MODUL

KALKULUS

Disusun

Dairoh, M.Sc

Danar Ardian Pramana, M.Sc

D-IV TEKNIK INFORMATIKA

POLITEKNIK HARAPAN BERSAMA

TEGAL

2014

BAB I

PERTIDAKSAMAAN

1. Definisi Pertidaksamaan

Sebuah Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa dua kuantitas tidak setara

nilainya. Salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau

lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤, atau ≥.

2. Sifat-sifat pertidaksamaan antara lain:

(i) Jika a > b dan b > c, maka a > c

(ii) (ii) Jika a > b, maka a + c > b + c

(iii) (iii) Jika a > b, maka a - c > b – c

(iv) (iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc

(v) (v) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc

Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan

didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :

(vi) Jika a < b dan b < c, maka a < c

(vii) Jika a < b, maka a + c < b + c

(viii) Jika a < b, maka a - c < b – c

(ix) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc

(x) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc

(xi) xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0

(xii) (xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0

(xiii) (xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0

(xiv) (xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0

(xv) (xv) Jika a > b, maka –a < -b

(xvi) (xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b

(xvii) (xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)

(xviii) (xviii) Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit)

3. Jenis pertidaksamaan

Jenis pertidaksamaan anatara laian :

a. Peridaksamaan linear (PANGKAT SATU)

b. Pertidaksamaan kuadrat

c. Pertidaksamaan bentuk pecahan

d. Pertidaksamaan bentuk nilai mutlak ( modus)

a. Peridaksamaan linear (PANGKAT SATU)

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua

ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.yang vareabelnya berderajat

satu dengan menggunakan tanda hubung “lebih besar dari” atau “kurang

dari”

Sifat-sifatnya :

Kedua ruas dapat di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama.

Kedua ruas dapat dapat dikali atau di bagi dengan bilangan positip yang

sama.

Kedua ruas dapat di bagi atau di kali dengan bilangan negatip yang sama

maka penyelesaiannya tidak berubah asal saja arah dari tanda

pertidaksamaan di balik

Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan linier :

1. Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri, sedangkan yang

tidak mengandung variabel ke ruas kanan.

2. Kemudian sederhanakan

Perhatikan contoh soal berikut:

1. Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x – 5 <

7x + 3 !

Jawab

5x – 5 < 7x + 3

5x – 7x < 3 + 5

- 2x < 8

x > - 4

2. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2(x-3) < 4x+8 ?

Jawab

Penyelesaian

2(x-3) < 4x+8

2x - 6 < 4x+8

2x – 4x< 6+8

-2x < 14

- + +

5 2

X > -7

b. Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi

dari variabelnya adalah 2.Bentuk umum peridaksamaan kuadrat adalah ax² + bx + c

> 0 dengan a, b, c konstanta; a 0.

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat anatara lain:

• Jadikan ruas kanan = 0

• Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)

• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.

• Tetapkan nilai-nilai nolnya

• Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan

• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis

bilangan

(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,

bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).

Langkah-langkah:

Tentukan batas-batasnya dengan mengubah ke dalam persamaan

kuadrat

Buatlah garis bilangan dan masukkan batas yang diperoleh (jika ada)

dengan batas yang kecil di sebelah kiri

Uji titik pada masing-masing daerah

Tentukan HP nya

Contoh soal

1. Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1072 xx !

Jawab

1072 xx

01072 xx

( x – 2 ) ( x – 5 ) < 0

x = 2 atau x = 5 ( pembuat nol )

jadi Hp = 5 x 2 x

c. Pertidaksamaan bentuk pecahan

pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.

Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :

Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0

(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda

pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)

Sederhanakan ruas kiri.

Ubah bentuk b

a menjadi a.b

Tentukan pembuat nol ruas kiri.

Tuliskan nilai – nilai tersebut pada garis bilangan.

Berikan tanda pada setiap interval.

Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.

Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

Syarat: penyebut pecahan 0

Perhatikan Contoh soal :

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 11

72

x

x !

Jawab

11

72

x

x

011

72

x

x

-8 1

+ + -

I syarat :

X – 1 0

X 1

II.

018

1 011

8

01

8

01

172

01

1

1

72

22

xx

xxx

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

X = -8 atau x = 1 ( pembuat nol

)

Jadi Hp = 18 xx

d. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Merupakan pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda

mutlak. Indikator : Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear yang

memuat nilai mutlak

0 x jika x,-

0 xjika ,

xx

Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah dengan

menggunakan sifat berikut ini :

a x a- ax

a atau x a- x ax

22 y x yx

Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 523 x !

Jawab

523 x

3x + 2 < - 5 atau 3x + 2 > 5

3x < - 7 3x > 3

x < -7/3 x > 1

Latihan Soal.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 + 6x > 3x – 9?

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3(2 - 3x) > -5x +

8 !

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 032 2 xx !

4. himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ( x + 5 ) x 2 ( x2 +2 ) !

5. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 078

32

xx

x !

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 212 xx !

BAB II

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

1. Konsep fungsi

Fungsi atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke

himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur

dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam

himpunan B.f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka

fungsi f dilambangkan dengan f : A B

Operasi dalam Fungsi :

Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)

Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)

Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)

Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)

jika x A dan y B, sehingga (x,y) f, maka

y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi

f dinyatakan dengan lambang y : f (x)

(ditunjukkan dalam gambar disamping)

A B

y = f (x) : rumus untuk fungsi f

x disebut variabel bebas

y disebut variabel tak bebas

Contoh :

Diketahi f : A B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.

Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 x 4. x R}

Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 x 4. x R}

a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).

b. Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.

c. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.

Jawab :

a. f (x) = 2x – 1, maka :

f (0) = -1

f (1) = 1

f (2) = 3

f (3) = 5

f (4) = 7

f : x y = f (x)

y = f(x)

b. Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1

8 y = f (x) = 2x – 1

7

5

3

1

1 2 3 4 5

-1 Daerah

asal

c. Daerah hasil fungsi f Rf = {y | -1 y 7, y R}

Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat

diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin,

sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang

ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural

domain).

Contoh :

Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :

1. f (x) = 1x

4

Jawab :

f (x) = 1x

4

, supaya f (x) bernilai real maka x + 1 0 atau x -1

Jadi Df : {x | x R, dan x -1}

2. Pengertian fungsi komposisi

Merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga

menghasilkan sebuah fungsi baru.Penggabungan tersebut disebut komposisi

fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi Operasi komposisi

dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau bundaran).

Misalkan: f : A B dan g : B C

Notasi : (f o g)(a) = f(g(a)) fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f

Contoh

1. Diketahui

f : R R ; f(x) = 2x² +1, g : R R ; g(x) = x + 3

(f o g)(x) = f(g(x)) =f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19

Jawab:

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4

(f o g)(1) = f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33

(g o f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6

3. Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Jika f : A B ; g : B C ; h : C D, maka berlaku:

i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif)

ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)

iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)

perhatikan contoh soal :

1. Diketahui sebuah f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x

Maka nilai

x g(x)

f(g(x)

)

A B C

g(x f(g(x)

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x

(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 - x2

Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)

Kemudian nilai

((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2

(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2

Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)

Begitu juga

(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1

(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1

Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)

4. Konsep Fungsi Invers

Definisi

Jika fungsi f : A B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laAdan

bB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B A ditentukan oleh: f -1:{(b,a)lbB

dan aA}.

Jika f : A B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 :B A jika dan hanya jika

f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x) f -1 : x = f(y)

Maka (f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)

Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers

i. f(x) = ax + b; a ≠ 0 f -1(x) =a

bx ; a ≠ 0

ii. f(x) = dcx

bax

; x ≠ -

c

d f -1(x) =

acx

bdx

; x ≠

c

a

iii. f(x) = acx ; a > 0 f -1(x) = alog x1/c = c

1 alog x ; c ≠ 0

iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0 f -1(x) = c

a x

; c ≠ 0

v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 f -1(x)=2a

x)4a(cbb 2

ingat :

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai

invers jika domainnya dibatasi.

Contoh

1. Diketahui f: R R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)!

Cara 1:

y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))

2x = y + 5

x =2

y 5

f -1(x) = 2

x 5

Cara 2:

f(x) = ax + b f -1(x) =a

bx

f(x) = 2x – 5 f -1(x) = 2

x 5

Contoh

2. Diketahui Tentukan )x(f 1 !

Cara 1:

y(x - 4) = 2x + 1

yx – 4y = 2x + 1

yx – 2x = 4y + 1

x(y – 2) = 4y + 1

x = 2-y

14y

f-1(x) =

4x,Rx,4x

1x2xf

4x

1x2y

2-x

14x

Cara 2:

f(x) = dcx

bax

f -1(x) =

acx

bdx

4x

1x2xf

f -1(x) =

2-x

14x

5. Aplikasi fungsi komposisi

Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain

Diketahui

Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi

f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi

komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui,

maka kita bisa menentukan fungsi f(x).

Contoh :

1. Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi

f(x)!

Cara 1:

(g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12

g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12

3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12

-2f(x) = 2x2 + 2x – 15

f(x) = -x2 – x + 7,5

Cara 2:

g(x) = 3 – 2x g -1(x) = 2

3 x

f(x) = [g -1 o (g o f)](x)

f(x) = 5,72

1522

2

)1222(3 222

xxxxxx

Latihan Soal:

1. Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = 4,4

1

x

x

x, maka (fg)(x)?

2. Diketahui fungsi-fungsi f : R R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R R

didefinisikan dengan g(x) = 2,2

1

x

x

x . Hasil dari fungsi (fg)(x)?

3. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5

dan g(x) = 1,1

2

x

x

x. Rumus (gf)(x)?

4. Diketahuif : R R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R R didefinisikan

dengan 2,2

1)(

x

x

xxg . Hasil dari fungsi (gof)(x)?

5. Jika f(x) = 1x dan (fg)(x) = 2 1x , maka fungsi g adalah g(x)?

6. Diketahui fungsi f(x) = 3,3

1

x

x

x , dan g(x) = x2 + x + 1. Nilai komposisi fungsi (g

f)(2) adalah

7. Suatu pemetaan f : R R, g : R R dengan (q f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) =

2x + 3, maka f(x)?

8. Fungsi f : R R didefinisikan dengan f(x) = 2

1,

12

23

x

x

x . Invers dari f(x) adalah f

– 1 (x)

BAB III

FUNGSI LIMIT

1. Pengertian limit

Istilah limit dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati.

Akibatnya, nilai limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan. Sehingga Limit

fungsi f (x) adalah suatu nilai fungsi yang diperoleh melalui proses

pendekatan atau dengan variabel x, baik dari arah x yang lebih kecil,

maupun dari arah x yang lebih besar.

Secara umum : bila limit f (x) adalah L, untuk x mendekati a , maka limit f (x)

ditulis

Lxfax

)(lim dengan x a dibaca x mendekati a

Pengertian limit secara intuitif

Untuk memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikan contoh berikut:

- Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x bilangan real. Berapakah nilai f(x) jika x

mendekati 2?

