model hiv fiks

37
MODEL PENYEBARAN PENYAKIT DENGAN PENGKARANTINAAN KELOMPOK IV : 1. Atik Nurjannah (H1B010057) 2. M. Najib Singgih (H1B010039) 3. Dwi Pungkas Haruadi (H1B010026) 4. Rissa Rezeki (H1B009021) 5. Yuliatri Wirawidya (H1B009035) 6. Aliefiannisa R. (H1B010054) KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

Upload: m-najib-singgih

Post on 14-Aug-2015

48 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: Model HIV Fiks

MODEL PENYEBARAN PENYAKITDENGAN PENGKARANTINAAN

KELOMPOK IV :1. Atik Nurjannah (H1B010057)2. M. Najib Singgih (H1B010039)3. Dwi Pungkas Haruadi (H1B010026)4. Rissa Rezeki (H1B009021)5. Yuliatri Wirawidya (H1B009035)6. Aliefiannisa R. (H1B010054)

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAANUNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS SAINS DAN TEKNIKJURUSAN MIPA

PROGRAM STUDI MATEMATIKAPURWOKERTO

2013

Page 2: Model HIV Fiks

ABSTRAK

Penyakit merupakan salah satu bagian dari kehidupan manusia berupa ketidaknyamanan yang disebabkan oleh pengaruh lingkungan yang meliputi air, udara, tanah, dan cuaca. Penyebaran dan penularan penyakit dengan pengkarantinaan dapat direpresentasikan dalam model matematika, yaitu model RTK yang berupa sistem persamaan diferensial non linier. Dari model penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan tersebut, diperoleh titik kesetimbangan dan angka rasio reproduksi dasar. Perilaku model dapat diketahui dengan menentukan kestabilan titik kesetimbangan, sedangkan faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya epidemik dapat diketahui dari angka rasio reproduksi dasar.

Angka rasio reproduksi dasar menunjukkan bahwa kasus epidemik pada populasi dipengaruhi oleh faktor tingkat efektivitas kontak antara individu rentan dengan individu yang telah terinfeksi, tingkat kelahiran pada individu terinfeksi, tingkat kematian alami, dan tingkat pengkarantinaan. Berdasarkan hasil analisis titik kesetimbangan, dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit bersifat stabil asimtotis jika angka rasio reproduksi dasar kurang dari satu, sedangkan titik kesetimbangan endemik bersifat stabil asimtotis jika angka rasio reproduksi dasar lebih dari satu.

Kata kunci : sistem persamaan diferensial non linier, angka rasio reproduksi dasar, titik kesetimbangan, stabil asimtotis.

Page 3: Model HIV Fiks

1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Penyakit merupakan salah satu bagian dari kehidupan manusia berupa

ketidaknyamanan yang disebabkan oleh beberapa faktor, diantaranya air, udara,

tanah, dan cuaca (Bustan, 1997). Penyakit dibagi menjadi dua klasifikasi, yaitu

penyakit menular dan penyakit tidak menular. Penyakit menular adalah penyakit

yang dapat berpindah dari seorang individu ke individu lainnya, sedangkan

penyakit tidak menular adalah penyakit yang tidak dapat berpindah dari seorang

individu ke individu lainnya. Ada dua kategori penyakit menular yaitu ringan dan

berat. Penyakit menular yang ringan contohnya adalah influenza. Sedangkan

penyakit menular yang berat contohnya adalah HIV/AIDS.

Sampai saat ini, penyakit HIV/AIDS belum ditemukan obatnya. Padahal

penyakit ini sangat berbahaya karena beresiko menyebabkan kematian. Oleh

karena itu, perlu dilakukan suatu tindakan yang dapat mengurangi laju

pertumbuhan penyakit HIV/AIDS. Salah satu tindakan yang tepat adalah dengan

melakukan karantina pada individu yang terjangkit HIV/AIDS. Jika penderita

dikarantina maka penderita HIV/AIDS tidak dapat menularkan penyakitnya.

Dengan demikian jumlah individu yang terinfeksi HIV/AIDS relatif berkurang.

