matematika peminatan kelas x

Matematika (Peminatan)

Kelas: X - IPA 2

Muhamad Dzaki Albiruni


Muhamad Dzaki Albiruni. | Kelas: X – IPA 2. | SMAN 68 Jakarta | of 23

Daftar isi:

Daftar Isi................................................................................2

Materi:

Fungsi Eksponen dan Logaritma...........................................3

Sistem Persamaan Linear Dua/Tiga Variabel.......................8

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.......................13

Persamaan Kuadrat..............................................................15

Pertidaksamaan Kuadrat.......................................................16

Pertidaksamaan Pecahan..................................................... 20

Sumber..................................................................................22



Fungsi eksponen dan logaritma

1. Fungsi Eksponen

a. Konsep:

Suatu pemetaan daerah asal ke daerah hasil (fungsi) dengan

domain tidak boleh lebih dari satu, dengan nilai berpangkat tinggi.

b. Bentuk Umum:

y = 𝒂𝒙 dimana a ≥ 0 dan a ≠ 1.

c. Grafik fungsi konstan dibedakan menjadi 2, yaitu untuk 0 < a < 1,

dan a > 1.

Grafik y = 𝑎𝑥 untuk 0 < a < 1.

Sifat - sifat:

- Terdefinisi untuk semua x merupakan bilangan riil.

- Apabila x adalah 0, maka y = 1.

- Jika x bernilai kecil dan bertanda negatif, maka y bernilai besar

dan bertanda positif.

- Jika x bernilai besar dan bertanda positif, maka y mendekati nol

dengan tanda negatif. (Grafik menurun).



Grafik y = 𝑎𝑥 untuk a > 1.

Sifat – sifat:

- Terdefinisi untuk semua x merupakan bilangan riil.

- Jika x bernilai kecil dan bertanda negatif, maka y mendekati 0 dan

bertanda positif.

- Jika x bernilai besar dan bertanda positif, maka y bernilai besar

dengan tanda positif. (Grafik naik).

- Untuk x = 0, maka y = 1.

d. Persamaan fungsi eksponen.

- Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥), maka f(x) = g(x)

- Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑝, maka f(x) = p.

- Jika A {𝑎𝑓(𝑥)}2 + B {𝑎𝑓(𝑥)} + 𝐶 = 0, maka dapat diselesaikan

dengan cara persamaan kuadrat.

2. Fungsi Logaritma

a. Konsep:

Suatu pemetaan daerah asal ke daerah hasil (fungsi) dengan domain

tidak boleh lebih dari satu, dengan menggunakan sistem logaritma.



b. Bentuk Umum:

Jika 𝒂𝒚 = x, dengan a ≥ 0, dan a ≠ 1,

Maka berlaku: y = 𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒙

c. Monoton:

Turun

Sifat – sifat:

- Berlaku untuk 0 < a < 1.

- Terdefinisi untuk semua x > 0.

- Jika x mendekati nol, y semakin besar dan bertanda positif.

- Untuk x = 1, y = 0.

- Untuk x > 1, y bertanda negatif. Jika x semakin besar, y semakin

kecil. (Monoton Turun).

Naik

Sifat – sifat:

- Berlaku untuk a > 1.



- Terdefinisi untuk setiap x > 0.

- Jika x mendekati nol, nilai y semakin kecil dan bertanda negatif.

- Untuk x = 1, maka y = 0.

- Untuk x > 1, y bertanda positif. Semakin besar x, maka y juga

semakin besar (Monoton naik).

d. Contoh soal dan Pembahasan:

1. 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙 2𝑥 = 𝑎.

𝑎 +23

𝑎= 9. 𝑆𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎.

𝑎2 + 8 = 9𝑎.

𝑎2 − 9𝑎 + 8 = 0. (𝑆𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡)



(a – 8) (a - 1). X1 = 8. X2 = 1.

2𝑥 = 8. ∝ = 3. 2𝑥 = 1. 𝛽 = 0.

𝛼 + 𝛽 = 3 + 0 = 3. (𝐽𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑎)

2. 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙 2𝑥 = 𝑎.

2𝑥 . 2𝑥 − 12. 2𝑥 + 32 = 0.

𝑎2 − 12𝑎 + 32 = 0.

( a – 8 ) ( a – 4 )

A1 = 8. A2 = 4.

2𝑥 = 8. 𝑥1 = 3.

2𝑥 = 4. 𝑥2 = 2.

x1.x2 = 3x2 = 6. (jawaban b).

