persamaan differensial
DESCRIPTION
PERSAMAAN DIFFERENSIAL. Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya. Bentuk Umum : - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya.Bentuk Umum :
Persamaan differensial (PD) menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran2 yang berubah, dan oleh karena itu PD sering muncul dalam persoalan2 ilmu pengetahuan dan teknik.
Orde PD ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tsb, sedangkan derajat PD ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi.
0),....,,,,(2
2
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dyyxF
Contoh :
xyydx
dy
dx
yd
xyxdx
yd
dx
ydy
xydx
yd
dx
yd
xydx
dyy
dx
yd
ydx
dyx
cos.5
042.4
cos.3
0sin.2
04.1
232
4
4
2
2
23
3
3
3
2
22
3
3
2
2
2
SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Untuk mencari solusi dari PD, harus
mencari fungsi yang memenuhi persamaan itu,
artinya yang memuat persaman itu menjadi benar.
Hal ini berarti harus mengolah persamaan tersebut
sehingga semua koefisien differensial hilang, yang
ada hanya hubungan antara variabel x dan y saja,
yaitu :
F ( x , y ) = 0
Contoh :
maka :y = 2x2 atauy = 2x2 + x , atauy = 2x2 –5x + 3
merupakan jawab dari PD diatas.Terlihat bahwa PD diatas mempunyai jawaban
tidak tunggal. Secara umum solusi dari PD diatas dapat ditulis :
y = 2x2 + c1x + c2
dimana c1 dan c2 adalah konstanta ,
042
2
dx
yd
JENIS-JENIS PD ORDE SATU YANG KHUSUS
• Bentuk umum :M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0
1. PD Variabel TerpisahBentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0
• Solusi umum PD :
• contoh :(x+1) dx + (y2 –3) dy = 0
konstantaadalah c , )()( cdyygdxxf
1. Reduksi ke PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0
direduksi dengan mengalikan : PD diatas menjadi :
karena telah menjadi PD variabel
terpisah, maka solusi PD diatas :
)()(
1
21 xfyg
odyyg
ygdx
xf
xf
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
cdyyg
ygdx
xf
xf
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
Contoh :1. y(x-1) dx + (y+2)x dy = 0
2. xy dx + (1 + x2) dy = 0
3.
4. cos y dx + (1 + e–x) sin y dy = 0xxy
y
dx
dy
3
4
Latihan : 1. (1 + ex)dy + (1 + e-y)dx = 02. xln x dy + (ey + e-y)dx = 03. tg x dy – ctg y dx = 04. 2(1 + x2)dy – (1 – y2)dx = 05. (1 + x2) dy + (1 + y2) dx = 0
3. PD HomogenSuatu fungsi f(x,y) dikatakan homogen berderajat
n , jika :
f(λx, λy) = λn f(x,y)PD : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0Dikatakan PD Homogen derajat n jika :M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen yang berderajat sama.
Untuk mencari solusi dari PD homogen kita lakukan
transformasi :y = vx dan dy = v dx + x dv
dengan transformasi tsb diperoleh suatu PD dalam x dan
v dengan variabel terpisah.
Contoh :1. subtitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv, sehingga diperoleh :
0)( 22 xydydxyx
terpisah variabel. ......0)21(
0)2(
0))(())((
322
3222
22
PDvdvxdxvx
vdvxdxvxx
xdvvdxvxxdxvxx
cx
yxcvx
v
vdv
v
vdv
)21ln(4
1ln )21ln(
4
1ln
0)21(x
dx 0
)21(x
dx
2
22
22
2.
3.
4.
03)( 233 ydyxdxyx
0)( 22 dyyxxydx
03)2( 22 xydydxyx
Latihan : 1. (x2 + y2)dx – 2xydy = 02. y(x2 + y2)dx – x{x + (x2 + y2)}dy = 03. (x3 + y3)dx + 3xy2dy = 0 4. (xsin - ycos )dx + xcos dy = 05. xdy – ydx - (x2 – y2)dx = 0
4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK
Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan PD Eksak jika ada suatu fungsi F(x,y) sehingga :
dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1) Rumus differensial :
Maka dari (1) dan (2) diperoleh :
2).........(.................... y
F
x
F dydxdF
(3)..............................y)........M(x, x
F
.(4)..............................y)........N(x, y
F
Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak
adalah :
Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui
persamaan (3) atau persamaan (4).Dari persamaan (3)
Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y
x
N
y
M
c(y)y)A(x, dx y)M(x, y)F(x, y)M(x, x
F
y)N(x, (y)c' y
F
y
A
cdy) y
A- y)N(x, (c(y)
y
A- y)N(x, (y)c'
Dari persamaan (4)
Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x
c(x)y)B(x, dy y)N(x, y)F(x, y)N(x, F
y
y)M(x, (x)c' F
x
B
x
cdxB
) x
- y)M(x, (c(x) x
B- y)M(x, (x)c'
Contoh :1. (x2 – y) dx – x dy = 0
Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x
Jadi,
1 y
M ),( 2
yxyxM
1 x
N.............),(
xyxN
c(x)-xyxdy- dy y)N(x, y)F(x, y)N(x, y
F
yyx
2 x y)M(x, (x)c' F
cxdx 322
3
1xc(x) x(x)c'
cx3
1xy- y)F(x, 3
2. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0
3. (2x + ey) dx + x ey dy = 0
4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0
5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0
6. ( 3y – 2x + 4) dx – ( 4x – 3y – 2 ) dy
= 0
5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak
eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y) sedemikian sehingga PD :
I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0
merupakan PD eksak, maka fungsi I(x,y) dinamakan factor integrasi dari PD tersebut.
Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain :
1. Jika suatu fungsi dari x saja,
maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.
)(xfN
xN
yM
dxxfe
)(
2. Jika suatu fungsi dari y saja
maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.
3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan PD Homogen dan xM + yN ≠ 0 , maka , adalah faktor integrasi dari PD
tsb.
4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis dlm bentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana
f(x,y) ≠ g(x,y) , maka adalah faktor integrasi
dari PD tersebut.
)(ygM
xN
yM
dyyge
)(
yNxM 1
yNxM 1
Contoh:
1. (2y –x3) dx + x dy = 0
2. 3x2y2 dx + (4x3y – 12 ) dy = 0
3. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0
4. (x2 + 3y2 ) dy – 2xy dx = 0
5. (xy + y2) dx – x2 dy = 0
6. (x2y3 + 2y) dx + (2x - 2x3y2 ) dy = 0
Latihan :1. (x2 – y) dx – xdy = 02. (x + ycos x)dx + sin x dy = 03. (1 + e2)dr + 2re2 d = 04. (4x3y3 + x-1)dx + (3x4y2 – y-1)dy = 0 5. {x (x2 + y2) – y}dx + {y (x2 + y2)- x}dy = 0
6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA
Bentuk umum :
Persamaan ini mempunyai faktor integrasi :
Solusi umum dari PD ini adalah :
Q(x) P(x) ydx
dy
dx )(xPe
cdxexQeyxPxP
)( dx )(dx )(
Contoh :
1. P(x) = 1 , Q(x) = 2 + e2x Faktor Integrasi : I = maka solusinya :
Jadi , 2.
3.
2xe 2 ydx
dy
xdxee
ceedxeedxeeye xxxxxxx 332
3
12)2()2(
xx ceey 2
3
12
xex
y
dx
dy 2 x 2
4x 2 ydx
dy
7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI
Bentuk umum : Dengan transformasi :
akan menghasilkan persamaan differensial linier orde satu :
yang mempunyai solusi umum :
)()( xQyxyPdx
dy n
dx
dz
dx
dyyz n
n-1
1
y
1dan
n1
)()1()()1( xQnxzPndx
dz
cdxexQnezdxxPndxxPn
)()1()()1(
.)()1(.
Contoh :1.
2.
3.
4.
)1( 32 xeyydx
dy
)3( 22 xxyx
y
dx
dy
dx )( 66 xxydxydyx
xxyydx
dylnx 2
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE PERTAMA DERAJAT TINGGIBentuk umum :
atau F(x,y,p2,….,pn) = 0 dimana p = dy/dxAda beberapa cara untuk menyelesaikannya1. Jika PD diatas dapat diuraikan menjadi n
faktor linier sedemikian shg persamaan dpt ditulis sebagai :
(p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0
dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y
0),....,,,,(2
n
dx
dy
dx
dy
dx
dyyxF
Langkah2 menentukan solusi umum(1). Uraikan PD tsb menjadi n faktor linier, yaitu :
(p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0….(*)
dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y
(2). Selesaikan n persamaan differensial orde satu derajat satu dari (*), yaitu :
(p – F1)
(p – F2)
…………………………………………………………………..
(p – F1)
0),,(f 0),(dx
dy 11 cyxyxF
0),,(f 0),(dx
dy 22 cyxyxF
0),,(0),(dx
dy cyxfyxF nn
(3). Solusi umum dari PD merupakan
perkalian dari solusi umum setiap PD orde
satu derajat satu tersebut, yaitu :
f1(x,y,c) . f2(x,y,c) …… fn(x,y,c) . = 0
2. Jika PD tidak mengandung y, dan x dapat dipisahkan.
Bentuk PD : F(x , p) = 0 dan x = f(p) Langkah2 menentukan solusi umum (1). Differensialkan x terhadap p, yaitu :
(2).Karena maka shg :
(3).Solusi umum dari PD telah diperoleh
x = f(p) p adalah parameter
y =
dpppfdp
dx )(fdx )( ''
dx
dyp dy
1
pdx
c dp (p)f p y
dp (p)f p dy dp (p)f dy 1
'
1'
p
cdpppf )('
3. Jika PD tidak mengandung x, dan y dapat dipisahkan.
Bentuk PD : F(y , p) = 0 dan y = f(p) Langkah2 menentukan solusi umum : (1). Differensialkan y terhadap p, yaitu :
(2). Karena maka sehingga :
(3). Solusi umum dari PD telah diperoleh
y = f(p) p adalah parameter
x =
dpppfdp
dy )(fdy )( ''
dx
dyp dx pdy
cdppfp
)(1 '
c dp (p)f p
1 x
dp (p)f p
1 dx dp (p)f dx p
'
1'
contoh :1. x2p2 + xy p – 6y2 = 02. 7p3 + 3p2 = x3. p3 + 5p2 + 7p = y4. x4p4 - 5x2y2 + 4y4 = 0