per samaan

7/22/2019 Per Samaan

1/54

LEMBAGA KAJIAN DAN PENGEMBAGAN PENDIDIKAN

( L K P P )

LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN BERBASIS SCL

Judul :

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Oleh :

Dr. Jeffry Kusuma

Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin

Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan

Nomor : 496/H4.23/PM.05/08, 4 Januari 2008

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

FEBRUARI 2008


2/54

ii

LEMBAGA KAJIAN DAN PENGEMBANGAN PENDIDIKAN

Lantai Dasar Gedung Perpustakaan Universitas Hasanuddin

HALAMAN PENGESAHAN

LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN

PROGRAM TRANSFORMASI DARI TEACHING KELEARNING

UNIVERSITAS HASANUDDIN 2008

Judul : Persamaan Differensial

Nama : Dr. Jeffry kusuma

NIP : 131 675 122

Pangkat/Golongan : Lektor Kepala/ IVa

Jurusan : Matematika

Fakultas/Universitas : MIPA/Hasanuddin

Jangka waktu kegiatan : 1 (satu) bulanMulai 04 Januari 2008 s.d 04 Februari 2008

Biaya yang diusulkan : Rp 4.000.000,- (Empat juta rupiah)Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin

sesuai dengan surat Perjanjian PelaksanaanPekerjaan Nomor : 469/H4.23/PM.05/2008, tanggal

04 Januari 2008.

Makassar, 04 Februari 2008

Mengetahui Pembuat ModulFakultas MIPA

Universitas Hasanuddin

Dekan,

Prof. Dr. H. Alfian Noor, MSc. Dr. Jeffry Kusuma

NIP. 130 520 684 NIP. 131 675 122


3/54

iii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami haturkan ke hadiratNya hingga modul ini, akhirnya dapat

diselesaikan dengan segala kendala dan keterbatasan yang ada pada kami.

Modul ini kami maksudkan sebagai bahan bacaan / pustaka untuk menunjang

perkuliahan mata kuliah Persamaan Differensial pada Jurusan Matematika, Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin. Dalam rangka

transformasi dari Teachingproses yang selama ini berjalan ke Learningproses yang akan

diterapakan segera. Disamping sebagai penunjang mata kuliah persamaan differensial,

modul ini tentunya juga dapat menunjang mata mata kuliah lainnya di berbagai jurusan

yang menggunakan persamaan differensial.

Kami menyadari sepenuhnya bahwa modul yang kami buat ini masih jauh dari

kesempurnaan. Oleh sebab itu, segala bentuk saran dan kritikan sangat kami harapkan

dalam upaya kami menyempurnakannya dan dapat dikirim kepada kami dengan alamat

email [email protected] ataupun ke alamat [email protected] yang

tentunya akan sangat kami hargai.

Makassar, Februari 2008


4/54

iv

RINGKASAN

Mata kuliah ini merupakan kelanjutan dari mata kuliah kalkulus dasar I, II, III dan

IV dan disajikan pada semester IV jurusan matematika, FMIPA Universitas Hasanuddin.

Mata Kuliah ini memerlukan dasar kalkulus differensial dan integral sebagaimana dijumpai

pada kulkulus I dan II. Walaupun memerlukan dasar differensial dan integral, mata kuliah

ini sendiri masih merupakan dasar bagi berbagai mata kuliah lainnya.

Mata kuliah ini terdiri dari dua bagian. Bagian pertama membahas persamaan

differensial biasa dengan penyelesaian yang bervariasi, dan dengan berbagai teknik

penyelesaiaan. Juga diperlihatkan berbagai ragam aplikasi yang dapat digunakan dalam

persamaan differensial agar mahasiswa dapat melihat dan merasakan manfaat dan

kegunaan matematika.

Pada bagian kedua sendiri membahas persamaan differensial parsil, klassifikasi persamaan

differensial parsil, metode penyelesaian persamaan differensial parsil, syarat awal dan

syarat batas yang mungkin menyertai persamaan differensial parsil, dan aplikasi yang dapat

dimodelkan ke dalam persamaan differensial parsil dan teknik penyelesainnya.

Bagian pertama mata kuliah terdiri dari 8 (delapan) modul. Modul Pertama adalah

Modul Pendahuluan. Modul ini membahas tentang teknik differensial dan integral,

sebagaimana dimaksudkan agar mahasiswa mengingat kembali kalkulus I dan II yang telahdilulusi. Modul Kedua membahas Klasifikasi Persamaan Differensial. Modul Ketiga

membahas persamaan differensial ordo satu lineir dan nonlinier. Aplikasi persamaan

differensial linier maupun non linier dibahas dalam Modul yang Keempat. Modul Kelima

membahas persamaan differensial linier ordo dua dan yang lebih tinggi dengan koefisien

konstan baik yang berjenis homogen maupun yang tidak homogen, penyelesaian persamaan

differensial dengan metode substitusi fungsi eksponensial, metode operator. Modul

Keenam membahas persamaan differensial linier ordo dua dengan koefisien variabel.

Transformasi Laplace beserta aplikasi dibahas dalam Modul yang Ketujuh. Modul ke

Delapan membahas aplikasi persamaan differensial ordo dua dan yang lebih tinggi, aplikasi

persamaan differensial ordo dua, persamaan ordo dua dengan koefisien variabel, metode

deret tak hingga, persamaan differensial ordo dua yang khusus (Bessel, Legendre dll),


5/54

v

transformasi Laplace, persamaan diferensial simultan, serta solusi numerik persamaan

differensial.

Bagian kedua mata kuliah ini berupa persamaan differensial parsil, yang meliputi

Persamaan differensial parsil, masalah syarat batas yang menyertai suatu persamaan

differensial, tricotomi persamaan differensial parsial, persamaan panas, persamaan

gelombang, persamaan Laplace. Metode numerik yang sering digunakan dalam

menyelesaikan persamaan differensial parsil, metode beda hingga dan metode elemen batas

serta aplikasi persamaan differensial.

Bagianini tidak / belum dibuatkan modulnya mengingat keterbatasan waktu yang ada pada

pembuatan modul ini.


