pengaruh nilai mata kuliah logika dan teori … · menempuh mata kuliah pengantar aljabar abstrak...

PENGARUH NILAI MATA KULIAH LOGIKA DAN TEORI HIMPUNAN

TERHADAP PEMAHAMAN MAHASISWA DALAM MATA KULIAH

PENGANTAR ALJABAR ABSTRAK

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

Wulan Ana Suwasti

NIM : 131414013

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

SKRIPSI


iii

SKRIPSI


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Di dalam hidup ini, kita tidak bisa berharap segala yang kita dambakan

bisa di raih dalam sekejap. Lakukan saja perjuangan dan terus berdoa, maka

Tuhan akan menunjukkan jalan selangkah demi selangkah.”

-Merry Riana-

“Bersabarlah, tunggu dan terus berusaha. Semakin baik kamu

melatih diri, semakin kuat kamu menghadapi badai nanti.

Hanya orang-orang tangguh yang bisa mendapatkan apa yang

diimpikannya dengan utuh. Teruslah berjuang langkah demi

langkah, hingga semua yang kamu inginkan menjadi bagian

yang indah. Meski butuh proses yang tidak mudah.”

-Boy Candra-

Skripsi ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus yang senantiasa menyertai langkahku

Bapakku Agus Winarno dan Ibuku Puji Sudariningsih

Adikku Wahyu Dwi Setyawan

Semua keluargaku

Partnerku Yulius Wahyu Putranto


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 14 Maret 2018

Penulis

Wulan Ana Suwasti


vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Wulan Ana Suwasti

NIM : 131414013

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya berjudul:

PENGARUH NILAI MATA KULIAH LOGIKA DAN TEORI HIMPUNAN

TERHADAP PEMAHAMAN MAHASISWA DALAM MATA KULIAH

PENGANTAR ALJABAR ABSTRAK

Dengan demikian, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis

tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya

selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang dibuat dengan sebenarnya.


Yang menyatakan

Wulan Ana Suwasti


vii

ABSTRAK

Wulan Ana Suwasti. 2018. Pengaruh Nilai Mata Kuliah Logika Dan Teori

Himpunan Terhadap Pemahaman Mahasiswa Dalam Mata Kuliah Pengantar

Aljabar Abstrak. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh dan hubungan antara

nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa

dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak. Berdasarkan hasil observasi awal,

masih banyak ditemui mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika Universitas

Sanata Dharma yang mengalami kesulitan dalam mempelajari Pengantar Aljabar

Abstrak. Hal ini terlihat dari persentase nilai kurang dari 68 yang diperoleh

mahasiswa pada UTS 1 sebesar 58%. Salah satu penyebabnya adalah materi

Logika dan Teori Himpunan yang menjadi prasyarat Pengantar Aljabar Abstrak

kurang dikuasai.

Jenis penelitian yang digunakan adalah metode penelitian asosiatif dengan

pendekatan kuantitatif. Penelitian dilaksanakan dari tanggal 22 Februari 2017

sampai dengan 24 Mei 2017. Sampel dalam penelitian ini adalah mahasiswa Prodi

Pendidikan Matematika FKIP Universitas Sanata Dharma Yogyakarta yang

menempuh mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak kelas B pada tahun akademik

2016/2017 semester genap, yakni sebanyak 53 mahasiswa. Data yang

dikumpulkan berupa nilai mata kuliah Logika, nilai mata kuliah Teori Himpunan,

dan nilai mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak yang diperoleh

dari bagian sekretariat JPMIPA dan dosen. Metode pengumpulan data

menggunakan metode dokumentasi, observasi, dan kepustakaan. Sedangkan untuk

mengolah data dilakukan dengan analisis regresi berganda dan analisis korelasi

berganda. Untuk menguji hipotesis menggunakan statistik Uji-F.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa (1) berdasarkan perhitungan uji

statistik diperoleh nilai F0 = 4,114 > nilai Ftabel = 3,18, maka H0 ditolak. Artinya,

ada pengaruh nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman

mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak. (2) Berdasarkan

perhitungan uji statistik diperoleh nilai F0 = 4,114 > nilai Ftabel = 3,18, maka H0

ditolak. Artinya, ada hubungan nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan

terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak.

Berdasarkan hasil hitung koefisien korelasi berganda yaitu 0,376 dan kriteria

penilaian koefisien nilai tersebut masuk pada kriteria rendah atau lemah tapi pasti.

Artinya bahwa antara nilai mata kuliah Logika dan nilai mata kuliah Teori

Himpunan terdapat hubungan positif dan rendah atau lemah tapi pasti terhadap

pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak.

Kata Kunci : Nilai Mata Kuliah Logika dan Teori Himpunan, Pengantar Aljabar

Abstrak, Pengaruh.


viii

ABSTRACT

Wulan Ana Suwasti. 2018. The Influence of the Score of Logic Course and Set

Theory Towards Understanding of the Student in Introduction to Abstract

Algebra Course. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics

and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and

Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This research aims to determine the influence and relationship between

Logic course and Set Theory towards understanding of the student in Introduction

to Abstract Algebra course. Based on the preliminary observation, there are still

many students of the Study Program of Mathematics Education in Sanata Dharma

University who have difficulty in learning Introduction to Abstract Algebra. It can

be seen on the percentage of the score that less than 68 that they achieve on first

Mid Term Test as 58%. One of the causes is the Logic and Set Theory as the

precondition of Introduction to Abstract Algebra is less mastered.

The type of the research used is associative research method with

quantitative approach. The research was conducted from February 22 to May 24,

2017. The sample of the research is the students of Mathematics Education Study

Program of Teacher Training and Education Faculty of Sanata Dharma

University Yogyakarta who take course of Introduction to Abstract Algebra of B

class on academic year of 2016/2017 on even semester, in the number of 53

students. Data gathered as the score of Logic course, Set Theory course, and

Introduction to Abstract Algebra course which is obtained from the secretariat of

JPMIPA and lecturers. The method of data collecting used documentation,

observation, and literature. To process the data is conducted through multiple

regression analysis and multiple correlation analysis. To test the hypothesis F-

Test statistics is used.

The result of the research showed that (1) based on the calculation of

statistical tests obtained value F0 = 4,114 > value Ftabel = 3,18, then H0 rejected.

This means that there is the influence of the score of Logic course and Set Theory

towards understanding of the student in Introduction to Algebra Abstract course.

(2) Based on the calculation of statistical tests obtained value F0 = 4,114 > value

Ftabel = 3,18, then H0 rejected. This means that there is relationship of score of

Logic course and Set Theory towards understanding of the student in Introduction

to Algebra Abstract course. Based on the results of multiple correlation

coefficient calculation is 0,376 and coefficient scoring criteria this value belongs

to low or weak but sure criteria. This means that between the score of Logic

course and Set Theory there is positive and low or weak but sure relationship

towards understanding of the student in Introduction to Abstract Algebra course.

Keywords: Influence, Introduction to Abstract Algebra, Score of Logic Course

and Set Theory.


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat dan

kasih karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi yang

berjudul “Pengaruh Nilai Mata Kuliah Logika dan Teori Himpunan Terhadap

Pemahaman Mahasiswa Dalam Mata Kuliah Pengantar Aljabar Abstrak” dengan

baik.

Dalam penyusunan skripsi ini penulis memperoleh banyak bantuan,

semangat, dan doa yang sangat mendukung penulis dalam menyelesaikan skripsi

ini. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan

Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku ketua Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

3. Beni Utomo, M.Sc., selaku ketua Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

4. Cyrenia Novella Krisnamurti, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang

telah berkenan meluangkan waktu, tenaga serta pikiran untuk membimbing

penulis sekaligus memberikan pengarahan-pengarahan dan saran yang sangat

membantu dalam penyusunan skripsi ini sampai selesai.

5. Dra. Haniek Sri Partini, M.Pd., selaku Dosen Pembimbing Akademik atas

segala bimbingan, saran, dan bantuannya.

6. Para dosen penguji atas pengarahan, bantuan, kritik, maupun saran kepada

penulis.

7. Seluruh Bapak Ibu Dosen dan Karyawan Jurusan Pendidikan Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam yang telah membimbing penulis selama menempuh

pendidikan di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

8. Seluruh mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika FKIP USD yang mengikuti

mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak kelas B pada tahun akademik

2016/2017 semester genap atas kerjasamanya dalam pelaksanaan penelitian.


x

9. Bapak Agus Winarno dan Ibu Puji Sudariningsih yang selalu memberikan

kasih sayang, perhatian, dukungan baik moral maupun material selama ini.

10. Adikku Wahyu Dwi Setyawan atas perhatian, dukungan, dan doanya.

11. Oriana Tio Parahita yang bersedia meluangkan waktu serta memberikan

bantuan, kritik maupun saran yang membangun dalam penyusunan skripsi ini.

12. Semua keluarga dan saudara-saudaraku yang selalu mendoakan, memberikan

dukungan dan semangat kepada penulis.

13. Partnerku Yulius Wahyu Putranto yang selalu ada untuk meluangkan waktu,

memberikan nasihat dan motivasi untuk segera menyelesaikan skripsi ini

beserta segala perhatian, dukungan, semangat, dan doa yang diberikan selama

ini.

14. Tika, Rani, Ritva, dan Elisa yang sudah bersedia menjadi teman dikala suka

maupun duka serta memberikan dukungan, semangat, motivasi, dan bantuan

kepada penulis selama kuliah.

15. Sahabatku Lorensia Stefin Indra Hapsari yang selalu ada untuk memberikan

dukungan, semangat, motivasi, dan selalu menemaniku dan menghiburku

ketika sedang jenuh dalam proses menyelesaikan skripsi ini.

16. Buat teman-teman PMAT 2013 atas kebersamaan kita selama kuliah.

17. Dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu terima kasih

atas bantuan dan dukungan yang diberikan kepada penulis.

Akhir kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi

semua pihak yang berkepentingan.


Penulis

Wulan Ana Suwasti


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii

HALAMAN PERSEMBAHAN............................................................................. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI................................. vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ........................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiii

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ............................................................................... 1

B. Identifikasi Masalah ..................................................................................... 5

C. Rumusan Masalah ........................................................................................ 6

D. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 6

E. Pembatasan Masalah .................................................................................... 6

F. Penjelasan Istilah (Batasan Istilah) .............................................................. 7

G. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 9

BAB II KAJIAN PUSTAKA ................................................................................ 11

A. Hal-hal Teoritik dan Informasi-informasi Mendasar ................................. 11

B. Kerangka Berpikir ...................................................................................... 87

C. Hipotesis Penelitian .................................................................................... 90

BAB III METODE PENELITIAN........................................................................ 91

A. Jenis Penelitian ........................................................................................... 91

B. Subjek Penelitian ........................................................................................ 92

C. Objek Penelitian ......................................................................................... 94

D. Perumusan Variabel-variabel ..................................................................... 95

E. Bentuk Data ................................................................................................ 96

F. Metode Pengumpulan Data ........................................................................ 96


xii

G. Teknik Analisis Data ................................................................................ 100

H. Prosedur Pelaksanaan Penelitian Secara Keseluruhan ............................. 112

BAB IV PELAKSANAAN PENELITIAN, PENYAJIAN DATA, ANALISIS

DATA DAN PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN ...................................... 115

A. Deskripsi Lokasi Penelitian...................................................................... 115

B. Pelaksanaan Pengumpulan Data atau Kegiatan di Lapangan .................. 116

C. Penyajian Data Penelitian ........................................................................ 117

D. Analisis Data dan Penyajian Hasil Analisis ............................................. 122

E. Pembahasan Hasil Analisis Data .............................................................. 131

F. Keterbatasan Penelitian ............................................................................ 134

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 136

A. Kesimpulan .............................................................................................. 136

B. Saran ......................................................................................................... 136

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 138

LAMPIRAN ........................................................................................................ 140


xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 1.1 Persentase Nilai UTS 1 ........................................................................... 3

Tabel 3.1 Interval Nilai Koefisien Korelasi dan Kekuatan Hubungan ............... 110

Tabel 4.1 Distribusi Nilai Mata Kuliah ............................................................... 118

Tabel 4.2 Distribusi Nilai Logika........................................................................ 120

Tabel 4.3 Distribusi Nilai Teori Himpunan ........................................................ 121

Tabel 4.4 Distribusi Nilai Pengantar Aljabar Abstrak ........................................ 122

Tabel 4.5 Uji Normalitas ..................................................................................... 123

Tabel 4.6 Uji Multikolinieritas ............................................................................ 124

Tabel 4.7 Uji Heteroskedastisitas ........................................................................ 125

Tabel 4.8 Uji Linearitas Nilai Logika (X1) dan Nilai PAA (Y) .......................... 126

Tabel 4.9 Uji Linearitas Nilai Teori Himpunan (X2) dan Nilai PAA (Y) ........... 126

Tabel 4.10 Rangkuman Analisis Regresi Ganda................................................. 128

Tabel 4.11 Rangkuman Analisis Korelasi Ganda ............................................... 129


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Menurut James dan James (1976) pengertian matematika adalah ilmu

tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang

berhubungan satu dengan lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar

yaitu aljabar, analisis dan geometri. Beberapa ahli lain beranggapan bahwa

matematika terbagi menjadi empat bagian yaitu aritmatika, aljabar, geometris

dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan statistika.

Suherman (2001:25) berpendapat bahwa konsep-konsep matematika tersusun

secara hierarkis, terstruktur, logis, dan sistematis mulai dari konsep yang

paling sederhana sampai konsep yang paling kompleks. Terdapat konsep atau

topik prasyarat sebagai dasar untuk memahami topik atau konsep selanjutnya

(Tim MKPBM, 2001). Menurut Brunner (dalam Ruseffendi, 1991) dalam

bidang studi matematika setiap konsep selalu berkaitan dengan konsep yang

lain, misalnya antara dalil dengan dalil, teori dengan teori, antara topik dengan

topik dan antara cabang matematika.

Pengantar Aljabar Abstrak merupakan salah satu mata kuliah yang harus

ditempuh oleh mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika. Mata kuliah ini

diberlakukan untuk mahasiswa yang berada di semester IV. Mahasiswa yang

akan menempuh mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak ini diharuskan telah

menempuh mata kuliah prasyarat yaitu mata kuliah Logika dan Teori


2

Himpunan. Persyaratan ini dibuat karena Pengantar Aljabar Abstrak dalam

matematika merupakan hal yang sulit untuk dipahami, karena materinya

bersifat abstrak (Nurlaelah, et al., 2009; Carnia, et al., 2014).

Materi yang diajarkan dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak di

Prodi Pendidikan Matematika adalah Grup, Ring, dan Field. Grup merupakan

materi dasar yang harus dipahami oleh mahasiswa karena untuk mempelajari

Ring dan Field membutuhkan konsep yang terdapat dalam materi Grup. Grup

adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari sebuah himpunan dan sebuah

operasi yang menggabungkan sebarang dua elemen tersebut untuk membentuk

sebuah elemen baru yang juga terdapat pada himpunan tersebut. Materi ini

cukup sulit dipahami oleh sebagian besar mahasiswa. Kesulitan ini tidak saja

dirasakan oleh mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika Universitas Sanata

Dharma saja, tetapi juga dirasakan oleh mahasiswa prodi yang sama pada

universitas berbeda. Seperti yang ditulis oleh Hazzan (1999) dalam papernya

yang berjudul “Reducing Abstraction Level When Learning Abstract Algebra

Concepts”, yang mengemukan bahwa beberapa pengajar Pengantar Aljabar

Abstrak melaporkan kesulitan yang dihadapi oleh mahasiswa dalam menyerap

materi yang diberikan.

Peneliti yang merupakan mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma juga mengalami kesulitan untuk memahami materi

yang terdapat dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak. Berdasarkan

observasi yang dilakukan oleh peneliti di awal perkuliahan, masih banyak

ditemui mahasiswa yang belum menguasai materi Logika dan Teori


3

Himpunan sebagai prasyarat dalam mempelajari Pengantar Aljabar Abstrak.

Hal tersebut terlihat dari beberapa mahasiswa yang mengalami kesulitan untuk

membuktikan kebenaran suatu pernyataan ketika diminta maju ke depan untuk

mengerjakan soal-soal yang diberikan oleh dosen. Selain itu, dari hasil

dokumentasi yang dilakukan oleh peneliti terhadap tingkat penguasaan

mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma,

diketahui bahwa tingkat penguasaan mahasiswa terhadap mata kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak masih tergolong rendah ditunjukkan dengan masih

rendahnya hasil belajar mahasiswa pada mata kuliah tersebut. Hal tersebut

terjadi karena masih banyak ditemui mahasiswa yang mengalami kesulitan

memahami definisi-definisi dan teorema-teorema yang terdapat dalam mata

kuliah tersebut.

Berdasarkan kriteria penilaian yang ditetapkan oleh dosen pengampu mata

kuliah Pengantar Aljabar Abstrak, mahasiswa yang tergolong memiliki

pemahaman Pengantar Aljabar Abstrak baik adalah mahasiswa yang

memperoleh nilai minimal 68. Sehingga apabila mahasiswa memiliki

kecenderungan memperoleh nilai kurang dari 68 berarti tingkat penguasaan

atau pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak

masih tergolong rendah. Data ini dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 1.1 Persentase Nilai UTS 1 Mahasiswa Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

Prodi Pendidikan Matematika Tahun Ajaran 2016/2017 Kelas B

Persentase Nilai

68 68 Rata-rata

58% 42% 57.94821

Sumber : Data Dosen Pengantar Aljabar Abstrak USD


4

Dari tabel di atas diketahui bahwa dari seluruh mahasiswa (sebanyak 53

mahasiswa) yang menempuh Mata Kuliah Pengantar Aljabar Abstrak di Prodi

Pendidikan Matematika Kelas B Tahun Ajaran 2016/2017 yang mendapat

nilai kurang dari 68 dalam Ujian Tengah Semester (UTS) sebanyak 58% (31

mahasiswa). Hal ini menunjukkan bahwa penguasaan mahasiswa dalam mata

kuliah Pengantar Aljabar Abstrak masih rendah.

Rendahnya penguasaan dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak

menurut asumsi peneliti dikarenakan nilai hasil belajar mahasiswa pada mata

kuliah prasyarat (mata kuliah Logika dan Teori Himpunan) juga masih sangat

rendah. Apabila mahasiswa mendapat nilai yang baik pada mata kuliah

prasyarat, maka dimungkinkan mahasiswa juga mendapat nilai yang baik pada

mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak.

Berdasarkan uraian di atas, maka peneliti tertarik untuk melakukan

penelitian terhadap mahasiswa S1 Prodi Pendidikan Matematika Universitas

Sanata Dharma kelas B dengan judul “Pengaruh Nilai Mata Kuliah Logika dan

Teori Himpunan Terhadap Pemahaman Mahasiswa Dalam Mata Kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak”. Diharapakan mahasiswa yang mendapat nilai

mata kuliah Logika dan Teori Himpunan yang baik akan berpengaruh pada

tingkat penguasaan mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak

yang berpengaruh pada peningkatan nilai mahasiswa.


5

B. Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dijabarkan, maka dapat

diidentifikasikan permasalahan sebagai berikut:

1. Banyak mahasiswa yang masih mengalami kebingungan mengaitkan apa

yang sudah diketahui untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan.

Hal tersebut dikarenakan mahasiswa terbiasa dengan pola penalaran

induktif, kurang menguasai metode-metode pembuktian matematika

beserta ciri-cirinya, dan seringkali tidak berpegang pada prinsip-prinsip

dasar Logika Matematika dan Teori Himpunan.

2. Mahasiswa masih kesulitan untuk membuktikan teorema-teorema,

mengimplementasikan definisi, serta menggunakan suatu definisi dan

teorema untuk menunjukkan kebenaran teorema-teorema selanjutnya. Hal

tersebut mengakibatkan mahasiswa tidak mampu mengimplementasikan

definisi atau teorema secara benar.

Beberapa penyebab kesulitan mahasiswa dalam memahami materi

tersebut, diantaranya: 1) konsep yang ada pada mata kuliah Pengantar Aljabar

Abstrak sangat abstrak, sehingga cukup sulit diterima oleh mahasiswa, 2)

contoh-contoh yang adapun tidak dapat dengan mudah dikenali oleh

mahasiswa, 3) banyak mahasiswa yang belum familiar dengan metode-

metode pembuktian (Hazzan, 1999). Asiala, et al (1997) mengemukakan

bahwa pada umumnya, mahasiswa memiliki kesulitan untuk memahami

konsep dari himpunan yang anggota-anggotanya merupakan himpunan juga.


6

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka peneliti merumuskan beberapa

masalah sebagai berikut:

1. Apakah ada pengaruh antara nilai mata kuliah Logika dan Teori

Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar

Aljabar Abstrak?

2. Bagaimana hubungan antara nilai mata kuliah Logika dan Teori


Aljabar Abstrak?

D. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah yang telah diuraikan, maka tujuan

penelitian ini adalah untuk mengetahui:

1. Pengaruh antara nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap


2. Hubungan antara nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap


E. Pembatasan Masalah

Dalam penelitian ini, peneliti akan melihat ada atau tidaknya pengaruh

serta mencari hubungan antara nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan

terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar

Abstrak. Untuk mendapatkan arah pembahasan yang lebih baik sehingga


7

tujuan dari penelitian ini bisa dicapai, maka peneliti akan membatasi ruang

lingkup permasalahan yang ada yaitu sebagai berikut:

1. Mahasiswa yang akan diteliti hanya berasal dari satu kelas yaitu

mahasiswa kelas B Universitas Sanata Dharma yang mengikuti mata

kuliah Pengantar Aljabar Abstrak tahun akademik 2016/2017/semester

Genap.

2. Ukuran keberhasilan pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak dilihat dari nilai yang diperoleh mahasiswa

selama mengikuti perkuliahan berdasarkan pada daftar nilai keseluruhan

dari dosen pengampu mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak, meliputi:

keaktifan, tugas-tugas, UTS, dan UAS.

