ) = N. Dari persamaan (3) diperoleh

 N  Ne

 N T  N   =

++

+− 1)1(1

)1( 

2

)1( 11

 N e T  N  =+−  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 404/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

392

 IS β    I γ   

)1

ln(1

121

 N  N T 

+−= .

Sehingga gerak penyebaran epidemik tipe SI  diperoleh seperti pada grafik di bawah ini,

tingkat kejadian infeksi barudt 

dI dapat dilihat pada Gambar 1 di bawah ini

2.2 Model Deterministik Klasik Tipe SIRModel tipe SIR merupakan pengembangan tipe SI  dengan menambahkan keadaan

recovered   pada populasi. Keadaan populasi yang recovered ( R) yaitu individu tersebuttelah terisolasi, atau telah disembuhkan dari penyakit, atau telah kebal terhadap penyakit.Diagram penyebaran epidemik tipe SIR tanpa vaksinasi dapat dilihat seperti Gambar 2 di bawah ini (Hethcote, [5]):

Dimana: β adalah tingkat infeksi, dan γ  adalah laju recovered .Adapun modelnya dinyatakan sebagai berikut (Hethcote dkk. [5]):

 IS dt 

dS β−= , (4)

   I  IS dt 

dI γ β   −= , (5)

 I dt dR γ = , (6)

S(0) = S 0 , I(0) = I 0 , R(0) = 0, (7)dengan  N S I R= + + . Jika persamaan (5) dibagi persamaan (4) maka diperoleh :

S dS 

dI    ρ+−= 1   (8)

 R IS

Gambar 2. Model penyebaran epidemik tipe

Gambar 1. Penyebaran Epidemik tipe SI  

S(t)

I(t)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 405/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

393

dimanaβ

γ ρ =   merupakan laju removal   relatif. Selanjutnya solusi dari persamaan (8)

adalah ϕ(S,I) = S + I - ρ ln S = C

dimana C   suatu konstanta. Jadi solusi model tipe SI   bergantung pada tingkat removal  relatif ρ. Solusi model dengan syarat awal memenuhi titik (S 0 , I 0 ), dengan S 0 + I 0 = N ,maka diperoleh

S + I - ρ ln S = S 0 + I 0 - ρ ln S 0 = C

 I = N – S + ρ ln0S 

S   (9)

 Nilai maksimum atau nilai infeksi puncak  I m  terjadi saat 0=dt 

dI , oleh karena itu

diperoleh ρβ

γ  ==S  , sehingga dari persamaan (9) untuk S = ρ , diperoleh:

 I m = N – ρ + ρ ln0S 

S   (10)

Untuk lebih jelas model penyebaran epidemik model di atas, digambarkan dulumodel yang sederhana dalam tipe SI, dari persamaan (4) – (5) di atas, dipilih β =10, γ  = 3, dengan kondisi awal S 0 + I 0 = 1. Sehingga gambarannya dapat dilihat seperti pada Gambar 3 di bawah ini:

Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (9) dan persamaan  N S I R= + +  makakelas removal R(t) dapat dinyatakan dengan

 R(t) = ∫   

−=

S d t  I 

0 0

ln)(   ρτγ  . (11)

§  Basic Reproduction Ratio  (R 0)Agar tercapai kondisi yang bebas endemik maka haruslah:

00   ≤−β

γ S   

010   ≤−S γ 

β 

Gambar 3. Penyebaran endemik sistem SI  persamaan (4) – (5) untuk β = 10, γ  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 406/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

394

Sehingga basic reproduction ratio 

R 0 =

γ 

β 0S   (12)

yang menyatakan jumlah infeksi-infeksi berikutnya yang diperoleh dari satu infeksiutama terhadap populasi susceptible.

§  ContohSatu kompi tentara berjumlah 8342 orang berada pada satu kamp. Seorang dari

anggota regu bergabung dalam regu tersebut, orang yang baru bergabung tersebut sakitinfluenza yang dapat menularkan infeksi. Pada lokasi kamp tentara tersebut terdapat saturumah sakit mempunyai hanya 240 tempat tidur pasien. Parameter transmisi flu tersebut β = 5 x 10-5 per hari dan tingkat recovered γ  = 0,32 per hari.Untuk mengetahui kondisi penyebaran endemik tersebut, akan dihitung R 0.Diketahui S 0 = 8341, I 0 = 1, dan R0 = 0, maka

6400)10(5

32,05   ===   −β

γ ρ  

R 0 = 13,10 >=γ 

βS  

Karena R 0 > 1, ini berarti bahwa influenza tersebut akan menyebarkan endemik kepadaindividu yang lainnya pada regu tentara tersebut.

Untuk mengetahui keadaan pada puncak endemik, apakah rumah sakit tersebutmampu menampung pasien yang sedang sakit. Jumlah maksimum pasien yang sakit

268ln0

max   =+−=S 

 N  I   ρ

ρρ  > 240

Ini berarti bahwa pada saat puncak endemik, rumah sakit tersebut tidak mampumenampung pasien yang sedang sakit flu.

2.3  

Model Deterministik Umum tipe SIR

Model epidemik tipe SIR  berikut adalah keumuman dari tipe SIR pada sub bab2.2. di atas, dengan asumsi α  merupakan kematian karena penyakit, semua kelahiran baru masuk ke dalam kelas  susceptible  dengan tingkat konstan Λ, dan masuknya alurkonstan imigran sebanyak  A. Sedangkan µ adalah tingkat kematian alamiah yang tidakdiakibatkan oleh penyakit. Masuknya populasi lewat dua jalan, kelahiran danimigran.

Alur diagramnya model epidemik tersebut dapat dilihat seperti padaGambar 4 di bawah ini:

 A Λ 

βSI γ  I

µS µ I α I µ R

S I R

Gambar 4. Diagram model determistik umum tipe

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 407/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

395

Keterangan: A Imigran

Λ Tingkat kelahiran

β  Tingkat kontak

γ   Tingkat recovery 

µ  Tingkat kematian alamiah bukan karena penyakit

α  Tingkat kematian karena penyakit

Model tersebut dapat diformulasikan dalam sistem persamaan diferensial sebagai berikut(Brauer, [1]):

S ′ = Λ + A – βSI – µS (13) I ′ = βSI – ( µ + γ  + α )I (14) R′ = γ  I – µ R (15)S(0) = S 0 , I(0) = I 0 , R(0) = 0, (16)

2.3.1  Analisis Titik TetapKondisi populasi individu infected  pada saat t  → ∞ dapat dianalisa misalnya

dengan menentukan titik kesetimbangan (titik tetap) dari persamaan pertumbuhan populasi  suspectible dan populasi infected . Titik tetap diperoleh saat masing-masing persamaan pertumbuhan populasi mencapai nilai nol. Berikut ini akan dicari titik tetapdari persamaan pertumbuhan populasi suscectible dan populasi infected .§ Buat persamaan (14) sama dengan nol

βSI – ( µ + γ  + α )I = 0( βS – ( µ + γ  + α ))I = 0

0*0 = I   dan

β

αγ µ   ++=*1S   

Substitusi 0*0 = I    kepersamaan S ′ =0 , maka diperoleh:

Λ + A – µS = 0

µ

 AS 

  +Λ=*0  

Jadi diperoleh satu titik tetap )0,(),( *0

*01

µ

 A I S  P 

  +Λ=  yang menyatakan dalam keadaan

setimbang, populasi  susceptibleµ

 A+Λ  dan populasi infected sama dengan nol (bebas

endemik).

§ Substitusiβ

αγ µ   ++=*1S    ke persamaan S ′ =0, maka diperoleh:

Λ + A – ( β I + µ )S= 0

Λ + A – ( β I + µ )β

αγ µ   ++= 0

β

µ

αγ µ  −++

+Λ=  A I *1  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 408/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

396

Jadi diperoleh titik tetap     

   −

+++Λ++=

β

µ

αγ µβ

αγ µ  A I S  P  ,),( *

1*12   yang menyatakan

dalam keadaan setimbang, populasi  susceptibleβ

αγ µ   ++ dan populasi infected sama

denganβ

µ

αγ µ−

+++Λ  A

.

2.3.2  Keberadaan Titik TetapDari persamaan (14) agar tidak terjadi peningkatan jumlah infeksi  I (tidak terjadiepidemik), maka haruslah:

00   ≤++−β

αγ µS   

Maka diperoleh nilai threshold  atau ambang batas epidemik:

β

αγ µ   ++≤0S   

Tetapi jikaβ

αγ µ   ++≥0S   , maka terjadi peningkatan infeksi (terjadi epidemik).

2.3.3 Basic Reproduction Ratio  (R 0)Agar tercapai kondisi yang bebas endemik maka haruslah:

00   ≤++−β

αγ µS   

010 ≤−++   αγ µ

βS  

Sehingga basic reproduction ratio 

R 0 =αγ µ

β

++0S 

  (17)

yang menyatakan jumlah infeksi-infeksi berikutnya yang diperoleh dari satu infeksiutama terhadap populasi susceptible.2.3.4 Analisis Kestabilan pada Titik TetapMisakan persamaan (13) dinotasikan F 1 dan persamaan (14) dinotasikan  F 2. Maka bentukmatriks Jacobian dari sistem persamaan diferensial (13) – (15) adalah :

++−

−−−=

∂∂

∂∂

  ∂∂

∂∂

=)(22

11

αλµββ

βµβ

S  I 

S  I 

 I 

 F 

 F  I 

 F 

 F 

 M    (18)

§  Untuk titik tetap )0,(),( *0

*01

µ

 A I S  P    +Λ=  diperoleh matriks Jacobian:

++−+Λ

+Λ−−=

)()(

0

)(

αγ µµ

βµ

βµ

 A

 A

 M   

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 409/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

397

Dengan menggunakan kriteria stabilitas Routh-Hurwitz, sebuah titik tetap stabil jikaa1 = - trace( M ) = -(m11 + m22) > 0 dan a2 = det( M ) = (m11m22 – m12m21) > 0.

Sehingga dari matriks jacobian di atas diperoleh

a1 =     

   ++−+Λ+−− )(

)(αγ µ

µ

βµ

 A 

a2 = )()(   αγ µµβ   ++++Λ−  A  

Dengan demikian dapat disimpulkan agar P 1 = ),( *0

*0  I S  stabil, maka haruslah

2µ + γ  + α >µ

 A+Λ dan  µ( µ + γ  + α ) > β( Λ + A)

Untuk titik tetap ),( *1

*12  I S  P   diperoleh matriks Jacobian

++−

−−−=

∂∂∂∂

  ∂∂

∂∂

=)(22

11

αλµββ

βµβ

S  I 

S  I 

 I  F S  F 

 I 

 F 

 F 

 M   

−++

++−++

+Λ−=

0)(

)()(

µαγ µ

β

αγ µαγ µ

β

 A

 A

 M   

dengan a1 =αγ µ

β

+++Λ )(  A

 

a2 = β( Λ + A) - µ( µ + γ  + α )

Jadi agar ),(

*

1

*

12  I S  P   stabil maka haruslah β( Λ + A) > µ( µ + γ  + α ). 

3. KesimpulanModel penyebaran penyakit tipe SIR dalam tulisan ini adalah model deterministik

yang merupakan dasar pengembangan model tipe SIRS , SEIR, SEIRS. Model tipe SIR yang dibahas adalah model penyebaran dengan tidak ada faktor vaksinasi. Untukmengetahui semakin menyebarnya atau semakin punahnya suatu penyakit dapat diketahuidari nilai basic reproduction number  (R 0). Jika R 0 > 1 maka terjadi epidemik, sebaliknya jika R 0 < 1 maka epidemik tidak terjadi.

DAFTAR PUSTAKA

Bayley, Norman T.J, 1957. The Mathematical Theory of Infectious Diseases and Its Applications, Chasles Griffin & Company LTD.

Becker N. G. And Hall, R., 1996.  Immunization Levels for Preventing Epidemics in aCommunity of Household Made up of Individuals of Various Types, MathematicalBiosciences 132: 205-216.

Brauer, F. 2006. Some Simpe Epidemic Models, Mathematical Biosciences, 3(1):1-15.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 410/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

398

Diekmann, O dan Heesterbeek, 2000. Mathematical Epidemology of Infectious Diseases, John Wiley & Sons Ltd.

Hethcote, H. W., Waltman, P., 1973. Optimal Vaccination Schedules in a Determinstic Epidemic Model , Mathematical Biosciences 18: 365-381.

Jacquez, J. A. and O’Neill, P., 1991.  Reproduction Number and Threshold in Stochastic Epidemic Models I. Homogeneous Populations, Mathematical Biosciences107:161-186.

Johnson, T. 2009.  Mathematical Model of Diseases: SIR Model , Math. Senior Seminar.www.augustana.ab.ca/~hackw/mat332/exhibit/sir.ppt. 9 Sept. 2009.

Tuckwell, H. C. and Williams, R. J., 2007. Some Properties of a Simple Stochastic

 Epidemic Model of SIR Type, Mathematical Biosciences 208: 76-97.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 411/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

399

Rancangan Heterojunction Bipolar Transistor Silikon Germanium(HBT’s SiGe) dengan Pendekatan Poisson Equation

Tossin Alamsyah1, Djoko Hartanto2,NR Poespawati3

1 Mahasiswa S3 Fakultas Teknik Universitas Indonesia, e-mail :[email protected] 

1Pengajar Politeknik Negeri Jakarta2,3Departemen Teknik Elektro  Fakultas Teknik Universitas Indonesia

Abstrak

Kinerja ideal dari Heterojunction Bipolar Transistor (HBT’s SiGe) adalahThreshold Frequency ( f t ) dan Maximum Frequency ( f max ) serta Current Gain yangtinggi. Untuk mendapatkan unjuk kerja dari komponen tersebut dapat digunakan

 pendekatan physic yaitu heavy doping pada emitter, dengan lebar basis yang sempit(narrow base width) tetapi cara ini mempunyai kendala akan terjadi pengurangan bandgap pada junction basis emiter sehingga menyebabkan Current Gain rendah . Padariset ini dilakukan rancangan Geometri HBT’s SiGe berdasarkan pendekatan modeltiga(3) dimensi hydrodynamic dengan pendekatan Poisson equation electron transportanalisis menggunakan simulasi perangkat lunak Bipole3 serta data masukan dan strukturdivais berdasarkan model yang dikembangkan oleh IBM generasi pertama. . Dengan pendekatan Poisson equation electron transport pada rancangan HBT’s SiGe dan basis perhitungan analisis berdasarkan tool Bipole3 serta data masukan berdasarkan padaGummel Plot IBM profil Ge HBT SiGe dapat menghasilkan parameter keluaran modelfrekuensi threshold (f T) sebesar 56 GHz dan memiliki deviasi sebesar 7% dibandingmodel rancangan yang dikembangkan oleh IBM.

Kata Kunci : HBT’s SiGe, Poisson Equation, Bipole 3 , dan Frekuensi treshold (f T).

Pendahuluan

Sejak tahun 1989 IBM memulai memproduksi devais transistor dengan strukturmaterial Silikon dan Germanium (SiGe) pada basis untuk selanjutnya devais ini disebutHeterojunction Bipolar Transistor Silikon Germanium atau HBT SiGe. [1]Teori HBT SiGe dikembangkan dan dipublikasikan oleh Kroemer, [2] penggunaanheterostruktur Silikon - Germanium material pada Heterojunction Bipolar Transistor(HBT) ini adalah lompatan yang besar dalam perkembangan devais elektronika sebagai backbone dalam mendukung kemajuan Teknologi.

Pada saat ini riset-riset HBT SiGe yang lalu telah dikembangkan oleh berbagaiinstitusi antara lain IBM, Infineon, Australia Microsystem (AMS), Hitachi, dan lainnya.

HBT SiGe dengan kinerja frekuensi yang tinggi dapat diperoleh dengan mengatur lebar basis, mengatur fraction mole (x) pada Germanium pada pencampuran Silikon sertamengatur profil Ge pada basis [3] serta ketebalan Spacer diantara base emitter. Dengan berkembangnya teknologi litografi maka sejak akhir 1990-an mulai dilakukan penskalaan pada arah lateral (lateral scaling ), ini dimaksudkan untuk memperkecilkomponen parasitik seperti dilakukan oleh Freeman [4] [5], beberapa hasil kajian unjukkerja HBT SiGe dengan mengembangkan teknologi litografi dikembangkan oleh IBM0,12µm [6] dan Hitachi 0,2µm [7].  Ada beberapa pendekatan model matematis dalam

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 412/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

400

 perancangan HBT SiGe antara lain DD drift-diffusion (DD) untuk model satu(1) dimensi,energy-transport (ET) model dua (2) dimensi dan hydrodynamic ( HD) model tiga(3)dimensi. [8]

Dasar Teori2.1 Geometris HBTSiGe.

Pendekatan ini didasarkan pada bentuk fisik rancangan devais yang meliputi bentukgeometris , lateral , vertikal dan skema pertumbuhan layer pada HBT SiGe. Besarnyadoping elektron pada bagian basis, kolektor, emiter serta mole fraction (x) germanium pada silikon pada bagian basis serta ukuran dan besarnya nilai parameter fisik dapatmenentukan unjuk kerja yang optimal yaitu frekuensi treshold   (cutoff) (f T), oscilasimaksimum (f maks), current gain  (') dan  Noise Figure ( Fn). Gambar 1(a)(b)(c) dan (d)menunjukkan model HBT SiGe yang terdiri dari dimensi lateral, vertikal,  profile impurity dan lay out vertical . [9]

emitter 

SiGe p+

basecollector 

Si

SiGeSi n-

base

Burried layer / subtrat Si p-

Si n-

 

Gambar 1. Dimensi Lateral .[9]  Gambar 2. Dimensi Lateral

Pada profil impurity yang ditunjukkan oleh Gambar 3, Profil doping terbagidalam area netral dan space charge region (scr). [10] Pada arah vertikal (arah- x), programsimulasi Bipole3 membagi divais menjadi 5 daerah yaitu: 1) emiter netral, 2) emiter-basisSCR, 3) basis netral, 4) basis-kolektor SCR dan 5) kolektor netral, di area ini elektron bergerak dengan prilaku khusus sehingga setiap area memilki transit time tertentu yangsangat berpengaruh pada respon frekuensi yaitu f T dan f maks.

Gambar 3 Profil doping beserta daerah netral dan spacecharge region.[9] 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 413/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

401

Pada Gambar 4 menunjukkan pendekatan geometris dari HBT SiGe denganmempresentasikan secara tiga(3) dimensi yaitu arah vertikal, sumbu z yang menunjukkannilai konsentrasi doping elektron, pada sumbu x merepresentasikan arah lateral yangmenunjukkan panjang dari finger kolektor , base dan emiter. Kemudian pada arah y(veritkal) menunjukkan ketebalan dari base,emiter dan kolektor yang dinyatakan dalamnanometer. Dari mengamati pola geometris HBT SiGe tersebut dapat dinayatakan bahwaelectron transport   yang terjadi merupakan penjumlahan total charge elektron yangterdistribusi pada bagian x, y dan z yang sesuai dengan “the second uniqueness theoremdari Poisson equation”, yaitu ;[10]

0

1.ε

ρ=∇ E    Sumbu z (1a)

0

2.ε

ρ=∇ E    sumbu x (1b)

03. ε

ρ

=∇ E    sumbu y (1c)

Gambar 4. Pendekatan Geometris HBTSiGe

2.2. Torema PoissonDari pendekatan geometris HBT SiGe yang bertujuan untuk mengetahui perilaku

elektron transport dalam HBT SiGe dapat dihasilkan persamaan 2 yang diturunkan berdasarkan pada Gambar 5.

Gambar 5. Pendekatan Geometri HBT Vertikal (N) dansumbu Y [9]

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 414/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

402

Persamaan 2 berikut menunjukkan kondisi muatan pada profil doping yang berkaitandengan space charge region (scr), pada sisi n (elektro).

(2)

Maka dapat diturunkan pula prilaku hole (p) seperti pada persamaan 3 berikut;

(3)

[ ])()()(  xn x N qdxdE    −=   (4)

)()(  x E  xqv J  d n =   (5)

•  Dn koefisien Diffusi elektron ,•  D/(  = kT/q , dengan (  adalah mobilitas elektron yang ditentukan besarnya

doping.•   Neff adalah Doping elektron yang menyebabkan band gap narrowing.

Dengan demikian dapat diturunkan menjadi Persamaan 6a,b,c dan d.;

( ) ( ) xn x N 

q

dx

dE 

−=   (6a)

( )( )

( )( )  

+−

++

=dx

dN 

n N 

n

qD

 x J 

n N 

n N 

dx

dn eff 

eff n

n

eff 

eff 

2  (6b)

( )( ) ( )  

+−

+

+   

  

 −

++

=dx

dN 

n N 

 p

 p N 

 p

qD

 J 

qD

 J 

 p N 

 p N 

dx

dp eff 

eff d n

n

 p

 p

eff 

eff 

2  (6c)

( ) ( ) x E  xqv J  d n =   (6d)

MetodeMetode penelitian akan diuji coba pada rancangan model HBT SiGe dengan

menggunakan tools Software yang Bipole3 yang mengadopsi poisson equation sebagai pola pendekatannya.[12][9] Data rancangan sekunder berdasarkan dari model rancanganHBT SiGe IBM generasi pertama, hal ini disebabkan data-data dari model inilah yangtersedia pada jurnal-jurnal IEEE dengan Ae  0.25 µm. Program simulator dirancangkhusus dengan pendekatan hydrodinamik dengan persamaan elektron transport

 berdasarkan pada persamaan Poisson. Langkah lain yang dilakukan adalah (a)merencanakan profil doping  HBT SiGe acuan yang sesuai dengan data eksperimen HBTSiGe buatan IBM., dengan beberapa penyesuaian.. (b) menentukan konsentrasi doping poli-Si simulasi adalah 1021  cm3. (c) menentukan pertemuan antara bahan tipe-n yangdiberi doping  As dan tipe-p yang diberi doping  B, kemiringan profil doping  emiter dalamsimulasi diatur agar berpotongan dengan profil doping   basis sesuai Gummel Plot IBM. [13][14]  Beberapa parameter yang akan diamati adalah transport elektron dan parameteroutput arus kolektor dan basis (IC dan IB) serta current gain (  # ) , frekuensi treshold (f T).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 415/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

403

Hasil PenelitianMerencanakan profil doping   HBT SiGe acuan yang sesuai dengan data

eksperimen HBT SiGe buatan IBM pada arah vertikal [12] , dengan beberapa penyesuaian yang dilakukan antara lain,. Pertemuan antara poli-Si ( polysilicon) danmono-Si ( single crystal silicon) ditandai dengan adanya tekukan pada daerah pertemuan,dalam hal ini tekukan tersebut dianggap tidak aktif secara elektrik kemudian konsentrasidoping polisilikon 1021 cm3 serta pertemuan antara bahan tipe-n yang diberi doping  Asdan tipe-p yang diberi doping  B, kemiringan profil doping  emiter dalam simulasi diaturagar berpotongan dengan profil doping   basis pada daerah lekukan seperti diperlihatkan pada Gambar 5, dengan garis yang berwarna adalah pendekatan model yang dilakukan.

Gambar 6 menunjukkan diagram doping  Neff pada daerah netral dan aktif, sepertidinyatakan pada Gambar 3 diatas. Daerah emiter netral dari gambar model ini sekitar 0,04micron , basis netral 0,06 micron dan kolektor netral 0,3 mikron, sedangkan untuk daerahaktif atau  scr (space charge region)  emiter-basis  scr   sekitar 0,01 mikron dan basis-kolektor SCR 0,003 mikron. Doping pada daerah netral akan lebih timggi dibanding pada

daerah aktif, hal ini terjadi karena pada daerah aktif mempunyai ketebalan yang lebihtipis dibanding pada daerah netral.  Net doping   untuk daerah netral pada bagian emiter- basis-kolektor masing-masing adalah 1021  cm-3 ; 0,8.1018 cm-3 dan 0,8.1017 cm-3 sedangkan untuk daerah aktif adalah 0,2.1018 ; 0,5.1017 dan 0,2.1017 cm-3.Persamaan densitas arus kolektor (Jc) dan basis (Jb) pada HBT SiGe dinyatakan olehPersaamaan 7a dan 7b .

Gambar 5 . Kalibrasi profil Ge HBT SiGe. Gambar 6. Diagram Doping pada daerah Netral dan aktif (effektif) model HBT SiGe

−   

  =

∆+∆

1exp/)(2

0,

,,

kT 

qV 

W  N 

enqD J   BE 

b B

kT  E  E 

inB HBT C 

Ge g  HD g α  7a

−   

  

 −= 1exp

2

,kT 

qV 

W  N 

nqD J   BE 

e E 

i pE 

dif  B   7b

Sehingga current gain (Jc/Jb) memenuhi persamaan ;

)exp()(kT 

 E 

w D

w Dhfe  g 

b pE 

enB  ∆

=   αβ   8

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 416/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

404

Gambar 7 menunjukkan karakteristik output dari hasil rancangan HBT SiGe yangmenunjukkan fungsi arus IC dan IB  terhadap tegangan basis-emiter (VBE). Daerah knee terjadi ketika V

BE  < 0,9 volt, besar I

C  pada tegangan ini adalah 0,05 Ampere, untuk

seterusnya arus kolektor dan basis naik secara perlahan-lahan.

Gambar 7. Arus kolektor (IC) dan arus basis (IB) terhadaptegangan VBE. 

Gambar 8 menunjukkan karakteristik output current gain (') dc dan ac terhadaptegangan basis-emiter (VBE), current gain ( ') terbtingi dicapai sebesar 105 pada saat besar arus kolektor IC mencapai 0,00001 Amper, untuk selanjutnya ' ac maupun dc akanturun ketika arus kolektor IC mencapai dinaikkan atau diturunkan sesuai perubahan padategangan basis emiter (VBE).

Gambar 9 ditunjukkan perbandingan hasil simulasi frekuensi treshold (f T)dibandingkan dengan parameter model IBM mempunyai deviasi sekitar 7% hal inidisebabkan adanya parameter fisika yang tidak dapat dimasukkan dalam perhitungankarena keterbatasan kemampuan program Bipole3, yaitu nilai effective density of state  pada pita konduksi [Raymond, Je et all, 1996.]. Perbandingan  N c dan N v bahan SiGe danSi (α) jika α  dimasukkan dalam perhitungan maka secara keseluruhan nilai  I C   yangdiperoleh dari hasil simulasi lebih rendah menjadi 6% dari I C  eksperimen.

Gambar 8. Current gain (') ac dan dcterhadap Arus kolektor (IC).

Gambar 9. Perbandingan hasil rancanganFrekuensi treshold  (f T) terhadap Arus

kolektor (IC) dan Model IBM 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 417/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

405

KesimpulanDengan pendekatan  Poisson equation electron ransport   , perancangan

Heterojunction Bipolar Transistor Silikon Germanium (HBT’s SiGe) yangdigunakan sebagai basis perhitungan dalam rancangan HBT SiGe yang diadopsioleh tool Bipole3 serta data masukan berdasarkan pada Gummel   Plot IBM profilSiGe HBT  menghasilkan parameter keluaran frekuensi threshold (f T) sebesar 56GHz dengan perbedaan deviasi sebesar 7% dibanding model rancangan yangdikembangkan oleh IBM.

Ucapan terima kasih.Ucapan terima kasih DP2M Dikti yang telah memberikan kesempatan untuk

melakukan Penelitian dasar HBT SiGe.

Daftar Pustaka

Benedicte Le Tron, MD R Hashim,Peter Ashburn, Mirelli Mouis, Alan Chantreand Gilbert Vincent. “ Determination of Bandgap Narrowing and

 Parasitic Energy  Barriers in SiGe HBT , IEEE Transaction on ElectronDevices , vol 44 , No. 5 May 1997.

Hueting R.J.E., Charge Carrier Transport in Silicon Germanium Heterojunction Bipolar Transistors, Disertasi, Delft University of Technology, 1997

B. Heinemann, D. Knoll, G. Fischer, D. Krüger, G. Lippert, H. J. Osten, H.

Rücker, W. Röpke, P. Schley, and B. Tillack “Control of Steep Boron Profiles in  Si/SiGe Heterojunction Bipolar Transistors”  Institute forSemiconductor Physics, Walter-Korsing-Str. 2,15230 Frankfurt (Oder).

Freeman G., dkk  , “A 0.18 µm 90 GHz f T  SiGe HBT BiCMOS, ASIC-Compatible,Copper Interconnect Technology for RF and Microwave Applications”,IEDM Tech. Digest, 569 – 572, 1999

Zhang S., dkk, “The Effects of Geometrical Scaling on The Frequency Responseand   Noise Performance of SiGe HBTs,”  IEEE Trans. on Electron Dev. Vol.49, No.3, 2002.

Lu Yuan, dkk, “Proton Tolerance of Third-Generation, 0.12 _m 185 GHz SiGe  HBTs”, IEEE Transaction on Nuclear Sience, VOL. 50, NO. 6, Desember2003

Washio K., dkk, “ A 0.2-µm 180-GHz-fmax and 6.7-ps ECL SOI/HRS Self-Aligned  SEG SiGe HBT/CMOS Technology for Microwave and High Speed Digital  

 Application,” IEEE Trans. on Electron Dev. Vol.49, No.2, 2002.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 418/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

406

Yuan J. S., “SiGe, GaAs, and InP Heterojunction Bipolar Transistors,” JohnWiley & Sons, Inc., New York, 1999.

Roulston D.J., Bipole3 User”s Manual , Bipsim Inc., Canada, 2006.

Kwok, K.H.,  Analytical Expression of Base Transit Time for SiGe HBTs with Retrograde Base Profiles, Solid State Electronics, Vol. 43, p.275-283,1999

Erwin Kreszic” Adavanced Engineering Mathematics” Sixth Edition Wiley andSon 2006. USA

J.Eberhardt, E. Kasper, “To the limit of SiGe Hetero Bipolar Transsistor : HBT   Design over 200 Ghz”., University o Stuttgart, diakses bulan Juli 2007.

Palankovski, V., “Simulation of Heterojunction Bipolar Transistor ,http://www.iue.tuwien.ac.at/phd/palankovski/diss.html  diakses pada 16Agustus 2007.

Shintadewi Julian E.,  Perancangan Heterojunction Bipolar Transistor SilikonGermanium untuk Memperoleh Frekuensi Cutoff dan Frekuensi Osilasi

 Maksimum Lebih dari 130 GHz, Disertasi tidak diterbitkan, UniversitasIndonesia, 2004.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 419/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

407

PERLUASAN MODEL CUTTI NG STOCK  DUA DIMENSI

Khusnul Novianingsih

Jurusan Pendidikan MatematikaFakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Pendidikan Indonesiaemail: [email protected] 

AbstrakTerdapat m  jenis bahan baku berbentuk persegi panjang yang akan dipotong

menjadi final-final berbentuk persegi panjang sedemikian sehingga biaya produksi yangdikeluarkan untuk memenuhi demand   seminimum mungkin. Dalam penelitian ini, tipe pemotongan yang diambil adalah tipe  guillotine  dengan orientasi pemotongan tetap.Dimisalkan pula bahwa terdapat batasan jumlah bahan baku untuk setiap tipenya.

Masalah ini dapat diformulasikan sebagai model integer programming   dimana teknikcolumn generation akan digunakan untuk mencari solusi dari model relaksasinya. Untukmengenerate pola pemotongan baru, dibangun sub model yang didasari oleh metode stripe. Untuk mendapatkan solusi bilangan bulat, dilakukan langkah-langkah berikut.Solusi model relaksasi kita bulatkan ke bawah, kemudian hitung kekurangan demandsetiap final. Selanjutnya kita bangun sebuah algoritma tambahan yang digunakan untukmemenuhi kekurangan demand. Solusi optimal adalah gabungan dari pembulatan ke bawah solusi model relaksasi ditambah solusi dari model tambahan ini.

Kata Kunci : Cutting stock, integer programming, column generation.

1.  PendahuluanPenelitian ini membahas suatu permasalahan yang sering dijumpai dalam bidang

industri, seperti industri pengolahan kaca, industri pengolahan kulit dan industri pembuatan kapal, dalam meminimumkan kebutuhan bahan baku. Bahan baku yangtersedia umumnya berbentuk persegi yang harus dipotong-potong menjadi bentuk-bentukyang lebih kecil yang disebut final . Setiap final  mempunyai jumlah permintaan (demand )tertentu. Masalah pemotongan bahan baku ini dikenal dengan sebutan masalah cutting stock . Jika final  yang ada berbentuk persegi panjang, maka masalah cutting stock  tersebutdisebut masalah cutting stock  dua dimensi.

Saat ini, di sebagian besar industri, masalah pemotongan bahan baku masihdikerjakan secara manual hanya mengandalkan pengalaman operator dalam menentukan pola pemotongan (cutting pattern). Hasil pemotongan dengan cara manual ini tidakefisien karena menghasilkan sisa bahan baku yang banyak. Karena mahalnya harga bahan baku, maka perlu dicari suatu solusi masalah cutting stock . Solusi ini nantinya diharapkandapat mengurangi ongkos produksi.

Masalah di atas dapat diformulasikan sebagai masalah integer programming .Metode konvensional yang ada tidak mungkin digunakan untuk mencari solusi karenasangat sulit untuk mencari semua kemungkinan cutting pattern  yang jumlahnya sangat banyak. Gilmore dan Golmory [5,6] telah menemukan sebuah teknik untukmenyelesaikan kesulitan tersebut, yaitu teknik column generation. Dengan menggunakanteknik ini, kita hanya perlu beberapa cutting pattern  saja sebagai inisialisasi. Cutting pattern baru yang dapat memaksimalkan reduced cost  dari master problem dibangkitkandengan menyelesaikan sub problem dari masalah Knapsack . Cutting pattern baru ini akan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 420/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

408

terus dibangkitkan sampai memperoleh hasil optimal. Teknik-teknik penyelesaian lainyadikemukakan oleh Hifi [7,8] yang mengkombinasikan depth first search  menggunakanstrategi hill -climbing  dan program dinamik.

Penerapan teknik column generation untuk menyelesaikan Masalah cutting stockdua dimensi dengan tipe pemotongan  guillotine  dan bahan baku tunggal telah dibahasdalam K. Novianingsih dkk [9]. Tipe pemotongan  guillotine  adalah suatu teknik pemotongan dimana setiap pemotongan yang dilakukan akan selalu menghasilkan dua persegi panjang. Fokus dari penelitian ini adalah mencari solusi dari perluasan masalahdalam K. Novianingsih dkk [9], yaitu masalah cutting stock   dua dimensi dengan tipe pemotongan  guillotine dan jenis bahan baku yang tersedia lebih dari satu. Tiap jenis bahan baku mempunyai harga tertentu. Diasumsikan bahwa orientasi pemotongan adalahtetap, yaitu final berukuran l × w tidak dapat dipotong menjadi final berukuran w × l  Selainitu, terdapat batasan kapasitas dari mesin pemotongan, yaitu batas atas dari banyaknyatiap jenis bahan baku yang dapat dipotong oleh mesin pemotong pada periode waktutertentu. Diasumsikan bahwa setiap batasan kapasitas mesin tidak saling bergantung

untuk setiap tipenya. Solusi dari masalah ini adalah cutting pattern yang menghasilkanongkos produksi paling minimum. Model perluasan untuk masalah cutting stock   satudimensi dapat dilihat di Bisschop [1].

Tujuan dari penelitian ini terinspirasi dari masalah cutting stock   di PT. PALIndonesia dalam meminimumkan kebutuhan lempengan baja yang diperlukan untukmengkonstruksi kapal laut. Final yang ada berbentuk bidang-bidang yang tidak teratur.Penyelesaian masalah ini akan lebih sulit dari pada masalah dalam penelitian ini, tetapidiharapkan bahwa hasil dari penelitian ini dapat diimplementasikan untuk menyelesaikanmasalah cutting stock  di PT. PAL .

Gambar 1: (a) Tipe Pemotongan Guillotine. (b) Tipe Pemotongan Non Guillotine 

2. Model MatematikaMisal terdapat m  jenis bahan baku berbentuk persegi panjang, masing-masing

 berukuran  Li  ×  W i. Terdapat n  jenis  final   dengan ukuran l i  ×  wi  dengan permintaan(demand ) masing-masing d i. Dimisalkan pula bahwa  P  adalah himpunan cutting pattern dan didefinisikan aijk sebagai banyaknya  final   f i yang diperoleh jika persegi panjang jenisk   dipotong menjadi cutting pattern  j. Jika k k menyatakan batasan kapasitas dari bahan baku jenis k  dan ck  adalah harga bahan baku jenis k  per-unit, dengan mendefinisikan  x jk  

sebagai banyaknya bahan baku jenis k  yang dipotong dengan cutting pattern j, masalah perluasan cutting stock   dua dimensi dapat dirumuskan sebagai model program linear berikut:

Meminimumkan: ∑∑ j

 jk k k 

 xc  

Berdasar: ∑∑   ≥ j k 

i jk ijk  d  xa   i  = 1,2,. . .,n (1)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 421/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

409

k  j

 jk  k  x   ≤∑   k  = 1,2,. . .,m 

0≥ jk  x  integer k  j,∀  Metode konvensional yang biasa kita gunakan untuk mencari solusi masalah programlinear, tidak dapat langsung kita terapkan untuk mencari masalah (1). Hal ini karenatidaklah mudah untuk mencari semua kemungkinan cutting pattern. Dalam penelitian ini,kita akan menerapkan teknik Column Generation  untuk menyelesaikan model programlinear relaksasi dari (1). Selanjutnya, model (1) kita sebut sebagai master problem.

Teknik Column Generation dikenalkan oleh Gilmore dan Gomory [5,6] untukmenyelesaikan masalah cutting stock   satu dimensi. Teknik ini terbukti efektif untukmenyelesaikan masalah program linear yang matriks koefisiennya tidak mudah untukditentukan. Teknik ini didasari oleh metode simpleks yang direvisi (revised simplexmethod), dimana kita dapat menetukan solusi fisibel basis dari (n+m) × (n+m) submatriksdari matriks koefisien yang nonsingular. Submatriks ini disebut matriks basis, dandinotasikan dengan B. Untuk mencari matriks B  dari masalah (1), kita cukup mencari(n × n) submatriks yang merepresentasikan n  buah cutting pattern yang berbeda untuksetiap bahan baku jenis k . Submatriks (n × n) ini kita beri notasi Dk . Cutting pattern initidaklah sulit untuk dicari. Sebagai contoh, untuk setiap jenis bahan baku, pilih sebuahmatriks diagonal orde n dimana setiap entri diagonal ke- i berisi jumlah final i maksimumyang mungkin ditempatkan pada sebuah bahan baku. m ×  (n+m) submatriks sisanyaadalah matriks yang setiap entrinya bernilai 1. Setelah menetukan matriks B, solusi basis

fisibel diperoleh dari relasi xB = B-1b, dimana b=

i

 __  .

Untuk menetukan apakah solusi yang diperoleh optimal atau tidak, untuk setiap

 jenis bahan baku k , kita generate sebuah kolom baru yk  dengan elemen k 

i

 y , i=1,2, . . ., n.

Misal πk   adalah  shadow price  yang berasosiasi dengan kapasitas dari konstrain untuk bahan baku jenis k  dimana πk  adalah elemen ke k  dari matriks cP-1 dengan c adalah matrik baris berdimensi m yang entrinya adalah ongkos perunit setiap bahan baku dan P adalahmatriks diagonal berorde m  yang semua entrinya bernilai 1.  Reduced cost   yang berasosiasi dengan basis B untuk setiap bahan baku jenis k  adalah

∑=

−−n

i

k iik k   yc

1

λπ .

Shadow price λ dengan elemen λi , i=1,2,…,n adalah λ=1mDk -1 adalah shadow price yang

 berasosiasi dengan masing-masing permintaan  final i, dimana 1m adalah matriks baris berdimensi m yang semua entrinya bernilai 1. Kondisi optimal tercapai jika minimumreduced cost bernilai nonnegative. Jika minimum reduced cost bernilai negative, kolom

 baru y

  akan masuk sebagai basis. Kolom baru akan terus digenerate selama kondisioptimal master problem (1) belum tercapai.

3. Submodel untuk Men-generate  kolom BaruKolom baru yk  yang dapat memperbaiki solusi basis fisibel xB  digenerate dengan

menyelesaikan model integer programming, dimana solusi optimal akan menghasilkanfisibel cutting pattern dengan nilai reduced cost  yang berasosiasi dengan xB untuk setiap

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 422/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

410

 jenis bahan baku  minimum. Dengan kata lain, reduced cost   ∑=

−−n

i

k iik k   yc

1

λπ   akan

menjadi fungsi objektif . Pembatas dibangun sedemikian sehingga kolom baru yk adalahcutting pattern yang fisibel.

