pra kalkulus 2013.1-v2

BAHAN AJAR

PRA KALKULUS I

Oleh:

Edwin Setiawan N., M.Sc

2013

Kata Pengantar

Saya panjatkan puji dan syukur kepada Tuhan Yang MahaKuasa yang telah memberikan kekuatan dan kemudahan dalam penyusunan Bahan Ajar Pra Kalkulus 1.

Bahan ajar ini merupakan revisi dari bahan ajar sebelumnya. Beberapa bab baru yang ditambahkan yaitu fungsi aljabar dan fungsi transeden. Selain itu ada beberapa tambahan mater pada Bab 5 Fungsi yang membahas pergeseran fungsi dan fungsi ganjil/genap. Perubahan-perubahan ini bertujuan untuk memberikan materi-materi yang memungkinkan mahasiswa lebih siap menerima mata kuliah Kalkulus 1.

Saya berharap semua pembaca memberikan kritikan/masukan baik dari segi isi maupun redaksional untuk perbaikan bahan ajar ini di masa yang akan datang.

Jakarta, 2 Desember 2013

Edwin Setiawan N.,M.Sc

Daftar Isi

Bab 1. Himpunan dan Sistim Bilangan

Pengantar Himpunan ......................................................................................................... 1 Penulisan Himpunan ......................................................................................................... 2 Latihan ............................................................................................................................... 3 Jenis-Jenis Himpunan ........................................................................................................ 5 Operasi Himpunan ............................................................................................................ 6 Latihan ............................................................................................................................... 7 Hukum-Hukum Aljabar Himpunan ................................................................................. 10 Penggandaan Himpunan .................................................................................................. 11 Latihan ............................................................................................................................. 11 Sistim Bilangan ............................................................................................................... 13 Bilangan Riil ................................................................................................................... 15 Pangkat ............................................................................................................................ 16 Arti Pangkat .................................................................................................................... 16 Pangkat Negatif ............................................................................................................... 16 Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat ..................................................................................... 17 Latihan ............................................................................................................................ 18 Menghitung Akar Pangkat .............................................................................................. 19 Latihan ............................................................................................................................. 20 Logaritma ........................................................................................................................ 20 Sifat-Sifat Logaritma ....................................................................................................... 21 Latihan ............................................................................................................................. 22 Latihan Tambahan ........................................................................................................... 23

Bab 2. Persamaan dan Pertidaksamaan

Pengertian Persamaan dan Pertidaksamaan .................................................................... 26 Persamaan Linier Satu Varibel ........................................................................................ 26 Latihan ............................................................................................................................. 28 Pertidaksaman Linier Satu Variabel ................................................................................ 28 Latihan ............................................................................................................................. 30 Persamaan Kuadrat .......................................................................................................... 30 Latihan ............................................................................................................................. 32 Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat .............................................................................. 33 Membentuk Persamaan Kuadrat ..................................................................................... 34 Latihan ............................................................................................................................. 36 Pertidaksamaan Kuadrat .................................................................................................. 37 Pertidaksamaan Rasional ................................................................................................ 38 Latihan ............................................................................................................................. 40 Persamaan Pangkat .......................................................................................................... 40 Latihan ............................................................................................................................. 42 Pertidaksamaan Pangkat .................................................................................................. 42 Latihan ............................................................................................................................. 43 Persamaan logaritma ....................................................................................................... 43

Latihan ............................................................................................................................. 45 Pertidaksamaan logaritma ............................................................................................... 45 Latihan ............................................................................................................................. 47 Persamaan Harga Mutlak ................................................................................................ 47 Latihan ............................................................................................................................. 49 Pertidaksamaan Harga Mutlak ........................................................................................ 49 Latihan ............................................................................................................................. 50 Latihan Tambahan ........................................................................................................... 51

Bab 3. Trigonometri

Sudut ............................................................................................................................... 55 Derajat ............................................................................................................................. 55 Radian ............................................................................................................................. 56 Latihan ............................................................................................................................. 58 Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga Sikut-Siku .................................................................... 58 Latihan ............................................................................................................................. 60 Sudut Istimewa ................................................................................................................ 61 Mengenal Kuadran .......................................................................................................... 61 Mengubah ke Sudut Lancip ............................................................................................ 62 Latihan ............................................................................................................................. 63 Aturan Cosinus ................................................................................................................ 64 Latihan ............................................................................................................................. 65 Aturan Sinus .................................................................................................................... 65 Luas Segitiga Sembarang ................................................................................................ 66 Latihan ............................................................................................................................. 67 Jumlah dan Selisih Dua Sudut ......................................................................................... 68 Perkalian Dua Fungsi ...................................................................................................... 71 Latihan ............................................................................................................................. 73 Jumlah Dua Fungsi .......................................................................................................... 73 Latihan ............................................................................................................................. 74 Persaman Identitas .......................................................................................................... 75 Latihan ............................................................................................................................. 77

Bab 4. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

Persamaan Trigonometri ................................................................................................. 83 Contoh-Contoh Tambahan .............................................................................................. 85 Persamaan Kuadrat Trigonometri ................................................................................... 87 Latihan ............................................................................................................................. 88 Pertidaksamaan Trigonometri ......................................................................................... 89 Latihan ............................................................................................................................. 90

Bab 5. Fungsi

Relasi ............................................................................................................................... 91 Daerah Asal dan Daerah Hasil ........................................................................................ 92 Latihan ............................................................................................................................. 93 Fungsi .............................................................................................................................. 94 Latihan ............................................................................................................................. 96 Sketsa Grafik Fungsi ....................................................................................................... 98 Latihan ........................................................................................................................... 101 Sifat-Sifat Fungsi .......................................................................................................... 103 Fungsi Injektif ............................................................................................................... 103 Fungsi Surjektif ............................................................................................................. 104 Fungsi Bijektif ............................................................................................................... 104 Domain Alami ............................................................................................................... 105 Latihan ........................................................................................................................... 106 Aljabar Fungsi ............................................................................................................... 107 Latihan ........................................................................................................................... 108 Fungsi Komposisi .......................................................................................................... 108 Latihan ........................................................................................................................... 110 Fungsi Invers ................................................................................................................. 111 Fungsi Invers dari Fungi Komposisi ............................................................................. 113 Latihan ........................................................................................................................... 114 Pergeseran Grafik .......................................................................................................... 114 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil ................................................................................... 117 Latihan ........................................................................................................................... 118

Bab 6. Fungsi Aljabar Fungsi Polinomial ......................................................................................................... 119 Fungsi Konstan .............................................................................................................. 120 Latihan ........................................................................................................................... 120 Fungsi Linier ................................................................................................................. 121 Gradien .......................................................................................................................... 121 Gradien Garis yang Melalui Dua Titik .......................................................................... 121 Menentukan Gradien dari Persamaan y = mx + c .......................................................... 122 Menentukan Gradien dari Persamaan ax + by + c = 0 .................................................. 122 Latihan ........................................................................................................................... 122 Persamaan Garis yang melalui Titik dan Gradien m .................................................... 123 Latihan ........................................................................................................................... 123 Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik .................................................................... 124 Latihan ........................................................................................................................... 124 Hubungan Dua Garis ..................................................................................................... 124 Latihan ........................................................................................................................... 125 Fungsi Kuadrat .............................................................................................................. 126 Domain dan Range ........................................................................................................ 127 Latihan ........................................................................................................................... 127 Grafik Fungsi Kuadrat ................................................................................................... 128 Latihan ........................................................................................................................... 131 Menggambar Sketsa Grafik Fungsi kuadrat .................................................................. 131

Latihan ........................................................................................................................... 132 Menentuka Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Akar-Akarnya ........................................... 133 Latihan ........................................................................................................................... 134 Menentuka Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Ekstrim ............................................ 135 Latihan ........................................................................................................................... 136 Menentuka Fungsi Kuadrat Jika Tiga Titik Sembaran.................................................. 137 Latihan ........................................................................................................................... 137 Hubungan a, b, c, dan D terhadap grafik ..................................................................... 138 Latihan ........................................................................................................................... 140 Fungsi Rasional ............................................................................................................. 141 Latihan ........................................................................................................................... 144 Fungsi Nilai Mutlak ...................................................................................................... 145 Latihan ........................................................................................................................... 145 Fungsi Flooring dan Fungsi Ceiling .............................................................................. 146 Latihan ........................................................................................................................... 146

Bab 7. Fungsi Transeden

Fungsi Trigonometri ...................................................................................................... 147 Latihan ........................................................................................................................... 154 Fungsi Invers Trigonometri ........................................................................................... 155 Latihan ........................................................................................................................... 158 Fungsi Eksponensial ...................................................................................................... 158 Latihan ........................................................................................................................... 160 Fungsi Logaritma .......................................................................................................... 161 Latihan ........................................................................................................................... 163

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 164

Bab 1.Himpunan dan Sistim Bilangan Modul Pra Kalkulus 1-2013.1

1 Created By Edwin Setiawan N.

Bab 1. Himpunan dan Sistim Bilangan

Pengantar Himpunan Himpunan merupakan konsep yang sangat mendasar dalam ilmu matematika. Banyak sekali kegiatan-kegiatan dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan himpunan. Untuk memahami himpunan dengan baik perhatikanlah gambar-gambar binatang dibawah ini:

Dari gambar diatas kita bisa mengelompokkan binatang-binatang berdasarkan ciri-ciri tertentu. Dibawah ini beberapa jenis pengelompokkan yang bisa dilakukan pada gambar diatas

1. Berdasarkan jumlah kaki Binatang-binatang berkaki dua yaitu ayam, bebek, itik, elang, nuri dan merpati Binatang-binatang berkaki empat yaitu anjing, kucing, gajah, harimau dan jerapah

2. Berdasarkan jenis makanan Binatang-binatang herbivora tumbuhan yaitu merpati, jerapah, gajah

Itik

Ayam

Bebek

Burung Nuri

Merpati

Elang

Gajah

Kucing

Anjing

Jerapah

Harimau



Binatang-binatang carnivora/pemakan daging yaitu elang, harimau dan anjing. Binatang-binatang carnivora/daging dan tumbuhan yaitu ayam, kucing dan bebek.