F. Penjelasan Istilah (Batasan Istilah)

Sebagai langkah untuk menghindari kesalahan penafsiran atau interpretasi

yang tidak dikehendaki pada judul Pengaruh Nilai Mata Kuliah Logika dan

Teori Himpunan Terhadap Pemahaman Mahasiswa Dalam Mata Kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak dan sebagai langkah untuk lebih memfokuskan

penelitian, maka penting bagi peneliti untuk memberikan penjelasan istilah,

yaitu sebagai berikut:

1. Pengaruh

Secara umum, pengaruh diartikan dalam KBBI (Kamus Besar

Bahasa Indonesia) adalah daya yang ada atau timbul dari sesuatu (orang,

benda) yang ikut membentuk watak, kepercayaan atau perbuatan


8

seseorang. Sedangkan pengertian menurut Badudu Zain (2001:1031),

pengaruh adalah 1) daya yang menyebabkan sesuatu yang terjadi; 2)

sesuatu yang dapat membentuk atau mengubah sesuatu yang lain.

Dari pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa pengaruh

merupakan sumber daya yang dapat membentuk atau mengubah sesuatu

yang lain. Sehingga, dalam penelitian ini penulis meneliti mengenai

seberapa besar daya (pengaruh) yang ada atau yang ditimbulkan dari nilai

mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa

dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak.

2. Nilai

Secara umum, nilai diartikan dalam KBBI (Kamus Besar Bahasa

Indonesia) adalah angka kepandaian; biji; ponten. Sedangkan menurut

Sumadi Suryabrata (2006: 297), nilai merupakan perumusan terakhir yang

dapat diberikan oleh guru mengenai kemajuan/prestasi belajar selama

masa tertentu.

3. Pemahaman

Secara umum, pemahaman diartikan dalam KBBI (Kamus Besar Bahasa

Indonesia) adalah proses, cara, perbuatan memahami.

4. Pengantar Aljabar Abstrak

Pengertian pengantar menurut KBBI adalah pandangan umum secara

ringkas sebagai pendahuluan. Aljabar adalah cabang matematika yang

mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Bidang matematika yang

mengkaji Struktur Aljabar seperti Grup, Gelanggang (Ring), Lapangan


9

(Field) disebut Aljabar Abstrak. Kajian dimulai dengan suatu himpunan

tak kosong yang dilengkapi dengan satu komposisi biner (Struktur

Aljabar). Bidang kajian ini sering disebut Aljabar (saja) sebagai

kependekan Aljabar Abstrak atau disebut juga Struktur Aljabar. Pengantar

Aljabar Abstrak merupakan salah satu mata kuliah yang diberikan pada

prodi S1 Pendidikan Matematika di Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Universitas Sanata Dharma. Mata kuliah ini terdapat di

semester IV dengan bobot 3 SKS.

G. Manfaat Penelitian

1. Bagi Penulis

Sebagai sarana untuk menambah wawasan dan pengetahuan yang

berkaitan dengan masalah yang diteliti, yaitu mengetahui pengaruh nilai

mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa

dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak.

2. Bagi Mahasiswa dan Dosen

Hasil penelitian dapat dijadikan pertimbangan bagi mahasiswa yang

akan mengikuti mata kuliah Logika dan Teori Himpunan untuk

mempelajari secara sungguh dan menguasai/paham benar akan mata

kuliah tersebut sebagai bekal pengetahuan untuk dapat mengambil

dan mengikuti mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak.

Sebagai bahan masukan dan pertimbangan bagi dosen agar materi

yang terdapat dalam mata kuliah Logika dan Teori Himpunan harus


10

diperkuat, mengingat materi dalam mata kuliah tersebut menjadi

prasyarat untuk mempelajari Pengantar Aljabar Abstrak.

Sebagai bahan masukan bagi pendidik dan mahasiswa Prodi

Pendidikan Matematika FKIP Universitas Sanata Dharma agar dapat

meningkatkan mutu pembelajaran mata kuliah Logika, Teori

Himpunan dan Pengantar Aljabar Abstrak sehingga dapat

menciptakan guru-guru profesional.

3. Bagi Jurusan

Hasil penelitian ini dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan

referensi di perpustakaan.


11

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. Hal-hal Teoritik dan Informasi-informasi Mendasar Terkait dengan

Masalah yang Diteliti

Pada sub bab ini akan diberikan definisi dan contoh-contoh yang berkaitan

dengan masalah yang akan diteliti. Berdasarkan latar belakang, peneliti

menduga bahwa tingkat penguasaan mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar

Aljabar Abstrak akan semakin baik apabila nilai mahasiswa pada mata kuliah

prasyarat yaitu nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan juga baik. Oleh

karena itu, untuk mengawali pembahasan dalam mata kuliah Pengantar

Aljabar Abstrak, mahasiswa perlu mengingat kembali materi tentang Logika,

Himpunan, dan Pemetaan (Fungsi) yang terdapat pada mata kuliah Logika dan

Teori Himpunan. Selanjutnya akan diberikan definisi dan contoh uraian materi

pencapaian yang harus ditempuh mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar

Aljabar Abstrak.

2.1 Nilai Mata Kuliah Logika

2.1.1 Pengertian Logika

Definisi 2.1 (Frans Susilo, 2012: 11)

Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-

kaidah penalaran yang absah (valid).

Terdapat dua macam penalaran yaitu penalaran deduktif dan penalaran

induktif. Penalaran deduktif adalah penalaran untuk menarik kesimpulan


12

berdasarkan premis-premis yang dianggap benar dengan mengikuti pola

tertentu. Sedangkan penalaran induktif adalah penalaran untuk menarik

kesimpulan yang berlaku umum berdasarkan sejumlah premis yang

bersifat faktual. Penalaran deduktif seringkali juga disebut penalaran

formal, karena penalaran itu didasarkan pada bentuk/pola/susunan premis-

premisnya. Penalaran induktif sering-kali juga disebut penalaran

material, karena didasarkan pada fakta/materi yang diungkapkan oleh

premis-premisnya.

2.1.2 Logika Simbolik

Frans Susilo (2012) mengatakan bahwa saat ini logika simbolik

terdiri dari dua cabang utama, yaitu Logika Proposisi dan Logika

Predikat.

1) Logika Proposisi


Logika Proposisi adalah suatu pernyataan atau kalimat deklaratif

yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak dapat sekaligus

keduanya.

Ada lima buah operasi logis yang digunakan antara lain negasi,

konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Menurut Frans

Susilo (2012), berikut ini akan dibahas masing-masing kata hubung

kalimat tersebut.


13

a) Negasi

Negasi dari suatu proposisi adalah proposisi yang dibentuk

dengan menambahkan (atau menyisipkan) kata “tidak” (atau

“bukan”) pada proposisi semula. Negasi suatu proposisi p

disimbolkan dengan .p

b) Konjungsi

Konjungsi adalah proposisi yang dibentuk dengan cara

menggabungkan kedua proposisi itu dengan menggunakan kata

perangkai (operasi logis) “dan”. Konjungsi dua buah proposisi p

dan q disimbolkan dengan .p q

c) Disjungsi

Disjungsi adalah proposisi yang dibentuk dengan

menghubungkan kedua proposisi itu dengan menggunakan kata

perangkai (operasi logis) “atau”. Disjungsi dua buah proposisi p

dan q disimbolkan dengan .p q

d) Implikasi

Implikasi adalah proposisi yang dibentuk dari dua proposisi

dengan menggunakan kata perangkai (operasi logis) “Jika (Bila),

...., maka ....”. Implikasi dua buah proposisi p dan q , yaitu

“Jika ,p maka q ”, disimbolkan dengan .p q Dalam implikasi

,p q proposisi p disebut anteseden (atau premis) dan

proposisi q disebut konsekuen (atau kesimpulan).


14

e) Biimplikasi

Biimplikasi adalah proposisi yang disusun dari dua proposisi

dengan menggunakan kata perangkai “jika (bila) dan hanya jika

(bila)”, yang sering disingkat menjadi “jhj” atau “bhb”.

Biimplikasi dua buah proposisi p dan q , yaitu “ p jika dan

hanya jika q ”, disimbolkan dengan .p q

2) Logika Predikat


Logika Predikat adalah logika yang mengakomodasikan struktur-

struktur internal meliputi perbedaan antara proposisi umum dan

proposisi khusus, serta adanya dua bagian pokok dari suatu

proposisi yakni bagian subyek dan bagian predikat.

Logika predikat terdiri dari dua pembahasan yaitu proposisi umum

(universal) dan proposisi khusus (eksistensial). Proposisi universal

adalah proposisi yang menyatakan bahwa semua anggota (subyek)

dari semesta wacananya mempunyai sifat seperti yang dinyatakan

oleh predikat dari proposisi itu (Frans Susilo, 2012: 33). Contoh

proposisi universal:

“Semua mahasiswa mempunyai telepon genggam”

Sedangkan proposisi eksistensial adalah proposisi yang menyatakan

bahwa dalam semesta wacananya terdapat sekurang-kurangnya satu

anggota (subjek) yang mempunyai sifat seperti yang dinyatakan oleh

predikat dari proposisi itu (Frans Susilo, 2012: 33). Contoh proposisi


15

eksistensial:

“Ada mahasiswa yang mempunyai telepon genggam”

Pada dasarnya kedua macam proposisi itu menegaskan suatu

kuantitas tertentu (yaitu “semua” atau “sekurang-kurangnya satu”)

dari anggota-anggota semesta wacananya memenuhi sifat yang

dinyatakan oleh predikatnya, maka diperkenalkan konsep kuantor

universal (universal quantifier), dengan lambang “ ”, untuk

proposisi universal, dan kuantor eksistensial (existential quantifier),

dengan lambang “ ”, untuk proposisi eksistensial.

x dibaca untuk setiap x berlakulah …….

x dibaca ada x yang berlaku …….

Negasi pernyataan berkuantor, jika dituliskan secara simbolik adalah:

x p(x) negasinya x p(x)

x p(x) negasinya x p(x)

x y p(x,y) negasinya x y p(x,y)

x y p(x,y) negasinya x y p(x,y)

2.1.3 Metode-Metode Pembuktian Matematika

1) Metode Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung adalah cara pembuktian yang berpangkal

pada premis-premis yang diketahui dan dengan menggunakan kaidah

inferensi yang sesuai akhirnya diperoleh pernyataan yang akan

dibuktikan sebagai kesimpulannya (Frans Susilo, 2012: 47).


16

Ciri-ciri metode pembuktian langsung adalah membuktikan

teorema berupa pernyataan yang berbentuk implikasi. Untuk

membuktikan kebenaran suatu implikasi dapat menggunakan metode

pembuktian langsung, yaitu pernyataan-pernyataan pada

antesedennya kita jadikan premis, dan bersama premis-premis

lainnya yang relevan, dengan menggunakan kaidah-kaidah inferensi

yang sesuai, kita berusaha memperoleh pernyataan pada

konsekuennya sebagai kesimpulan, maka implikasi tersebut bernilai

benar sebab antesedennya bernilai benar (karena merupakan

konjungsi dari premis-premis yang bernilai benar) dan konsekuennya

juga bernilai benar (sebab dari premis-premis yang bernilai benar,

dengan kaidah inferensi, hanya dapat dihasilkan kesimpulan yang

benar).

Menurut Frans Susilo (2012), yang termasuk contoh metode

pembuktian langsung antara lain:

a) Modus Ponens

Premis 1 : p q

Premis 2 : p

Kesimpulan : q

b) Modus Tollens

Premis 1 : p q

Premis 2 : q

Kesimpulan : p


17

c) Silogisme Hipotetis

Premis 1 : p q

Premis 2 : q r

Kesimpulan : p r

2) Metode Pembuktian Tidak Langsung

Misalkan akan dibuktikan kebenaran dari suatu pernyataan p.

Dengan metode pembuktian tidak langsung buktinya berpangkal pada

negasi dari pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya itu, yaitu

.p Bersama premis-premis lainnya yang relevan, dan dengan

menggunakan kaidah inferensi yang sesuai, akhirnya diperoleh suatu

kontradiksi, yaitu suatu pernyataan bersama dengan negasinya,

misalnya .q q Dari situ disimpulkan bahwa pernyataan p benar.

Karena berakhir dengan suatu kontradiksi, maka metode pembuktian

ini seringkali juga disebut metode pembuktian dengan kontradiksi

(Frans Susilo, 2012: 49).

3) Pembuktian dengan Induksi Matematis

Ciri-ciri pembuktian dengan induksi matematis adalah

semestanya memuat suatu bilangan asli. Pembuktian dengan induksi

matematis dipergunakan untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan

adalah benar untuk setiap bilangan bulat positif (Frans Susilo,

2012:51). Metode pembuktian ini didasarkan pada suatu teorema

dalam Teori Bilangan yang dikenal dengan nama Prinsip Induksi

Matematis yang berbunyi sebagai berikut:


18

Jika N adalah himpunan semua bilangan bulat positif dan M

adalah himpunan bagian dari N yang memenuhi dua sifat berikut:

a) 1 M (disebut langkah awal)

b) Jika ,k M maka 1k M untuk setiap ,k N maka M N

(disebut langkah induksi).

2.1.4 Nilai Mata Kuliah Logika

Keberhasilan mahasiswa dalam menempuh suatu mata kuliah

ditentukan berdasarkan nilai yang diperoleh mahasiswa selama mengikuti

perkuliahan. Penilaian hasil prestasi belajar ini dijadikan bahan refleksi

bagi para pendidik (dosen) untuk mengetahui apakah selama proses

pembelajaran mahasiswa yang bersangkutan telah mencapai standar

kompetensi atau kemampuan yang diharapkan sesuai dengan silabus yang

diberikan di awal perkuliahan. Penilaian diperoleh dari hasil kegiatan

belajar mengajar di kelas meliputi: keaktifan, tugas, kuis, uts, dan uas.

Pada penelitian ini, nilai mata kuliah Logika diperoleh peneliti dengan

menggunakan cara dokumentasi yakni dengan meminta data dari bagian

sekretariat Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sanata Dharma. Nilai yang diambil adalah perolehan nilai

final (akhir) yang diterima mahasiswa setelah menempuh mata kuliah

Logika.


19

2.2 Nilai Mata Kuliah Teori Himpunan

2.2.1 Pengertian Himpunan

Istilah himpunan seringkali dijumpai ketika mempelajari Aljabar

Abstrak. Hal ini dikarenakan himpunan merupakan dasar dari berbagai

pembahasan mengenai Struktur Aljabar. Definisi himpunan dapat dilihat

sebagai berikut:


Himpunan merupakan suatu kumpulan atau koleksi obyek-obyek

(konkret maupun abstrak) yang mempunyai kesamaan sifat

tertentu.

Suatu himpunan haruslah terdefinisi secara tegas, dalam arti bahwa

untuk setiap objek dalam semestanya dapat ditentukan secara tegas

apakah objek tersebut merupakan anggota himpunan itu atau tidak.

Dengan kata lain, untuk setiap himpunan terdapat batas yang tegas anatar

objek-objek dalam semesta yang tidak merupakan anggota dari himpunan

itu. Oleh karenanya himpunan semacam ini seringkali juga disebut

himpunan tegas (crisp set).

Suatu himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf besar,

misalnya A, B, C, dst. Obyek-obyek yang merupakan anggota dari suatu

himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu, dan

dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya a, b, x, y, dst. Untuk setiap

objek dalam semesta wacana dari suatu himpunan hanya ada dua

kemungkinan, yaitu merupakan anggota dari himpunan itu atau tidak


20

merupakan anggota dari himpunan itu. Suatu himpunan dikatakan

terdefinisi dengan baik (well-defined) bila untuk setiap elemen dari

semestanya dapat ditentukan dengan tegas apakah elemen itu merupakan

anggota himpunan itu atau tidak.

Karena himpunan-himpunan bilangan seringkali dipakai dalam

matematika, maka himpunan-himpunan itu biasanya disajikan dengan

lambang tertentu sebagai berikut:

Himpunan bilangan asli (bilangan bulat positif) N = {1, 2, 3, ...}.

Himpunan bilangan bulat Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

Himpunan bilangan rasional Q 3 2 1 1 2 3

, , , ,0, , , , .2 2 2 2 2 2

Himpunan bilangan real R .Irasional

Himpunan bilangan kompleks | , , , 1 .z z x yi x y i

Apabila suatu objek x merupakan anggota dari himpunan ,A

maka dapat dinyatakan dengan notasi

x A

dan apabila objek y tidak merupakan anggota dari himpunan ,A maka

dapat dinyatakan dengan notasi

.y A

2.2.2 Cara Menyatakan Himpunan

Ada beberapa cara untuk menyatakan suatu himpunan antara lain:


21

1) Cara daftar, yaitu menyatakan suatu himpunan dengan menuliskan

satu per satu lambang anggota-anggotanya di antara tanda kurung

kurawal.

Contoh :

, , , ,

1,2,3,4,5,

A a b c d e

2) Cara syarat keanggotaan, yaitu dengan menyatakan syarat yang

harus dipenuhi oleh elemen-elemen himpunan semesta untuk menjadi

anggota himpunan itu (syarat itu disebut syarat keanggotaan dari

himpunan yang bersangkutan).

Contoh :

{A x x adalah salah satu dari lima huruf pertama dalam abjad}

0x x x

3) Fungsi karakteristik, yaitu suatu fungsi dari himpunan semesta X ke

himpunan {0,1}. Suatu himpunan A dalam semesta X dapat

dinyatakan dengan fungsi karakteristik

: 0,1A X

Yang didefinisikan dengan aturan

1

0A

jika x Ax

jika x A

untuk setiap .x X


22

Contoh :

Misalkan , , , , , , , , ,X a b c d e A a b e B c d dan , , ,C a d e

maka :

,1 , ,1 , ,0 , ,0 , ,1

,0 , ,0 , ,1 , ,1 , ,0

,1 , ,0 , ,0 , ,1 , ,1

A

B

C

a b c d e

a b c d e

a b c d e

2.2.3 Himpunan Kosong dan Himpunan Bagian


Suatu himpunan yang sama sekali tidak memuat anggota disebut

himpunan kosong dan dilambangkan dengan atau .

Suatu himpunan yang hanya memuat satu elemen disebut himpunan

elemen tunggal (singleton).

Contoh : | 0 0A x x x


Suatu himpunan A dalam semesta X dikatakan merupakan

himpunan bagian (subhimpunan) dari himpunan ,B dengan notasi

,A B

jika dan hanya jika setiap anggota dari himpunan A juga

merupakan anggota dari himpunan .B Jadi

.A B jhj x X x A x B


23

Contoh:

{ |x x adalah bilangan bulat} dan { |x x adalah bilangan real},

maka

karena setiap bilangan bulat adalah bilangan real sehingga setiap anggota

himpunan adalah anggota himpunan .

2.2.4 Nilai Mata Kuliah Teori Himpunan

Nilai yang diperoleh mahasiswa selama menempuh suatu mata

kuliah dijadikan bahan refleksi bagi dosen untuk mengetahui apakah

mahasiswa telah mencapai standar kompetensi atau kemampuan yang

diharapkan muncul setelah proses pembelajaran di kelas. Nilai tersebut

meliputi: keaktifan, tugas, kuis, uts, dan uas. Pada penelitian ini, nilai

mata kuliah Teori Himpunan diperoleh peneliti dengan menggunakan cara

dokumentasi yakni dengan meminta data dari bagian sekretariat Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata

Dharma. Nilai yang diambil adalah perolehan nilai final (akhir) yang

diterima mahasiswa setelah menempuh mata kuliah Teori Himpunan.

2.3 Fungsi (Pemetaan)

Himpunan tidak hanya merupakan objek yang dipelajari oleh matematika,

tetapi juga merupakan sarana yang dipergunakan oleh matematika untuk

membangun dan mengembangkan konsep-konsep dan kebenaran-kebenaran


24

matematis. Salah satu konsep dasar dalam matematika yang dibangun dengan

menggunakan himpunan adalah konsep Relasi, yang merumuskan kaitan

antara entitas dalam matematika. Salah satu bentuk khusus yang amat penting

dari Relasi adalah Fungsi (atau Pemetaan), yang mendasari konsep-konsep

penting lainnya dalam matematika. Dengan menggunakan konsep Fungsi

dapat dibandingkan dua buah himpunan, termasuk dua buah himpunan

dengan Struktur Aljabar tertentu seperti Grup, Ring, dan Field.

2.3.1 Fungsi

Definisi 2.7 (Frans Susilo, 2012: 111-112)

Suatu fungsi adalah relasi khusus f antara elemen-elemen dalam suatu

himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan .Y Untuk setiap

elemen dalam himpunan X terdapat dengan tunggal elemen dalam

himpunan Y yang berelasi dengannya. Relasi khusus semacam itu disebut

fungsi (pemetaan) dari himpunan X ke himpunan ,Y dan disajikan

dengan lambang:

: .f X Y

Himpunan X disebut domain dari fungsi f dan dilambangkan dengan

,dom f sedangkan himpunan Y disebut kodomain dari fungsi f dan

dilambangkan dengan .cod f Jika ,x X maka elemen y Y yang

berelasi dengan elemen x itu disebut bayangan (atau peta) dari x oleh

fungsi ,f atau nilai dari fungsi f di ,x dan dilambangkan dengan

.y f x


25

2.3.2 Fungsi-Fungsi Khusus

Definisi 2.8 (Injektif) (Frans Susilo, 2012: 115-116)

Suatu fungsi :f X Y disebut fungsi (pemetaan) injektif jika dan hanya

jika untuk setiap 1 2, xx X berlaku apabila 1 2f x f x maka 1 2 ,x x

yaitu bila dua elemen dalam domain mempunyai bayangan yang sama,

maka kedua elemen itu adalah elemen yang sama.