Selanjutnya, pola penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan dapat dimodelkan

secara matematika yaitu model RTK. Model ini mengaitkan hubungan antara

individu rentan, individu terinfeksi dan individu karantina.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian pendahuluan di atas, maka rumusan masalah dalam

penelitian ini adalah bagaimana penurunan dan perilaku model penyebaran

penyakit dengan pengkarantinaan?

1.3 Tujuan

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji penurunan dan menganalisis perilaku

model penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan.

Page 4: Model HIV Fiks

2. METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Mengidentifikasi faktor-faktor yang relevan, yaitu variabel dan parameter.

2. Menentukan asumsi yang digunakan.

3. Membuat diagram kompartemen model.

4. Membuat formulasi model berdasarkan asumsi dan diagram kompartemen.

5. Menentukan titik kesetimbangan model yang terdiri dari titik kesetimbangan

bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik.

6. Menentukan angka rasio reproduksi dasar ( ).

7. Menganalisis perilaku model.

8. Melakukan simulasi menggunakan software Maple 9.5 dengan data berupa data

penyakit HIV.

Page 5: Model HIV Fiks

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Penyebaran dan penularan penyakit dengan pengkarantinaan dapat

direpresentasikan dalam model matematika, yaitu model RTK yang berupa

sistem persamaan diferensial non linier. Dari model penyebaran penyakit dengan

pengkarantiaan tersebut, diperoleh titik kesetimbangan dan angka rasio

reproduksi dasar. Berdasarkan analisis titik kesetimbangan, dapat ditentukan

perilaku model penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan. Kemudian dengan

menganalisis angka rasio reproduksi dasar, dapat ditentukan faktor-faktor yang

menyebabkan meluasnya penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan.

3.1 Asumsi Model

Model RTK merupakan model yang merepresentasikan penyebaran penyakit

dengan pengkarantinaan. Pada model penyebaran penyakit dengan

pengkarantinaan tersebut terdapat tiga kelompok individu dalam populasi, yaitu

kelompok individu rentan, kelompok individu yang terinfeksi, dan kelompok

individu yang dikarantina. Dalam proses konstruksi model digunakan asumsi-

asumsi sebagai berikut :

1. Populasi tertutup.

2. Total populasi awal, yaitu total populasi sebelum penyakit dengan

pengkarantinaan mulai menginfeksi dianggap konstan.

3. Laju kelahiran pada individu rentan konstan.

4. Setiap kelahiran baru pada individu rentan akan menjadi individu rentan.

5. Setiap kelahiran baru pada individu terinfeksi akan menjadi individu

terinfeksi.

6. Individu saling berinteraksi secara random.

7. Selain kelahiran pada individu terinfeksi, penularan penyakit hanya terjadi

melalui kontak dengan individu terinfeksi.

8. Individu terinfeksi dapat menjadi individu yang dikarantina setelah jangka

waktu tertentu.

Page 6: Model HIV Fiks

9. Hanya individu terinfeksi yang dapat menjadi individu yang dikarantina.

10. Setiap individu yang dikarantina tidak dapat melakukan kontak dengan

individu lain dalam populasi tersebut.

11. Individu yang terinfeksi dan individu yang dikarantina tersebut tidak dapat

mengalami kesembuhan.

12. Tingkat kematian individu rentan, terinfeksi, dan karantina dianggap sama.

13. Individu yang terinfeksi pasti meninggal.

Adapun variabel, parameter, dan konstanta yang digunakan untuk

mengkonstruksi model penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan adalah

sebagai berikut:

Tabel 1

Variabel, Parameter, dan Konstanta yang digunakan

Notasi Arti Jenis Syarat SatuanJumlah individu rentan Variabel orangJumlah individu yang terinfeksi Variabel orangJumlah individu yang dikarantina Variabel orang

Jumlah individu dalam populasi Konstanta orang

Laju kelahiran pada individu rentan Parameterorang per

waktuTingkat kematian Parameter per waktuTingkat efektivitas kontak antara individu rentan dengan individu terinfeksi

Parameter per waktu

Tingkat kelahiran pada individu terinfeksi

Parameter per waktu

Tingkat pengkarantinaan Parameter per waktu

3.2 Konstruksi ModelProses konstruksi model dilakukan dengan memperhatikan faktor-faktor yang

berpengaruh pada terjadinya perubahan jumlah setiap kelompok individu.

