matematik : menganalisis & menterjemah data

8/3/2019 Matematik : Menganalisis & Menterjemah Data

1/33

1

5.0 Menganalisis dan Menterjemah Data

5.1 Pengenalan

Bab ini akan memperkenalkan bidang Statistik yang asas. Di sini, beberapa analisis

data yang mudah akan dijalankan Data- data ini akan dikumpul dan diringkaskandalam jadual dan diwakilkan dengan perwakilan- perwakilan seperti carta dan graf.Seterusnya perwakilan ini akan diterjemahkan melalui penerangan yang berkaitanseperti mengenalpasti ukuran kecenderungan memusat, serakan atau jenis taburandan ini akan memberi makna dan gamabaran yang jelas. Kemahiran ini amat perluditerapkan dalam pendidikan guru khususnya dan sangat berguna dalam kehidupanseharian.

5.2 Pembahagian Data

Data kuantitatif boleh dibahagi kepada 4 jenis menggunakan empat jenis skalapengukuran. Skala boleh ditakrifkan sebagai angka yang digunakan untuk mengkelasatau menunjukkan tahap/nilai sesuatu ukuran. Suatu data dikelaskan dalam skala

a. nominal,b. ordinal,c. sela, dand. nisbah

5.2.1 Data Nominal

Nominal ialah skala yang dianggap paling mudah dan mempunyai ketepatan yang

paling rendah. Skala ini mengkategorikan pemboleh ubah berdasarkan persamaan danseterusnya memberikan nama kepada pemboleh ubah berkenaan. Jantina, ras danwarna adalah contoh data nominal. Jantina diwakilkan dengan 1 bagi lelaki dan 2 bagiperempuan. Nilai nombor 1 bukan bermaksud lebih kecil dari 2 atau lebih baik dari 2.Nilai nombor 1 dan 2 hanyalah melambangkan atau mewakili kategori bagi lelaki danperempuan. Begitu juga bagi ras dimana 1 mewakili kaum Melayu, 2 mewakili kaumCina, 3 mewakili kaum India dan 4 mewakili kaum-kaum lain. Nombor hanya perwakilansesuatu kumpulan data. Serupa juga bagi warna dimana kita boleh menyatakan 1sebagai Merah, 2 sebagai kuning, 3 sebagai hijau dan sebagainya.

Ciri-ciri utama skala nominal adalah:i. Setiap ahli hanya dimiliki oleh satu kategori sahaja, misalnya, individu yang

dikelaskan ke dalam kategori lelaki tidak boleh menjadi ahli kategori jantina lain.ii. Nombor yang mewakili setiap kategori tidak mempunyai nilai pemeringkatan, tetapi

dianggap sebagai nama kategori sahaja.iii. Pengkelasan data asal bagi data nominal bersifat satu kepada satu.


2/33

2

5.2.2 Data Ordinal

Ordinal ialah skala yang memberikan nilai pemeringkatan atau pangkatan. Data ordinalboleh disusun sama ada daripada yang terendah kepada nilai yang tertinggi ataudaripada yang lemah kepada yang cemerlang. Nombor atau kategori yang diguna

menggambarkan ukuran asal pemboleh ubah mengikut susunan daripada kecil kepadayang besar atau dari kategori yang kurang baik kepada kategori yang lebih baik.Kedudukan, gred dan jawatan adalah contoh data ordinal. Pelajar yang mendapatnombor 1 dalam kelas tentunya lebih baik dari pelajar yang mendapat nombor 2, 3 danseterusnya. Gred A juga lebih baik dari gred B, C dan D. Sarjan lebih berpangkatberbanding koperal dan lans-koperal.

Ciri-ciri utama data ordinal adalah :i. Kategori yang digunakan bagi mengkelaskan data ordinal adalah saling eksklusif.

ii. Ukuran yang digunakan, memperlihatkan pemeringkatan secara logik.iii. Ukuran mempunyai pemberat dimana setiap kategori mempunyai pemberat yang

kurang atau lebih berbanding kategori lain.

Markah, ketinggian, berat, gred, dan jawatan adalah contoh data ordinal. Markah 80%tentunya lebih baik dari 50%. 160 cm sudah pasti lebih tinggi dari 100 cm. Benda yangberatnya 60 kg tentunya lebih berat dari 25 kg.

