MTE3109PENGAJARAN NOMBOR, PECAHAN, PERPULUHAN DAN PERATUS

ISU-ISU UTAMA DALAM PENGAJARAN NOMBORMinggu 8:Isu-isu dalam pengajaran nombor bulatMengenali fakta asasPengajaran nilai tempatPengetahuan matematik guru

Ulasan Buku: Roger HoweKnowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States Liping Ma Lawrence Erlbaum Associates, Inc., 1999

LIPING MA

Penyelidikan Pendidikan MatematikData mengenai latihan guruAdakah kefahaman matematik yang lebih mendalam pada guru matematik membawa kepada pengajaran matematik yang lebih baik?Penyempurnaan kerja kursus dengan jayanya bukanlah bukti untuk kefahaman yang mendalam mengenai matematik sekolah rendah. Pengetahuan yang diperlukan untuk mengajar matematik adalah berbeza daripada apa yang dibekalkan oleh kebanyakan program penyediaan guru di Amerika Syarikat.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Membentangkan hasil temubual Ma Liping dengan guru sekolah rendah dari Amerika Syarikat (seramai 23 orang) dan Negeri China (72 orang semuanya).23 guru di Amerika Syarikat- separuhnya berpengalaman dan separuhnya guru permulaan, (semuanya dinilai sebagai lebih tinggi daripada sederhana oleh penyelidik).Sungguhpun perasaan bimbang mengenai matematik (math anxiety) kerap wujud di kalangan guru, kumpulan guru ini mempunyai sikap positif terhadap matematik dan yakin mereka dapat menguasai matematik asas serta mampu belajar matematik lanjutan!Guru negeri China dipilih untuk mewakili dan merangkumi pengalaman dan kepakaran mengajar yang luas: sekolah bandar dan luar bandar, sekolah yang berprestasi tinggi dan bukan.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Penguasaan guru terhadap matematik dicungkil dalam temubual berasaskan kepada empat buah soalan, (secara menaik)Dua soalan yang pertama melibatkan nilai tempat dalam nombor perpuluhan Soalan yang ketiga melibatkan numbor rasional (rational numbers) dan juga pembahagian, operasi aritmetik yang paling sukar menghubungkait pengiraan dengan situasi sebenar.Masalah akhir, berasaskan perimeter dan luas suatu rajah tertutup, berpotensi melibatkan isu-isu yang sangat mendalam. Walaupun kita menggantikan rajah tertutup dengan segiempat tepat, sepertimana dalam temubual, ia masih membandingkan fungsi dua pembolehubah .

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Kelayakan Akademik, Guru Amerika Syarikat merupakan lepasan maktab dan ramai juga mempunyai ijazah sarjana (MA).Guru negeri China mempunyai pengalaman persekolahan biasa sebanyak 9 tahun dan 3 tahun latihan perguruan sijil sekolah tinggi sahaja!Walaubagaimanapun, pengukuran dari segi penguasaan matematik sekolah rendah menunjukkan bahawa guru Negeri China berprestasi lebih tinggi.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Rumusan ringkas mengenai hasil temubual: Guru negeri China memberi maklumbalas seperti yang dijangkakan, sedangkan guru dari Amerika Syarikat menunjukkan kekurangan yang membimbangkan!

Soalan yang dikemukakan dalam temubual dengan guru AS dan CinaBagaimanakah anda akan mengajar penolakan nombor dua digit dengan mengumpul semula ? (How would you teach subtraction of two-digit numbers when borrowing or regrouping is needed?)Dalam suatu masalah pendaraban seperti 123 X 645 , bagaimanakah anda menerangkan kesalahan pelajar berikut? 123 X 645 615 492 738 1845

Kirakan 1 . Kemudian bina suatu masalah bercerita yang memodelkan pengiraan ini, iaitu di mana pengiraan memberikan jawapan bagi masalah ini.

Suppose you have been studying perimeter and area and a student comes to you excited by a new theory: area increases with perimeter. As justification the student provides the example of a 4 X 4 square changing to a 4 X 8 rectangle: perimeter increases from 16 to 24, while area increases from 16 to 32. How would you respond to this student?

