PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

OLEH Rika Sukmawati, M.Pd

TUJUAN Perkuliahan ini dimaksudkan agar mahasiswa mampu mengembangkan kecakapan untuk memahami konsep dan prinsip serta penerapannya dalam pemecahan masalah berkaitan dengan teori himpunan yang meliputi: 1) pendahuluan2) Konsep dasar himpunan,

INDIKATORMahasiswa mampu: Mendiskripsikan konsep dasar himpunan, meliputi : 1. Pengertian Himpunan2. Keanggotaan Himpunan3. Cara Menyatakan Himpunan.

PENGERTIAN HIMPUNAN

Dalam matematika konsep himpunan termasuk konsep yang tidak didefinisikan.

Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika.

Himpunan digunakan di dalam matematika untuk menyatakan kumpulan suatu benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas berdasarkan sifat/ keadaan yang sama.

CONTOH :Kumpulan yang bukan merupakan himpunan a. kumpulan makanan lezat b. kumpulan batu-batu besar c. kumpulan lukisan indah (Anggota kelompok tidak dapat definisikan)

Kumpulan yang merupakan himpunan a. kumpulan negara-negara Asean b. kumpulan sungai-sungai di Indonesia c. kumpulan bilangan asli genap d. Penduduk Jawa Tengah (Anggota kelompok dapat didefinisikan)

KEANGGOTAAN HIMPUNAN Himpunan selalu dinyatakan dengan

huruf besar A, B, C, D, dan seterusnya. Jika A adalah himpunan yang

anggotanya a, b, dan c, maka dapat ditulis A = {a, b, c}. c anggota himpunan A, dapat ditulis A

d bukan anggota himpunan A dan dapat ditulis d A

CARA MENYATAKAN HIMPUNAN

1. Menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar contoh : A = {1,3,5,7) B = {0,2,4,6,8, ...} C = {Senin, Selasa, Sabtu}.

2. Menyebutkan syarat anggota- anggotanya contoh : A = Himpunan empat bilangan asli ganjil yang pertama B = Himpunan bilangan cacah genap C = Himpunan nama-nama hari yang diawali huruf s

3. Notasi pembentuk himpunan. contoh : A = {x| x < 8, x bilangan asli ganjil} B = {x| x bilangan cacah genapl} C = {x| nama-nama hari yang diawali huruf s}

LATIHAN :1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan. b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan. 2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan berikut benar, berikan alasannya. a. p B ,b. {q} B, c. r B, d. s B.

3. Tulislah himpunan berikut dengan tabulasi : a. A = { = 25} b. B = {x| x + 3 = 3} c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil} d. A = {x| 0 < x < 5, x bilangan real}

4. Tulislah dengan menyebutkan syarat- syarat anggotanya : a. E = {a,i,u,e,o} b. F = {2,3,5,7,11} c. G = {3,6,9,12, …} d. H = {Senin, selasa, rabu, kamis}.

5. Tulislah dengan notasi pembentuk himpunan untuk himpunan bilangan asli yang : a. Kurang dari 5 b. Lebih dari atau sama dengan 3 c. Kelipatan 5 kurang dari 50 d. Prima

6. Penulisan himpunan berikut manakah yang benar : a. J= {x| x > 0, x himpunan bilangan bulat} b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap} c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah}

Himpunan A dan B dikatakan sama jika kedua himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang sama, ditulis A=B

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B, apabila setiap anggota dari A juga merupakan anggota dari B, di tulis A

MACAM-MACAM HIMPUNANIndikator :• Mahasiswa mampu menyebutkan macam

himpunan, meliputi : Himpunan Kosong, himpunan berhingga dan tak berhingga, himpunan di dalam himpunan.

• Mahasiswa mampu menyebutkan pengertian : himpunan Bagian sejati, dua himpunan sama, dua himpunan yang ekivalen, himpunan kuasa.

1. Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai Himpunan kosong dinyatakan dengan atau {}. Contoh :E = {x| x ≠ x} F = {x| +4 = 0, x bilangan real} B = Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua

2. Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga himpunan berhingga bila banyak anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu. (anggota-anggota himpunan tersebut dihitung, proses penghitungannya dapat berakhir). himpunan tak berhingga bila banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan tertentu.

