modul matematika kelas xi ipa semester ii edit anin.docx

Modul Matematika SMA Kelas XI Program IPA

0


BAB I.

SUKU BANYAK

1

Sumber : mathsolar (2012)

Mind Map

Materi yang akan kalian

pelajari

Bentuk Umum1

Akar- Akar Rasional Dari Persamaan Suku Banyak2


Bentuk Keteranganan xn,an−1 xn−1, ...,a2 x2 ,a1 x suku

an,an−1, ...,a2, a1 koefisien xn,xn−1, ...,x2,x

an xn suku utama

an koefisien utama

n (pangkat tertinggi x) derajat

a0 konstanta

Contoh:3x5 –x3 + 2x – 10 disebut

suku banyak dalam x berderajat 5. koefisien x5 adalah 3 koefisien x4 adalah 0 koefisien x3 adalah -1 koefisien x2 adalah 0 koefisien x adalah 2 dan suku tetapnya adalah – 10.

1. Suku banyak f(x) (x – k) faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar dari f(x) = 02. Cara menentukan akar-akar rasional persamaan suku banyak f(x)

a. Jumlah semua koefisiennya = 0 x=1 merupakan akar dari f(x) = 0b. Jumlah koefisien x pangkat genap = jumlah koefisien x pangkat ganjil, x=-1 merupakan

akar dari f(x) = 0c. Jika langkah a dan b tidak memenuhi, maka gunakan cara trial and error.

2

an xn+an−1 xn−1+…+a2 x2+a1 x+a0

Bentuk Khusus Akar Persamaan Kuadrat3

Nilai Suku Banyak4


a x2+bx+c=0

x1+ x2=−ba

x1 x2=ca

a x3+b x2+cx+d=0

x1+ x2+x3=−ba

x1 x2+x1 x3+x2 x3=ca

x1 x2 x3=−da

a x4+bx3+c x2+dx+e=0

x1+ x2+x3+x4=−ba

x1 x2+x2 x3+x3 x4+x1 x4=ca

x1 x2 x3+x1 x2 x4+x1 x3 x4+x2 x3 x4=−d

a

x1 x2 x3 x4=ea

1. Cara SubtitusiSuku banyak f ( x )=an xn+an−1 xn−1+…+a2 x2+a1 x+a0 untuk x=k adalah

Contoh:Diketahui f(x) = 3x4 –x2 + 1. Tentukan f(2)!Jawab:f(x) = 3x4 –x2 + 1f(2) = 3(2)4 –(2)2 + 1 = 48 – 4 + 1 = 45

3

f (x)=¿ ank n+an−1 kn−1+…+a2 k2+a1 k+a0

Kesamaan Suku Banyak5

Derajat Suku Banyak Hasil Bagi dan Sisa Pembagian6


2. Cara Horner atau Sintetik Apabila f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, maka f(k) diperoleh dengan skema berikut:

k a b c dak k(ak +b) = ak2 + bk k(ak2 + bk + c) = ak3 + bk2 +ck

a ak +b ak2 + bk + c ak3 + bk2 + ck + d = f(k)

Contoh: 1. Hitunglah f(3) jika f(x) = 2x3 + 4x2 – 6x – 1!

Jawab:3 2 4 -6 -1

3×2=6 3×10=30 3×24=722 6+4=10 30+(-6)=24 72+(-1)= 71

Jadi, f(3) = 71

2. Hitunglah f(-2) jika f(x) = 3x4 – 5x2 + 6x – 7!Jawab:

-23 0 -5 6 -7

+-6 12 -14 163 -6 7 -8 9

Jadi, f(-2) = 9

P(x ) = an kn + an-1 kn-1 + … + a1 k + ao

Q(x ) = bn kn + bn-1 kn-1 + … + b1 k + bo

P ( x ) = Q ( x ), jika :an=bn

an−1=bn−1

…a1=b1

a0=b0

Suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh suku banyak H(x) berderajat k, (k < n) :

Fungsi Keterangan derajat

F(x) Suku Banyak nP(x) Pembagi kH(x) Hasil Bagi n-kS(x) Sisa k-1

4

+

+

F(x) = P(x) . H(x) + S(x)


Metode pembagian ada dua yaitu cara bersusun dan cara Horner.

Metode pembagian dari Horner:1. Angka terakhir (paling kanan) dari hasil pembagian Horner merupakan sisa

pembagian tersebut.2. Angka-angka lainnya merupakan koefisien dari hasil bagi tersebut.3. Pangkat hasil bagi sama dengan pangkat suku banyak dikurangi satu.

Contoh:1. Tentukan hasil bagi dan sisanya apabila (x3 + 2 x2 – 5x – 10) dibagi (x – 1)!

Jawab:Cara I : dengan cara bersusun:

x2+3 x−2x−1¿

|x3+2 x2−5 x−10 ¿ x3−x2 ¿ 3 x2−5 x−10 ¿ 2 x2−3 x ¿¿ −2 x−10 ¿¿ −2 x+2 ¿¿ −12 ¿¿¿ ¿¿

Cara II : dengan cara Horner:

11 2 -5 -10 +

1 3 -2

1 3 -2 -12

2. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika 3x4 + 4x3 – 5x2 – 2x + 5 dibagi (x2 + 2x + 3)!Jawab:Karena x2 + 2x + 3 tidak dapat difaktorkan, maka dilakukan pembagian biasa.

Hasil bagi = 3x2 – 2x – 10Sisa pembagian = 24x + 35

5

Jadi, hasil bagi = x

2

Jadi, hasil bagi = x2

+ 3x – 2

TEOREMA SISA7


3. Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika 2x3 + x2 + 5x – 1 dibagi (x2 – 1)!Jawab:Karena (x2 – 1) dapat difaktorkan menjadi (x + 1)(x – 1), maka pembagian dapat dilakukan dengan 2 cara.a. Cara Susun

b. Cara Hornerx2 – 1 difaktorkan menjadi (x + 1)(x – 1)

Hasil bagi = 2x + 1Sisa pembagian = 7x

Jika suku banyak f(x) dibagi:1. (x – k) maka sisanya f(k).

2. (ax + b) maka sisanya f (−ba

)

3. (x – a) (x – b) maka sisanya px +q, dengan p dan q dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan: f(a) = ap + q g(b) = bp + q

4. (x – k) sisanya f(k) = 0 maka dikatakan: f(x) habis dibagi oleh (x – k) (x – k) merupakan faktor dari f(k) x = k merupakan akar dari persamaan f(x) = 0

Contoh:1. Tentukan sisanya apabila (x3 – 2x2 – 8) dibagi oleh (x – 3)!

