persamaan diferensial biasa - ridho_insanilmiah.student...

37
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37

Upload: dinhthuan

Post on 30-Mar-2019

236 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Persamaan Diferensial BiasaPendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1

Toni Bakhtiar

Departemen Matematika IPB

September 2012

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Beberapa Pengertian

Banyak prinsip dan hukum yang mendasari berbagai fenomena dialam berbentuk pernyataan (statements) atau hubungan (relations)yang melibatkan laju perubahan (rates) antarvariabel.

Dalam matematika, pernyataan atau hubungan dituliskan dalambentuk fungsi atau persamaan (equations), sedangkan laju perubahandituliskan dalam bentuk turunan (derivatives).

Persamaan yang melibatkan fungsi dan turunannya disebut sebagaipersamaan diferensial (differential equations).Persamaan diferensial yang menggambarkan proses fisik tertentu biasadisebut model matematika (mathematical models).

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 2 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Contoh: Gerak Jatuh

Hukum fisika yang mengatur gerak benda ialah Hukum Newton II yangmenyatakan perkalian massa benda dan percepatannya sama denganbesarnya gaya yang bekerja:

F = ma (1)

dengan m massa benda (kg), a percepatan (m/s2), dan F besarnya gaya(newton). Karena percepatan a berkaitan dengan kecepatan v , yaitua = dv

dt , maka persamaan (1) ditulis:

F = mdvdt. (2)

Dalam hal gerak jatuh, gravitasi g memberikan gaya sebesar mg padabenda. Dalam waktu bersamaan benda mengalami gaya gesek udara yangdiasumsikan sebanding dengan kecepatan benda, yaitu sebesar γv , denganγ merupakan koefisien gesek. Dengan demikian,

F = mg − γv . (3)

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 3 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Contoh: Gerak Jatuh

Penggabungan (2) dan (3) memberikan:

mdvdt= mg − γv . (4)

Persamaan (4) merupakan model matematika yang menggambarkan gerakjatuh benda di udara. Model melibatkan tiga konstanta: m, γ, dan g .Dua konstanta pertama (m dan γ) sangat bergantung pada benda yangjatuh, sedangkan konstanta g bernilai tetap (yaitu 9.8 m/s2).Konstanta-konstanta m dan γ biasa disebut sebagai parameter model.Persamaan (4) juga melibatkan fungsi yang belum diketahui, yaituv = v(t). Menyelesaikan persamaan (4) berarti mencari fungsi v = v(t)yang memenuhi (4).Jika m = 10 kg dan γ = 2 kg/s maka diperoleh persamaan diferensial

dvdt= 9.8− 0.2v .

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 4 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Definisi

Persamaan diferensial (PD) adalah persamaan yang melibatkan fungsiyang tidak diketahui dan turunan-turunannya.

Suatu PD disebut PD biasa (ordinary differential equations) jikafungsi yang tidak diketahui bergantung hanya pada satu variabelbebas. Contoh:

dydx= 5x + 3, ey

d2ydx2

+ 2(dydx

)2= 1.

Pada contoh di atas, fungsi yang tidak diketahui ialah y = y(x).

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 5 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Definisi

Suatu PD disebut PD parsial (partial differential equations) jikafungsi yang tidak diketahui bergantung pada dua atau lebih variabelbebas. Contoh:

∂2y∂t2− 4∂2y

∂x2= 0.

Pada contoh di atas, fungsi yang tidak diketahui ialah y = y(t, x).

PD Biasa (PDB) merupakan bahan UTS dan PD Parsial (PDP)bahan UAS.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 6 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Ordo

Ordo suatu PD adalah ordo dari turunan tertinggi yang terlibatdalam PD tersebut. Contoh:

orde-1:dydx= 5x + 3,

orde-2: eyd2ydx2

+ 2(dydx

)3= 1,

orde-3: 4d3ydx3

+ sin xd2ydx2− 5xy = 0.

Notasi-notasi turunan:

y ′, y ′′, y ′′′, y (4), . . . , y (n),dydx,d2ydx2

,d3ydx3

, . . . ,dnydxn

.