Berdasarkan asumsi, dapat ditentukan faktor-faktor yang berpengaruh pada

terjadinya perubahan jumlah setiap kelompok individu, seperti dijelaskan pada

uraian berikut ini.

Page 7: Model HIV Fiks

1. Faktor yang menyebabkan perubahan jumlah individu rentan

Penambahan jumlah pada kelompok individu rentan dipengaruhi oleh jumlah

individu yang lahir pada kelompok tersebut per hari . Tingkat efektivitas

kontak individu rentan dengan individu terinfeksi menyebabkan individu

rentan berubah menjadi individu terinfeksi yang mengakibatkan berkurangnya

jumlah individu rentan. Selain itu, pengurangan jumlah pada individu rentan juga

disebabkan oleh tingkat kematian pada individu rentan Dengan demikian,

perubahan jumlah individu rentan dipengaruhi oleh laju kelahiran, tingkat

efektivitas kontak antara individu rentan dengan individu terinfeksi, dan tingkat

kematian pada individu rentan.

2. Faktor yang menyebabkan perubahan jumlah individu terinfeksi

Penambahan jumlah individu yang terinfeksi pada dipengaruhi oleh tingkat

efektivitas kontak antara individu rentan dengan individu terinfeksi dan

tingkat kelahiran pada kelompok individu rentan. Kemudian pengurangan jumlah

pada individu yang terinfeksi dipegaruhi oleh tingkat kematian dan tingkat

pengkarantinaan atau tingkat perubahan individu terinfeksi menjadi individu yang

dikarantina . Dengan demikian, perubahan jumlah individu yang terinfeksi

dipengaruhi oleh tingkat efektivitas kontak antara individu rentan dengan

individu terinfeksi, tingkat kelahiran, tingkat kematian, dan tingkat

pengkarantinaan.

3. Faktor yang menyebabkan perubahan jumlah individu karantina

Penambahan jumlah individu yang dikarantina dipengaruhi oleh tingkat

pengkarantinaan atau tingkat perubahan individu terinfeksi menjadi individu yang

dikarantina , sedangkan pengurangan jumlah pada kelompok individu yang

dikarantina dipengaruhi oleh tingkat kematian . Dengan demikian, perubahan

jumlah individu karantina dipengaruhi oleh tingkat pengkarantinaan dan tingkat

Page 8: Model HIV Fiks

kematian.

Berdasarkan konstruksi model, dapat digambarkan diagram kompartemen

untuk model penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan seperti terlihat pada

gambar berikut ini:

Berdasarkan diagram kompartemen pada gambar diatas, diperoleh model

penyebaran penyakit dengan perbedaan level infeksi sebagai berikut :

(3.1)

dengan

3.3 Titik Kesetimbangan

Model penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan pada sistem (3.1)

merupakan sistem persamaan diferensial non linier. Penyelesaian kualitatif sistem

(4.1) dilakukan dengan cara melihat perilaku sistem di sekitar titik kesetimbangan.

Terdapat dua titik kesetimbangan pada sistem (3.1), yaitu titik kesetimbangan

R T K

R T K

ART

N

CTT

Page 9: Model HIV Fiks

bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Titik kesetimbangan sistem

(3.1) diperoleh dengan menentukan

Jika

(3.1)

Jika

(3.2)

sedangkan jika

(3.3)

3.3.1 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Titik kesetimbangan bebas penyakit sistem (3.1) diperoleh ketika tidak ada

individu yang terinfeksi dalam suatu populasi, dengan kata lain jika

Akibatnya karena Dengan mensubstitusikan ke persamaan

(3.2), maka diperoleh

Dengan demikian, titik kesetimbangan bebas penyakit dari sistem (3.1) adalah

Page 10: Model HIV Fiks

3.3.2 Titik Kesetimbangan Endemik

Perhatikan bahwa . Dengan demikian

bergantung pada waktu sehingga titik kesetimbangannya juga bergantung pada

waktu. Oleh karena itu diasumsikan bahwa dinamik endemiknya konstan. Dengan

kata lain sehingga

. (3.5)

Jika persamaan (3.1) disubstitusikan ke persamaan (3.5) diperoleh

(3.6)

