praktikum statistik modul ii

PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013 MODUL II

MODUL II

DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU

A. TUJUAN PRAKTIKUM

Melalui praktikum Modul II ini diharapkan praktikan dapat:

1. Mengenal jenis dan karakteristik dari beberapa distribusi peluang.

2. Menguji dan memahami central limit theorem.

3. Melakukan pengujian terhadap fungsi distribusi peluang dari suatu data.

B. TEORI PENDUKUNG PRAKTIKUM

1. Distribusi Peluang

Distribusi peluang merupakan tabel, grafik atau rumus yang

memberikan nilai peluang dari sebuah peubah/variabel acak. Berdasarkan

karakteristik peubah acaknya, distribusi peluang dapat dibedakan menjadi

dua, yakni distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinyu.

2. Distribusi peluang diskrit

Distribusi peluang diskrit adalah distribusi peluang dimana semesta

peubah acaknya dapat dihitung atau berhingga, misalnya peubah acak

sebuah lemparan dadu bernilai 1 hingga 6. Apabila himpunan pasangan

terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi masa peluang, atau

distribusi peluang peubah acak diskrit x maka untuk setiap kemungkinan

hasil x berlaku:

a. f(x) > 0

b. f (x) 1

c. P (X=x) = f(x)

Beberapa distribusi peluang diskrit adalah :

a. Distribusi seragam (Uniform)

Pada distribusi ini setiap peubah acak memiliki nilai peluang yang

sama. Jika X adalah adalah suatu peubah acak dengan nilai x1, x2, …, xk

13 Laboratorium Teknik Industri

PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013

MODUL II

masing-masing memiliki nilai peluang yang sama, maka distribusi

seragam dapat dituliskan:

( ; ) = 1 , = , , … , .

Contoh distribusi seragam adalah distribusi peluang munculnya

angka dadu (1 hingga 6) ketika dilempar, yaitu 1/6.

b. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial merupakan distribusi peluang yang dihasilkan

dari proses Bernoulli yang memiliki empat karakteristik utama, yaitu:

1) Percobaan dilakukan pengulangan sebanyak n kali.

2) Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni: sukses atau gagal.

3) Peluang sukses (p) pada setiap percobaan adalah konstan.

4) Pengulangan percobaan harus bebas (independent) satu sama lain,

artinya hasil eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil

eksperimen yang lainnya.

Sebuah percobaan Bernoulli dengan peluang sukses p dan peluang

gagal q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X

(jumlah kejadian sukses dalam n kali percobaan) dapat dituliskan:

b(x;n;p) = npx q n-x, x = 0, 1, 2, ..., n.

x

Peluang terambilnya kartu As di setiap pengambilan satu kotak

kartu merupakan salah satu contoh percobaan Bernoulli.

c. Distribusi Hipergeometrik

Cara sederhana untuk membedakan distribusi Hipergeometrik

dengan distribusi Binomial adalah dengan melihat proses penarikan

sampelnya. Pada distribusi Binomial, antar percobaan bersifat bebas

sedangkan pada distribusi Hipergeometrik peluang sukses percobaan

saat ini bergantung pada hasil percobaan sebelumnya.

Percobaan Hipergeometrik memiliki sifat berikut:

1) Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda


2) Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N-

k, diberi nama gagal, sehingga distribusi peluang peubah acak

Hipergeometrik X (banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n

yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan

N-k bernama gagal ialah:

k N k

h(x; N, n, k) = n n x x = 1, 2, ..., n.N

n

Pengunaan distribusi Hipergeometrik terdapat banyak bidang,

antara lain pada penerimaan sampel, pengujian elektronik dan

pengendalian mutu.

d. Distribusi Poisson

Eksperimen Poisson adalah eksperimen yang menghasilkan nilai

dari suatu peubah acak X, yaitu jumlah keluaran yang terjadi selama

satu selang waktu atau di antara suatu daerah. Misalkan, jumlah

panggilan telepon per jam yang diterima oleh suatu kantor, banyaknya

hari sekolah di tutup karena banjir, banyaknya kertas rijek karena

salah ketik dll.