5.2.3 Data Sela

Skala sela ini mempunyai ciri pemeringkatan dan juga mempunyai perbezaan bagisetiap unit sela yang sama nilai. Skala ini berupaya menunjukkan perbezaan antarabeberapa kategori dan ia boleh menunjukkan kesamaan dalam unit ukuran yangdigunakan. Contoh ukuran berskala sela ialah ukuran suhu. Dalam hal ini, perbezaansuhu antara 25C dengan 35C adalah sama dengan perbezaan suhu antara 5Cdengan 15C, iaitu perbezaan 10 darjah. Nilai perbezaan ini sama kerana ia dikira darititik origin iaitu 0C. Nilai sifar (0) merupakan suatu nilai yang arbitrari, yang tidakmenggambarkan nilai kuantiti kosong, iaitu skala sela tidak mempunyai nilai mutlak.Misalnya, suhu 0C merupakan nilai permulaan sistem pengukuran suhu dalam C.Suhu 0C di sini bukan bermakna tidak ada kepanasan. Begitu juga dengan markahpencapaian. Katakan pelajar A mendapat markah 90 dan pelajar B mendapat markah75. Bezanya adalah 15 markah. Jika pelajar C mendapat 60 markah dan pelajar Dmendapat 45 markah, bezanya juga adalah 15 markah. Kita boleh kata perbezaanpelajar A dengan B dan perbezaan C dengan D adalah sama. Kita tidak boleh katakankepandaian pelajar A dua kali ganda pelajar D walau pun pelajar A mendapat 90markah dan pelajar D mendapat 45 markah. Sekiranya seorang pelajar memperolehi 0markah, tidak bererti dia tiada kepandaian kerana nilai sifar (0) ini bukan mutlak danhanya sebagai permulaan ukuran sahaja.


3/33

3

Ciri-ciri skala sela adalah :i. Kategori yang digunakan bagi mengkelaskan data sela adalah saling eksklusif.

ii. Ukuran yang diguna menggambarkan susunan pemeringkatan secara logik.iii. Ukuran yang diguna mempunyai pemberat, iaitu sesuatu ukuran sama ada lebih kecil

atau lebih besar daripada yang lain.

iv. Ukuran dalam skala sela bernilai arbitrari (tidak mutlak). Nilai sifar (0) juga adalaharbitrari.v. Perbezaan satu unit ukuran mempunyai nilai yang sama bagi semua perbezaan

ukuran.

5.2.4 Data Nisbah

Skala nisbah ialah skala yang mempunyai semua ciri skala sela dan juga nilai mutlak.Dalam skala nisbah nilai sifar (0) adalah kosong dan mutlak. Jarak, berat dan wangadalah contoh data berskala nisbah. Jarak 6 km adalah dua kali jarak 3 km. Nilai wang

RM10 adalah dua kali ganda nilai wang RM5. Nilai sifar (0) bagi jarak 0 km dan RM0adalah benar-benar tiada jarak dan tiada wang.

Latihan 1 :

Apakah jenis data bagi makanan kegemaran?Apakah jenis data bagi saiz kasut?Apakah jenis data bagi kedudukan dalam kelas?

Latihan 2 :

Apakah yang dimaksudkan dengan skala Likert?Berikan contoh yang sesuai bagi data yang menggunakan skala Likert.

5.3 Mengumpul dan Mewakilkan Data

5.3.1 Mengumpul Data

Data asal atau data mentah boleh samaada digunakan terus atau dikumpulkan untukdiwakilkan dalam bentuk yang dikehendaki. Data yang digunakan terus atau tidak perludikumpulkan biasanya adalah dalam kuantiti yang kecil atau mempunyai julat yangkecil. Misalnya data mengenai cita-cita pelajar dalam sesuatu kelas. Perwakilan databoleh digambarkan secara terus samada melalui piktograf, carta palang atau apa sajaperwakilan yang sesuai.


4/33

4

Bagi kuantiti data yang banyak atau besar julatnya, maka adalah lebih baikdikumpulkan dahulu data tersebut dalam sela mengikut saiz kelasnya. Perwakilan databoleh digambarkan melalui histogram atau apa saja perwakilan yang sesuai.

Misalnya data mengenai umur orang yang datang ke dewan orang ramai. Data ini elok

dikumpulkan dahulu. Jika umur 1-5 tahun dikumpulkan, maka saiz kelasnya adalah 5.secara umum data dikumpul dalam kelas umur mengikut jadual berikut:

Umur (Tahun) Gundalan Kekerapan

1 - 5 3

6 - 10 8

11 -15 12

16 - 20 1

2

Secara lebih statistikal, bilangan kelas dan saiz kelas dapat ditentukan dengan lebihbaik melalui formula berikut;

Bilangan kelas :

K = bilangan kelas yang sesuain= jumlah data

Saiz kelas :

saiz kelas =

Latihan 3 :

35

65

65

7074

75

70

62

5062

65

66

78

7045

62

60

80

7252

68

72

47

5555

55

95

70

5568

66

85

68

6082

60

66

90

5680

62

70

40

4875

80

68

72

7575

Kirakan berapa bilangan kelas (K) dan saiz kelas yang sesuai bagi data di atas?