6

TEOREMA FAKTOR8


Jawab:f(x) = x3 – 2x2 – 8f(3) = 33 – 2.32 – 8 = 27 – 18 – 8 = 1Jadi, sisanya adalah 1.

2. Tentukan sisanya apabila (x2 – 6x + 10) dibagi oleh (x – 2)(x – 3)! Jawab:

f(x) = g(x) . h(x) + s(x)f(x) = x2 – 6x + 10 = (x – 2)(x – 3) . h(x) + (px + q) f(2) = 22 – 6.2 + 10 = 2p + q 2p + q = 2 . . . . . . (1)f(3) = 32 – 6.2 + 10 = 3p + q 3p + q = 1 . . . . . . (2)Eliminasi persamaan (1) dan (2): 2p + q = 2

3p + q = 1 -p = 1

p = - 1 Dari p = -1 dan persamaan (1):

2p + q = 22(-1) + q = 2 q= 4

Jadi, sisanya adalah –x + 4.

1. Jika (x – a) merupakan faktor dari f(x) maka f(a) = 0.2. Jika f(a) = 0 maka (x – a) merupakan faktor dari f(x)3. Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0, f(b) = 0 dan f(c) = 0, maka f(x)

habis dibagi (x – a) (x – b) (x – c) 4. Jika (x – a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x)5. Jika f(x) dibagi (x – a) (x – b) maka sisanya:

S = (x−a)(b−a)

f (b )+( x−b)(a−b)

f (a)

6. Jika f(x) dibagi oleh (x – a) (x – b) (x – c) maka sisanya:

S = ( x−a )(x−b)( c−a )(c−b)

f (c )+( x−a )(x−c )(b−a )(b−c)

f (b )+( x−b )(x−c )( a−b )(a−c)

f (a )

Contoh:Tentukan nilai a dan b apabila suku banyak x4 + 2ax2 – 10x – 3b habis dibagi x2 + 2x – 3! Jawab:Misalkan f(x) = x4 + 2ax2 – 10x – 3bKarena x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) dan f(x) habis dibagi oleh x2 + 2x – 3, maka f(x) habis dibagi (x + 3)(x – 1).f(-3) = (-3)4 + 2a(-3)2 – 10(-3) – 3b = 0

= 81 + 18a + 30 – 3b = 0= 18a – 3b + 111 = 0 . . . . . . (1)

7


f(1) = (1)4 + 2a(1)2 – 10(1) – 3b = 0= 1 + 2a – 10 – 3b = 0= 2a – 3b – 9 = 0 . . . . . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2): 18a – 3b + 111 = 02a – 3b – 9 = 0 16a + 120 = 016a = - 120

a = - 12016

= - 7 ½

Subtitusikan a = -7 ½ pada persamaan(2):2a – 3b – 9 = 02(-7 ½ ) – 3b – 9 = 0-15 – 3b – 9 = 0- 3b = 24 b = - 8

Jadi, a = - 7 ½ dan b = - 8.

A.Pilih salah satu jawaban yang tepat !

1. Jika f(x) = 6x3 +7x2 +kx -24 dan f( 1 ) = 0 maka nilai f( -1) adalah . . . .a. -34 b. -15 c. -8 d. 15 e. 31

2. Suatu fungsi f(x) = 16x4 -4x3 +8x2 –x + 1 dibagi (2x + 1) maka sisanya adalah..a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

3. Bila x3-4x2 +5x + p dan x2 +3x -2 dibagi (x +1) diperoleh sisa yang sama, maka nilai p adalah . . . .a. 6 b. 4 c. -2 d. -4 e. -6

4. Suatu fungsi f(x) = 2x5 -6x3 + x – 1 dibagi oleh (x + 1) sisanya adalah . . . .a. -3 b. -2 c. -1 d. 1 e. 2

5. Nilai suku banyak f(x) = 10x3 -11x2 -7x +16 untuk x = -1 adalah . . . .a. 1 b. 2 c. 8 d. 10 e. 12

6. Bila f(x) = 3x3 +-11x + a habis dibagi oleh 3x -1 maka nilai a adalah . . . .a. 5 b. 3 c. 2 d. 1 e. -1

7. Bila f(x) = 3x4 -2x3 +4x2 + px -12 habis dibagi oleh (x – 1), maka nilai p adalah..a. 7 b. 5 c. 3 d. 1 e. -1

8. Bila 2x3 –x2 –ax + 7 dan x3 +3x2 -4x -1 dibagi ( x + 1) diperoleh sisa yang sama, maka nilai a = . . . . a. -10 b. -1 c. 1 d. 5 e. 10

8


9. Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak x5 -3x4 +3x2 +x + 3 oleh x -3 berturut-turut adalah . . . .a. x4 +3x +10 sisa 21 c. x4 +3x +10 sisa 30 e. x4 +3x +10 sisa 33b. x4 +3x +10 sisa 28 d. x4 +3x +10 sisa 31

10. Suatu fungsi -x2 -15x +x4 +4x3 -11 dibagi oleh x2 +x -16, maka sisanya adalah . . .a. x – 2 b. x +1 c. x + 3 d. x – 4 e. x + 2

11. Salah satu faktor dari 4x3 +14x2 +4x -6 adalah . . .a. 2x +1 b. 2x +3 c. 2x -3 d. 2x -1 e. 2x -2

12. Suku banyak 4x4 -5x2 +7x - 9 dibagi (x + 2) maka Sisanya adalah . . .a. -25 b. -26 c. -27 d. -28 e. -30

13. Bila x5-2x3 +4x - 7 dibagi (3x -6) diperoleh sisa . . . .a. 15 b. 16 c. 17 d. 18 e. 19

14. Suatu fungsi f(x) = x3 -5x2 -8x + k habis dibagi oleh (x - 2), nilai k = . . . a. 22 b. 24 c. 26 d. 28 e. 30

15. Jika suku banyak f(x) = x4 +5x3 -2x2 +Ax +B habis dibagi x2 -1, maka A + B =...a. -5 b. -4 c. -3 d. -2 e. -1

16. Bila f(x) = 2x3 -6x2 +7x + a jika dibagi oleh x + 3 sisanya 11, maka nilai a adalah...a. 140 b. 141 c. 142 d. 143 e. 144

17. Bila f(x) dibagi (x +2) sisanya -1 dan dibagi (x -1) sisanya 2. Maka bila dibagi oleh x2 + x -2 sisanya adalah . . . .a. x -4 b. x +3 c. x +2 d. x -2 e. x + 1

18. Bila f(x) = 7x + 5x5 -12 –x3 +2x6 -14x4 jika dibagi dengan 1 + x + x2, maka sisanya adalah . . . .a. 14 -x b. 16 -12x c. 15 +8x d. -16-12x e. 7 -x

