plagiat merupakan tindakan tidak terpujirepository.usd.ac.id/4835/2/081414069_full.pdf · 2016. 5....

NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL

FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

Felisitas Sekar Dayu Rinakit

NIM : 081414069

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2013

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL

FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :


NIM : 081414069

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2013


ii


iii


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini kupersembahkan

untuk kedua orangtuaku, adik,

nenek, dan seluruh keluargaku.


v


vi

ABSTRAK

Felisitas Sekar Dayu Rinakit, 2013. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu

Variabel Bebas. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Skripsi ini membahas tentang pengertian fungsional, nilai ekstrim suatu

fungsional, dan persamaan Euler. Selama ini telah banyak dibahas mengenai nilai

ekstrim suatu fungsi baik itu fungsi satu variabel maupun fungsi beberapa

variabel. Kali ini, dalam skripsi ini akan dibahas mengenai nilai ekstrim suatu

fungsional.

Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya

merupakan fungsi, dengan kata lain fungsional merupakan fungsi dari fungsi.

Daerah asal suatu fungsional adalah ruang fungsi, dan daerah hasilnya adalah

himpunan bilangan real. Nilai ekstrim relatif suatu fungsional dapat dibedakan

menjadi dua, yaitu nilai ekstrim kuat dan nilai ekstrim lemah. Nilai ekstrim kuat

pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih besar (luas). Nilai

ekstrim lemah pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil

(sempit). Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian sejati dari ruang

yang lebih besar. Syarat perlu suatu fungsional mencapai nilai ekstrim di suatu

titik tertentu yaitu diferensial dari fungsional di titik itu adalah 0.

Ada suatu teorema mengenai syarat perlu untuk suatu nilai ekstrim dari

fungsional yang berbentuk 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥,𝑦(𝑥),𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎, untuk daerah asal

fungsional memenuhi suatu syarat batas; yakni nilai fungsi-fungsi dalam daerah

asal tersebut adalah sama pada titik-titik ujung fungsi-fungsi itu. Syarat perlu itu

adalah suatu persamaan diferensial, di mana fungsi yang membuat 𝐽[𝑦] memiliki

nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu. Persamaan diferensial

itu disebut persamaan Euler. Jika 𝑦 = 𝑦 (𝑥) membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim,

maka persamaan Eulernya adalah 𝜕𝐹

𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −

𝑑

𝑑𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0.

Dalam skripsi ini, teorema mengenai syarat perlu suatu fungsional

mencapai nilai ekstrim di suatu titik tertentu akan dibuktikan. Begitu pula dengan

teorema tentang persamaan Euler.

Kata kunci : fungsional, nilai ekstrim, persamaan Euler.


vii

ABSTRACT

Felisitas Sekar Dayu Rinakit, 2013. Extreme Value of Functional for

Function With One Independent Variable. Thesis. Mathematics Education

Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of

Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This thesis discusses the definition of a functional, extreme value of a

functional, and Euler’s equation. All this time, there are many discussions about

extreme value of function both function of one variable and several variables. But,

this thesis will discuss about extreme value of a functional.

Functional is a kind of function that its independent variable are functions.

Or in the other word we can say that functional is a function of function. Domain

of a functional is a function space and the range is a set of real number. The

relative extreme value of a functional can be differed into two. They are strong

extreme value and weak extreme value. The strong extreme value of a functional

is an extreme value on a bigger space (broader). The weak extreme value of a

functional is an extreme value on a smaller space (narrower). The smaller space is

a proper subset of the bigger space. Necessary condition of a functional to get

extreme value in a certain point is that its differential in that point is 0.

There is a theorem of necessary condition of extreme value from the

functional 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥,𝑦(𝑥),𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎. The domain of that functional should

satisfy the boundary condition; i.e. the value of functions on its domain is same at

its end points. The necessary condition is a differential equation in which the

function that made 𝐽[𝑦] has extreme value, will satisfy the diferential equation.

That differential equation is called Euler’s equation. If 𝑦 = 𝑦 (𝑥) make 𝐽[𝑦] has

extreme value then its Euler’s equation is 𝜕𝐹

𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −

𝑑

𝑑𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0.

In this thesis, theorem of the necessary condition of a function to has

extreme value in a certain point will be proved. And also the theorem of Euler’s

equation.

Key words : functional, extreme value, Euler’s equation


viii


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan

rahmat-Nya sehingga penyusunan skripsi yang berjudul “Nilai Ekstrim

Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas” dapat terselesaikan.

Banyak hambatan dan rintangan yang penulis hadapi dalam proses

penyusunan skripsi ini. Namun atas berkat dan rahmat-Nya serta dukungan dan

bantuan dari berbagai pihak, penulis akhirnya dapat menyelesaikan penyusunan

skripsi ini. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin menyampaikan

terima kasih kepada :

1. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata

Dharma.

2. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sanata Dharma.

3. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Ketua Program Studi

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

4. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang

telah memberikan saran, bimbingan, dan dorongan kepada penulis dalam

penyusunan skripsi ini.

5. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., dan Ibu Veronika Fitri Rianasari,

S.Pd., M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak

masukan kepada penulis.


x

6. Seluruh dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan banyak

ilmu kepada penulis selama kuliah di Universitas Sanata Dharma.

7. Seluruh staf sekretariat JPMIPA.

8. Bapak, ibuk, adik, nenek, serta seluruh keluarga penulis yang selalu

memberikan banyak dukungan, dan semangat kepada penulis.

9. Teman-teman P.Mat’08 Soso, Nia, Vika, Ray, Deka, Zeny, Niken, dan

yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Terimakasih atas

kebersamaannya selama kuliah di Universitas Sanata Dharma.

10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, yang telah

membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan, sehingga

penulis meminta saran dan kritik dari pembaca agar kedepannya dapat lebih baik

lagi. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih dan semoga skripsi ini dapat

berguna untuk pembaca.

Yogyakarta, Desember 2013

Penulis



xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................... v

ABSTRAK ....................................................................................................... vi

ABTRACT ........................................................................................................ vii

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ...................... viii

KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix

DAFTAR ISI .................................................................................................... xi

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................. 1

A. Latar Belakang ............................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 2

C. Tujuan Penulisan ......................................................................................... 2

D. Pembatasan Masalah ................................................................................... 2

E. Manfaat Penulisan ....................................................................................... 3

F. Metode Penulisan ........................................................................................ 3

G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 4

BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 5

A. Fungsi .......................................................................................................... 5

B. Limit ............................................................................................................ 6

C. Kontinuitas ................................................................................................ 11

D. Turunan ..................................................................................................... 14

E. Nilai Maksimum dan Minimum ................................................................ 20

F. Integral ...................................................................................................... 27

G. Kalkulus Multivariabel.............................................................................. 35

H. Deret Tak Hingga ...................................................................................... 45

I. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................... 54

BAB III FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS ................... 57


xii

A. Ruang Fungsi ............................................................................................ 57

B. Fungsional ............................................................................................... 104

C. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas ........................... 119

BAB IV PERSAMAAN EULER .................................................................. 124

BAB V PENUTUP ........................................................................................ 135

A. Kesimpulan ............................................................................................. 135

B. Saran ........................................................................................................ 137

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 138


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Permasalahan mengenai suatu nilai yang optimum sangat dibutuhkan

dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya saja dalam mencari luas maksimum,

biaya minimum, dan sebagainya.

Dalam kalkulus diferensial, dapat ditemukan 𝑥 sehingga 𝑓(𝑥)

mencapai nilai ekstrim. Sedangkan dalam kalkulus peubah banyak, dapat

ditemukan (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) sehingga 𝑓(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) mencapai nilai ekstrim.

Nilai ekstrim adalah nilai maksimum dan minimum fungsi-fungsi tersebut.

Dalam analisis fungsional, salah satu konsep yang dipelajari adalah

konsep tentang fungsional. Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana

variabel bebasnya merupakan fungsi (atau kurva), dengan kata lain fungsional

merupakan fungsi dari fungsi.

Selama ini telah dikenal rumus panjang kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

yaitu 𝐿 = 1 + [𝑓 ′ 𝑥 ]2𝑑𝑥𝑏

𝑎. Rumus tersebut merupakan suatu fungsional

dengan variabel bebas fungsi 𝑓(𝑥). Dengan mencari 𝑦 = 𝑓(𝑥) agar fungsional

tersebut mencapai nilai minimum, itu berarti sama saja dengan mencari kurva

yang terpendek.

Salah satu bentuk fungsional adalah sebagai berikut 𝐽 𝑦 =

𝐹 𝑥, 𝑦(𝑥),𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎. Ada suatu teorema mengenai syarat perlu untuk suatu


2

nilai ekstrim dari fungsional yang berbentuk 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥,𝑦(𝑥),𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎.

Syarat perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, dimana fungsi yang

membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial

itu. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler. Oleh karena itu, pada

kesempatan kali ini penulis akan membahas tentang nilai ekstrim suatu

fungsional dan persamaan Euler tersebut.

B. Rumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah :

1. Bagaimana pengertian nilai ekstrim suatu fungsional?

2. Apa yang dimaksud dengan persamaan Euler?

3. Bagaimana isi dan bukti teorema tentang persamaan Euler?

C. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah :

1. Mengetahui pengertian nilai ekstrim suatu fungsional.

2. Mengertahui apa yang dimaksud dengan persamaan Euler.

3. Mengetahui isi dan bukti teorema tentang persamaan Euler.

D. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini penulis hanya akan membahas tentang fungsional

untuk fungsi satu variabel bebas. Jadi dalam skripsi ini variabel bebas dari


3

fungsional yang akan dibahas adalah fungsi-fungsi dengan satu variabel

bebas.

Penulis juga akan membahas tentang persamaan Euler untuk nilai

ekstrim suatu fungsional, dimana daerah asal fungsional memenuhi suatu

syarat batas. Syarat batas tersebut yaitu nilai fungsi-fungsi dalam daerah asal

adalah sama pada titik-titik ujung fungsi-fungsi tersebut.

Kemudian penulis juga membatasi tentang contoh penerapan

persamaan Euler. Contoh persamaan Euler yang akan dibahas hanya berupa

persamaan diferensial biasa.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari pembahasan ini adalah dapat memberikan kejelasan

tentang nilai ekstrim suatu fungsional, dan dapat memberikan kejelasan

tentang persamaan Euler.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi

pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari

buku-buku acuan yang digunakan.


4

G. Sistematika Penulisan

Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, rumusan

masalah, tujuan penulisan, pembatasan masalah, manfaat penulisan, metode

penulisan, dan sistematika penulisan.

Dalam bab II akan dibahas tentang teori-teori yang menjadi dasar

pembahasan dalam bab III, diantaranya adalah fungsi, limit dan kontinuitas,

turunan, nilai maksimum dan minimum fungsi satu variabel bebas, integral,

fungsi peubah banyak, turunan parsial, nilai maksimum dan minimum fungsi

peubah banyak, deret taylor, dan persamaan diferensial biasa.

Dalam bab III pertama-tama akan dibahas tentang ruang fungsi, di

mana ruang-ruang tersebut penting untuk daerah asal suatu fungsional.

Setelah itu akan dibahas tentang pengertian dan contoh-contoh fungsional,

diferensial suatu fungsional, dan nilai ekstrim suatu fungsional.

Dalam bab IV akan dibahas teorema mengenai syarat perlu untuk

suatu nilai ekstrim dari fungsional 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥, 𝑦(𝑥),𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎. Syarat

perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, dimana fungsi yang membuat

𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu.

Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler.

Dalam bab V berisi tentang kesimpulan dan saran.


5

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Fungsi

Fungsi merupakan alat untuk menyatakan hubungan antara dua buah

variabel atau lebih. Andaikan fungsi sebagai suatu mesin, maka dia akan

mengolah masukan menjadi keluaran atau disebut juga hasil menurut aturan

fungsi tersebut. Masukan dan keluaran itu haruslah anggota dari himpunan,

sehingga sebelum membahas tentang fungsi, akan dibahas himpunan terlebih

dahulu. Himpunan adalah suatu kumpulan obyek-obyek yang dapat

didefinisikan dengan tepat dan dapat dibedakan. Obyek-obyek ini disebut

elemen atau anggota dari himpunan tersebut, dan dinotasikan dengan huruf

kecil.

Definisi 2.1.1

Himpunan yang tidak mengandung elemen disebut himpunan kosong dan

dinotasikan dengan ∅.

Definisi 2.1.2

Fungsi f adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A

secara tepat satu elemen, yang disebut f(x), dalam himpunan B.


6

Dalam hal ini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan tidak

kosong. Himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi. Bilangan f(x)

adalah nilai f pada x dan dibaca “f dari x”. Daerah hasil (range) f adalah

himpunan semua nilai f(x) di mana x berubah sepanjang daerah A. Lambang

yang menyatakan suatu bilangan sembarang di daerah asal fungsi f disebut

variabel bebas. Lambang yang menyatakan bilangan di daerah nilai f disebut

variabel tak bebas. Fungsi disebut juga pemetaan.

B. Limit

Dalam limit fungsi, akan dianalisis mengenai perubahan nilai fungsi

ketika masukan atau input fungsi itu bergerak mendekat semakain dekat tetapi

tidak pernah sampai kepada nilai tertentu.

Dituliskan Lxfax

)(lim dan dikatakan “limit f(x) ketika x mendekati a

sama dengan L”, jika kita dapat membuat nilai f(x) sembarang yang dekat

dengan L (sedekat yang kita mau) dengan cara mengambil nilai x yang dekat

dengan a, tetapi tidak sama dengan a.

Limit ini bisa didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 2.2.2

Jika f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka tertentu yang

memuat bilangan a, kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan

bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan Lxfax

)(lim


7

jika untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat bilangan yang berpadanan 𝛿 > 0

sedemikian rupa hingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 bilamana 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿.

Cara lain untuk menuliskan baris terakhir definisi ini adalah :

jika 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 maka 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀

Dituliskan Lxfax

)(lim dan dikatakan bahwa limit-kiri f(x) ketika x

mendekati a [atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kiri] sama dengan L

jika dapat dibuat f(x) sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup

dekat ke a dan x lebih kecil daripada a.

Definisi 2.2.3 (Definisi Limit Sisi-Kiri)

Lxfax

)(lim jika untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat bilangan yang

berpadanan 𝛿 > 0 sedemikian rupa hingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 bilamana 𝑎 − 𝛿 <

𝑥 < 𝑎.

Dituliskan Lxfax

)(lim dan dikatakan bahwa limit-kanan f(x) ketika x

mendekati a [atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kanan] sama dengan

L jika dapat dibuat f(x) sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup

dekat ke a dan x lebih besar daripada a.


8

Definisi 2.2.4 (Definisi Limit Sisi-Kanan)

Lxfax

)(lim jika untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat bilangan yang

berpadanan 𝛿 > 0 sedemikian rupa hingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 bilamana 𝑎 < 𝑥 <

𝑎 + 𝛿.

Dari ketiga definisi sebelumnya, didapat syarat keberadaan limit yaitu

sebagai berikut :

Lxfax

)(lim jika dan hanya jika Lxfax

)(lim dan .)(lim Lxfax

Hukum Limit : Andaikan bahwa c konstanta dan limit )(lim xfax

dan

)(lim xfax

ada, maka :

1. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

(Hukum Penjumlahan)

2. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

(Hukum Pengurangan)

3. )(lim)(lim xfcxcfaxax

(Hukum Perkalian Konstanta)

4. )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

(Hukum Hasil Kali)

5.

ax

ax

ax xg

xf

xg

xf

)(lim

)(lim

)(

)(lim (Hukum Hasil Bagi)

6. n

ax

n

axxfxf

)(lim)(lim , dengan 𝑛 bilangan bulat positif. (Hukum

Pemangkatan)

7. ccax

lim


9

8. axax

lim

9. nn

axax

lim , dengan 𝑛 bilangan bulat positif.

10. nn

axax

lim , dengan 𝑛 bilangan bulat positif. (Jika 𝑛 genap, anggap

bahwa 𝑎 > 0)

11. nax

n

axxfxf )(lim)(lim

, dengan 𝑛 bilangan bulat positif. (Jika 𝑛

genap, anggap bahwa 0)(lim

xfax

)

Teorema 2.2.1

Jika 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥) pada waktu x dekat dengan a (kecuali mungkin di a) dan

limit f dan g keduannya ada untuk x mendekati a maka ).(lim)(lim xgxfaxax

Bukti :

𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

Limit 𝑓 dan 𝑔 ada untuk 𝑥 → 𝑎 , sehingga :

Lxfax

)(lim dan Mxgax

)(lim

LMxfxgax

)()(lim (menurut Hukum Pengurangan limit)

Akan digunakan metode kontradikisi, sehingga dimisalkan 𝐿 > 𝑀

LMxfxgax

)()(lim , sehingga untuk sembarang 휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0

sedemikian sehingga

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) − (𝑀− 𝐿) < 휀 (menurut definisi 2.2.2)


10

Ambil 휀 = 𝐿 −𝑀 (karena 𝐿 > 𝑀 dari pernyataan awal), diperoleh 𝛿 > 0

sedemikian sehingga

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) − (𝑀 − 𝐿) < 𝐿 −𝑀

Karena 𝑎 ≤ 𝑎 untuk setiap bilangan a maka diperoleh

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) − (𝑀− 𝐿) < 𝐿 −𝑀

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) < 0

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 < 𝑓(𝑥)

Didapat 𝑔 𝑥 < 𝑓(𝑥). Ini bertentangan dengan 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥). Oleh karena itu,

ketidaksamaan 𝐿 > 𝑀 adalah salah. Oleh karena itu 𝐿 ≤ 𝑀 yaitu

).(lim)(lim xgxfaxax

Teorema 2.2.2 (Teorema Apit)

Jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑕(𝑥) pada waktu 𝑥 dekat 𝑎 (kecuali mungkin di 𝑎) dan

Lxhxfaxax

)(lim)(lim maka .)(lim Lxg

ax

Bukti :

𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑕(𝑥)

Misalkan 휀 > 0 diberikan.

Karena Lxfax

)(lim , maka terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀


11

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 → 𝐿 − 휀 < 𝑓 𝑥 < 𝐿 + 휀

Karena Lxhax

)(lim , maka terdapat 𝛿2 > 0 sedemikian sehingga

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2 → 𝑕 𝑥 − 𝐿 < 휀

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2 → 𝐿 − 휀 < 𝑕 𝑥 < 𝐿 + 휀

pilih 𝛿 = min 𝛿1, 𝛿2 .

Jika 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 maka 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 dan 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2, sehingga

𝐿 − 휀 < 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑕 𝑥 < 𝐿 + 휀

𝐿 − 휀 < 𝑔(𝑥) < 𝐿 + 휀

𝑔(𝑥) − 𝐿 < 휀

Oleh karena itu,

Lxgax

)(lim

C. Kontinuitas

Setelah dibahas mengenai fungsi, limit, dan turunan, selanjutnya akan

dibahas mengenai kontinuitas suatu fungsi.

Definisi 2.3.1

Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika ).()(lim afxfax


12

Definisi ini secara implisit mensyaratkan tiga hal, jika f kontinu di a :

1. f(a) terdefinisi (yaitu a berada di daerah asal f)

2. )(lim xfax

ada (sehingga harus memenuhi syarat keberadaan limit)

3. )()(lim afxfax

Dari ketiga hal tersebut f(x) haruslah terdefinisi pada suatu selang

terbuka yang memuat a, f(x) mempunyai sifat bahwa perubahan kecil pada x

hanya menghasilkan perubahan kecil pada f(x), dan tidak ada celah pada

kurvanya.

Jika salah satu dari ketiga hal tersebut tidak dipenuhi, maka f(x)

dikatakan tidak kontinu di titik a. Jika f(x) tidak kontinu di titik a, maka f(x)

dikatakan diskontinu di a.

Defiinisi 2.3.2

Sebuah fungsi f kontinu dari kanan pada sebuah bilangan a jika

)()(lim afxfax

dan f kontinu dari kiri pada a jika ).()(lim afxfax

Definisi 2.3.3

Dikatakan f kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu di setiap titik

(a,b). f kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu

kanan di a, dan kontinu kiri di b.


13

Teorema 2.3.1

Jika 𝑓 kontinu pada 𝑏 dan bxgax

)(lim , maka )())((lim bfxgfax

. Dengan

kata lain, )(lim))((lim xgfxgfaxax

.

Bukti :

Fungsi 𝑓 kontinu pada 𝑏, sehingga didapat

)()(lim bfyfby

Ini berarti untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga

jika 10 by maka .)()( bfyf

bxgax

)(lim

Ini berarti untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga

jika ax0 maka .)( bxg

Karena 𝑦 = 𝑔(𝑥), maka didapat .)( 1bxg

Oleh karena itu, mengakibatkan .)())(( bfxgf

Oleh karena itu, untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga

Jika ax0 maka .)())(( bfxgf

Ini berarti ).())((lim bfxgfax


14

Teorema 2.3.2

Jika 𝑔 kontinu pada 𝑎, dan 𝑓 kontinu pada 𝑔(𝑎), maka fungsi komposit 𝑓 ∘ 𝑔

yang diberikan oleh 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) kontinu pada 𝑎.

Bukti :

𝑔 kontinu pada 𝑎, sehingga didapat :

)()(lim agxgax

Karena 𝑓 kontinu pada 𝑔(𝑎), maka dengan menerapkan teorema 2.3.1, akan

diperoleh )).(())((lim agfxgfax

Ini berarti fungsi 𝑓(𝑔 𝑥 ) kontinu pada 𝑎.

Karena itu, 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) kontinu pada 𝑎.

D. Turunan

Dalam kalkulus diferensial permasalahan yang dibahas adalah tentang

bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain.

Misalnya antara waktu dan jarak, waktu dan populasi, (dalam kedua hal

tersebut perubahan yang dimaksud adalah laju), dan sebagainya.

Turunan adalah sebuah limit unik yang berkaitan dengan masalah

bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain.

Limit unik tersebut adalah sebagai berikut : .)()(

lim0 h

xfhxf

h


15

Suatu fungsi f(x) dikatakan terdifirensialkan pada titik 𝑥 = 𝑎 asalkan nilai

limit unik pada titik tersebut ada (terdefinisi).

Definisi 2.4.1

Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan )(' af adalah

.)()(

lim)('0 h

afhafaf

h

asalkan limit ini ada.

