model epidemi continuous time markov chain (ctmc .../model... · perpustakaan.uns.ac.id...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

MODEL EPIDEMI CONTINUOUS TIME MARKOV CHAIN

(CTMC) SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR)

oleh

DETA NURVITASARI

M0108036

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012

i


commit to user

ii


commit to user

ABSTRAK

Deta Nurvitasari, 2012. MODEL EPIDEMI CONTINUOUS TIME MARKOVCHAIN (CTMC) SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR).Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Model epidemi CTMC SIR merupakan salah satu model yang menggambar-kan penyebaran penyakit dengan karakteristik, setiap individu sembuh memilikikekebalan tubuh. Model tersebut menggambarkan transisi individu dari kelom-pok susceptible ke infected dan dari kelompok infected ke recovered dalam waktukontinu. Pada penyebaran penyakit, parameter yang sangat berperan adalah βdan γ yang nilainya tidak diketahui secara pasti tetapi dapat diestimasi meng-gunakan metode maksimum likelihood.

Tujuan dari penelitian ini adalah menurunkan ulang model CTMC SIRdengan terlebih dahulu menentukan asumsi, probabilitas transisi, dan matriksprobabilitas transisi. Selanjutnya, mengestimasi parameter β dan γ dengan meng-gunakan metode maksimum likelihood dan menetukan probabilitas berakhir epi-demi. Berdasarkan hasil estimasi, diperoleh suatu model yang dapat diterap-kan pada penyakit smallpox di Nigeria. Model yang diperoleh dapat disimulasi-kan dengan pengambilan nilai awal jumlah individu terinfeksi I(0) yang ber-beda. Sehingga, berdasarkan hasil simulasi diperoleh bahwa pemberian nilai I(0)yang berbeda dapat berpengaruh terhadap periode infeksi dan jumlah maksimumindividu terinfeksi.

Kata kunci: CTMC, likelihood, SIR

iii


commit to user

ABSTRACT

Deta Nurvitasari, 2012. MODEL OF CONTINUOUS TIME MARKOVCHAIN (CTMC) SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) EPIDEMIC.Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

Model of CTMC SIR epidemic is one of model that describe the spread ofthe disease with the charactheristics that individuals who have recovered immune.In the model of CTMC SIR, there are a transition from susceptible to infectedand infected to recovered in a continuous time interval. There are parametersthat influence the spread of the disease, i.e infection rate and rate of recovery.The value of the parameters are not known exactly, but it can be estimated usingthe method of maximum likelihood estimation.

The aims of the research are to reformed of CTMC SIR model by deter-mined the assumptions, the transition probability, and the transition matrix ofCTMC SIR model. Furthemore, the parameters in the model i.e β and γ will beestimated using maximum likelihood estimation and determine probability of theend of epidemic. Based on the estimation results, to illustrate an application ofthe model is taken to refer the case smallpox in Nigeria. The model can be simu-lated by taking some of the number of individuals infected at the time to zero,I(0). Based on the graph simulation that the initial values I(0) can influence theinfection period and the maximum number of individuals infected.

Key words: CTMC, likelihood, SIR

iv


commit to user

MOTO

Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.

Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.

(Q.S. Al - Insyirah : 5-6)

Being in the right place at the right time. (Bill Gates)

Reach your ideal with attention, heart, and spirit. (Penulis)

v


commit to user

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Ayah, Ibu, dan Prima Bayu Sulistyo.

vi


commit to user

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahk-

an rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu

penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada

1. Bapak Dr. Sutanto, DEA. selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Sri Kuntari,

M.Si. selaku Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan

dukungan dalam penulisan skripsi ini,

2. Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si. yang telah memberikan saran dan masukan

dalam proses skripsi ini,

3. Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. yang telah memberikan ma-

sukan dalam proses skripsi ini,

4. semua pihak yang turut membantu dalam penulisan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.

Surakarta, Juli 2012

Penulis

vii


commit to user

Daftar Isi

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Model Susceptible Infected Recovered (SIR) . . . . . . . . . 4

2.1.2 Model SIR Deterministik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.3 Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.4 Proses Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.5 Metode Estimasi Maksimum Likelihood . . . . . . . . . . . 7

2.1.6 Embedded Continuous Time Markov Chain . . . . . . . . . 8

2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

IIIMETODE PENELITIAN 10

viii


commit to user

IVPEMBAHASAN 11

4.1 Model CTMC SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Estimasi Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Probabilitas Berakhir Epidemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4 Penerapan Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

V PENUTUP 22

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

DAFTAR PUSTAKA 24

ix


commit to user

Daftar Gambar

2.1 Skema Model SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.1 Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I(0) = 1,-

I(0) = 2, dan I(0) = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I(0) = 1,-

I(0) = 2, dan I(0) = 5 berdasarkan Probabilitas Berakhir Epidemi 21

x


commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Kesehatan merupakan faktor terpenting dalam kehidupan manusia. Per-

ubahan cuaca, dan pola hidup serta kondisi lingkungan yang kurang sehat dalam

suatu populasi merupakan beberapa faktor yang dapat menyebabkan timbulnya

penyakit, baik secara langsung maupun tidak langsung. Penyakit menular yang

disebabkan oleh jamur, bakteri maupun virus sudah menjadi masalah umum di

berbagai belahan dunia.

Penularan suatu penyakit dari satu individu ke individu lain dapat melalui

kontak langsung, saluran napas maupun saluran cerna. Epidemi adalah suatu

penyakit menular yang berjangkit dalam masyarakat yang jumlah penderitanya

meningkat pada waktu dan daerah tertentu. Di Indonesia, epidemi diartikan

sebagai wabah, yaitu penyakit menular yang dengan cepat berjangkit di daerah

yang luas dan menimbulkan banyak korban. Epidemi tidak hanya menimbul-

kan tingginya angka kematian tetapi juga dapat mengakibatkan kerugian finan-

sial yang besar. Sehingga, perlu dilakukan pengendalian terhadap penyebaran

penyakit. Salah satu langkah awal dalam usaha pengendalian tersebut adalah

mempelajari pola penyebaran penyakit.

Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat digunakan dalam

menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kehidupan manusia. Salah

satu penerapannya, yaitu analisis pola penyebaran suatu penyakit. Untuk menge-

tahui proses penyebaran penyakit, dikenal beberapa model penyebaran penyakit

(epidemi), baik ditinjau secara deterministik maupun probabilistik.

Seiring perkembangan teknologi, telah banyak penelitian yang dilakukan

untuk mengetahui pola penyebaran suatu epidemi dalam suatu populasi. Salah

1


commit to user

satu model epidemi adalah model SIR. Menurut Brauer et al. [4], model SIR

merupakan suatu model matematika yang menggambarkan penyebaran epidemi,

dengan setiap individu yang telah sembuh dari infeksi mempunyai sistem ke-

kebalan tubuh. Pada model SIR, populasi terbagi dalam tiga kelompok, yaitu

susceptible (S), infected (I), dan recovered (R). Kelompok S terdiri dari individu

sehat yang belum terinfeksi penyakit tetapi rentan terhadap infeksi, kelompok I

terdiri dari individu yang terinfeksi penyakit, dan kelompok R terdiri dari indi-

vidu yang mempunyai sistem kekebalan tubuh karena telah sembuh dari infeksi

penyakit. Dalam kondisi awal, total jumlah popolasi merupakan penjumlahan da-

ri nilai awal dari jumlah individu rentan penyakit, jumlah individu terinfeksi, dan

jumlah individu sembuh sehingga dapat dituliskan sebagaiN = S(0)+I(0)+R(0).

Model SIR dapat ditinjau secara deterministik maupun probabilistik. Pola

penyebaran epidemi yang ditinjau secara probabilistik terbagi menjadi tiga mo-

del, yaitu DTMC (discrete time markov chain), CTMC (continuous time markov

chain), dan SDE (stochastic differential equation).

Model DTMC merupakan suatu model penyebaran penyakit dalam selang

waktu diskrit, t = 0, 1, 2, ...T. Model tersebut menggambarkan perpindahan indi-

vidu dari kelompok S ke I dan dari kelompok I ke R yang diambil secara random

dalam suatu populasi.

Model CTMC merupakan suatu model penyebaran penyakit dalam selang

waktu kontinu, t = [0, T ). Model tersebut menggambarkan perpindahan individu

dari kelompok S ke I dan dari kelompok I ke R yang diambil secara random

dalam suatu populasi.

Model SDE merupakan suatu model penyebaran penyakit dalam selang

waktu kontinu, t = [0, T ). Model tersebut menggambarkan perubahan jumlah

individu pada kelompok S, I, dan R yang diambil secara random dalam suatu

populasi.

Menurut Parzen [11], perubahan jumlah individu terinfeksi berkaitan erat

dengan probabilitas suatu kejadian. Dengan demikian, penyebaran epidemi suatu

penyakit merupakan suatu kejadian random yang bergantung pada waktu dan

2


commit to user

berkaitan dengan probabilitas, atau dapat disebut sebagai suatu proses stokastik.

Suatu epidemi diharapkan berhenti sebelum menginfeksi seluruh individu dalam

suatu populasi karena berakibat dapat menimbulkan kerugian yang cukup besar.

Suatu epidemi dikatakan berhenti apabila tidak ada lagi individu yang terinfeksi.

Pada penelitian ini, penulis ingin mengetahui pola penyebaran penyakit

tertentu yang ditinjau secara probabilistik. Model yang digunakan adalah model

continuous time markov chain (CTMC) susceptible infecected recovered (SIR).

Model tersebut mengkaji mengenai perubahan variabel random diskrit, yaitu

jumlah individu yang rentan terhadap infeksi (S) dan jumlah individu terinfeksi

(I) dalam selang waktu kontinu.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, diperoleh perumusan masalah

1. bagaimana menurunkan ulang model epidemi CTMC SIR ?

2. bagaimana menerapkan dan mensimulasikan model CTMC SIR pada suatu

kasus epidemi dengan pengambilan I(0) yang berbeda?

1.3 Tujuan

Tujuan penelitian ini adalah

1. dapat menurunkan ulang model epidemi CTMC SIR,

2. dapat menerapkan dan mensimulasikan model pada suatu kasus epidemi

dengan pengambilan I(0) yang berbeda.

1.4 Manfaat

Dari penelitian ini diharapkan dapat menambah pemahaman mengenai pe-

nerapan model matematika terhadap pola penyebaran suatu penyakit epidemi.

3


commit to user

Bab II

LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka

Salah satu penelitian yang telah membahas mengenai model epidemi yang

ditinjau secara probabilistik, yaitu The SIS and SIR stochastic epidemic models

revisited oleh Altalejo [1]. Dalam penelitian ini, akan dibahas mengenai pe-

nurunan ulang model epidemi SIR ditinjau secara probabilistik dengan mengguna-

kan CTMC (continuous time markov chain) yang merujuk dari Brauer et al.

[4]. Selanjutnya, model tersebut diterapkan dalam suatu kasus epidemi dan

disimulasikan pada beberapa nilai I(0) yang berbeda. Untuk menurunkan ulang

model CTMC SIR, diuraikan terlebih dahulu beberapa hal yang mendasarinya.

2.1.1 Model Susceptible Infected Recovered (SIR)

Model SIR merupakan suatu model yang menggambarkan pola penyebaran

suatu penyakit dari satu individu ke indivu yang lain. Menurut Brauer et al. [4],

pada model SIR individu yang sembuh dari infeksi memiliki kekebalan tubuh.

