matematik keputusan.docx

1.0 Pengenalan

Matematik keputusan (decision mathematics) adalah bahagian matematik yang lebih luas dikenali sebagai matematik diskret. Matematik keputusan menggunakan teknik matematik diskret untuk menyelesaikan masalah kehidupan dalam banyak bidang. Antara bidang yang utama dalam matematik keputusan ialah pengaturcaraan linear dan analisis laluan kritikal (critical path analysis). Bidang-bidang ini lebih memberi tumpuan dalam penjimatan kos dan memaksimumkan keuntungan. Sejarah pengaturcaraan linear telah bermula sejak meletusnya perang dunia yang ke-2. Ia digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah logistik. Pengaturcaraan linear merupakan aplikasi dalam matematik di mana ia digunakan untuk mencari nilai optimum, sebagai contoh nilai kos yang minimum atau nilai keuntungan yang maksimum. Mencari nilai maksimum atau nilai minimum dalam satu masalah pengaturcaraan linear dapat diperolehi dengan menggunakan kaedah graf apabila terdiri daripada dua pembolehubah. Selain itu, masalah pengatucaraan linear juga dapat diselesaikan dengan menggunakan kaedah simpleks atau simplex method dan menggunakan Microsoft Office Excel yang mempunyai aturan solver.Dalam tugasan ini, kami diminta untuk mencari nilai maksimum dalam bentuk keuntungan dengan permasalahan yang terdiri daripada tiga pembolehubah menggunakan Kaedah Simpleks dan seterusnya dibuktikan menggunakan Excel Solver. Sebelum itu, kami perlu menguasai langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear dengan menggunakan Kaedah Simpleks dan Excel Solver.Selain itu, pengaturcaraan linear adalah salah satu cara yang digunakan secara meluas yang pada asasnya kaedah simpleks George Donzig digunakan. Pengaturcaraan linear merupakan salah satu teknik yang sangat berkuasa dan berkesan untuk menyelesaikan peruntukan sehingga menjadi alat yang standard dalam bidang perniagaan, perbankan dan dalam sesebuah organisasi.Pengaturcaraan (programming) sebenarnya merujuk kepada program yang melibatkan aktiviti berbanding program yang menggunakan komputer. Hakikat yang sebenarnya, pengaturcaraan selalu digunakan menggunakan komputer.Linear pula merujuk kepada fungsi-fungsi yang mentakrifkan masalah matematik. Antara salah satu fungsi linear ialah output berkadar kepada input. Sebagai contoh, empat input akan menghasilkan 4 kali ganda keluaran atau hasil produk.Terdapat lima syarat penting dalam situasi untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear (linear programming). Pertama, masalah tersebut perlu ada sumber yang terhad seperti bilangan pekerja, peralatan, kewangan dan bahan yang terhad. Kedua, terdapat objektif yang jelas seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan kos atau harga.Ketiga, masalah pengaturcaraan linear perlulah ada kelinearan. Sebagai contoh, kerusi yang digunakan dua kali ganda lebih banyak daripada meja yang digunakan dan jika pekerja kilang mengambil masa selama 4 jam untuk menyiapkan satu bahagian kerusi dan meja makan, mereka akan mengambil masa selama 8 jam untuk menyiapkan dua bahagian kerusi dan meja untuk digunakan.Keempat, perlu juga ada keseragaman. Keseragaman bermaksud produk yang dihasilkan oleh mesin adalah sama dan semua jam yang didapati daripada pekerja adalah sama produktif.Syarat yang kelima yang penting dalam menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear ialah boleh dibahagikan. Pengaturcaraan linear biasanya mengandaikan bahawa produk dan sumber-sumber boleh dibahagikan kepada beberapa pecahan.Justeru itu, bagaimanakah kita boleh menubuhkan masalah pengaturcaraan linear dan menyelesaikannya dengan menggunakan penyelesaian cemerlang (excel solver) yang terdapat dalam Mikrosoft Excel?

2.0Nota Ringkas Bagaimana Menyelesaikan Masalah Pengaturcaraan LinearMenggunakan Excel Solver

Berikut merupakan langkah-langkah penggunaan excel solver untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear.Contoh:Maksima Z = 5x + 4y Kekangan: x + 5y 800: 6x + 4y 1500: 2x + 3y 900

Langkah 1: Masukkan nilai-nilai kekangan dan nilai maksima ke dalam petak-petak Microsoft Office Excel.

Langkah 2: Masukkan formula ke dalam lajur D.A = B3*B2+C3*C2B = B4*B2+C4*C2C = B5*B2+C5*C2D = B6*B2+C6*C2Inilah yang akan terhasil setelah memasukkan formula ke dalam lajur D.

