plagiat merupakan tindakan tidak terpujirepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang...

94
i PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun Oleh : Maria Febronia Sedho Dheno NIM: 123114008 PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Upload: others

Post on 08-Sep-2020

7 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

i

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

NONLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE

DEKOMPOSISI ADOMIAN

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Maria Febronia Sedho Dheno

NIM: 123114008

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 2: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

ii

SOLUTIONS TO NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL

EQUATIONS BY THE ADOMIAN DECOMPOSITION

METHOD

A THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by :

Maria Febronia Sedho Dheno

Student ID: 123114008

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 3: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

iii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 4: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

iv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 5: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tugas akhir saya persembahkan untuk orang-orang terkasih:

Orang tuaku, Melkhior Dheno dan Rosalina Bate

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 6: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa tugas akhir yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam

daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 25 Januari 2017

Maria Febronia Sedho Dheno

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 7: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

vii

ABSTRAK

Persamaan diferensial parsial terdiri dari persamaan diferensial parsial linear

dan nonlinear. Beberapa model persamaan diferensial parsial nonlinear antara lain

adalah persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal (PGAD), persamaan

gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan

menjadi lebih cepat dan sederhana, PGAD kemudian disederhanakan ke dalam

model lain yang salah satunya adalah persamaan gelombang gravitasi dan

persamaan gelombang kinematik.

Dalam tugas akhir ini, keempat model persamaan diferensial parsial

nonlinear di atas diselesaikan dengan menggunakan metode dekomposisi

Adomian (MDA). Dengan menggunakan MDA, solusi persamaan diferensial

diasumsikan sebagai jumlahan fungsi atau deret tak hingga fungsi dengan bantuan

polinomial Adomian. Polinomial Adomian digunakan untuk menyelesaikan suku

nonlinear dalam persamaan diferensial tersebut. Persamaan diferensial harus

disertai dengan kondisi awal agar persamaan diferensial tersebut dapat

diselesaikan. Kondisi awal yang diberikan tersebut sangat berpengaruh terhadap

solusi yang didapatkan.

Sebagai tindak lanjut dari penggunaan konsep MDA dalam keempat

persamaan diferensial parsial nonlinear di atas adalah jika terdapat solusi eksak

eksplisit dari masalah yang dicari maka deret yang diperoleh konvergen sangat

cepat ke solusi tersebut. Solusi pendekatan MDA merupakan solusi yang berasal

dari deret terpotong yaitu yang biasanya melibatkan beberapa suku saja. Secara

eksplisit, solusi pendekatan tersebut bergantung pada variabel ruang dan waktu.

Penelitian ini menerapkan konsep MDA ke dalam persamaan Burger,

PGAD, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik.

Perhitungan dilakukan dengan bantuan program komputer yaitu MAPLE.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 8: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

viii

ABSTRACT

Partial differential equations are of linear and nonlinear. Some models of

nonlinear partial differential equations, are Burger equation, Shallow Water

Equation (SWE), gravity wave equation, and kinematic wave equation. In order to

make the calculation becomes faster and simpler, SWE is simplified into other

models, which are gravity wave equation and kinematic wave equation.

In this thesis, the four models of nonlinear partial differential equations are

solved by using Adomian Decomposition Method (ADM). By using this method,

the solution of differential equation is assumed as the sum of functions or infinite

series of functions with the help of Adomian polynomials. Adomian polynomial is

used for solving the nonlinear term in the differential equation. The differential

equation must be accompanied by an initial condition so that the differential

equation can be solved. The initial condition which is given greatly affects the

obtained solution.

As the follow-up of the use of the ADM in the four nonlinear partial

differential equations above is that if there is an explicit exact solution of the

problem, the series converges quickly into the solution. The approximate solution

is the solution derived from a truncated series which is usually involving only

several terms. Explicitly, the approximate solution depends on the space and time

variables.

This research applies ADM concept into the Burger equation, SWE, gravity

wave equation, and kinematic wave equation. The calculation is done by the aid

of the MAPLE computer software.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 9: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Maria Febronia Sedho Dheno

NIM : 123114008

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear dengan Menggunakan

Metode Dekomposisi Adomian

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam

bentuk media lain, mengelolanya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara

terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan

akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada

saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tangggal 25 Januari 2017

Yang menyatakan

Maria Febronia Sedho Dheno

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 10: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang

diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.

Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.

Banyak tantangan dalam proses penulisan tugas akhir ini, namun dengan

penyertaan Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya skripsi ini dapat

diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi, sekaligus selaku dosen pembimbing yang dengan

sabar dan penuh antusias dalam membimbing selama proses penulisan

tugas akhir ini.

2. Bapak Y. G. Hartono, S.Si., M.Sc. selaku Kepala Program Studi

Matematika.

3. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan

ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis.

4. Kedua orang tuaku, Melkhior Dheno dan Rosalina Bate, serta kedua

adikku Maria Theresia Wua Dheno dan Gregorius Hermanus Resi Dheno

yang selalu mendukungku dengan penuh kasih dan memberikan masukkan

positif kepadaku.

5. Frederikus Yasman yang telah memberikan semangat dan dukungan

kepadaku dengan penuh kasih.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 11: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

xi

6. Teman-teman seperjuangan prodi Matematika yaitu Ilga, Happy, Ajeng,

Bobi, Rian, Budi, Ega, Amanda, Anggun, Dewi, Lia, Arum, Noni, Putri,

Sila, Juli, Risma, Tika, dan Auxi yang selalu membantuku saat aku

kesulitan dalam belajar dan dalam penyusunan tugas akhir ini.

7. Teman-teman dan kakak-kakak kece personil Wisma Goreti yaitu, kak

Oppy, kak Orry, kak Cici, ka Lenny, Yanzher, dan Elsa yang selalu

mendukung dan membantu dalam penyusunan tugas akhir ini.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu dalam penyusunan tugas akhir ini.

Yogyakarta, 25 Januari 2017

Penulis,

Maria Febronia Sedho Dheno

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 12: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................... vi

ABSTRAK .......................................................................................................... vii

ABSTRACT ....................................................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................... ix

KATA PENGANTAR .......................................................................................... x

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

A. Latar Belakang ......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah .................................................................................... 6

C. Pembatasan Masalah ................................................................................ 6

D. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 6

E. Metode Penulisan ..................................................................................... 7

F. Manfaat Penulisan .................................................................................... 7

G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 7

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 13: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

xiii

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ........................................................... 9

A. Turunan Fungsi ......................................................................................... 9

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial .......................................................... 13

C. Integral .................................................................................................... 16

D. Barisan..................................................................................................... 20

E. Deret ........................................................................................................ 20

F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin .......................................................... 22

G. Konvergensi Deret Taylor ....................................................................... 23

BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ......................................... 29

A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Nonlinear

................................................................................................................. 29

B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger ...................... 39

C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air Dangkal

................................................................................................................. 43

D. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Gravitasi

................................................................................................................. 54

E. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang KInematik

................................................................................................................. 62

BAB IV KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ........... 66

A. Perumuman dan Hipotesis Metode Dekomposisi Adomian ................... 66

B. Teorema Konvergensi ............................................................................. 67

C. Kecepatan Konvergensi .......................................................................... 69

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 14: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

xiv

BAB V PENUTUP ............................................................................................. 71

A. Kesimpulan ............................................................................................ 71

B. Saran ........................................................................................................ 72

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 73

LAMPIRAN ....................................................................................................... 74

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 15: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

1

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan penulisan, manfaaat penulisan, dan sistematika penulisan.

A. Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari

satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel

bebas (Ross, 1984). Permasalahan yang berhubungan dengan persamaan

diferensial sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan tersebut

seperti dalam bidang sains dan teknik. Klasifikasi persamaan diferensial bisa di

dasarkan pada: banyaknya variabel yang terlibat, derajat persamaan diferensial,

linear atau nonlinear, dan homogen atau nonhomogen. Beberapa model dalam

bentuk persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan

diferensial parsial.

