modul 6 ee2323 elektromagnetika telekomunikasi bumbung ... · bumbung gelombang umumnya digunakan...

Modul 6EE2323 Elektromagnetika Telekomunikasi

Bumbung Gelombang

Oleh :Nachwan Mufti Adriansyah, ST

Nachwan Mufti A Modul 6 Bumbung Gelombang 2

Organisasi Organisasi

Modul 5 Bumbung Gelombang

• A. Pendahuluan page 3

• B. Penurunan Persamaan Medan page 9

• C. Bumbung Gelombang Rektangular page 15

• D. Bumbung Gelombang Sirkular page 17

• E. Cavity Resonator page 19

• F. Serat Optik page 20


A. Pendahuluan

Bumbung gelombang atau waveguide adalah saluran transmisi yang berupa

pipa berongga yang terbuat dari konduktor yang baik. Rongga diisi dengan bahandielektrik tak merugi yang umumnya adalah udara kering.

Bumbung gelombang umumnya digunakan untuk saluran transmisi frekuensi gelombangmikro ( orde GHz ) , sebagai saluran dari antena parabola menuju ke transmitter ataureceiver, atau sebagai feed element. Saluran transmisi lain untuk orde GHz (kecuali seratoptik) akan memiliki redaman yang cukup besar, disamping itu akan terjadi absorbsi,radiasi, dan skin effect.

Penampang bumbung gelombang bisa berupa persegi panjang (rectangular),bujursangkar, lingkaran (sirkular), atau bisa juga ellips.

ellips rectangular sirkular


B. Bumbung Gelombang Rektangular

Bahan di dalam waveguide bisa berupa udara atau gas kering yang merupakan dielektrik sempurna, sehingga dapat dinyatakan dalam persamaan gelombang Helmholtzdisamping :HH

EE

22

22

Karena gelombang merambat dalam arah sumbu z saja, maka dinyatakan sbb :

z

z

z

zz

z

y

z

yy

z

x

z

xx

e)y,x(Ee)y,x(E)z,y,x(E



z

z

z

zz

z

y

z

yy

z

x

z

xx

e)y,x(He)y,x(H)z,y,x(H



y = b

x = a

x

y

, = 0

=

5

Bumbung Gelombang Rektangular

Untuk mempermudah pembahasan, ditinjau untuk arah z positif saja, dengan anggapan bahwa analisis untuk arah z negatif sama dengan untuk arah z positif, sehingga :

z

zz

z

yy

z

xx

e)y,x(E)z,y,x(E

e)y,x(E)z,y,x(E

e)y,x(E)z,y,x(E

z

zz

z

yy

z

xx

e)y,x(H)z,y,x(H

e)y,x(H)z,y,x(H

e)y,x(H)z,y,x(H

didapat ....

Untuk melihat struktur medan dalam waveguide, persamaan diatas dimasukkan dalam persamaan gelombang Helmholtz....

HH

EE

22

22

Asumsi :medan sinusoidal, dielektrik sempurna dalam WG

pers (1)



z

2

z

2

2

z

2

2

z

2

y

2

y

2

2

y

2

2

y

2

x

2

x

2

2

x

2

2

x

2

EEy

E

x

E

EEy

E

x

E

EEy

E

x

E

z

2

z

2

2

z

2

2

z

2

y

2

y

2

2

y

2

2

y

2

x

2

x

2

2

x

2

2

x

2

HHy

H

x

H

HHy

H

x

H

HHy

H

x

H

Persamaan diatas dapat dituliskan dengan sederhana sebagai berikut :

EE 222

T

Dengan mendefinisikan LAPLACIAN TRANSVERSAL terhadap sumbu z,

2

2

2

22

Tyx

dengan yxT a

ya

x

HH 222

T

dan

7


Sedangkan menurut persamaan Maxwell I dan II tentang hukum Faraday dan hukum Ampere, dinyatakan sbb :

HjE

EjH

z

zz

z

yy

z

xx

e)y,x(E)z,y,x(E

e)y,x(E)z,y,x(E

e)y,x(E)z,y,x(E

z

zz

z

yy

z

xx

e)y,x(H)z,y,x(H

e)y,x(H)z,y,x(H

e)y,x(H)z,y,x(H

Substutusikan persamaan dibawah ke persamaan Maxwell di atas ...