6/54

vi

PETA KEDUDUKAN MODUL


7/54

vii

DAFTAR ISI

Hal

HALAMAN JUDUL ............................................................................................. i

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... ii

KATA PENGANTAR .......................................................................................... iii

RINGKASAN ........................................................................................................ iv

PETA KEDUDUKAN MODUL .......................................................................... vi

DAFTAR ISI ........................................................................................................ vii

MODUL I ............................................................................................................. 1

MODUL II .......................................................................................................... 7

MODUL III ......................................................................................................... 12

MODUL IV ......................................................................................................... 16

MODUL V ......................................................................................................... 23

MODUL VI ......................................................................................................... 30

MODUL VII ....................................................................................................... 35

MODUL VIII ...................................................................................................... 41

LAMPIRAN : RANCANGAN PEMBELAJARAN BERBASIS SCLMATA KULIAH : PERSAMAAN DIFFERENSIAL


8/54

viii

MODUL I


9/54

ix

MODUL I

JUDUL : REVIEW SINGKAT KALKULUS DASAR

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar BelakangModul kuliah ini pada umumnya membahas masalah yang ada dalam kalkulus dasar

diantaranya masalah fungsi, turunan dari suatu fungsi dan integral dari suatu fungsi.

Pembahasan dalam modul ini berupa review dari mata kuliah kalkulus dasar dimana hal ini

akan sangat membantu dalam penyelesaian masalah persamaan diferensial yang ada pada

modul-modul selanjutnya. Metode pengajaran yang digunakan dalam modul ini

menggunakan metode Ceramah interaktif yang dipadu dengan metode

Cooperative/Collaborative Learning. berupa ceramah interaktif karena pada dasarnya

modul ini hanya berupa review dari apa yang telah mahasiswa peroleh sebelumnya.

B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang kalkulus dasar yaitu mengenai fungsi,

turunan fungsi dan aturan-aturan dalam mendiferensialkan fungsi, demikian pula dengan

aturan-aturan dalam mengintegralkan fungsi, yang menjadi dasar pembahasan mengenai

persamaan differensial yang disajikan pada modul selanjutnya.

C. Kaitan ModulKaitan modul ini dengan modul-modul lainnya dapat dilihat dalam peta kedudukan

modul di bawah.

D. Sasaran Pembelajaran ModulSasaran utama pembelajaran modul ini adalah untuk mengingatkan kembali kepada

mahasiswa mengenai fungsi, turunan fungsi dan aturan-aturan dalam mendiferensialkan

fungsi, demikian pula dengan aturan-aturan dalam mengintegralkan fungsi.



10/54

x

BAB II. PEMBAHASAN

Koordinat Cartesius menggambarkan posisi suatu titik dalam suatu sistem koordinat

yang saling tegak lurus (koordinat Cartesius dinamakan dari nama philisoper Rene

deCartes).

Gambar 1.1 Koordinat Cartesius suatu titik.

Suatu titik ),( yxP pada bidang Cartesius menentukan pasangan bilangan Real yang

berjarakx dari sumbu y dan berjaraky dari sumbu x. Jadi setiap titik pada suatu bidang


11/54

xi

senantiasa dapat digambarkan atau dinyatakan dalam suatu pasangan koordinat Cartesius.

Pasangan berurutan ),( yx seringkali dipakai untuk menggambarkan titik-titik pada bidang.

Lebih lanjut, pasangan koordinat Cartesius sering pula dipakai untuk menyatakan

hubungan antara dua atau lebih besaran. Sebagai Contoh, bila dituliskan

,2

xy = (1.1)

dan menganggapx sebagai jari-jari dari suatu lingkaran makay dapat dianggap sebagai luas

dari lingkaran tersebut. Hubungan ini dapat pula digambarkan dalam suatu grafik yaitu

Gambar 1.2 Grafik dari suatu fungsi kuadrat.

Disini, setiap nilaix akan mempunyai hubungan yang tunggal (unique) dengan nilai

y. Nilai y sering pula disebut sebagai fungsi dari x. Disini x merupakan variable bebas

karena dapat saja dipilih nilai sembarang (bebas dipilih) dan y merupakan variabel tak

bebas karena bergantung pada nilaix.

Suatu fungsi adalah suatu hubungan antarax dany sedemikian rupa sehingga untuk

setiap satu nilaix selalu mempunyai hubungan yang tunggal denga suatu nilaiy.

Gambar 1.3 Grafik dari suatu fungsi.

Sering kali pula ditulis


12/54

xii

).()( xfxyy == (1.2)

Dari semua grafik yang dapat dibentuk pada sistem koordinat Cartesius, grafik

fungsi linier adalah grafik yang paling sederhana. Dari dua titik pada koordinat Cartesius,

dapat digambarkan atau ditarik suatu garis lurus. Garis lurus, pada prinsipnya juga

merupakan grafik.

Garis singgung merupakan suatu garis lurus yang ditarik sedemikian rupa sehingga

hanya menyinggung pada suatu titik di kurva. Persamaan garis singgung yang terletak pada

kurva )(xfy = pada suatu titik ),( 00 yxP dapat dengan mudah ditentukan dengan prinsip

garis lurus yang menghubungkan dua titik pada sistem koordinat Cartesius.

Gambar 1.4 Grafik dari suatu fungsi dengan garis singgung.

Bila ),( 00 yyxxQ ++ merupakan titik di sekitar titik ),( 00 yxP pada grafik

fungsifsebagaimana dalam Gambar 1.4 di atas maka dengan mudah terlihat bahwa

).(

),(

00

00

xxfyy

xfy

+=+

=(1.3)

Dengan memperkurangkan kedua persamaan diatas diperoleh

),()( 00 xfxxfy += (1.4)

dimana y disini merupakan perubahan dalam y yang berhubungan terhadap perubahan

x pada x . Kemiringan dari garis penghubung kedua titikPQ adalah

,)()( 00

x

xfxxf

x

y

+=

(1.5)


13/54

xiii

yaitu perubahan rata-rata dari fdiantara 0x dan xx +0 . Kemiringan dari garis singgung

kurva )(xfy = pada 0x adalah

,

x

)x(f)xx(flim

dx

dy)x(f

xx

+==

00

00

0

(1.6)

yang juga dikenal sebagai turunan fungsi f terhadap x pada 0xx = atau laju perubahan

sesaat fungsifpada 0xx = .

INDIKATOR PENILAIAN

Keberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan konsep

dengan contoh, kejelasan uraian dan bahan pustaka yang berinovatif terbaru.

DAFTAR PUSTAKA

1. Thomas & Finney, Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley PublishingCompany.

2. Purchell,Kalkulus dan Analitik Geometri, Erlangga.3. Purcell, Edwin J. & Varberg Dale, Calculus and Analytic Geometry.


14/54

xiv

MODUL II


15/54

xv

MODUL II

JUDUL : KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar BelakangModul kedua ini merupakan awal dari pembahasan mengenai persamaan diferensial.

Pada dasarnya modul ini membahas tentang pengklasifikasian persamaan diferensial ke

dalam beberapa bentuk. Selain itu beberapa aplikasi sederhana dari suatu persamaan

diferensial juga diberikan. Seperti pada modul sebelumnya, metode pengajaran yang

digunakan dalam modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu dengan

metode Cooperative/Collaborative Learning.