Jika variabel bebas yang terlibat ialah waktu t maka digunakan notasiy = dy

dt , y =d 2ydt2 ,

...y = d 3y

dt3 , dst.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 7 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Bentuk Umum

Bentuk umum PDB orde-n :

F(x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)

)= 0, (5)

dengan x variabel bebas dan y variabel tak bebas, yaitu y = y(x).

Jika hubungan antara y = y(x) dan turunan-turunannya bersifatlinear maka PD (5) disebut PDB Linear, dan dapat ditulis sebagai

an(x)dnydxn

+ an−1(x)dn−1ydxn−1

+ · · ·+ a1(x)dydx+ a0(x)y = f (x),

dengan an(x) 6= 0, an−1(x), . . . , a0(x) merupakan koefisien-koefisienPD.

Jika f (x) = 0 maka PD disebut homogen dan jika f (x) 6= 0 makaPD disebut takhomogen.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 8 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Solusi

Solusi PD dalam bentuk fungsi tidak diketahui y dan variabel bebasx pada interval I adalah fungsi y = y(x) yang memenuhi PD tersebutsecara identik untuk semua x di I .

Examples1 Apakah y(x) = c1 sin 2x + c2 cos 2x , dengan c1 dan c2 adalahkonstanta-konstanta sembarang, merupakan solusi bagi PDy ′′ + 4y = 0?

2 Apakah y(x) = x2 − 1 merupakan solusi bagi (y ′)4 + y2 = −1?3 Apakah x2 + y2 = 1 merupakan solusi bagi dydx = −

xy , untuk

x ∈ (−1, 1)?

Solusi berbentuk y = y(x) disebut solusi eksplisit dan solusiberbentuk g(x , y) = 0 disebut solusi implisit.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 9 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Solusi

y(x) = c1 sin 2x + c2 cos 2x merupakan solusi umum (generalsolution) bagi PD y ′′ + 4y = 0 dan y(x) = 5 sin 2x + 3 cos 2x ,y(x) = − sin 2x + 2 cos 2x , y(x) = −10 cos 2x , dsb merupakansolusi khusus (particular solutions).Solusi khusus merupakan sembarang solusi tunggal. Solusi umummerupakan himpunan semua solusi.

Secara lebih umum,

dydx= f (x)⇔

∫dy =

∫f (x) dx ⇔ y(x) = F (x) + C ,

dengan F adalah sembarang antiturunan dari f dan C adalah konstantapengintegralan. Persamaan y(x) = F (x) + C disebut sebagai solusiumum PD. Solusi khusus diperoleh dengan cara menentapkan nilai ypada x tertentu, misalnya y(x0) = y0, yang disebut sebagai nilai awalatau syarat awal.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 10 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Solusi Umum dan Nilai Awal

Solusi khusus diperoleh dengan mengganti konstanta pengintegralan Cdengan nilai tertentu sehingga menggeser kurva F ke atas atau ke bawah.Umumnya, solusi khusus diperoleh dengan menyelesaiakan syarat awaly(x0) = y0.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 11 / 37

Pendahuluan Konsep Dasar

Solusi Umum dan Nilai Awal

Nilai awal:

y(x0) = y0 ⇔ F (x0) + C = y0 ⇔ C = y0 − F (x0),sehingga diperoleh solusi khusus

y(x) = y0 + F (x)− F (x0),yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan integral:

y(x) = y0 +∫ x

x0f (s) ds.

Examples

1 Untuk persamaan diferensial dydx = x + 10 sin x , (a) tentukan solusiumum, (b) tentukan solusi khusus yang melewati titik (π, 0).

2 Sebuah kurva melalui titik (1, 0) memiliki kemiringan ln x . Tentukanpersamaan kurva tersebut!

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 12 / 37

Pendahuluan Masalah Nilai Awal

Masalah Nilai Awal (MNA), Initial Value Problem (IVP)

Masalah nilai awal pada PD orde-n

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0

adalah masalah mencari solusi PD pada interval I yang sekaligusmemenuhi n buah nilai awal berikut:

y(x0) = y0, y ′(x0) = y1, . . . , y (n−1)(x0) = yn−1,

dengan x0 ∈ I dan y0, y1, . . . , yn−1 konstanta-kontanta yang diberikan.