zxy

yz

x

xyz

Hjy

E

x

E

Hjx

EE

HjEy

E

zxy

yz

x

xyz

Ejy

H

x

H

Ejx

HH

EjHy

H



yxT ay

ax

Ingat kembali operator transversal

HjEaE zT

HjEaE zT

Persamaan di atas dapat ditulis sbb :

Karena medan E maupun H adalah fungsi terhadap z maka komponen-komponen itu dapat dinyatakan dalam Ez dan Hz , sehingga dengan

menghitung komponen di arah z, komponen di arah lainnya akan dapat dihitung juga !!



zxy

yz

x

xyz

Hjy

E

x

E

Hjx

EE

HjEy

E

zxy

yz

x

xyz

Ejy

H

x

H

Ejx

HH

EjHy

H

Lihat kembali persamaan di samping yang sudah kita dapatkan !!

y

E1HjE z

xy

x

H1EjH z

yx

substitusikan !!

y

E

x

Hj

1E zz

22y γωμεωγ



zxy

yz

x

xyz

Hjy

E

x

E

Hjx

EE

HjEy

E

zxy

yz

x

xyz

Ejy

H

x

H

Ejx

HH

EjHy

H

Kemudian ...

y

E1HjE z

yx

x

H1EjH z

xy

substitusikan !!

x

E

y

Hj

1E zz

22x



zxy

yz

x

xyz

Hjy

E

x

E

Hjx

EE

HjEy

E

zxy

yz

x

xyz

Ejy

H

x

H

Ejx

HH

EjHy

H

Lalu untuk medan magnet diperoleh dengan cara yang sama sbb ...

y

H1EjH z

xy

x

E1HjE z

yx

substitusikan !!

y

H

x

Ej

1H zz

22y



zxy

yz

x

xyz

Hjy

E

x

E

Hjx

EE

HjEy

E

zxy

yz

x

xyz

Ejy

H

x

H

Ejx

HH

EjHy

H

Dan ...

x

H1EjH z

yx

y

E1HjE z

xy

substitusikan !!

x

H

y

Ej

1H zz

22x



y

Eγ

x

Hjωω

μεωγ

1E zz

22y

x

E

y

Hj

1E zz

22x

y

H

x

Ej

1H zz

22y

x

H

y

Ej

1H zz

22x

Jadi ...

Didapatkan 4 buah

persamaan umum WG

rektangular yang jika Ez , Hz ,

dan diketahui ...maka

komponen-komponen lainnya

dapat dihitung !!



z

2

z

2

2

z

2

2

z

2

y

2

y

2

2

y

2

2

y

2

x

2

x

2

2

x

2

2

x

2

EEy

E

x

E

EEy

E

x

E

EEy

E

x

E

z

2

z

2

2

z

2

2

z

2

y

2

y

2

2

y

2

2

y

2

x

2

x

2

2

x

2

2

x

2

HHy

H

x

H

HHy

H

x

H

HHy

H

x

H

Karakterisasi Ez dan HzLihat kembali penurunan dari persamaan gelombang Helmholtz pada slide 5-6 :

z

22

2

z

2

2

z

2

Ey

E

x

E

z

22

2

z

2

2

z

2

Hy

H

x

H

Dicari solusi dari kedua persamaan di atas, untuk mencari Ez dan Hz



z

22

2

z

2

2

z

2

Ey

E

x

E

z

22

2

z

2

2

z

2

Hy

H

x

H

Misalkan Ez merupakan fungsi satu variabel yang saling terpisah atau independen

z

z e)y(Y)x(Xz,y,xE

z22z

2

2z

2

2

e)y(Y)x(Xe)x(Xy

)y(Ye)y(Y

x

)x(X

Jika kedua ruas persamaan diatas dibagi dengan

X(x)Y(y) e- z

22

2

2

2

2

y

)y(Y

)y(Y

1

x

)x(X

)x(X

1


22

2

2

2

2

y

)y(Y

)y(Y

1

x

)x(X

)x(X

1


Karena ruas kanan adalah konstanta, maka hasil dari ruas kiri juga pasti konstanta, sehingga dapat dituliskan :

