Kuswanto-2012

Kuswanto-2007

Segugus dataSegugus data

Gugus data Tidak adainformasi ???

Perlu ada karakteristik yangmencirikan gugus data tsb

- Ukuran pemusatan – sebuahnilai yang menggambarkanpusat dari gugus data

- ukuran keragaman (sebaran) :sebuah nilai yang menggam-barkan sebaran dari gugus data

???

Gugus data Tidak adainformasi ???

Perlu ada karakteristik yangmencirikan gugus data tsb

- Ukuran pemusatan – sebuahnilai yang menggambarkanpusat dari gugus data

- ukuran keragaman (sebaran) :sebuah nilai yang menggam-barkan sebaran dari gugus data

???

Perhatikan data iniPerhatikan data ini

Perhatikan data iniPerhatikan data ini

Dari data tersebutDari data tersebut

Apabila frekuensi sebagai sumbu YApabila frekuensi sebagai sumbu Y Dan nilai data sebagai sumbu X,Dan nilai data sebagai sumbu X,

frekuensi

Nilai data, misaldiameter tomat

Bila dibuat gambar distribusiBila dibuat gambar distribusi

Pusat(rerata)Kumpulan data yang

menyebar di bawahpusat (rerata)

Kumpulan data yangmenyebar di atas pusat(rerata)

Dengan demikianDengan demikian

DiperlukanDiperlukan karakteristikkarakteristik yangyang mencirikanmencirikansebuahsebuah gugusgugus datadata

KarakteristikKarakteristik yangyang mengukurmengukur pusatpusat datadata KarekteristikKarekteristik yangyang mengukurmengukur sebaransebaran datadata

DiperlukanDiperlukan karakteristikkarakteristik yangyang mencirikanmencirikansebuahsebuah gugusgugus datadata

KarakteristikKarakteristik yangyang mengukurmengukur pusatpusat datadata KarekteristikKarekteristik yangyang mengukurmengukur sebaransebaran datadata

3 .UKURAN PEMUSATAN3 .UKURAN PEMUSATAN

Suatu gugus data kuantitatif perlu diselidikiSuatu gugus data kuantitatif perlu diselidikiagar dapat didefinisikan ukuran metrik yangagar dapat didefinisikan ukuran metrik yangmenjelaskan cicimenjelaskan cici--ciri data tersebut.ciri data tersebut.

Misalnya dicari nilai reratanya. RerataMisalnya dicari nilai reratanya. Rerata(mean=nilai tengah) merupakan ukuran(mean=nilai tengah) merupakan ukuranpusat data yang diurutkan dari terkecil kepusat data yang diurutkan dari terkecil keterbesar.terbesar.

Suatu gugus data kuantitatif perlu diselidikiSuatu gugus data kuantitatif perlu diselidikiagar dapat didefinisikan ukuran metrik yangagar dapat didefinisikan ukuran metrik yangmenjelaskan cicimenjelaskan cici--ciri data tersebut.ciri data tersebut.

Misalnya dicari nilai reratanya. RerataMisalnya dicari nilai reratanya. Rerata(mean=nilai tengah) merupakan ukuran(mean=nilai tengah) merupakan ukuranpusat data yang diurutkan dari terkecil kepusat data yang diurutkan dari terkecil keterbesar.terbesar.

Ukuran pusat (pemusatan) yang lain adalahUkuran pusat (pemusatan) yang lain adalahmedian dan modus.median dan modus. Misal : dari data sebanyak n observasi dapatMisal : dari data sebanyak n observasi dapat

ditulis : x1, x2, x3, x4, …, xn atau y1, y2, y3, y4, …,ditulis : x1, x2, x3, x4, …, xn atau y1, y2, y3, y4, …,ynyn

Dari observasi ini biasanya kita inginDari observasi ini biasanya kita inginmenentukan wakil atau ukuran pemusatanmenentukan wakil atau ukuran pemusatandari data tersebut.dari data tersebut.

Ukuran pemusatan mungkin sama atau tidakUkuran pemusatan mungkin sama atau tidaksama dengan salah satu x1,x2, …, xn.sama dengan salah satu x1,x2, …, xn.