Jika dituliskan 𝑥 = 𝑎 + 𝑕 , maka 𝑕 = 𝑥 − 𝑎 , dan h mendekati 0 jika

dan hanya jika x mendekati 𝑎. Karena itu, cara setara mendefinisikan turunan

adalah .)()(

lim)('ax

afxfaf

ax

Diberikan sembarang bilangan x yang bersifat bahwa

h

xfhxf

h

)()(lim

0

ada, maka didapat nilai )(' xf pada x, sehingga 'f dapat

dipandang sebagai suatu fungsi baru, disebut turunan dari f dan didefinisikan

sebagai berikut .)()(

lim)('0 h

xfhxfxf

h

Terdapat beberapa notasi yang sering digunakan untuk menyatakan

turunan, diantaranya adalah 𝑓 ′ 𝑥 ,𝑦′ ,𝑑𝑦

𝑑𝑥,𝑑𝑓

𝑑𝑥,𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 ,𝐷𝑓 𝑥 ,𝐷𝑥𝑓(𝑥).


16

Semua notasi ini mewakili ekspresi limit unik h

xfhxf

h

)()(lim

0

yang

disebut turunan, sehingga h

xfhxf

h

)()(lim

0

= 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑦′ =

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑓

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 = 𝐷𝑓 𝑥 = 𝐷𝑥𝑓(𝑥).

Definisi 2.4.2

Fungsi f dapat didiferensialkan di a jika )(' af ada. Fungsi f dapat

didiferensialkan pada selang buka (a,b) [atau (𝑎,∞) atau (−∞,𝑎) atau

(−∞,∞)] jika fungsi f dapat didiferensialkan pada setiap bilangan dalam

selang tersebut.

Teorema 2.4.1

Jika f dapat didiferensialkan di 𝑎 , maka f kontinu di 𝑎.

Bukti :

f dapat didiferensialkan di 𝑎, yaitu :

ax

afxfaf

ax

)()(lim)(' ada. (menurut definisi 2.4.1)

Karena 𝑥 ≠ 𝑎 maka 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎

𝑥−𝑎 𝑥 − 𝑎 .

Oleh karena itu,

)(

)()(lim)()(lim ax

ax

afxfafxf

axax


17

)(lim.)()(

lim axax

afxf

axax

(menurut aturan hasil kali)

= 𝑓 ′ 𝑎 . 0 = 0

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

)()()(lim)(lim afxfafxfaxax

)()(lim)(lim afxfafaxax

(menurut aturan penjumlahan)

)(0)( afaf

)()(lim afxfax

Karena itu, 𝑓 kontinu di 𝑎 (menurut definisi 2.3.1).

Berikut adalah kemungkinan-kemungkinan di mana fungsi 𝑓 𝑥 gagal

memiliki turunan di 𝑥 = 𝑎 di dalam domainnya :

Pada umumnya jika grafik suatu fungsi f mempunyai “pojok” atau

“patahan” di dalamnya, maka grafik fungsi f tidak dapat didiferensialkan pada

kondisi tersebut. (saat menghitung f”(a), kita akan menemukan bahwa limit

kiri dan limit kanan berlainan sehingga turunan pada titik itu tidak ada)

Jika kurva mempunyai garis singgung vertikal saat di 𝑥 = 𝑎 (garis

singgung menjadi semakin curam ketika 𝑎 → 0), maka f tidak dapat

didiferensialkan di 𝑎. Garis singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) di suatu titik adalah tegak

artinya kemiringan (gradien) garis singgung itu tidak terdefinisi, padahal


18

kemiringan garis singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) di suatu titik adalah turunan 𝑓 di titik

tersebut, sehingga turunannya juga tidak terdefinisi.

Pada sembarang ketidakkontinuan maka f gagal untuk dapat

didiferensialkan. (menurut teorema 2.4.1)

Rumus-Rumus Turunan :

1. 𝑑

𝑑𝑥 𝑐 = 0 (Turunan Fungsi Konstanta)

2. Jika 𝑛 sembarang bilangan real, maka :

𝑑

𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1 (Aturan Pangkat)

3. Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka :

𝑑

𝑑𝑥[𝑐𝑓 𝑥 ] = 𝑐

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) (Aturan Perkalian Konstanta)

4. Jika 𝑓 dan 𝑔 keduanya dapat didiferensialkan, maka :

𝑑

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥) (Aturan Jumlah)


𝑑

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 −

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥) (Aturan Selisih)


𝑑

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥[𝑔 𝑥 ] + 𝑔(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥[𝑓 𝑥 ] (Aturan Hasil Kali)


𝑑

𝑑𝑥 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) =

𝑔 𝑥 𝑑

𝑑𝑥[𝑓 𝑥 ]−𝑓 𝑥

𝑑

𝑑𝑥[𝑔 𝑥 ]

𝑔(𝑥) 2,𝑔(𝑥) ≠ 0 (Aturan Hasil Bagi)


19

Sekarang akan dibahas tentang turunan yang lebih tinggi. Jika fungsi 𝑓

dapat diturunkan, maka turunannya yaitu 𝑓’ juga berupa fungsi, sehingga 𝑓’

bisa jadi mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh 𝑓 ′ ′ = 𝑓′′.

Fungsi 𝑓′′ yang baru ini disebut turunan kedua dari 𝑓 karena 𝑓’’

merupakan turunan dari turunan 𝑓.

Notasi-notasi dari turunan kedua dari 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah sebagai berikut :

𝑑

𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑓 ′′ 𝑥 = 𝐷2𝑓(𝑥)

Turunan ketiga 𝑓’’’ adalah turunan dari turunan kedua : 𝑓 ′′′ = (𝑓 ′′ )′ .

Notasi-notasi untuk turunan ketiga adalah :

𝑦′′′ = 𝑓 ′′′ 𝑥 =𝑑

𝑑𝑥 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 =

𝑑3𝑦

𝑑𝑥= 𝐷3𝑓(𝑥)

Umumnya turunan ke-𝑛 dari 𝑓dinyatakan oleh 𝑓(𝑛)dan diperoleh dari f

dengan cara menurunkan n kali. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥), maka dapat dituliskan :

𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑛) 𝑥 =𝑑(𝑛)𝑦

𝑑𝑥= 𝐷(𝑛)𝑓(𝑥)

Kali ini akan dibahas tentang diferensial. Jika 𝑦 𝑥 = 𝑓(𝑥), dengan

𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka diferensial 𝑑𝑥 adalah

peubah bebas; yakni 𝑑𝑥 dapat diberi nilai sembarang bilangan real. Kemudian

diferensial 𝑑𝑦 didefinisikan dalam bentuk 𝑑𝑥 oleh persamaaan

𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥

Oleh karena itu, 𝑑𝑦 adalah peubah tak bebas, dia tergantung pada nilai 𝑥 dan

𝑑𝑥.


20

Besar dari ∆𝑦 dapat dituliskan sebagai berikut :

∆𝑦 = ∆(𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)

Misalkan 𝑑𝑥 = ∆𝑥, sehingga ∆𝑦 menyatakan besarnya kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥)

(perubahan tinggi kurva) jika 𝑥 berubah sebesar ∆𝑥 = 𝑑𝑥.

Kemiringan suatu garis singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) di suatu titik adalah turunan

𝑓 ; yakni 𝑓′ di titik tersebut. Sehingga tinggi dari garis singgung adalah

𝑓 ′(𝑥)∆𝑥. Karena 𝑑𝑥 = ∆𝑥, maka tinggi dari garis singgung adalah 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥.

Padahal 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥, sehingga 𝑑𝑦 menyatakan besarnya garis

singgung (tinggi garis singgung) jika 𝑥 berubah sebesar ∆𝑥 = 𝑑𝑥.

E. Nilai Maksimum dan Minimum

Kali ini akan dibahas tentang salah satu penerapan turunan yaitu

masalah pengoptimalan. Di sini akan dicari nilai yang optimum dari suatu

fungsi. Pengoptimalan tersebut bisa jadi mencari nilai maksimum atau

minimum suatu fungsi. Karena itu, akan dibahas terlebih dahulu apa yang

dimaksud dengan nilai maksimum dan minimum.

Definisi 2.5.1

Fungsi f mempunyai maksimum mutlak (atau maksimum global) di c jika

𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua x di D, dengan D adalah daerah asal f. Bilangan

𝑓(𝑐) disebut nilai maksimum f pada D. Secara serupa, f mempunyai minimum

mutlak di c jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua x di D dan bilangan 𝑓(𝑐) disebut


21

nilai minimum f pada D. Nilai maksimum dan minimum f disebut nilai

ekstrim f.

Definisi 2.5.2

Fungsi f mempunyai maksimum lokal (atau maksimum relatif) di c jika

𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) bilamana x dekat c [ini berarti bahwa 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua

𝑥 di dalam suatu selang terbuka yang mengandung 𝑐]. Secara serupa, f

mempunyai minimum lokal di c jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) bilamana x dekat c.

Teorema 2.5.1

Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 , maka f mencapai nilai

maksimum mutlak f(c) dan minimum mutlak f(d) pada suatu bilangan c dan d

dalam 𝑎, 𝑏 .

Bukti :

Fungsi f kontinu pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 sehingga menurut definisi 2.3.3

fungsi f kontinu pada 𝑎, 𝑏 yaitu kontinu di setiap titik dalam 𝑎, 𝑏 , kontinu

kanan di a yaitu )()(lim afxfax

, dan kontinu kiri di b yaitu )()(lim bfxfbx

Di sini daerah asal fungsi f adalah 𝑎, 𝑏 .

Karena f kontinu pada 𝑎, 𝑏 sehingga untuk c di interval 𝑎, 𝑏 didapat

).()(lim cfxfcx

Oleh karena itu, ada 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), dan 𝑓(𝑐) untuk 𝑐 di interval (𝑎, 𝑏). Karena

semua bilangan itu merupakan bilangan real, maka menurut sifat-sifat urutan


22

bilangan real terdapat 𝑓(𝑐1) di mana 𝑓(𝑐1) ≥ 𝑓(𝑐𝑛) untuk 𝑛 sepanjang

interval 𝑎, 𝑏 dan terdapat 𝑓(𝑐2) di mana 𝑓(𝑐2) ≤ 𝑓(𝑐𝑛) untuk 𝑛 sepanjang

interval 𝑎, 𝑏 .

Menurut definisi 2.5.1, f memiliki maksimum mutlak dan minimum mutlak di

daerah asal f yaitu dalam selang tertutup 𝑎, 𝑏 .

Dari teorema di atas dapat dikatakan bahwa jika fungsi itu tidak kontinu

atau fungsi itu tidak berada pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 maka fungsi itu bisa

jadi tidak mempunyai atau belum tentu mempunyai nilai ekstrim di 𝑎, 𝑏 .

Teorema 2.5.2 (Teorema Fermat)

Jika 𝑓 mempunyai maksimum atau minimum lokal di 𝑐 dan jika 𝑓 ′(𝑐) ada

maka 𝑓 ′ 𝑐 = 0.

Bukti :

Andaikan f mempunyai maksimum lokal di c, sehingga menurut definisi

2.5.2, 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat

ke 0, dengan h positif atau negatif, maka

𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑐 + 𝑕)

oleh karena itu,

𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≤ 0

Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah

ketidaksamaannya tetap.


23

Oleh karena itu, jika 𝑕 > 0, dan 𝑕 cukup kecil, dapat diperoleh :

𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐)

𝑕≤ 0

Dengan mengambil limit kanan (karena 𝑕 > 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,

diperoleh :

0lim)()(

lim00

hh h

cfhcf

(menurut teorema 2.3.1)

0)()(

lim0

h

cfhcf

h

𝑓 ′ 𝑐 ada, sehingga h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

ada. (menurut definisi 2.4.1)

Oleh karena itu,

h

cfhcfcf

x

)()(lim)('

0

= 0

)()(lim

0

h

cfhcf

h

(menurut syarat keberadaan limit)

0)()(

lim)('0

h

cfhcfcf

x

0)(' cf

Sekarang untuk 𝑕 < 0

Kedua ruas ketidaksamaan 𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≤ 0 dapat dibagi dengan

bilangan negatif sehingga arah ketidaksamaannya berbalik.

Oleh karena itu, jika 𝑕 < 0, dan 𝑕 cukup kecil, dapat diperoleh :

𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐)

𝑕≥ 0


24

Dengan mengambil limit kiri (karena 𝑕 < 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,

diperoleh :

0lim)()(

lim00

hh h

cfhcf


0)()(

lim0

h

cfhcf

h


cfhcfcf

h

)()(lim)('

0


Oleh karena itu,

h

cfhcfcf

x

)()(lim)('

0

= 0

)()(lim

0

h

cfhcf

h


0)()(

lim)('0

h

cfhcfcf

x

0)(' cf

Didapat 0)(' cf dan 0)(' cf sehingga 𝑓 ′ 𝑐 = 0.

Andaikan f mempunyai minimum lokal di c. Menurut definisi 2.5.2, 𝑓(𝑐) ≤

𝑓(𝑥) jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat ke 0, dengan h

positif atau negatif, maka

𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑐 + 𝑕)

oleh karena itu,

𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≥ 0


25

Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah

ketidaksamaannya tetap.

Oleh karena itu, jika 𝑕 > 0, dan 𝑕 cukup kecil, dapat diperoleh :

𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐)

𝑕≥ 0

Dengan mengambil limit kanan (karena 𝑕 > 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,

diperoleh :

0lim)()(

lim00

hh h

cfhcf


0)()(

lim0

h

cfhcf

h


cfhcfcf

h

)()(lim)('

0


Oleh karena itu,

h

cfhcfcf

x

)()(lim)('

0

= 0

)()(lim

0

h

cfhcf

h


0)()(

lim)('0

h

cfhcfcf

x

0)(' cf

Sekarang untuk 𝑕 < 0

Kedua ruas ketidaksamaan 𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≥ 0 dapat dibagi dengan

bilangan negatif sehingga arah ketidaksamaannya berbalik.


26

Oleh karena itu, jika 𝑕 < 0, dan 𝑕 cukup kecil, dapat diperoleh :

𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐)

𝑕≤ 0

Dengan mengambil limit kiri (karena 𝑕 < 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini,

diperoleh :

0lim)()(

lim00

hh h

cfhcf

(menurut Teorema 2.3.1)

0)()(

lim0

h

cfhcf

h


cfhcfcf

h

)()(lim)('

0


Oleh karena itu,

h

cfhcfcf

x

)()(lim)('

0

= 0

)()(lim

0

h

cfhcf

h


0)()(

lim)('0

h

cfhcfcf

x

0)(' cf

Didapat 0)(' cf dan 0)(' cf sehingga 𝑓 ′ 𝑐 = 0.

Definisi 2.5.3

Bilangan kritis dari suatu fungsi f adalah suatu bilangan c di dalam daerah asal

f sedemikian sehingga 0)(' cf atau )(' cf = tidak ada.


27

Dalam bentuk bilangan kritis, Teorema Fermat tadi dapat dinyatakan ulang

sebagai berikut :

Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di c, maka c adalah

bilangan kritis f.

Berikut ini adalah metode untuk mencari nilai maksimum dan minimum

mutlak, metode ini disebut Metode Selang Tertutup.

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak suatu fungsi

kontinu 𝑓 pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 langkah-langkahnya adalah sebagai

berikut

1. Cari nilai f pada bilangan kritis f di dalam 𝑎, 𝑏

2. Cari nilai f pada titik-titik ujung selang

3. Yang terbesar di antara nilai dari langkah 1 dan 2 adalah nilai

maksimum mutlak ; yang terkecil di antara nilai-nilai ini adalah nilai

minimum mutlak.

F. Integral

Pertama, akan dibahas tentang antiturunan. Dalam kalkulus diferensial,

telah dibahas tentang bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya

terhadap besaran lain. Kali ini akan dibahas kebalikannya. Misalnya, jika

sudah diketahui bagaimana laju pertumbuhan penduduk, maka kali ini dapat

dicari kebalikannya yaitu berapa jumlah populasi pada suatu waktu tertentu.

Persoalan di sini adalah mencari fungsi F yang merupakan antiturunan dari


28

dari suatu fungsi f yang diketahui. Jika fungsi F itu ada, maka F disebut

antiturunan dari f.

Definisi 2.6.1

Fungsi F disebut antiturunan dari f pada interval I jika 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥).

Teorema 2.6.1

Jika F antiturunan dari f pada interval I, maka antiturunan dari f pada I yang

paling umum adalah F(x)+C dengan C konstanta.

Bukti :

Andaikan F antiturunan dari f pada interval I sehingga :

𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) (menurut definisi 2.6.1)

𝐹′(𝑥) + 0 = 𝑓 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 𝐹 𝑥 + 0 = 𝑓 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 𝐹 𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥(𝐶) = 𝑓 𝑥 , untuk C adalah konstanta. (menurut Turunan

Fungsi Konstanta)

𝑑

𝑑𝑥 𝐹 𝑥 + 𝐶 = 𝑓 𝑥 (menurut aturan penjumlahan )

Oleh karena itu, didapat

𝑑

𝑑𝑥 𝐹 𝑥 + 𝐶 =

𝑑

𝑑𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥

Oleh karena itu,

𝐹 𝑥 + 𝐶 juga merupakan antiturunan dari f pada interval I


29

Selanjutnya akan dibahas tentang integral tentu.

Definisi 2.6.2

Jika 𝑓 fungsi kontinu yang didefinisikan untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka kita bagi

selang 𝑎, 𝑏 menjadi n selang-bagian berlebar sama ∆𝑥 =(𝑏−𝑎)

𝑛. Misalkan

𝑥0 = 𝑎 , 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛(= 𝑏) berupa titik ujung selang-bagian ini dan pilih titik

sampel 𝑥1∗, 𝑥2

∗,… , 𝑥𝑛∗ di dalam selang-bagian. Maka definisi integral tentu 𝑓

dari 𝑎 sampai 𝑏 adalah :

n

in

b

a

xxfdxxf1

*

1 )(lim)(

Integral tentu b

a

dxxf )( adalah sebuah bilangan, integral tentu tersebut tidak

tergantung kepada x. Dapat digunakan sembarang huruf di tempat x tanpa

mengubah nilai integral.

Misalnya :

b

a

b

a

b

a

drrfdttfdxxf )()()(

Berikut ini adalah sifat-sifat integral tentu. Andaikan bahwa f dan g

adalah fungsi-fungsi kontinu, maka :

1. )( abcdxc

b

a

, dengan 𝑐 konstanta sembarang.

2.

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(


30

3. dxxfcdxxcf

b

a

b

a

)()( , dengan 𝑐 konstanta sembarang.

4.

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

5.

c

a

b

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()(

6. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka .0)( dxxf

b

a

7. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka .)()( dxxgdxxf

b

a

b

a

8. Jika 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka

).()()( abMdxxfabm

b

a

Sekarang, akan dibahas tentang Teorema Dasar Kalkulus. Teorema

Dasar Kalkulus ini mengaitkan antara kalkulus diferensial dan kalkulus

integral, yaitu hubungan timbal balik antara keduannya.

Misalkan 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan didefinisikan fungsi baru 𝑔, yaitu :

dttfxg

x

a

)()( , dengan 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Di sini nilai 𝑔 tergantung pada 𝑥 yang

mana 𝑥 adalah peubah batas atas dalam integral. Jika 𝑥 bilangan tetap, maka

dttf

x

a

)( adalah integral tentu. Namun jika 𝑥 berubah-ubah, maka bilangan


31

dttf

x

a

)( juga akan berubah-ubah menurut 𝑥. Oleh karena itu, dapat

didefinisikan bahwa 𝑔(𝑥) adalah fungsi dari 𝑥.

Teorema 2.6.2 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1)

Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi 𝑔 yang didefinisikan oleh

𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

𝑥

𝑎

adalah kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensialkan pada (𝑎, 𝑏) dan 𝑔′ 𝑥 = 𝑓(𝑥).

Bukti :

Fungsi 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏].

𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

𝑥

𝑎

Jika 𝑥 dan (𝑥 + 𝑕) berada dalam (𝑎, 𝑏) maka

𝑔 𝑥 + 𝑕 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑡

𝑥+𝑕

𝑎

𝑑𝑡 − 𝑓 𝑡

𝑥

𝑎

𝑑𝑡

= 𝑓 𝑡 𝑥

𝑎𝑑𝑡 + 𝑓(𝑡)

𝑥+𝑕

𝑥𝑑𝑡 − 𝑓 𝑡

𝑥

𝑎𝑑𝑡 (menurut sifat

integral tentu; yakni sifat ke 5)

= 𝑓 𝑡 𝑥

𝑥𝑑𝑡


32

Oleh karena itu, untuk 𝑕 ≠ 0,

𝑔 𝑥+𝑕 −𝑔 𝑥

𝑕=

1

𝑕 𝑓 𝑡 𝑥

𝑥𝑑𝑡 (1)

Kali ini, anggap bahwa 𝑕 > 0. Karena 𝑓 kontinu pada [𝑥, 𝑥 + 𝑕], menurut

teorema 2.5.1, terdapat bilangan 𝑢 dan 𝑣 dalam [𝑥, 𝑥 + 𝑕] sedemikian sehingga

𝑓 𝑢 = 𝑚 dan 𝑓 𝑣 = 𝑀, dengan 𝑚 dan 𝑀 adalah nilai minimum dan

maksimum mutlak 𝑓 pada [𝑥, 𝑥 + 𝑕]. Menurut sifat integral; yakni sifat 8

didapat :

𝑚𝑕 ≤ 𝑓(𝑡)

𝑥+𝑕

𝑥

𝑑𝑡 ≤ 𝑀𝑕

𝑓(𝑢)𝑕 ≤ 𝑓 𝑡

𝑥+𝑕

𝑥

𝑑𝑡 ≤ 𝑓(𝑣)𝑕

Karena 𝑕 > 0, ketaksamaan ini dapat dibagi dengan 𝑕 :

𝑓(𝑢) ≤1

𝑕 𝑓 𝑡

𝑥+𝑕

𝑥

𝑑𝑡 ≤ 𝑓(𝑣)

Gunakan persamaan 1 untuk menggantikan bagian tengah kesamaan ini :

𝑓(𝑢) ≤𝑔 𝑥+𝑕 −𝑔 𝑥

𝑕≤ 𝑓(𝑣) (2)

Ketaksamaan 2 dapat dibuktikan dalam cara serupa untuk kasus 𝑕 < 0.