K 1 + 3.3 log(n)


5/33

5

5.3.2 Perwakilan Data

Perwakilan data boleh dibuat dalam bentuk seperti carta dan graf. Di antaranya ialahpiktograf, carta palang, histogram, graf garis, carta pai dan ogif. Kita perlu tahumembaca data, memilih dan membina perwakilan data dan boleh menterjemah data

tersebut.

Lihat contoh contoh di bawah:

Piktograf

Carta Palang Histogram


6/33

6

Graf Garis Poligon Kekerapan

Ogif Stem and Leaf

Boxplot Scattergram


7/33

7

Latihan 4 :

Anda dikehendaki mengumpul beberapa keratan perwakilan data dari mana-manabahan bercetak seperti akhbar, majalah, bulletin dan sebagainya dan buat ulasanmengenai perwakilan tersebut.

Latihan 5 :

Anda dikehendaki mendapatkan maklumat tentang bagaimana cara mewakilkan datamenggunakan stem and leaf, box-plotdan scattergram.

Contoh data tidak terkumpul

Berikut adalah data pemilikan kereta bagi 26 keluarga.

Bilangan kereta Gundal Kekerapan

0 31 8

2 12

3 1

4 2

Pembacaan data : Data dibaca secara terus mengikut bilangan kereta dan kekerapanyang diberi. Tiga keluarga tidak memiliki kereta. Lapan keluarga memiliki sebuah keretadan dua belas keluarga memiliki dua buah kereta. Manakala hanya satu keluargamemiliki sebuah kereta dan dua keluarga memiliki empat buah kereta.

Terjemahan data : Data diterjemah mengikut tujuan. Kebanyakan keluarga memilikisatu dan dua buah kereta. Sejumlah 12 keluarga memiliki dua buah kereta dan 8keluarga memiliki sebuah kereta. Terdapat 3 keluarga yang kurang mampu untukmemiliki kereta manakala ada 3 keluarga lain mampu memiliki tiga dan empat buahkereta.


8/33

8

Data boleh diwakilkankan dalam bentuk carta palang seperti berikut :

Latihan 6 :

Penggunaan gundal sangat membantu dalam mempastikan setiap data telahdiambilkira. Jelaskan bagaimana teknik analisis data yang cepat dan tepat bagi datalatihan 4 di bawah dilaksanakan?

l

Bilangan kereta (buah)

Carta Palang Pemilikan kereta setiap keluarga

l


Carta Palang Pemilikan Kereta Setiap Keluarga

l



9/33

9

Latihan 7 :

Bayangkan anda telah mengutip data mengenai jumlah binatang peliharaan pelajardalam kelas anda. Data mentah dari 60 pelajar adalah seperti berikut:

0 2 1 2 0 4 1 0 2 2

1 6 1 1 2 8 0 1 2 4

2 1 2 0 3 2 0 1 3 0

1 4 0 3 0 2 3 6 4 3

3 3 0 1 2 0 1 1 3 0

2 0 3 2 0 4 2 2 3 1

Pilih satu perwakilan data yang sesuai untuk menggambarkan data tersebut.

Apabila anda menterjemah data di atas, selain dari jumlah binatang peliharaan, apakahmaklumat lain yang anda fikir penting?.

Contoh data terkumpul

Berikut adalah data umur bagi 200 orang yang berada dalam satu dewan orang ramai.

Umur Gundal Kekerapan

0-9 8

10-19 12

20-29 24

30-39 43

40-49 41

50-59 27

60-69 23

70-79 18

80-89 3

90-99 1


10/33

10

Latihan 8 :

Apakah beza antara carta palang dan histogram?Bincangkan sifat-sifat carta palang dan histogram.Berikan 2 contoh data yang sesuai dipaparkan menggunakan carta palang danhistogram.

Latihan 9 :

Satu pemerhatian di pintu pagar sekolah telah dilakukan untuk mencatat bilanganpenumpang setiap kereta yang masuk ke kawasan sekolah.Berikut adalah carta palang yang dibina hasil dari pemerhatian tersebut.

Histogram Pengunjung Dewan Orang Ramai

Umur (tahun)

il

Bilangan penumpang (orang)

Carta palang kereta yang masuk ke sekolah


11/33

11

Bincangkan perkara berikut:

Berapa buah kereta yang membawa empat penumpang?Berapa jumlah kereta yang masuk ke sekolah?