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Bagaimanakah anda akan mengajar penolakan nombor dua digit dengan mengumpul semula? (How would you teach subtraction of two-digit numbers when borrowing or regrouping is needed?)

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Dalam suatu masalah pendaraban seperti 123 X 645 , bagaimanakah anda menerangkan kesalahan pelajar berikut? 123 X 645 615 492 738 1845

(pelajar telah membentuk hasildarab separa 123 dengan digit 645, tetapi tidak menganjak ke kiri , seperti yang dikehendaki untuk dapat jawapan betul.)

( The student has correctly formed the partial products of 123 with the digits of 645, but has not shifted them to the left, as required to get a correct answer.)

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Kirakan 1 . Kemudian bina suatu masalah bercerita yang memodelkan pengiraan ini, iaitu di mana pengiraan memberikan jawapan bagi masalah ini.(Then make up a story problem which models this computation, that is, for which this computation provides the answer. )

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Sekiranya anda sedang megajar perimeter dan luas. Seorang pelajar datang dan menceritakan tentang teori baru: iaitu, Luas bertambah apabila perimeter bertambah. Sebagai buktinya, pelajar itu memberi contoh segiempat sama berukuran 4 X 4 yang berubah kepada segiempat tepat berukuran 4 X 8: di mana perimeter bertambah daripada 16 hingga 24, sedangkan luas bertambah daripada 16 to 32. Bagaimanakah anda akan respon kepada pelajar ini? (How would you respond to this student?)

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Suppose you have been studying perimeter and area and a student comes to you excited by a new theory: area increases with perimeter. As justification the student provides the example of a 4 X 4 square changing to a 4 X 8 rectangle: perimeter increases from 16 to 24, while area increases from 16 to 32. How would you respond to this student?

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Bagi dua masalah yang pertama, semua guru dapat membuat kiraan dengan betul dan dapat menerangkan cara membuatnya dengan betul.Sungguhpun demikian, dengan masalah pertambahan, kurang daripada 20% guru Amerika Syarikat mempunyai kefahaman mengenai konsep mengumpul semula iaitu, mencerakinkan satu 10 kepada 10 sa. Sebaliknya, guru Negeri China (86%) didapati lebih memahami prosedur mencerakinkan dan dapat menerangkan prosedur ini.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Dalam masalah kedua, hanya lebih kurang 40% daripada guru Amerika Syarikat dapat menerangkan kaedah betul bagi menyusun hasildarab separa, sedangkan lebih daripada 90% guru negeri China menunjukkan kefahaman kukuh mengenai pertimbangan nilai tempat yang mengasaskan prosedur penyusunan itu (alignment procedure).

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Dalam masalah ketiga, terdapat jurang pada peringkat kiraan: kurang daripada separuh guru US dapat membuat pengiraan dengan betul. Hanya seorang dapat membina masalah bercerita yang boleh diterima. Sungguhpun demikian, pedagogi masalah ini juga dipersoalkan, kerana unit yang terlibat dalam jawapan melibatkan 3 orang. Guru Negeri China sekali lagi dapat mengira secara betul, dan 90% daripada mereka dapat membina masalah bercerita yang betul. Sesetengah daripada mereka mencadangkan pelbagai masalah dengan menggambarkan beberapa interpretasi bagi pembahagian. (Pembahagian secara pengumpulan dan pembahagian secara pengongsian)

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Dalam masalah keempat, guru US dapat menunjukkan cara mengajar yang baik, dan kebanyakan, walaupun bukan semua, dapat menyatakan formula untuk mencari perimeter dan luas segiempat tepat. Namun demekian, apabila membuat analisis matematik, didapati mereka keliru. Walaupun kebanyakan guru hendak lihat lebih contoh, lebih daripada 90% percaya bahawa tuntutan pelajar itu adalah sah. Ada juga guru-guru yang mencadangkan supaya contoh lain dicari dalam buku. Hanya tiga orang cuba membuat siasatan matematik mengenai tuntutan ini dan Cuma seorang yang dapat mencari contoh berlawanan (counter example).