2

2

2

Mx

X(x)

X(x)

1

2

2

2

Ny

Y(y)

Y(y)

1

Sehingga,

μεωγNM 2222

μεωNMγ 222 Konstanta propagasi



2

2

2

Mx

X(x)

X(x)

1

2

2

2

Ny

Y(y)

Y(y)

1

0X(x)Mx

X(x) 2

2

2

0Y(y)Ny

Y(y) 2

2

2

Diketahui dari pemisalan terdahulu ,

z

z eyYxXzyxE )()(,,

Persamaan diferensial orde 2 yang solusinya adalah :

NycosYNysinYY(y)

MxcosXMxsinXX(x)

21

21

z

2121z eNycosYNysinYMxcosXMxsinXz,y,xE

Dengan cara yang sama didapat,

z

2121z eNycos'YNysin'YMxcos'XMxsin'Xz,y,xH



Mode Gelombang Dalam WaveguideTerdapat 2 kemungkinan konfigurasi medan dalam waveguide :

(1) Transverse Electric ( mode TE )

0,0 zz HE Medan listrik transversal terhadap sumbu bumbung gelombang

(2) Transverse Magnetic ( mode TM )

0,0 zz EH Medan magnet transversal terhadap sumbu bumbung gelombang

Mode Transverse Electromagnetic ( mode TEM ) TIDAK MUNGKIN ADA pada waveguide karena :

• Jika Ez dan Hz = 0, maka semua komponen medan yang lain juga akan = 0

• Disamping itu, mode TEM tak mungkin ada pada waveguide karena medan magnet pada bidang X-Y (z konstan) harus merupakan loop tertutup,

dc IILdH

0H

dan menyebabkan semua komponen arus harus nol, padahal Id tidak nol



Mode TM (Transverse Magnetic)

0,0 zz EH

z

2121z eNycosYNysinYMxcosXMxsinXE y = b

x = a

x

y

, = 0

=

0Hz

by pada 0E (4) a xpada 0E (2)

0y pada 0E (3) 0 xpada 0E (1)

zz

zz

Syarat batas :

z

z eNysinMxsinCE dimana, C = X1Y1

Dari syarat batas (1) dan (3)

Dari syarat batas (2) dan (4)

0Masin

0Nbsin

...dst 0,1,2, m ,mπMa

st0,1,2,...d n π,Nb a

mM

b

nN

dan

20


μεωNMγ 222

a

mM

b

nN

dan

Sehingga konstanta propagasi didapat ...

μεωb

nπ

a

mπγ 2

22

22

2

b

n

a

m

• Terjadi perambatan energi untuk,

22

2

mnb

n

a

mjj

• Tidak terjadi perambatan energi untuk,

22

2

b

n

a

m

2

22

mnb

n

a

m

Disebut sebagai Mode Evanescent (cepat menghilang)

21


Pada suatu bumbung gelombang rektangular yang memiliki dimensi tertentu (a dan b tertentu), serta m dan n tertentu pula, maka akan memiliki parameter

yang disebut sebagai “ Frekuensi Cut Off “

22

mn,COb

n

a

m

2

1f

Frekuensi Cut Off terjadi ketika,

22

2

b

n

a

m

Jadi, ketika ….

mn,COops ff Terjadi perambatan energi, gelombang berjalan dalam waveguide

mn,COops ff Tidak terjadi perambatan energi, “mode evanescent”

Jika,

1v

Maka,

22

mn,COba2

vf



Jadi, untuk mode propagasi TM ...

22

2

mnb

n

a

mjj

2

mn,CO

mnf

f1f2

2

mn,CO

mnf

f1

• Konstanta fasa didalam WG, mn

• Kecepatan fasa didalam WG, vmn :

soperposisi gelombang datar uniform dalam WG

Kecepatan fasa diarah z adalah kecepatan muka gelombang di dalam WG, dinyatakan :

2

mn,CO

mn

f

f1

vv

2

mn,COmn

mn

f

f1f2

f2v


• Kecepatan group didalam WG, vg,mn :


Adalah kecepatan perambatan energi di dalam WG

mn

mn,gd

dv

2

mn,CO

mn,gf

f1vv

• Panjang gelombang didalam WG, vg,mn :

mn

mn

2

2

mn,CO

mn

f

f1

• Impedansi intrinsik didalam WG, vg,mn :