3. Berdasarkan kemampuan sayap Binatang yang bersayap dan dapat terbang yaitu nuri, elang dan merpati Binatang yang bersayap dan tidak dapat terbang yaitu ayam, bebek dan itik

Kelompok-kelompok binatang diatas dalam ilmu matematika disebut himpunan. Sehingga kita bisa mengatakan himpunan binatang berkaki dua adalah ayam, bebek, nuri, itik dan elang. Dari illustrasi diatas juga kita dapat mendifinisikan himpunan sebagai kumpulan objek-obek yang yang memiliki ciri-ciri tertentu. Objek-objek dalam himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen himpunan. Dibawah ini adalah contoh-contoh himpunan yang lainnya.

1. Himpunan nama-nama hari yaitu senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu. 2. Himpuanan nama-nama ibu kota provinsi di pulau jawa yaitu jakarta, bandung, semarang.

yogyakarta, surabaya. 3. Himpunan huruf hidup yaitu a, i, o, u, e. 4. Himpunan bilangan cacah yang kurang dari 10 yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 5. Himpunan nilai x yang memenuhi persamaan x2 - 4 = 0 yaitu -2 dan 2 Suatu himpunan dinotasikan dalam huruf besar misalnya A, B, C,...Z sedangkan anggota himpunan dinotasikan dalam huruf kecil misalnya a, b, c,...z.

Penulisan Himpunan Secara umum ada tiga cara menuliskan himpunan yaitu menyebutkan pernyataannya,

mendaftarkan anggota-anggotanya dan menyebutkan syarat keanggotaannya. 1. Menyebutkan pernyataannya

Contoh:

P = himpunan huruf hidup R = himpunan nama-nama hari yang huruf awalanya s

2. Mendaftarkan anggota-anggotanya Contoh:

A = {2, 3, 5, 7} B = {0, 1, 2, 3, 4} C = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

3. Menyebutkan syarat keanggotaannya/notasi pembentukan himpunan



Contoh:

A = {x | x < 10, x bilangan prima} B = { x | x < 5, x bilangan cacah} C = { x | -4 < x < 4, x bilangan bulat}

Latihan 1. Nyatakan himpunan di bawah ini dengan cara mendaftar.

a. A = Himpunan bilangan asli yang kurang dari 8

b. B = Himpunan bilangan cacah yang kurang dari 10

c. C = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

d. D = Himpunan bilangan genap yang kurang dari 20

e. E = Himpunan bilangan ganjil yang kurang dari 20 f. F = Himpunan bilangan kuadrat yang kurang dari 1000

g. G = Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 30

h. H = Himpunan bilangan kelipatan lima yang kurang dari 50

i. I = Himpunan bilangan kelipatan tujuh yang kurang dari 60 j. J = Himpunan bilangan kelipatan sembilan yang kurang 40 2. Nyatakan himpunan di bawah ini dengan cara mendaftar.

a. A = Himpunan 5 bilangan ganjil pertama b. B = Himpunan 6 bilangan asli yang pertama.

c. C = Himpunan 10 bilangan genap pertama

d. D = Himpunan 8 bilangan bulat positif pertama

e. E = Himpunan 10 bilangan cacah pertama.

f. F = Himpunan 5 bilangan kelipatan 6 pertama

g. G = Himpunan bilangan asli diantara 10 dan 20

h. H = Himpunan bilangan ganjil diantara 5 dan 25 i. I = Himpunan bilangan prima antara 10 dan 20

j. J = Himpunan bilangan kelipatan 5 antara 10 dan 50



3. Nyatakan himpunan di bawah ini dengan cara mendaftar.

a. A = { x | x bilangan ganjil} b. B = { x | x bilangan genap} c. C = { x | x bilangan cacah} d. D ={ x | x < 10, x bilangan asli} e. E = { x | x 8, x bilangan cacah} f. F = { x | -5 x 5, x bilangan bulat} g. G = { x | -10 x < -5, x bilangan bulat} h. H = { x | 25 < x 40, x bilangan prima} i. I = { x | 100 < x < 150, x bilangan kelipatan lima} j. J = { x | 300 x 1500, x bilangan kuadrat}

4. Nyatakan himpunan berikut ini dengan kata-kata.

a. A = { 6, 12, 18, 24, . . . } b. B = { 23, 29, 31, 37 }

c. C = { 3, 5, 7, 9, 11 }

d. D = { 0, 2, 4, . . . 16 } e. E = { 1, 4, 9, 16, 25 }

f. F = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 } g. G = { a, b, c, d, e, f, g, h }

h. H = { 4, 8, 12, 16, 20 } i. I = { 5, 10, 15, 20, . . . }

J. J = { 1, 8, 27, 64, . . . }

5. Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan.

a. A = {12, 13, 14, 15, . . . , 25}

b. B = {11, 13, 17, 19, . . .} c. C = Himpunan bilangan cacah genap tidak lebih dari 50

d. D = Himpunan bilangan ganjil antara 10 dan 20.



e. E = {4, 6, 8, 10, 12, 14}

f. F = {a, i, u, e, o} g. G = Himpunan 4 bilangan cacah ganjil yang pertama. h. H = {0, 1, 4, 9, 16, 25} i. I = Himpunan 8 bilangan prima yang pertama.

j. J = Himpunan bilangan kelipatan 7 dari bilangan asli.

Jenis-Jenis himpunan 1. Himpunan Semesta (Universal)

Adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota-anggotanya semua objek yang sedang dibicarakan. Himpunan ini dinotasikan S atau U. Contoh:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 3, 5, 7, 9} S merupakan himpunan semesta dari himpunan A dan himpunan B

2. Himpunan bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota

himpunan A juga merupakan anggota himpunan B. Dan ditulis A B. Contoh:

A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Karena semua anggota A juga merupakan anggota B maka A B

3. Himpunan Kosong

Adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Biasanya dinyatakan atau { }. Contoh:

A = {x | x < 1, x bilangan prima} atau ditulis A={ } Karena tidak ada bilangan prima yang kurang dari 1, maka A adalah himpunan kosong.

4. Himpunan komplemen

Himpunan komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan anggota himpunan A. Himpunan komplemen A dinotasikan A.



Contoh:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 3, 5, 7} maka himpunan komplemen A adalah A={0, 1, 4, 6, 8, 9, 10}

5. Himpunan yang sama

Himpunan A = Himpunan B jika dan hanya jika A B dan B A dengan kata lain semua anggota A sama dengan semua anggota B. Contoh:

A = {a, b, c, d, e} B = {a, b, c, d, e} Semua anggota A sama dengan semua anggota B, maka A = B

6. Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga Suatu himpunan dikatakan berhingga jika banyaknya anggota berhingga sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut memiliki banyaknya anggota tak berhingga. Contoh:

A = {x | x = himpunan bilangan bulat positif}, A disebut himpunan tak berhingga karena memiliki jumlah anggota yang tak berhingga. B = {1, 2, 3}, B disebut himpunan berhingga karena jumlah anggotanya hanya tiga.

Operasi Himpunan Untuk contoh-contoh setiap operasi himpunan berikut ini digunankan himpunan A dan

B dimana A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}. 1. Gabungan (Union)

Contoh:

A B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 2. Irisan (Intersection)

Contoh:

A B = {3, 4}

A B = { x | x A atau x B}

A B = { x | x A dan x B}

A B

A B



3. Selisih (difference)

Contoh:

A - B = {1, 2, 5} 4. Jumlah

A + B = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Latihan 1. Diketahui: A = {a, b, c, d, e}, B = {b, c, e, g, k} dan C = {a, c, e, g, h}

a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah: 1) A B 2) A C 3) B C

b. Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soal tersebut.

2. Diketahui:

A = {10 bilanagan cacah pertama}

B = {bilangan ganjil hang kurang dari 12} C = {bilangan prima yang kurang dari 15}

a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah: 1) A B 2) A C 3) B C


3. Diketahui:

P = {x | x 6, x bilangan asli}, Q = {x | 0 < x 9, x bilangan asli}, R = {x | 3 x 8, x bilangan asli}

a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah:

1) P 2) Q 3) R

A B

A - B ={x | x A, x B} A - B = A Bc

A B

A + B = { x | x A atau x B dan x A B } A + B = (A B) - (A B)



4) P Q 5) P R 6) P R

b. Gambarkan diagram Venn dari 4), 5) dan 6)

4. Misalkan S adalah himpunan semesta dan diketahui:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

P = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, Q = {2, 4, 6, 8}, R = {1, 3, 5, 7, 9}

a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah:

1) PC 2) Qc 3) Rc 3) P Q 4) P Q 5) P R

6) PC R 7) Pc Qc 8) Qc Rc 9) P - Q 4) P - R 5) P - Rc


5. Diketahui:

K = Himpunan kuadrat bilangan asli kurang dari 50.

L = Himpunan bilangan kelipatan 4 kurang dari 50

M = Himpunan bilangan kelipatan 5 kurang dari 50.

a.Dengan cara mendaftar semua anggotanya, tentukan :

1) K L 2) K M 3) L M

b.Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soaltersebut.

6. Perhatikanlah gambar diagram Venn berikut ini.

M adalah himpunan siswa yang gemar matematika. I adalah himpunan siswa yang gemar IPA. Tentukanlah: jumlah siswa yang hanya gemar matematika, jumlah siswa yang hanya gemar IPA, jumlah siswa yang gemar kedua-duanya dan jumlah siswa yang tidak gemar kedua-duanya.