Untuk membangun model matematika dari cutting pattern  yang fisibel ini, penulis terinspirasi oleh teknik yang terdapat pada Hifi [7,8]. Teknik ini juga telah berhasil diterapkan untuk menyelesaikan masalah cutting stock   dua dimensi dengan bahan baku tunggal pada K.Novianingsih dkk [9]. Untuk setiap bahan baku jenis k , kitadefinisikan sebuah  stipe yang berasosiasi  final    f i, yaitu subpersegi panjang hasil pemotongan secara vertikal. Stipe ini mempunyai ukuran panjang  Lk  dan lebar wk 

i. Pada stipe ini kita dapat menempatkan  final f i dan final f  j dimana wk 

i ≤ wk  j. Untuk setiap final f i 

dan f  j dengan wk i = wk 

 j, i ≠  j hanya satu stripe yang dipandang.Pada setiap stipe dari bahan baku jenis k , kita akan dapatkan sebanyak

k i

w

W  buah stripe. Karena kita mempunyai n final , maka jumlah maksimum  stipe yang

mungkin ada sebanyak ∑=

=

n

ik i

k k 

w

W S 

1

.

Untuk sk  = 1,2,3,. . .,S k ,

1.  Misalk  sw adalah lebar stripe ke s dari bahan baku jenis k .

2.  Definisikan variabel k  s z dimana k 

 s z =1 jika stripe ke s dari bahan baku jenis k  

terpilih dalam cutting pattern, k  s z = 0 untuk yang lainnya.

3.  Deinisikan { }k  s

k i

k  s wwnii   ≤== ,,...,2,1|θ .

4.  Untuk k  si   θ∈ ,definisikan variabel  sk 

i y   yang menyatakan banyaknya  final f i 

 pada stripe s dari bahan baku jenis k .

Berdasarkan definisi, banyaknya final f i pada kolom baru yk adalah ∑=

=k S 

 s

 sk i

k   y y1

.

Karena meminimumkan ∑=

−−n

i

k iik k   yc

1

λπ ekuivalen dengan dengan

memaksimumkan ∑=

n

i

k ii y

1

λ , maka sub problem untuk mengenerate cutting pattern  baru

adalah sebagai berikut:

Memaksimumkan:

∑∑ ==

n

i

 sk i

 si  y

11

λ  

Berdasar:∑

=

≤k S 

 sk 

k  s

k  s W  zw

1

 (2)

 s z L yl  k  sk 

i

 sk ii

k  s

∀≤∑∈

 

 sk i y integer non-negatif, ∀k, ∀ k 

 si   θ∈  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 423/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

411

4.  Solusi Bilangan BulatTeknik Column Generation yang telah dijelaskan pada subbab 3 digunakan untuk

menyelesaikan program linear relaksasi (1). Solusi optimal yang diperoleh dari (1) dapat berupa bilangan yang tidak bulat. Untuk memperoleh solusi bilangan bulat, digunakanalgoritma heuristic yang disebut Largest In Least Empty (LILE). Algoritma ini diterapkanuntuk memenuhi kekurangan permintaan. Langkah-langkah dari algoritma LILE adalahsebagai berikut:

1.  Solusi Optimal hasil (1) kita bulatkan kebawah, kemudian hitungkekurangan permintaan.

2.  Urutkan final berdasar final dengan kekurangan permintaan yang paling banyak ke final dengan kekurangan permintaan paling sedikit.

3.  Tempatkan final dengan kekurangan permintaan terbesar pada bahan baku yang mempunyai harga per-unit paling kecil yang dapat memuat finalini sebanyak mungkin. Jika masih ada final yang belum ditempatkan,tempatkan final tersebut pada bahan baku tambahan.

4.  Lanjutkan proses ini sampai semua kekurangan permintaan finalterpenuhi.

5.  KesimpulanTeknik Column Generation  dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan model

 perluasan dari masalah cutting stock dua dimensi dengan tipe pemotongan Guillotine danorientasi pemotongan tetap. Sub model yang digunakan untuk mengenerate kolom barudidasari pada metode  stripe. Solusi Bilangan bulat diperoleh dari pembulatan kebawahsolusi optimal hasil model linear relaksasi ditambah dengan bahan baku tambahan yangdibutuhkan untuk memenuhi kekurangan permintaan berdasar algoritma LILE.

6. DiskusiAlgoritma diatas sederhana, tetapi tidak selalu memberikan solusi yang optimal. Untuk

menjamin bahwa kita akan mendapatkan solusi optimal, perlu dibangun model integer programming yang akan digunakan untuk mencari jumlah bahan baku tambahan yangdibutuhkan untuk memenuhi kekurangan permintaan.

Daftar PustakaBisschop, J.J, (1999), AIMMS - Optimization modeling , Paragon Decision Tecnology

B.V, Nether- lands.

Carla, A, Nerau, M, Cristina, M, Two-stage and constrained two-dimensional cuttingstock problems, VI Oficiana de Problemas de Corte e Empacotamento  9-10, 195-220.

Chv´atal, V, (1983), Linear programming , W.H. Freeman and company, New York.

Fayard, D, Zissimopoulus, V, (1995), An approximation algorithm for solvingunconstrained two-dimensional knapsack problems,  European Journal ofOperational Research 84, 618-632.

Gilmore, P.C, Gomory, R.E, (1961), A linear programming approach to the cutting-stock problem, part i, Journal of Operation Research  9, 849-859.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 424/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

412

Gilmore, P.C, Gomory, R.E, (1963), A linear programming approach to the cutting-stock problem, part ii, Journal of Operation Research  11, 863-888.

Hifi, M, Zissimopoulus, M, (1996), A recursive exact algorithm for weighted two-dimensional guillotine cutting problems,  European Journal of Operational Research 91, 553-564.

Hifi, M, (2004), Dynamic programming and hill-climbing techniques forconstrained two- dimensional cutting stock problems,  Journal of CombinatorialOptimization 8, 65-84.

K. Novianingsih, R. Hadianti, S. Uttunggadewa, (2007), Column Generation Techniquefor Solving Two-Dimensional Cutting Stock Problems: method of stripe approach, Journal of The Indonesian Mathematical Socienty ( MIHMI)13, 161-172.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 425/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

413

MODEL PENYEBARAN PENYAKIT KAKI GAJAH

DI KELURAHAN JATI SAMPURNA  

Husty Serviana HusainJurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

ABSTRAK  

Filariasis Limfatik atau penyakit Kaki Gajah diidentifikasi sebagai  penyebabkecacatan menetap dan berjangka lama terbesar kedua di dunia. Filariasis adalahinfeksi oleh cacing parasit yang ditularkan oleh berbagai jenis nyamuk dan berdampak pada kerusakan sistem limfa di tubuh manusia. Pada a r t i k e l ini dikajitentang dinamika populasi dan model penyebaran Penyakit Kaki Ga jah. Modelmatematika sederhana yang akan dipelajari adalah mengasumsikan tanpa pengobatan.Dilanjutkan dengan  pencarian basic reproduction number ( R0) untuk melihat

faktor yang dapat dikontrol dan tidak dapat dikontrol dimana hal ini  berpengaruhterhadap tingkat endemisitas.

Kata kunci : Filariasis, basic reproduction number . 

Pendahuluan 

Filariasis atau Penyakit Kaki Gajah (Elephantiasis) adalah penyakit menularmenahun yang disebabkan oleh cacing filaria dan ditularkan oleh  berbagai  jenisnyamuk. Filariasis disebabkan oleh sejenis cacing kecil yang hidup dan berkembang biak dalam kelenjar limfa. Tiga jenis cacing yang terdapat di Indonesia adalahWuchereria bancrofti,  Brugia malayi dan  Brugia timori. Secara umum daur hidupketiga spesies cacing terjadi di dalam tubuh manusia dan tubuh nyamuk (2).

Vektor filariasis adalah nyamuk. Banyak sekali nyamuk yang dapat menularkanfilariasis seperti nyamuk rumah, nyamuk got, nyamuk hutan dan nyamuk rawa-rawa. Di Indonesia hingga saat ini telah diketahui terdapat 23 spesies nyamukdari 5 genus yaitu :  Mansonia,  Anopheles, Culex,  Aedes dan Armigeres yang dapat berperan sebagai vektor filariasis (2). 

Pemberantasan vektor filariasis, harus memperhatikan tata hidup vektor, mencakuptempat berkembangbiak, perilaku menggigit (mencari darah) dan tem pat istirahat.Tempat perindukan nyamuk berbeda-beda tergantung jenisnya. Umumnya nyamuk

 beristirahat di tempat-tempat teduh, seperti semak-semak di sekitar tempat perindukan dan di dalam rumah pada tempat-tempat yang gelap (2).

Proses Penularan Penyakit

Seseorang dapat tertular filariasis, apabila orang tersebut mendapat gigitan

nyamuk yang mengandung larva infektif atau larva stadium 3 (L3). Nyamukdapat menjadi infektif apabila nyamuk tersebut menghisap darah dari orang atauhospes reservoir yang mengandung mikrofilaria. Dengan demikian, manusia atauhospes reservoir yang mengandung mikrofilaria dalam darahnya merupakan sumber penularan. Kemampuan nyamuk untuk mendapatk an mikrofilaria saat menghisap

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 426/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

414

darah sangat terbatas, apabila mikrofilaria terlalu  banyak terhisap maka dapatmenyebabkan kematian nyamuk tersebut. Sebaliknya apabila mikrofilaria yangterhisap oleh nyamuk terlalu sedikit mak a kemungkinan terjadinya  penularanmenjadi kecil karena stadium larva L3 yang dihasilkan juga sedikit (2).

Pada saat nyamuk menggigit kulit manusia maka larva L3 akan keluar dari probosis. Pada saat nyamuk menarik  pr obosis nya maka larva L3 akan masukmelalui luka bekas gigitan nyamuk menuju ke sistem limfe. Untuk  Brugia malayidan  Brugia timori dalam kurun waktu kurang lebih 3,5 bulan, larva L3 akanmenjadi cacing dewasa, sedangkan untuk Wuchereria bancrofti diper lukan waktukurang lebih 9 bulan (2).

Seseorang dapat terinfeksi filariasis, apabila orang tersebut mendapat gigitannyamuk ribuan kali. Hal ini sangat berbeda dengan penularan yang ter  jadi padamalaria dan demam berdarah. Dengan demikian, kepadatan vektor dalam

 penularannya sangat berperan. Selain itu, pengaruh faktor lingkungan terutamasuhu dan kelembaban udara mempengaruhi umur nyamuk. Rantai penularan tidakdapat terjadi apabila umur nyamuk kurang dari masa inkubasi ekstrinsik dari parasit.Masa inkubasi ekstrinsik yaitu waktu yang diperluk an untuk perkembanganmikrofilaria menjadi L3, di dalam tubuh nyamuk. Masa inkubasi ekstrinsik untukWuchereria bancrofti antara 10 - 14 hari sedangk an Brugia malayi dan  Brugia timoriantara 8 -10 hari (2). 

Bila seseorang yang rentan terhadap filariasis terinfeksi maka orang tersebut akanmenunjukan gejala klinis filariasis. Tanda-tanda awal munculnya gejala klinisfilariasis mulai dari orang tersebut mendapat gigitan nyamuk yang mengandung larvainfektif rata-rata 5 tahun. Pada tahap awal ditandai dengan demam berulang 1-2kali atau lebih setiap bulan selama 3-4 hari terutama bila bekerja berat. Demam

dapat sembuh sendiri tanpa diobati. Timbul  ben jolan dan terasa nyeri pada lipat paha atau ketiak (sekelan/limfadenitis) tanpa adanya luka dibadan. Teraba adanyaurat seperti tali yang berwarna merah dan sakit, mulai dari pangkal paha atauketiak dan berjalan ke arah ujung kaki atau tangan. Tahap lanjut terjadi pembesaran pada kaki, tangan, k antong buah zakar,  payudara dan alat kelaminwanita yang hilang timbul, lama kelamaan menjadi cacat menetap (2).

Model Matematika Sederhana Transmisi Filariasis

Penyederhanaan masalah untuk memudahkan pembentukan model akan diuraikan pada asumsi berikut

1.  Populasi yang virgin terhadap  penyakit filariasis. Suatu populasi dik atak an

virgin terhadap  penyakit filariasis jika anggota dari populasi tersebut belum pernah terkena penyakit filariasis sebelumnya.

2.  Jarak terbang nyamuk 100-200 meter oleh karena itu penyebaran  penyakitdiamati pada komunitas tertutup dan berskala kecil. Lingkungan yang

dimodelkan adalah k elurahan.3.  Satu jenis cacing Wuchereria bancr ofti. 4.  Satu jenis vektor Culex quinquefasciatus. 5.  Faktor lingkungan diabaikan. 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 427/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

415

6.  Populasi total manusia konstan. Artinya jumlah penduduk dalam  po pulasi berada dalam keadaan stabil dimana laju kelahiran dan k ematian  bernilaisama. 

7.  Populasi total nyamuk konstan. Artinya jumlah nyamuk dalam  populasi berada dalam keadaan stabil dimana laju kelahiran dan k ematian bernilaisama. 

8.  Setiap manusia dan nyamuk yang lahir sehat. 9.  Kontak didefinisikan sebagai interksi antara nyamuk dan manusia. 

Setelah proses transmisi berlangsung, populasi manusia dibagi menjadi tigasubpopulasi,  pertama,  populasi manusia sehat yang rentan terhadap filariasis

( )hS  , populasi manusia pembawa penyakit ( A) yang merupakan  populasi manusia

terinfeksi filaria tanpa gejala klinis dan dapat menularkan  penyakit,  populasimanusia cacat kronis ( K ) dimana populasi manusia yang telah sembuh dari infeksifilaria tetapi organ tubuhnya tidak dapat berfungsi normal karena cacat. Semua

subpopulasi manusia digabung menjadi populasi total manusia yang didefinisikandengan ( ).h N   

Pada nyamuk yang merupakan vektor pembawa filaria dibagi menjadi dua sub-

 populasi,  pertama,  populasi nyamuk sehat yang rentan terinfeksi filaria ( ),vS  kedua,

 populasi nyamuk terinfeksi ( )v I  . Diketahui bahwa umur nyamuk sangat pendek, oleh

karena itu nyamuk terinfeksi filaria akan mati sebelum sem buh. Dengan demikiansubpopulasi nyamuk sembuh tidak ada. Semua subpopulasi nyamuk digabung

menjadi populasi total nyamuk yang didefinisikan dengan ( )v N  . 

Faktor-faktor yang mempengaruhi  pembentukan model adalah :

1. Rata-rata pertambahan manusia per satuan waktu ( )h R . 2. Rata-rata kematian alami manusia per satuan waktu ( )h .

3. Rata-rata keberhasilan transmisi filaria dari nyamuk terinfeksi ke manusia sehat

( ).h p  

4. Rata-rata gigitan pada manusia yang disebabkan satu ekor nyamuk  per satuanwaktu (b). 

5. Laju munculnya gejala klinis per satuan waktu ( ).δ  

6. Rata-rata pertambahan nyamuk per satuan waktu ( ).v R  

7. Rata-rata kematian alami nyamuk per satuan waktu ( ).v  

8. Rata-rata keberhasilan transmisi filaria dari manusia terinfeksi ke nyamuk yang

 belum terinfeksi ( ).v p  

Populasi Manusia Sehat ( )hS   

Selama selang waktu t ,  perubahan jumlah populasi manusia sehat ( )hS   di pengaruhi

oleh :

1. Rata-rata pertambahan manusia per satuan waktu, yaitu h R . 

2. Banyaknya kematian alami pada ( )hS     per satuan waktu 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 428/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

416

h hS  , 

yang merupakan perkalian antara rata-rata kematian alami manusia  per satuan

waktu dengan banyaknya populasi manusia sehat hS  . 3. Perpindahan  populasi hS    menjadi populasi  A, yang mempunyai konstruksi

sebagai berikut :

i. Peluang terambilnya satu orang dari populasi hS    secara acak

h

h

 N . 

ii. Rata-rata satu orang yang berasal dari populasi hS    tergigit oleh satu

ekor nyamuk terinfeksi per satuan waktu

h

h

S b

 N . 

iii. Rata-rata satu orang yang berasal dari populasi hS    terinfeksi filaria akibatdari gigitan satu ekor nyamuk terinfeksi per satuan waktu

hh

h

S  p b

 N . 

iv. Rata-rata satu orang orang yang berasal dari hS    terinfeksi filaria akibat

tergigit oleh nyamuk terinfeksi selama selang waktu t .

hv h

h

S  I p b

 N  

Dengan demikian rata-rata perubahan populasi manusia sehat hS    per satuan waktu

adalah

h hh v h h h

h

dS S  R I p b S dt N 

  µ= − −  

Populasi Manusia Pembawa Penyakit (A) 

Selama selang waktu t ,  perubahan jumlah populasi manusia pembawa  penyakit ( A)dipengaruhi oleh :

1. Perpindahan  populasi hS    menjadi populasi  A  per satuan waktu

hv h

h

S  I p b

 N  

2. Perpindahan  populasi  A menjadi populasi  K  per satuan waktu

, Aδ  yang merupakan perkalian antara laju munculnya gejala klinis per satuan waktudengan banyaknya  A. 3. Banyaknya kematian alami pada  A  per satuan waktu

h Aµ  

yang merupakan perkalian antara rata-rata kematian alami manusia  per satuanwaktu dengan banyaknya  A.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 429/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

417

Dengan demikian rata-rata  perubahan populasi manusia pembawa  penyakit ( A) per satuan waktu adalah

.hv h h

hS dA bI p A Adt N    δ µ= − −  

Populasi Manusia Cacat (K ) 

Selama selang waktu t , perubahan jumlah populasi manusia cacat dipengaruhi oleh :1.  Perpindahan  populasi  A menjadi populasi  K  per satuan waktu

, Aδ  

2.  Banyaknya kematian alami pada populasi  K  per satuan waktu

h K µ  

yang merupakan perkalian antara rata-rata kematian alami manusia  per satuanwaktu dengan banyaknya populasi  K . 

Dengan demikian rata-rata  perubahan populasi manusia cacat per satuan waktuadalah

h

dK  A K 

dt   δ µ= − . 

Populasi Nyamuk Sehat ( )vS   

Selama selang waktu t, perubahan jumlah populasi nyamuk sehat ( )vS   dipen-

garuhi oleh :

1. Rata-rata pertambahan nyamuk per satuan waktu ( )v R . 

2. Banyaknya kematian alami pada populasi vS     per satuan waktu

v vS µ  yang merupakan perkalian rata-rata kematian alami nyamuk per satuan waktu

dengan banyaknya vS  . 

3. Perpindahan  populasi vS    menjadi populasi v I   , mempunyai k onstruksi

sebagai berikut :i.  Rata-rata terambilnya satu orang  A  pada populasi manusia

h

 A

 N .

ii.  Rata-rata satu ekor nyamuk yang berasal dari populasi vS   menggigit satu

orang manusia terinfeksi  A  per satuan waktu

h

 Ab

 N . 

iii. Rata-rata satu ekor nyamuk yang berasal dari populasi vS   menggigit satu

orang manusia terinfeksi filaria per satuan waktu dan nyamuk tersebut terinfeksifilarial

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 430/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

418

v

h

 p b N 

iv. Rata-rata satu ekor nyamuk yang berasal dari populasi vS   menggigit satu orang

manusia terinfeksi laria yang menyebabkan nyamuk tersebut terinfeksi laria selamaselang waktu t,

v v

h

 AS p b

 N  

Dengan demikian rata-rata perubahan populasi nyamuk sehat ( )vS    per satuan

waktu adalah 

vV v v v v

h

dS   A R bS p S 

dt N   µ= − −  

Populasi Nyamuk Terinfeksi ( )v I   

Selama selang waktu t, perubahan jumlah populasi nyamuk terinfeksi dipen- garuhioleh :1. Banyaknya kematian alami nyamuk terinfeksi per satuan waktu 

v v I µ   , 

yang merupakan perkalian rata-rata kematian alami nyamuk per satuan waktu

dengan banyaknya populasi v I   . 

2. Perpindahan  populasi vS    menjadi populasi v I    per satuan waktu

hv v

h

 I S p b

 N  

Dengan demikian rata-rata  perubahan populasi nyamuk terinfeksi ( )v I     persatuan waktu adalah

vv v v v

h

dI   AbS p I  

dt N   µ= −  

Model Matematika 

Dari proses  pembentukan model yang sudah dijelaskan sebelumnya diperoleh modeltransmisi filariasis tanpa pengobatan sebagai berikut :

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 431/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

419

h hh v h h h

h

hv h h

h

h

vv v v h v

h

vv v h v

h

dS S  R bI p S 

dt N 

S dA bI p A Adt N 

dK  A K 

dt dS   A

 R bS p S dt N 

dI   AbS p I  

dt N 

µ

δ µ

δ µ

µ

µ

= − −

= − −

= −

= − −

= −

  ( )3.1

Populasi Total Manusia Populasi total manusia adalah banyaknya populasi nyamuk secara k eseluruhan

h h N S A K = + +  

( )3.2  

Persamaan rata-rata  perubahan pada populasi total manusia adalah

( )

( )

h h

h h h h h

h h h

h h h

dN dS   dA dK  

dt dt dt dt  

 R S A K 

 R S A K 

 R N 

µ µ µ

µ

µ

= + +

= − + +

= − + += −

 

Berdasarkan asumsi bahwa populasi total manusia konstan maka rata-rata perubahan populasi total manusia sama dengan nol

0hdN 

dt   =  

Dengan demikian, pada saat populasi total manusia k onstan

hh

h

 R N 

µ=   ( )3.3  

Dari persamaan (3.3), populasi total manusia dipengaruhi oleh rata-rata

 per tambahan manusia per satuan waktu ( )h R  dan rata-ratakematian alami manusia

 persatuan waktu ( )hµ .

Populasi Total Nyamuk  Populasi total nyamuk adalah banyaknya populasi nyamuk secara k eseluruhan

v v v N S I = +  

( )3.4  

Persamaan rata-rata  perubahan pada populasi total nyamuk adalah

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 432/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

420

( )( )

v v v

v v v v v

v v v v

v v v

dN dS dI  

dt dt dt  

 R S I 

 R S I 

 R N 

µ µ

µ

µ

= +

= − += − += −

 

Berdasarkan asumsi bahwa populasi total nyamuk konstan maka rata-rata pe-rubahan populasi total nyamuk sama dengan nol

0vdN 

dt   =  

Dengan demikian, pada saat populasi total nyamuk k onstan

hh

h

 R N 

µ=   ( )3.5  

Dari persamaan (3.5), populasi total nyamuk dipengaruhi oleh rata-rata pertambahannyamuk per satuan waktu ( )v R  dan rata-rata kematian alami nyamuk per satuan waktu

( )vµ .

Kita fokuskan perhatian ke populasi manusia pembawa penyakit ( A), populasi manusia

cacat ( K ) dan populasi nyamuk terifeksi ( )v I  . Asumsi populasi manusia dan nyamuk

konstan mengakibatkan sistem dinamik model transmisi filarisis pada persamaan (3.1)menjadi lebih sederhana, yaitu

'

h

hv h h

h

h

h

v vv v v v

vv

v

 R A K 

dAbI p A A

 Rdt 

dK  A K 

dt 

dI R Ab I p I  

 Rdt 

µδ µ

µ

δ µ

µµ

µ

− −= − −

= −

 = − −  

 

  ( )3.6  

Titik Kesetimbangan 

Titik stationer dapat dicari pada saat 0, 0dA dK  

dt dt  

= =   dan 0vdI 

dt 

  = . Dari

 persamaan (3.6) diperoleh titik kesetimbangan tak endemik ( E 1) yang ter  jadi

 pada saat populasi manusia terinfeksi ( A) dan populasi nyamuk terinfeksi ( )v I   

masing-masing bernilai nol. Akibatnya populasi manusia cacat ( K )  juga  bernilainol,

( )   ( )* * *1 , , 0,0,0v E A K I = =   ( )3.7  

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 433/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

421

Kemudian titik kesetimbangan endemik adalah

( )* * *2 , , v E A K I =   ( )3.8  

dimana

( )( )

( )( )

( )

2 2 2

*

2 2 2

*

2

2 2 2*

h v h v h v h v h h

v h v h v h v h h h v h

h v h v h v h v h h

v h v h v h v h h h v h

v h v h v h v h hv

v h v h h v v

 R p b R p R R A

 p b R bR p R b R p

 R p b R p R R K 

 p b R bR p R b R p

 p b R p R R I 

b p p b

µ µ δ µ µ

µ µ δ δ µ µ µ

δ µ µ δ µ µ

µ µ δ δ µ µ µ

µ µ δ µ µ

µ µ µ µ µ δ

− −=

+ + +

− −=

+ + +

− −=+ +

 

Eksistensi titik endemik ada  jik a

( )

2

2 1.v h v h

v h h

 p b R p

 R

µ

µ δ µ >+  ( )3.9  

Basic Reproduction Numb er  

Definisi  Basic Reproduction Number ( R0) adalah ekspektasi banyaknya k asus

sekunder yang timbul akibat dari satu kasus primer dalam suatu populasi yang virgin(10). Prosedur mencari  R0  pada persamaan (3.6) menggunakan next generation ma- trix(10) sebagai  berikut. 1.  Komponen yang menularkan penyakit pada persamaan (3.6) adalah  A dan

v I  . Misalkan ( ), , vdA  f A K I dt 

 =  dan ( ), ,vvdI   A K I 

dt   = .

2.  Diketahui titik kesetimbangan bebas penyakit adalah  E 1 = ( A, K, I v ) = (0 ,

0 , 0). 

3.  Misalkan 0,0,0 .h h

v

v v hv

v hv

 f f  p b

 A I  J   p bR

 g g  R

 A I 

δ µ

µµ

µ

∂ ∂ − − ∂ ∂ = = −∂ ∂ ∂ ∂

 

4. Misalkan

0,0,0 J  dituliskan dalam

0,0,0 J M D

= −, dengan

  ( ),0 0i j M m≥ ≥ dan0 D ≥ suatu matriks diagonal. Dengan demikan

00

.0 0

h

v v hv

v h

 pb

 M dan D p bR

 R

δ µµ

µµ

+ = = 

 

5.  ( )10 R MDρ   −= dimana 1 MD−  disebut next generation matrix. Dengan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 434/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

422

demikian

( )

0

0

0

h

v

v v h

h v h

 p b

 R p bR

 R

µρ

µ

δ µ µ

 

    =      +  

  ( )3.10

Sehingga nilai eigen maksimum dari persamaan ( )3.10  adalah

( )

( )0

h h v h v h

h h v

 R p R p R b

 R

δ µ µ

δ µ µ

+=

+  ( )3.11  

0 R  adalah suatu kondisi ambang batas untuk menentukan kasus endemik pada populasi

manusia. Parameter 0 R   mempunyai nilai ambang batas 1. Artinya, jika 0 1 R   >   makaakan terjadi endemik yang ditandai dengan meningkatnya populasi manusia

terinfeksi.Jika 0 1 R   <   maka tidak terjadi endemik yang ditandai dengan menurunnya

 populasi manusia terinfeksi (10). Parameter yang bisa dikontrol di 0 R  adalah b dan v R  

dengan cara memakai obat nyamuk atau kelambu dan membasmi tempat-tempat

 perindukan nyamuk. Jika prosentase b dan v R  dikurangi maka 0 R  akan berkurang secara

signifikan .

DAFTAR PUSTAKA

Pedoman Program Eliminasi Filariasis di Indonesia. Departemen Kesehatan RepublikIndonesia, Direktorat Jenderal PP& Pl, Jakarta (2006).

Epidemiologi Filariasis. Departemen Kesehatan Republik Indonesia, Direktorat JenderalPP& Pl, Jakarta (2006).

Diekaman, O. Heesterbeek, J.A.P. (2000),  Mathematical Epidemiology of Infectious Disease, Model Building, Analysis and Interpretation Wille & Sons, Ltd, Chicester.

Brauer, Fred and Castillo, Carlos-Chaves (2001),  Mathematical Models in Population Biology and Epidemilogy, Springer-Verlag, Inc, New York.

Castillo-Chaves, C.,Z.Feng, dan W. Huang, On the Computation of 0 R and Its Role on

Global stability, IMA Volume 125, 229 – 250, Springer-Verlag, New York

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 435/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

442

BIDANG KAJIAN : STATISTIKA

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 436/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

443

Aplikasi Metode Taguchi untuk Penentuan Level Faktor Proses Produksi SemiMekanis pada Pembuatan Bata Merah

Eri Satria1 dan Ardina Kusharyanti2 Sekolah Tinggi Teknologi Garut

[email protected] 

ABSTRAKKualitas bata merah yang dihasilkan sentra produksi pada umumnya masih berada di

 bawah standar SNI 15-2094-1991 direvisi SNI 15-2094-2000 tentang bata merah pejaluntuk pasangan dinding, yaitu  berkisar pada kategori kelas 25-50 dengan koefisien variasi produk yang cukup tinggi yaitu antara 17.1% sampai 23.1%. Perlu kajian tingkat kuattekan bata merah dengan menentukan seting level terbaik sehingga termasuk kategorikelas 100 (K-100). Metode Taguchi dipilih karena selain efisien dari segi waktu dan biaya, juga dapat menghasilkan tingkat kualitas produk yang sesuai dengan spesifikasi

dengan variasi yang kecil dan didapatkan suatu proses yang robust   (kokoh) terhadapfaktor-faktor gangguan (noise factor ).Hasil eksperimen awal dengan ukuran sampel sebanyak 64 buah memberikan

kontribusi faktor beserta level faktor yang berpengaruh terhadap tingkat kuat tekan batamerah. Seting level faktor tersebut yaitu waktu perendaman selama 12 jam, komposisicampuran air sebanyak 25%, komposisi campuran pasir sebanyak 0%, waktu pemeramanselama 24 jam, waktu pengeringan selama 22 jam, dan jenis lempung kaolinit.

Eksperimen konfirmasi terdiri dari 10 buah sampel dilakukan berdasarkanrekomendasi level faktor optimum, dengan hasil menunjukan adanya peningkatan hasilrata-rata kuat tekan dari hasil eksperimen awal sebesar 82.624 kg/cm 2 menjadi 104.680kg/cm2  pada eksperimen konfirmasi dan perubahan koefisien variasi masing-masingsebesar 37.38% menjadi 3.6%. Dari hasil penelitian bahwa terjadi perbaikan terhadapkarakteristik kualitas kuat tekan bata merah yang ditunjukan dengan peningkatan rata-rata

kuat tekan yang termasuk dalam kategori kelas 100 (K-100) serta penurunan variasi produk.

Kata kunci : kuat tekan, bata merah, SNI, K-100, metode Taguchi, robust,.

Pendahuluan

Latar BelakangPeningkatan kebutuhan masyarakat terhadap sarana dan prasarana pemukiman

dewasa ini, didorong oleh pesatnya laju pertumbuhan jumlah penduduk. Peluang yang baik bagi produsen penghasil bahan-bahan bangunan, tidak terkecuali industri-industrikecil penghasil bata merah, yang merupakan salah satu bahan utama dalam konstruksi bangunan.

Produksi bata merah pada skala industri kecil pada umumnya menggunakan carakonvensional, dimana tahapan proses didasarkan pengalaman atau kebiasaan, tanpamemperhatikan faktor-faktor yang dapat mempengaruhi kualitas. Banyak ditemukan batamerah yang kualitasnya rendah dan variasi produknya yang tinggi. Balai Besar Penelitiandan Pengembangan Industri Keramik berperan penting untuk mengawasi kualitas batamerah yang memenuhi persyaratan dalam Standar Nasional Indonesia (SNI 15-2094-1991/SNI 15-2094-2000) yang dinilai dari berbagai aspek diantaranya adalah pandangan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 437/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

444

luar, dimensi/ukuran, kuat tekan dan kandungan kadar garam yang dapat berpengaruhterhadap produk.

Penelitian dilaksanakan di Balai Besar Penelitian dan Pengembangan IndustriKeramik Bandung. Fokus kajian diarahkan pada pengendalian kualitas produk sebelum proses produksi dilakukan (off-line Quality Control ), dengan usaha perbaikan dilakukanterhadap faktor-faktor yang berpengaruh terhadap kualitas bata merah pada saat produksi berlangsung.

Identifikasi MasalahMasalah kecacatan dan kualitas produk yang cenderung variatif dipengaruhi oleh

faktor proses produksi. Faktor-faktor proses yang berpotensi mempengaruhi kualitas batamerah, adalah:-  Waktu proses perendaman, pemeraman bahan dan pengeringan-  Komposisi campuran air dan pasir-  Kenaikan suhu rata-rata per-jam pada proses pengeringan

-  Suhu pembakaranDengan menerapkan Metode Taguchi yaitu salah satu metode off-line  QC,  maka pengendalian kualitas yang preventif pada tahap desain produk atau proses sebelumsampai pada proses di tingkat lantai produksi ( shop floor ).

Tujuan Penelitian1.  Merencanakan seting level faktor yang berpengaruh terhadap terbentuknya tingkat

karakteristik kualitas bata merah yang diidentifikasi menentukan kualitas produk.2.  Menentukan level faktor proses produksi bata merah sehingga dapat meminimasi

kecacatan dan dapat meningkatkan kualitas produk.

Tinjauan Pustaka

Pengendalian KualitasPengendalian kualitas adalah penggunaan teknik-teknik dan aktivitas-aktivitasdalam upaya mencapai, mempertahankan dan memperbaiki kualitas dari suatu produkatau jasa (Peace, 1993). Taguchi menyatakan dua pendekatan dalam pengendaliankualitas yang dinamakan quality engineering  yang merupakan interaksi antara desainengineering  dan manufacturing . Aktivitas yang dilingkupinya adalah pengendaliankualitas pada tahap R & D ( Research & Development ), desain proses, produksi dankepuasan konsumen. Keseluruhan aktivitas ini merupakan proses yang berkelanjutan.Pendekatan dalam pengendalian kualitas dibagi menjadi dua, yaitu On-Line QualityControl dan Off-Line Quality Control (Peace, 1993).

Metode TaguchiMetode Taguchi dicetuskan oleh Dr. Genichi Taguchi pada 1949 saat

mendapatkan tugas untuk memperbaiki sistem telekomunikasi di Jepang. Ia memiliki

latar belakang engineering , juga mendalami statistika dan matematika tingkat lanjut.Sehingga dapat menggabungkan antara teknik statistik dan pengetahuan engineering  (Ross, 1988). Taguchi melakukan perbaikan kualitas dengan metode eksperimen“baru”, artinya melakukan pendekatan lain yang memberikan tingkat kepercayaanyang sama dengan SPC (Statistical Process Control ). Metode Taguchi merupakanoff-line QC, artinya pengendalian kualitas yang preventif, sebagai desain produk/proses sebelum sampai pada produksi ditingkat lantai produksi ( shop  floor ).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 438/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

445

Tahap-Tahap dalam Desain Produk atau Proses menurut TaguchiDalam metode Taguchi tahap-tahap untuk mengoptimasi desain produk atau

 proses yaitu : (Ross, 1988) dan (Krottmaier, 1994)1.  Sistem desain, merupakan tahap konseptual pada pembuatan produk baru atau inovasi

 proses. Konsep mungkin berasal dari eksperimen sebelumnya, pengetahuanalam/teknik, perubahan baru atau kombinasinya. Tahap ini adalah untuk memperolehide-ide baru dan mewujudkannya dalam produk baru atau inovasi proses.

2.  Parameter desain, merupakan pembuatan secara fisik atau  prototype  matematis berdasarkan tahap sebelumnya melalui eksperimen secara statistik. Tujuannya adalahmengidentifikasi seting parameter yang akan memberikan performansi rata-rata padatarget dan menentukan pengaruh pada faktor gangguan terhadap variasi dari target.

3.  Toleransi desain, merupakan proses pengendalian terhadap faktor-faktor yangmempunyai pengaruh pada target dengan cara meningkatkan kualitas komponentetapi tanpa menaikan ongkos.

Langkah Penelitian dengan Metode TaguchiAdapun langkah-langkah penelitian dengan metode Taguchi (Ross, 1988) adalahsebagai berikut :

1.  Perumusan masalah2.  Tujuan eksperimen3.  Penentuan variabel tak bebas (karakteristik kualitas)4.  Identifikasi faktor-faktor (variabel bebas)

a.   Brainstorming , merupakan pemikiran kreatif tentang pemecahan suatu masalah,tanpa melihat apakah yang diungkapkan itu masuk akal atau tidak.

 b.   Flowcharting,  mengidentifikasi faktor-faktor melalui diagram alir ( flowchart )  proses pembuatan objek yang diamati.

c.  Cause-effect diagram (fishbone diagram), disebut juga diagram Ishikawa,merupakan metode yang paling sering digunakan untuk mengidentifikasi

 penyebab-penyebab (faktor-faktor) yang potensial. Pemisahan faktor terkontroldan faktor tak terkontrol5.  Penentuan jumlah level dan nilai level faktor6.  Identifikasi interaksi faktor terkontrol7.  Penghitungan derajat kebebasan (degrees of freedom/dof )8.  Pemilihan orthogonal array (OA).9.  Penugasan untuk faktor dan interaksinya pada orthogonal array 10. Persiapan dan pelaksanaan eksperimen11. Analisis data

Selain itu dilakukan perhitungan dan pengujian data secara statistik seperti analisisvariansi, test hipotesa (strategi  pooling-up) dan perhitungan rasio S/N.a.

 

Signal to Noise RatioRasio signal to noise (S/N ratio) digunakan untuk memilih faktor-faktor yang

memiliki kontribusi pada pengurangan variansi suatu respon. Rasio S/Nmerupakan rancangan untuk transformasi pengulangan data (paling sedikit duauntuk satu eksperimen) ke dalam suatu nilai yang dapat mendeteksi keberadaanvariansi.Taguchi melakukan optimasi karakteristik produk baik nilai maupun variansinyadengan cara mentransformasikannya ke dalam signal to noise (S/N), berdasarkankarakteristik kualitas yang diamati terdapat tiga tipe rasio S/N yaitu (Ross, 1988):

- Nominal the best (S/N N)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 439/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

446

Untuk variansi

−−

−=   ∑1

)(log10/

22

)( 1 r 

 xr  x N S  ij

 j NB  

Untuk rataan dan variansi

( )( )  

−−

−−−+= ∑∑

)1/()()1/()()(

log10/ 22

222

)( 2 r  xr  xr r  xr  x xr 

 N S ij

ij j NB  

- Lower is better (S/NLB)

   

  =   ∑

=

1i

2ij(LB) x

1 log10-S/N

 j 

- Higher is better (S/NB)

   

  

 −=   ∑

=

1i2ij

(B)x

1

1 log10S/N

 j 

dimana: xij = data pengamatan ke-i pada percobaan ke-j x   = rata-rata pengamatani = jumlah pengamatan pada tiap trial (i = 1, 2, …, r) j = jumlah trial eksperimen (j = 1, 2, …, t)

 b.  Analisis Variansi (ANOVA)Analisis variansi digunakan untuk melakukan test hipotesa dalammembandingkan harga rata-rata sampel ( sampel means) dengan dasarmembandingkan unbiased estimased  variansi populasi dari sumber-sumber yang berbeda.

c.  Strategi Pooling-up Strategi ini cenderung memaksimasi jumlah kolom yang dipertimbangkan

signifikan berdasarkan hasil pada perhitungan analisis variansi. Dengankeputusan signifikan faktor-faktor tersebut akan digunakan dalam putaraneksperimen selanjutnya atau dalam desain produk atau proses. Namun pada tahapini kecenderungan melakukan kesalahan α (tipe I) akan lebih besar yaitukesalahan hipotesis yang menganggap bahwa faktor akan menyebabkan perbaikan respon padahal sebenarnya tidak. Namun keadaan ini lebih baik dari pada kesalahan β  (tipe II) yaitu pertimbangan bahwa faktor tidak menyebabkan

 perbaikan padahal sebenarnya berpengaruh. (Ross,1988)Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada tahap ini adalah sebagai berikut:

a.  Melakukan  pooling   (penghilangan) sumber-sumber variansi dengannilai Kuadrat Tengah Perlakuan yang lebih kecil dari Kuadrat TengahGalat.

 b.  Melakukan  pooling   (penghilangan) sumber-sumber variansi dengannilai Fhitung  yang lebih kecil dari

21 df ,df ),F .

12. Eksperimen konfirmasiEksperimen konfirmasi adalah eksperimen yang dilakukan untuk memeriksa ataumemverifikasi hasil dan dugaan hasil yang diperoleh pada langkah sebelumnya.

