TUGAS MATEMATIKA KIMIA

Persamaan Differensial dan Matriks

Disusun Oleh :

Linda Wirianty (113194013)

Diah Jati Kusuma (113194221)

JURUSAN KIMIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2012

PERSAMAAN DIFERENSIAL

1. dy + ex = 0

dx

2. dy + sinx dx = 0

y

3. d2y + cosx = 0

dx2

4. d2y + hE y = 0

dx2 2m

PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN VARIABEL TERPISAH

Example :

= f1 (x) . g2 (y) dx + f2 (x) . g1 (y) dy =0

dikali 1

g2 (g) . f2 (x)

= f1 (x) dx + g1 (y) dy = 0

f2 (x) g2 (y)

= f1 (x) dx + g1 (y) dy = 0

f2 (x) g2 (y)

= f (x) + g (y) = 0

1. x3dx + ( y + 1 )2 dy = 0 x3dx + ( y + 1 )2 dy = 0

x4 + 1/3 ( y + 1 )3 = c

3x4 + 4 ( y + 1 )3 = c . Diturunkan

12x3 + 12 ( y + 1 )2 . Dibagi 12

Jawaban seperti soal

2. dx + dy = 0

sin5y ( 1 + sinx )

jawab :

( 1 + sinx )dx + sin5ydy = 0

( 1 + sinx )dx + sin5ydy = 0

( 1 + sinx )dx + (sin2y)2sinydy = c

x cos x + ( 1 cos2y )2d cos y = c

x cos x + ( 1 2cos2y + cos4y )2d cos y = c

x cos x + cos y 2/3 cos3y + 1/5 cos

5y = c

PERSAMAAN DIFERENSIAL Tk i HOMOGEN

contoh :

1. f ( x,y ) = x4 x

3y

= (x)4 (x)

3(y)

= (x)4

4(x

3y)

= 4

( x4 x

3y )

2. (x2 + y

2 ) dx = 2xydy dibagi x

( 1 + (y/x)2

) dx = 2 y dy

x

Dibagi x2

Misal :

y = Ux x = Uy

f (x,y) f ( x, y ) f (x,y )

U = y

x

dy = Udx + xdU

( 1 + U2 ) dx = 2U ( Udx + XdU )

( 1 + U2 ) dx = 2U2dx + 2UxdU

( 1 + U2 ) dx - 2U2dx = 2UxdU

( 1 + U2 - 2U2 ) dx = 2UxdU

( 1 - U2 ) dx = 2UxdU

dx = 2U dU

x ( 1 - U2 )

dx - 2U dU = 0

x ( 1 - U2 )

ln x + ln ( 1 - U2 ) = ln c

ln x ( 1 - U2 ) = ln c

x ( 1 - U2 ) = c

x ( 1 (y/x)2 ) = c .. dikali x2

x ( x2 y2 ) = cx2

x ( x2 y2 ) = cx2

( x2 y2 ) = cx

1. dy + p ( x ) y = Q (x) dx

missal :

y.e p (x) dx konstan

d y.e p (x) dx = y . p (x) e p (x) dx + e p (x) dx dy

dx dx

= e p (x) dx ( yp (x) + dy / dx )

= e p (x) dx (dy / dx + p (x)y )

= e p (x) dx . Q (x)

d y . e p (x) dx = Q (x) e p (x) dx

dx

dy . e p (x) dx = Q (x) e p (x) dx dx

dy . e p (x) dx = Q (x) e p (x) dx dx + c

2. dy - y = e 2x dx

jawab :

y . e -1 . dx = e 2x . e -1 . dx dx + c

y . e -dx = e 2x . e - dx dx + c

y . e -x = e 2x . e - x dx + c

y . e -x = e 2x - x dx + c

y . e -x = e x dx + c

y . e -x = e x + c

y = e x ( e x + c )

y = e 2x + c e x

pembuktian :

y = e 2x + c e x

dy = 2 e 2x + cex

dx

2 e 2x + cex - (e 2x + c e x ) = e 2x

2 e 2x + cex - e 2x - ce x = e 2x

e 2x = e 2x

y.e p (x) dx = Q (x) . e p (x) dx dx + c

*******

dy + p ( x ) y = Q (x)

dx

dy + p ( x ) y = Q (x) yn

dx

+ p ( x ) y ( -n + 1 ) = Q (x) misal : U = y ( -n + 1 )