Sekarang, biarkan 𝑕 → 0. Maka 𝑢 → 𝑥 dan 𝑣 → 𝑥, Karena 𝑢 dan 𝑣 terletak di

antara 𝑥 dan 𝑥 + 𝑡. Karena itu,

)()(lim)(lim0

xfufufxuh

dan )()(lim)(lim0

xfufufxvh


33

karena 𝑓 kontinu di 𝑥. (definisi 2.3.1)

Dari persamaan 2 dan teorema 2.2.2 (teorema apit), maka didapat :

𝑔′ 𝑥 = lim𝑕→0

𝑔(𝑥+𝑕)

𝑕= 𝑓(𝑥) (3)

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Jika 𝑥 = 𝑎 atau 𝑥 = 𝑏 , maka persamaan 3 dapat ditafsirkan sebagai limit

sepihak.

Menurut teorema 2.4.1, dan definisi 2.3.3, 𝑔(𝑥) kontinu pada [𝑎, 𝑏]

Teorema 2.6.3 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 2)

Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka

b

a

aFbFdxxf )()()( dengan 𝐹

antiturunan sembarang dari 𝑓, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga 𝐹′ = 𝑓

Bukti :

Misalkan 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑡)𝑥

𝑎𝑑𝑡. Dari Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1

diketahui bahwa 𝑔′ 𝑥 = 𝑓(𝑥); yakni 𝑔 adalah sembarang antiturunan 𝑓. Jika

𝐹 adalah sembarang antiturunan yang lain dari 𝑓 pada [𝑎, 𝑏] maka

𝐹 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝐶 (6)

untuk 𝑎 < 𝑥 < 𝑏


Tetapi 𝐹 dan 𝑔 keduanya kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga dengan mengambil

limit kedua ruas persamaan 6 (seraya 𝑥 → 𝑎+ dan 𝑥 → 𝑏−), dapat dilihat


34

bahwa hal itu juga berlaku jika 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏. (definisi 2.3.1, definisi

2.3.3)

Jika diberikan 𝑥 = 𝑎 dalam rumus untuk 𝑔(𝑥), maka diperoleh :

𝑔 𝑎 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0

𝑎

𝑎

Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan 6 dengan 𝑥 = 𝑏 dan 𝑥 = 𝑎,

didapat :

𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝑔 𝑎 + 𝐶 − 𝑔 𝑏 + 𝐶

= 𝑔 𝑏 − 𝑔 𝑎 = 𝑔 𝑏 = 𝑓 𝑡 𝑏

𝑎𝑑𝑡

Setelah dibahas tentang Teorema Dasar Kalkulus, yakni hubungan antara

antiturunan dan integral, maka sekarang akan dibahas tentang antiturunan

dalam Teorema Dasar Kalkulus tadi, yang disebut juga dengan integral tak

tentu.

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) bermakna 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)

Sebagai contoh, 𝑥2𝑑𝑥 =𝑥3

3+ 𝐶 , dengan 𝐶 konstan, ini karena

𝑑

𝑑𝑥 𝑥3

3+ 𝐶 = 𝑥2.

Berikut ini, akan dibahas mengenai salah satu teknik pengintegralan

yaitu integral parsial.

Pada turunan, terdapat aturan hasil kali yaitu

𝑑

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥[𝑔 𝑥 ] + 𝑔(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥[𝑓 𝑥 ]

Dengan mengintegralkan kedua ruas, akan didapat :


35

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = [𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) + 𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 ]𝑑𝑥

Menurut sifat penjumalahan pada integral, akan didapat :

𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)

Persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥

Persamaan di atas disebut rumus pengintegralan parsial.

Jika 𝑢 = 𝑓(𝑥) dan 𝑣 = 𝑔(𝑥) maka 𝑑𝑢 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑑𝑣 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥, rumus

pengintegralan parsial dapat ditulis menjadi

𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢

Setelah dibahas mengenai integral; yakni integral tentu dan tak tentu, kali

ini akan dijelaskan mengenai salah satu penggunaan integral lebih lanjut yaitu

tentang rumus panjang kurva.

Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka panjang kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

adalah 𝐿 = 1 + [𝑓 ′ 𝑥 ]2𝑑𝑥𝑏

𝑎.

G. Kalkulus Multivariabel

Di bagian ini, akan dibahas pengertian fungsi beberapa variabel, limit,

dan kontinuitasnya, derivatif parsial, dan nilai ekstrim untuk fungsi beberapa

variabel.


36

Pertama-tama akan dibahas tentang fungsi 2 variabel bebas dan 3

variabel bebas.

Definisi 2.7.1

Suatu fungsi 𝑓 dari dua variabel adalah suatu aturan yang memberikan kepada

masing-masing pasangan terurut bilangan real (𝑥,𝑦) di dalam sebuah

himpunan 𝐷 sebuah bilangan real unik yang dinyatakan oleh 𝑓(𝑥,𝑦).

Himpunan 𝐷 adalah daerah asal dari 𝑓 dan daerah nilainya adalah himpunan

nilai yang digunakan 𝑓, atau dengan kata lain , {𝑓 𝑥,𝑦 |(𝑥,𝑦) ∈ 𝐷}.

Definisi 2.7.2

Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel dengan daerah asal 𝐷, maka grafik 𝑓 adalah

himpunan semua titik (𝑥,𝑦, 𝑧) di 𝑅3 sedemikian sehingga 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) dan

(𝑥,𝑦) berada di 𝐷.

Sekarang akan dibahas tentang pengertian limit dan kontinuitas fungsi 2

variabel.

Definisi 2.7.3

Misalkan 𝑓 adalah fungsi dua variabel yang daerah asalnya 𝐷 mencakup titik-

titik yang sengaja dipilih dekat dengan (𝑎, 𝑏). Maka dikatakan bahwa limit

dari 𝑓(𝑥,𝑦) seraya (𝑥,𝑦) mendekati (𝑎, 𝑏) adalah 𝐿, dan ditulis

Lyxfbayx

),(lim),(),(


37

jika untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat bilangan yang berpadanan 𝛿 > 0

sedemikian sehingga 𝑓 𝑥,𝑦 − 𝐿 < 휀 bilamana (𝑥,𝑦) ∈ 𝐷 dan 0 ≤

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝛿.

Definisi 2.7.4

Fungsi dua variabel 𝑓 disebut kontinu di (𝑎, 𝑏) jika

),(),(lim),(),(

bafyxfbayx

Dikatakan 𝑓 kontinu pada 𝐷 jika 𝑓 kontinu di setiap titik (𝑎, 𝑏) dalam 𝐷.

Sekarang akan dibahas untuk fungsi tiga variabel atau lebih.

Definisi 2.7.5

Fungsi tiga variabel, 𝑓, adalah aturan yang memberikan kepada masing-

masing rangkap tiga terurut (𝑥,𝑦, 𝑧) di dalam daerah asal 𝐷 ⊂ 𝑅3 sebuah

bilangan real unik yang dinyatakan oleh 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧).

Definisi 2.7.6

Fungsi 𝑛 variabel adalah aturan yang memberikan sebuah bilangan 𝑧 =

𝑓(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) kepada rangkap 𝑛 bilangan real (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛).

Himpunan rangkap 𝑛 yang demikian dinyatakan dengan 𝑅𝑛 .


38

Definisi 2.7.7

Andaikan 𝐚 adalah sembarang titik pada 𝑅𝑛 , dan 𝐱 adalah variabel-variabel

dari fungsi 𝑛 variabel. Jika 𝑓 didefinisikan pada himpunan bagian 𝐷 dari 𝑅𝑛 ,

maka lim𝐱→𝐚 𝑓(𝐱) = 𝐿 bermakna bahwa untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat

sebuah bilangan terkait 𝛿 > 0 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 − 𝐿 < 휀 bilamana

𝐱 ∈ 𝐷 dan 0 < 𝐱 − 𝐚 < 𝛿.

Untuk 𝑛 = 3, maka 𝐱 = 𝑥,𝑦, 𝑧 dan a= 𝑎, 𝑏, 𝑐 , sehingga definisi di atas

menjadi definisi limit untuk fungsi 3 variabel ; yakni :

),,(),,(lim),,(),,(

cbafzyxfcbazyx

Yang berarti bahwa nilai 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) mendekati bilangan 𝐿 seraya titik (𝑥,𝑦, 𝑧)

mendekati titik (𝑎, 𝑏, 𝑐) di sepanjang daerah lintasan dalam daerah asal 𝑓.

Definisi persisnya yaitu :

Untuk setiap bilangan 휀 > 0 terdapat sebuah bilangan terkait 𝛿 > 0

sedemikian sehingga 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 − 𝐿 < 휀 bilamana

0 ≤ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 < 𝛿 dan (𝑥,𝑦, 𝑧) berada dalam daerah

asal 𝑓.

Definisi 2.7.8

Fungsi 𝑛 variabel 𝑓 disebut kontinu di 𝐚 jika

lim𝐱→𝐚 𝑓(𝐱) = 𝐿.


39

Teorema 2.7.1

Jika 𝑓 adalah fungsi 3 variabel yang kontinu pada (𝑘, 𝑙,𝑚) dan

𝑔 𝑥 ,𝑕 𝑦 , 𝑖(𝑧) adalah fungsi-fungsi dengan satu variabel. kxgax

)(lim ,

lyhby

)(lim , mzicz

)(lim , maka ),,())(),(),((lim),,(),,(

mlkfxzxyxgfcbazyx

.

Dengan kata lain

.)(lim),(lim),(lim))(),(),((lim),,(),,(

ziyhxgfxzxyxgf

czbyaxcbazyx

Bukti :

Fungsi 𝑓 kontinu pada (𝑘, 𝑙,𝑚), sehingga didapat

),,(),,(lim),,(),,(

mlkfwvufmlkwvu


jika 1

222 )()()(0 mwlvku maka .),,(),,( mlkfwvuf

kxgax

)(lim


jika 20 ax maka .)( kxg

lyhby

)(lim


jika 30 by maka .)( lyh

mzicz

)(lim


40


jika 40 cz maka .)( mzi

0 < 𝑥 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 + 𝑧 − 𝑐 < 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3

Karena 𝛿1, 𝛿2, 𝛿3 adalah bilangan positif yang sangat kecil, maka 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3

juga masih merupakan bilangan positif yang sangat kecil, sehingga dapat

dituliskan 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3 = 𝛿.

Jadi dapat dituliskan 0 < 𝑥 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 + 𝑧 − 𝑐 < 𝛿.

kxg )( lyh )( 3)( mzi

2222 3))(())(())(( mzilxhkxg

Karena 휀 adalah bilangan positif yang sangat kecil, maka 23 juga masih

merupakan bilangan positif yang sangat kecil.

Karena 𝑢 = 𝑔 𝑥 ,𝑣 = 𝑕 𝑦 ,𝑤 = 𝑖(𝑧) maka didapat

1

222 ))(())(())(( mzilxhkxg , sehingga mengakibatkan

),,())(),(),(( mlkfxixhxgf

Oleh karena itu, untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga

Jika 0 < 𝑥 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 + 𝑧 − 𝑐 < 𝛿 maka

.),,())(),(),(( mlkfxixhxgf


41

Ini berarti ).,,())(),(),((lim),,(),,(

mlkfxzxyxgfcbazyx

Teorema 2.7.2

Jika 𝑔,𝑕, 𝑖 masing –masing adalah fungsi satu variabel sedemikian sehingga 𝑔

kontinu pada 𝑎, 𝑕 kontinu pada 𝑏, 𝑖 kontinu pada 𝑐, dan 𝑓 kontinu pada

(𝑔 𝑎 ,𝑕 𝑏 , 𝑖 𝑐 ), maka fungsi 𝑓(𝑔 𝑥 ,𝑕 𝑥 , 𝑖(𝑥)) kontinu pada (𝑎, 𝑏, 𝑐).

Bukti :

Mengingat fungsi 𝑔 kontinu pada 𝑎, maka didapat :

)()(lim agxgax

Fungsi 𝑕 kontinu pada 𝑏, maka didapat :

)()(lim bhyhby

Fungsi 𝑖 kontinu pada 𝑐, maka didapat :

)()(lim cizicz

Fungsi 𝑓 kontinu pada (𝑔 𝑎 ,𝑕 𝑏 , 𝑖 𝑐 ), maka dengan menerapkan teorema

2.7.1, akan diperoleh ))(),(),(())(),(),((lim),,(),,(

cibhagfxzxyxgfcbazyx

Ini berarti fungsi 𝑓(𝑔 𝑥 ,𝑕 𝑥 , 𝑖(𝑥)) kontinu pada (𝑎, 𝑏, 𝑐).

Setelah membahas limit dan kontinuitas, kali ini akan dibahas tentang

pengertian turunan parsial.


42

Definisi 2.7.9

Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel, turunan parsialnya adalah fungsi 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦

yang didefinisikan oleh

𝑓𝑥 𝑥,𝑦 = lim𝑕→0

𝑓 𝑥 + 𝑕,𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑕

𝑓𝑦 𝑥,𝑦 = lim𝑕→0

𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑕 − 𝑓 𝑥,𝑦

𝑕

Berikut ini adalah notasi-notasi untuk turunan parsial.

Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦), maka dituliskan

𝑓𝑥 𝑥,𝑦 = 𝑓𝑥 =𝜕𝑓

𝜕𝑥=𝜕

𝜕𝑥𝑓 𝑥,𝑦 =

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑓1 = 𝐷1𝑓 = 𝐷𝑥𝑓

𝑓𝑦 𝑥,𝑦 = 𝑓𝑦 =𝜕𝑓

𝜕𝑦=𝜕

𝜕𝑦𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑓2 = 𝐷2𝑓 = 𝐷𝑦𝑓

Kemudian, akan dibahas mengenai aturan untuk pencarian turunan

parsial dari 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦).

1. Untuk mencari 𝑓𝑥 , pandang 𝑦 sebagai konstanta dan diferensialkan

𝑓(𝑥,𝑦) terhadap 𝑥.

2. Untuk mencari 𝑓𝑦 , pandang 𝑥 sebagai konstanta dan diferensialkan

𝑓(𝑥,𝑦) terhadap 𝑦.

Turunan parsial juga dapat didefinisikan untuk fungsi tiga variabel atau lebih.

Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel 𝑥,𝑦, dan 𝑧, turunan parsialnya terhadap 𝑥

didefinisikan sebagai berikut :


43

𝑓𝑥 𝑥,𝑦, 𝑧 = lim𝑕→0

𝑓 𝑥 + 𝑕,𝑦, 𝑧 − 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)

𝑕

dan ditemukan dengan cara memandang 𝑦 dan 𝑧 sebagai konstanta serta

mendiferensialkan 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) terhadap 𝑥.

Umumnya, jika 𝑢 adalah fungsi 𝑛-variabel, 𝑢 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛), turunan

parsialnya terhadap variabel 𝑥𝑖 ke-𝑖 adalah

𝜕𝑢

𝑥𝑖= lim

𝑕→0

𝑓 𝑥1,… , 𝑥𝑖−1,𝑥𝑖+𝑕 , 𝑥𝑖+1,… , 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥1, 𝑥𝑖 ,… , 𝑥𝑛)

𝑕

dan dituliskan

𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑖=

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖= 𝑓𝑥𝑖 = 𝑓𝑖 = 𝐷𝑖𝑓.

Setelah dibahas mengenai turunan parsial pertama, kali ini akan kita

bahas pengertian mengenai turunan parsial ke dua dan ke tiga.

Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel, maka turunan parsialnya 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦

juga fungsi dua variabel. Sehingga dapat ditiinjau turunan parsial dari 𝑓𝑥 dan

𝑓𝑦 .

Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦), digunakan notasi berikut :

𝑓𝑥 𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 = 𝑓11 =𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑓

𝜕𝑥 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2=𝜕2𝑧

𝜕𝑥2

𝑓𝑥 𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓12 =𝜕

𝜕𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑥 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦 𝜕𝑥=

𝜕2𝑧

𝜕𝑦 𝜕𝑥

(𝑓𝑦)𝑥 = 𝑓𝑦𝑥 = 𝑓21 =𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑓

𝜕𝑦 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥 𝜕𝑦=

𝜕2𝑧

𝜕𝑥 𝜕𝑦


44

(𝑓𝑦)𝑦 = 𝑓𝑦𝑦 = 𝑓22 =𝜕

𝜕𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑦 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2=𝜕2𝑧

𝜕𝑦2

Jadi, notasi 𝑓𝑥𝑦 atau 𝜕2𝑓

𝜕𝑦 𝜕𝑥 bermakna bahwa pertama, diferensialkan

terhadap 𝑥 kemudian terhadap 𝑦 sedangkan dalam menghitung 𝑓𝑦𝑥 urutannya

dibalik.

Turunan parsial orde 3 atau lebih tinggi dapat juga didiferensialkan. Misalnya,

𝑓𝑥𝑦𝑦 =𝜕

𝜕𝑦 𝜕2𝑓

𝜕𝑦 𝜕𝑥 =

𝜕3𝑓

𝜕𝑦2 𝜕𝑥

dan seterusnya.

Untuk selanjutnya, akan dibahas tentang pengertian nilai

maksimum dan nilai minimum lokal untuk fungsi beberapa variabel.

Definisi 2.7.9

Fungsi dua variabel mempunyai maksimum lokal di (𝑎, 𝑏) jika 𝑓(𝑥,𝑦) ≤

𝑓(𝑎, 𝑏) ketika (𝑥, 𝑦) dekat (𝑎, 𝑏). [Ini berarti bahwa 𝑓(𝑥,𝑦) ≤ 𝑓(𝑎, 𝑏) untuk

semua titik (𝑥, 𝑦) dalam suatu cakram dengan pusat 𝑎, 𝑏 .] Bilangan 𝑓(𝑎, 𝑏)

disebut nilai maksimum lokal. Jika 𝑓(𝑥,𝑦) ≥ 𝑓(𝑎, 𝑏) ketika (𝑥,𝑦) dekat

(𝑎, 𝑏), maka 𝑓(𝑎, 𝑏) disebut nilai minimum lokal.

Fungsi 𝑛-variabel mempunyai maksimum lokal di (𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛) jika

𝑓(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) ≤ 𝑓(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛) ketika (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) dekat


45

(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛). Bilangan 𝑓(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛) disebut nilai maksimum lokal. Jika

𝑓(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) ≥ 𝑓(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛) ketika (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) dekat

(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛), maka 𝑓(𝑎1,𝑎2,… ,𝑎𝑛) disebut nilai minimum lokal.

H. Deret Tak Hingga

Pembahasan kali ini dimulai dengan pembahasan tentang pengertian

suatu barisan. Sebuah barisan adalah suatu daftar bilangan yang dituliskan

dalam suatu urutan tertentu :

𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,… ,𝑎𝑛 ,…

Barisan di atas adalah barisan tak hingga, yaitu barisan dengan suku tak

hingga banyak.

Bila diperhatikan, untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛 terdapat suatu

bilangan 𝑎𝑛 yang terkait. Oleh karena itu, sebuah barisan dapat didefinisikan

sebagai sebuah fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan bulat

positif.

Barisan 𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,… ,𝑎𝑛 ,… dinotasikan sebagai 𝑎𝑛 atau 𝑎𝑛 𝑛=1∞

Definisi 2.8.1

Barisan 𝑎𝑛 mempunyai limit 𝐿 dan dituliskan Lann

lim atau 𝑎𝑛 → 𝐿

seraya 𝑛 → ∞ apabila untuk setiap 휀 > 0 terdapat sebuah bilangan bulat 𝑁

sedemikian sehingga 𝑎𝑛 − 𝐿 < 휀 apabila 𝑛 > 𝑁. Jika n

na

lim ada, dikatakan


46

bahwa barisan tersebut konvergen. Jika tidak, dikatakan bahwa barisan

tersebut divergen.

Sekarang, akan mulai dibahas tentang deret. Jika suku-suku dari suatu

barisan tak hingga 𝑎𝑛 𝑛=1∞ dijumlahkan, maka akan didapatkan suatu ekspresi

yang berbentuk

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯

Ekspresi di atas disebut deret tak hingga, dan dinyatakan dengan lambang

𝑎𝑛∞𝑛=1 atau 𝑎𝑛

Tinjau jumlah parsial pada deret di atas yaitu :

𝑠1 = 𝑎1

𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2

𝑠3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3

dan, secara umum,

𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑖

𝑛

𝑖=1

Jumlah-jumlah parsial ini membentuk barisan baru 𝑠𝑛 .

Definisi 2.8.1

Diberikan sebuah deret 𝑎𝑛 =∞𝑛=1 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯, misalkan 𝑠𝑛 adalah

jumlah parsial ke-𝑛 dari deret tersebut :


47

𝑠𝑛 = 𝑎𝑛 =∞𝑛=1 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 . Jika barisan 𝑠𝑛 konvergen dan

ssnn

lim hadir sebagai suatu bilangan real, maka deret 𝑎𝑛 dikatakan

konvergen dan kita tuliskan 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ = 𝑠 atau 𝑎𝑛 = 𝑠

Bilangan 𝑠 disebut sebagai jumlah dari deret tersebut. Jika tidak, deret tersebut

dikatakan divergen.

Definisi 2.8.2

Barisan 𝑎𝑛 adalah terbatas di atas apabila terdapat suatu bilangan 𝑀

sedemikian sehingga 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 untuk semua 𝑛 ≥ 1.

Barisan 𝑎𝑛 adalah terbatas di bawah apabila terdapat suatu bilangan 𝑚

sedemikian sehingga 𝑚 ≤ 𝑎𝑛 untuk semua 𝑛 ≥ 1.

Jika 𝑎𝑛 adalah terbatas di atas dan di bawah, maka 𝑎𝑛 merupakan barisan

terbatas.

Telah dibahas mengenai pengertian barisan dan deret tak hingga. Untuk

selanjutnya, akan dibahas tentang deret pangkat.

Definisi 2.8.3

Deret pangkat adalah deret yang berbentuk

𝑐𝑛𝑥𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥

2 + 𝑐3𝑥3 +⋯

∞

𝑛=0

dengan 𝑥 adalah suatu variabel dan 𝑐𝑛 adalah konstanta-konstanta yang

disebut koefisien dari deret tersebut.


48

Jumlah deret tersebut merupakan suatu fungsi

𝑓(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 +…+ 𝑐𝑛𝑥

𝑛 +⋯

yang daerah asalnya adalah himpunan semua 𝑥 sedemikian sehingga deret

konvergen.