Contoh :1. Himpunan berhingga K = Himpunan nama hari dalam seminggu L = {x|x < 100, x bilangan cacah ganjil} P = {x| x negara - negara Asean} 2. Himpunan tak berhingga R = Himpunan bilangan asli L = Himpunan bilangan cacah kelipatan 5 P = {x| x > I00, x bilangan bulat}

3. Himpunan di Dalam Himpunan (Himp. Bagian)Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A B jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B. Dapat ditulis A B jika x A maka x B.

4. Himpunan Bagian SejatiA disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A B dan B A.Contoh : Diketahui A={0,2,4,6}, B={0,2,4,6,8}, dan C={xl x bilangan cacah genap kurang dari 9}. Jelas bahwa: 1) A himpunan bagian sejati B 2) bukan himpunan bagian sejati C

5. Dua Himpunan yang SamaHimpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota-anggota B artinya setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis: A=B jika A B dan B A.

Contoh : Diketahui himpunan A = {1,3,5,7,9), B ={2,4,6,8,10), dan C = {7,3,9,1,5). Banyaknya anggota himpunan A ditulis dengan n(A), sehingga: a) A = C dan n(A) = n(C) 5, dan b) n(A) = n(B) = 5 tetapi A≠B.

6. Dua Himpunan yang EkivalenHimpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis A B jika dan hanya jika :1. n(A) = n(B), untuk A dan B himpunan

berhingga. 2. A dan B berkorespondensi satu-satu,

untuk A dan B himpunan tak berhingga.

Contoh 2.6 Diketahui A = {3,6,9,12,15}, B = {12,9,6,3,15), dan C = {2,3,5,7,11}, maka: a) A=B dan A B b) n(A) = n(C) tetapi A≠C.

7. Himpunan KuasaHimpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A ditulis . Contoh :1. A = {2,4}, maka n(A) = 2 = { {2}, {4}, {2,4}}, n()=42. B = {1}, maka n(B) = 1 = { , {1}}, n() = 2 3. C = {1,3,5), maka n(C) = 3 = {, {1}, {3}, {5}, {1,3), {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}, n() = 8

Jika A adalah himpunan, n(A)=k, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A ditulis n() = .

8.Bilangan kardinal

Bilangan yang menyatakan banyaknya anggota himpunan tersebut dengan notasi n, Contoh :A = { 2,5,7,11 }, maka n(A) = 4

Latihan1. Misalkan A = {a,b,c,d} a.Tulislah semua himpunan bagian dari A b.Berapakah banyaknya himpunan bagian dari A. 2. Misalkan A = {{3}, {4,5), {1,3}}, pernyataan- pernyataan manakah yang benar? a. {1,3} A b. {3} A c. {4,5} A d. {{1,3}} A

3. Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang sama? a. {x| - 3x + 2 = 0, x bilangan real), b. {1,2,1,2}, c. {x| x dua bilangan asli yang pertama}. 4. Yang manakah di antara himpunan- himpunan berikut yang himpunan kosong? a. {x I x bilangan, prima genap}, b. {x I x bilangan ganjil yang habis dibagi 2},

c. {x I — 3x + 5 = 0, x bilangan real) d. {x I x segitiga sama kaki tumpul} e. {x I x persegi panjang yang belah ketupat}5. Himpunann manakah yang berhingga dan tak berhingga? a. {1,2,3,...,10.000) b. {x| x bilangan genap},

c. {penduduk bumi} d. {1,2,3,...}6. Diketahui B = {1,3,5,7}. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar. a. {1,3} b. {} c. {3,7} d. B e. B f. {{5,7}}

7. Diketahui A = {1,2,3,4,5,...}, B ={2,4,6,8,...}, dan C = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...}. Tunjukkan bahwa: a. A B b. A C

OPERASI HIMPUNANIndikator, mahasiswa mampu : Menyebutkan pengertian : irisan dua

himpunan, gabungan dua himpunan, selisih dua himpunan, komplemen, perkalian dua himpunan.

Menemukan sifat-sifat operasi pada himpunan.

1. Irisan Dua Himpunan (intersection)

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. lrisan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A dan juga berada dalam B. Dapat ditulis A B = {x| x A, x B.} .

Sifat-sifat Irisan 1. A B = B A 2. A S = A 3. A = 4.( A B) A dan ( A B) B 5. Jika A dan B saling lepas, maka A B =

Contoh :Diketahui K = {a,b,c,d,e}, L = {b,d,f,g},maka K L = {b,d}.Dapat disimpulkan :1. Jika A,B himpunan maka (A B) A dan

(A B) B 2. Jika A B maka A B = A.

2. Gabungan Dua Himpunan (union) Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Gabungan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A atau B atau dalam A dan B. Dapat ditulis A B = {x| x A atau x B} Contoh :Diketahui K = {a,b,c,d,e}, L = {b,d,f,g}, maka K L= {a,b,c,d,e,f,g}

Dari contoh dapat disimpulkan :Jika A,B himpunan maka A (AuB) dan B (AuB) Sifat – sifat Gabungan 1. A u B = B u A 2. A u S = S 3. A u = A 4. A (A u B ) dan B (A u B )

Sifat-sifat Gabungan dan Irisan 1. A u ( B C ) = (A u B ) (A u C ) 2. A ( B u C ) = (A B ) u( A C ) 3. n (Au B) = n (A) + n (B) – n (A B)

3. Selisih Dua HimpunanMisalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Selisih himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota B. Dapat ditulis A-B = {x| x A, x B}. Contoh :A = { 1, 2, 3, 4 } B = {x/x bilangan prima kurang dari 11 } A – B = { 1, 4 } B - A = { 5, 7 }

Sifat – sifat Selisih 1. ( A – B ) A 2. ( A – B ) ( B – A ) =

4. Jumlah dua himpunan (selisih simetri)Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis A+B adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas A yang bukan anggota B dan anggota B yang bukan anggota A

Contoh :A = { a,b,c,d,e}B = {b,d,e,f,g,h}A B = { a,b,c,d,e,f,g,h,}A B = {b,d,e}A+B = { a,c,f,g,h}B+A = {a.c.f.g.h}A+B = B+A

5. Komplemen Misalkan S adalah himpunan semesta, maka A’ = adalah komplemen dari himpunan A yaitu himpunan yang anggotanya bukan anggota A dan anggota himpunan semesta A. = { x/x tidak A, x S }

Sifat – sifat Komplemen 1. A = S 2. A = 3. = A 4. = 5. =

6. Perkalian Dua Himpunan (pergandaan kartesius)Suatu perangkat yang diperlukan untuk membangun perkalian silang dua himpunan adalah pasangan berurutan. Pasangan berurutan yang memuat dua unsur a dan b dengan a sebagai unsur pertama dan b sebagai unsur kedua, ditulis dengan (a,b), (a,b) dan (c,d) dikatakan sama jika dan hanya jika a=c dan b=d.

Misalkan A dan B himpunan-himpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis AxB adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a A dan b B. Dapat ditulis AxB = {(a,b)| a A, b B} Contoh : Diketahui A = {a,b} dan B = {1,2,3}, maka (1). AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} (2). BxA = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}Ternyata AxB ≠ BxA.

Banyaknya Anggota suatu Himpunan

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A ) – n(B ) + n(A B C)Contoh :1. Dalam suatu polling, 100 orang di wawancara. 70 orang menyukai seorang calon dan 45 orang menyukai penantangnya, serta 30 orang menyukai kedua-duanya. Berapa orang yang tidak menyukai keduanya

2. Diketahui data suatu industrial fabricating company memiliki mesin-mesin di dalam gudang sebagai berikut ; Generator : 450, perahu : 700, traktor : 290, perahu dan generator : 100, generator dan traktor : 150, perahu dan traktor : 200, generator dan perahu dan traktor : 60. Manager ingin mengetahui banyaknya mesin dan banyaknya mesin masing-masing

LatihanBerdasarkan informasi dari sebuah survei mahasiswa yang mengambil perkuliahan, manajemen : 27, akuntansi : 45, administrasi umum : 27, manajemen dan akuntansi : 12, manajemen dan admisntrasi umum : 13, akuntansi dan administrasi umum : 10, mengambil ketiganya : 5 , tidak mengambil satu pun kuliah : 15. Berapakah jumlah mahasiswa dan jumlah masing-masing kuliah

Sifat-sifat Bilangan Bulat1. Sifat tertutupPada penjumlahan dan perkalian bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

2. Sifat komutatifDisebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dan perkalian dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut ditukar tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

3. Mempunyai unsur identitasBilangan 0 merupakan unsur identitas pada penjumlahan dan bilangan 1 merupakan unsur identitas pada perkalian untuk sebarang bilangan karena hasilnya adalah bilangan itu sendiri.Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

4. Sifat asosiatifDisebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut:

5. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan penguranganUntuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan hasil perkalian sebagai berikut:

6. Mempunyai inversInvers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bil. dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0). Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku :a + (–a) = (–a) + a = 0.

Relasi Antara Dua HimpunanIndikator :Menyebutkan pengertian relasi antara dua himpunan, menentukan cara menyatakan relasi antara dua himpunan, banyaknya reIasi antara dua himpunan, dan macam relasi,

Pengertian Relasi antara Dua HimpunanSuatu hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. Contoh :1. Himpunan anak A = {Fajar, Dian, Tono, Nani} 2. Himpunan permainan B = {catur, voli, tenis meja}

Misalnya ada empat anak yaitu Fajar, Dian, Tono, dan Nani ditanya apakah mereka gemar bermain catur, voli, atau tenis meja. Jawaban mereka: Fajar dan Dian gemar bermain catur, Tono dan Nani gemar bermain voli, Fajar dan Tono gemar bermain tenis meja

Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan 1). Dengan diagram panah 2). Dengan himpunan pasangan berurutan3). Dengan grafik CartesiusContoh : Diketahui M = {0,2 4,6,8}, N = {0,1,2,3,4,5}. R = M→N adalah relasi dari M ke N

dinyatakan dengan kalimat terbuka x dua kali y dengan X M, y N. Nyatakanlah relasi tersebut : a. dengan diagram panah b. dengan himpunan pasangan berurutan c. dengan grafik Cartesius

a. Diagram panah

b. Himpunan pasangan berurutan R = {(0,0),(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)} c. Grafik Cartesius

Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan Jika R : A→B adalah relasi dari A ke B dan n(A) = k, n(B) = l maka banyaknya relasiR = - 1(kurang 1 karena { } bukan relasiContoh : Diketahui R: M→N adalah relasi dari M ke N. Jika n(M)=4 dan n(N)=3, hitunglah banyaknya relasi R tersebut

Penyelesaian: n(M)=4 dan n(N)=3. Banyaknya relasi R adalah - 1 = 4095

Macam – macam Relasi :(a). Relasi RefleksifMisalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi refleksif jika dan hanya jika ∀ a A, maka (a,a) R. Contoh : Diketahui R : A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian sehingga:

a. R1 = {(1,1),(1,3),(3,3)} b. R2 = {(1,1),(3,3),(5,5)} c. R3= {(1,1),(1,3),(3,3),(5,3),(5,5)} Apakah R1, R2, dan R3 relasi refleksif atau bukan?

Penyelesaian: a. R1 bukan relasi refleksif sebab 5 A tetapi (5,5) R1. b. R2 relasi refleksif sebab ∀ a A maka (a,a) R1. c. R3 relasi refleksif sebab ∀ a A maka (a,a) R1.

(b). Relasi SimetrisMisalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi simetris jika (a,b) R, maka berarti (b,a) R. Contoh :Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A={1,3,5} sedemikian sehingga:

R1 = {(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(3,5)} R2 = {(1,1),(3,3),(3,5),(5,5),(5,3)} R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)} Apakah R1,R2,R3 relasi simetris atau bukan?Penyelesaian: R1 bukan realsi simetris sebab (3,5) R1 tetapi (5,3) bukan R1. R2 relasi simetris. R3 relasi simetris.

(c). Relasi TransitifMisalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi transitif jika (a,b) R dan (b,c) R, maka berarti (a,c) R Contoh :Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian sehingga: a. R1 = {(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)} b. R2 = {(1,3),(1,1),(3,1),(3,3)} c. R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}

Apakah R1, R2, dan R3 relasi transitif atau bukan?Penyelesaian: a. R1 bukan relasi transitif sebab (3,1) R1 dan (1,3) R, tetapi (5,5) bukan R1. b. R2 relasi transitif sebab (1,3) R2 dan (3,1) R2 maka (1,1) R2; (3,1) R2 dan (1,3) R2 maka (3,3) R2; (1,1) R2 dan (1,3) R2 maka (1,3) R2; (3,1) R2 dan (1,I) R2 maka (3,1) R2; (1,3) R2 dan (3,3) R2 maka (1,3) R2; c. R3 relasi transitif.

(d). Relasi EkivalenMisalkan R suatu relasi di dalam himpuiran A maka R disebut relasi ekivalen jika berlaku syarat: a.Refleksif artinya ∀ a A, maka (a,a) R; b.Simetris artinya jika (a,b) R, maka berarti (b,a) R; dan c.Transitif artinya jika (a,b) R dan (b,c) R, maka berarti (a,c) R.

Contoh : Diketahui himpunan A = {0,2,4}, relasi R di dalam himpunan A dengan R = {(0,0), (2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris, dan transitif. Oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen.