pola panduan guru1
TRANSCRIPT
MATEMATIK
PANDUAN GURUPOLA DAN JUJUKAN NOMBORBAHAGIAN 1
Panduan Guru
01
Subjek : MatematikTajuk : Pola dan Jujukan Nombor (Bahagian 1)
Kementerian Pendidikan MalaysiaBahagian Pembangunan Kurikulum
Menyambung angka, algebra dan corak geometri atau jujukan menggunakan nombor, perkataan, simbol atau rajah; mencari sebutan tertinggal.
Generalisasi, Nombor Fibonacci, Nisbah Keemasan, Sudut Keemasan.
Model pembelajaran 5E (Engage(Penglibatan), Explore(Penerokaan), Explain(Penerangan), Extend(Pengayaan), Evaluate(Penilaian)), proses matematik, inkuiri, aplikasi kehidupan sebenar dan kemahiran berfikir aras tinggi.
80 minit
istilah baharu
objektif
penekanan
tempoh pembelajaran
PANDUAN PENGAJARAN
02
Pengetahuan dan Kemahiran Pola di Peringkat Sekolah Rendah
Pengetahuan dan Kemahiran Pola di Peringkat Sekolah Menengah
POLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Di peringkat sekolah rendah, murid telah pelajari untuk mengenal pasti pola dengan menggunakan bahan-bahan konkrit, gambar serta set nombor. Mereka mengkaji pelbagai jenis pola termasuk pola yang berulang, meningkat dan menurun serta mempelajari cara untuk meneruskan pola tersebut. Melalui pemerhatian yang berbeza terhadap perwakilan pola, murid dapat mengenal pasti beberapa ciri pola.
Pada peringkat sekolah menengah, murid seharusnya melanjutkan pemahaman mereka mengenai pola dengan menjana pola yang melibatkan penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian atau menggunakan nombor satu atau dua digit, atau yang melibatkan pemikiran dan inferens. Pengalaman pembelajaran tentang pola tidak seharusnya terhad di dalam kelas, tetapi penyiasatan pola dalam persekitaran sebenar perlu diberi penekanan. Seperti di peringkat sekolah rendah, pembelajaran pola perlu melibatkan bahan konkrit, gambar rajah dan set nombor. Murid perlu mampu untuk berkomunikasi dan membuat justifikasi tentang suatu pola tertentu. Aktiviti seperti ini dapat membantu murid untuk memahami pola dengan lebih mendalam dan seterusnya menghubungkaitkan pengalaman yang diperoleh dengan konsep matematik yang lebih abstrak di peringkat yang lebih tinggi.
Pembelajaran tentang pola yang pada asasnya dimulakan dengan nombor perlu menjadi jambatan yang menghubungkan pengetahuan murid kepada domain Algebra. Murid perlu diajar untuk menerbitkan generalisasi berdasarkan pola-pola tertentu. Pengalaman pembelajaran sebegini juga membolehkan murid menghubungkaitkan dan membuat perkaitan antara pola dan tajuk fungsi dengan lebih bermakna.
PANDUAN PENGAJARAN
03
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Slaid Persembahan
Slaid Persembahan
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Slaid Persembahan
POLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Powerpoint
Slaid 4
Teruskan pengajaran dengan membuat perkaitan dengan alam semula jadi dan keagungan Tuhan.
Antara jawapan yang mungkin diberi oleh murid ialah binatang seperti kuda belang, harimau bintang, siput dan lain-lain.
Prezi
Slaid 4
Powerpoint
Slaid 3
Prezi
Slaid 3
Mulakan pengajaran dengan bertanya kepada murid apakah ciri Matematik yang boleh diperhatikan dalam ketiga-tiga gambar ini?
Murid seharusnya dapat menyatakan bahawa terdapat corak yang teratur dan berulang dalam ketiga-tiga gambar tersebut.
Galakkan murid untuk melakar pola atau corak yang mereka perhatikan dalam setiap gambar.
Murid perlu diberi peluang untuk menyatakan kepentingan pola dalam kehidupan seharian.
Powerpoint
Slaid 5
Prezi
Slaid 6
Prezi
Slaid 5
PANDUAN PENGAJARAN
04
Slaid Persembahan
POLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Powerpoint
Slaid 6
Prezi
Slaid 7
Perbincangan boleh dilakukan secara koperatif (berpasangan atau berkumpulan).
Galakkan murid membuat penyelidikan tentang perkara ini melalui internet, buku atau temu bual.
Nota: Jika para penyelam hendak menyelam di lautan, maka amat penting untuk mereka mengamati pola ombak. Ombak yang besar amat berbahaya dan mengurangkan jarak penglihatan.
