matematika diskrit

MatematikaDiskritTIF4216

PencacahanCounting

Justanintermezzo

Pengelola Pantai Hanakapiai, Hawaii memperingatkan pengunjung agar tidak mendekati kawasan air, dan menegaskan peringatan tersebut

dengan membuat menyusun tally-marks yang berfungsi menghitung

secara diskrit jumlah korban yang nekat

Macam PencacahanTallyMarks

Kombinatorial

• Cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek• Jumlah cara/solusi yang diperoleh dari himpunannya

• Contoh:1. Plat mobil di negara X teridiri dari 5 angka dan diikuti 2 huruf.

Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat di buat.

2. Password sebuah sistem komputer panjang nya 6 – 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf dan atau angka. Tidak case sensitive. Berapa banyak password yang dapat dibuat?

Matematika Komputasi 5

Kombinatorial

• Kombinatorial didasarkan pada hasil yang di peroleh dari percobaan:

• Contoh:• Melempar daduEnam hasil percobaan yang mungkin untuk pelemparan dadu adalah muka dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.

• Melempar uang koin uang Rp.100Hasil percobaan melempar koin 100 ada dua kemungkinan: muka koin gambar rumah gadang atau koin gambar wayang.


CasePassword with 6 character,

consist of letter and number

abcdef 123789aaaade 34qwera123fr ............COMBINATION

Kombinatorialcabang matematika untuk

menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua

kemungkinan susunannya

Rule of Sum (Kaidah Penjumlahan)Misal: Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil maka: Perc. 1 atau Perc. 2: p + q hasil

Rule of Product (Kaidah Perkalian)Misal: Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil maka: Perc. 1 dan Perc. 2: p x q hasil

Kaidah Dasar Menghitung

Latihan 1

Dari seluruh mahasiswa Tif angkatan 2010, terdapat 250 laki2 dan 150

perempuan. Dengan tanpa memperhitungkan gender, berapa

cara memilih satu ketua himpunan?

Solusi: 250 + 150 = 400 cara

Latihan 2Dari seluruh mahasiswa Tif angkatan

2010, terdapat 300 peminat jaringan dan 100 peminat vision.

Dari setiap bidang minat akan dipilih 1 wakil untuk ikut seminar, berapa

cara memilih dua orang peserta seminar?

Solusi: 300 x 100 = 30.000 cara

Perluasan kaidah menghitung• Dapat mengandung lebih dari dua percobaan.• Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1, p2,

p3,...pn. hasil percobaan tidak bergantung pada percobaan sebelumnya:

• Rule of sum– p1 x p2 x p3 . . . x pn

– Hal. 231 Rinaldi Munir• Rule of product

– P1 + p2 + p3 . . . + p4

– Hal. 232 Rinaldi Munir


Rule of Sump1 + p2 + … + pn hasil

Rule of Productp1 x p2 x … x pn hasil

Perluasan Kaidah Dasar MenghitungAda n percobaan, masing-masing dengan pi hasil

Latihan 3

Dari seluruh pemain Arema yang siap bertanding, terdapat 1 kiper, 3 bek, 4 gelandang dan 3 penyerang.

Dengan tanpa memperhitungkan posisinya, berapa cara memilih satu

kapten tim?

Solusi: 1 + 3 + 4 + 3 = 11 cara

Latihan 4Pemain Arema yang menuntut pembayaran gaji mengirim 4

perwakilan menghadap manajemen. Di antara 3 kiper, 6

bek, 8 gelandang dan 6 penyerang, ada berapa cara mengirimkan wakil, bila tiap posisi diwakili satu orang?

Solusi: 3 x 6 x 8 x 6 = 864 cara

Soal 2Password pada sebuah sistem

komputer panjangnya enam sampai delapan karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka;

TIDAK case sensitive. Berapa banyak kombinasi password yang dapat

dibuat?

Pembahasan Soal 1

Terdapat 1 byte string yang berupa bilangan biner.

Berapa banyak string yang dapat dibentuk?

Solusi: 2x2x2x2x2x2x2x2 = 28 = 256 cara

8 digit 2 kemungkinan: 0 / 1

Prinsip InklusiEksklusiKaidah Perkalian & Penjumlahandalam Operasi Himpunan

KasusBerapa banyak kombinasi susunan byte yang dimulai dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’?