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Guru negeri China juga mendapati masalah ini mencabar, dan kebanyakan mereka perlu berfikir mengenainya. Selepas pertimbangan yang wajar, 70% daripada mereka dapat memahaminya dan dapat menunjukkan beberapa contoh berlawanan yang sah (counter examples). Daripada 30% yang tidak dapat mencari jawapan yang betul, kebanyakan mereka berfikir secara matematik mengenai masalah itu tetapi tidak dapat mencari kesilapan pada cadangan pelajar.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Jurang perbandaingan antara prestasi guru-guru US dan Cina adalah sangat dramatik.Sebahagian guru negeri China memberi respons mendalam yang menjawap lebih daripada soalan yang diberi. Ada juga yang memberi kaedah nmenjawab yang pelbagai.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Dalam masalah aritmetik integer, beberapa guru US bermasalah kerana tidk mempunyai asas yang kukuh. Ini menunjukkan bahawa budaya pembelajaran matmatik yang lebih mendalam memang tidak wujud di Amerika Syarikat. Contohnya: cara mengajar penolakan nombor dua digit di Amerika biasanya diasaskan pada fakta penolakan (subtraction facts), iaitu hasil daripada menolak satu nombor satu digit daripada satu nombor satu digit atau nombor dua digit. Semua ini dipelajari melalui hafalan.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Guru negeri China mengasaskan penolakan pada fakta asas yang sama, tetapi mereka merujuk topik ini sebagai Penolakan dalam lingkungan 20 (subtraction within 20) dan melayan ini sebagai suatu idea matematik yang perlu difahami secara mendalam kerana mereka menekankan perkaitan antara asas pengiraan dengan asas konsep penolakan pelbagai digit.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Semasa menjawab Soalan 3, beberapa guru negeri China menyatakan bahawa masalah yang diberi itu terlalu mudah dan mencadangkan masalah yang lebih sukar.Guru China lebih menggunakan hukum taburan secara eksplisit apabila membincangkan mengenai pendaraban yang melibatkan pelbagai digit. Guru Amerika Syarikat tidak menggambarkan kesedaran tentang idea matematik tersebut .

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Juga membincangkan isu-isu kaedah mengajarBila guru tertumpu kepada memberi penerangan lama (secara conventional) mereka kurang menekankan kefahaman konsep terutamanya kefahaman yang boleh dikembangkan apabila menggunakan bahan manipulatif.Mencadangkan bahawa guru negeri China mempunyai kefahaman yang lebih baik dan mendalam mengenai matematik yang mereka ajar berbanding dengan guru US.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Bukti - pembelajaran matematik yang lebih baik di negeri China dan dihubungkait secara langsung dengan pengetahuan guru, seperti yang ditunjukkan dalam temubual.Empat soalan dalam temubual ini ditujukan kepada sekumpulan pelajar China di Gred Sembilan dari sebuah sekolah biasa di Shanghai.

Dapatan!!!!!

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Semua pelajar Gred 9 di sekolah itu dapat membuat pengiraan untuk semua soalan dengan betul dan tahu formula untuk mencari perimeter dan luas bagi segiempat tepat.Lebih daripada 60% dapat menemui contoh berlawanan (counterexample) kepada dapatan pelajar mengenai luas dan perimeter Lebih daripada 40% dapat membina masalah bercerita untuk pembahagian pecahan dalam Soalan 3.Pelajar Gred sembilan negeri China ini menunjukkan kefahaman yang lebih baik mengenai masalah dalam temubual berbanding dengan guru Amerika Syarikat.