Ukuran pusat (pemusatan) yang lain adalahUkuran pusat (pemusatan) yang lain adalahmedian dan modus.median dan modus. Misal : dari data sebanyak n observasi dapatMisal : dari data sebanyak n observasi dapat

ditulis : x1, x2, x3, x4, …, xn atau y1, y2, y3, y4, …,ditulis : x1, x2, x3, x4, …, xn atau y1, y2, y3, y4, …,ynyn

Dari observasi ini biasanya kita inginDari observasi ini biasanya kita inginmenentukan wakil atau ukuran pemusatanmenentukan wakil atau ukuran pemusatandari data tersebut.dari data tersebut.

Ukuran pemusatan mungkin sama atau tidakUkuran pemusatan mungkin sama atau tidaksama dengan salah satu x1,x2, …, xn.sama dengan salah satu x1,x2, …, xn.

3.1. Mean3.1. Mean (rerata)(rerata)

Rerata dilambangkan denganRerata dilambangkan dengan x (x bar = reratax (x bar = reratacontoh) didefinisikan sebagaicontoh) didefinisikan sebagai

x1 + x2 + … + xn nx1 + x2 + … + xn n

x =x = ---------------------------------------------------- == xi/nxi/nn i=1n i=1

Rerata contoh dilambangkan denganRerata contoh dilambangkan dengan xx, sedang, sedangrerata populasirerata populasi

Rerata dilambangkan denganRerata dilambangkan dengan x (x bar = reratax (x bar = reratacontoh) didefinisikan sebagaicontoh) didefinisikan sebagai

x1 + x2 + … + xn nx1 + x2 + … + xn n

x =x = ---------------------------------------------------- == xi/nxi/nn i=1n i=1

Rerata contoh dilambangkan denganRerata contoh dilambangkan dengan xx, sedang, sedangrerata populasirerata populasi

PerhatikanPerhatikann nn n

a.a. bXi = bx1 + bx2 +… + bxn = b(x1+x2+…+xn) = bbXi = bx1 + bx2 +… + bxn = b(x1+x2+…+xn) = b XiXii=1i=1 i=1i=1

nnb.b. a = a + a +…+ a = naa = a + a +…+ a = na

i=1i=1

n n n nn n n nc.c. (xi(xi -- a)² =a)² = (xi2(xi2 -- 2axi + a2) =2axi + a2) = xi2xi2 -- 2a2a xi + na²xi + na²

i=1 i =1 i =1 i=1i=1 i =1 i =1 i=1

Khusus a =Khusus a = x, setelah diinsersikan ke dalam persamaan tersebut, maka nilainyax, setelah diinsersikan ke dalam persamaan tersebut, maka nilainyaakan =akan =

xi2xi2 -- (( xi)2/nxi)2/n yang apabila dibagi nyang apabila dibagi n--1 dikenal1 dikenal ragam (varian)ragam (varian)

n nn na.a. bXi = bx1 + bx2 +… + bxn = b(x1+x2+…+xn) = bbXi = bx1 + bx2 +… + bxn = b(x1+x2+…+xn) = b XiXi

i=1i=1 i=1i=1

nnb.b. a = a + a +…+ a = naa = a + a +…+ a = na

i=1i=1

n n n nn n n nc.c. (xi(xi -- a)² =a)² = (xi2(xi2 -- 2axi + a2) =2axi + a2) = xi2xi2 -- 2a2a xi + na²xi + na²

i=1 i =1 i =1 i=1i=1 i =1 i =1 i=1

Khusus a =Khusus a = x, setelah diinsersikan ke dalam persamaan tersebut, maka nilainyax, setelah diinsersikan ke dalam persamaan tersebut, maka nilainyaakan =akan =

xi2xi2 -- (( xi)2/nxi)2/n yang apabila dibagi nyang apabila dibagi n--1 dikenal1 dikenal ragam (varian)ragam (varian)

ContohContohmeanmean Data : x1=2, x2=1, x3=5, x4=4, x5=5, x6=2Data : x1=2, x2=1, x3=5, x4=4, x5=5, x6=2

2 + 1 + 5 + 4 + 5 + 22 + 1 + 5 + 4 + 5 + 2 MakaMakax =x = ------------------------------------------------------------ = 19/6 = 3 1/6= 19/6 = 3 1/6

66 Bila digambarkan dengan diagram titikBila digambarkan dengan diagram titik

. : . :. : . :------------------------------------------------------------------------------

1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7

Data : x1=2, x2=1, x3=5, x4=4, x5=5, x6=2Data : x1=2, x2=1, x3=5, x4=4, x5=5, x6=2

2 + 1 + 5 + 4 + 5 + 22 + 1 + 5 + 4 + 5 + 2 MakaMakax =x = ------------------------------------------------------------ = 19/6 = 3 1/6= 19/6 = 3 1/6

