MAKALAH FUNGSI RASIONAL

DISUSUN OLEH :

1. Wiwin Ria Utami (06081381419056)

2. Diana Putri Puspita Dewi (06081381419057)

3. Sri Utami (06081381419058)

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKANMATEMATIKA

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

FUNGSI RASIONAL

Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasilbagi dua fungsi suku banyak

(polinom). Mislanya

1. y= 2(x+1)3

2. y=2 x+2

x2−4 x+8

Fungsi 1 dan 2 dinamakan fungsi rasioanal sejati karena derajat pembilang kurang

dari derajat penyebut. Sedangkan fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai

jumlah fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati . Misalnya:

y= x5+2 x3−x+1x3+5 x

=x2−3+ 14 x+1x3+5 x

Hasil di atas diperoleh dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut.

Dalam makalah ini akan dibahas beberapa jenis fungsi rasional dan cara menggambar

grafiknya.

1. Fungsi y=cx

Fungsi ini tidak memiliki titik potong , nilai dari variable tergantung pada x dan c

Jika : c=+ , x=+ , makanilai y=+¿

c=+ , x=−, makanilai y=−¿

c=−, x=+ , makanilai y=−¿

c=−, x=−,makanilai y=+¿

Contoh soal: Buat grafik fungsi x=9y

Penyelesaian : x= 8y

y=+ , x=+¿

y=−, x=−¿

Titik bantu : y=± 2, x=± 4

y=±1 , x=± 8

Asismtot nya ada di(0,0)

Grafik fungsi x= 8y

:

2. Fungsi y=cx2

Fungsi ini tidak memenuhi untuk menentkan titik potong. X akan selalu positif karena

merupakan dalam bentuk kauadrat yang menentukan adalah nilai dari C

Jika: c=+ , y=+¿

c=−, y=−¿

Contoh soal :

Buat grafik fungsi y=25x2

Penyelesaian: y=25x2

Jika : x=+, y=+dan x=−, y=+berarti grafik berada pada kuadranke I dan II

Gambar x= 8y

Titik bantu x=±1 , y=25 dan x=± 5 , y=5

Grafik fungsi y=25x2 :

3. Fungsi y=ax+bpx+q

p≠ 0 , jika p=0 maka bentuk ini disebut fungsi linier . ap

≠ bq

, jika ap=b

q maka pecahan

tersebut harus disederhanakan. Langkah dalam membuat grafik dengan menentukan:

Titik potong sumbu x , y=0

ax+b=0

x=−ba

(−ba

,0)

Titik potong sumbu y, x=0

y=0+b0+q

y=bq

(0 , bq)

Asimtot datar

Gambar y=25x2

y= ap

Asimtot

px+q=0

x=−qp

Contoh soal : y=2 x−55 x+3

Penyelesaian: y=2 x−55 x+3

Titik potong terhadap sumbu x, y=0

2 x−5=0

x=52

( 52

,0)

Titik potong terhadap sumbu y, x=0

y=0−50+3

y=−53

(0 , −53

)

Asimtot datar

y=25

Asimtot tegak

5 x+3=0

x=−35

Grafik fungsi ¿2x−55 x+3 :

Gambar y=2 x−55 x+3

4. Fungsi y=ax2+bx+cpx+q

Fungsi y=ax2+bx+cpx+q

merupakan bentuk yang ke empat dari macam-macam bentuk fungsi

pecahan. Bentuk fungsi ini sedikit berbeda dari bentuk fungsi sebelumnya, karena fungsi ini

tidak memiliki asimtot datar. Pada fungsi ini hanya memiliki asimtot tegak dan asimtot

miring. Cara mencari asimtot tegak dapat dengan menggunakan rumus px+q=0, dimana

akan didapatkan nilai x dengan rumus x=−q

p , selain itu cara mencari nilai dari asimtot

miring ialah dengan menggunakan rumus y=ax2+bx+cpx+q

dimana y= (mx+n )+ cpx+q dari

rumus itu yang menjadi asimtot miringnya adalah y=mx+n. Misalkan y= 4 x2−20 x+494 x−12

Harga pembilang positif untuk tiap harga x, maka fungsi tidak mempunyai titik nol, lalu

dapat dicari asimtot tegaknya, dari soal itu dapatkan nilai asimtot tegaknya yaitu x=3 cara

mencarinya juga menggunakan rumus asimtot tegak. Tititk potong fungsi dengan sumbu y

adalah (0 ,4 12). Sedangkan asimtot miringnya dapat dicari dengan membagi antara

pembilang dengan penyebut, setelah itu akan didapatkan persamaan y=x−2+ 254 x−12 dari

persamaan itu didapatkan asimtot miringnya yaitu y=x−2 , apabila R itu sesuatu titik pada

garis lengkung yang absisnya x, tentulah ordinatnya x−2+ 254 x−12 , apabila S menyatakan

asimtot miringnya adalah y=x−2 yang absisnya sama tentulah ordinat S sama dengan x−2.