Examples1 Tunjukkan bahwa y(x) = e−x + 1 merupakan solusi dari MNAy ′ + y = 1, y(0) = 2.

2 Tunjukkan bahwa y(x) = sin x + cos x merupakan solusi dari MNAy ′′ + y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = 1.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 13 / 37

Pendahuluan Masalah Nilai Awal

Keujudan dan Ketunggalan Solusi

Tinjau MNA berikut:

x2 + t2dxdt= 0, x(0) = k.

Dengan pemisahan variabel diperoleh solusi umum PDx(t) = − t

1+Ct .Namun, jika k 6= 0 maka MNA tidak memiliki solusi.Tinjau MNA berikut:

dxdt=√x , x(0) = 0.

Metode pemisahan variabel memberikan solusi x(t) = 14 t2. Namun,

MNA juga masih punya takhingga banyak solusi lain:

xa(t) ={0 ; t ≤ a14 (t − a)2 ; t > a

,

dengan a > 0.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 14 / 37

Pendahuluan Masalah Nilai Awal

Teorema Picard

TheoremDiberikan MNA

dxdt= f (t, x), x(t0) = x0.

Jika f dan ∂f∂x merupakan fungsi-fungsi kontinu pada daerah

R = {(t, x) | a < t < b, c < x < d}

yang memuat titik awal (t0, x0), maka MNA memiliki solusi tunggalx = x(t) pada interval (t0 − h, t0 + h), dengan h bilangan positif.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 15 / 37

Pendahuluan Masalah Nilai Awal

Teorema Picard

Examples

Apakah Teorema Picard menjamin keujudan dan ketunggalan solusi MNAberikut:

1 y ′ = y + e2x , y(0) = 1.2 y ′ = y1/3, y(0) = 0.3 x =

√x , x(0) = 0.

4 Tinjau MNA: dxdt = x2, x(0) = x0. karena f (t, x) := x2 dan

fx (t, x) = 2x keduanya kontinu maka MNA memiliki solusi tunggal,yaitu

x(t) =1

1x0− t

, x0 6= 0.

Maximal interval of existence: (−∞, 1x0 ) ataukah (1x0,∞).

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 16 / 37

PDB Orde-1 PD Homogen

Bentuk Umum

Bentuk umum PD linear orde-1:

x + a(t)x = b(t), (6)

dengan a(t) dan b(t) adalah fungsi-fungsi sembarang. Dikatakan linearkarena ruas kiri (6) merupakan fungsi linear dari x dan x . Jika b(t) = 0akan diperoleh PD homogen orde-1

x + a(t)x = 0. (7)

Bentuk-bentuk berikut ini merupakan PD orde-1: x + 2x = t2,x + etx = −4t, dan (t2 + 1)x + x sin t = t ln t. Persamaan pertama dankedua sudah dalam bentuk baku (6). Persamaan terakhir dapat ditulisdalam bentuk yang ekuivalen

x +sin tt2 + 1

x =t ln tt2 + 1

.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 17 / 37

PDB Orde-1 PD Homogen

Metode Pemisahan Variabel

Sebuah fakta penting dari PD linear adalah bahwa solusi persamaantakhomogen selalu dapat dikonstruksi dari solusi persamaanhomogennya.

Oleh karena itu pembahasan tentang persamaan diferensial homogenakan diberikan dalam bahasan tersendiri didahului dengan metodepemisahan variabel (variables separation method) sebagai sebuahmetode solusi.

Tinjau PD berikut:x = F (x , t). (8)

Jika F (x , t) dapat dituliskan dalam bentuk perkalian dua buah fungsif (x) dan g(t), yaitu F (x , t) = f (x)g(t) maka persamaan diferensial(8) dapat dituliskan menjadi

x = f (x)g(t). (9)

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 18 / 37

PDB Orde-1 PD Homogen

Metode Pemisahan Variabel

Perhatikan bahwa PD (9) dapat ditulis menjadi

dxdt= f (x)g(t).