19. Suatu suku banyak f(x) dibagi oleh x -2 sisanya 8, dan jika dibagi x + 3 sisanya -7. Sisa pembagian f(x) jika dibagi oleh x2 +x -6 adalah . . . .

a. 9x -7 b. x +6 c. 2x +3 d. x -4 e. 3x + 220. Salah satu akar persamaan 2x3 -7x2 -7x + 30 = 0 adalah 3, maka jumlah dua akar yang

lain adalah . . . .a. – ½ b. ½ c. 1 d. 3 e. 5

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !1. Tentukan Sisa pembagian berikut ini:

a. (7x6 +5x4 +x – 2) : (x + 1)b. (6x3 +2x2 -8x -11) : ( 2x – 1)c. (-15x4 -8x5 +12x –x3 +2 ) : (x -2)

2. Tentukan nilai dari fungsi suku banyak berikut ini:a. f(x) = 5 – 6x2 + x + 17x5 -14x3 -8x6 untuk x = -1b. f(x) = -x2 -15x +x4 +4x3 -11 untuk x = ½

3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut ini!a. x3 +4x2 +x – 6 dibagi oleh x2 + 5x +6

9


b. 2x4 -17x3 +2x2 +180x -90 dibagi oleh x – 2c. 7x2 -40 +2x + x3 dibagi oleh x2 +2x -8d. -8 -18x + x2 +2x3 dibagi oleh -12 +x + x2

4. Apabila x -2 merupakan faktor dari 2x3 +3x2 -8x -12, Tentukan faktor-faktor lainnya !5. Tentukan sisa pembagian dari f(x) = 4x4 -2x3 +6x2 +x + 8 oleh (2x -1)6. Tentukan faktor linier dari 2x3 +x2 -13x + 6 !7. Jika f(x) dibagi (x +2) bersisa 7 dan dibagi (x -3) bersisa 10. Tentukan sisanya jika dibagi x2

– x – 6 !8. Buktikan bahwa x = 2 merupakan akar persamaan x3 -6x2 +11x -6 = 0, kemudian

tentukanlah akar-akar yang lain !

ooo000O000ooo

BAB II. KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

10


11

Sumber : mathsolar (2012)


1. Relasi dua himpunan adalah hubungan antar elemen-elemen pada kedua himpunan tersebut menurut aturan tertentu.

2. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B.Penyajian :

a. Diagram panahb. Diagram kartesiusc. Himpunan pasangan berurutand. Menggunakan rumus

3. Notasi fungsi a. Himpunan A disebut daerah asal (domain)b. Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain)c. Himpunan semua peta dari Himpunan A disebut range

(daerah hasil)d. Pemetaan dari A ke B yang memetakan setiap x ∈ A ke

f(x) ∈ B dinotasikan sbb : f(x) : A → B x → f(x) = y

Catatan : x disebut prapeta dari y, y disebut peta/ bayangan dari x x disebut variabel bebas (variabel yang nilainya tidak tergantung variabel lain). y disebut variabel terikat (variabel yang nilainya tergantung dengan variabel lain).

Bentuk Syarat

f ( x )= g(x )h(x)

h( x)≠ 0

f ( x )=√h (x) h( x)≥0

f ( x )= log h(x )❑f (x)

f (x)>0f ( x ) ≠1h( x)>0

12

FUNGSI KOMPOSISI APENGERTIAN


Fungsi Injektif(Fungsi Satu-Satu/

Into)

setiap unsur yang berbeda di A memiliki peta yang saling berbeda di B

Fungsi Surjektif(Fungsi Pada/ Onto)

Setiap unsur di B memiliki prapeta di A

Fungsi Bijektif(Korespondensi

Satu-Satu)

Gabungan sifat injektif dan surjektif

13

FUNGSI KOMPOSISI AJENIS-JENIS FUNGSI B

Pengertian 1

x y z

Sifat Fungsi Komposisi2


Fungsi komposisi adalah fungsi hasil kombinasi dua fungsi atau lebih

Fungsi f : A → B dengan f: x → y atau y = f (x)Fungsi g : B → C dengan g: y → z atau z = g(y) = g (f(x))Fungsi h : A → C dengan h: x → z atau z = h(x) = g (f(x))

h (x) = g (f(x))atau

h (x) = (g o f)(x) = g(f(x))

g o f dibaca g bundaran f (g komposisi f)h disebut fungsi komposisi

Komposisi dari tiga fungsi, yaitu ( f o g o h) (x) = f (g(h(x)))Sehingga,

( f o g o h) (x) = f (g(h(x))) ( h o g o f) (x) = h (g(f(x)))

Sifat Keterangan

Tidak komutatif f o g ¿ g o f

Berlaku Assosiatif ( f o g ) o h = f o ( g o h )

Terdapat fungsi Identitas i(x) = x (f o i)(x) = (i o f)(x)

14

FUNGSI KOMPOSISI AC

Syarat Agar Suatu Fungsi Memiliki Invers1


Fungsi invers berarti fungsi kebalikan. Simbol f-1(x) merupakan invers dari f(x), sehingga

f-1(x) = f(y).

1. Jika f adalah fungsi dari A ke B, f-1 adalah fungsi invers dari f dari B ke A jika dan hanya jika f fungsi bijektif

f-1 o f = IA dan f o f-1 = IB

2. Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan caraa. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y

dan nyatakanlah x = f(y).c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).

Contoh:Diketahui fungsi f(x) = 2x + 5, x € Ra. Tentukan rumus f-1

b. Hitunglah f-1 (0), dan f-1 (2)Jawab:a. Misalkan y = f(x)

y = 2x + 52x = y – 5

x =

y−52

f-1 (y) =

y−25

Jadi, rumus untuk f-1 (x) adalah

x−52

15

FUNGSI INVERS BD

Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi2


b. Dari f-1 (x) =

x−52 , diperoleh

f-1 (0) =

0−52 =

−52 ,

f-1 (2) =

2−52 =

−32

(f o g)-1 (x) = (g-1 o f-1)(x)(g o f)-1 (x) = (f-1 o g-1)(x)

Contoh:Fungsi f : R → R dinyatakan dengan f(x) = 2x – 6. Tentukan rumus fungsi inversnya.Jawab:Misalkan nilai fungsi f adalah f(x) = y, maka:

2x – 6 = y 2x = y + 6

x = y+6

2 x = ½ y + 3

Jadi, rumus fungsi invers f adalah f-1(x) = ½ x + 3

16


A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !1. Jika f(x) = 2x + 7, g(x) = x2 -4x +6 dan (f + g)(x) = 28 maka nilai x yang memenuhi adalah . . .