Total populasi dari model epidemi SIR terbagi menjadi tiga kelompok, yaitu

kelompok susceptible (S), infected (I), dan recovered (R). Kelompok S merupakan

kelompok individu sehat dan belum terinfeksi penyakit tetapi rentan terinfeksi,

kelompok I merupakan kelompok individu terinfeksi, dan kelompok R merupakan

kelompok individu yang telah sembuh dari infeksi.

Pada model SIR, penyebaran penyakit terjadi apabila terdapat perpindahan

individu dari kelompok S ke I dengan laju penularan sebesar β dan dari kelompok

I ke R dengan laju kesembuhan sebesar γ, yang ditunjukkan oleh Gambar (2.1).

Setiap individu susceptible akan menjadi terinfeksi apabila berinteraksi dengan

individu infected dengan laju penularan sebesar β, sedangkan nilai parameter γ

4


commit to user

Gambar 2.1. Skema Model SIR

menunjukkan besarnya laju kesembuhan pada kelompok infected.

2.1.2 Model SIR Deterministik

Model SIR deterministik merupakan salah satu model epidemi yang diguna-

kan untuk mengetahui pola penyebaran suatu penyakit. Asumsi dari model SIR

deterministik sebagai berikut

1. populasi tertutup (konstan) dan dalam jumlah yang besar,

2. populasi bercampur homogen sehingga setiap individu mempunyai karak-

teristik yang sama,

3. tidak memperhatikan faktor kelahiran dan kematian,

4. hanya satu penyakit yang menyebar dalam populasi.

Menurut Hethcote [7], jumlah individu pada kelompok S, I, dan R pada

waktu t masing - masing dinyatakan sebagai S(t), I(t), dan R(t). Karena di-

asumsikan bahwa populasi konstan sehingga S(t) + I(t) + R(t) = N , dengan N

merupakan total populasi. Besarnya laju penularan dan laju kesembuhan masing-

masing dinyatakan dengan β, dan γ. Apabila setiap individu infected, dengan

kemungkinan IN

berinteraksi dengan individu susceptible dengan laju penularan

sebesar β, akan berakibat jumlah individu susceptible berkurang sebesar β ISN.

Pengurangan sebesar β ISN

pada kelompok susceptible mengakibatkan penambah-

an pada kelompok infected. Dikarenakan besarnya laju kesembuhan dinyatakan

sebagai γ sehingga kesembuhan pada kelompok infected sebesar γI. Menurut

5


commit to user

Brauer et al. [4], model SIR deterministik dinyatakan sebagai

dS

dt= −β

IS

N,

dI

dt= β

IS

N− γI,

dR

dt= γI.

(2.1)

Pada persamaan (2.1), dSdt

, dIdt, dan dR

dtmasing - masing menunjukkan perubahan

jumlah individu pada kelompok susceptible, infected, dan recovered.

2.1.3 Proses Stokastik

Menurut Taylor dan Karlin [12], proses stokastik merupakan sekumpulan

variabel random Xl(y)/l ϵ L, y ϵ Y dengan L himpunan indeks dan Y ruang

sampel. Himpunan indeks L sering dinyatakan sebagai himpunan waktu. Him-

punan L dikatakan kontinu apabila L berada pada interval [0, L]. Sedangkan,

himpunan L dikatakan diskrit apabila L berada pada 0, 1, 2, ..., L.

Menurut Nguyen [9], proses stokastik merupakan kumpulan variabel ran-

dom yang dinotasikan dengan Xl atau X(l), dengan l merupakan indeks yang

menjelaskan waktu. Proses stokastik terbagi dalam empat kategori yang berbeda

tergantung l atau Xl, yaitu

1. discrete processes : l dan Xl diskrit, sebagai contoh discrete time markov

chain (DTMC),

2. continuous time discrete state processes : (Xl) diskrit tetapi l kontinu pada

interval bilangan real R, sebagai contoh

(a) poisson process

(b) continuous time markov chain (CTMC)

(c) queuing processes

3. continuous processes : l dan Xl kontinu,

4. discrete time continuous state processes : l diskrit tetapi Xl kontinu.

6


commit to user

2.1.4 Proses Markov

Menurut Taylor dan Karlin [12] serta Parzen [11], proses stokastik dengan l

diskrit X(l), l = 0, 1, 2, ... maupun proses stokastik dengan l kontinu X(l), l ≥

0 dapat dikatakan sebagai proses Markov, apabila diberikan suatu nilai Xl,

maka nilai X(m) dengan m > l tidak bergantung pada nilai X(u) dengan u < l.

Sehingga, probabilitas bersyarat dari X(ln) dengan syarat X(l1), . . . , X(ln−1)

hanya bergantung pada nilaiX(ln−1). Jika diberikan suatu nilai tertentu x1, . . . , xn,

maka probabilitas bersyarat tersebut adalah

P [X(ln) ≤ xn|X(l1) = x1, . . . , X(ln−1) = xn−1] = P [X(ln) ≤ xn|X(ln−1) = xn−1]

Suatu nilai tertentu x dikatakan sebagai suatu state dari proses stokastik

Xl,l ϵ L jika terdapat l dalam L. Sehingga, probabilitas P [x−h < Xt < x+h]

bernilai positif untuk setiap h > 0. Selanjutnya, himpunan nilai yang mungkin

dalam suatu proses stokastik dinamakan ruang state. Suatu ruang state disebut

diskrit jika terdiri dari state yang memuat bilangan berhingga (finite) ataupun

state yang memuat bilangan countable yang tak berhingga (infinite). Suatu

proses Markov yang mempunyai ruang state diskrit dinamakan rantai Markov

(Markov chain).

2.1.5 Metode Estimasi Maksimum Likelihood

Menurut Brauer et al. [4], parameter - parameter pada model CTMC SIR

dapat diestimasi dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Bain dan

Engelhardt [3], memaparkan definisi dari fungsi likelihood sebagai berikut.