2

mn,CO

imn,TMf

f1ZZ

iZ

ymn,TMx HZE

xmn,TMy HZE



Persamaan-persamaan medan di dalam waveguide ... Untuk mode TM

0Hz

z

z eNysinMxsinCE

• Substitusikan untuk mode TM !

y

Eγ

x

Hωμj

μεωγ

1E zz

22y

x

E

y

Hj

1E zz

22x

y

H

x

Ej

1H zz

22y

x

H

y

Ej

1H zz

22x

• Dari 4 buah persamaan umum yang sudah kita dapatkan untuk WG rektangular ...



zj

22

mnx

mneNysinMxcosCNM

MjE

zj

22xmneNycosMxsinC

NM

NjH

zj

22

mny

mneNycosMxsinCNM

NjE

zj

22ymneNycosMxsinC

NM

NjH

Dengan mengalikan persamaan dengan ejt dan mengambil realnya, akan didapat persamaan bentuk waktu

z

2tcos

b

yncos

a

xmsinCE

mn

z

z

2tsin

b

ynsin

a

xmcosC

a

m

hE

mn

2

mnx

C real , dan

h2 = M2 + N2


z

2tsin

b

yncos

a

xmsinC

b

n

hE

mn

2

mny


z

2tsin

b

yncos

a

xmsinC

b

n

hH

mn

2x

0Hz

Sedangkan untuk medan magnetnya ...

z

2tsin

b

ynsin

a

xmcosC

a

m

hH

mn

2y

C real , dan

h2 = M2 + N2

27


Menggambar konfigurasi medan dalam WG ... Untuk mode TM

Bentuk medan dapat digambarkan pada bidang transversal arah perambatan, dengan menulis persamaan medan untuk bidang transversal,

yxT EEE

z

2tsinˆ

b

yncos

a

xmsin

b

nˆ

b

ynsin

a

xmcos

a

mC

hE

mn

2

mnT yx aa

z

2tsinˆ

b

ynsin

a

xmcos

a

mˆ

b

yncos

a

xmsin

b

nC

hH

mn

2T yx aa

• Untuk mode TM terendah, TM11 , medan digambar biasanya dengan mengambil untuk t dan z tertentu, sehingga :

• Dengan cara yang sama dapat digambar konfigurasi medan arah longitudinal

1z2

tsinmn

28


Cara menggambar ...

z

2tsinˆ

b

yncos

a

xmsin

b

nˆ

b

ynsin

a

xmcos

a

mC

hE

mn

2

mnT yx aa

1z2

tsinmn

• Pilih t dan z sehingga :

• Gambar medan Ex , Ey , Hx , dan Hy , sehingga terjadi medan maksimum dan minimum.

Untuk TM11 terjadi pada :

b,2

b,0ya,

2

a,0x dan


• Untuk menggambar medan pada bidang yz, pilih pada harga fungsi maksimumnya.

Untuk TM11 pada bidang yz :

0EE2

ax yx dimana

Sehingga hanya tergambar Ez , Ey , dan Hz saja

Untuk t tertentu, seperti t = 0 , persamaan komponen medan sebagai berikut :

z

2cos

b

ysinC

a

xx,0tE

11

z

z

2sin

b

ycosC

bha

xx,0tE

11

2

11y

z

2sin

b

ycosC

bha

xx,0tH

11

2x

Terlihat medan berubah sebagai fungsi jarak dalam , sehingga titik-titik yang harus digambar pada arah z adalah :

11111111 ,

4

3,

2,

4,0z

Untuk arah y,

bdan,2

b,0y



Mode TE (Transverse Electric)

0E,0H zz

z

2121z eNycos'YNysin'YMxcos'XMxsin'XH

y = b

x = a

x

y

, = 0

=

0Ez

0E (5) a xpada 0E (4) by pada 0E (2)

0 xpada 0E (3) 0y pada 0E (1)

Zyx

yx

Masukkan syarat batas :

y

Eγ

x

Hjωω

μεωγ

1E zz

22y

x

E

y

Hj

1E zz

22x

Dan dari persamaan umum medan listrik untuk WG rektangular,



Didapat persamaan-persamaan syarat :

0y

Hz

untuk y = 0

0y

Hz

untuk y = b

0x

Hz

untuk x = 0

0x

Hz

untuk x = a

Jika didiferensiasi terhadap x dan y, dan syarat-syarat diatas dimasukkan, didapat : zH

zj

zmneNycosMxcosCH

0Ez (mode TE)

Masukkan 2 persamaan di atas pada 4 persamaan umum medan pada WG rektangular untuk mencari komponen medan pada arah x dan y !!