17 7 12

4

M I S



7. Perhatikanlah gambar diagram Venn berikut ini.

A adalah himpunan siswa yang gemar bakso. B adalah himpunan siswa yang gemar siomay. Tentukanlah: jumlah siswa yang hanya gemar bakso, jumlah siswa yang hanya gemar siomay, jumlah siswa yang gemar kedua-duanya dan jumlah siswa yang tidak gemar kedua-duanya.

8. Perhatikan diagram Venn di bawah ini. Berdasarkan diagram Venn di bawah ini, dengan cara mendaftar semua anggotanya tentukan:

a. S, yang merupakan himpunan semestanya.

b. A c. B d. A B 3. A B

9. Pada seorang agen koran dan majalah tercatat 12 oang yang berlangganan keduanya, 20 orang berlangganan majalah saja, 8 orang berlangganan koran saja. a. Gambarlah diagram Venn untuk menggambarkan keadaan di atas, dengan M =

Himpunan pelanggan majalah, dan K = Himpunan pelanggan koran. b. Berapa banyak pelanggan pada agen tersebut.

10. Dari 25 siswa diajukan pertanyaan tentang kegemarannya tentang bermain sepak bola dan bulu tangkis. Ternya 13 siswa gemar sepak bola, 11 siswa gemar bulu tangkis dan 4 siswa gemar dua-duanya. Berapakah jumlah siswa yang tidak gemar kedua-duanya?

11. Dalam suatu kelas terdapat 42 kelas. 27 anak gemar matematika, 19 anak gemar IPA, 10 anak gemar dua-duanya. Berapa banyak siswa yagn tidak gemar kedua-duanya?

S B A

15 5 20

8



Hukum-Hukum Aljabar Himpunan 1. Hukum Idempoten:

A A = A

A A = A

2. Hukum Asosiatif:

(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)

3. Hukum Komutatif

A B = B A

A B = B A

4. Hukum Distributif

(A B) C = (A C) (B C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = (A C) (B C) A (B C) = (A C) (B C)

5. Hukum Identitas

A = A A = A S = A

A S = A

6. Hukum Komplemen:

A Ac = S

A Ac = (Ac)c = A

Sc = c = S

7. Hukum de Morgan

(A B)c = Ac Bc

(A B)c = Ac Bc



Penggandaan Himpunan Definisi Pergandaan Kartesius Jika A dan B sembarang himpunan, maka perkalian dua himpunan A dan B di tulis A x B

adalah himpunan dari semua pasangan terurut berbentuk (x,y) dengan x A dan y B. A x B ={(x, y)| x A dan y B } Jika himpunan A mempunyai n anggota dan himpunan B mempunyai m anggota, maka

himpunan A x B mempunyai n x m anggota

Jika A dan B adalah dua himpunan kosong, maka A x B juga adalah himpunan kosong Jika A adalah himpunan tidak kosong, maka hasil ganda terhadap dirinya dinyatakan

sebagai A x A = A 2 Contoh: 1. Diketahui himpunan A = {4, 5} dan B = {1, 3}. Tentukanlah himpunan A x B! 2. Diketahui himpunan A = {a, b}, B={2, 3} dan C = {3, 4}. Tentukanlah himpunan

a. A x (B C) b. (A x B) (A x C) Jawab 1. A x B = {(4, 1), (4, 3),(5, 1),(5, 3)} 2. B C = {2, 3, 4}

A x (B C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)} A x B = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)} A x C = {(a, 3), (a, 4), (b, 3), (b, 4)}

(A x B) (A x C)={ (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}

SOAL-SOAL LATIHAN 1. Nyatakanlah himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar!

a. P = { x | x =huruf-huruf yang menyusun kata MATEMATIKA} b. Q = { x | x < 10, x bilangan cacah} c. R = { x | x < 20, x bilangan prima} d. S = { x | -10 < x 5, x bilangan bulat} e. T = { x | 100 < x 150, x bilangan kelipatan 6}

2. Diketahui A = {a, b, c}, tentukanlah semua himpunan bagian A! 3. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, c, d}, Q = {c, d, e, f} dan R = {b, c, d, e}



Tentukan:

a. P Q; P Q; P R; P R; Q R; Q R b. Apakah berlaku sifat assosiatif (P Q) R = P (Q R) ? c. Apakah berlaku sifat distributif P (Q R) = (P Q) (P R) ? d. Gambarkanlah diagram venn untuk soal 3a!

4. Dibawah ini diberikan beberapa gambar diagram venn dari tiga himpunan. Nyatakanlah daerah yang diarsir!

5. Misalkan himpunan semesta S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8, 10} C = {1, 3, 5, 7, 9} Tentukanlah:

a. A B b. B C c. C A d. B + C

e. Bc C f. Ac Cc g. (A - B)c h. (B - Cc)c i. Buatlah digram venn untuk soal no.5

6. Jika 50 pengikut tes masuk perguruan tinggi ada 35 calon lulus matematika, 20 calon lulus fisika, 10 calon lulus matematika dan fisika. Berapakah banyak calon pengikut yang tidak lulus kedua mata pelajaran?

7. Diketahui himpunan A = {a, b, c} dan B = {c, d}. Tentukanlah A x B 8. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, C = {6, 7}. Tentukanlah A x B x C,

kemudian buktikan bahwa A x (B x C) =( A x B) x C.

P Q

R K L

M

a. b.

c. d.

A B

C

A B

C



Sistim Bilangan

Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali digunakan tentunya adalah bilangan-bilangan yang digunakan untuk menghitung jumlah benda yakni bilangan asli. Misalnya terdapat 10 ekor sapi yang sedang makan rumput, terdapat 15 pohon jambu. Bilangan 10 dan 15 merupakan bilangan asli. Aktivitas manusia yang terus meningkat baik dalam bidang penelitian maupun dalam bidang industri membutuhkan jenis-jenis bilangan baru yang sesuai dengan kebutuhan. Sampai saat ini, jenis bilangan yang terakhir digunakan adalah bilangan kompleks. Sangat dimungkinkan dimasa yang akan datang, dunia ilmu pengetahuan membutuhkan digunakan jenis bialngan baru untuk membantu menyelesaikan masalah-masalah yang terus berkembang. Bagan berikut ini menunjukkan hirarki bilangan yang dipergunakan sampai saat ini.

Bilangan Kompleks (C)

Bilangan Riil (R)

Bilangan Rasional (Q)

Bilangan Bulat (Z)

Bilangan Irrasional

Bilangan Asli (N)

Bilangan Imajiner (Im)

Bilangan Bulat Negatif Nol

Bilangan Pecahan



Keterangan:

1. Bilangan asli:

1, 2, 3, 4, 5,....

2. Bilangan nol:

0

3. Bilangan cacah:

N 0 = 0, 1, 2, 3, 4, 5,....

4. Bilangan bulat negatif:

x | x + n = 0, n N, x = -1,-2,-3,-4,-5,..... 5. Bilangan bulat

Z = N 0 x | x + n = n + x, nN, x = 0, 1, -1, 2,-2,.... 6. Bilangan pecahan:

| , 0 = 12 , 12 , 23 , 23 , 34 , 34 , 7. Bilangan rasional

| , 0 = 0,1, 1, 12 , 12 , 8. Bilangan irrasional

, , 0 = 2, 3, , , 9. Bilangan riil

| , 0 , , 0 = 2, 1,0,1, 12 , 10. Bilangan imajiner

| = 1, 0 11. Bilangan kompleks

+ | = 1, ,



Bilangan Riil

Bilangan riil merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Semua bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, sedangkan bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Himpunan semua bilangan riil dapat digambarkan dalam bentuk garis bilangan berikut ini:

Diantara bilangan 2 dan bilangan 3, tebak ada bilangan apa saja? 2,01; 2,011;2,0111, 2,0111....., sepertinya banyak sekali... Tentu saja jawaban yang tepat adalah diantara bilangan 2 dan bilangan 3 diisi bilangan rasional dan bilangan irrasional dengan jumlah yang tak berhingga. Dalam semua bab Mata Kuliah Pra Kalkulus 1, jenis bilangan yang dipergunakan adalah bilangan riil, sekalipun mungkin saja jika nanti mahasiswa akan menemukan jenis bilangan kompleks.

Sifat-sifat aljabar himpunan bilangan riil 1.Tertutup terhadap penjumlahan

a, b R a + b R

7.Komutatif terhadap perkalian

a, b H a x b = b x a

2.Komutatif terhadap penjumlahan

a, b R a + b = b + a

8.Asosiatif terhadap perkalian

a, b, c R (a x b) x c = a x (b x c)

3.Asosiatif terhadap penjumlahan

a, b, c R (a + b) +c = a + (b + c)

9.Keberadaan elemen unit

a R, u R u x a = a x u = a

4.Keberadaan elemen zero

a R, z R z + a = a + z = a

10.Keberadaan elemen invers terhadap perkalian a elemen zero R, u elemen unit R, w R w x a = a x w = u

5.Keberadaan elemen invers

a R, z R, v R v + a = a + v = z

11. Distributif terhadap penjumlahan dan perkalian

a, b, c R a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (a + b) x c = a x c + b x c

6.Tertutup terhadap perkalian a, b R a x b R

0 1 2 3 1 -2 -3

5



Pangkat

Arti pangkat Untuk memahami konsep-konsep bilangan berpangkat, perhatikanlah contoh-contoh berikut: 1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 dapat disederhanakan menjadi 45 2. 7 x7 x7 x7 dapat disederhanakan menjadi 74 3. 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 dapat disederhanakan menjadi 3354

Sederhanakanlah soal-soal berikut ini ! 1. 2 x 2 x 2 =.....

2. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =..... 3. 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 =..... 4. 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 20 x 20 x 20 =..... 5. 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 44 x 44 x 44 x 44 x 44 =.....

