Teori Peluang

Oleh :Asep Ridwan

Jurusan Teknik Industri FT UNTIRTA

Dasar Teori Peluang Ruang Sampel Kejadian dan Operasinya Menghitung Titik Sampel :– Permutasi– Kombinasi

Peluang (Probabilitas) Probabilitas/peluang secara umum dapat diartikan sebagai ukuran

matematis terhadap kecenderungan akan munculnya sebuah kejadian. Secara matematis peluang memiliki kisaran nilai dari 0 hingga 1.

Seperti terlihat pada gambar di bawah, nilai peluang 0 berarti bahwa munculnya kejadian tersebut sangat tidak mungkin, dan nilai peluang 1 berarti kejadian tersebut pasti muncul.

Sebagai contoh, peluang manusia akan hidup selamanya adalah 0 karena tidak ada mahasiswa yang abadi dan peluang bahwa manusia akan mati suatu saat adalah 1 artinya manusia pasti akan mati suatu saat.

Nilai peluang juga bisa berada diantara dua nilai absolut diatas, ataudengan kata lain nilai peluang akan mucul diantara hasil yangdiharapkan dan hasil yang tidak diharapkan.

Peluang (Probabilitas)-(Lanjutan)

Sebuah koin dengan sisi muka dan sisi belakang. Peluang mendapat sisi muka pada pelemparan koin tersebut satu kali adalah 1/2 = 0.5

Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluang mendapat sisi dengan gambar 4 adalah 1/6

Dua buah dadu dilempar satu kali. Berapakah peluang mendapat jumlah mata dadu sembilan.

Mata dadu yang memberikan jumlah sembilan adalah:(3+6), (4+5), (5+4), (6+3) dari 36 kombinasi yang ada, sehingga peluangnya adalah 4/36 atau 1/9.

Ruang sampel

o Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi S

o Contoh : Percobaan pelemparan mata uang

Kejadian Dari setiap percobaan kita mungkin inginmengetahui munculnya elemen-elemen dariruang sampel yang mempunyai ciri tertentu.Sekelompok titik sampel itu membentukhimpunan bagian dari S Contoh : Percobaan pelemparan 3 koin

Operasi dengan kejadian Definisi 1 :

Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan denganlambang A B ialah kejadian yang unsurnyatermasuk A dan B.

Gambar diagram Venn

Contoh : Tentukan irisan antara A = {1,2,3,4,5} dan B ={2,4,6,8}

A∩ B= {2,4}

Operasi dengan kejadian (Lanjutan)

Definisi 2Dua kejadian A dan B saling terpisah bila A ∩ B = 0Contoh : Sebuah dadu dilantunkan. A menyatakan kejadian

bahwa bilangan genap muncul di sebelah atas dan B kejadian bahwa bilangan ganjil yang muncul di sebelah atas.

Operasi dengan kejadian (Lanjutan)

Definisi 3Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakandengan lambang A B ialah kejadian yang∪mengandung semua unsur yang termasuk A dan B• Contoh : Tentukan gabungan dari kejadian A ={1,2,3,4,5} dengan B = {2,4,6,8}

Operasi dengan kejadian (Lanjutan)

Definisi 4 Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialahhimpunan semua unsur S yang tidak termasuk Komplemen A dinyatakan dengan lambang A'.

Contoh : Q menyatakan kejadian bahwa seorang karyawan yang dipilih secara acak darisuatu pabrik adalah seorang perokok. Nyatakankejadian komplemen Q ?

Menghitung Titik Sampel

Teorema 1 :Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapatdikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasiitu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2cara.• Contoh : Banyaknya titik sampel dalam ruangsampel sepasang dadu dilantunkan satu kali.

Teorema 2

• Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, danbila untuk setiap cara ini operasi kedua dapatdikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap keduacara operasi tersebuat operasi ketiga dapat dikerjakandengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasidapat dikerjakan dengan n1n2…nk cara.

• Contoh : Berapa macam hidangan dapat disajikanjika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop,nasi goreng, bakmi, dan soto bila tersedia 4 macamsop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4macam soto.

Definisi 5

• Suatu permutasi ialah suatu susunan urutanyang dapat dibentuk dari suatu kumpulan

bendayang diambil sebagian atau seluruhnya.• Contoh : Ambil tiga huruf a, b dan c.

Teorema 3

• Banyak permutasi n benda yang berlainanadalah n!• Contoh : Permutasi empat huruf a,b,c, dan dadalah 4!=24

Teorema 4

• Banyak permutasi n benda berlainan biladiambil r sekaligus adalahnPr = n !

(n-r)!

• Contoh : Dari 20 lotere, dua diambil untukhadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyaktitik sampel dalam ruang S.

Teorema 5

• Banyak permutasi n benda berlainan yangdisusun melingkar adalah (n-1)!

• Contoh : Dalam suatu permainan bridge adaempat pemain duduk melingkar. Berapasusunan duduk yang berlainan dalam

permainan tersebut?

Teorema 6• Banyak permutasi yang berlainan dari n bendabila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjeniskedua,…, nk berjenis ke k adalah

• Contoh : Suatu pohon natal dihias dengan 9bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa caramenyusun 9 bola lampu itu bila tiga diantaranyaberwarna merah, empat kuning dan dua biru?

Teorema 7 Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel,masing-masing berisi n1 elemen dalam sel pertama, n2dalam sel ke dua dst, adalah:

Dengan n1 + n2 + n3 … + nk = n. Contoh : Berapa banyak cara untuk menampungtujuh petinju dalam tiga kamar hotel, bila satu kamarbertempat tidur tiga sedangkan dua lainnya mempunyaidua tempat tidur ?

Teorema 8

• Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainanbila diambil sebanyak r adalah

• Contoh : Bila ada empat kimiawan dan tigafisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orangyang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawandan satu fisikawan.

Teorema 8

• Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainanbila diambil sebanyak r adalah

• Contoh : Bila ada empat kimiawan dan tigafisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orangyang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawandan satu fisikawan.

Referensi

Christine Suryadi, Probabilitas dan Statistika Dasar teori Peluang, Departemen Teknik

Informatika, Institut Teknologi Bandung

Tugas

senin aja ya…