matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

15
MATEMATIKA DISKRIT MELALUI PERMAINAN TOWER OF HANOI DAN THE WHEEL OF THEODORUS DI KELAS 6-8 Nama Kelompok: 1. Novri Heriyani Pratami (06081181419007) 2. Lusi Kurnia (06081181419023) 3. Siti Sholekah (06081181419011) 4. One Agustin (06081181419016) 5. Vina Dwi Purnamasari (06081181419013) 6. Sutri Octaviana Sitorus (06081181419074) Dosen Pembimbing: PROF.DR.ZULKARDI, MI.KOMP.,MSC. Kelas : Indralaya Mata Kuliah: Matematika Diskrit Program Studi: Pendidikan Matematika

Upload: vina-dwi-purnamasari

Post on 13-Apr-2017

43 views

Category:

Education


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

MATEMATIKA DISKRIT MELALUI PERMAINAN TOWER OF HANOI DAN THE

WHEEL OF THEODORUS DI KELAS 6-8

Nama Kelompok:

1. Novri Heriyani Pratami (06081181419007)

2. Lusi Kurnia (06081181419023)

3. Siti Sholekah (06081181419011)

4. One Agustin (06081181419016)

5. Vina Dwi Purnamasari (06081181419013)

6. Sutri Octaviana Sitorus (06081181419074)

Dosen Pembimbing: PROF.DR.ZULKARDI, MI.KOMP.,MSC.

Kelas : Indralaya

Mata Kuliah: Matematika Diskrit

Program Studi: Pendidikan Matematika

Page 2: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

MATEMATIKA DISKRIT MELALUI PERMAINAN TOWER OF HANOI DAN THE

WHEEL OF THEODORUS DI KELAS 6-8

Novri Heriyani Pratami11, Siti Sholekah2, Vina Dwi Purnama Sari3, One Agustin4,

Lusi Kurnia5, Sutri Octaviana Sitorus6

Zulkardi7

1,2,3,4,5,6Mahasiswa Pendidikan Matematika, Universitas Sriwijaya

7Dosen Pendidikan Matematika, Universitas Sriwijaya

[email protected], [email protected],

3 [email protected], [email protected],

[email protected], [email protected]

[email protected],

ABSTRAK

Tujuan Peer Teaching ini adalah agar siswa dapat membuat sebuah pola bilangan dan rumus dari

proses iterasi dan recursi melalui permainan Tower of Hanoi dan The Wheel of Theodorus. Subjek

dari Peer Teaching ini yaitu siswa kelas 6 SD sampai kelas 8 SMP. Tahap-tahap pembelajaran yang

dilaksanakan adalah tahap awal, tahap inti, tahap akhir. Pada tahap awal, penulis menyampaikan

tujuan dari pembelajaran dan aturan yang harus diikuti selama proses pembelajaran berlangsung.

Tahap inti, siswa mempraktekan langsung permainan Tower of Hanoi dan The Wheel of Theodorus

di depan kelas sesuai dengan peraturan yang sudah dibuat. Hasil dari permainan Tower of Hanoi

dan The Wheel of Theodorus dituliskan kedalam sebuah tabel yang sudah disediakan. Pada tahap

akhir, penulis menyampaikan kesimpulan dari materi pembelajaran yang sudah dipelajari. Hasil

akhir dari Peer Teaching ini adalah siswa dapat membuat sebuah pola bilangan dan rumus dari

proses iterasi dan rekursi melalui permainan Tower of Hanoi dan The Wheel of Theodorus.

Kata Kunci : Matematika Diskrit, Tower of Hanoi, The Wheel of Theodorus, iterasi dan

rekursi

Page 3: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

ABSTRACT

Peer Teaching purpose is so that students can make a numeral pattern and formula od iteration

process and recursion with game Tower of Hanoi and The Wheel of Theodorus . The subject of peer

teaching is students in grade 6 to grade 8. Stages of learning in practice are the initial stage, the core

stage, the final stage. The initial stage, the author inform the goal of learning and rules to be

followed during the learning process. The core stage, student practice straight game Tower of Hanoi

and The Wheel of Theodorus in front of the class accordance with the rules that have been created.

The outcome of the game Tower of Hanoi and The Wheel of Theodorus written into a table that has

been provided. The final stage, the authors expressed the conclusion of the learning material already

learned. The final outcome of this peer teaching is students can make a numeral pattern and formula

of iteration process and recursion with game Tower of Hanoi and The Wheel of Theodorus.