Langkah-langkah pada eksperimen konfirmasi adalah:a.  Menentukan kondisi optimum level-level faktor yang signifikan, untuk faktor

yang tidak signifikan tetap pada kondisi asal.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 440/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

447

 b.  Memprediksi rata-rata eksperimen konfirmasi.c.  Membandingkan hasil rata-rata, variansi dan koefisien variasi eksperimen

konfirmasi dengan eksperimen awal.

Standar Kualitas Bata MerahStandar yang digunakan untuk mengetahui kualitas produk bata merah adalah

Standar Nasional Indonesia SNI-15-2094-1991 direvisi SNI-15-2094-2000 tentang bata merah pejal untuk pasangan dinding.

1.  Pandangan luarBata merah pejal harus berbentuk prisma segi empat panjang mempunyai rusukyang siku-siku dan tajam, bidang-bidang datar yang rata dan tidak menunjukanretak-retak. Apabila dikehendaki bentuk-bentuk khusus, pembeli dan penjualdapat mengadakan persetujuan sendiri.

2.  Ukuran/dimensiTabel 1. Ukuran Standar Bata Merah

Modul Ukuran (mm)Tebal Lebar Panjang

M – 5aM – 5bM – 6

656555

90140110

190190230

(Sumber: Balai Besar Industri Keramik berdasar SNI 15-2094-1991)3.  Kuat tekan

Besarnya kuat tekan rata-rata dan koefisien variasi yang diijinkan untuk bata merah pejal adalah sebagai berikut:

Tabel 2. Klasif ikasi Bata Merah berdasarkan Ni lai Rata-rata Kuat Tekan

Kelas

Kuat tekan rata-rata minimum dari 30 buah bata

yang diuji

Koefisien

variasi%Kg/cm2  N/mm2

2550100150200250

2550

100150200250

2.5510152025

252222151515

(Sumber: Balai Besar Industri Keramik berdasar SNI 15-2094-1991)

4.  Kandungan kadar garam yang dapat larut dan membahayakanGaram yang dapat larut dan membahayakan tidak boleh menyebabkan lebih dari 50 % permukaan bata merah pejal tertutup sebagai akibat pengkristalan garam-garam

tersebut.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 441/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

448

Hasil dan Pembahasan

Pengumpulan DataPengumpulan data awal yang akan dijadikan dasar dalam melakukan eksperimen ini

adalah berupa data kuat tekan bata merah yang dapat dihasilkan oleh para produsen.Berikut adalah data kualitas produk bata merah hasil industri kecil di daerahKarangpawitan-Garut. Kualitas bata merah yang dihasilkan hingga proses akhir telahmemenuhi syarat SNI, tetapi masih termasuk kedalam kelas yang cukup rendah yaitukelas 25-50.

Tabel 3. Data Awal Hasil Penelitian Balai Besar Industri Keramik

LokasiHasil uji kuat tekan (kg/cm2) Koefisien

variasi (%)Kondisi perusahaan

Max Min Rata-rataSentra I 52.1 45.0 48.5 20.4 Tungku bak

Bahan bakar kayu

Alat cetak press kayuSentra II 74.0 68.5 72.3 17.1 Tungku bakBahan bakar minyakAlat cetak ekstruder

Sentra III 52.2 40.5 43.0 20.8 Tungku bakBahan bakar kayuAlat cetak press kayu

Masalah difokuskan pada salah satu item yang menjadi syarat kualitas produk batamerah dalam SNI 15-2094-2000, yaitu kuat tekan bata merah. Untuk memperoleh kuattekan dengan target nilai semaksimal mungkin sesuai dengan kelas yang terdapat didalamSNI 15-2094-2000, sehingga tipe karakteristik kualitasnya adalah  Higher is Better  (semakin tinggi nilai karakteristik kualitas suatu produk maka semakin baik) .

Penentuan Faktor dan Interaksi FaktorKecacatan produk bata merah dapat dipengaruhi oleh berbagai macam faktor

diantaranya adalah faktor manusia, material, metode kerja, mesin/peralatan yangdigunakan dan lingkungan kerjanya. Kecacatan berupa produk yang retak/patah timbulkarena tingkat kuat tekan bata merah yang rendah. Penentuan faktor yang akan dilakukan pada bagian ini berkaitan dengan faktor yang berhubungan dengan proses produksi, yaitu pembuatan bata merah ( prototype) yang akan dilakukan dalam eksperimen. Adapunurutan proses pembuatan prototype bata merah digambarkan di bawah ini:

Gambar 1. Aliran proses produksi bata merahFaktor yang memungkinkan untuk dilibatkan dalam eksperimen dan disesuaikan

dengan kemampuan perusahaan dilihat dari sisi operasional. Faktor-faktor dan penentuanseting level didasarkan pada keterangan-keterangan yang diperoleh sebagai berikut :

Perendaman Pengeringanlempung

Penggilingan

Pendinginan Pembakaran Pengeringan Pencetakan

Pemeraman

Pencampuran

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 442/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

449

Tabel 4. Penentuan Seting Level FaktorFaktor Kode Level 1 Level 2

-  Faktor terkontrol1.  Waktu perendaman2.  Perbandingan lempung : air3.  Persentase campuran pasir4.  Waktu pemeraman5.  Waktu proses pengeringan6.  Kenaikan suhu rata-rata per-jam

 pada proses pengeringan7.  Suhu pembakaran

-  Faktor tak terkontrol1.  Kondisi bahan baku

ABCDEF

G

H

12 jam25%0%

24 jam22 jam

5o C/jam

800o C

kaolinit

24 jam30%10%

48 jam34 jam

10o C/jam

900o C

montmorilonit

Hasil Eksperimen pengolahan Rataan dan S/NAnalisis variansi merupakan metode lain yang digunakan untuk melihat faktoryang paling berpengaruh terhadap respon. Perhitungan analisis variansi padaeksperimen ini dilakukan dengan menggunakan tingkat kepercayaan 90%berdasarkan pertimbangan:1.  Eksperimen yang dilakukan merupakan eksperimen tahap awal, sehingga keakuratan

data yang dihasilkan masih berada pada taraf yang rendah [Ross, 1988].2.  Eksperimen dilakukan secara bertahap dengan waktu pelaksanaan yang cukup lama,

sehingga kemungkinan besar hal tersebut akan berpengaruh terhadap perbedaankualitas respon pada tahap awal dibanding dengan kualitas produk yang dihasilkan pada tahap akhir eksperimen.

Rancangan pengambilan data didasarkan kepada rencana yang sudah ditetapkan.Eksperimen terdiri dari 7 faktor terkontrol dan satu faktor tidak terkontrol masing-masing

terdiri 2 level. Eksperimen dilakukan secara acak dengan dua kali replikasi sebanyak 64satuan percobaan. Diperoleh perhitungan dengan ANOVA terhadap rataan dan rasiovariasi S/N kuat tekan setelah melalui tahap  pooling up  iterasi 1 dan iterasi 2 diperolehhasil yang disajikan tabel 5 :

Tabel 5. Hasil Perhitungan Analisis Variansi terhadap Rataan dan S/N

FaktorRataan Variasi (S/N)

Fhitung 21 df ,df ,Fα   Fhitung 21 df ,df ,Fα  

ABCE

2067.401284.40379.41621.383

2.7922.7922.7922.792

1198.936176.04047.96012.624

3.2303.2303.2303.230

Dari hasil perhitungan analisis variansi, terdapat kesamaan hasil baik pada rataan

maupun variasi (S/N) dimana Fhitung  (faktor A, B, C, dan E) >21 df ,df ,Fα , artinya faktor

waktu perendaman (A), komposisi campuran air (B), komposisi campuran pasir (C) danwaktu pengeringan (E) dinilai berpengaruh besar baik terhadap rataan maupun variasi(S/N) kuat tekan yang dihasilkan. Dengan demikian bahwa proses penyiapan bahan bakumemegang peranan yang penting dalam proses produksi bata merah. Faktor-faktor yang

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 443/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

450

terpilih di atas bisa dikatakan robust   (kokoh) terhadap noise factor   (faktor gangguan)dengan alasan bahwa pada eksperimen ini replikasi dilakukan dalam kondisi faktor takterkontrol (noise factor ), hal ini akan menyebabkan galat eksperimen akan menjadi besar.Besarnya galat eksperimen akan menyebabkan nilai  F hitung  menjadi kecil dan pengaruhfaktor cenderung tidak signifikan.

Selanjutnya, hasil-hasil yang diperoleh dikelompokan kedalam pengaruh faktorterhadap rataan (faktor lokasi) dan variasi S/N (faktor dispersi) dengan metode Taguchi.Hasil pengelompokan diperoleh sebagai berikut:Faktor yang berpengaruh terhadap lokasi (rataan) & dispersi (S/N) : A, B, C, EFaktor yang berpengaruh terhadap dispersi (S/N) : DFaktor yang tidak berpengaruh baik terhadap lokasi & dispersi : F dan G

Analisa hasil pengelompokan efek masing-masing faktor di atas adalah sebagai berikut:1.  Faktor A (Waktu perendaman)

Dari hasil pengujian model ternyata waktu perendaman merupakan faktor yang paling

signifikan terhadap rataan dan variasi (S/N) kuat tekan. Perendaman selama 12 jammenghasilkan kuat tekan yang lebih baik secara signifikan dibandingkan waktu perendaman 24 jam.

2.  Faktor B ( Komposisi campuran air)Dari hasil pengujian model ternyata komposisi campuran air berpengaruh secarasignifikan terhadap rataan kuat tekan dan variasi (S/N) yang dihasilkan. Komposisicampuran air 25% dari jumlah lempung menghasilkan kuat tekan yang lebih baiksecara signifikan dibandingkan dengan penggunaan komposisi air sebanyak 30%

3.  Faktor C (Komposisi campuran pasir)Dari hasil pengujian model ternyata faktor komposisi campuran pasir berpengaruhsecara signifikan terhadap rataan dan variasi (S/N) dari kuat tekan yang dihasilkan.Bahan baku yang tidak menggunakan campuran pasir akan menghasilkan kuat tekanyang lebih baik bila dibandingkan dengan penambahan pasir sebanyak 10%.

4.  Faktor D (Waktu pemeraman)Berdasarkan hasil pengujian model ternyata faktor D hanya berpengaruh terhadapvariasi kuat tekan yang dihasilkan, artinya lamanya waktu pemeraman baik 24 jammaupun 48 jam akan menghasilkan kuat tekan yang tidak jauh berbeda.Dengan analisa bahwa pemeraman bertujuan untuk meratakan distribusi air pada bahan baku siap pakai (hasil pencampuran), pada dasarnya tujuan proses ini samadengan proses perendaman lempung sehingga apabila pada proses perendamandistribusi airnya telah sempurna maka kondisi bahan dapat dikatakan baik sehingga proses pemeraman tidak begitu berpengaruh karena air telah menyebar di dalam bahan baku sebagai hasil dari proses perendaman.

5.  Faktor E (Waktu pengeringan)Hasil pengujian model menunjukan bahwa waktu pengeringan berpengaruh secarasignifikan terhadap rata-rata dan variasi kuat tekan, dimana produk yang dikeringkan

selama 22 jam akan menghasilkan kuat tekan yang lebih baik dan hasilnya akansangat berbeda dibanding selama 34 jam.

6.  Faktor F (Kenaikan suhu rata-rata)Pengaruh faktor ini dinilai tidak signifikan baik terhadap rataan maupun variasirespon, artinya penggunaan kenaikan suhu rata-rata proses pengeringan pada 50 C/jam maupun 100 C/jam akan menghasilkan kuat tekan yang tidak jauh berbeda(relatif sama). Hal ini disebabkan karena faktor yang lebih berpengaruh terhadap proses ini adalah waktu pengeringan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 444/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

451

7.  Faktor G (Suhu pembakaran)Dari hasil pengujian model waktu pembakaran ternyata tidak signifikan baik terhadaprataan respon maupun variasi (S/N), artinya kuat tekan yang dihasilkan pada suhu pembakaran 8000 C maupun 9000 C akan menghasilkan kuat tekan yang relatif sama.

Analisa Hasil Eksperimen Awal dan Hasil Eksperimen KonfirmasiPada tahap ini dilakukan analisa perbandingan hasil eksperimen awal dengan

eksperimen konfirmasi sebanyak 10 satuan percobaan yang meliputi analisa perbandinganrata-rata, standar deviasi, variansi dan koefisien variasi:1.  Analisa terhadap Rata-rata

Berdasarkan hasil pengujian model diperoleh hasil sebagai berikut:Rata-rata hasil eksperimen awal = 82.624 kg/cm2 Rata-rata hasil eksperimen konfirmasi = 104.680 kg/cm2

Dari hasil di atas diperoleh keterangan bahwa terdapat peningkatan rata-ratakarakteristik kualitas kuat tekan, hal ini ditunjukan dengan telah terlampauinya target

minimal yang diharapkan yaitu 100 kg/cm2

. Artinya seting level yang digunakandalam eksperimen konfirmasi sebagai hasil pengolahan eksperimen awal telahmemberikan kontribusi terhadap perbaikan kualitas produk dengan peningkatan pencapaian rata-rata sebesar 26,96 %.

2.  Analisa terhadap Standar Deviasi (S) dan Variansi (S2)Hasil pengolahan terhadap standar deviasi dan variansi menunjukan bahwa terdapat perbaikan standar deviasi dan variansi yang dihasilkan pada eksperimen konfirmasi,hal ini terbukti dengan semakin kecilnya standar deviasi dan variansi yang dihasilkan pada eksperimen konfimasi dibandingkan dengan eksperimen awal, dengan kontribusi pengurangan standar deviasi sebesar 87.71 % atau pengurangan variansi sebesar 98.49%.Standar deviasi dan variansi yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

Tabel 6. Hasil Standar Deviasi dan Variansi

EksperimenStandardeviasi

(kg/cm2)

Variansi(kg/cm2)

AwalKonfirmasi

30.8833.794

953.76014.391

3.  Analisa Koefisien Variasi (CV)Berdasarkan SNI 15-2094-1991/SNI 15-2094-2000 tentang kualitas dan cara uji batamerah koefisien variasi maksimal yang diizinkan untuk K-100 adalah 22 %. Hasil CV pada pengujian model diperoleh koefisien variasi eksperimen awal sebesar 37.38 %,sedangkan koefisien variasi eksperimen konfirmasi sebesar 3.624 %. Hasil CV padaeksperimen awal yaitu 37.378% (CV>22%) artinya bahwa kualitas yang dihasilkan

 pada eksperimen awal belum memenuhi standar yang ditentukan karena tingkat variasikualitasnya sangat tinggi, hal ini ditunjukan dengan hasil CV yang berada di luar batasmaksimal dari syarat SNI. Sedangkan pada eksperimen konfirmasi terjadi pengurangan nilai CV yaitu 3.624% (CV< 22%), berarti kualitas produk yangdihasilkan pada eksperimen konfirmasi telah memenuhi persyaratan yang telahditentukan, hal ini menunjukan terjadinya perbaikan CV pada eksperimen konfirmasisebesar 90.30 %.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 445/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

452

Kesimpulan1.  Faktor yang berpengaruh terhadap kualitas produk bata merah dilihat dari rataan kuat

tekan, variasi S/N, dan standar deviasi, yaitu : waktu perendaman, komposisicampuran air, komposisi campuran pasir, waktu pemeraman dan waktu pengeringan.Faktor-faktor tersebut memberikan pengaruh nyata terhadap kuat tekan yangdihasilkan.

2.  Seting level faktor yang digunakan untuk menghasilkan target K-100 dengan variasiyang relatif kecil adalah : waktu perendaman 12 jam, komposisi campuran airsebanyak 25%, komposisi campuran pasir 0%, waktu pemeraman selama 24 jam,waktu pengeringan selama 22 jam.

3.  Terjadi perbaikan kualitas kuat tekan bata merah dengan seting level yang ditentukandengan diperoleh perbaikan hasil percobaan konfirmasi dengan percobaan awal.

Saran1.  Melakukan penelitian lanjutan untuk memperoleh kualitas bata merah yang lebih

tinggi, yaitu K-150, K-200 dan K-250.2.  Proses produksi bata merah sebaiknya memperhatikan proses penyiapan bahan baku,karena hasil penelitian menunjukkan tahap awal proses ini sangat menentukan kualitas produk yang dihasilkan.

Daftar Pustaka

Badan Standardisasi Nasional. 1991. SNI 15-2094-1991 tentang Bata merah pejal, mutudan cara uji.

Badan Standardisasi Nasional. 2000. SNI 15-2094-2000 tentang Bata merah pejal untuk pasangan dinding.

Gaspersz. V. 1995. Teknis Analisis dalam Penelitian Percobaan. Tarsito, Bandung.

Hendra. Y. 2001. Penentuan parameter dan level parameter proses produksi untukmeminimasi cacat pada pegas tekan dengan menggunakan metode Taguchi. TugasAkhir ITB, Bandung. Tidak dipublikasikan.

Krottmaier, J. 1993. Optimizing Engineering Design. McGrow-Hill.

Peace, G. S. 1993. Taguchi Methods : A Hands-On Approach. Addison-Wesley.

Ross, P. J. 1988. Taguchi Techniques for Quality Engineering . McGrow-Hill.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 446/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

453

Perbandingan Estimasi Rapat Spektral DayaMenggunakan Method of Equal D istance  (MED) dan

Mean-Square-Error-Method  (MSEM) untuk Komunikasi Bergerak  

Riko Arlando Saragih (1) dan Hiskia Sembiring (2) Jurusan Teknik Elektro Univeristas Kristen Maranatha

(1)Dosen Jurusan Teknik Elektro Jurusan Univeristas Kristen Maranatha(2) Alumni Jurusan Teknik Elektro Jurusan Univeristas Kristen Maranatha

ABSTRAK

Dalam menentukan desain sinyal yang tepat (source, channel coding, danmodulasi), perlu dikembangkan teknik-teknik baru dalam pentransmisian dan penerimaansinyal. Dalam komunikasi multiuser, skema akses kanal harus dilakukan seefisienmungkin dan level terendah yang diijinkan harus ditentukan untuk menjaga koneksi

komunikasi dari sel ke sel.Dibutuhkan pemahaman karakteristik-karakteristik kanal wireless, terutama parameter-parameter yang berpengaruh pada sinyal penerimaan yang bergerak. Untukmemperoleh informasi sinyal yang baik pada penerima yang bergerak, maka pentinguntuk memperhitungkan efek Doppler.

Dalam tulisan ini, akan disajikan perbandingan estimasi rapat spektral dayadengan MED dan MSEM melalui perhitungan parameter frekuensi Doppler diskrit dankoefisien Doppler yang berpengaruh pada penerimaan sinyal di penerima yang bergerak.

Kata kunci  : frekuensi Doppler diskrit, koefisien Doppler, MED, MSEM, rapat spektraldaya

1.  Pendahuluan

Dewasa ini, sejumlah model simulasi komputer telah diperkenalkan untuksimulasi karakteristik-karakteristik  fading   dari saluran radio yang bergerak. Modelsimulasi didasarkan pada penetapan rapat spektral daya dari dua atau lebih proses whiteGaussian noise  dengan menggunakan filter rekursif. Simulasi ini memiliki ciri bahwa bandwidth dari filter sangat kecil dibandingkan dengan frekuensi samplingnya.

Dalam perkembangannya model simulasi dengan metode Rice memiliki unjukkerja yang sama bagusnya dengan metode filter. Metode ini tidak menggunakan teknikinterpolasi linear yang merupakan kelemahan metode filter. Metode Rice didasarkan padasuperposisi dari sejumlah fungsi harmonik dengan frekuensi serbasama dan memiliki fasaacak dan dengan pendekatan proses stokastik. Proses ini menggunakan prosesdeterministik sebagai model simulasinya.

Proses deterministik ini dipengaruhi oleh nilai-nilai parameter koefisien Dopplerdan frekuensi Doppler yang dalam tulisan ini dihitung dengan metode MED dan MSEM.

Dari hasil perhitungan parameter koefisien Doppler dan frekuensi Doppler diskrit, makaakan diperoleh estimasi rapat spektral daya dan estimasi fungsi autokorelasi proses-prosesdeterministik baik untuk Jakes maupun Gaussian.

3.  Kajian Literatur2.1 Sistem komunikasi Wireless  [2] 

Propagasi sinyal dari pengirim menuju ke penerima dalamlingkungan wireless akan mengalami berbagai gangguan seperti pantulan, redaman,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 447/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

454

difraksi, hamburan dan lain-lain. Adanya objek-objek pemantul pada kanalmengakibatkan disipasi energi sinyal. Disipasi energi sinyal itu dapat berupa disipasiamplitudo, fasa, dan waktu.

Hal tersebut mengakibatkan sinyal pada penerima menjadi dua jenis, yaitu sinyallangsung (line of sight ) dan sinyal terpantul. Sinyal terpantul akan berubah magnituda danfasanya, tergantung dari koefisien refleksi, lintasannya, dan juga tergantung pada sudutdatang sinyal yang biasa disebut multipath propagation.  Dengan adanya multipath propagation,  maka akan mengakibatkan sinyal di penerima menguat atau melemah,tergantung dari fasa sinyal terpantul. Jadi, antara sinyal langsung dan sinyal pantulanakan berbeda dalam hal amplituda (tergantung dari magnituda koefisien refleksi) dan fasa(perbedaan jarak tempuh antara gelombang langsung dan gelombang pantul).

Penerima yang bergerak akan menghasilkan  frequency shift (Doppler shift) padaantena penerima. Perbedaan Doppler shift tergantung pada arah kedatangan masing-masing gelombang. Penjumlahan komponen-komponen sinyal penerima (langsung dan pantul) yang merupakan spektrum kontinu frekuensi Doppler disebut sebagai  Doppler

 power spectral density. Fading [1]  atau kanal  fading   secara definitif adalah fluktuasi daya di penerima. Fading  terjadi karena superposisi gelombang multipath yang memiliki amplituda dan fasayang berbeda-beda. Model kanal  fading   sering digunakan untuk memodelkan transmisiinformasi elektromagnetik pada media wireless  seperti telepon selular dan komunikasiradio.

Berdasarkan hubungan antara sinyal dan parameter kanal, karakteristik  fading  terbagi 2, yaitu :

(a)  Berdasarkan multipath time delay, sinyal fading  bisa flat  atau frequency selective fading . Jika bandwidth kanal lebih lebar daripada bandwidth koheren sinyal,maka sinyal terima akan mengalami  flat fading . Sebaliknya akan terjadi frequency selective fading .  Frequency selective fading   akan mengakibatkansinyal akan mengalami respon yang berbeda pada kanal untuk tiap spektrum

frekuensinya, baik respon fasa maupun respon amplituda.(b)  Berdasarkan Doppler spread, sinyal fading bisa  fast   atau  slow fading . Dalamdomain waktu,  fast fading   menunjukkan kondisi waktu koheren kanal (durasiwaktu yang diharapkan selama respon kanal invariant) lebih kecil dari simbol periode. Fast fading dalam domain frekuensi terjadi saat bandwidth sinyal lebihsempit daripada pergeseran frekuensi Doppler maksimum ( f m).

2.2 Proses Stokastik dan Sinyal Deterministik [2] Di dalam menjelaskan tentang proses stokastik, penjelasan mengenai fungsi rapat

 peluang (probability density function = pdf ) adalah hal yang mendasar. Beberapa pdf penting yang sering digunakan dalam pemodelan saluran yang berhubungan dengan ciri-ciri statistik seperti rata-rata dan variansi adalah distribusi uniform, distribusi Gaussian(distribusi normal), distribusi Rayleigh, distribusi lognormal, dan distribusi Suzuki.

Konsep dari proses stokastik (acak) didasarkan pada perluasan konsep variabelacak dengan memasukkan faktor waktu. Dari definisi, variabel acak µ adalah fungsi darihasil-hasil atau kejadian-kejadian  s  yang mungkin dari suatu percobaan, sehinggasekarang menjadi fungsi dari keduanya, yaitu s dan waktu (µ(t , s)).

Dengan kata lain, ditentukan suatu fungsi waktu terhadap setiap hasil kejadian  s  berdasarkan aturan-aturan tertentu. Keluarga atau ensemble dari semua fungsi demikiandinotasikan dengan µ(t ,  s) disebut proses acak. Seterusnya, akan dihilangkan argumenkedua dan hanya menulis µ(t ) sama halnya dengan variabel acak.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 448/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

455

Jika µ′(t ) dan µ″(t ) adalah dua proses stokastik bernilai kompleks, maka prosesstokastiknya (bernilai kompleks) adalah µ(t ) = µ′(t ) +  j µ″(t ). Proses stokastik µ(t ) dapat

dinterpretasikan sebagai sebuah variabel acak untuk nilai t  tertentu. Jadi perluasan konsepdari nilai rata-rata (expected value), yang sudah diperkenalkan sebelumnya untuk variabelacak pada proses stokastik menjadi fungsi expected value, yaitu :

mµ(t ) = E {µ(t )} (1)

Gambar 1. Hubungan antara proses stokastik, variabel acak, fungsi sampel, dan bilangan bernilai real(bernilai kompleks).

Misalkan variabel acak µ(t 1) dan µ(t 2) menyatakan proses stokastik µ(t ) untukwaktu t 1dan t 2, maka :

r µµ(t 1,t 2) =  E {µ*(t 1) µ(t 2)} (2)yang disebut sebagai fungsi autokorelasi dari µ(t 1) dan *  melambangkan komplekskonjugate. Dalam hal ini kompleks konjugate dihubungkan dengan variabel independent pertama pada r µµ(t 1,t 2). Jadi fungsi variansi sebuah proses stokastik bernilai kompleksµ(t ) didefinisikan sebagai :

σµ2 = Var {µ(t )} = E {µ(t ) −  E {µ(t )}2}

= E {µ*(t ) µ(t ) } −  E {µ*(t )} E {µ(t )}= r µµ(t ,t ) − mµ(t ) 2  (3)

Dengan r µµ(t ,t ) menyatakan fungsi autokolerasi untuk t 1 = t 2 = t   dan mµ(t ) menyatakanfungsi nilai expected value (rata-rata). Jadi :

r µ1µ2(t 1,t 2) = E {µ1*(t 1) µ2 (t 2) } (4)

adalah sebagai function cross-corelation dari proses stokastik µ1(t ) dan µ2 (t ) pada waktutertentu t 1 dan t 2.

Model saluran didasarkan pada penggunaan paling tidak dua proses acak real-valued coloured Gaussian sebagai referensi, seperti model Rayleigh, Rice dan Suzukiuntuk melakukan transmisi data digital pada saluran radio bergerak. Model  ini digunakanuntuk pendekatan model stokastik untuk mendeskripsikan fluktuasi amplituda acak sinyal penerima baseband kompleks. [2] 

Ada dua metode dasar pemodelan proses acak coloured Gaussian, yaitu metode

filter dan metode Rice, tetapi dalam tulisan ini yang digunakan adalah metode Rice.  [2]

 Prinsip metode Rice didasarkan pada superposisi dari sejumlah fungsi harmonik takterhingga (infinite) dengan frekuensi serbasama dan fasa acak. Berdasarkan prinsip ini, proses Gaussian acak µi(t ) dapat dideskripsikan secara matematis sebagai berikut :

( )   ( )nini

 N 

nni

ni t  f ct 

i

,,1

, 2coslim   θπµ   +=   ∑=∞→

, (5)

Dengan :

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 449/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

456

( )niuuini  f S  f cii ,, 2   ∆= , (6)

ini  f n f    ∆= .,  (7)

Variabel θi,n adalah variabel acak untuk fasa dan memiliki distribusi secara uniform padainterval (0,2π]. Variabel µi(t ) menyatakan fungsi harmonik tak terhingga (infinite) yang

terdistribusi acak. VariabeliiuuS  menyatakan rapat spektral daya. Variabel ci,n menyatakan

koefisien Doppler, sedangkan variabel  f i,n menyatakan frekuensi Doppler diskrit untuk n= 1,2, ...,  N i  dan i = 1,2. Banyaknya ∆ f i,  di sini dipilih yang mencakup seluruh rangefrekuensi yang relevan, dan selanjutnya diasumsikan memenuhi sifat ∆ f i → 0 jika  N i → ∞.

Proses acak Gaussian dicirikan dengan nilai rata-rata dan dayanya dan dapatdinyatakan baik oleh rapat spektral daya atau fungsi autokorelasi. Kedua metode inihanya sebagai model analitik(ideal) stokastik dan ditetapkan sebagai model referensi.

Metode Rice dapat direalisasikan hanya menggunakan sejumlah fungsi harmonik berhingga (finite)  N i, sehingga diperoleh estimasi proses stokastik yang dinyatakandengan :

( )   ( )nini

 N 

nnii t  f ct 

i

,,1

, 2cosˆ   θπµ   += ∑=

  (8)

Dengan parameter-parameter ci,n dan  f i,n  sama dengan pada Persamaan (6) dan (7) serta

θi,n  variabel acak yang terdistribusi secara uniform. Persamaan ( )t iµ   →  µi(t ) untuk  N i 

→∞. Dengan hubungannya dengan Persamaan (6) dan (7), maka Persamaan (8) menjadi :

( )   ( )nini

 N 

nnii t  f ct 

i

,,1

, 2cos~ θπµ   += ∑=

  (9),

yang merupakan proses deterministik atau fungsi deterministik. Untuk limit  N i →∞, maka proses deterministik ( )t iµ~   menuju proses stokastik µi(t ). Bentuk kompleksnya adalah

sebagai berikut : ( ) ( ) ( )t t t i 21~~~ µµµ   +=   (10)

Proses stokastik pada Persamaan (10) dinamakan proses Gaussian deterministikkompleks.

Model simulasi diskrit yang dibutuhkan untuk simulasi komputer dapat langsungdiperoleh dengan substitusi variabel waktu t   dengan t = kT  s, dengan T  s  menyatakaninterval sampling dan k  integer. Parameter model simulasi ci,n , f i,n, dan θi,n untuk n = 1,2,..., N i. Karena ditujukan untuk proses deterministik yang digunakan untuk pemodelan cirifading time-variant yang disebabkan oleh efek Doppler, maka parameter ci,n , f i,n, dan θi,n mendiskripsikan proses deterministik dari koefisien Doppler, frekuensi Doppler diskrit ,dan fasa Doppler .

3. Metode untuk Perhitungan Parameter Model Proses Deterministik [2,3] Pada bagian ini akan disampaikan dua metode perhitungan parameter dasar

model simulasi, yaitu untuk koefisien Doppler (ci,n) dan frekuensi Doppler diskrit ( f i,n).Metode yang akan digunakan dalam tulisan ini adalah  Method of Equal Distance (MED)yang akan dibandingkan dengan  Mean-Square-Error-Method   (MSEM) yang dicirikandengan kenyataan bahwa jarak antara dua frekuensi Doppler diskrit berdekatan(bersebelahan) adalah seragam (serbasama). Kedua metode tersebut berbeda dalammenghitung koefisien Doppler.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 450/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

457

3.1 Method of Equal Di stance (MED) [2,3] Salah satu sifat dasar dari MED adalah bahwa frekuensi Doppler diskrit, yang

diketahui sebagai pasangan yang berdekatan, memiliki jarak yang sama. Sifat tersebutditunjukkan dengan mendefinisikan frekuensi Doppler diskrit f i,n  sebagai berikut :

( )12: 2,   −=   ∆ n f  i f ni , n = 1,2, ..., N i  (11)

Dengan :* f i = f i,n −  f i,n−1 , n = 2, 3, ..., N i  (12)

menunjukkan jarak antara dua frekuensi Doppler diskrit yang berdekatan (bersebelahan)dari proses deterministik ke-i, yaitu ( )t iµ~ , untuk i = 1,2.

Untuk menghitung koefisien Doppler ci,n, ditinjau dari interval frekuensinya,yaitu :

 I i,n := [ f i,n −  2i f ∆ , f i,n + 2

i f ∆ ] n = 1, 2, ..., N i  (13)

Pada interval ini, daya rata-rata (mean power) dari rapat spektral daya ( ) f S iiuu

 dari model

referensi stokastik identik dengan rapat spektral daya ( ) f S  iiuu

~

  model simulasideterministik, yaitu :

( ) ( )df  f S df  f S iiniiini uu I  f uu I  f 

~,,   ∫ ∫    ∈∈   =   (14)

untuk setiap n = 1, 2, ...,  N i  dan i = 1,2. Jadi, koefisien Doppler ci,n  dapat dituliskansebagai berikut :

( )df  f S ciini uu I  f ni   ∫   ∈=

,2,   (15)

Jadi, untuk jumlah fungsi harmonik yang tak hingga, proses deterministik dengan MEDdapat diinterpretasikan sebagai fungsi sampel proses acak Gaussian ideal.

Range frekuensi rapat spektral daya Jakes dibatasi untuk range  f   ≤  f max,sehingga untuk menentukan jumlah fungsi harmonik  N i diperlukan nilai yang tepat untuk perbedaan antara dua frekuensi Doppler diskrit yang berdekatan dan dapat diperoleh

dengan * f i =  f max/  N i.[2,3]

Oleh karena itu, frekuensi Doppler diskrit  f i,n  dapat dihitungdengan :( )12: 2,

max −= n f i N 

 f ni

  (16)

untuk setiap n = 1, 2, ...,  N i  dan i = 1,2. Koefisien Doppler ci,n  dapat dihitung dengan persamaan :

( ) ( )[ ] 21

12, arcsinarcsin0

ii  N n

 N n

nic   −−=π

σ   (17)

untuk setiap n = 1, 2, ..., N i  dan i = 1,2.Proses deterministik ( )t iµ~ didapat dari Persamaan (16) dan (17) yang memiliki nilai rata-

rata (mean value) 0~ =i

mµ  dan daya rata-ratanya (mean power ) adalah :

∑=

==i

i

 N 

n

nic

1

20

2,2

2~ σσ µ

  (18)

 Nilai rata-rata dan daya rata-rata proses deterministik ( )t iµ~   cocok (match) dengan nilai

rata-rata dan variansi proses stokastik µi(t ).Range frekuensi rapat spektral daya Jakes harus dibatasi untuk range tertentu.

Oleh sebab itu, digunakan kuantitas k c yang dipilih dengan cara daya rata-rata dari rapatspektral daya Gaussian dengan range frekuensi  f  ≤ k c f c mendekati minimal 99,99 % dari

daya rata-rata total. [2,3]  Hal ini dipenuhi untuk 2ln/22=ck  . Untuk jumlah fungsi

harmonik   N i, maka perbedaan antara dua frekuensi Doppler diskrit berdekatan dan * f i

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 451/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

458

dapat dideskripsikan dengan * f i = k c f c/ N i, sehingga diperoleh persamaan untukmenghitung frekuensi Doppler diskrit f i,n sebagai berikut :

( )122,   −= n f  i

cc

 N 

 f k 

ni  (19)

untuk setiap n = 1, 2, ...,  N i  dan i = 1,2, sehingga dapat dihitung koefisien Doppler ci,n sebagai berikut :

(   )   ( )(   )[ ] 21

2ln12ln

0, 2i

c

i

c

 N 

k n

 N 

k n

ni erf erf c  −−= σ   (20)

untuk setiap n = 1, 2, ..., N i  dan i = 1,2.

3.2 Mean-Square-Error-Method  (MSEM) [2,3]  Mean-Square-Error-Method   (MSEM) didasarkan pada ide bahwa penentuan

 parameter model ci,n  dan  f i,n  dihitung dengan sedemikian cara sehingga mean-square-error  dari :

( ) ( )( )   ττττ

µµµµτ d r r  E iiiiiuiur 

2

0

1max

max

~∫    −=   (21)

memiliki nilai terkecil (minimal). Pada metoda ini, ( )τµµ iir   dapat menjadi beberapa fungsi

autokorelasi proses ( )t iµ~  gambaran model referensi teoritis. Jika tidak, ( )τµµ iir   dapat juga

diperoleh dari data pengukuran pada saluran real.Pada Persamaan (21), τmax  mendeskripsikan interval waktu, sedangkan frekuensi

Doppler diskrit f i,n didapat dari Persamaan (11) karena bersifat serbasama. Dengan aturan

 parsial terhadap turunaniuiur  E  untuk koefisien Doppler ci,n  untuk Persamaan (21) dan

dihitung untuk sama dengan nol, yaitu ∂iuiur  E  /∂  ci,n  = 0, maka diperoleh dengan

hubungannya dengan Persamaan (11), yaitu persamaan untuk menghitung ci,n, yaitu :

( )   ( )   ττπττ

µµτ d  f r c nini ii∫ =max

max

0

,1

, 2cos2   (22)

untuk setiap n = 1, 2, ..., N i  dan i = 1,2, dengan τmax akan diperoleh dengan τmax= T i /4 = 1/ (2∆ f i).

Untuk limit ∆ f i → 0, maka dari Persamaan (22) diperoleh bahwa :

( )niuui f 

ni  f S  f cii

i,

0, 2lim   ∆=

→∆  (23)

terpenuhi, yang identik dengan relasi pada Persamaan (6) yang diberikan oleh Rice.Ketika menggunakan MSEM untuk rapat spektral daya Jakes, formula

 perhitungan frekuensi Doppler diskrit  f i,n  identik dengan Persamaan (16) yang diperolehdengan menggunakan MED [2,3], tetapi berbeda halnya dengan perhitungan koefisienDoppler ci,n. Persamaan untuk menghitung koefisien Doppler ci,n adalah : 

( )   ( )   ττπτπστ

τ d  f  f  J c nini

  ∫ =

max

max

0

,max01

0, 2cos22   (24)

dengan τmax= 1 / (2∆ f i) = N i / (2 f max).Untuk rapat spektral daya Gaussian, perhitungan frekuensi Doppler diskrit  f i,n

diperoleh dari Persamaan (16) [2,3], sedangkan untuk menghitung koefisien Doppler ci,n menggunakan persamaan berikut :

( ) ( )   ττπστ

τπ

τ d  f ec ni f 

nic∫   −=

max2

max

0

,2ln/1

0, 2cos2   (25)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 452/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

459

untuk setiap n = 1, 2, ..., N i  dan i = 1,2, dengan τmax= 1 / (2∆ f i) = N i / (2 k c f c). Untuk nilai

2ln/22=ck  , jadi periode adalah cii  f  N T  2ln/2/= . 

5.  Hasil Simulasi dan PembahasanDalam bagian ini akan disajikan hasil simulasi untuk perhitungan rapat spektral

daya Jakes dan Gaussian untuk kedua metode (MED dan MSEM). Dalam melakukansimulasi ada beberapa hal yang menjadi batasan, yaitu :

1.  Sinyal pada penerima yang bergerak akan mengalami pergeseran frekuensiDoppler yang berbeda untuk setiap lintasan multipath yang besarnya tergantung pada kecepatan penerima (v).

2.  Parameter-parameter frekuensi Doppler diskrit ( f i,n) dan koefisien Doppler (ci,n)dihitung dengan jumlah fungsi harmonik ( N i) tertentu dan fasa (θ)yangdibangkitkan acak yang terdistribusi secara uniform.

3.  Hasil perhitungan ini digunakan untuk mengestimasi rapat spektral daya untukdistribusi Jakes dan distribusi Gaussian.

4.  Pada simulasi ini diasumsikan untuk beberapa kecepatan penerima, yaitu 10m/det, 20 m/det, dan 40 m/det.

5.  Jumlah fungsi harmonik ( N i) diasumsikan 10, 20, dan 40.Gambar 2 memperlihatkan rapat spektral daya untuk distribusi Jakes pada

 beberapa kecepatan penerima (v), yaitu 10, 20, 40 m/det dengan jumlah fungsi harmonik( N i) sebanyak 25 dengan MED.

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

f(Hz)

      P      S      D

Estimasi rapat spektral daya (psd) Jakes

  -60 -40 -20 0 20 40 600

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

f(Hz)

      P      S      D

Estimasi rapat spektral daya (psd)Jakes

 

-150 -100 -50 0 50 100 1500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

f(Hz)

      P      S      D

Estimasi rapat spektral daya (psd) Jakes

 Gambar 2. Rapat spektral daya untuk distribusi Jakes pada kecepatan penerima10 m/det,20 m/det, dan 40 m/det.

Penambahan kecepatan penerima untuk distribusi Jakes mengakibatkan spektraldaya melebar (menjauhi ideal). Hal ini disebabkan karena frekuensi Doppler maksimum( f max) juga naik. Selain itu juga dengan bertambahnya kecepatan penerima, maka padafungsi autokorelasi juga akan mengakibatkan nilai τ mengecil.