Dari persamaan (3.3) diperoleh

Substitusikan persamaan (3.6) ke persamaan sehingga

diperoleh

Page 11: Model HIV Fiks

(3.7)

Substitusikan persamaan (3.6) ke persamaan (3.2) sehingga diperoleh

(3.8)

Selanjutnya, dari persamaan (3.7) dan persamaan (3.8) diperoleh

Page 12: Model HIV Fiks

(3.9)

Sementara itu, dari persamaan (3.4) diperoleh

(3.10)

Kemudian, dari persamaan (3.9) dan persamaan (3.10) diperoleh

Page 13: Model HIV Fiks

(3.11)

Substitusikan persamaan (3.9) ke persamaan (3.7) sehingga diperoleh

(3.12)

Dengan demikian diperoleh titik kesetimbangan endemik sistem (3.1) adalah

dengan

Page 14: Model HIV Fiks

Selanjutnya, akan dicari angka Basic Reproduction Ratio Number untuk

model RTK. Nilai dapat dicari dengan rumus maka diperoleh

.

3.4 Analisis Perilaku Model

Informasi mengenai perilaku penyelesaian sistem diperoleh dari hasil analisis

kestabilan titik kesetimbangan sistem (3.1). Matriks Jacobi pada persekitaran

titik kesetimbangan yaitu

Page 15: Model HIV Fiks

Sistem non linier (3.1) mempunyai titik kesetimbangan

maka terlebih dahulu dilakukan transformasi

koordinat, yaitu

Jadi, diperoleh hasil linierisasi sistem (3.1) di sekitar titik kesetimbangan

sebagai berikut

(3.12)

Page 16: Model HIV Fiks

3.4.1 Analisis Perilaku Model di Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Proses analisis perilaku model pada titik kesetimbangan bebas penyakit

menggunakan sistem linier (3.12) yang merupakan hasil linierisasi sistem (3.1) di

sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit

yaitu (3.13)

Matriks Jacobi di sekitar titik kesetimbangan

pada

sistem (3.12) adalah

Dengan demikian, diperoleh

Untuk kasus bebas penyakit maka . Akitbatnya,

Oleh karena itu, Dengan kata lain,

sehingga titik merupakan satu-satunya titik kesetimbangan dari sistem

linier (3.12). Persamaan karakteristik dari matriks adalah

Page 17: Model HIV Fiks

(3.14)

Dari persamaan (3.14) diketahui bahwa

sehingga diperoleh

Selain itu, dari persamaan (3.14) juga diketahui bahwa

, sehingga diperoleh

. Nilai karena berdasarkan angka rasio

reproduksi dasar . Dengan kata lain, titik kesetimbangan sistem linier (3.13)

di sekitar titik kesetimbangan bersifat stabil asimtotis jika

Selanjutnya, berdasarkan Teorema Kestabilan Sistem Non Linier diperoleh titik

kesetimbangan bebas penyakit sistem non linier (3.1) juga bersifat stabil

asimtotis jika Artinya jika maka untuk jangka waktu yang lama

penyelesaian model penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan akan menuju ke

titik kesetimbangan bebas penyakit .

3.4.2 Analisis Perilaku Model di Titik Kesetimbangan Endemik

Titik kesetimbangan endemik dari model penyebaran penyakit dengan

pengkarantinaan pada sistem (3.1) adalah

Untuk kasus bebas penyakit maka . Akitbatnya,

Page 18: Model HIV Fiks

Dengan demikian, asumsi yang didapatkan dari dan diatas adalah :

Hasil linierisasi sistem (3.1) di sekitar titik kesetimbangan adalah

(3.4)

dengan merupakan matriks Jacobi di sekitar titik kesetimbangan yaitu

Page 19: Model HIV Fiks

Oleh karena itu,

Jadi Dengan kata lain, maka titik merupakan satu-

satunya titik kesetimbangan dari sistem linier (4.15).