BERIKAN SATU NOMBOR DI ANTARA 3.1 DAN 3.11

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4):Keputusan adalah konsisten : kegagalan sistem pendidikan GURU Amerika Syarikat untuk menghasilkan guru yang mempunyai pengetahuan isi kandungan yang kukuh dan impak negatif kegagalan ini tidak dicamkan secara lebih eksplisit.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4) Cadangan:

Adalah dicadangkan bahawa tanpa perubahan yang radikal dalam keadaan kesediaan guru matematik di Amerika Syarikat harapan untuk mengajar dengan kefahaman atau untuk kefahaman idea-idea matematik seperti yang terkandung dalam standard NCTM tidak akan tercapai.Kurikulum tradisi mengajar prosedur yang dibolehpercayai untuk mencari jawapan yang betul kepada masalah penting, tanpa kefahaman (guru atau murid) mengenai kenapa prosedur itu dapat digunakan . Kurikulum ini perlu diubahsuai.

Penyelidikan Pendidikan MatematikKTEM (Bab 1 4) Cadangan Sambung:

Kedua-dua pengetahuan prosedural dan konseptual perlu dikembangkan bersama bagi guru matematik. (know how and also know why)Prosedur pengiktirafan guru, kursus pedagogi, kursus matematik, proses pemilihan calon guru, kursus atau latihan perkembangan dalam perkhidmatan semua ini tidak tidak dapat memastikan guru matematik di Amerika Syarikat mempunyai kefahaman yang diperlukan untuk mengajar demi kefahaman.

Penyelidikan Pendidikan MatematikPerbezaan antara guru China guru Amerika Syarikat:1.Guru China menerima latihan awal yang lebih baik latihan yang lebih baik menghasilkan jurulatih yang lebih baik

Penyelidikan Pendidikan Matematik2. Guru matematik China merupakan guru yang berpengkhususan (specialists). Kebaikan menghasikan guru yang berkepakaran mengajar matematik: ~ Peruntukan kewangan dan usaha untuk latihan perguruan matematik boleh ditumpukan kepada satu kumpulan kecil guru pelatih ~ Ada insentif untuk pelajar kelulusan sekolah yang minat dan ada kebolehan matematik untuk memohon menjadi guru.

Penyelidikan Pendidikan MatematikBeyond its recruitment implications, it means that Chinese teachers have more time and motivation for developing their understanding of mathematics. This self-improvement is amplified by a social effect: specialization creates a corps of colleagues who can work together to deepen the common teaching culture in mathematics. Thus, making mathematics teaching a specialty works in multiple ways to increase the quality of mathematics education.

Penyelidikan Pendidikan Matematik3. Guru China mempunyai keadaan bekerja yang menggalakkan pembinaan kefahaman matematik yang mendalam.Guru Amerika Syarikat menghabiskan masa sepanjang hari di depan kelas, sementara guru China mempunyai masa untuk mengkaji bahan mengajar, membuat persediaan mengajar dan bekerja dengan pelajar yang memerlukan perhatian khas di samping berinteraksi dengan rakan sejawat. Guru baru boleh belajar daripada guru berpengalaman. Mereka juga boleh mengembangkan kemahiran mereka melalui membincangkan tentang masalah matematik.

Apakah yang akan saya mengajar hari ini ?Bagaimanakah saya hendak memperkenalkannya?Apakah pengetahuan sedia ada (konsep dan kemahiran lain) yang perlu saya imbas kembali?Bolehkah saya membina pengetahuan topik hari ini atas konsep dan kemahiran yang sedia ada itu?Bagaimanakah saya boleh mengajar supaya pengajaran hari ini menjadi asas kukuh untuk pengajaran kemahiran lain kelak?Bagaimana boleh saya mengutarakan perkaitan antara kemahiran-kemahiran atau konsep-konsep ini?Apakah yang murid berkebolehan tinggi/ rendah belajar dari topik ini?Guru perlu pengetahuan tentang siapa yang diajar, pengetahuan yang perlu diajar dan bagaimana mengajarnya

Penyelidikan Pendidikan MatematikGabungan latihan, pemilihan calon guru pelatih dan keadaan bekerja yang wujud di China telah membantu menghasilkan peringkat pengajaran yang cemerlang yang Ma panggil sebagai PUFM iaitu profound understanding of fundamental mathematics.PUFM melibatkan lebih daripada kepakaran isi kandungan dan juga melibatkan bagaimana berkomunikasi isi kandungan itu kepada pelajar.