Slaid Persembahan
Domain Kognitif: Menganalisa / Menjusti�kasi / Menaakul
Powerpoint
Slaid 7
Murid perlu digalakkan membuat perkaitan antara bentuk lebah dan bentuk poligon yang paling sesuai untuk digunakan sebagai bentuk sarang seperti bulatan, oktagon dan pentagon.
Murid boleh diperkenalkan kepada konsep teselasi. Teselasi ialah corak yang terhasil apabila beberapa jenis bentuk digunakan tanpa bertindih dan secara berulangan untuk menutup keseluruhan satah.
Prezi
Slaid 8
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Teruskan pengajaran dengan memberi contoh seharian yang lain seperti ombak lautan.
Minta murid memberi alasan adakah ombak lautan mempunyai pola tertentu dan perkaitan antara ombak lautan dengan bulan mengambang.
Perbincangan boleh dilakukan secara koperatif (berpasangan atau berkumpulan).
Nota: Ombak lautan mempunyai pola tertentu yang terhasil daripada pergerakan udara
Nota: Apabila bulan mengambang, tarikan graviti bulan menyebabkan air pasang sangat tinggi dan air surut sangat rendah. Kuasa graviti bulan menyumbang kepada air pasang.
PANDUAN PENGAJARAN
05
POLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Slaid Persembahan
Domain Kognitif: Menganalisa / Menjusti�kasi / Menaakul
Powerpoint
Slaid 8
Slaid ini bertujuan untuk merangsang pemikiran murid dan mencetuskan minat untuk mengetahui dengan lebih lanjut apa yang akan dipelajari seterusnya.
Prezi
Slaid 9
Slaid Persembahan
Powerpoint
Slaid 9
Prezi
Slaid 11
Minta murid berfikir mengapakah bentuk bulatan, oktagon dan pentagon tidak begitu sesuai untuk dijadikan bentuk sarang lebah?
Kemukakan soalan yang menuntut murid berfikir seperti “Mengapakah lebah tidak membina sarang yang berbentuk bujur walaupun bentuk badannya adalah bujur?”
Nota: Terdapat ruang-ruang antara susunan ketiga-tiga bentuk ini. Justeru, bentuk-bentuk ini tidak sesuai untuk dijadikan sarang lebah kerana lebah perlu menggunakan lebih banyak propolis bagi mencantumkan bentuk-bentuk tersebut.
Domain Kognitif: Menganalisa / Membuat generalisasi / Menaakul
Bimbing murid untuk mencari perkaitan antara nombor dalam jujukan tersebut dan menyambung jujukan nombor berkenaan.
Nombor yang seterusnya ialah 8.
Jujukan nombor sehingga sebutan ke-12: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.
Bimbing murid untuk meneroka dan membuat generalisasi bahawa nombor dalam jujukan tersebut ialah hasil tambah dua nombor sebelumnya.
Tegaskan bahawa jujukan nombor tersebut boleh dimulakan dengan 0 dan boleh ditulis sebagai 0, 1, 1, 2, 3, 5, …
Prezi
Slaid 10
Prezi
Slaid 12
ASRAF BIN AZLAN920629055511
PANDUAN PENGAJARAN
06
POLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Slaid Persembahan
Domain Kognitif: Pengetahuan
Powerpoint
Lembaran Kerja 1
Prezi
Galakkan murid untuk mengkaji tentang Leonardo Fibonacci melalui internet atau bahan bacaan.
Tugasan secara berkumpulan boleh dilaksanakan dan galakkan murid untuk berkongsi dapatan mereka dengan rakan yang lain.
Sila rujuk Info Ekstra bagi mendapatkan maklumat lanjut tentang Leonardo Fibonacci.
Slaid Persembahan
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Powerpoint
Slaid 10
Perkenalkan Jujukan Fibonacci kepada murid dan galakkan murid untuk membuat konjektur andaian tentang perkaitan antara Nombor Fibonacci dan kehidupan alam sekitar.
Klik pada pautan Lembaran Kerja 1 dan beri latihan tambahan kepada murid untuk memantapkan lagi penguasaan murid.
Prezi
Slaid 13
Slaid 15
Slaid Persembahan
Powerpoint
Slaid 11
Prezi
Slaid 16
Prezi
Slaid 14
PANDUAN PENGAJARAN
07
POLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Slaid Persembahan
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Minta murid meneliti satu persatu bunga tersebut bagi mencari perkaitan antara bilangan kelopak bunga dengan Nombor Fibonacci.