Penyelesaian

Untuk menentukan nilai f(x) jika x mendekati 2, kita pilih nilai-nilai x

disekitar 2 (baik dari kiri maupn dari kanan). Kemudian, kita tentukan nilai f(x)

seperti terlihat pada tabel berikut:

X 1.

8

1.9 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2 2.01 2.02 2.03

f(x) 4.

6

4.8 4.9 4.92 4.94 4.96 4.98 5 5.02 5.4 5.06

Dari tabel di atas, tampak bahwa jika x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 5

dari kiri, sedangkan jika x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati 5 dari kanan.

Teorema Limit

Misal n bilangan bulat positip, k bilangan real, )(xf dan )(xg adalah fungsi-

fungsi yang memiliki limit di titik cx , maka:

1. kkcx

lim

2. cxcx

lim

3. )(lim)(lim xfkxfkcxcx

4. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfcxcxcx

5. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfcxcxcx

6. )(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxcxcx

7. 0)(lim,)(lim

)(lim

)(

)(lim

xgasalkan

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

cx

8. ncx

n

cxxfxf )(lim))((lim

9. ncx

n

cxxfxf )(lim)(lim

Teorema di atas, dapat diaplikasikan dalam banyak hal pada penyelesaian soal-soal

tentang limit.

Contoh:

1. 2

2

2

2lim33lim xxxx

22

lim3 xx

= 3(2) 2

= 12

2.

2

2

2 lim

)3(lim3lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

2

22

lim

3limlim

2

32

2

1

2. Limit fungsi Aljabar

Suatu fungsi f(x) didefinisikan untuk x mendekati a, maka :

LxfLim

Jika x a maka

Menentukan limit fungsi

1. Metode Substitusi Langsung

Contoh :

2. Memfaktorkan

Contoh :

1)

2)

3. Mengalikan dengan Sekawan

Contoh :

1)

Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka lim ( ) ( )x a

f x f a

xfLimxfLimaxax

11101

xLimx

1

1

1

1

1

1 0020

xLim

xx

xLim

xx

xLim

xxx

1

1092

1

x

xxLimx

1110110 1

101

00

xLim

x

xxLim

xx

47

9

2

2

3

x

xLimx

47

47

47

9

2

2

2

2

3

x

x

x

xLimx

167

4792

22

3

x

xxLimx

479

479 2

32

22

3

xLim

x

xxLim

xx

844479

Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x

x x

3

2 22 3 2 3 9 6 15

2. 07)0(5

00

75lim

22

0

x

xx

x

Berikut ini akan dibahas limit limit fungsi Aljabar bentuk tak tentu yaitu :

1,,,

0

0.

Limit Bentuk

0

0

Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya,

kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

)(

)(

)(

)(lim

)()(

)()(lim

)(

)(lim

aQ

aP

xQ

xP

xQax

xPax

xg

xf

axaxax

Catatan :

1. Karena ax , maka 0)( ax sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi

dengan )( ax

2. Nilai limitnya ada jika dan hanya jika : 0)( aQ

3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan

dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

Contoh :

1. 6

1

33

23

3

2lim

)3)(3(

)2)(3(lim

9

65lim

332

2

3

x

x

xx

xx

x

xx

xxx

2. 2

5

2)0(40

500

24

5lim

)24(

)5(lim

24

5lim

2

2

2

2

02

2

023

23

0

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

Limit Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan

variabel berpangkat tertinggi, selanjutnya menggunakan 0lim x

a

x.

Contoh :

2. 0202

000

412

376

lim42

376

lim42

376lim

2

32

4

2

4

3

4

4

44

2

4

3

234

23

xx

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxx

xxx

Kesimpulan:

Jika f x a x a x an n

n( ) .....

0 1

1

dan g x b x b x bm m

m( ) .....

0 1

1

maka:

1. mnuntukb

a

xg

xf

x

,

)(

)(lim

0

0

2. mnuntukxg

xf

x

,0

)(

)(lim

3. mnuntukatauxg

xf

x

,

)(

)(lim

Limit Bentuk

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

)()(lim xgxfx

Cara Penyelesaian :

1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

)()(

)()(lim

)()(

)()()()(lim

xgxf

xgxf

xgxf

xgxfxgxf

xx

2. Bentuknya berubah menjadi

3. Selesaikan seperti pada limit sebelumnya.

Contoh:

1. 1426lim 22

xxxxx

1426

14261426lim

22

2222

xxxx

xxxxxxxx

x

1426

1426lim

22

22

xxxx

xxxx

x

52

10

11

10

1426

110lim

22

xxxx

x

x

Sehingga

51426lim 22

xxxxx

xxxx

xxxxxxxx

xxxx

x

x

32

3232lim

32lim.2

22

2222

22

xxxx

xxxx

x 32

32lim

22

22

xxxx

xx

x 32

4lim

22

2

xx

xx

xx

x 31

12

4lim

Secara umum:

rqxpxcbxaxx

22lim

1) pajikaa

qb

,

2

2) pajika ,

3) pajika ,

Sebagai latihan bagi pembaca, buktikan soal-soal berikut:

1) 2

1

4

2

42

)5(3254134lim 22

xxxx

x

2)

83174lim 22 xxxxx

3)