Dengan memisahkan variabel-variabel yang sama di satu ruas, persamaandi atas akan menjadi

1f (x)

dx = g(t) dt.

Pengintegralan terhadap kedua ruas persamaan di atas akan membawa kemasalah integral berikut ∫ 1

f (x)dx =

∫g(t) dt.

Jika f (x) dan g(t) diketahui maka masalah integral di atas dapatdiselesaikan dengan menggunakan teknik penggintegralan.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 19 / 37

PDB Orde-1 PD Homogen

PD Linear Homogen Orde-1

Bentuk umum PD linear homogen orde-1:

x(t) + a(t)x(t) = 0, (10)

dengan a(t) fungsi sembarang. Persamaan (10) terpisahkan karena dapatditulis menjadi 1x dx = −a(t) dt. Dengan asumsi x > 0, pengintegralankedua ruas persamaan di atas memberikan∫ 1

xdx = −

∫a(t) dt ⇔ ln x = −

∫a(t) dt + k1 ⇔ x = ek1e−

∫a(t) dt .

Jika didefinisikan A(t) :=∫a(t) dt maka diperoleh

x(t) = ke−A(t),

dengan k = ek1 dan A(t) tidak mengandung konstanta pengintegralan lainkarena pada dasarnya konstanta tersebut dapat diserap dalam k .

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 20 / 37

PDB Orde-1 PD Homogen

PD Linear Homogen Orde-1

Theorem

Solusi dari PD linear homogen orde-1 x(t) + a(t)x(t) = 0 ialah

x(t) = ke−A(t),

dengan k konstanta sembarang dan A(t) :=∫a(t) dt tidak mengandung

konstanta pengintegralan lain.

Corollary

Berdasarkan teorema di atas, jika a(t) merupakan fungsi konstan, yaitua(t) = a, maka solusi dari PD linear homogen orde-1 x + ax = 0 ialah

x(t) = ke−at .

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 21 / 37

PDB Orde-1 PD Homogen

PD Linear Homogen Orde-1

Example

Misalkan y(t) menyatakan besarnya konsumsi energi nasional pada saat tdan tumbuh dengan laju konstan 2 persen. Tentukan dan selesaikanpersamaan diferensial dari masalah tersebut.JawabLaju pertumbuhan suatu peubah adalah rasio antara pertumbuhan variabeldengan level variabel, yaitu y/y . Masalah di atas dapat ditulis dalam PDberikut:

yy= 0.02⇔ y = 0.02y ,

yang merupakan PDLH orde-1 dengan solusi y(t) = ke0.02t , yangmemberikan level konsumsi energi pada saat t.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 22 / 37

PDB Orde-1 PD Takhomogen

PD Linear Takhomogen Orde-1

PD x + a(t)x = b(t), dengan b(t) 6= 0, disebut sebagai PD lineartakhomogen orde-1. Untuk menentukan solusinya, kedua ruas persamaandi atas dikalikan dengan faktor pengintegralan eA(t), denganA(t) :=

∫a(t)dt, sehingga menjadi

xeA(t) + a(t)xeA(t) = b(t)eA(t). (11)

Dengan mengingat bahwaddt (xe

A(t)) = xeA(t) + xA(t)eA(t) = xeA(t) + xa(t)eA(t),maka (11) ditulismenjadi

ddt(xeA(t)) = b(t)eA(t) ⇔ xeA(t) =

∫b(t)eA(t) dt + k

⇔ x(t) = e−A(t)(∫b(t)eA(t) dt + k

),

dengan k konstanta pengintegralan.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 23 / 37

PDB Orde-1 PD Takhomogen

PD Linear Takhomogen Orde-1

Theorem

Solusi dari PD linear takhomogen orde-1 x(t) + a(t)x(t) = b(t) ialah

x(t) = e−A(t)(∫b(t)eA(t) dt + k

),

dengan k konstanta sembarang dan A(t) :=∫a(t) dt tidak mengandung

konstanta pengintegralan lain.

Corollary

Berdasarkan teorema di atas:

1 jika b(t) = 0 maka x(t) = ke−A(t) (kasus PD homogen),2 jika a(t) = a dan b(t) = b maka x(t) = ke−at + b

a ,

3 jika a(t) = a maka x(t) = e−at(∫b(t)eat dt + k

).