Gambar 3 memperlihatkan rapat spektral daya untuk distribusi Gaussian pada beberapa kecepatan penerima (v), yaitu 10, 20, 40 m/det dengan jumlah fungsi harmonik( N i) sebanyak 25 dengan MED.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

f(Hz)

      P

      S      D

Estimasi rapat spektral daya (psd) Gaussian

 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 2000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

f(Hz)

      P

      S      D

Estimasi rapat spektral daya (psd) Gaussian

 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

f(Hz)

      P

      S      D

Estimasi rapat spektral daya (psd) Gaussian

 Gambar 3. Rapat spektral daya Gaussian untuk kecepatan penerima10 m/det, 20

m/det, dan 40 m/det.Penambahan kecepatan penerima untuk distribusi Gaussian mengakibatkan

spektral daya melebar (menjauhi ideal) seperti untuk distribusi Jakes. Hal ini disebabkan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 453/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

460

karena frekuensi Doppler maksimum ( f max) juga naik, sehingga mengakibatkan jarak antarfungsi harmonik melebar. Jika diketahui bahwa nilai ideal ∆  f i  →  0, maka penerimaan

akan lebih baik untuk kecepatan penerima yang lambat atau berhenti, sehingga frekuensi pancar sama dengan frekuensi terima.Pengaruh bertambahnya kecepatan penerima pada fungsi autokorelasi untuk

distribusi Gaussian sama dengan distribusi Jakes, yaitu mengakibatkan nilai τ mengecil,Hal ini mengakibatkan untuk tiga kecepatan penerima yang berbeda waktu proses pembentukan rapat spektral daya Gaussian deterministik relatif singkat karena waktu nilaiestimasi mengikuti nilai sebenarnya makin singkat.

Dari Gambar 2 dan Gambar 3 dapat disimpulkan bahwa dengan bertambahnyakecepatan penerima dengan jumlah fungsi harmonik tertentu, maka estimasi rapatspektral daya akan melebar range frekuensinya, sedangkan untuk estimasi fungsiautokorelasi akan mengakibatkan bertambahnya nilai τ (menjauhi nilai ideal).

Gambar 4 dan Gambar 5 memperlihatkan rapat spektral daya untuk distribusiJakes dan distribusi Gaussian berturut-turut pada beberapa kecepatan penerima (v), yaitu

10, 20, 40 m/det dengan jumlah fungsi harmonik ( N i) sebanyak 25 dengan MSEM.

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

f(Hz)

      P      S      D

Estimasi rapat spektral daya (psd)Jakes

  -60 -40 -20 0 20 40 600

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

f(Hz)

      P      S      D

Estimasi rapat spektral daya (psd) Jakes

 -150 -100 -50 0 50 100 1500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

f(Hz)

      P      S      D

Estimasi rapat spektral daya (psd) Jakes

 Gambar 4. Rapat spektral daya Jakes untuk kecepatan penerima10 m/det, 20 m/det, dan

40 m/det.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

f(Hz)

      P      S

      D

Estimasi rapat spektral daya (psd) Gaussian

 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 2000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

f(Hz)

      P      S

      D

Estimasi rapat spektral daya (psd)Gaussian

 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

f(Hz)

      P      S      D

Estimasi rapat spektral daya (psd)Gaussian

 Gambar 5. Rapat spektral daya Gaussian untuk kecepatan penerima10 m/det, 20 m/det,

dan 40 m/det.Penjelasan untuk Gambar 4 dan Gambar 5 sama seperti untuk Gambar 2 dan

Gambar 3. Artinya estimasi rapat spektral daya dan fungsi autokorelasi untuk distribusiJakes dan distribusi Gaussian untuk MSEM karena pengaruh perbedaan kecepatan penerima sama dengan MED. Hal ini disebabkan karena kedua metode dicirikan dengankenyataan bahwa jarak antar dua frekuensi Doppler diskrit berdekatan serbasama(uniform).

6.  PenutupDari hasil simulasi dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Perbedaan kecepatan penerima mempengaruhi estimasi rapat spektral daya danestimasi fungsi autokorelasi (menjauhi ideal).

2. Metode MED dan MSEM menghasilkan karakteristik rapat spektral daya danfungsi autokorelasi yang sama baiknya.

Sedangkan sarannya adalah untuk memperoleh hasil estimasi rapat spektral dayadan fungsi autokorelasi sinyal penerima yang bergerak lebih akurat perlu diperhatikan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 454/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

461

 perhitungan parameter level-crossing rate  (LCR) dan average duration of fades  (ADF)yang bersifat frequency-selective.

Daftar PustakaJames K. Cavers, “ Mobile Channels Characteristics”, Kluwer Academic Publishers, New

York, 1995

Matthias Patzold, “ Mobile Fading Channels”, John Wiley & Sons, Ltd, 2002.

Matthias Patzold, Ulrich Killat, “S Deterministic Digital Simulation Model for Suzuki Processes with Application to a Shadowed Rayleigh Land Mobile Radio Channel ”,IEEE Transactions On Vehicular Technology, Vol. 45, No.2, May 1996.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 455/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

462

DESAIN FAKTORIAL FRAKSIONAL 2k-p SERTA ANALISISNYA BERBASIS WEB

Candra Aji dan Dadan DasariUniversitas Pendidikan Indonesia

ABSTRAK

Dalam eksperimen faktorial 2k , yakni eksperimen yang melibatkan k  buah faktordimana masing-masing faktor terdiri atas dua taraf, seringkali peneliti tidak dapatmelakukan eksperimen faktorial secara lengkap terutama untuk k   lebih dari tigafaktor,sehingga eksperimen yang dilakukan hanya sebagian saja. Desain ini dinamakandengan desain faktorial fraksional 2k-p. Desain faktorial fraksional dilakukan jika penelitidapat mengasumsikan bahwa interaksi orde tinggi (interaksi yang memuat lebih dari tiga

faktor) tertentu diabaikan, kemudian informasi efek utama dan interaksi orde rendah(interaksi yang memuat dua faktor) dapat diperoleh dengan mengerjakan hanya sebagiandari eksperimen faktorial lengkap. Pada saat ini, aplikasi yang telah dikembangkan untukmenyelesaikan permasalahan eksperimen faktorial tersebut adalah aplikasi desktop, akantetapi terdapat metode lain yang dapat dikembangkan yaitu dengan menggunakan aplikasiweb, sehingga dapat digunakan sebagai alat bantu perhitungan yang lebih cepat danmudah.

Kata Kunci : desain eksperimen, desain faktorial 2k  , faktorial fraksional 2k-p. aplilkasiweb

A.  PENDAHULUANDalam suatu eksperimen, seringkali peneliti akan berhadapan dengan eksperimen

yang melibatkan sejumlah faktor dimana tiap faktornya hanya terdiri atas dua buah taraf.Misalnya saja, eksperimen bisa terbentuk karena hanya berurusan dengan dua macamtemperatur ekstrim: rendah dan tinggi, dua buah mesin: lama dan baru, dua macam pegawai: pria dan wanita, dan lain sebagainya. Desain demikian dinamakan dengandesain eksperimen faktorial 2k .

Keterlibatan waktu, tenaga dan biaya seringkali menyebabkan peneliti tidakmungkin melakukan eksperimen faktorial secara lengkap terutama untuk k  lebih dari tigafaktor, sehingga kombinasi perlakuan yang dihasilkan cukup besar. Oleh karena itu,untuk menghindari dari kekurangan tersebut lebih tepat menggunakan desain faktorialfraksional. Desain faktorial fraksional dilakukan jika peneliti dapat mengasumsikan bahwa interaksi orde tinggi (interaksi yang memuat lebih dari tiga faktor) tertentudiabaikan, kemudian informasi efek utama dan interaksi orde rendah (interaksi yangmemuat dua faktor) dapat diperoleh dengan mengerjakan hanya sebagian dari eksperimen

faktorial lengkap, akibatnya akan ada faktor-faktor yang mempunyai sifat yang samadengan faktor lainnya. Pada saat ini, aplikasi yang telah dikembangkan untuk penyelesaian permasalahan eksperimen faktorial tersebut adalah aplikasi desktop, akantetapi terdapat metode lain yang dapat dikembangkan yaitu dengan menggunakan aplikasiweb.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 456/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

463

B.  DESAIN FAKTORIAL 2k  Suatu eksperimen yang menyangkut k  buah faktor dimana tiap faktornya terdiri

atas dua buah taraf dinamakan dengan eksperimen faktorial 2 k . Dalam desain faktorial 2k , banyaknya taraf adalah dua sedangkan banyaknya faktor adalah k yang menjadi pangkat.Demikian halnya dengan desain eksperimen yang terdiri atas dua faktor A dan B, dimanamasing-masing faktor tersebut terdiri atas dua buah taraf akan ditulis sebagai desaineksperimen faktorial 22. Apabila peneliti berurusan dengan tiga faktor A, B, dan C yangmasing-masing terdiri atas dua taraf, maka diperoleh desain eksperimen faktorial 2 3, dan begitu pula untuk desain eksperimen faktorial 24, 25, 26, dan seterusnya dapat dijelaskan.

Jika untuk k = 2 dan k = 3 masing-masing akan didapatkan empat dan delapankombinasi perlakuan, maka untuk k   = 4 didapat 16 kombinasi perlakuan, dan begituseterusnya, makin besar harga k   makin banyak terjadi kombinasi perlakuan. Inimenyebabkan pula makin panjang aliasnya sehingga makin pula susunan sistem kontrasyang menyatakan hubungan antara efek-efek dan kombinasi perlakuan.

Untuk Anava, perlu dihitung nilai jumlah kuadrat dari tiap efek atau kombinasi

 perlakuan sebagai berikut: 2( )

.2efek  k 

kontrasSS 

n=  

Sehingga tabel Analisis variansi untuk desain faktorial 2 k   diperoleh sebagai berikut:

Sumber variasi Derajat kebebasan Jumlah kuadrat

k efek utama A B

 K

2

k   

   interaksi 2-faktor

 AB AC

 JK

3

k         

interaksi 3-faktor

 ABC ABD

 IJKk 

       

 =1 interaksi k-faktor

 ABC KErrorTotal

11

1

11

1

11

1

12k (n - 1)n2k  - 1

SS  A 

SS  B 

SS  K  

SS  AB 

SS  AC  

SS  JK  

SS  ABC  

SS  ABD 

SS  IJK  

SS  ABC .. K  

SS  ESS T  

C.  ANALISIS DESAIN FAKTORIAL FRAKSIONAL 2k-p Desain faktorial fraksional dilakukan jika peneliti dapat mengasumsikan bahwa

interaksi orde tinggi (interaksi yang memuat lebih dari dua faktor) tertentu diabaikan,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 457/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

464

kemudian informasi efek utama dan interaksi orde rendah (interaksi yang memuat duaatau tiga faktor) dapat diperoleh dengan mengerjakan hanya sebagian dari eksperimenfaktorial lengkap, akibatnya akan ada faktor-faktor yang mempunyai sifat yang samadengan faktor lainnya (Montgomery, 2003).

Desain faktorial fraksional 2k  biasanya ditulis dengan desain faktorial fraksional2k-p yaitu eksperimen dengan 1/(2p) fraksi dari seluruh kombinasi percobaan yang harusdilakukan (Montgomery, 2003). Misalkan untuk 5k  =   dan 1 p = , berarti dilakukan

eksperimen faktorial fraksional setengah dari eksperimen 2 5, begitu pun bila diambil2 p = , maka eksperimen faktorial yang dilakukan sebanyak seperempat dari eksperimen

25.Penyusunan kombinasi perlakukan untuk desain faktorial fraksional dilakukan

dengan memperhatikan alias (dua atau lebih efek yang mempunyai sifat yang sama), agardiperoleh desain fraksional dimana alias-alias itu tidak muncul secara bersamaan padasebuah fraksi.

Misalkan dalam desain faktorial 23, yaitu suatu eksperimen yang akan melibatkan

tiga faktor A, B, C, dimana masing-masing faktor bertaraf dua. Eksperimen ini, untuksebuah replikasi penuh memerlukan delapan eksperimen. Akan tetapi, untuk melakukaneksperimen ini peneliti tidak dapat melakukan replikasi secara penuh dan hanya bisamelakukan empat eksperimen saja. Ini berarti eksperimen hanya bisa dilakukan dengansetengah replikasi dari 8 eksperimen yang seharusnya dilakukan untuk replikasi penuh.Karena desain berisi 23-1 = 4 kombinasi perlakuan, sehingga desain yang digunakandisebut setengah fraksi dari desain 23  atau sering dinotasikan dengan desain faktorial

fraksional 3-1III2 .

Tanda koefisien untuk desain faktorial 3-1III2  dapat dilihat pada tabel di bawah ini:

Desainfaktorial 22

 penuh3-1III2 , I = ABC 3-1

III2 , I = -ABC

eksperimen A B A B C=AB A B C=-AB1 - - - - + - - -2 + - + - - + - +3 - + - + - - + +4 + + + + + + + -

Berdasarkan setengah dari tabel diatas diperoleh taksiran efek utama A, B dan C adalahsebagai berikut:

1( - - )

21

(- - )

21(- - )

2

 A

 B

a b c abc

a b c abc

a b c abc

= +

= + +

= + +

l

l

l

 

Sedangkan taksiran dari interaksi dua faktor adalah sebagai berikut:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 458/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

465

1( - - )

2

1 (- - )21

(- - )2

 BC 

 AC 

 AB

a b c abc

a b c abc

a b c abc

= +

= + +

= + +

l

l

l

 

Struktur alias untuk desain dengan defining relation  I = ABC pada contohsebelumnya dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :•  Tentukan defining relation (I)•  Kalikan faktor (faktor-faktor beserta interaksinya) dengan defining relation •  Selesaikan dengan aljabar modulo 2Sehingga efek-efek yang beralias diperoleh sebagai berikut:

 A · I = A · ABC = A2 BCkarena kuadrat dari setiap kolom selalu = kolom I, maka:

 A = BCDengan cara yang sama, didapat alias dari B dan C adalah sebagai berikut:

 B · I = B · ABC = AB2C = ACdan

C · I = C · ABC = ABC 2  = AB Pemilihan  p generator sangatlah penting untuk desain faktorial fraksional 2 k-p,

terutama untuk memperolah kemungkinan terbaik dari struktur aliasnya. Alasan dari penyeleksian ini adalah agar diperoleh generator yang dapat menghasilkan desainfaktorial fraksional 2k-p dengan memiliki kemungkinan resolusi tebesar. Sebagai ilustrasi,

untuk desain 6-2IV2 , dimana yang menjadi generatornya adalah E = ABC dan F = BCD

menghasilkan desain resolusi IV, yang mana merupakan desain resolusi maksimum daridesain tersebut. Jika dipilih E = ABC dan F = ABCD, defining relation  lengkapnya

diperoleh I = ABCE = ABCDF=DEF, dan desain ini akan menjadi desain resolusi III,sehingga desain ini kurang tepat untuk digunakan karena terdapat resolusi yang lebih besar.

Terkadang, untuk memilih generator pada sebuah desain faktorial fraksional 2 k-p tidaklah mudah, walaupun dalam desain resolusi yang sama. Sebagai contoh, dalam tabel

di bawah ini terdapat tiga desain 7-2IV2  dengan generator berbeda, masing-masing desain

adalah resolusi IV, tetapi setiap desain memiliki struktur alias berbeda dengan asumsi bahwa interaksi interaksi yang memuat lebih dari dua faktor diabaikan, sehingga lebihditekankan pada interaksi dua faktor saja. Dari ketiga desain tersebut, desain C memiliki

 jumlah alias yang terkecil, sehingga desain C adalah pilihan terbaik untuk desain 7-2IV2 .

Desain A dengan generator:

F = ABC, G = BCDI = ABCF = BCDG =

ADFG

Desain B dengan generator:

F = ABC, G = ADEI = ABCF = ADEG =

BCDEFG

Desain C dengan generator:

F = ABCD, G = ABDEI = ABCDF = ABDEG =

CEFGAliasnya(interaksi dua

faktor):AB = CFAC = BFAD = FG

Aliasnya(interaksi duafaktor):

AB = CFAC = BFAD = EG

Aliasnya(interaksi duafaktor):

CE = FGCF = EGCG = EF

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 459/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

466

AG = DFBD = CGBG = CD

AF = BC = DG

AE = DGAF = BCAG = DE

Untuk desain A, setiap defining relation terdiri dari 4 huruf, pola dari panjangnyahuruf pada desain A dapat dinotasikan dengan {4, 4, 4}. Untuk desain B, polanya adalah{4, 4, 6}, sedangkan untuk desain C polanya adalah {4, 5, 5}. Perhatikan bahwa definingrelation  untuk desain C, yang mempunyai 4 huruf hanya satu buah sedangkan untukdesain yang lainnya terdiri dari dua atau tiga. Jadi, desain C memiliki jumlah palingsedikit dari desain lainnya dalam defining relation dengan panjang terkecil.

Desain C dinamakan dengan minimum aberration design  (desain dengan penyimpangan terkecil). Minimum aberration dalam desain resolusi R memastikan bahwadesain tersebut memiliki jumlah alias antara efek utama dan interaksi order R – 1 terkecil, jumlah alias antara interaksi dua faktor dan interaksi order R – 2 terkecil, dan demikian

seterusnya (Montgomery, 2003).

D.  STUDI KASUSData yang digunakan dalam studi kasus ini berupa data sekunder yaitu

 permasalahan suatu eksperimen yang bertujuan untuk mengetahui faktor-faktor mana sajayang mempengaruhi berat suatu zat setelah dilapisi lapisan karbon (Montgomery, 2003).Eksperimen tersebut melibatkan enam faktor dimana masing-masing faktor terdiri daridua taraf, yaitu: faktor A = perbandingan komposisi zat (pitch) (0.45, 0.55), faktor B = jenis zat (1, 2), faktor C = suhu zat (suhu lingkungan, 325oC), faktor D = lokasi keluaranasap (di dalam ruangan, di luar ruangan), faktor E = suhu lubang cetakan (suhulingkungan, 195oC), faktor F = waktu tunda sebelum pencetakan (0, 24 jam),sehingga desain faktorial yang dapat dibentuk adalah desain 26. Berat suatu zat setelahdilapisi lapisan karbon diukur dalam gram, dan eksperimen dilakukan sebanyak tiga kali

replikasi.Peneliti menduga hanya beberapa dari enam faktor tersebut yang paling berpengaruh, dan interaksi orde tinggi dapat diabaikan. Untuk memperkuat asumsi ini, peneliti memutuskan melakukan  screening experiments  untuk mengidentifikasi faktor-faktor yang paling berpengaruh dalam eksperimen dan kemudian melakukan studilanjutan terhadap permasalahan tersebut.

Untuk membentuk desain faktorial 26  ini, kombinasi perlakuan yang dapatdibentuk adalah sebanyak 64 kombinasi perlakuan, akan tetapi peneliti hanya bisamelakukan delapan eksperimen saja, dengan mempertimbangkan aspek waktu serta biayayang digunakan dalam eksperimen. Ini berarti eksperimen hanya bisa dilakukan denganseperdelapan replikasi dari 64 eksperimen yang seharusnya dilakukan untuk replikasi penuh. Karena desain berisi 26-3  = 8 kombinasi perlakuan, sehingga desain yangdigunakan disebut setengah fraksi dari desain 26 atau sering dinotasikan dengan desain

faktorial fraksional resolusi III yaitu 6-3III2 .

Akan tetapi, dalam menyelesaikan permasalahan desain faktorial fraksional diatas, dapat digunakan aplikasi web, sehingga dapat digunakan sebagai alat bantu perhitungan dan analisis yang lebih cepat dan mudah. Aplikasi web ini dapat diakses dialamat http://www.desain-faktorial-2k.tk .

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 460/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

467

Tampilan yang muncul berupa analisis dari desain faktorial fraksional 6-3III2 ,

seperti gambar berikut ini:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 461/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

468

E.  KESIMPULANSecara teoritis, dalam pembentukan desain faktorial fraksional terdapat beberapa

langkah yang dapat dilakukan, yaitu sebagai berikut:a.  Menentukan generator untuk desain faktorial fraksional 2 k-p. Pemilihan generator

untuk desain faktorial fraksional 2k-p ini didasarkan pada kemungkinan resolusi tebesardan juga minimum aberration, sehingga akan didapatkan desain optimumnya.

 b.  Menyusun desain dasarnya terlebih dahulu dari eksperimen yang dilakukan secara penuh dalam k p−  faktor dan kemudian diasosiasikan dengan  p  kolom tambahan.

c.  Menentukan taksiran efek dan jumlah kuadrat untuk setiap faktor.d.  Menyusunnya dalam tabel Anava, kemudian mengambil kesimpulan faktor mana saja

yang paling berpengaruh dalam eksperimen.Untuk menyelesaikan permasalahan desain faktorial fraksional 2k-p, dapat

digunakan aplikasi web sebagai alat bantu perhitungan dan analisis yang lebih cepat danmudah. Aplikasi web ini dapat diakses di alamat  http://www.desain-faktorial-2k.tk .

Dalam studi kasus, dibahas suatu eksperimen faktorial fraksional 6-3III2   yang bertujuan

untuk mengetahui faktor-faktor mana saja yang mempengaruhi berat suatu zat setelahdilapisi lapisan karbon. Berdasarkan data yang diperoleh dari tabel Anava, dapatdisimpulkan bahwa faktor A = pitch, faktor D = lokasi keluaran asap, dan faktor F =waktu tunda sebelum pencetakan, berpengaruh dalam eksperimen, sedangkan faktor B = jenis zat, faktor C = suhu zat, dan faktor E = suhu lubang cetakan, tidak berpengaruhdalam eksperimen, pada taraf signifikansi sebesar 5%α = .

DAFTAR PUSTAKABox, G. E. P., dan Hunter, J. S. (2000). The 2k-p  Fractional Factorial Designs Part I .

Technometrics. 42. (1), 28-47.

Montgomery, D. C. (2003).  Design and Analysis of Experiments Fifth Edition. New

York: John Wiley & Sons, Inc.

Renaldy Suteja, B. et al.  (2005).  Mudah dan Cepat Mengusai Pemrograman WEB.Bandung: Penerbit Informatika.

Sidik, B. (2004). Pemrograman WEB dengan PHP. Bandung: Penerbit Informatika.

Sudjana. (2002). Desain dan Analisis Eksperimen Edisi IV . Bandung: Penerbit Tarsito.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 462/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

469

Penerapan Prosedur LachenbruchPada Kasus Quadratic Di scrimi nant Analysis

Dewi RachmatinJurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI

[email protected] 

Kania SawitriTeknik Elektro ITENAS

[email protected] 

ABSTRAK

Hasil-hasil penelitian tentang  Linear Discriminant Analysis  ( LDA) maupunQuadratic Discriminant Analysis  (QDA) kebanyakan menggunakan metode  Apparent

 Error Rate  ( APER) dalam mengevaluasi aturan pengelompokkan dalam AnalisisDiskriminan. Metode  APER  ini mempunyai kelebihan yaitu mudah dihitung, tetapisayangnya cenderung menaksir terlalu rendah  Actual Error Rate  ( AER), kecuali jikaukuran sampel populasi-populasi yang akan dikelompokkan sangat besar. Oleh karena itu pada penelitian ini diterapkan suatu metode yang disebut Prosedur Lachenbruch, untukmengatasi hal tersebut. Pada prosedur ini sampel dibagi menjadi dua bagian yaitu sampelyang digunakan untuk membentuk aturan pengelompokkan (training sample) dan sampelyang digunakan untuk mengevaluasi hasil pengelompokkan (validating sample).

Prosedur Lachenbruch ini diterapkan pada data dua spesies lalat pengigit (biting fly) dengan genus  Leptoconos, yang sama secara morpologi dan selama beberapa tahunkedua spesies ini dianggap sama. Hasil analisis QDA terhadap data ini menunjukkan bahwa kedua spesies ternyata berbeda.

Setelah diterapkan prosedur Lachenbruch’s pada data biting fly, diperoleh hasil

sebagai berikut  APER  = 4/70 dan ˆ ( ) E AER = 10/70 (ekspektasi  Actual Error Rate).

Dapat dilihat bahwa nilai  APER  < ˆ( ) E AER   atau nilai  APER  menaksir terlalu rendah

 AER. Akan tetapi menurut Johnson (1982), kedua nilai  APER  dan )AER (ˆ E    ini tidak

akan jauh berbeda jika kedua ukuran sampel sangat besar. Walaupun demikian nilaiekspektasi AER sebesar 10/70 ini lebih realistis (Rencer, 2002).

Kata Kunci : Quadratic Discriminant Analysis (QDA), Prosedur Lachenbruch, Apparent Error Rate ( APER) dan Actual Error Rate ( AER).

1. PendahuluanAnalisis diskriminan adalah teknik multivariat yang berkenaan dengan pemisahan

kumpulan objek-objek yang berbeda dan mengalokasikan suatu objek yang baru ke dalamkelompok yang ada. Pengelompokkan objek-objek yang baru tersebut berdasarkan aturantertentu yang dibuat sebelumnya berdasarkan kumpulan objek-objek yang sudah ada.

Analisis diskriminan secara luas digunakan juga dalam berbagai bidang, seperti bidang kesehatan, ekonomi, psikologi, sosial dan lain-lain. Salah satu contoh penggunaananalisis diskriminan antara lain di bidang medis, misalnya seorang dokter dihadapkandengan pengambilan suatu keputusan yang sulit, antara mengambil keputusan melakukan pembedahan atau tidak melakukan pembedahan untuk penyakit tertentu seperti kanker.Pengelompokkan pasien (antara tindakan operasi atau tidak) hanya dibuat setelah

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 463/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

470

 penilaian-penilaian klinis terhadap fisik secara menyeluruh, dan doktermempertimbangkan hasil penilaian pra-operasi tersebut untuk melakukan tindakan yangtepat bagi pasiennya (MacLachan, 1992).

Pada penelitian yang telah dilakukan oleh penulis, analisis diskriminanditerapkan terhadap masalah yang terjadi di bidang biologi, yaitu dua spesies lalat penggigit (biting fly) dengan genus Leptoconos sama secara morpologi. Selama beberapatahun kedua spesies ini dianggap sama.

Hasil-hasil penelitian tentang  Linear Discriminant Analysis  ( LDA) maupunQuadratic Discriminant Analysis  (QDA) kebanyakan menggunakan metode  Apparent Error Rate  ( APER) dalam mengevaluasi aturan pengelompokkan dalam AnalisisDiskriminan. Metode  APER  ini mempunyai kelebihan yaitu mudah dihitung, tetapisayangnya cenderung menaksir terlalu rendah  Actual Error Rate  ( AER), kecuali jikaukuran sampel populasi-populasi yang akan dikelompokkan sangat besar. Oleh karenaitu, pada penelitian ini yang menjadi rumusan masalahnya adalah Bagaimana hasil penerapan prosedur Lachenbruch dengan metode AER pada data studi kasus biting

 fly dibandingkan dengan hasil metode APER?Tujuan Penelitian ini adalah membandingkan hasil penerapan prosedurLachenbruch dengan metode AER dengan metode APER.

Pengolahan data untuk analisis diskriminan yang dilakukan pada penelitian inimenggunakan software MINITAB versi 13 dan SPLUS 2000. Untuk pengelompokandengan metode  APER  dapat digunakan kedua software tersebut, tetapi untuk pengelompokan dengan menerapkan prosedur Lachenbruch (metode  AER) digunakansoftware SPLUS, dan hasil pengelompokan untuk kedua metode  APER  dan  AER dibandingkan.

2. Teori DasarAda beberapa kasus analisis diskriminan yang diketahui, di antaranya :

1.  Analisis Diskriminan Linier ( Linear Discriminant Analysis/LDA)

Analisis diskriminan linier digunakan jika data berdistribusi normal multivariatdan setiap kelompoknya memiliki matriks varians kovarians yang sama.2.  Analisis Diskriminan Kuadratik (Quadratic Discriminant Analysis/QDA)

Analisis diskriminan kuadratik digunakan jika data berdistribusi normalmultivariat tetapi matriks varians kovariansnya tidak sama dalam setiapkelompoknya.

3.  Analisis Diskriminan Fisher ( Fisher Discriminant Analysis/FDA)Analisis diskriminan Fisher digunakan jika data tidak berdistribusi normalmultivariat tetapi matriks varians kovariansnya sama dalam setiap kelompoknya.

4.  Analisis Diskriminan Nonparametrik ( Nonparametric Discriminant Analysis/NDA)Analisis diskriminan nonparametrik digunakan jika data tidak berdistribusinormal multivariat tidak sama dalam setiap kelompoknya.

Aturan pengelompokan yang akan diterapkan pada penelitian ini, diuraikansecara lengkap, baik untuk QDA  maupun untuk  LDA. Sedangkan untuk  FDA dan  NDA tidak akan dibahas oleh penulis. Perhatikan, uraian berikut mengenai penentuan aturan pengelompokkan yang diuraikan oleh Johnson (1982).

Misalkan ada sebuah data sampel multivariat, dari data tersebut akan dilihat

apakah ada pengelompokan atau tidak. Misalkan ( )xi f   adalah fungsi kepadatan peluang

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 464/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

471

yang berhubungan dengan populasi iπ ,  g i ,,2,1   L= . Jika distribusi data sampel

tersebut normal multivariat, maka ( )xi f    adalah fungsi kepadatan peluang untuk

distribusi normal multivariat dengan vektor mean i!  dan matriks kovarians i" , yakni

( )( )

( ) ( )

−−−=   −

iit 

i

i pi f  !x"!x

"x 1

212 2

1exp

2

1

π,  g i ,,2,1   L=   (2.1)

Misalkan i p  adalah peluang prior dari populasi iπ ,  g i ,,2,1   L=  dan ( )ik c  

adalah resiko salah mengelompokkan suatu data anggota populasi k π , padahal

kenyataannya data ini berasal dari iπ   untuk  g ik  ,,2,1,   L= . Misalkan k  R   adalah

himpunan semua x  yang dikelompokkan sebagai k π  dan

( ) ( )   ( )k 

k i i

 R

 P k i P f d π π= =

∫ x xmengelompokkan suatu data sebagai

 

untuk  g ik  ,,2,1,   L=  dengan ( ) ( )∑≠=

−= g 

i

i P ii P 

l

l

l

1

1 .

 Nilai harapan bersyarat dari salah mengelompokkan suatu data x  yang berasal dari 1π  ke

dalam 2π , atau 3π , ... , atau  g π  adalah

( )   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑=

=

+++= g 

c P 

 g c g  P c P c P 

2

11

11131312121

l

ll

LECM

 

(2.2)Dengan cara yang sama dapat diperoleh nilai harapan bersyarat dari salah

mengelompokkan ( ) ( ) g ECMECM ,,2   L . Kalikan setiap ECM bersyarat dengan

 peluang priornya dan dijumlahkan menghasilkan ECM total :( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )    

 

 

 

 

=

   

  

 ++

    

 

 

 

 

+   

  

 =

+++=

∑∑

∑∑

≠==

=

≠==

 g 

i

 g 

ii

 g 

 g 

 g  g 

 g 

ici P  p

 g c g  P  p

c P  pc P  p

 g  p p p

l

l

l

l

ll

ll

llL

llll

L

21

1

1

21

22

1

21

2211

21 ECMECMECMECM

  (2.3)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 465/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

472

Daerah pengelompokkan yang meminimumkan ECM total diperoleh dengan

mengalokasikan x   ke dalamk 

π , dengan ( ) ( )1

  | g 

i iii k 

 p f c k i=≠∑

x   yang terkecil

(Anderson, 1958). Andaikan resiko salah mengelompokkan sama (tanpa kehilangan perumuman dapat dimisalkan nilainya sama dengan 1), sehingga menggunakan hasil

tersebut, dapat dikelompokkan x  ke dalam populasi k π ,  g k  ,,2,1   L= , di mana

( )∑≠=

 g 

k ii

ii  f  p1

x   (2.4)

terkecil. Jadi persamaan (2.4) menjadi yang terkecil ketika suku ( )xk k   f  p   diabaikan,

( )xk k   f  p  ini yang terbesar. Akibatnya jika resiko salah pengelompokan nilainya sama,

resiko harapan minimum dari aturan salah pengelompokan mempunyai bentuk yang lebihsederhana, yaitu:Kelompokkan x  ke dalam k π ,

 jika ( ) ( )xx iik k   f  p f  p   >  untuk setiap k i ≠   (2.5)

atau ekuivalen dengan

Kelompokkan x  ke dalam k π  

 jika ( ) ( )xx iik k   f  p f  p lnln   >  untuk setiap k i ≠   (2.6)

Aturan tersebut mempunyai tiga komponen, yakni: peluang prior, resiko salah pengelompokan, dan fungsi kepadatan peluang. Ketiga komponen ini harus ditaksir ataudikhususkan sebelum aturan diterapkan.

Kasus khusus penting terjadi jika

( ) ( ) ( ) ( )  g i f  iit 

ii

 pi ,,2,1,2

1exp2

1 1212   L=

−−−=   − !x"!x"x π(2.7)

adalah fungsi kepadatan normal multivariat dengan vektor-vektor mean i!  dan matriks

kovarians i" . Lebih lanjut ( ) 0=iic , ( ) ik ik c   ≠= ,1   (atau secara ekuivalen,

harga salah pengelompokan semua sama), persamaan (2.6) menjadi:Jadi menurut aturan (2.6), jika

( )   ( )   ( ) ( ) ( )

( )x

!x"!x"x

iii

k k t 

k k  p

k k k 

 f  p

 p f  p

ln

ln2lnlnln 121

21

2

maks=

−−−−−=   −π  (2.8)

Konstanta ( )π2ln2

 p

  dapat diabaikan dalam persamaan (2.8) karena ini sama untuksemua populasi. Kemudian didefinisikan skor diskriminan kuadratik untuk populasi ke-imenjadi:

( ) ( ) ( )  g i pd  iiit 

iiQi ,,2,1lnln 1

21

21 L=+−−−−=   − !x"!x"x   (2.9)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 466/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

473

Skor kuadratik, ( )xQid  , tersusun dari kontribusi variansi i" , peluang prior i p , dan

 jarak kuadrat dari x   ke mean populasii

! . Menggunakan skor diskriminan aturan

 pengelompokan dari persamaan (2.8) menjadi sebagai berikut:

Kelompokkan x  ke k π  jika

Skor kuadratik ( ) ( ) ( ) ( )xxxx Q g 

QQQk  d d d d  ,,, 21   Ldariterbesar=   (2.10)

di mana ( )xQid   diberikan oleh persamaan (2.9),  g i ,,2,1   L= .

Dalam prakteknya, i!   dan i"   tidak diketahui, tetapi data sampel yang dicobakan

dikelompokkan secara benar tersedia untuk pengkonstruksian taksiran i!   dan i" ,

kuantitas sampel yang relevan untuk populasi iπ  adalah

ix  : vektor mean sampel

iS  : matriks kovarians sampel dan

in  : ukuran sampel

Taksiran dari skor diskriminan kuadratik ( )xQid   adalah

( ) ( ) ( ) iiit 

iiQi  pd  lnlnˆ 1

21

21 +−−−−=   − xxSxxSx   (2.11)

dan aturan pengelompokan didasarkan pada sampel adalah sebagai berikut:

Kelompokkan x  ke k π  jika

Skor kuadratik ( ) ( ) ( ) ( )xxxx Q g 

QQQk  d d d d  ˆ,,ˆ,ˆˆ

21   Ldariterbesar=   (2.12)

dimana ( )xQid   diberikan oleh persamaan (2.11),  g i ,,2,1   L= .

Penyederhanaan dimungkinkan jika matriks kovarians populasi, i" , adalah sama. Jika

""   =i , untuk  g i ,,2,1   L= , skor diskriminan pada persamaan (2.9) menjadi

( ) iiit ii

t ii

t Qi  pd  lnln 1

2111

21

21 +−+−−=   −−− !"!x"!x"x"x  

Dua suku pertama sama pada persamaan di atas dapat diabaikan untuk pengelompokan.

Sisanya terdiri dari konstanta iit iii  pc !"! 1

21ln   −−=   dan kombinasi linear dari

komponen-komponen . Definisikan skor diskriminan linear

( ) iiit ii

t ii  pd  ln1

211 +−=   −− !"!x"!x   (2.13)

sehingga diperoleh bentuk berikut untuk aturan pengelompokan.

Taksiran ( )xid    dari skor diskriminan linear ( )xid    didasarkan pada taksiran

matriks kovarians gabungan ( pooled estimate) dari Σ , yaitu

( ) ( )  g nnnnnn

 g 

 g  g  pooled  −+++ −++−+−=L

L

21

2211 111 SSSS   (2.14)

dan

( ) ii pooled t i pooled 

t ii  pd  lnˆ 1

211 +−=   −− xSxxSxx   (2.15)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 467/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

474

Akibatnya, diperoleh aturan sebagai berikut :

Kelompokkan x  ke k π  jikaSkor diskriminan linear ( ) ( ) ( ) ( )xxxx  g k  d d d d  ˆ,,ˆ,ˆdariterbesar ˆ

21   L=  (2.16)

di mana ( )xid ˆ  diberikan oleh persamaan (2.15),  g i ,,2,1   L= .

Aturan pengelompokan yang serupa untuk kasus matriks kokovarians populasisama dapat diperoleh dari persamaan (2.9) dengan mengabaikan suku konstanta,

"ln21− . Hasil yang diperoleh kemudian diinterpretasikan dalam jarak kuadrat x  

dengan vektor mean sampel ix , sebagai berikut:

( ) ( ) ( )xxSxxx   −−=   −12 pooled 

t i D   (2.17)

Sehingga aturan pengelompokan menjadi:

Tetapkan x  ke dalam populasii

π  untuk ( )ii

 p D ln2

2

1 +− x  terbesar. (2.18)

Dapat dilihat bahwa aturan ini menetapkan x   ke dalam populasi yang terdekat. Jika

 peluang prior tidak diketahui, prosedur yang biasa dimisalkan g  g  p p p 1

21   ====   L .

Suatu pengamatan kemudian dikelompokkan ke dalam populasi yang terdekat.Untuk mengelompokkan data sampel yang terdiri dari 2 populasi, fungsi

 pengelompokan sampel secara prinsip dievaluasi oleh nilai ” Actual Error Rate ( AER)”,

( ) ( ) xxxx d  f  pd  f  p R R∫ ∫    +=12

ˆ22

ˆ11AER    (2.19)

di mana 1ˆ R  dan 2

ˆ R  menyatakan masing-masing daerah pengelompokan yang ditentukan

oleh ukuran sampel 1n  dan 2n . Untuk kasus kedua matriks kovarians sama daerah 1ˆ R  

dan 2

ˆ R  adalah sebagai berikut:

( ) ( ) ( )  ( )

( )  

   

  

    

  

 ≥+−−   −−

1

221

1 pooled21

1 pooled211

12

21ln:ˆ

 p

 p

c

c R t t  xxSxx

2

1-xSxx  

( ) ( ) ( )  ( )

( )  

   

  

    

  

 <+−−   −−

1

221

1 pooled21

1 pooled212

12

21ln:ˆ

 p

 p

c

c R t t  xxSxx

2

1-xSxx  

atau

( ) ( )   ( )( )  

   

  

    

  

 ≥−−−   −−−−

1

2122

111

12

112

11 12

21lnk -:

 p

 p

c

c R t t t  x"!"!-x""x  

( ) ( )  ( )

( )  

   

  

    

  

 <−−−   −−−−

121221111211212 12

21lnk -:  p

 p

c

c R t t t  x"!"!-x""x  

(2.20)di mana

( )21

2211

1121

2

121 ln !"!!"!

"

" −− −−   

  

 = t t k    (2.21)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 468/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

475

Ada ukuran yang tidak bergantung pada distribusi populasi induk dan dapatdihitung untuk sebarang aturan pengelompokan. Ukuran ini disebut ” Apparent Error Rate(APER)”, yang didefinisikan sebagai proporsi anggota-anggota dalam sampel yangdiujicobakan yang salah dikelompokkan. Rumus APER untuk kasus dua populasi sebagai berikut:

21

21

nn

nn APER  M  M 

++=   (2.22)

di mana

 M n1  : jumlah anggota-anggota 1π  yang salah dikelompokkan sebagai anggota 2π  

 M n2  : jumlah anggota-anggota 2π  yang salah dikelompokkan sebagai anggota 1π .

Rumus ini dapat diperumum untuk g populasi.Kelebihan metode APER adalah mudah dihitung. Sayangnya, cenderung

menaksir terlalu rendah AER, kecuali jika ukuran sampel 1n  dan 2n  sangat besar. Pada

dasarnya, taksiran ini terjadi karena data digunakan untuk membangun fungsi pengelompokan juga digunakan untuk mengevaluasi itu, Johnson (1982) dan Rencer(2002).