745324lim 22 xxxxx

3. Limit fungsi Trigonometri

a. Fungsi Trigonometri

Gambar 3.1 segitiga siku-siku

x

ry

C

B A

y

Pada gambar 3.1 di atas, ABC adalah segitiga yang salah satu sudutnya

dan siku-siku pada CBA. Misal AB = x, BC = y dan AC = r , berdasarkan segitiga

ABC yaitu:BC

AC

AB

AC

BC

AB

AB

BC

AC

AB

AC

BC,,,,

Karena A = maka perbandingan tersebut dinyatakan dengan:

1. sinr

y

AC

BC

2. cosr

x

AC

AB

3.

tan

cos

sin

/

/

ACAB

ACBC

x

y

AB

BC

4. cotsin

cos

/

/

x

x

ACBC

ACAB

y

x

BC

AB

5.

seccos

1

/

1

/

1

rxACABAB

AC

6.

cscsin

1

/

1

/

1

y

r

ryACBCBC

AC

Karena ABC salah satu sudutnya siku-siku, sehingga menurut teorema Pythagoras

berlaku:

222 ACBCAB

222 ryx

Selanjutnya secara berurutan persamaan 222 ryx dibagi 222 ,, ryx diperoleh

persamaan baru

1. 2

2

2

2

2

2

r

r

r

y

r

x

)1(1sincos

1sincos

1

22

22

22

r

y

r

x

2. 2

2

2

2

2

2

x

r

x

y

x

x

)2(sectan1

)(sectan1

1

22

22

22

x

r

x

y

3. 2

2

2

2

2

2

y

r

y

y

y

x

)3(csc1cot

)(csc1cot

1

22

22

2

2

2

y

r

y

x

Persamaan (1), (2), dan (3) dinamakan rumus-rumus identitas.

Beberapa rumus fungsi trigonometri yang lain adalah:

1. sin)sin(

2. cos)cos(

3. tan)tan(

4.

2cos

2sin2sinsin

5.

2cos

2cos2coscos

6. cossin22sin

7. 2222 sin211cos2sincos2cos

8. )cos(cos(2

1sinsin

9. )cos()cos(2

1coscos

10. )sin()sin(2

1cossin

11. 2

cos1

2sin

xx

Limit fungsi Trigonometri

Dengan menggunakan teorema prinsip apit dan rumus geometri kita

dapatkan teorema dasar dari limit fungsi trigonometri sebagai berikut.

Teorema 1

1sin

lim0

x

x

x

Dalam membuktikan teorema di atas kita dapatkan suatu akibat yaitu

1coslim0

xx

Dengan menggunakan teorema dasar limit fungsi trigonometri dapat dibuktikan

teorema-teorema berikut:

Teorema 2

1) 1sin

lim0

x

x

x

2) 1tan

lim0

x

x

x

3) 1tan

lim0

x

x

x

4) 1sin

lim0

x

xarc

x

5) 1sin

lim0

xarc

x

x

6) 1tan

lim0

x

xarc

x

7) 1tan

lim0

xarc

x

x

Bentuk-bentuk di atas dinamakan dengan limit fungsi trigonometri. Dengan

berpandu pada teorema limit dan bentuk tak tentu. Maka persoalan tentang limit

fungsi trigonometri dapat diselesaikan

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

b

a

bx

ax

bx

ax

xx

sinlim

sinlim

00

b

a

bx

ax

bx

ax

xx

tanlim

tanlim

00

b

a

bx

ax

bx

ax

xx

sin

tanlim

tan

sinlim

00

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika

f(a) terdefinisi, maka: lim ( ) ( )x a

f x f a

Contoh :

1. 1100cos0sincos2sinlim0

xxx

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu :

1,,,

0

0

Limit Bentuk

0

0

1. 3

2sinlim

3

2

sin3

sinsin2lim

sin3

sin2lim

sin3

)sin21(1lim

sin3

2cos1lim

0

2

0

2

00

x

x

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

x

oxxxxx

Soal-soal Latihan

1. 14194

6116lim

23

23

1

xxx

xxx

x

2. 235

345

826

72lim

xxx

xxx

x

3. 2512

7810

12

32lim

xxx

xxx

x

4. 346

47

72

263lim

xxx

xx

x

5. 1

2lim

2

2

1

x

xx

x

BAB IV

TURUNAN DAN APLIKASINYA

1. Konsep turunan

Laju Perubahan Nilai Fungsi axpadaxf )(y

f(a+h) Q

f(a+h)-f(a)

f(a) P

a a+h

h

Perhatikan grafik fungsi y=f(x) pada interval haya dan nilai fungsi berubah

dari

)()( hafyaf . Koordinat ))(,( afaP dan ))(,( hafhaQ dapat disimpulkan

bahwa:

Perubahan rata-rata nilai fungsi f terhadap x dalam interval haxa dapat

diperoleh dari:h

afhaf

aha

afhaf )()()()(

Nama h

afhaf

h

)()(lim

0

disebut laju perubahan nilai fungsi f(x) pada ax . Nilai

limit tersebut dilambangkan )(1 xf dan disebut turunan fungsi f(x) terhadap x

untuk ax

Kesimpulan:

Contoh 1:

Diketahui ,23)( 2 xxxf Tentukan )(1 xf

Jawab: )(2)(3)( 2 hxhxhxf

hxhxhxhxf 22363)( 22

xxxf 23)( 2

)236(lim

)236(lim

)()(lim)(

)236(

236)()(

0

0

0

1

2

hx

h

hxh

h

afhafxf

hxh

hhxhxfhxf

h

h

h

2. Notasi Turunan dan Rumus Dasar Turunan

Turunan dari sebuah fungsi f dengan variabel x atau f(x) adalah fungsi lain

yang dinotasikan dengan f 1(x). Jika kita menuliskan y = f(x), dx

dy adalah koefisien

turunan (diferensial) untuk fungsi f(x). Atau turunan dari fungsi f dapat juga

dinyatakan dengan menggunakan operator D dengan menuliskan D[f(x)] = f 1(x).