Percobaan Poisson berasal dari proses Poisson yang memiliki sifat

sebagai berikut:

1) Jumlah keluaran yang muncul dalam suatu rentang waktu atau

suatu daerah tidak dipengaruhi (independent) terhadap jumlah

keluaran yang terjadi di rentang waktu atau daerah yang lain yang

terpisah.

2) Peluang bahwa yang satu keluaran akan muncul dalam selang

waktu yang sangat pendek atau daerah yang kecil adalah

proporsional dengan panjang selang waktu atau luas dari daerah.

3) Peluang muncul lebih dari satu keluaran dalam selang waktu yang

amat pendek atau daerah yang kecil dapat diabaikan.


Distribusi peluang acak Poisson X yang menyatakan banyaknya

sukses yang terjadi dalam selang waktu tertentu dinyatakan dengan t

diberikan oleh:

p(x;λt) = e t ( t ) x x = 0, 1, 2, ....

x!dimana t menyatakan banyaknya sukses yang terjadi per satuan

waktu atau daerah, sedangkan e = 2,71828 ....

Distribusi Poisson dianggap sebagai pendekatan pada distribusi

Binomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan p

(probabilitas sukses) sangat kecil.

3. Distribusi Peluang Kontinyu

Distribusi peluang kontinyu adalah peubah acak yang dapat

memperoleh semua nilai pada skala kontinyu. Ruang sampel kontinyu

adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga

banyaknya. Syarat dari distribusi kontinyu adalah apabila fungsi f(x)

adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinyu X yang didefinisikan di

atas himpunan semua bilangan riil R bila:

a. F(x) > 0 untuk semua x R

f (x)dx 1

b.

f (x)dx

c. P(a<X<b) =



Beberapa contoh distribusi kontinyu antara lain:

a. Distribusi Normal

Distribusi Normal disebut juga Gausian distribution adalah salah

satu fungsi distribusi peluang berbentuk lonceng seperti gambar

berikut.

x

µ

Berdasarkan gambar di atas, distribusi Normal akan memiliki

beberapa ciri diantaranya:

1) Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk

seperti genta.

2) Simetris terhadap rataan (mean).

3) Kedua ekor/ ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya tetapi

tidak pernah mamotong.

4) Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama

dengan σ

5) Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari - ~ sampai +

~ sama dengan 1 atau 100 %.

Distribusi Normal memiliki dua parameter yaitu rataan (µ) dan

simpangan baku (σ). Jika X merupakan peubah acak, maka fungsi

padat X dengan distribusi normal dinyatakan dengan

1 (1/ 2)[(x ) / )2

n(x;µ σ) = e2 2

dengan π = 3,14.... dan e = 2,71828....



b. Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial memiliki pertalian erat dengan distribusi

Poisson. Jika pada Poisson, peubah acak poisson X menggambarkan

jumlah keluaran yang terjadi pada suatu selang waktu atau luas daerah

tertentu, maka peubah acak Eksponensial X menggambarkan panjang

rentang waktu antara suatu kejadian dengan kejadian lainnya.

Gambar kurva distribusinya di gambarkan di bawah ini:

y

0 x

Dalam hal ini peubah acak X pada distribusi Poisson berkisar

antara 0 sampai tak terhingga (0 < x < ) dan bersifat kontinyu.

Peubah acak kontinyu X berdistribusi Eksponensial dengan

parameter , fungsi densitasnya diberikan oleh:

( ) = 1 , > 0

0 , untuk x lainnya

dimana > 0.

c. Distribusi Gamma

Distribusi Gamma memiliki hubungan yang erat dengan distribusi

Eksponensial, karena distribusi Eksponensial merupakan salah satu

bentuk khusus dari distribusi Gamma. Jika peubah acak kontinyu X



berdistribusi Gamma dengan parameter dan maka fungsi

densitasnya dapat dirumuskan sebagai berikut:( ) = 0 1 / , > 0

( )Γ untuk lainnya

dimana > 0 dan > 0, sedangkan ( ) merupakan fungsi Gamma yang dirumuskan sebagai

( ) =Γ

Pada kasus khusus, yaknik jika =1, maka fungsi distribusiGamma akan menjadi distribusi Eksponensial. Penerapan kedua

distribusi banyak dijumpai untuk menggambarkan permasalahan-

permasalahan antrian dan keandalan.

d. Distribusi Chi-kuadrat

Distribusi ini memegang peranan penting dalam statistika inferensi,

terutama untuk uji hipotesis dan penaksiran parameter. Pada dasarnya

distribusi Chi-kuadrat juga merupakan bentuk khusus dari distribusi

Gamma, yakni ketika nilai = v/2 dan = 2, dimana v adalah derajat

kebebasan yang merupakan bilangan integer positif.