a. -5 atau 2 c. 3 atau -5 e. -3 atau 5b. -2 atau -5 d. 3 atau 5

2. Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x +2, Jika (f o g)(x) = 5, maka nilai x adalah . . . a. 3 atau ½ c. -3 atau – ½ e. -3 atau 3/2b. 3 atau – ½ d. 3 atau 3/2

3. Bila diketahui f(x) = x2 +x -2 dan g(x) = x2 –x -6, maka

g ( x )f ( x )

=

a.

x−1x+2 b.

x−1x+3 c.

x−3x−1 d.

x−3x+2 e.

x+2x−1

4. Suatu fungsi f(x) = 12x2 +3 dan g(x) = √ x+1 , maka (f –g)(3) = . . .a. 107 b. 108 c. 109 d. 110 e. 111

5. Jika p(x) = g(x) + f(x) dan f(x) = 2x +6, serta p(x) = 6x -12 maka g(x) adalah . . .a. 4x -6 b. 4x +6 c. 6 -4x d. 4x -18 e. 8x -18

6. Bila f(x) = x2 dan g(x) = 4x =1, maka (f o g)(x) adalah . . .a. 16x2+8x +1 c. 8x2+16x -1 e. 6x2-8x -1b. 16x2+8x -1 d. 8x2+16x +1

7. Bila f(x) = x + 2 dan (g o f)(x) = 6 -3x2 , maka g(x)= . . .a. -3x2 -8 c. -3x2 -12x -6 e. -3x2 –x +4b. -3x2 +12x -6 d. -3x2 +x + 8

8. Bila g(x -1) = 4x2 -8x + 4 dan (f o g)(x) = 8x2 + 3 . maka f(1)= . . .a. -2 b. 0 c. 3 d. 5 e. 11

9. Diketahui f(x) = x2 , g(x) = 2x +1 dan h(x) =

1x , maka (h o g o f)(x)= . . .

a.

1

2 x2+1 b.

2

x2+1

c.

1

4 x2+8 d.

4

x2+1

e.

1(2 x+1 )

10. Jika diketahui f(x) = 4x2 -1 , g(x) = 3x -2 dan akar-akar dari (f o g)(p) = 63 adalah p dan q, maka nilai p.q = . . .

a. -

34 b. -

13 c. -

14 d.

34 e.

73

11. Jika f(x) =53x dan f-1 (x) invers dari f(x), maka nilai f-1(5√5 ) adalah .............

17


a. -

12 b.

16 c.

12 d.1 e.

32

12. Fungsi f ditentukan oleh f(x) =

2x+1x−3 , x¿ 3 jika f-1 invers dari f, maka f-1 (x+1) =. . . .

a.

3 x−1x−2 , x¿ 2 c.

3 x+2x−1 , x¿ 2 e.

3x+4x−1 , x¿ 2

b.

3x+4x−2 , x¿ 2 d.

3x+1x+1 , x¿ -2

13. Bila fungsi f:R→R dan g: R→R di tentukan oleh rumus f(x) = x – 3 dan g (x) = 3 – 2x , maka (f o g )-1 adalah . . .

a. 2x b. 3 – ½ x c. – ½ d. -2x e. ½x-314. Jika f-1 adalah invers dari f(x) , g-1 (x) adalah invers dari g (x) . maka (f o g)(x) inversnya (f o

g )-1(x). Apabila f(x) = 7x – 1 dan g (x) =

12 x – 5 maka : (f o g) -1(x) untuk x = – 4 adalah . . .

a. 22 b. 18 c.50 d. 8

47 e. 11

37

15. Jika fungsi f(x) = x3 dan g (x) =3x -4 , maka (g-1 o f-1 ) (8) =. . .

a. 1 b. 2 c. 313

d. 423

e. 513

16. Jika diketahui f(x) = 2 dan g (x) = 3 – 5x maka (g∘ f)-1 (x) = . . .

a. 311

( 6+x) b. 1

10 (3- x) c.

611

(6 – x) d.611

(3+x) e.1

10 (6 - x )

17. Diberikan g(x) = 2x- 2dan h (x) = 2x maka (h-1 o g-1 ) (1) =. . .

a. 0 b.2 c. 2 log 3 d. -1 +2log 3 e. log

32

18. Fungsi f ditentukan oleh f(x) =

3x+42 x+1 , x¿ - ½, Jika f-1 invers dari f maka

f-1 (x+2 )=. . .

a. f-1 (x) =

2+ x2x−1 dimana x¿ - ½ d. f-1 (x) =

2−x2x+1 dimana x¿ - ½

b. f-1 (x) =

2 x+32x−1 dimana x ¿ ½ e. f-1 (x) =

x2 x dimana x ¿ ½

c. f-1 (x) =

x−22x+1 dimana x = 1

19. Diketahui f(x) = 3x+4. Nilai f -1 (x) dan f-1 (81) adalah .........................a. f-1 (x) = 3Log x- 4 , f-1 ( 81) =0 d. f-1 (x) = 3Log 3-x , f-1 (81) = 3b. f-1 (x) = 3Log 4-x , f-1 (81 ) =1 e. f-1 (x) = 2Log 3 –x , f-1 (81) = 2c. f-1 (x) = 4Log 3-x , f-1 (81) = 0

18


20. Diketahui fungsi f(x) =2x +1 ; g(x) = 2x-1 , mak nilai f-1 (4) ............a. f-1 (4) = 8 d. f-1 (4) = 2 ½ b. f-1(4) = 1 ½ e. f-1 (4) =2 c. f-1 (4) = 3

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !

1. Diketahui f(x) = 3x -1 dan (f o g)(x) = 8x + 10, Maka tentukan g(x) !2. Jika f(x) = x2 -5x dan g(x) = 2x -3 dan h(x) = 3 + x .Tentukan g(x) – 3 h(x) + 2 f(x) ! 3. Jika (f o g)(x) = x2 -4x +3 dan f(x) = x -1, Tentukan g(x) dan g(-3) !

4. Diketahui f(x) =

2x−1x+5 dan (f o g)(x) =

6 x−24 x+3 , Tentukan fungsi g(x) !

5. Diketahui f(x) =

4 x+1x−4 dengan x ∈R , Tentukan fungsi invers f-1(x) !

6. Diketahui f -1(x) = 2x +1 dan (f-1 o g-1)(x) =

6 x−78 x+3 , Tentukan nilai g(2) !

7. Diketahui f -1(x) =

x−15 dan g-1(x) =

3−x2 , Tentukan: (g o f)-1 dan (g o f)-1(2) !

Ooo000ooO

19


BAB III.