Taksiran error-rate dapat dikonstruksi yang lebih baik daripada apparent-error ,tetap secara relatif mudah dihitung, dan tidak memerlukan asumsi distribusional. Satu prosedur untuk membagi sampel total ke dalam sampel yang diujicobakan dan sampelyang diujikan. Sampel yang diujicobakan digunakan untuk mengkonstruksi fungsi pengelompokan dan sampel yang diujikan digunakan untuk mengevaluasi.  Error-rate ditentukan oleh proporsi salah pengelompokan dalam sampel yang diujikan. Meskipunmetoda ini mengatasi masalah bias dengan penggunaan data yang berbeda untukmembangun dan menilai fungsi pengelompokan, jadi ada dua hal yang harusdiperhatikan: Johnson (1982) dan Rencer (2002).

(i)  Dibutuhkan sampel yang besar, yang mungkin tidak tersedia.

(ii)  Tidak dapat mengevaluasi fungsi pengelompokan, taksiran galat hanya berdasarkan pada ½sampel yang mungkin hasilnya bervariasi dibandingkan hasil yang diperoleh berdasarkan data keseluruhannya.

Jadi lebih baik menggunakan semua atau hampir semua data untukmengkonstruksi fungsi pengelompokan untuk meminimumkan variansi dari taksiran errorrate.

 Holdout method   adalah prosedur membagi sampel untuk mengatasi duakelemahan tersebut. Dalam prosedur  Holdout method   ini semua kecuali satu observasidigunakan untuk mengkonstruksi aturan pengelompokan/fungsi pengelompokan danaturan ini digunakan untuk mengelompokkan observasi yang dikecualikan. Prosedurinilah yang diterapkan oleh Lachenbruch’s. Prosedur Lachenbruch’s untuk LDA/QDAadalah sebagai berikut

1.  Mulai dengan grup yang pertama ( 1π ). Keluarkan 1 pengamatan dari 1π  dan bangun fungsi pengelompokan tanpa pengamatan ini, jadi semuanya hanya

11 −n , 2n  pengamatan.

2.  Kelompokkan pengamatan yang dikeluarkan tadi menggunakan LDA atauQDA.

3.  Ulangi langkah 1 dan 2 hingga semua pengamatan dari 1π  sudah dikeluarkan

semuanya.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 469/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

476

4.  Ulangi langkah 1 hingga 3 untuk 2π .

5.  Misalkan )(1 H  M n   adalah jumlah pengamatan 1π   yang salah dikelompokkan

dan )(2 H  M n  adalah jumlah pengamatan 2π  yang salah dikelompokkan.

Taksiran ( )12ˆ p   dan ( )21ˆ p   adalah peluang kondisional salah pengelompokan dalam

 persamaan () dan () kemudian diberikan oleh

( )1

)(112ˆn

n p

 H  M =  dan ( )

2

)(221ˆn

n p

 H  M =  

dan proporsi total salah pengelompokan ( )21)(

2)(

1 nnnn  H  M 

 H  M    ++   untuk sampel

sedang, taksiran yang hampir takbias dari ekspektasi error-rate  sebenarnya, dengan

21

)(2

)(1)AER (ˆ

nn

nn E 

 H  M 

 H  M 

+

+

=  (Johnson, 1982). ( ) AER E ˆ   ini mereduksi bias dari metode

APER (Rencer, 2002), yaitu dengan cara membagi sampel menjadi dua bagian yangdisebut terdahulu, yaitu sampel yang dicobakan (training sample) dan sampel yangdiujikan (validating sample).

3. Hasil Analisa Studi KasusSebelum diterapkan analisis diskriminan yang sesuai, terlebih dahulu dilakukan

estimasi pendahuluan berupa pengujian kenormalan data biting fly  dan pengujiankesamaan variansi kedua spesies.

Untuk pengujian kenormalan dilakukan dengan uji khi-kuadrat, dan diperoleh bahwa lebih dari 50% data nilai jarak malahanobisnya kurang dari khi-kuadrat tabel.Sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua populasi dari mana kedua spesies ini berasal

dapat dianggap berdistribusi normal (perhatikan plot jarak malahanobis terhadap nilaikhi-kuadrat tabel mendukung kesimpulan ini).

Chi Kuadrat Plot untuk Torrens

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

0.00 10.00 20.00 30.00

d(j)^2

   C   h   i   T  a   b  e   l

Series1

Chi Kuadrat Plot untuk Carte ri

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

0.00 10.00 20.00 30.00

d(j)^2

   C   h   i   T  a   b  e   l

Series1

 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 470/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

477

Selanjutnya diuji kesamaan variansi kedua populasi, dengan menguji hipotesis berikut :

H0 : 21 ""   =  melawan H1 : 21 ""   ≠ .Statistik uji untuk pengujian kesamaan variansi ini adalah uji rasio log likelihood.

Misalkan C adalah matriks kovarians gabungan dengank n

C  i

−= ∑S

, dan iS   adalah

matriks kovarians sampel dari populasi ke- i . H0  diuji menggunakan statistic rasio loglikelihood yang dimodifikasi :

Misalkan ( ) ( )∑   −−−= ii C nC k n M  ln1ln  dengan1−

=i

ii

nC 

S , dan

( )( )      

  

 −

−−−+

−+−=   ∑k nnk  p

 p ph

i

1

1

1

116

1321

2

.

Perkalian Mh adalah chi-kuadrat dengan derajat kebebasan p(p+1)(k-1)/2.

Jika semua ni sama, h direduksi menjadi( )

( )( )116

11321

2

−++−+−=

k  p

k  p ph . Jika nilai

khi-kuadrat pengamatan (Mh) lebih besar dari nilai kritis maka H0 ditolak.

Dari hasil perhitungan diperoleh Mh=64,54 lebih besar dari ( ) 34.4105.0228   =χ  

sehingga hipotesis nol matriks varians kovarians kedua populasi sama ditolak. Ini berarti benar terdapat perbedaan antara kedua spesies tersebut karena kedua matriks kovarianssampel kedua spesies berbeda.

Untuk menentukan aturan pengelompokan dan mengelompokkan objek-objekyang baru dari kedua spesies ini digunakan Quadratic Discriminant Analysis (QDA),karena kedua sampel spesies tersebut berdistribusi normal dan matriks kovarians sampelkeduanya berbeda.

Dengan aturan pengelompokkan (2.11) dan (2.12) diperoleh hasil untuk metodeAPER :

Tabel 3.1 Pengelompokan untuk Data Studi Kasus dengan Metoda APER

Grup AktualJumlah

PengamatanGrup Prediksi

1 2Torrens (1) 35 34 1Carteri (2) 35 3 32

Jadi kesalahan pengelompokan untuk metode APER adalah

70

4

3535

31

2121 =++=++= nn

nn APER  M  M   .

Setelah diterapkan prosedur Lachenbruch pada data biting fly, diperoleh nilaiharapan kesalahan pengelompokan dengan metode AER adalah sebagai berikut:

70

10

70

46)AER (ˆ

21

)(2

)(1 =+=

++

=nn

nn E 

 H  M 

 H  M   .

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 471/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

478

Tabel 3.2 Pengelompokan untuk Data Studi Kasus dengan Metoda AER

1π   2π  1π   29 6

2π   4 31

4. Kesimpulan dan Saran

Dari hasil analisa studi kasus, diperoleh hasil bahwa nilai APER < )AER (ˆ E   atau

nilai APER menaksir terlalu rendah AER. Akan tetapi menurut Johnson, kedua nilai

APER dan )AER (ˆ E    ini tidak akan jauh berbeda jika ukuran sampel kedua populasi

sangat besar. Walaupun demikian error rate  sebesar 10/70 ini lebih realistis (Rencer,2002). Penelitian ini hanya diterapkan pada salah satu kasus di bidang biologi, untuk

 bidang-bidang lainnya menjadi kajian penelitian penulis berikutnya, terutama di bidangmedis. Sehingga alangkah lebih baiknya jika penelitian ini dikembangkan oleh penulis pada bidang kajian lain, dan untuk kasus  NDA  akan menjadi kajian penulis yang berikutnya pula.

5. Daftar Pustaka

Anderson, T.W. (1958). “ An Introductions to Multivariate Statistical Methods”. NewYork: John Wiley.

ED231A. (1998). “  Hipothesis Testing: Equality of Population Covariance Matrices”.Online. Tersedia: http://www.gseis.ucla.edu/courses/ed231a1/notes3/covar.html.[11 Desember 2008].

Johnson, R.A. & Wichern, D.W. (1982). “ Applied Multivariate Statistical Analysis”. NewYork: Prentice-Hall.Inc.

McLachlan, G.J. (1992). “ Discriminant Analysis and Statistical Pattern Recognition”. New Jersey: John Wiley & Sons. Inc.

Rencher, A.C. (2002). “ Methods of Multivariate Analysis”. Second Edition. New Jersey:John Wiley & Sons. Inc.

Wikipedia.“ Leptoconops torrens”.Online.Tersedia:http://en.wikipedia.org/wiki/Leptoconops. [31 Oktober 2008].

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 472/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

479

PENDEKATAN MODEL PERSAMAAN STRUKTURAL UNTUK MENENTUKANPENGARUH BAURAN PROMOSI TERHADAP CITRA PERUSAHAAN DAN

KEPUASAN KONSUMEN DALAM KAITANNYA DENGAN LOYALITASPELANGGAN

Muji Gunarto1) dan Dian Cahyawati S.2) 1)e-mail: [email protected] 

2)e-mail: [email protected] 

ABSTRAK

Teknik analisis statistika yang sering digunakan untuk menganalisis hubunganantar variabel dependent   dan independent   adalah analisis regresi, yang hasilnyadinyatakan dalam satu model persamaan. Tetapi apabila hubungan antar variabel itumelibatkan variabel endogen dan eksogen, dan tidak hanya membentuk satu model

 persamaan, melainkan beberapa persamaan yang saling terkait yang membentuk persamaan berstruktur, maka diperlukan analisis untuk model persamaan struktural( structural equation models). Permasalahan seperti ini banyak ditemukan dalam bidang penelitian ekonomi khususnya manajemen, dimana variabel-variabelnya tidak dapatdiukur secara langsung atau yang disebut sebagai variabel laten. Tujuan penelitian iniadalah untuk membentuk model struktural yang menyatakan hubungan kausal darivariabel bauran promosi sebagai variabel eksogen dan citra perusahaan serta kepuasankonsumen sebagai variabel intervening   terhadap loyalitas pelanggan. Penelitian inidilakukan terhadap 206 konsumen minyak pelumas mobil di Kota Palembang denganteknik sampel area (area sampling design). Hasil penelitian menunjukkan bahwahubungan kausal yang terbentuk adalah: (1) Bauran promosi berpengaruh positif dansignifikan terhadap citra perusahaan, (2) Bauran promosi berpengaruh positif dansignifikan terhadap kepuasan konsumen, tetapi citra perusahaan tidak berpengaruh secara

signifikan terhadap kepuasan konsumen, dan (3) Bauran promosi, citra perusahaan, dankepuasan konsumen berpengaruh positif dan signifikan terhadap loyalitas pelanggan.Dalam hal ini citra perusahaan dan kepuasan konsumen merupakan variabel intervening   bagi bauran promosi. 

Kata Kunci: Model Persamaan Struktural, Variabel Endogen, Variabel Eksogen,Variabel Intervening  

PENDAHULUAN

Teknik analisis statistika yang sering digunakan untuk menganalisis hubungan antarvariabel dependent   dan independent   adalah analisis regresi, yang hasilnya dinyatakandalam satu model persamaan. Hubungan yang terjadi pada model persamaan regresi

menyatakan pengaruh satu arah dari variabel-variabel bebas terhadap variabel terikat, danantar variabel bebas tidak boleh terjadi korelasi atau saling hubungan.Seringkali hubungan yang terjadi dalam permasalahan nyata melibatkan beberapavariabel endogen dan eksogen, yang saling memiliki hubungan kausal. Hubungan kausalini membentuk persamaan struktural. Untuk membentuk model persamaan strukturaldiperlukan teknik dan analisis pemodelan khusus yaitu  structural equation models.Permasalahan seperti ini banyak ditemukan dalam bidang penelitian ekonomi khususnyamanajemen, dimana variabel-variabelnya tidak dapat diukur secara langsung atau yang

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 473/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

480

disebut sebagai variabel laten. Disamping itu antar variabel memiliki hubunganstruktural yang tidak bisa dianalisis secara langsung dengan analisis regresi. Dalam bidang pemasaran, kepuasan pelanggan bukan satu-satunya faktor terciptanya loyalitas pelanggan. Tingkat kepuasan yang tinggi belum tentu menghasilkan pembelian ulang dan peningkatan penjualan, hal ini sesuai dengan penemuan Griffin (2003). Mardalis (2005)menyatakan beberapa faktor yang mempengaruhi loyalitas pelanggan antara lain kualitas pelayanan, citra perusahaan, hambatan ( switching barrier) dan kepuasan pelanggan.Perilaku konsumen terhadap produk pelumas disamping terpengaruh karena promosi, juga karena citra perusahaan yang memproduksinya dianggap baik. Perasaan puas atautidaknya konsumen terjadi setelah mempunyai pengalaman dengan produk maupun perusahaan yang diawali adanya keputusan pembelian. Sehingga dapat disimpulkankeberadaan citra perusahaan yang baik penting sebagai sumber daya internal obyek dalammenentukan hubungannya dengan perusahaan.Penelitian tentang hubungan antara kepuasan konsumen dengan loyalitas pelanggan telah banyak dilakukan khususnya pada industri jasa (Gundlach dan Murphy (1993), Anderson

dan Weitz (1992), dan Wulf, et al. (2000)). Berbeda dengan kepuasan pelanggan yangsudah sangat terkenal dan dibuat modelnya oleh Zethaml et al . (1990), maka untukloyalitas pelanggan ini belum ada model yang dapat di terima secara luas. Sehubungandengan uraian di atas dan permasalah yang terdapat di perusahaan maka penelitian inidilakukan untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi loyalitas pelanggan diindustri pelumas mobil dan hubungan antara faktor-faktor dimaksud.Selain itu penelitian ini juga bertujuan untuk membentuk model struktural danmenganalisis hubungan kausal dari variabel eksogen (bauran promosi) dan variabelendogen (citra perusahaan serta kepuasan konsumen) terhadap loyalitas pelanggan.Sehingga berdasarkan model struktural yang terbentuk dapat diketahui faktor-faktor yangmempengaruhi loyalitas pelanggan.

MODEL PERSAMAAN STRUKTURAL (STRUKTURAL EQUATION MODELS )

Analisis data dilakukan untuk menyajikan hasil-hasil penelitian serta menguji hipotesis penelitian. Teknik analisis data statistik yang dapat digunakan adalah analisis deskriptifdan inferensial. Teknik analisis statistika lainnya yang dapat digunakan dalam penelitianadalah teknik pemodelan. Salah satunya pendekatan model persamaan struktural(Structural Equation Model – SEM ). SEM merupakan suatu teknik pemodelan statistikayang banyak digunakan secara luas dalam ilmu perilaku ( behavior science). SEM dapatditunjukan sebagai kombinasi dari analisis faktor, analisis regresi, dan analisis jalur (Hairet al., 2006).Pada umumnya, penelitian yang menggunakan SEM merupakan penelitian yang bertujuan untuk membuktikan dan menganalisis pengaruh variabel eksogen terhadapvariabel endogen. Pengaruh variabel-variabel tersebut sangat kompleks, karenamenyangkut beberapa variabel bebas, variabel antara dan variabel terikat, yang

kebanyakan tidak dapat diukur secara langsung. Variabel-variabel yang tidak dapatdiukur secara langsung merupakan variabel laten ( latent variable) yang dibentuk oleh beberapa indikator (observed variable).

Penggunaan SEM memungkinkan peneliti untuk menguji validitas dan reliabilitasinstrumen penelitian, mengkonfirmasi ketepatan model sekaligus menguji pengaruh atauhubungan kausal suatu variabel terhadap variabel lain. Menurut Joreskog dan Sorbomdalam Gunarto (2005), SEM dapat melakukan pengujian secara bersama-sama terhadap bentuk model struktural dan model measurement.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 474/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

481

Pengujian secara bersama-sama terhadap kedua model di atas, memungkinkan peneliti untuk menguji kesalahan pengukuran (measurement error) sebagai bagian yangtidak terpisahkan dari SEM dan melakukan analisis faktor bersamaan dengan pengujianhipotesis.

Langkah-langkah dalam analisis model persamaan struktural adalah sebagai berikut(Gunarto, 2005).1.  Membangun Model Berdasarkan Teori

Beberapa hal yang harus dilakukan saat merancang penelitian adalah mendefinisikanvariabel eksogen, endogen, intervening , dan error term (residual). Selain itu, perlu juga untuk menentukan arah hubungan (positif atau negatif) dari berbagaikemungkinan hubungan antar variabel-variabel eksogen dan hubungan antaravariabel eksogen dan variabel endogen.

2.  Membentuk Diagram Jalur (Path Diagram )Diagram jalur adalah sebuah gambar yang menampilkan hubungan dari berbagai

variabel. Misalkan )',...,,( 21 m y y y y =   adalah vektor variabel terikat dan)',...,,( 21 n x x x x = adalah vektor variabel bebas. Menurut Sharma (1996) matriks

model jalur dituliskan sebagai berikut: ξ+Β+Γ=  y x y  , dimana

Β  adalah matriks koefisien dari variabel y berukuran m x mΓ  adalah matriks koefisien dari variabel x berukuran m x n.

3.  Menterjemahkan Diagram Jalur ke dalam Persamaan.Terdapat dua kelompok model persamaan matematis yang harus dibuat, yaituStructural Model  dan Measurement Model .a)

 

Struktural ModelStruktural Model atau model struktural memiliki variabel independen danvariabel dependen. Variabel independen disimbolkan dengan ξ  (Ksi) sedangkan

variabel dependen disimbolkan dengan η  (eta). Panah yang menunjuk darivariabel independen ke variabel independen lain atau ke variabel dependendisimbolkan dengan γ   (gamma). Sedangkan panah dari variabel dependen kevariabel dependen lainnya diberi simbol dengan β  (Beta). Model persamaanstruktural dinotasikan dengan:

ζξηη   +Γ+Β=  

b) 

 Measurement Model. Measurement model  atau model pengukuran, Variabel-variabel terikat yang dapatdiukur langsung disebut variabel manifes. Sedangkan variabel yang tidak dapatdiukur langsung, melainkan perlu dibangun dengan variabel laten disebutvariabel indikator atau disebut variabel laten. Menurut Jonhson (1998), matriksmodel faktor dinyatakan dengan

εµ   ++=  F  L x  4.  Menentukan Matrik Input dan Mengestimasi Model

Matriks input yang digunakan adalah Matrik Korelasi atau Matriks Kovarians.

5.  Mengidentifikasi Model Struktural yang Dihasilkan.Pada saat estimasi, seringkali nilai yang dihasilkan tidak bermakna, atau tidak masukakal. Hal ini disebabkan karena program tidak dapat menghasilkan sebuah solusiyang unique. Satu hal yang harus dipenuhi adalah bahwa persamaan yang ada harus

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 475/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

482

lebih banyak dari parameter yang akan ditaksir. Semakin kompleks model yang akandiestimasi, tidak ada jaminan bahwa solusi yang unique akan diperoleh.

6.  Menguji Kecocokan Model.Terdapat empat langkah yang harus dilakukan dalam menguji kecocokan model,yaitu (Gunarto, 2005):

1)  Memperhatikan nilai taksiran yang rusak2)  Uji keseluruhan3)  Uji individual terhadap model pengukuran4)  Uji Individual terhadap model strukturalSecara keseluruhan  goodness of fit   dari suatu model dapat dinilai berdasarkan

 beberapa ukuran kecocokan berikut:a.

 

Chi-Square dan Probabilitas. Nilai chi square  ini hanya akan valid apabila asumsi normalitas dataterpenuhi dan ukuran sampel adalah besar (Hair et al ., 2006). Chi-square ini

merupakan ukuran mengenai buruknya kecocokan suatu model. Nilai chi-square yang tidak signifikan (lebih besar dari 0,05) menunjukkan bahwa dataempiris sesuai dengan model.

b.  Goodness of Fit Indices (GFI)GFI didefinisikan dengan:

( )( )[ ]2

21

ˆ

1ˆ1

S tr 

S tr GFI 

−Σ−−Σ−=

 

 Nilai GFI ini harus berkisar antara 0 dan 1, Joreskog and Sorbom dalamGunarto (2005). Nilai GFI diharapkan lebih besar dari 0,9 menunjukkan bahwa kecocokan model sudah baik.

c. 

 Adjusted Goodness of Fit Index (AGFI)AGFI diperoleh dari rumus (Sharma, 1996):

)1(2

)1)((1 GFI db

q pq p AGFI    −+++−=  

d. Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA)RMSEA ini mengukur penyimpangan nilai parameter pada suatu modeldengan matriks kovarians populasinya. Nilai RMSEA didefinisikan dengan :

dbn

db

dbn RMSEA

)1()1(

2

−−

−=   χ

 

 Nilai RMSEA diharapkan lebih kecil atau sama dengan 0,08 menunjukkan bahwa secara umum model sudah mewakili data yang sebenarnya (Sharma,1996).

d.   Root Mean Square Residual (RMR) 

( )

2/)1)((

ˆ1 1

2

+++

−=

∑∑+

= =

q pq p

 RMR

q p

i

i

 jijij   σ

 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 476/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

483

METODE PENELITIANMetode penelitian yang digunakan adalah metode survey yaitu mengambil sampel

dari populasi dengan menggunakan kuesioner dan observasi sebagai alat pengumpulandata utamanya.Instrumen Penelitian

Instrumen penelitian berupa kuesioner, yang berisi daftar pertanyaan yang diajukankepada responden mengenai pengaruh bauran promosi, citra perusahaan, kepuasankonsumen dan loyalitas pelanggan minyak pelumas di Kota Palembang.Populasi dan Sampel Penelitian

Populasi penelitian ini adalah konsumen pengguna mobil pribadi yang menggunakansatu merk minyak pelumas mobil dan telah melakukan pembelian lebih dari tiga kali.Teknik pengambilan sampel yang digunakan adalah teknik pengambilan sampel area(area sampling design) yaitu bentuk pengambilan sampel klaster dalam suatu area.Jumlah sampel yang dianalisis sebanyak 206 responden.Definisi Operasional Variabel

Penelitian ini mengamati satu variabel eksogen yaitu bauran promosi (BPROMOSI)dan tiga variabel endogen yaitu citra perusahaan (CITRAP), kepuasan konsumen(KEPUASAN) dan loyalitas pelanggan (LOYAL). Definisi operasional variabel danindikator-indikatornya terlihat seperti pada Tabel 1.

Tabel 1. Definisi Operasional VariabelNo. Variabel Definisi Konsep Indikator Skala1 Bauran

Promosi(BPROMOSI)

Aktivitas yangmenkomunikasikankegunaan dari produkdan membujukkonsumen yang ditujuuntuk membelinya.Bauran promosi terdiri

atas lima komunikasiutama yaituadvertising ,  personal selling ,  sales promotion  dan publicity.

2)  Media iklan yangdigunakan.

3)  Ketepatan mediaiklan yangdigunakan.

4)  Penjualan dengantenaga sales.

5)  Adanya undian berhadiah, diskon,sampel produk, ataucoba gratis bagilangganan.

6)  Menjadi sponsorkegiatan.

Ordinal

Ordinal

Ordinal

Ordinal

Ordinal

2 CitraPerusahaan(CITRAP)

Kesan atau perasaankonsumen terhadap perusahaan produksiminyak pelumasmobil.

1)  Adanya tangung jawab sosial perusahaan

2)  kesan terhadapreputasi perusahaan

3)  Kesan terhadap nilai

 perusahaan4)  Kesan terhadap

identitas perusahaanseperti logo, warna,dan slogan.

Ordinal

Ordinal

Ordinal

Ordinal

3 KepuasanKonsumen(KEPUASAN)

Perasaan senang ataukecewa seseorangsetelah

1)  Kualitas produk2)  Hubungan nilai

dengan harga.

OrdinalOrdinal

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 477/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

484

membandingkankinerja ( performance) produk dengan apayang diharapkan(expectation) 

3)  Bentuk produk.4)  Jaminan pelayanan.5)  Respon dan cara

 penyelesaianmasalah.

6)  Pengalaman dengankaryawan.

7)  Kemudahanmendapatkan produk.

OrdinalOrdinalOrdinal

Ordinal

Ordinal

4 Loyalitas pelanggan(LOYAL)

Membeli kembali produk atau jasa yangsama pada waktu yangakan datang ketikakonsumen merasakan

kepuasan saatmengkonsumsi produkmaupun jasa tersebut.

1)  Akan membeli produk lagi di lainwaktu.

2)  Menggunakan produk ini setiap

saat.3)  Memberikanrekomendasi kepada pelanggan lain.

Ordinal

Ordinal

Ordinal

Analisis DataAnalisis data mulai dari uji validitas dan reliabilitas instrumen, deskripsi dan

eksplorasi, dan pemodelan SEM menggunakan alat bantu software Excell, SPSS danLISREL. Model struktur yang dianalisis digambarkan sebagai berikut.

Gambar 1. Struktur Model Penelitian

ξ1 

η1 

η2 

η3 γ 11 

β21 

β31 

β32 

X1

X2

X5

X4

X3

λ11 

λ21 

λ31 

λ41 

λ51 

δ1 

δ2 

δ3 

δ4 

δ5 

Y1 Y2 Y3 Y4

ε1  ε2  ε3  ε4 

Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11

Y12

Y13

Y14

ε12 

ε13 

ε14 

ε5  ε6   ε7   ε8  ε8  ε10  ε11 

λ11  λ21  λ31  λ41 

λ52  λ62  λ72  λ82  λ92  λ102  λ112 

λ123 

λ133 λ143 

γ 31 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 478/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

485

HASIL DAN PEMBAHASANHasil Uji Coba Instrumen Penelitian

Uji coba kuesioner dilakukan terhadap 20 orang responden yang dipilih secara acak pada konsumen minyak pelumas mobil di beberapa bengkel yang ada di InderalayaKabupaten Ogan Ilir. Secara keseluruhan, hasil pengujian menghasilkan validitas danreliabilitas yang signifikan, yaitu berdasarkan kriteria korelasi Pearson dan alfa Cronbach.Dengan demikian seluruhpertanyaan pada kuesioner dapat dipergunakan sebagaiinstrumen penelitian.

Deskripsi DataData sampel yang dianalisis, ditampilkan pada Tabel 2.

Tabel 2. Jumlah Sampel pada Masing-Masing WilayahNo. Wilayah Jumlah Sampel1 Daerah Kenten 462 Kol. H. Burlian (Kilometer) 52

3 Seberang Ulu (Kertapati – Plaju) 714 Jenderal Sudirman 37Total 206

Beberapa karakteristik responden yang menjadi sampel dapat dideskripsikan padaTabel 3 berikut.

Tabel 3. Deskripsi Karakteristik Responden

No Karakteristik KlasifikasiJumlah(Orang)

Persentase(%)

1. Jenis Kelamin Laki-Laki 192 93,2Perempuan 14 6,8

2. Umur Kurang dari 20 tahun 19 9.221 – 30 tahun 56 27.2

31 – 40 tahun 49 23.841 – 50 tahun 65 31.6Diatas 50 tahun 17 8.3

3. Tingkat Pendidikan SD 4 1.9SLTP 12 5.8SLTA 106 51.5Sarjana Muda 25 12.1Sarjana 56 27.2Pascasarjana (S2 danS3)

3 1.5

4. Pekerjaan Buruh/tukang/petani 24 11.7Pedagang/wiraswasta 60 29.1Pegawai Negeri Sipil 49 23.8

Pegawai Swasta 37 18.0TNI/Polri 16 7.8Lainnya 20 9.7

5. Merk Mobil Toyota 29 14.1Suzuki 39 18.9Honda 32 15.5Daihatsu 31 15.0Isuzu 39 18.9

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 479/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

486

Lainnya 36 17.56. Merk Pelumas Prima XP 106 51.5

Top1 12 5.8Castrol GTX 37 18.0Mesran Super 28 13.6Fastron 4 1.9Elf 4 1.9Lainnya 15 7.3

7. Rata-rata Pendapatan per bulan (Rp)

< 1 juta 10 4.91-3 juta 86 41.73-5 juta 102 49.5> 5 juta 8 3.9

8. Ganti Minyak Pelumas 0 Kali 157 76.21 Kali 49 23.8

Berdasarkan Tabel 3. di atas dapat diketahui beberapa karakteristik responden yang

diamati pada penelitian ini. Hal yang paling menarik dan berkaitan dengan loyalitas pelanggan dapat dilihat dari karakteristik merek pelumas yang digunakan dan berapa kaliganti minyak pelumas. Dilihat dari merek minyak pelumas, sebagian besar responden (52 persen) menggunakan pelumas Prima XP. Hal ini menunjukkan bahwa pelumas dariPertamina masih memimpin pasar dibandingkan merek pelumas lain.

Berdasarkan merek minyak pelumas dan banyaknya ganti oli, menunjukkan bahwaresponden memiliki tingkat loyalitas yang tinggi terhadap merek minyak pelumas mobilyang digunakan. Kondisi ini menggambarkan bahwa perlu usaha yang keras dari suatu produsen untuk mengubah pilihan konsumen dalam menggunakan minyak pelumasdengan strategi bauran promosi yang efektif, citra perusahaan yang baik dan menciptakankepuasan konsumen. Dengan demikian diharapkan loyalitas pelanggan dapat tercapai.Hasil Analisis Struktu ral Equation Models (SEM )

Menggunakan bantuan paket program Lisrel 8.50 diperoleh diagram hasil analisis

SEM seperti pada Gambar 2 berikut.

Gambar 2. Diagram Hubungan Antar Variabel dan Nilai-nilai Parameternya

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 480/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

487

Gambar 2. menunjukkan hubungan secara langsung dan tidak langsung antaraindikator terhadap masing-masing variabel laten dan hubungan antara variabel eksogendengan variabel endogen, maupun antara variabel endogen dengan variabel endogen. Satuvariabel eksogen, yaitu Bauran Promosi (BPROMOSI) dan tiga variabel endogen, yaituCitra Perusahaan (CITRAP), Kepuasan Konsumen (KEPUASAN) dan LoyalitasPelanggan (LOYAL).

Ringkasan hasil-hasil pendugaan parameter dengan analisis SEM dapat dilihat padaTabel 4.

Tabel 4. Ringkasan Hasil Analisis SEM

HubunganPengaruh

TotalStandar Error t-Hitung (>1,96) R 2 

BP-CP 0.91 0.09 9.87* 0.83BP-KK 0.70 0.12 5.86*

0.49CP-KK 0.71 0.37 1.89BP-LP 0.73 0.09 8.13*

0.53CP-LP 0.75 0.36 2.10*KK-LP 0.81 0.17 4.80*Berdasarkan Tabel 4 di atas diperoleh model persamaan strukturalnya adalah sebagai

 berikut.CITRAP = 0,91 BPROMOSI (R 2 = 0,83)KEPUASAN = 0,06 BPROMOSI + 0,71 CITRAP (R 2= 0,49)LOYALITAS = 0,00 BPROMOSI + 0,17 CITRAP + 0.81 KEPUASAN (R 2=0,53)

Pengujian terhadap model persamaan struktural di atas ditampilkan pada Tabel 5 berikut.

Tabel 5. Hasil Pengujian terhadap Model SEM Goodness of Fit Statsitics Nilai Statistik Keterangan

Chi-Square

Degrees of FreedomRoot Mean Square Error of Approximation(RMSEA)Goodness of Fit Index (GFI)Adjusted Goodness of Fit Index (AGFI)Root Mean Square Residual (RMR)

= 1045.08

= 146

= 0.06= 0.86= 0.85= 0.16

BaikBaikBaikCukup

Tabel 5. menunjukkan kriteria hasil pengujian model. Secara umum, daperoleh bahwa model yang dihasilkan sudah cukup baik.

Berdasarkan Tabel 4 dan Tabel 5, maka model persamaan struktural dapat dijelaskan:1. Bauran promosi berpengaruh positif dan signifikan terhadap citra perusahaan.

artinya jika bauran promosi dapat dilakukan secara efektif, maka citra perusahaanakan semakin baik. Model ini menunjukkan bahwa 83% variasi citra perusahaan

dipengaruhi oleh bauran promosi.2. Bauran promosi berpengaruh positif dan signifikan terhadap kepuasan konsumen,

tetapi citra perusahaan tidak berpengaruh secara signifikan terhadap kepuasankonsumen. Hal ini berarti bahwa citra perusahaan bukan merupakan variabelintervening   bagi bauran promosi terhadap kepuasan konsumen. Model inimenunjukkan bahwa 49 persen variasi kepuasan konsumen dipengaruhi oleh bauran promosi dan citra perusahaan baik secara langsung maupun tidak langsung.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 481/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

488

3. Bauran promosi, citra perusahaan, dan kepuasan konsumen berpengaruh positifdan signifikan terhadap loyalitas pelanggan. Hasil dari pengujian ini menunjukkan bahwa citra perusahaan merupakan variabel intervening   dari variabel bauran promosi terhadap loyalitas pelanggan dan juga kepuasan konsumen jugamerupakan variabel intervening   antara bauran promosi terhadap loyalitas pelanggan. Model ini menunjukkan bahwa 53 persen loyalitas pelanggandipengaruhi oleh bauran promosi, citra perusahaan dan kepuasan konsumen baiksecara langsung maupun tidak langsung.

SIMPULAN DAN SARANSimpulan

Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan dapat disimpulkan sebagai berikut:1.  Loyalitas pelanggan dipengaruhi oleh bauran promosi, citra perusahaan dan

kepuasan konsumen, baik secara langsung maupun tidak langsung.2.  Bauran promosi berpengaruh langsung terhadap citra perusahaan dan kepuasan

konsumen, serta berpengaruh tidak langsung terhadap loyalitas pelanggan.Sedangkan citra perusahan dan kepuasan konsumen berpengaruh langsungterhadap loyalitas pelanggan. Hal ini menunjukkan bahwa variabel citra perusahaan dan kepuasan konsumen merupakan variabel intervening  bagi bauran promosi terhadap loyalitas pelanggan.

3.  Model persamaan strukturalnya adalah:CITRAP = 0,91 BPROMOSI (R 2 = 0,83)KEPUASAN = 0,06 BPROMOSI + 0,71 CITRAP (R 2= 0,49)LOYALITAS = 0,00 BPROMOSI + 0,17 CITRAP + 0.81 KEPUASAN(R 2=0,53)

Saran Berdasarkan temuan dan simpulan dalam penelitian ini, maka disarankan hal-hal

 berikut.1.  Bagi perusahaan minyak pelumas, untuk dapat meningkatkan loyalitas pelanggan perlu dilakukan bauran promosi yang efektif melalui tatap muka ( personal salling ), sehingga akan meningkatkan citra perusahaan dan meningkatkankepuasan konsumen yang pada akhirnya akan meningkatkan loyalitas pelanggan.

2.  Bagi peneliti yang akan datang disarankan untuk menggali faktor-faktor lain yang berpengaruh terhadap loyalitas pelanggan, karena masih ada 47 persen faktor lainyang tidak diteliti dalam penelitian ini.

DAFTAR PUSTAKAAnderson, E., and B. Weitz, 1992. ”The Use of Pledges to Build and sustain Commitment

in Distribution Channels,” Journal of Marketing Research, Vol.XXIX (February), 18-34.

Griffin, J. 2003. Customer Loyalty : Menumbuhkan & Mempertahankan Kesetiaan Pelanggan, Alih Bahasa: Dr. Dwei Kartini Yahya, Penerbit Erlangga, Jakarta.

Gunarto, Muji, 2003. “Analisis Korelasi (Correlation Analysis)”,http://asia.geocities.com/mc_cendekia/analisis_korelasi.pdf .

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 482/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

489

 _________, 2004.  Analisis Statistika dengan Aplikasi Program SPSS , Mc CendekiaResearch and Statistics Consulting, Bandung.

 _________, 2005. “Membangun Model Persamaan Struktural (SEM) dengan LISREL8.30”, http://asia.geocities.com/mc_cendekia/Model_SEM.pdf .

Hair, J. F., R. E. Anderson, R. L. Tatham, and W. C. Black. 2006.  Multivariate Data Analysis, Prentice-Hall International, Inc., London.

Mardalis, Ahmad. 2005. “Meraih Loyalitas Pelanggan”,  Jurnal Bisnis dan Manajemen Universitas Muhamadiah solo (Benefit), Vol 9, No 2, 111-118.

Puspowarsito, HAH., 2008.  Metode Penelitian Organisasi dengan Aplikasi ProgramSPSS , Penerbit Humaniora, Bandung.

Sekaran, Uma. 2006. Research Methods For Business, John Wiley & Sons, Inc.

Sutisna. 2001.  Perilaku Konsumen dan Komunikasi Pemasaran. Penerbit PT RemajaRosdakarya. Bandung.

Swastha, Basu, 2000.  Manajemen Pemasaran: Analisa Perilaku Konsumen, BPFEYogyakarta.

Tjiptono, Fandy, 2000. Strategi Pemasaran, Penerbit ANDI, Yogyakarta.

Wulf, K. d., G. O. Schroder, and D. Iacobucci. 2001. ”Investment in Consumerrelationships: A Cross-Country and Cross-Industry Exploration,”  Journal of Marketing, Vol.65, October, 33-50.

Zeithaml, V., Parasuraman, and Berry, I. 1990,  Delivery Quality Service, BalancingCustomer Perception and Expectation, the Free Press, New York.

Lampiran : Sintaks yang digunakan dalam Bahasa LISREL

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 483/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

490

SELEKSI SUB MODEL PADA REGRESI FUZZY SIMETRIS

Iqbal KharisudinJurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang

Email: [email protected] 

Abstrak

Dalam model regresi fuzzy dengan variabel dependen fuzzy simetris dan variabelindependen tegas diperlukan suatu kriteria pemilihan variabel independen yangmenghasilkan model terbaik. Pada makalah ini dikaji suatu kriteria pemilihan sub modelterbaik dengan menggunakan koefisien determinasi dan nilai adjusted -nya. Selain itudibangun kriteria indeks Mallows dalam domain fuzzy. Selanjutnya diberikan contohsimulasi data yang menggambarkan penggunaan kriteria tersebut.

Kata kunci: data fuzzy, koefisien determinasi, indeks Mallows.

Pendahuluan

Penelitian tentang hubungan di antara fenomena-fenomena real merupakan dasar daritujuan sains dan memainkan peranan penting dalam pengambilan keputusan di dalamkehidupan sehari-hari. Dalam hal ini analisis regresi statistik merupakan salah satu alatyang  powerful   untuk menjelaskan hubungan tersebut. Salah satu pertimbangan pentingdalam model regresi parametrik adalah berkaitan dengan pemilihan matriks desain .

Misalkan dipunyai observasi variabel independen kuantitatif sebanyak k   dengan n unit statistik. Model regresi linear dinyatakan dengan matriks desain , dengan

 baris generik dinyatakan dengan

Vektor desain di atas dapat dimodifikasi dengan beberapa cara, di antaranya: denganmenambahkan suku tak linear, dengan mengurangi banyaknya suku (mengeliminasi efekdari beberapa variabel), dengan memperkenalkan beberapa kelas fungsi yang lebihumum, dan sebagainya. Tentu saja untuk setiap modifikasi tersebut menghasilkan vektorkoefisien regresi yang berbeda-beda. Selanjutnya didefinisikan model parametrik yangsesuai, misalkan M, kemudian akan dicari satu model “terbaik” berdasarkan suatu kriteriatertentu. Dalam analisis regresi klasik, indeks yang digunakan untuk membandingkandekomposisi dari total jumlah kuadrat variabel dependen tegas adalah koefisiendeterminasi atau nilai adjusted -nya.

Dalam konteks regresi fuzzy dengan variabel dependen fuzzy, dibangun indeksdan nilai adjusted -nya berdasarkan dekomposisi dari total jumlah kuadrat variabeldependen fuzzy. Makalah Kharisudin [13] mengakaji penerapan kriteria pemilihan modelterbaik dengan menggunakan koefisien determinasi dan nilai adjusted -nya. Berdasarkan

metode tersebut kadang masih ditemukan perbedaan penilaian, terutama bila diperolehnilai adjusted   yang hampir sama. Dalam makalah ini dibahas suatu kriteria lain yangdapat dijadikan pertimbangan, yaitu yang disebut indeks Mallows. Kolaborasi keduanyadiharapkan dapat digunakan untuk menentukan sub model terbaik atau pemilihan variabeldependen dalam analisi regresi fuzzy simetris.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 484/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

491

1. Motivasi Regresi dalam Konsep FuzzyKonsep ketidakpastian dalam konteks analisis regresi telah ditangani dengan sangat

memuaskan melalui metode-metode model linear biasa. Namun demikian ketidakpastian berkaitan dengan observasi data belum dipertimbangkan. Data yang digunakan dalam pendekatan regresi biasa merupakan data tegas (crisp), sehingga apabila data yangdianalisis adalah data atau variabel fuzzy maka metode tersebut belum dapatmenyelesaikan permasalahan regresi.