Murid perlu membuat perkaitan dan menjelaskan bahawa bilangan kelopak bunga tersebut ialah Nombor Fibonacci.
Galakkan percambahan pemikiran murid dengan mengemukakan soalan seperti ini: “Adakah anda rasa semua tumbuhan mempunyai kaitan dengan Nombor Fibonacci?”
Powerpoint
Slaid 12
Prezi
Slaid 17
Minta murid menerangkan apa yang diperlukan oleh tumbuhan untuk hidup.
Murid perlu dapat membuat perkaitan dan menjelaskan bahawa tumbuhan memerlukan cahaya dan air untuk hidup. Justeru, susunan kelopak berdasarkan Nombor Fibonacci membantu tumbuhan tersebut menyerap cahaya matahari yang maksimum dan mendapatkan air yang mencukupi.
Klik pada pautan Lembaran Kerja 2 dan beri latihan tambahan pada murid untuk memantapkan lagi penguasaan murid.
Slaid Persembahan
Powerpoint
Lembaran Kerja 2
Prezi
Slaid 18
Domain Kognitif: Menganalisa / Menjusti�kasi / Menaakul
Minta murid meneliti corak lingkaran pada bunga kubis ini.
Edarkan gambar bunga kubis yang dicetak. Bimbing murid untuk mengira bilangan lingkaran tersebut.
PANDUAN PENGAJARAN
08
POLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Minta murid meneliti corak lingkaran pada bunga matahari ini.
Edarkan gambar bunga matahari yang dicetak. Bimbing murid untuk mengira bilangan lingkaran tersebut.
Minta murid membuat perkaitan antara bilangan lingkaran tersebut dengan Nombor Fibonacci.
Powerpoint Prezi
Lembaran Kerja 2
Slaid Persembahan
Slaid Persembahan
Powerpoint
Slaid 13
Prezi
Slaid 20
Slaid 19
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Paparkan video.
Minta murid memerhati ruas-ruas jari mereka dan membuat konjektur tentang perkaitan antara ruas-ruas jari tersebut dengan Nombor Fibonacci.
Paparkan imbasan jari manusia. Kemukakan soalan sama ada konjektur atau andaian yang dibuat oleh murid adalah betul atau salah.
Slaid Persembahan
Powerpoint
Slaid 14
Prezi
Slaid 21
Minta murid membuat perkaitan antara bilangan lingkaran tersebut dengan Nombor Fibonacci.
PANDUAN PENGAJARAN
09
POLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Murid perlu dapat menyatakan bahawa terdapat hidupan alam sekeliling yang mengikut pola Nombor Fibonacci.
Kemukakan soalan “Adakah semua hidupan mempunyai kaitan dengan Nombor Fibonacci?”
Kaitkan dengan keagungan ciptaan Tuhan.
Laman web berkaitan nombor Fibonacci :http://math.temple.edu/nreich/Fib/fibo.htmlwww.mathisfun.com/numbers/fibonacci.sequence.html
Slaid PersembahanPowerpoint
Slaid 15
Prezi
Slaid 22
Prezi
Slaid 24
Prezi
Slaid 23
Prezi
Slaid 25
Prezi
Slaid 26 Slaid 27
Powerpoint
Slaid 16
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Bimbing murid untuk menyelesaikan masalah ini.
Minta murid membuat kesimpulan daripada hasil penyiasatan mereka.
Slaid Persembahan
Powerpoint
Slaid 17
Prezi
Slaid 27
Prezi
Slaid 28
Powerpoint
Slaid 18
PANDUAN PENGAJARAN
10
POLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Slaid Persembahan
Powerpoint
Slaid 19
Prezi
Slaid 32
Prezi
Slaid 33
Prezi
Slaid 34
Prezi
Slaid 35
Prezi
Slaid 36
Prezi
Slaid 37
Prezi
Slaid 38
Prezi
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Beri masa untuk murid mengira nisbah antara dua Nombor Fibonacci tersebut. Galakkan kerja secara berkumpulan.
Minta murid menyatakan nombor yang diperoleh daripada hasil pengiraan mereka.
Prezi
Slaid 29
Prezi
Slaid 31
Prezi
Slaid 30
PANDUAN PENGAJARAN
11
POLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Berikan tugasan kepada murid bagi membolehkan mereka membuat penyiasatan lebih lanjut tentang Nisbah Keemasan.
Galakkan kerja secara berkumpulan.
Galakkan murid membuat pembentangan tentang penyiasatan mereka.
Sila rujuk Info Ekstra bagi mendapatkan maklumat lanjut tentang Nisbah Keemasan.