Terdapat dua bentuk persamaan diferensial parsial yaitu persamaan

diferensial parsial linear dan nonlinear. Model umum persamaan diferensial

parsial yang sering kita jumpai sehari-hari adalah model arus lalu lintas di jalan

yang ramai, aliran darah yang melalui dinding tabung elastis, dan gelombang

kejut sebagai kasus khusus dari teori umum dinamika gas dan hidrolik (Wazwaz,

2009).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 16: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

2

Model-model lain dari persamaan diferensial parsial yaitu seperti persamaan

Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan

persamaan gelombang kinematik. Persamaan Burger, persamaan gelombang

gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik merupakan model khusus dari

persamaan gelombang air dangkal. Dalam tugas akhir ini dipandang empat model

di atas dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan

metode dekomposisi Adomian (MDA).

Menurut Wazwaz (2009), persamaan Burger adalah persamaan diferensial

parsial fundamental dalam mekanika fluida. Persamaan ini pertama kali

dikenalkan oleh Johannes Martinus Burger (1895-1981). Persamaan Burger dapat

dirumuskan sebagai berikut:

(1.1)

dengan adalah kecepatan aliran dan variabel independen dan secara berturut-

turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu

Menurut Dawson dan Mirabito (2008), persamaan gelombang air dangkal

adalah sistem persamaan diferensial parsial hiperbolik yang mengatur aliran zat

cair di lautan, daerah pesisir, muara, sungai, dan saluran air. Karakteristik umum

dari aliran air dangkal adalah dimensi vertikalnya lebih kecil daripada skala

horizontalnya. Dalam hal ini, kita dapat mengambil rata-rata kedalaman sebagai

pengganti dimensi vertikal. Persamaan gelombang air dangkal dapat digunakan

untuk memprediksi pasang surut, gelombang badai dan tingkat perubahan garis

pantai dari badai, serta arus laut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 17: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

3

Secara matematis, seperti ditulis oleh Al-Khaled dan Allan (2004)

persamaan gelombang air dangkal (PGAD) dapat dirumuskan sebagai berikut

(

)

(

) (

) (1.2)

dengan , dan memenuhi kondisi awal sebagai berikut:

(

) (

) (1.3)

dengan adalah kedalaman air dari permukaan air hingga dasar tanah,

adalah kecepatan fluida, dan adalah kedalaman air dari permukaan

air hingga dasar tanah saat air dalam keadaan diam. Variabel independen dan

secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Ilustrasi

aliran air dinyatakan dalam Gambar 1.1.

Gambar 1.1 Ilustrasi aliran air.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 18: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

4

R. Martins, J. Leandro, dan S. Djordjević memperkenalkan persamaan

Saint-Venant (PSV), sebagai bentuk lain dari PGAD. Persamaan ini sering

disederhanakan sehingga menjadi sangat praktis, menjadikan perhitungan yang

sangat cepat, atau untuk representasi fisis. Untuk mengurangi waktu perhitungan

atau meningkatkan stabilitas, PSV sering disederhanakan ke dalam model lain

seperti persamaan gelombang kinematik, persamaan gelombang difusif, dan

persamaan gelombang gravitasi. Model persamaan gelombang gravitasi adalah

sebagai berikut:

(1.4)

dengan adalah kedalaman air, adalah debit air dan adalah percepatan

gravitasi. Dan model persamaan gelombang kinematik adalah sebagai berikut:

(1.5)

dengan adalah ketinggian air dan variabel independen dan secara berturut-

turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu.

Dalam tulisan ini, metode yang digunakan adalah metode dekomposisi

Adomian. Metode ini diperkenalkan oleh seorang ahli yang bernama G. Adomian.

Metode dekomposisi Adomian (MDA) merupakan metode yang dapat

menyelesaikan persamaan fungsional nonlinear dengan berbagai jenis misalnya:

aljabar, diferensial, diferensial parsial, integral, dan lain-lain dengan kondisi awal

dan kondisi batas tanpa diskretisasi domain. Dalam tugas akhir ini diambil

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 19: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

5

persamaan diferensial parsial yang diselesaikan dengan MDA. Dalam MDA,

solusi persamaan diferensial diasumsikan sebagai jumlahan fungsi atau deret tak

hingga fungsi dengan bantuan polinomial Adomian. Polinomial Adomian

digunakan untuk menyelesaikan suku nonlinear dalam persamaan diferensial

tersebut. Polinomial Adomian dibentuk menggunakan ekspansi deret Taylor pada

fungsi tertentu, yang diasumsikan sebagai fungsi analitik. Persamaan diferensial

harus disertai dengan kondisi awal agar persamaan diferensial dapat diselesaikan.

Kondisi awal yang diberikan tersebut sangat berpengaruh terhadap solusi yang

didapatkan (Adomian,1994).

Banyak peneliti mengungkapkan bahwa jika terdapat solusi eksak dari

masalah yang dicari maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi

tersebut. Konsep konvergensi dari deret dekomposisi telah didiskusikan oleh

banyak peneliti untuk menjelaskan konvergensi yang cepat dari deret yang

dihasilkan tersebut. Cherruault telah memperkenalkan mengenai konsep

konvergensi metode Adomian dalam makalahnya. Selain itu, Cherruault dan

Adomian juga menyajikan bukti konvergensi baru dari metode Adomian tersebut.

Bukti konvergensi inilah yang digunakan penulis dalam menyelidiki konvergensi

dari MDA.

Jadi, secara umum solusi MDA adalah solusi analitis pendekatan dari solusi

eksaknya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 20: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

6

B. Rumusan Masalah

Tugas akhir ini terdiri dari beberapan rumusan-rumusan masalah yang

terlihat seperti di bawah ini:

1. Bagaimana menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial dengan

MDA?

2. Bagaimana menyelesaikan persamaan Burger dengan MDA?

3. Bagaimana menyelesaikan PGAD dengan MDA?

4. Bagaimana menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi dengan

MDA?

5. Bagaimana menyelesaikan persamaan gelombang kinematik dengan

MDA?

6. Bagaimana konvergensi dari MDA ?

C. Batasan Masalah

Pembahasan masalah dalam tugas akhir ini akan dibatasi pada

menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial dengan MDA, yang meliputi:

persamaan Burger, PGAD, persamaan gelombang gravitasi, persamaan

gelombang kinematik. Selain itu, akan dibahas juga tentang konvergensi dari

MDA.

D. Tujuan Penulisan

Tugas akhir ini terdiri dari beberapa tujuan pokok dalam penyelesaiannya

yaitu sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 21: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

7

1. Menerapkan MDA untuk memperoleh solusi eksplisit pendekatan

untuk persamaan diferensial parsial dengan suku sumber.

2. Menggambarkan bagaimana metode dekomposisi dapat membantu

untuk memperoleh solusi yang akurat dan konvergensi yang cepat

mengenai hukum konservasi dengan suku sumber.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka dari buku-buku dan

jurnal serta praktek simulasi dengan bantuan komputer.

F. Manfaat Penulisan

Dengan menerapkan MDA pada persamaan diferensial, diperoleh suatu

penyelesaian yang merupakan suatu fungsi eksplisit terhadap variabel bebas.

Dengan demikian, jika diberikan sebarang nilai variabel bebas, maka penyelesaian

di titik variabel bebas itu dapat dihitung dengan cepat. Perhitungan ini dilakukan

tanpa diskretisasi numeris dari domain.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini terdiri dari lima bab yaitu sebagai

berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 22: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

8

C. Batasan Masalah

D. Metode Penulisan

E. Tujuan Penulisan

F. Manfaat Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Turunan Fungsi

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

C. Integral

D. Deret Taylor dan Deret Maclaurin

E. Konvergensi Deret Taylor

BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Parsial

Nonlinear

B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger

C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air

Dangkal.

D. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang

Gravitasi.

E. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang

Kinematik

BAB IV KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

A. Teorema Konvergensi

B. Kecepatan Konvergensi

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 23: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

9

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Dalam bab ini akan ditulis mengenai konsep-konsep dasar atau teori-teori

dasar dalam penyelesaian tugas akhir ini. Teori-teori dasar tersebut meliputi:

turunan fungsi, klasifikasi persamaan diferensial, integral, barisan, deret, deret

Taylor, deret Maclaurin dan konvergensi deret Taylor.

A. Turunan Fungsi

Pada subbab ini akan dibahas mengenai turunan fungsi yang meliputi

turunan fungsi satu variabel dan turunan fungsi dua variabel. Berikut akan

dijelaskan definisi untuk turunan fungsi.

Definisi 2.1

Turunan fungsi didefinisikan sebagai:

( )

( ) ( )

di setiap titik sehingga limit di atas ada dan hingga. Dan jika ( ) ada maka

fungsi dikatakan terdiferensial atau mempunyai turunan di .