Secara lebih umum, deret yang berbentuk

𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)2 +⋯

∞

𝑛=0

disebut deret pangkat dalam (𝑥 − 𝑎) atau deret pangkat yang berpusat di 𝑎

atau deret pangkat di sekitar 𝑎.

Jari-jari konvergensi deret pangkat adalah suatu bilangan positif 𝑅

sedemikian sehingga deret tersebut konvergen bila 𝑥 − 𝑎 < 𝑅 dan divergen

bila 𝑥 − 𝑎 > 𝑅.

Jumlah suatu deret pangkat merupakan suatu fungsi

𝑓 𝑥 = 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛∞

𝑛=0

yang daerah asalnya adalah selang konvergensi deret tersebut. Sekarang

fungsi tersebut akan diturunkan. Bagaimana cara menurunkan fungsi tersebut

dapat dilihat dari teorema berikut ini:


49

Teorema 2.8.1

Jika deret pangkat 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛 mempunyai jari-jari konvergensi 𝑅 > 0,

maka fungsi 𝑓 yang didefinisikan oleh

𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 +⋯ = 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛

∞

𝑛=0

dapat diturunkan (dan karenanya kontinu) pada selang (𝑎 − 𝑅,𝑎 + 𝑅)

𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 − 𝑎 + 3𝑐3 𝑥 − 𝑎 2 +⋯ = 𝑛𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛−1∞

𝑛=1

Jari-jari konvergensi deret pangkat pada persamaan di atas adalah 𝑅.

Bukti :

𝑓(𝑥) kontinu pada setiap 𝑥 anggota himpunan bilangan real, karena 𝑓(𝑥)

berupa polinom. Sehingga 𝑓(𝑥) juga kontinnu pada selang (𝑎 − 𝑅,𝑎 + 𝑅).

Setiap suku dari 𝑓(𝑥) juga kontinu pada setiap 𝑥 anggota himpunan bilangan

real, karena dia berupa polinom. Sehingga mereka juga kontinnu pada selang

(𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅).

Karena itu, menurut aturan penjumlahan dan aturan perkalian konstanta pada

turunan akan didapat :

𝑓′ 𝑥 =𝑑

𝑑𝑥(𝑐0) + 𝑐1

𝑑

𝑑𝑥 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2

𝑑

𝑑𝑥 𝑥 − 𝑎 2 +⋯

𝑓 ′ 𝑥 = 0 + 𝑐1 + 2𝑐2

𝑑

𝑑𝑥 𝑥 − 𝑎 +⋯ = 𝑛𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛−1

∞

𝑛=1

Teorema 2.8.2

Jika fungsi 𝑓 mempunyai uraian deret pangkat di 𝑎, yakni jika


50

𝑓 𝑥 = 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛∞𝑛=0 𝑥 − 𝑎 < 𝑅

maka koefisiennya diberikan oleh rumus 𝑐𝑛 =𝑓 𝑛

𝑛 !(𝑥 − 𝑎)𝑛 .

Bukti :

𝑓(𝑥) dapat diuraikan dalam bentuk deret pangkat sehingga

𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑐3 𝑥 − 𝑎

3 + 𝑐4 𝑥 − 𝑎 4 + ⋯

(1)

𝑥 − 𝑎 < 𝑅

Perhatikan bahwa jika 𝑥 = 𝑎 dimasukkan ke dalam persamaan (1) , maka

akan didapat 𝑓 𝑎 = 𝑐0

Menurut teorema 2.8.2 deret pada persamaan (1) dapat diturunkan suku demi

suku, sehingga

𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 − 𝑎 + 3𝑐3 𝑥 − 𝑎 2 + 4𝑐4 𝑥 − 𝑎

3 +⋯ (2)

𝑥 − 𝑎 < 𝑅.

Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke persamaaan (2), sehingga didapat 𝑓 𝑎 = 𝑐1.

Turunkan kedua ruas persamaan (2) dan didapat

𝑓 ′ ′ 𝑥 = 2𝑐2 + 2 ∙ 3𝑐3 𝑥 − 𝑎 + 3 ∙ 4𝑐3 𝑥 − 𝑎 2 +⋯ (3)

𝑥 − 𝑎 < 𝑅.

Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke persamaaan (3) sehingga didapat 𝑓 𝑎 = 2𝑐2.

Sekali lagi, sehingga penurunan deret pada persamaan (3) memberikan


51

𝑓 ′ ′′ 𝑥 = 2 ∙ 3𝑐3 + 2 ∙ 3 ∙ 4𝑐4 𝑥 − 𝑎 + 3 ∙ 4 ∙ 5𝑐5 𝑥 − 𝑎 2 … (4)

𝑥 − 𝑎 < 𝑅

Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke persamaaan (4) sehingga didapat 𝑓 𝑎 = 2 ∙ 3𝑐3 = 3! 𝑐3.

Sekarang dapat dilihat polanya. Jika dilanjutkan penurunannya dan juga

substitusi 𝑥 − 𝑎, maka dapat diperoleh

𝑓(𝑛) 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙∙∙∙ 𝑛𝑐𝑛 = 𝑛! 𝑐𝑛

𝑓(𝑛) 𝑎 = 𝑛! 𝑐𝑛

Oleh karena itu didapat

𝑐𝑛 =𝑓(𝑛 ) 𝑎

𝑛 !

Sekarang substitusikan rumus 𝑐𝑛 kembali ke dalam deret didapat

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑛

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛

∞

𝑛=0

= 𝑓 𝑎 +𝑓 ′ 𝑎

1! 𝑥 − 𝑎 +

𝑓′ ′ 𝑎

2! 𝑥 − 𝑎 2 +

𝑓′ ′′ 𝑎

3! 𝑥 − 𝑎 3 +⋯

Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa jika 𝑓 dapat diturunkan sampai tak

hingga kali pada 𝑥 = 𝑎, maka didapat polinomial Taylor sebagai berikut :

𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 +𝑓 ′ 𝑎

1! 𝑥 − 𝑎 +

𝑓′′ 𝑎

2! 𝑥 − 𝑎 2 +

𝑓′′′ 𝑎

3! 𝑥 − 𝑎 3 +⋯

Deret di atas disebut deret Taylor dari fungsi 𝑓 di 𝑎 (atau di sekitar 𝑎 atau

yang berpusat di 𝑎).

Dalam kasus deret Taylor, jumlah parsialnya adalah


52

𝑇𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑖 𝑎

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑖

∞

𝑖=0

= 𝑓 𝑎 +𝑓 ′ 𝑎

1! 𝑥 − 𝑎 +

𝑓 ′ 𝑎

2! 𝑥 − 𝑎 2 +⋯+

𝑓(𝑛 ) 𝑎

𝑛 ! 𝑥 − 𝑎 𝑛

𝑇𝑛 adalah polinom berderajat 𝑛 untuk 𝑓 di 𝑎.

Jika dimisalkan 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑇𝑛 𝑥 sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 ,

maka 𝑅𝑛 𝑥 disebut suku sisa dari deret Taylor.

Teorema 2.8.3

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 , di mana 𝑇𝑛 adalah polinom berderajat 𝑛 untuk 𝑓

di 𝑎 dan 0)(lim

xRnn

untuk 𝑥 − 𝑎 < 𝑅, maka 𝑓 sama dengan jumlah deret

Talor-nya pada selang 𝑥 − 𝑎 < 𝑅.

Bukti :

0)(lim

xRnn

𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 , maka

)]()([lim)(lim xRxfxT nn

nn

)(lim)(lim xRxf nnn

(menurut hukum pengurangan limit)

0)( xf

)(xf

Oleh karena itu, ).()( xTxf n


53

Dalam mencoba menunjukkan 0)(lim

xRnn

untuk fungsi 𝑓 tertentu, biasanya

digunakan fakta berikut :

Jika 𝑓 𝑛+1 (𝑥) ≤ 𝑀 untuk 𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑑, maka suku sisa 𝑅𝑛 𝑥 dari deret

Taylor-nya memenuhi ketaksamaan 𝑅𝑛 𝑥 ≤𝑀

𝑛+1 ! 𝑥 − 𝑎 𝑛+1 untuk

𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑑, dengan 𝑀 suatu konstanta dan 𝑑 adalah sembarang bilangan

positif.

Ketaksamaan di atas disebut ketaksamaan Taylor.

Sekarang untuk fungsi dengan 3 variabel bebas,

Deret Taylor dari fungsi 𝐹(𝑥,𝑦, 𝑧) yang memiliki turunan parsial sampai

tingkat berapapun di sekitar (𝑎, 𝑏, 𝑐), yaitu

𝐹 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐

+ 𝑥 − 𝑎 𝜕

𝜕𝑥𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 + 𝑥 − 𝑏

𝜕

𝜕𝑦𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐

+ 𝑧 − 𝑐 𝜕

𝜕𝑧𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐)

+1

2! 𝑥 − 𝑎

𝜕

𝜕𝑥𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 + 𝑦 − 𝑏

𝜕

𝜕𝑦𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐

+ 𝑧 − 𝑐 𝜕

𝜕𝑧𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐)

2

+⋯


54

(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial

kedua dan seterusnya)

Andaikan 𝐱 = 𝑥,𝑦, 𝑧 dan 𝐚 = 𝑎, 𝑏, 𝑐

𝐡 = 𝐱 − 𝐚

𝐡 = 𝑕1 + 𝑕2 + 𝑕3

Jika 𝑓(𝐱) adalah fungsi dengan 3 variabel yang memiliki turunan-turunan

parsial hingga pangkat 𝑛 + 1, dan turunan-turunan parsial hingga pangkat

𝑛 + 1 –nya kurang dari atau sama dengan 𝑀 untuk 𝐱 di suatu persekitaran dari

𝐚 maka suku sisa 𝑅𝑛 𝑥 dari deret Taylor-nya memenuhi ketaksamaan

𝑅𝑛 𝐱 ≤𝑀

𝑛+1 ! 𝐡 𝑛+1 .

Ketaksamaan di atas disebut ketaksamaan Taylor untuk fungsi 3 variabel.

I. Persamaan Diferensial Biasa

Di sini hanya akan dibahas tentang pengertian persamaan diferensial

biasa, dan apa yang dimaksud solusi dari persamaan diferensial biasa.

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-

variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya (turunan-turunannya) terhadap

variabel bebas.

Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang

melibatkan hanya satu variabel bebas.

Beberapa contohnya sebagai berikut ini :


55

Contoh 2.9.1

1. 𝑦′ + 2𝑦 = 0

2. 𝑦′′ = 𝑦

3. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒𝑥 + sin(𝑥)

Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang

melibatkan dua atau lebih variabel bebas.

Beberapa contohnya sebagai berikut ini :

Contoh 2.9.2

1. 𝜕2𝑢

𝜕𝑥 2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑦 2 = 0

2. 𝜕2𝑥

𝜕𝑡 2 +𝜕𝑦

𝜕𝑡+ 𝑥𝑦 = sin(𝑡)

Sedangkan orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari

turunan yang muncul dalam persamaan.

Pada contoh 2.9.1, contoh nomor 1 berorde 1, contoh nomor 2 berorde 2,

dan contoh nomor 3 berorde 1

Pada contoh 2.9.2, kedua contoh berorde 2

Definisi 2.9.1

Andaikan persamaan diferensial dalam bentuk 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑡, 𝑦′ ,𝑦′′ ,… ,𝑦 𝑛−1 )


56

Solusi dari persamaan diferensial tersebut pada interval 𝛼 < 𝑡 < 𝑏 adalah

sebuah fungsi 𝜙 sedemikian sehingga 𝜙′(𝑡), 𝜙′′ (𝑡),…, 𝜙𝑛(𝑡) ada dan

memenuhi 𝜙(𝑡)(𝑛) = 𝑓[𝑡,𝜙 𝑡 ′ ,𝜙′′ 𝑡 ,… ,𝜙 𝑛−1 𝑡 ].

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, manipulasi seluruh

persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan hanya

menyisakan hubungan antara 𝑥 dan 𝑦.

Jika persamaan diferensial berbentuk 𝑦′ = 𝑓(𝑥), maka persamaan tersebut

dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana.

Contoh 2.9.1

Diberikan persamaan diferensial 𝑦′ = 3𝑥2 + 1.

Akan dicari bahwa 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥 + 𝐶, dengan 𝐶 adalah konstan adalah

solusinya persamaan diferensial di atas.

Diketahui 𝑦′ = 3𝑥2 + 1, sehingga dengan mengintegralkan kedua ruas akan

didapat :

𝑦 = 3 𝑥2 + 1𝑑𝑥

Oleh karena itu, didapat :

𝑦 = 𝑥3 + 𝑥 + 𝐶, dengan 𝐶 adalah konstan.


57

BAB III

FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS

Sebelum memulai pembahasan tentang fungsional yang bergantung pada

fungsi satu variabel, akan dibahas mengenai ruang fungsi terlebih dahulu.

A. Ruang Fungsi

Pertama-tama akan dibahas mengenai grup, ring, dan lapangan.

Definisi 3.1.1

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tidak kosong, maka produk

Cartesian 𝐴 × 𝐵 dari A dan B adalah himpunan semua pasangan berurutan

(𝑎, 𝑏) dari 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑏 ∈ 𝐵, yaitu :

𝐴 × 𝐵 = 𝑎, 𝑏 |𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵

Contoh 3.1.1

Jika 𝐴 = 1,2,3 dan 𝐵 = 2,6 , maka

𝐴 × 𝐵 = 1,2 , 1,6 , 2,2 , 2,6 , 3,2 , 3,6

𝐵 × 𝐴 = 2,1 , 2,2 , 2,3 , 6,1 , 6,2 , 6,3


58

Definisi 3.1.2

Misalkan 𝑆 adalah himpunan tidak kosong, maka operasi biner ∗ pada 𝑆

adalah pemetaan ∗: 𝑆 × 𝑆 → 𝑆 dimana untuk setiap (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆 × 𝑆 terdapat

tunggal 𝑐 ∈ 𝑆 sehingga ∗ 𝑎, 𝑏 = 𝑐 , atau dapat ditulis 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 ∈ 𝑆.

Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:

1. Terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan

berurutan (𝑎, 𝑏) dalam 𝑆 × 𝑆 dikawankan dengan tepat satu nilai 𝑎 ∗ 𝑏.

2. 𝑆 tertutup di terhadap operasi ∗ , yaitu untuk setiap pasangan berurutan

(𝑎, 𝑏) dalam 𝑆 × 𝑆 maka 𝑎 ∗ 𝑏 masih dalam 𝑆.

Contoh 3.1.2

Diketahui 𝑍 himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan ∗ dengan aturan

𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 (operasi penjumlahan pada bilangan bulat). Operasi

penjumlahan pada bilangan bulat bersifat tertutup, ini didapat dari sifat-sifat

penjumlahan bilangan bulat. Operasi ∗ terdefinisikan dengan baik karena

rumus 𝑥 + 𝑦 akan memberikan hasil tunggal untuk setiap (𝑥,𝑦) dalam 𝑍 × 𝑍

(ini juga menurut sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat). Oleh karena itu,

operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah suatu operasi biner.


59

Definisi 3.1.3

Suatu grup (𝐺,∗) terdiri dari himpunan tidak kosong G yang dilengkapi

dengan operasi biner ∗ yang didefinisikan pada G dan memenuhi sifat-sifat

berikut :

1. Operasi biner ∗ bersifat tertutup, yakni 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺.

2. Operasi biner ∗ bersifat asosiatif, yakni 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧,

untuk semua 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺.

3. Terdapat 𝑒 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥, untuk semua

𝑥 ∈ 𝐺.

𝑒 disebut elemen identitas dari 𝐺.

4. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺, terdapat 𝑥−1 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑥 ∗ 𝑥−1 =

𝑥−1 ∗ 𝑥 = 𝑒.

𝑥−1 disebut invers dari 𝑥.

Contoh 3.1.3

1. (𝑅, +), dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan +

didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus 𝑥 + 𝑦,

merupakan suatu grup.

Operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari

sifat penjumlahan bilangan real. Rumus 𝑥 + 𝑦 akan memberikan hasil

tunggal untuk setiap (𝑥,𝑦) dalam 𝑅 × 𝑅. Dari sifat-sifat penjumlahan

bilangan real didapat : operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat


60

asosiatif, terdapat unsur identitas yaitu 0 sehingga 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥

untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅 , dan untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 terdapat invers yaitu – 𝑥

sedemikian sehingga 𝑥 + −𝑥 = −𝑥 + 𝑥 = 0. Karena keempat sifat

grup dipenuhi maka (𝑅, +) adalah grup.

2. (𝑅 − 0 ,∙) merupakan suatu grup, dengan 𝑅 − {0} adalah himpunan

semua bilangan real tanpa bilangan 0, dan ∙ didefinisikan sebagai operasi

perkalian dengan rumus 𝑥 ∙ 𝑦.

Operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari sifat

perkalian bilangan real. Rumus 𝑥 ∙ 𝑦 akan memberikan hasil tunggal untuk

setiap (𝑥,𝑦) dalam 𝑅 × 𝑅. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat :

operasi perkalian pada bilangan real bersifat asosiatif, terdapat unsur

identitas yaitu 1 sehingga 𝑥 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅 , dan

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 kecuali 0 terdapat invers yaitu 1

𝑥 sedemikian sehingga

𝑥 ∙1

𝑥=

1

𝑥∙ 𝑥 = 1. Karena keempat sifat grup dipenuhi maka (𝑅 − 0 ,∙)

adalah grup.

Definisi 3.1.4

Diberikan suatu grup (𝐺,∗). Grup (𝐺,∗) disebut grup komutatif atau Grup

Abelian jika untuk semua 𝑥,𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥.


61

Contoh 3.1.4

1. (𝑅, +), dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan +

didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus 𝑥 + 𝑦,

merupakan suatu grup abelian.

(𝑅, +) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3

Dari sifat-sifat penjumlahan bilangan real didapat bahwa penjumlahan

pada bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, (𝑅, +)

merupakan grup abelian.

2. (𝑅 − {0},∙), dengan 𝑅 − {0} adalah himpunan semua bilangan real tanpa

bilangan 0, dan ∙ didefinisikan sebagai operasi perkalian dengan rumus

𝑥 ∙ 𝑦, merupakan suatu grup abelian.

(𝑅 − {0},∙) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3

Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa perkalian pada

bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, (𝑅 − {0},∙)

merupakan grup abelian.

Definisi 3.1.5

Suatu ring (𝑅, +,∙) adalah himpunan tidak kosong 𝑅 yang dilengkapi dengan

dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) , dan perkalian (∙) sedemikian

sehingga memenuhi sifat-sifat berikut :


62

1. (𝑅, +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, yang juga

disebut elemen 0 dalam 𝑅.

2. Terhadap operasi perkalian (∙) :

a. Bersifat tertutup, yaitu untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 maka 𝑥.𝑦 ∈ 𝑅

b. Bersifat asosiatif, yaitu 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧, untuk semua

𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅

c. Bersifat distributif kanan (operasi (∙) bersifat distributif kanan

terhadap operasi (+)), yaitu 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧, untuk

semua 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅

d. Bersifat distributif kiri (operasi (. ) bersifat distributif kiri terhadap

operasi (+)), yaitu 𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑧 + 𝑦 ∙ 𝑧, untuk semua

𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅

Untuk selanjutnya 𝑥 ∙ 𝑦 akan ditulis sebagai 𝑥𝑦.

Contoh 3.1.5

(𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+)

didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai

operasi perkalian, adalah suatu ring.

(𝑅, +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, ini sudah

dibuktikan pada contoh 3.1.4. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat

bahwa operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, bersifat asosiatif,


63

dan bersifat distributif kiri maupun kanan. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙) adalah

suatu ring.

Definisi 3.1.6

Ring (𝑅, +,∙) disebut ring komutatif jika dan hanya jika 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 untuk semua

𝑥,𝑦 ∈ 𝑅.

Contoh 3.1.6



operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif.

(R, +,∙) adalah suatu ring, ini sudah dibuktikan pada contoh 3..1.6.

Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa operasi perkalian pada

bilangan real bersifat komutatif yaitu 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅. Oleh

karena itu, (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+)


operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙) adalah

suatu ring komutatif.

Definisi 3.1.7

Diberikan suatu ring (𝐹, +,∙). Ring (𝐹, +,∙) disebut lapangan jika :

1. Ring (𝐹, +,∙) adalah ring komutatif.


64

2. Terdapat elemen satuan 1 ∈ 𝐹 sedemikian sehingga 1𝑥 = 𝑥1 = 𝑥,

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐹.

3. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐹 yang tidak sama dengan 0 mempunyai invers yaitu

𝑥−1 sedemikian sehingga 𝑥−1𝑥 = 𝑥𝑥−1 = 1.

Contoh 3.1.7


didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (. ) didefinisikan sebagai

operasi perkalian, adalah suatu lapangan.

(𝑅, +,∙) adalah suatu ring komutatif, ini sudah dibuktikan dalam contoh 3.1.6.

Dari sifat-sifat perkalian bilangan real bilangan real didapat bahwa terdapat

elemen identitas yaitu 1 sehingga 𝑥 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅

sehingga 1 adalah elemen satuan dalam lapangan (𝑅, +,∙), dan untuk setiap

𝑥 ∈ 𝑅 kecuali 0 terdapat invers yaitu 1

𝑥 sedemikian sehingga 𝑥 ∙

1

𝑥=

1

𝑥∙ 𝑥 = 1.

Oleh karena itu, (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan

(+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai

operasi perkalian, adalah suatu lapangan.

Setelah dibahas mengenai tentang grup, ring, dan lapangan kali ini akan

dibahas mengenai ruang linear, ruang metrik, dan ruang bernorma.