Slaid Persembahan
Powerpoint Prezi
Slaid 39Slaid 20
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Slaid Persembahan
Powerpoint Prezi
Slaid 40Slaid 21
Berikan tugasan kepada murid bagi membolehkan mereka membuat penyiasatan lebih lanjut tentang Sudut Keemasan.
Galakkan kerja secara berkumpulan.
Bimbing murid membuat pembentangan tentang penyiasatan mereka.
Sila rujuk Info Ekstra bagi mendapatkan maklumat lanjut tentang Sudut Keemasan.
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Domain Kognitif: Menganalisa / Menaakul
Bimbing murid membuat perkaitan antara Nisbah Keemasan dengan segi empat tepat ini.
Murid perlu tahu bahawa Nisbah Keemasan ialah nisbah antara panjang dan lebar segi empat tepat tersebut.
Klik pada pautan Lembaran Kerja 3 dan beri latihan tambahan kepada murid untuk memantapkan lagi penguasaan murid.
Lembaran Kerja 3
Lembaran Kerja 3
1312
POLA & JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
INFO EKSTRA
Leonardo Fibonacci
Nisbah dan Sudut Keemasan
13
INFO EKSTRAPOLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1170-1250), dikenali juga sebagai Leonardo Fibonacci, ialah seorang ahli matematik Itali yang menemui Jujukan Fibonacci. Menyedari sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien berbanding sistem bilangan Romawi, Fibonacci telah merantau ke daerah Mediterranean untuk menimba ilmu dengan ahli Matematik Arab yang terkenal pada masa itu, iaitu Al-Khawarizmi. Pada 1202, di usia 32 tahun, beliau menulis tentang apa yang telah beliau pelajari dalam buku Liber Abaci atau Buku Perhitungan. Buku ini menunjukkan keberkesanan sistem bilangan Arab bagi kegunaan dalam pelbagai bidang seperti perniagaan dan lain-lain.
Nombor Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 … adalah suatu jujukan nombor dengan setiap elemen ialah jumlah dua nombor sebelumnya.
Untuk mendapatkan Nisbah Keemasan, kita perlu mencari nisbah sebarang dua nombor berturutan dalam Jujukan Fibonacci.
Apabila pengiraan nisbah tersebut diteruskan, suatu nilai yang menghampiri 1.618033989… akan diperoleh. Nisbah ini dipanggil sebagai Nisbah Keemasan atau Phi (φ). Nisbah ini juga dikenali sebagai Divine Ratio, Golden Mean, Golden Number dan Golden Section.
Nilai sebenar Nisbah Keemasan ialah 1.61803398874989484820... dan nisbah ini akan berterusan tanpa menunjukkan sebarang pola.
1 1
1, = 2 1
2, = 32
1.5,= 53 1.667,= 8
5 1.6,= 138 1.625,−−− − − − = 21
13 1.61538,− = 3421 1.61905− =
TUGASAN 5Segi Empat Keemasan
Para arkitek sejak zaman dahulu mereka bentuk bangunan berdasarkan Nisbah Keemasan seperti bangunan Parthenon di Greece. Pelukis juga sering menggunakan Nisbah Keemasan ini dalam karya seni mereka seperti potret terkenal Monalisa yang dilukis oleh Leonardo Da Vinci. Ini kerana mereka percaya bahawa bentuk segi empat tepat dengan nisbah panjang kepada lebarnya 1.61803 adalah suatu bentuk yang indah dipandang mata.
Parthenon, Greece Segi Empat Keemasan
φ = 1.618034
14
INFO EKSTRAPOLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Segi Empat Keemasan
Cuba lihat di sekeliling anda. Bolehkah anda temui objek yang dibuat berdasarkan bentuk segi empat bernisbah keemasan ini?
Perhatikan bentuk telefon bimbit, bingkai gambar, televisyen, peti sejuk dan lain-lain. Jika anda ukur benda di sekeliling anda, anda mungkin akan merasa kagum sekiranya anda temui bahawa objek-objek tersebut dibuat berdasarkan Segi Empat Keemasan.
Segi Empat Keemasan boleh dilukis dengan menggunakan kaedah seperti berikut.
Lukis satu segi empat sama bersaiz “1”.
Tandakan titik di tengah-tengah salah satu sisi.
Lukis satu garis dari titik tersebut ke penjuru yang
bertentangan dengannya panjangnya ialah .
Putarkan garis tersebut sehingga sebaris dengan sisi segi empat sama yang ditanda di (2). Sambungkan segi empat sama tersebut untuk mendapatkan Segi Empat Keemasan.
Berdasarkan Segi Empat Keemasan, kita dapat mencari formula bagi Nisbah Keemasan. Jika lebar bagi Segi Empat Keemasan ialah 1, maka panjang segi empat tersebut ialah
1.
2.
3.
4.
1
52−5
2−
12−
Oleh itu, Nisbah Keemasan, φ = 1.618034.
52−
12− +
51 2−
+
1 + 2.236068 2−
1.618034
φ =
=
=
=
15
INFO EKSTRAPOLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
−−
__
Phi2 = Phi + 1 atau φ2 = φ + 1
TUGASAN 5Nisbah Keemasan atau Phi (φ) ialah nombor tak rasional yang mempunyai ciri-ciri unik seperti berikut.
Apabila salingan Phi (φ) ditambah dengan 1, akan menghasilkan Phi (φ).
Apabila Phi (φ) dikuasaduakan, nilai yang diperoleh sama dengan nilai Phi (φ) ditambah dengan 1.
Jika persamaan 2 ditukar kepada bentuk φ2 – φ – 1 = 0, yang mempunyai bentuk yang sama dengan ax2 + bx + c = 0, persamaan itu boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik berikut:
Kedua-dua penyelesaian Phi (−1.618033989) dan Phi (0.618033988) ialah salingan bagi Phi.
1.
2.
3.
atau1Phi
+ 1 φ = + 1 Phi = −1φ−
= −1.618033989 atau 0.618033988
−b + b2 − 4ac2a
−−
−1 + 52 =
x =
TUGASAN 5Ciri Nisbah Keemasan
Sudut 137.5° ini dikenali sebagai Sudut Keemasan. Sudut Keemasan diperoleh dengan mengira sudut yang terbentuk di antara dua nombor yang berselang-seli dalam Jujukan Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
360° = 180°12_
13_
25_
38_
513__
360° = 120°
360° = 144°
360° = 135°
360° = 138.46...°
8211334__
2155__
3489__
55144___
360° = 137.14...°
360° = 137.64...°
360° = 137.46°
360° = 137.52...°
360° = 137.50...°
16
INFO EKSTRAPOLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Rahsia Nisbah Dan Sudut KeemasanNisbah dan Sudut Keemasan ialah nombor yang sangat unik. Kedua-duanya ditemui bukan sahaja pada tumbuhan, haiwan, manusia, seni bina dan muzik, tetapi ia juga terdapat pada sistem solar. Kewujudannya yang meluas dan menakjubkan membuktikan keagungan Tuhan. Walaupun Nisbah dan Sudut Keemasan tidak mengambil kira setiap struktur atau pola dalam alam semesta, ianya sudah tentu memainkan peranan utama.
Berikut adalah beberapa contoh Nisbah dan Sudut Keemasan:
Wajah manusia dicipta mengikut Nisbah Keemasan. Jarak antara bahagian atas dahi dan hidung mengikut Nisbah Keemasan, begitu juga jarak antara mata dan bahagian bawah dagu.
Telinga manusia juga mempamerkan ciri-ciri Nisbah Keemasan. Ini bagi memastikan gelombang bunyi dapat dikumpul dan dihantar ke bahagian dalam telinga.
Bahagian badan haiwan juga mempunyai perkaitan dengan Nisbah Keemasan.
1.618
1.0
1.618
1.0
1.618
1.0
Wajah manusia
Putaran lingkaran 137.5o, iaitu Sudut Keemasan membentuk lingkaran rapat yang dapat memaksimumkan ruang seperti yang terdapat pada bunga matahari. Bagi sesetengah tumbuhan, putaran 137.5o ini juga adalah bagi memastikan daun baru tidak menghalang daun lama daripada mendapat sumber tenaga seperti cahaya matahari atau air.
Bunga
Telinga manusia
Haiwan
17
INFO EKSTRAPOLA DAN JUJUKAN NOMBOR
POLA
& J
UJU
KAN
NO
MBO
R
Cangkerang siput mempunyai ciri Nisbah Keemasan. Bentuk ini membolehkan proses lingkaran berulang kali hingga ke infiniti.
Galaksi juga mempamerkan ciri-ciri Nisbah Keemasan.
Perhatikan gambar satelit bagi taufan di Amerika Syarikat, iaitu Taufan Isabel yang berlaku pada September 2003 dan Taufan Sandy yang berlaku pada Oktober 2012. Kedua-dua taufan ini juga mempamerkan ciri-ciri Nisbah Keemasan.
Cangkerang siput
Galaksi
Taufan