Turunan Fungsi Eksplisit

Fungsi ( ) disebut fungsi eksplisit sebab hubungan antara variabel

bebas dengan variabel takbebas diberikan secara eksplisit melalui rumus

fungsi .

Contoh 2.1

Tentukan turunan dari fungsi ( ) .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 24: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

10

Penyelesaian:

Fungsi di atas bukan merupakan fungsi linear, maka dengan menggunakan

definisi 2.1, penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

( )

( ) ( )

( ( ) ) ( )

( ( ) )

( )

( )

Turunan Fungsi Implisit

Fungsi ( ) dikatakan fungsi implisit sebab hubungan antara

variabel bebas dan variabel takbebas diberikan secara tidak eksplisit. Dalam

mencari turunan untuk fungsi implisit, maka dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu

dengan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi ekplisit dan dengan

menggunakan metode penurunan implisit.

Contoh 2.2

Tentukan

apabila .

Penyelesaian:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 25: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

11

Cara 1 Penurunan Eksplisit Dengan mengubah menjadi fungsi eksplisit, yaitu

sebagai berikut:

atau

( )

atau

Dengan menggunakan Definisi 2.1, kita peroleh:

( )

Cara 2 Penurunan Implisit Dengan menurunan kedua ruas terhadap , maka:

( )

( )

atau

atau

atau

( )

atau

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 26: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

12

Solusi yang dihasilkan oleh kedua cara di atas terlihat berbeda. Solusi yang

diberikan oleh Cara 1 hanya melibatkan , sedangkan solusi yang diberikan oleh

Cara 2 melibatkan dan . Namun, ingat bahwa dalam Cara 1 telah diubah fungsi

semula ke dalam fungsi eksplisit yaitu dengan mengubah fungsi dalam bentuk

dan diperoleh ( ). Lalu dengan mensubsitusikan ( ) ke

dalam bentuk

pada solusi yang dihasilkan oleh Cara 2, maka diperoleh:

.

/

atau

atau

( )

Sekarang dapat dilihat bahwa solusi yang dihasilkan oleh Cara 1 dan Cara 2

sudah terlihat sama.

Yang harus diperhatikan adalah untuk menentukan turunan dari suatu fungsi

tidak harus dikerjakan dengan 2 cara di atas karena tidak semua fungsi dapat di

ubah ke dalam bentuk fungsi eksplisit misalnya . Sehingga

untuk menentukan turunannya langsung dikerjakan dengan menggunakan

penurunan implisit.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 27: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

13

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Pada bagian ini akan dibahas klasifikasi persamaan diferensial yang

meliputi contoh dan definisi persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa,

persamaan diferensial parsial, orde persamaan diferensial, dan kelinearan

persamaan diferensial.

Definisi 2.2

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari

satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel

bebas.

Contoh 2.2

Contoh persamaan diferensial adalah sebagai berikut:

(

)

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Definisi 2.3

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan

turunan biasa dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu

variabel bebas.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 28: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

14

Contoh 2.3

Pada Contoh 2.2 dapat dilihat bahwa persamaan (2.1) dan (2.2) adalah

persamaan diferensial biasa. Dalam persamaan (2.1) variabel adalah satu-

satunya variabel bebas, dan adalah variabel terikat. Dan dalam persamaan (2.2)

variabel bebasnya adalah , dengan adalah variabel terikat.

Definisi 2.4

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan

turunan parsial dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan

lebih dari satu variabel bebas.

Contoh 2.4

Pada Contoh 2.2 dapat dilihat bahwa persamaan (2.3) dan (2.4) adalah

persamaan diferensial parsial. Dalam persamaan (2.3) variabel dan adalah

variabel bebas dan adalah variabel terikat. Dan dalam persamaan (2.4) terdapat

tiga variabel bebas yaitu , , dan sedangkan adalah variabel terikat.

Definisi 2.5

Orde atau derajat dari persamaan diferensial adalah orde atau tingkat

tertinggi dari turunan yang terlibat dalam suatu persamaan diferensial.

Contoh 2.5

Persamaan diferensial biasa (2.1) adalah persamaan diferensial orde kedua,

karena turunan tertinggi yang terlibat adalah turunan kedua. Persamaan (2.2)

adalah persamaan diferensial biasa orde keempat. Persamaan diferensial parsial

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 29: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

15

(2.3) dan (2.4) secara berturut-turut adalah persamaan diferensial orde pertama

dan kedua.

Definisi 2.6

Suatu persamaan diferensial biasa linear orde , dengan variabel terikat

dan variabel bebas , dapat dinyatakan dalam bentuk

( )

( )

( )

( ) ( ) (2.6)

dengan tidak sama dengan nol.

Contoh 2.7

Kedua persamaan diferensial biasa berikut adalah persamaan diferensial

biasa linear. Pada kedua persamaan tersebut, variabel adalah variabel terikat.

Perhatikan bahwa dan turunan-turunannya terjadi dengan pangkat pertama saja

dan tidak ada perkalian dari dan/atau turunan dari .

(2.7)

(2.8)

Definisi 2.8

Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah suatu persamaan diferensial

biasa yang tidak linear. Persamaan diferensial biasa yang tidak berbentuk seperti

persamaaan (2.6) dikatakan persamaan diferensial biasa nonlinear.

Contoh 2.8

Contoh persamaan diferensial biasa nonlinear adalah sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 30: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

16

(2.9)

(

)

(2.10)

(2.11)

Persamaan (2.9) adalah persamaan diferensial biasa nonlinear karena variabel

terikat terdapat pada derajat kedua dalam bentuk . Persamaan (2.10) juga

merupakan persamaan diferensial biasa nonlinear karena terdapat bentuk

.

/

yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertamanya. Persamaan (2.11)

juga nonlinear karena pada bentuk

melibatkan perkalian terhadap variabel

terikat dan turunan pertamanya.

C. Integral

Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi integral dan contoh-

contohnya dari integral tentu.

Definisi 2.9

Suatu fungsi ( ) disebut anti turunan dari fungsi ( ) pada selang jika

( ) ( ) untuk suatu . Dengan kata lain ( ) ( ).

Contoh 2.9

Carilah anti turunan dari fungsi ( ) pada interval ( ).

Penyelesaian:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 31: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

17

Nilai anti turunan dari fungsi di atas bukan ( ) sebab turunannya

adalah . Dan nilai anti turunan yang memenuhi adalah ( ) karena

turunannya adalah ( ) . Dengan demikian, anti turunan dari

adalah .

Suatu anti turunan atau pengintegralan fungsi ( ) terhadap dapat dinotasikan

sebagai berikut:

∫ ( ) ( ) (2.12)

dengan ∫ , ( ) merupakan fungsi integran, ( )

merupakan fungsi integral umum yang bersifat ( ) ( ) dan merupakan

konstanta.

Integral Tentu

Definisi 2.10

Misalkan suatu fungsi pada interval tertutup , -, maka ∫ ( )

yang

disebut integral tentu (atau integral Riemann) dari sampai diberikan oleh:

∫ ( )

∑ ( ̅ )

‖ ‖

∑ ( ̅ )

dengan ̅ , - dan ‖ ‖ adalah .

Untuk menghitung luasan di bawah kurva suatu fungsi ( ) pada

interval tertutup , -, seperti pada gambar di bawah ini

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 32: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

18

Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi satu variabel.

maka akan dibuat titik-titik dengan dan . Ini

menunjukan bahwa interval tertutup , - tersebut akan dipartisi menjadi

subinterval yaitu , - , - , - , - Dari setiap subinterval

akan diambil sembarang titik ̅ dan yang merupakan panjang interval dengan

. Disini . Seperti contoh .

