pelabelan selimut a,d cycle total anti ajaib super … · perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

PELABELAN SELIMUT (a, d)− CY CLE−TOTAL ANTI AJAIB

SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN

FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN

oleh

KHUNTI QONAAH

M0111048

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagai persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2016

i


commit to user

ii


commit to user

ABSTRAK

Khunti Qonaah. 2016. PELABELAN SELIMUT (a, d)− CY CLE−TOTALANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKENFAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN. Fakultas Matematika dan Ilmu Pe-ngetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Suatu graf sederhana G = (V (G), E(G)) memuat (a, d) − H−anti ajaibsuper, jika terdapat fungsi f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, . . . , |V (G)| + |E(G)|}, se-demikian sehingga untuk setiap subgraf H ′ dari G yang isomorfik dengan selimutH, bobot H ′ adalah ω(H ′) =

∑v∈V (H′) f(v) +

∑e∈E(H′) f(e) membentuk barisan

aritmatika {a, a + d, a + 2d, . . . , a + (t − 1)d} dengan a dan d adalah bilanganbulat positif dan t banyak subgraf dari G yang isomorfik dengan H. Kemudiangraf G disebut (a, d)−H−anti ajaib super, jika f(V (G)) = {1, 2, . . . , |V (G)|}.

Tujuan penelitian ini adalah menentukan pelabelan selimut (a, d)−H−antiajaib super pada graf bunga matahari SFn, graf broken fan BF (m,n), dan grafgeneralized fan Fm,n. Hasil dari penelitian ini diperoleh pelabelan (29

2n+ 9, 1)−

C3−anti ajaib super pada graf bunga matahari SFn dengan n genap ≥ 4, pe-labelan (6(m+ n) + 9, 1)− C3−anti ajaib super pada graf broken fan BF (m,n)dengan m ≥ 2 dan n ≥ 2, dan pelabelan (3

2mn + 9

2m + 11

2n + 5

2, 1) − C3−anti

ajaib super untuk n ganjil dan (32mn + 4m + 11

2n + 3, 1) − C3−anti ajaib super

untuk n genap pada graf generalized fan Fm,n dengan m ≥ 3 dan n ≥ 2, ser-ta pelabelan (mn + 9

2m + 11

2n + 7

2, 2) − C3−anti ajaib super untuk n genap dan

(mn+ 92m+ 11

2n+3, 2)−C3−anti ajaib super untuk n ganjil pada graf generalized

fan Fm,n dengan m ganjil ≥ 3 dan n ≥ 2.

Kata kunci: (a, d)−cycle-anti ajaib super, graf bunga matahari, graf broken fan,graf generalized fan

iii


commit to user

ABSTRACT

Khunti Qonaah. 2016. SUPER (a, d)− CY CLE−ANTIMAGIC COVERINGON SUNFLOWER GRAPH, BROKEN FAN GRAPH, AND GENERALIZEDFAN GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas MaretUniversity.

A simple graph G = (V (G), E(G)) admits a super (a, d)−H−antimagic ifthere exists a function f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, . . . , |V (G)| + |E(G)|}, suchthat for every subgraph H ′ of G isomorphic to H, the H ′ weight, ω(H ′) =∑

v∈V (H′) f(v)+∑

e∈E(H′) f(e) constitutes an arithmatic progession {a, a+ d, a+

2d, . . . , a+(t−1)d} where a and d are positive integers and t is the number of sub-graphs G isomorfic to H. Furthermore, graph G is a super (a, d)−H−antimagic,if f(V (G)) = {1, 2, . . . , |V (G)|}.

This research aims to find super (a, d) − H−antimagic covering on a sun-flower graph SFn, a broken fan graph BF (m,n), and a generalized fan graphFm,n. The results of the research show that a sunflower graph SFn admits a super(292n+9, 1)−C3−antimagic for n even ≥ 4, a broken fan BF (m,n) admits a super

(6(m+n)+9, 1)−C3−antimagic form ≥ 2 and n ≥ 2, and a generalized fan graphFm,n for m ≥ 3 and n ≥ 2 admits a super (3

2mn+ 9

2m+ 11

2n+ 5

2, 1)−C3−antimagic

for n odd and (32mn+4m+ 11

2n+3, 1)−C3−antimagic for n even, and a generalized

fan graph Fm,n for m odd ≥ 3 and n ≥ 2 admits a super (mn+ 92m+ 11

2n+ 7

2, 2)−

C3−antimagic for n even and super (mn+ 92m+ 11

2n+ 3, 2)− C3−antimagic for

n odd.