3. Jawab:

4log(2𝑥2 − 3𝑥 + 7) = 4 𝑙𝑜𝑔 16

2𝑥2 − 3𝑥 + 7 = 16

2𝑥2 − 3𝑥 − 9 = 0 (selesaikan dengan persamaan kuadrat).

(2x + 3) (x - 3).

X1 = -3/2. X2 = 3.

4 x -3/2 x 3 = -18 (jawaban b).



e. Kesimpulan:

Fungsi adalah suatu aturan yang menghubungkan daerah satu

dengan daerah lain, secara tepat satu. Dari kedua fungsi yang

telah dipelajari (Eksponen dan Logaritma), dapat disimpulkan

bahwa fungsi eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan

metode grafik, dan diselesaikan menurut aturan eksponen

(bilangan berpangkat tinggi). Sedangkan fungsi logaritma,

diselesaikan menggunakan metode grafik dan mengikuti aturan

logaritma (invers nilai).

Sistem persamaan linear dua dan tiga variabel (SPLDV dan

SPLTV)

a. Konsep:

- Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah Sistem

persamaan yang memiliki 2 variabel dan 1 konstanta, dan

diselesaikan secara garis lurus (linear).

- Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah Sistem

persamaan yang memiliki 3 variabel dan 1 konstanta, dan

diselesaikan secara garis lurus (linear).

b. Bentuk Umum:

ax + by + c = 0 2 Variabel.

ax + by + cz = 0 3 Variabel.

c. Metode Penyelesaian:



1. Metode Grafik:

Yaitu merupakan salah satu teknik dalam penyelesaian sistem

persamaan linear, yang menitik beratkan pada sistem koordinat

atau grafik. (sumbu x, sumbu y).

Langkah:

Tuangkan permasalahan linear ke dalam bentuk model

matematika. (“diketahui”).

Tentukan titik potong x dan y di garis koordinat.

Buatlah garis koordinat yang sesuai dengan permasalahan.

Titik potong tersebut, merupakan penyelesaian dari metode grafik,

berbentuk (x,y).

2. Metode Subtitusi:

Merupakan salahsatu metode penyelesaian, dengan cara men-

subtitusikan (mengganti) suatu variabel, ke dalam variabel lain.

Langkah:

Susun suatu pernyataan sistem persamaan linear dua / tiga

variabel secara lurus.

Nyatakan suatu variabel yang akan diubah kedalam variabel lain.

Subtitusikan Nilai variabel yang telah ditemukan, ke dalam suatu

persamaan linear lainnya.

3. Metode Eliminasi:

Merupakan salahsatu metode penyelesaian dengan cara

mengeliminasi salahsatu variabelnya.

Langkah:

Susun suatu pernyataan sistem persamaan linear dua / tiga

variabel secara lurus.



Salahsatu atau kedua persamaan yang dipilih, dikalikan agar

salahsatu koefisien dari variabelnya sama.

Eliminasi variabel tersebut dengan cara menggunakan operasi

penjumlahan atau pengurangan.

Lakukan hal tersebut hingga seluruh variabel ditemukan hasilnya.

4. Metode Campuran:

Menggunakan perpaduan antara metode eliminasi dan subtitusi.

Langkah:

Gunakan eliminasi terlebih dahulu.

Setelah salah satu variabel diketahui, subtitusikan variabel

tersebut ke dalam salahsatu persamaan.

Selain ke-empat metode diatas, kita juga bisa menggunakan

beberapa metode lainnya, yaitu:

Invers Matriks.

Determinan Sarrus (untuk 3 Variabel).

Eliminasi Gaus Jordan.

d. Contoh Soal dan Pembahasan:

Masalah yang berkaitan dengan penerapan SPLDV:

Di dalam sebuah gedung pertunjukkan, terdapat 200 penonton.

Harga karcis untuk anak – anak Rp. 2.000, dan dewasa Rp. 3000.

Apabila total hasil penjualan karcis tersebut adalah Rp. 510.000,

maka berapa banyak penonton untuk anak – anak dan dewasa?

Jawab:

Misalkan: Anak – anak: x

Orang Dewasa: y



Diketahui:

Persamaan 1: x + y = 200.

Persamaan 2: 2000x + 3000y = 510.000

(Disederhanakan): 2x + 3y = 510.

Kali ini, saya akan menggunakan metode campuran.

Pertama, eliminasi terlebih dahulu kedua persamaan tersebut.

x + y = 200 x2 2x + 2y = 400

2x + 3y = 510 x1 2x + 3y = 510

---------------------------------- --

y = 110 orang.