Penyelidikan Pendidikan MatematikJuga ada isu berhubung dengan teks. Guru negeri China mempunyai bahan mengajar, buku teks dan panduan mengajar yang menyokong pembelajaran kendiri mereka.Buku teks Amerika Syarikat mahal dan cantik tetapi kurang tersusun dari segi pembentangannya dan panduan guru juga tidak berguna sangat.Maka, program intervensi patut bertujuan merekacipta Buku teks dan bahan mengajar yang boleh membantu guru US mempelajari dan memindahkan idea dan konsep matematik yang koheren

Penyelidikan Pendidikan MatematikSatu idea yang ketinggalan zaman dalam pendidikan ialah bahawa guru dijangkakan akan tahu semua yang dikehendaki pada peringkat permulaan kerjanya.Pembelajaran berterusan, khasnya berkenaan isi kandungan, patut menjadi perkara biasa sebab pengajaran dalam bilik darjah akan memberi banyak peluang kepada guru untuk mempelajari mengenai perkembangan idea matematik kanak-kanak.

Isu #1: Pengetahuan Matematik Gurupengetahuan matematik yang kukuh (isi kandungan) dan pedagogi (bagaimana mengajarnya) adalah penting!

Isu #2:Mengetahui dan mengajar fakta asasPenggunaan alat bantu mengajar sepert bahan manipulatif

Pengajaran nilai tempat penting untuk mempunyai kefahaman mengenai nilai tempat nombor bulat dan mengembangkannya kepada nombor perpuluhan (asas untuk pengiraan mental dan bertulis)Nilai tempat perpuluhanDua aspek mengenai nombor aspek garis nombor (nombor yang diwakilkan pada garis nombor) dan konsep mengumpul semula (ratus, puluh, sa, dll.)Penggunaan alat bantu mengajar seperti bahan manipulatif kad anak panah nilai tempat, blok asas sepuluh, set kad digit 0 -9 untuk membincangkan nilai tempat

Isu #3:Kaedah mengajarKTEM mencadangkan bahawa guru negeri China mempunyai kefahaman matematik yang lebih mendalam dan dapat mengajar dengan lebih baik berbanding dengan guru Amerika Syarikat.KTEM membekalkan beberapa bukti mengenai pembelajaran yang lebih baik di negeri China dan ianya dapat dihubungkait secara langsung dengan pengetahuan guru, spertimana ditunjukkan dalam temubual.

Isu #4:

BahanTeksPanduan mengajar

Tutorial (1 jam)Baca Artikel X dan rumuskan isu-isu yang timbul dalam pengajaran matematik di sekolah rendah.

Amalil (3 jam)Aktiviti 1:Dalam kumpulan, bincangkan isu-isu yang berkaitan dengan pengajaran nombor yang wujud dalam konteks sekolah tempatan.Bentangkan isu-isu anda dan berikan cadangan untuk mengatasinya. Sokongkan pembentangan anda dengan memberi rujukan yang sesuai.

Amali (3 jam)Aktiviti 2: PerbahasanMelatih guru matematik am atau matematik berpengkhususan dalam menangani pengajaran matematik di sekolah rendah: Impak pada pembelajaran matematik dalam kalangan kanak-kanak(Training a mathematics generalist or a specialist in handling primary mathematics in school: Its impact on childrens learning of mathematics.)

ISLBacaan: Article X:i. Ulasan Buku: Knowing and Teaching Elementary Mathematics by Roger Howehttp://www.ams.org/notices/199908/rev.howe.pdf

RumusanKTEM mempunyai maklumat dan cadangan bagi semua penggubal polisi pendidikanPenggubal undang-undang, ahli jabatan pendidikan dan lembaga sekolah perlu memahami nilai potensi mewujudkan perbadanan (corps) pakar matematik rendah yang ada masa berjadual untuk pembelajaran dan interaksi rakan sejawat.Pendidik universiti perlu memahami bahawa latihan perguruan merupakan aktiviti unggul yang berbeza daripada latihan ahli sains, atau jurutera.Perubahan yang sesama menyokong adalah berguna untuk perubahan pendidikan matematik yang berjaya.