Key words: Discrete Mathematic, Tower of Hanoi, The Wheel of Theodorus, Iteration and

Recursion

Page 4: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

PENDAHULUAN

Matematika diskrit adalah sebuah

cabang dari matematika yang membahas

segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit itu

sendiri adalah sejumlah berhingga elemen

yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak

bersambungan. Contoh data diskrit misalnya

manusia, pohon, bola dan lain-lain.

Matematika diskrit tidak termasuk kedalam

mata pelajaran dalam kurikulum yang ada di

Indonesia, namun sebenarnya matematika

diskrit itu sendiri sudah ada pada pelajaran

matematika di setiap tingkat kelas yaitu mulai

dari TK sampai kelas 12 SMA.

Dalam belajar matematika diperlukan

pemahaman dengan penguasaan materi

terutama dalam membaca symbol, tabel dan

diagram yang sering digunakan dalam

matematika serta struktur matematika yang

kompleks, dari yang konkret sampai abstrak

apalagi jika yang diberikan adalah soal dalam

bentuk cerita yang memerlukan kemampuan

penerjemahan soal kedalam kalimat

matematika dengan memperhatikan maksud

dari pertanyaan soal tersebut.

Zoltan P.Dienes mengemukakan

bahwa tiap-tiap konsep atau prinsip dalam

matematika yang disajikan dalam bentuk yang

konkret akan dapat dipahami dengan baik. Ini

mengandung arti bahwa benda-benda atau

obyek-obyek dalam bentuk permainan akan

sangat berperan bila dimanipulasi dengan baik

dalam mengajar matematika.

Obyek-obyek yang diskrit dapat

digunakan untuk membantu siswa dalam

memahami dan mengerti tentang matematika

diskrit materi iteration dan recursion dengan

menggunakan permainan menara Hanoi dan

Roda Theodorus. Dengan demikian siswa

dapat membuat sebuah pola bilngan melalui

relasi berulang. Berdasarkan pemaparan

diatas , penulis membuat paper ini berjudul

“Matematika Diskrit Melalui Permainan

The Tower of Hanoi dan The Wheel of

Theodorus Di Kelas 6-8”

RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang diatas,

rumusan masalahnya adalah “Bagaimana cara

menerapkan Matematika diskrit di kelas 6 SD

sampai kelas 8 SMP pada pembelajaran

Matematika?”

TUJUAN

Tujuan dari peer teaching penerapan

Matematika Diskrit pada pembelajaran

Matematika adalah agar siswa dapat membuat

sebuah pola dan rumus dari proses iterasi dan

rekursi melalui permainan Tower Of Hanoi

dan The Wheel of Theodorus.

MANFAAT

1. Bagi siswa :

a. Siswa dapat mengetahui apa itu

iteration dan recursion.

b. Siswa dapat membuat sebuah pola

bilangan dengan bantuan

permainan Menara Hanoi dan

Roda Theodorus

c. Terlatihnya kemampuan siswa

dalam memecahkan masalah

(problem solving)

2. Bagi Guru:

a. Guru dapat menggunakan

permainan Menara Hanoi dan

Roda Theodorus dalam

mengajarkan pola bilangan

dikelas.

TINJAUAN PUSTAKA

Matematika diskrit adalah salah satu

cabang ilmu matematika yang mengkaji

objek-objek yang bersifat diskrit. Sedangkan

diskrit itu sendiri artinya yaitu tidak saling

berhubungan (diskontinyu). Misalnya,

himpunan bilangan rill, barisan dan deret,

teori peluang diskrit, dan lain sebagainya.

Page 5: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

Iterasi dan Rekursi

Iterasi dapat diartikan sebagai suatu

proses atau metode yang digunakan secara

berulang-ulang (pengulangan) dalam

menyelesaikan suatu permasalahan

matematika.Misalnya barisan bilangan ganjil

1, 3, 5, 7,… ,bilangan yang selanjutnya dapat

diperoleh dari bilangan yang sekarang di

tambah dengan 2. Proses tersebut dinamakan

dengan proses iterasi. Diketahui bahwa S1 =

1, S2 = 3, dan seterusnya, dan jika Sn

mewakili suatu barisan bilangan ke n, maka

kita tahu bahwa Sn= Sn-1 + 2 dengan n ≥ 2

disebut sebagai rumus rekursi. Jadi, rekursi

adalah proses pengulangan sesuatu dengan

cara kesamaan diri, atau dengan kata lain

rekursi adalah rumus yang didapatkan dari

proses iterasi tersebut.