Dalam domain data fuzzy, terdapat suatu model regresi dengan variabel dependenfuzzy dan variabel independen tegas. Model ini dikemukakan oleh D'Urso dan Gastaldi[5], [6]. Beberapa pengembangannya dapat dilihat pada Coppi dan D'Urso [1], D'Urso[4], D'Urso dan Giordani [7,8], Coppi dkk. [2], D'Urso dan Santoro [10,9]. Metode yangdigunakan untuk menemukan model linear adalah meminimalkan fungsi jarak fuzzyantara variabel terobservasi dan variabel output yang didefinisikan dalam suatu ruangmetrik tertentu. Beberapa sifat dari model ini dibahas dalam Kharisudin dan Subanar[14], Kharisudin [11]. Solusi dari model ini merupakan generalisasi dari model regresi

linear biasa (Kharisudin [12]).1.1. Bilangan dan Data Fuzzy.  Bentuk khusus dari representasi bilangan fuzzy yangdapat meningkatkan efisiensi komputasional adalah bilangan fuzzy tipe LR. Bilanganfuzzy tipe LR paling banyak dan mudah digunakan untuk mendeskripsikan data.Definisi 1.1.1.  (Zimmermann [16]). Misalkan L (dan R) adalah fungsi berbentuk turundari ke dengan ; untuk setiap ; untuk setiap

; atau ( untuk setiap dan ). disebut bilanganfuzzy jika untuk dalam , fungsi keanggotaan didefinisikan

dengan disebut nilai mean dari dan dan masing-masing disebut tepi ( spread ) kiridan tepi kanan. Bilangan fuzzy dinyatakan dengan

Untuk merepresentasikan ketidakpastian dalam permasalahan kehidupan diperlukandata fuzzy. Pada dasarnya kita semua sering menggunakan data fuzzy, aturan samar, danketidaktepatan informasi untuk mengambil keputusan dalam situasi yang tidak menentu.Oleh karena itu model-model komputasional dari sistem real perlu juga bisa mengenali,merepresentasikan, memanipulasi, menginterpretasikan, dan menggunakan ketidakpastian(Bezdek (1993) dalam Coppi dkk. [3]). Kelas umum dari data fuzzy dinyatakan dengan(selanjutnya disebut dengan) data fuzzy LR. Data fuzzy LR dapat dinyatakan denganmatriks data fuzzy.Definisi 1.1.2.  (Coppi dkk. [3]). Matriks data fuzzy LR 2  ( unit observasi variabel( fuzzy)) didefinisikan sebagai

dengan

menyatakan variabel fuzzy terobservasi LR 2  ke- j  pada unit

observasi ke-i, dan masing-masing menyatakan "pusat" kiri dan

kanan, serta dan masingmasing menyatakan tepi kiri dan kanan, dengan fungsi

keanggotaan dinyatakan sebagai:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 485/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

492

dengan L (dan R) adalah fungsi berbentuk turun dari ke dengan ;untuk setiap ; untuk setiap ;

(atau untuk setiap dan ).

Bilangan fuzzy berisi

interval yang bergerak dari ke dan fungsi keanggotaan memberikan

 bobot-bobot yang berbeda terhadap masing-masing tepi kiri dan tepi kanan di sebelah kiridan kanan dari pusat. Jika , maka diperoleh bilangan fuzzy LR 1, dinotasikan

dengan , dengan menyatakan pusat, dan diperoleh matriks data

fuzzy LR 1  . Selanjutnya jika

, maka diperoleh bilangan fuzzy simetris LL1, dinotasikan dengan

, dan diperoleh matriks data fuzzy LL1  simetris

.

1.2. Jarak dan Ruang Metrik Fuzzy. Definisi 1.2.1.  (Yang dan Ko [15]). Misalkan menyatakan himpunan semua bilangan fuzzy simetris. Misalkan dan adalah

 bilangan fuzzy di dalam Jarak antara dua bilangan fuzzy dandidefinisikan dengan

dengan dan .

 Nilai dan menyatakan pengaruh bentuk dari fungsi keanggotaan terhadap jarakantara dua bilangan fuzzy. Nilai dan memiliki peran ganda, yaitu berhubungandengan variabilitas fungsi keanggotaan dan menurunkan penekanan pada tepi, karena pada kenyataannya bobot pusat lebih besar daripada bobot tepi. Selanjutnya pada definisi1.2.1, jika kedua bilangan adalah bilangan fuzzy simetris ( , , dan

), maka diperoleh jarak antara dua bilangan fuzzy simetris dan

, yaitu:

2. Regresi Fuzzy dengan Variabel Dependen Fuzzy SimetrisIde dasar analisis regresi fuzzy yang dikembangkan adalah memodelkan pusat

(center ) dari variabel dependen fuzzy simetris dengan mengadopsi model regresi klasik,selanjutnya secara simultan memodelkan tepi variabel dependen fuzzy melalui regresilinear sederhana. Hubungan antara (variabel dependen fuzzy simetris) dengan(variabel independen tegas) dinyatakan dengan model ([10],[5]):

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 486/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

493

dengan dan (2.0.1)

dengan adalah vektor 1-an berukuran , matriks berukuran berisi vektor dan variabel input ; , masing-masing adalah vektor pusatterobservasi dan vektor pusat interpolasi berukuran ; , masing-masing adalahvektor tepi terobservasi dan vektor tepi interpolasi berukuran ; vektorkoefisien/parameter regresi untuk berukuran ; b  dan d  koefisien/parameter regresi untuk model tepi; serta , adalah vektor error.2.1. Solusi Model.  Berdasarkan kriteria kuadrat terkecil, parameter dari model (2.0.1)diestimasi dengan meminimalkan kuadrat jarak antara variabel dependen terobservasidengan nilai teoritis yang berkorespondensi yang didefinisikan melalui model (2.0.1),sehingga diperoleh solusi model sebagai berikut.

(2.1.1)(2.1.2)(2.1.3)

Solusi iteratif dari sistem persamaan di atas diperoleh dengan mengasumsikan bahwaX  mempunyai rank penuh. Prosedur optimisasi dengan menggunakan algoritma iteratif berdasarkan persamaan (2.1.1) - (2.1.3) tidak dijamin diperolehnya minimum global,hanya minimum lokal saja. Dengan demikian, sangat disarankan untuk menggunakanalgoitma iterasi dengan beberapa nilai awal untuk mengetahui stabilitas solusi ([10], [2]).Selanjutnya dapat dilihat bahwa pada kasus variabel dependen tegas (crisp) yaitudan maka estimasi yang termuat dalam (2.1.1) akan menghasilkan solusikuadrat terkecil biasa yaitu . Dengan demikian model dan solusi pada sistem

 persamaan di atas merupakan generalisasi dari model regresi linear klasik.2.2. Sifat Solusi Model. Solusi kuadrat terkecil iteratif (2.1.1) s.d. (2.1.3) dari model(2.0.1) mempunyai beberapa sifat penting (penjelasan dan bukti dapat dilihat pada [2],[10], [14], [12]). Berkaitan dengan model (2.0.1), selanjutnya estimasi kuadrat terkeciliteratif dari dan masing-masing dinyatakan dengan dan .Proposisi 2.2.1. Hubungan berikut berlaku:

(2.2.1)

yaitu residual tidak berkorelasi dengan estimasi pusat .Proposisi 2.2.2. Jumlahan (dan juga mean) dari n residual pusat  dan jumlahan(dan juga mean) dari n residual tepi  adalah nol, yaitu

dan (2.2.2)

Proposisi 2.2.3. Hubungan berikut berlaku:

(2.2.3)

yaitu residual tidak berkorelasi dengan estimasi tepi .

3. Koefisien Determinasi dan Indeks MallowsDalam analisis regresi klasik, indeks yang digunakan untuk membandingkan

dekomposisi dari total jumlah kuadrat variabel dependen tegas adalah koefisiendeterminasi atau nilai adjusted -nya. Dalam konteks regresi fuzzy dengan variabel

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 487/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

494

dependen fuzzy, dibangun indeks berdasarkan dekomposisi dari total jumlah kuadratvariabel dependen fuzzy.

3.1. Dekomposisi Jumlah Kuadrat Variabel Dependen. Definisi 3.1.1. Jumlah Kuadrat Total ( ) dari variabel dependen fuzzy didefinisikan

dengan  adalah nilai rata-rata dari observasi pusat   dan  adalah rata-rata dariobservasi tepi .Definisi 3.1.2. Jumlah Kuadrat Regresi  ( ) yaitu variasi yang dihitung oleh model,didefinisikan dengan

dengan  adalah nilai rata-rata dari observasi pusat   dan  adalah rata-rata dariobservasi tepi .Definisi 3.1.3. Jumlah Kuadrat Error ( ) yaitu variasi yang tidak dihitung oleh model,

didefinisikan dengan

Proposisi 3.1.4. Jumlah Kuadrat Total (JKT) sama dengan Jumlah Kuadrat Regresi(JKR) ditambah Jumlah Kuadrat Error (JKE), yaitu

(3.1.1)

Bukti sifat ini dapat dilihat pada Kharisudin [13].3.2. Koefisien Determinasi. Berdasarkan dekomposisi di atas, dapat dibangun suatuukuran atau indeks goodness of fit  dari model regresi fuzzy.Definisi 3.2.1 (Koefisien Determinasi ). Koefisien determinasi model (2.0.1)didefinisikan dengan

Definisi di atas menyatakan rasio antara variasi dari variabel dependen fuzzy simetrisyang dihitung oleh model regresi dengan total variasi dari variabel dependen fuzzysimetris. Berdasarkan proposisi 3.1.4, dapat dilihat bahwa nilai berkisar pada interval[0,1]. apabila model tidak menjelaskan apapun dari variabilitas variabel dependenfuzzy. menyatakan kasus sempurna, dalam arti bahwa model menginterpolasiseluruh observasi secara sempurna, sehingga mewakili variabilitas dari variabeldependen fuzzy. Pada kenyataannya dua kejadian eksrim tersebut sangat jarang ditemuai pada penerapan nyata. Dengan demikian, sebagai konsekuensinya, model dikatakanmemuaskan apabila nilai koefisien determinasi mendekati satu .

Pada definisi 3.2.1, tidak dimasukkan banyaknya variabel independen (k ) dan banyaknya parameter dalam model (2.0.1). Selain alasan tersebut, karena adalahfungsi tak turun dari k , maka dengan menggunakan kriteria koefisien determinasi sajatidak mungkin mendapatkan model “terbaik” dalam kelas M. Oleh karena itu,didefinisikan koefisien determinasi adjusted .Definisi 3.2.2 (Koefisien Determinasi  Adjusted   ). Koefisien determinasi adjusted  dari

model (2.0.1) didefinisikan dengan 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 488/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

495

Indeks pada definisi 3.2.2 di atas berisi faktor penyesuaian yang didasarkan pada banyaknya parameter dalam model regresi. Nilai k   menyatakan banyaknya variabelindependen, menyatakan banyaknya parameter regresi dari model pusat, dan dua

 parameter dari model tepi. Berbeda dengan , nilai tidak selalu naik, jika

 bertambah. Dengan kata lain adalah fungsi yang tak monoton naik. Fungsi naik jika peningkatan variabilitas regresi lebih besar dari pada banyaknya variabel. Nilai

maksimum adalah 1 yang menggambarkan kasus sempurna, akan tetapi dapat pula bernilai negatif apabila model sangat buruk.3.3. Indeks Mallows. Dalam regresi fuzzy dapat diperluas ukuran fitting yang lain, yangdisebut indeks Mallows . Indeks ini mengukur (mean square error ) dalam

estimasi parameter regresi. Indeks dapat digunakan untuk mengevaluasi kandidat

variabel input dalam regresi, yaitu dapat digunakan untuk menentukan himpunan variabelinput yang “optimal”.Definisi 3.3.1. (Indeks ). Dalam domain fuzzy, indeks didefinisikan dengan

dengan dihitung dengan menggunakan semua variabel independen yang

mungkin dan dihitung berdasarkan model dengan variabel independen .

Berdasarkan definisi di atas, model dengan disebut “model terreduksi” dan

model dengan k variabel independen ( ) disebut “model penuh (maksimum)”. Nilaiyang semakin kecil menunjukkan fiiting  model yang semaik baik.

3.4. Kriteria Seleksi Sub Model. Kriteria seleksi model berdasarkan atau

dilakukan dengan menetapkan semua model yang mungkin, kemudian hasil yang ada dirangking untuk mempermudah identifikasi model “terbaik”. Pertama dievaluasi modelyang mungkin dengan banyaknya variabel independen untuk  p  = 1, 2, 3, dan

seterusnya. Selanjutnya nilai-nilai dan ditabulasi atau diplot. Nilai selalu naik

seiring bertambahnya variabel independen sedangkan suatu saat turun. Banyaknya

variabel independen yang optimal dipilih jika mulai bergerak mendatar atau

mencapai maksimum (Kharisudin [13]).

Selanjutnya seleksi sub model berdasarkan kriteria indeks Mallows . Seluruhmodel regresi yang mungkin diidentifikasi untuk = 1, 2, 3, dan seterusnya. Kemudiannilai ditabulasi dan hasilnya di plot dalam grafik. Kandidat model yang baik dipilih

 berdasarkan nilai yang minimum.

4. Studi pada Data Simulasi4.1. Contoh 1. Dilakukan simulasi dengan 6 variabel independen masing-masingsebanyak 30 unit sampel dan untuk setiap unit dibangkitkan variabel dependen fuzzy,

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 489/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

496

seperti dirangkum dalam tabel 1. Pada kasus ini, diasumsikan  slope  fungsi keanggotaandari variabel dependen fuzzy adalah fungsi keanggotaan segitiga simetris .

Berdasarkan tabel 1 diharapkan variabel dependen fuzzy hanya bergantung pada tigavariabel independen yang pertama, yaitu , , dan , sedangkan variabel independen

yang lain tidak relevan. Perhitungan dibuat dengan menggunakan program MATLAB.Untuk menentukan banyaknya variabel independen yang sesuai (signifikan),

diestimasi model regresi fuzzy untuk setiap nilai . Untuk setiap , diperhatikankombinasi yang mungkin dengan variabel independen dari 6 variabel independen. Padatabel 2 didaftar nilai-nilai minimum , nilai maksimum dan , dan nilai minimum

yang diperoleh untuk setiap model dengan variabel independen.

Tabel 1. Pembangkitan data simulasi contoh 1Variabelindependen

tegas

 Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [0,30] Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [30,55]

 Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [10,25] Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [25,50] Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [50,60] Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [0,350]Catatan v.r. : variabel random

Variabeldependenfuzzy

 Nilai pusat dan tepi dari variabel dependen fuzzy dibangkitkan dari:dan

dengan adalah matriks yang berisi dan variabelindependen tegas hasil simulasi; adalah vektorvariabel random normal dengan mean 0 dan standar deviasi 1.Parameter yang diharapkan dari model adalah

Berdasarkan tabel 2 terlihat bahwa kedua kriteria maksimum dan minimum

menetapkan model terbaik yang sama, yaitu untuk dengan variabel independen ,, dan . Hal ini dapat pula dilihat melalui plot pada gambar 1. Hasil estimasi

 berdasarkan model ini adalah:, , dan .

Secara umum akan terjadi  gap pada plot dan pada saat mendekati 1. Namun pada gambar 1(a) hampir tidak terlihat adanya perbedaan dan nilai adjustment   tidakmengalami penurunan yang berarti. Selanjutnya pada gambar 1(b), plot sangat besar

karena JKE dari model dengan satu variabel independen sangat besar bila dibandingkandengan model dengan orde yang lebih tinggi.

Tabel 2. Kandidat model contoh 1

Variabel dependen

JKT = 75918.97131 12149.1351 0.8400 0.8215 2818.1906

2 5661.1670 0.9254 0.9135 1303.4517

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 490/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

497

3 90.1402 0.9988 0.9986 3.0727

4 89.9223 0.9988 0.9985 5.0218

5 89.8308 0.9988 0.9984 7.0004

6 89.8291 0.9988 0.9984 9.0000

Gambar 1. (a) Plot dan , (b) Plot contoh 1

4.2. Contoh 2. Pada contoh ini, akan ditunjukkan hasil simulasi data yang hampir samadengan contoh sebelumnya, akan tetapi dengan dispersi data yang lebih besar dan penetapan model yang lebih rendah. Tujuan dari contoh ini adalah untuk menunjukkantren penurunan koefisien determinasi adjusted   } dan tren kenaikan pada koefisien

determinasi apabila ditambahkan variabel yang tidak relevan pada model. Untuk itu

dilakukan simulasi dengan 7 variabel independen masing-masing sebanyak 30 unitsampel dan untuk setiap unit dibangkitkan variabel dependen fuzzy, seperti dirangkumdalam tabel 3. Pada kasus ini, diasumsikan  slope fungsi keanggotaan variabel dependenfuzzy adalah fungsi keanggotaan segitiga simetris .

Pada tabel 4 dirangkum nilai JKT dan untuk nilai diambil nilai, , , dan untuk setiap model dengan variabel independen.

Diperhatikan bahwa nilai-nilai dan menunjukkan bahwa model tidak menetapkandata dengan cukup baik, sebab tujuan lain dari contoh ini adalah untuk menunjukkan bagaimana kriteria seleksi variabel bekerja pada kondisi nilai-nilai dan tidak cukup baik (menengah ke bawah).

Tabel 3. Pembangkitan data simulasi contoh 2

Variabelindependentegas

 Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [0,10] Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [30,55] Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [10,25] Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [0,100] Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [-100,150] Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [50,500] Nilai diekstrak dari v.r. uniform pada interval [1000,3000]Catatan v.r. : variabel random

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 491/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

498

Variabeldependenfuzzy

 Nilai pusat dan tepi dari variabel dependen fuzzy dibangkitkan dari:dan

dengan

Tabel 4. Kandidat model contoh 2

Variabel dependen

JKT = 43306.75251 25281.8389 0.4162 0.3489 54.5594

2 12724.8006 0.7062 0.6592 18.5337

3 9455.3025 0.7817 0.7362 10.6329

4 8369.7084 0.8067 0.7563 9.34555 7482.1561 0.8272 0.7723 8.6577

6 6683.1456 0.8457 0.7869 8.2382

7 6604.5022 0.8475 0.7789 10.0000

Gambar 2. (a) Plot dan , (b) Plot contoh 2

Berdasarkan tabel 4 model dengan 6 variabel independen memiliki nilai maksimumsekaligus niali minimum . Dengan demikian kita peroleh model terbaik dengan 6

varaibel independen, yaitu , dan . Dalam hal ini hasil estimasikoefisien model adalah:

,

, dan .

Sebagai catatan bahwa estimasi koefisien yang diperoleh berbeda jauh dengankoefisien yang diharapkan. Hal ini merupakan konsekuensi logis dari kenyataan bahwa pada model yang diharapkan memiliki variansi error yang sangat besar, sehingga pembangkitan observasi sangat berbeda dengan nilai estimasinya. Gambar 2(a) dan (b)menunjukkan plot , , dan . Berbeda dengan contoh sebelumnya, terlihat bahwa

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 492/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

499

 pada 2(a) dengan bertambahnya variabel independen ke dalam model menunjukkanadanya gap  dan yang semakin besar.

5. SimpulanSimpulan yang dapat diambil di antaranya adalah: (1) koefisien determinasi dan nilaiadjusted -nya serta indeks Mallows dapat digunakan untuk pemilihan variabel independen pada regresi fuzzy simetris untuk menentukan sub model terbaik; dan (2) dalam penggunaan, mungkin masih terdapat interpretasi yang berbeda antara dua kriteriatersebut sehingga jika terdapat hasil yang berbeda (tidak konsisten), dapat digunakan pertimbangan peneliti berdasarkan kepentingan variabel dan prinsip lainnya, sepertiefisiensi/ parsimony. Selanjutnya masih diperlukan penyelidikan lebih lanjut untukmengembangkan kriteria lain yang dapat digunakan.

Daftar Pustaka

R. Coppi and P. D'Urso,  Regression analysis with fuzzy informational paradigm: a least squares approach using membership function information, Int. J. Pure Appl. Math.8 (2003), no. 3, 279-306.

R. Coppi, P. D'Urso, P. Giordani, and A. Santoro,  Least squares estimation of a linearregression model with LR fuzzy response, Computational Statistics & Data Analysis51 (2006), 267-286.

R. Coppi, P. Giordani, and P. D'Urso, Component models for fuzzy data, Psychometrika71 (2006), no. 4, 733-761.

P. D'Urso,  Linear regression analysis for fuzzy/crisp input and fuzzy/crisp output data,Computational Statistics & Data Analysis 42 (2003), 47-72.

P. D'Urso and T. Gastaldi,  A least-squares approach to fuzzy linear regression analysis ,Computational Statistics & Data Analysis 34 (2000), 427-440.

-------,  An "orderwise" polynomial regression procedure for fuzzy data, Fuzzy Sets andSystems 130 (2002), 1-19.

P. D'Urso and P. Giordani,  Fitting of fuzzy linear regression models with multivariateresponse, Int. Math. J. 3 (2003), no. 6, 655-664.

-------, A weighted fuzzy c-means clustering model for fuzzy data, Computational Statistics& Data Analysis 50 (2006), no. 6, 1496-1523.

P. D'Urso and A. Santoro, Fuzzy clusterwise linear regression analysis with symmetrical fuzzy output variable, Computational Statistics & Data Analysis 51  (2006), 287-313.

-------, Goodness of fit and variable selection in the fuzzy multiple linear regression ,Fuzzy Sets and Systems 157 (2006), 2627-2647.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 493/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

500

I. Kharisudin, Bentuk fungsi keanggotaan pada model regresi dengan variabel dependen fuzzy simetris, Prosiding Seminar Nasional Statistika IX Jurusan Statistika FMIPAITS Surabaya, ISBN: 978-979-96700-4-5 (1-11), 2009.

-------, Generalisasi solusi kuadrat terkecil pada model regresi fuzzy simetris , ProsidingSeminar Nasional V Jurusan Matematika FMIPA UNNES Semarang, ISBN: 978-602-8467-12-4 (254-261), 2009.

-------,  Koefisien determinasi regresi fuzzy simetris untuk pemilihan model terbaik ,Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika JurusanPendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, ISBN: 978-979-16353-3-2(895-909), 2009.

I. Kharisudin and Subanar,  Fuzzy regression analysis with symmetrical fuzzy dependentvariable, submitted to The Proceeding of IICMA 2009, Yogyakarta, October 12-13,

2009.

M.-S. Yang and C.-H. Ko, On a class of fuzzy c-numbers clustering procedures for fuzzydata, Fuzzy Sets and Systems 84 (1996), 49-60.

H. J. Zimmermann,  Fuzzy set theory and its applications, Kluwer Academic Publisher,Boston, 1991.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 494/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

501

KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL DALAMPENENTUAN HARGA OPSI EROPA

Fitriani Agustina

Opsi Eropa adalah suatu kontrak keuangan yang memberikan hak, bukan kewajiban,kepada holder , untuk membeli atau menjual aset pokok dari writer pada saat jatuh tempodengan harga yang sudah ditentukan. Harga opsi Eropa model kontinu ditentukan denganmenggunakan rumus Black-Scholes sedangkan harga opsi Eropa model diskrit ditentukandengan menggunakan metode binomial. Berdasarkan kedua proses penentuan harga opsitersebut di atas, maka maka dapat ditentukan galat yang merupakan selisih antara hargaopsi  Black-Scholes  dengan harga opsi metode binomial. Sifat yang menarik mengenaigalat ini adalah bagaimana memahami kekonvergenan harga opsi metode binomialterhadap harga opsi  Black-Scholes. Implementasi dilakukan dalam MatLab 7.1 untukmengetahui kekonvergenan model binomial opsi Eropa. 

Kata kunci  : model binomial, penentuan harga opsi, kekonvergenan

A.  PendahuluanOpsi (option) adalah suatu kontrak antara writer  dan holder  yang memberikan

hak, bukan kewajiban, kepada holder   untuk membeli atau menjual suatu aset pokok(underlying asset ) pada atau sebelum suatu tanggal tertentu untuk suatu harga tertentu.Tanggal tertentu tersebut dikenal sebagai waktu jatuh tempo (expiration date) dan hargatertentu dinamakan exercise price  atau  strike price. Suatu opsi call   ( put ) membolehkanholder  untuk membeli (menjual ) aset pokok dengan  strike price  K .  Holder  dapat meng-exercise (merealisasi hak) opsi tipe Eropa ( European-style option) hanya pada saat jatuhtempo T , sedangkan opsi-opsi tipe Amerika ( American-style option) dapat di-exercise  pada sembarang waktu sebelum jatuh tempo.

Model untuk penghitungan harga opsi diperkenalkan pertama kali oleh  Blackand Scholes  (1973) dan  Merton (1973). Mereka mengamati tingkah laku lognormal dariharga aset dan menurunkan suatu persamaan diferensial parsial (disingkat PDP) yangmenggambarkan harga opsi. Untuk opsi Eropa, mereka telah menurunkan suatu penyelesaian bentuk tertutup dari PDP yang dikenal dengan rumus Black-Scholes.

Pada tahun 1979 Cox, Ross and Rubinstein (Cox, J. C., Ross S. and Rubinstein M., "Option Pricing: A simplified Approach", The Journal of Financial Economics, 7,229-263, 1979.) menyajikan suatu pendekatan sederhana untuk penghitungan harga opsi,yaitu suatu rumus harga opsi waktu diskrit. Dijelaskan tentang kenyataan bahwa rumus Black-Scholes  merupakan suatu kasus limit khusus dari model Cox-Ross-Rubinstein (CRR) binomial diskrit. Dengan kata lain, model binomial menyediakan hampiran diskrituntuk proses harga kontinu di bawah model  Black-Scholes. Hasil-hasil mereka hanyaditurunkan untuk kasus khusus dimana faktor kenaikan dan penurunan diberikan oleh

rumus tertentu dan membolehkan distribusi dari return  saham mempunyai parameter- parameter yang sama seperti distribusi log normal dalam limit.

Terdapat beberapa perluasan dari model Cox, Ross and Rubinstein (1979), yaitumodel dari Jarrow-Rudd   (1983) dan model dari Tian (1993). Mereka membuat beberapamodifikasi untuk model binomial yang dihasilkan oleh CRR dengan menambahkan beberapa parameter seperti suku drift  lokal (local drift term).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 495/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

502

B.  PDP Black-ScholesMisalkan V  menyatakan harga opsi put  atau harga opsi call  pada saat t  apabila

harga sahamnya adalah t S  . Diasumsikan bahwa V  tergantung secara diferensial pada duavariabel bebas S  dan t , dimana S  bergerak secara acak sesuai dengan persamaan:

( )t W t 

t  eS S σσµ   + 

  

   −

=2

2

1

0  

Berdasarkan Lemma  Ito, V   berubah atas interval waktu dt   yang sangat kecil, akandiperoleh

( )t W S 

V S dt 

V S 

V S 

V dV    ∂

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=   σσµ

2

222

2

1  (1) 

Selanjutnya dibentuk portfolio yang mereplikasi opsi dengan pengertian bahwa portfoliotersebut memiliki resiko sama besar dengan resiko pada opsinya. Nilai dari Portfoliosuatu opsi seharga V(S,t) dan A saham adalah sebagai berikut:

 AS t S V    += ),(π   (2)

Dalam interval waktu dt , keuntungan ( gain, dalam harga) dari portfolio: AdS t S dV d    += ),(π   (3)

yaitu

( ) ( )[ ]t dW S dt S  At W S 

V S dt 

V S 

V S 

V d    σµσσµπ   ++∂

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

2

222

2

Agar portfolio tidak beresiko maka haruslah

dt S S 

V V r dt r d     

  

  

∂∂−==   ππ  

sehingga diperoleh

021

2

222 =−

∂∂+

∂∂+

∂∂ V r 

S V S r dt 

S V S 

t V  σ   (4)

Persamaan (4) ini dikenal sebagai persamaan diferensial parsial  Black-Scholes  untukharga suatu opsi Eropa.

Persamaan diferensial parsial  Black-Scholes  dapat diselesaikan secara analitik untukopsi standar Eropa seperti opsi call   Eropa dan opsi  put   Eropa. Rumus  Black-Scholes untuk harga opsi call  Eropa pada saat t   dengan  strike price K  dan exercise date T  sertatanpa dividend , yaitu:

( ) ( ) ( ) ( )21 exp, d  N ds sr  K d  N S S t C T 

t t  E     

  

 −−= ∫   

( ) ( ) ( )[ ]   ( )21 exp, d  N t T r  K d  N S S t C  t t  E    −−−=   (5)

Rumus  Black-Scholes untuk harga opsi  put  Eropa pada saat t  dengan strike price K  danexercise date T  serta tanpa dividend , yaitu:

( ) ( ) ( ) ( )12exp, d  N S d  N ds sr  K S t  P  t 

t  E    −−−   

  

 −= ∫   

( ) ( )[ ]   ( ) ( )12exp, d  N S d  N t T r  K S t  P  t t  E    −−−−−=   (6)

untuk ( ) 0,0   >> T t S  , dengan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 496/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

503

( ) ( )[ ]   ( )

t T 

t T r  K S 

−   

   ++−

= σ

σ 2

1

2

1lnln

  (7)

( ) ( )[ ]   ( )

t T 

t T r  K S 

d t 

−   

   −+−

σ 2

2

2

1lnln

  (8)

t T d d    −−=   σ12   (9)

dan2

2

1

2

1)(

 xe x N 

  −=

π  (10)

yang menyatakan fungsi distribusi normal kumulatif dengan mean 0 dan variansi 1.

C.  Metode BinomialC.1. Model Binomial satu Periode Model ini merupakan model pasar saham (trading ) dengan satu periode (one

time step) dengan kata lain pada model ini hanya terdapat dua waktu trading  yaitu padasaat 0=t   dan 1=t  . Seperti telah dibahas sebelumnya, maka pada akhir periode yaitu pada saat 1=t   pergerakan harga saham hanya ada dua kemungkinan yaitu harga sahamnaik sebesar u  dengan peluang sebesar  p  atau harga saham turun sebesar d   dengan

 peluang sebesar (1 –  p). Misalkan 0S   menyatakan harga saham pada saat 0=t  , maka

 pada akhir periode 0S    dapat berubah menjadi ( )11 ωS    atau ( )22  ωS  . Selanjutnya pada

 pasar dengan model binomial satu periode ini tersusun dari dua asset yaitu aset beresiko

yaitu saham dan aset bebas resiko yaitu tabungan dalam bentuk deposito di bank. t  B  

menyatakan jumlah tabungan dalam bentuk deposito di bank pada saat t   dan t S   menyatakan harga saham pada saat t .

Pada model ini proses pergerakan tabungan berlangsung secara deterministik,dan dapat dinyatakan sebagai berikut

( )t t  r  B   += 1   (11)

sedemikian hingga

r  B

 B

+==

1

1

1

dimana r  adalah risk-less (risk-free) interest rate . Selain itu perlu diketahui bahwa pada pasar uang berlaku suku bunga deposito bank per periode sebesar r  dan diasumsikan akan berlaku hubungan berikut:

ur d    <+<1   (12) persamaan (12) dapat dinyatakan pula dengan:

ued  r  <<   (13)Sedangkan proses pergerakan harga saham merupakan proses stokastik, dan dapatdinyatakan sebagai berikut

( )  ( )

( ) ( )

−===

= pq peluang d S S 

 p peluang uS S S 

1021

0111

ω

ωω   (14)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 497/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

504

Replikasi PortfolioMisalkan ( )00 , Bθ=Θ   adalah  self-financing portfolio, r   adalah risk less

interest rate, C   menyatakan harga opsi dari opsi call   Eropa, uC    menyatakan  payoff  apabila harga saham naik, dan d C   menyatakan payoff  apabila harga saham turun. Apabila

uS S u 0=  dan d S S d  0=  maka payoff  dari opsi call  Eropa pada saat 1=t   sebagai berikut

{ }0,max  K S C  uu   −=   (15)

{ }0,max  K S C  d d    −=   (16)

Replikasi portfolio tersebut akan dibentuk dengan cara sebagai berikut. Misalkanwriter  menjual opsi call  di awal periode 1 seharga V 0. Agar writer  mempunyai dana yang

cukup untuk menutup kewajiban membayar dana sebesar uC    dan d C   maka sejak awal

 periode 1 writer   akan membuat suatu portfolio keuangan yang terdiri dari sahamsebanyak +0 lembar. Kepemilikan saham tersebut diambil dari penjualan opsi call  seharga

V0. Apabila besar V0  tidak mencukupi bagi writer   opsi call   untuk membeli +0  lembarsaham maka writer   mempunyai pinjaman dengan bunga r   per periode untukmencukupinya. Sebaliknya apabila ada kelebihan dana maka sisanya ditabung dengansuku bunga r  per periode. Nilai portfolio pada awal periode 1 adalah V0 = C0 yang berupa

$ 0S 0 dalam bentuk saham dan ( )0000 S V  B   θ−=  dalam bentuk tabungan atau pinjaman.

( )000000 S V S C    θθ   −+=   (17)

00 V C   =   (18)

Pada akhir periode 1, nilai portfolio akan menjadi V 1 yang terdiri dari $ 0S 0 dalam bentuksaham dan yang dalam bentuk tabungan atau pinjaman akan bertambah menjadi

( ) 0000  BeS V e r r  =−θ . Nilai portfolio pada akhir periode 1 dapat dinyatakan sebagai

 berikut:

( ) 11 C V    =Θ   (19)

( )  ( )

( )

=−+

=−+=Θ

d r 

ur 

u

C S V eS 

C S V eS V 

0000

00001

θθ

θθ  (20)

atau persamaan (20) dapat dituliskan dalam bentuk:

( )

=+

=+=Θ

d r 

ur 

u

C  BeS 

C  BeS V 

00

001

θ

θ  (21)

Dengan menyelesaikan (21) maka diperoleh

d u

d u

S S 

C C 

−−=0θ   (22)

−−

= d u

d uud r  S S 

S C S C 

e B1

0   (23)

dimana $ 0  menyatakan banyaknya saham dan  B0  menyatakan besarnya tabungan atau pinjaman.

Berdasarkan law of one price  "jika dua aset mempunyai nilai akhir yang sama makadua aset tersebut mempunyai dua nilai awal yang sama, apabila hal tersebut tidak terjadimaka prinsip no-arbitrage tidak berlaku", sehingga

0C    ( )Θ= 0V   

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 498/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

505

000  BS   += θ  

−−

+

−−

= d u

d uud r 

d u

d u

S S 

S C S C 

eS S S 

C C  10  

−−+

−−=

d u

eu

eC 

d u

d e

eC 

r u

110   (24)

Risk-neutral probabil ity

Berdasarkan hasil yang diperoleh pada persamaan (3.47) diketahui bahwa

 penjumlahan dari koefisien uC   dengan koefisien d C   sama dengan 1, sehingga koefisien

uC    dengan koefisien d C    dapat diinterpretasikan sebagai peluang. Oleh karena itu,

 persamaan (24) dapat disederhanakan menjadi

[ ]d ur C qC  p

eC  ~~1

0   +=   (25)

[ ]10

~1C  E 

eC 

r =   (26)

dimana

−−=

d u

d e p

r ~ dan

−−=

d u

euq

r ~ ( )q p P  ~,~~ =  merupakan ukuran probabilitas baru

yang disebut sebagai probabilitas risk-neutral  (risk-neutral probability).

C.2. Model Binomial n  PeriodeUntuk penentukan perumusan harga opsi call  Eropa model binomial n periode

dilakukan dengan analog dengan pembahasan sebelumnya dan dengan menggunakanmetode backward induction  maka diperoleh:

{ }∑=

−−

−   

  

 =

n

 j

 jn j jn j

r n  K S d uq p j

n

eC  00 0,max

~~1  (27)

dimana variabel acak  j pada persamaan (27) menyatakan jumlah kenaikan harga sahamdari n Bernoulli experiment  dengan peluang terjadinya kenaikan harga saham adalah  p~  

dan peluang terjadinya penurunan harga saham adalah  pq ~1~ −= .

Harga opsi call  Eropa pada persamaan (27) dapat diuraikan menjadi dua buah penjumlahan sebagai berikut:

{ }

{ }

−  

 

 

 

 

+−   

  

 

=

=

−−

=

−−

n

a j

 jn j jn j

a

 j

 jn j jn j

r n

 K S d uq p j

n

 K S d uq p j

n

eC 

0,max~~

0,max~~

1

0

1

00

  (28)

dengan a menyatakan jumlah minimal kenaikan harga saham yang akan menghasilkan

 K d uS  ana >−0   (29)

sehingga

 jn jn

a j

q p j

n   −

=∑      

  

  ~~   (30)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 499/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

506

dapat ditafsirkan sebagai peluang opsi call   Eropa akan berakhir in-the-money  di dalamrisk-neutral world  sehingga sehingga porsi dari opsi call  Eropa yang akan berakhir out-of-the-money memberikan hasil

{ } 00,max~~1

00   =−   

  

 ∑−

=

−−a

 j

 jn j jn j  K S d uq p j

n  (31)

Oleh karena itu persamaan (28) akan menjadi

( ) ( )   ∑∑=

=

   

  

 −   

  

 =n

a j

 jn jr n

n

a j

 jn jq p

 j

n

e

 K q p

 j

nS C  ~~**

00   (32)

denganr e

u p p

~* =  dan

r e

d  pq

~* = . (33)

dan perumusan harga opsi put  Eropa model binomial n periode diperoleh:

( ) ( )∑∑=

=

−  

 

 

 

 −  

 

 

 

 =

n

a j

 jn jn

a j

 jn jr n

q p

 j

nS q p

 j

n

e

 K  P  **

00~~   (34)

D.  Model Cox-Ross-Rubinstein  (CRR)Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR) merupakan model pergerakan harga saham

dalam konteks waktu yang merupakan variabel acak diskrit yang banyak digunakandalam pasar saham (trading ). Apabila pergerakan harga saham mengikuti model binomialdengan faktor kenaikan harga saham sebesar u dan faktor penurunan harga saham sebesard  pada tiap anak interval yang memenuhi

ued  t r  <<   ∆   (35)maka harga saham pada saat jatuh tempo adalah

0S d uS S   jn jt T  n

−==   (36)

Variabel acak  j  pada persamaan (34) adalah variabel acak yang menyatakan jumlah

kenaikan harga saham dalam n Bernoulli experiment  dengan peluang terjadinya kenaikanharga saham untuk tiap interval waktu t ∆  dalam risk-neutral world  adalah  p~ . Dengan

kata lain variabel acak  j  berdistribusi binomial dengan parameter n dan  p~ .  Mean  dan

variansi dari variabel acak j adalah

[ ]  pn j E  ~=  

[ ] q pn jVar  ~~=  

Penentuan harga opsi dengan model CRR merupakan bagian dari penentuanharga opsi dengan model binomial n periode yang ditentukan dengan menggunakanbackward induction  dan berdasarkan persamaan (32) maka persamaan (35) dapatdinyatakan menjadi:

( ) ( )

  ∑∑ =

−∆

=

  

 

 

 

 −  

 

 

 

 =

n

a j

 jn j

t r n

n

a j

 jn jq p

 j

n

e

 K q p

 j

nS C  ~~**

00  

( ) ( )   ∑∑=

=

   

  

 −   

  

 =

n

a j

 jn jT r 

n

a j

 jn jq p

 j

n

e

 K q p

 j

nS C  ~~**

00   (37)

dan perumusan harga opsi put  Eropa model binomial n periode diperoleh:

( ) ( )∑∑=

=

−   

  

 −   

  

 =

n

a j

 jn jn

a j

 jn jT r 

q p j

nS q p

 j

n

e

 K  P  **

00~~   (38)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 500/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

507

dengan

−=∆

d u

d e p

t r ~ dan

−=∆

d u

euq

t r ~   (39)

t r e

u p p ∆=

~*  dan

t r e

d  pq ∆=

~* . (40)

atau persamaan (37) dapat dituliskan sebagai berikut:

( )   ( ) pnae

 K  pnaS C 

T r ~,;,; *

00   Φ−Φ=   (41)

dengan ( )⋅Φ  menyatakan fungsi distribusi binomial.