Latihan 10 :

Jadual berikut menunjukkan data rancangan TV yang diminati oleh pelajar SMK JalanMerab. Jumlah pelajar sekolah ini adalah 840 orang.

Rancangan Bilangan PelajarA 46B 32C 28D 25

E 23F 21G 25

a. Berapakah saiz sampel yang digunakan?

b. Dalam peratus terhampir, berapa peratuskah Rancangan A diminati oleh pelajar

sekolah ini?

c. Berapa ramaikah pelajar sekolah ini berkemungkinan meminati rancangan A?

d. Sekiranya Jamal kurang setuju dengan hasil dapatan ini dan dia membuat kajian

keatas 35 orang pelajar perempuan dalam kelas pendidikan jasmani beliau.Adakah sampel kajian Jamal rawak? Jelaskan.


12/33

12

Latihan 11` :Bincangkan apakah kesilapan atau kekeliruan yang terdapat dalam perwakilan databerikut?


13/33

13

5.4 Ukuran Kecenderungan Memusat

Selain menterjemah perwakilan data, kita juga boleh mengira nilai ukuran-ukurankecenderungan memusat iaitu nilai min, mod dan media. Sebaran data pula bolehdilihat melalui nilai julat, sisihan piawai dan varians.

Secara umumnya, min adalah purata, median adalah nilai di tengah- tengah kumpulandata yang tersusun manakala mod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggiatau paling kerap berlaku.

5.4.1 Mencari nilai min, mod dan median data tidak terkumpul:

Data : 13, 18, 13, 14, 13, 16, 14, 21, 13

Min adalah purata :

= (13 + 18 + 13 + 14 + 13 + 16 + 14 + 21 + 13) 9 = 15

Median adalah nilai ditengah- tengah. Data perlu disusun dalam susunan menaikatau menurun.

13, 13, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 21

Jumlah data ialah sembilan, Maka, nilai di tengah - tengah adalah nilai ke (9+1) 2 = 10 2 = 5 (nilai kelima) :

13, 13, 13, 13,14,14, 16, 18, 21, maka median adalah 14. C

Mod adalah kekerapan tertinggi dan dalam senarai ini mod adalah 13.

Nilai terbesar adalah 21 dan nilai terkecil adalah 13. Maka julat adalah beza nilaiterbesar dengan nilai terkecil.

Maka julat adalah 21 13 = 8.

Min :15Median :14Mod :13Julat : 8


14/33

14

Ukuran Set A : 2, 2, 3, 5, 5, 7, 8 Set B : 2, 3, 3, 4, 6, 7

MinUntuk mengira min,kita perlu jumlahkansemua data danbahagi denganbilangan data.

Jumlahkan:2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 7 + 8 = 32

Terdapat 7 data, maka perludibahagi 7: 32 7 = 4.57...

Jadi min adalah 4.57

Jumlahkan:2 + 3 + 3 + 4 + 6 + 7 = 25

Terdapat 6 data, maka perludibahagi 6: 25 6 = 4.166...

Jadi min adalah 4.17

MedianUntuk mengiramedian, kita perlususunkan data secaramenaik atau

menurun. Nilaiditengah- tengahadalah median. Jikaterdapat dua nilaiditengah, makapuratanya adalahmedian.

Susunkan secara menaik:2 , 2 , 3 , (5) , 5 , 7 , 8

Nombor ditengah ditandakandalam kurungan adalah 5.

maka median adalah 5

Susunkan secara menaik:2 , 3 , (3 , 4) , 6 , 7

Nampaknya terdapat dua nilaiditengah dan puratanya

adalah median.

(3 + 4) 2 = 3.5

maka median adalah 3.5

ModMod adalah datayang mempunyai

kekerapan tertinggi.Mod boleh jadi lebihdari satu nilai samadadwimod ataumultimod mengikutnilai pada data.

Data :2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8

Nilai yang kerap pada dataadalah 2 dan 5. Kedua-duanya adalah nilai mod.

maka mod adalah 2 dan 5

(dwimod)

Data :2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 7

hanya nilai 3 sahaja yangkerap berbanding nilai lain.

Maka mod adalah 3

(unimod)

JulatUntuk mendapatkan

julat, cari beza antara

nilai tertinggi dengannilai terendah

Data :2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8

Nilai terendah adalah 2 dannilai tertinggi adalah 8. Maka

julat : 8 - 2 = 6

Julat adalah 6

Data :2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 7

Nilai terendah adalah 2 dannilai tertinggi adalah 7. Maka

julat : 7 - 2 = 5

Julat adalah 5


15/33

15

Latihan 12 :

Apakah yang anda faham bagi situasi berikut :a) Min bagi matapelajaran matematik kelas 5 Cempaka adalah 85 dan kelas 5 Mawar

adalah 70 pada Ujian semester satu?

b) Markah matematik kelas Cempaka berjulat 40 manakala kelas Mawar berjulat 60.