B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang pendahuluan persamaan differensial,

persamaan differensial linier ordo satu dengan koefisien konstan, aplikasi dalam persoalan

bunga majemuk, persamaan differensial dengan variabel terpisah dan beberapa soal latihan.


modul di bawah.

D. Sasaran Pembelajaran ModulSasaran utama pembelajaran modul kedua ini adalah mampunya mahasiswa untuk

mengklasifikasikan persamaan differensial, berdasarkan ordo dari persamaan differensial

tersebut. Mendapatkan penyelesaian dari berbagai metode dan teknik penyelesaian dari

masing masing jenis klasifikasi persamaan differensial.



16/54

xvi

BAB II. PEMBAHASAN

A. Pendahuluan Persamaan DifferensialPersamaan differensial adalah persamaan yang mengandung turunan atau

differensial. Sebagaimana diperlihatkan didepan, turunan mempunyai arti perbandingan

antara variabel tak bebas dengan variabel bebasnya. Peubah tak bebas dapat saja muncul

secara alamiah dalam kehidupan sehari-hari.

Ordo n dari suatu persamaan differensial ditentukan oleh turunan tertinggi n yang

ada dalam persamaan differensial tersebut. Suatu persamaan differensial untuky dan

merupakan suatu fungsi tdisebut linier bila bentuk dalam persamaan terdiri dariy atau satu

dari turunannya dikalikan oleh suatu fungsi t ataupun hanya merupakan fungsi t.

B. Persamaan Differensial Linier Ordo Satu Dengan Koefisien KonstanBentuk umum persamaan differensial ini adalah bky

dt

dy+= dimana k dan b

merupakan konstan. Persamaan differensial ini dapat digunakan untuk memodel

pertumbuhan populasi.

C. Aplikasi Dalam Persoalan Bunga Majemuk


17/54

xvii

Pertumbuhan dari suatu investment terdiri dari bunga yang diberikan n kali per tahun

dengan besar suku bunga %R .A(t) merupakan nilai investasi pada waktu 0)0(,0 AAt = .

Bila bunga diperoleh diberikan sebanyakn kali tiap tahun maka

,)(100

)()()(

tahun,1

trtAn

RtAtAttAA

nt

=

=+=

=(2.1)

dimanan

tR

r1

,100

== .

Bila I merupakan tambahan investasi yang dilakukan tiap tahun yang jumlahnya

berbanding langsung dengan bunga yang diperoleh maka tambahan investasi adalah

tIn =1

(2.2)

Jadi A merupakan bunga yang diperoleh dalam selang waktu t ditambah dengan

investasi baru dalam selang tIttrAA += )( , atau

IrAt

A+=

. (2.3)

Disini sudah diperoleh persamaan differensial IrAdt

dA+= dengan syarat awal 0)0( AA = .

D. Persamaan Differensial Dengan Variabel TerpisahSuatu persamaan differensial ordo pertama disebut persamaan differensial dengan variabel

terpisah bila dapat diekspresikan dalam bentuk

)()( tgyfdt

dy= . (2.4)

Untuk menyelesaikan persamaan differensial diatas, harus ditulis dalam bentuk

.)()( dttgyf

dy

= (2.5)

Disini terlihat bahwa variabel-variabelnya dapat terpisahkan. Di ruas kiri persamaan

hanyalah mempunyai variabel y dan di ruas kanan persamaan hanyalah mempunyai

variabel t.


18/54

xviii

E. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan

konsep dengan contoh, kejelasan uraian dan bahan pustaka yang berinovatif terbaru.

DAFTAR PUSTAKA

1. Jeffry Kusuma, Persamaan Differensial Elementer, Belum Dipublikasikan.2. Boycee DiPrima, Elementary Differenstial Equations and Boundary Values Problems,

John Wiley Sons.

3. Zill, Dennis G., A First Course In Differential Equations, PWS Publishing Company.4. Lois Pipe, Applied Mathematics for Engineer and Scientist.5. Internet


19/54

xix

MODUL III


20/54

xx

MODUL III

JUDUL : PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO PERTAMA

BAB I. PENDAHULUANA. Latar Belakang

Modul ketiga ini pada umumnya membahas mengenai persamaan diferensial yang

berorde pertama diantaranya persamaan diferensial homogen, persamaan diferensial eksak

dan sebagainya. Modul pertama merupakan penunjang untuk modul ketiga ini karena pada

proses pencarian solusi dari persamaan diferensial orde pertama ini, banyak menggunakan

integral yang di bahas dalam modul pertama Metode pengajaran yang digunakan dalam

modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu dengan metode

Cooperative/Collaborative Learning.

B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang persamaan homogen, persamaan

differensial linier ordo satu, persamaan differensial bernoulli, persamaan differensial eksak.


modul di bawah.

D. Sasaran Pembelajaran ModulSasaran utama pembelajaran modul ketiga ini adalah mampunya mahasiswa untuk

mengetahui beberapa jenis persamaan differensial ordo pertama dan dapat menyelesaian

persamaan differensial tersebut.



21/54

xxi

BAB II. PEMBAHASAN

A. Persamaan HomogenPersamaan differensial ordo pertama disebut homogen jika dapat dituliskan dalam

bentuk

)(x

yF

dx

dy= . (3.1)

B. Persamaan Differensial Linier Orde SatuBentuk umum persamaan differensial linier ordo satu adalah

)()( xQyxPdx

dy=+ . (3.2)

Disini, bentuk bentuk non linier seperti 23

,, 2 yyydx

dydan lain-lain tidak dimasukkan lagi.

C. Persamaan Differensial BernoulliBentuk umum persamaan differrensial Bernoulli adalah

0)()( =++n

yxGyxFdx

dy

, .1,0n (3.3)

D. Persamaan Differensial EksakBentuk umum persamaan differensial eksak dapat dituliskan dalam rumusan atau

bentuk


22/54

xxii

0=

+

dyy

Fdx

x

F, (3.4)

dimana ),( yxFF= adalah suatu fungsi dua variabel darix dany. Jadi sekaliFdiperoleh

maka solusi umum persamaan differensial eksak ini dapat ditulis sebagai

cyxF =),( , (3.5)

dengan c merupakan sembarang konstan.