Cara lain untuk menghitung adalah dengan menggunakan rumus sebagai

berikut:

Rumus integral tentu pada Definisi 2.10 diperoleh dengan terlebih dahulu

menentukan nilai Jumlahan Riemann atau jumlah luas persegi panjang. Nilai

hampiran luas persegi panjang diperoleh dari definisi dasar luas persegi panjang

yaitu dengan ketentuan panjangnya merupakan

( ̅ ) dan lebarnya merupakan . Sehingga untuk menghitung hampiran luas

persegi panjang grafik ( ) diatas adalah ( ̅ ) .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 33: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

19

Luas daerah di bawah kurva diaproksimasikan dengan total hampiran luas persegi

panjang masing-masing subinterval yang dibentuk tersebut, sehingga aproksimasi

luas di bawah kurva adalah Hal ini berarti bahwa total

hampiran luas persegi panjang atau jumlahan Riemann fungsi pada interval

, - sebagai hampiran luas daerah di bawah kurva ( ) dan di atas sumbu

dapat ditulis sebagai berikut:

( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ ) ∑ ( ̅ )

Jika ‖ ‖ diperkecil pada interval tertutup , -, maka jumlah subinterval atau

akan bertambah. Dengan kata lain, jika ‖ ‖ maka .

Jika semakin membesar maka dan berarti bahwa semakin baik

pula aproksimasi luasan dan semakin dekat dengan luasan yang sebenarnya.

Dengan demikian,

∑ ( ̅ )

D. Barisan

Pada subbab mengenai konsep barisan ini, hanya dibatasi pada konsep

barisan konvergen dan divergen beserta contohnya.

Definisi 2.11

Suatu barisan * + dikatakan kovergen ke suatu bilangan jika untuk setiap

bilang posistif terdapat suatu bilang bulat sedemikian sehingga untuk semua

| |

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 34: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

20

Jika tidak terdapat bilang , maka barisan * + tersebut dikatakan barisan

divergen.

Jika * + konvergen ke , maka , atau secara sederhana

. Dan merupakan limit dari barisan.

Contoh 2.10

Tunjukkan bahwa

.

Penyelesaian

Misalkan Akan ditunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat

sedemikian hingga untuk semua ,

|

|

Bentuk implikasi di atas terpenuhi jika

atau

. Jika adalah sebarang

bilangan bulat yang lebih besar dari

, maka bentuk implikasi di atas terpenuhi

untuk semua . Sehingga terbukti bahwa

E. Deret

Pada subbab ini hanya dibatasi pada konsep deret konvergen dan divergen

beserta contohnya.

Definisi 2.12

Diberikan suatu barisan bilangan * +, suatu ekspresi dalam bentuk

dikatakan deret takhingga. Bilangan merupakan suku ke- dari deret. Barisan

* + didefinisikan oleh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 35: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

21

adalah barisan jumlah parsial dari deret, dengan adalah jumlah parsial ke- .

Jika barisan jumlah parsial konvergen ke limit , maka deret tersebut konvergen

dan jumlahannya adalah . Dalam kasus ini, akan dituliskan sebagai berikut:

Jika barisan jumlah parsial dari suatu deret tidak konvergen, maka deret tersebut

dikatakan deret divergen.

Contoh 2.11

Selidiki kekonvergenan dari deret dibawah ini:

Penyelesaian

Jika diperhatikan

(

)

(

)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 36: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

22

sehingga diperoleh jumlah parsial ke- nya adalah:

(

)

dan .

/

Jadi, karena barisan jumlah-jumlah

parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.

F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh-contoh deret

Taylor dan deret Maclaurin.

Definisi 2.13

Misalkan adalah sebuah fungsi yang memiliki turunan-turunan dari semua

tingkat pada interval tertentu dengan adalah titik interior. Maka deret Taylor

yang diberikan oleh di sekitar adalah:

∑ ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

Deret Maclaurin yang diberikan oleh adalah

∑ ( )( )

( ) ( )

( )

( )

yaitu deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar .

Contoh 2.12

Tentukan deret Taylor yang diberikan oleh ( )

di sekitar .

Penyelesaian:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 37: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

23

Akan dicari ( ) ( ) ( ) . Dengan turunan maka diperoleh

( ) , ( ) , ( ) , dan seterusnya maka ( )

( ) ( ), sedemikian sehingga

( )

( )

( )

( )

( )

Deret Taylornya adalah:

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Dan ini merupakan deret geometri dengan suku pertama

dan rasio

.

G. Konvergensi Deret Taylor

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai deret Taylor suatu fungsi yang

konvergen ke fungsi itu sendiri. Hal ini dapat dilihat dengan teorema berikut.

Teorema 2.1 Teorema Taylor

Jika dan turunan-turunan pertama hingga ke- ( ) kontinu

pada interval tertutup antara dan , dan ( ) terdiferensial pada interval terbuka

antara dan , maka terdapat bilangan antara dan sedemikian sehingga:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

Bukti

Untuk membuktikan teorema Taylor maka akan diasumsikan bahwa .

Dipandang polinomial Taylor berbentuk sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 38: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

24

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )

( )

dan turunan pertama -nya sesuai dengan fungsi dan turunan pertama -nya

pada . Hal ini tidak mengubah kesesuaian tersebut jika ditambahkan suku

lain dari bentuk ( ) dengan adalah suatu konsanta, karena suku

tersebut dan turunan pertama -nya semua sama dengan nol pada . Lalu,

didefinisikan fungsi baru yaitu:

( ) ( ) ( )

dengan turunan pertama -nya masih sesuai dengan fungsi dan turunan pertama

-nya pada .

Sekarang akan dipilih suatu nilai tertentu dari yang membuat kurva

( ) sesuai dengan kurva asli ( ) pada , yaitu:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (2.13)

dengan didefinisikan oleh persamaan (2.13), maka fungsi:

( ) ( ) ( )

yang merupakan selisi antara fungsi asli dan fungsi aproksimasi ( ) untuk

setiap di , -.

Selanjutnya akan digunakan teorema Rolle. Pertama, karena ( )

( ) dan dan keduanya kontinu pada , -, maka

( ) ( )

Lalu, karena ( ) ( ) dan dan keduanya kontinu pada , -,

maka

( ) ( )

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 39: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

25

Terlihat bahwa teorema Rolle berhasil diaplikasikan pada ( )

yaitu:

( ) sedemikian sehingga ( )

( ) sedemikian sehingga ( )( )

( ) sedemikian sehingga ( )( )

Karena ( ) kontinu pada , - dan terdiferensial pada ( ), dan ( )( )

( )( ) , bahwa teorema Rolle mengimplikasikan bahwa terdapat suatu

bilangan pada ( ) sedemikian sehingga

( )( ) (2.14)

Jika diturunkan ( ) ( ) ( ) ( ) total dari kali, maka

diperoleh:

( )( ) ( )( ) ( ) (2.15)

Berdasarkan persamaan (2.14) dan (2.15), diperoleh:

( )( )

( ) ( ) (2.16)

Dan berdasarkan persamaan (2.13) dan (2.16), diperoleh:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

Maka terbukti.

Ketika menggunakan teorema Taylor, maka akan diasumsikan tetap dan

adalah variabel bebas. Rumus Taylor mudah digunakan saat mengganti dengan

. Rumus di bawah ini merupakan versi dari teorema Taylor setelah mengubah

dengan .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 40: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

26

Rumus Taylor

Jika mempunyai turunan-turunan dari semua tingkat pada interval terbuka

yang memuat , maka untuk setiap bilangan bulat positif dan untuk setiap di

,

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

(2.17)

dengan

( ) ( )( )

( ) ( ) (2.18)

untuk antara dan .

Ketika teorema Taylor dinyatakan seperti di atas, hal ini mengatakan bahwa

untuk setiap , maka:

( ) ( ) ( )

Fungsi ( ) ditentukan oleh nilai dari ( ) turunan ke ( ) di titik yang

bergantung pada kedua dan , dan terletak di antara mereka.

Persamaan (2.12) disebut rumus Taylor. Fungsi ( ) disebut suku error

untuk aproksimasi oleh ( ) terhadap interval .

Definisi 2.14

Jika ( ) untuk semua maka deret Taylor yang

dibangun oleh saat pada interval , ditulis sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 41: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

27

( ) ∑ ( )( )

( )

( ) dapat diperkirakan dengan tanpa mengetahui nilai , untuk mengetahuinya

dapat dilihat contoh sebagai berikut.

Contoh 2.13

Tunjukkan bahwa deret Taylor yang dibangun oleh ( ) saat

konvergen ke ( ) untuk setiap .

Penyelesaian:

Fungsi ( ) mempunyai turunan dari semua orde sepanjang interval

( ). Persamaan (2.12) dan (2.13) dengan ( ) dan , maka:

( )

dan

( )

( )

untuk antara dan .