Secara simbolis:

f adalah fungsi injektif jhj 1 2 1 2 1 2, .x x X f x f x x x

Contoh:

Misalkan :f yang didefinisikan sebagai 3 2.f x x

Buktikan bahwa f merupakan fungsi injektif.

Penyelesaian:

1 2 1 2 1 2,x x f x f x x x

Ambil sebarang 1 2,x x dengan 3

1 1( ) 2f x x dan 3

2 2 2f x x

Akan dibuktikan bahwa 1 2x x

Bukti:

3

1 1( ) 2f x x (definisi)

3

2 2 2f x x (definisi)

1 2f x f x (diketahui)

3 3

1 22 2x x (definisi)


26

3 3

1 2x x (kedua ruas ditambah 2)

1 2x x

Definisi 2.9 (Surjektif) (Frans Susilo, 2012: 116)

Suatu fungsi :f X Y disebut fungsi (pemetaan) surjektif jika dan hanya

jika kisaran dari fungsi f tersebut sama dengan kodomain dari fungsi ,f

yaitu .f X Y

Dengan perkataan lain, fungsi :f X Y adalah fungsi surjektif jika dan

hanya jika untuk setiap y Y terdapat x X sedemikian sehingga

,y f x yaitu setiap elemen dalam kodomain mempunyai prabayangan.

Secara simbolis:

f adalah fungsi surjektif jhj .y Y x X y f x

Contoh :

Misalkan :g yang didefinisikan sebagai 10.g x x

Buktikan bahwa g merupakan fungsi surjektif.

Penyelesaian:

b a b g a

Untuk setiap b terdapat 10a b sedemikian sehingga

10g a a

10 10b

b


27

Definisi 2.10 (Bijektif) (Frans Susilo, 2012: 116)

Suatu fungsi :f X Y disebut fungsi (pemetaan) bijektif jika dan hanya

jika fungsi f tersebut adalah fungsi yang injektif dan sekaligus surjektif,

maka pada suatu fungsi bijektif, setiap elemen dalam domain mempunyai

tepat satu bayangan, dan setiap elemen dalam kodomain juga mempunyai

tepat satu prabayangan.

Oleh karena itu, fungsi bijektif seringkali disebut korespondensi satu-satu.

Contoh :

Fungsi :f dengan 2 1, .f x x x

Buktikan bahwa f merupakan fungsi bijektif.

Penyelesaian:

(a) Injektif

1 2 1 2 1 2,x x f x f x x x

Ambil sebarang 1 2,x x dengan 1 1( ) 2 1f x x dan 2 22 1f x x

Akan dibuktikan bahwa 1 2x x

Bukti:

1 1( ) 2 1f x x (definisi)

2 22 1f x x (definisi)

1 2f x f x (diketahui)

1 22 1 2 1x x (definisi)

1 22 2x x (kedua ruas dikurang 1)


28

1 2x x

(b) Surjektif

y x y f x

Untuk setiap y terdapat 1

2

yx

sedemikian sehingga

2 1f x x

1

2 12

y

1 1y

y

(c) Fungsi tersebut adalah fungsi bijektif karena merupakan fungsi yang

injektif dan sekaligus surjektif.

2.4 Teori Grup

2.4.1 Grup

Salah satu sistem aljabar yang paling sederhana adalah Grup. Grup

didefinisikan sebagai himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan

operasi biner yang memenuhi beberapa aksioma, di antaranya tertutup,

asosiatif, memiliki elemen identitas, dan memiliki elemen invers. Apabila

salah satu aksioma tidak terpenuhi maka bukan Grup. Cabang matematika

yang mempelajari Grup disebut Teori Grup.


29

Definisi 2.11 (Operasi Biner) (Sukirman, 2014:60)

Misalkan S suatu himpunan yang tidak kosong. Operasi pada

elemen-elemen S disebut operasi biner, apabila setiap dua elemen

, ,a b S maka ,a b S atau dikatakan bahwa operasi pada S

bersifat tertutup. Dapat pula dikatakan bahwa operasi merupakan

operasi biner pada S, apabila operasi merupakan pemetaan dari

S S ke S, yaitu ,ba S S maka .a b S

Contoh:

Diberikan himpunan \ 0 dan operasi " " , \ 0a b dengan

definisi . .a b ab b Tunjukkan bahwa " " merupakan operasi binner!

Penyelesaian:

Akan dibuktikan bahwa " " merupakan operasi binner pada \ 0 .

Berarti akan ditunjukkan 1 2 1 2 1 2 1 2, , , \ 0a a b b a a b b

berlaku 1 1 2 2a b a b

Ambil sebarang 1 2 1 2, , , \ 0a a b b dengan 1 2a a dan 1 2b b .

Akan ditunjukkan bahwa 1 1 2 2a b a b

1 1 1 1 1.a b a b b definisi " " pada \ 0

2 1 1.a b b 1 2a a

2 2 2.a b b 1 2b b

2 2a b definisi " " pada \ 0

" " pada \ 0 dengan definisi .a b a b b adalah operasi biner.


30

2.4.2 Teori Grup

Teori Grup merupakan salah satu ilmu matematika yang

merupakan salah satu pengembangan dari Teori Bilangan. Jika himpunan

semesta (semesta pembicaraan) dalam Teori Bilangan terbatas pada

himpunan semua bilangan bulat, maka himpunan semesta dari Teori Grup

adalah sebarang himpunan yang tidak kosong. Teori Grup dikatakan

sebagai salah satu jenis dari Struktur Aljabar (nama lain dari Aljabar

Abstrak), karena kajian dari Teori Grup bukan materi dari suatu

himpunan, tetapi struktur dari aksioma, definisi dan teorema-teoremanya.

Definisi 2.12 (Grupoid) (Sukirman, 2014:63)

Diberikan sebarang himpunan tidak kosong G yang dilengkapi

dengan operasi " " yang bersifat tertutup yaitu

,a b G a b G

,G disebut Grupoid.

Contoh:

Misalkan A merupakan himpunan semua bilangan bulat kelipatan tiga.

Tunjukkan bahwa ,A adalah suatu Grupoid.

Penyelesaian:

Ambil sebarang ,b Aa berarti

a adalah bilangan kelipatan tiga yaitu 3 ,a k k

b adalah bilangan kelipatan tiga yaitu 3 ,b l l

Akan dibuktikan a b A


31

Berarti harus ditunjukkan

3 ,a b m m

Bukti:

3 3a b k l diketahui

3 k l pemfaktoran

3m m k l

Terbukti ,A Grupoid

Definisi 2.13 (Semigrup) (Sukirman, 2014:63)

Diberikan sebarang himpunan tidak kosong G yang dilengkapi

dengan operasi " " yang memenuhi sifat:

1. Tertutup ,a b G a b G

2. Asosiatif ,a b G a b c a b c

,G disebut Semigrup.

Contoh: (Fadli Mas’oed, 2013:30)

Misalkan himpunan bilangan asli , didefinisikan operasi biner:

a b a b ab

Tunjukkan bahwa N, adalah suatu Semigrup.

Penyelesaian:

1. Tertutup

Ambil sebarang , ,a b N karena ,a b N dan ab N maka


32

a b a b ab N

Jadi, tertutup terhadap operasi biner .

2. Asosiatif

Ambil sebarang , , ,a b c N maka

a b c a b ab c

a b ab c a b ab c

a b ab c ac bc abc

a b c a b c bc

a b c bc a b c bc

a b c bc ab ac abc

Maka untuk setiap , ,a b c N berlaku

* .a b c a b c

Jadi, ,N merupakan suatu Semigrup.

Definisi 2.14 (Grup) (Sukirman, 2014:71)

Diberikan himpunan tak kosong G yang dilengkapi oleh

operasi " ". Jika himpunan G dengan operasi " " memenuhi:

(i) a b G untuk semua ,a b G (tertutup)

(ii) a b c a b c untuk semua , ,a b c G (asosiatif)

(iii) Ada elemen e di G sehingga a e e a a untuk semua

a G (elemen identitas)


33

(iv) a G ada elemen 1a pada G, sehingga

1 1a a a a e (elemen invers)

maka ,G disebut Grup.

Contoh :

Diberikan Q 2 2 , Qa b a b

dilengkapi dengan operasi

penjumlahan pada bilangan rasional. Tunjukkan bahwa Q 2, adalah

Grup.

Penyelesaian :

(i) Tertutup , Q 2 Q 2x y x y

Ambil sebarang , Q 2x y berarti 1 1 1 12 ; , Q 2x a b a b

2 2 2 22; , Q 2y a b a b

1 1 2 22 2x y a b a b diketahui

1 1 2 22 2a b a b asosiatif “+” pada Q 2

1 2 1 22 2a a b b komutatif “+” pada Q 2

1 2 1 22 2a a b b asosiatif “+” pada Q 2

1 2 1 2 2a a b b distributif “+” pada Q 2

3 3x y a b dengan 3 1 2 Qa a a

3 1 2 Qb b b


34

terbukti tertutup.

(ii) Asosiatif , ,z Q 2x y x y z x y z

Ambil sebarang , , Q 2,x y z berarti

1 1 1 12 ; , Q 2x a b a b

2 2 2 22 ; , Q 2y a b a b

3 3 3 32 ; , Q 2z a b a b

Akan dibuktikan x y z x y z

Bukti :

1 1 2 2 3 32 2 2x y z a b a b a b

1 2 1 2 3 32 2 2a a b b a b

1 2 1 2 3 32 2a a b b a b

1 2 3 1 2 3 2a a a b b b

1 1 2 3 2 32 2a b a a b b

1 1 2 2 3 32 2 2a b a b a b

x y z

terbukti asosiatif .

(iii)Elemen identitas e G x G e x x e

1 1 1 10 2 2 0a b a b

1 1 1 12 2a b a b


35

Q Q 20 0 0G G

1 1 2x G x a b

0 0G Gx x x

1 1 Q 1 Q 1Q 2 Q 22 0 0 0 2 0a b a b

1 1 2a b

x

Q 1 1 Q 1 1Q 2 Q 20 0 2 0 0 2a b a b

1 1 2a b

x

terbukti bahwa Q0 merupakan elemen identitas.

(iv) Invers 1x G x G x y y x e

Ambil sebarang 1 1 1 12; ,x G x a b a b G

Bukti :

0Gx y y x

(1) 0Gx y

1 1 Q Q 22 0 0a b y

1 1 1 1 Q Q 22 0 0a a b y a

Q 1 1 Q Q 20 2 0 0b y a

1 1 1 1 Q 22 2 2 0b b y b a

Q 1 1 Q0 2 0y b a


36

1 12y b a

1 12b a

1 1 2a b

(2) 0Gy x

1 1 Q Q 22 0 0y a b

1 1 1 1 Q Q 22 0 0y a a b a

Q 1 1 Q Q 20 2 0 0y b a

1 1 Q 22 0y b a

1 1 1 1Q 22 2 0 2y b b a b

Q 1 Q 10 0 2y a b

1 1 2y a b

1 1 2a b

terbukti memiliki invers.

Karena memenuhi keempat sifat tersebut maka Q 2, merupakan

Grup.

Definisi 2.15 (Grup Abelian) (Sukirman, 2014:71)

Diberikan himpunan tak kosong G yang dilengkapi oleh operasi

" ". Jika himpunan G dengan operasi " " memenuhi:


37

(i) a b G untuk semua ,a b G (tertutup)

(ii) a b c a b c untuk semua , ,a b c G (asosiatif)

(iii) Ada elemen e di G sehingga a e e a a untuk

semua a G (elemen identitas)

(iv) a G ada elemen 1a pada G, sehingga

1 1a a a a e (elemen invers)

(v) a b b a untuk semua ,a b G (komutatif)

maka ,G disebut Grup Abelian.


Misalkan G = 1,1 adalah suatu himpunan.

Tunjukkan bahwa G adalah suatu Grup Komutatif/Grup Abelian terhadap

perkalian , .G

Penyelesaian :

Tabel Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, .)

. -1 1

-1 1 -1

1 -1 1

Dari tabel cayley akan ditunjukkan bahwa G = 1,1 merupakan suatu

Grup Abelian terhadap perkalian , ,G yaitu :

(i) Tertutup

Ambil sebarang nilai dari G


38

misalkan 1 dan 1 G

1 1 1

Karena hasilnya 1 ,G maka tertutup terhadap G

(ii) Asosiatif


misalkan 1a , 1b dan 1c G

1 1 1 1 1 1a b c

1 1 1 1 1 1a b c

Sehingga 1a b c a b c

Maka G asosiatif

(iii)Elemen identitas (e = 1, terhadap perkalian)


misalkan 1 G

1 1 1e e

misalkan 1 G

1 1 1e e

maka G memiliki elemen identitas

(iv) Elemen invers

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 G , pilih 1 G ,

sehingga 1 1 1 e , maka 1

1 1

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 G , pilih 1 G ,

sehingga 1 1 1 e , maka 1

1 1


39

maka G memiliki elemen invers

(v) Komutatif

Ambil sebarang nilai dari G :

Misalkan 1 dan 1 G

1 1 1

1 1 1

sehingga 1 1 1 1 1

maka G komutatif

Karena himpunan G dengan operasi " " memenuhi (i), (ii), (iii), (iv)

dan (v) maka G adalah suatu Grup Abelian terhadap perkalian , .G

2.4.3 Subgrup

Pada sub pokok bahasan ini akan diperkenalkan Subgrup yang

merupakan bagian dari Grup. Secara harfiah Subgrup dapat diartikan

sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari Grup. Adapun

definisinya adalah sebagai berikut:

Definisi 2.16 (Subgrup) (Joseph A Gallian, 2010:58)

Diberikan Grup ,G dan himpunan tak kosong H adalah

himpunan bagian dari sebuah Grup .G H dikatakan Subgrup dari

G jika H merupakan Grup terhadap operasi yang sama di .G


40

Keterangan :

Notasi yang biasa digunakan untuk menyatakan bahwa H merupakan

Subgrup dari G adalah: .H G Bila H Subgrup dari G tetapi tidak

sama dengan G disebut Subgrup Murni (Proper Subgrup), dan ditulis

.H G

Contoh : (Fadli Mas’oed, 2013:46)

Diberikan G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah himpunan dari Z6 dan G

merupakan suatu Grup terhadap penjumlahan , .G

Tabel Cayley G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G, +).

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

Tunjukkan bahwa H = {0, 2, 4} adalah subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

terhadap penjumlahan , .G

Penyelesaian :

H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},

sehingga .H G


41

Dari tabel cayley di atas akan ditunjukkan H = {0, 2, 4} memenuhi

syarat-syarat suatu Grup:

a. Tertutup

Ambil sembarang nilai dari H

misalkan 0,2,4 H

0 0 0

0 2 2

0 4 4

2 2 4

2 4 0

4 4 2

karena hasilnya 0, 2, 4 ,H maka tertutup terhadap H

b. Asosiatif


misalkan 2, 2,a b dan 4c H

2 2 4 4 4 2a b c

2 2 4 2 0 2a b c

Sehingga:

2a b c a b c

maka H asosiatif

c. Adanya elemen identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)



42

misalkan 0 H

0 0 0e e

misalkan 2 H

2 2 2e e

misalkan 4 H

4 4 4e e

maka H ada elemen identitas

d. Adanya elemen invers

Ambil sembarang nilai dari H, misalkan 0 ,H pilih 0 ,H

sehingga 0 0 0 ,e maka 1

0 0



2 4



4 2

Maka H ada elemen invers

Jadi, 0, 2, 4H memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga

,H merupakan Subgrup dari , .G

Ketika membicarakan sebuah kelompok (Grup) secara umum,

seringkali kita ingin mengetahui ada berapa banyak anggota Grup

tersebut. Dalam konteks Grup dalam aljabar, banyak anggota (elemen)


43

dari suatu Grup juga merupakan hal yang menarik untuk diketahui.

Berikut ini akan diperkenalkan beberapa istilah yang berkaitan dengan

banyaknya elemen dari suatu Grup, dan notasi yang digunakan.

Definisi 2.17 (Order dari sebuah Grup) (Joseph A Gallian, 2010:57)

Order dari sebuah Grup G, dinyatakan dengan ,G adalah

banyaknya elemen dari sebuah Grup G (hingga atau tak hingga).

Definisi 2.18 (Order dari suatu Elemen) (Joseph A Gallian, 2010:57)

Diberikan Grup , .G Order dari suatu elemen dalam grup adalah

bilangan bulat positif terkecil n sehingga .ng e Notasinya : .g

Elemen g dikatakan mempunyai order tak hingga, jika tidak ada

bilangan bulat n yang memenuhi persamaan tersebut.

Contoh : (Fadli Mas’oed, 2013:48)

Tentukan Subgrup dari Grup (Z4,+) dan tentukan order dari masing-

masing Subgrup.

Penyelesaian :

Grup Z4 0,1, 2, 3 , order dari Grup 4 4.Z

Subgrup dari unsur-unsur 4Z adalah:

Misal 0,1,2,3n dan 4,aH na n Z

0,a

0 0H

Sehingga 0 1H


44

1,a

1 1,2,3,0H

Sehingga 1 4H

2,a

2 2,0H

Sehingga 2 2H

3,a

3 3,2,1,0H

Sehingga 3 4H

2.4.4 Grup Siklik

Pada bagian ini akan dijelaskan suatu orde dari suatu Grup yang

setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negatif)

atau perkalian dari suatu unsur tetap dari Grup tersebut. Grup yang seperti

ini dinamakan Grup Siklik. Berikut ini akan didefinisikan Grup Siklik

terhadap operasi perkalian dan penjumlahan:

Definisi 2.19: terhadap perkalian (Fadli Mas’oed, 2013:52)

Grup ,G disebut Siklik, bila ada elemen a G sedemikian

sehingga .nG a n Z Elemen a disebut generator dari Grup

Siklik tersebut.


45

Definisi 2.20: terhadap penjumlahan (Fadli Mas’oed, 2013:52)

Grup ,G disebut Siklik, bila ada elemen a G sedemikian

hingga .G na n Z

Jadi suatu Grup dikatakan Grup Siklik apabila suatu generator a

membangun Grup itu sendiri. Dapat dijelaskan lebih lanjut dalam Definisi

2.21, sebagai berikut:

Definisi 2.21 (Fadli Mas’oed, 2013:52) :

Misalkan ,G adalah suatu Grup dan ,a G maka generator a

yang membangun suatu Subgrup a

di mana ,a G maka

Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.

Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya

merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa

beranggotakan terhingga banyak unsur, bisa juga beranggotakan tak

hingga unsur-unsur. Apabila generator a tidak membangun Grup itu

sendiri, maka generator akan membangun suatu Subgrup dikatakan

sebagai Subgrup Siklik (dapat dijelaskan dalam Definisi 2.22).

Definisi 2.22(Fadli Mas’oed, 2013:53)

Misalkan ,G adalah suatu Grup dan ,a G maka generator a

yang membangun suatu Subgrup a dinamakan Subgrup Siklik

dari , .G

Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu suatu Subgrup yang

dibangkitkan oleh satu unsur.


46

Contoh: (Fadli Mas’oed, 2013:54-55)

1) Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah Grup bilangan kompleks terhadap

perkalian 4 , .I Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian:

Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, i dan –i

1 1n

n Z

0 1 21 , 1 , 1 ,

1

1 1n

n Z

0 1 21 , 1 , 1 ,

1,1

ni i n Z

0 1 2 3 4, , , , ,i i i i i

1, , 1,i i

ni i n Z

2 1 0 1 2, , , , , ,i i i i i

1, , , 1i i

Generator i dan –i adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga:


47

1, 1, ,i i i i

Generator 1 dan -1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga:

1 1

1 1, 1

2) Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan

, .G Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian:

Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3

0 0n n Z

0

1 1n n Z

0 1, 1 1, 2 1, 3 1,

0,1,2,3

2 2n n Z

0 2, 1 2, 2 2, 3 2,

0,2

3 3n n Z

0 3, 1 3, 2 3, 3 3,

0,3,2,1

Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga:


48

1 3 0,1,2,3

Generator 0 dan 2 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga:

0 0

2 0,2

2.4.5 Grup Permutasi

Dalam suatu kelompok kecil atau himpunan, kita pasangkan/

petakan masing-masing anggota kelompok secara satu-satu sehingga

semuanya memiliki pasangan satu-satu dan tidak ada yang memiliki dua

pasang. Konsep sederhana ini dapat diaplikasikan ke dalam Grup

sehingga kita dapat mengetahui komposisi pemetaannya, yang dikatakan

sebagai Grup Permutasi.

Misalkan suatu himpunan A yang memiliki n unsur dan masing-

masing unsur dipetakan secara bijektif, sehingga didapat setiap unsur dari

himpunan A memiliki pasangannya, peristiwa dikatakan suatu permutasi

dari himpunan. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat dalam definisi berikut:

Definisi 2.23 (Fadli Mas’oed, 2013:57)

Suatu permutasi dari n unsur adalah suatu fungsi bijektif dari

himpunan n unsur ke himpunan itu sendiri.

Untuk memudahkan digunakan bilangan bulat (1, 2, 3, ..., n) untuk

menyatakan himpunan n unsur.


49

Permutasi a disajikan:

1 2 3

1 2 3

n

n


Misalkan dan dua permutasi yang didefinisikan sebagai berikut:

1 2 3 4 5

2 1 4 5 3

dan 1 2 3 4 5

.5 4 3 2 1

Tentukan dan .

Penyelesaian:

Untuk menentukan kita definisikan komposisi , sehingga:

1 1 5 3p

2 2 4 5

3 3 3 4p

4 4 2 1

5 5 1 2

Jadi 1 2 3 4 5

3 5 4 1 2

Untuk menentukan kita definisikan komposisi ,p sehingga:

1 1 2 4

2 2 1 5

3 3 4 2

4 4 5 1


50

5 5 3 3

Jadi 1 2 3 4 5

4 5 2 1 3

2.4.6 Homomorfisma Grup


Diberikan ,G Grup dan ,H Grup. Terdapat suatu pemetaan

, , .G H Pemetaan disebut homomorfisma grup, jika

, , .x y G x y x y

Ada beberapa definisi khusus mengenai Homomorfisma adalah sebagai

berikut:


a. Monomorfisma adalah suatu Homomorfisma Grup yang

injektif.

b. Epimorfisma adalah suatu Homomorfisma Grup yang surjektif.

c. Isomorfisma adalah suatu Homomorfisma Grup yang bijektif.