5.4.2 Mencari nilai min, mod dan median data terkumpul

Bagi data terkumpul, pengiraan ukuran kecenderungan memusat min, mod, mediandapat dilakukan menggunakan formula. Anda digalakkan secara berkumpulan membuatpembelajaran kendiri mengenai ukuran kecenderungan memusat bagi data terkumpul.Dilampirkan bersama sedikit panduan untuk anda.

MinMin adalah purata dan ia dikira menggunakan nilai titik tengah. Pengiraannya adalahmenggunakan formula

f

Mf

ii

i

Median

Nilai median bagi data tidak terkumpul adalah nilai yang terletak ditengah-tengahapabila data tersebut disusun secara menaik. Bagi data yang terkumpul, pengiraanmedian agak rumit dan menggunakan formula berikut:

Wf

cf-LMedian

med

p2N

di mana

L = had bawah selang kelas mediancfp = jumlah terkumpul kekerapan sehingga kelas tersebut,

tetapi tidak melibatkan kekerapan kelas median

fmed = kekerapan medianW = keluasan selang kelas median (had atas kelas hadbawah kelas)

N = jumlah bilangan kekerapan


16/33

16

Mod

Kelas mod adalah selang kelas yang mempunyai kekerapan yang tertinggi. Nilai mod

bagi data terkumpul dikira mengikut formula berikut :

dimana

LB sempadan bawah kelas mod

B beza kekerapan kelas mod dengan kelas sebelumnya

A beza kekerapan kelas mod dengan kelas selepasnya

C saiz kelas mod.

5.5 Ukuran Serakan

Ukuran serakan menerangkan serakan atau taburan sesuatu set data. Menggunakan

ukuran serakan bersama-sama ukuran kecenderungan memusat membuatkan

pemerihalan atau perwakilan data lebih lengkap lagi.

Tiga Taburan dengan Min Sampel yang sama dan Serakan Berbeza

Julat

Julat adalah perbezaan di antara nilai terbesar dan nilai terkecil. Walaupun ia hanya

merupakan nilai numerik tunggal yang merupakan ukuran serakan kasar dan dapat

menerangkan jarak ke sempadan luar set data atau taburan sesuatu data.

Julat = Nilai terbesar nilai terkecil

=50


17/33

17

Varian

Varian ialah purata jumlah kuasadua sisihan antara min dan set nombor. Populasi

varian ditandakan dengan huruf Greek, 2 dan formulanya ialah:

N

)-(X

2

2

Menggunakan set nombor seperti berikut, kita boleh mengira variannya::

X X - ( X - )2

5 -8 64

9 -4 16

16 +3 9

17 +4 16

18 +5 25

X = 65 (X - ) = 0 (X - )2 = 130

Varian = 26.0

5

130

N

)-(X

2

2

Varian adalah kuasadua sisihan piawai, maka nilai varian digunakan untuk

memperolehi nilai sisihan piawai.

Sisihan Piawai

Sisihan piawai ialah punca kuasadua varian. Sisihan piawai populasi ditandakan

sebagai , dan dikira sebagaimana berikut:

N

)-(X

2

2

Berdasarkan kepada contoh di atas, nilai sisihan piawai ialah

5.1262


18/33

18

Data Terkumpul

Sisihan Piawai Populasi dan Sampel

Bagi data terkumpul, ukuran serakan seperti varian dan sisihan piawai dikiramenggunakan formula seperti berikut:

Varian bagi sampel ditandakan sebagai s2 dan sisihan piawai ialah s. Pengiraan variandan sisihan piawai bagi sampel berbeza sedikit daripada pengiraan varian dan sisihanpiawai untuk populasi. Tujuan utama pengiraan varian dan sisihan piawai untuksampel adalah untuk menganggar varian dan sisihan piawai untuk populasi.Menggunakan n 1 sebagai pembahagi (denominator) bagi sampel berbanding Nuntuk populasi, menghasilkan penganggaran yang lebih baik untuk nilai populasi.

Varian untuk sampel:

1-n

)X-(Xs

2

2

Sisihan piawai untuk sampel:

2ss

Dan,

Varian untuk populasi:

N

)-f(M

2

2

Sisihan piawai untuk populasi:

2

di mana,

f = kekerapanM = titik tengah kelas

N = f atau jumlah kekerapan populasi

= min kumpulan bagi populasi.