Secara umum suatu differensial 0),(),( =+ dyyxNdxyxM yang tidak eksak

dimanax

N

y

M

dapat dibuat menjadi persamaan differensial eksak dengan

memperkalikan dengan suatu fungsi ),( yx . Disini

0),(),(),(),( =+ dyyxNyxdxyxMyx , (3.6)

akan dibuat eksak bilamana dan hanya bilamana memenuhi hubungan

[ ] [ ]),(),(),(),( yxNyxx

yxMyxy

=

. (3.7)

Disini, fungsi ),( yx merupakan faktor integrasi dari persamaan differensial diatas.

E. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari kemapuan mahasiswa dalam menggunakan

metode subtitusi dan operator dalam menyelesaikan persamaan differensial.

DAFTAR PUSTAKA

1. Boycee DiPrima, Elementary Differenstial Equations and Boundary Values Problems,

John Wiley Sons.

2. Zill, Dennis G., A First Course In Differential Equations, PWS Publishing Company.

3. Lois Pipe, Applied Mathematics for Engineer and Scientist.


23/54

xxiii

MODUL IV


24/54

xxiv

MODUL IV

JUDUL : APLIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

BAB I. PENDAHULUANA. Latar Belakang

Modul keempat ini membahas mengenai aplikasi dari persamaan diferensial yang telah

dibahas pada modul-modul sebelumnya. Persamaan diferensial yang telah di bahas

sebelumnya diaplikasikan pada beberapa bidang diantaranya pada bidang mekanika,

ekonomi dan bidang-bidang lainnya. Seperti pada modul sebelumnya, metode pengajaran

yang digunakan dalam modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu

dengan metode Cooperative/Collaborative Learning.

B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang aplikasi dalam mekanika, pendinginan

newton, peluruhan radioaktif, aplikasi lainnya, aplikasi dalam ekonomi, kabel tergantung

dan beberapa soal latihan.


modul berikut.


D. Sasaran Pembelajaran Modul


25/54

xxv

Sasaran utama pembelajaran modul keempat ini adalah mampunya mahasiswa untuk

mengaplikasikan persamaan differensial dalam berbagai bidang diantaranya dalam bidang

mekanika, ekonomi dan fisika.

BAB II. PEMBAHASAN

Disini akan dilakukan beberapa aplikasi sederhana yang berhubungan dengan

persamaan differensial ordo satu.

A. Aplikasi Dalam MekanikaSuatu partikel bermassa m, jatuh bebas dari suatu ketinggian tertentu. Bila partikel

tersebut mendapat hambatan yang proporsional terhadap kcepatannya maka persamaan

geraknya dapat dituliskan dalam bentuk

dt

dx

dt

dx

mgdt

xdm

3

2

2 )(

= , (4.1)

dimana 0> konstanta proporsional. Persamaan differensial di atas dapat pula dituliskan

dalam bentuk

,)( 22

2

dt

dxmg

dt

xdm = bila 0

dt

dx,

(4.2)

,)( 22

2

dt

dxmg

dt

xdm += bila 0k menyatakan suatu besaran spesifik. Persamaan differensial diatas dapat

dituliskan dalam bentuk

,0

dtkTT

dT=

(4.4)

suatu persamaan differensial dengan variabel terpisah.

C. Peluruhan RadioaktifDalam persoalan peluruhan radioaktif, laju peluruhan proporsional terdapat sejumlah N

(t) yang ada. Persamaan differensial disini adalah

( )( ) 0, >= ktkN

dt

tdN. (4.5)

Solusi umumnya adalah

( ) ,ktCetN = (4.6)

atau lebih khusus lagi dapat dituliskan sebagai

( ) ( ) ,0 kteNtN = (4.7)

dimanaN(0) merupakan jumlah radioaktif yang ada awal mulainya perhitungan .

D. Aplikasi LainnyaDisini, tinjau empat ekor cecak yang pada mulanya berada pada empat titik yang

berlainan (+a, +a) dalam koordinat Cartesius OXY. Mereka bergerak satu dengan lainnya,

sehingga membentuk suatu kitaran ( lihat gambar 4.1). Carilah jalan yang dilalui cecak

tersebut.

Dari kesimetrisan disini diperoleh suatu posisi +(x,y), + (-y,x) dimana keempat posisi

ini saling tegak lurus satu sama lain. Selanjutnya garis (singgung) yang melalui titik pada

(x,y) dan cecak pada titik (-y,x) dapat ditulis sebagai tangen terhadap jalan dari cecak pada

(x,y) sehingga diperoleh persamaan differensial

,xy

xy

dx

dy

+

= (4.8)

yang harus memenuhi kondisi awaly = a bilamanax = a.


27/54

xxvii

Gambar 4.1 Posisi awal Cecak.

E. Aplikasi Dalam EkonomiMari tinjau suatu model dalam ekonomi yang bergantung dari waktu t. Bila P

melambangkan harga komoditi, S supply dari komoditi, D merupakan permintaan dari

komoditi tersebut maka parsamaan differensial yang berhubungan hal tersebut diatas

adalah

( ),SDkdt

dP= (4.9)

Dengan k konstanta positif. Bila diasumsikan bahwa S (Supply) bergantung pada musim

dan tak negatif sedemikian hingga( ) ( )[ ],cos1 tctS = (4.10)

c, konstanta positif. Juga asumsikanD adalah fungsi harga (yang selalu turun) yaitu

( ) ( ),tbPatD = (4.11)

a, b konstanta positif, maka diperoleh

( )( )[ ],cos1 tcbPakdt

dP= (4.12)

yang mana merupakan persamaan differensial orde pertama.

F. Kabel TergantungMari tinjau kabel tergantung sebagaimana dalam gambar 4.2 dibawah ini. Bila kabelnya

uniform dan bergantung karena pengaruh grafitasinya oleh beratnya dan dipilih koordinat

sumbu sedemikian sehingga sumbuy merupakan sumbu vertical dan melalui titik terendah


28/54

xxviii

dari kabel yang ditinjau. Selanjutnya tinjau potongan kabel antara titik terendah C dan

suatu titikP(x,y) pada kabel.

Gambar 4.2 Kabel tergantung.

Disini koordinat yang harus dipenuhi adalah

(1) Jumlah vektor dari semua gaya gaya luar pada CPadalah nol.

(2) Jumlah momen pada sembarang titik di CPadalah nol

Gaya-gaya yang bekerja pada potongan CPadalah

(1) gaya horizontal ( ) hT =0 yang ada pada C.

(2) Tegangan T(x) bekerja padaP.

(3) Beban yang berlaku pada CPyang dipakai menghasilkan hasil resultan gaya dan

jumlah momen gaya diasumsikan dapat digantikan dengan gaya tunggal W(x)yang bekerja ke bawah pada titikQ.

Gambar 4.3 Gaya yang bekerja pada kabel.