Contoh :

1) 2 2 , , , ,a b

M R a b c d Rc d

grup

, RR dibentuk 2 2: M R R

dengan aturan .a b

a b c dc d


51

Tunjukkan apakah homomorfisma grup!

Penyelesaian :

(i) well defined

2 2: M R R

2 2,A B M R A B A B

Ambil sebarang 2 2,A B M R yang berarti

11 12

21 22

a aA

a a

dan 11 12

21 22

b bB

b b

dengan A B

,, 1,2ij ij i ja b

Akan dibuktikan A B

Bukti :

11 12

21 22

a aA

a a

11 12 21 22a a a a definisi

11 12 21 22b b b b ,, 1,2ij ij i ja b

11 12

21 22

b b

b b

B

(ii) homomorfisma grup 2 2,A B M R

A B A B

Ambil sebarang 2 2,A B M R berarti


52

11 12

21 22

a aA

a a

dan 11 12

21 22

.b b

Bb b

Akan dibuktikan .A B A B

Bukti :

11 12 11 12

21 22 21 22

a a b bA B

a a b b

11 11 12 12

21 21 22 22

a b a b

a b a b

11 11 12 12 21 21 22 22a b a b a b a b

11 12 21 22 11 12 21 22a a a a b b b b

11 12 11 12

21 22 21 22

R

a a b b

a a b b

RA B

terbukti homomorfisma grup.

2) ,Z dan ,R : Z R dengan 2 , .xx x Z

Tunjukkan bahwa homomorfisma dan isomorfisma!

Penyelesaian:

(i) well defined

: Z R

,x y Z x y x y

Ambil sebarang ,x y Z dengan x y


53

Akan dibuktikan x y

Bukti :

2xx (definisi)

2y (x = y)

y

(ii) homomorfisma grup

,x y Z x y x y

Ambil sebarang ,x y Z

Akan dibuktikan x y x y

Bukti:

2x yx y (definisi)

2 2x y (sifat eksponensial)

x y

Terbukti bahwa homomorfisma grup.

(iii) Injektif

,a b Z a b a b

Ambil sebarang ,a b Z dengan 2aa dan 2bb

Akan dibuktikan bahwa a b

Bukti:

2aa (definisi)

2bb (definisi)


54

a b (diketahui)

2 2a b (definisi)

a b (sifat kesamaan eksponensial)

Terbukti bahwa merupakan monomorfisma.

(iv) Surjektif b R a Z b a

Untuk setiap b R terdapat 2

ba sedemikian sehingga

2aa

2a (definisi 2a)

22

bb

Terbukti bahwa merupakan epimorfisma.

(v) Karena injektif (monomorfisma) dan surjektif

(epimorfisma) maka bijektif (isomorfisma).

2.4.7 Grup Faktor

Dalam bagian ini akan diperkenalkan dengan Subgrup Normal

yaitu suatu Subgrup yang mempunyai sifat tambahan. Gabungan dari

koset-koset dari suatu Subgrup Normal dapat membentuk suatu Grup

yang dinamakan Grup Faktor

2.4.7.1 Relasi Ekuivalen

Suatu relasi T dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan

bagian dari .A X B Bila pasangan (a,b) merupakan anggota dari T, maka


55

a berelasi dengan b, dan ditulis sebagai aTb. Bila (a,b) bukan merupakan

anggota dari T, maka a tidak berelasi dengan b, dan ditulis .bTa

Suatu relasi ekuivalen adalah relasi yang mempunyai beberapa

sifat yang harus dipenuhi, seperti dalam definisi berikut:


Suatu relasi T pada himpunan A disebut relasi ekuivalen bila

memenuhi sifat-sifat berikut:

a. aTa berlaku a A (Sifat Refleksif)

b. aTb maka bTa berlaku ,a b A (Sifat Simetris)

c. aTb dan bTc, maka aTc berlaku , ,a b c A (Sifat Transitif)

Bila T adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan A dan ,a A

maka a x A xTa disebut kelas ekuivalen yang memuat a.

Himpunan dari semua kelas ekuivalen disebut himpunan faktor dari A

oleh T, dan ditulis / .A T

Jadi:

/A T a aTA

Suatu koleksi dari himpunan-himpunan bagian tak kosong disebut

partisi dari himpunan A bila gabungan dari himpunan-himpunan bagian

tersebut adalah A dan sembarang dua himpunan bagian tersebut adalah

lepas.


56


Misalkan n adalah bilangan bulat positif, a dan b adalah bilangan-

bilangan bulat. Kita katakan bahwa a kongruen dengan b modulo n, bila

n membagi ,a b yang ditulis:

moda b n

Himpunan dari kelas-kelas ekuivalen tersebut disebut himpunan dari

bilangan-bilangan bulat modulo n dan ditulis dengan Zn. Tunjukkan

bahwa relasi kongruen modulo n adalah suatu relasi ekuivalen pada

himpunan bilangan bulat Z.

Penyelesaian:

moda b n bila dan hanya bila n a b

a. Sifat Refleksif

a Z

Bila ,n a a ini berarti mod ,a a n sehingga aTa

b. Sifat Simetris

,a b Z

Bila ,n a b ini berarti mod ,a b n sehingga aTb

Bila ,n a b n b a ini berarti mod ,b a n sehingga bTa

Jadi bila aTb maka bTa

c. Sifat Transitif

, ,a b c Z


57

Bila ,n a b ini berarti mod ,a b n sehingga aTb

Bila ,n b c ini berarti mod ,b c n sehingga bTc

Bila ,n a b b c n a c ini berarti mod ,a c n sehingga

aTc

Jadi bila aTb dan bTc maka aTc

Jadi kongruensi modulo n adalah suatu relasi ekuivalen pada

himpunan Z.

2.4.7.2 Koset dan Teorema Lagrange


Relasi moda b H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Kelas

ekuivalen yang memuat a dapat ditulis sebagai bentuk

,Ha ha h H disebut koset kanan dari H dalam G dan bila

,aH ah h H disebut koset kiri dari H dalam G. Unsur a

disebut generator dari koset tersebut.


Misalkan 3Z adalah Subgrup dari Z yang merupakan himpunan bilangan

bulat. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari 3Z dalam Z.

Penyelesaian:

Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi

penjumlahan.


58

Diketahui:

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

3Z = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}

Koset kiri:

-2 + 3Z = {..., -8, -5, -2, 1, 4, ...}

-1 + 3Z = {..., -7, -4, -1, 2, 5, ...}

0 + 3Z = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}

1 + 3Z = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}

2 + 3Z = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}

Koset kanan:

3Z + (-2) = {..., -8, -5, -2, 1, 4, ...}

3Z + (-1) = {..., -7, -4, -1, 2, 5, ...}

3Z + 0 = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}

3Z + 1 = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}

3Z + 2 = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}

Koset kiri = Koset kanan

2.4.7.3 Subgrup Normal dan Grup Faktor

Pada bagian ini akan dibahas mengenai himpunan faktor yang

merupakan suatu Grup dengan perkalian yang didefinisikan dalam G.

Misalkan G adalah suatu Grup dengan H adalah Subgrup dari G dan

Relasi moda b H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Akan kita

tunjukkan himpunan faktor yang merupakan suatu Grup dengan


59

perkalian yang didefinisikan dalam G berlaku bila dan hanya bila koset

kiri dari H dalam G |aH ah h H

sama dengan koset kanan

| .Ha ha h H


Misalkan ,H adalah suatu Subgrup dari Grup ,G , Subgrup

H dikatakan Subgrup Normal dari G bila 1g h g H untuk

setiap g G dan .h H


Misalkan H adalah suatu Subgrup Normal dari Grup G, maka

setiap koset kiri dari H dalam G juga merupakan koset kanannya

(aH = Ha).

Dari definisi tersebut dapat dikatakan untuk menentukan bahwa

suatu Subgrup H adalah Subgrup Normal dari Grup G, maka harus

dibuktikan bahwa koset-koset kiri dari H dalam G sama dengan koset-

koset kanan dari H dalam G (aH = Ha).

Jika H adalah Subgrup Normal dari ,G dan G/N adalah

himpunan semua koset kiri atau koset kanan dari N dalam G, yang

didefinisikan:

gH nH g n H

Dari penjelasan tersebut, maka adapun definisi dari Grup Faktor adalah

sebagai berikut:


60


Bila H adalah Subgrup Normal dar Grup , ,G himpunan dari

koset-koset /G H H G g G membentuk Grup / ,N G

yang didefinisikan oleh 1 2 1 2 ,H g H g H g g disebut

Grup Faktor G oleh H.

Orde dari Grup Faktor / ,G N adalah banyaknya koset-koset

dari N dalam G, sehingga:

/ :G

Ind G N Ind G HH


Misalkan 6, 0,1,2,3,4,5G Z adalah suatu Grup dan

0,2,4H adalah Subgrup dari G. Tentukan Grup Faktor dari G oleh

H, yaitu / .G H

Penyelesaian:

Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa Grup tersebut merupakan

Subgrup Normal, di mana koset kiri sama dengan koset kanan.

6, 0,1,2,3,4,5 ,G Z generatornya 0, 1, 2, 3, 4, 5

Koset kiri:

0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4}

1 + H = 1 + {0, 2, 4} = {1, 3, 5}

2 + H = 2 + {0, 2, 4} = {2, 4, 0}

3 + H = 3 + {0, 2, 4} = {3, 5, 1}


61

4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2}

5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3}

Koset kanan:

H + 0 = {0, 2, 4} + 0 = {0, 2, 4}

H + 1 = {0, 2, 4} + 1 = {1, 3, 5}

H + 2 = {0, 2, 4} + 2 = {2, 4, 0}

H + 3 = {0, 2, 4} + 3 = {3, 5, 1}

H + 4 = {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2}

H + 5 = {0, 2, 4} + 5 = {5, 1, 3}

Sehingga:

0 + H = H + 0 = {0, 2, 4}

1 + H = H + 1 = {1, 3, 5}

2 + H = H + 2 = {2, 4, 0}

3 + H = H + 3 = {3, 5, 1}

4 + H = H + 4 = {4, 0, 2}

5 + H = H + 5 = {5, 1, 3}

Maka: koset kiri = koset kanan

sehingga : Subgrup dari H = {0, 2, 4} merupakan Subgrup Normal

Sekarang kita akan menentukan Grup Faktor G oleh H yang dibentuk

dari Subgrup Normal tersebut:

6/ : 2

3

GInd G N Ind G H

H

Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2.


62

Misalkan kita ambil koset kiri:

0 + H = {0, 2, 4}

1 + H = {1, 3, 5}

2 + H = {2, 4, 0}

3 + H = {3, 5, 1}

4 + H = {4, 0, 2}

5 + H = {5, 1, 3}

Maka:

0 + H = 2 + H = 4 + H = {0, 2, 4}

1 + H = 3 + H = 5 + H = {1, 3, 5}

Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2:

0 + H = {0, 2, 4} = H

1 + H = {1, 3, 5}

Adapun daftar Cayley dari Grup Faktor tersebut adalah:

Tabel Cayley

Grup Faktor dari G = Z6 oleh H = {0, 2, 4}

+ H 1 + H

H H 1 + H

1 + H 1 + H H


63

2.5 Ring

2.5.1 Ring

Pada pembahasan sebelumnya telah dibicarakan mengenai struktur

aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan satu operasi

biner yaitu terhadap penjumlahan atau terhadap perkalian yang disebut

Grup. Pada bagian ini akan dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri

dari satu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu terhadap

penjumlahan dan perkalian, struktur aljabar ini disebut dengan Ring

(Gelanggang). Untuk lebih jelasnya dalam definisi berikut :

Definisi 2.31 (Ring) (Fadli Mas’oed, 2013:84-85)

Suatu ring , ,.R adalah suatu himpunan tak kosong R dengan

operasi biner penjumlahan ( ) dan perkalian (.) pada R yang

memenuhi aksioma-aksioma berikut :

(i) Tertutup terhadap penjumlahan ( )

,a b R a b R

(ii) Asosiatif terhadap penjumlahan ( )

, ,a b c R a b c a b c

(iii) Adanya elemen identitas terhadap penjumlahan ( )

e R a R a e e a a

(iv) Adanya elemen invers terhadap penjumlahan ( )

1 1 1 0a R a R a a a a e

(v) Komutatif terhadap penjumlahan ( )


64

,a b R a b b a

(vi) Tertutup terhadap perkalian (.)

, .a b R a b R

(vii) Asosiatif terhadap perkalian (.)

, , . . . .a b c R a b c a b c

(viii) Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan ( )

, ,a b c R

. . .a b c a b a c dan .c . .a b a c b c

Dari definisi tersebut disimpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan

dua operasi biner , ,.R dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila :

1) ,R merupakan suatu Grup Komutatif

2) ,.R merupakan suatu Semigrup

3) Distributif perkalian terhadap penjumlahan


Tunjukkan bahwa Z4 adalah suatu Ring.

Penyelesaian:

Daftar Cayley 4 ,Z dan 4 ,.Z

+ 0 1 2 3 . 0 1 2 3

0 0 1 2 3 0 0 0 0 0

1 1 2 3 0 1 0 1 2 3


65

2 2 3 0 1 2 0 2 0 2

3 3 0 1 2 3 0 3 2 1

Dari tabel di atas akan ditunjukkan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan

suatu Ring bila memenuhi :

1) Grup Komutatif terhadap penjumlahan 4 ,Z

(i) Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z4

misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

1 + 3 = 0

karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4

(ii) Asosiatif


misalkan 2, 1,a b dan 43c Z

2 1 3 3 3 2a b c

2 1 3 2 0 2a b c

sehingga :

2a b c a b c

maka Z4 assosiatif

(iii) Adanya elemen identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)


66


misalkan 40 Z

0 0 0e e

misalkan 41 Z

1 1 1e e

misalkan 42 Z

2 2 2e e

misalkan 43 Z

3 3 3e e

maka Z4 ada elemen identitas

(iv) Adanya elemen invers

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 40 Z , pilih 40 Z ,

sehingga 0 0 0 ,e maka 10 0







maka Z4 ada elemen invers


67

(v) Komutatif


misalkan 2,a 43b Z

2 3 1a b

3 2 1b a

sehingga :

1a b b a

maka Z4 komutatif

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap

penjumlahan 4 ,Z

2) Semigrup terhadap perkalian 4 ,.Z

(i) Tertutup


misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

1 . 2 = 2

1 . 3 = 3

karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4

(ii) Asosiatif




68

. . 2.1 .3 2.3 2a b c

. . 2. 1.3 2.3 2a b c

sehingga :

. . . . 2a b c a b c

maka Z4 assosiatif

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian 4 ,.Z


Ambil sebarang nilai Z4


. 2. 1 3a b c . . 2.1 2.3a b a c

2.0 2 2

0 0

maka, . . . 0a b c a b a c

. 2 1 .3a b c . b. 2.3 1.3a c c

3.3 2 3

1 1

maka, . . . 1a b c a c b c

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan

Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,

maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.).


69

2.5.2 Ring Komutatif

Definisi 2.32 (Ring Komutatif) (Fadli Mas’oed, 2013:89)

Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner , ,.R dikatakan

suatu Ring (Gelanggang) Komutatif (Abelian) bila:


2) ,.R merupakan suatu Semigrup Komutatif


Jadi, pada Ring Komutatif ,.R yang merupakan suatu Semigrup harus

memenuhi sifat-sifat komutatifnya, yaitu:

. . , ,a b b a a b R


Dari contoh Ring, tunjukkan bahwa Ring 4 , ,.Z merupakan suatu Ring

Komutatif.

Penyelesaian:

Dari contoh Ring, telah ditunjukkan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu

Ring 4 , ,.Z . Sekarang akan ditunjukkan sifat komutatif dari Ring

tersebut.

4. . , ,a b b a a b Z

Ambil sembarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 4Z

2.3 2

3.2 2


70

sehingga 2.3 3.2 2

Karena Ring 4 , ,.Z tersebut memenuhi sifat komutatif, maka 4 , ,.Z

tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian.

2.5.3 Subring

Pada subpokok bahasan ini akan dijelaskan mengenai strukur

bagian dari Ring yang disebut Subring (Gelanggang Bagian), adapun

definisinya adalah sebagai berikut:

Definisi 2.33 (Subring) (Fadli Mas’oed, 2013:104)

Misalkan , ,.R adalah suatu Ring, S adalah himpunan

bagian dari R .S R Bila operasi yang sama dengan , ,.S

membentuk suatu Ring maka S disebut Subring dari R.

Untuk lebih jelasnya syarat-syarat dari Subring adalah sebagai berikut:

Definisi 2.34 (Subring) (Fadli Mas’oed, 2013:104)

Misalkan , ,.R adalah suatu Ring, S adalah himpunan bagian

dari R yang disebut Subring dari R, bila untuk setiap , ,a b S

berlaku:

1) S

2) a b S

3) .a b S


71


Misalkan Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring, tunjukkan bahwa S =

{0, 2} adalah Subring dari Z4.

Penyelesaian:

Akan ditunjukkan bahwa S = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu

Ring.

1) ,S syarat terpenuhi karena S = {0,2}

2) a b S

Misalkan 0,2 S

2 0 2

2 2 0

0 2 2

sehingga 0, 2 S

3) .a b S

Misalkan 0,2 S

2.0 0

2.2 0

0.2 0

sehingga 0 S

Syarat 1), 2), dan 3) terpenuhi maka S adalah Subring dari Z4.


72

2.5.4 Ideal

Pada materi Grup diketahui ada Subgrup Normal yang merupakan

Subgrup yang memiliki sifat khusus. Di dalam Ring juga ada Subring

khusus yang memiliki sifat-sifat istimewa yaitu tertutup perkalian unsur

di luar Subring. Subring semacam ini dinamakan suatu Ideal. Pada Ideal

dikenal dengan Ideal kiri yaitu bila tertutup terhadap perkalian unsur di

sebelah kiri dan Ideal kanan yaitu bila tertutup terhadap perkalian unsur di

sebelah kanan. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat dalam definisi berikut:

Definisi 2.35 (Ideal kiri) (Fadli Mas’oed, 2013:107)

Misalkan , ,.R adalah suatu Ring dan S merupakan

himpunan bagian dari R S R disebut Ideal kiri, bila untuk

setiap ,a b S dan ,r S berlaku:

1) a b S

2) .a b S

3) ra S

Definisi 2.36 (Ideal kanan) (Fadli Mas’oed, 2013:107)


himpunan bagian dari R S R disebut Ideal kanan, bila untuk

setiap ,a b S dan ,r S berlaku:

1) a b S

2) .a b S

3) ar S


73

Definisi 2.37 (Ideal) (Fadli Mas’oed, 2013:107)


himpunan bagian dari R S R disebut Ideal, bila untuk setiap

,a b S dan ,r S berlaku:

1) a b S

2) .a b S

3) ra S dan ar S

Jadi suatu Subring dinamakan Ideal bila Subring tersebut tertutup

terhadap operasi perkalian unsur di sebelah kiri (Ideal kiri) dan Subring

tersebut juga tertutup terhadap operasi perkalian unsur di sebelah kanan

(Ideal kanan).


Misalkan Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring, tunjukkan bahwa

Subring S = {0, 2} adalah suatu Ideal.

Penyelesaian:

Pada contoh sebelumnya telah ditunjukkan bahwa S = {0, 2} adalah

Subring dari Z4 = {0, 1, 2, 3}. Sekarang akan ditunjukkan bahwa S

merupakan suatu Ideal, dengan membuktikan bahwa S adalah Ideal kiri

dan Ideal kanan.

Diketahui: 0, 1, 2, 3 4Z dan 0, 2 S

Ideal kiri 0. 0 0

1. 0 0


74

2. 0 0

3. 0 0

0. 2 0

1. 2 2

2. 2 0

3. 2 2

S merupakan Ideal kiri dari Z4

Ideal kanan 0. 0 0

0.1 0

0. 2 0

0. 3 0

2. 0 0

2.1 2

2. 2 0

2.3 2

S merupakan Ideal kanan dari Z4

Jadi S merupakan Ideal kiri dan Ideal kanan dari Z4 sehingga S adalah

Ideal dari Z4.

2.5.5 Ring Faktor

Suatu Ring Faktor terdiri dari himpunan dari koset-koset Ring

tersebut yang di antaranya adalah ideal-ideal.


75

Definisi 2.38 (Ring Faktor) (Fadli Mas’oed, 2013:114)

Misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R.

/ |R S S a a R adalah Ring dengan (S + a) + (S + b) = S +

(a + b) dan (S + a) . (S + b) = S + (a . b). Ring semacam ini disebut

Ring Faktor atau Ring Koisen.

Dengan kata lain, misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal

dari R, maka R/S disebut Ring Faktor jika:

1) / ,R S merupakan suatu Grup Komutatif

2) / ,.R S merupakan suatu Semigrup

3) / , ,.R S merupakan distributif perkalian terhadap penjumlahan


Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z6,

tunjukkan Z6/K adalah Ring Faktor.

Penyelesaian:

Ada dua koset/Idealdari Ring Z6, yaitu:

K = {0, 2, 4}

K + 1 = {1, 3, 5}

Sehingga Z6/K = {K, K + 1}

Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0,2,4},+) dan (Z6/K = Z6/{0,2,4},.)