19/33

19

Latihan 13 :

Berdasarkan nilai min, mod dan median dalam taburan data berikut, bincangkan:

i) sifat-sifat data

ii) berikan contoh- contoh yang berkaitan.

a) Taburan Normal

b) Pencong Positif (positively skewed)


20/33

20

c) Pencong Negatif (negatively skewed)

Latihan 14 :

Bincangkan tentang serakan data berikut :

a) Lengkung berikut mempunyai serakan yang berbeza dan min yang sama.

lengkung 2lengkung 1


21/33

21

b) Lengkung berikut mempunyai serakan yang sama tetapi nilai minnya berbeza.

Latihan 15 :

a) Apakah sifat-sifat yang ada pada taburan normal?

b) Gambarkan situasi pada data yang ada pada lengkung leptokurtic, mesokurticdanplatykurtic

lengkung 3lengkung 4

lengkung 3


22/33

22

Skor Z

Skor Z mewakili nilai sisihan piawai di atas atau di bawah min bagi set nombor yangmempunyai taburan normal. Menggunakan skor Z membolehkan kita menterjemahkannilai kasar jarak daripada min kepada unit sisihan piawai.

-XZ

dan untuk sampel

s

X-XZ

Skor TT=10z + 50

Perkaitan antara sisihan piawai, skor Z dan skor T dapat dilihat pada rajah berikut :


23/33

23

Kaji dan bincangkan situasi berikut :

a) Jamal mendapat markah matematik dan sains sebanyak 90 dan 80 masing- masing.Diberi min bagi matematik dan sains adalah 70, sisihan piawai matematik adalah 8manakala sisihan piawai sains adalah 4.

Kirakan nilai skor Z dan skor T.Adakah markah matematik Jamal lebih baik dari sains?

b) Azmi mendapat markah muzik dan pendidikan jasmani sebanyak 70 dan 85masing- masing. Diberi min bagi muzik dan pendidikan jasmani adalah 80, sisihanpiawai juga sama iaitu 5.

Kirakan nilai skorZ dan skor T.

Adakah markah pendidikan jasmani Azmi lebih baik dari muzik?


24/33

24

5.6 KEBARANGKALIAN

Aida melakukan ujikaji melambung sebiji dadu adil di atas meja dan dicatatkankesudahannya. Adakah nombor 0 ialah kesudahannya? Mungkin jawapannya ialahbarangkali atau kurang pasti atau mustahil. Daripada kenyataan di atas unsur-unsur

ketidakpastian berlaku dan muncul dalam kehidupan harian. Oleh itu adalah pentinguntuk kita memperoleh pengetahuan dan kemahiran dalam menentukan sejauh manasesuatu kejadian itu mungkin berlaku.

Dalam matematik unsur ketidakpastian dikaji dalam bidang kebarangkalian.Kebarangkalian berlaku daripada permainan yang melibatkan peluang sepertiperjudiaan, kajian fizik, genetik, insuran dan sebagaimya.

Beberapa terminologi yang berkaitan dengan kebarangkalian seperti ujikaji, kesudahanyang mungkin, ruang sampel dan peristiwa akan diberi tumpuan dalam modul ini.

5.6.1 Ujikaji dan Kesudahan

Ujikaji ialah satu proses atau tindakan yang dilakukan untuk melihat kepada hasilMisalnya aktiviti melambung duit syiling, kita akan memperhatikan kepada hasilyang berlaku.

Dalam ujiikaji melambung duit syiling, terdapat dua keputusan yang mungkinterjadi iaitu muka angka dan muka gambar dan setiap keputusan ini dikenalisebagai kesudahan. Dengan kata lain kesudahan bagi suatu ujikaji ialahkeputusan yang mungkin terjadi dalam ujikaji.

5.6.2 Ruang Sampel

Ruang sampel ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu ujikaji.

Ruang sampel diwakili oleh S atau dan boleh ditulis dengan menggunakan tata

tanda set. Misalnya ruang sampel bagi ujikaji melambung sekeping duit syiling

mempunyai 2 titik sampel. Semua kesudahan yang mungkin ialah gambar dan

angka, S = { g, a }. Begitu juga dengan ujikaji melambung sebiji dadu iaitu

semua kesudahan yang mungkin 1, 2, 3. 4, 5, 6 iaitu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Dalam suatu ujikaji kita boleh menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin

untuk mendapatkan ruang sampel secara aktiviti dan penaakulan


25/33

25

Contohnya

Sebuah beg mengandungi guli yang berwarna putih, biru, dan hijau. Sebiji guli

dikeluarkan secara rawak daripada beg itu. .