Persamaan-persamaan medan di dalam waveguide ... Untuk mode TE

• Substitusikan untuk mode TE !

y

E

x

Hj

1E zz

22y γωμμεωγ

x

E

y

Hj

1E zz

22x

y

H

x

Ej

1H zz

22y

x

H

y

Ej

1H zz

22x

• Dari 4 buah persamaan umum yang sudah kita dapatkan untuk WG rektangular ...


zj

zmneNycosMxcosCH

0Ez



zj

22xmneNysinMxcosC

NM

NjE

zj

22

mnx

mneNycosMxsinCNM

MjH

zj

22ymneNycosMxsinC

NM

MjE

zj

22

mny

mneNysinMxcosCNM

NjH

• M, N, dan mn sama seperti pada mode TM !!

• Dengan mengalikan persamaan dengan ejt dan mengambil realnya, akan

didapat persamaan bentuk waktu . Silakan dicari sendiri !!

• Parameter-parameter sekunder yang lain : fcut off , vmn , mn sama seperti pada mode TM !!

• Tetapi impedansi intrinsik mode TE berbeda dengan impedansi intinsik mode TM !



Untuk mode TE,

2

mn,CO

imn,TMf

f1ZZ

iZ

ymn,TMx HZE

xmn,TMy HZE

2

mn,CO

imn,TE

f

f1

ZZ

ymn,TEx HZE

xmn,TEy HZE

Bandingkan dengan mode TM,

Grafik impedansi intrinsik untuk mode TE dan TM



• Pada umumnya, waveguide direncanakan untuk mendukung mode terendah dan mode lainnya yang lebih tinggi dihindarkan

• Untuk bumbung gelombang rektangular, mode terendah adalah mode TE10 atau TE01 tergantung dari dimensi bumbung gelombang. Hal ini karena mode-mode tersebut kemungkinan memiliki frekuensi cutoff terendah.

• Jika a > b , mode terendah adalah TE10 , sedangkan jika a < b , mode terendah adalah TE01

• Untuk mode TM, mode terendah adalah TM11 , karena jika salah satu m atau n sama dengan 0, maka semua komponen medan yang lain juga = 0

22

mn,COb

n

a

m

2

1f

a

b



Persamaan medan untuk mode TE10 ,

zj

22xmneNysinMxcosC

NM

NjE

zj

22

mnx

mneNycosMxsinCNM

MjH

zj

22ymneNycosMxsinC

NM

MjE

zj

22

mny

mneNysinMxcosCNM

NjH

• m = 1 dan n = 0

zj

z10e

a

xcosCH

0Ez 0Ex

zj10x

10ea

xsinC

ajH

zj

y10e

a

xsinC

ajE

0Hy


C. Konsiderasi Daya

Daya rata-rata yang menembus bidang z konstan...

Perambatan gelombang dihitung dari vektor rapat daya rata-rata,

*

av HERe2

1P

Contoh :

Dicari vektor rapat daya rata-rata untuk TE10 :

zj

z10e

a

xcosCH

0Ez 0Ex

zj10x

10ea

xsinC

ajH

zj

y10e

a

xsinC

ajE

0Hy

• E ada pada arah sumbu y

• H ada pada arah sumbu x dan z

Lihat konfigurasi medan untuk mode TE10 berikut !