Selanjutnya Cox, Ross, and Rubinstein memilih nilai u dan d  sedemikian rupasehingga

( )t u   ∆=   σexp   (42)

( )t d    ∆−=   σexp   (43)

dengan σ   adalah volatilitas tahunan dari harga saham. Cox, Ross, and Rubinstein memilih nilai u  dan d   seperti pada persamaan (42) dan persamaan (43) adalah dengan

maksud bahwa pada saat ∞→n   ( )0→∆t   maka harga opsi call  Eropa pada persamaan

(37) dari model binomial CRR ini dapat dibuktikan menjadi rumus  Black-Scholes untukharga opsi call  Eropa. Dengan kata lain penentuan harga opsi call  Eropa model binomialCRR merupakan aproksimasi dari penentuan harga opsi call   Eropa  Black-Scholes  padasaat ∞→n . Pembuktian bahwa perumusan harga opsi call  Eropa model binomial CRR

ini dapat dibuktikan menjadi rumus  Black-Scholes  untuk harga opsi call   Eropa dapatdilihat pada lampiran B. Sedangkan pembuktian untuk memperoleh perumusan u  dan d   pada model CRR dapat dilihat pada lampiran C.

E.  Kekonvergenan Harga Opsi Model BinomialPada metode binomial, struktur dari pergerakan harga saham dapat

digambarkan dalam bentuk pohon yang dikenal sebagai pohon binomial. Pada

 pembahasan sebelumnya telah dikemukakan bahwa return ( ni Ri ,,1 ,~

L= ) pada suatu

n  periode dimodelkan sebagai dua buah variabel acak binomial yang iid, seperti yangditulis pada persamaan:

−=

 p peluang dengand 

 p peluang denganu Ri 1

 

Selanjutnya suatu barisan hingga ni Ri ,,1 ,~

L=   dinamakan dengan lattice. Untuk

setiap n yang berbeda, dimana nilai-nilai r , ,, S0, T , dan K  yang diberikan akan diperolehnilai parameter-parameter u, d, dan p yang berbeda. Hal ini mengakibatkan bahwa untuk

setiap nilai n berbeda diperoleh barisan hingga ni Ri ,,1 ,

~L=  (lattice) yang berbeda.

Selanjutnya hal ini dikenal dengan lattice approch. Berdasarkan penjelasan sebelumnya,diperoleh kesimpulan bahwa metode binomial merupakan suatu lattice approach.

Berikut ini akan disajikan simulasi penentuan harga opsi Eropa model CRRdengan S0 = 100, K  = 110, T  = 1, r  = 0.05, , = 0.3, untuk n = 100, n = 200, n = 350,dan n  = 400. Selain menampilkan grafik dari harga opsi Eropa model CRR akanditampilkan pula grafik pohon binomial dari model tersebut di atas dimana pohon binomial tersebut menggambarkan harga-harga saham yang mungkin.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 501/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

508

Gambar 4.1 : Harga opsi call  Eropa model CRR dengan S0 = 100, K  = 110, T  = 1,r  = 0.05, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 250

Gambar 4.2 : Harga opsi put  Eropa model CRR dengan S0 = 100, K  = 110, T  =1,

r  = 0.05, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 250

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 502/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 503/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

510

dinyatakan sebagai error   (galat). Nilai error   (galat) dari kedua harga opsi tersebutdidefinisikan sebagai berikut:

( ) ( )0000 ,, S t cS t ce nn   −=   (44)

dengan mengaplikasikan teorema limit pusat pada persamaan (44) diperoleh bahwa

0lim   =∞→ n

ne   (45)

Hal ini mempunyai arti bahwa harga opsi yang ditentukan dengan menggunakan metode binomial akan konvergen menuju harga opsi yang ditentukan dengan menggunakanrumus Black-Scholes.

Pada dasarnya adalah merupakan sesuatu hal yang mungkin untuk menentukan pada order berapa kekonvergenan harga opsi itu diperoleh. Hal tersebut dapat dilakukanmenentukan batas atas yang tepat untuk persamaan (44). Oleh karena itu untukmenjelaskan order kekonvergenan (order of convergence)  diperlukan definisi berikut

 bawah ini.

Definis .1

Misalkan { }0,max:  K  x x f    −→   adalah suatu fungsi dari opsi call   Eropa.

Suatu barisan lattice dikatakan converges with order   0>ρ  apabila ada konstanta 0>κ   

sedemikian hingga

 N nn

en   ∈∀≤ ,ρ

κ   (46)

Selanjutnya dengan mengaplikasikan logaritma pada persamaan (46), akan diperoleh

( )

( ) ne

ne

n

n

logloglog

loglog

ρκ 

κ ρ

−≤

   

  ≤

 

dimana hal ini menunjukkan bahwa logaritma error  (galat) sebagai fungsi dari log n akanterletak di bawah suatu garis dengan kemiringan ( slope) ρ− .

Suatu lattice approach dikatakan converges with order   0>ρ  jika untuk setiap

nilai r , ,, S0, T , dan K  yang diberikan diperoleh barisan lattice yang converges with order  

0>ρ  dan dinotasikan dengan    

  =  ρn

en

1O .

Perlu diketahui bahwa order kekonvergenan yang lebih dari nol mengakibatkanharga opsi menjadi konvergen. Semakin besar order kekonvergenan maka akan semakincepat harga opsi tersebut konvergen. Oleh karena itu, order kekonvergenan tidaklahtunggal atau dengan kata lain suatu lattice approach yang converges with order   0>ρ  

dapat mempunyai order kekonvergenan yang lain yaitu ρ~   dimana ρρ ≤~ . Orderkekonvergenan akan lebih mudah dipahami melalui simulasi, karena pada simulasi ituakan diperoleh hasil plot dari nilai error   (galat) terhadap n  refinement dalam skalalogaritma. Berikut ini akan disajikan simulasi error   (galat) dari opsi Eropa model CRRdengan S0 = 100, K  = 110, T  = 1, r  = 0.05, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 250

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 504/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

511

Gambar 4.5 :  Error  (galat) dari opsi call  Eropa model CRR dengan S0 = 100, K  = 110, T  = 1, r  = 0.05, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 250 dengannilai kappa = 4

Gambar 4.6 :  Error  (galat) dari opsi call  Eropa model CRR dengan S0 = 100, K  = 110, T  = 1, r  = 0.05, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 250 dengannilai kappa = 4 serta menggunakan log-log scale.

Gambar 4.7 :  Error  (galat) dari opsi put  Eropa model CRR dengan S0 = 100, K  = 110, T  = 1, r  = 0.05, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 250 dengannilai kappa = 4

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 505/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

512

Gambar 4.8 :  Error  (galat) dari opsi put  Eropa model CRR dengan S0 = 100, K  = 110, T  = 1, r  = 0.05, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 250 dengannilai kappa = 4 serta menggunakan log-log scale.

Pada simulasi tersebut dapat dilihat bahwa harga opsi call  Eropa model CRRdengan nilai-nilai parameter tersebut di atas itu konvergen dengan order 1. Hal lain yang perlu diketahui bahwa nilai dari κ   selalu berubah-ubah berdasarkan dari nilai-nilai r , ,,S0, T , dan K yang diberikan. Untuk memperoleh nilai κ  yang sesuai dengan nilai-nilai r ,,, S0, T , dan K  yang diberikan dilakukan dengan cara mencoba untuk setiap nilai κ   yangmungkin memenuhi. Pada simulasi error   (galat) dari opsi Eropa model CRR dengan S0 = 100, K  = 110, T  = 1, r  = 0.05, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 250 diperoleh nilai κ   yang

memenuhi adalah 4. Sedangkan pada simulasi error  (galat) dari opsi Eropa model CRRdengan S0 = 100,  K  = 110, T  = 3, r  = 0.06, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 500diperoleh nilai κ   yang memenuhi adalah 6

Gambar 4.9 :  Error  (galat) dari opsi call  Eropa model CRR dengan S0 = 100, K  = 110, T  = 3, r  = 0.06, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 500 dengannilai kappa = 6 serta menggunakan log-log scale.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 506/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

513

Gambar 4.10 :  Error  (galat) dari opsi  put  Eropa model CRR dengan S0 = 100, K  = 110, T  = 3, r  = 0.06, , = 0.3, untuk n = 20, . . ., 500 dengannilai kappa = 6 serta menggunakan log-log scale.

DAFTAR PUSTAKA

Abramowitz, M., Stegun, I. (1968), Handbook of Mathematical Function, Dover Printing

Bony P J M. (2008),  Penentuan Harga Opsi-opsi Compound dengan Menggunakan Metode Martingales dan Metode Binomial . Tesis Program Magister, InstitutTeknologi Bandung.

Cox, J., Ross, S.A., Rubinstein M. (1979), Option Pricing: A Simplified Approach, Journal of Financial Economics 7, 229-263

Fitriani A (2009),  Kekonvergenan Model Binomial Leisen Reimer dalam Penentuan Harga Opsi Eropa. Tesis Program Magister, Institut Teknologi Bandung.

Harrison, J., Pliska S. (1981),  Martingales and Stochastic Integrals in The Theory ofContinuous Trading, Stochastic Processes and Their Applications.

Higham, D.J. (2004),  An Introduction to Financial Option Valuation, CambridgeUniversity Press, Cambridge, 106-107.

Kijima, M. (2003). Stochastic Processes with Applications to Finance . Chapman &Hall/CRC, 61-62, 84-87, 225-227.

Kwok, Y.K. (1998),  Mathematical Models of Financial Derivatives, Springer-Verlag,Singapura, 39 dan 282-292.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 507/537

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 508/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

515

BEBERAPA DISTRIBUSI ANTRIAN DAN PENGUJIANNYA Rini Marwati

[email protected] 

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPIAbstrak

Ketika bekerja dengan statistik, kita tidak bisa lepas dari distribusi peluang yangseringkali dijadikan sebagai asumsi sebagai argumentasi dari penggunaan suatu statistik.Antrian adalah suatu realita yang mudah ditemukan. Teori Antrian menjadi bidang kajiantersendiri dalam Matematika. Untuk dapat menerapkan rumus-rumus yang sudahdiperoleh dalam Teori Antrian, terlebih dulu harus dikaji distribusi antriannya. Dalammakalah ini akan dibahas beberapa distribusi yang dapat ditemukan dalam Teori Antrian,seperti Distribusi Eksponensial, Distribusi Gamma, Distribusi Poisson, dan DistribusiErlang, beserta contoh penerapan dalam antrian. Khususnya untuk distribusi Erlang lebihlanjut juga akan dibahas satuan Erlang, rumus Erlang-B, rumus Erlang-C, dan rumus

Engset. Juga akan dilihat pengujian distribusinya dengan menggunakan software EasyFit.

Kata kunci: Distribusi Eksponensial, distribusi Gamma, distribusi Poisson, distribusiErlang, satuan Erlang, Erlang-B, perluasan Erlang-B, Erlang-C, rumus Engset, danEasyFit.

A. PENDAHULUAN1. Sistem Antrian

Ketika seseorang masuk dalam suatu sistem untuk memperoleh pelayanan, baikharus menunggu terlebih dulu ataupun langsung dilayani, maka dia telah masuk dalamsuatu sistem antrian. Sistem antrian dapat digambarkan sebagai berikut:

Berjalannya suatu sistem antrian ditentukan dengan aturan yang digunakan dalamsistem antrian tersebut atau diistilahkan dengan disiplin antrian.

2. Disiplin Antrian Ada berbagai jenis disiplin antrian yang diterapkan dalam sistem antrian. Padaumumnya ada empat disiplin antrian yang digunakan, yaitu:a. FCFS ( first come first served )

Dalam sistem antrian diterapkan aturan yang lebih awal datang akan lebih dulumendapat pelayanan. Disiplin antrian ini sering diterapkan pada sistem antrian di bank,loket pembayaran rekening, dan lain-lain. b. LCFS (last come first served )

Disiplin antrian yang diterapkan dalam sistem antrian adalah yang datang terakhiradalah yang mendapat penangan pertama. Disiplin ini dapat diterapkan misalnya dalam pengambilan barang di gudang. Yang menjadi antrian adalah barang yang menumpuk digudang.c. SIRO ( service in random order )

Pelayanan dilakukan secara acak. Misalnya setiap pengantri mendapat nomor,dan yang akan dilayani adalah yang nomornya disebutkand. PS ( priority service)

Pelayanan dilakukan berdasarkan prioritas. Misalnya pelayanan yang diberikandalam instalasi gawat darurat di suatu rumah sakit.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 509/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

516

3. Model Antrian Ada faktor lain yang mempengaruhi keadaan sistem antrian, yaitu model dari

antrian. Model antrian dengan pelayanan yang banyak wajarnya akan mengurangikemungkinan terjadinya antrian yang panjang, tetapi pelayanan yang banyak belum tentumemberikan hasil yang optimal.

-  Antrian tunggal, pelayanan tunggal-  Antrian tunggal, pelayanan paralel-  Antrian tunggal, pelayanan borongan, misalnya antrian di lift

Model antrian dinyatakan dalam bentuk umum yang diperkenalkan oleh Kendall(1953) dinotasikan dengan

(a/b/c);(d/e/f)dengan a = distribusi kedatangan

b = distribusi waktu pelayananc = banyaknya pelayanan paralel

d  = disiplin pelayanane = jumlah maksimum dalam sistem antrian f = besarnya populasi masukanModel ( M/M /1) di mana  M   yang pertama menyatakan banyaknya kedatangan

yang berdistribusi Poisson,  M   yang kedua menyatakan waktu pelayanan yang berdistribusi eksponensial, sedangkan 1 menyatakan bahwa pelayanan tunggal. Model( M/M/c) menyatakan model antrian dengan  M   yang pertama menyatakan banyaknyakedatangan berdistribusi Poisson,  M   yang kedua menyatakan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial, dan c  menyatakan banyaknya pelayanan paralel yangdisediakan dalam antrian. Model ( M/G/1) menyatakan model antrian dengan banyaknyakedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan berdistribusi umum (General ), dengan pelayanan tunggal.

4. Beberapa Hasil PenelitianModel antrian pada teller di bank adalah model antrian tunggal dengan pelayanan paralel. Ross (2007) membuat penaksir untuk rata rata kedatangan dan rata rata pelayananuntuk model M/M/c dengan c menyatakan banyaknya pelayanan yang hingga.

Secara khusus Denisov (2006) mengkaji disiplin antrian LCFS untuk modelantrian banyaknya kedatangan berdistribusi eksponensial ( M ), waktu pelayanan berdistribusi umum (G), dengan pelayanan tunggal atau model M/G/ 1.

Setiawan (2006), mengambil data dari Bank Rakyat Indonesia Cabang Sumedangdan mengkaji optimalisasi banyaknya pelayanan (teller) dalam sistem antrian.Optimalisasi disimpulkan berdasarkan biaya tunggu (pengantri) dibandingkan dengan biaya pelayanan. Dengan melakukan analisa terhadap lamanya waktu tunggu dalamantrian dan lamanya pelayanan disarankan untuk menambah pelayanan dari tiga menjadilima pelayanan. Jadi model antrian yang semula ( M/M /3) menjadi ( M/M /5).

Marwati (2007) membuat suatu sistem perkiraan lamanya waktu seseorang akan berada dalam sistem antrian. Karena monitor informasi hanya satu, maka sistem antriandalam hal ini dimodelkan menjadi sistem antrian dengan pelayanan tunggal(M/M/1/FCFS/∞/∞). Artinya dalam hal ini diasumsikan bahwa kedatangan berdistribusiPoisson, waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial, pelayanan tunggal, (karena pelayandalam hal ini bukanlah teller melainkan monitor informasi), disiplin antrian yang pertamadatang yang pertama mendapat pelayanan, jumlah maksimum dalam sistem antrian, dan jumlah populasi tidak dibatasi. Pada kenyataannya banyaknya kedatangan dan rata-rata

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 510/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

517

lamanya pelayanan setiap hari kondisinya hampir selalu berubah, maka asumsidistribusipun belum tentu selalu terpenuhi. Dalam penelitian ini program informasi yangdibuat hanya mengambil rata-rata lamanya waktu menunggu dan pelayanan sebagaistandar untuk input, perancangan program sendiri akan merekayasa perhitungan berdasarkan teknik antrian.

B. PEMBAHASAN1. Distribusi Poisson

Fungsi kepadatan peluang (pdf) dari distribusi Poisson adalah

!);(

ek  f 

k    λλλ

= ,

dengan k %  {0, 1, 2, …} yaitu banyaknya kejadian dari suatu peristiwa, dan  & %   (0, #)adalah banyaknya kejadian yang diharapkan yang terjadi selama interval tertentu.Fungsi distribusi kumulatifnya (cdf) adalah

∑=−=

i

i

ie x F 0 !);(   λλ   λ  

Mean dan variansi -. Grafik dari pdf dan cdf-nya adalah

PoissonContoh peristiwa yang dapat dimodelkan oleh distribusi Poisson adalah

 banyaknya panggilan telepon pada satu pusat telepon per menit atau banyaknya mutasiyang diberikan dalam satu rentetan DNA setelah sejumlah radiasi.Proses Poisson

Proses Poisson adalah proses di mana peristiwa terjadi secara kontinu dan bebasdari satu peristiwa ke peristiwa lainnya. Proses Poisson adalah koleksi peubah acak { N (t ): t   0}, dengan  N (t ) adalah banyaknya peristiwa yang terjadi sampai saat t . Banyaknya peristiwa antara saat a dan saat b adalah N (b) – N (a) dan berdistribusi Poisson.

Proses Poisson adalah proses counting waktu kontinu {N(t), t  0} yang memilikisifat:

•   N(0) = 0•  Banyaknya kejadian yang dihitung pada interval yang saling lepas adalah bebas

antara satu dengan yang lainnya.•  Distribusi peluang dari banyaknya kejadian yang dihitung pada setiap interval

hanya bergantung pada panjang interval.•  Tidak ada kejadian yang dihitung adalah adalah simultan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 511/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

518

Akibatnya:•  Distribusi peluang N (t ) adalah distribusi Poisson.

•  Distribusi peluang waktu tunggu sampai kejadian berikutnya adalah distribusieksponensial.Contoh proses Poisson:

•  Kedatangan pelanggan.•  Banyaknya curah hujan di suatu area.•  Banyaknya panggilan telepon pada papan operator.• 

2. Distribusi EksponensialDalam Teori Peluang dan Statistik, distribusi eksponensial termasuk distribusi

 peluang kontinu, yang menggambarkan waktu antara kejadian dalam proses Poisson,yaitu proses di mana peristiwa terjadi secara kontinu dan bebas pada kecepatan rata-ratayang konstan.

Fungsi kepadatan peluang (pdf) dari distribusi eksponensial adalah

<≥=

.0, 0,0,);(

 x xe x f 

 xλλλ  

Dalam hal ini 0>λ adalah parameter distribusi, disebut juga  parameter kecepatan.Distribusi ini terdefinisi untuk 0 !  x < #. Peubah acak X  yang berdistribusi eksponensialdinotasikan dengan X ~Exp(1/-).

Fungsi distribusi kumulatifnya (cdf) adalah

<≥−

=−

.0, 0

,0,1);(

 x

 xe x F 

 xλ

λ  

Mean distribusi eksponensial adalah 1/- dan variansi 1/ -2. Grafik dari pdf dan cdf-nyaadalah

Grafik pdf dan cdf-nya adalah

Eksponensial

Distrbusi eksponensial biasanya terjadi untuk menggambarkan panjang waktuantar kedatangan dari proses Poisson. Distribusi eksponensial dapat diaplikasikan untukmenggambarkan waktu sebelum telepon berikutnya atau lama waktu seorang pelayanmelayani pelanggan.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 512/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

519

3. Distribusi gammaDistribusi gamma seringkali merupakan model probabilitas untuk waktu tunggu.

Misalnya uji hidup, waktu tunggu sampai kematian adalah variabel acak yang seringkalidimodelkan dengan distribusi gamma. Variabel acak  X  yang berdistribusi gamma denganskala $  dan bentuk k dinotasikan dengan X  ~ .(k, +).

Fungsi kepadatan peluangnya adalah

0,dan0untuk)(

),;(/

1 >>Γ

=−

− θθ

θθ

k  xk 

e xk  x f 

 xk  .

Parameter  = k  adalah bentuk dan ' = 1/+ adalah parameter kecepatan.Fungsi distribusi kumulatifnya adalah

)(

)/,();;(

 xk k  x F 

Γ=   θγ 

θ  

Mean distribusi gamma adalah k + dan variansinya adalah k +2.

Grafik pdf dan cdf-nya adalah

Gamma4. Distribusi Erlang

Fungsi kepadatan peluang dari distribusi Erlang adalah

0,untuk)!1(

),;(1

≥−

=−−

λλ

λλ

 xk 

e xk  x f 

 xk k 

 

Parameter k disebut parameter bentuk dan parameter -  disebut parameter kecepatan.Dengan mengambil + = 1/-, fungsi kepadatannya ekivalen dengan

0,untuk)!1(

),;(1

≥−

=−−

λθ

θθ

 xk 

e xk  x f 

 xk 

 

Karena faktorial sebagai pembagi, distribusi Erlang hanya didefinisikan untuk k bilangan

 bulat positif. Distribusi ini sering juga disebut distribusi Erlang-k .Fungsi distribusi kumulatif distribusi Erlang adalah

)!1(

),(),;(

−=

 xk k  x F 

  λγ λ  

Dengan /() adalah fungsi gamma tak lengkap. Fungsi distribusi kumulatifnya dapatdinyatakan sebagai

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 513/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

520

∑−

=

−−=

1

0!

)(1),;(k 

n

n x

n xek  x F    λλ

λ

.

Mean distribusi Erlang adalah k /-, dan variansinya adalah k /-2.

ErlangDistribusi Erlang, yang mengukur waktu antara kedatangan panggilan telpon,

dapat digunakan bersama dengan durasi kedatangan panggilan telpon yang diharapkanuntuk menghasilkan informasi tentang ukuran muatan lalu lintas dalam unit Erlang. Inidapat digunakan untuk menentukan peluang kehilangan paket atau penundaan, menurut berbagai asumsi yang dibuat apakah panggilan diblok atau dibatalkan (rumus Erlang-B)atau antri sampai dilayani (rumus Erlang-C).Erlang-B

Erlang-B, juga dikenal sebagai rumus kehilangan Erlang, yaitu rumus yangmenggambarkan peluang hilangnya panggilan telepon pada suatu grup sirkuit. Rumus inidibangun berdasarkan kondisi bahwa panggilan telepon yang gagal, karena saluran yangsibuk, tidak diantrikan, tapi hilang selamanya. Dengan mengasumsikan bahwakedatangan panggilan telepon mengikuti proses Poisson.

Peluang P b, yaitu peluang bahwa panggilan yang datang pada grup sirkuit ditolakkarena semua pelayan sibuk, adalah  B( E , m) dengan E  Erlang satuan dari lalu lintas yangdi tawarkan ke m  saluran komunikasi. Erlang satuan adalah kuantitas dimensi yangdihitung sebagai rata-rata kecepatan kedatangan -, dikalikan dengan rata-rata panjang panggilan telepon T .

∑ =

==m

i

i

m

b

i

 E m

 E 

m E  B P 

0 !

!),(  

dengan E  =  &.T .Erlang-C

Erlang-C adalah rumus yang mengasumsikan populasi sumber tak hingga,dengan lalu lintas yang ditawarkan dari  E  erlang ke N  pelayan. Jika semua pelayan sibukketika satu permintaaan panggilan telepon datang, permintaan diantrikan. Sejumlah takhingga permintaan mungkin dapat ditangani dalam antrian dengan cara simultan sepertiini. Rumus ini menghitung peluang lalu lintas antrian, dengan mengasumsikan bahwa panggilan telepon yang diblok tetap dalam sistem sampai tertangani.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 514/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

521

∑ = −+

= m

i

 N i

m

w

 E  N  N 

 N  E 

i E 

 E  N 

 N 

m

 E 

 P 

0.

!!

.!  

Rumus EngsetRumus Engset digunakan bila populasi sumbernya hingga, yaitu S.

∑ =      

  

 

   

  

 

= N 

i

i

 N 

 N 

S  E 

 N 

S  E 

S  A N  E 

0

),,(  

C. SOFTWARE EASY-FITUntuk memeriksa distribusi dari suatu data dapat digunakan software Statistika

Easy Fit. Sebagai contoh, dengan menggunakan Maple-7 dibangkitkan secara random 20nilai yang berasal dari distribusi eksponensial, dengan perintah sebagai berikut:> with(stats): > random_data:=[random[exponential[2]](20)];

Diperoleh hasil:

random_data .2788011187 .1936485944 .2105176538 .3214705750 .4087418808, , , , ,[:=

.6866966305 .01629373640 .6418221770 .4635565590 .6843844905, , , , ,

.1504255036 .1855865446 .7977169405 .01997868119 .04629375924, , , , ,

1.615712546 .8381106970 .3023365382 .5164563705 1.266785579, , , , ]

 

Keduapuluh bilangan ini dimasukkan pada data Easy Fit, kemudian Analyze – Fitdistribution. Maka diperoleh rangking kecocokan distribusi beserta kurvanya sebagai berikut:

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 515/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

522

Terlihat bahwa distribusi eksponensial menempati peringkat ke-15 dari sekitar 50distribusi yang disediakan oleh Easy Fit, dengan rangking tertinggi adalah distribusiJohnson SB. Grafik dari Fungsi Distribusi kumulatifnya adalah

D. DAFTAR PUSTAKADenisov, D., Sapozhnikov, A., 2006, On the Distribution of the Number Customers in the

Symetric M/G/1 queue, Queeing Sustems: Theory: TheorY and Application, Vol54, Issue 4.

Kakiay, T.J., 2004,  Dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata, Penerbit Andi,Yogyakarta.

Marwati, R., 2007, Sistem Informasi Lama Waktu dalam Sistem Antrian, Penelitian HibahPembinaan UPI.

Ross, J.V., Taimre, T., Pollet, P.K., 2007,  Estimation for Queues from Queue Length Data, Queeing Systems:Theory and Application, Vol. 55, Issue 2

Ross, S.M., 1996, Stochastic Processes. Second Edition. New York: John Wiley and sonsInc.

Setiawan, W., 2006,  Penerapan Teori Antrian untuk Menentukan Jumlah LayananOptimal pada Nasabah PT Bank Rakyat Indonesia Cabang Sumedang , TugasAkhir – FPMIPA UPI

Siagian, P., 1987, Penelitian Operasional (Teori dan Praktek), Jakarta: UI Press.

Supranto, Johannes, 1998, Teknik Pengambilan Keputusan, Rineka Cipta, Jakarta.

Wikipedia, 2009, Poisson Distribution.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 516/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

523

Wikipedia, 2009, Exponential Distribution.

Wikipedia, 2009, Gamma Distribution.

Wikipedia, 2009, Erlang Distribution.

Wikipedia, 2009, Erlang Unit .

Wikipedia, 2009, Poisson Process.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 517/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

524

KAJIAN TABEL KONTINGENSI DALAM ANALISIS KETERGANTUNGANANTARA DUA FAKTOR KUALITATIF DENGAN KOEFISIEN KORELASI DAN

REGRESI LINIER SEDERHANA

Iwa Sungkawa*) Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Bina [email protected] m  

ABSTRAK

Tabel kontingensi dan sebaran khi-kuadrat merupakan alternatif yang dapat digunakandalam Analisis Ketergantungan Antara Dua Faktor Kualitatif. Kadar ketergantungan

antara faktor kualitatif tersebut dapat dicirikan oleh besar kecilnya nilai khi-kuadrat. Keeratan hubungan antara dua faktor kualitatif dapat dicirikan olehsebaran hasil amatan dalam tabel kontingensi, jika hasil amatan semuanya adadalam diagonal tabel dapat disimpulkan bahwa ada ketergantungan kuat antarakedua faktor kualitatif. Tetapi jika hasil amatan menyebar merata atau sama untuksetiap sel, akan didapat nilai khi-kuadrat sama dengan nol ini berarti tidak adaketergantungan antara kedua faktor kualitatif. Untuk hasil amatan yang penyebarannya tidak merata dan tidak terkumpul dalam diagonal tabel kontingensi,kita tidak bisa secara langsung menyimpulkan ada tidaknya ketergantungan dan perlu dilakukan uji khi-kuadrat.Selanjutnya untuk mengetahui arah hubungannya, apakah positif atau negatif dapatdigunakan analisis regresi dan korelasi. Bila koefisien arah garis regresi ataukoefisien korelasinya positif dapat diartikan bahwa kedua faktor tersebut

mempunyai hubungan searah, sehingga jika salah satu faktor meningkat akan berakibat faktor lainnya juga meningkat. Berlaku sebaliknya jika koefisien regresidan korelasinya negatif. Dalam kajian ini, digunakan kedua faktor dengan skalaordinal dan taraf dari salah satu faktor dianggap sebagai peubah bebas dan yanglainnya sebagai peubah tak bebas. Untuk menelaah adanya ketergantungan antarakedua faktor kualitatif dilakukan uji keberartian koefisien korelasi dan regresidengan Statistik t atau sebaran t. 

Kata Kunci : Tabel kontingensi, sebaran khi-kuadrat, koefisien korelasi, analisisregresi, sebaran t.

I PENDALUHUAN

Dalam suatu penelitian yang mengamati lebih dari satu faktor atau peubah, biasanyaakan timbul persoalan tentang relasi atau hubungan diantara faktor-faktor yang diamatidalam penelitian. Untuk mengetahui bentuk hubungan diantara faktor-faktor tersebutdapat digunakan analisis regresi yang merupakan hubungan sebab akibat. Dalam analisisregresi, bentuk hubungan diantara faktor dinyatakan dalam bentuk hubungan fungsionalyang dinyatakan dalam suatu persamaan dan disebut persamaan regresi. Persamaanregresi dapat ditentukan dari sebaran data hasil pengamatan dan bentuknya merupakangaris lurus (linier) atau dalam bentuk non linier (lengkung).

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 518/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

525

Sebagai tindak lanjut dari analisis regresi dapat ditentukan pula kadar atau keeratanhubungan diantara faktor-faktor tersebut. Untuk mengetahui dan mengukur keeratanhubungan diantara faktor-faktor dapat dipergunakan koefisien korelasi untuk faktor yang berbentuk kuantitatif, sedangkan untuk faktor yang berbentuk kualitatif pengukurankadar hubungan atau kadar ketergantungan dapat digunakan berbagai uji yangdiantaranya adalah uji khi-kuadrat untuk data yang tersaji dalam tabel kontingensi.Dalam tulisan ini dibahas tentang bagaimana mengukur kadar ketergantungan antara duafaktor kualitatif yang disajikan dalam tabel kontingensi dengan menggunakan uji khi-kuadrat. Suatu faktor dapat dinyatakan independen atau bebas dengan suatu faktorlainnya, jika dapat dibuktikan bahwa nilai hubungannya itu tidak ada atau nilai khi-kuadratnya relatif kecil dibandingkan dengan nilai khi-kuadrat dari tabel. Hal ini berlaku sebaliknya, yaitu jika nilai khi-kuadratnya lebih besar dari nilai khi-kuadrat daritabel, sehingga dapat disimpulkan kedua faktor tersebut saling tergantung. Keputusanyang menyatakan ada atau tidak adanya hubungan diantara kedua faktor dapatditentukan berdasarkan hasil pengujian hipotesis yang ditempuh dengan menggunakan

sebaran khi-kuadrat.Disamping itu dikaji pula bentuk khusus dari tabel kontingensi dalam melakukan ujiketergantungan antara dua faktor kualitatif. Bentuk khusus tabel kontingensi dicirikanoleh penyebaran hasil pengamatan dalam setiap sel dari tabel tersebut. Dua hal yangditelaah pada kajian ini adalah : penyebaran hasil pengamatan merata atau sama untuksetiap sel dari tabel dan sebut saja Oij = c untuk semua i dan j dan kondisi lainnya adalahhasil pengamatan mengelompok dalam diagonal tabel sebut saja Oij = c untuk i=j dan Oij = 0 untuk i 0 j.Untuk menelaah arah dari hubungan atau keterkaitan kedua faktor kualitatif digunakankoefisien korelasi dan analisis regresi linier sederhana dengan peubah bebasnya terdiridari taraf salah satu faktor dan taraf dari faktor lainnya sebagai peubah respon. Kajianuntuk pengujian koefisien regresi dan korelasi ditempuh dengan mengunakan sebarat t.Tujuan dari penulisan ini adalah untuk memberikan gambaran tentang prosedur dan

 penggunaan analisis ketergantungan antara dua faktor kualitatif yang disajikan dalamtabel kontingensi dengan menggunakan sebaran khi-kuadrat dan koefisien korelasi dananalisis regresi untuk menelaah keberartian dan arah dari bentuk hubungan tersebut.Selanjutnya membandingkan hasil dari kedua cara yang tempuh.Dengan kajian tersebut, diharapkan dapat memberikan gambaran pada penggunastatistika dalam menggunakan dan menerapkan prosedur dalam melakukan ujiketergantungan antara dua faktor kualitatif secara benar dan sesuai dengan persoalanyang dihadapi. 

II TABEL KONTINGENSI DAN UJI KETERGANTUNGAN

Uji Ketergantungan Antara Dua Faktor Kualitatif Dalam Tabel Kontingensi

Secara umum, hipotesis yang diuji dalam uji ketergantungan antara dua faktorkualitatif dapat ditulis sebagai berikutHo  : Kedua faktor tidak saling tergantung (independent)H1  : Kedua faktor saling tergantung astu sama lainDalam pelaksanaan uji ketergantungan atau kebebasan ini data hasil pengamatandisajikan dalam tabel kontingensi sebagai berikut :

F a k t o r IIFaktor I 1 2 J k Total

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 519/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

526

1 O11  O12  O1j  O1k   n1. 2 O21  O22  O2j  O2k   n2. 

i Oi1  Oi2  Oij  Oik   ni. 

 b O 1  O 1  O  j  O k   n . T o t a l n.1  n.2  n.j  n.k   n

Dari tabel di atas frekuensi yang diharapkan (Eij) ditentukan dengan rumus sebagai berikut :

k  jdanbiuntuk  ...,,2,1...,,2,1n

n*n Eij .ji. ===  

Untuk menguji hipotesis di atas digunakan statistic khi-kuadrat dengan rumus :

( ) ])(

[1

2

1

2

∑∑   ==

−= k 

 j ij

ijijb

ihitung 

 E 

 E Oχ  

merupakan peubah acak yang menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas [(k-1);(b-1)]. Kriteria pengujian : tolak Ho jika khi-kuadrat hasil perhitungan lebih besaratau sama dengan khi-kuadrat yang diperoleh dari tabel untuk taraf nyata )  yangdipilih dan derajat bebas [(k-1);(b-1)].

Regresi Linier SederhanaUntuk mempelajari bentuk hubungan fungsional antara dua peubah atau dua faktor biasa digunakan analisis regresi merupakan. Dalam analisis regresi, dikenal ada dua jenis peubah, yaitu : peubah respon atau disebut juga peubah tak bebas (dependent)yaitu peubah yang keberadaannya diperngaruhi oleh peubah lainnya dan biasadinotasikan dengan Y. Peubah prediktor dan disebut juga peubah bebas ( independent)yaitu peubah yang tidak dipengaruhi oleh peubah lainnya dan biasa dinotasikandengan X. Secara matematik hal tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi atauY = f(x). Untuk regresi linier sederhana bentuk persamaannya dapat digambarkanmelalui persamaan ∈++=  X Y    βα   dengan ∈   merupakan residual (sisaan) yang

diasumsikan menyebar normal. Dalam prakteknya bentuk persamaan regresi di atasdiduga oleh e X Y    ++= 1

^

0

^

ββ   dimana a dan b merupakan koefisien regresi

yang diperoleh dengan metode kuadrat terkecil, sedangkan ei  merupakan residualatau sisaan dan dapat ditulis )( 1

^

0

^^

iiiii  X Y Y Y e   ββ   +−=−= . Diasumsikan ei 

menyebar normal dengan rata-rata nol dan ragamnya ,e2  , jadi dalam melakukan

kajian dengan menggunakan analisis regresi diperlukan untuk mencek apakah persyaratannya sudah dipenuhi yang diantaranya syarat menyebar normal. Bentukyang digunakan untuk mempredisi dinyatakan dengan persamaan

ii  X Y  1

^

0

^^

ββ   += .

1

^

0

^

ββ dan diperoleh dengan metode kuadrat terkecil dan dapat dihitung denganrumus : 

∑ ∑

∑ ∑−

−=   = =

22

1 1

2

1

^

)(

)(

ii

n

i

n

iiiii

 X  X n

Y  X Y  X nβ

  dan  _ 

1

^ _ 

0

^

 X Y    ββ   −=  

Untuk menelaah apakah model regresi Y atas X dapat digunakan atau tidak perludilakukan uji hipotesis dengan rumusan sebagai berikut

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 520/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

527

0

0

11

1

=

β

β

 H 

 H o  

Bentuk statistik yang digunakan untuk uji di atas adalah^

1

^

1

β

β

S t hit    =

 

dengan derajat bebas (n-2), dimana n = banyaknya pengamatan (ukuran sampel).Untuk taraf nyata α dan derajat bebas (n-2), maka kriteria pengujiannya adalah tolak Ho  jika |thit | ≥  t0.5α (n-2) dan terima Ho  jika |thit | <  t0.5α (n-2). Bentuk hipotesis diatas digunakan hanya untuk uji koefisien regresi, tetapi jika

 pengujian dilakukan secara simultan dengan konstantaoβ   maka dapat digunakan

tabel analisis ragam/variansi (ANOVA) dengan sebaran f sebagai statistik ujinya.

Koefisien KorelasiUntuk menelaah adanya ketergantungan diantara dua peubah X dan Y atau diantara dua peubah/faktor, perlu ditentukan suatu ukuran ketergantungan, yaitu koefisien korelasi r xy dan secara statistik perlu dilakukan uji hipotesis dengan rumusan sebagai berikutHo  : ρ  = 0H1  : ρ  ≠  0Bentuk statistik yang digunakan untuk uji di atas adalah dimana n = banyaknya pengamatan (ukuran sampel)

thit  di atas menyebar secara t dengan derajat bebas (n-2).r xy  = koefisien korelasi sampel antara peubah acak X dan Y yang dihitung denganrumus

∑∑∑∑

∑ ∑ ∑

====

= = =

−−

−=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

n

iiiii

 xy

Y Y n X  X n

Y  X Y  X n

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1

}])({}{)([{

)()(

 

Untuk taraf nyata α dan derajat bebas (n-2), maka kriteria pengujiannya adalah tolak Ho : ρ  = 0 jika |thit | ≥  t0.5α (n-2) dan terima Ho  jika |thit | <  t0.5α (n-2). Jika hipotesis di atas hanya memperhatikan nilai ρ  > 0 atau uji arah kanan, maka bentuk kriteria ujinya adalah tolak Ho  : ρ  = 0 jika thit ≥  tα (n-2) dan terima Ho  jikathit <tα (n-2). 

III KAJIAN TABEL KONTINGENSI BENTUK KHUSUS DALAM UJIKETERGANTUNGAN ANTARA DUA FAKTOR KUALITATIF

Sebaran Hasil Pengamatan Merata (Sama) Untuk Setiap Sel

Jika hasil pengamatan yang terdapat dalam tabel kontingensi b*k merata atau samauntuk setiap sel dan sebut saja sama dengan konstanta c, maka Oij  = c untuk semuai = 1, 2, …, b dan j = 1, 2, …, k, sehingga total semua baris adalah ni. = k.c; totalsemua koloam adalah n.j = b.c dan total seluruh pengamatan adalah n = b.k.c. Untukkondisi seperti ini nilai yang diharapkan Eij dapat ditentukan sebagai berikut :Eij = (ni.  n.j)/n = (k.c .b.c)/b.k.c = c atau Oij = Eij = c  akibatnya nilai khi-kuadrat perhitungan sama dengan nol. Atau

21

2

 xy

 xyhit r 

nr t 

−−

=

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 521/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

528

( ) ])(

[1

2

1

2 ∑∑   ==

−= k 

 jij

ijijb

ihitung  E 

 E Oχ  = 0, karena Oij = Eij = c.

Sudah jelas kesimpulannya hipotesis diterima yang artinya tidak ada ketergantungandiantara dua faktor atau kedua faktor dianggap bebas (independen).

Sebaran Hasil Pengamatan Mengelompok Dalam Diagonal Tabel

a  Jika hasil pengamatan yang terdapat dalam tabel kontingensi b*k mengelompokdalam diagonal tabel dengan nilainya sama, yaitu Oij = c untuk i = j dan O ij = 0untuk i0 j, sehingga ni.  = c; n.j  = c dan n = r.c di mana r= min(b,k) sertaEij = (ni.. n.j)/n = (c . c)/ r.c = c/rUntuk kasus ini, nilai khi-kuadrat perhitungan didapat dengan ketentuan :Untuk sel dalam diagonal ada r buah dengan nilai khi-kuadrat c/r(r-1)2  danuntuk sel diluar diagonal tetapi dalam baris/kolom r ada sebanyak r(r-1) buahdengan niali khi-kuadrat c/r, sedangkan untuk sel lainnya nilai khi-kuadratnya

sama dengan nol, sehingga didapat( )

)1(

)1()1(

)/)(1()1(/.