Prinsip Divide & ConquerINGAT !

A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’, B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’

|A| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

|B| = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 64

|A B| = 128 ?

11******

11******

11******

11******

................

******11

******11

******11

******11

................11****11

A B

|A B| = |A| + |B| - |A B|

|A B| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 16

|A B| = |A| + |B| - |A B|

|A B| = 64 + 64 - 16 = 112

PHP

igeon-

ole

rinciple

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 holes

1 2 3 4

5 6 7

8 9 10

10 pigeonsBila

terdapat n obyek yang diletakkan

pada m buah tempat, dengan

nilai n > m, maka:Paling tidak, satu

tempat berisi lebih dari 1 obyek

GustavLejeuneDirichlet

Dirichlet drawer principlePigeon-holeprinciple

1834

(1805 – 1859)

1.Di antara tiga orang, maka pasti ada dua orang yang berjenis kelamin sama

2.Dari 32 orang, pasti ada 2 orang yang memiliki tanggal lahir yang sama.

3.Bila sebuah tim sepakbola menang 12-0, pasti ada pemain yang mencetak lebih dari satu gol

Jelaskan!

Case

Bentuk khusus Rule of ProductPermutasi

Jumlah urutan berbeda dari pengaturan obyek-obyek

Terdapat tiga buah bola: Merah, Biru dan Hijau

Dan tiga buah wadah berurutan:

Berapa banyak urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam wadah-wadah tersebut?

1 2 3

1 2 3

123456

3 x 2 x 1 =3!=6

P(n, n) = n x (n-1) x (n-2) x ... 2 x 1P(n, n) = n !

Permutasi r dari n elemen

Permutasi n obyek

P(n, r) = n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1))

P(n, r) = n !(n-r) !

KombinasiJumlah pengaturan obyek-obyek tanpa memperhitungkan urutan

Kombinasi r dari n elemen

C(n, r) =

C(n, r) = = P(n, r)r !

n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1))r !

n!r ! (n- r)!

Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2010, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga:

a. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;b. mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;c. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi

B tidak;d. mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi

A tidak;e. mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;f. setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau

B termasuk di dalamnya.

Soal 3

Terimakaish

Kombinatioral- Permutasi- Kombinasi

34

Permutasi

• Mengabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan

• Permutasi dari n unsur yang berbeda x1, x2, …, xn adalah pengurutan dari n unsur tersebut.

• Contoh:ABC; Tentukan permutasi dari tiga huruf yang berbeda!Permutasi:ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA# 6 permutasi huruf ABC

35

Permutasi• Permutasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2, …, xn adalah

pengurutan dari sub himpunan dengan r anggota dari himpunan {x1, x2, …, xn}

• Dinotasikan P(n,r)• Contoh:

Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, ABCDE!Banyaknya permutasi-3 dari 5 : 60

ABC ABD ABE ACB ACD ACE

ADB ADC ADE AEB AEC AED

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

ECA ECB ECD EDA EDB EDC

36

Permutasi

• Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda:• P(n,r) = n!/(n-r)!

• Contoh:Permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, ABDCEP(5,3) = 5!/(5-3)!

= 5 × 4 × 3 = 60

37

Kombinasi• Menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa

memperhatikan urutan• Kombinasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2, …, xn

adalah seleksi tak terurut r anggota dari himpunan {x1, x2, …, xn}

• Banyaknya kombinasi-r dari n unsur dinotasikan C(n,r) • Contoh:

Kombinasi-3 dari dari huruf ABCDE adalah:

Kombinasi-3 dari 5 huruf : 10

ABC ABD ABE ACD ACE

ADE BCD BCE BDE CDE

38

Kombinasi

• Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalah C(n,r) = n!/(n-r)!.r!

• Contoh:Kombinasi-3 dari 5 huruf berbeda, ABCDE adalahC(5-3) = 5!/(5-3)!.3!

= 5!/2!.3! = 5 × 4/2 = 10

39

Kombinasi

• Contoh:Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 mahasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi?

• Jawab:Pertama: memilih 2 mahasiswa dari 5 mahasiswaC(5,2) = 10Kedua: memilih 3 mahasiswi dari 6 mahasiswiC(6,3) = 20

Sehingga terdapat 10 × 20 = 200 cara 40

Terimakasih

matematika diskrit

Documents