38

Konsiderasi DayaSehingga,

x

ajinerIm

2

z

alRe

22

2

2

10

x

*

zyz

*

xyz

*

zx

*

xyy

*

aa

xcos

a

xsinC

aja

a

xsinC

a

aHEaHEaHaHaEHE

*

av HERe2

1P

z

10,TE

2

y

z

22

2

2

10 aZ

E

2

1a

a

xsinC

a

2

1

Jadi, rumus umum untuk vektor rapat daya rata-rata dapat diturunkan ...

z

2

y

2

xmn

z

mn

2

y

2

x*

av aHH2

Za

Z

EE

2

1HERe

2

1P


Konsiderasi Daya

Sedangkan daya total rata-rata yang menembus bidang z konstan (kearah z) adalah :

mn

2

y

2

xb

0y

a

0x

b

0y

a

0x

zzavavZ

EE

2

1adxdyaPW

Contoh :

Kerjakan soal berikut !

Diketahui bumbung gelombang persegi dengan dimensi a = 2,29 cm dan b = 1,02 cm

terisi udara kering

Ditanyakan :

frekuensi cutoff untuk mode terendah (mode dominan), dan carilah untuk frekuensi

operasi 7 GHz : mn , mn , vmn , Zmn , serta Wav jika amplitudo medan 1000 V/m


Rugi-rugi pada bumbung gelombang ...

Konsiderasi Daya

• Rugi-rugi terjadi pada bumbung gelombang untuk kasus c dan 0 terjadidisebabkan : (1) redaman pada dielektrik pengisi waveguide, dan juga karenaadanya (2) gelombang EM yang merambat pada konduktor waveguide.

• Redaman pada dielektrik pengisi bumbung gelombang dapat dihitung denganmengganti ... tanj1

• Sehingga persamaan untuk konstanta propagasi dapat dituliskan :

tanj1

b

nπ

a

mπγ 2

22

• Akibat redaman oleh dinding, maka gelombang akan diredam sekalipun fops > fco

• Daya yang merambat sepanjang bumbung gelombang :

z2

0avmneWW

Dalam persamaan di atas, tan

adalah loss tangent untuk bahan

dielektrik

dimana,

W0 = daya rata-rata yang melalui bidangreferensi z = 0


Konsiderasi Daya

• Rugi-rugi juga disebabkan karena adanya gelombang EM yang merambat pada konduktor waveguide yang tidak sempurna ( c )

• Hubungan E dan H dalam konduktor :

tanctan HZE j1

1j1

2Z

cc

0c

= skin depth

ccf

1

• Rugi-rugi waveguide disebabkan ketidaksempurnaan konduktor diperlihatkan pada gambar disamping

• Medan EM tepat pada permukaan dinding waveguide menghasilkan rapat daya rata-rata yang mengarah ke dalam dinding konduktor tersebut !!


Konsiderasi Daya

• Rugi-rugi rata-rata waveguide disebabkan ketidak-sempurnaan konduktordapat dituliskan sebagai berikut :

2

tan

c

c

2

tanloss,av H2

1ZReH

2

1P

• Untuk satuan panjang ke arah z, rugi-rugi daya rata-rata adalah integrasi dari persamaan di atas untuk keempat dindingnya !

dyHHdyHH

dxHHdxHH

2

1P

ax

b

0y

2

z

2

y

0x

b

0y

2

z

2

y

by

a

0x

2

z

2

x

0y

a

0x

2

z

2

x

c

loss,av


D. Pencatuan Waveguide

• Perhatikanlah bahwa untuk waveguide, selalu dicatu pada titik dimana terjadi medan maksimumnya.

• Lihat persamaan medan listriknya, cari titik maksimumnya dan waveguide dicatu pada titik maksimum tersebut !

• Pencatuan bisa dilakukan dengan kabel koaxial dengan ujung dikupas dimasukkan ke dalam waveguide.

• Contoh untuk TE10 :

Terdapat satu komponen medan untuk medan listrik E, yaitu komponen ke arah sumbu y :

z

2tsin

a

xsinC

ae

a

xsinC

ajE

10

zj

y10

Untuk t = 0, maka harga medan listrik maksimum terjadi pada :

2

ax

4z 10, y = sembarang, dan

4,0,

2

a 10


Pencatuan Waveguide

Jika terdapat dua maksimum

x

y

z

2

a

4

10

Percatuan untuk TE10

Lampiran


Catatan

modul 6 ee2323 elektromagnetika telekomunikasi bumbung ... · bumbung gelombang umumnya digunakan...

Documents