Definisi 2.1.1. Statistik W = w(X1, X2, . . . , Xn) digunakan untuk mengevaluasi

nilai dari τ(θ) disebut sebagai estimator dari τ(θ) yang dinotasikan dengan τ(θ)

dan suatu observasi dari statistik w = w(x1, x2, . . . , xn) merupakan nilai estimasi

dari τ(θ).

Definisi 2.1.2. Fungsi likelihood dapat didefinisikan sebagai fungsi kepadatan

probabilitas dari n variabel random X1, X2, . . . , Xn yang dievaluasi pada titik

7


commit to user

x1, x2, . . . , xn, yaitu f(x1, x2, . . . , xn). Untuk suatu nilai tertentu x1, x2, . . . , xn,

fungsi likelihood adalah fungsi dari θ yang dinotasikan dengan L(θ). Apabila

dimisalkan X1, X2, . . . , Xn merupakan suatu sampel random dari f(xn, θ), maka

L(θ) = f(x1; θ)f(x2; θ) . . . f(xn; θ).

Definisi 2.1.3. Misalkan L(θ) = f(x1, . . . , xn; θ),dengan θ ϵ Ω merupakan fungsi

kepadatan probabilitas bersama dari X1, . . . , Xn. Jika diberikan suatu himpunan

observasi (x1, . . . , xn), nilai θ pada Ω dengan L(θ) maksimum disebut estimasi

maksimum likelihood dari θ. Sehingga θ merupakan estimator dari θ, dan berlaku

f(x1, . . . , xn; θ) = maxθϵΩ

f(x1, . . . , xn; θ).

Pada Definisi 2.1.3, L(θ) mencapai maksimum apabila

d

dθL(θ) = 0. (2.2)

Selanjutnya, jika nilai θ pada L(θ) maksimum, maka nilai loglikelihood dari L(θ)

juga maksimum. Sehingga diperoleh

d

dθlnL(θ) = 0.

2.1.6 Embedded Continuous Time Markov Chain

Menurut Nielsen [10], apabila proses transisi terjadi dari state i menuju

state j dengan j = i, maka probabilitasnya sebesar

Vij(h) = Pr[X(h) = j \X(h) = i,X(0) = i]

=Pij(h)

1− Pii(h)

(2.3)

dengan Vij merupakan probabilitas transisi pada embedded markov chain.

Menurut Brauer et al. [4] embedded markov chain dapat digunakan dalam

proses berakhirnya epidemi. Dalam hal ini, diperlukan perhitungan probabilitas

transisi dari state (s, i), dengan s = 0, 1, . . . , N dan i = 0, 1, . . . , N − s. Pada

proses berakhirnya suatu epidemi, embedded markov chain hanya mementingkan

probabilitas transisi.

8


commit to user

2.2 Kerangka Pemikiran

Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun suatu kerangka pemikiran un-

tuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian ini. Pada penyebaran epidemi

dalam suatu populasi, setiap individu mempunyai kekebalan tubuh sehingga indi-

vidu yang telah sembuh tidak dapat terinfeksi kembali dan digambarkan melalui

model SIR.

Apabila ditinjau secara probabilistik, penyebaran epidemi diartikan sebagai

suatu proses stokastik yang dapat digambarkan dalam suatu model, yaitu model

epidemi CTMC SIR. Pada model tersebut variabel random yang dikaji adalah

variabel random jumlah individu yang rentan terhadap infeksi penyakit S(t) dan

jumlah individu terinfeksi I(t) dalam selang waktu kontinu t = [0, T ].

Penurunan ulang model CTMC SIR dilakukan dengan menentukan besar-

nya probabilitas transisi terlebih dahulu. Terdapat parameter laju penularan

dan laju kesembuhan yang berpengaruh secara signifikan terhadap penyebaran

penyakit. Nilai dari kedua parameter tersebut tidak diketahui secara pasti tetapi

dapat diestimasi. Pada penelitian ini, metode estimasi parameter yang digunakan

adalah metode estimasi maksimum likelihood.

Suatu epidemi dikatakan berakhir jika tidak ada individu yang terinfeksi.

Dengan kata lain, jumlah individu terinfeksi pada waktu t adalah nol. Selanjut-

nya, melalui hasil simulasi dapat digambarkan pola penyebaran suatu penyakit.

Sebelum melakukan simulasi terhadap model yang diperoleh, terlebih dahu-

lu menentukan asumsi, probabilitas transisi, dan matriks probabilitas transisi un-

tuk menurunkan ulang model CTMC SIR. Selanjutnya, mengestimasi parameter

dan menentukan probabilitas berakhir epidemi dengan menggunakan embedded

markov chain. Berdasarkan hasil estimasi parameter, diperoleh suatu model yang

dapat diterapkan dalam suatu kasus epidemi.

9


commit to user

Bab III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu

dengan cara mempelajari materi dari berbagai referensi antara lain buku - buku,

artikel ilmiah, dan jurnal - jurnal yang sesuai dengan tujuan penelitian. Adapun

langkah - langkah yang ditempuh dalam mencapai tujuan penelitian adalah

1. menurunkan ulang model CTMC SIR yang terdiri dari

(a) menentukan asumsi model CTMC SIR,

(b) menentukan probabilitas transisi individu susceptible (S) dan individu

infected (I),

(c) menentukan matriks probabilitas transisi pada individu susceptible (S)

dan individu infected (I).

2. mengestimasi nilai parameter yang berpengaruh terhadap penyebaran suatu

penyakit dengan menggunakan metode maksimum likelihood,

3. menentukan probabilitas berakhir epidemi dengan embedded markov chain,

4. menerapkan model pada suatu kasus epidemi dengan simulasi untuk nilai

I(0) yang berbeda,

5. memberikan interpretasi terhadap hasil simulasi.