Karena adalah fungsi naik, maka berada di antara dan . Ketika

nilai maka nilai dan . Ketika nilai maka nilai

dan ( ) . Dan ketika nilai maka dan . Maka,

| ( )| | |

( )

saat , dan

| ( )|

( )

saat . Lalu, karena

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 42: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

28

( )

untuk setiap ,

( ) dan deret konvergen untuk setiap , maka:

(2.19)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 43: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

29

BAB III

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode dekomposisi Adomian

(MDA) dan penyelesaian beberapa persamaan diferensial parsial baik linear

maupun nonlinear dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Beberapa

persamaan diferensial parsial tersebut adalah persamaan Burger, persamaan

gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan

gelombang kinematik.

A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Parsial

Nonlinear

Dalam bagian ini akan dibahas mengenai penerapan metode dekomposisi

Adomian dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear yang akan

diawali dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial orde pertama dengan

menggunakan MDA.

a. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial Linear

Orde Pertama

Untuk memberikan gambaran mengenai metode dekomposisi Adomian,

maka perhatikan persamaan diferensial linear berikut:

(3.1)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 44: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

30

dengan adalah suatu fungsi yang diasumsikan mempunyai invers, adalah

fungsi diferensial linear dan adalah suku sumber. Dengan mensubsitusikan

fungsi invers pada kedua sisi persamaan (3.1), maka diperoleh:

( )

atau

( ) ( )

Lalu dengan mengoperasikan ( ), diperoleh:

( )

atau

( )

Atau

( ) (3.2)

dengan adalah suku yang dihasilkan dari proses pengintegralan terhadap suku

sumber .

Metode Adomian mendefinisikan solusi berdasarkan suatu deret

takhingga seperti yang dituliskan berikut, yaitu:

(3.3)

Selanjutnya, persamaan (3.3) akan disubsitusikan ke persamaan (3.2) dan

diperoleh:

( (∑

))

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 45: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

31

Atau

( ( )) (3.4)

Sehingga diperoleh skema di bawah ini:

( ( ))

(3.5)

atau

( ( ))

( ( ))

( ( ))

(3.6)

Setelah menentukan lalu akan disubsitusikan ke persamaan

(3.3) untuk memperoleh solusi dalam bentuk deret.

Untuk mempermudah dalam memahami konsep metode ini, maka akan

diperhatikan persamaan diferensial parsial orde pertama nonhomogen berikut,

yaitu:

( ) (3.7)

dengan nilai awal sebagai berikut:

( ) ( ) (3.8)

dan

( ) ( ) (3.9)

Misalkan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 46: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

32

(3.10)

dan

(3.11)

Dalam bentuk operator, maka persamaan (3.7) dapat ditulis sebagai berikut:

( ) (3.12)

dengan setiap operator di atas diasumsikan dapat diinverskan dan opeator dan

dimisalkan sebagai berikut:

∫ ( )

(3.13)

dan

∫ ( )

(3.14)

Ini berarti bahwa:

( ) ( ) ( ) (3.15)

Dengan mensubsitusikan pada kedua sisi persamaan (3.12) maka diperoleh:

( )

dengan mengoperasikan , diperoleh:

( ) ( ) ( )

( )

atau

( ) ( ) ( )

( )

atau

( ) ( ) ( )

( ) (3.16)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 47: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

33

Hasil pada persamaan (3.16) di atas diperoleh dengan menggunakan persamaan

(3.15) dan dengan nilai awal ( ) ( ). Berdasarkan penjelasan sebelumnya

bahwa deret himpunan metode dekomposisi adalah sebagai berikut:

( ) ∑ ( )

(3.17)

Subsitusikan persamaan (3.17) pada kedua sisi persamaan (3.16), sehingga

menghasilkan:

∑ ( )

( ) ( )

( (∑ ( )

)) (3.18)

Atau dapat dituliskan sebagai berikut:

( ) ( )

( ( )) (3.19)

Adomian mengatakan bahwa suku diidentifikasikan sebagai kondisi awal atau

nilai awal dan ditambah hasil dari ( ) untuk kasus ini, dengan keduanya

diasumsikan diketahui.

Berdasarkan penjelasan dan hasil yang diperoleh di atas, maka solusi untuk

deret dekomposisi adalah sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 48: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

34

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

(3.20)

Hal ini jelas terlihat bahwa keakuratan pendekatan dapat ditingkatkan secara

signifikan hanya dengan melakukan iterasi berkali-kali. Sehingga pendekatan

suku ke- untuk dapat ditulis sebagai berikut:

∑ ( )

(3.21)

Untuk masalah konkret, dimana solusi eksak tidak dapat diperoleh dengan mudah

maka akan menggunakan deret terpotong (3.21) untuk memperoleh solusi

pendekatan.

Banyak peneliti menunjukkan bahwa jika terdapat solusi eksak dalam

menyelesaikan masalah tertentu maka deret yang diperoleh konvergen sangat

cepat ke solusi eksak tersebut. Mengenai konsep konvergensi akan dibahas di Bab

IV.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 49: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

35

b. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial

Nonlinear Orde Tinggi

Dalam penjelasan sebelumnya terlihat bahwa MDA diterapkan dalam

persamaan diferensial linear orde pertama. Metode ini diterapkan secara langsung

dan secara mudah untuk masalah nonhomogen. Subbab ini akan menerapkan

MDA untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear. Hal ini sangat

penting karena dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial tidak hanya

terdapat suku linear saja namun terdapat suku nonlinear juga seperti ,

dan lain sebagainya.

Berikut ini akan dijelaskan secara rinci mengenai skema Adomian dalam

menghitung suku nonlinear. Untuk memudahkan, maka penjelasan mengenai

persamaan diferensial parsial nonlinear akan didukung dengan beberapa contoh

ilustratif yang mencakup berbagai bentuk nonlinear.

Telah diketahui bahwa metode dekomposisi Adomian menunjukkan bahwa

fungsi yang tak diketahui dapat diwakili oleh deret dekomposisi berikut:

(3.22)

dengan dapat dihitung dengan cara rekursif. Namun demikian, suku nonlinear

( ) seperti , dan lain-lain bisa dinyatakan dalam deret terbatas yang

disebut polinomial Adomian yang dituliskan sebagai berikut:

( ) ∑ ( )

(3.23)

dengan polinomial Adomian dapat dihitung untuk semua bentuk nonlinear.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 50: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

36

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan

menggunakan MDA terdapat beberapa cara. Salah satunya adalah polinomial

Adomian untuk suku nonlinear ( ) dapat didefinisikan dengan menggunakan

formula sebagai berikut:

[ (∑

)]

Namun, dalam tugas akhir ini penulis tidak menggunakan cara di atas, sebab

memerlukan perhitungan yang lebih rumit. Sehingga dalam tugas akhir ini penulis

menggunakan cara lain.

Cara yang akan diperkenalkan selanjutnya ini merupakan cara sederhana

dan dapat mempermudah dalam menghitung polinomial Adomian. Cara ini

didasarkan pada aljabar dan identitas trigonometri serta deret Taylor. Cara ini

menggunakan operasi dasar dan tidak memerlukan formula tertentu, yang diambil

dari buku karangan Wazwaz (2009).

Seperti yang didefinisikan oleh metode dekomposisi yaitu cara ini

menunjukkan bahwa mensubsitusi sebagai jumlahan dari dengan . Hal

ini jelas bahwa selalu ditentukan independen dari polinomial lainnya

dengan , dan didefinisikan sebagai berikut:

( ) (3.24)

Cara ini mengasumsikan bahwa pertama memisahkan

( ) untuk setiap suku nonlinear ( ). Dengan melakukan pemisahan ini

maka komponen sisa ( ) dapat diperluas dengan menggunakan operasi aljabar,

identitas trigonometri, dan deret Taylor. Selanjutnya mengumpulkan semua suku

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 51: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

37

ekspansi yang dihasilkan sedemikian sehingga jumlah subskrip dari komponen

dalam setiap suku adalah sama. Setelah melakukan pengumpulan suku-suku

tersebut maka perhitungan polinomial Adomian dengan demikian selesai.

Untuk meningkatkan pemahaman mengenai cara ini maka akan

diperkenalkan beberapa contoh berikut.

i. Kasus Polinomial Nonlinear

Misalkan ( ) .