= ( -n + 1 ) yn

1 dU = yn dy

( -n + 1 ) dx dx

1 dU + p ( x ) y = Q (x)

( -n + 1 ) dx

Jadi rumus yang didapat seperti pada kotak di bawah ini :

Contoh :

1.

- - - y = xy5

y.e p (x) dx = Q (x) . e p (x) dx dx + c

Supaya rumusnya menjadi

dy + p (x) y = Q (x) maka dibagi yn

dx

y-n dy

dx dy

dx

dy

dx

du + ( -n + 1 ) px U = ( -n + 1 ) Q (x)

dx

dy

dx

y -5 dy y -4 = x

dx

- du U = x dibagi 4

dx

du + 4U = -4x

dx

U . e 4 dx = -4x e 4 dx dx + c

U . e 4 x = - 4x e 4 x dx + c

U . e 4 x = - 4 x e 4 x dx + c

= - x d . e 4x + c

= - [ x e 4 x - x e 4 x dx ] + c

= - [ x e 4 x - x e 4 x ] + c

U . e 4 x = - x e 4 x + x e 4 x + c .... dibagi e 4 x

U = - x + x + c e - 4 x

Pembuktian

y -4 = - x + x + c e - 4 x

- 4 y -5 dy = -1 4ce - 4 x ... dibagi - 4

dx

y -5 dy = + ce - 4 x

dx

+ ce - 4 x - ( - x + + ce - 4 x ) = x

- ( - x ) = x

x = x

e 4 x dx

d . eUx = U . e Ux dx

d . e 4x = 4. e 4x dx

Persamaan Differensial Eksaks

Apabila terdapat persamaan sebagai berikut:

M (x,y)dx + N (x,y) dy = 0

Dimana

=

(1)

Apabila persyaratan tersebut terpenuhi, maka persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan

persamaan differensial eksaks

a. Penerapan persamaan Differensial eksaks dalam ilmu kimia yaitu dalam memperoleh rumus

P.V=n .R .T

M N

untuk mngetahui apakah bisa diselesaikan dengan persamaan eksaks atau tidak maka Nilai M dan

N harus diturunkan terlebih dahulu, sebagai berikut:

M (T,V) =

N (T,V) =

= n R = - n R T

= - n R

= - n R

=

=

Sehingga

=

M ( T, V) =

=

dF =

dT untuk mendapatkan F (T,V) maka diintegralkan

=

F (T, V) =

=

(2)

Untuk mendapatkan nilai h (V) maka kita masukkan nilai turunan F terhadap nilai N

0 =

d h(V) = 0 dv

h (V) =0

Masukkan nilai h (V) ke persamaan 2, sehingga diperoleh:

F (T, V) =

F (T, V) =

Atau lebih dikenal dengan

P (T, V) =

P V = n R T

b. Persamaan Differensial Eksak pada Termodinamika

Seperti yang telah kita ketahui, beberapa rumus umum dalam termodinamika antara lain:

U = Q W

H = U + P V

A = U T S

G = H T S

Turunan dari masing- masing persamaan sebagai berikut:

U = Q W

dU = dQ dW

diketahui bahwa

,dan

dW = P dV , sehingga

dU = T ds P dV (3)

H = U + P V

dH = dU + d(P V) ingat! rumus perkalian pada turunan d(uv) = uv + u v

= dU + P dV + V dU masukkan persamaan dU diatas, sehingga

dH = T ds P dV + P dV + V dP

dH = T ds + V dP (4)