+ K K + 1 . K K + 1

K K K + 1 K K K

K + 1 K + 1 K K + 1 K K +1


76

Dari tabel, akan dibuktikan bahwa Z6/K dengan syarat-syarat suatu Ring

merupakan Ring Faktor dari Z6/K. Adapun syarat-syaratnya sebagai

berikut:

(i) Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

6, 1 /K K Z K

berlaku 1 0 1 1K K K K

Sehingga 61 /K Z K

(ii) Asosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

6, 1 /K K Z K

1 1 1 1K K K K K K

0 1 1K K 1 1K K

1 1K K 0K K

1 1K 0 0K

K K

Sehingga 1 1 1 1K K K K K K K

(iii) Adanya elemen identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

6, 1 /K K Z K

0 1 0 1 1K K K K

1 0 1 0 1K K K K

Sehingga 0 1 1 0 1K K K K K


77

(iv) Adanya elemen invers terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

6, 1 /K K Z K

1 1 1 1 0K K K K K

1 1 1 1 0K K K K K

Sehingga 1 1 1 1 0K K K K K K

(v) Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

6, 1 /K K Z K

1 1K K K K

0 1K 1 0K

1K 1K

Sehingga 1 1 1K K K K K

(vi) Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/K

6, 1 /K K Z K

berlaku . 1 0.1 0K K K K K

Sehingga 6 /K Z K

(vii) Asosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/K

6, 1 /K K Z K

. 1 . 1 . 1 . 1K K K K K K

0.1 . 1K K . 1.1K K

0 . 1K K . 1K K


78

0.1K 0.1K

K K

Sehingga . 1 . 1 . 1 . 1K K K K K K K

(viii) Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

6, 1 /K K Z K

Misalkan a = K, b = K + 1 dan c = K + 1

.a b c . .a b a c

. 1 1 . 1 . 1K K K K K K K

. 1 1K K 0.1 0.1K K

0. 1 1K 0.1 0.1K

0.0K 0 0K

K K

Sehingga . 1 1 . 1 . 1K K K K K K K K

Jadi, Z6/K = {K, K + 1} adalah suatu Ring Faktor

2.5.6 Homomorfisma Ring

Sama halnya dengan Grup, pada Ring juga ada pemetaan dari Ring

R ke Ring R yang mengawetkan kedua operasi yang ada dalam Ring

tersebut, yang disebut dengan Homomorfisma Ring.


79

Definisi 2.39 (Homomorfisma Ring) (Fadli Mas’oed, 2013:119)

Suatu pemetaan f dari Ring , ,.R ke Ring , ,.R disebut

Homomorfisma Ring bila ,a b R berlaku:

1) f a b f a f b

2) . .f a b f a f b

Adapun beberapa definisi khusus mengenai Homomorfisma Ring adalah

sebagai berikut:


1) Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat injektif (1-1) disebut

dengan Monomorfisma Ring.

2) Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat surjektif (pada)

disebut dengan Epimorfisma Ring.

3) Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat bijektif, yaitu

bersifat injektif (1-1) dan surjektif (pada), disebut dengan

Isomorfisma Ring.


Tunjukkan apakah :f Z R dengan f a a adalah suatu

Homomorfisma Ring.

Penyelesaian:

Akan dibuktikan bahwa ,a b R berlaku:

1) f a b f a f b

2) . .f a b f a f b


80

Sehingga:

1) , ,f a b f a f b a b R

a b a b

a b a b

2) . . , ,f a b f a f b a b R

.a b .a b

.a b .a b

Dikarenakan untuk f a b f a f b dan . .f a b f a f b

maka :f Z R untuk f a a adalah suatu Homomorfisma Ring.

2.6 Integral Domain (Daerah Integral)

Salah satu sifat yang banyak digunakan dari sistem bilangan-bilangan

adalah bila 0ab maka 0a atau 0.b Sifat tersebut menyatakan bahwa

hukum kansel berlaku untuk unsur-unsur (elemen-elemen) yang bukan unsur

nol, karena bila ab ac dan 0,a maka 0a b c dan diperoleh .b c


Bila , ,.R adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a R

disebut pembagi nol bila ada unsur yang bukan nol b R sedemikian

hingga . 0a b

Dengan kata lain suatu unsur 0a R disebut pembagi nol di R bila . 0a b

untuk suatu unsur 0 .b R


81

Definisi 2.42 (Integral Domain/Daerah Integral) (Fadli Mas’oed, 2013:96)

Suatu Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut Integral

Domain (Daerah Integral).


Misalkan P = {ganjil, genap} dan .P Z Tunjukkan bahwa elemen-elemen

bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif dan merupakan

Integral Domian.

Penyelesaian:

Daftar Cayley ({Genap, Ganjil},+) dan ({Genap, Ganjil},.)

+ genap ganjil

. genap ganjil

genap genap ganjil genap genap genap

Ganjil ganjil genap ganjil genap ganjil

Dari tabel di atas, akan ditunjukkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan

suatu Ring Komutatif bila memenuhi:

1) Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)

(i) Tertutup

Ambil sembarang nilai dari P

misalkan genap, ganjil P

genap + genap = genap

genap + ganjil = ganjil

ganjil + ganjil = genap

karena hasilnya genap, ganjil ,P maka tertutup terhadap P


82

(ii) Asosiatif


misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P

a b c (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil

a b c genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil

Sehingga:

a b c a b c ganjil

maka P asosiatif

(iii) Adanya elemen identitas

Ambil sembarang nilai dari P, misalkan genap ,P pilih genap

,P sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap

Ambil sembarang nilai dari P, misalkan ganjil ,P pilih genap

,P sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap

maka P ada elemen identitas

(iv) Adanya elemen invers

Ambil sembarang nilai dari P, misalkan genap ,P pilih genap

,P sehingga genap + genap = genap = e, maka (genap)-1

= genap

Ambil sembarang nilai dari P, misalkan ganjil ,P pilih ganjil

,P sehingga ganjil + ganjil = genap = e, maka (ganjil)-1

= ganjil

maka P ada elemen invers


83

(v) Komutatif


misalkan a = genap, b =ganjil P

a b (genap + ganjil) = ganjil

b a (ganjil + genap) = ganjil

Sehingga:

a b b a ganjil

Maka P komutatif

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap

penjumlahan (P,+).

2) Semigrup terhadap perkalian (P,.)

(i) Tertutup


misalkan genap dan ganjil P

genap . ganjil = genap

genap . genap = genap

ganjil . ganjil = ganjil

karena hasilnya genap dan ganjil ,P maka tertutup terhadap P

(ii) Asosiatif



. .a b c (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap


84

. .a b c genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap

Sehingga:

. . . .a b c a b c genap

maka P asosiatif

(iii) Komutatif


misalkan a = genap, b =ganjil P

.a b (genap . ganjil) = genap

.b a (ganjil . genap) = genap

Sehingga:

. .a b b a genap

maka P komutatif

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Semigrup Komutatif terhadap

perkalian (P,.).




.a b c genap . (ganjil + genap)

genap . (ganjil)

genap

. .a b a c (genap.ganjil) + (genap.genap)

genap + genap


85

= genap

maka . . .a b c a b a c genap

.a b c (genap + ganjil) . genap

(ganjil) . genap

genap

. .a c b c (genap.genap) + (ganjil.genap)

genap + genap

= genap

maka . . .a b c a c b c genap

Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,

maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+,.).

Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai

pembagi nol, dengan kata lain:

. 0,a b untuk 0a atau 0b

Misalkan:

X = {..., -3, -1, 1, 3, ...} adalah himpunan bilangan ganjil, dan

Y = {..., -4, -2, 0, 2, ...} adalah himpunan bilangan genap.

Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur

nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol. Jadi dapat disimpulkan bahwa P =

{genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena . 0a b jika 0a

atau 0, , .b a b P


86

2.7 Field (Lapangan)

Definisi 2.33 (Field) (Fadli Mas’oed, 2013:99)

Field adalah suatu Ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk Grup

Komutatif/Abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu Field adalah

Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan/invers terhadap perkalian.

Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur aljabar

dengan dua operasi biner , ,.R dikatakan suatu Field bila:


2) ,.R merupakan suatu Grup Komutatif


Jadi untuk menunjukkan bahwa suatu Ring adalah Field harus kita buktikan

Ring itu komutatif dan mempunyai unsur balikan atau invers terhadap

perkalian. Atau kita tunjukkan R merupakan suatu Grup Komutatif terhadap

penjumlahan dan perkalian serta distributif perkalian terhadap penjumlahan.


Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan

ditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Field.

Penyelesaian:

Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif

Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau

invers terhadap perkalian, dengan kata lain:

1, ,a P a P sedemikian sehingga

1 1. . 1a a a a


87

Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil

Ambil sembarang nilai dari P, misalkan genap ,P pilih ganjil ,P

sehingga genap. ganjil = genap ≠ e, maka (genap)-1

= genap

Ambil sembarang nilai dari P, misalkan ganjil ,P pilih genap ,P

sehingga ganjil. genap = genap ≠ e, maka (genap)-1

= genap

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.

B. Kerangka Berpikir

Pembelajaran matematika di perguruan tinggi mempunyai peranan yang

sangat penting dalam mengembangkan kemampuan berpikir, memecahkan

masalah dan kemandirian mahasiswa. Pembelajaran matematika di perguruan

tinggi lebih menekankan kedudukan matematika sebagai “ilmu”. Ada sedikit

perbedaan antara matematika sebagai “ilmu” dengan matematika sekolah.

Menurut Sumardoyo (2011) salah satu perbedaannya adalah pada tingkat

keabstrakan. Tingkat keabstrakan objek matematika di perguruan tinggi sangat

tinggi. Dengan demikian matematika di perguruan tinggi merupakan disiplin

ilmu yang sangat abstrak.

Beberapa mata kuliah wajib diikuti oleh semua mahasiswa calon guru

matematika. Pengantar Aljabar Abstrak merupakan salah satu mata kuliah

yang wajib diikuti oleh semua mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika.

Mata kuliah ini banyak melibatkan hubungan ide-ide matematika, yaitu ide

Logika, Himpunan, dan Fungsi (Pemetaan). Oleh karena itu, untuk


88

mempelajari Pengantar Aljabar Abstrak diperlukan pengetahuan lain sebagai

prasyarat.

Ada sejumlah pendapat ahli berkenaan dengan pengajaran matematika.

Novak dalam Dahar (1988:145) mengemukakan bahwa dalam menyusun

kurikulum yang baik terlebih dahulu diperlukan analisis konsep-konsep dalam

satu bidang studi, dan kemudian diperhatikan hubungan-hubungan tertentu

antara konsep-konsep tersebut, sehingga dapat diketahui konsep mana yang

menjadi prasyarat bagi konsep yang lain. Hudojo (1988:3) mengatakan,

“matematika berkenaan dengan ide-ide/konsep-konsep abstrak yang tersusun

secara hirarkhi dan penalarannya deduktif”. Berdasarkan kedua pendapat

tersebut, dapat disimpulkan bahwa matematika harus diajarkan/dipelajari

secara bertahap berdasarkan hierarkhi materi matematika.

Hal ini tentunya akan mempermudah bagi mahasiswa yang ingin belajar.

Dengan kata lain, bahwa pemahaman terhadap suatu konsep bisa terbentuk

jika konsep itu dihubungkan dengan konsep yang telah diketahui sebelumnya.

Jika seseorang mahasiswa kurang memahami konsep atau materi sebelumnya

maka akan menyulitkan mahasiswa untuk memahami materi selanjutnya. Jadi

dalam pembelajaran matematika, pengalaman belajar sebelumnya sangat

diperlukan sebagai dasar untuk mempelajari materi matematika lanjutan.

Dalam penyebaran mata kuliah per semester biasanya diatur mulai dari

mata kuliah dasar yang nantinya menjadi mata kuliah prasyarat untuk dapat

mengikuti mata kuliah lanjutan. Oleh sebab itu, mahasiswa hanya bisa

diperkenankan mengikuti/memprogramkan mata kuliah lanjutan jika ia sudah


89

lulus/mempelajari mata kuliah dasar sebagai prasyarat. Hudojo mengatakan,

“mempelajari konsep B, yang mendasarkan pada konsep A, seseorang perlu

memahami terlebih dahulu konsep A. Tanpa memahami konsep A, tidak

mungkin orang itu memahami konsep B. Ini berarti, mempelajari matematika

haruslah bertahap dan berurutan serta mendasarkan kepada pengalaman

belajar yang lalu”.

Salah satu cabang dari ilmu matematika adalah Aljabar. Aljabar sendiri

memiliki beberapa cabang ilmu, satu diantaranya Aljabar Abstrak, atau yang

juga dikenal sebagai Aljabar Modern atau Struktur Aljabar. Struktur Aljabar

adalah ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi

biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Secara khusus, mata

kuliah prasyarat untuk mempelajari mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak

adalah Logika yang terdapat pada semester I dan Teori Himpunan yang

terdapat pada semester II. Mata kuliah prasyarat adalah mata kuliah yang

merupakan persyaratan untuk suatu mata kuliah yang diprasyarati. Apabila

suatu mata kuliah mempunyai mata kuliah prasyarat tertentu, maka

pengambilannya hanya dibenarkan setelah persyaratannya dipenuhi.

Keberhasilan mahasiswa dalam mengikut kuliah akan terlihat dari nilai

yang diperolehnya baik itu tugas, kuis, ujian tengah semester maupun ujian

akhir semester. Nilai adalah keputusan yang diambil oleh dosen berdasarkan

skor hasil pengukuran, yang menunjukkan tingkat kompetensi mahasiswa

dalam suatu mata kuliah dengan menggunakan aturan tertentu dan bersifat

kualitatif yakni A, B, C, D dan E. Tinggi rendahnya pencapaian hasil belajar


90

mahasiswa pada setiap akhir evaluasi menunjukkan kemampuan aktifitas

belajar yang dilakukan pada tahap tersebut. Kemampuan prestasi belajar

mahasiswa pada suatu tahap tertentu akan mempengaruhi kemampuan prestasi

belajar pada tahap berikutnya, karena di dalam proses belajar mahasiswa

dituntut memiliki kemampuan dasar pengetahuan dari mata kuliah prasyarat.

C. Hipotesis Penelitian

Hipotesis yang akan diajukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Terdapat pengaruh antara nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan


Abstrak.

2. Ada hubungan antara nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan


Abstrak.


91

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Penelitian secara umum diartikan sebagai cara ilmiah untuk mendapatkan

data dengan tujuan dan kegunaan tertentu (Sugiyono, 2012:3). Dalam

melakukan suatu penelitian hendaknya menentukan terlebih dahulu metode

penelitian yang sesuai dengan penelitian yang akan diteliti. Penelitian yang

dilakukan ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh nilai mata kuliah Logika

dan Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak di Jurusan Pendidikan Matematika Universitas

Sanata Dharma Yogyakarta Tahun Akademik 2016/2017 Semester Genap.

Berdasarkan tujuan penelitian yang telah disebutkan di atas, maka jenis

penelitian ini menggunakan metode penelitian asosiatif. Menurut Sugiyono

(2012:11), penelitian asosiatif adalah penelitian yang bertujuan mengetahui

pengaruh ataupun hubungan antara dua variabel atau lebih.

Penelitian asosiatif merupakan kelompok dari tingkat penjelasan.

Penelitian menurut penjelasan adalah penelitian yang dimaksud untuk

menjelaskan kedudukan variabel yang diteliti, serta hubungan antara satu

variabel dengan variabel lain. Alat uji yang digunakan untuk penelitian

asosiatif ini adalah regresi dan korelasi. Menurut Santoso (2010:141), analisis

korelasi bertujuan mempelajari apakah ada hubungan antara dua variabel atau

lebih, sedangkan analisis regresi memprediksi seberapa jauh pengaruh


92

tersebut. Pendekatan yang digunakan pada penelitian ini adalah pendekatan

penelitian kuantitatif. Menurut Azwar (2005), penelitian yang menggunakan

pendekatan kuantitatif menekankan analisisnya pada data-data numerikal

(angka) yang diolah dengan metode statistik.

B. Subjek Penelitian

Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti dalam suatu

penelitian, hal ini sesuai dengan pendapat Sugiyono (2009:117) yang

menyatakan bahwa populasi adalah wilayah generalisasi yang terdiri dari

obyek atau subyek yang mempunyai kualitas dan karakteristik tertentu yang

ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya.

Populasi penelitian ini adalah seluruh mahasiswa jurusan Program Studi

Pendidikan Matematika FKIP Universitas Sanata Dharma yang telah

mengambil mata kuliah Logika dan Teori Himpunan dan sedang mengikuti

mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak pada semester genap tahun akademik

2016/2017.

Mengingat banyaknya jumlah populasi pada penelitian ini, maka peneliti

mengambil sampel. Sampel adalah sebagian atau wakil dari populasi yang

diteliti. Hal ini sesuai dengan pendapat Margono (2002:121) yang menyatakan

bahwa sampel adalah sebagian dari populasi, sebagian contoh yang diambil

dengan menggunakan cara-cara tertentu. Sampel penelitian ini adalah

mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta yang menempuh mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak kelas B


93

pada tahun akademik 2016/2017 semester genap, yakni sebanyak 53

mahasiswa. Pengambilan sampel ditempuh dengan metode purposive

sampling. Penetapan ini berdasarkan pada pendapat Martono (2010:70) bahwa

purposive sampling merupakan teknik penentuan sampel dengan

pertimbangan tertentu. Kita memilih orang sebagai sampel dengan memilih

orang yang benar-benar mengetahui atau memiliki kompetensi dengan topik

penelitian kita.

Purposive sampling adalah salah satu teknik sampling non random

sampling dimana peneliti menentukan pengambilan sampel dengan cara

menetapkan ciri-ciri khusus yang sesuai dengan tujuan penelitian sehingga

diharapkan dapat menjawab permasalahan penelitian. Berdasarkan penjelasan

purposive sampling tersebut, ada dua hal yang sangat penting dalam

menggunakan teknik sampling tersebut, yaitu non random sampling dan

menetapkan ciri khusus sesuai tujuan penelitian oleh peneliti itu sendiri. Non

random sampling adalah teknik sampling yang tidak memberikan kesempatan

yang sama pada setiap anggota populasi untuk dijadikan sampel penelitian.

Sedangkan ciri khusus sengaja dibuat oleh peneliti agar sampel yang diambil

nantinya dapat memenuhi kriteria-kriteria yang mendukung atau sesuai

dengan penelitian.

Pada penelitian yang berjudul “Pengaruh nilai mata kuliah Logika dan

Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak”, peneliti menetapkan kriteria khusus sebagai

syarat populasi (mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika Universitas Sanata


94

Dharma) yang dapat dijadikan sampel yaitu apabila mahasiswa tersebut telah

menempuh mata kuliah Logika dan Teori Himpunan dan sedang mengikuti

mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak tahun akademik 2016/2017 semester

genap. Karena teknik pengambilan sampel menggunakan non random

sampling maka peneliti menetapkan sampel berasal dari satu kelas yaitu kelas

B. Alasan ditetapkan kriteria tersebut adalah seringkali banyak batasan yang

menghalangi peneliti mengambil sampel secara random (acak), sehingga jika

menggunakan random sampling (sampel acak), akan menyulitkan peneliti.

Dalam hal ini yang menjadi penghalang pengambilan sampel secara random

(acak) adalah mata kuliah ini terbagi atas tiga kelas dan diampu oleh dosen

yang berbeda. Alasan peneliti menggunakan kelas B sebagai sampel penelitian

karena jumlah mahasiswa dalam kelas tersebut lebih banyak dibandingkan dua

kelas lainnya serta dalam kelas tersebut memiliki keberagaman populasi yang

berasal dari mahasiswa angkatan 2014 dan 2015, sehingga dianggap dapat

mewakili populasi yang ada.

C. Objek Penelitian

Objek penelitian adalah hal yang menjadi sasaran penelitian (Kamus

Bahasa Indonesia, 1998:622). Menurut Arikunto (2001:5) menyatakan objek

penelitian merupakan ruang lingkup atau hal-hal yang menjadi pokok

persoalan pada suatu penelitian. Objek penelitian pada penelitian ini meliputi

1) nilai mata kuliah Logika mahasiswa, 2) nilai mata kuliah Teori Himpunan

mahasiswa, dan 3) pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar


95

Aljabar Abstrak. Adapun penelitian ini dilakukan untuk mengetahui seberapa

besar pengaruh nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap


D. Perumusan Variabel-variabel

Menurut Sugiyono (2009:38), variabel penelitian adalah segala sesuatu

yang berbentuk apa saja yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari

sehingga diperoleh informasi tentang hal tersebut, dan kemudian ditarik

kesimpulannya. Variabel dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Variabel bebas atau bisa disebut variabel independen, stimulus, prediktor,

atau antecedent. Variabel independen (variabel bebas) adalah variabel

yang mempengaruhi atau menjadi sebab perubahan atau timbulnya

variabel dependen (Sugiyono, 2009: 39). Variabel bebas dalam penelitian

ini adalah nilai mata kuliah Logika (X1) dan nilai mata kuliah Teori

Himpunan (X2).

2. Variabel terikat atau bisa disebut variabel dependen, respons, atau

criterion. Variabel dependen (variabel terikat) adalah variabel yang

dipengaruhi atau yang menjadi akibat karena adanya variabel bebas.

Variabel terikat dalam penelitian ini adalah pemahaman mahasiswa dalam

mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak (Y).


96

E. Bentuk Data

Adapun data yang diperoleh berupa data kualitatif yang dikonversikan ke

dalam data kuantitatif berupa angka. Data kuantitatif adalah jenis data yang

dapat diukur atau dihitung secara langsung, yang berupa informasi atau

penjelasan yang dinyatakan dengan bilangan atau berbentuk angka. Data

kuantitatif tersebut kemudian diolah dan dianalisis menggunakan perhitungan

matematika atau statistika. Dalam penelitian ini data kuantitatif yang

diperlukan adalah jumlah mahasiswa, daftar nilai mata kuliah Logika dan

Teori Himpunan mahasiswa serta nilai yang diperoleh mahasiswa selama

mempelajari Pengantar Aljabar Abstrak.