10


commit to user

Bab IV

PEMBAHASAN

4.1 Model CTMC SIR

Pada bagian ini penurunan ulang dari model Continuous Time Markov

Chain (CTMC) SIR mengacu pada Brauer et al. [4]. Menurut Brauer et al. [4],

model CTMC SIR merupakan suatu fungsi probabilitas jumlah individu yang

rentan terhadap infeksi dan jumlah individu terinfeksi pada waktu ke t. Hal ini

dikarenakan terdapat dua variabel random independen, S(t), I(t) dan dapat

dinyatakan sebagai R(t) = N − S(t)− I(t). Sehingga, proses epidemi SIR dapat

dipandang bivariat. Misalkan S(t) dan I(t) masing - masing merupakan jumlah

individu yang rentan terhadap infeksi dan jumlah individu terinfeksi pada waktu

t, maka fungsi probabilitas bersama diberikan

p(s,i) = Prob[S(t) = s, I(t) = i]

dengan t = [0, T ], s = 1, 2, ..., N , dan i = 1, 2, ..., N . Selain itu, S dan I dipandang

sebagai variabel random yang masing - masing dinyatakan dalam suatu sampel

random s dan i.

Perpindahan dari individu rentan ke individu terinfeksi disebut transisi.

Dalam penelitian ini, dimungkinkan hanya ada satu individu yang bertransisi

pada selang waktu yang sangat kecil. Sehingga, pada setiap waktu dalam interval

t = [0, T ], terjadi perubahan jumlah individu S, I, dan R yang dapat dinyatakan

dalam suatu probabilitas.

Jumlah individu yang rentan terhadap infeksi maupun jumlah indivdu ter-

infeksi dapat berubah setiap waktu dalam interval waktu t = [0, T ]. Probabilitas

berpindahnya jumlah individu rentan infeksi dari sejumlah s menjadi s + k dan

berpindahnya jumlah individu terinfeksi dari sejumlah i menjadi i+j pada selang

11


commit to user

waktu tertentu adalah

p(s+k,i+j),(s,i)(∆t) = Prob(∆S,∆I) = (k, j)|S(t), I(t)) = (s, i) (4.1)

Menurut Trapman [13], asumsi yang digunakan dalam penurunan model epidemi

CTMC SIR adalah

1. penyakit menyebar pada suatu populasi yang tertutup sehingga tidak ada

individu yang migrasi (masuk dan keluar) dari populasi tersebut,

2. pada kondisi awal terdapatN−m jumlah susceptible danm jumlah infected,

3. populasi bercampur homogen,

4. model tidak memperhatikan faktor kelahiran dan kematian sehingga transisi

pada kelompok S, I, dan R hanya melibatkan laju penularan dan laju

kesembuhan,

5. setiap individu merupakan kelompok recovered jika periode infeksi pada

kelompok infected berakhir,

6. hanya terdapat satu individu yang bertransisi dari s ke s+ k dan dari i ke

i+ j pada selang waktu yang sangat kecil,

7. hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi tersebut.

Berdasarkan asumsi ke enam, transisi terjadi pada selang waktu yang sangat

kecil sehingga dimungkinkan hanya terdapat satu individu yang bertransisi, yaitu

dari state (s, i) ke state (s − 1, i + 1), dari state (s, i) ke (s, i − 1), dan dari

state (s, i) ke (s, i). Pada saat individu bertransisi dari (s, i) ke (s − 1, i + 1)

berarti jumlah individu sehat (S) berkurang satu, sedangkan jumlah individu

terinfeksi (I) bertambah satu. Dengan demikian, terjadi transisi satu individu

dari kelompok S ke kelompok I yang berakibat terjadi infeksi baru (penularan

penyakit dari individu I ke individu S) melalui suatu interaksi.

Jika β menyatakan besarnya laju penularan, I(t) menyatakan jumlah indi-

vidu terinfeksi pada waktu t, S(t) menyatakan jumlah individu rentan terhadap

12


commit to user

infeksi pada waktu t, dan N menyatakan total populasi. Menurut Hethcote [6]

βI(t)N

merupakan rata-rata jumlah penularan setiap individu susceptible dengan

individu infected tiap satuan waktu. Sehingga, menurut Brauer et al. [4], besar-

nya probabilitas transisi dari state (s, i) ke state (s−1, i+1) dalam selang waktu

∆t adalah

βis

N∆t+ o(∆t) (4.2)

dengan o(∆t) menunjukkan suatu nilai probabilitas yang sangat kecil dan tidak

dapat dinyatakan dengan pasti.

Pada saat jumlah individu bertransisi dari (s, i) ke (s, i−1), berarti jumlah

individu terinfeksi berkurang satu. Hal ini disebabkan adanya perpindahan satu

individu dari kelompok I ke kelompok R dengan laju kesembuhan sebesar γ.

Sehingga, besarnya probabilitas transisi dari state (s, i) ke state (s, i− 1) dalam

selang waktu ∆t adalah

γi∆t+ o(∆t). (4.3)

Selain itu, saat jumlah individu bertransisi dari state (s, i) ke state (s, i),

berarti tidak ada penambahan maupun pengurangan jumlah individu sehat dan

individu terinfeksi. Dengan kata lain, tidak ada perpindahan satu individu dari

kelompok S dan kelompok I. Sehingga, besarnya probabilitas transisi dari state

(s, i) ke (s, i) adalah

1−(βis

N+ γi

)∆t+ o (∆t) . (4.4)

Pada selang waktu yang sangat kecil, dimungkinkan hanya terdapat satu

individu yang bertransisi. Dari suatu state ke state lainnya, kemungkinan jumlah

individu yang bertransisi lebih dari atau sama dengan dua individu (> 2) sangat-

lah kecil. Oleh sebab itu, besarnya probabilitas transisi dengan jumlah individu

yang bertransisi lebih dari sama dengan dua dalam selang waktu ∆t adalah

o (∆t) . (4.5)

13


commit to user

Persamaan (4.2), (4.3), (4.4), dan (4.5) dapat dituliskan ulang dalam suatu sistem

persamaan probabilitas transisi yang dinyatakan sebagai

p(s+k,i+j),(s,i)(∆t) =

βNis∆t+ o(∆t), (k,j)=(-1,1);

γi∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,-1);

1− βisN∆t− γi∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,0);

o(∆t), yang lain.