])(

[

2

2

1

2

1

2

−=−+−=

−+−=

−=   ∑∑   ==

r r c

r cr c

r cr r r r cr 

 E 

 E Ok 

 jij

ijijb

ihitung χ  

 b  Jika hasil pengamatan yang terdapat dalam tabel kontingensi b*k mengelompokdalam diagonal tabel tetapi nilainya tidak sama  yaitu Oij = c i  untuk i = j dan Oij = 0 untuk i0 j, maka ni.  = ci; n.j = ci dan n = 1ci  sehingga Eij  = (ni.. n.j)/n =(ci. c i)/n = ci

2/n untuk i=j dan untuk i0 j Eij  = (ni.. n .j)/n = (ci.c j)/n. Nilai khi-kuadrat untuk perhitungan dapat ditentukan seperti di atas dengan r= min(b,k)dan dapat diperoleh sebagai berikut :

( )

 jiuntuk n

cnnc

ncc

i

i

i i

ii

hitung 

=−=

−=

∑∑

=

=

1

2

1 2

222

)()/(

)]/([χ

 

dan untuk i0 j nilai khi-kuadratnya adalah :

( )

 jiuntuk ncc

ncc

ncc

i  ji

 j

i ji

 jir 

 jhitung 

≠=

−=

∑∑

∑∑

==

==

11

1

2

1

2

)/.(

)/.(

)]/.(0[χ

 

 Nilia khi-kuadrat keseluruhan adalah jumlah kedua nilai di atas (untuk i=j dan i0 j).Bandingkan nilai khi-kuadrat hasil perhitungan baik untuk Oij = c  dan Oij = ci  dengannilai khi-kuadrat dari tabel dengan derajat bebas (b-1)(k-1). Prosedurnya sama seperti

kajian tabel kontingensi biasa.

Menentukan Arah Ketergantungan Dua Faktor Kualitatif Dalam TabelKontingensi

Pada bagian terdahulu telah diuraikan cara mendeteksi ada tidaknya ketergantunganantar dua faktor kualitatif. Berikut diamati bagaimana arah hubungannya, apakahkedua faktor terdapat hubungan searah (positif) atau berlawanan (negatif). Untuk ini

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 522/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

529

digunakan analisis regresi dengan memperhatikan tanda dari koefisien arah garisregresi atau dapat juga digunakan koefisien korelasi.Beberapa tahapan dalam menentukan garis regresi linier sederhana dalam tabelkontingensi adalah :•  Kedua faktor dalam tabel bertaraf dengan skala ordinal dan sebut saja i = taraf

faktor I dan j = taraf faktor II sehingga terdapat pasangan (i, j). Selanjutnyatentukan frekuensi dari setiap pasangan yaitu f k   dan banyaknya pengamatanadalah n = 1 f k  , k = 1, 2, …, (i*j).

•  Taraf salah satu faktor dapat dianggap sebagai peubah bebas dan yang lainnyadianggap sebagai peubah tak bebas (peubah respon).

•  Koefisien regresi linier sederhana y = a + b x, ditentukan dengan rumus :

∑ ∑

∑ ∑ ∑

= =

= = =

−=  ji

 ji

k k k 

 ji

 ji

 ji

k k k k 

 f i f in

 f  j f i f  jin

b.

1

.

1

22

.

1

.

1

.

1

).(

....  

sedangkan nilai konstanta a = (rata-rata j) -  b (rata-rata i) •  Koefisien b menentukan arah hubungan kedua faktor, jika b>0 (positif) maka

 bentuk hubungannya searah dan jika b<0 maka bentuk hubungannya berlawanan.•  Keeratan hubungannya dapat digunakan koefisien korelasi r yang ditentukan oleh

}).(}{).({

....

.

1

.

1

22.

1

.

1

22

.

1

.

1

.

1

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑ ∑

= == =

= = =

−−

−=

 ji

 ji

k k k 

 ji

 ji

k k k 

 ji

 ji

 ji

k k k k 

 f  j f  jn f i f in

 f  j f i f  jin

 

•  Uji koefisien korelasi untuk menelaah tingkat keberartian atau keeratan hubunganke dua faktor dapat dilakukan dengan statistik

21

2

nr t hit  −

−=  

dengan derajat bebas (n-2) dan taraf nyata tertentu.

IV CONTOH PENGGUNAAN

a)  Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dari kajian di atas, berikutdiberikan contoh penggunaannya yang bertujuan untuk mengukur kadarketergantungan antara dua faktor kualitatif yang disajikan dalam tabelkontingensi dengan masing-masing empat taraf (pilihan). Dalam tulisan inidigunakan data sampel penelitian yang dilakukan oleh Sutardji dalam JurnalPerpustakaan Pertanian Vol 14, nomor 1 tahun 2005 (http://www.pustaka-deptan.go.id/publikasi/pp141053.pdf  )

Dalam kesempatan ini, faktor yang diamati adalah : Jenjang Jabatan FungsionalPeneliti (JJFP) dan Jenis Literatur Yang Dirujuk (JLR). Data hasil penelitiandapat disajikan dalam tabel kontingensi 4*4 sebagai berikut :

Jenjang FungsionalPeneliti (i)

Jenis Literatur (j)

TotalJurnal

(4)

Buku/Monografi

(3)Prosiding

(2)

LiteraturLain(1)

Asisten Peneliti (1) 73 80 42 23 218

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 523/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

530

Ajun Peneliti (2) 94 52 44 30 220

Peneliti (3) 166 138 109 93 506

Ahli Peneliti (4) 233 179 122 164 698

Total 566 449 317 310 1.642Catatan : i,j = 1, 2, 3, 4; i = jenjang jabatan fungsional dan j = jenis

literatur yang dirujuk  

Dengan menggunakan rumus khi-kuadrat diatas diperoleh hasil sebagai berikut :

( ) ])(

[1

2

1

2 ∑∑   ==

−= k 

 jij

ijijb

ihitung   E 

 E Oχ   = 35.61 

Dari tabel khi-kuadrat dengan derajat bebas (b-1)(k-1) = 9 dan taraf nyata 5%(0,05) diperoleh nilai khi-kuadrat sebesar 16.92. Ternyata nilai khi-kuadrathitung lebih besar dari nilai tabel atau (35.61 > 16.92), berarti terdapat hubungannyata antara jenjang jabatan fungsional peneliti dengan jenis literatur yangdirujuk. Artinya jenis literatur yang dirujuk peneliti ditentukan atau dipengaruhioleh jenjang jabatan fungsional yang disandangnya.Kajian di atas belum melihat arah hubungan dari kedua faktor (jenjang jabatanfungsional peneliti dan jenis literatur yang dirujuk). Untuk menentukan arahhubungannya dapat digunakan koefisien korelasi dan analisis regresi liniersederhana sebagai berikut.Persamaan garis regresi dapat ditentukan dengan memisalkan i = jenjang jabatanfungsional (JJFP) dan j = jenis literatur yang dirujuk (JLR) dan denganmenggunakan rumus :

∑ ∑

∑ ∑ ∑

= =

= = =

−=

 ji

 ji

k k k 

 ji

 ji

 ji

k k k k 

 f i f in

 f  j f i f  jin

b.

1

.

1

22

.

1

.

1

.

1

).(

....   =( ) =

−−

2)968.4()820.16(*642.1

555.4(*)968.4)614.13(*642.1  -

0.0936dan konstanta a = (4.555/1.642) - (-0.0936) (4.968/1.642) = 3.06, sehingga garisregresinya adalah ; JLR = 3.06  - 0.0936 JJFP. Dari hasil tersebut, nampakkoefisiennya negatif dan dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan tidaksearah  atau berlawanan  antara jenjang jabatan fungsional peneliti dan jenisliteratur yang dirujuk.Selanjutnya untuk melihat adanya ketergantungan antara jenjang jabatan dan jenisliteratur dengan menggunakan skor dari kedua faktor dan dengan menggunakan

rumus koefisien korelasi di atas diperoleh nilai r = -0.0877 atau r

2

 = 0.0077. Inimenunjukan korelasi negatif  atau berlawanan yang artinya setiap kenaikan JJFPakan menyebabkan JLR menurun. Untuk lebih yakinnya perlu dilakukan ujiindependen terhadap koefisien korelasi tersebut dan dengan menggunakanketentuan di atas diperoleh nilai t-hitung sebagai berikut :

21

2

nr t hit  −

−=  =0077.01

2642.10877.0

−−

  = 3.57

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 524/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

531

Dengan derajat bebas n-2 = 1640 (cukup besar) maka dapat digunakan sebarannormal (sebagai bentuk pendekatan) dan dengan taraf nyata 0.05 diperoleh nilai Z

0.025  = 1.96. Ternyata nilai t-hitung lebih besar dari nilai tabel (3.57 > 1.96),

sehingga dapat disimpulkan bahwa hipotesis Ho  : ρ  = 0 yang menyatakankedua faktor saling bebas (independen) ditolak yang berarti terdapatketergantungan antara JJFP dan JLR atau koefisien korelasinya tidak samadengan nol. Tampak bahwa pengujian dengan khi-kuadrat dan koefisien korelasimenghasilkan kesimpulan yang sama, tetapi dengan koefisien korelasi dapatdiketahui arah hubungannya.

 b)  Untuk memberikan gambaran tentang kajian tabel kontingensi bentuk khusus,yaitu jika hasil pengamatan mengelompok pada diagonal tabel dan nilainya sama,yang diberikan dalam dua kasus sebagai berikut

Untuk kedua kasus akan memberikan nilai khi-kuadrat yang sama yaitu x2 = c.r(r-1) = 2.3.2 = 12 yang tentunya kesimpulannya juga sama. Jika digunaka koefisienkorelasi dengan pasangan data (1,1) (2,2) dan (3,3) yang frekuensinya sama yaitu2 akan diperoleh untuk kasus 1 :  koefisien korelasinya +1  sedangkan untukkasus 2 : koefisien korelasinya -1, sehingga kasus 1 dan kasus dua mendapathasil yang berlawanan. Dari contoh ini nampak bahwa kajian ketergantungandengan khi-kuadrat dan tabel kontingensi memberikan kesimpulan yang sama,tetapi jika digunakan koefisien korelasi hasil kajian kedua kasus juga sama tetapiarah hubungannya berbeda (berlawanan).

c)  Contoh berikut, jika hasil pengamatan sama untuk semua sel sebagai berikut

Untuk  kasus ini diperoleh nilai Eij = (12 . 12)/48 = 4 atau E ij = Oij = 4 untuksemua i dan j, sehingga nilai khi-kuadratnya sama dengan nol. Jelas untuk contohini memberikan hasil yang menyatakan kedua faktor saling bebas (tidak adaketergantungan diantara kedua faktor). 

V KESIMPULAN

Beberapa kesimpulan dari tulisan ini adalah sebagai berikut :•  Bila Qii = c untuk semua i dan j dapat diperoleh Eii = c atau Eii= Qii = c dan

nilai khi-kuadratnya sama dengan 0 (nol). Koefisien korelasinya jugasama dengan nol sehingga dapat disimpulkan tidak terdapatketerkaitan/ketergantungan diantara kedua fakktor.  Tetapi apabila Oij = cuntuk i =j dan Oij=0 untuk i0 j atau hasil pengamatan mengelompok

 pada diagonal tabel kontingensi dapat diperoleh nilai khi-kuadrat yangcukup besar yang berarti ada ketergantungan diantara kedua faktor. 

Kasus 1 1 2 3 Total1 2 0 0 22 0 2 0 2

3 0 0 2 2Total 2 2 2 6

Kasus 2 1 2 3 Total1 0 0 2 22 0 2 0 2

3 2 0 0 2Total 2 2 2 6

1 2 3 Total1 4 4 4 122 4 4 4 123 4 4 4 124 4 4 4 12

Total 16 16 16 48

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 525/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

532

•  Dengan uji khi-kuadrat dan hasil pengamatan yang tersaji dalam tabelkontingensi penelaahan kedua faktor, hanya dapat disimpulkan ada atau

tidak ada ketergantungannya, sedangkan arah hubungannya tidak dapatdideteksi. Untuk maksud ini dapat digunakan koefisien korelasi dananalisis regresi. 

•  Untuk hasil pengamatam yang tersebar dalam diagonal utama tabelkontingensi dan yang tersebar pada diagonal tetapi bukan diagonal utamadiperoleh nilai khi-kuadrat dan kesimpulannya sama untuk keduanya sertatidak menunjukan arah dari hubungannya. Kasus ini jika digunakankoefisien korelasi dan analisis regresi dapat diperoleh nilai koefisienkorelasi r = +1 untuk pengamatan yang tersebar dalam diagonal utamadan r = -1 untuk pengamatan yang tersebar dalam diagonal (bukandiagonal utama) sehingga untuk r = +1 kedua faktor membentuk hubungansearah, sedangkan untuk r = -1 berlaku sebaliknya (bentuk hubungannya

 berlawanan).•  Dalam contoh JJFP dan JLR nampak bahwa pengujian dengan khi-kuadrat dan

koefisien korelasi menghasilkan kesimpulan yang sama, tetapi dengan koefisienkorelasi dapat diketahui arah hubungannya. Arah hubungan yang didapat daricontoh kasus ini adalah negatif yang menunjukan bahwa bentuk hubungan antarakedua faktor adalah negatif atau berlawanan tetapi nilai/kadarnya kecil sekali.

DAFTAR PUSTAKA

Hogg, R.V. and A.T. Craig. (1995). Introduction to Mathematical Statistics. PrenticeHall. Singapore

Steel, R.G.D. and J.H. Torie. 1980. Prociples and Procedures of Statistics a BiometricalApproach, 2nd edition, Mc Graw Hill Book Company. Page 533.

Sudjana, 2002. Metode statistika. Tarsito, Bandung. 

Sutardji, Pengaruh Jenjang Jabatan Fungsional Peneliti Terhadap Penggunaan LiteraturRujukan Karya Ilmiah, Jurnal Perpustakaan Pertanian Vol 14, nomor 1, Bogor2005. http://www.pustaka-deptan.go.id/publikasi/pp141053.pdf . 

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 526/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

533

OPTIMALISASI WAKTU INVESTASIDENGAN REAL OPTION  MENGGUNAKAN MATLAB

Sudradjat1, , Elis Hertini 2, Siska D. Angraeni 3

1,2,3Jurusan Matematika FMIPA Universitas PadjadjaranJl. Raya Bandung-Sumedang km 21, Jatinangor

[email protected], [email protected], [email protected] 

Abstrak

Investasi merupakan masalah yang secara konseptual sulit dan kompleks untukdiselesaikan karena dalam investasi terkandung risiko atau terjadinya penyimpanganantara hasil yang diharapkan dengan hasil sesungguhnya, hal ini disebabkan karena faktorketidakpastian. Pendekatan yang dilakukan untuk menghadapi ketidakpastian pembuatankeputusan investasi yang mengoptimalkan waktu investasi adalah model  Real Option 

yang mengacu pada model Black Scholes. Terakhir sebagai ilustrasi diberikan contoh dan perhitungan numerik nilai Real Option yang dilihat sebagai call option atas saham dengan program aplikasi Matlab.Kata Kunci : investasi, Black Scholes, Real Option, optimalisasi, Matlab.AMS 2000 subyek k lasifi kasi  :91B28, 83C57, 62P05, 78M50, 90C15

AbstractInvestment problems is conceptually hard and complex to solve because we can find

some risks or deviation between the expected result and the real result, this is becauseuncertainty factor. The approaching to face the uncertainty of investment policy makingthat optimize the time investment is “The  Real Option” model which based from “The Black Scholes” model. Finally, we give illustrative examples and their numericalsolutions of the real option that seen as call option on stock can use the Matlab

Application program.Key words: Investment, Black Scholes, Real option, Optimization, Matlab.AMS 2000 subject classification : 91B28, 83C57, 62P05, 78M50, 90C15

1.  Pendahuluan

Matematika dengan kekuatan struktur dan penalarannya merupakan hal mendasaryang dilakukan untuk memperoleh pemecahan masalah. Perkembangan matematikasering merintis kemungkinan penerapannya yang baru pada bidang ilmu lain (Sudrajat,2008). Salah satu aplikasinya pada masalah investasi. Investasi adalah suatu kegiatanyang dilakukan oleh pemilik modal (pemodal) untuk membelanjakan sejumlah dana yangtidak habis dikonsumsi. Dana tersebut dapat digunakan untuk membeli barang-barangmodal atau diinvestasikan pada wahana tertentu dengan harapan akan mendapat hasil

yang memadai (Umar, 2007).Investasi dalam pengertian konsepsional merupakan hasil dari sebuah proses yang

 bersifat multi dimensional. Pembangunan ekonomi merupakan salah satu fungsi dari

investasi dalam artian penanaman modal atau faktor ekonomi yang paling esensial dan

mudah diukur secara kuantitatif. Iklim investasi merupakan suatu proses jangka panjang

yang senantiasa berjalan searah dengan perkembangan usaha. Iklim investasi bukan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 527/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

534

hanya dipertimbangkan pada awal rencana investasi, akan tetapi merupakan variabel

strategis yang akan menentukan keberhasilan investasi sepanjang perusahaan berjalan.

Investasi menjadi semakin sulit dan kompleks untuk diprediksi, akibatnya menghadapiketidakpastian (uncertainty) yang tinggi. Ketidakpastian ini harus diatasi dan harus dapat

dikapitalisasi agar dapat diperoleh manfaat yang besar. Pendekatan yang dilakukan untuk

menghadapi ketidakpastian tersebut dapat menggunakan model  Real Option  (Bahsoon

dan Emmerich, 2000).

Pada pembahasan ini akan dikaji tentang pembuatan keputusan investasi yang

mengoptimalkan waktu investasi, dengan lebih terfokus dengan metoda Real Option.

Tujuan dari paper ini adalah mengetahui nilai call dan menaksir waktu optimal yangdibutuhkan untuk menunda waktu investasi dengan metode  Real Option  denganmenggunakan program aplikasi Matlab.

Sistematika dari paper ini adalah : sesi 2 Real Option, sesi 3 perhitungan numerik dan

diakhiri dengan kesimpulan.2.  Konsep dan Teori Dasar Real Option

Option adalah suatu hak yang dimiliki oleh pemegang saham, bukan kewajiban yangharus dilaksanakan pada waktu kontrak tersebut jatuh tempo. Call Option  adalah hakuntuk membeli saham yang diperoleh dengan cara pihak pemegang call terlebih dahulumembeli call option dengan kesepakatan harga call, jangka waktu dan harga waktu jatuhtempo (exercise price). Investasi pemegang call akan pulang pokok, jika pada waktu jatuhtempo call, harga pasar = harga call + harga exercise. Keuntungan diperoleh jika waktu jatuh tempo call, harga pasar > harga call + harga exercise, demikian sebaliknya(Hakiman, 2005).

Dua pihak dalam option yaitu pembeli (taker/buyer ) dan penjual. Pembeli optionmenikmati hak untuk melakukan exercise (melakukan profit taking ) atau tidak melakukan

apa-apa. Penjual option mempunyai kewajiban untuk deal  pada kurs yang dikontrakkan jika pembeli memilih untuk exercise option. Penjual juga dikenal sebagai writer suatuoption (Faisal, 2001).

Strike price/exercise price adalah nilai dimana option akan di-exercise  jika pembelimemilih untuk melakukan exercise option. (Harga dimana seseorang dapatmembeli/menjual asset yang dikontrakkan)  In The Money (ITM) menjelaskan kondisioption yang akan menghasilkan profit jika di-exercise. Out of The Money (OTM)menjelaskan kondisi option yang akan menghasilkan loss/kerugian jika di-exercise.(namun kerugian tetap ada hanya sebesar premi yang harus dibayarkan)  At The Money(ATM) menjelaskan kondisi option yang tidak menghasilkan profit maupun loss jika di-exercise (Faisal, 2001). Faktor-faktor yang mempengaruhi harga saham diantaranya adalah harga saham, nilaiexercise, volatility , masa jatuh tempo  (time to expiry), suku bunga bebas resiko, dan

dividen.Option biasanya dikaitkan dengan saham atau obligasi. Seiring dengan waktu, analisis

 penetapan nilai option ini juga mulai digunakan untuk keperluan di sektor rill. Option inidikenal dengan Real Option.

Kontrak dalam  Real Option  merupakan perjanjian antara dua lembaga atau instansi(dalam prakteknya, bisa juga dua bagian dalam sebuah perusahaan) dimana salah satuanggotanya memiliki posisi atau hak untuk melakukan investasi pada suatu waktu

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 528/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

535

(expiration date) T t >  dengan besarnya biaya investasi sebesar  X   (exercise price) padasuatu waktu t  

Leslie dan Michaels (1997) serta Carlsson dan Fuller (2001) menghitung nilai  RealOption yang dilihat sebagai call option atas saham, sehingga untuk menghitung nilainyadapat digunakan teori Black Scholes yang persamannya :

0 0 1 2( ) ( ).T rT C S e N d Xe N d  δ−= −  (1)

d 1 =

20ln( ) ( )

2

S r T 

 X T 

σδ

σ

+ − + 

(2)

d 2 = d 1 - , T  , 

(3)

 dimana, X   = nilai exercise. 

0S    = harga saham sekarang ( )0 .t  =  

0C    = nilai Real Option.

T   = batas waktu pinjaman dalam tahun.r   = suku bunga bebas resiko.,  = volatiliti.

( )d  N    = fungsi kumulatif distribusi normal.

δ   = dividen.Dengan periode waktu maksimum T , investasi (nilai exercise) pada waktu

*, 0 *t t T ≤ ≤   menjadi suatu opsi, *t C  yang berharga positif dengan nilai maximum

sebagai berikut:*

0...max .t t t T 

C C =

=  (4)

Estimasi nilai real option dilakukan dengan asumsi :1.  Sesuai syarat penentuan harga opsi call yang digunakan yaitu  Black Scholes, maka

opsi call ini bergaya Eropa.2.  Volatility pergerakan saham adalah konstan selama periode opsi.3.  Suku bunga bebas resiko adalah konstan selama periode opsi.4.  Tidak ada biaya perdagangan opsi dan saham.5.  Tidak ada perhitungan pajak dari transaksi jual beli opsi.

3.  Perhitungan Numerik

Menurut Catatan Atas Laporan Keuangan Konsolidasian PT bank mandiri (Persero)Tbk, RUPS tahunan tanggal 22 Mei 2006 menyetujui pemberian MSOP Tahap 3sebanyak 306.416.215 opsi saham. Harga eksekusi per lembar saham adalah Rp.1.495,08 (nilai penuh) selama periode opsi.

Penetapan alokasi opsi saham dan kebijakan program MSOP Tahap 3 ditetapkan olehDewan Komisaris pada tanggal 28 Juli 2006. Masa berlaku opsi MSOP Tahap 3 adalah 5(lima) tahun dalam 5 (lima) periode dan diumumkan melalui Bursa Efek Jakarta NoPeng-989/BEJ-PSJ/P/10-2006 tanggal 31 Oktober 2006. Atas dasar kebijakan Dewan

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 529/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

536

Komisaris tersebut, Human Capital Group tanggal 30 Oktober 2007 menegaskan bahwaMSOP Tahap 3 dapat dieksekusi pada periode 1 (tanggal 5 Mei 2007).

Pada penyusunan skripsi ini, masa berlaku opsi MSOP Tahap 3 adalah 185 hari yaitudari tanggal 28 Juli 2006 – 5 Mei 2007.

 Nilai call dari MSOP Tahap 3 dapat diestimasi dengan menggunakan metode penentuan harga opsi Black Scholes dengan asumsi-asumsi sebagai berikut :1.  Suku bunga bebas resiko 11,65%.2.  Ekspektasi periode opsi adalah 185 hari.3.  Ekspektasi faktor ketidakstabilan harga saham sebesar 50%.4.  Ekspektasi dividen yang dihasilkan adalah 7,75%.

Menghitung nilai  Real Option  yang dilihat sebagai call option atas saham, sehinggauntuk menghitung nilainya dapat digunakan teori Black Scholes. Dan dengan bantuanaplikasi program matlab, didapat nilai call dengan ketentuan sebagai berikut :>> saham = saham>> nilai exercise = 1495.08

ans = 1495.08>> suku bunga bebas resiko = 0.1165ans = 0.1165

>> batas waktu periode option dalam tahun = 185/365ans = 185/365

>> volatilitas = 0.5ans = 0.5

>> dividen = 0.0775ans = 0.0775

>> [call] = blsprice ( saham, nilai exercise, suku bunga bebas resiko, batas waktu periode option dalam tahun, volatilitas, dividen)>> plot (call)

Grafik Real Option

0

0.5

1

1.5

2

1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181

Data

   N   i   l  a   i   R  e  a   l   O  p   t   i  o  n

 Gambar 1. Grafik Real Option

4.  Kesimpulan

Dari hasil pembahasan, dapat disimpulkan sebagai berikut:

1.  Semakin tinggi harga saham sedangkan faktor lain diasumsikan tetap, makasemakin besar pula nilai call.

2.  Waktu maksimum untuk melakukan investasi sehingga memperoleh keuntunganyang maksimum pula dapat dilihat dari maksimum nilai call.

3.  Dalam satu periode option bisa meng-exercise option satu kali atau lebih.4.  Metode  Real Option  adalah metode yang tepat untuk diaplikasikan ke dalam

masalah investasi yang salah satunya adalah masalah penentuan waktu optimal

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 530/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

537

yang dibutuhkan untuk menunda investasi. Sehingga skripsi ini dapat menjadi bahan tambahan literatur bagi yang ingin mempelajari aplikasinya.

Daftar Pustaka

Bahsoon dan Emmerich. 2001.  ArchOptions : A Real Options-Based Model for Predicting the Stability of Software Architectures, Working paper. Dept. OfComputer Science University Colloge London.

Carlsson, Christer dan Fuller, R. 2001. On Optimal Investment Timing Ewith Fuzzy RealOptions. Proceeding of the EUROFUSE 2001 Workshop on Preference Modellingand Applications. Spanyol.

Black, F dan Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Jurnal

of Political Economy, pp 637-659.

Eman. 2005. Call Option, Skripsi. Universitas Kristen Petra.

Faisal, M. 2001.  Manajemen Keuangan Internasional Dengan Penekanan Praktek Pada Pasar Devisa, Edisi Pertama. Salemba Empat.

Hakiman. 2005.  Model Penentuan Harga Ipo Di Bursa Efek Jakarta Dengan Menggunakan Metode Real Option, Disertasi, Fakultas Ekonomi, Bandung :Universitas Padjadjaran.

Leslie, K. J dan Michaels, M. P. 1997. The Real Power of Real Options, The McKinseyQuarterly

Purwantono, Sarwoko dan Sandjaja. 2009.  Laporan Keuangan Konsolidasian Beserta Laporan Auditor Independen tahun yang berakhir pada tanggal-tanggal 31 Desember 2008 dan 2007 , Jakarta : PT Bank Mandiri (Persero) Tbk.

Sudrajat, 2008.  Peranan matematika dalam perkembangan Ilmu Pengetahuan danTeknologi, The Power of Mathematics for all aplications, Matematika, SeminarSehari Himatika ,Bandung : UNISBA.

Umar, Rahman. 2007. Strategi Investasi Saham Portopolio Melalui Bursa Efek Jakarta.Jakarta.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 531/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

538

OPTIMALISASI WAKTU INVESTASI DENGAN FUZZY REAL OPTION  

Sudradjat1

, Elis Hertini2

, Andine Astiany3

 1,2,3Jurusan Matematika FMIPA Universitas PadjadjaranJl. Raya Bandung-Sumedang km 21 Jatinangor

[email protected], [email protected], [email protected] 

Abstrak

Paper ini membahas tentang waktu yang diperlukan untuk menunda investasimenggunakan model  Fuzzy Real Option dengan pendekatan model Black Scholes,dimana presen value  dari ekspektasi cash flows dan biaya ekspektasi diestimasidengan bilangan segitiga  fuzzy  dan terakhir diberikan ilustrasi perhitungannumerik pada investasi saham.

Kata Kunci : Investasi , Real Option, himpunan fuzzy.AMS 2000 subject clasif ication : 91B28, 83C57, 54A50,03E72, 03H10

1. PendahuluanPerkembangan ilmu pengetahuan matematika pada saat ini sangat pesat. Hal ini

terjadi seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan lainnya. Perkembangan ilmu pada

dasarnya tidak akan lepas dari konsep matematika, dikarenakan matematika adalah suatu

alat yang dapat menyelesaikan masalah secara sistematik. Model matematika merupakan

salah satu cara yang digunakan untuk menganalisis suatu fenomena nyata antara lain

dalam bidang investasi.

Investasi adalah suatu kegiatan yang dilakukan oleh pemilik modal untukmembelanjakan sejumlah dana yang tidak habis dikonsumsi. Dana tersebut dapatdigunakan untuk membeli barang-barang modal atau diinvestasikan pada wahanatertentu dengan harapan akan mendapat hasil yang memadai (Umar, 2007).Investasi mempunyai nilai waktu karena investasi yang diputuskan sekarang baruakan memberikan hasil pada waktu yang akan datang dalam kurun waktu yangcukup panjang. Selain itu, investasi mengandung risiko, artinya dalam prosesinvestasi pasti terdapat kemungkinan terjadinya kegagalan atau penyimpanganantara hasil yang diharapkan dengan hasil sesungguhnya. Karena investasimempunyai nilai waktu dan risiko maka optimalisasi waktu investasi menjadisemakin sulit dan kompleks untuk diprediksi, akibatnya investor akan menghadapiketidakpastian yang tinggi.

Salah satu jenis investasi yang banyak diminati saat ini adalah saham. Halini dapat terjadi karena saham memiliki tingkat pendapatan yang lebih besardaripada tingkat pendapatan yang dihasilkan deposito atau investasi lainnya.

 Namun mengingat saham merupakan jenis investasi beresiko tinggi maka sebelum berinvestasi, investor perlu memikirkan berbagai pertimbangan dan analisis yangmatang agar dapat meminimalkan resiko.

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 532/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

539

Pada paper ini akan dikaji masalah tentang pembuatan keputusan investasiyang mengoptimalkan waktu investasi, dengan lebih terfokus dengan model  Fuzzy

 Real Option. Penelitian ini merupakan hasil pengembangan dari penelitian yangsebelumnya telah dilakukan oleh Christer Carlsson dan Robert Fuller.Sistematika dari paper ini adalah: sesi 2 model  Real Option, sesi 3

himpunan dan bilangan fuzzy, sesi 4 model Fuzzy Real Option, sesi 5 perhitungannumerik dan diakhiri dengan kesimpulan.

2. Konsep Dasar dan Teori Real Option  Dalam perdagangan saham dikenal istilah option. Option adalah suatu hak

yang dimiliki pemegangnya, bukan kewajiban yang harus dilaksanakan padawaktu kontrak tersebut jatuh tempo. 

Salah satu jenis option  antara lain call option.  Call option  adalah hakuntuk membeli saham yang diperoleh dengan cara pihak pemegang call terlebih

dahulu membeli call option  dengan kesepakatan harga call, jangka waktu danharga waktu jatuh tempo (exercise price) (Hakiman, 2005).

Secara umum model option dapat didekati dengan model  Black   Scholes.Pada tahun 1973 Merton memperluas model option  pendekatan  Black Scholes dengan cara memasukkan variabel dividen. Persamaannya adalah (Hakiman,2005): 

(1)

(2)

(3)dimana

 = nilai call option.= nilai exercise. = harga saham sekarang= periode option.= suku bunga bebas resiko.

= volatiliti.= fungsi kumulatif distribusi normal.= dividen.Dalam aplikasinya analisis penetapan nilai option  digunakan untuk

keperluan di sektor rill. Option  ini dikenal dengan istilah  Real Option. Adapun persamaan yang digunakan sama dengan persamaan (1), hanya saja ada sedikit pendekatan secara riil dalam beberapa variabelnya, antara lain dinotasikansebagai nilai  Real Option dan  yang semula dinotasikan sebagai harga sahamsekarang berubah menjadi nilai present value ekspektasi cash flow ( ).

 Real Option dapat digunakan untuk mengatasi masalah dalam menentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan dalam menunda investasi agar diperoleh

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 533/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

540

manfaat yang optimal. Dengan periode waktu maksimum , investasi dapatdilakukan pada saat dimana dengan opsi ( ) yang bernilai positif dan

maksimum sebagai berikut (Carlsson dan Fuller, 2001):

(4) dimana

(5)

3. Himpunan dan Bilangan Fuzzy  Bilangan  fuzzy adalah himpunan  fuzzy  dengan fungsi keanggotaan

normal, konveks, dan kontinu.  Family dari himpunan  fuzzy dinotasikan sebagai

.Definisi 3.1 Misalkan  adalah himpunan semesta. Maka himpunan fuzzy darididefinisikan dengan fungsi keanggotaan (membership function)

(6)

dimana setiap elemen bilangan real, berada  pada interval [0,1] , dannilai menunjukan tingkat keanggotaan (membership) dari pada(Baoding, 1999).Adapun himpunan fuzzy  didefinisikan (Sudrajat, 2007a, 2007b):

(7)

Sedangkan himpunan level dari himpunan  fuzzy  di yang dinotasikan ,

didefinisikan (Collan, et al , dan Sudrajat, 2007b):

, (8)

Selain persamaan di atas, juga bisa digambarkan dengan bentuk persamaan

sebagai berikut (Carlsson dan Fuller, 2001):. (9)

Himpunan fuzzy dari dikatakan konveks jika subset konveks dari untuk

setiap .Definisi 3. 2  Misalkan adalah bilangan  fuzzy dan adalah subset convexdari untuk setiap . Maka terdapat:

, (10)

, (11)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 534/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

541

dimana menunjukkan sisi sebelah kiri dan menunjukkan sisi sebelahkanan dari himpunan level . (Collan, Fuller, dan Mezei, 2008: 4).

Definisi 3. 3 Himpunan fuzzy disebut bilangan segitiga fuzzy dengan pusat di , lebar (sisi sebelah kiri), dan lebar (sisi sebelah kanan) jika

bentuk fungsi keanggotaannya adalah

(12)

dimana . Dari persamaan (12) , didapat persamaan sebagai berikut:

. (13)

 Dengan (Collan, Fuller, dan Mezei, 2008: 4).

Definisi 3. 4   Persamaan ekpektasi dari bilangan fuzzy denganadalah (Collan, Fuller, dan Mezei, 2008):

(14)

Dari definisi di atas, maka didapat persamaan ekspektasi untuk bilangan segitiga  fuzzy,yaitu (Carlsson dan Fuller, 2000: 4):

(15)

4. Fuzzy Real Opti on Fuzzy Real Option  adalah model  Real Option yang diolah dengan

menggunakan aturan himpunan  fuzzy. Dalam aturan pengolahan  fuzzy, langkah pertama yang dilakukan adalah proses  fuzzyfikasi.  Berdasarkan pernyataan diatas, maka  present values dari ekspektasi cash flow harus difuzifikasi terlebihdahulu ke dalam bentuk bilangan segitiga  fuzzy sebagai berikut (Wang dan Lee,2007: 5):

, (16)

Gambar 1. Grafik persamaaan bilangan segitiga  fuzzy

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 535/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

542

dimana derajat kepercayaan  present value  yang paling mungkin dari ekspektasicash flow dinotasikan dengan , adalah nilai yang terbesar , dan adalah nilai

terkecil dari present value ekspektasi cash flow. Dengan cara yang sama dilakukan juga fuzifikasi terhadap ekspektasi cost/exercise ke dalam bentuk bilangan segitiga  fuzzy sebagai berikut (Wang dan Lee,2007: 5):

,(17)

dimana derajat kepercayaan yang paling mungkin dari ekspektasi cost/ exercise dinotasikan dengan , adalah nilai yang terbesar , dan adalah nilai terkecildari ekspektasi cost/ exercise. 

Setelah dilakukan fuzifikasi terhadap variabel present values ekspektasi cash

 flow dan ekspektasi cost/ exercise, maka dilakukan langkah kedua dalam pengolahan fuzzy yaitu proses evaluasi rule. Evaluasi rule yang digunakan dalam paper ini adalah  Real Option sehingga didapat formula baru yang disebut  Fuzzy Real Option  dengan bentuk persamaan sebagai berikut (Carlsson dan Fuller, 2001):

(18)dimana

, (19)

(20)

Berdasarkan karakteristik dari bilangan segitiga  fuzzy dan prinsip yangdikemukakan oleh Zadeh pada tahun 1965, maka untuk dua bilangan segitiga  fuzzy (triangular fuzzy numbers) dan berlaku sifat-sifat sebagai berikut (Wang dan Lee, 2007: 4):

1.  Penjumlahan dua bilangan  fuzzy 

. (21)2.  Perkalian bilangan real dengan bilangan fuzzy

. (22)

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan segitiga  fuzzy  didapat persamaan 

sebagai berikut (Carlsson dan Fuller, 2001): 

(23)

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 536/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

Kontribusi Matematika dan Pendidikan Matematika dalamMenumbuhkembangkan Kemandirian dan

Kepercayaan Diri Bangsa

543

Dengan demikian, secara umum didapat suatu cara pengambilan keputusaninvestasi dalam bentuk bilangan  fuzzy. Sehingga dengan periode waktu

maksimum , investasi dapat dilakukan pada saat dimana dengan opsi( ) yang bernilai positif dan maksimum sebagai berikut (Carlsson, dan Fuller, 2001):

(24) 

dimana

(25)

dinotasikan sebagai ekspektasi ( fuzzy) cash flow  pada saat waktu dan  

adalah suku bunga bebas resiko.Pada perhitungannya, karena anggota himpunannya masih dalam bentuk bilangan segitiga  fuzzy  maka untuk mencari nilai maksimal dari himpunan

ini tidak mudah.  Oleh karena itu, untuk mengatasi hal tersebutdiperlukan suatu proses penyelesaian yang juga merupakan langkah terakhir dari

 proses pengolahan  fuzzy, yaitu proses defuzzyfikasi. Dalam proses defuzzyfikasiini, hal yang akan dilakukan adalah menghitung nilai ekspektasi  Fuzzy Realoption  dalam bentuk segitiga dengan bentuk persamaan

 berdasarkan persamaan (14) (Carlsson dan Fuller, 2001: 4): 

. (26)

Dimana , , dan adalah nilai terbesar, menengah, dan terkecil dari setiapanggota bilangan dalam himpunan  Fuzzy Real Option. Setelah dilakukan prosesdefuzzyfikasi, maka keluaran yang dihasilkan telah kembali menjadi bentukhimpunan crisp lagi, sehingga persamaan (24) dapat digunakan untukmendapatkan solusi.

5. Perhitungan NumerikPada sesi ini dibahas mengenai perhitungan dari model  Fuzzy Real Option.

Berdasarkan persamaan (1) data yang digunakan adalah data saham penutupan harian 22Mei 2006 sampai dengan 21 agustus 2009 yang diambil dari situshttp://finance.yahoo.com/lookup?s=bmr i. Selain itu, dibutuhkan data penunjang yang

diambil dari Catatan Atas Laporan Keuangan Konsolidasian PT bank mandiri (Persero)Tbk, RUPS tahunan tanggal 22 Mei 2006 MSOP Tahap 3, yaitu suku bunga bebas resiko11,65%, ekspektasi periode opsi 782 hari, ekspektasi faktor ketidakstabilan harga sahamsebesar 50%, ekspektasi dividen yang dihasilkan adalah 7,75%, dan nilai exercise  perlembar saham adalah Rp. 1.495,08 (nilai penuh) selama periode opsi.

Karena data saham yang digunakan adalah data saham harian, maka untukmempermudah perhitungan call option  pada persamaan (18), variabel-variabeldengan satuan persen pertahun, yaitu suku bunga bebas resiko dan ekspektasi

7/17/2019 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pend. Matematika 2009.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/prosiding-seminar-nasional-matematika-dan-pend-matematika-2009pdf 537/537

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Bandung, 19 Desember 2009 

dividen dirubah ke dalam satuan persen perhari (asumsikan satu tahun terdiri dari365 hari). Hasilnya, suku bunga bebas resiko menjadi bernilai 0,0319% dan

ekspektasi dividen menjadi bernilai 0,212%.Setelah melakukan perhitungan call option dengan model  Fuzzy RealOption berdasarkan persamaan (18) didapat = 1652, 488 dengan = 768. Ini

 berarti bahwa dengan periode/ batas waktu jatuh tempo = 782 hari makasebaiknya pengambilan keputusan investasi ditunda sampai pada saat = 768(tepatnya pada tanggal 3 Agustus 2009) dimana opsinya diperkirakan akan

 bernilai Rp. 1652,488;-.

4. Kesimpulan