Adapun persamaan karakteristik dari matriks adalah

Jika dimisalkan maka diperoleh

Page 20: Model HIV Fiks

,dengan merupakan entri dari baris

ke- kolom ke- matrik sehingga diperoleh

dengan

Page 21: Model HIV Fiks

Selanjutnya, akan digunakan kriteria Routh-Test untuk mengetahui bagian riil dari

akar-akar karakteristik persamaan (3.16) bernilai positif atau negatif. Karena

diasumsikan maka diperoleh

Page 22: Model HIV Fiks

Dengan kata lain, setiap koefisien dari persamaan karakteristik (3.16)

bernilai positif sehingga syarat pertama kriteria Routh-Test terpenuhi. Kemudian,

perhatikan bahwa

oleh karena itu, diasumsikan bahwa

agar syarat kedua dari kriteria Routh-Test terpenuhi yaitu

Berdasarkan kriteria Routh-Test diperoleh Dengan

kata lain, titik kesetimbangan sistem linier (3.15) di sekitar titik kesetimbangan

bersifat stabil asimtotis. Selanjutnya, berdasarkan Teorema Kestabilan Sistem

Non Linier diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit sistem non linier

(3.1) juga bersifat stabil asimtotis jika Artinya untuk jangka waktu yang

lama penyelesaian model penyebaran penyakit dengan perbedaan level infeksi

akan menuju ke titik kesetimbangan endemik

3.5 Simulasi Model

Simulasi model dalam penelitian ini dilakukan menggunakan software Maple

dengan data simulasi berupa data penyakit HIV/AIDS.

Misalkan

Page 23: Model HIV Fiks

maka . Dengan

demikian, sistem (3.1) dalam keadaan endemik. Adapun titik kesetimbangan

endemiknya adalah

Page 24: Model HIV Fiks

Plot terhadap waktu adalah sebagai berikut:

Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa jumlah orang yang rentan pada saat awal

sebanyak 200 orang. Dalam jangka waktu yang lama jumlah yang rentan akan

menuju ke titik kesetimbangannya yaitu orang.

Page 25: Model HIV Fiks

Plot terhadap waktu adalah sebagai berikut:

Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa jumlah orang yang terinfeksi pada saat

awal sebanyak 50 orang. Dalam jangka waktu yang lama jumlah yang terinfeksi

akan menuju ke titik kesetimbangannya yaitu orang.

Page 26: Model HIV Fiks

Plot terhadap waktu adalah sebagai berikut:

Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa jumlah orang yang dikarantina pada saat

awal sebanyak 20 orang. Dalam jangka waktu yang lama jumlah yang terinfeksi

akan menuju ke titik kesetimbangannya yaitu orang.

Page 27: Model HIV Fiks

4. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan, beberapa hal yang dapat disimpulkan adalah

sebagai berikut :

1. Model penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan adalah

dengan

= Jumlah individu rentan = Jumlah individu yang terinfeksi = Jumlah individu yang dikarantina = Jumlah individu dalam populasi = Laju kelahiran pada individu rentan = Tingkat kematian

=Tingkat efektivitas kontak antara individu rentan dengan individu yang telah terinfeksi

= Tingkat kelahiran pada individu terinfeksi = Tingkat pengkarantinaan

2. Dari model penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan, diperoleh angka

Basic Reproduction Ratio Number

Kasus epidemik pada populasi dipengaruhi oleh faktor tingkat efektivitas kontak

antara individu rentan dengan individu yang telah terinfeksi, tingkat kelahiran

pada individu terinfeksi, tingkat kematian alami, dan tingkat pengkarantinaan.

Page 28: Model HIV Fiks

3. Model penyebaran penyakit dengan pengkarantinaan mempunyai dua jenis

titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit

dan titik kesetimbangan endemik

dengan

4. Berdasarkan analisis titik kesetimbangan, dapat disimpulkan bahwa titik

kesetimbangan bebas penyakit bersifat stabil asimtotis jika sedangkan

titik kesetimbangan endemik bersifat stabil asimtotis jika Hal ini berarti,

perilaku model untuk waktu yang lama akan menuju titik kesetimbangan bebas

penyakit jika dan akan menuju titik kesetimbangan endemik jika

Page 29: Model HIV Fiks

5. DAFTAR PUSTAKA

Edward, D., dan Penney, C. 2000. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. New Jersey: Prentice Hall.

Kreyszig, E. 2006. Advanced Engineering Mathematics. New York: John Wiley & Sons.