66 Bila digambarkan dengan diagram titikBila digambarkan dengan diagram titik

. : . :. : . :------------------------------------------------------------------------------

1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7

ApabilaApabila disusundisusundistribusidistribusi frekuensifrekuensi

No Angka (xi)Frekuensi (fi)

1 1 12 2 2

xi menyatakan nilai dariangkafi menyatakan frekuensiuntuk nilai xiMisalnya : f1 = 1, f5 = 2

2 2 23 3 04 4 15 5 26 6 07 7 0

xi menyatakan nilai dariangkafi menyatakan frekuensiuntuk nilai xiMisalnya : f1 = 1, f5 = 2

3.2. Modus3.2. Modus

Modus adalah data yang mempunyaiModus adalah data yang mempunyaifrekuensi terbesar.frekuensi terbesar.

Kumpulan data bisa mempunyai satu modus,Kumpulan data bisa mempunyai satu modus,dua atau beberapa modus atau bahkan tidakdua atau beberapa modus atau bahkan tidakmempunyai modus.mempunyai modus.

Untuk contoh data diatas Xi : 2, 1, 5, 4, 5, 2Untuk contoh data diatas Xi : 2, 1, 5, 4, 5, 2mempunyai dua modus, yaitu 2 dan 5mempunyai dua modus, yaitu 2 dan 5

Kerjakan contoh lainKerjakan contoh lain

Modus adalah data yang mempunyaiModus adalah data yang mempunyaifrekuensi terbesar.frekuensi terbesar.

Kumpulan data bisa mempunyai satu modus,Kumpulan data bisa mempunyai satu modus,dua atau beberapa modus atau bahkan tidakdua atau beberapa modus atau bahkan tidakmempunyai modus.mempunyai modus.

Untuk contoh data diatas Xi : 2, 1, 5, 4, 5, 2Untuk contoh data diatas Xi : 2, 1, 5, 4, 5, 2mempunyai dua modus, yaitu 2 dan 5mempunyai dua modus, yaitu 2 dan 5

Kerjakan contoh lainKerjakan contoh lain

3.3. Median3.3. Median

Median dari sekumpulan data adalah data yangMedian dari sekumpulan data adalah data yangditengah, bila jumlah data ganjil, atau mean dariditengah, bila jumlah data ganjil, atau mean daridua data yang ditengah, bila jumlah data genap,dua data yang ditengah, bila jumlah data genap,data data telah diurutkan dari terkecil sampaidata data telah diurutkan dari terkecil sampaiterbesar.terbesar.

Misal : untuk contoh data diatas Xi : 2, 1, 5, 4, 5, 2.Misal : untuk contoh data diatas Xi : 2, 1, 5, 4, 5, 2.Untuk mencari median data harus diurutkan dariUntuk mencari median data harus diurutkan dariterkecil ke terbesar menjaditerkecil ke terbesar menjadi Xi : 1, 2,Xi : 1, 2, 2, 42, 4, 5, 5, 5, 5

Maka mediannya adalah (2+4)/2 = 3.Maka mediannya adalah (2+4)/2 = 3.

Median dari sekumpulan data adalah data yangMedian dari sekumpulan data adalah data yangditengah, bila jumlah data ganjil, atau mean dariditengah, bila jumlah data ganjil, atau mean daridua data yang ditengah, bila jumlah data genap,dua data yang ditengah, bila jumlah data genap,data data telah diurutkan dari terkecil sampaidata data telah diurutkan dari terkecil sampaiterbesar.terbesar.

Misal : untuk contoh data diatas Xi : 2, 1, 5, 4, 5, 2.Misal : untuk contoh data diatas Xi : 2, 1, 5, 4, 5, 2.Untuk mencari median data harus diurutkan dariUntuk mencari median data harus diurutkan dariterkecil ke terbesar menjaditerkecil ke terbesar menjadi Xi : 1, 2,Xi : 1, 2, 2, 42, 4, 5, 5, 5, 5

Maka mediannya adalah (2+4)/2 = 3.Maka mediannya adalah (2+4)/2 = 3.

3.4. Kuartil, Desil, Persentil3.4. Kuartil, Desil, Persentil

Jika segugus data dibagi menjadi 4 bagian yang samaJika segugus data dibagi menjadi 4 bagian yang samabanyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya,banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya,maka bilangan pembaginya disebutmaka bilangan pembaginya disebut kuartil.kuartil.