Pangkat negatif Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk pangkat begitu juga sebaliknya. Untuk memahami pangkat negatif, perhatikanlah contoh-contoh berikut: 15 = 5!" 16 = 6!" 122 = 22!" 13$ = 3!$ 17!& = 7& 111!$ = 11$

Ubahlah bilangan pecahan berikut menjadi bilangan berpangkat!

Ubahlah bilangan berpangkat berikut menjadi bilangan pecahan!

1. 110 = . 6. 2-5

= ...

2. 13 = . 7. 8-2

= ...

3. 14 = . 8. 12-8

= ...

4. 17$ = . 9. 10-2

= ...

5. 19* = . 10. 23-10

= ...



Sifat-sifat bilangan berpangkat yang lain:

1. +, = +-,

Contoh: 1. 52 x 58 = 52+8 =510 2. 3-5 x 39 = 5-5+9 = 34 3. 10-5 x 109 = 10-5+9 = 104

2. +, = +!,, 0

Contoh:

1. 8$8* = 8$!* = 8!& 2. 12"/12"0 = 12"/!"0 = 12/ 3. 7!17!2 = 7!1!(!2) = 7$

3. (+), = +5,

Contoh:

1. (101)& = 10"$ 2. (9$)* = 9"0 3. (5!&)$ = 5!2

4. (), = ,,

Contoh:

1. (23)& = 2&3& 2. (5$6)* = 5"06* 3. (8&102)" &6 = 810$

5. 78, = ,, , 0

Contoh:

1. 937:$ = 3$7$

2. ;5&9$ 0 b. 4 5 03

x

x

+ b. ( )1 22 log 5 4 2x x+ + <

Bab 2. Persamaan dan Pertidaksamaan Modul Pra Kalkulus 1-2013.1


c. ( )2 2log 6 8 3x x+ + >

d. ( )2 2log 2 1 1x x+ + >

e. ( )1 22 log 6 8 3x x+ + <

f. ( )1 22 log 16 68 2x x + > g. log( 4) log( 3) log(2 5)x x x + + < + h. 2log( 1) log(2 5) 2log2x x + i. ( )2 2 2log 10 17 log(3 5)x x x+ + < + j. ( )2log 2 log(3 6)x x <

21. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini:

a. |2 x 1 | = 4 b. | 2c - 5 | = 6 c. | 2x 3 | = 7 d. | 4 + d | = 8 e. | 5 3x | = 9 f. | 3m - 5 | = | 4m - 3 | g. | a +3 | = | a - 2 | h. | 2n - 4 | = | n - 5 | i. | 3b + 1 | = | b - 4 | j. | 3s - 6 | = | s + 5 |

22. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. | 2x - 4 | < 5 b. |3y - 8 | < 6 c. | 2x + 1 | 7 d. |4y + 7 | > 9 e. |7x + 1 | 8 f. |12 2z | > 14 g. |p2 + 3p - 5 | < 5 h. |z2 7z - 15 | 1 j. |a2 - 3 | > 4

k. | 3r + 5 | < | 2r - 3 | l. | b - 6 | | 3b - 8 | m. | 2s + 7 | < | 3s - 4 | n. | 3c - 5 | | c + 6 | o. | 2t + 1 | > | t - 1 | p. 2| d - 8 | < 3| 2d - 15 |

Bab 3. Trigonometri Modul Pra Kalkulus 1-2013.1


Bab 3. Trigonometri

Sudut

Dalam bab ini kita akan mempelajari sudut-sudut yang dibatasi dua buah garis yang berada dalam bidang. Besarnya sudut dapat dinyatakan oleh satuan derajat atau satuan radian. Alat ukur sudut yang sering digunakan adalah busur derajat.

Derajat Satuan derajat sering juga digabungkan dengan menit () dan detik(), misalnya 20o1520. 10 = 60 atau

1 = 60 atau

sehingga

Beberapa ukuran sudut seperti 00, 900, 1800 dan 3600 ditunjukkan pada gambar dibawah ini.

00 900

1800 3600

x x

x x

y

y y

y

Sudut yang diukur :



Isilah titik-titik berikut ini

1. 20 = .. = ..

Penyelesaian 20 = 2 x 60 = 120=120 x 60 = 7200 Jadi 20 = 120 = 7200

6. 30 = ..0 Penyelesaian

30 = 30x 160

Jadi 30 = 2. 50 = =.. 7. 100 =..0 3. 100 = =.. 8. 120 =..0 4. 2,250 = =.. 9. 3000 =..0 5. 4 0 = =.. 10. 7200 =..0

Radian

Satu radian dinyatakan besarnya sudut yang disapu oleh jari-jari r sepanjang tali busur yang panjangnya r. Dalam penulisan, satuan sudut radian sering di singkat menjadi rad.

01360 2rad r

rpi= 0

1 1360 2rad

pi=

02 360radpi = (sudut satu putaran)

0180radpi = (sudut setengah putaran)

012 90radpi = (sudut seperempat putaran)

r r

1 rad x

y



Contoh 1. Nyatakanlah sudut 400 50 40 kedalam satuan derajat ! Penyelesaian 4005040 = 400 + 50 + 40

0 00 050 4040 40,84

60 3600

= + + =

2. Nyatakanlah sudut 70,620 kedalam satuan derajat menit detik! Penyelesaian

70,620 = 700 + 0,60+0,020 = 700 + (0,6x60)+(0,02x3600) = 700 3672 3. Nyatakanlah sudut-sudut berikut kedalam radian

a.300 b.450

Penyelesaian

a. 01 radian180pi

=

0 130 30 radian180 6

xpi

pi

= =

b. 0 145 45 radian180 4

xpi

pi

= =

4. Nyatakanlah sudut-sudut berikut kedalam derajat a. 10 rad b. 5 4 radpi

Penyelesaian

a.

01801 radpi

=

0 0 00180 540 5403 rad 3x 171,97

3.14pi pi

= = = =

b. 05 5 180

rad x4 4

pi pipi

=

= 2250



Latihan

1. Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat a. 2501530 b. 4002045

c. 6001020 d. 9003015

2.Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat menit detik a. 60,250 b. 45,360

c. 65,810 d.120, 220

3.Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan radian

a. 100 b. 500 c.1250 d. 2200

4. Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat a. 25 radpi b. 38 radpi c. 3 rad d. 8 rad

Perbandingan Sisi-sisi Segitiga Siku-Siku

Perhatikanlah segitiga siku-siku berikut ini.

Pada segi tiga siku-siku diatas:

r adalah panjang sisi miring, y adalah panjang sisi tegak, x adalah panjang sisi mendatar. Berlaku hukum phytagoras: r2 = x2 + y2,

Jika kita buat sudut dibuat tetap maka berapapun ukuran segitiga siku-siku akan memiliki

perbandingan yang tetap.

Setiap perbandingan panjang antar sisi diatas memiliki nama khusus. Berikut adalah nama-nama khusus perbandingan tersebut.

Perbandingan panjang sisi tegak terhadap sisi miring disebut sin Perbandingan panjang sisi mendatar terhadap sisi miring disebut cos

x

y r



Perbandingan panjang sisi tegak terhadap sisi mendatar disebut tan Kebalikan dari sin disebut csc

Kebalikan dari cos disebut

Kebalikan dari sin sin disebut csc

Semua nama-nama khusus perbandingan diatas dinamakan fungsi trigonometri.

= tetap

= tetap

= tetap

= tetap

= tetap

= tetap

Selanjutnya kita dapat tuliskan:

= csc =

= sec =

tan = cot =

Contoh

Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.

a. Hitunglah panjang sisi miring b. Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot , Sin , Cos , tan, csc , sec, cot Penyelesaian

a. panjang sisi miring: 2 23 4r = + = 5

b. 3sin5

= , 4

cos5

= , 3

tan5

= , 5

csc3

= , 5

sec3

= , 4

cot3

=

4sin

5 = , 3cos

5 = , 4tan

5 = , 5csc

4 = , 5sec

4 = , 3cot

4 =

3

4

= tetap



Latihan 1. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.

Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot , Sin , Cos , tan, csc , sec, cot 2. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.



Nilai x, Sin ,Cos ,tan , csc , sec , cot ,Sin , Cos , tan, csc , sec, cot ? 4. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.

Nilai x, Sin , Cos , tan , csc , sec , cot , Sin , Cos , tan, csc , sec, cot ?

a

b

c

o

n

m

q

r

p

1

2

x

x 1

5



Sudut-sudut Istimewa

00 300 450 600 900

Sin 0 1/22 1/23 1 Cos 1 1/23 1/22 0 Tan 0 1/33 1 3

Mengenal Kuadran Sumbu koordinat kartesius dapat dibagi 4 daerah atau kuadran berdasarkan sudut polarnya.

Sudut polar Posisi

00 < < 900 Kuadran I

900 < < 1800 Kuadran II

1800 < < 2700 Kuadran III

2700 < < 3600 Kuadran IV

Titik A (x, y) berada di kuadran I. Karena nilai x dan y positif, sehingga, nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut sebagai berikut

= bernilai +

' = bernilai +

= bernilai +

00 = 3600

900

1800

2700

Kuadran I Kuadran II

Kuadran III Kuadran IV

A r

O

x

y



Dengan cara yang sama maka dapat ditentukan nilai positif atau negatif fungsi trigonometri

untuk kuadran yang lain seperti ditunjukkan dalam table berikut ini (silahkan buktikan!). Kedududukan Nilai x Nilai y Sin Cos Tan

Kuadran I + + + + +

Kuadran II - + + - -

Kuadran III - - - - +

Kuadran IV + - - + -

Mengubah ke sudut lancip Sudut yang bernilai diantara 00 sampai 900 dinamakan sudut lancip Kuadran II

Sin (1800 - ) = Sin Cos (1800 - ) = -Cos Tan (1800 - ) = -tan

Kuadran II

Sin

Cos

tan

Kuadran III

Sin (1800 + ) = -Sin Cos (1800 + ) = -Cos Tan (1800 + ) = tan

Kuadran IV

Sin (3600 - ) = -Sin Cos (3600 - ) = Cos Tan (3600 - ) = -tan

Catatan:

Fungsi-fungsi trigonometri bersifat periodik.