Sumber data diperoleh dari subyek penelitian. Pada penelitian ini, sumber

data yang digunakan adalah sumber data sekunder. Menurut Hasan (2004:19)

definisi data sekunder adalah data yang diperoleh atau dikumpulkan oleh

orang yang melakukan penelitian dari sumber-sumber yang telah ada, maka

sumber data penelitian diperoleh secara tidak langsung melalui media

perantara (diperoleh dan dicatat oleh pihak lain). Data sekunder umumnya

berupa bukti, catatan atau laporan historis yang telah tersusun dalam arsip

(data dokumenter) yang dipublikasikan dan yang tidak dipublikasikan.

F. Metode Pengumpulan Data

Metode pengumpulan data yang digunakan dalam penelitian ini meliputi:

1. Metode Dokumentasi


97

Metode dokumentasi menurut Arikunto (2002:206) yaitu mencari

data yang berupa catatan, transkrip, buku, surat kabar, majalah, prasasti,

notulen rapat, agenda dan sebagainya. Sedangkan menurut Hamidi

(2004:72), metode dokumentasi adalah informasi yang berasal dari

catatan penting baik dari lembaga atau organisasi maupun dari

perorangan. Dokumentasi merupakan pengumpulan data oleh peneliti

dengan cara mengumpulkan dokumen-dokumen dari sumber terpercaya

yang mengetahui tentang subjek yang akan diteliti. Pada penelitian ini,

peneliti memperoleh data dokumentasi dari bagian Sekretariat Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (JPMIPA)

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta yang berupa dokumentasi

transkip nilai online dan nilai dari dosen.

Data yang diperoleh dari JPMIPA berupa nilai huruf dan kemudian

dikonversikan ke dalam angka, sedangkan nilai dari dosen diambil nilai

mahasiswa. Metode tersebut dilakukan agar perolehan hasil perhitungan

statistik akurat sehingga mendapat kesimpulan mengenai pengaruh antara

nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman

mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak pada mahasiswa

Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Sanata Dharma

kelas B.

Berdasarkan kedua pendapat para ahli dapat ditarik kesimpulan

bahwa pengumpulan data secara dokumentasi merupakan suatu hal yang

dilakukan oleh peneliti dengan tujuan mengumpulkan data dari berbagai


98

sumber untuk membahas subjek yang akan diteliti. Penelitian ini

menggunakan metode dokumentasi untuk mencari atau mendapatkan data

tentang jumlah mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP USD yang

mengikuti mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak kelas B pada semester

genap tahun ajaran 2016/2017 dan nilai mata kuliah mahasiswa yang

meliputi nilai Logika, nilai Teori Himpunan, dan nilai Pengantar Aljabar

Abstrak.

2. Metode Observasi

Observasi atau pengamatan merupakan suatu teknik atau metode

pengumpulan data dengan cara mengadakan pengamatan langsung terhadap

kegiatan yang sedang dilakukan. Data yang diperoleh dari penggunaan

metode observasi dalam penelitian ini adalah yang menunjang data yang

diperoleh dari hasil kepustakaan dan dokumentasi. Bentuk observasi yang

digunakan adalah bentuk observasi non partisipatif, artinya peneliti tidak

ikut serta dalam kegiatan, peneliti hanya bertindak sebagai pengamat,

mencatat kegiatan yang sedang berlangsung. Penelitian ini juga tidak

melakukan kontak atau komunikasi dengan subjek yang diamatinya,

melainkan hanya mengumpulkan informasi apa yang dilihat baik secara

langsung oleh mata maupun dibantu dengan alat dokumentasi.

Walaupun data yang diperoleh hanya bersifat melengkapi atau

menunjang data hasil kepustakaan dan dokumentasi, tetapi observasi

merupakan teknik pengumpulan data yang cukup penting. Observasi

merupakan salah satu teknik yang dapat menghasilkan data lapangan secara


99

lebih obyektif, karena (a) didasari oleh pengamatan langsung di lapangan,

(b) dapat mengamati dan mencatat data mengenai perilaku dan kejadian

sebagaimana mestinya, (c) dapat mengungkapkan suatu peristiwa dengan

segala kaitannya, (d) dapat memperkecil atau menghilangkan keraguan

tentang data yang diperoleh serta bertujuan sebagai metode bantu untuk

mendapatkan kejelasan dan memberikan keyakinan tentang data yang perlu

untuk dilaporkan, (e) data yang hendak diraih dengan metode observasi

dapat menunjang data yang telah diperoleh melalui metode lain yakni

metode dokumentasi dan kepustakaan. Dalam penelitian ini kegiatan

observasi difokuskan pada pengumpulan data tentang: materi yang

diajarkan dosen pengampu, kegiatan yang berlangsung selama perkuliahan,

dan mengidentifikasi kesulitan yang dialami mahasiswa selama mengikuti

perkuliahan Pengantar Aljabar Abstrak. Penggunaan metode ini ditujukan

untuk melengkapi dan mencocokkan data yang diperoleh dari hasil

kepustakaan dan dokumentasi.

3. Metode Kepustakaan

Metode kepustakaan adalah metode pengumpulan data dengan cara

menggunakan buku atau referensi yang berkaitan dengan topik yang

sedang dibahas. Tujuannya adalah untuk mendapatkan informasi tentang

teori dan konsep yang erat hubungannya dengan permasalahan yang

diteliti. Metode ini dilakukan oleh peneliti dengan cara membaca buku

dan literatur yang terkait dengan mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak.


100

G. Teknik Analisis Data

Teknik analisis data yang digunakan dalan penelitian ini adalah analisis

regresi dan analisis korelasi. Analisis regresi merupakan teknik analisis yang

khas untuk jenis penelitian asosiatif. Analisis regresi bertujuan mempelajari

“pengaruh” variabel bebas (predictor) terhadap variabel tak bebas (criterion).

Analisis regresi dapat digunakan untuk mempelajari pengaruh antara predictor

dan criterion. Menurut Kadir (2016:175-176) analisis regresi dilakukan untuk

menentukan pengaruh antar variabel dikarenakan:

1) Terdapat logika (konseptual) yang menghubungkan antara variabel bebas

(predictor) dan variabel tak bebas (criterion). Artinya hubungan predictor

dan criterion mempunyai dasar rasional yang kuat atau didukung oleh

teori yang kuat.

2) Pada umumnya predictor mendahului criterion. Artinya dalam urutan

waktu predictor terjadi lebih dahulu kemudian criterion.

3) Terdapat arah pengaruh (direct effect) yaitu dari predictor ke criterion

atau dalam representasi simbol ditulis sebagai anak panah berkepala satu.

Misalnya predictor = X dan criterion = Y maka arah pengaruh ditulis

sebagai YX atau pengaruh X terhadap Y tidak sebaliknya.

4) Terdapat kontrol secara statistik, sehingga pengaruh predictor lain dalam

model, terdapat criterion di luar predictor yang dipelajari dapat dikontrol

pengaruhnya.

Dalam analisis regresi dikembangkan sebuah estimating equation

(persamaan regresi), yaitu suatu formula yang mencari nilai variabel


101

dependen dari nilai variabel independen yang diketahui. Analisis regresi

digunakan terutama untuk tujuan peramalan, di mana dalam model tersebut

ada sebuah variabel dependen (tergantung) dan variabel independen (bebas).

Analisis korelasi merupakan suatu analisis untuk mengukur tinggi

rendahnya derajat hubungan antar variabel yang diteliti. Tinggi rendahnya

derajat keeratan tersebut dapat dilihat dari koefisien korelasinya. Koefisien

Korelasi (KK) yang mendekati angka 1 berarti terjadi hubungan positif

yang erat artinya perubahan variabel X dan Y adalah searah (X naik maka Y

naik), bila mendekati angka 1 berarti terjadi hubungan negatif yang erat

artinya menunjukkan hubungan X dan Y saling berlawanan arah. Sedangkan

koefisien korelasi mendekati angka 0 (nol) berarti hubungan kedua variabel

adalah lemah atau tidak erat.

Analisis regresi dan korelasi diuji dengan melakukan tahapan-tahapan

sebagai berikut:

1. Uji Asumsi Klasik/Prasyarat Analisis

Ada beberapa pengujian yang harus dilakukan terlebih dahulu,

sebelum melakukan analisis regresi dan korelasi, tujuannya adalah untuk

menguji apakah model yang dipergunakan tersebut mewakili atau

mendekati kenyataan yang ada. Untuk menguji kelayakan model regresi

yang digunakan, maka harus terlebih dahulu memenuhi uji asumsi klasik.

Terdapat empat jenis pengujian pada uji asumsi klasik ini, diantaranya


102

a. Uji Normalitas

Uji normalitas adalah uji statistik yang dilakukan untuk

mengetahui bagaimana sebaran sebuah data dan mengecek apakah

data penelitian kita berasal dari populasi yang sebarannya normal. Uji

normalitas bertujuan untuk mengetahui apakah dalam model regresi

variabel pengganggu atau residual memiliki distribusi normal

(Santoso, 2016:173). Model regresi yang baik adalah memiliki nilai

residual yang terdistribusi normal. Jadi uji normalitas bukan

dilakukan pada masing-masing variabel penelitian tetapi pada nilai

residualnya.

Cara membaca uji normalitas yaitu untuk sampel yang besar

50 digunakan uji Kolmogorov-Smirnov sedangkan untuk sampel

yang sedikit 50 digunakan Shapiro-Wilk (Oktavia, 2015:64).

Sampel dalam penelitian ini sebanyak 53 mahasiswa, maka pengujian

normalitas data menggunakan Test of Normality Kolmogorov-

Smirnov dengan bantuan program SPSS 17.0. Adapun rumus uji

Kolmogorov-Smirnov untuk normalitas adalah sebagai berikut (Kadir,

2016:146-147):

Keterangan:

D : Deviasi maksimum (selisih absolut terbesar antara iF z

dan iS z )


103

iF z : Daftar distribusi normal untuk setiap nilai iZ

iS z : Proporsi skor 1 2, z , , nz z yang lebih kecil atau sama

dengan iz

Dasar pengambilan keputusan dalam uji normalitas yakni jika nilai

signifikansi lebih besar dari 0,05 maka residual terdistribusi secara

normal. Sebaliknya, jika nilai signifikansi kurang dari 0,05 maka

residual tidak terdistribusi secara normal.

b. Uji Multikolinearitas

Multikolinearitas adalah sebuah situasi yang menunjukkan adanya

korelasi atau hubungan kuat antara dua variabel bebas atau lebih

dalam suatu model regresi linear berganda. Uji multikolinearitas

dilakukan untuk mengetahui ada atau tidaknya hubungan antara

variabel bebas (independen). Model regresi yang baik seharusnya

tidak terjadi korelasi diantara variabel bebas (tidak terjadi

multikolinearitas). Adapun rumus untuk mendeteksi multikolinearitas

digunakan rumus korelasi sebagai berikut (Hasan, 2004:66):

Keterangan:

1.2YR = koefisien korelasi linear berganda tiga variabel

1Yr = koefisien korelasi variabel Y dan X1


104


12r = koefisien korelasi variabel X1 dan X2

Selanjutnya dengan bantuan komputer program SPSS 17.0

diadakan analisis collinearity statistics. Dari analisis collinearity

statistics akan diperoleh nilai tolerence dan VIF (Variance Inflation

Factor). Untuk mengetahui terjadi tidaknya multikolinearitas,

digunakan ketentuan sebagai berikut: Jika nilai Tolerence > 0,10 dan

nilai VIF < 10,00 maka tidak terjadi multikolinearitas, sedangkan jika

nilai Tolerence < 0,10 dan nilai VIF > 10,00 maka terjadi

multikolinearitas. Kesimpulannya jika terjadi multikolinearitas antar

variabel bebas maka uji regresi ganda tidak dapat dilanjutkan. Akan

tetapi jika tidak terjadi multikolinearitas antar variabel bebas maka uji

regresi ganda dapat dilanjutkan.

c. Uji Heteroskedastisitas

Heteroskedastisitas adalah adanya ketidaksamaan varian dari

residual untuk semua pengamatan pada model regresi. Uji

Heteroskedastisitas adalah uji yang menilai apakah dalam model

regresi terjadi ketidaksamaan variance dari residual satu pengamatan

ke pengamatan yang lain. Uji Heteroskedastisitas digunakan untuk

mengetahui ada atau tidaknya penyimpangan asumsi klasik

heteroskedastisitas. Jika variance dari residual satu pengamatan ke

pengamatan lain tetap, maka disebut homoskedastisitas dan berbeda


105

disebut heteroskedastisitas. Model regresi yang baik seharusnya tidak

terjadi heteroskedastisitas.

Dasar pengambilan keputusan pada Uji Heteroskedastisitas yakni

jika nilai signifikansi lebih besar dari 0,05, kesimpulannya adalah

tidak terjadi heteroskedastisitas, sedangkan jika nilai signifikansi

lebih kecil dari 0,05, maka kesimpulannya adalah terjadi

heteroskedastisitas. Uji statistik yang dapat digunakan adalah uji

Glejser. Glejser (ahli ekonometrika) mengatakan bahwa varian,

variabel gangguan nilainya tergantung dari variabel independen yang

ada di dalam model (Ansofino, 2016:44). Tujuan uji Glejser ini

adalah mengusulkan untuk meregres nilai absolute residual terhadap

variabel independen dengan persamaan regresi dengan formula

sebagai berikut:

Keterangan:

e = nilai absolut dari residual yang dihasilkan dari model regresi

2X = variabel penjelas

d. Uji Linearitas

Linearitas adalah sifat hubungan yang linear antar variabel, artinya

setiap perubahan yang terjadi pada satu variabel akan diikuti

perubahan dengan besaran yang sejajar pada variabel lainnya. Uji

linearitas dimaksudkan untuk mengetahui apakah antara variabel


106

bebas (X) dan variabel terikat (Y) mempunyai hubungan linear atau

tidak. Jika memiliki hubungan linear, maka langkah pengujian regresi

ganda dilakukan dengan uji regresi linear ganda. Untuk mengetahui

hal tersebut, kedua variabel harus diuji dengan menggunakan uji F

pada taraf signifikansi 0,05. Uji linearitas yang digunakan adalah lack

of fit test (uji tuna cocok). Rumus yang digunakan untuk menguji

linearitas yaitu (Kadir, 2016:180):

Keterangan:

hitF = hitungF Tc = Tuna Cocok

RJK = Rata-rata Jumlah Kuadrat G = Galat

Uji linearitas pada penelitian ini menggunakan bantuan program

SPSS 17.0. Hubungan antar variabel dikatakan linear jika nilai sig.

lebih dari 0.05. Sebaliknya, jika nilai sig kurang dari 0.05, maka

hubungan antar variabel tidak linear (Kadir, 2016:186).

2. Uji Hipotesis

a. Untuk menguji hipotesis pertama: pengaruh nilai mata kuliah Logika dan


Pengantar Aljabar Abstrak.

Digunakan langkah-langkah sebagai berikut:

1) Perumusan hipotesis pertama


107

H0 : 1 2 atau H0 : 1 2 0 (tidak ada pengaruh nilai mata

kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman

mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak)

H1 : 1 2 atau H1 : 1 2 0 (ada pengaruh nilai mata kuliah

Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa

dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak)

2) Mencari persamaan regresi linear berganda

Formula yang digunakan untuk mencari persamaan regresi dengan

dua prediktor menurut Hasan (2004: 74):

Keterangan:

Y : Pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar

Abstrak

a : Konstanta

1b : Koefisien regresi untuk nilai mata kuliah Logika

2b : Koefisien regresi untuk nilai mata kuliah Teori Himpunan

1X : Nilai Logika

2X : Nilai Teori Himpunan

3) Menentukan statistik uji

Untuk menguji koefisien regresi yang serentak atau bersama-sama

mempengaruhi Y maka perlu dilakukan uji F dengan


108

membandingkan Fhitung dengan Ftabel pada taraf signifikansi 0,05.

Formula yang digunakan sebagai berikut (Hasan, 2004:107):

Keterangan:

n = jumlah subjek

k = jumlah variabel bebas

R2 = koefisien korelasi antara dependen dengan independen

4) Menentukan wilayah kritis

H0 ditolak apabila 1 20 ; v v

F F

dengan 1 1,v m 2v n m

m jumlah variabel

n jumlah sampel

0,05; 2 503,18F (lihat tabel F pada lampiran)

5) Melakukan perhitungan

Perhitungan dilakukan dengan bantuan program SPSS Statistics 17.0.

6) Membuat kesimpulan

Dalam hal ini penerimaan dan penolakan H0.

b. Untuk menguji hipotesis kedua: hubungan nilai mata kuliah Logika dan



Digunakan langkah-langkah sebagai berikut:

1) Perumusan hipotesis kedua


109

H0 : .12 0Y (tidak ada hubungan nilai mata kuliah Logika dan

Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata

kuliah Pengantar Aljabar Abstrak)

H1 : .12 0Y (ada hubungan nilai mata kuliah Logika dan Teori

Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak)

2) Mencari koefisien korelasi berganda

Korelasi berganda merupakan suatu teknik statistika parametrik yang

digunakan untuk mempelajari korelasi antara satu variabel terikat (Y)

dengan sejumlah atau beberapa variabel bebas (X) sebagai satu

kesatuan. Koefisien korelasi berganda adalah koefisien korelasi untuk

mengukur keeratan hubungan antara tiga variabel atau lebih, dengan

rumus (Hasan, 2004: 66-67):

Keterangan:

1.2YR = koefisien korelasi linear berganda tiga variabel



12r = koefisien korelasi variabel X1 dan X2

Adapun kriteria penilaian koefisien korelasi menurut Hasan

(2004:44) adalah sebagai berikut:


110

Tabel 3.1 Interval Nilai Koefisien Korelasi dan Kekuatan Hubungan

No. Interval Nilai Kekuatan Hubungan

1. 0,00KK Tidak ada

2. 0,00 0,20KK Sangat rendah atau lemah sekali

3. 0,20 0,40KK Rendah atau lemah tapi pasti

4. 0,40 0,70KK Cukup berarti atau sedang

5. 0,70 0,90KK Tinggi atau kuat

6. 0,90 1,00KK Sangat tinggi atau kuat sekali, dapat diandalkan

7. 1,00KK Sempurna

3) Menentukan statistik uji

Uji signifikansi koefisien korelasi ganda perlu dilakukan untuk

melihat apakah terdapat hubungan yang signifikan antara variabel

bebas (X1 dan X2) dengan variabel terikat (Y) secara bersama-sama

(secara simultan). Untuk menguji koefisien korelasi ganda yang

serentak atau bersama-sama mempengaruhi Y maka perlu dilakukan

dilakukan uji F dengan membandingkan Fhitung dengan Ftabel pada

taraf signifikansi 0,05. Formula yang digunakan sebagai berikut

(Kadir, 2016:193):

Keterangan:

n = jumlah subjek

k = jumlah variabel bebas

R2 = koefisien korelasi antara dependen dengan independen

4) Menentukan wilayah kritis

H0 ditolak apabila 1 20 ; v v

F F

dengan 1 1,v m 2v n m


111

m jumlah variabel

n jumlah sampel

0,05; 2 503,18F (lihat tabel F pada lampiran)

5) Melakukan perhitungan

Perhitungan dilakukan dengan bantuan program SPSS Statistics 17.0.

6) Membuat kesimpulan

Dalam hal ini penerimaan dan penolakan H0.

Apabila tidak terjadi hubungan yang signifikan secara bersama-sama,

maka kita perlu mengetahui hubungan antara masing-masing variabelnya

dengan menggunakan korelasi parsial. Korelasi parsial adalah suatu

teknik statistika yang digunakan untuk mempelajari hubungan murni

antara sebuah variabel bebas (X1) dengan variabel terikat (Y) dengan

mengendalikan atau mengontrol variabel-variabel bebas yang lain (X2)

yang diduga mempengaruhi hubungan antara X1 dengan Y. Koefisien

korelasi parsial dimaksudkan untuk mencari tahu seberapa kuatkah

hubungan salah satu atau beberapa variabel bebas terhadap variabel

terikat secara parsial, tidak simultan atau bersama-sama. Uji yang

digunakan untuk menguji signifikansi korelasi parsial adalah uji t.

3. Koefisien penentu berganda

Koefisien penentu berganda atau koefisien determinasi berganda adalah

koefisien korelasi untuk menentukan besarnya pengaruh variasi

(naik/turunnya) nilai variabel bebas (variabel X) terhadap variasi


112

(naik/turunnya) nilai variabel terikat (variabel Y) dengan rumus (Hasan 2004:

67):

Keterangan:

KPB : Koefisien Penentu Berganda

2R : nilai koefisien korelasi

Nilai koefisien penentu berada antara 0 sampai 1 0 1 .KP Jika nilai

koefisien penentu (KP) = 0, berarti tidak pengaruh variabel independen (X)

terhadap variabel dependen (Y). Jika nilai koefisien penentu (KP) = 1, berarti

variasi (naik/turunnya) variabel dependen (Y) adalah 100% dipengaruhi oleh

variabel independen (X). Jika nilai koefisien penentu (KP) berada di antara 0

dan 1 0 1KP maka besarnya pengaruh variabel independen terhadap

variasi (naik/ turunnya) variabel dependen adalah sesuai dengan nilai KP itu

sendiri, dan selebihnya berasal dari faktor-faktor lain (Hasan, 2004:45).

H. Prosedur Pelaksanaan Penelitian Secara Keseluruhan

Pelaksanaan penelitian ini dilaksanakan dalam beberapa tahap yaitu

sebagai berikut:

1. Tahap Persiapan

Pada tahapan ini peneliti melakukan beberapa hal, yakni sebagai berikut:

a. Membuat perencanaan penelitian dalam bentuk proposal,

perencanaan sangat penting karena dengan perencanaan yang baik

maka penelitian akan lebih mudah.