65

Definisi 3.1.8

Diberikan suatu himpunan ℛ dan lapangan real 𝑅. Suatu ruang linear atas

lapangan real 𝑅 adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dua buah

operasi. Operasi yang pertama yaitu operasi penjumlahan (+) yang

menghubungkan setiap elemen 𝑥,𝑦 ∈ ℛ dan dinotasikan 𝑥 + 𝑦. Operasi yang

kedua adalah operasi perkalian skalar yang menghubungkan 𝑥 ∈ ℛ dan setiap

𝛼 ∈ 𝑅 dan dinotasikan 𝛼𝑥. Kedua operasi tersebut memenuhi aksioma-

aksioma berikut:

1. Jika x dan y adalah elemen-elemen dalam ℛ, maka 𝑥 + 𝑦 berada dalam

ℛ (tertutup terhadap penjumlahan)

2. Untuk sembarang bilangan real ∝, jika 𝑥 ∈ ℛ maka ∝ 𝑥 ∈ ℛ

3. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 ;

4. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) ;

5. Terdapat suatu elemen 0 sedemikian sehingga 𝑥 + 0 = 𝑥 untuk setiap

𝑥 ∈ ℛ ;

6. Untuk setiap 𝑥 ∈ ℛ terdapat suatu elemen – 𝑥 sedemikian sehingga

𝑥 + (−𝑥) = 0 ;

7. 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 ;

8. 𝛼 𝛽𝑥 = 𝛼𝛽 𝑥 ;

9. 𝛼 + 𝛽 𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 ;

10. 𝛼 𝑥 + 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦.


66

Contoh 3.1.8

Misal 𝐶 𝑎, 𝑏 adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval

𝑎, 𝑏 , dan diberikan lapangan real 𝑅. Didefinisikan (+) adalah operasi

penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan 𝑓 + 𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real dengan suatu

fungsi, yaitu 𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥). Maka dari itu, 𝐶 𝑎, 𝑏 adalah ruang linear atas

lapangan real 𝑅.

Misal 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥 , dan 𝑕 𝑥 adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶 𝑎, 𝑏 .

Misal 𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam 𝑅.

1. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎, 𝑏], sehingga

)()(lim cfxfcx

, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎, 𝑏], sehingga

)()(lim cgxgcx


)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx

(menurut hukum penjumlahan

limit)

)()()()(lim cgcfxgxfcx


))(())((lim cgfxgfcx

, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut

definisi penjumlahan fungsi).

Oleh karena itu, 𝑓 + 𝑔 (𝑥) kontinu pada interval [𝑎, 𝑏].

Jadi, 𝐶[𝑎, 𝑏] tertutup terhadap operasi penjumlahan.

2. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎, 𝑏], sehingga


67

)()(lim cfxfcx


𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.

)(lim)(lim xfxfcxcx

(menurut hukum perkalian konstanta pada

limit)

)()(lim cfxfcx


))(()(lim cfxfcx

, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut definisi

perkalian bilangan real dengan fungsi)

Oleh karena itu, 𝛼𝑓 (𝑥) kontinu pada interval [𝑎, 𝑏].

Jadi, 𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

3. 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥 , dan 𝑕 𝑥 adalah sembarang fungsi kontinu anggota

𝐶 𝑎, 𝑏 . Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] , 𝑓 𝑐 ,𝑔 𝑐 ,𝑕(𝑐)

terdefinisi (dari definisi 2.3.1).

𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑐 = 𝑔 𝑐 + 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut

sifat komutatif bilangan real).

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥), untuk

setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

4. 𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑐 + 𝑕 𝑐 = 𝑓 𝑐 + (𝑔 𝑐 + 𝑕 𝑐 ), untuk setiap 𝑐 dalam

[𝑎, 𝑏]. (menurut sifat asosiatif bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 +

(𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑥 ), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

5. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].


68

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari

definisi 2.3.1)

Terdapat fungsi 0, yaitu 𝑦 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

(diketahui bahwa fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah fungsi yang kontinu pada

𝑅 = (−∞,∞) sehingga 𝑦 𝑥 = 0 ada dalam 𝐶[𝑎, 𝑏]).


𝑦 𝑐 = 0 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

𝑓 𝑐 + 𝑦 𝑐 = 𝑓 𝑐 + 0 = 𝑓 𝑐 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (elemen

identitas dalam penjumlahan bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 0 = 𝑓 𝑥 , untuk setiap 𝑥 dalam

[𝑎, 𝑏].

Fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah elemen 0 dalam 𝐶[𝑎, 𝑏].


Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi (dari

definisi 2.3.1)

𝑓 𝑐 + −𝑓 𝑐 = 0, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (invers dalam

penjumlahan bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + −𝑓 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥

dalam [𝑎, 𝑏].


Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi (dari

definisi 2.3.1)


69

Terdapat fungsi 𝑗 𝑥 = 1, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (diketahui

bahwa fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah fungsi yang kontinu pada 𝑅 = (−∞,∞)

sehingga 𝑗 𝑥 = 1 ada dalam 𝐶[𝑎, 𝑏]).


𝑗 𝑐 = 1 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

𝑗 𝑐 .𝑓 𝑐 = 1 ∙ 𝑓 𝑐 = 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (elemen

identitas dalam perkalian bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 1 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam

[𝑎, 𝑏].

Fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah elemen satuan dalam 𝐶[𝑎, 𝑏].



definisi 2.3.1)

𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.

𝛼 𝛽𝑓(𝑐) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat

asosiatif perkalian bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝛽𝑓(𝑥) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥

dalam [𝑎, 𝑏].



definisi 2.3.1)



70

𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑐 = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛽𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut

sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑓(𝑥), untuk

setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

10. 𝑓(𝑥), dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓 𝑐 ,𝑔(𝑐) terdefinisi

(dari definisi 2.3.1)


𝛼 𝑓 𝑐 + 𝑔(𝑐) = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛼𝑔(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

(menurut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan

bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛼𝑔(𝑥),

untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

Karena memenuhi kesepuluh aksioma, maka 𝐶 𝑎, 𝑏 adalah ruang

linear atas lapangan real 𝑅.

Definisi 3.1.9

Suatu metrik dalam himpunan S adalah suatu fungsi 𝑑: 𝑆 × 𝑆 → 𝑅 yang

memenuhi sifat-sifat berikut :

a) 𝑑(𝑥,𝑦) ≥ 0, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆

b) 𝑑 𝑥,𝑦 = 0, jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦

c) 𝑑 𝑥,𝑦 = 𝑑(𝑦, 𝑥), untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑆


71

d) 𝑑 𝑥,𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑(𝑧,𝑦), untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑆

Definisi 3.1.10

Suatu ruang metrik (𝑆,𝑑) adalah suatu himpunan tak kosong S yang

dilengkapi dengan suatu metrik 𝑑 pada himpunan 𝑆.

Contoh 3.1.9

1. (𝑅,𝑑) dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan 𝑑 adalah

jarak antara dua elemen pada 𝑅 yaitu 𝑑 𝑥, 𝑦 : 𝑥 − 𝑦 , untuk setiap

𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 adalah ruang metrik.

Buktinya adalah sebagai berikut :

a) 𝑥 − 𝑦 ≥ 0, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅. (menurut definisi nilai mutlak

bilangan real)

b) Jika diketahui 𝑥 − 𝑦 = 0, maka jika kita memisalkan 𝑥 − 𝑦 ≠ 0 akan

didapat – (𝑥 − 𝑦) ≠ 0.

Oleh karena itu, 𝑥 − 𝑦 ≠ 0. Ini bertentangan dengan yang diketahui

yaitu 𝑥 − 𝑦 = 0. Karena itu pemisalan 𝑥 − 𝑦 ≠ 0 adalah salah.

Oleh karena itu,

𝑥 − 𝑦 = 0

𝑥 = 𝑦

Jadi, jika 𝑥 − 𝑦 = 0 maka 𝑥 = 𝑦.

Kemudian, jika 𝑥 = 𝑦 maka didapat 𝑥 − 𝑦 = 0.


72

Oleh karena itu, didapat 𝑥 − 𝑦 = 0. (dari definisi nilai mutlak

bilangan real)

Jadi, jika 𝑥 = 𝑦 maka 𝑥 − 𝑦 = 0.

c) 𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 , untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅.

d) 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑧 + (𝑧 − 𝑦) , untuk setiap 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅.

≤ 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦 , untuk setiap 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅. (dari ketaksamaan

segitiga)

Karena memenuhi keempat aksioma maka (𝑅, 𝑑) dengan 𝑅 adalah

himpunan semua bilangan real dan 𝑑 adalah jarak antara dua elemen pada

𝑅 yaitu 𝑑 𝑥, 𝑦 : 𝑥 − 𝑦 , untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 adalah ruang metrik.

2. (𝐶 𝑎, 𝑏 ,𝑑) dengan 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang

kontinu pada interval 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada

𝐶[𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 − 𝑔 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) , untuk

setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah ruang metrik.

Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang anggota 𝐶 𝑎, 𝑏 .

𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 (𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada

[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓 − 𝑔 (𝑥) akan

mencapai nilai maksimum mutlak 𝑓 − 𝑔 𝑐 = 𝑓 𝑐 − 𝑔(𝑐) pada

suatu bilangan 𝑐 dalam 𝑎, 𝑏 .


73

Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 −

𝑔(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥

dalam 𝑎, 𝑏 .

a) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥ 0 , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari

definisi nilai mutlak bilangan real)

b) Jika diketahui max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.

Jika dimisalkan 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 , maka

akan didapat – (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

Oleh karena itu, didapat 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam

[𝑎, 𝑏], sehingga max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠ 0.

Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −

𝑔(𝑥) = 0 . Karena itu pemisalan 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠ 0 adalah salah.

Oleh karena itu,

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0

𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)

Jadi, jika max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0 maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

Oleh karena itu, didapat 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam

[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

Oleh karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.

Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) maka max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.


74

c) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) , untuk setiap

𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

d) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥 + (𝑕 𝑥 −

𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥 + (𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −

𝑕(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap 𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari

ketaksamaan segitiga)

Oleh karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −

𝑕(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) .

Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶 𝑎, 𝑏 ,𝑑) dengan

𝐶[𝑎, 𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval 𝑎, 𝑏

dan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada 𝐶[𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 −

𝑔 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah ruang

metrik.

Definisi 3.1.11

Andaikan (𝑆,𝑑) adalah suatu ruang metrik. Maka untuk 휀 > 0, persekitaran-휀

dari suatu titik 𝑥0 pada 𝑆 adalah himpunan 𝑉휀 𝑥0 = {𝑥 ∈ 𝑆:𝑑(𝑥0,𝑥) < 휀}.


75

Definisi 3.1.12

Andaikan ℛ adalah ruang linear. Suatu pemetaan 𝑥 → 𝑥 dari ℛ ke 𝑅

disebut norma pada ℛ, jika untuk setiap elemen 𝑢 ∈ ℛ memenuhi sifat-sifat

berikut :

a) 𝑢 ≥ 0

b) 𝑢 = 0 ↔ 𝑢 = 0

c) 𝛼𝑢 = 𝛼 𝑢

d) 𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣

Definisi 3.1.13

Andaikan ℛ adalah suatu ruang linear. Jika pada ℛ dapat didefinisikan suatu

norma, maka ℛ disebut ruang linear bernorma.

Contoh 3.1.10

Misal 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval

[𝑎, 𝑏].

Didefinisikan suatu norma 𝑢 = max𝑎≤𝑥≤b 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

Maka 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah suatu ruang linear bernorma.

Misal 𝑢 𝑥 adalah sembarang anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].

𝑢(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, menurut

teorema 2.5.1, 𝑢(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak 𝑢(𝑐) pada suatu

bilangan 𝑐 dalam 𝑎, 𝑏 .


76

Karena itu, untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑢(𝑥) akan mencapai nilai maksimum

mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .

a) u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) ≥ 0 , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari


b) Jika diketahui u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) = 0.

Jika dimisalkan 𝑢(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏], maka akan

didapat – (𝑢(𝑥)) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

Oleh karena itu, akan didapat 𝑢(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏],

sehingga max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) ≠ 0.

Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu

u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) = 0. Karena itu pemisalan 𝑢(𝑥) ≠ 0 adalah

salah.

Oleh karena itu, 𝑢(𝑥) = 0

Jadi, jika u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) = 0 maka 𝑢 𝑥 = 0.

Kemudian, jika 𝑢 𝑥 = 0 untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka didapat

𝑢(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak

bilangan real)

Oleh karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.

Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) maka u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.

c) Misalkan 𝛼 adalah sembarang bilangan real.

𝛼𝑢 = max𝑎≤𝑥≤b ∝ 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

= 𝛼 max𝑎≤𝑥≤b

𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari sifat-sifat

nilai mutlak bilangan real)


77

= 𝛼 𝑢 , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

d) u + v = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) ),

untuk setiap 𝑢 𝑥 ,𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)

max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) )= max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑣(𝑥) ,

untuk setiap 𝑢 𝑥 ,𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

Oleh karena itu,

u + v = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑢(𝑥) +

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑣(𝑥) , untuk setiap 𝑢 𝑥 ,𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

Oleh karena itu,

u + v ≤ u + v , untuk setiap 𝑢 𝑥 , 𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

Karena memenuhi keempat aksioma, maka 𝐶[𝑎, 𝑏] dengan norma yang

𝑢 = max𝑎≤𝑥≤b 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], adalah suatu ruang linear

bernorma.

Andaikan pada suatu ruang linear ℛ bernorma didefinisikan suatu jarak

yaitu 𝑑: 𝑢 − 𝑣 , maka dapat dibuktikan bahwa jarak tersebut adalah suatu

metrik.


Karena ℛ merupakan ruang linear bernorma, maka ℛ juga ruang linear

sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ ℛ terdapat suatu elemen – 𝑥 sedemikian sehingga


78

𝑥 + (−𝑥) = 0. Oleh karena itu, untuk sembarang 𝑢, 𝑣 ∈ ℛ didapat (𝑢 +

(−𝑣)) ∈ ℛ, oleh karena itu didapat (𝑢 − 𝑣) ∈ ℛ.

Karena ℛ adalah ruang linear bernorma maka didapat :

1. 𝑢 − 𝑣 ≥ 0

2. 𝑢 − 𝑣 = 0 ↔ (𝑢 − 𝑣) = 0, sehingga dapat ditulis :

𝑢 − 𝑣 = 0 ↔ 𝑢 = 𝑣

Karena (𝑢 − 𝑣) ∈ ℛ maka terdapat − 𝑢 − 𝑣 = (𝑣 − 𝑢) sehingga

𝑢 − 𝑣 + 𝑣 − 𝑢 = 0.

𝑣 − 𝑢 = −(𝑢 − 𝑣) ≥ 0

maka 𝑢 − 𝑣 = 𝑣 − 𝑢

Untuk sembarang 𝑢, 𝑣,𝑤 ∈ ℛ didapat (𝑢 − 𝑣) ∈ ℛ, (𝑢 − 𝑤) ∈ ℛ, (𝑤 − 𝑣) ∈

ℛ. Karena ℛ adalah ruang linear bernorma, maka didapat 𝑢 − 𝑣 ≥ 0,

𝑢 − 𝑤 ≥ 0, 𝑤 − 𝑣 ≥ 0.

Karena itu, akan berlaku kesamaan segitiga.

𝑢 − 𝑣 = 𝑢 − 𝑤 + (𝑤 − 𝑣) ≤ 𝑢 − 𝑤 + 𝑤 − 𝑣

Oleh karena itu, jika pada suatu ruang linear ℛ bernorma didefinisikan suatu

jarak yaitu 𝑑: 𝑢 − 𝑣 , maka jarak tersebut adalah suatu metrik.

Karena itu (ℛ,𝑑) juga meruipakan ruang metrik.

Definisi 3.1.14

Kelas 𝐶0 𝑎, 𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi 𝑦(𝑥)

yang terdefinisi dan kontinu di interval tertutup 𝑎, 𝑏 .


79

Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶0 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai nilai maksimum

dari nilai mutlak 𝑦(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, yakni

𝑦 0 = max𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑦(𝑥)

Dalam kelas 𝐶0 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦(𝑥) dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai

berikut : 𝑦 − 𝑧 0 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) .

Dalam kelas 𝐶0 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦 𝑥 dan 𝑧 𝑥 dekat satu sama lain, yakni

𝑧 𝑥 berada di persekitaran-휀 dari 𝑦 𝑥 sehingga 𝑦 − 𝑧 0 < 휀, maka

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 휀.

Jika digambarkan dalam grafik, maka grafik dari 𝑧(𝑥) dalam daerah berlebar

2휀 (dari arah vertikal) yang membatasi grafik fungsi 𝑦(𝑥), dengan kata lain

𝑧(𝑥) berada dalam daerah yang dibatasi grafik 𝑦 𝑥 + 휀 dan grafik 𝑦 𝑥 − 휀.

Oleh karena itu,

𝑦 𝑥 − 휀 < 𝑧 𝑥 < 𝑦 𝑥 + 휀 , untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

−휀 < 𝑧 𝑥 − 𝑦 𝑥 < 휀, untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

𝑧 𝑥 − 𝑦(𝑥) < 휀, untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 휀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Contoh 3.1.11

1. Fungsi polinom dengan daerah asal 𝑅 = (−∞,∞) termasuk dalam

𝐶0[−3,8], karena fungsi polinom kontinu pada daerah asalnya yaitu

𝑅 = (−∞,∞). Interval [3,8] berada dalam daerah asal 𝑅 = (−∞,∞).


80

2. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋} termasuk dalam

𝐶0[0,2𝜋], karena 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 kontinu pada daerah asalnya yaitu

[0,2𝜋].

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam

𝐶0[0,10], karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 kontinu pada daerah asalnya yaitu

{𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅}. Interval [0,10] termasuk dalam daerah asal {𝑥|𝑥 ≥

0, 𝑥 ∈ 𝑅}.

Definisi 3.1.15

Kelas 𝐶1 𝑎, 𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi yang

terdefinisi di interval tertutup 𝑎, 𝑏 yang mana fungsi-fungsi tersebut kontinu

dan memiliki turunan pertama yang kontinu.

Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶1 𝑎, 𝑏 didefinisikan dengan rumus :

𝑦 1 = max𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑦(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑦′(𝑥)

Dalam kelas 𝐶1 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦 𝑥 dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai

berikut:

𝑦 − 𝑧 1 = max𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑦′(𝑥) − 𝑧′(𝑥)

Dalam kelas 𝐶1 𝑎, 𝑏 , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain (𝑧(𝑥) pada

persekitaran-휀 dari 𝑦(𝑥)) yakni 𝑦 − 𝑧 1 < 휀, jika kedua fungsi itu sendiri

dan turunan pertama dari kedua fungsi itu dekat satu sama lain. Ini berarti

bahwa 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 휀 , dan 𝑦′ 𝑥 − 𝑧′(𝑥) < 휀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.


81

Contoh 3.1.12


𝐶1[−3,8], karena fungsi polinom terdifersialkan pada daerah asalnya

yaitu 𝑅 = (−∞,∞). Fungsi polinom juga memiliki turunan pertama

yang kontinu pada daerah asalnya. Interval [3,8] berada dalam daerah

asal 𝑅 = (−∞,∞).

2. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋} termasuk dalam

𝐶1[0,2𝜋], karena 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 terdifirensialkan pada daerah asalnya

yaitu [0,2𝜋]. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 juga memiliki turunan pertama yang

kontinu pada [0,2𝜋], yaitu 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥.

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam

𝐶1[1,10], karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 terdiferensialkan pada {𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅} .

𝑓 𝑥 = 𝑥 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada

{𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅} yaitu 𝑓′ 𝑥 =1

2 𝑥. Interval [1,10] berada dalam

{𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅}.

4. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk

dalam 𝐶1[0,10], karena 𝑓′ 𝑥 =1

2 𝑥 tidak terdefinisi pada 𝑥 = 0.

Oleh karena itu, 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅}

merupakan anggota dari 𝐶0[0,10], namun bukan anggota dari

𝐶1[0,10].


82

5. 𝑓 𝑥 =2

3 𝑥3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam

𝐶1[0,10], karena 𝑓 𝑥 =2

3 𝑥3 terdiferensialakan pada {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈

𝑅}.

𝑓 𝑥 =2

3 𝑥3 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada

{𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} yaitu 𝑓′ 𝑥 = 𝑥. Interval [0,10] berada dalam

{𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅}.

Definisi 3.1.16

Kelas 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi 𝑦(𝑥)

yang terdefinisi di interval tertutup 𝑎, 𝑏 yang mana fungsi-fungsi tersebut

kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu sampai pada turunan ke-

𝑘, dengan 𝑘 bilangan bulat tidak negatif.

Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 didefinisikan dengan rumus :

𝑦 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 ,

dimana 𝑦 𝑖 𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 𝑖

𝑦(𝑥) dan 𝑦 0 (𝑥) adalah fungsi 𝑦 𝑥 itu sendiri.

Dalam kelas 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦(𝑥) dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai

berikut : 𝑦 − 𝑧 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑖 𝑥 − 𝑧 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 .

Dalam kelas 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain (𝑧(𝑥) pada

persekitaran-휀 dari 𝑦(𝑥)) ( yakni 𝑦 − 𝑧 𝑘 < 휀, jika fungsi-fungsi itu sendiri

dan semua turunan-turunannya sampai turunan ke-k dekat satu sama lain. Ini

berarti bahwa


83

𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 휀 , 𝑦′ 𝑥 − 𝑧′(𝑥) < 휀 , 𝑦" 𝑥 − 𝑧"(𝑥) < 휀 , …, dan

𝑦(𝑘) 𝑥 − 𝑧(𝑘)(𝑥) < 휀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Contoh 3.1.13


𝐶𝑘 [−3,8], dengan 𝑘 bilangan bulat tidak negatif. Karena fungsi

polinom terdifersialkan tak hingga kali pada daerah asalnya yaitu

𝑅 = (−∞,∞), sehingga turunan-turunan sampai turunan ke 𝑘 akan

kontinu.

2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk

dalam 𝐶𝑘 [0,10] (untuk 𝑘 > 0). Ini karena 𝑓′ 𝑥 =1

2 𝑥 tidak

terdefinisi pada 𝑥 = 0. Oleh karena itu, 𝑓′ 𝑥 =1

2 𝑥 tidak dapat

diturunkan.

3. 𝑓 𝑥 =2

3 𝑥3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk

dalam 𝐶𝑘 [0,10] (untuk 𝑘 > 1). Ini karena 𝑓′′ 𝑥 =1

2 𝑥 tidak

terdefinisi pada 𝑥 = 0. Sehingga 𝑓′′ 𝑥 =1

2 𝑥 tidak dapat diturunkan.

Oleh karena itu, 𝑓 𝑥 =2

3 𝑥3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅}

merupakan anggota dari 𝐶1[0,10], namun bukan anggota dari

𝐶𝑘 [0,10] (untuk 𝑘 > 1).