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 24 / 37

PDB Orde-1 PD Takhomogen

Model Penyesuaian Harga

Misalkan fungsi permintaan dan fungsi penawaran suatu komoditasberharga p berturut-turut diberikan oleh D(p) = a− bp danS(p) = α+ βp, dengan a, b, α, dan β adalah konstanta-konstanta positif.Asumsikan bahwa harga merupakan fungsi dari waktu, yaitu p = p(t), danbahwa laju perubahan harga sebanding dengan kelebihan permintaan(excess demand), yaitu

p = λ[D(p)− S(p)],

dengan λ adalah konstanta positif yang menyatakan seberapa cepat hargamenyesuaikan (speed of adjustment). Substitusikan ekspresi bagi D dan Smemberikan PDLTH:

p + λ(b+ β)p = λ(a− α).

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 25 / 37

PDB Orde-1 PD Takhomogen

Model Penyesuaian Harga

Model penyesuaian harga memiliki solusi:

p(t) = ke−λ(b+β)t +a− α

b+ β.

Perhatikan bahwa karena λ(b+ β) > 0 diperoleh

limt→∞

p(t) =a− α

b+ β,

yang menunjukkan bahwa p konvergen ke harga kesetimbangan p∗ = a−αb+β ,

pada mana D(p) = S(p) dipenuhi.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 26 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

PD Eksak

PD eksak dapat digunakan untuk menyelesaikan PD taklineartertentu.

Misalkan fungsi dua peubah u = u(t, x) memiliki turunan-turunan parsialkedua, yaitu utt , uxx , utx , uxt , yang kontinu. Asumsi kekontinuan turunanmenjadikan uxt = utx (Teorema Young) dan diferensial total (totaldifferential) dari u terdefinisi, yaitu

du = ut dt + ux dx . (12)

Tinjau PDB dalam bentuk

dxdt= −M(t, x)

N(t, x)⇔ M(t, x) dt +N(t, x) dx = 0. (13)

Persamaan diferensial (13) dikatakan eksak jika ruas kiri persamaantersebut merupakan diferensial total dari suatu fungsi u(x , t), yaitu berlaku

du = M(t, x) dt +N(t, x) dx .

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 27 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

PD Eksak

Atau dengan kata lain, PD M(t, x) dt +N(t, x) dx = 0 dikatakan eksakjika terdapat suatu fungsi u(x , t) sedemikian sehingga berlaku

ut = M(t, x), ux = N(t, x).

Jika M dan N terdefinisi dan memiliki turunan-turunan parsial pertamayang kontinu maka diperoleh

utx = Mx (t, x), uxt = Nt (t, x).

Dengan asumsi kontinuitas turunan yang membuat uxt = utx maka

Mx = Nt

merupakan syarat cukup dan syarat perlu agar M(t, x) dt +N(t, x) dxmerupakan turunan total (dan M(t, x) dt +N(t, x) dx = 0 merupakanPD eksak).

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 28 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

PD Eksak

Example

Persamaan diferensial (x + 4) dt + t dx = 0 adalah PD eksak karenadengan M = x + 4 dan N = t diperoleh Mx = 1 = Nt . Sedangkanx dt − t dx = 0 adalah PD takeksak karena M = x dan N = −tmembuat Mx 6= Nt .

Fungsi u(x , t) dapat ditentukan sebagai berikut. Karena ut = M(t, x)maka

u(t, x) =∫M(t, x) dt + f (x).

Dalam integral di atas x dianggap konstan, dan f (x) berperan sebagai’konstanta’pengintegralan yang dapat ditentukan kemudian. Atau, karenaux = N(t, x) maka

u(t, x) =∫N(t, x) dx + g(t),

dengan t dianggap konstan dan g(t) adalah ’konstanta’pengintegralan.Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 29 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

PD Eksak

Example

Periksa PD berikut eksak dan tentukan solusinya:

t3 +xt+ (x2 + ln t)x = 0.