Dapat di tuliskan notasi turunan sebagai berikut:

Dimana: 1y atau )(1 xf notasi aksen.

Notasi dx

dfdisebut pula notasi Leibnizt.

1y atau )(1 xf atau dx

df atau

dx

dy

Turunan fungsi h

afhafxfxf

h

)()(lim)()(

0

1

Tabel berikut ini memuat daftar turunan (diferensial) baku yang akan

membantu kita dalam menyelesaikan persoalan turunan fungsi sederhana.

Rumus Dasar Turunan

Selanjutnya kita akan mengenal terlebih dahulu sifat-sifat turunan yang juga akan

memudahkan kita dalm menyelesaikan persoalan turunan.

3. Rumus turunan fungsi aljabar

Jika n bilangan rasional, a dan c konstanta sedangkan f'(x) turunan dari

f(x)maka berlaku rumus turunan

No y = f(x) dx

dy = f ’(x)

1 k, k adalah

konstanta 0

2 xn nxn-1 , n Riil

3 ex ex

4 ekx kekx

5 ax ax ln(a)

6 ln(x) x

1

7 loga x )ln(

1

ax

Jika f(x) = c maka turunannya

adalah f'(x)= 0.

Jika f(x) = xn

maka turunannya

adalah f'(x) = nxn – 1

.

Jika f(x) = axn

maka turunannya

Sifat-sifat turunan.

Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang mempunyai turunan yaitu f ‟(x)

dan g ‟(x) maka berlaku :

1. ( )( ) (x)

2. ( ) ( ) ( ) ( )

3. ( ) ( ) ( ) ( )

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5. 2

'''

)(

)().()().(

xg

xgxfxgxfx

g

f

, g(x) ≠ 0

untuk dua sifat (rumus) terakhir dapat diringkaskan agar memudahkan kita untuk

menghafalnya, yaitu dengan cara memisalkan u = f(x) maka u1 = f 1(x) dan v = g(x)

maka v1 = g 1(x). sehingga dua rumus terakhir dapat dituliskan sebagai berikut :

( ) dan2

'''..

)(v

vuvux

v

u

, v ≠ 0.

Selanjutnya, contoh-contoh berikut akan menjelaskan bagaimana daftar (rumus)

dasar turunan dan sifatnya dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan

turunan untuk fungsi sederhana.

Perhatikan Contoh contoh di bawah ini

1. Tentukan turunan dari fungsi y = x4 + 5x3 – 4x2 + 7x – 2.

Penyelesain

y = x4 + 5x3 – 4x2 + 7x – 2, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka

dx

dy = 4x4-1 + 5 (3x3-1) – 4 (2x2-1) + 7 (x1-1) – 0

= 4x3 + 15x2 - 8x + 7.

Contoh

2. Tentukan turunan dari fungsi y = 3x4 – 7x3 + 4x2 + 3x – 4 pada x = 2.

Penyelesaian.

y = 3x4 – 7x3 + 4x2 + 3x – 4, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka

dx

dy = 3 (4x3) – 7 (3x2) + 4 (2x) + 3 (1) – 0

= 12x3 – 21x2 + 8x + 3 dan untuk x = 2, maka

dx

dy= 12 (2)3 – 21 (2)2 + 8 (2) + 3 = 31.

4. Rumus turunan fungsi trigonometri

Turunan Sinus dan Kosinus

pada dasarnya turunan sinus dan kosinus mengacu pada definisi turunan,

namun hasilnya telah diringkaskan pada teorema berikut :

Teorema 1

Fungsi-fungsi f (x) = sin x dan g(x) = cos x, keduanya mempunyai turuna (dapat

didiferensialkan) yaitu turunan sin x adalah f ‟(x) = cos x dan turunan cos x adalah g

‟(x) = - sin x.

Dengan menggunakan teorema 1 diatas dan rumus turunan hasil kali serta turunan

hasil bagi, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri lainnya yang

dinyatakan pada teorema berikut.

Teorema 2

Turunan trigonometri

a) )(sin xdx

d = cos x

b) )(cosxdx

d = – sin x,

c) )(tan xdx

d = sec2 x.

d) )(cotanxdx

d = - cosec2 x.

e) )(sec xdx

d = sec x . tan x

f) )(cosecxdx

d = - cosec x . cotan x

Bukti:

a) h

xhx

h

xfhxfyxy

hh

sin)sin(lim

)()(lim'sin

00

x

xh

h

hx

h

hhx

hh

h

cos

2

1.1.cos2

2

1.

2

2sin

lim2

2coslim2

2sin

2

2cos2

lim

00

0

b). h

xhx

h

xfhxfyxy

hh

cos)cos(lim

)()(lim'cos

00

x

xh

h

hx

h

hhx

hh

h

sin

2

1.1.sin2

2

1.