Peubah acak kontinyu X berdistribusi Chi-kuadrat (derajat

kebebasan v), jika fungsi densitasnya dapat dirumuskan dengan

( ) = 1 / / , > 0

2 Γ(

)2

e. Distribusi Weibull 0 untuk lainnya

Seperti distribusi Eksponensial dan distribusi Gamma, distribusiWeibull banyak diterapkan pada persoalan keandalan dan pengujian

panjang umur (life testing) suatu komponen.

Peubah acak kontinyu X berdistribusi Weibull dengan parameter

, jika fungsi densitasnya diberikan oleh

19 Laboratorium Teknik

Industri

PRAKTIKUM STATISTIKA INDUSTRI 2013

MODUL II

( ) = , > 0

0 untuk lainnya

dimana > 0 dan > 0.

4. Uji Kebaikan-suai (Goodness-of-fit test)

Uji ini dilakukan untuk menentukan apakah suatu populasi mempunyai

suatu distribusi teoritis tertentu. Uji tersebut didasarkan atas sejauh mana

tingkat kedekatan/kesesuaian yang ada antara frekuensi pengamatan dan

frekuensi harapan. Uji kebaikan-suai ini didasarkan pada besaran:

= ( − )

dimana 2 merupakan nilai peubah acak yang distribusi samplingnya

dihampiri oleh distribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = k-1,

sedangkan oi dan ei masing-masing menunjukkan frekuensi amatan dan

harapan ke-i.

C. ALAT DAN BAHAN

1. Komputer

2. Kancing

D. PROSEDUR PRAKTIKUM

1. Dalam praktikum ini anda melakukan melakukan percobaan Bernauli dan

melakukan pembuktian terhadap central limit theorem.

2. Setiap praktikan akan diberikan 1 toples kancing dengan warna

tertentu yang merepresentasikan produk yang cacat.

3. Lakukan pengambilan:

a. Sebuah kancing dengan pengembalian sebanyak 100 pengulangan

b. Sebuah kancing tanpa pengembalian sebanyak 100 pengulangan

4. Lakukan pencatatan hasil dan hitung proporsi produk cacat di setiap

pengambilan.

5. Lakukan pengujian distribusi hasil dengan menggunakan uji goodness of

fit dan simpulkan.



6. Asisten akan memberikan data lengkap tentang lead time pengerjaan suatu

produk.

7. Dengan menggunakan Ms. Excel lakukan proses random sampling

dengan ukuran:

a. 10 sampel dengan 1000 pengulangan;

b. 30 sampel dengan 1000 pengulangan;

8. Catat nilai rata-rata lead time sampel dan buat histogram lalu lakukan

pengujian apakah sampling rata-rata berdistribusi normal.

E. TUGAS LAPANGAN

1. Lakukan pengamatan di lapangan terhadap kejadian kedatangan

suatu obyek pada suatu pelayanan. Diskusikan dengan asisten.

2. Lakukan pencatatan waktu kedatangan tiap obyek selama minimal 8 jam.

3. Buat histogram:

a. waktu rata-rata kedatangan obyek

b. waktu antar kedatangan obyek

4. Lakukan pengujian apakah data (a) mengikuti distribusi Poisson dan data

(b) mengikuti distribusi eksponensial, lakukan analisa dan laporkan.

5. Dikumpulkan dalam 1 minggu

F. REFERENSI

1. Dajan, Anto, 1986. “Pengantar Metode Statistik Jilid II”. Penerbit LP3ES,

Jakarta.

2. Supranto, 1994. “Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2”. Penerbit Erlangga,

Jakarta.

3. Walpole, Ronald E, 1995. “Pengantar Statistik Edisi Ke-4”. PT Gramedia,

Jakarta.


praktikum statistik modul ii

Documents