Jika dibagi menjadi 10 bagian yang sama, makaJika dibagi menjadi 10 bagian yang sama, makadidapat 9 pembagi dan tiap pembagi disebutdidapat 9 pembagi dan tiap pembagi disebut desil.desil.

Jika dibagi menjadi 100 bagian yang sama akanJika dibagi menjadi 100 bagian yang sama akanmenghasilkan 99 pembagi yang dinamakanmenghasilkan 99 pembagi yang dinamakan persentil.persentil.

Jika segugus data dibagi menjadi 4 bagian yang samaJika segugus data dibagi menjadi 4 bagian yang samabanyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya,banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya,maka bilangan pembaginya disebutmaka bilangan pembaginya disebut kuartil.kuartil.

Jika dibagi menjadi 10 bagian yang sama, makaJika dibagi menjadi 10 bagian yang sama, makadidapat 9 pembagi dan tiap pembagi disebutdidapat 9 pembagi dan tiap pembagi disebut desil.desil.

Jika dibagi menjadi 100 bagian yang sama akanJika dibagi menjadi 100 bagian yang sama akanmenghasilkan 99 pembagi yang dinamakanmenghasilkan 99 pembagi yang dinamakan persentil.persentil.

LatihanLatihan dandan diskusidiskusi

1.1. Calculate the mean and median for each of the followingCalculate the mean and median for each of the followingdata sets :data sets :1.1. ii. 4, 7, 3, 6, 5, 4, 5, 7, 9. 4, 7, 3, 6, 5, 4, 5, 7, 92.2. ii. 24, 28, 36, 30, 24, 29, 30, 32, 31ii. 24, 28, 36, 30, 24, 29, 30, 32, 313.3. iii.iii. --2, 1,2, 1, --1, 0, 3,1, 0, 3, --2, 1, 1, 2, 2, 32, 1, 1, 2, 2, 34.4. iv. Find data of plant number in your faculty!iv. Find data of plant number in your faculty!

2.2. MengapaMengapa ratarata--ratarata lebihlebih stabilstabil daripadadaripada median?median?3.3. DalamDalam sebuahsebuah contohcontoh terdapatterdapat hasilhasil pengamatanpengamatan yangyang

bernilaibernilai nol.nol. StatistikStatistik manamana sajasaja yangyang dapatdapat dihitungdihitung??MengapaMengapa??

4.4. DalamDalam jangkajangka waktuwaktu 44 bulanbulan,, hargaharga apelapel menjadimenjadi duadua kalikalilipatlipat.. BerapaBerapa persenpersen ratarata--ratarata kenaikankenaikan hargaharga tiaptiap bulanbulan??

1.1. Calculate the mean and median for each of the followingCalculate the mean and median for each of the followingdata sets :data sets :1.1. ii. 4, 7, 3, 6, 5, 4, 5, 7, 9. 4, 7, 3, 6, 5, 4, 5, 7, 92.2. ii. 24, 28, 36, 30, 24, 29, 30, 32, 31ii. 24, 28, 36, 30, 24, 29, 30, 32, 313.3. iii.iii. --2, 1,2, 1, --1, 0, 3,1, 0, 3, --2, 1, 1, 2, 2, 32, 1, 1, 2, 2, 34.4. iv. Find data of plant number in your faculty!iv. Find data of plant number in your faculty!

2.2. MengapaMengapa ratarata--ratarata lebihlebih stabilstabil daripadadaripada median?median?3.3. DalamDalam sebuahsebuah contohcontoh terdapatterdapat hasilhasil pengamatanpengamatan yangyang

bernilaibernilai nol.nol. StatistikStatistik manamana sajasaja yangyang dapatdapat dihitungdihitung??MengapaMengapa??

4.4. DalamDalam jangkajangka waktuwaktu 44 bulanbulan,, hargaharga apelapel menjadimenjadi duadua kalikalilipatlipat.. BerapaBerapa persenpersen ratarata--ratarata kenaikankenaikan hargaharga tiaptiap bulanbulan??

5.5. BagaimanaBagaimana hubunganhubungan antaraantara ratarata--rata, medianrata, median dandanmodus.modus. KapankahKapankah tandatanda samasama akanakan berlakuberlaku??