Akan dimisalkan sebagai berikut, yaitu:

(3.25)

Dengan mensubsitusi persamaan (3.25) kedalam ( ) , maka diperoleh:

( ) ( )

( )

(3.26)

Hasil ekspansi dari persamaan (3.26) dapat disusun kembali dengan

mengelompokan semua suku dengan jumlah dari subskrip adalah sama. Ini berarti

bahwa persamaan (3.26) dapat ditulis sebagai berikut:

( )

(3.27)

Maka polinomial Adomian secara lengkap adalah sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 52: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

38

dan seterusnya.

ii. Turunan Nonlinear

Misalkan ( ) .

Akan dimisalkan sebagai berikut, yaitu :

(3.28)

Dengan mensubsitusikan persamaan (3.28) kedalam ( ) maka diperoleh:

( ) (

)

( )

(3.29)

Dengan mengumpulkan suku-suku seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya,

maka diperoleh:

( )

(3.30)

Sehingga polinomial Adomiannya adalah sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 53: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

39

dan seterusnya.

B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger

Dipandang persamaan Burger sebagai berikut:

(3.31)

dengan nilai awal,

( )

Persamaan (3.31) di atas akan ditulis dalam bentuk:

(3.32)

Misalkan

dan

. Maka persamaan (3.31) di atas ditulis dalam

bentuk sebagai berikut:

(3.33)

Dengan mensubsitusikan pada kedua sisi persamaan (3.33), diperoleh:

lalu, dengan menggunakan operasi ∫ ( )

maka:

( ) ( )

atau

( ) ( )

atau

(3.34)

Misalkan ∑ dan ∑

dengan merupakan bentuk

polinomial Adomian, sehingga persamaan (3.34) ditulis sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 54: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

40

(3.35)

Karena ∑ , dan ∑

, maka

persamaan (3.35) diatas menjadi:

( )

( )

atau

(

)

(

)

atau

Oleh sebab itu diperoleh solusi sebagai berikut:

(3.36)

Diketahui bahwa ∑ maka:

( )(

)

Sehingga dapat ditulis sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 55: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

41

dan sebagainya maka diperoleh:

(3.37)

Dengan menggunakan pendekatan suku ke- , maka dapat ditulis dalam bentuk

sebagai berikut,yaitu:

(3.38)

Sebagai contoh penerapan MDA pada persamaan Burger maka akan

dipandang nilai awal sebagai berikut:

( )

Dengan menggunakan program MAPLE maka solusi penyelesaian untuk ( )

adalah sebagai berikut:

(3.39)

Karena telah diketahui bahwa ∑ maka solusi pendekatan suku ke-4

( ) adalah . Sehingga ilustrasi solusi pendekatan

untuk kecepatan aliran ( ) dapat dilihat pada gambar 3.1 dan gambar 3.2 di

bawah ini

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 56: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

42

Gambar 3. 1 Solusi penyelesaian untuk kecepatan aliran ( ).

(a)

(b)

Gambar 3.2 Solusi untuk kecepatan aliran ( ) saat (a) dan saat

(b).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 57: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

43

Jadi, setiap iterasi pada persamaan (3.39) diatas jika dijumlahkan akan

menghasilkan suatu deret, yaitu:

( ) ( )

atau

atau

( ) (3.40)

Akibatnya, diperoleh solusi eksak sebagai berikut:

(3.41)

dengan | | atau jaminan kekonvergenan solusi eksak tersebut yaitu

.

C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air

Dangkal

Dipandang persamaan gelombang air dangkal (PGAD) adalah sebagai

berikut:

(

)

(

) (

) (3.42)

dengan , , dan memenuhi kondisi awal

( ( )

( )) (

( )

( )) (3.43)

dengan ( ) adalah ketinggian air dari permukaan air hingga dasar tanah,

( ) adalah kecepatan fluida, dan ( ) adalah kedalaman air dari permukaan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 58: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

44

air hingga dasar tanah saat air dalam keadaan diam. Variabel independen dan

secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu.

Persamaan (2.1) dapat ditulis ke bentuk yang lebih sederhana, yaitu:

( ) ( ) ( ) ( ) (3.44)

dengan

( ) ( ( )

( )) ( ) (

) ( ) (

( )) (3.45)

Untuk menyelesaikan PGAD dengan menggunakan MDA, maka persamaan di

atas akan ditulis sebagai berikut:

(3.46)

dan

( ) (3.47)

dengan nilai awal:

( ) ( )

dan

( ) ( )

Misalkan

dan

sehingga persamaan (3.46) dan (3.47) ditulis

sebagai berikut:

dan

( )

Dengan mensubsitusikan operasi pada kedua sisi persamaan di atas maka

diperoleh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 59: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

45

(3.48)

dan

( ) (3.49)

Lalu, dengan menggunakan operasi ∫ ( )

pada persamaan (3.48) maka

diperoleh:

( ) ( )

atau

( ) ( )

atau

( ) ( ) ( )

untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk dan pada persamaan

diatas akan diubah menjadi:

( ) ( ) ( ).

Misalkan ( )dan ( ), sehingga diperoleh:

( ) ( ) [ ( ) ( )] (3.50)

Selanjutnya, dengan menggunakan operasi ∫ ( )

pada persamaan (3.49)

maka diperoleh:

( ) ( )

( )

atau

( ) ( ) ( )

karena ( ) ( ),maka

( ) ( ) ( ( ) [ ])

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 60: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

46

untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk pada persamaan diatas akan

diubah menjadi:

( ) ( ) ( ( ) [ ])

Misalkan ( ), maka:

( ) ( ) ( ( ) [ ( )]) (3.51)

Berdasarkan hasil penurunan persamaan (3.46) dan (3.47) dengan MDA

,maka diperoleh:

( ) ( ) [ ( ) ( )] (3.52)

dan

( ) ( ) ( ( ) [ ( )]) (3.53)

dengan:

( )

( )

( )

Misalkan ( ) ∑ ( ) , ( ) ∑ ( )

dan

( ) ∑

( ) ∑

( ) ∑

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 61: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

47

dengan , , dan adalah bentuk polinomial Adomian. Ketiga permisalan

diatas akan disubsitusikan ke dalam persamaan (3.52) dan (3.53) untuk

memperoleh solusi ( ) dan ( ).

Untuk mencari solusi ( ), maka akan disubsitusikan ketiga permisalan

di atas, sehingga di peroleh:

( ) ( ) [∑

]

Karena ∑ dan ∑

, maka:

( ) ( )

[( )

( )]

Sehingga diperoleh:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Lalu untuk mencari solusi ( ), maka akan disubsitusikan ketiga permisalan di

atas, sehingga di peroleh:

( ) ( ) ( ( ) [ ∑ ( )

])

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 62: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

48

karena ∑ dan ∑

, maka:

( ) ( )

( ( )

[ ( ) ( )])

sehingga diperoleh:

( )

( )

( ( ) [ ])

( )

( ( ) [ ])

( )

( ( ) [ ])

( )

( ( ) [ ])

( )

( ( ) [ ])

Diketahui bahwa ( ) ∑ , maka:

( )(

)

Sehingga diperoleh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 63: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

49

Karena diketahui ( ) ∑ , maka:

( )(

)

Sehingga diperoleh:

Dan karena diketahui ( ) ∑ , maka:

( )(

)

Sehingga diperoleh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 64: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

50

Berdasarkan hasil dari penggunaan MDA ke dalam PGAD, maka diperoleh

penyelesaian sebagai berikut:

( ) ( )

dan

( ( ) [ ])

dengan kondisi awal:

( ) ( )

dan

( ) ( )

Sehingga solusi penyelesaian untuk ( ) dan ( ) adalah sebagai berikut:

( )

dan

( )

dengan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 65: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

51

( ) ∑ ( )

dan

( ) ∑ ( )

Untuk lebih memahami mengenai penerapan MDA dalam PGAD maka

akan diperlihatkan sebuah contoh. Dengan mengacu pada persamaan (3.44) dan

(3.45) maka dipandang

( )

dengan ketinggian awal dan kecepatan awal dari air secara berurut-urut ditentukan

oleh:

( ) ( ) ( )

( )

dan

( ) ( )

Dengan menggunakan program MAPLE, maka solusi untuk ketinggian air

( ) dan kecepatan fluida ( ) dapat dihitung. Solusi untuk ketinggian air

( ) adalah sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 66: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

52

( )

( ) ( ) (

(

)

( )

( ) ( ))

(

( )) (

( ) ( )

( ) ( ( ) ) )

dan solusi untuk kecepatan fluida ( ) adalah sebagai berikut:

( ) ( )

(

(

)

( ) )

Karena diketahui ( ) ∑ ( ) dan ( ) ∑ ( )

maka

solusi pendekatan suku ke 3 untuk ( ) dan ( ) secara berurut-urut adalah

dan . Sehingga ilustrasi solusi pendekatan

untuk ( ) dan ( ) dapat dilihat pada gambar 3.3, gambar 3.4, dan gambar

3.5 di bawah ini

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 67: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

53

(a)

(b)

Gambar 3. 3 Solusi penyelesaian untuk ketinggian air ( ) (a) dan kecepatan

fluida ( ) (b).