A = U T S

dA = dU d(T S)

dA = d U T dS S dT

= T ds P dV T dS S dt

dA = P dV S dT (5)

G = H T S

dG =d H d(T S) masukkan persamaan dH diatas sehingga,

= T ds + V dP T dS S dT

dG = V dP S dT (6)

Turunan-turunan diatas dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagai berikut:

1. dU = T ds P dV

U (S, V); dU = (

) + (

)

2. dH = T ds + V dP

H (S, P); dH = (

) + (

)

3. dA = P dV S dT

A (V, T); dA = (

) + (

)

4. dG = V dP S dT

G (P, T); dA = (

) + (

)

Hubungan Maxwell

1. dU = T ds P dV

(

) (

)

2. dH = T ds + V dP

(

) (

)

3. dA = P dV S dT

(

) (

)

4. dG = V dP S dT

(

) (

)

Persamaan Differensial Tidak Eksaks

Disebut persamaan differensial tidak eksaks apabila :

(

) - (

) 0

Agar dapat menjadi persamaan differensial eksaks, maka perlu terlebih dahulu menentukan faktor

integral. Faktor integral terdiri dari 2 macam :

1. (

) (

)

faktor integral fi =

2. (

) (

)

faktor integral fi =

Contoh soal :

(x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0

M (x,y) = x2 + y2 + x ; N (x,y) = x y

Persamaan differensial tidak eksak, sehingga perlu mencari factor integral

(

) (

)

karena mengandung x, maka

menggunakan persamaan pertama

fakor integral :

Factor integral : fi =

= (

)

=

= x

Untuk memperoleh persamaan differensial eksaks maka nilai dari factor integral dikali dengan

persamaan awal

x [(x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0]

(x3+x y2 + x2)dx + x2y dy = 0

M (x,y) = x3+x y2 + x2 ; N (x,y) = x2y

=

M (x,y) = (

)

x3+x y2 + x2 = (

)

dF = x3+x y2 + x2 dx untuk mendapatkan F (x,y) maka diintegralkan

=

F (x,y) =

Untuk mendapatkan nilai h (y) maka kita masukkan nilai turunan F terhadap nilai N

x2y = x2y

0 =

d h(y) = 0 dy

h (y) =0

nilai h (y) ini kemudian dimasukkan ke persamaan F (x, y) sehingga

F (x,y) =

F (x,y) =

Persamaan Linear Tingkat n

Po

+ P1

+ P2

+ + P(n-1)

+ Pny = G(x)

D= operator

D =

Dy=

Sehingga

Po

+ P1

+ P2

+ + P(n-1)

+ Pny = G(x)

[Po Dn + P1 Dn-1 + P2 D

n-2 + .+ P (n-1) D + P n] y = P (x)

= 0

y = yc + yp

[Po Dn + P1 Dn-1 + P2 D

n-2 + P (n-1) D + P n] = 0

(D m1) (D m2) (D m3) = 0

m1 ; m2 ; m3 ; ..

penyelesaian complementer yc = c1em1x + c2e

m2x + c3em3x + ..

penyelesaian yp [Po Dn + P1 D

n-1 + P2 Dn-2 + .+ P (n-1) D + P n] y = Q (x)

yp =

yp =

misal

= u

(D m1) u = Q (x)

(

)

u .