Tower of Hanoi

Tower of Hanoi (Menara Hanoi)

adalah sebuah permainan matematis atau

teka-teki. Permainan ini terdiri dari tiga tiang

dan sejumlah cakram dengan ukuran yang

berbeda-beda yang bisa dimasukkan ke tiang

mana saja.Diasumsikan bahwa tiang pertama

maerupakan tiang asal, tiang yang tengah

merupakan tiang bantu, dan tiang yang ketiga

merupakan tiang tujuan. Permainan dimulai

dengan cakram-cakram yang tertumpuk rapi

berdasarkan ukurannya dalam salah satu

tiang, cakram terkecil diletakkan teratas,

sehingga membentuk kerucut.Tujuan dari

teka-teki ini adalah untuk memindahkan

seluruh tumpukan cakram ketiang yang lain,

dengan aturan: hanya satu cakram yang boleh

dipindahkan dalam satu waktu; setiap

perpindahan berupa pengambilan cakram

teratas dari satu tiang dan memasukkannya

ketiang lain, di atas cakram lain yang

mungkin sudah ada di tiang tersebut; tidak

boleh meletakkan cakram diatas cakram lain

yang lebih kecil.

Dengan berbagai macam metode

perhitungan dan penelitiannya, permainan

Menara Hanoi ini akhirnya terpecahkan

dengan solusi: jika terdapat sejumlah n

cakram pada permainan Menara Hanoi, maka

banyaknya perpindahan yang terjadi

(mengikuti aturan permainan) hingga semua n

cakram sampai di tiang tujuan adalah 2n – 1

perpindahan.

The Wheel of Ttheodhorus

The Wheel of Theodhorus, disebut

juga dengan Square Root Spiral, Einstein

Spiral, atau Pythagoras Spiral.The wheel of

theodhorus pertama kali ditemukan dan

dibuat oleh Theodorus of Cyrene (465-398

B.C).Ia adalah seorang ahli matematika

Yunani yang memiliki minat khusus dalam

bilangan irasional dan guru Plato .

Cara membuat atau menggambar The

wheel of theodhorus yaitu yang pertama

membuat segitiga siku-siku dengan panjang

alas 1 cm dan tinggi 1 cm, maka akan didapat

panjang sisi miringnya yaitu√2 , (1-1-√2)

.Kemudian lanjutkan dengan membuat

segitiga siku-siku yang kedua dengan

menggunakan segitiga yang sebelumnya, sisi

miring yang pertama (√2) sebagai tinggi dan

alasnya 1 cm, maka akan didapat panjang sisi

Page 6: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

miringnya yaitu √3, (1-1-√3); begitu pula

seterusnya hingga sampai pada segitiga yang

terakhir ( syarat: segitiga yang terakhir tidak

menimpa segitiga yang pertama) dengan sisi

miringnya yaitu√17.

Dengan demikian didapat rumus rekursif , di

mana Hn adalah panjang sisi miring n:

H1 = √2danHn = √𝐻 2𝑛−1

+ 1 , n ≥ 2.

METODE

Peer teaching ini menggunakan metode

diskusi dan tanya jawab. Dimana pada saat

awal proses belajar siswa terlebih dahulu

masalah. Subjek penelitian ini adalah siswa

kelas 6 SD sampai kelas 8 SMP. Teknik

pengumpulan data yang digunakan dalam

penelitian ini adalah hasil observasi aktivitas

siswa dan guru, dan hasil pekerjaan kelompok

siswa dalam LKS.

HASIL

A. Deskripsi Pelaksanaan Peer Teaching

Pembuatan Paper ini ditujukan untuk

memenuhi tugas mata kuliah Matematika

Diskrit. Sebelum pelaksanaan peer teaching,

Kami menyiapkan alat pembelajaran yang

akan digunakan pada saat peer teaching.

Materi yang akan kami bahas dalam kegiatan

peer teaching ini adalah mengenai Iterasi dan

Rekursi di kelas 6 SD sampai kelas 8 SMP.

Media pembelajaran yang Kami gunakan

berupa alat peraga dan penampilan

powerpoint. Alat peraga yang kami gunakan

adalah Menara Hanoi. Menara Hanoi terdiri

dari tiga buah tiang, yang terdiri dari tiang

awal, tiang singgah dan tiang tujuan. Tiang ini

berdiri diatas papan. Setelah pembuatan tiang

Menara Hanoi selesai, Kami membuat

lingkaran yang ditengahnya diberi lubang atau

agar bisa masuk ke dalam tiang awal, tiang

singgah dan tiang tujuan.Lingakaran ini

disebut Cakram. Cakram dibuat sebanyak 5

buah, dengan ukuran terkecil sampai terbesar

dengan dua warna secara selang-seli karena

peraturan permainan ini adalah tidak boleh

menumpukkan 2 buah cakram yang warnanya

sama.Bahan yang Kami gunakan adalah

Steroform. Setelah pembuatan tiang dan

cakram selesai, kami membuat tabel yang

nantinya akan diberikan pada siswa untuk

diisi berapa kali perpindahan cakram.