Keywords: super (a, d)−cycle-antimagic, sunflower graph, broken fan graph,generalized fan graph

iv


commit to user

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan

kepada Bapak, Ibu dan kakak-kakakku

atas doa, semangat, dan pengorbanan yang diberikan.

v


commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat selesai. Penulis

menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini mendapat bimbingan, dukungan

dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima

kasih kepada

1. Dra. Mania Roswitha, M.Si. sebagai Pembimbing I, yang telah memberikan

bimbingan materi dan penulisan dalam skripsi ini, dan

2. Drs. Pangadi, M.Si. sebagai Pembimbing II, yang telah memberikan bim-

bingan, saran, dan masukan dalam penulisan skripsi ini.

Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Surakarta, Agustus 2016

Penulis

vi


commit to user

Daftar Isi

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Teori-teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.3 Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.4 Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.5 Graf Isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

vii


commit to user

2.2.6 Pelabelan Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.7 Pelabelan Anti Ajaib . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.8 Pelabelan Selimut Anti Ajaib . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.9 Multihimpunan k−Seimbang . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

IIIMETODE PENELITIAN 17

IVHASIL DAN PEMBAHASAN 18

4.1 Lema-lema Pendukung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Pelabelan (a, d)−C3−Anti Ajaib Super pada Graf Bunga Matahari

SFn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Pelabelan (a, d) − C3−Anti Ajaib Super pada Graf Broken Fan

BF (m,n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Pelabelan (a, d)−C3−Anti Ajaib Super pada Graf Generalized Fan

Fm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

V Penutup 35

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

DAFTAR PUSTAKA 36

viii


commit to user

Daftar Gambar

2.1 (a) Graf G dan (b) Subgraf dari graf G . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Graf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Graf I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Graf C4 dan komplemennya C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Union dan join dari dua graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Graf bunga matahari SF6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.7 Graf broken fan BF (2, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.8 Graf generalized fan F3,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.9 Graf G1 isomorfik dengan graf G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.10 Pelabelan pada graf C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1 (125, 1)− C3−anti ajaib super pada graf SF8 . . . . . . . . . . . . 23

4.2 (81, 1)− C3−anti ajaib super pada graf BF (5, 7) . . . . . . . . . 26

4.3 (114, 1)− C3−anti ajaib super pada graf F7,5 . . . . . . . . . . . . 30

4.4 (97, 2)− C3−anti ajaib super pada graf F7,5 . . . . . . . . . . . . 34

ix


commit to user

Daftar Notasi dan Simbol

G : graf G

G = (V,E) : graf G dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E

V (G) : himpunan titik dari graf G

|V (G)| : order atau banyaknya titik dari graf G

E(G) : himpunan sisi dari graf G

|E(G)| : size atau banyaknya sisi dari graf G

H : suatu selimut dari graf G

H ′ : suatu subgraf dari G yang isomorfik dengan selimut H

H1, . . . , Hk : keluarga subgraf-subgraf G yang berbeda

m(f) : jumlah ajaib dari bobot suatu selimut

Cn : graf cycle dengan order n

SFn : graf bunga matahari dengan order 2n+ 1

BF (m,n) : graf broken fan dengan order m+ n+ 1

Km : graf lengkap dengan order m

Pn : graf lintasan dengan order n

Fm,n : graf generalized fan dengan order m+ n

Wn : graf roda dengan order n+ 1

u, v : titik

e, uv : sisi

G : komplemen dari graf G

A ∪B : operasi gabungan himpunan A dan himpunan B

A+B : join dari graf A dengan graf B

A×B : hasil kali dari graf A dengan graf B

A ⊎B : operasi gabungan multihimpunan A dengan B⊎ki=1Xi : operasi gabungan multihimpunan X1 ⊎X2 ⊎ . . . ⊎Xk

∀ : untuk setiap

∃ : terdapat

x


commit to user

|X| : banyaknya elemen dari himpunan X∑X : jumlahan semua elemen dari himpunan X

f : A → B : fungsi dari himpunan A ke himpunan B

G1∼= G2 : graf G1 isomorfik dengan graf G2

[a, b] : himpuan bilangan bulat positif mulai dari a sampai dengan b

mod : operasi modulo

2 : akhir bukti

xi

pelabelan selimut a,d cycle total anti ajaib super … · perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id...

Documents