(a)

(b)

Gambar 3.4 Solusi penyelesaian untuk ketinggian air ( ) saat (a) dan

saat (b).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 68: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

54

(a)

(b)

Gambar 3.5 Solusi penyelesaian untuk kecepatan fluida ( ) saat (a) dan

saat (b)

D. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Gravitasi

Dipandang persamaan gelombang gravitasi adalah sebagai berikut:

(3.54)

dengan nilai awal:

( )

dan

( )

dengan merupakan kedalaman air, merupakan debit air, dan merupakan

percepatan gravitasi.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 69: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

55

Untuk menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi dengan menggunakan

MDA, maka persamaan (3.54) akan ditulis sebagai berikut:

(3.55)

dan

( ) (3.56)

Misalkan

dan

sehingga persamaan (3.55) dan (3.56) ditulis

sebagai berikut:

dan

( )

Dengan mensubsitusikan operasi pada kedua persamaan di atas maka

diperoleh:

(3.57)

dan

( ) (3.58)

Lalu, dengan menggunakan operasi ∫ ( )

pada persamaan (3.57) maka

diperoleh:

( ) ( )

atau

( ) ( )

karena ( ) , maka:

( ) (3.59)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 70: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

56

Dengan langkah yang sama yaitu menggunakan operasi ∫ ( )

pada

persamaan (3.58) maka diperoleh:

( ) ( ) ( )

atau

( ) ( ) ( )

karena ( ) , maka:

( ) ( ) (3.60)

Sehingga diperoleh persamaan baru yaitu sebagai berikut:

( )

( ) ( )

(3.61)

(3.62)

Misalkan:

( ) ∑

( ) ∑

Maka ( ) dan ( ) akan disubsitusikan ke dalam persamaan (3.61),

sehingga diperoleh:

( ) (∑

)

karena ∑ maka diperoleh:

( ) ( )

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 71: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

57

atau

( )

karena ( ) ∑ , sehingga diperoleh:

Selanjutnya dengan mensubsitusikan ( ) dan ke dalam persamaan (3.62),

diperoleh:

( ) (∑

)

karena ∑ maka diperoleh:

atau

( )

karena ( ) ∑ maka diperoleh:

( ) ( )

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 72: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

58

Diketahui bahwa ∑ , sehingga

( )(

)

Maka dapat dihitung sebagai berikut:

Berdasarkan hasil dari penggunaan MDA ke dalam persamaan gelombang

gravitasi, maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

(3.63)

Sehingga penyelesaian untuk ( ) dan ( ) adalah sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 73: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

59

( )

( )

dengan

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

Dipandang nilai awal untuk kedalaman air dan debit air secara berturut-turut

adalah sebagai berikut:

( )

( )

dan

( )

Dengan adanya nilai awal, maka pendekatan suku ke- dari kedalaman air dan

debit air dapat ditentukan dengan menggunakan skema persamaan (3.63).

Lalu dengan menggunakan program MAPLE, maka solusi untuk kedalaman air

adalah sebagai berikut:

(

)

( ) ( )

( ) ( ( ) )

Solusi untuk unit-discharge adalah sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 74: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

60

(

)

(

)

( ) ( )( ( ) ( )

( ) ( ( ) ) )

( ) ( ( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ))

Diketahui bahwa ( ) ∑ , sehingga pendekatan suku ke-4 untuk

kedalaman air adalah dan diketahui bahwa ( )

∑ , sehingga pendekatan suku ke-4 untuk unit-discharge adalah

Maka ilustrasi solusi pendekatan untuk ( ) dan ( ) dapat

dilihat pada gambar 3.6, gambar 3.7, dan gambar 3.8 di bawah ini

(a)

(b)

Gambar 3. 6 Solusi penyelesaian untuk kedalaman air ( ) (a) dan

debit air ( ) (b).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 75: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

61

(a)

(b)

Gambar 3.7 Solusi penyelesaian untuk kedalaman air ( ) saat (a) dan

saat (b).

(a)

(b)

Gambar 3.8 Solusi penyelesaian untuk debit air ( ) saat (a) dan saat

(b)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 76: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

62

E. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Kinematik

Di pandang persamaan gelombang kinematik adalah sebagai berikut:

(3.64)

dengan nilai awalnya:

( )

Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial parsial nonlinear, dengan

( ) menyatakan ketinggian air dan variabel dan secara berturut-turut

menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan mengaplikasikan

MDA ke persamaan ini, maka dengan memisalkan

sehingga persamaan

(3.64) ditulis sebagai berikut:

atau

(3.65)

Dengan mensubsitusikan operasi ke dalam persamaan (3.65), maka

diperoleh:

Lalu dengan menggunakan operasi ∫ ( )

pada persamaan (3.65), maka

diperoleh:

( ) ( )

atau

( ) ( )

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 77: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

63

karena ( ) , maka persamaan di atas menjadi:

( )

Misalkan ( ) ∑ dan

∑ , lalu akan disubsitusikan ke

persamaan di atas sehingga diperoleh:

( ) (∑

)

karena ∑ maka diperoleh:

( ) ( )

atau

( )

Karena ( ) ∑ , maka :

Diketahui bahwa

∑ , maka :

(

)(

)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 78: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

64

sehingga dapat dihitung sebagai berikut:

(3.65)

Dengan menggunakan pendekatan suku ke- , maka dapat ditulis dalam bentuk

sebagai berikut,yaitu:

(3.66)

Dengan menggunakan program MAPLE, diperoleh:

Diketahui bahwa ( ) ∑ , sehingga pendekatan suku ke-3 ( )

adalah . Maka ilustrasi solusi pendekatan untuk ( ) dapat

dilihat pada gambar 3.9 dan gambar 3.10 di bawah ini

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 79: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

65

Gambar 3.9 Solusi penyelesaian untuk ( ).

(a)

(b)

Gambar 3.10 Solusi penyelesaian untuk ( ) saat (a) dan saat .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 80: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

66

BAB IV

KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

Pada bagian ini akan dibahas mengenai konvergensi metode dekomposisi

Adomian. Yang akan dibahas yaitu mengenai bukti konvergensi baru dari metode

Adomian yang didasarkan pada sifat-sifat deret konvergen. Dan pada akhirnya

akan disimpulkan beberapa hasil kecepatan konvergensi dari metode ini yang

memungkinkan dapat menyelesaikan persamaan nonlinear.

A. Perumuman dan Hipotesis Metode Dekomposisi Adomian

Pertama, akan diingatkan kembali mengenai prinsip utama metode Adomian

yaitu dipandang persamaan fungsional nonlinear umum berikut:

( ) (4.1)

dengan dan secara berturut-turut adalah operator nonlinear dan suatu fungsi

yang diberikan.

Metode Adomian memungkinkan untuk memperoleh solusi dari persamaan

(4.1) sebagai deret berhingga ∑ dengan menggunakan skema berulang

seperti yang ditulis dibawah ini:

( )

( )

(4.2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 81: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

67

dengan adalah polinomial Adomian.

Untuk menentukan konvergensi dari metode dekomposisi Adomian adalah

dengan melihat 2 hipotesis berikut, yaitu:

1. Solusi untuk ditentukan sebagai deret fungsi yaitu ∑ .

Selain itu, deret konvergen mutlak yaitu ∑| | .

2. Fungsi nonlinear ( ) terdapat dalam setiap deret dengan radius

konvergensi sama dengan infinity. Dengan kata lain:

( ) ∑ ( )( )

| | (4.3)

Hipotesis ini hampir selalu memenuhi dalam masalah fisis yang konkret.