Kita boleh menentukan semua kesudahan yang mungkin bagi ujikaji mengambilsebiji guli daripada aktiviti. Sebaliknya kita boleh juga menentukan kesudahan

yang mungkin secara penaakulan iaitu kita menganalisis ujikaji atau situasi

berkenaan dan mempertimbangkan secara teliti semua kesudahan yang

mungkin berlaku. Setiap kali guli diambil, guli berwarna putih atau biru atau hijau

mungkin dipilih. Maka semua kesudahan yang mungkin ialah { putih, biru, hijau}

Begitu juga kita boleh meramalkan keputusan perlawanan hoki secara

penaakulan, Terdapat 3 keputusan yang mungkin dicapai oleh perlawanan

tersebut iaitu menang atau seri atau kalah. Maka kesudahan yang mungkin ialah

{ menang, seri, kalah }.

Terdapat dua kaedah untuk menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin

dengan menggunakan

(a) Jadual

(b) Gambar rajah

(a) Jadual

2 biji dadu dilambung serentak, maka ruang sampelnya.

Dadu 2

Dadu 11 2 3 4 5 6

1(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)


26/33

26

S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1),(3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

(b) Gambar rajah pokok

Gambar rajah pokok biasanya digunakan untuk membantu menyenaraikan semuakesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji yang melibatkan pemilihan secaraberturut-turut. Dalam suatu permainan tertentu, seseorang pemain perlu memilihsecara rawak dua keping kad dari sebuah kotak yang mengandungi dua keping kadyang masing-masing berlabel a dan b. Kad pertama dikeluarkan dikehendaki masuksemula ke dalam kotak sebelum kad kedua dipilih.

a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.

b) Tuliskan ruang sampel dengan menggunakan tatatanda set.

Pilihan 1 Pilihan 2 Kesudahan

a (a,a)

a

b (a,b)

a (b,a)

b

b (b,b)

S = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b) }


27/33

27

5.6.3 Peristiwa

Dalam bahasa perkataan peristiwa bermaksud kejadian atau perkara yang

Dalam bahasa perkataan peristiwa bermaksud kejadian atau perkara yang

menarik perhatian. Tanggal 31 Ogos 1957, adalah suatu peristiwa dalam sejarahnegara kita,

Dalam matematik, perkataan peristiwa menunjukkan kesudahan yang memenuhi

syarat-syarat tertentu. Peristiwa adalah suatu subset bagi ruang sampel.

Contoh

Apabila sebiji dadu dilambung

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A : Peristiwa nombor genap diperolehi

B : Peristiwa mendapat nombor perdana

C : Peristiwa mendapat nombor ganjil

A = { 2, 4, 6}

B = { 2, 3, 5 }

C = {1, 3, 5 }

Cuba selesaikan.

S E R A M

Lima keping kad seperti yang ditunjukkan di atas telah dimasukkan ke dalam

sebuah kotak. Sekeping kad itu adalah dipilih secara rawak daripada kotak itu.

Nyatakan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi setiap syarat berikut.:

(a) Sekeping kad berhutruf vokal dipilih

(b) Sekeping kad berhuruf konsonan dipilih


28/33

28

Sesuatu peristiwa A adalah mungkin bagi suatu sampel jika A c S dan A .

Jika A = , maka peristiwa A adalah tidak mungkin berlaku.

Contoh

Satu nombor dua digit adalah dibentukkan daripada digit-digit 1, 2, 3. Tentukan

sama ada setiap peristiwa yang berikut adalah mungkin bagi suatu ruang sampel

atau tidak.

a) A : Peristiwa mendapat satu nombor genap,

b) B : Peristiwa mendapat satu nombor di antara 10 dan 34.

c) C : Peristiwa mendapat satu nombor dengan keadaan hasil tambah digit-

digitnya adalah lebih besar daripada 6.

Penyelesaian

S = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}

a) A = {12, 22, 32} c S

Maka, peristiwa A adalah mungkin.

b) B = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} = S

Maka, peristiwa B adalah mungkin.

c) C = { } =

Maka, peristiwa C adalah tidak mungkin.