Sehingga diperoleh nilai dari u, selanjutnya nilai u dimasukkan ke persamaan yp

yp =

misal

= z

Sehingga yp =

Demikian seterusnya hingga semua factor penyebut habis, untuk lebih jelas perhatikan contoh soal

di bawah ini:

+ 2y = ex

Diketahui operator (D) =

, sehingga dapat ditulis :

(D2 3D + 2)y = ex

(D - 2) (D - 1)

m1= 2 m2= 1

penyelesaian complementer yc = c1em1x + c2e

m2x

yc = c1e2x + c2e

x

penyelesaian yp =

yp =

misal = u

u =

u (D - 2) = ex

u . dx

u. e -2x = dx

u. e -2x =

u. e -2x = -e-x

u =

u = - ex

selanjutnya yp =

yp =

misal z

z =

z (D - 1) = -ex

z . dx

z. e -x = dx

z. e -x =

z. e -x = -x

z = -x . ex

sehingga diperoleh yp = -x . ex

jadi persamaan differensial y = yc + yp

= c1e2x + c2e

x - x . ex

Pembuktian !!

y = c1e2x + c2e

x - x . ex

= 2 c1e

2x + c2ex - x . ex - ex

= 4 c1e

2x + c2ex - x . ex 2 ex

+ 2y = ex

4 c1e2x + c2e

x - x . ex 2 ex 3 (2 c1e2x + c2e

x - x . ex - ex) + 2 (c1e2x + c2e

x - x . ex) = ex

4 c1e2x + c2e

x - x . ex 2 ex 6 c1e2x -3 c2e

x +3 x . ex +3 ex + 2 c1e2x + 2 c2e

x - 2 x . ex = ex

ex = ex

DETERMINAN

det (A) = i+j

.aij Mij

det (A) =

A

1. |A| = = -10

= (-1)1+1

.1.|2| + (-1)1+2

.4.|3|

= (-1)2.2 + (-1)

3.4.3

= 2 + (-12)

= -10

2. |A| = (-1)2+1.3.4 + (-1)2+2.2.1

= (-1)12 + 2

= -10

1. |A| = baris ke-2 dikurangi -2 kemudian hasilnya ditambahkan ke baris pertama

=

= -10

2. |A| = baris pertama dikurangi -3 kemudian hasilnya ditambahkan ke baris ke-2

=

= -10

A = 1 2 3

4 5 6

7 8 9

Baris Kolom

|A| = (-1) 1+1

. 1 + (-1)1+2

. 2 + (-1)1+3

.3

= 1.(-3) + 2.6 3.3 = -3 + 12 9 = 0

A =

C =

Cij = (-1)1+1

= (-1)2. 0 (-12)

= 12

C12 = (-1)1+2

= (-1) 3

. 0 (6)

= 6

C13 = (-1)1+3

= (-1) 4. -4 (12)

= -16

C21= (1)2+1

= (-1) 3

. 0 (5)

= 5

C23 = (-1)2+3

= (-1) 5

12 (4)

= 16

C22 = (-1)2+2

= (-1) 4

. 0 (-2)

= 2

C31 = (-1)3+1

= (-1) 4

. 6 (-6)

= 12

C32 = (-1)3+2

= (-1) 5

. 9 (-1)

= -10

C33 = (-1)3+3

= (-1)6. 18 (2)

= 16

C =

C T =

A.CT = .

=

A.CT =

A.CT = det (A)

A.C

T = det(A) . I

CT = adj (A)

I =

A-1

= A.A-1

=

A-1

. A = I

A-1 =

A-1

=

=

=

A.A-1

= I

=

64

>C1 = c2<

Hij = apabila I j

0 tetangga ( ada ikatan langsung )

Sij = 1 if I = j apabila I j

0 if I j tidak ada ikatan langsung

Hij E Sij = 0

h =

~ v = 0

= ? = [ d2

0 n; m; e x

H11 = S11 = 1

H12 = S12 = 0

H21 = S21 = 0

H22 = S22 = 1

E.1 E.0 E x 1 1

E.0 E.1 -E 1 x 1

HAMILTON

apabila I = j

< 0

X =

x = 1 1 = E -

E =

E =

..

x = -1 -1 =

- = E +

E = +

X Y

A B C Z

1 2 3

x y z

A

1 2 3 S z

y

I0 It x

- log I0 = A = CCt x lambert - beet

It

A = C t

x+y+z