Hanya 2 asimtot itu sajalah yang ada pada bentuk keempat dari fungsi pecahan. Adapun

sebab-sebabnya adalah agar supaya titik R=(x , y ) dapat bergerak melalui garis lengkung

ketempat yang jauhnya tak terhingga, mestilah x atau y menjadi besar tak terhingga. Harga y

hanyalah tak berhingga, apabila harga pembilang fungsi yang ditentukan itu menjadi tak

berhingga, ataupun jika penyebutnya mendekati nol tak bersyarat. Bagaimanapun juga, harga

x mestilah menjadi besar tak berhingga, ataupun mendekati 3 tak bersyarat. Dalam hal yang

pertama jarak R terhadap asimtot miring mendekati harga nol dan dalam hal yang kedua,

jarak R terhadap asimtot tegak x=3, selain itu tidak akan ada lagi asimtot yang lainnya.

Selain asimtot hal yang harus dicari adalah harga-harga ekstrim. Yang dapat digunakan untuk

mencari harga-harga ekstrim itu ialah bahwa dikatakan bahwa sesuatu harga x yang riil yang

menghasilkan harga y tersebut, bahwa y umpamanya tidak mungkin sama dengan nol. Harga-

harga x yang dalam hal ini menghasilkan harga-harga y yang ditanyakan itu, dapat dicari

dengan persamaan 4 x2−20 x+494 x−12

= y persamaan ini ekivalen dengan

4 x2−20 x+49− y (4 x−12)4 x−12

=0 dan oleh karena 4 x2−20x+49 tidak dapat dibagi dengan

x−3 , persamaan itu ekivalen pula dengan persamaan

4 x2−4 ( y+5 ) x+12 y+49=0 ........................................ (1)

Akar-akar persamaan ini riil, apabila dipenuhi syarat :

116

D=( y+5)2−(12 y+49 )= y2−2 y−24=( y−6 ) ( y+4 )≥ 0 jadi apabila y ≥6 atau y≤−4.

Untuk y=6 diperoleh x=5 12 , sedangkan untuk y=−4 diperoleh x=

12 . Untuk harga y ini

diskriminan D dari persamaan (1) sama dengan nol, sehingga yang perlu dihitung hanyalah

separuhnya dari hasil jumlah akar-akar pada persamaan (1). Untuk −4< y<6 persamaan (1)

tidak menghasilkan akar-akar yang riil. Dengan demikian ruang diantara garis

y=−4 dan y=6 tidak mengandung titik-titik garis lengkung. Dari situ diperoleh bahwa titik

yang serendah-rendahnya adalah (512

, 6) semua titik yang lain pada cabang atasnya terletak

diatas garis y=6, dan yang tertinggi adalah (12

,−4) semua titik yang lain pada cabang

bawahnya terletak dibawah garis y=−4. Itulah yang merupakan titik ekstrim dari persamaan

yang telah dibuat tadi.

Contoh Soal:

Gambarkan sketsa grafik y= x2−2 x−32 x−9

Penyelesaian :

Titik potong sumbu x

Untuk y=0

ax2+bx+c maka x2−2 x−3=0 diperoleh akar-akarnya ( x−3 )dan( x+1) jadi x1 = 3 dan x2 = -

1, maka (3,0 ) dan(0 ,−1)

Titik potong sumbu y

Untuk x=0

y= (0 )2−2 (0 )−32 (0 )−9

jadi y=−3−9 atau y=−1

3 , maka (0 ,−13 )

Asimtot tegak

px+q=0 , jadi x=−q

p

2 x−9=0 , maka x=92

Asimtot miring

y= x2−2 x−32x−9

maka y=(0,5 x+1,25 ) 8,252 x−9

maka asimtot miringnya adalah y=0,5 x+1,25

5. Fungsi ax2+bx+cpx2+qx+r

Fungsi y= ax2+bx+cpx2+qx+r

merupakan bentuk yang ke lima dari macam-macam bentuk fungsi

pecahan. Pada fungsi ini memiliki asimtot datar dan asimtot tegak, namun selain itu bentuk

fungsi ini juga memiliki titik potong asimtot datar. Cara mencari asimtot tegak ax2+bx+c=0,

selain itu cara mencari nilai dari asimtot datar y= ap . Titik-titik nol y= ax2+bx+c

px2+qx+r diperoleh

dengan jalan mencari harga-harga x dari persamaan ax2+bx+c=0 dengan demikian mungkin

terdapat dua titik nol yang berlainan dan mungkin juga dua titik nol yang berimpit, tapi

mungkin pula perhitungan sama sekali tidak menghasilkan titik nol. Ordinat titik potong

sumbu y ialah cr

untuk r=0dan c≠ 0 titik itu terletak pada tempat yang jauhnya tak berhingga

maka dalam hal ini sumbu y merupakan asimtot dari pada fungsi. Berbicara mengenai kutub

berimpit, apabila penyebut fungsi mempunyai bentuk (kx+1)2 hal itu sesuai dengan

pengertian titik berimpit (titik singgung dengan sumbu-x), yang dipergunakan apabila

pembilang fungsi merupakan kuadrat dari pada suatu bentuk linear dalam x.