2

2sin

lim2

2sinlim2

2sin

2

2sin2

lim

00

0

y sebagai fungsi trigonometri :

y = sin x turunannya y‟ = cos x

y = cos x turunannya y‟ = -sin x

y = tg x turunannya y‟ = sec2x

y = ctg x turunannya y‟ = -cosec2x

y = secx turunannya y‟ = secx tgx

y = cosecx turunannya y‟ = -cosecx ctg x

Contoh : y = -3tgx y‟ = -3sec2x

y = ctg2x y‟ = -2cosec2 2x

y = sec2x y‟ = 2sec2x tg2x

y = cosec3x y‟ = -3cosec3x ctg3x

y = cos(1-x2) y‟ = 2xsin(1-x2)

y sebagai fungsi logaritma :

y = ln x turunannya y‟ = 1/x

y = glogx turunannya y‟ = 1/xlng

Contoh : y = 3logx 1 / x ln3

y = ln 2x 1 / 2x

y sebagai fungsi eksponen :

y = ax turunannya y‟ = ax ln a

y = ex turunannya y‟ = ex

Contoh : y = 2x y‟= 2xln 2

y = ex y‟ = ex

y = x2 – e3x y = 2x – e3x

Contoh

1. Turunan Dengan Aturan Rantai.

Turunan dengan aturan rantai muncul dari fungsi yang merupakan komposit fungsi

lainnya. Rumus turunan aturan rantai dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 3.

Misalkan menentukan fungsi komposit y = f[g(x)] = (f o g)(x). Jika g punya turunan di

x dan f punya turunan di u, maka (f o g)(x) punya turunan di x

yaitu : (f o g) ‟(x) = f ‟[g(x)] . g ‟(x), atau dx

dy =

du

dy .

dx

du.

Jika y = f(u) dan u = g(v) dan v = h(x), maka dx

dy =

du

dy .

dv

du .

dx

dv disebut aturan rantai

bersusun dan dapat dilanjutkan untuk fungsi yang komposisinya lebih dari tiga.

Contoh

1. Tentukan turunan dari fungsi y = (3x + 5)4.

Penyelesaian.

Misalkan u = 3x + 5 y = u4

du

dy = 4u3 dan

dx

du = 3,

sehingga dx

dy =

du

dy .

dx

du

= (4u3) (3)

= 12u3 = 12 (3x + 5)3

2. Aplikasi turunan

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu

fungsi, diantaranya:

1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f‟(a)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan

bergradien m adalah:

y – b = m(x – a)

2) Fungsi f(x) naik, jika f‟(x) > 0, dan turun, jika f‟(x) < 0

3) Fungsi f(x) stasioner jika f‟(x) = 0

4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f‟‟(x) < 0, dan minimum jika f‟‟(x) > 0

BAB V

INTEGRAL

1. KONSEP INTEGRAL

Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial).Oleh karena itu integral

disebut juga anti diferensial.Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan

integral tak tentu. Integral tentu yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan

integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada

batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai integral

tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali,

diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar,

menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan

di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti

ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain

yang .Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untuk menentukan fungsi

asalnya melakukan pengintgrasian.

F (X) = ∫ f (x) dx ;

Keterangan:

∫ : Tanda Integral

f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan)

dx : Operator penurunan yang mengikat operasi yang dibentuk terhadap

variabel X.

Maka dF(X) / dx = f (x) ; maka : ∫ f(x) dx = F (X) + C

2. INTEGRAL TAK TENTU

Integral tak Tertentu dari fungsi aljabar

Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka

untuk menemukan rumus integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu

fungsi y = f(x) adalah y „ = f „ (x) atau dx

dy, sedangkan notasi integral dari suatu

fungsi y = f(x) adalah dxxfdxy )( yang dibaca “ integral y terhadap x ”.

Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan,

biasanya diwakili oleh notasi c.

Rumus umum integral dari naxy adalah cxn

a n

1

1 atau ditulis :

cxn

adxax nn 1

1untuk 1n

Contoh 1 : Tentukan :

dxxxd

dxx

c

dxxxxxb

dxxa

2.

3

8.

27635.

2.

4

234

3

Penyelesaian :

cxcxdxxdxxxd

cx

cxdxxdxx

c

cxxxxxdxxxxxb

cxcxdxxa

2

5

2

5

2

3

3

34

4

2345234

443

5

4

2

5

222.

9

8

)3(3

8

3

8

3

8.

22

72

4

327635.

2

1

4

22.

LATIHAN SOAL

1. Integralkan !

dxxxxxd

dxx

c

dxxb

dxxa

75243.

1.

5.

2.

234

4

5

Pemakaian Integral Tak Tentu

Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c yang tidak tentu nilainya.

Untuk menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang

lain sehingga harga c dapat diketahui..

Contoh 1 : Diketahui f „(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

Penyelesaian :

182.3)2(2

518)2(

32

5)35()(

2

2

cf

cxxdxxxf

18610 c

1816 c

2 c

Jadi 232

5)( 2 xxxf

Contoh 2 : Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang

melalui titik (3,4) ditentukan 583 2 xxdx

dy, maka tentukan persamaan

kurva tersebut !

LATIHAN SOAL

1. Tentukan rumus f(x) jika diketahui :

a. f „(x) = 2x dan f(4) = 10

b. f „(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10

c. f „(x) = 2

2 1

xx dan f(1) =

3

1

d. f „(x) = x - x dan f(4) = -3

e. f „(x) = 1 - 2

1

x dan f(4) = 1

2. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y)

pada kurva tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !

3. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh xxdx

dy23 2 dan

kurva itu melalui titik (-3,2). Tentukan persamaan kurva itu !

4. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh 1612)( 2 tttv . Setelah

benda itu bergerak 1 detik, jarak yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak

dari benda itu !