Example

Tentukan fungsi u yang menjadikan persamaan diferensial berikut eksak:

− xt2dt +

1tdx = 0.

Cari solusi PD di atas dengan menentukan x(t) dari u(t, x) = k.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 30 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

PD Eksak

Example

Di beberapa kasus, PD takterpisahkan dan mungkin juga taklinear dapatdiselesaikan dengan membawanya ke bentuk eksak. PD berikuttakterpisahkan dan taklinear:

1+ tx2 + t2xx = 0⇔ (1+ tx2) dt + t2x dx = 0.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 31 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

PD Eksak

PD takeksak dapat dijadikan PD eksak dengan cara mengalikannyadengan faktor pengintegralan tertentu.

Tinjau PD berikut:

dxdt+ a(t)x = 0⇔ a(t)x dt + dx = 0.

Jelas PD di atas takeksak karena dengan M := a(t)x dan N := 1diperoleh Mx 6= Nt (asalkan a(t) 6= 0). Kalikan PD di atas dengan faktorpengintegralan eA(t), dengan A(t) =

∫a(t) dt, diperoleh

eA(t) dx + eA(t)a(t)x dt = 0.

Jelas PD di atas eksak karena dengan M := eA(t)a(t)x dan N := eA(t)

diperolehMx = eA(t)a(t) = Nt .

Secara umum, faktor pengintegralan tidak mudah ditemukan.Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 32 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

PD Eksak

Tinjau kasus PD takeksak yang lebih umum berikut:

F (t, x) + G (t, x)dxdt= 0⇔ F (t, x) dt + G (t, x) dx = 0.

Kalikan PD di atas dengan faktor pengintegralan I (t, x) sehingga diperoleh

I (t, x)F (t, x) dt + I (t, x)G (t, x) dx = 0.

Agar eksak, haruslah dipenuhi:

∂x[I (t, x)F (t, x)] =

∂t[I (t, x)G (t, x)] ,

atauIxF + IFx = ItG + IGt .

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 33 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

PD Eksak

Dapat ditulis,(Fx − Gt )I = ItG − IxF .

Persamaan di atas merupakan PDP yang secara umum sulit diselesaikan.Namun jika masalah disederhanakan, yaitu jika diasumsikan I = I (t),maka Ix = 0, sehingga

(Fx − Gt )I = ItG ⇔dIdt=1G

(∂F∂x− ∂G

∂t

)I . (14)

PD (14) memiliki solusi, yaitu I = I (t), asalkan 1G

(∂F∂x −

∂G∂t

)hanya

bergantung pada t.

Example

Carilah faktor pengintegralan I = I (t) yang membuat PD di bawah eksaklalu tentukan solusi PD tersebut:

(t cos x + e5t )dxdt+ 3 sin x + 5xe5t +

2xe5t

t= 0.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 34 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

Metode Substitusi

Pada beberapa kasus khusus, PD dapat disederhanakan dandiselesaikan dengan substitusi.

Tinjau PD homogen berikut:

dxdt= F ( xt ).

Definisikan variabel baru u := x/t atau x = ut, makadxdt= t

dudt+ u ⇔ t

dudt=dxdt− u ⇔ t

dudt= F (u)− u,

yang merupakan PD yang terpisahkan.

Example

Dengan substitusi tertentu, selesaikan PD berikut:

txdxdt= 2t2 + 3x2.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 35 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

Persamaan Bernoulli

PD lain yang dapat diselesaikan dengan substitusi ialah PD Bernoulli yangmemiliki bentuk umum

dxdt+ p(t)x = q(t)xn.

Jika n = 0 atau n = 1 maka PD adalah linear orde-1. Untuk n /∈ {0, 1},definisikan u = x1−n sehingga diperoleh:

dudt

= (1− n)x−n dxdt

= (1− n)x−n [q(t)xn − p(t)x ]= (1− n)[q(t)− p(t)u].

Diperolehdudt+ (1− n)p(t)u = (1− n)q(t). (linear!)

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 36 / 37

PDB Orde-1 PD Eksak

Persamaan Bernoulli

Example

Selesaikan PD Bernoulli berikut:

dxdt− 6tx = 2tx2.

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 37 / 37