84

Contoh 3.1.14

𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 00, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0

𝑓(𝑥) termasuk dalam kelas 𝐶0[−6,6] tapi tidak termasuk dalam 𝐶1[−6,6].

Untuk 𝑥 < 0, 𝑓 𝑥 = 0 adalah fungsi kontinu yang terdifensialkan, dan

turunannya yaitu 𝑓 ′(𝑥) = 0 juga kontinu untuk 𝑥 < 0.

Untuk 𝑥 > 0, 𝑓 𝑥 = 𝑥 adalah fungsi kontinu yang terdiferensialkan, dan

turunannya yaitu 𝑓 ′(𝑥) = 1 juga kontinu untuk 𝑥 > 0.

Untuk 𝑥 = 0

h

fhff

h

)0()0(lim)0('

0

, asalkan limit ini ada. (menurut definisi 2.4.1)

Hitung limit kanan terlebih dahulu.

11limlim0)0(

lim)0()0(

lim0000

hhhh h

h

h

h

h

fhf

Sekarang kita hitung limit kiri

00lim0

lim00

lim)0()0(

lim0000

hhhh hhh

fhf

h

fhf

h

)0()0(lim

0 h

fhf

h

)0()0(lim

0

Oleh karena itu, h

fhf

h

)0()0(lim

0

tidak ada. Maka dari itu, 𝑓 𝑥 tidak

terdiferensialkan pada titik 𝑥 = 0.


85

Untuk 𝑥 = 0, maka 𝑓 0 = 0, sehingga 𝑓 0 terdefinisi. (0 berada pada

daerah asal 𝑓(𝑥))

0lim)(lim00

xxf

xx

00lim)(lim00

xx

xf

)0(0)(lim)(lim00

fxfxfxx

Oleh karena itu,

)0()(lim0

fxfx

Maka dari itu , 𝑓 𝑥 kontinu pada 𝑥 = 0.

Karena itu, 𝑓(𝑥) termasuk dalam kelas 𝐶0[−6,6] tapi tidak termasuk dalam

𝐶1[−6,6].

Setiap anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏] merupakan anggota dari 𝐶0[𝑎, 𝑏], karena setiap

anggota dari 𝐶1[𝑎, 𝑏] juga merupakan fungsi kontinu (dari teorema 2.4.1).

Oleh karena itu, 𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊆ 𝐶0[𝑎, 𝑏].

Ada anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏] yang bukan merupakan 𝐶0[𝑎, 𝑏] ( dari contoh

3.1.12, dan 3.1.14). Oleh karena itu, 𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶0[𝑎, 𝑏].

Setiap anggota 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] (dengan 𝑘 > 1) merupakan anggota dari

𝐶1[𝑎, 𝑏], karena setiap anggota dari 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] (dengan 𝑘 > 1) juga merupakan

fungsi yang kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu (dari

teorema 2.4.1). Oleh karena itu, 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] ⊆ 𝐶1[𝑎, 𝑏] (untuk 𝑘 > 1).

Ada anggota 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏] (dengan 𝑘 > 1) yang bukan merupakan 𝐶1[𝑎, 𝑏] (

dari contoh 3.1.13). Oleh karena itu, 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶1[𝑎, 𝑏] (untuk 𝑘 > 1).


86

Maka dari itu, didapat : 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶0[𝑎, 𝑏] (untuk 𝑘 > 1).

Sekarang, akan ditunjukkan bahwa kelas 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘 bilangan

bulat tidak negatif) adalah ruang metrik. Untuk kelas 𝐶0[𝑎, 𝑏] sudah

dibuktikan pada contoh 3.1.9

Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa (𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk

𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dengan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada

𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 − 𝑔 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 , untuk

setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏] adalah ruang metrik. (dimana 𝑓 𝑖 𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 𝑖

𝑓 𝑥 ,

𝑔 𝑖 𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 𝑖

𝑔 𝑥 , 𝑓 0 (𝑥) adalah fungsi 𝑓 𝑥 itu sendiri, dan 𝑔 0 (𝑥)

adalah fungsi 𝑔 𝑥 itu sendiri)


Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘

bilangan bulat lebih dari 0).

𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓 𝑥 −

𝑔 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 (𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Oleh

karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) akan mencapai

nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .

Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)

akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .

𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) juga memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]

sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0). Oleh karena itu,


87

𝑓′(𝑥) dan 𝑔′(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓′ 𝑥 −

𝑔′ 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 ′(𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Oleh

karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓 − 𝑔 ′(𝑥) akan mencapai nilai

maksimum mutlak 𝑓 − 𝑔 ′ 𝑑 = 𝑓′ 𝑑 − 𝑔′(𝑑) pada suatu bilangan 𝑑

dalam 𝑎, 𝑏 .

Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏], 𝑓 − 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥)

akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan

yang ke-𝑘.

a) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari


max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari


Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥)

sampai turunan yang ke-𝑘.

Oleh karena itu,

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 ≥ 0 , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈

𝐶[𝑎, 𝑏].

b) Jika diketahui max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 = 0.

Karena itu, didapat max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′(𝑥) −

𝑔′(𝑥) + ⋯+max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 (𝑥) = 0.


88

Padahal max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥ 0, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −

𝑔′(𝑥) ≥ 0,… max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 (𝑥) ≥ 0. (tidak mungkin

negatif)

Karena max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) +

⋯+max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 (𝑥) = 0.

(ruas kanan sama dengan nol)

Maka dari itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −

𝑔′(𝑥) = ⋯ = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 (𝑥) = 0.

Karena itu, 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = (𝑓 ′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 = ⋯ = (𝑓 𝑘 𝑥 −

𝑔 𝑘 (𝑥) = 0. (menurut contoh 3.1.10)

Jadi, jika max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 = 0 maka 𝑓 𝑥 −

𝑔(𝑥) = 0.

Jika max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 = 0 maka 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥).

Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

Karena itu, didapat 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam

[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

Oleh karena itu, didapat max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.

𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑔′(𝑥).

Oleh karena itu, 𝑓 ′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) = 𝑓 + 𝑔 ′(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥

dalam [𝑎, 𝑏].


89

Didapat 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] (dari

definisi nilai mutlak bilangan real), sehingga max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −

𝑔′(𝑥) = 0.


sampai turunan yang ke-𝑘. Oleh karena itu,


𝑖=0 = 0.

Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) maka akan didapat


𝑖=0 = 0.

c) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) , untuk setiap

𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔′ 𝑥 − 𝑓′(𝑥) , untuk

setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)



Oleh karena itu,

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 𝑥 𝑘

𝑖=0 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔 𝑖 𝑥 −𝑘

𝑖=0

𝑓 𝑖 𝑥 .

d) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥 + (𝑕 𝑥 −

𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].


90

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥 + (𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −

𝑕(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap 𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

(dari ketaksamaan segitiga)

Karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑕(𝑥) +

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) .

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑕′ 𝑥 +

(𝑕′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑕′ 𝑥 + (𝑕′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≤

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑕′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap

𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)

Karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −

𝑕′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑕′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) .



Oleh karena itu,

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 𝑥 𝑘

𝑖=0 ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 −𝑘

𝑖=0

𝑕 𝑖 𝑥 + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 𝑥 𝑘

𝑖=0

Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 ,𝑑) untuk 𝑘

adalah bilangan bulat lebih dari 0, dengan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi


91

pada 𝐶[𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 − 𝑔 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 ,

untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah ruang metrik.

Kali ini akan ditunjukkan bahwa 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘 adalah bilangan

bulat tidak negatif) adalah ruang linear bernorma. Oleh akan ditunjukkan

bahwa 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 adalah ruang linear terlebih dahulu. Untuk kelas 𝐶0[𝑎, 𝑏]

merupakan ruang bernorma sudah dibuktikan pada contoh 3.1.10.

Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa (𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk

𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dan diberikan lapangan real 𝑅. Didefinisikan (+)

adalah operasi penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real

dengan suatu fungsi, yaitu 𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥). Maka dari itu, 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , untuk

𝑘 bilangan bulat lebih dari 0 adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.


Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘

bilangan bulat lebih dari 0).

𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan memiliki turunan-

turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan

bulat lebih dari 0).

Misal 𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam 𝑅


92

1. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-

turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘

bilangan bulat lebih dari 0), sehingga

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]

h

cfhcfcf

h

)(')('lim)(''

0

ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan

yang ke-𝑘 yaitu h

cfhcfcf

kk

h

k )()(lim)(

)1()1(

0

)(

ada, untuk

setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

Kekontinuan 𝑓 ′(𝑥),𝑓 ′′ (𝑥),…𝑓 𝑘−1 (𝑥) otomatis terjadi. (dari

teorema 2.4.1)

Karena 𝑓 𝑘 (𝑥) juga harus kontinu, maka )()(lim )()( cfxf kk

cx

,

untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-



h

cghcgcg

h

)()(lim)('

0


h

cghcgcg

h

)(')('lim)(''

0



93

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑔(𝑥) sampai turunan

yang ke-𝑘 yaitu h

cghcgcg

kk

h

k )()(lim)(

)1()1(

0

)(

ada, untuk


Kekontinuan 𝑔′(𝑥),𝑔′′ (𝑥),…𝑔 𝑘−1 (𝑥) otomatis terjadi. (dari

teorema 2.4.1)

Karena 𝑔 𝑘 (𝑥) juga harus kontinu, maka )()(lim )()( cgxg kk

cx

,


)(')(')()'( xgxfxgf (menurut aturan penjumlahan turunan)

h

cghcg

h

cfhcfxgf

hh

)()(lim

)()(lim)()'(

00, untuk


h

cgcfhcghcfcgf

h

)]()([)]()([lim)()'(

0

, untuk setiap

𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] . (menurut hukum penjumlahan limit)

h

cgfhcgfcgf

h

))(())((lim)()'(

0

, untuk setiap 𝑐 dalam

[𝑎, 𝑏]. (menurut definisi penjumlahan fungsi)

Oleh karena itu, (𝑓 + 𝑔)(𝑥) terdifensialkan.

)('')('')(')'( xgxfxgf (menurut aturan penjumlahan

turunan)

h

cghcg

h

cfhcfxgf

hh

)(')('lim

)(')('lim)(')'(

00,



94

h

cgcfhcghcfcgf

h

)](')('[)](')('[lim)(')'(

0

, untuk

setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut hukum penjumlahan limit)

h

cgfhcgfcgf

h

)()'()()'(lim)(')'(

0

, untuk setiap 𝑐

dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut definisi penjumlahan fungsi)

Oleh karena itu, 𝑓 + 𝑔 ′(𝑥) terdiferensialkan.

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓 + 𝑔 (𝑥) sampai

turunan yang ke-𝑘 .

Kekontinuan 𝑓 + 𝑔 ′ 𝑥 , 𝑓 + 𝑔 ′′ 𝑥 ,… (𝑓 + 𝑔) 𝑘−1 (𝑥)

otomatis terjadi. (dari teorema 2.4.1)

Karena 𝑓 𝑘 (𝑥), dan 𝑔 𝑘 (𝑥) kontinu, maka (𝑓 + 𝑔) 𝑘 (𝑥) kontinu

untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari aturan penjumlahan turunan dan

contoh 3.1.8)

Oleh karena itu, fungsi 𝑓 + 𝑔 𝑘 (𝑥), (dengan 𝑘 bilangan bulat

lebih dari 0) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan

yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan

bulat lebih dari 0).

Jadi, 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏], dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0 tertutup

terhadap operasi penjumlahan.

2. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-




95

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0


h

cfhcfcf

h

)(')('lim)(''

0


Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan

yang ke-𝑘, yaitu h

cfhcfcf

kk

h

k )()(lim)(

)1()1(

0

)(

ada, untuk


Kekontinuan 𝑓 ′(𝑥),𝑓 ′′ (𝑥),…𝑓 𝑘−1 (𝑥) otomatis terjadi. (dari

teorema 2.4.1)

Karena 𝑓 𝑘 (𝑥) juga harus kontinu, maka )()(lim )()( cfxf kk

cx

,



𝛼𝑓 ′ 𝑥 = 𝛼𝑓′(𝑥) (menurut aturan perkalian konstanta turunan)

h

cfhcfxf

h

)()(lim)()'(

0


h

cfhcfxf

h

)()(lim)()'(

0 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

(menurut hukum perkalian konstanta pada limit)

h

cfhcfxf

h

))(())((lim)()'(

0


(menurut definisi perkalian bilangan real dengan fungsi)

Oleh karena itu, ))(( xf terdiferensialkan.

𝛼𝑓 ′′ 𝑥 = 𝛼𝑓′′(𝑥) (menurut aturan perkalian konstanta turunan)


96

h

cfhcfxf

h

)(')('lim)(')'(

0


h

cfhcfxf

h

)(')('lim)(')'(

0 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

(menurut hukum perkalian konstanta pada limit)

h

cfhcfxf

h

))('())('(lim)(')'(

0


(menurut definisi perkalian bilangan real dengan fungsi)

Oleh karena itu, )()'( xf terdiferensialkan.

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari ∝ 𝑓 (𝑥) sampai

turunan yang ke-𝑘 .

Kekontinuan 𝛼𝑓 ′ 𝑥 , 𝛼𝑓 ′′ 𝑥 ,… (𝛼𝑓) 𝑘−1 (𝑥) otomatis terjadi.

(dari teorema 2.4.1)

Karena 𝑓 𝑘 (𝑥), dan 𝑔 𝑘 (𝑥) kontinu, maka (𝛼𝑓) 𝑘 (𝑥) kontinu

untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari aturan penjumlahan turunan dan

contoh 3.1.8)

Oleh karena itu, fungsi 𝛼𝑓 𝑘 (𝑥), (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih

dari 0) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan yang

kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat

lebih dari 0).

Jadi,(𝛼𝑓)(𝑘) 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑘)(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] .

3. 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥 ,𝑕(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki

turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘.

(dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0).


97

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] , 𝑓 𝑐 ,𝑔 𝑐 ,𝑕(𝑐)

terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)

𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑐 = 𝑔 𝑐 + 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut

sifat komutatif bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥), untuk

setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]

4. 𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑐 + 𝑕 𝑐 = 𝑓 𝑐 + (𝑔 𝑐 + 𝑕 𝑐 ), untuk setiap 𝑐

dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat asosiatif bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 +

(𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑥 ), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

5. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].

Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐)


Terdapat fungsi 0, yaitu 𝑦 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

(diketahui bahwa fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah fungsi yang kontinu pada

𝑅 = (−∞,∞) dan 𝑦 𝑥 = 0 juga terdiferensialkan pada tingkat

berapapun, dan turunan-turunannya yaitu 𝑦′ 𝑥 = 𝑦′′ 𝑥 = ⋯ =

𝑦 𝑘 (𝑥) = 0 kontinu pada 𝑅 = (−∞,∞) sehingga 𝑦 𝑥 = 0 ada

dalam seluruh kelas 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏], untuk 𝑘 bilangan bulat tak negatif)


𝑦 𝑐 = 0 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏],

𝑓 𝑐 + 𝑦 𝑐 = 𝑓 𝑐 + 0 = 𝑓 𝑐 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

(elemen identitas dalam penjumlahan bilangan real)


98

Karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 0 = 𝑓 𝑥 , untuk setiap 𝑥 dalam

[𝑎, 𝑏].

Fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah elemen 0 dalam 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].




𝑓 𝑐 + −𝑓 𝑐 = 0, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (invers dalam

penjumlahan bilangan real)

Karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + −𝑓 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥

dalam [𝑎, 𝑏].




Terdapat fungsi 𝑗 𝑥 = 1, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (diketahui

bahwa fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah fungsi yang kontinu pada 𝑅 =

(−∞,∞) dan 𝑗 𝑥 = 1 juga terdiferensialkan pada tingkat

berapapun, dan turunan-turunannya yaitu 𝑗′ 𝑥 = 𝑗′′ 𝑥 = ⋯ =

𝑗 𝑘 (𝑥) = 0 kontinu pada 𝑅 = (−∞,∞) sehingga 𝑗 𝑥 = 1 ada

dalam seluruh kelas 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏], untuk 𝑘 bilangan bulat tak negatif)


𝑗 𝑐 = 1 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

𝑗 𝑐 ∙ 𝑓 𝑐 = 1 ∙ 𝑓 𝑐 = 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (elemen

identitas dalam perkalian bilangan real)


99

Oleh karena itu, dapat ditulis 1 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥

dalam [𝑎, 𝑏]

Fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah elemen satuan dalam 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏]





𝛼 𝛽𝑓(𝑐) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat

asosiatif perkalian bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝛽𝑓(𝑥) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑥), untuk setiap

𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].





𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑐 = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛽𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

(menurut sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan

bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑓(𝑥),


10. 𝑓(𝑥), dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki

turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘.

(dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0).


100

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] , 𝑓 𝑐 ,𝑔 𝑐 terdefinisi.

(dari definisi 2.3.1)


𝛼 𝑓 𝑐 + 𝑔(𝑐) = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛼𝑔(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].

(menurut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan

bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛼𝑔(𝑥),


Karena memenuhi kesepuluh aksioma, maka 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , dengan 𝑘 adalah

bilangan bulat lebih dari 0, adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.

Setelah ditunjukkan bahwa 𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , dengan 𝑘 adalah bilangan bulat

lebih dari 0, adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅, kali ini akan dibuktikan

bahwa (𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dengan norma pada

𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏] yaitu 𝑓 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏]

adalah ruang linear bernorma. (dimana 𝑓 𝑖 𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 𝑖

𝑓(𝑥) dan 𝑓 0 (𝑥)

adalah fungsi 𝑓 𝑥 itu sendiri)


Misal 𝑓 𝑥 adalah sembarang anggota 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].


101

𝑓𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga menurut teorema 2.5.1,

𝑓(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak 𝑓(𝑐) pada suatu bilangan 𝑐

dalam 𝑎, 𝑏 .

Karena itu, untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑥) akan mencapai nilai

maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .

𝑓(𝑥) juga memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan

ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0)

Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓′(𝑥) akan mencapai nilai maksimum

mutlak 𝑓′(𝑑) pada suatu bilangan 𝑑 dalam 𝑎, 𝑏 .

Karena itu, untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏], 𝑓′(𝑥) akan mencapai nilai

maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 .

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘

a) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 ≥ 0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai

mutlak bilangan real)

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 ≥ 0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai


Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai

turunan yang ke-𝑘.

Oleh karena itu,

𝑓 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 ≥ 0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] (dari


b) Jika diketahui 𝑓 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 = 0, maka

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯+max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 = 0.


102

Padahal max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 ≥ 0, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 ≥ 0,…

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 ≥ 0 . (tidak mungkin negatif)

Karena max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯+max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 =

0 (ruas kanan sama dengan nol),

maka max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 = ⋯ = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑘) 𝑥 =

0.

Karena itu 𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 = ⋯ = 𝑓(𝑘) 𝑥 = 0.

Jadi, jika max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 𝑘

𝑖=0 = 0 maka 𝑓 𝑥 = 0

Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka 𝑓(𝑥) = 0,

untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

Oleh karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 = 0.

𝑓 𝑥 = 0, maka 𝑓′ 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. Karena itu,

didapat 𝑓′(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai


Oleh karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 = 0.

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang

ke-𝑘.

Didapat 𝑓 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 𝑘

𝑖=0 = 0.

Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 0 maka 𝑓 𝑘 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 𝑘

𝑖=0 = 0.

c) Misalkan 𝛼 adalah sembarang bilangan real.


103

𝛼𝑓(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓 𝑖 𝑥 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓 𝑥 +𝑘

𝑖=0

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓′ 𝑥 + ⋯+ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓 𝑘 𝑥 , untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈

𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].

= α max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝛼 max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯+

𝛼 max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑘 𝑥 , untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].

(dari sifat-sifat nilai mutlak bilangan real)

= 𝛼 ( max𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑓(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯+

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑘 𝑥 ), untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].

= 𝛼 ( max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 𝑘

𝑖=0 ), untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].

= 𝛼 𝑓 𝑘 , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].

d) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 + 𝑔 𝑖 (𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 + 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0𝑘𝑖=0

(menurut aturan penjumlahan turunan)

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ), untuk setiap

𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)

max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) )= max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔(𝑥) , untuk

setiap 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].

Karena itu,

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑓(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔(𝑥) , untuk setiap

𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) ), untuk setiap

𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)


104

max𝑎≤𝑥≤𝑏( 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) )= max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔′(𝑥) ,

untuk setiap 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].

Karena itu,

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑓′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔′(𝑥) , untuk setiap

𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang

ke-𝑘.

Oleh karena itu,

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 +𝑘𝑖=0

𝑔 𝑖 (𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 (𝑥) +𝑘

𝑖=0 max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 ,untuk

setiap 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏].

Didapat :

f + g k ≤ f k + g k , untuk setiap 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑘 [𝑎, 𝑏].

Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶𝑘 𝑎, 𝑏 ,𝑑) untuk

𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dengan norma pada 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] yaitu 𝑓 𝑘 =

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 (𝑥) 𝑘

𝑖=0 , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] adalah ruang linear

bernorma.

B. Fungsional

Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya

merupakan fungsi (atau kurva), dengan kata lain fungsional merupakan fungsi

dari fungsi.


105

Pada fungsi dengan tiga variabel bebas, daerah asal untuk fungsi tersebut

adalah himpunan titik-titik (𝑥,𝑦, 𝑧) dalam 𝑅3. Begitu juga untuk fungsional

dengan tiga variabel bebas, daerah asal untuk fungsional tersebut adalah

himpunan titik-titik (𝑥,𝑦, 𝑧) di 𝑅3 di mana 𝑥,𝑦, dan 𝑧 adalah fungsi-fungsi

dengan variabel bebas yang berbeda, yang telah dianggap sebagai titik. 𝑥,𝑦,

dan 𝑧 masing-masing adalah fungsi dalam ruang linear ℛ.

Pada fungsi dengan 𝑛 variabel bebas, daerah asal untuk fungsi tersebut

adalah himpunan titik-titik (𝑥1, 𝑥2 ,…𝑥𝑛) dalam 𝑅𝑛 . Begitu juga untuk

fungsional dengan 𝑛 variabel bebas, daerah asal untuk fungsional tersebut

adalah himpunan titik-titik (𝑥1, 𝑥2 ,…𝑥𝑛) di 𝑅𝑛 di mana 𝑥1, 𝑥2 ,… dan 𝑥𝑛

adalah fungsi-fungsi dengan variabel bebas yang berbeda, yang telah dianggap

sebagai titik. 𝑥1, 𝑥2 ,… dan 𝑥3 masing-masing adalah fungsi dalam ruang linear

ℛ.