29/54

xxix

Bila kabel membuat sudut terhadap sumbux padaPsedemikian sehingga keadaan

equilibrium tercapai maka dengan memperhatikan komponen gaya horizontal diperoleh

persamaan:

,0cos = hT (4.13)

,0sin = wT (4.14)

dimana

.22 whT += (4.15)

Jadi

.cos

sin

h

w

dx

dy==

(4.16)

Bila persamaan di atas didifferensialkan terhadapx diperoleh persamaan dasarnya yaitu

.1

2

2

dx

dw

hdx

yd= (4.17)

Disini( )

dx

xdwmenyatakan pertambahan w per unit pertambahanx yaitu beban vertikal pada

P(x) per unit jarak dalam arahx.

G. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan


DAFTAR PUSTAKA


John Wiley Sons.



4. Internet.


30/54

xxx

MODUL V


31/54

xxxi

MODUL V

JUDUL : PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE TINGGI

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar BelakangModul kelima ini membahas mengenai persamaan diferensial yang mempunyai orde

yang lebih tinggi. Pada khususnya membahas mengenai metode penyelesaian dari

persamaan diferensial yang mempunyai orde tinggi. Metode pengajaran yang digunakan

dalam modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu dengan metode


B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang metode iterasi picard, persamaan

differensial linier dan beberapa soal latihan.


modul berikut.




32/54

xxxii

Sasaran utama pembelajaran modul ini adalah mahasiswa mampu untuk menyelesaikan

persamaan differensial yang berordo tinggi dengan metode iterasi Picard.

BAB II. PEMBAHASAN

Persamaan differensial orde dua mempunyai bentuk umum

.0),,,(2

2

=dx

yd

dx

dyyxF (5.1)

Dalam beberapa kasus persamaan differensial orde dua dapat direduksi kebentuk

persamaan differensial orde satu. Marilah tinjau dua bentuk persamaan differensial orde

dua.

Bentuk 1 :

Bentuk ini adalah bentuk dimana y tidak muncul secara explisit dalam persamaan

differensial. Bentuk umum tipe ini adalah :

,0),,(2

2

=dx

yd

dx

dyxF (5.2)

Bentuk 2 :

Persamaan differensial yang ada tidak memunculkan variabel x secara explisit dalam

persamaan differensial. Bentuk umum persamaan differensial ini adalah

.0),,(2

2

=dx

yd

dx

dyxF (5.3)

A. Metode Iterasi PicardTinjaulah suatu persoalan nilai awal

( ) ( ) ( )

( ) .

,,

00 yxy

yxfxy

dx

dxy

=

==(5.4)

Bila persamaan (5.4) diintegralkan kedua ruas diperoleh

( ) ( )( )+=x

xodttytfCxy ,, (5.5)

dengan Cmerupakan konstan sembarang.


33/54

xxxiii

Disini dengan mudah terlihat

( ) ( )( ) .,00

0 CdttytfCxyx

x=+=

Dan karena ( ) 00 yxy = berarti yoC= . Dituliskan

( ) ( )( ) ,,0

0 +=x

xdttytfyxy (5.6)

yang merupakan persamaan integral untuky(x). Persamaan integral (5.5) dan persamaan

differensial (5.4) beserta nilai awalnya merupakan persamaan yang ekuivalen.

B. Persamaan Differensial LinierBentuk yang paling umum dari suatu persamaan differensial linier yang berorde n

adalah

)()()()()( 11

1

10 xFyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa nnn

n

n

n

=++++

L , (5.7)

dimana Faaa n ,,,, 10 L merupakan fungsi darix saja.

Adalah hal yang tidak mungkin menyelesaikan suatu persamaan differensial linier

secara umum. Disini akan dipusatkan perhatian pada kasus dimana koefisien- koefisien

naaa ,,, 10 L merupakan konstan dan F(x) pada persamaan (5.7) merupakan fungsi-fungsi

yang umum seperti fungsi polynomial dalam x, fungsi trigonometri, fungsi eksponen.

Persamaan yang demikian ini dikenal dengan persamaan differensial linier dengan

koefisien konstan.

Sekarang marilah tinjau suatu metode untuk mendapatkan solusi umum suatu

persamaan differensial dalam bentuk

011

1

10 =++++

yadx

dya

dx

yda

dx

yda nnn

n

n

n

L , (5.8)

dimana naaa ,,, 10 L merupakan konstan. Dengan anggapan bahwa solusinya dapat ditulis

dalam bentuksxAey = , (5.9)

maka substitusi persamaan diatas ke dalam (5.8) diperoleh

{ } 01110 =++++ sxnnnn easasasaA L . (5.10)


34/54

xxxiv

Persamaan (5.10) merupakan persamaan aljabar (polynomial) yang mempunyai n solusi,

yaitu

nsss ,,, 21 L . (5.11)

Bilan

sss ,,,21L merupakan bilangan real dan tak ada dua diantaranya yang sama maka

persamaan (5.11) akan mempunyai solusi umum yang dapat ditulis dalam bentuk

xs

n

xsxs neAeAeAy +++= L21 21 , (5.12)

dimana nAAA ,,, 21 L merupakan sembarang konstan.

Bila nsss ,,, 21 L merupakan bilangan real dan tak ada dua dari rsss ,,, 21 L yang sama

tetapi ssss nrr ==== ++ L21 maka solusi umum dari persamaan (5.8) akan mempunyai

bentuk

( ) sxrnnrr

xs

r

xsxs

exAxAA

eAeAeAy r

1

21

2121

++ +++

++++=

L

L

(5.13)

dimana nrr AAAAA ,,,,,, 121 LL + merupakan sembarang konstan.

Wronskian dari suatu persamaan differensial dapat dihubungkan dengan koefisien

dari persamaan differensial tersebut. Sebagai contoh marilah tinjau persamaan

0)()()( 212

2

0 =++ yxadxdyxadxydxa . (5.14)

Bila )(1 xy dan )(2 xy adalah solusi dari persamaan differensial diatas maka harus

memenuhi persamaan

0121110 =++ yayaya (5.15)

atau

0222120 =++ yayaya . (5.16)

Metode lain yang dapat dipergunakan untuk mendapatkan solusi khusus suatu

persamaan differensial adalah metode variasi parameter (konstan).

Tidaklah terlalu sulit untuk memperlihatkan bahwa bila

)()( 21 xBuxAuy += ,


35/54

xxxv

merupakan solusi homogen dari )(xfQyyPy =++ dengan QP, fungsi x maka solusi

khusus persamaan differensial tersebut adalah

)()()()( 21 xuxbxuxay += , (5.17)

dimana

).()()()()(

,0)()()()(

21

21

xfxuxbxuxa

xuxbxuxa

=+

=+(5.18)

Hal ini berlaku pula untuk persamaan differensial linier dengan derajat yang lebih tinggi.