Sin(360k+) = Sin Cos(360k+) = Cos tan(180k+) = tan Contoh: 1. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip

a. Sin 1300 b.Cos 1450 c.tan1500 Penyelesaian

a. Sin 1300 = Sin(1800 - 500) = Sin 500 b.Cos 1450 = Cos(1800 - 350) = -Cos 350 c.tan 1500 = tan(180 - 30) = -tan 300



2. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip

a. Sin 2100 b.Cos 2250 c.tan 2500 Penyelesaian a. Sin 2100 = Sin(1800 + 300) = -Sin 300 b.Cos 2250 = Cos(1800 + 450) = -Cos 450 c.tan 2500 = tan(1800 + 700) = tan 700 3. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip

a. Sin 2850 b.Cos 2900 c.tan 3300 Penyelesaian a. Sin 2850 = Sin(3600 -750) = -Sin 750 b.Cos 3000 = Cos(3600 - 600) = Cos 600 c.tan 3300 = tan(3600 - 300) = -tan 300 4. Ubahlah menjadi sudut-sudut bernilai positif dan lancip dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini:

a.Sin(-750) b.Sin(-1600) c.Cos(-400) d.Cos(-2300) e.tan(-800) f.tan(-3000) Penyelesaian a. Sin(-750) = Sin(3600 - 750)= - Sin750 b. Sin(-1600) = Sin(3600 -1600) = Sin(2000) = Sin(1800 + 200) = -Sin200 c. Cos(-400) = Cos(3600 - 400) = Cos 400 d.Cos(-2300) = Cos(3600 - 2300) = Cos 1300 = Cos(1800 - 500) = -Cos500 e.tan(-800) = tan(3600 - 800) = -tan800 f.tan(-3000) = tan(3600 -3000) = -tan 600

Latihan 1. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut menjadi sudut lancip

a. Sin 320 b. tan 295 c. Cos 175 d. Sin 800 e. tan160 f. Cos 1100 g. Sin220 h. tan 900 i. Cos350 j. tan 1400

2. Ubahlah menjadi sudut-sudut bernilai positif dan lancip fungsi trigonometri dibawah ini: a. Sin -200 b. tan -5000



c. Cos -750 d. Sin -4000 e. tan -500 f. Cos -2600 g. Sin -1200 h. tan -6000 i. Cos -2500 j. tan -11000

Aturan Cosinus Untuk mendapatkan aturan Cosinus pada segi tiga sembarang, perhatikanlah segitiga dibawah

ini:

Dari gambar diatas: AB = c, BC = a, AC = b. CD adalah garis tinggi segitiga yang tegak

lurus sisi AB.

a2 = CD2 + BD2

dengan menssubtitusikan CD2 = b2 - AD2 dan BD= c AD ke persamaan diatas, diperoleh

a2 = b2 - AD2 + (c-AD)2

a2 = b2 - AD2 + c2-2cAD+AD2

a2 = b2 + c2 - 2cAD

karena AD = b Cos A, diperoleh

a2 = b2 + c2 - 2bcCos A......................(1) dengan cara sama seperti diatas akan diperoleh:

b2 = a2 + c2 2ac Cos B......................(2) c2 = a2 + b2 2ab Cos C......................(3) persamaan (1), (2) dan (3) dinamakan aturan Cosinus.

Aturan Cosinus

a2 = b2 + c2 - 2bcCos A

b2 = a2 + c2 2acCos B

c2 = a2 + b2 2abCos C

A B

C

a b

D c



Contoh Diberikan segitiga ABC dengan panjang a = 4 cm dan b = 6 cm dan C=700.Tentukanlah panjang sisi c menggunakan aturan Cosinus! Penyelesaian c2 = a2 + b2 2abCos C

2 2 2a b abCosC= +

2 2 04 6 2 4 6 70Cos= +

16 36 48 0,939 2,63= + =

Latihan 1.Tentukan panjang sisi-sisi lainnya pada segitiga ABC dengan aturan Cosinus, jika diketahui a. b = 5, c = 4 dan A = 1000 b. a = 10, c = 14 dan B = 800

c. a = 16, c = 12 dan C = 500 d. a = 8, c = 10 dan B = 1200

e. b = 18, c = 20 dan A = 700 e. b = 10, c = 6 dan A = 700

2. Dalam segitiga ABC diketahui b2 = a2 + c2 ac, tentukanlah B !

3. Dalam segitiga ABC diketahui 2 2 2 3b a c ac= + tentukanlah A + C !

Aturan Sinus Untuk memahami bagaimana aturan Sinus diturunkan, perhatikanlah gambar segitiga

dibawah ini:

Karena CD = b Sin A dan CD = a Sin B maka b Sin A = a Sin B atau a bSin A Sin B

= . Hasil

lebih lengkap akan diperoleh apabila ditarik garis tingg dari B tegak lurus garis AC sehingga

akan didapat,

a b cSin A Sinb SinC

= =

A B

C

a b

D

c



Luas segitiga sembarang

12

L b c Sin A=

12

L ab Sin C=

12

L ac Sin B=

Contoh

1.Diberikan segitiga ABC, A = 45 dan B = 80 dan a = 6, berapakah panjang b dan c? Penyelesaian

C = 1800 - 450 - 800 = 550,

panjang b: a bSin A Sinb

=

0 0645 80

bSin Sin

=

0

080 645

SinbSin

=

0,985 6 8,3590,707

b = =

panjang c: c aSinC Sin A

= 0 06

55 45c

Sin Sin=

0

055 6 6,95145

Sinc

Sin= =

2. Hitunglah luas segitiga pada gambar dibawa ini

Penyelesaian

a. Luas segitiga ABC : 01 10 8 50 30,632

L Sin= =

b. Luas segitiga PQR: 01 3 5 25 3,172

L Sin= =

c. Luas segitiga MNO : 01 10 8 45 20 22

L Sin= =

A B

C

R

Q

P

M O

N

500 10 8

3

5

250

8

12 450

(a) (b) (c)



Latihan 1. Diberikan segitiga ABC,tentukanlah panjang b dan c jika diketahui a. A = 300, B = 500 dan a = 6 b. A = 250, B = 1100 dan a = 7

c. A = 300, B = 300 dan a = 8 d. A = 400, B = 1000 dan a = 5

2. Diberikan segitiga ABC,tentukanlah B, C dan panjang sisi c, jika diketahui a. a = 2, b = 6 dan A = 400 b. a = 8, b = 8 dan A = 600

c. a = 6, b = 5 dan A = 300 d. a = 9, b = 4 dan A = 800

3. Tentukan panjang sisi lainnya pada segitiga ABC, jika diketahui a. b = 6, c = 10 dan C = 500 b. a = 8, b = 5 dan B = 1000

c. b = 10, c = 10 dan B = 800 d. a = 12, c = 9 dan A = 900

4. Tentukanlah luas segitiga berikut ini:

5. Tentukanlah luas segitiga berikut ini:

I

J

K Z

X

Y S

T R

3

4 200

800 600

6

7

12

10

(b) (a) (c)

I

J

K Z

X

Y S

T R

40

50 250

800 300

24

20

8

12

(b) (a) (c)



Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Perhatikan gambar lingakaran yang berpusat di titik (0,0) berikut ini:

Jarak antar dua titik dalam koordinat kartesius dapat dicari menggunakan rumus phytagoras, dan dinyatakan sebagai berikut:

2 22 1 2 1( ) ( )d x x y y= +

Dengan demikian jarak PQ dapat dicari menggunakan rumus diatas, sehingga:

( ) ( )2 2cos cos sin sinPQ r r r r = + Cara lainnya dalam menentukan jarak PQ yaitu dengan menggunakan aturan Cosinus :

( )2 2 2 cosPQ r r rr = + melalui subtitusi diperoleh:

( ) ( ) ( )2 22 2 2 cos cos cos sin sinr r rr r r r r + = + Dikuadratkan kedua ruas:

( ) ( ) ( )2 22 2 2 cos cos cos sin sinr r rr r r r r + = + ( )1 cos 1 cos cos sin sin = +

( )cos cos cos sin sin = +

x

y

r

P (rcos, rsin)

(0,

Q (rcos, rsin)



Berapakah cos ( + ) ? Cos ( + ) = cos ( - (-))

cos cos( ) sin sin( ) = + cos cos sin sin =

( )cos cos cos sin sin + =

Berapakah sin ( + ) ? ( )( )sin( ) cos 90 + = +

( )90cos = ( )( )cos 90 =

( ) ( )cos 90 cos sin 90 sin = + sin cos cos sin = +

( )sin sin cos cos sin + = +

Berapakah sin ( - ) ? sin ( - ) = sin ( +( - ))

( ) ( )sin cos cos sin = + sin cos cos sin =

( )sin sin cos cos sin =

Untuk latihan buktikan bahwa:

( ) tan tan1. tan1 tan tan

+

+ =

( ) tan tan2. tan1 tan tan

=

+



Contoh

1. Dengan menggunakan rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, tentukan: a. cos (2A+3B) b. cos (5A-7B)

2. Tentukanlah nilai

a. cos150 b. cos750

3. Sederhanakanlah:

cos (500 - a0) cos (100 + a0) sin (500 - a0) sin (100 + a0)

Penyelesaian

1.cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B

cos(A - B) = cos A cosB + sin A sin B

a. cos(2A + 3B) = cos 2A cos3B - sin 2A sin 3B

b. cos(5A-7B) = cos 5A cos7B + sin 5A sin 7B

2. a. coss150 = cos (450 - 300)

= cos 450 cos 300 + sin 450 sin 300

1 1 1 12 3 22 2 2 2

= +

( )1 6 24= + b. cos 750 = cos(450 + 300)