Fungsi itu dapat ditulis dalam bentuk :

p=a+ b

x+ c

x2

p+ qx+ r

x2

untuk|x|→ ∞limitnya sama dengan ap

apabila x itu melukiskan suatu absis yang

tertentu, maka selisih diantara ordinat pada garis lengkung yang bergandengan dan ap sama

dengan 1p2 . 1

x.

pb−aq+ pc−arx

1+ qpx

+ rpx2

untuk|x|→ ∞ mempunyai limit nol. Dengan demikian

y= ap

adalahasimtot datar .

Pada fungsi ini, garis lengkung ittu pada umumnya dipotong pula oleh asimtot datar

y= ap

. Absis titik potong itu dapat ditemukan dari persamaan

ax2+bx+cpx2+qx+r

= ap

atau : (bp−aq ) x+cp−ar=0. Sebelum grafik digambar, hendaklah ditetapkan

dahulu dititik nol, titik potong dengan sumbu y, asimtot-asimtot, titik potog dengan asimtot

datar, kemudian tempat garis lengkung disekitar asimtot-asimtot itu, dan tidak lupa

menghitung harga dari titik ekstrimnya.

Contoh Soal :

Gambarkan grafik dari fungsi y=3 x2−18 x−212 x2−17 x+30

Penyelesaian :

y=3 x2−18 x−212 x2−17 x+30

Titik potong sumbu x

Untuk y = 0

ax2+bx+c=0 maka 3 x2−18 x−21=0 untuk memudahkan mencari akar-akarnya maka

bilang tersebut harus dibagi 3 hingga diperoleh x2−6 x−7 maka akar-akarnya adalah

( x−7 )dan (x+1) jadi diperoleh x1 = 7 dan x2 = -1

Titik potong sumbu y

Untuk x = 0

y= cr

maka diperoleh y=−2130

atau −710

maka(0 ,− 710

)

Asimtot tegak

2 x2−17 x+30=0diperoleh akar−akarnya yaitu (2 x−5 ) ( x−6 ) dengan x1 = 52 atau x2 = 6

Asimtot datar

y= ap

maka diperoleh y=32

Titik potong asimtot datar

3 x2−18 x−212 x2−17 x+30

=32

makadiperoleh

6 x2−36 x−42=6 x2−51 x+90 lalu diperoleh

15 x−132=0 maka x=13215

atau x=445

maka( 445

, 32)

LATIHAN

1. Sketsakan grafik y=16x2

2. Gambarkan grafik fungsi y=−2 x+73 x−5 , kemudian tentukanlah titik-titik potong

grafik itu dengan garis 2 x+3 y=13

3. Tentukan Asimtot dari y=2 x2−20 x+32x2−16 x+60

4. Gambarkan grafik y= x2−6 x−7x2−7 x+6

5. Gambarlah grafik y=2x+3 dan y=18x ; pada salib sumbu itu juga gambarlah

grafik y=2x+3+ 18x

6. Gambarlah sketsa grafik y= x2+3 x+6x+5

7. Carilah asimtot-asimtot dari fungsi y=x+ 1x dan gambarkan grafiknya

8. Gambarlah sketsa grafik y=1

( x−5)2

9. Grafik y=2 x2+5 y−10p x2+qx+r

berasimtot garis y=2, x=1, x=-2 . hitunglah nilai p, q,

dan r serta gambar sketsa grafiknya?

10. Gambarlah sketsa grafik y=2 x2−21 x+522 x−9

Kunci

1. y=16x2

2. y=−2 x+73 x−5 dan 2 x+3 y=13

Titik-titik potongnya adalah (2,3) dan (7,17 ; -0,44)

3. Asimtot tegak x=10 dan x=6 ; Asimtot datar y=2

4. y= x2−6 x−7x2−7 x+6

5. y=2 x+3+ 18x

6. y= x2+3 x+6x+5

7. Asimtot tegak x=0 dan asimtot datar y=x

Grafik: y=x+ 1x

8. Sketsa grafik y=1

( x−5)2

9. Nilai : p=1 , q=1 , dan r=−2Grafiknya:

y=2 x2+5 y−10x2+x−2

10. y=2 x2−21 x+522 x−9

DAFTAR PUSTAKA

Kuipers.L dan Rawuh.1963.Aldjabar Rendah.Jakarta.:Pradnjaparamita

Purcell.Edwin J. dan Dale Varberg. 1987.Kalkulus dan Geometri Analitik.Jakarta:Erlanggai

Irawan.Rully.2014.Grafik Fungsi Rasional. http://soulmath4u.blogspot.com/2013/10/grafik-fungsi-rasional.html (online).diakses 13 mei 2015