5. Diketahui rumus percepatan a(t)= 12 t dan kecepatan v(0) = 6. Tentukanlah

rumus kecepatan v(t) jika a(t)=dt

dv

Integral Tak Tertentu dari fungsi Trigonometri

Kita telah mempelajari turunan fungsi trigonometri yang secara ringkas dapat

digambarkan sebagai berikut :

xxxxx sincossincossin

xecx

xx

2

2

coscot

sectan

artinya turunan.

Karena integral adalah invers dari turunan maka :

Bentuk dasar tersebut adalah:

1. xsin dx = -cos x + C

2. xcos dx = sin x + C

3. tan x dx = ln Cx sec

= -ln Cx cos

4. cot x dx = - ln Cx csc

= ln Cx sin

5. xsec dx = ln Cxx tansec

cscx dx = ln Cxx cotcsc

6. x2sec dx = tan x + C

Contoh 1 : Tentukan :

dxxxb

dxxxa

)3sin4cos2(.

)cos2sin5(.

Penyelesaian :

cxxxdxxxb

cxxdxxxa

3cos4sin2)3sin4cos2(.

sin2cos5)cos2sin5(.

Contoh 2 :

2. xdx3sin

Jawab

xdx3sin = dxx 1)13(sin

= xxsinsin2

dx

= )cos()cos1( 2 xdx

= )(coscos)cos(1 2 xdxd

LATIHAN SOAL

1. Tentukan integral fungsi berikut !

dxxxe

dxxxd

dxxxc

dxxxb

dxxa

sin2.

sin2.

sin6cos8.

cossin.

sin5.

2

3. INTEGRAL TERTENTU

Definisi :

Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x) dikatakan

terintegralkan (integrable) pada [a,b]

jika

n

iii

Pxxf

10)(lim ada.

Selanjutnya b

a

dxxf )( disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f(x) dari a ke b,

dan didefinisikan

b

a

dxxf )( =

n

iii

Pxxf

10)(lim .

b

a

dxxf )( menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva

y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika b

a

dxxf )( bertanda negatif maka

menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.

Definisi :

1. a

a

dxxf )( = 0

2. b

a

dxxf )( = - a

b

dxxf )( , a > b

Teorema Dasar Kalkulus

Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu,

berikut teorema tersebut :

Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan f(x), maka b

a

dxxf )( =

F(b) – F(a)

Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = baxF )]([

Contoh :

1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka

11

11

r

a

r

bdxx

rrb

a

r

Jawab :

Karena F(x) = 1

1

r

xr

suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut teorema

dasar Kalkulus 11

)()(11

r

a

r

baFbFdxx

rrb

a

r

Contoh :

Hitung dxxx )64(2

1

2

Jawab :

dxxdxxdxxx

2

1

22

1

2

1

2 64)64( = 4

2

1

32

1

2

36

2

xx

= 4

3

1

3

86

2

1

2

4 = 12

Sifat-Sifat Integral Tentu

1. Sifat Penambahan Selang

Teorema :

Jika f(x) terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b dan c, maka

dxxfc

a )( = dxxf

b

a )( + dxxf

c

b )( bagaimanapun urutan a, b dan c.

Contoh :

1. dxxdxxdxx 2

1

21

0

22

0

2 2. dxxdxxdxx

2

3

23

0

22

0

2

3. dxxdxxdxx

2

1

21

0

22

0

2

2. Sifat Simetri

Jika f(x) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat

f(-x) = f(x) , maka:

dxxfa

a

)( = 2 dxxfa

0

)( dan

Jika f(x) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat

f(-x) = - f(x), maka

dxxfa

a

)( = 0.

Contoh :

1.

04

cos24

cos dxx

dxx

244

1.

4cos8

0

dxx

2. dxx

x

5

52

5

4 = 0

Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentu adalah:

Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k Real dan f(x), g(x)

terintegralkan pada interval tersebut, maka:

1. b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()(

2. dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a

)()()]()([

3. ,)()()]()([ dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a

4. 0)( a

a

dxxf

5. a

b

b

a

dxxfdxxf )()( , jika b < a

6. b

a

dxxf )( b

c

c

a

dxxfdxxf )()( , c ),( ba

7. ,0)(

a

a

xf jika f(-x) = -f(x)

8.

a

a

dxxf )( = 2 a

dxxf0

)( , jika f(-x) = f(x)

9. Jika F(u) = b

a

dxxf )( , maka )()( ufuFdu

d

10. b

a

dxxf )( = (b-a) )( oxf untuk paling sedikit x = x o antara a dan b.

11. b

a

b

a

dxxgdxxf )()( jika dan hanya jika f(x) g(x) untuk setiap x [a,b].

12. )()( xfdttfDx

ax

Contoh

Tentukan hasil integral

1. dxx 2

0

)2(

Jawab

dxx 2

0

)2( =

2

0

2

22

xx

=

2

00.2

2

22.2

22

= (4+2) – (0+0) = 6

2. 2

0

32 )1( dxxx

Jawab

Misalnya u = (x 13 )

du = 3x 2 dx

dxxdu 2

3

Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:

2

0

32 )1( dxxx = 9

13

duu

=

9

1

2

6

u

=

6

1

6

91

hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:

1. 8

1

31 dxx

2. dxxx 2)1(

= dxxxx 21

= dxxxxx )2( 2 , dengan sifat integral diperoleh

= xdx - xx2 dx + dxx2

= 3

3

22

5

1

2

3

1)

5

2(2

2

1CxCxCx

= 321

32

5

2

3

1)

5

2(2

2

1CCCxxx

= Cxxx 32

5

2

3

1)

5

2(2

2

1

4. INTEGRAL SUBSTITUSI

Cara menentukan integral dengan menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan

mengubah bentuk integral tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebih

sederhana sehingga mudah menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian

yang satu ada kaitan turunan dari bagian yang lain.