= cos 450 cos 300 - sin 450 sin 300

1 1 1 12 3 22 2 2 2

=

( )1 6 24= 3. cos (500 - a0) cos (100 + a0) sin (500 - a0) sin (100 + a0)

Ingat : cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B

Pada soal no.3: A = (500 - a0), B = (100 + a0) sehingga

cos (500 - a0) cos (100 + a0) sin (500 - a0) sin (100 + a0) = cos 600



3.12 Perkalian Dua Fungsi

Sekarang panggil kembali rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus cos (A + B) = cosA cosB sinA sinB

cos (A - B) = cosA cosB + sinA sinB

cos (A + B) + cos(A - B) = 2cosA cosB

cos (A + B) = cos A cos B sin A sin B

cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

cos (A + B) cos (A - B) = -2 sin A sin B

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A cos B

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

sin (A + B) - sin (A - B) = 2 cos A sin B

Hasil dari penurunan diatas, diperoleh sebagai berikut

2 cos A cos B = Cos(A + B) + Cos(A - B)

-2 sin A sin B = Cos(A + B) - Cos(A - B)

2 sin A cos B = Sin (A + B) + Sin (A - B)

2 cosA sin B = Sin (A + B) - Sin (A - B)

+

+

-

-



Contoh

Ubahlah pernyataan berikut kedalam bentuk penjumlahan dan pengurangan a. 4cos (3x) cos( 2x) b. 6cos400 cos 100

c. 3sin(4A) sin(3A) d. 8 sin 500 sin 200

Penyelesaian

a.4cos 3x cos 2x = 2(2cos 3x cos 2x)

= 2(cos (3x+2x) + cos (3x-2x))

= 2(cos 5x + cos x)

= 2cos 5x + 2cos x

b.6cos 400 cos 100 = 3(cos (400 + 100) cos (400 - 100))

= 3(cos(500) + cos (300))

= 3cos 500 + 3cos 300

c. ( ) ( ) ( ) ( )( )33sin 4A Sin 3A 2sin 4A Sin 3A 2=

( )3 cos(4 3 ) cos(4 3 ) 2

A A A A= +

( )3 cos(7 ) cos( ) 2

A A=

3 3 cos(7 ) cos( )

2 2A A= +

d. 8Sin 500Sin 200 = -2(-4 Sin 500Sin 200)

= -2(Cos(500 + 200)- Cos(500 - 200)

= -2Cos 700 + 2Cos 300



Latihan

1.Sederhanakanlah pernyataan dibawah ini menjadi bentuk penjumlahan atau pengurangan a.4sin 5a sin a b.10 cos 13a cos 3a

c.sin 5x sin x d. cos 6y cos 2y

e. sin 11m sin 3m f. cin 13m cos 5m

2. Tentukan nilai dari

a. 0 02sin 45 sin15

b. 1 16 cos 52 cos 72 2

c. 0 01 110sin 22 sin 7

2 2

d. 0 01 18sin 52 sin 7

2 2

e. 3 1 1

cos 52 cos 77 2 2

e. 3 1 1

cos 22 cos 77 2 2

3.Tunjukkan bahwa: a. 2 cos (450 + x0) cos (1350 + x0) = -cos2x b. 2 sin (450 + x0) sin (1350 + x0) = cos2x

3.13 Jumlah Dua Fungsi

Misal A+ B = X dan A B =Y

A + B = X A - B = Y 2A = X + Y

A= (X+Y)

A+ B = X A B = Y 2B = X - Y

B = (X - Y)

Dengan mensubtitusikan A+ B = X , A - B = Y, A= (X+Y) dan B = (X - Y) kedalam persamaan-persamaan ini

Cos(A + B) + Cos(A - B) = 2cosA cosB

Cos(A + B) - Cos(A - B) = -2sinA sinB

Sin (A + B) + Sin (A - B) = 2 sinA cosB

Sin (A + B) - Sin (A - B) = 2 cosA sinB

akan diperoleh

+ -



Cos X + Cos Y = 2cos (X + Y) cos (X - Y)

CosX - CosY = -2sin (X + Y) sin (X - Y)

Sin X + Sin Y = 2 sin (X + Y) cos (X - Y)

Sin X - Sin Y = 2 cos (X + Y) sin (X - Y)

Contoh

Ubahlah kedalam bentuk perkalian dari peryataan-pernyataan berikut ini:

a.Sin 300 + Sin 200 b.Sin 600 - Sin400

c.Cos 500 + Cos 300 d.Cos 650-Cos 350

Jawab

a. 0 0 0 0 0 01 1Sin 30 Sin 20 2 (30 20 ) os (30 20 )2 2

Sin C+ = +

0 02 25 os5Sin C=

b. ( ) ( )0 0 0 0 0 01 1 60 40 2 60 40 60 402 2Sin Sin Cos Sin = +

0 02 50 10Cos Sin=

c. ( ) ( )0 0 0 0 0 01 1 50 30 2 50 30 50 302 2Cos Cos Cos Cos+ = +

0 02 40 10Cos Cos=

d. ( ) ( )0 0 0 0 0 01 1 65 35 2 65 35 65 352 2Cos Cos Sin Sin = + 0 02 50 15Sin Sin=

Latihan

1.Ubahlah kedalam bentuk perkalian dari pernyataan-pernyataan berikut ini:

a. Sin 400 + Sin 300 b. Sin 200 Sin600

c. Cos 700 + Cos 400 d. Cos 450- Cos 250



3.14 Persamaan Identitas

1. + = 1

2. + 1 =

3.

+ 1 =

4. =

5. =

6. =

7. + = +

8. + =

9. + =

+

1

10. 2 = 2

11. 2 =

12. 2 =2

1

13. =1 2

2

14. =1 + 2

2

Contoh Buktikan persamaan identitas berikut ini : a. Sin 2x= 2 Sin x Cos x b. Cos 2x = Cos2x - Sin2 x

c. 1 + 2Cos2x = (2Cos x + 1) (2Cos x - 1) d. 22 2

1Tan SinTan

=

+

Penyelesaian a. Pembuktian Sin 2x = 2 Sin x Cos x

Sin 2x = Sin (x + x) = Sin x Cos x + Sin x Cos x

= 2Sin x Cos x, terbukti



b. Pembuktian Cos 2x = Cos2x - Sin2 x Cos 2x = 2Cos2x - 1 Cos 2x = 1 - 2Sin2x

Cos 2x = Cos(x + x) = Cos x Cos x Sinx Sin x

= Cos2x - Sin2x, terbukti = Cos2x- (1 - Cos2x) = Cos2x 1 + Cos2x

= 2Cos2x - 1, terbukti = 2(1 - Sin2x) - 1 = 2 - 2Sin2x 1

= 1 - 2Sin2x , terbukti

c. Pembuktian 1 + 2Cos2x = (2Cos x + 1) (2Cos x - 1) 1 + 2Cos2x = 2 + 2Cos2x - 1

= 2(1 + Cos 2x) 1 = 2 2Cos2 x-1

= 4Cos2 x-1

= (2Cos x + 1) (2Cos x - 1), terbukti

d. Pembuktian 22 tan

sin 21 tan

=

+

22

2

22

1 1

SinTan Cos

SinTanCos

=

++

2 2

2 2

2 SinCos

Cos SinCos Cos

=

+

2

21

Sin CosCos

=

2Cos Sin =

2Sin =



Latihan

Buktikan bahwa

1.

1 +

1 =

+

.

2.1 2

. =

3.1 +

=

1 +

.

4.

=

1 +

5. +

=

6. + + = 2

7. =

8. ! ! = 2 1

9.

+

=

2

.

10. = .

11. +

= +

12. +

1 + =

13. 2 =

1 + +

1 +

14. 1 + 1 = 1

15.

+

=

2

.



Soal-Soal Tambahan

1. Perhatikanlah gambar segitiga dibawah ini:

Tentukanlah besarnya sin , cos , tan , csc , cosec dan cot!

2. Pada segitiga dibawah ini 3sin4

= . Jika panjang sisi AB = 15 cm, tentukanlah panjang

sisi AC!

3. Tentukanlah nilai fungsi trigonometri yang lain jika diketahui 2tan3

= ?

4. Tentukanlah nilai fungsi trigonometri yang lain jika diketahui 2 2cos3

= ?

5. Tentukanlah nilai fungsi-fungsi trigonometri dari jika posisi standar pada titik (4,-3)? 6. Ali berkendaraan sejauh 20 km dengan arah 20 derajat. Dari tempat yang sama Bobi

berkendaraan sejauh 12 km dengan arah 140 derajat. Berapakah jarak Ali dan Bobi? 7. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal itu

melanjutkan perjalanan dengan arah 30 derajat sejauh 60 mil. Berapakah jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat?

8. Diketahui 1 1tan , tan ,2 5

a b= = dan 1tan8

c = . Nilai ( )tan a b c+ + = . 9. ( ) ( )( )sin sin 3 2 sin 2x y x y a = dan ( ) ( )( )cos cos 3 2 cos 2x y x y b = . Jika

dinyatakan dengan a dan b, maka ( )cos cos a = . 10. cos 22,5 sin 22,5 cot11, 25 = .

A B

C

C

B A

4

6



11. Diketahui 1sin cos2

x x+ = dan 1sin cos2

x x = , maka 3 3sin cosx x+ = .

12. Buktikan bahwa 2cot cot 2 cot csc1 sec 1 sec

=

+!

13. Buktikan bahwa 3sin 3 4sin 3sin = + dan 3cos 3 4 cos 3cos = !

14. Buktikan bahwa cos 5 cos 3 4 sin cossin sin 3

=

!

15. Buktikan bahwa sin 4 sin 2 tan 3cos 4 cos 2

+=

+!

16. Buktikaan bahwa sin 6 sin 4 tan 5cos6 cos 4

x xx

x x

+=

+!