Metode lain yang dapat dipergunakan untuk mendapatkan solusi khusus suatu

persamaan differensial dengan koefisien konstan adalah metode operatorD. Bila bentuk

umum suatu persamaan differensial dituliskan sebagai

)()( xfyD = . (5.19)

dimana

=

=n

i

in

iDaD0

)( ,

dengan niai ,,2,1,0, L= merupakan konstan maka solusi khusus persamaan differensial

adalah

),()(

1xf

Dy

= (5.20)

dengan ruas kanan persamaan merupakan solusi khusus yang dimaksud.

C. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan


DAFTAR PUSTAKA


John Wiley Sons.2. Zill, Dennis G., A First Course In Differential Equations, PWS Publishing Company.


4. Internet


36/54

xxxvi

MODUL VI


37/54

xxxvii

MODUL VI

JUDUL : TEKNIK TRANSFORMASI INTEGRAL

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar BelakangPada modul keenam ini beberapa teknik penyelesaian persamaan diferensial akan

dibahas. Seperti pada modul sebelumnya, metode pengajaran yang digunakan dalam modul

ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu dengan metode


B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang defenisi teknik transformasi integral,

transformasi laplace, shifting sumbu t dan sumbu s, tabel transformasi laplace, fungsi dirac-

delta, fungsi langkah tunggal, teorema konvolusi, aplikasi pada persamaan

differensialaplikasi dalam mekanika, pendinginan newton, peluruhan radioaktif, aplikasi

lainnya, aplikasi dalam ekonomi, kabel tergantung dan beberapa soal latihan.


modul berikut.




38/54

xxxviii

Sasaran utama pembelajaran modul Transformasi Laplace adalah mampunya

mahasiswa menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan transformasi

Laplace.

BAB II. PEMBAHASAN

Disini dibahas cara menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan teknik

transformasi integral, pada khususnya transformasi Laplace. Pada dasarnya transformasi

Laplace mentransformasikan persamaan differensial beserta syarat awalnya ke dalam

persamaan aljabar. Persamaan aljabar ini yang kemudian diselesaikan dan

ditransformasikan balik hingga diperoleh solusi persamaan differensial yang dimaksud.

Defenisi :

Suatu fungsi f yang terdefinisikan dalam suatu selang atau interval ),0[ , transformasi

Laplacenya diberikan oleh

( ) ( ) ( )== 0},{ dttfesttfsf

st, (6.1)

bilamana ruas kanan persamaan diatas mempunyai arti.

Disini tidak terlalu sulit membuktikan bahwa bila suatu transformasi Laplace ada pada

=s maka ada pula untuk >s . Demikian pula dapat dibuktikan bahwa terdapat fungsi

yang tidak mempunyai transformasi Laplace untuk sembarang nilai s; misalnya fungsi

( )2tetf = .

Bila dua fungsifdangidentik kecuali pada suatu titik tertentu ataupun pada sejumlah

tertentu titik dan keduanya mempunyai hasil transformasi maka kedua hasil transformasi

tersebut identik. Jadi disini terlihat bahwa secara umum, transformasi Laplace tidak

mempunyai transformasi balik yang tunggal (unique).

Selanjutnya cuma dibahas fungsi-fungsi yang kontinu dengan transformasi balik yang

tunggal (Teorema Lerch). Suatu kondisi yang perlu disini untuk menjamin adanya

transformasi balik ( )sf adalah ( ) 0lim =

sfs

.

Transformasi Laplace merupakan operator linear dalam arti

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ }.;;

,;;;

sttfcsttcf

sttgsttfsttgtf

=

+=+(6.2)


39/54

xxxix

Transformasi Laplace untuk turunan dari suatu fungsi yang merupakan suatu hubungan

yang amat berguna yaitu

( ){ } ( ) ( ){ }

( )[ ] ( )

( ) ( ) .0,0

;

'

00

00''

>=

+=

==

==

sfssf

dttfestfe

tfdedttfesttf

stt

tst

stst

(6.3)

Jadi dapat pula diperoleh

( ){ } ( ){ } ( )

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ),00

00

0;;

'2

'

''"

fsfsfs

ffsfss

fsttfssttf

=

=

=

(6.4)

Teorema :

( ){ } ( ),; asfsttfeat =

( ){ } ( ) ( ){ } .,2,1,;1; == nsttfds

dsttft

n

nnn (6.5)

Penentuan { }sttn

; bila ( )1>n yang bukan merupakan bilangan bulat (bulat integer)dapat dilakukan sebagai berikut,

{ } ( )

( )1

01

0

1

1

,ambil;

+

+

+=

=

===

n

nu

n

nstn

s

n

duues

dtsdustudttestt

(6.6)

dimana ( ) =+

01 duuen nu , dikenal sebagai fungsi Gamma.

Suatu persoalan yang muncul dalam aplikasi/penerapan dari transformasi Laplace

adalah penentuan transformasi f(t) sedemikian sehingga ( )pf tunggal. Untuk fungsi


40/54

xl

Heaviside seperti diatas, diperkenalkan fungsi Dirac Delta ( )t yang mana didefinisikan

bernilai nol di semua tempat kecuali pada titikt= 0 yaitu

( ) ,0,0 = tt (6.7)

dan ( )

=0 1.dtt (6.8)

Defenisi :

Bila f dan g merupakan dua buah fungsi yang terdefenisi dalam selang ),0[ maka

[ ]( ) ( ) ( ) =t

dtgftgf0

* disebut konvolusi dari fungsifdang.

INDIKATOR PENILAIAN

Keberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan konsepdengan contoh, kejelasan uraian dan bahan pustaka yang berinovatif terbaru.

DAFTAR PUSTAKA


John Wiley Sons.



4. Internet


41/54

xli

MODUL VII


42/54

xlii

MODUL VII

JUDUL : SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar BelakangPada modul ketujuh ini akan dibahas persamaan diferensial dengan tingkat yang lebih

tinggi yang berupa sistem persamaan diferensial. Seperti pada modul sebelumnya, metode

pengajaran yang digunakan dalam modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang

dipadu dengan metode Cooperative/Collaborative Learning.

B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang Sistem persamaan differensial simultan,

persoalan Lotka-Volterra dan beberapa soal latihan.


modul berikut.




43/54

xliii

Sasaran utama pembelajaran modul sistem persamaan differensial adalah mampunya

mahasiswa membedakan antara persamaan differensial dan sistem persamaan differensial

serta mengetahui aplikasi dari sistem persamaan differensial.