113

b. Setelah menyusun proposal dengan bimbingan dosen Pembimbing

Skripsi dan dosen Mata Kuliah Metodologi Penelitian Pendidikan

Matematika, peneliti mulai melakukan bimbingan skripsi tahap pra

lapangan, yakni pengajuan Bab I, Bab II, dan Bab III.

c. Peneliti meminta izin untuk melakukan penelitian kepada Kepala

Prodi untuk melakukan penelitian terhadap mahasiswa S1 Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta di kelas


d. Sebelum melaksanakan penelitian, peneliti berkonsultasi dengan

dosen pengampu mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak untuk

menentukan kelas yang akan digunakan untuk meneliti.

2. Tahap Pelaksanaan


a. Peneliti mengumpulkan data dengan teknik pengumpulan data

berdasarkan sumber-sumber yang sudah peneliti rencanakan pada

proposal penelitian.

b. Pada tahap selanjutnya peneliti melakukan teknik pengumpulan data

melalui kajian dokumentasi. Selama proses pengumpulan data

melalui metode dokumentasi, peneliti juga mengumpulkan data

dengan melakukan kegiatan observasi selama proses perkuliahan

materi Teori Grup.

3. Tahap Akhir



114

a. Data hasil penelitian yang telah diperoleh dikumpulkan, kemudian

peneliti melakukan serangkaian proses analisis data kuantitatif dan

melakukan pembahasan dari hasil analisis data.

b. Peneliti menarik kesimpulan dari hasil penelitian.


115

BAB IV

PELAKSANAAN PENELITIAN, PENYAJIAN DATA, ANALISIS DATA

DAN PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN

A. Deskripsi Lokasi Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Universitas Sanata Dharma (USD) Yogyakarta

yang beralamat di Paingan, Maguwoharjo, Kecamatan Depok, Kabupaten

Sleman, Yogyakarta. Kampus USD memiliki delapan fakultas. Salah satunya

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, yang terdiri dari Prodi Bimbingan

dan Konseling, Prodi Pendidikan Akuntansi, Prodi Pendidikan Fisika, Prodi

Pendidikan Matematika, Prodi Pendidikan Ekonomi, Prodi Pendidikan

Sejarah, Prodi Pendidikan Bahasa Inggris, Prodi Pendidikan Bahasa dan Sastra

Indonesia, Prodi Pendidikan Guru Sekolah Dasar, Prodi Ilmu Pendidikan

Agama Katolik, Prodi Pendidikan Biologi, Prodi S2 Pendidikan Matematika,

Prodi S2 Pendidikan Bahasa Sastra Indonesia, Prodi S2 Pendidikan Bahasa

Inggris, dan Prodi Pendidikan Kimia. Program Studi Pendidikan Matematika

merupakan salah satu bagian dari Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

(FKIP) USD Yogyakarta yang terakreditasi A.

Program Studi S1 Pendidikan Matematika adalah salah satu Program Studi

di FKIP USD yang berdiri pada tanggal 28 Januari 1985. Program Studi S1

Pendidikan Matematika FKIP USD bertujuan untuk menghasilkan Sarjana

Pendidikan Matematika yang menguasai ilmu matematika, menguasai

metodologi pembelajaran matematika sekolah menengah, berwawasan luas,


116

dan memiliki integritas tinggi dalam dunia pendidikan, dan mampu

bekerjasama dengan semua pemangku kepentingan yang terkait dengan

Pendidikan Matematika.

B. Pelaksanaan Pengumpulan Data atau Kegiatan di Lapangan

Penelitian ini bertujuan untuk: 1) menguji apakah ada pengaruh antara

nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman

mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak; dan 2) menguji

bagaimana hubungan antara nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan


Abstrak. Penelitian ini dilaksanakan dari tanggal 22 Februari 2017 sampai

dengan 24 Mei 2017. Data dalam penelitian ini terdiri dari nilai akhir mata

kuliah Logika dan Teori Himpunan yang berupa nilai huruf A, B, C, D, dan E

serta nilai-nilai yang diperoleh mahasiswa selama mengikuti proses

perkuliahan Pengantar Aljabar Abstrak.

Pengumpulan data dilakukan dengan cara pengumpulan data sekunder.

Data sekunder didapat dengan cara mengumpulkan berbagai dokumen yang

berkaitan dengan penelitian dari organisasi terkait. Peneliti juga melakukan

observasi di kelas selama pelaksanaan perkuliahan Pengantar Aljabar Abstrak.

Observasi dilakukan peneliti dengan mengikuti jalannya kegiatan perkuliahan


Pada penelitian ini ada serangkaian kegiatan yang dilakukan secara

bertahap agar tujuan yang diharapkan dalam penelitian ini dapat tercapai. Pada


117

tahap pertama peneliti melakukan studi literatur dengan membaca buku-buku

yang berkaitan dengan topik yang akan diteliti yaitu materi Pengantar Aljabar

Abstrak. Kegiatan tahap kedua dilakukan dengan melakukan observasi di

kelas untuk menyelaraskan antara materi yang diperoleh dari hasil studi

literatur dengan materi yang disampaikan oleh dosen pengampu mata kuliah

dalam pembelajaran di kelas. Dari hasil observasi yang telah dilakukan,

dilanjutkan dengan kegiatan tahap ketiga yaitu mengumpulan data yang

diperlukan dalam penelitan untuk kemudian dapat diolah meliputi: 1) nilai

mata kuliah Logika dan Teori Himpunan yang diperoleh dari Sekretariat

Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (JPMIPA) FKIP

USD Yogyakarta, dan 2) nilai yang diperoleh mahasiswa selama mengikuti

mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak yang diperoleh langsung dari dosen

pengampu mata kuliah tersebut.

C. Penyajian Data Penelitian

Data dalam penelitian ini merupakan kumpulan nilai mata kuliah Logika,

Teori Himpunan, dan nilai mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak. Data nilai

tersebut kemudian diolah secara statistik. Jumlah mahasiswa Program Studi

Pendidikan Matematika FKIP USD tahun akademik 2016/2017 semester

genap yang mengambil mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak adalah 53

mahasiswa yang berasal dari kelas B. Data tersebut secara keseluruhan dapat

dilihat pada tabel dibawah ini.


118

Tabel 4.1 Distribusi Nilai Mata Kuliah Logika, Teori Himpunan dan Nilai Mata

Kuliah Pengantar Aljabar Abstrak Kelas B Tahun Akademik 2016/2017/

semester Genap Prodi Pendidikan Matematika FKIP USD

No Y X1 X2 Y2 X12 X2

2 X1Y X2Y X1X2

1 3 0 2 9 0 4 0 6 0

2 2 1 0 4 1 0 2 0 0

3 2 1 0 4 1 0 2 0 0

4 2 1 0 4 1 0 2 0 0

5 3 4 0 9 16 0 12 0 0

6 4 3 2 16 9 4 12 8 6

7 3 2 3 9 4 9 6 9 6

8 2 1 0 4 1 0 2 0 0

9 2 0 2 4 0 4 0 4 0

10 0 4 3 0 16 9 0 0 12

11 1 4 0 1 16 0 4 0 0

12 3 3 3 9 9 9 9 9 9

13 3 4 4 9 16 16 12 12 16

14 2 1 2 4 1 4 2 4 2

15 2 2 4 4 4 16 4 8 8

16 1 2 3 1 4 9 2 3 6

17 1 2 4 1 4 16 2 4 8

18 4 0 4 16 0 16 0 16 0

19 4 1 3 16 1 9 4 12 3

20 3 2 3 9 4 9 6 9 6

21 0 1 2 0 1 4 0 0 2

22 2 0 0 4 0 0 0 0 0

23 0 2 0 0 4 0 0 0 0

24 1 2 3 1 4 9 2 3 6

25 3 3 4 9 9 16 9 12 12

26 3 0 3 9 0 9 0 9 0

27 2 2 3 4 4 9 4 6 6

28 1 3 2 1 9 4 3 2 6

29 3 1 2 9 1 4 3 6 2

30 4 3 2 16 9 4 12 8 6

31 1 2 0 1 4 0 2 0 0

32 2 0 0 4 0 0 0 0 0

33 4 4 3 16 16 9 16 12 12

34 0 3 0 0 9 0 0 0 0

35 2 3 2 4 9 4 6 4 6

36 4 2 2 16 4 4 8 8 4

37 0 2 3 0 4 9 0 0 6


119

38 1 1 2 1 1 4 1 2 2

39 2 2 0 4 4 0 4 0 0

40 4 4 3 16 16 9 16 12 12

41 0 0 1 0 0 1 0 0 0

42 0 0 0 0 0 0 0 0 0

43 4 1 2 16 1 4 4 8 2

44 1 0 1 1 0 1 0 1 0

45 2 1 1 4 1 1 2 2 1

46 4 3 1 16 9 1 12 4 3

47 1 1 0 1 1 0 1 0 0

48 2 2 3 4 4 9 4 6 6

49 0 2 0 0 4 0 0 0 0

50 3 3 2 9 9 4 9 6 6

51 4 3 4 16 9 16 12 16 12

52 3 3 2 9 9 4 9 6 6

53 3 0 1 9 0 1 0 3 0

113 97 96 333 263 274 222 240 200

Data pada tabel di atas merupakan bagian dari populasi yang merupakan

sampel atau objek dalam penelitian ini. Penyajian data yang dimaksud dalam

penelitian ini adalah mendeskripsikan data sekunder, yaitu data mengenai nilai

mata kuliah Logika (X1), nilai mata kuliah Teori Himpunan (X2), dan nilai

mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak (Y).

1. Deskripsi Data Nilai Logika

Berikut akan dideskripsikan data variabel nilai mata kuliah Logika

mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika FKIP USD yang mengikuti

mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak tahun akademik 2016/2017

semester genap kelas B. Deskripsi variabel nilai mata kuliah Logika

diperoleh melalui perhitungan persentase terhadap hasil nilai akhir

mahasiswa sedangkan kategori nilai huruf diperoleh menurut Arikunto

(2013:281). Berdasarkan perhitungan nilai mata kuliah Logika mahasiswa

yang mengikuti mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak tahun akademik


120

2016/2017 semester genap, maka diperoleh hasil seperti pada tabel

berikut:

Tabel 4.2 Distribusi Nilai Logika

No Nilai Frekuensi

Kategori Absolut Relatif %

1 A 6 11.32% Baik sekali

2 B 11 20.75% Baik

3 C 14 26.42% Cukup

4 D 12 22.64% Kurang

5 E 10 18.87% Gagal

Jumlah 53 100%

Dari tabel di atas, diketahui mahasiswa yang mendapat nilai A

sebanyak 6 orang, mahasiswa yang mendapat nilai B sebanyak 11 orang,

mahasiswa yang mendapat nilai C sebanyak 14 orang, mahasiswa yang

mendapat nilai D sebanyak 12 orang, dan mahasiswa yang mendapat nilai

E sebanyak 10 orang. Dari data tersebut diketahui bahwa persentase

terbesar adalah mahasiswa yang mendapat nilai C yaitu sebanyak 26,42%,

sedangkan persentase terkecil adalah mahasiswa yang mendapat nilai A

yaitu sebanyak 11,32%.

2. Deskripsi Data Nilai Teori Himpunan

Berikut akan dideskripsikan data variabel nilai mata kuliah Teori

Himpunan mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika FKIP USD yang

mengikuti mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak tahun akademik

2016/2017 semester genap kelas B. Deskripsi variabel nilai mata kuliah

Teori Himpunan diperoleh melalui perhitungan persentase terhadap hasil


121

nilai akhir mahasiswa. Berdasarkan perhitungan nilai mata kuliah Teori

Himpunan, maka diperoleh hasil:

Tabel 4.3 Distribusi Nilai Teori Himpunan

No Nilai Frekuensi



2 B 13 24.53% Baik

3 C 14 26.42% Cukup

4 D 5 9.43% Kurang

5 E 15 28.30% Gagal

Jumlah 53 100%




mendapat nilai D sebanyak 5 orang , dan mahasiswa yang mendapat nilai

E 15 orang. Dari data tersebut diketahui bahwa persentase terbesar adalah

mahasiswa yang mendapat nilai E yaitu sebanyak 28,30%, sedangkan

persentase terkecil adalah mahasiswa yang mendapat nilai D yaitu

sebanyak 9,43%.

3. Deskripsi Data Nilai Pengantar Aljabar Abstrak Materi Teori Grup

Berikut akan dideskripsikan data variabel nilai Pengantar Aljabar

Abstrak mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika FKIP USD tahun

akademik 2016/2017/semester genap kelas B. Deskripsi variabel nilai

Pengantar Aljabar Abstrak diperoleh melalui perhitungan persentase

terhadap hasil nilai akhir mahasiswa. Berdasarkan perhitungan nilai

Pengantar Aljabar Abstrak, diperoleh hasil seperti pada tabel berikut:


122

Tabel 4.4 Distribusi Nilai Pengantar Aljabar Abstrak

No Nilai Frekuensi



2 B 12 22.64% Baik

3 C 14 26.42% Cukup

4 D 9 16.98% Kurang

5 E 8 15.09% Gagal

Jumlah 53 100%




mendapat nilai D sebanyak 9 orang , dan mahasiswa yang mendapat nilai

E 8 orang. Dari data tersebut diketahui bahwa persentase terbesar adalah

mahasiswa yang mendapat nilai C yaitu sebanyak 26,42%, sedangkan

persentase terkecil adalah mahasiswa yang mendapat nilai E yaitu

sebanyak 15,09%.

D. Analisis Data dan Penyajian Hasil Analisis

1. Uji Asumsi/Prasyarat Analisis

a. Uji Normalitas

Uji normalitas dalam penelitian ini menggunakan Kolmogorov

Smirnov. Berdasarkan analisis data dengan bantuan program

komputer SPSS 17.0 maka akan diketahui nilai signifikansi yang

menunjukkan normalitas data. Kriteria yang digunakan yaitu jika

nilai Asymp. Sig kurang dari atau sama dengan taraf signifikansi yang

ditentukan yaitu 5% atau sebesar 0,05 maka residual tidak


123

terdistribusi secara normal, sebaliknya jika nilai Asymp. Sig lebih dari

5% atau 0,05 maka residual terdistribusi secara normal. Berikut hasil

uji normalitas sebagai berikut:

Tabel 4.5 Uji Normalitas One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

Unstandardized Residual

N 53

Normal Parametersa,,b

Mean .0000000

Std. Deviation 1.23307108

Most Extreme Differences Absolute .135

Positive .083

Negative -.135

Kolmogorov-Smirnov Z .982

Asymp. Sig. (2-tailed) .290

a. Test distribution is Normal.

b. Calculated from data.

Dari tabel di atas, diketahui bahwa nilai Asymp. Sig sebesar 0,290.

Berdasarkan kriteria uji normalitas data, maka dapat dikatakan data

pada penelitian ini terdistribusi normal apabila asymp.Sig.(2-tailed)

lebih dari 0,05. Dari hasil tes Kolmogorov smirnov didapat nilai

asymp.Sig.(2-tailed) sebesar 0,290, atau lebih besar dari 0,05, maka

dapat disimpulkan bahwa data residual dalam penelitian ini

terdistribusi secara normal.

b. Uji Multikolinieritas

Uji multikolinieritas bertujuan untuk menguji apakah dalam model

regresi ditemukan adanya korelasi antar variabel bebas.

Multikolinieritas tidak terjadi apabila nilai Tolerence lebih besar dari

0,10 dan nilai VIF lebih kecil dari 10,00. Dengan bantuan SPSS 17.0

diperoleh hasil uji multikolinieritas adalah sebagai berikut:


124

Tabel 4.6 Uji Multikolinieritas Coefficients

a

Model

Unstandardized Coefficients

Standardized Coefficients

t Sig.

Collinearity Statistics

B Std. Error Beta Tolerance VIF

1 (Constant) 1.377 .347 3.975 .000

Nilai Logika .083 .141 .080 .590 .558 .931 1.074

Nilai Teori Himpunan

.333 .130 .347 2.554 .014 .931 1.074

a. Dependent Variable: Nilai Pengantar Aljabar Abstrak

Dari tabel di atas, diketahui bahwa nilai Tolerance variabel Nilai

Logika (X1) dan nilai Teori Himpunan (X2) yakni sebesar 0,931 atau

dapat dikatakan bahwa nilai Tolerance lebih besar dari 0,10. Dari

tabel tersebut diketahui juga bahwa nilai VIF variabel nilai Logika

(X1) dan nilai Teori Himpunan (X2) yakni 1,074 atau dapat dikatakan

bahwa nilai VIF lebih kecil dari 10,00. Berdasarkan kriteria uji

multikolinieritas, maka disimpulkan tidak terjadi multikolinieritas

pada data.

c. Uji Heteroskedastisitas

Uji heteroskedastisitas bertujuan untuk menguji apakah dalam

model regresi terjadi ketidaksamaan variance dari residual satu

pengamatan ke pengamatan yang lain. Dasar pengambilan keputusan

pada Uji Heteroskedastisitas adalah jika nilai signifikansi lebih besar

dari 0,05 maka tidak terjadi heteroskedastisitas dan jika nilai

signifikansi lebih kecil dari 0,05 maka terjadi heteroskedastisitas.

Dengan bantuan SPSS 17.0 diperoleh hasil uji heteroskedastisitas

adalah sebagai berikut:


125

Tabel 4.7 Uji Heteroskedastisitas Coefficients

a

Model


Standardized Coefficients

T Sig. B Std. Error Beta

1 (Constant) .862 .182 4.748 .000

Nilai Logika .069 .074 .135 .936 .354

Nilai Teori Himpunan

.026 .068 .055 .380 .705

a. Dependent Variable: RES2

Berdasarkan output di atas diketahui bahwa nilai signifikansi

variabel nilai Logika (X1) sebesar 0,354. Berdasarkan kriteria uji

heteroskedastisitas bahwa apabila nilai signifikansi lebih besar dari

0,05, maka tidak terjadi heteroskedastisitas. Dari output uji

heteroskedastisitas pada penelitian ini menunjukkan nilai

signifikansi sebesar 0,354, atau lebih besar dari 0,05, sehingga tidak

terjadi heteroskedastisitas pada nilai Logika. Dari output juga

diketahui bahwa nilai Teori Himpunan menunjukkan nilai

signifikansi sebesar 0,705. Nilai Teori Himpunan juga lebih besar

dari nilai signifikansi 0,05, sehingga tidak terjadi heteroskedastisitas

pada nilai Teori Himpunan.

d. Uji Linearitas

Uji linearitas bertujuan untuk menguji apakah variabel bebas (X)

dan variabel terikat (Y) berbentuk linear atau tidak. Kriterianya,

apabila nilai sig. lebih 0,05 maka hubungan variabel bebas (X) dan

variabel terikat (Y) dinyatakan linear. Sebaliknya, apabila nilai sig.

kurang dari 0,05 maka hubungan variabel bebas (X) dan variabel

terikat (Y) dinyatakan tidak linear. Setelah dilakukan perhitungan


126

menggunakan program SPSS 17.0, hasil pengujian linearitas

diterangkan pada tabel 4.8 dan tabel 4.9 di bawah ini:

Tabel 4.8 Uji Linearitas Nilai Logika (X1) dan Nilai PAA (Y) ANOVA Table

Sum of Squares Df

Mean Square F Sig.

Nilai Pengantar Aljabar Abstrak * Nilai Logika

Between Groups

(Combined) 10.594 4 2.648 1.560 .200

Linearity 2.699 1 2.699 1.590 .213

Deviation from Linearity

7.895 3 2.632 1.550 .214

Within Groups 81.482 48 1.698

Total 92.075 52

Dari tabel di atas diketahui nilai Deviation from Linearity,

diketahui Fhit (Tc) = 1,550, dengan nilai sig. F = 0,214. Berdasarkan

kriteria uji linearitas bahwa jika nilai sig. lebih besar dari 0,05 maka

hubungan variabel bebas dan variabel terikat dinyatakan linear.

Diketahui nilai sig. dari output uji linearitas pada nilai Logika dan

nilai PAA dalam penelitian ini sebesar 0,214 atau lebih besar dari

nilai signifikasi sebesar 0,05, sehingga nilai logika dan nilai PAA

pada penelitian ini dinyatakan linear.

Tabel 4.9 Uji Linearitas Nilai Teori Himpunan (X2) dan Nilai PAA (Y) ANOVA Table

Sum of Squares Df

Mean Square F Sig.

Nilai Pengantar Aljabar Abstrak * Nilai Teori Himpunan

Between Groups

(Combined) 15.711 4 3.928 2.469 .057

Linearity 12.461 1 12.461 7.833 .007

Deviation from Linearity

3.250 3 1.083 .681 .568

Within Groups 76.364 48 1.591

Total 92.075 52

Dari tabel di atas diketahui nilai Deviation from Linearity,

diketahui Fhit (Tc) = 0,681, dengan nilai sig. F = 0,568. Berdasarkan

kriteria uji linearitas bahwa jika nilai sig. lebih besar dari 0,05 maka


127

hubungan variabel bebas dan variabel terikat dinyatakan linear.

Diketahui nilai sig. dari output uji linearitas pada nilai Teori

Himpunan dan nilai PAA dalam penelitian ini sebesar 0,568 atau

lebih besar dari nilai signifikasi sebesar 0,05, sehingga nilai Teori

Himpunan dan nilai PAA pada penelitian ini dinyatakan linear.

2. Uji Hipotesis

a. Pengujian hipotesis pertama

1) Perumusan hipotesis

H0 : 1 2 atau H0 : 1 2 0 (tidak ada pengaruh nilai mata



H0 : 1 2 atau H0 : 1 2 0 (ada pengaruh nilai mata

Kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman


2) Persamaan regresi linear berganda

1 1 2 2Y a b X b X

1 21,377 0,083 0,333Y X X

3) Kriteria pengujian

H0 diterima (H1 ditolak) apabila 0 3,18F

H0 ditolak (H1 diterima) apabila 0 3,18F

4) Perhitungan


128

Tabel 4.10 Rangkuman Analisis Regresi Ganda

5) Kesimpulan

Berdasarkan tabel di atas diketahui bahwa nilai 0F 4,114

sedangkan nilai tabelF pada taraf signifikansi 0,05 dengan df

(2;50) adalah 3,18. Oleh sebab itu, nilai 0 4,114F nilai

3,18tabelF , maka 0H ditolak. Artinya, ada pengaruh nilai mata


mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak.

b. Pengujian hipotesis kedua

1) Perumusan hipotesis

H0 : .12 0Y (tidak ada hubungan nilai mata kuliah Logika dan

Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata


H1 : .12 0Y (ada hubungan nilai mata kuliah Logika dan Teori

Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata


2) Koefisien korelasi berganda

Model

Sum of

Squares Df Mean Square F Sig.

Regression 13.011 2 6.506 4.114 .022a

Residual 79.064 50 1.581

Total 92.075 52


129

Setelah melakukan perhitungan koefisien korelasi dengan

bantuan SPSS 17.0 didapat nilai mata kuliah Logika dan Teori

Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak 0,376 atau RY.12 = 0,376. Ini artinya,

berdasarkan kriteria penilaian koefisien, nilai tersebut masuk

kategori rendah atau lemah tapi pasti.

3) Menentukan kriteria pengujian

H0 diterima (H1 ditolak) apabila 0 3,18F

H0 ditolak (H1 diterima) apabila 0 3,18F

4) Perhitungan

Tabel 4.11 Rangkuman Analisis Korelasi Ganda Model Summary

Model

1

R .376a

R Square .141

Adjusted R Square .107

Std. Error of the Estimate 1.257

Change Statistics R Square Change .141

F Change 4.114

df1 2

df2 50

Sig. F Change .022

5) Kesimpulan

Berdasarkan tabel di atas diketahui bahwa nilai Fchange 0( )F

4,114 sedangkan nilai tabelF pada taraf signifikansi 0,05 dengan

df (2;50) adalah 3,18. Oleh sebab itu, nilai 0 4,114F nilai


130

3,18tabelF , maka 0H ditolak. Hal ini berarti bahwa koefisien

korelasi ganda antara X1 dan X2 dengan Y adalah signifikan atau

tingkat keeratan hubungan antara nilai mata kuliah Logika dan

Teori Himpunan secara bersama-sama (secara simultan) terhadap

pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar

Abstrak adalah signifikan. Artinya, ada hubungan nilai mata


mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak.

Berdasarkan hasil hitung koefisien korelasi berganda yaitu 0,376

dan kriteria penilaian koefisien nilai tersebut masuk pada kriteria

rendah atau lemah tapi pasti. Artinya bahwa antara nilai mata

kuliah Logika dan nilai mata kuliah Teori Himpunan terdapat

hubungan positif dan rendah atau lemah tapi pasti terhadap

pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar

Abstrak.

3. Koefisien penentu berganda

Setelah melakukan perhitungan didapat nilai RY.122 = 0,141 sehingga

KPB = 14,1%. Hasil hitung KPB ini menunjukkan bahwa besarnya

pengaruh nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap

pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak

hanya sebesar 14,1%, sedangkan 85,9% berasal dari faktor-faktor lain


131

yang juga mempengaruhi pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak namun tidak dimasukkan dalam regresi.

E. Pembahasan Hasil Analisis Data

Penelitian Sari et al. (2015) mengatakan bahwa untuk memahami materi

mata kuliah Stuktur Aljabar 1 (dalam penelitian ini disebut mata kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak), pertama-tama mahasiswa harus memahami

konsep-konsep yang mendasari materi Struktur Aljabar 1, yaitu konsep

himpunan, logika matematika, relasi dan fungsi, yang terangkum dalam mata

kuliah prasyarat untuk mata kuliah Struktur Aljabar 1. Berdasarkan pendapat

tersebut, peneliti menduga pemahaman mahasiswa pada materi Teori Grup

dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak dipengaruhi oleh nilai mata

kuliah Logika dan nilai mata kuliah Teori Himpunan. Oleh karena itu,

penelitan ini dilakukan dengan tujuan untuk mengetahui apakah terdapat

pengaruh dan bagaimana hubungan nilai mata kuliah Logika dan Teori


Aljabar Abstrak.

Berdasarkan hasil analisis data yang telah dilakukan maka dapat

dibuktikan bahwa terdapat pengaruh nilai mata kuliah Logika dan Teori

Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa pada materi Teori Grup dalam

mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak. Hal ini dibuktikan dengan uji

hipotesis yang hasilnya menolak hipotesis nol yang menyatakan tidak ada

pengaruh nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman


132

mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak. Hasil ini juga

diperkuat dari hasil perhitungan regresi berganda dengan menggunakan

formula uji F yang mendapat hasil 0 4, .114F Perhitungan ini lebih besar

daripada nilai F tabel yaitu sebesar 3,18 , sehingga menurut kriteria pengujian

regresi berganda, variabel nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan

memiliki pengaruh terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah


Untuk mengetahui seberapa besar nilai mata kuliah Logika dan Teori

Himpunan mempengaruhi pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah

Pengantar Aljabar Abstrak dapat dilihat dari hasil perhitungan koefisien

penentu berganda (KPB) yakni sebesar 14,1%. Hasil ini menunjukkan bahwa

besarnya pengaruh nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap

pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak sebesar

14,1%, sedangkan 85,9% berasal dari faktor-faktor lain yang juga

mempengaruhi pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar

Abstrak namun tidak dimasukkan dalam regresi.

Selain menemukan adanya pengaruh, hasil uji statistik juga membuktikan

adanya hubungan nilai mata kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap

pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak. Hasil

ini juga diperkuat dari hasil perhitungan korelasi berganda dengan

menggunakan formula uji F yang mendapat hasil 0 4,114F dengan F tabel =

3,18. Hasil 0F diketahui lebih besar dari F tabel, sehingga membuktikan

bahwa terdapat hubungan antara nilai mata kuliah Logika dan Teori


133


Aljabar Abstrak. Berdasarkan hasil perhitungan koefisien korelasi berganda

dan kriteria penilaian koefisien, maka diketahui bahwa hasil hitung koefisien

korelasi ganda adalah 0,376 dan nilai ini masuk pada kriteria rendah atau

lemah tapi pasti. Artinya bahwa antara nilai mata kuliah Logika dan nilai mata

kuliah Teori Himpunan terdapat hubungan positif dan rendah atau lemah tapi

pasti terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar

Abstrak. Dari hasil hitung juga diketahui bahwa terdapat hubungan yang

sangat rendah antara nilai mata kuliah Logika terhadap pemahaman

mahasiswa dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak yaitu sebesar 0,171.

Hasil yang berbeda diperoleh dari nilai mata kuliah Teori Himpunan yang

menunjukkan terdapatnya hubungan yang rendah atau lemah tapi pasti


Abstrak yaitu sebesar 0,368 dan terdapatnya hubungan yang rendah atau

lemah tapi pasti nilai mata kuliah Logika terhadap nilai mata kuliah Teori

Himpunan yakni sebesar 0,263.

Jika dicermati lebih mendalami lagi bahwa adanya pengaruh dan

hubungan yang memiliki kekuatan rendah atau lemah tapi pasti disebabkan

oleh beberapa faktor. Pertama dilihat dari sistem pemberian nilai mata kuliah

Logika dan Teori Himpunan dimana mata kuliah tersebut diampu oleh

beberapa dosen yang berbeda untuk masing-masing kelas dan angkatan,

sehingga ada kemungkinan apabila mahasiswa memperoleh nilai bagus pada


134

dosen pertama belum tentu bagus pada dosen lainnya sehingga sangat

memungkinkan mahasiswa mendapat nilai rendah ataupun tinggi.

Kedua dilihat dari sisi konsep materi ajar di mana dosen saat

menyampaikan materi (bahan ajar) menggunakan pendekatan dan metode

ataupun model yang berbeda, pastinya setiap yang diterima oleh mahasiswa

dalam hal ini ilmu memiliki daya ingatan yang juga berbeda satu dengan

lainnya.

Faktor lain yang juga mempengaruhi adalah faktor eksternal dan internal

yang tidak dibahas dalam penelitian ini. Menurut Sumadi Suryabrata (2006)

dan Shertzer dan Stone (Winkel, 1997), secara garis besar faktor-faktor yang

mempengaruhi belajar dan prestasi belajar dapat digolongkan menjadi dua

bagian yaitu faktor internal dan faktor eksternal.

F. Keterbatasan Penelitian

Penelitian ini memiliki beberapa keterbatasan, antara lain:

1. Metode dokumentasi yang dilakukan hanya memperoleh nilai akhir (nilai

final) mahasiswa maka peneliti tidak mengetahui komponen penilaian

yang dilakukan oleh dosen yang bersangkutan sehingga memungkinkan

antar dosen satu dengan dosen lainnya menggunakan proporsi penilaian

yang berbeda pula. Di satu sisi dosen tertentu menggunakan ujian sebagai

salah satu kriteria penilaian akhir, tetapi disisi lain ada juga dosen yang

hanya menggunakan tugas pengganti sebagai salah satu kriteria penilaian

akhir.


135

2. Penelitian ini hanya dilakukan pada 1 (satu) kelas yaitu kelas B. Oleh

karena itu, untuk penelitian selanjutnya dapat dilakukan pada beberapa

kelas untuk mengetahui dan membandingkan bagaimana hubungan

maupun pengaruh dari nilai mata kuliah Logika dan nilai mata kuliah

Teori Himpunan akan berpengaruh terhadap pemahaman mahasiswa

dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak di beberapa kelas atau jika

memungkinkan memantau perkembangannya setiap tahun.

3. Pengaruh yang dihasilkan dari hasil pengolahan data sangat kecil yaitu

sebesar 14,1%, sisanya sebesar 85,9% dipengaruhi oleh faktor-faktor lain

yang turut mempengaruhi pemahaman materi Teori Grup dalam mata

kuliah Pengantar Aljabar Abstrak atau dipengaruhi oleh variabel lain yang

tidak menjadi objek dalam penelitian ini.

4. Dalam pengumpulan data hanya digunakan metode dokumentasi berupa

nilai mahasiswa dan metode studi kepustakaan. Penelitian ini akan lebih

baik jika ditambahan instrumen yang turut mendukung penelitian ini.


136

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan analisis data dalam penelitian ini dapat

disimpulkan bahwa:

1. Berdasarkan perhitungan uji statistik diperoleh nilai 0 4,114F nilai

3,18tabelF , maka 0H ditolak. Artinya, ada pengaruh nilai mata kuliah

Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata

kuliah Pengantar Aljabar Abstrak.

2. Berdasarkan perhitungan uji statistik diperoleh nilai 0 4,114F nilai

3,18tabelF , maka 0H ditolak. Artinya, ada hubungan nilai mata kuliah

Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa dalam mata

kuliah Pengantar Aljabar Abstrak. Berdasarkan hasil hitung koefisien

korelasi berganda yaitu 0,376 dan kriteria penilaian koefisien nilai

tersebut masuk pada kriteria rendah atau lemah tapi pasti. Artinya bahwa

antara nilai mata kuliah Logika dan nilai mata kuliah Teori Himpunan

terdapat hubungan positif dan rendah atau lemah tapi pasti terhadap


B. Saran

Berdasarkan kesimpulan diatas, saran-saran yang dapat peneliti sampaikan

adalah sebagai berikut:


137

1. Dengan mengetahui adanya pengaruh antara nilai mata kuliah Logika dan


Pengantar Aljabar Abstrak, diharapkan kepada peneliti selanjutnya agar

dapat melakukan penelitian dengan memperhatikan faktor-faktor lain

yang turut mempengaruhi pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah


2. Melihat korelasi yang rendah atau lemah tapi pasti antara nilai mata

kuliah Logika dan Teori Himpunan terhadap pemahaman mahasiswa

dalam mata kuliah Pengantar Aljabar Abstrak diharapkan peneliti

selanjutnya dapat melakukan penelitian dengan melihat bagaimana

hubungan Logika dan Teori Himpunan terhadap mata kuliah lainnya,

seperti Pengantar Teori Bilangan dan lain-lain.


138

DAFTAR PUSTAKA

Abidin, Zainal. 2012. “Analisis Kesalahan Mahasiswa Prodi Pendidikan

Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Ar-raniry Dalam Mata Kuliah

Trigonometri dan Kalkulus 1” dalam Jurnal Ilmiah DIDAKTIKA Vol.

13 No. 1, Agustus, hal. 183-196.

Carnia, Ema dan Sylviani, Sisilia. 2016. “Penggunaan Maple Dalam Pembelajaran

Teori Grup” dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan

Matematika UNY.

Forester, Aldy. 2016. Panduan Lengkap Analisis Statistika Menggunakan

Software SPSS (Statistical Package for Social Science). [pdf]

(https://www.slideshare.net/aldyforester1/panduan-lengkap-analisis-

statistika-dengan-aplikasi-spss diakses pada 20 Oktober 2017).

Gallian, Joseph A. 2010. Contemporary Abstract Algebra (Seventh Edition).

United States of America: Brooks/ Cole Cengage Learning.

Hasan. 2014. Pengaruh Nilai Mata Kuliah Praktikum dan Teori Fisika Modern

Terhadap Nilai Mata Kuliah Fisika Kuantum Pada Mahasiswa Prodi

Pendidikan Fisika FKIP UNSYIAH (Skripsi). Banda Aceh: Universitas

Syiah Kuala. Diakses tanggal 16 Mei 2017.

Hasan, Iqbal. 2004. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Jakarta: PT Bumi

Aksara.

Jane, Dyah Nirmala Arum. 2012. Statistika Deskriptif dan Regresi Linear

Berganda dengan SPSS. Semarang: Semarang University Pers.

Junaidi. 2010. Download Tabel F untuk Probabilita 0,05. [pdf]

(http://junaidichaniago.wordpress.com diakses 22 Oktober 2017).

Kadir. 2016. STATISTIKA TERAPAN Konsep, Contoh dan Analisis Data dengan

Program SPSS/Lisrel dalam Penelitian Edisi Kedua. Jakarta: Rajawali

Pers.

Kemendikbud. 2016. Kamus Besar Bahasa Indonesia Edisi Kelima (KBBI V).

[online]. Tersedia di : https://kbbi.kemdikbud.go.id/ (Diakses tanggal 1

Mei 2017).

Masoed, Fadli. 2013. Struktur Aljabar. Jakarta: Akademia.

Santoso, Singgih. 2015. SPSS 20 Pengolahan Data Statistik di Era Informasi.

Jakarta: PT. Elex Media Komputindo.


https://www.slideshare.net/aldyforester1/panduan-lengkap-analisis-%09statistika-dengan-aplikasi-spss

https://www.slideshare.net/aldyforester1/panduan-lengkap-analisis-%09statistika-dengan-aplikasi-spss

http://junaidichaniago.wordpress.com/

https://kbbi.kemdikbud.go.id/

139

Sari, Kartika dan Suciptawi, Ni Luh Putu. 2015. “Pengembangan Model

Pembelajaran Modified Student Teams Achievement Division

(MSTAD) Dalam Meningkatkan Hasil Belajar Siswa Pada Pembelajaran

Struktur Aljabar” dalam Jurnal Pengajaran MIPA Vol. 20 No. 2, Oktober,

hal. 116-121.

Suarsana, I Made. 2016. “Deduktif Untuk Meningkatkan Hasil Belajar Mahasiswa

Pada Perkuliahan Struktur Aljabar II” dalam Prosiding Seminar Nasional

MIPA.

Sugiyono. 2009. Metode Penelitian Pendidikan Pendekatan Kuantitatif, Kualitatif

dan R&D. Bandung: ALFABETA.

Sukirman. 2014. TEORI GRUP (ALJABAR ABSTRAK 1). Yogyakarta: UNY

Press.

Susilo, Frans. 2012. Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.


140

LAMPIRAN

1. Daftar Nilai Akhir Mahasiswa Mata Kuliah Logika, Teori Himpunan,

dan Pengantar Aljabar Abstrak

2. Konversi Nilai

3. Uji Hipotesis Menggunakan Program SPSS 17.0

4. Tabel uji F


141

1. Daftar Nilai Akhir Mahasiswa Mata Kuliah Logika, Teori Himpunan,

dan Pengantar Aljabar Abstrak

No Subjek

Nilai Mata Kuliah

Logika Teori Himpunan Pengantar

Aljabar Abstrak

1 S1 E C B

2 S2 D E C

3 S3 D E C

4 S4 D E C

5 S5 A E B

6 S6 B C A

7 S7 C B B

8 S8 D E C

9 S9 E C C

10 S10 A B E

11 S11 A E D

12 S12 B B B

13 S13 A A B

14 S14 D C C

15 S15 C A C

16 S15 C B D

17 S17 C A D

18 S18 E A A

19 S19 D B A

20 S20 C B B

21 S21 D C E

22 S22 E E C

23 S23 C E E

24 S24 C B D

25 S25 B A B

26 S26 E B B

27 S27 C B C

28 S28 B C D

29 S29 D C B

30 S30 B C A

31 S31 C E D

32 S32 E E C

33 S33 A B A

34 S34 B E E

35 S35 B C C


142

36 S36 C C A

37 S37 C B E

38 S38 D C D

39 S39 C E C

40 S40 A B A

41 S41 E D E

42 S42 E E E

43 S43 D C A

44 S44 E D D

45 S45 D D C

46 S46 B D A

47 S47 D E D

48 S48 C B C

49 S49 C E E

50 S50 B C B

51 S51 B A A

52 S52 B C B

53 S53 E D B


143

2. Konversi Nilai

No Subjek

NILAI MATA KULIAH KONVERSI NILAI

Logika Teori

Himpunan

Pengatar

Aljabar

Abstrak

Logika Teori

Himpunan

Pengantar

Aljabar

Abstrak

1 S1 E C B 0 2 3

2 S2 D E C 1 0 2

3 S3 D E C 1 0 2

4 S4 D E C 1 0 2

5 S5 A E B 4 0 3

6 S6 B C A 3 2 4

7 S7 C B B 2 3 3

8 S8 D E C 1 0 2

9 S9 E C C 0 2 2

10 S10 A B E 4 3 0

11 S11 A E D 4 0 1

12 S12 B B B 3 3 3

13 S13 A A B 4 4 3

14 S14 D C C 1 2 2

15 S15 C A C 2 4 2

16 S15 C B D 2 3 1

17 S17 C A D 2 4 1

18 S18 E A A 0 4 4

19 S19 D B A 1 3 4

20 S20 C B B 2 3 3

21 S21 D C E 1 2 0

22 S22 E E C 0 0 2

23 S23 C E E 2 0 0

24 S24 C B D 2 3 1

25 S25 B A B 3 4 3

26 S26 E B B 0 3 3

27 S27 C B C 2 3 2

28 S28 B C D 3 2 1

29 S29 D C B 1 2 3

30 S30 B C A 3 2 4

31 S31 C E D 2 0 1

32 S32 E E C 0 0 2

33 S33 A B A 4 3 4

34 S34 B E E 3 0 0

35 S35 B C C 3 2 2

36 S36 C C A 2 2 4


144

37 S37 C B E 2 3 0

38 S38 D C D 1 2 1

39 S39 C E C 2 0 2

40 S40 A B A 4 3 4

41 S41 E D E 0 1 0

42 S42 E E E 0 0 0

43 S43 D C A 1 2 4

44 S44 E D D 0 1 1

45 S45 D D C 1 1 2

46 S46 B D A 3 1 4

47 S47 D E D 1 0 1

48 S48 C B C 2 3 2

49 S49 C E E 2 0 0

50 S50 B C B 3 2 3

51 S51 B A A 3 4 4

52 S52 B C B 3 2 3

53 S53 E D B 0 1 3


145

3. Uji Hipotesis Menggunakan Program SPSS 17.0

Regression

Model Summary

Model R R Square

Adjusted R

Square

Std. Error of the

Estimate

1 .376a .141 .107 1.257

ANOVAb

Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.

1 Regression 13.011 2 6.506 4.114 .022a

Residual 79.064 50 1.581

Total 92.075 52

a. Predictors: (Constant), Nilai Teori Himpunan, Nilai Logika

b. Dependent Variable: Nilai Pengantar Aljabar Abstrak

Descriptive Statistics

Mean Std. Deviation N

Nilai Pengantar Aljabar

Abstrak

2.13 1.331 53

Nilai Logika 1.83 1.282 53

Nilai Teori Himpunan 1.81 1.388 53

Variables Entered/Removed

Model Variables Entered

Variables

Removed Method

1 Nilai Teori

Himpunan, Nilai

Logikaa

. Enter

a. All requested variables entered.


146

Coefficientsa

Model


Standardized

Coefficients

t Sig. B Std. Error Beta

1 (Constant) 1.377 .347 3.975 .000

Nilai Logika .083 .141 .080 .590 .558

Nilai Teori Himpunan .333 .130 .347 2.554 .014

a. Dependent Variable: Nilai Pengantar Aljabar Abstrak

Correlations

Correlations

Nilai Logika

Nilai Teori

Himpunan

Nilai Pengantar

Aljabar Abstrak

Nilai Logika Pearson Correlation 1 .263 .171

Sig. (2-tailed) .057 .220

N 53 53 53

Nilai Teori Himpunan Pearson Correlation .263 1 .368**

Sig. (2-tailed) .057 .007

N 53 53 53

Nilai Pengantar Aljabar

Abstrak

Pearson Correlation .171 .368** 1

Sig. (2-tailed) .220 .007

N 53 53 53

**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).


147

4. Tabel uji F


148


149


150


151


pengaruh nilai mata kuliah logika dan teori … · menempuh mata kuliah pengantar aljabar abstrak...

Documents