(4.6)

Persamaan (4.6) dapat dinyatakan dalam suatu matriks probabilitas transisi

yang memuat besarnya probabilitas perpindahan individu dari state (s, i) menuju

state (s+k, i+j). Matriks tersebut dimulai dari (k, j) = (0, 0) dan berakhir pada

(k, j) = (−N,N). Jika P (∆t) merupakan matriks probabilitas transisi pada

selang waktu ∆t, berdasarkan persamaan (4.6) dapat dituliskan sebagai berikut

P HDt L =

1 0 0 0 0 0 º 0 0 º 0 º 0

0 1 - Βis

N- Γi 0 Β

is

NΓi 0 º 0 0 º 0 º 0

0 0 1 - Βis

N- Γi Γi 0 Β

is

Nº 0 0 º 0 º 0

» » » » » » ¸ » » ¸ » ¸ »

0 0 0 0 0 0 º 1 - Βis

N- Γi Γi º Β

is

Nº 0

» » » » » » ¸ » » ¸ » ¸ »

0 0 0 0 0 0 º 0 0 º Γi º 1 - Γi

Jika dimisalkan bahwa matriks P (∆t) dengan ukuran N2xN2 memuat par-

tisi yang menunjukkan transisi individu dari kelompok S, I, dan R dengan

A1 =

1− β isN− γi 0 β is

Nγi 0

0 1− β isN− γi γi 0 β is

N

, . . . ,

AN =

1 - Βis

N- Γi 0 º Β

is

NΓi 0 º 0 º 0 º 0

0 1 - Βis

N- Γi º 0 Β

is

NΓi º 0 º 0 º 0

» » ¸ » » » ¸ » ¸ » ¸ »

0 0 º 0 0 0 º 0 º Γi º 1 - Γi

.

14


commit to user

Sehingga, matriks P (∆t) dapat dituliskan sebagai

P (∆t) =

1 0 0 0 · · · 0

0 A1 0 0 · · · 0

0 0 A2 0 · · · 0...

......

.... . .

...

0 0 0 0 · · · AN

.

4.2 Estimasi Parameter

Parameter pada model CTMC SIR dapat diestimasi dengan mengguna-

kan metode maksimum likelihood. Dalam suatu rantai markov, fungsi likelihood

merupakan hasil kali dari semua probabilitas yang mungkin. Pada model CTMC

SIR dalam penelitian ini, terdapat tiga transisi yang mungkin, yaitu dari state

(s, i) ke (s − 1, i + 1), state (s, i) ke (s, i − 1), dan state (s, i) ke (s, i) sehingga

fungsi likelihood diberikan dalam persamaan (4.7)

L =∏s,i

p(s,i),(s−1,i+1)p(s,i),(s,i−1)p(s,i),(s,i). (4.7)

Probabilitas transisi untuk transisi dari state (s, i) ke (s− 1, i+1), (s, i− 1), dan

(s, i) dalam selang waktu [0, T ] masing-masing dinyatakan sebagai∫ T

0βI(t)S(t)

Ndt,∫ T

0γI(t)dt, dan

∫ T

01− βI(t)S(t)

N− γI(t)dt.

Menurut Clancy dan O’Neill [5], fungsi likelihood pada model epidemi di-

pengaruhi oleh fungsi kedatangan. Menurut Kypraios [8], suatu epidemi meru-

pakan proses poisson dengan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial

sehingga dapat dinyatakan sebagai

L(β, γ) =

∫ T

0

βI(t)S(t)

Ndt

∫ T

0

γI(t)dt

∫ T

0

1− βI(t)S(t)

N− γI(t)dt

exp

(−∫ T

0

βI(t)S(t)

N+ γI(t) + 1− βI(t)S(t)

N− γI(t)dt

).

15


commit to user

Dalam hal ini, fungsi log-likelihood dapat dinyatakan sebagai

ln(L(β, γ)) =

(ln

∫ T

0

βI(t)S(t)

Ndt−

∫ T

0

βI(t)S(t)

Ndt

)+

(ln

∫ T

0

γI(t)dt−∫ T

0

γI(t)dt

)+

(ln

∫ T

0

(1− βI(t)S(t)

N− γI(t)dt

)−∫ T

0

(1− βI(t)S(t)

N− γI(t)dt

)).

Persamaan maksimum likelihood dapat diperoleh dengan memaksimumkan

fungsi log-likelihood. Dalam hal ini, memaksimumkan fungsi log-likelihood terjadi

ketika turunan parsial fungsi tersebut terhadap suatu parameter sama dengan

nol. Parameter-parameter pada model CTMC SIR adalah β dan γ. Fungsi

loglikelihood untuk parameter β dikatakan maksimum apabila

∂ ln(L(β, γ))

∂β= 0

sehingga diperoleh

((1∫ T

0βI(t)S(t)

Ndt

∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt

)−∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt

)+ 0 =0

+

((1∫ T

01− βI(t)S(t)

N− γI(t)dt

(−∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt

)))

−(−∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt

)1

β−∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt+

(−∫ T

0I(t)S(t)

N∫ T

01− βI(t)S(t)

N− γI(t)dt

)=0

+

∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt

(4.8)

Dari persamaan (4.8) diperoleh

1

β=

∫ T

0I(t)S(t)

Ndt∫ T

01− β I(t)S(t)

N− γI(t)dt

2β

∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt = T − γ

∫ T

0

I(t)dt.