17. Buktikan bahwa sin 3 sin 5 sin 7 sin 9 tan 6cos 3 cos 5 cos 7 cos 9

+ + +=

+ + +!

Soal tambahan II

1. Jika diketahui 1cos3

= , tentukanlah sin, tan, sec, csc, cot?

2. Jika diketahui 2sin3

= , tentukanlah cos, tan, sec, csc, cot?

3. Jika diketahui 4tan5

= , tentukanlah sin, cot, sec, csc, cot?

4. Jika diketahui 5cot6

= , tentukanlah sin, cos, tan, sec, csc?

5. Jika diketahui 2csc5

= , tentukanlah sin, tan, sec, cos, cot?

6. Perhatikanlah segitiga siku-siku berikut ini

Tentukanlah panjang sisi a dan sisi b!

1 300

a

b



7. Perhatikanlah segitiga siku-siku berikut ini

Tentukanlah panjang sisi a dan sisi b!

8. Hitunglah nilai dari fungsi trigonometri berikut ini tanpa menggunakan alat bantu

a. sin 300 b. cos 600 c. tan 370 d. csc 300 e. sec 600 f. cot 370


a. sin 1200 b. cos 1500 c. tan 1530 d. csc 1200 e. sec 1500 f. cot 1530


a. sin 2100 b. cos 2400 c. tan 2170 d. csc 2100 e. sec 3400 f. tan 2170


a.Sin 3000 b.Cos 3300 c.Tan 3000 d.Csc 3300 e.Sec 3000 f.Tan 3300




a

370

5

b



a.Sin(-370 ) b.Cos (-600) c.Tan (-300) d.Csc (-370) f.Sec (-600) g.Tan (-300)



15. Hitunglah operasi berikut ini tanpa menggunakan alat bantu

a.Sin 300 + Cos 600 b.Tan 300 + Cot 600 c.Sin 1200 + Cos 2450 d.Cos 1500 + Tan 1430 e.Cot 300 + Sec 600 f.Csc 1500 + Sec 1500


a.Sin 300 + Cos 2250 + Cos 3000 b.Tan 300 + Cot 1200 + Csc 3300

c.Sin 1200 + Sin 2450 + Cos 2100 d.Cos 1500 + Cos 1430 + Cos 3000 e.Cot 300 + Tan 600 + Tan 2400 f.Csc 1500 + Sec 1500 + Sin 3300


a.0 0

0sin 30 cos30

tan 30+

b.0 0

0tan 60 cot 30

cos30+

0 0

0sin 37 cos 37

tan 37+

0 0

0cos53 sin 53

cot 53+

0

0 0sec60

sec60 csc30

0 0

0 0sin 45 cos 45sin 45 cos 45

+


0 0

0 0sin 210 cos150

1 cos120 tan150+

0 0

0 0tan120 sin 330

cos150 sec125 1+



0 0

0 0 0

52cot 240 cos1433tan 300 2sin120 cos150

+

0 0 0 0

0 0 0 0

3 2csc127 sin 53 csc127 sec 210322cot150 sin 330 cot 210 tan 210

+

0 0 0 0

0 0 0 0

1cos1125 cot 750 3tan 780 sin 480

24cot1200 tan 3720 2sin1500 tan1590

+

+ 0 0 0 0

0 0 0 0

25csc127 sin 53 csc127 sec 2103110sin 900 cos1200 tan1290 sin15602

+

19. Hitung cos( + ) dan cos( - ) jika 24 3

sin sin25 5

dan = =

24 4sin sin

25 5dan = =

3 3sin sin

5 5dan = =

3 4sin sin

5 5dan = =

4 4sin sin

5 5dan = =

5 3sin sin

13 5dan = =

(0 < < 900 dan 0 < < 900)

20. Hitunglah nilai fungsi berikut tanpa menggunakan alat bantu

a.cos 150 b.sin150 c.tan150 d.cos 750 e.sin 750 f.tan 750 g.cos 1050 h.sin 1050 i.tan 1050 j.sin 3450

(Petunjuk: gunakan rumus cos (a-b), cos (a+b), sin (a-b), sin (a+b), tan (a-b), tan (a+b))

21. Buktikanlah !

a. sin2 x + cos 2 x= 1 b. tan2x + 1 = sec2 x

c. (sin x - cos x)2 + (sin x - cos x)2 = 2 d.tan2x - sin2x = tan2x sin2x

e.cosec x (cosec x - sin x) = cot2x f.sin4x - cos4x = 2sin2x 1

g.tan x + cot x = sec x cosec x h. 1 sin cos 2cos 1 sin cos

x x

x x x

++ =

+

i.

sin coscos

1 cos sinx x

ecxx x

+ =+

j.

22

21 tan 2cos 11 tan

xx

x

=

+

Bab 4. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri Modul Pra Kalkulus 1-2013.1


Bab 4. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

Persamaan Trigonometri

Dalam bab ini akan dipelajari bagaimana mencari solusi persamaan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri.

Dibawah ini, ada beberapa contoh persamaan dasar dari fungsi trigonometri

1. sin xo = sin o

Apakah persamaan ini punya satu solusi?

Solusi yang paling mudah diperoleh adalah

x = o.

selain itu, ingat bahwa sinus di kuadran I dan kuadran II bernilai sama dan juga bersifat periodik dengan periode sebesar 3600 sehingga

x = o + k 360

atau

x = (1800 - o) + k 360

dengan k = 0, 1, 2, 3,

apabila dinyatakan dalam sudut radian

x = + k2pi

atau

x = (pi -) + k2pi

dengan k = 0, 1, 2, 3,...

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian sin x = sin 20o untuk 0 o x 360o

Penyelesaian

Sin x = sin 20o

x = 20o + k 360o

untuk k = 0 x1 = 20o + 0 360o = 20o



untuk k = 1 x2 = 20o + 1 360o = 380o (tidak memenuhi syarat)

x = (180 o - 20o ) + k 360o

untuk k = 0 x3 = (180 o - 20o ) + 0 360o = 160o

untuk k = 1 x2 = (180 o - 20o ) + 1 360o = 520o (tidak memenuhi syarat)

HP = {20o, 160o}

2. cos xo = cos o

Ingat bahwa fungsi cosinus di kuadran I dan kuadran IV bernilai sama dan juga bersifat periodik dengan periode sebesar 3600 sehingga

x = o + k 360

atau

x = (3600 - o) + k 360o = - o + k 360o

dengan k = 0, 1, 2, 3,


x = + k2pi

atau

x = - + k2pi

dengan k = 0, 1, 2, 3,...

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian cos x = cos 60o untuk 0o x 360o

Penyelesaian

cos x = cos 60o

x = 60o + k 360o

untuk k = 0 x1 = 60o + 0 360o = 60o

untuk k = 1 x2 = 60o + 1 360o = 420o (tidak memenuhi syarat)

x = -60o + k 360o

untuk k = 0 x3 = -60o + 0 360o = -60o (tidak memenuhi syarat)



untuk k = 1 x4 = -60o + 1 360o = 300o

HP = {60o, 300o}

3. tan xo = tan o

Ingat bahwa fungsi tangen bersifat periodik dengan periode sebesar 1800 sehingga diperolah

x = o + k 180


x = + kpi

dengan k = 0, 1, 2, 3,...

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian tan x = tan 45o untuk 0o x 360o

Penyelesaian

tan x = tan 45o

x = 45o + k 180o

untuk k = 0 x1 = 45o + 0 180o = 45o

untuk k = 1 x2 = 45o + 1 180o = 225o

untuk k = 2 x2 = 45o + 2 180o = 405o (tidak memenuhi)

HP = {45o, 225o}

Contoh - contoh tambahan

1. Tentukan himpunan penyelesaian sin x = sin 1/3pi untuk 0o x 2pi

Penyelesaian

Sin x = sin 1/3pi

x = 1/3pi + k 2pi

untuk k = 0 x1 = 1/3pi + 0 2pi = 1/3pi

untuk k = 1 x2 = 1/3pi + 1 2pi = 2 1/3 pi (tidak memenuhi syarat)

x = pi - 1/3pi + k 2pi



untuk k = 0 x3 = (pi - 1/3pi) + 0 2pi = 2/3 pi

untuk k = 1 x4 = (pi - 1/3pi) + 1 2pi = 2 2/3 pi (tidak memenuhi syarat)

HP = {1/3pi, 2/3 pi}

2. Tentukan himpunan penyelesaian cos x = cos 1/4pi untuk 0 x 2pi

Penyelesaian

cos x = cos 1/4pi

x = 1/4pi + k 2pi

untuk k = 0 x1 = 1/4pi + 0 2pi = 1/4pi

untuk k = 1 x2 = 1/4pi + 1 2pi = 2 1/4 pi (tidak memenuhi syarat)

x = - 1/4pi + k 2pi

untuk k = 0 x3 = - 1/4pi + 0 2pi = -1/4 pi (tidak memenuhi syarat)

untuk k = 1 x4 = - 1/4pi + 1 2pi = 1 3/4 pi

HP = {1/4pi, 1 3/4 pi }

3.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin (2x + 60 o) = 1/2 untuk 0 x 360 o

Penyelesaian

sin (2x + 60 o) = sin 30 o

2x + 60 o = 30 o+ k 360 o

2x = -30 o+ k 360 o

x = -15 o+ k 180 o

untuk k = 0 x1 = -15 o+ 0 180 o = -15o (tidak memenuhi syarat)

untuk k = 1 x2 = -15 o+ 1 180 o = 165o

untuk k = 2 x3 = -15 o+ 2 180 o = 345o

2x + 60 o = (180 o - 30o) + k 360 o

2x + 60 o = 150 o + k 360 o



2x = 90 o + k 360 o

x = 45 o + k 180 o

untuk k = 0 x4 = 45 o + 0 180 o = 45 o

untuk k = 1 x5 = 45 o + 1 180 o = 225 o

untuk k = 2 x5 = 45 o + 2 180 o = 405 o (tidak memenuhi syarat)

HP = {45 o, 165 o , 225 o, 345 o}

Persamaan Kuadrat Trigonometri

Masih ingat dengan bentuk umum persamaan kuadrat?

ax2 + bx + c = 0

dimana x adalah variabel. Bentuk umum persamaan kuadrat trigonometri sama seperti bentuk diatas, hanya saja variabel x diganti dengan fungsi trigonometri. Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan dengan tiga cara yaitu dapat menggunakan metode pemfaktoran, kuadrat sempurna dan rumus abc. Pilih cara yang paling mudah sesuai dengan soal.