LIMIT FUNGSI

20

Pengertian Limit 1


Limit dalam kata sehari-hari :

21

Mind Map

Materi yang akan kalian

pelajari


Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak dapat dicapai.

Ilustrasi limit

Fungsi ini tak memiliki nilai, bila x = 1 ( mengapa ?? )Tapi jika x hanya mendekati 1 , maka f(x) mendekati nilai berapa …… ?

Perhatikan tabel berikut ini :

Tabel di atas menunjukkan :

1. Nilai f(x) untuk x mendekati 1 dari kiri (dari bilangan yang lebih kecil ) maka f(x) mendekati

3. Dapat ditulis lim

x→ 1−¿ 2 x2− x−1x−1

=3¿

¿

2. Nilai f(x) untuk x mendekati 1 dari kanan (dari bilangan yang lebih besar) maka f(x)

mendekati 3. Dapat ditulis lim

x→ 1+¿ 2 x2−x−1x−1

=3¿

¿

3. Jadi limx →1

2 x2−x−1x−1

=3

Limit fungsi berarti pendekatan nilai fungsi. Bermanfaat untuk menentukan nilai fungsi yang memiliki nilai tak tentu. Misalkan fungsi f(x) didefinisikan disekitar x = a , maka:

lim x→a f ( x )=LJika dan hanya jika :

limx→a−

f ( x )=L limx →a+

f ( x )=L

22

Menentukan Limit Fungsi2


1. Bentuk limx→a

f ( x ) dapat diselesaikan dengan :

a. Subtitusi, nilai a ke fungsi jika hasilnya ada dan tertentu (contoh

ab ,

0b )

b. Faktorisasi Jika hasil tak tentu (

00

, ∞∞ ,0∞

). Caranya :o Memfaktorkan pembilang dan penyebuto Membagi faktor yang sama o Substitusikan nilai x = a

c. Perkalian sekawan. Jika pembilang atau penyebut memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

d. Dalil L’hospital Cara cepat / khusus. Jika f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = . Caranya :o Menurunkan pembilang dan penyebut sampai dengan ada hasil, o jika belum ada turunkan lagi.

limx→a

f ( x )g ( x ) =

limx→a

f '( x )g ' ( x ) =

limx→a

f \( x \) } over {g ( x ), dst

2. Bentuk limx→∞

f ( x )

a. Limit bentuk , diselesaikan dengan cara :

o membagi pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggio Rumus Praktis :

limx→∞

axn+. ..bxm+. ..

jika n < m L = 0

n = m L = ab

n > m L = ~

23

TEOREMA LIMIT3


b. Limit bentuk ~ - ~ atau ~ + ~ , diselesaikan dengan cara :o Perkalian sekawan

o Rumus Praktis :

lim x→∞√ax+b−√ px+q=L

jika a < p L = - ~a = p L = 0

a > p L = ~

lim x→∞√ax2+bx+c−√ px2+qx+r=R

jika a < p R = - ~

a = p R = b−q

2√a

a > p L = ~

Berikut ini adalah teorema limit yang sering digunakan untuk menentukan limit fungsi:

1.lim x→c k=k

2.lim x→c ( f ( x )±g ( x )=lim f ( x )

x→c+ lim g( x )

x→ c

3.limx→ c

kf (x )=k limx→ c

f ( x )

4.limx→ c

( f ( x ) . g (x ))=limx→c

f ( x ) . limx→c

g( x ).

5.limx→ c

f ( x )g (g )

=limx→ c

f ( x )

limx→ c

g( x ) dengan g(x)≠0

6.limx→ c

( f ( x ))n=( limx→c

f (x ))n

7.limx→ c

p√ f ( x )= p√ limx→c

f (x ) dengan

limx→ c

f ( x )≥0

24

Limit Fungsi Trigonometri4


Contoh:limx→3

( x2+8 x−6 )=

limx→3

x2+ limx→3

8 x+limx→3

6

= limx→3

x2+8 limx→ 3

x+limx→3

6

= 32 + 8.3 -6 = 27

Limit fungsi trigonometri memiliki bentuk khusus. Bentuk ini dapat digunakan sebagai dasar dalam menentukan nilai limit fungsinya.

limx →0

sin xx

=1 limx →0

sin axbx

=ab

limx →0

tan xx

=1 limx →0

tan axbx

=ab

limx →0

sin xtan x

=1 limx →0

sin axtan bx

=ab

limx →0

cos x=1

Contoh:

1.lim x→0

sin2 xx

= limx→0sin 2 x

2 x×2 x

x=lim x→0

sin 2 x2 x

×2=1×2=2

2.lim x→∞ x sin

1x=lim y →∞

1y

sin y=lim y→∞sin y

y=1

25


A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat!

1.Limx→2

x2−4x3+1 sama dengan . . .

a. 0 b. 1 c. 19 d.

23 e. ∞

2. Nilai dari: Limx→4

4−x2−√x adalah . . .

a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. 6


2 x2−x−13 x2−x−2 = . . .

a.

35

b.

23

c. ½ d. 0 e. ∞

4.Limx→3

9−x2

4−√x2+7 adalah . . .

a. 8 b. 4 c.

94 d. 1 e. 0

5.Limx→3

x2−9

√ x2+16−5 adalah . . .a. 10 b. 8 c. 5 d. -3 e. -5

6. Nilai dari: Limx→a

x2−axx3−a3

adalah . . .

a. -

13

ab.

13

ac. -3a d. 3a e.

13a

7. Nilai untuk: Limx→∞

7 x2−7 x−102−x2

adalah . . .

a.

103 b. 0 c. -7 d. ∞ e. Tak tentu

26



√ x−5x−25 adalah . . .

a. 0 b.1 c. 2 d. ∞ e.

110

9.Limx→2

4−x2

3−√ x2+5 adalah . . .a. 6 b. 8 c. 9 d. 10 e. 12

10.Limx→5

x2−25

√ x2−9−4 adalah . . .

a. 0 b. 1 c. 2 d. 8 e. ∞

11.Limx→0

x−x . cos x

x2 adalah . . .

a. 0 b. 1 c. 2 d.

12 e. -

12

12. xx

xxLimx tan.2

sin. 2.2

0 adalah . . .

a. 2 b. 1 c. 2

1

d. -

12 e. -1

13.

Limx→ π

2

( π−2 x ) . tan 5 x

adalah . . .

a.

45 b.

35 c. 5

2

d. 2

1

e.

14

14.Limx→0

x . tan x

x2+x2 . cos x adalah . . .

a.-3 b. - 5

2

c.

13 d.

23 e.