Dalam fungsional domain adalah himpunan fungsi sedangkan kodomain

adalah himpunan bilangan Real.

Berikut ini adalah beberapa contoh fungsional.

Contoh 3.2.1

b

a

dxxyyJ )( , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶0 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai suatu

fungsional.

𝐽 𝑦 :𝐶0 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶0 𝑎, 𝑏 . 𝑦(𝑥) kontinu di 𝑎, 𝑏 , karena itu

menurut Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk


106

setiap 𝑦(𝑥) dalam 𝐷. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦

adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah

fungsional.

Contoh 3.2.2

b

a

dxxyyJ )(2, untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶0[𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai suatu

fungsional.

𝐽 𝑦 :𝐶1 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶0 𝑎, 𝑏 . Fungsi kuadrat merupakan fungsi

polinom sehingga fungsi itu kontinu di mana saja (di R), karena itu menurut

Teorema 2.3.2 dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan

real untuk setiap 𝑦(𝑥) dalam D. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat

bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka

𝐽 𝑦 adalah fungsi dari fungsi.

Contoh 3.2.3

Jika F adalah fungsi yang kontinu di R, maka

b

a

dxxyFyJ ))(( , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶0 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai suatu

fungsional.

𝐽 𝑦 :𝐶0 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶0 𝑎, 𝑏 . Fungsi 𝐹 kontinu di 𝑅, karena itu

menurut Teorema 2.3.2, ))(( xyF adalah fungsi kontinu di 𝑎, 𝑏 sehingga

menurut Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk


107

setiap 𝑦(𝑥) dalam 𝐷. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦


fungsional.

Contoh 3.2.4

b

a

dxxyyJ 2)]('[ , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶1 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai suatu

fungsional.

𝐽 𝑦 :𝐶1 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶1 𝑎, 𝑏 .

𝑦(𝑥) dalam 𝐶1 𝑎, 𝑏 sehingga 𝑦′ 𝑥 ada dan kontinu di [𝑎, 𝑏]. Fungsi kuadrat

merupakan fungsi polinom sehingga fungsi itu kontinu di 𝑅, karena itu

menurut Teorema 2.3.2, dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat

bilangan real untuk setiap 𝑦(𝑥) dalam D. Karena itu, dari penjelasan tersebut

didapat bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan

fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah fungsional.

Contoh 3.2.5

b

a

dxxyyJ 2)]('[1 , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶1 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai

suatu fungsional.

𝐽 𝑦 :𝐶1 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶1 𝑎, 𝑏 .

𝑦(𝑥) dalam 𝐶1 𝑎, 𝑏 sehingga 𝑦 ′ 𝑥 ada dan kontinu di [𝑎, 𝑏]. Daerah asal

fungsi rasional dalam bentuk di atas adalah himpunan bilangan real; 𝑅. Oleh


108

karena itu, fungsi tersebut kontinu di 𝑅 (karena sembarang fungsi rasional

kontinu pada daerah asalnya). Karena itu, menurut teorema 2.3.2, dan

Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk setiap

𝑦(𝑥) dalam D. Oleh karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦


fungsional.

Fungsional di atas merupakan rumus panjang kurva 𝑦 = 𝑦(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤

𝑏.

Contoh 3.2.6

Jika fungsi F adalah suatu fungsi 3 variabel yang kontinu, maka

b

a

dxxyxyxFyJ )('),(,

untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶1 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai

suatu fungsional.

Pada contoh di atas 𝑥 adalah suatu variabel bebas, y’(x) tergantung pada y(x)

(keduannya memiliki variabel bebas yang sama yaitu x).

𝐽 𝑦 :𝐶1 → 𝑅 , daerah asal 𝐽 𝑦 adalah 𝐶1[𝑎, 𝑏] ( y’ ada dan kontinu

pada[𝑎, 𝑏]). Menurut teorema 2.7.2 dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2

akan didapat bilangan real untuk setiap 𝑦(𝑥). Oleh karena itu, dari penjelasan

tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga

merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah fungsi dari fungsi.


109

Definisi 3.2.1

Fungsional 𝐽 𝑦 dikatakan kontinu pada titik 𝑦 ∈ ℛ jika untuk setiap 휀 > 0,

terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] < 휀 bilamana 𝑦 − 𝑦 < 𝛿.

Definisi 3.2.2

Andaikan 𝑉,𝑊 adalah ruang-ruang linear atas lapangan yang sama 𝐹. Suatu

fungsi 𝑇:𝑉 → 𝑊 disebut suatu transformasi linear dari 𝑉 ke 𝑊 jika untuk

setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑉, dan setiap 𝛼 ∈ 𝑅, berlaku :

a) 𝑇 𝑥 + 𝑦 = 𝑇 𝑥 + 𝑇(𝑦)

b) 𝑇 𝛼𝑥 = 𝛼𝑇(𝑥)

Untuk 𝑉 = 𝑊, transformasi linear 𝑇:𝑉 → 𝑉 disebut suatu operator linear pada

𝑉.

Definisi 3.2.3

Andaikan ℛ adalah suatu ruang linear. Fungsional linear adalah fungsi

𝑓:ℛ → 𝑅 sedemikian sehingga untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ ℛ, dan setiap 𝛼 ∈ 𝑅,

berlaku :

a) 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑦)

b) 𝑓 𝛼𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥)

Jika tidak memenuhi salah satu dari sifat-sifat di atas ataupun tidak memenuhi

kedua sifat tersebut, maka fungsional dikatakan fungsional tidak linear.


110

Contoh 3.2.6

Akan ditunjukkan bahwa fungsional 1

0

)(3 dxxyyJ , untuk 𝑦(𝑥) dalam

ruang linear ℛ, adalah suatu fungsional linear.

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ ℛ.

1

0

)]()([3 dxxgxfgfJ

1

0

)(3)(3 dxxgxfgfJ

1

0

1

0

)(3)(3 dxxgdxxfgfJ (menurut sifat penjumlahan integral tentu)

1

0

1

0

)(3)(3 dxxgdxxfgfJ

][][ gJfJgfJ

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilanagan 𝛼 ∈ 𝑅.

1

0

)]([3 dxxffJ

1

0

)](3[ dxxffJ

1

0

)(3 dxxffJ (menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu)

][ fJfJ


111

Karena memenuhi kedua sifat fungsional linear, maka fungsional

1

0

)(3 dxxyyJ , untuk 𝑦(𝑥) dalam ruang linear ℛ, adalah suatu fungsional

linear.

Contoh 3.2.7

Akan ditunjukkan bahwa fungsional 1

0

2))((3 dxxyyJ , untuk 𝑦(𝑥) dalam

ruang linear ℛ, adalah fungsional tidak linear.

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ ℛ.

1

0

2 ]))()([(3 dxxgxfgfJ

1

0

22 )]()()(2)([3 dxxgxgxfxfgfJ

1

0

22 )(3)()(6)(3 dxxgxgxfxfgfJ

1

0

1

0

1

0

)(3)()(6)(3 dxxgdxxgxfdxxfgfJ (menurut sifat penjumlahan

integral tentu)

1

0

1

0

1

0

)(3)()(6)(3 dxxgdxxgxfdxxfgfJ

][][ gJfJgfJ


112

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilangan 𝛼 ∈ 𝑅.

1

0

2 ]))([(3 dxxffJ

1

0

22 )](3[ dxxffJ

1

0

22 )(3 dxxffJ (menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu)

][ fJfJ

Karena tidak memenuhi sifat-sifat fungsional linear, maka fungsional

1

0

2))((3 dxxyyJ , untuk 𝑦(𝑥) dalam ruang linear ℛ, merupakan fungsional

tidak linear.

Contoh 3.2.8

Akan ditunjukkan bahwa fungsional b

a

dxxhxhJ )(')( , untuk 𝑕(𝑥)

dalam𝐶1[𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah

suatu fungsional linear.

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏].

b

a

dxxgxfxgfJ ))'()(()(

b

a

dxxgxfxgfJ )(')(')(

(menurut aturan jumlah pada turunan)


113

b

a

dxxgxxfxgfJ )(')()(')(

b

a

b

a

dxxgxdxxfxgfJ )(')()(')( (menurut sifat penjumlahan integral

tentu)

][][ gJfJgfJ

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilangan 𝑟 ∈ 𝑅.

b

a

dxxrfxrfJ ]))'()[((

b

a

dxxrfxrfJ )](')[(

(menurut aturan perkalian konstanta pada turunan)

b

a

dxxfxrrfJ )](')([

b

a

dxxfxrrfJ )](')([

(menurut sifat perkalian konstanta pada integral

tentu)

][ frJrfJ

Karena memenuhi kedua sifat fungsional linear, maka Fungsional

b

a

dxxhxhJ )(')( , untuk 𝑕(𝑥) dalam𝐶1[𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu

fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah suatu fungsional linear.


114

Contoh 3.2.9

Akan ditunjukkan bahwa fungsional

b

a

n

n dxxhxxhxxhxhJ )()(...)(')()()( )(

10 , untuk 𝑕(𝑥)

dalam𝐶𝑛 [𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah


Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ,𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑛[𝑎, 𝑏].

b

a

n

n dxxgxfxxgxfxxgxfxgfJ ]))()()[((...]))'()()[(()]()()[( )(

10

b

a

nn

n dxxgxfxxgxfxxgxfxgfJ )]()()[((...)](')(')[(()]()()[( )()(

10

(menurut aturan jumlah pada turunan)

b

a

n

n

n

n dxxgxfxxgxfxxgxfxgfJ )]()()([...)](')(')([)]()()([ )()(

1100

dxxgxgxgxxfxfxfxgfJ n

n

b

a

n

n )](...)()()([)](...)()()([ )(

10

)(

10

b

a

n

n

b

a

n

n dxxgxgxgxdxxfxfxfxgfJ )(...)()()()(...)()()( )(

10

)(

10

(menurut sifat penjumlahan integral tentu)

][][ gJfJgfJ

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilangan 𝑟 ∈ 𝑅.

b

a

n

n dxxrfxxrfxxrfxrfJ )(

10 )]()[(...)]'()[()]()[(

b

a

n

n dxxrfxxrfxxrfxrfJ )]()[(...)](')[()]()[( )(

10


115

(menurut aturan perkalian konstanta pada turunan)

b

a

n

n dxxfxrxfxrxfxrrfJ )]()([...)](')([)]()([ )(

10

b

a

n

n dxxfxxfxxfxrrfJ )]()([...)](')([)]()([ )(

10

b

a

n

n dxxfxxfxxfxrrfJ )()(...)(')()()( )(

10

(menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu)

][ frJrfJ

Karena memenuhi kedua sifat fungsional linear, maka fungsional

b

a

n

n dxxhxxhxxhxhJ )()(...)(')()()( )(

10 , untuk 𝑕(𝑥)

dalam𝐶𝑛 [𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah


Definisi 3.2.3

Diberikan suatu ruang linear bernorma ℛ, misalkan 𝜑[𝑕] adalah suatu

fungsional yang terdefinisi pada ℛ. Maka 𝜑[𝑕] disebut suatu fungsional linear

kontinu jika :

1. 𝜑 𝑕1 + 𝑕2 = 𝜑 𝑕1 + 𝜑(𝑕2), untuk setiap 𝑕1 ,𝑕2 ∈ ℛ

2. 𝜑 𝛼𝑕 = 𝛼𝜑(𝑕), untuk setiap 𝑕 ∈ ℛ, dan setiap 𝛼 ∈ 𝑅

3. 𝜑(𝑕) kontinu, untuk setiap 𝑕 ∈ ℛ.


116

Kedua lema di bawah ini akan membahas tentang fungsional linear contoh

3.2.8, dan contoh 3.2.9 jika 𝐽 𝑕 lenyap (𝐽 𝑕 = 0) untuk setiap 𝑕(𝑥) anggota

suatu kelas fungsi.

Lema 3.2.1

Jika 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi kontinu pada [𝑎, 𝑏], dan jika

𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 = 0

𝑏

𝑎

untuk setiap fungsi 𝑕(𝑥) ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] sedemikian sehingga 𝑕 𝑎 = 𝑕 𝑏 = 0,

maka 𝛼 𝑥 = 𝑐 untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏], di mana 𝑐 adalah suatu konstanta.

Bukti :

𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 = 0𝑏

𝑎, untuk 𝛼(𝑥) suatu fungsi tertentu yang kontinu pada

[𝑎, 𝑏].

Andaikan 𝑐 adalah suatu konstanta yang didefinisikan sebagai berikut :

b

a

dxcx 0)( , dan andaikan juga bahwa

x

a

dcxh )()( , sehingga

benar bahwa 𝑕(𝑥) berada pada 𝐶1[𝑎, 𝑏] (menurut Teorema Dasar kalkulus

bagian 1) dan memenuhi syarat yaitu 𝑕 𝑎 = 𝑕 𝑏 = 0. Ini karena 𝑕 𝑎 =

0)( a

a

dc , dan 𝑕 𝑏 = 0)( b

a

dc . (dari syarat sebelumnya yaitu

b

a

dxcx 0)( )


117

𝛼 𝑥 − 𝑐 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑏

𝑎

𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥 − 𝑐𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

= 𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

= 𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐 𝑕 𝑏 − 𝑕 𝑎

𝑏

𝑎

= 0 − 𝑐. 0 = 0

Oleh karena itu, 𝛼 𝑥 − 𝑐 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎0.

0])([)('])([ 2 b

a

b

a

dxcxdxxhcx

Oleh karena itu 0])([ 2 cx , sehingga cx )(

Lema 3.2.2

Jika 𝛼(𝑥) dan 𝛽(𝑥) adalah fungsi-fungsi kontinu pada [𝑎, 𝑏], dan jika

𝛼 𝑥 𝑕 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑕′(𝑥) 𝑑𝑥 = 0

𝑏

𝑎

untuk setiap fungsi 𝑕(𝑥) ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] sedemikian sehingga 𝑕 𝑎 = 𝑕 𝑏 = 0,

maka 𝛽(𝑥) terdiferensialkan , dan 𝛽′ 𝑥 = 𝛼(𝑥) untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].


118

Bukti :

Tetapkan x

dxA0

)()( , untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

b

a

b

a

dxxxhdxxhx )()()()(

b

a

b

axdxhxAxAxh )()(')()()( (menurut rumus integral parsial)

b

a

b

axdxhxAxA )()(')()(0

b

a

xdxhxA )()(')(

Oleh karena itu,

𝛼 𝑥 𝑕 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑕′(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝐴 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 = 0

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Menurut lema 3.2.1, akan didapat :

𝛽 𝑥 − 𝐴 𝑥 = 𝑐, dimana 𝑐 adalah konstan.

Karena itu, 𝛽 𝑥 + (−𝑐) = 𝐴 𝑥 .

Oleh karena itu, menurut definisi 𝐴(𝑥) akan didapat :

𝛽 𝑥 + (−𝑐) = x

d0

)(

𝛽′ 𝑥 = 𝛼′ 𝑥 , untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut teorema dasar kalkulus

bagian 1)


119

C. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas

Kali ini, akan dibahas mengenai deferensial dan nilai ekstrim suatu

fungsional

Sebelum memulai pembahasan mengenai nilai ekstrim suatu fungsional,

akan dibahas tentang diferensial suatu fungsional terlebih dahulu. Andaikan

𝐽[𝑦] adalah suatu fungsional yang terdefinisi pada ruang linear bernorma, dan

andaikan ∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦] adalah inkremen-nya. Jika 𝑦 tertentu, ∆𝐽[𝑕]

adalah suatu fungsional dari 𝑕. Misalkan ∆𝐽 𝑕 = 𝜑 𝑕 + 휀 𝑕 , di mana 𝜑[𝑕]

adalah suatu fungsional linear, dan 휀 → 0 dan 𝑕 → 0, maka fungsional 𝐽[𝑦]

dikatakan dapat terdiferensialkan. Fungsional linear 𝜑[𝑕] tersebut mempunyai

selisih dari ∆𝐽[𝑕], yaitu suku-suku yang mempunyai orde lebih dari 1

(fungsional yang tidak linear), yang nilainya sangat kecil relatif terhadap 𝑕 .

Fungsional linear 𝜑[𝑕] tadi disebut sebagai diferensial dari 𝐽[𝑕] (karena 𝑦

sudah dianggap tertentu) dan dinotasikan dengan 𝛿𝐽[𝑕]. Kemudian, untuk

diferensial dari 𝐽[𝑦] (𝑦 tidak dibuat tertentu) adalah fungsional linear dengan

dua argumen 𝑦 dan 𝑕 yaitu 𝛿𝐽[𝑦;𝑕].

Kali ini, akan dimulai pembahasan tentang nilai ekstrim dari suatu

fungsional. Untuk fungsi dengan 𝑛-variabel, misalnya saja 𝐹(𝑥1,… , 𝑥𝑛). Maka

𝐹(𝑥1,… , 𝑥𝑛) dikatakan memiliki ekstrimum relatif pada titik (𝑥 1,… , 𝑥 𝑛)

apabila ∆𝐹 = 𝐹 𝑥1,… , 𝑥𝑛 − 𝐹(𝑥 1,… , 𝑥 𝑛) memiliki tanda (positif atau

negatif) yang sama untuk setiap titik (𝑥1,… , 𝑥𝑛) yang termasuk dalam suatu


120

persekitaran dari (𝑥 1,… , 𝑥 𝑛). Nilai ekstrim, yakni 𝐹(𝑥 1,… , 𝑥 𝑛) adalah suatu

nilai minimum apabila ∆𝐹 ≥ 0 dan suatu maksimum apabila ∆𝐹 ≤ 0.

Untuk fungsional, dikatakan bahwa suatu fungsional 𝐽[𝑦] memiliki

ekstrimum relatif untuk 𝑦 = 𝑦 jika 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] memiliki tanda yang sama

(positif atau negatif) untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-휀 dari 𝑦 (𝑥); yakni

𝑦 − 𝑦 < 휀.

Karena suatu fungsi bisa berada pada 𝐶0[𝑎, 𝑏] atau di 𝐶1[𝑎, 𝑏] (ini karena

𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶0[𝑎, 𝑏]), maka kali ini akan dibahas tentang bagaimana norma

untuk fungsi tersebut.

Diketahui dari penjelasan di depan tentang kelas-kelas fungsi bahwa

pada kelas 𝐶0[𝑎, 𝑏] suatu norma didefinisikan sebagai berikut :

𝑦 0 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦(𝑥) . Sedangkan untuk kelas 𝐶1[𝑎, 𝑏] suatu norma

didefinisikan sebagai berikut : 𝑦 1 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦′(𝑥) .

Oleh karena itu, akan didapat bahwa 𝑦 − 𝑦 1 < 휀 → 𝑦 − 𝑦 0 < 휀

Dikatakan bahwa 1 adalah suatu norma lemah dan 0 adalah norma

kuat.

Definisi 3.2.4

Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0[𝑎, 𝑏] atau ketika

𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏], mempunyai suatu ekstrimum lemah

pada 𝑦 jika terdapat 휀 > 0, sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] memiliki tanda

yang sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-휀 dari 𝑦 (𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 1 <

휀.


121

Definisi 3.2.5

Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0[𝑎, 𝑏] atau ketika

𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏], mempunyai suatu ekstrimum kuat pada

𝑦 jika terdapat 휀 > 0, sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] memiliki tanda yang

sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-휀 dari 𝑦 (𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 0 < 휀.

Dari kedua definisi di atas, maka dapat dilihat bahwa suatu ekstrimum

kuat juga merupakan suatu ekstrimum lemah. Namun, suatu ekstrimum lemah

belum tentu merupakan suatu ekstrimum kuat.

Nilai ekstrim kuat pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang

lebih besar (luas) atau dengan kata lain, ketika diambil definisi persekitaran

dari 𝑦 pada ruang yang lebih besar. Nilai ekstrim lemah pada fungsional

adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil (sempit) atau dengan kata

lain, ketika diambil definisi persekitaran dari 𝑦 pada ruang yang lebih kecil.

Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian sejati dari ruang yang

lebih besar. (𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶0[𝑎, 𝑏]) (untuk 𝑘 > 1)

Teorema 3.2.1

Syarat perlu untuk suatu fungsional yang terdiferensialkan 𝐽[𝑦] agar mencapai

titik ekstrim relatif untuk 𝑦 = 𝑦 adalah bahwa diferensial untuk 𝑦 = 𝑦 sama

dengan 0; yakni

𝛿𝐽 𝑕 = 0


122

untuk 𝑦 = 𝑦 .

Bukti :

Pertama-tama akan dibuktikan untuk nilai maksimum terlebih dahulu.

Andaikan 𝐽[𝑦] mempunyai nilai maksimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 sehingga

∆𝐽 = 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] ≤ 0, untuk 𝑦 pada persekitaran dari 𝑦 .

Menurut pengertian dari diferensial suatu fungsional di 𝑦 , didapat

∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦 ] sebagai suatu inkremen.

∆𝐽 𝑕 = 𝛿𝐽 𝑕 + 휀 𝑕 , di mana 휀 → 0 dan 𝑕 → 0.

Karena 𝐽[𝑦] mempunyai nilai maksimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 maka

∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦 ] ≤ 0

Misalkan 𝛿𝐽 𝑕 ≠ 0, untuk 𝑦 = 𝑦 .

Ambil sembarang 𝑕0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽 sehingga

𝛿𝐽 𝑕0 ≠ 0.

Oleh karena itu, 𝛿𝐽 𝑕0 < 0 atau 𝛿𝐽 𝑕0 > 0.

Ambil 𝛿𝐽 𝑕0 > 0 sehingga ∆𝐽 𝑕0 = 𝛿𝐽 𝑕0 + 휀 𝑕0 > 0.

Karena diambil sembarang 𝑕0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽, maka

dapat dituliskan ∆𝐽 𝑕 > 0.

Padahal ∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦 ] ≤ 0.

Terjadi kontradiksi sehingga pemisalan 𝛿𝐽 𝑕 ≠ 0 adalah salah.

Oleh karena itu, 𝛿𝐽 𝑕 = 0.

Kemudian, akan dibuktikan untuk nilai minimum.