Contoh 1

Tentukanlah himpunan penyelesaian 2sin2x + 3sinx 2 = 0 untuk 0 x 360 o

Penyelesaian

2sin2x + 3sinx 2 = 0

(2sinx - 1)(sin x + 2) = 0

sin x = 1/2 atau sin x = -2 tidak memiliki solusi

untuk sin x = 1/2 maka diperoleh x ={30 o, 150 o }

HP = {30 o, 150 o }

Contoh 2

Tentukanlah himpunan penyelesaian sin (2x) = sin x untuk 0 x 360o

Penyelesaian

sin (2x) = sin x

2 sinx cos x - sin x = 0

sin x (2cosx - 1) = 0



sin x = 0 x = {0 o, 180 o , 360 o }

atau

cos x = 1/2 x={60 o, 300 o }

HP = {0 o , 60 o, 180 o, 300 o, 360 o }

Contoh 3

Tentukanlah himpunan penyelesaian sin (3x) + sin x + 2 sin 2x = 0 untuk 0 x 360 o

Penyelesaian

Gunakan rumus identitas trigonometri berikut:

sin A + sin B = 2 sin (A + B) cos (A - B)

sin (3x) + sin x =2sin (2x) cos x

sehingga

sin (3x) + sin x + 2 sin 2x = 2sin (2x) cos x + 2 sin 2x

sin (2x) ( 2 cos x+ 2 ) = 0

sin (2x) = x = {0 o , 180 o }

cos =

2 x = {135 o, 225o }

HP = {0 o ,135 o, 225 o, 180 o}

Latihan

Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut ini untuk 0 x 2pi :

1.

2sin 1 0x = 2.

cot cosx x=

2.

sin 2 sinx x+ = 3.

23 tan 1 0x =

4.

22sin sin 1 0x x = 5.

22sin 3cos 3 0x x =

6.

( )2 cos 3 1 0x =

7.

3 tan 3 02x

=

8.

2sec 2 tan 4x x = 9.

1 sin cos 4cos 1 sin

x x

x x

++ =

+



10.

3 24sin 2sin 2sin 1 0x x x+ = 11.

22cos 3sin 1 06 3

x xpi pi

+ + =

12.

sin cos 1 0x x+ = 13.

2cos cos sin 1x x x+ =

14.

2sin( ) 12

xpi

=

15.

tan sinx x=

16.

sin 4 2sin 2 0x x = 17.

cos 2 cos8 cos6 1x x x + =

18.

sin 4 2sin 2 0x x = 19.

22 tan cos tanx x x=

20.

3sin 5cos 7x x = 21.

2sin sin 3 cos 4x x x=

22.

( )cos 3 sin 3 cos sin 3x x x x =

23.

sin sin3 sin 4 sin8 0x x x x+ =

24.

3 3 2sin cos sin cos8

x x x x =

25.

6 6 7sin cos16

x x+ =

Pertidaksamaan Trigonometri

Untuk memahami bagaimana cara-cara menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri, berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan penyelesaiannya

Contoh 1

Tentukanlah nilai x jika sin x > 1/2 dan 0 < x < 360o. Penyelesaian

sin x > 1/2

sin x -1/2 > 0 (artinya nilai ruas kiri harus positif)

pembuat nol : sin x =1/2

x = 30o, 150o

garis bilangan :

HP ={ x | 30o < x < 150o} Masih ingat cara menentukan tanda positif dan negatif pada garis bilangan?

30o 150o

- - - - - + + + + + - - - - - 0 0



Contoh 2

Tentukanlah himpunan penyelesaian 2 cos x 1 > 0 untuk interval 0 x 360o

Penyelesaian

2 cos x - 1> 0

Pembuat nol:

=1

22

x = 45o, 315o

garis bilangan:

HP = { x | 0 < x < 45o dan 315o < x < 360o }

Latihan

Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini:

1. 5sin 0x 2. 2sin 1x >

3. 2cos 2 0x < 4. tan 3 0x +

5. 1sin 3 cos3

x x<

6. sin 2 cosx x>

7. 2cos 1 0x < 8. 24sin 1 0x

9. 22sin 3sin 2x x+ 10. 22sin 3cosx x

11. 2cos sin 4sinx x x 12. 2sin 4sin 2 0x x +

13. 22sin 3sin 2x x+ 14. tan cosx x<

15. 2cos 2 3cos 1x > 16. 22sin cos 1 0x x

17. 2sin cos sin 2cos 1 0x x x x + < 18. cot 1 0

sinx

x

+>

19. 2

2 22cos 6 cos2cos 1 1 2cos

x x

x x

>

20. 2

2cos 2 3 tancos

xx

x

45o 315o

+ + + + - - - - - - - - + + + + 0 0

Bab 5. Fungsi Modul Pra kalkulus 1-2013.1


Bab 5. Fungsi

Relasi Misalkan diketahui dua buah himpunan A dan B. Anggota-anggota kedua himpunan tersebut didaftarkan sebagai berikut: A = {Rupian, Ringgit, Peso, Baht) B = {Malaysia, Indonesia, Thailand, Filipina) Bisakah Anda menebak kira-kira apakah aturan yang menghubungkan antara himpunan A dan Himpunan B? Mari kita selidiki bersama, kita bisa menyatakan bahwa

Rupiah merupakan mata uang negara Indonesia

Ringgit merupakan mata uang negara Malaysia

Peso merupakan mata uang negara Filipina

Baht merupakan mata uang negara Thailand Jadi kita bisa katakan bahwa aturan yang menghubungkan antara himpunan A dan himpunan B adalah mata uang negara. Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi dari A ke B adalah aturan yang memasangkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. Ada tiga cara untuk menyatakan relasi yaitu

Pasangan Berurutan

Relasi Himpunan A dan Himpunan B diatas dapat dituliskan dalam bentuk pasangan berurutan sebagai berikut {(Rupiah, Indonesia), (Ringgit, Malaysia), (Peso, Filipina), (Baht, Thailand)} Diagram Kartesius Dalam diagram kartesius, relasi diatas dapat digambarkan sebagai berikut. Anggota A dituliskan pada sumbu horisontal, sedangkan anggota B dituliskan pada sumbu vertikal.

Rupiah Ringgit Peso Baht

Indonesia

Malaysia

Filipina

Thailand



Digram Panah

Daerah Asal dan Daerah Hasil Ada tiga hal penting dalam mempelajari relasi antara dua himpunan 1. Daerah asal

2. Daerah kawan

3. Daerah hasil Daeah asal adalah himpunan pertama yang direlasikan dengan himpunan kedua. Daerah kawan adalah himpunan kedua yang direlasikan dengan himpunan pertama. Pada contoh diatas, Himpunan A disebut daerah asal, Himpunan B disebut daerah kawan. Belum tentu semua anggata di daerah kawan memiliki pasangan anggota daerah asal. Himpunan bagian dari daerah kawan yang anggota-anggotanya memiliki pasangan dengan anggota daerah asal disebut daerah hasil. Daerah asal, daerah kawan dan daerah hasil masing-masing memiliki istilah lain yang sering digunakan yaitu domain (D), kodomain (K) dan range (R). Selanjutnya kita akan lebih sering menggunakan istilah-istilah ini.

Contoh Tentukanlah domain, kodomain dan range pada relasi berikut ini

Penyelesaian Dari diagram panah diatas, dapat diperoleh Domain : D = {1, 2, 3} Kodomain : K = {2, 4, 6, 8} Range : R = {2, 4, 6}

1 2 3

2 4 6 8

A B setengah dari

Rupiah Ringgit Peso Baht

Indonesia Malaysia Filipina Thailand

A B mata uang negara



Latihan 1. Tentukanlah relasi, domain, kodomain dan range dari beberapa diagram panah berikut ini:

2. Tentukan relasi dan nilai x pada diagram panah berikut ini:

1 2 3

1 4 9

A B

4 6 8

3 5 7

P Q

1 2 3

1 4 9

M N

1 2 3

1 4 9

M N c. d.

b. a.

1 2 x

2 4 8

A B a.

c.

x

9 12

2 3 4

S T

1 x

3

2 5 10

P Q e.

5 7 9

4 x

8

A B b.

d.

1 9

25

x

3 5

G H

1 2 3

4 x

30

W V f.



Fungsi Dalam bagian ini akan diperlajari kasus khusus dari relasi. Fungsi merupakan bagian yang sangat penting dalam kalkulus, oleh karena itu Anda harus benar-benar menguasai topik ini dengan baik.

Definisi Fungsi adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A tepat dengan satu anggota pada himpunan B.

Fungsi yang memetakan anggota himpunan A ke anggota himpunan B dinotasikan

f : A B dibaca fungsi f memetakan A ke B. Selanjutnya fungsi f sering ditulis f (x). Setiap anggota himpunan B yang mendapat pasangan disebut peta atau bayangan.

Contoh 1 Dari diagram panah dibawah ini, relasi manakah yang merupakan fungsi ?

Jawab a. fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu pasangan anggota

himpunan Q b. fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu pasangan anggota

himpunan Q c. fungsi karena set

pra kalkulus 2013.1-v2

Documents