BAB II. PEMBAHASAN

A. Sistem Persamaan Differensial SimultanPada bagian ini dibahas suatu himpunan dari persamaan differensial yang simultan

dengan dua atau lebih variabel.

Selanjutnya disini diperlihatkan bahwa penggunaan operator D, sering dapat

menyederhanakan masalah eliminasi.

B. Persoalan Lotka-VolteraPersoalan Lotka-Voltera dikenal pula sebagai persoalan mangsa pemangsa. Bila x

mewakili jumlah populasi mangsa dan y mewakili jumlah populasi pemangsa maka pada

kasus 0=y (tidak adanya pemangsa) populasi mangsa akan tumbuh secara eksponensial

yang diwakili oleh 0, 11 >= axadt

dx. Pada kasus 0=x (tidak adanya mangsa) diharapkan

pertumbuhan pemangsa negatif secara eksponensial yang diwakili oleh 0, 11 >= bybdt

dy

karena pemangsa akan mati karena kelaparan.

Suatu cara yang sering digunakan disini dikenal dengan analisa Phase Plane (bidang

fasa) sering digunakan dalam menginterpretasi persamaan differensial diatas. Bila x dan y

dianggap sebagai kecepatan partikel yang bergerak dalam bidang xy maka gerak atau jejak

partikel tersebut dapat direprentasikan sebagai persamaan parametrik.

),,(;),,( 212211 cctycctx == , (7.1)

dimana 21,cc ditentukan dari

),,0( 21 cc dan ),,0( 212 cc (7.2)

Titik equilibrium atau titik keseimbangan atau titik dimana tidak adanya perubahan terjadi

dicapai bila .0==dt

dy

dt

dx


44/54

xliv

Dalam hal tersebut diatas, terdapat dua titik keseimbangan yaitu )0,0( dan ),(2

1

2

1

a

a

b

b.

Selanjutnya akan diselidiki kelakuan dari fungsi x dan y disekitar titik keseimbangan

tersebut .

Kasus I : Titik keseimbangan (0,0)

Pada sekitar titik ini, nilai dari xya2 cukup kecil sehingga dapat diabaikan. Demikian pula

dengan nilai dari xyb2 , karena perkalian bilangan kecil dengan bilangan kecil

menghasilkan bilangan yang lebih kecil lagi. Jadi sistem persamaan differensial linier dapat

dituliskan

,

,

1

1

ybdt

dy

xadt

dx

=

=(7.3)

dengan solusi

taectx 11)( = dan

tbecty 12)(

= ; 0, 21 cc .

Gambar 7.2 Grafik Kesetimbangan model Mangsa Pemangsa.

Kasus II : Titik keseimbangan ),(2

1

2

1

a

a

b

b

Ambil va

ayu

b

bx +=+=

2

1

2

1 , maka diperoleh sistem persamaan differensial baru yaitu


45/54

xlv

,))(()(

,))(()(

2

2

11

2

1

2

12

2

11

2

2

12

2

1

2

12

2

11

uvbub

bav

a

au

b

bbv

a

ab

dt

dv

uvavb

bav

a

au

b

bau

b

ba

dt

du

+=++++=

=+++=

(7.4)

Karena disekitar titik ),(2

1

2

1

a

a

b

b, u dan 1


46/54

xlvi

yang merupakan persamaan differensial dengan variabel terpisah. Dengan integrasi

diperoleh

,)ln()ln( 2121 cyayaxbyb =+ (7.10)

atau

Aeyxyaxbab =+ )( 2211 , (7.11)

dengan A adalah konstanta sembarang yang dapat diperlihatkan merupakan suatu kurva

yang tertutup, dengan periode yang makin mendekati ke11

2

baT = bila makin dekat ke titik

kesetimbangan.

C. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan


DAFTAR PUSTAKA


John Wiley Sons.



4. Internet


47/54

xlvii

MODUL VIII


48/54

xlviii

MODUL VIII

JUDUL : SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN

MENGGUNAKAN DERET DAN METODE NUMERIK

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar BelakangModul ini merupakan modul terakhir yang membahas mengenai pencarian solusi

persamaan diferensial dengan menggunakan metode numerik. Metode pengajaran yang

digunakan dalam modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu dengan

metode Cooperative/Collaborative Learning.

B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang pencarian solusi dengan menggunakan

deret, menggunakan metode numerik, persoalan nilai awal-metode langkah tunggal,

metode deret taylor, metode runge-kutta, perluasan metode ordo satu dan beberapa soal

latihan.


modul berikut.



49/54

xlix

D. Sasaran Pembelajaran ModulSasaran utama pembelajaran modul ini adalah mampunya mahasiswa menyelesaikan

persamaan differensial dengan menggunakan metode deret dan metode numerik.

BAB II. PEMBAHASAN

A. Solusi Dengan Menggunakan DeretBanyak solusi persamaan differensial yang bentuknya sederhana tidak dapat diperoleh

dalam bentuk analitik dari fungsi-fungsi sederhana.

Dalam hal seperti ini, solusinya mungkin diperoleh dalam bentuk deret yang secara teori

selalu dapat diterapkan pada persamaan differensial ordo berapapun.

Disini akan dibahas suatu persamaan differensial ordo dua linier yang mempunyai bentuk

umum,

0=++ ryyqyp , (8.1)

dimana rqp ,, merupakan fungsi kuadratik darix.

Solusi dicari dalam bentuk

0, 00

=

=axaxy

n

nn

c . (8.2)

Persamaan differensial ordo dua dengan koefisien variabel secara umum mempunyai

persamaan0)()()( =++ yxryxqyxp , (8.4)

dimana rqp ,, merupakan polinomial yang dapat saja berupa polinomial yang mempunyai

titik singular.

B. Solusi Menggunakan Metode NumerikBanyak persamaan differensial biasa, bahkan yang kelihatannya sangat sederhana

tidak dapat diselesaikan secara analitik dalam bentuk fungsi tertabulasi. Walaupun suatu

solusi analitik ada, sering diperlukan upaya yang cukup rumit dan panjang untuk

memperolehnya. Lagi pula solusi itu hanya berlaku untuk nilai tertentu saja dari variabel

bebasnya.

Disini, tinjau solusi umum persamaan differensial dalam bentuk

0),,,,( = LyyyxQ , (8.5)


50/54

l

dimana melibatkan satu atau lebih konstanta sembarang. Solusi khususnya diperoleh

dengan bantuan beberapa kondisi ekstra untuk menentukan konstantanya.