(4.9)

Fungsi loglikelihood untuk parameter γ dikatakan maksimum apabila

∂ ln(L(β, γ)

∂γ) = 0

sehingga diperoleh

16


commit to user

0 +

(1∫ T

0γI(t)dt

∫ T

0

I(t)dt−∫ T

0

I(t)dt

)=0

+

(1∫ T

01− βI(t)S(t)

N− γI(t)dt

)(−∫ T

0

I(t)dt

)−(−∫ T

0

I(t)dt

)∫ T

0I(t)dt

γ∫ T

0I(t)dt

−∫ T

0

I(t)dt−

( ∫ T

0I(t)dt∫ T

01− βI(t)S(t)

N− γI(t)dt

)+

∫ T

0

I(t)dt =0

1

γ−

∫ T

0I(t)dt∫ T

01− β I(t)S(t)

N− γI(t)dt

=0

(4.10)

Dari persamaan (4.10) diperoleh

γ =T − β

∫ T

0I(t)S(t)

Ndt

2∫ T

0I(t)dt

(4.11)

Dengan mensubstitusi persamaan (4.11) pada persamaan (4.9) akan di-

peroleh estimasi dari β yang dinyatakan

2β

∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt =T −

(T −

∫ T

0I(t)S(t)

N

2∫ T

0I(t)dt

)∫ T

0

I(t)dt

2β

∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt =T −

(T −

∫ T

0I(t)S(t)

N

2

)

4β

∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt =2T − T + β

∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt

3β

∫ T

0

I(t)S(t)

Ndt =T.

Sehingga diperoleh estimasi laju penularan (β) yang dinyatakan pada persamaan

(4.12)

β =T

3N

∫ T

0I(t)S(t)dt

. (4.12)

Dengan cara yang sama, yaitu mensubstitusikan persamaan (4.12) pada

17


commit to user

persamaan (4.11) akan diperoleh estimasi untuk parameter γ yang dinyatakan

γ =T −

(T

3N

∫ T0 I(t)S(t)dt

) ∫ T

0I(t)S(t)

Ndt

2∫ T

0I(t)dt

γ =T − T

3

2∫ T

0I(t)dt

γ =2T

6∫ T

0I(t)dt

.

Sehingga diperoleh estimasi laju kesembuhan (γ) yang dinyatakan pada persa-

maan (4.13)

γ =T

3∫ T

0I(t)dt

. (4.13)

4.3 Probabilitas Berakhir Epidemi

Menurut Brauer et al. [4], pada model epidemi SIR stokastik terdapat

suatu distribusi yang berkaitan dengan berakhirnya epidemi. Suatu epidemi di-

katakan berakhir apabila tidak ada individu yang terinfeksi atau nilai I(t) = 0.

Probabilitas berakhirnya epidemi merujuk pada persamaan (2.3). Dalam hal ini,

probabilitas transisi yang berkaitan dengan berakhirnya suatu epidemi adalah β isN

dan γi yang masing - masing menyatakan transisi dari (s, i) ke (s− 1, i+ 1) dan

(s, i) ke (s, i−1). Sehingga besarnya probabilitas berakhirnya epidemi dinyatakan

sebagai

ps =γi

γi+(βisN

)=

γ

γ +(βsN

) (4.14)

dan

1− ps =βisN

γi+(βisN

)=

βsN

γ +(βsN

) . (4.15)

Persamaan (4.14) dan (4.15) masing- masing menunjukkan probabilitas ke-

sembuhan dari individu infected dan probabilitas terinfeksi (penularan) pada in-

dividu susceptible.

18


commit to user

4.4 Penerapan Kasus

Menurut Hethcote [7], smallpox merupakan salah satu contoh penyakit

dengan tipe penyebarannya adalah SIR. Smallpox merupakan suatu penyakit

yang ditularkan dari satu individu ke individu lain melalui perantara virus. Pada

penerapan kasus dalam penelitian ini, data yang digunakan adalah data smallpox

di Nigeria yang merujuk pada Andersson [2]. Pada kasus tersebut, diketahui total

jumlah populasi sebesar N = 120 dan periode terinfeksi T = 83. Besarnya laju

penularan dan laju kesembuhan diestimasi menggunakan metode maksimum like-

lihood karena nilai dari kedua parameter tersebut tidak diketahui dengan pasti.

Hasil estimasi masing - masing parameter tersebut sebesar β = 0, 158 dan

γ = 0, 129. Berdasarkan persamaan (4.6), model penyebaran smallpox dinyata-

kan sebagai

p(s+k,i+j),(s,i)(∆t) =

0,158120

is∆t+ o(∆t), (k,j)=(-1,1);

0, 129i∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,-1);

1− 0,158is120

∆t− 0, 129i∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,0);

o(∆t), yang lain.

Selanjutnya, hasil simulasi model menggunakan program yang merujuk pada Bra-

uer et al. [4], dengan algoritma sebagai berikut

1. memasukkan nilai laju penularan, laju kesembuhan, jumlah total populasi,

lama periode infeksi, dan jumlah awal individu terinfeksi,

2. memasukkan nilai awal dari jumlah individu terinfeksi dan variabel waktu,

3. membangkitkan data random berdistribusi uniform (0,1),

4. mencari besarnya probabilitas jumlah individu terinfeksi terhadap jumlah

individu yang bertransisi,

5. menentukan waktu pada saat (j+1) dengan j = 1, 2, ... menggunakan data

random pada langkah ke tiga,

19


commit to user

6. mendefinisikan proses iterasi, yaitu membandingkan besarnya probabilitas

transisi dari S ke I dan dari I ke R yang berpengaruh terhadap jumlah

individu terinfeksi. Sehingga, diperoleh grafik perubahan jumlah individu

terinfeksi dalam selang waktu t.