12

15. Nilai dari : 1sin

sin1 2

0

x

xLimx adalah . . .

a. -2 b. -√2 c. -1 d. √2 e. 2

16. Nilai Limx→0

(sin x )(cot an . 3 x ) adalah:

a. 0 b. 1/3 c. 1 d. 3 e. ∞

27


17.Limx→0

x .√1−cos23 x3−3 cos .3 x adalah . . .

a. -

29 b. -

17 c.

19 d.

29 e. 1

18.Limx→0

sin 2 x . tan 3 x

cos x . tan2 2x adalah . . .

a. 6 b. 5 c.

72 d. 2 e. -2

19.Limx→0

x .(cos2 6 x−1)sin 3x . tan2 2 x adalah . . .

a. 3 b. 2 c. -1 d. -2 e. -3

20.Limx→0

sin 2 x−tan 2 x

x3 adalah . . .

a. 0 b. -1 c. -2 d. -3 e. -4


Tentukan nilai Limit fungsi-fungsi berikut ini:

1. Limx→1 [ 1

x−1−

2

x2−1 ] 5. Limx→∞

(√x+1−√x )

2. Limx→−2

x2−3 x+10x+2 6.

Limx→0

x

√1+x−√1−x

3.

Limx→0

1−cos3 xx .sin 2 x 7.

Limx→0

sin 2 x+sin 6 x+sin 10 x−sin 18 x3 . sin x−sin 3x

4. Limx→0

cos3 x−1x . tan 2x

28


Ooo000ooO

BAB IV.

TURUNAN FUNGSI

29


30

Pengertian Turunan1

RUMUS-RUMUS TURUNAN2


Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah :

f ′(x) disebut turunan fungsi f. Bagian kalkulus yang berhubungan dengan itu disebut kalkulus differensial.

Fungsi Aljabar

y=xn → y '=n . xn−1

y=|x| → y '= x|x|

→ tanda ±dari x

Fungsi Trigonometriy=sin x → y '=cos x

y=cos x → y '=−sin x

y=tan x → y '=sec2 x

y=sec x → y '=tan x . sec x

y=cosec x → y '=−cot x . cosec x

y=cot x → y '=−cosec2 x

Fungsi Invers Trigonometri

y=sin−1 x → y '= 1

√1−x2

y=cos−1 x → y '= −1

√1−x2

y=tan−1 x → y '= 1

1+x2

y=sec−1 x → y '= 1

|x|√1−x2

y=cosec−1 x → y '= −1

|x|√1−x2

31

PENGGUNAAN KONSEP DAN ATURAN A


y=cot−1 x → y '= 1

1+x2

Fungsi Hiperbolik

y=sinh x → y '=cosh x= ex+e−x

2

y=cosh x → y '=sinh x= ex+e− x

2

y=tanh x → y '=sech2 x

y=sech x → y '=tanh x . sech x

y=cosech x → y '=−coth x . cosech x

y=coth x → y '=−cosech2 x

Fungsi Logaritma

y= log x❑a → y '= 1

x . ln a

y= log f (x )❑a → y '=

f '(x )f ( x) . ln a

y=ln x → y '=1x

y=ln f (x ) → y '=f ' (x )f (x)

Fungsi Eksponen

y=ex → y=ex

y=ax → y=ax . ln a

y=x x → y=x x¿

32

Sifat-Sifat Turunan3

Persamaan Garis Singgung pada Kurva

1


Contoh:1. Carilah f (x) jika: f(x) = 3x2 + 7x

u = 3x2 →u' = 3 × 2 × x2–1 = 6x1 = 6xv = 7x →v' = 7 × 1 × x1 – 1 = 7x0 = 7 × 1 = 7Jadi jika f(x) = u + v, maka f ‘(x) = u' + v' = 6x + 7

2. Carilah

dydx jika y = (2x + 1)(x – 5)

Suatu titik (x,y) : x adalah absis dan y adalah ordinat Persamaan garis lurus jika diketahui melalui dua titik, yaitu (x1,y1) dan (x2,y2) adalah

y− y 1y2− y1 =

x−x1x2−x 1

Persamaan garis lurus jika diketahui gradiennya (m) dan melalui (x1,y1) adalah : y – y1 = m ( x-x1)

Diketahui persamaan garis k ; y = m1x + p dan persamaan garis l : y = m2x+p

33

PENGGUNAAN TURUNAN UNTUK

MENENTUKAN KARAKTERISTIK SUATU

FUNGSI

B

Fungsi Naik dan Turun2


a. Jika garis k // l ( saling sejajar ) maka m1 = m2

b. Jika garis k l ( saling tegak lurus ) maka m1.m2 = -1Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (x1,y1) adalah m = f ’(x).

Persamaan garis singgung pada kurva di titik (x1, y1) dengan gradien m di mana m = f ‘(x) adalah:

Contoh:Jika diketahui f(x) = 5 – x , tentukan gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang ordinatnya 3.

Jawab :

A. Pengertian Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi Naik :Suatu fungsi f disebut naik dalam suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2 pada interval itu, berlaku :jika x1 < x2 maka f(x1) < f(x2)

Fungsi Turun : Suatu fungsi f disebut turun dalam suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2 pada interval itu, berlaku :jika x1 < x2 maka f(x1) > f(x2)

34


Fungsi Naik, Fungsi Turun & Turunan Pertama

Dari gambar terlihat :Jika fungsi naik, gradien garis singgung positif turunan pertama positifJika fungsi turun, gradien garis singgung negatif turunan pertama negatif

Jadi turunan pertama dapat dipakai untuk melihat apakah sebuah fungsi (sedang) naik atau turun.

Catatan :Jika f ’ (x) > 0 disemua interval : fungsi monoton naik ( selalu naik )

f ’ (x) < 0 disemua interval : fungsi monoton turun ( selalu turun )f ’ (x) ≥ 0 disemua interval : fungsi tidak pernah turunf ’ (x) ≤ 0 disemua interval : fungsi tidak pernah naikf ’ (x) = 0 : fungsi tidak naik dan tidak turun ( fungsi stasioner )

Contoh:Tentukan interval-interval dari fungsi f(x) = x2 – 4x agar fungsi:

a. naik,

35


b. turun.f(x) = x2 – 4x → f ‘(x) = 2x – 4a. Syarat supaya fungsi naik adalah:

f ‘(x) > 02x – 4 > 02x > 4

b. Syarat supaya fungsi turun adalah: f ‘(x) < 02x – 4 < 02x < 4x < 2

Kecekungan Kurva dan Turunan Kedua

Hubungan Kecekungan Kurva dan Turunan Kedua

Kurva Cekung ke Atas jika x < a ; f ’ (x) < 0 x = a ; f ’ (x) = 0 f ’ (x) naik f ” (x) > 0 x > a ; f ’ (x) > 0