123

Andaikan 𝐽[𝑦] mempunyai nilai minimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 sehingga

∆𝐽 = 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] ≥ 0, untuk 𝑦 pada persekitaran dari 𝑦 .

Menurut pengertian dari diferensial suatu fungsional di 𝑦 , didapat

∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦 ] sebagai suatu inkremen.

∆𝐽 𝑕 = 𝛿𝐽 𝑕 + 휀 𝑕 , di mana 휀 → 0 dan 𝑕 → 0.

Karena 𝐽[𝑦] mempunyai nilai minimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 maka

∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦 ] ≥ 0

Misalkan 𝛿𝐽 𝑕 ≠ 0, untuk 𝑦 = 𝑦 .

Ambil sembarang 𝑕0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽 sehingga

𝛿𝐽 𝑕0 ≠ 0.

OLeh karena itu, 𝛿𝐽 𝑕0 < 0 atau 𝛿𝐽 𝑕0 > 0

Ambil 𝛿𝐽 𝑕0 < 0 sehingga ada kemungkinan bahwa ∆𝐽 𝑕0 = 𝛿𝐽 𝑕0 +

휀 𝑕0 < 0. (karena 휀 𝑕0 sangat kecil mendekati 0 )

Karena diambil sembarang 𝑕0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽, maka

dapat dituliskan ∆𝐽 𝑕 < 0.

Padahal ∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦 ] ≥ 0.

Terjadi kontradiksi sehingga pemisalan 𝛿𝐽 𝑕 ≠ 0 adalah salah.

Oleh karena itu, 𝛿𝐽 𝑕 = 0.


124

BAB IV

PERSAMAAN EULER

Persamaan Euler merupakan syarat perlu tercapainya titik ekstrim suatu

fungsional tertentu; yakni fungsional yang berberntuk 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥,𝑦,𝑦′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎 .

Jika suatu fungsional tersebut mencapai titik ekstrim pada suatu fungsi maka

fungsi itu akan memenuhi persamaan Euler.

Andaikan 𝐹(𝑥,𝑦, 𝑧) adalah suatu fungsi dengan derivatif parsial pertama

dan kedua-nya kontinu. Kemudian, di antara semua fungsi 𝑦(𝑥) yang termasuk

dalam 𝐶1[𝑎, 𝑏] dan memenuhi syarat batas yaitu 𝑦 𝑎 = 𝐴, 𝑦 𝑏 = 𝐵 (nilainya

tertentu di titik-titik ujung), akan ditemukan suatu fungsi, apabila fungsional

𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥, 𝑦,𝑦′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎 memiliki suatu ekstrimum lemah.

Berikut ini adalah kurva-kurva yang memungkinkan untuk fungsi 𝑦(𝑥).

Gambar 4.1


125

Suatu fungsi yang membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi suatu

persamaaan diferensial. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler.

Teorema 4.1.1

Andaikan 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsional dalam bentuk 𝐹 𝑥,𝑦, 𝑦′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎, yang

terdefinisi untuk untuk semua fungsi 𝑦(𝑥) ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] dan memenuhi syarat batas

yaitu 𝑦 𝑎 = 𝐴, 𝑦 𝑏 = 𝐵. Maka syarat perlu agar 𝐽 𝑦 memiliki suatu ekstrimum

pada fungsi 𝑦 = 𝑦 (𝑥) yaitu bahwa 𝑦 (𝑥) memenuhi persamaan Euler berikut ini

𝜕𝐹

𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −

𝑑

𝑑𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0.

Bukti :

Fungsional 𝐽[𝑦] terdefinisi pada domainnya yaitu 𝐷 = { 𝑦 𝑥 ∈ 𝐶1 𝑦 𝑎 =

𝐴,𝑦 𝑏 = 𝐵}.

Andaikan 𝑦(𝑥) diberikan suatu inkremen ℎ(𝑥), sehingga agar fungsi (𝑦 𝑥 +

ℎ 𝑥 ) tetap memenuhi syarat batas, maka harus dibuat ℎ 𝑎 = ℎ 𝑏 = 0.

𝐽 𝑦 memiliki suatu ekstrimum pada fungsi 𝑦 = 𝑦 (𝑥).

Pertama-tama cari 𝛿𝐽 untuk 𝑦 = 𝑦 (𝑥) terlebih dahulu.

∆𝐽 = 𝐽 𝑦 + ℎ − 𝐽 𝑦 = 𝐹 𝑥, (𝑦 + ℎ), (𝑦 ′ + ℎ′) 𝑑𝑥 − 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

= 𝐹 𝑥, (𝑦 + ℎ), (𝑦 ′ + ℎ′) − 𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Deret Taylor dari fungsi 𝐹(𝛼,𝛽, 𝛾) di sekitar (𝛼0,𝛽0, 𝛾0), yaitu


126

𝐹 𝛼,𝛽, 𝛾 = 𝐹 𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0

+ 𝛼 − 𝛼0 𝜕

𝜕𝛼𝐹 𝛼0 ,𝛽0 , 𝛾0 + 𝛽 − 𝛽0

𝜕

𝜕𝛽𝐹 𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0

+ 𝛾 − 𝛾0 𝜕

𝜕𝛾𝐹(𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0)

+1

2! 𝛼 − 𝛼0

𝜕

𝜕𝛼𝐹 𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0 + 𝛽 − 𝛽0

𝜕

𝜕𝛽𝐹 𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0

+ 𝛾 − 𝛾0 𝜕

𝜕𝛾𝐹(𝛼0 ,𝛽0 ,𝛾0)

2

+⋯

(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial kedua)

Deret Taylor dari fungsi 𝐹(𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ) di sekitar (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) adalah

sebagai berikut :

𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

= 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

+ 𝑥 − 𝑥 𝜕

𝜕𝑥𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + 𝑦 + ℎ − 𝑦

𝜕

𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

+ 𝑦 ′ + ℎ′ − 𝑦 ′ 𝜕

𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

+1

2! 𝑥 − 𝑥

𝜕

𝜕𝑥𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + 𝑦 + ℎ − 𝑦

𝜕

𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

+ 𝑦 ′ + ℎ′ − 𝑦 ′ 𝜕

𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

2

+⋯


127

𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

= 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

+ ℎ𝜕

𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′

𝜕

𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

+1

2! ℎ

𝜕

𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′

𝜕

𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

2

+⋯

(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial kedua)

𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

= 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

+ ℎ𝜕

𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′

𝜕

𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

+1

2! ℎ

𝜕

𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′

𝜕

𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

2

+⋯

𝑇1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

= 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

+ ℎ𝜕

𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′

𝜕

𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

(polinom taylor berderajat 1 dari 𝐹)

Oleh karena itu,


128

𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ = 𝑇1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ + 𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

Dengan 𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ adalah suku sisa dari deret Taylor; yakni :

𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

=1

2! ℎ

𝜕

𝜕 𝑦 + ℎ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ + ℎ′

𝜕

𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′

2

+⋯

Menurut ketaksamaan taylor untuk 𝐹 fungsi dengan 3 variabel akan didapat :

𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ≤𝑀

2!( 𝑦 + ℎ − 𝑦 + 𝑦 ′ + ℎ′ − 𝑦 ′ )2

𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ≤𝑀

2!( ℎ + ℎ′ )2

Sekarang, hitung ∆𝐽 dengan mengaplikasikan deret Taylor dari fungsi

𝐹(𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ) di sekitar (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′)


∆𝐽 = 𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ − 𝐹 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

∆𝐽 = ℎ𝜕

𝜕(𝑦 + ℎ)𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) + ℎ′

𝜕

𝜕(𝑦 ′ + ℎ′)𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′)

𝑏

𝑎

+1

2! ℎ

𝜕

𝜕(𝑦 + ℎ)𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) + ℎ′

𝜕

𝜕(𝑦 ′ + ℎ′)𝐹(𝑥, 𝑦 ,𝑦 ′)

2

+⋯ 𝑑𝑥


129

∆𝐽 = ℎ𝜕

𝜕(𝑦 + ℎ)𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) + ℎ′

𝜕

𝜕(𝑦 ′ + ℎ′)𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

+1

2! ℎ

𝜕

𝜕(𝑦 + ℎ)𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′)

𝑏

𝑎

+ ℎ′𝜕

𝜕(𝑦 ′ + ℎ′)𝐹(𝑥, 𝑦 ,𝑦 ′)

2

𝑑𝑥 +⋯

Padahal 𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ≤𝑀

2!( ℎ + ℎ′ )2.

Oleh karena itu, untuk ℎ ∈ 𝐷 sedemikian sehingga ℎ → 0,

suku-suku yang mempunyai orde lebih dari 1 nilainya sangat kecil relatif

terhadap ℎ .

(𝑦 + ℎ) dan (𝑦 ′ + ℎ′) adalah variabel bebas - variabel bebas dalam fungsional

ℎ𝜕

𝜕(𝑦 +ℎ)𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) + ℎ′

𝜕

𝜕(𝑦 ′+ℎ ′ )𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎, sehingga dapat dituliskan

𝑦 + ℎ = 𝑦 dan (𝑦 ′+ ℎ′) = 𝑦′. Oleh karena itu fungsional tersebut menjadi

ℎ𝜕

𝜕𝑦𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) + ℎ′

𝜕

𝜕𝑦 ′𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎. Fungsional ℎ

𝜕

𝜕𝑦𝐹 (𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) +

𝑏

𝑎

ℎ′𝜕

𝜕𝑦 ′𝐹(𝑥,𝑦 ,𝑦 ′) 𝑑𝑥 adalah fungsional linear.

Oleh karena itu diferensial dari 𝐽[𝑦] untuk 𝑦 = 𝑦 (𝑥) adalah.

𝛿𝐽 = 𝜕𝐹

𝜕𝑦

𝑏

𝑎

𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ ℎ +𝜕𝐹

𝜕𝑦′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ ℎ′ 𝑑𝑥

Menurut teorema 3.2.1 bahwa syarat perlu agar 𝐽[𝑦] memiliki suatu ekstrimum

pada 𝑦 = 𝑦(𝑥) adalah


130

𝛿𝐽 = 𝜕𝐹

𝜕𝑦

𝑏

𝑎

𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ ℎ +𝜕𝐹

𝜕𝑦′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ ℎ′ 𝑑𝑥 = 0

Menurut lema 3.2.2, didapat :

𝜕𝐹

𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −

𝑑

𝑑𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0

Contoh 4.1.1

Andaikan 𝐷 = 𝑦 ∈ 𝐶1 0,1 | 𝑦 0 = 0,𝑦 1 = 1 . Diberikan suatu fungsi

𝐼:𝐷 → 𝑅, dengan bentuk 𝐼[𝑦] = 𝑦′ 𝑥 − 1 21

0𝑑𝑥.

Akan ditunjukkan bahwa 𝑦 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ∈ [0,1], dengan 𝑦 ∈ 𝐷 akan membuat 𝐼[𝑦]

mencapai nilai minimum.

Andaikan 𝐹 𝑥,𝑦, 𝑦′ = 𝑦′ − 1 2, sehingga

𝜕𝐹

𝜕𝑦= 0 dan

𝜕𝐹

𝜕𝑦 ′= 2(𝑦′ − 1)

Sekarang, persamaan Euler-nya menjadi

𝜕𝐹

𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −

𝑑

𝑑𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0 −

𝑑

𝑑𝑥 2 𝑦 ′ − 1 = 0, sehingga

𝑑

𝑑𝑥 2 𝑦 ′(𝑥) − 1 = 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1]

Solusi persamaan diferensial di atas dapat dicari dengan mengintegralkan kedua

ruas.

𝑑

𝑑𝑥 2 𝑦 ′ − 1 = 0, sehingga

𝑑

𝑑𝑥 2 𝑦 ′ − 1 𝑑𝑥 = 0𝑑𝑥


131

2 𝑦 ′(𝑥) − 1 = 𝑐, dengan 𝑐 konstan

𝑦 ′ 𝑥 − 1 =𝑐

2

𝑦 ′ 𝑥 =𝑐

2+ 1

Andaikan 𝑐

2+ 1 = 𝐴 , sehingga

𝑦 ′ 𝑥 = 𝐴

𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴𝑑𝑥

𝑦 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵, di mana 𝐴 dan 𝐵 adalah konstan

𝑦 ∈ 𝐷, sehingga 𝑦 memenuhi syarat batas yaitu : 𝑦 0 = 0, dan 𝑦 1 = 1

Oleh karena itu didapat :

𝐴(0) + 𝐵 = 0, dan

𝐴(1) + 𝐵 = 1

didapat : 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 0

Oleh karena itu, solusi dari persamaan Euler tersebut adalah 𝑦 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ∈ [0,1]

𝑦′ − 1 2 ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1], sehingga

𝐼 𝑦 = 𝑦′ 𝑥 − 1 21

0𝑑𝑥 ≥ 0, untuk semua 𝑦 ∈ 𝐶1[0,1] (menurut sifat

pembandingan integral tentu).

𝐼[𝑦 ] = 𝑦 ′ 𝑥 − 1 2

1

0

𝑑𝑥

= 1− 1 21

0𝑑𝑥

= 01

0𝑑𝑥


132

= 𝑐 − 𝑐 = 0

Karena ∆𝐼[𝑦] ≥ 0, untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐷, maka 𝐼[𝑦] akan mencapai minimum

mutlak (minimum global) di 𝑦 𝑥 = 𝑥.

Contoh 4.1.2

Andaikan 𝐷 = 𝑦 ∈ 𝐶1 0,2 | 𝑦 0 = 1,𝑦 2 = 5 . Diberikan suatu fungsi

𝐽:𝐷 → 𝑅, dengan bentuk 𝐽[𝑦] = − 𝑦′ 𝑥 − 2 22

0𝑑𝑥.

Akan ditunjukkan bahwa 𝑦 𝑥 = 2𝑥 + 1, 𝑥 ∈ [0,2], dengan 𝑦 ∈ 𝐷 akan membuat

𝐽[𝑦] mencapai nilai maksimum.

Andaikan 𝐹 𝑥,𝑦, 𝑦′ = − 𝑦′ − 2 2, sehingga

𝜕𝐹

𝜕𝑦= 0 dan

𝜕𝐹

𝜕𝑦 ′= −2(𝑦′ − 2)

Sekarang, persamaan Euler-nya menjadi

𝜕𝐹

𝜕𝑦 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ −

𝑑

𝑑𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0 −

𝑑

𝑑𝑥 −2 𝑦 ′ − 2 = 0, sehingga

𝑑

𝑑𝑥 −2 𝑦 ′(𝑥) − 2 = 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,2]

Solusi persamaan diferensial di atas dapat dicari dengan mengintegralkan kedua

ruas.

𝑑

𝑑𝑥 −2 𝑦 ′ − 2 = 0, sehingga

𝑑

𝑑𝑥 −2 𝑦 ′ − 2 𝑑𝑥 = 0𝑑𝑥

−2 𝑦 ′(𝑥)− 2 = 𝑐, dengan 𝑐 konstan


133

𝑦 ′ 𝑥 − 2 = −𝑐

2

𝑦 ′ 𝑥 = −𝑐

2+ 2

Andaikan −𝑐

2+ 2 = 𝐴 , sehingga

𝑦 ′ 𝑥 = 𝐴

𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴𝑑𝑥

𝑦 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵, di mana 𝐴 dan 𝐵 adalah konstan

𝑦 ∈ 𝐷, sehingga 𝑦 memenuhi syarat batas yaitu : 𝑦 0 = 1, dan 𝑦 2 = 5

Oleh karena itu didapat :

𝐴(0) + 𝐵 = 1, dan

𝐴(2) + 𝐵 = 5

didapat : 𝐴 = 2 dan 𝐵 = 1

Oleh karena itu, solusi dari persamaan Euler tersebut adalah 𝑦 𝑥 = 2𝑥 + 1,

𝑥 ∈ [0,2]

𝑦′ − 2 2 ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,2], sehingga

𝑦′ 𝑥 − 2 22

0𝑑𝑥 ≥ 0, untuk semua 𝑦 ∈ 𝐶1[0,2] (menurut sifat pembandingan

integral tentu).

𝐽 𝑦 = − 𝑦′(𝑥)− 2 22

0𝑑𝑥 = − 𝑦′ 𝑥 − 2 22

0𝑑𝑥

Oleh karena itu, 𝐽 𝑦 = − 𝑦′(𝑥) − 2 22

0𝑑𝑥 ≤ 0 , untuk semua 𝑦 ∈ 𝐶1[0,2].

𝐽[𝑦 ] = − 𝑦 ′ 𝑥 − 2 2

1

0

𝑑𝑥


134

= 2− 2 21

0𝑑𝑥

= 01

0𝑑𝑥

= 𝑐 − 𝑐 = 0

Karena ∆𝐽[𝑦] ≤ 0, untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐷, maka 𝐽[𝑦] akan mencapai maksimum

mutlak di 𝑦 𝑥 = 2𝑥 + 1.


135

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan, didapat kesimpulan sebagai berikut:

1. Suatu fungsional 𝐽[𝑦] memiliki ekstremum relatif untuk 𝑦 = 𝑦 jika

𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] memiliki tanda yang sama (positif atau negatif) untuk setiap 𝑦

dalam persekitaran-휀 dari 𝑦 (𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 < 휀.

Nilai ekstrim kuat pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang

yang lebih besar (luas) atau dengan kata lain, ketika diambil definisi

persekitaran dari 𝑦 pada ruang yang lebih besar. Nilai ekstrim lemah pada

fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil (sempit) atau

dengan kata lain, ketika diambil definisi persekitaran dari 𝑦 pada ruang

yang lebih kecil. Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian

sejati dari ruang yang lebih besar. (𝐶𝑘[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶1[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶0[𝑎, 𝑏]) (untuk

𝑘 > 1)

Misal, suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota

𝐶0[𝑎, 𝑏] atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏].

Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota

𝐶0[𝑎, 𝑏] atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏], mempunyai

suatu ekstrimum lemah pada 𝑦 jika terdapat 휀 > 0, sedemikian sehingga

𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦 ] memiliki tanda yang sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-휀

dari 𝑦 (𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 1 < 휀.


136

Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0[𝑎, 𝑏]

atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1[𝑎, 𝑏], mempunyai suatu

ekstrimum kuat pada 𝑦 jika terdapat 휀 > 0, sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 −

𝐽[𝑦 ] memiliki tanda yang sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-휀 dari

𝑦 (𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 0 < 휀.

Berikut teorema mengenai nilai ekstrim suatu fungsional :

Syarat perlu untuk suatu fungsional yang terdiferensialkan 𝐽[𝑦] agar

mencapai titik ekstrim relatif untuk 𝑦 = 𝑦 adalah bahwa diferensial untuk

𝑦 = 𝑦 sama dengan 0; yakni

𝛿𝐽 ℎ = 0

untuk 𝑦 = 𝑦 .

Pembuktiannya dibagi dua bagian yang pertama yaitu untuk nilai

maksimum kemudian yang kedua untuk nilai minimum. Keduanya

memakai metode kontradiksi.

2. Persamaan Euler merupakan syarat perlu tercapainya titik ekstrim suatu

fungsional tertentu; yakni fungsional yang berberntuk 𝐽 𝑦 =

𝐹 𝑥, 𝑦,𝑦′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎 . Jika suatu fungsional tersebut mencapai titik ekstrim

pada suatu fungsi maka fungsi itu akan memenuhi persamaan Euler.


137

3. Berikut bunyi teorema tentang persamaan Euler :

Andaikan 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsional dalam bentuk

𝐹 𝑥,𝑦,𝑦′ 𝑑𝑥𝑏

𝑎, yang terdefinisi untuk untuk semua fungsi 𝑦(𝑥) ∈

𝐶1[𝑎, 𝑏] dan memenuhi syarat batas yaitu 𝑦 𝑎 = 𝐴, 𝑦 𝑏 = 𝐵. Maka

syarat perlu agar 𝐽 𝑦 memiliki suatu ekstrimum pada fungsi 𝑦 = 𝑦 (𝑥)

yaitu bahwa 𝑦 (𝑥) memenuhi persamaan Euler berikut ini

𝜕𝐹

𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 ,𝑦 ′ −

𝑑

𝑑𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑦 ′ 𝑥,𝑦 ,𝑦 ′ = 0.

Pembuktiannya, pertama dekati fungsi 𝐹 𝑥,𝑦,𝑦′ dengan deret

Taylor. Kemuadian cari diferensial dari fungsional 𝐽[𝑦]. Dengan

ketaksamaan Taylor, akan ditemukan fungsional linear 𝛿𝐽 sebagai

diferensialnya. Dengan menggunakan teorema tentang nilai ekstrim fungsi;

𝛿𝐽 = 0, akan ditemukan bentuk persamaan diferensial yang disebut

persamaan Euler.

B. Saran

Saran untuk penelitian lebih lanjut yaitu tentang bagaimana persamaan

Euler untuk fungsional dengan variabel bebas yaitu fungsi-fungsi beberapa

variabel.


138

DAFTAR PUSTAKA

Gelfand, I,M. dan S.V. Fomin. 1963. Calculus of Variations. New Jersey :

Prentice-Hall, Inc.

Stewart, James. 2001. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 1. Jakarta : Erlangga.

Stewart, James. 2003. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 2. Jakarta : Erlangga.

Razali, Muhammad, Mahmud N. Siregar, dan Faridawaty Marpaung. 2010.

Kalkulus Diferensial. Bogor : Ghalia Indonesia.

Morgan, Frank. 2005. Real Analysis and Applications. USA : American

Mathematical Society.

Bartle, Robert G. dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis

Third Edition. New York : John Wiley & Sons, Inc.

Waluya, S.B. 2006. Persamaan Diferensial. Yogyakarta : Graha Ilmu.

Nugroho, Didit Budi.2001. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya.

Yogyakarta : Graha Ilmu.

Khuri, Andre I. Advanced Calculus with Applications in Statistics Second Edition.

USA : Wiley-Interscience.

Gozali, Sumanang Muhtar. 2010. Pengantar Analisis Fungsional. Bandung :

Universitas Pendidikan Indonesia.

Folland, G.B. . Higher-Order Derivatives and Taylor's Formula in

Several Variables. .

http://mathsci.kaist.ac.kr/~nipl/am621/lecturenotes/Euler-Lagrange_equation.pdf


plagiat merupakan tindakan tidak terpujirepository.usd.ac.id/4835/2/081414069_full.pdf · 2016. 5....

Documents