matematika industri i - miftakhurrizal...

Matematika Industri I


Determinan

Determinan orde-ketiga

Persamaan simultan dengan tiga bilangan tidak diketahui

Konsistensi suatu set persamaan

Sifat-sifat determinan


•Suatu determinan orde n terdiri dari n2 bilangan yang disebut elemen-elemen yang tersusun dalam n baris dan n kolom, dan dibatasi oleh dua buah garis vertikal.• Huruf = kolom• Subskrip = baris

333

222

111

3

22

11

2

11

cba

cba

cba

D

ba

baD

aD

Orde 1

Orde 2

Orde 3


Determinan


Determinan

• Memecahkan dua persamaan linier simultan:

• Menghasilkan:

• Mempunyai sebuah solusi yang tersedia

1221

1221

1221

1221

baba

daday

baba

dbdbx

1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y d

a x b y d

1 2 2 10ab a b


Determinan

• Notasi singkat untuk pernyataan

• Simbol:

• (dievaluasi dengan perkalian silang)

• Disebut determinan orde-kedua (karena determinan ini punya 2 baris dan 2 kolom)

1 2 2 1ab a b

1 1

1 2 2 12 2

a ba b a b

a b

1 1

2 2

a b

a b

1 1

2 2

a b

a b


Determinan

•Sehingga:

•dimana:

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

and

b d a d

b d a dx y

a b a b

a b a b

1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

1x y

a bb d a d

a bb d a d


Determinan

• Ketiga determinan:

dapat diperoleh dari kedua persamaan sebagai berikut:

1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

, and a bb d a d

a bb d a d

1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y d

a x b y d

1 1

02 2

1 1

12 2

1 1

22 2

omit the constant terms to form

omit the terms to form

omit the terms to form

a b

a b

b dx

b d

a dy

a d


Determinan

•Persamaan:

•Dapat ditulis sebagai:

1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

1x y

a bb d a d

a bb d a d

1 2 0

1x y


Contoh

1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y d

a x b y d

1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

1x y

a bb d a d

a bb d a d

•Ingat!•Perhatikan persamaan:

3x+2y-5=0

4x+3y-7=0

•a1b2-a2b1=11 1

1 2 2 12 2

a ba b a b

a b

1

1

1

11

yx

yx


Determinan Orde-Ketiga

•Sebuah determinan orde-ketiga punya 3 baris dan 3 kolom.•Setiap elemen determinan dikaitkan dengan

minornya yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang berisi elemen yang bersangkutan.•Sebagai contoh:

1 1 12 2

2 2 213 3

3 3 3

the minor of is obtained thus

a b cb c

a a b cb c

a b c



•Menentukan nilai determinan orde-ketiga•Untuk menguraikan determinan orde-ketiga, kita

dapat menulis masing-masing elemen di sepanjang baris atas, mengalikannya dengan minornya, dan memberi suku-sukunya tanda plus dan minus secara bergantian

1 1 12 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 13 3 3 3 3 3

3 3 3

a b cb c a c a b

a b c a b cb c a c a b

a b c



•Menentukan nilai determinan dengan mengekspansi pada sebarang baris dan kolom


Contoh

•Contoh 1

•Contoh 2

3022641275

232

84

234

84

751

842

754

231

3012541242

542

82

743

84

751

842

754

231


Persamaan Simultan Dengan Tiga Bilangan Tidak Diketahui• Persamaan:

• Punya solusi:

• Lebih mudah diingat sebagai:

1 2 3 0

1x y z

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

0

0

0

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3

1x y z

a b d a b cb c d a c d




Contoh

•Cari nilai x dari persamaan:

2x+3y-z-4=0

3x+y+2z-13=0

x+2y-5z+11=0

2

28

1

56

521

213

132

1

1152

1321

413

1

0321

x

x

x

zyx


Konsistensi Suatu Set Persamaan



•Tiga persamaan simultan dengan dua bilangan tidak diketahui akan konsisten jika determinan koefisiennya adalah nol

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

0

0

a x b y d

a x b y d

a x b y d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

a b d

a b d

a b d


Sifat-sifat Determinan

1. Nilai suatu determinan tetaptidak berubah jika barisnya diubah menjadi kolom dan kolom menjadi baris

2. Jika dua baris (atau kolom) disaling-tukarkan, tanda determinan tersebut berubah

1 2 1 1

1 2 2 2

a a a b

b b a b

2 2 1 1

1 1 2 2

a b a b

a b a b



3. Jika dua baris (atau kolom) identik, nilai determinan tersebut sama dengan nol

4. Jika elemen sebarang satu baris (atau kolom) semuanya dikalikan dengan faktor persekutuan, determinannya dikalikan dengan faktor tsb

1 1

2 2

0a a

a a

1 1 1 1

2 2 2 2

ka kb a bk

a b a b



5. Jika elemen sebarang baris (atau kolom) diperbesar (atau dikurangi) oleh kelipatan elemen yang sama dari elemen yang bersesuaian dari baris (atau kolom) lain, nilai determinan tersebut tidak berubah

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2

and a kb b a b a b a b

a kb b a b a ka b kb a b


Hasil Pembelajaran

• Mengekspansi suatu determinan 2x2

• Menyelesaikan pasangan persamaan linier simultan dengan dua variabel menggunakan determinan 2x2

• Mengekspansi suatu determinan 3x3

• Menyelesaikan tiga persamaan linier simultan dengan tiga variabel menggunakan determinan 3x3

• Menentukan konsistensi dari set-set persamaan linier simultan

• Menggunakan sifat-sifat determinan untuk menyelesaikan persamaan yang ditulis dalam bentuk determinan


Referensi

•Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika Teknik. Erlangga. Jakarta

•Ayres, Frank and Philip A Schimidt. 2003. Matematika Universitas. Erlangga. Jakarta.

matematika industri i - miftakhurrizal...

Documents