36


Kurva Cekung ke Bawah jika x < a ; f ’ (x) > 0 x = a ; f ’ (x) = 0 f ’ (x) turun f ” (x) < 0

x > a ; f ’ (x) < 0

Kesimpulan : Jika kurva cekung ke atas, maka f ”(x) > 0 Jika kurva cekung ke bawah, maka f ”(x) < 0

B. Nilai Stasioner dan JenisnyaPerhatikan grafik y = f (x) berikut :

di x = a, grafik tidak sedang naik dan tidak sedang turun, fungsi mencapai keadaan kritis,nilai fungsi di x = a disebut nilai stasioner (critical value/ stasionery value)di x= b dan di x=c terjadi hal yang sama

Jenis Nilai Stasioner Jadi jika f ‘(x) = 0 terdapat nilai stasioner, nilai stasioner tersebut ada 4 jenis :

1. Nilai ( Balik ) Maksimum Pada x < a ; f ‘ (x) > 0

x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘ (x) < 0

37


di x = a mengalami perubahan dari naik menjadi turunf (a) : nilai ( balik ) maksimum( a, f(a) ) : titik balik maksimum

2. Nilai ( Balik ) MinimumPada x < a ; f ‘ (x) < 0 x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘ (x) > 0di x = a mengalami perubahan dari turun menjadi naikf (a) : nilai ( balik ) minimum( a, f(a) ) : titik balik minimum

3. Ordinat titik belok horizontal ( nilai belok positif ) Titik belok adalah titik dimana terjadi perubahan dari

konkaf/cekung ke bawah jadi ke atas atau sebaliknyaPada x < a ; f ‘ (x) > 0 x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘ (x) > 0f (a) : ordinat titik belok horisontal( a, f(a) ) : titik belok horizontal

4. Ordinat titik belok horizontal ( nilai belok negatif ) Pada x < a ; f ‘ (x) < 0

x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘ (x) < 0f (a) : ordinat titik belok horisontal( a, f(a) ) : titik belok horizontal

Menentukan Jenis Nilai Stasioner dengan “Uji Turunan Kedua”

Jika f ‘ (a) : 0 f “(a) > 0 f (a) : nilai balik minimum

38

Menggambar Grafik Fungsi Aljabar3


Jika f ‘ (a) = 0f ”(a) < 0 f (a) : nilai baik maksimum

Jika f “(a) = 0 mungkin ( a,f(a) ); berupa titik belok horizontal ( apabila tanda f “(x) di kiri dan kanan-nya berbeda tanda )

Contoh:Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 24x + 8!

Langkah-langkah dalam menggambar grafik suatu fungsi aljabar/suatu kurva : 1. Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu x dan y)

a. Titik potong dengan sumbu x, yaitu saat y = 0b. Titik potong dengan sumbu y, yaitu saat x = 0

2. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok)

3. Menentukan beberapa titik bantu ( jika diperlukan ) Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f(x)

39


4. Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat5. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus

Contoh:Gambarlah grafik kurva y = 3x2 – x3.a. Titik potong kurva dengan sumbu X, dipenuhi bila y = 0, maka diperoleh:

3x2 – x3 = 0x2 (3 – x) = 0x1 = x2 = 0 atau 3 – x = 0x3 = 3Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (0, 0) dan (3, 0).Titik potong kurva dengan sumbu Y, dipenuhi bila x = 0, maka diperoleh:y = 3x2 – x2

= 3 × 0 – 0= 0Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 0).

b. Mencari titik-titik stasioner, syarat f (′ x) = 0y = 3x2 – x3

y' = 06x – 3x2 = 03x (2 – x) = 0x = 0 atau x = 2Untuk x = 0→y = 0 dan untuk x = 2→y = 4.

Jadi, titik (0, 0) merupakan titik balik minimum dan (2, 4) merupakan titik balik maksimum.c. Untuk x besar positif, maka y = besar negatif. Untuk x besar negatif, maka y = besar positif.

40

Nilai Maksimum & Minimum di Interval Tertutup1

Penggunaan Nilai Maksimum dan Minimum2


Langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan minimum di interval tertutup sebagai berikut :

a. Menentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval yang diberikanb. Menentukan nilai stasioner fungsi tersebutc. Menentukan nilai minimum dan maksimum dari hasil (a) dan (b) yang masuk dalam

interval

Contoh:Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f(x) = 6x2 – x3 pada interval –1 < x < 3.Fungsi f(x) = 6x2 – x3 pada interval –1 < x < 3.Nilai fungsi pada batas interval:f(–1) = 6 (–1)2 – (–1)3 = 6 + 1 = 7f(3) = 6 (3)2 – (3)3 = 54 – 27 = 27Nilai stasioner fungsi:f ‘(x) = 12x – 3x2→12x – 3x2= 03x (4 – x) = 0x = 0 atau x = 4x = 0 di dalam interval (dicari nilai fungsinya)x = 4 di luar interval (tidak dicari nilai fungsinya)f(0) = 6 (0)2 – (0)3 = 0Diperoleh f(–1) = 7, f(2) = 16, f(3) = 27.

Jadi, nilai maksimum adalah 27 dan nilai minimum adalah 0.

Soal cerita atau persoalan yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan menggunakan stasioner yaitu nilai maksimum dan minimum.

Contoh:Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Dalam waktu t detik ketinggian yang dicapaioleh bola dengan persamaan h(t) = 36t – 9t2.a. Tentukan waktu (t) yang diperlukan sehingga tinggi bola maksimum.b. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai bola itu.

41

MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN

EKSTRIM FUNGSIC

Turunan Kedua Suatu Fungsi1


Jawab:a. h(t) = 72t – 9t2

h'(t) = 72 – 18tAgar mencapai maksimum maka h'(t) = 0h'(t) = 72 – 18t0 = 72 – 18t18t = 72

t =

1872 = 4 detik

b. Tinggi maksimum yang dicapai bola itu adalah:h(t) = 72t – 9t2

= (72 × 4) – (9 × 42)= (72 × 4) – (9 × 16)= 288 – 144 = 144 meter

Fungsi y=f (x )

Turunan Pertama y '=f ' (x)=dydx

Turunan Kedua y ' '=f ' ' (x)=d2 yd x2

Turunan Ketiga y ' ' '= f ' ' ' (x )=d3 yd x3

Contoh:

Tentukan d2 yd x2 dari fungsi f(x) = x3 – 5x2 + 7.