29/33

29

5.6.4 Kebarangkalian

Kebarangkalian bagi peristiwa A berlaku ialah nisbah bilangan unsur dalam

peristiwa A kepada bilangan unsur dalam ruang sampel, S

P( A ) =()

()

n ( A ) = bilangan unsur dalam peristiwa A atau bilangan kesudahan bagi

peristiwa A

n ( S ) = bilangan unsur dalam ruang sampel atau bilangan cubaan

Kebarangkalian mempunyai nilai dari 0 hingga 1 iaitu

0 P(A) 1

P (A) = 0 bermakna peristiwa A tidak akan berlaku atau mustahil berlaku

P (A) = 1 bermakna peristiwa A pasti atau tentu berlaku

Contoh

Sebiji dadu adil dilambung. A ialah peristiwa mendapat nombor perdana. Cari

kebarangkalian A.

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

n( S ) = 6

A = { 2, 3, 5 }

n( A ) = 3

P( A ) = ()()

=

=


30/33

30

Kebarangkalian tidak dapat meramalkan peristiwa secara pasti atau mutlak.Pada amnya, bilangan kesudahan yang dijangkakan bagi peristiwa A= (Bilangan cubaan) P(A)

Contoh

Dua keping duit syiling dilambung sebanyak 200 kali. Tentukan bilangan kali

untuk mendapat dua gambar.

Bilangan kali untuk mendapat dua gambar =

x 200

= 50

5.6.5 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap

Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam suatu ruang sampel S terdiridaripada semua kesudahan S yang bukan kesudahan A. Peristiwa pelengkapbagi peristiwa A biasanya ditandakan sebagai A.

Jika A ialah sebarang peristiwa bagi ruang sampel S dan A ialah peristiwapelengkapnya, iaitu kebarangkalian bagi peristiwa A tidak akan berlaku

P( A) = 1 P ( A )

Contoh

Satu huruf dipilih secara rawak daripada perkataan NKRA. Jika V mewakili

peristiwa mendapatkan vokal, nyatakan pelengkap V

S = { N, K, R, A }

V = { A }

V = { N, K, R }


31/33

31

5.6.6 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang dihasilkan daripada kesatuan ataupersilangan dua peristiwa atau lebih.

Peristiwa bergabung A atau B dan A dan B masing-masing dihasilkandaripada kesatuan dan persilangan dua peristiwa itu. Oleh itu, kita bolehmenyenaraikan semua kesudahan bagi

a) Peristiwa A atau B sebagai unsur set A B

b) Peristiwa A dan B sebagai unsur set A B.Contoh

Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak dua kali. Senaraikan semua

kesudahan yang mungkin bagi peristiwa

a) Mendapat angkapada lambungan pertama ataukedua

b) Mendapat angkapada lambungan pertama dankedua.

S = { (a,a), (a,g), (g,a), (g,g)

A : Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertamaA = { (a,a), (a,g) }

B : Peristiwa mendapat angka pada lambungan keduaB = { (a,a), (g,a) }

Peristiwa mendapat angkapada lambungan pertama ataukedua ialah peristiwaA atauB.

Peristiwa A atauB = A B

= {(a, a) , (a, g) , (g, a)}


32/33

32

a) Peristiwa mendapat angkapada lambungan pertama dankedua ialah peristiwa AdanB.

Peristiwa A danB = A B = {(a, a)}

Jika kita dapat menyenaraikan set kesudahan bagi peristiwa bergabung A atau Bdan A dan B, maka kita boleh mengira kebarangkalian dengan rumus

P(A atau B) = P(A B) =()

()

dan P(A dan B) = P(A B) =()

()


33/33

Rujukan :

Chua Yan Piaw (2006). Kaedah Dan Statistik Penyelidikan. The McGraw-Hillcompanies, Malalaysia.

Hopkins, K.D. (1998). Educational and Psycological Measurement and Evaluation. (8 th.Ed). Boston: Allyn and Bacon.

Jerry Howett (2000). Number power ( a real world approach toMaths). ContemporaryBooks. USA

Mohd Majid Konting (2000). Kaedah Penyelidikan Pendidikan. Kuala Lumpur,

Noll, V.H. & Scannel, D.P. (1992). Introductions to Educational Measurement. Boston:Houghton Mifflin Company.

Popham, W.J. (2000). Modern Educational Measurement, Practical Guidelines forEducational Leaders. (3rd. Ed). Boston: Allyn and Bacon.

Siti Rahayah Ariffin (2003). Teori, Konsep dan Amalan Dalam Pengukuran danPenilaian. Penerbitan Pusat Pembangunan Akademik, Bangi, UniversitiKebangsaan Malaysia.

Yap Yee Khiong, Wan Chwee Seng, Ismail Abu Bakar (1985). Pengukuran DanPenilaian dalam Pendidikan. Kuala Lumpur, Heinemann Asia. PercetakanDewan Bahasa Dan Pusaka.

matematik : menganalisis & menterjemah data

Documents