Banyak metode numerik yang dapat dipakai menyelesaikan persoalan nilai awal. Biasanya

dapat diklasifikasikan dalam,

(1). Metode langkah tunggal

(2). Metode beberapa langkah (banyak langkah).

C. Persoalan Nilai Awal-Metode Langkah TunggalC.1.Metode Deret Taylor

Metode ini dapat diterapkan dalam persamaan differensial orde berapapun. Tinjau

persamaan differensial orde dua berikut,

),,( yyxfy = . (8.6)

dengan 00 , yy diberikan. Bila diasumsikan bahwa solusinya ada dan semua turunannyapun

ada maka berlaku ekspansi deret Taylor pada radius yang cukup besar dan konvergen pada

setiap titik L,,, 210 xxx .

Kesulitannya utama disini, terletak pada penghitungan turunan tingkat tinggi.

Dalam hal khusus, bisa saja diperoleh suatu hubungan tertentu, misalnya pada persamaan

differensial orde dua berikut

0=++ ryyqyp , (8.7)

dengan rqp ,, merupakan fungsi kuadrat darix.

C.2.Metode Runge-KuttaMetode ini dapat diberlakukan pada persamaan differensial orde satu tunggal maupun

sekumpulan atau sehimpunan persamaan differensial ordo satu. Marilah tinjau terlebih

dahulu persamaan differensial

),( yxfy = . (8.8)

Dengan 0y yang diberikan ( 0y inilah yang menentukan ketunggalan solusi). Suatu aplikasi

langsung dari deret Taylor yang melibatkan turunan tingkat tinggi dari sejumlah titik bisa

saja tidak menjadi praktis. Dalam metode Runge-Kutta, ekspansi deret Taylor dilakukan

secara tidak langsung dalam arti bahwa nilai-nilai turunan tingkat tinggi tidak dihitung


51/54

li

secara eksplisit. Dengan notasi yang sama dengan sebelumnya, yakni solusi yang dicari

didasarkan pada ),( rr yx maka penghitungan 1+ry dapat ditulis sebagai

{

}),(),(),( 11101

hzyhxf

hzyhxfyxfhyy

prprp

rrrrrr

++

++++++=+ L(8.9)

dimana ppp zz ,,,,,,,, 110 LLL dipenuhi sedemikian rupa sehingga ruas kanan

persamaan (8.97) dapat diekspansikan dan disamakan koefisien h-nya dengan ekspansi

deret Taylor untuk 1+ry , yakni

L+++=+ rrrr yh

yhyy!2

2

1 ,

atau

pprr kkkyy +++++=+L

11001 , (8.10)

dimana

),,(

),(

),(

),(

11,1100

12102022

01011

0

+++++=

+++=

++=

=

ppppprprp

rr

rr

rr

kkkyhxhfk

kkyhxhfk

kyhxhfk

yxhfk

L

M

dan koefisien ijii ,, harus ditentukan.

Koefisien-koefisien ini merupakan konstan untuk metode tertentu karena bebas dari fdan r.

Dengan memajukan satu langkah dari ),( rr yx ke ),( 11 ++ rr yx diperlukan evaluasi fpada

titik (p+1).

Solusi numerik persamaan ),( yxfy = dimana diberikan 0y dapat diperoleh dengan

mengaplikasikan berulang-ulang hubungan

,0,)1(

),,(),,(

101

221

0

0

++=

++==

+ cckkcyy

yxhfkyxhfk

rr

c

krc

hr

rr

dimana langkah dari rx ke 1+rx melibatkan kesalahan )(3

hO . Metode diatas dikenal

sebagai Metode Runge-Kutta ordo dua.


52/54

lii

Salah satu solusi dari yang paling sering digunakan adalah metode ordo empat.

Disini 1+ry diperoleh dengan kesalahan )(3hO dari rumusannya, yaitu

)22(6

132101 kkkkyy rr ++++=+ , (8.11)

dimana

).,(

),,(

),,(

),,(

23

121

21

2

021

21

1

0

kyhxhfk

kyhxhfk

kyhxhfk

yxhfk

rr

rr

rr

rr

++=

++=

++=

=

(8.12)

C.3.Perluasan Metode Orde SatuAnggaplah bahwa kita mempunyai sepasang persamaan simultan yaitu,

),,,(

),,,(

zyxgz

zyxfy

== (8.13)

dan juga dengan notasi biasanya 0y dan 0z yang diberikan. Hal ini memberikan nilaiy dan

z yang tunggal sebagai fungsi dari x. Metode Runge-Kutta orde 4 dapat diperluas untuk

menyelesaikan persamaan sebelumnya sebagai berikut, yaitu 1+ry dan 1+rz dihitung dengan

error (kesalahan) berorde 5 yaitu )(5hO dari hubungan

)22(6

1

32101

kkkkyyrr

++++=+

,

)22(6

132101 llllzz rr ++++=+ ,

dimana

).,,(

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(

223

121

121

21

2

021

021

21

1

0

223

121

121

21

2

021

021

21

1

0

lzkyhxhgl

lzkyhxhgl

lzkyhxhgl

zyxhgl

lzkyhxhfk

lzkyhxhfk

lzkyhxhfk

zyxhfk

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

+++=

+++=

+++=

=

+++=

+++=

+++=

=

Untuk persamaan differensial orde dua, katakan yang berbentuk


53/54

liii

),,( yyxfy = . (8.14)

Dengan 00 ,yy yang diberikan, maka persamaan ini dapat diselesaikan dengan terlebih

dahulu direduksi ke dalam dua persamaan differensial ordo satu

),,,(

,

zyxfz

zy

== (8.15)

dimana 0y dan 0z diberikan.

Lebih umum lagi, untuk persamaan

),,,,( )1()( = ss yyyxfy L , (8.16)

dimana )1(000 ,,, syyy L diberikan, dapat direduksi ke dalam suatu sistem persamaan

differensial linier orde satu dengan nilai awal yang bergantung pada variabel yang

diberikan pada 0x .

D. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan

konsep dengan contoh dan ketepatan mahasiswa dalam menyelesaikan masalah persamaan

differensial dengan metode numerik.

DAFTAR PUSTAKA

1. Jeffry Kusuma, Persamaan Differensial Elementer, (Belum dipublikasikan).


John Wiley Sons.



5. Internet


54/54

Lembar KonsultasiPembuatan Modul

Persamaan Differensial

Nama Coach / Reviewer : Ir. Machmud Syam, DEA

Nama Coachy : DR. Jeffry Kusuma

No Tanggal Rekomendasi / Catatan TTD Coach

1

2

3

4

5

Makassar, . 2008

Konsultan Coaching Clinic SCL

I M h d S DEA

per samaan

Documents