Hasil simulasi model epidemi tersebut dapt ditunjukkan pada Gambar (4.1).

0 10 20 30 40 50 60 700

1

2

3

4

5

6

7

8

Hari

Jum

lah

Indi

vidu

Ter

infe

ksi

Gambar 4.1. Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I(0) = 1, I(0) =

2, dan I(0) = 5

Berdasarkan Gambar (4.1) terlihat bahwa terdapat tiga pola penyebar-

an yang ditunjukkan oleh garis berwarna merah, biru dan hijau. Garis merah

menunjukkan pola penyebaran saat I(0) = 1, garis biru menunjukkan pola pe-

nyebaran saat I(0) = 2, dan garis hijau menunjukkan pola penyebaran saat

I(0) = 5. Sehingga, diperoleh jumlah maksimum individu terinfeksi berturut -

turut adalah satu, dua, dan enam. Selain itu, diperoleh lamanya periode infeksi

20


commit to user

berturut - turut adalah lima, sebelas, dan dua puluh delapan.

Selanjutnya, dengan menggunakan probabilitas berakhir epidemi pada per-

samaan (4.15) diperoleh simulasi terhadap individu terinfeksi yang ditunjukkan

dengan Gambar (4.2). Keterangan pada Gambar (4.2) merujuk pada Gambar

Gambar 4.2. Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I(0) = 1, I(0) =

2, dan I(0) = 5 berdasarkan Probabilitas Berakhir Epidemi

(4.1) dengan jumlah maksimum individu terinfeksi berturut - turut adalah dua,

enam, dan lima belas. Selain itu, lama periode infeksi berturut - turut adalah

lima, empat puluh, dan delapan puluh.

Oleh karena itu, berdasarkan hasil simulasi pada Gambar (4.1) dan (4.2)

diperoleh bahwa semakin besar nilai awal yang diberikan pada jumlah individu

terinfeksi, maka semakin lama periode berakhirnya infeksi. Selain itu, semakin

besar nilai awal yang diberikan pada jumlah individu terinfeksi, maka semakin

besar jumlah maksimum individu terinfeksi.

21


commit to user

Bab V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut

1. Model CTMC SIR dinyatakan sebagai

p(s+k,i+j),(s,i)(∆t) =

βNis∆t+ o(∆t), (k,j)=(-1,1);

γi∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,-1);

1− βisN∆t− γi∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,0);

o(∆t), yang lain.

2. Dengan metode estimasi maksimum likelihood diperoleh hasil estimasi ter-

hadap parameter yang berpengaruh pada penyebaran penyakit, yaitu

(a) estimasi terhadap parameter laju penularan sebesar

β =T

3N

∫ T

0I(t)S(t)dt

,

(b) estimasi terhadap parameter laju kesembuhan sebesar

γ =T

3∫ T

0I(t)dt

.

3. Berdasarkan grafik hasil simulasi pola penyebaran penyakit smallpox, di-

peroleh bahwa pemberian nilai awal jumlah individu terinfeksi (I(0)) dapat

mempengaruhi lamanya periode infeksi dan jumlah maksimum individu ter-

infeksi.

22


commit to user

5.2 Saran

Pada penelitian ini hanya membahas mengenai model epidemi CTMC SIR

yang dipengaruhi parameter laju penularan dan laju kesembuhan dalam populasi

konstan. Oleh karena itu, model tersebut dapat dikembangkan dengan memper-

timbangkan besarnya laju kelahiran dan kematian dalam populasi yang tidak

konstan.

23


commit to user

Daftar Pustaka

[1] Altalejo, J., The SIS and SIR Stochastic Epidemic Models Revisited, Faculty

of Mathematics, University Complutense of Madrid, Spain, 2011.

[2] Andersson, H. and Tom Britton, Stochastic Epidemic Model and Their Sta-

tistical Analysis, Group Financial Risk Control, Swedbank, Sweden, 2000.

[3] Bain, L. J. and M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical

Statistics, 2 ed., Duxbury Press Belmont California, 1992.

[4] Brauer, F., P. Driessche, and J. Wu, Mathematical Epidemiology, Springer,

Februari 2008.

[5] Clancy, D. and Philip D. O’Neill, Bayesian Estimation of The Basic Repro-

duction Number in Stochastic Epidemic Models, Department of Mathema-

tical Sciences, University of Liverpool, University of Nothingham, United

Kingdom, 2008.

[6] Hetchote, H. W., The Mathematics of Infectious Disease, Journal of Siam

Review 42 (2000), no. 4, 599–653.

[7] Hethcote, H. W., The Basic Epidemiology Models: Models, Expressions for

R0 Parameter Estimation, and Applications, Journal of Master Review 9

(2005), 1–61.

[8] Kypraios, T., A Note Maximum Likelihood Estimation of The Initial Number

of Susceptible in the General Stochastic Epidemic Model, Journal of Statistics

and Probability Letters 19 (2009), no. 18, 1972–1976.

24


commit to user

[9] Nguyen, V. M., Mathematical Modeling and Simulation, 2010.

[10] Nielsen, S. F., Continuous Time Homogeneous Markov Chains, University

of Copenhagen, Department of Mathematical Sciences, 2009.

[11] Parzen, E., Stochastic Processes, Holden-Day,Inc. United States of America,

1962.

[12] Taylor, H. M. and S. Karlin, An Introduction to Stochastic Modeling, received

ed., Academic Press, United States of America, 1994.

[13] Trapman, J. P., On Stochastic Models For the Spread of Infections, Print

Partners Ipkamp, Enschede, 2006.

25

model epidemi continuous time markov chain (ctmc .../model... · perpustakaan.uns.ac.id...

Documents