6. The monthly income in thousand rupiahs for seven6. The monthly income in thousand rupiahs for sevenadministrative staff members of a faculty in a Universityadministrative staff members of a faculty in a Universityare 950, 775, 925, 2500, 1150, 850, 975, 2000, 1800,are 950, 775, 925, 2500, 1150, 850, 975, 2000, 1800,1900, 1750 and 2100 From this :1900, 1750 and 2100 From this : Calculate the mean and median salary! andCalculate the mean and median salary! and Which of the two is preferable as a measure of center, andWhich of the two is preferable as a measure of center, and

why? Express your reasons!why? Express your reasons!

5.5. BagaimanaBagaimana hubunganhubungan antaraantara ratarata--rata, medianrata, median dandanmodus.modus. KapankahKapankah tandatanda samasama akanakan berlakuberlaku??

6. The monthly income in thousand rupiahs for seven6. The monthly income in thousand rupiahs for sevenadministrative staff members of a faculty in a Universityadministrative staff members of a faculty in a Universityare 950, 775, 925, 2500, 1150, 850, 975, 2000, 1800,are 950, 775, 925, 2500, 1150, 850, 975, 2000, 1800,1900, 1750 and 2100 From this :1900, 1750 and 2100 From this : Calculate the mean and median salary! andCalculate the mean and median salary! and Which of the two is preferable as a measure of center, andWhich of the two is preferable as a measure of center, and

why? Express your reasons!why? Express your reasons!

7. Given here are the mean and median salaries (thousand by month)7. Given here are the mean and median salaries (thousand by month)of machinists employed by two competing companies,of machinists employed by two competing companies, LongseedLongseedCo andCo and SmallseedSmallseed Co.Co.

Assume that the salaries are set in accordance with jobAssume that the salaries are set in accordance with jobcompetence, and that the overall quality of worker is about thecompetence, and that the overall quality of worker is about thesame in the two companies.same in the two companies. Which company offers a better prospect to a machinist having superiorWhich company offers a better prospect to a machinist having superior

ability? Explain your answer.ability? Explain your answer. Where can a medium quality machinist expect to earn more? Explain yourWhere can a medium quality machinist expect to earn more? Explain your

answer.answer.

Seed CompanyLongseed Co.Ltd Smallseed Co. Ltd

Mean salary 5.000 4.000Median salary 3.500 4.500

7. Given here are the mean and median salaries (thousand by month)7. Given here are the mean and median salaries (thousand by month)of machinists employed by two competing companies,of machinists employed by two competing companies, LongseedLongseedCo andCo and SmallseedSmallseed Co.Co.

Assume that the salaries are set in accordance with jobAssume that the salaries are set in accordance with jobcompetence, and that the overall quality of worker is about thecompetence, and that the overall quality of worker is about thesame in the two companies.same in the two companies. Which company offers a better prospect to a machinist having superiorWhich company offers a better prospect to a machinist having superior

ability? Explain your answer.ability? Explain your answer. Where can a medium quality machinist expect to earn more? Explain yourWhere can a medium quality machinist expect to earn more? Explain your

answer.answer.

Median salary 3.500 4.500

8. These problems are properties on the mean and8. These problems are properties on the mean andmedian.median. If a fixed numberIf a fixed number cc isis added to all measurements in a dataadded to all measurements in a data

set, then the mean of the newset, then the mean of the new meausurementsmeausurements is (is (cc ++ thetheoriginal mean). Take the sample of data!original mean). Take the sample of data!

If all measurements in a data set are multiplied by a fixedIf all measurements in a data set are multiplied by a fixednumbernumber dd then the mean of the newthen the mean of the new meausurementsmeausurements isis d xd x(the original mean). Verify this property for(the original mean). Verify this property for sampelsampel ofofdata set.data set.

These properties also hold for median. Verify these forThese properties also hold for median. Verify these forthe data set and the numbersthe data set and the numbers cc andand dd..

8. These problems are properties on the mean and8. These problems are properties on the mean andmedian.median. If a fixed numberIf a fixed number cc isis added to all measurements in a dataadded to all measurements in a data

set, then the mean of the newset, then the mean of the new meausurementsmeausurements is (is (cc ++ thetheoriginal mean). Take the sample of data!original mean). Take the sample of data!

If all measurements in a data set are multiplied by a fixedIf all measurements in a data set are multiplied by a fixednumbernumber dd then the mean of the newthen the mean of the new meausurementsmeausurements isis d xd x(the original mean). Verify this property for(the original mean). Verify this property for sampelsampel ofofdata set.data set.

These properties also hold for median. Verify these forThese properties also hold for median. Verify these forthe data set and the numbersthe data set and the numbers cc andand dd..

Terima kasihTerima kasih