Contoh 1 : Tentukan integral dari :

dxxxb

dxxxa

cossin2.

)14(2.

5

102

Penyelesaian :

a. Misal : 14 2 xu

Maka:

x

dudx

xdx

du

8

8

Sehingga :

cxcuduux

duuxdxxx 112111010102 )14(

44

1

11.4

1

4

1

8..2)14(2

b. Misal u = sin x

x

dudx

xdx

du

cos

cos

Sehingga :

cxcuduux

duxudxxx 66555 sin

3

1

6

22

coscos.2cossin2

Istilah lain untuk integral substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi

pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk

rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a. nx dx =

1

1

n

xn

+ C, asalkan n -1 atau

b. dxxfxfn

)(')( =

1

)(1

n

xfn

+ C, asalkan n -1

Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya

menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari

bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan

demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat

dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu.

Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

1. x1 dx

Misal u = x1

xu 12

)1()( 2 xdud

dxudu 2

Substitusi bentuk terakhir ke x1 dx, diperoleh

duuu )2( = -2 duu2

Dengan rumus dasar di dapat

x1 dx = -2 duu2

= -2 Cu

3

3

= - Cx 3)1(3

2

2. dxx 11)123(

Misal A = 3x + 12

d(A) = d(3x+12)

dA = 3 dx

dx = 3

dA

Sehingga dxx 11)123( = 3

11 dAA

= dAA11

3

1

= CA

)12

(3

1 12

= CA 12

36

1

= Cx

36

)123( 12

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1. dttt 2/3)2(

Jawab

Misal M = (t+2) 2

3

M 2 = (t+2) 3

2M dM = 3(t+2) 2 dt

dttt 2/3)2( = 2)2(3

2..

t

MdMtM

= dMM

t

t 2

2)2(3

2

= 3

2 3

1

)2(3

2M

t

t

+ C

= 2

9

2)2(

)2(9

2

t

t

t + C

= Ctt

2

5

)2(9

2

LATIHAN SOAL

Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode

substitusi !

dx

x

dxx

dxx

4

5

5

15

2.3

46.2

32.1

5. INTEGRAL PARSIAL

Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian

integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u =

f(x) dan v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi

y = uv diperoleh

dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

vduudvuvd )(

vduuvdudv )(

vduuvudv

Sehigga Seperti telah kita ketahui pada turunan jika y = uv maka y „ =u ‟ v + uv ‟.

Jika kita integralkan kedua rua, maka akan didapat :

dxvuuvdxvuydxuvdxuvdxvudxy ''''''

Rumus di atas sering disingkat dengan :

duvuvdvu

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang

digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di

manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh

memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan udv tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Tentukan integral persial berikut ini

1. xdxxcos

Jawab

Bentuk xdxxcos diubah menjadi udv,

Misal u = x , dv = 1 dx

dv = cos x dx , v = xcos dx = sin x

Akibatnya xdxxcos = x d(sin x).

Dengan rumus integral parsial

vduuvudv , diperoleh

x d(sin x) = x sin x - xsin d(x)

= x sin x - xsin dx

= x sin x + cos x + C

Akhirnya diperoleh xdxxcos = x sin x + cos x + C

2. xx 1 dx

Pilih u = x , du = dx

dv = x1 , v = x1 dx = 3 13

2x

Sehingga xx 1 dx = )13

2( 3 xxd

Berdasarkan rumus integral parsial

vduuvudv , diperoleh

xx 1 dx = )13

2( 3 xxd

= 3 113

2

x - )(1

3

2 3 xdx

= 3 113

2

x - dxx3 1

3

2

= 3 113

2

x- Cx 3 4)1(

4

2

Contoh 1 : Tentukan :

dxxxb

dxxxa

sin.

)15(2. 6

Penyelesaian : a. Misal 2x = u maka 2 dx = du

Misal dv = 776 )15(35

115

7

1.

5

115 xxvdxx

cxxx

cxxx

dxxxxdxxx

87

87

726

)15(700

1)15(

35

2

)15(8

1.

5

1.

35

2)15(

35

2

2.)15(35

1)15(

35

1.2)15(2

b. Misal x = u maka dx = du

Misal dv = sin x dx maka v = -cos x

cxxxdxxxxdxxx sincoscoscos.sin

LATIHAN SOAL

Tentukan integral berikut dengan metode parsial !

dxx

x

dxxx

dxxx

dxxx

1.4

42.3

218.2

26.1

3

5

Daftar Pustaka

[1] Achsanul In‟am, 2000. Kalkulus I. Malang: UMM Press.

[2] Edwin J. Purcell., Dale Varberg. 1989. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 2

(terjemahan I Nyoman Susila dkk). Bab 18. Jakarta; Erlangga.

[3] Frank Ayres., J.C Ault. 1984. Kalkulus Diferensial dan Integral (Seri Buku

Schaum). Alih Bahasa Lea Prasetyo. Jakarta: Erlangga..

[4] Sudaryono dkk.2010. Kalkulus For It. Andi.Yogyakarta

[5] Varberg,et all.2003.Kalkulus edisi ke 8 jilid 1.erlangga, Jakarta.

[6] Wilfred Kaplan. 1961. Ordinary Differential Equations. Massachusetts: Addison

Wesley Publishing Company, Inc.