Jawab :

42

PENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN

EKSTRIM FUNGSI DAN PENAFSIRANNYA

D

Menentukan Nilai Kecepatan dan Percepatan2


Apabila S = f(t) adalah perubahan jarak dalam fungsi waktu t, maka

v =

dsdt

a =

dvdt =

d2 sdt2

s = jarak / perpindahanv = kecepatana = percepatant = waktu

Contoh:Jika suatu benda yang bergerak ditunjukkan oleh rumus s = 10t + 5t2, dengan menggunakan

limh→0

f ( t +h )−f ( t )h , tentukan:

a. kecepatan pada setiap saat,b. percepatan pada setiap saat.

Jawab:

43

Teorema L’Hospital3


Contoh:

Hitunglah limx→0

sin 5 xx menggunakan teorema L'Hopital!

Jawab :

A. Pilih salah satu alternatif jawaban yang tepat !

1. Diketahui g(x) =

2 x+1x , maka

Limh→0

f (3+h )−g(3 )h

=.. . .. .. .. .

a. -

13 b. -

19 c.

19 d.

13 e.

112

44


2. Jika f(x) =

23

x6

maka Nilai dari: f’(1) = adalah . . ..a. 4 b. 6 c. 8 d. 12 e. 16

3. Jika y = 2x2 + √ x maka y ’ = . . .

a. 2x + √ x c. 4x -√ x e. 2x -

1

√x

b. 4x +

12√x d. x +

1

√x

4. Jika f(x) = 3x2 -4x + 5 dan f ’(a) = 5, maka nilai a adalah . . .

a.

13 b.

12 c. 1 d.

32 e. 2

5. Jika f(x) = x3 -2x2 dan g(x) = 2x2 + 4x serta h(x) = f(x) – g(x) , maka h’(x) = . . . a. 3x2 +8x -4 c. 3x2 -8x -4 e. 3x2 -8x +4b. 3x2 -4 d. 3x2 + 4

6. Jika y = x2 [ x+ 1

√ x ] , maka

dydx adalah . . .

a. x3 + x√ x c. 3x2 +√ x e. 3x2 +

1

√2

b. 3x2 +

32 √ x d. 3x2 +

12 √ x

7. Jika f(x) =

3 x−2

x2+2 maka Nilai dari f ’(0) adalah . . ..

a.

32 b. 1 c. ½ d. ¼ e. 0

8. Jika f(x) =

sin x+cos xsin x maka nilai dari f ’ [

π2 ] adalah . . . .

a. 1 b. ½ c. 0 d. -½ e. -19. Jika f(x) = 2x . tan x , maka f ’(x) = . . .

a. 2 sin2x c. 2 tan x + sec2x e.tan x + 2x sec2xb. 2x sec2x d. 2(tanx +x sec2x)

10. Jika f(x) = cos5 (4x -2) maka f ’ (x) adalah . . . . a. -5 cos4(4x -2) . sin (4x -2) d. 10 cos3(4x -2).sin (8x -4)b. 5 cos4(4x -2). sin (4x-2) e. - 10 cos3(4x -2).sin (8x -4)c. 20 cos4(4x -2) . sin (2x -1)

11. Persamaan garis singgung kurva y = 2x3+ 1 di titik (1,3) adalah.............a. y = 6x – 9 c. y = 6x – 6 e. y = 6x – 3 b. y = 3x + 3 d. y = 3x+ 6

45


12. Persamaan garis singgung kurva y = x2 + 2 yang tegak lurus garis 2y +x = 0 adalah......... a. y – 2x + 5 c. y = -2x – 5 e. y = 2x +5 b. y = 2x – 5 d. y = 2x + 1

13. Nilai stasioner dari f(x) x2 – 10 x dicapai untuk . . . a. a. x = 6 b. x = 5 c. x = 4 d. x = -2 e. x = -4

14. Nilai stasioner dari f(x) = x3 – 3x2 - 45x +2 dicapai untuk . . . .a. x = -3 atau x = - 6 c. x = -5 atau x = 3 e. x=-3 ataux=5b. x = -6 atau x = 5 d. x = -6 atau x = -5

15. Nilai balik minimum dari fungsi f(x) =4x3 – 21x2 - 24x +96 adalah . . . .a. 256 b. 32 c. – 16 d. -80 e. -196

16. Nilai maksimum dari f(x) = -2x2 +4x – 5 pada interval 2¿ x≤6 adalah ........a.-3 b. -5 c. -11 d.-24 e. -53

17. Grafik fungsi y = x3 – 9x2 +15x +2 turun pada interval . . . . .a. 2 < x < 3 c. 1 < x < 5 e. -1 < x < 6 b. x < 2 ataux>3 d. x<1 atau x>5

18. Fungsi f(x) = x3 – 6x2 +9x +2 turun pada interval . . . .a. x <1atau x > 3 c. x < -3 atau x > -1 e. -1<x<3b. -3 < x < -1 d. 1<x<3

19. Untuk 0 < x < 2, maka grafik fungsi f(x) = x3 - 2x2 + 1 adalah . . . .a. selalu naik c. Selalu turun e.naik kemudian turun b. Turun kemudian naik d. Berulang kali naik turun

20. Fungsi y = x3 -6x2 +9x – 2 naik pada interval . . . .

a. x¿1 ataux≥3 c.x <-3 atau x>1 e. x <1 atau x>3

b. b. 0 <x<3 d. 1≤x≤4


1. Tentukan turunan pertama dari : y = [2x √x−

1

√ x ]2

!

2. Jika f(x) =

x2−12 x−2 maka tentukan nilai dari f’(2) = !

3. Tentukan turunan pertama dari : f(x) = sin 3x tan x + 2x !

4. Diketahui f(x) = a + b sin x dan f [π6 ] = 4 serta f ’ [

π3 ] = 1. Tentukan nilai dari a2 + b!

5. Tentukan Turunan pertama dari : y = (2x -1)2 sin (2x -1)!6. Diketahui kurva y = x3 +2ax2 +6. Jika garis singgung kurva tersebut di x= -1 adalah y = -5x -1,

maka tentukan nilai a!7. Tentukan interval agar fungsi berikut naik !

a. f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 +5

46


b. f(x) =

13

x3+x2−24 x+2

8. Tentukan batas – batas nilai a agar fungsi f(x) =

13

x3+ 13

ax2+ax+3 selalu naik untuk

semua x bilangan real !9. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi – fungsi berikut !

a. f(x) = 2x2 – 16x +14, 0≤x≤6

b. f(x) = x3 – 9x2 +15x, 2≤x≤6

10. Panjang sebuah balok adalah dua kali lebarnya dengan luas permukaan 300cm2. Jika lebar balok x, maka :a. Nyatakan fungsi Volume dalam x.b. Tentukan Volume maksimum.

Ooo000ooO

47

modul matematika kelas xi ipa semester ii edit anin.docx

Documents