Kemudian, subtitusikan y ke salahsatu persamaan.

x + y = 200. x + 110 = 200. x = 200 – 110 x = 90 orang

Jadi, penonton dalam bioskop tersebut terdiri atas 90 orang anak –

anak, dan 110 orang Dewasa.

Masalah yang berkaitan dengan penerapan SPLTV:



e. Kesimpulan:

Setelah mempelajari SPLDV dan SPLTV, dapat disimpulkan

bahwa 2 materi tersebut sangat berguna di kehidupan sehari –

hari. Contohnya untuk menghitung harga barang, jumlah

penonton, penghasilan dan lain – lain. Untuk

menyelesaikannya, dapat menggunakan berbagai metode

seperti Grafik, Eliminasi, Subtitusi, Campuran, Determinan

Sarrus, Matriks dan Eliminasi Gaus Jordan.



Sistem pertidaksamaan linear dua variabel

a. Konsep:

Suatu pertidaksamaan yang terdiri atas 2 variabel dan 1

konstanta, dan diselesaikan secara garis lurus (linear).

b. Bentuk Umum:

ax+by>c ax+by≥c ax+by<c ax+by≤c

dengan: a koefisien untuk x,

b merupakan koefisien dari y

c merupakan konstanta

dimana a,b,c anggota bilangan riil.

dan a≠0,b≠0 .

c. Metode penyelesaian

Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut: 1. Ubah tanda pertidaksamaan linear menjadi persamaan. 2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x

dan sumbu y. 3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian. 4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah

penyelesaiannya. d. Contoh soal dan Pembahasannya:



e. Kesimpulan: Setelah mempelajari sistem pertidaksamaan linear, dapat kita simpulkan bahwa materi ini umumnya diselesaikan dengan metode grafik. Materi ini dapat diterapkan untuk menghitung keperluan sehari – hari seperti pembayaran pajak, luas tanah, perkiraan anggaran dan lain lain.



Persamaan kuadrat

a. Konsep: Suatu persamaan berpolinemial dua dan memiliki pangkat tinggi 2.

b. Bentuk Umum:

y = ax² + bx + c dengan a≠0.

koefisien kuadrat a merupakan koefisien dari x²

koefisien linear b merupakan koefisien dari x

sedangkan c adalah Konstanta.

c. Metode Penyelesaian: Memfaktorkan, untuk bentuk persamaan kuadrat ax²+bx+c=0

maka kita harus menentukan dua buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b dan dikalikan menghasilkan c.

Melengkapkan kuadrat sempurna, merubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Menggunakan rumus abc.

d. Contoh Soal dan Pembahasan:

Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat x² - 5x + 6 = 0

Jawab :

x2 – 5x + 6 = 0 (cara memfaktorkan)

<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0

<=> x- 2 = 0 atau x – 3 = 0

<=> x = 2 atau x = 3

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}



Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0

Penyelesaian : (menggunakan rumus abc)

Berdasarkan persamaan diketahui bahwa a =1, b = 4, c = -12 selanjutnya koefisien tersebut kita masukkan dalam rumus abc.

x1,2 = (- b ± √b2 – 4ac) /2a

<=> x1,2 =( - 4 ± √42 – 4 . 1. (-12) )/2.1

<=> x1,2 = (- 4 ± √16 + 48)/2

<=> x1,2 = (- 4 ± √64)/2

<=> x1,2 = (- 4 ± 8)/2

<=> x1,2 = (- 4 + 8) /2 atau x1,2 = (- 4 - 8 )/2

<=> x1 = 2 atau x2 = -6

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,-6}

e. Kesimpulan:

Dari rumus umum persamaan kuadrat y = ax² + bx + c = 0, jika kita mencari akar-akar menggunakan pemfaktoran b diperoleh dari penjumlahan akar-akar dan c diperoleh dari perkalian akar-akar sehingga kita dapat memperoleh pernyataan:

pertidaksamaan kuadrat

a. Konsep:

x2 – (x1 + x2) x + x1.x2 = 0



Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel paling tinggi berpangkat dua.

b. Bentuk Umum:

(i) ax² + bx + c > 0 (ii) ax² + bx + c ≥ 0

(iii) ax² + bx + c < 0 (iv) ax² + bx + c ≤ 0

dimana a, b, c dan x elemen bilangan riil dan a ≠ 0

c. Metode Penyelesaian:

Sebelum kita bahas tentang metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, kita akan ulas kembali tentang interval/selang serta grafik fungsi kuadrat yang akan membantu kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidak samaan kuadrat nantinya.

1. Interval / Selang

Interval merupakan himpunan bagian bilangan riil. Sebuah interval dapat dilukiskan pada garis bilangan yang berbentuk ruas garis (segmen) dan terdapat tanda lebih tebal pada titik yang bersesuaian.

2. Grafik Fungsi Kuadrat

http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/interval2.jpg



Suatu Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan: y = ax²+bx+c dengan a, b, c elemen bilangan riil dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat ini memiliki sifat:

Jika a > 0 grafik fungsi terbuka ketas, dan sebaliknya jika a<0 grafik fungsi terbuka kebawah.

Memotong sumbu y jika x = 0 dan memotong sumbu x jika y = 0. Titik potong terhadap sumbu x ditentukan oleh suatu nilai.

Diskriminan (D=b²-4ac) berlaku ketentuan :

1. D>0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik. 2. D=0 maka parabola menyinggung sumbu x. 3. D<0 maka parabola tidak memotong sumbu x.

Macam-macam Grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan berdasarkan: a > 0 dan D < 0 maka termasuk definit positif, dan jika a < 0 dan D < 0 disebut definit negatif.

Langkah-langkah menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat :

1. Ubahlah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat

2. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.

3. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat pada garis bilangan.

http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/interval.jpg



4. Tentukan mana yang termasuk daerah positif, dan mana yang termasuk daerah negatif.

5. Tuliskan Himpunan Penyelesaian sesuai soal yang diminta.

d. Contoh soal dan pembahasan:

Tentukan himpunan penyelesaian dari 𝑥2 – 2x – 24 < 0

Jawab:

𝑥2 – 2x – 24 < 0

( x - 6 ) ( x + 4 ) < 0

x1 = 6 x2 = -4

Apabila diletakkan ke garis bilangan, daerah yang berharga negatif

adalah -4 < x < 6 sehingga daerah tersebut merupakan daerah

penyelesaian dari pertidaksamaan 𝑥2 – 2x – 24 < 0.

Tentukan himpunan penyelesaian x2 – 2x – 3 ≤ 0

Jawab :

Bentuk menjadi persamaan x2 – 2x – 3 = 0

Difaktorkan (x – 3) (x + 1) = 0, maka x = 3 atau x=-1

Berdasarkan soal daerah yang diminta ≤ 0 berarti yang bertanda -, sehingga berdasarkan gambar: HP { x │ -1 ≤ x ≤ 3 }.

e. Kesimpulan:

http://rumus-matematika.com/wp-content/uploads/2013/08/grafik22.jpg



Setelah mempelajari Pertidaksamaan kuadrat, maka dapat disimpulkan bahwa persoalan di materi ini dapat diselesaikan dengan difaktorkan (cara persamaan kuadrat) atau menggunakan rumus abc. Kemudian, ditentukan daerah penyelesaiannya melalui Interval (garis bilangan) dan dibuat Himpunan Penyelesaiannya.

Pertidaksamaan pecahan

a. Konsep: Pertidaksamaan yang memiliki pembilang dan penyebut. b. Bentuk Umum:

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) > 0.

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)< 0.

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) ≥ 0.

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) ≤ 0.

c. Metode penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan adalah:

1. Ruas kanan dijadikan nol. 2. Samakan penyebut di ruas kiri. 3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa). 4. Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan

penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut).

5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4.

Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut

selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak

boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai).

6. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval.

d. Contoh soal dan pembahasan :

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/picture2.gif



1.

Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0

–5x = –20 → x = 4

Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3

Garis bilangan:

→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol

untuk penyebut

Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}.

2.

http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/garis_03.jpg





Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0

x = 2 atau x = –1

Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat

difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:

D = b2 – 4.a.c

=> 12 – 4.1.1

=> 1 – 4 = –3

Nilai Diskriminannya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak

mempunyai akar real.

(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk

mendapat harga nol-nya)

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}

e. Kesimpulan

Pertidaksamaan pecahan adalah suatu pertidaksamaan yang

memiliki pembilang dan penyebut. Metode penyelesaiannya

adalah dengan menjadikan 0 ruas kanan, menyamakan penyebut

ruas kiri, memfaktorkan pembilang dan penyebut jika bisa, lalu

mencari nilai x. Setelah itu, masukkan nilai x dari pembilang dan

penyebut ke dalam garis bilangan, dan tentukan intervalnya.

Sumber:



rumus-matematika.com

LKS Matematika Peminatan

Bank Soal Matematika.

matematika peminatan kelas x

Education