B. Teorema Konvergensi

Pada bagian ini akan dibahas mengenai teorema konvergensi dan

pembuktiannya.

Teorema 4.1

Berdasarkan hipotesis 1 dan 2, deret Adomian ∑ merupakan

solusi untuk persamaan (4.1) dan memenuhi persamaan (4.2).

Bukti

Hipotesis 2 menjamin bahwa deret ∑ ( )( )( ) konvergen untuk

sembarang . Lalu, diketahui bahwa ∑ konvergen mutlak dan oleh

karena itu, dapat disubsitusikan dalam ∑ ( )( )( ). Sehingga diperoleh:

( ) ∑ [ ( )( )(∑

)

]

(4.4)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 82: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

68

Karena ∑ | | berkonvergensi mutlak, maka ( ) dapat ditulis

kembali dalam bentuk ∑ . Dan karena ∑ konvergen mutlak, maka

diperoleh:

(∑

)

∑ ( )

dengan hanya bergantung pada . Selain itu, diperoleh bahwa

∑ | |

.

Deret pada persamaan (4.4) adalah konvergen mutlak karena:

( ) ∑[ ( )( )

∑ ( )

] ∑∑ ( )( )

(4.5)

Dengan mengambil nilai mutlak untuk ( ), maka:

| ( )| ∑ | ( )( )

|

dengan deret ∑ |( ( )( )) | konvergen yang disebabkan oleh hipotesis 2.

Berdasarkan penjelasan diatas maka deret ganda ( ) konvergen mutlak

dan dengan demikian deret pada persamaan (4.5) dapat dibentuk kembali.

Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan bahwa:

∑ ( ) ∑( )

( )( ) ( )

(4.6)

yang membuktikan bahwa deret Adomian ∑ merupakan perumuman dari deret

Taylor. Hal ini membuktikan bahwa memenuhi persamaan (4.2) diatas.

Dengan mensubsitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (4.1) maka

diperoleh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 83: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

69

∑ ∑

(4.7)

Persamaan (4.7) di atas dipenuhi jika . Hal ini

mengakibatkan adanya hubungan Adomian dalam persamaan (4.2). Teorema

terbukti.

C. Kecepatan Konvergensi

Untuk menunjukkan kecepatan konvergensi dari MDA adalah dengan

menggunakan lemma beserta buktinya di bawah ini.

Lemma 4.1

‖ ‖ dan ‖ ( )( )‖ dengan suatu variabel bebas, maka ∑

merupakan suatu solusi pendekatan persamaan fungsional. Jika deret lengkap

diganti dengan deret terpotong yang melibatkan suku ( ), maka galatnya

sama dengan .

Bukti

Metode Adomian memberikan hasil yang sangat baik bahkan jika diambil

deret terpotong dengan banyaknya suku yang sedikit. Hasil tersebut diperoleh dari

analogi deret Adomian dan deret Taylor. Sehingga, diperoleh:

∑ ∑ ∑ ( )( )

(∑

)

(4.8)

Dipandang deret terpotong (∑ ) untuk solusi pendekatan (

∑ ), maka untuk menghitung galat adalah dengan menggunakan bentuk

dibawah ini, yaitu:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 84: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

70

|∑

| | ∑

| |∑

| |∑ ( )( )

(∑

)

|

∑ | ( )( )

(∑

)

|

∑| ( )( )|

|∑

|

∑| ( )( )|

(∑| |

)

∑| ( )( )|

(4.9)

dengan ∑ | | .

Misalkan bahwa ( )( ) dibatasi dalam norm oleh suatu konstanta ,

variabel bebas , dan bahwa juga dibatasi dalam norm oleh suatu , maka galat

yang diberikan dibatasi oleh:

(4.10)

dengan dan secara beturut-turut adalah suatu konstanta posisitif dan suatu

bilangan bulat positif.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 85: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

71

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini diberikan kesimpulan mengenai pembahasan pada bab-bab

sebelumnya serta saran untuk penelitian selanjutnya.

A. Kesimpulan

Telah dilihat bahwa metode dekomposisi yang ditulis oleh G. Adomian dapat

menyelesaikan persamaan nonlinear. Dalam tugas akhir ini penulis menyelesaikan

persamaan diferensial parsial nonlinear dengan menggunakan MDA tersebut.

Penyelesaian dengan menggunakan MDA ini didukung dengan teori-teori dasar

seperti persamaan diferensial, turunan, integral, deret Taylor dan deret Maclaurin

serta konsep konvergensi deret Taylor.

Dalam tugas akhir ini terlihat bahwa MDA dapat menyelesaikan persamaan

Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan

persamaan gelombang kinematik. Metode ini merupakan metode yang sangat

sederhana dengan bantuan polinomial Adomian. Dalam tugas akhir ini penulis

menggunakan cara yang sangat sederhana dan dapat mempermudah dalam

menghitung polinomial Adomian yang didasarkan pada aljabar, identitas

trigonometri, dan deret Taylor. Metode ini digunakan untuk memperoleh solusi

yang eksak sebagai deret takhingga dari fungsi. Cara termudah dalam mencari

solusi eksak adalah dengan menggunakan deret terpotong. Deret terpotong yang

dihasilkan tersebut merupakan solusi pendekatannya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 86: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

72

Terlihat bahwa penggunaan MDA pada keempat persamaan di atas

memperoleh solusi eksak sehingga deret yang diperoleh konvergen sangat cepat

ke solusi eksak tersebut dan galat pemotongannya dapat dihitung. Sehingga, deret

terpotong yang biasanya melibatkan beberapa suku merupakan solusi pendekatan.

Solusi pendekatan ini secara eksplisit bergantung pada variabel ruang dan waktu.

B. Saran

Penulis sadar bahwa dalam penulisan tugas akhir ini masih banyak

kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak akan ada yang

melanjutkan penelitian ini. Tulisan ini hanya membahas mengenai penyelesaian

MDA untuk persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Penulis berharap

kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini dengan menggunakan metode lain

yang mungkin memberikan hasil yang lebih baik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 87: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

73

DAFTAR PUSTAKA

Adomian, G. (1988). A review of the decomposition method in applied mathematics.

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 135 (2): 501-544.

Adomian, G. (1998). Solution of nonlinear partial diferential equations.

Applied Mathematics Letters, 11 (3): 121-123.

Al-Khaled, K. dan Allan, F. (2004). Construction of solutions for the shallow water

equations by the decomposition method. Mathematics and Computers in

Simulation, 66 (6): 479-486.

Bermudes, A. Dan Vasquez, E.M. (1994). Upwind methods for hyperbolic conservation

laws with source terms. Computation Fluids, 23 (8): 1049-1071.

Cherruault, Y. and Adomian, G. (1993). Decomposition methods: a new proof of

convergence, Mathl. Comput. Modelling, 18 (12): 103-106.

Dawson, C. dan Mirabito, M.C. (2008). “The Shallow Water Equations”.

http://users.ices.utexas.edu/~arbogast/cam397/dawson_v2.pdf/

Diakses tanggal 28 September 2015.

Dispini, M. and Mungkasi, S. (2016). Adomian decomposition method used to solve the

shallow water equations, AIP Conference Proceedings, 1746: 020055.

Martins, R., Leandro, J. and Djordjevic, S. (2016). Analytical solution of the classical

dam-break problem for the gravity wave-model equations, Journal of

Hydraulic Engineering, 142 (4): 06016003.

Mungkasi, S dan Dheno, M. F. S. (2016). Adomian decomposition method used to

solve the gravity wave equations. International Conference on Engineering,

Science and Nanotechnology. To appear in AIP Conference Proceeding.

Ross, S.L. (1984). Differential Equations. New Delhi: John Wiley and Sons, Inc.

Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Person

Education.

Wazwaz, A.M. (2009). Partial Differential Equation Method and Applications.

Berlin : Springer.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 88: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

74

Lampiran

Berikut ini adalah code program MAPLE untuk perhitungan persamaan

gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik dengan menggunakan

MDA.

1. Perhitungan untuk persamaan Burger

>

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 89: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

75

2. Perhitungan untuk persamaan gelombang air dangkal (PGAD)

>

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 90: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

76

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 91: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

77

>

3. Perhitungan untuk persamaan gelombang gravitasi

>

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 92: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

78

>

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 93: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

79

>

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 94: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat

80

4. Perhitungan untuk persamaan gelombang kinematik

>

>

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI