PEMBUKTIAN

MATEMATIKA

Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom

LOGIKA INFERENSIA

Pendahuluan

Kata inferensia digunakan untuk menyatakan

sekumpulan premis yang diikuti dengan kesimpulan.

Infrensia yang sahih (benar) dan inferensia yang

tidak sahih (salah).

Inferensia dikenal juga dengan argumen.

Untuk menganalisa benar tidaknya suatu kumpulan

proposisi.

Suatu inferensia dapat ditulis sebagai berikut :

dimana p1, p2, …, pn adalah premis dan k adalah

kesimpulan.

1 2 3 np p p p k 1

2

3

n

p

p

p

p

k

Pendahuluan ….

Untuk memeriksa kesahihan suatu inferensia,

perhatikan definisi implikasi logik berikut :

Pendahuluan ….

Definisi 3.1 (Implikasi logik)

Proposisi q dikatakan implikasi logik dari proposisi p

jika dan hanya jika proposisi bersyarat p q

merupakan suatu tautologi.

Inferensia dikatakan sahih jika implikasinya

merupakan implikasi logik atau tautologi.

Bila ternyata bahwa inferensianya bukan tautologi

maka dikatakan tidak sahih.

Pemeriksaan kesahihan suatu inferensia dapat

menggunakan tabel kebenaran atau dalil

kesetaraan.

Pendahuluan ….

Contoh 1

Periksalah kesahihan inferensia berikut.

[ p ( p q)] q

Jawab

Untuk memeriksa kesahihan inferensia ini akan

ditunjukkan apakah implikasinya tautologi atau

tidak.

Pendahuluan ….

Dengan tabel kebenaran :

Pendahuluan ….

p q p q p ( p q) [ p ( p q)] q

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 0 1

0 0 1 0 1

Dengan dalil kesetaraan :

Pendahuluan ….

[ p ( p q)] q = - [ p ( p q)] q

= [- p - ( p q)] q

= [- p - ( -p q)] q

= [- p (p -q)] q

= [(- p p) (- p -q)] q

= [1 (- p -q)] q

= (- p -q) q

= - p (-q q)

= - p 1

= 1

Untuk suatu inferensia dengan premis yang lebih

kompleks, digunakan beberapa aturan yang

menyederhanakan dalam pembuktiannya.

Aturan-aturan itu adalah :

Modus Ponens

Modus Tollens,

Kaidah Silogisme

Reductio ad absurdum.

Pendahuluan ….

Metode Inferensia

Aturan 1 (Modus Ponens)

Jika proposisi p benar dan proposisi p q juga benar, makaproposisi q benar.

Modus ponens dapat ditulis :

p

p q

q

Modus Ponens adalah suatu inferensia yang sahih (buktipada contoh 1).

[ p ( p q)] q

Aturan 2 (Modus Tollens)

Jika proposisi -q benar dan proposisi p q juga

benar, maka proposisi -p benar.

Modus ponens dapat ditulis :

-q

p q

-p

Metode Inferensia ….

Bukti :

[ -q ( p q)] -p = - [-q ( p q)] -p

= [ q - ( p q)] -p

= [q - ( -p q)] -p

= [q (p -q)] -p

= [(q p) (q -q)] -p

= [(q p) 1] -p

= (q p) -p

= q (-q -p)

= q 1

= 1

Metode Inferensia ….

Jika p q diganti dengan kontrapositifnya

-q -p maka diperoleh bentuk seperti modus

ponens.

-q

-q -p

-p

Metode Inferensia ….

Modus ponens

p

p q

q

Aturan 3 (Kaidah Silogisme atau Aturan Transitif)

Jika dua implikasi p q dan q r adalah benar,

maka p r juga benar.

Kaidah silogisme dapat ditulis :

p q

q r

p r

Metode Inferensia ….

Untuk inferensia dengan premis lebih dari dua

bentuk implikasi juga berlaku.

Metode Inferensia ….

a1 a2

a2 a3

an-1 an

a1 an

Aturan 4 (Reductio ad absurdum)

p (q -q)

-p

Bukti :

[p (q -q)] -p = (p 0) -p

= (-p 0) -p

= -p -p

= p -p

= 1

Metode Inferensia ….

Aturan ini adalah cara lain dari metode

pembuktian tak langsung bagi suatu proposisi.

Secara umum langkah-langkahnya :

susun proposisi yang akan dibuktikan (-p)

tentukan negasi proposisi tersebut (p)

lakukan analisa terhadap proposisi negasi (p).

Jika dihasilkan proposisi yang saling kontradiksi

(q -q), maka terbuktilah kebenaran proposisi tersebut

(-p).

Metode Inferensia ….

Selain 4 aturan tersebut, terdapat aturan lain yang

diperoleh berdasarkan implikasi logis yang biasa

digunakan :

Adisi

p

p q

Simplifikasi

p q

p

(Buktikan !!)

Metode Inferensia ….

Contoh 2

Periksa kesahihan inferensia berikut :

[(-p q) (q r) ( p s) -r] s

Jawab

p1 : -p q p q

p2 : q r

p3 : p s -p s

p4 : -r

k : s

Metode Inferensia ….

Metode Inferensia ….

p1 : p q

p2 : q r

k1 : p r (kaidah silogisme)

p4 : -r

k2 : -p (modus tollens)

p3 : -p s

k3 : s (modus ponens)

Latihan 1

Perhatikan argumen berikut :

Jika bahan baku kedelai berasal dari Indonesia

atau AS, maka tempe yang diproduksi pasti

bermutu baik. Jika tempe yang diproduksi bermutu

baik, maka tempe tersebut pasti laku dipasaran.

Oleh karena itu, jika tempe yang diproduksi tidak

laku, maka bahan baku kedelai yang digunakan

bukan berasal dari AS.

Benarkah kesimpulan (argumen) ini ?

Metode Inferensia ….

Jawaban (latihan 1)

Proposisi pembentuk :

p : bahan baku kedelai berasal dari Indonesia

q : bahan baku kedelai berasal dari AS

r : tempe yang diproduksi bermutu baik

s : tempe laku dipasaran

Argumennya :

p1 : p q r

p2 : r s

k : -s -q

Metode Inferensia ….

Jawaban (latihan 1)

Proposisi pembentuk :

p : bahan baku kedelai berasal dari Indonesia

q : bahan baku kedelai berasal dari AS

r : tempe yang diproduksi bermutu baik

s : tempe laku dipasaran

Argumennya :

p1 : p q r

p2 : r s

k : -s -q

Metode Inferensia ….

p1 : (p q) r

q (q p) = q (p q) (adisi + komutatif)

k1 : q r (silogisme)

p2 : r s

k2 : q s = -s -q (silogisme + kontrapositif)

terbukti benar (sah)

Metode Inferensia ….

Latihan 2

Perhatikan argumen berikut :

Jika saya belajar maka saya tidakakan gagal

dalam ujian Logika Matematika. Jika saya tidak

jalan-jalan ke Mall maka saya akan belajar.

Ternyata saya gagal dalam ujian Logika

Matematika. Oleh karena itu saya telah jalan-

jalan ke Mall.

Benarkah kesimpulan (argumen) ini ?

Metode Inferensia ….