Untuk materi Roda Theodorus kami hanya

menyediakan tampilan powerpoint yang akan

kami jelaskan pada siswa bagaimana cara

menyelesaikan roda Theodorus sehingga

berbentuk seperti keong atau siput. Kami

menyediakan kertas kosong agar siswa bisa

menggambar roda Theodorus.

Setelah pembuatan media pembelajaran

sudah selesai kami membagi tugas untuk

menjadi moderator dan sebagai gurunya.

Selain itu juga Kami juga berdiskusi metode

apa yang akan kami gunakan untuk peer

teaching, menentukan norma atau aturan yang

akan kami tetapkan dalam proses

pembelajaran, serta menyiapkan bintang

untuk siswa sebagai bentuk penghargaan atau

pujian bagi siswa yang aktif dalam

pembelajaran.

B. Tahap Pelaksanaan

Pelaksanaan peer teaching pada hari Rabu,

28 Oktober 2016 pukul 08.00 sampai 09.30.

Tahap pertama moderator memperkenalkan

guru yang akan mengajar.

Page 7: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

1. Permainan Menara Hanoi

Materi pertama yaitu tentang Menara

Hanoi yang dibimbing oleh Sutri Octaviana

Sitorus dan Novri Heriyani Pratami. Sebelum

menjelaskan materi, Kami menjelaskan aturan

atau norma yang ditetapkan dalam proses

pembelajaran, yang pertama ketika siswa

ingin berbicara, mengungkapkan pendapat

dan menjelaskan harus mengangkat tangan,

yang kedua ketika guru atau siswa yang

sedang berbicara diharapkan siswa yang lain

diam dan mendengarkan, yang ketiga siswa

diminta aktif dalam diskusi dan proses

pembelajaran karena siswa yang aktif akan

mendapatkan bintang yang akan menjadi nilai

keaktifan siswa dalam kelas. Setelah itu Kami

membagi siswa kedalam 6 kelompok yang

duduknya berdekatan. Kami menjelaskan cara

permainan Menara Hanoi.

Cara permainannya adalah sebagai berikut:

1. Pada saat memindahkan cakram dari

tiang awal ke tiang tujuan maka posisi

cakram pada saat di tiang awal harus

sama ketika berada di tiang tujuan.

2. pada saat memindahkan cakram,

cakram yang lebih besar harus selalu

dibawah cakram yang lebih kecil.

3. Pada saat memindahkan cakram,

dalam 1 buah tiang tidak boleh

terdapat 2 cakram dengan urutan yang

sama.

Gambar 1 menjelaskan cara permaianan

Menara Hanoi

Setelah menjelaskan cara permainan

Menara Hanoi. Kami meminta siswa yang

bersedia untuk bermain Menara Hanoi.

Gambar 2 siswa bermain menara Hanoi

Gambar 3 siswa bermain Menara Hanoi

Kemudian Kami meminta siswa untuk

mengisi tabel permainan yang telah

disediakan

Gambar 4 kelompok lain mengisi tabel

permainan Menara Hanoi

Page 8: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

Berikut hasil diskusi beberapa kelompok:

Gambar 5 hasil diskusi siswa kelompok 5

Gambar 6 hasil diskusi siswa kelompok 3

2. The Wheel Theodorus ( Roda

Theodorus)

Materi kedua tentang Wheel

Theodorus (Roda Theodorus) yang diajarkan

oleh Siti Sholekha dan Lusi Kurnia. Guru

membagi siswa menjadi 6 kelompok dan guru

membagikan kertas kosong yang akan

digunakan nantinya untuk menggambar Roda

Theodorus.Awalnya siswa diminta membuat

segitiga siku-siku sama kaki dengan ukuran 1

cm dan sisi miringnya siswa diminta

mencarinya dengan menggunakan Theorema

Phytagoras. Kemudian siswa diminta

meneruskan roda Theodorus sampai

berbentuk sebuah roda atau seperti keong.

Gambar 7 Roda Theodorus yang akan

diteruskan oleh siswa

Setelah siswa selesai mennggambar

dikelompok masing-masing Guru meminta

siswa untuk menggambarkan hasil gambar

Roda Theodorus dan hasil perhitungan

mereka dipapan tulis.

Gambar 8 siswa sedang menggambar dan

menuliskan hasil perhitungannya mencari

sisi-sisi setiap Segitiga

Meri mendapatkan hasil sisis miring

terakhir segitiga siku-siku tersebut adalah

√17.Namun, ketika guru bertanya apakah ada

hasil yang berbeda dengan teman mereka,

ternyata ada beberapa siswa yang memilki

hasil yang berbeda,

Page 9: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

Gambar 9 Roda Theodorus yang berbeda

yaitu √𝟏𝟔

Ada juga siswa yang mendapatkan

hasil akhir √18, karena hasil akhir bisa sangat

bervariasi , tergantung pada kemampuan

siswa untuk menciptakan sudut kanan akurat

dan tetap tegak lurus kaki satu unit panjang.

Kemudian siswa diminta mencari rumus

dari Roda Theodorus.

Gambar 10 siswa mencari rumus dari

Roda Theodorus

Didapatlah rumus mencari roda

Theodorus

Gambar 11 Rumus roda Theodorus

PEMBAHASAN

Dari penjabaran deskripsi pelaksanaan

kegiatan peer teaching dan tahap

pelaksanaannya, jika dalam permainan

Menara Hanoi dapat diartikan proses Iterasi

adalah proses pemindahan cakram ke tiang

singgah dan tiang tujuan, sedangkan Rekursi

adalah pembuatan pola serta rumus untuk

menentukan banyak pengulangan pemindahan

cakram. Jika dalam Roda Theodorus proses

iterasi adalah proses berulang melibatkan

membangun segitiga siku-siku baru

berbatasan sebelumnya segitiga siku-siku

dengan menggunakan miring sebelumnya

sebagai salah satu kaki dan menjaga tegak

lurus kaki satu unit panjang hingga akhirnya

membentuk sebuah roda atau seperti keong,

Sedangkan rekursi adalah memakili proses

iterasi dengan sebuah rumus.

Dalam hal ini kita sebagai calon guru

dapat menggunakan permainan Menara Hanoi

dan Roda Theodorus untuk mengajarkan

Matematika Diskrit di kelas 6 SD sampai

kelas 8 SMP dengan cara yang m

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan maka

dapat disimpulkan bahwa pembelajaran

dengan menggunakan media permainan

menara Hanoi dan roda Theodhorus dapat

membangkitkan semangat siswa dalam

mengikuti proses belajar di kelas. Siswa

dengan antusias memindahkan cakram dari

satu tiang ketiang yang lainnya dengan

mengikuti peraturan yang berlaku pada

permaianan Menara Hanoi, siswa juga sangat

hati-hati dan teliti dalam menggambar dan

menghitung panjang sisi miring dari segitiga

yang terbuat pada roda Theodhorus, untuk

Page 10: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

menentukan rumus rekursif pada proses

iterasi tersebut.

SARAN

Berdasarkan kesimpulan diatas maka

disarankan, guru diharapkan mampu

menciptakan suasana belajar yang

menyenangkan dengan menggunakan metode

dan teknik mengajar yang disukai serta

membangkitkan semangat belajar siswa

selama mengikuti proses pembelajaran.

Page 11: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

DAFTAR PUSTAKA

Hart, Eric W.2008.Navigating through Discrate Mathematics in Grades 6-12.Amerika:National

Council of Mathematics (NCTM).

Page 12: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

LAMPIRAN

1. Gambar 1 menjelaskan cara permaianan Menara Hanoi

2. Gambar 2 siswa bermain menara Hanoi

3. Gambar 3 siswa bermain Menara Hanoi

Page 13: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

4. Gambar 4 kelompok lain mengisi tabel permainan Menara Hanoi

5. Gambar 5 hasil diskusi siswa kelompok 5

6. Gambar 6 hasil diskusi siswa kelompok 3

Page 14: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

7. Gambar 7 Roda Theodorus yang akan diteruskan oleh siswa

8. Gambar 8 siswa sedang menggambar dan menuliskan hasil perhitungannya

mencari sisi-sisi setiap Segitiga

9. Gambar 9 roda Theodorus yang berbeda yaitu √𝟏𝟔

Page 15: Matematika diskrit melalui permainan the tower of hanoi dan the wheel of theodorus di kelas 6

10. Gambar siswa mencari rumus dari Roda Theodorus

11. Gambar Rumus Roda Theodorus