Langkah 3:Klik butang Data dan pilih solver. Kotak dialog solver parameters akan muncul.

Langkah 4:Seterusnya masukkan d6 ke dalam kotak set objektif. Kemudian klik pada max.

Langkah 5:Untuk kotak by changing variable cells, taip b2:c2.

Langkah 6:Untuk kotak subject to the constraints, klik Add dan kotak dialog Add constraints akan keluar.

Langkah 7:Masukkan nilai d3:d5 ke dalam kotak cell reference dan masukkan nilai f3:f5 ke dalam kotak contraints dan klik Add.

Langkah 8:Bagi Select A Solving Method: pilih Simplex LP

Langkah 9: Klik pada butang option dan klik OK di bahagian bawah kotak dialog.

Langkah 10:Langkah terakhir ialah dengan klik butang solve di bahagian bawah kotak dialog solver parameters.

Setelah itu, Microsoft office excel akan memaparkan nilai maksima yang dikehendaki.

Kesimpulannya, nilai maksima yang dikehendaki ialah 1319.231.

3.0Menyelesaikan Masalah Pengaturcaraan Linear Dengan Menggunakan Kaedah Simpleks

Soalan 1Seorang pengusaha roti yang baru berkecimpung dalam bidang ini mengeluarkan tiga jenis roti iaitu P, Q dan R. Pengusaha ini menghasilkan roti dalam kuantiti yang sedikit kerana masih mencari dan menambah tempat untuk memasarkan produk keluarannya. Setiap jenis roti yang dihasilkan memerlukan kuantiti bahan yang berbeza. Antara bahan yang diperlukan dalam penghasilan roti itu ialah marjerin, yis, gula dan tepung gandum seperti yang tercatat dalam jadual dibawah.Bahan (kg)

Produk (roti)MarjerinYisGulaTepung gandum

P2024

Q5243

R4122

Pengusaha tersebutmempunyai60 kg marjerin,10kg yis, 20 kg gula,dan180 kgtepung gandum. Pengusaha membuatkeuntungan sebanyakRM3.00, RM2.00 dan RM5.00pada setiap jenis roti P,Qdan R yang dihasilkan. Anggapsemuajenis roti yang dikeluarkan boleh dijual dan tentukan pengeluaranyang boleh dilakukan supaya pengusaha ini mendapat keuntungan yang maksimum.

Petunjuk :P = X, Q = Y, R = Z

Maksima:P = 3x + 2y + 5zKekangan :2x + 5y + 4z 602y + z 102x + 4y + 2z 204x + 3y +2z 180Tukar ketaksamaan kepada persamaan yang mempunyai slack.Maksima :P 3x 2y 5z = 0Kekangan :2x + 5y + 4z + S1 = 600x + 2y + z +S2 = 102x + 4y + 2z +S3 = 204x + 3y +2z +S4 = 180Pindah semua nilai yang terdapat dalam persamaan ke dalam bentuk jadual.

PxyzS1S2S3S4RHS

1-3-2-500000

0254100060

0021010010

0242001020

04320001180

ROR1R2 R3 R4 Mencari lajur pivot

Lajur PivotLajur pivot ditentukan dengan melihat nilai objektifnya. Lajur yang mempunyai nilai objektif yang paling negatif akan menjadi lajur pivot.

PxyzS1S2S3S4RHS

1-3-2-500000

0254100060

0021010010

0242001020

04320001180

Lajur Z dipilih sebagai lajur pivot kerana nilai objektifnya merupakan nilai yang paling negatif antara nilai objektif yang lain iaitu -5.Mencari baris pivotBaris pivot ditentukan dengan membahagi nilai RHS dengan nilai pada lajur pivotnya bagi setiap baris. Baris yang menghasilkan nilai terkecil akan menjadi baris pivot. Baris objektif, baris yang mempunyai nilai RHS sifar dan baris yang nilai pada lajur pivotnya sifar atau negatif adalah terkecuali.

R1, 60/4 = 15R3, 20/2 = 10R2, 10/1 = 10R4, 180/2 = 90

PxyzS1S2S3S4RHS

1-3-2-500000

0254100060

00210100Baris Pivot10

0242001020

04320001180

Baris ketiga (R3) dipilih sebagai baris pivot kerana nilai bahagi antara RHS nya dengan nilai lajur pivotnya menghasilkan nilai yang terkecil iaitu 10.

Nilai yang menjadi persilangan antara jalur pivot dan baris pivot merupakan unsur pivot.PxyzS1S2S3S4RHS

1-3-2-500000

0254100060

0021010010

0242001020

04320001180

Unsur Pivot

Tukar unsur pivot kepada 1. R3 2 R3

PxyzS1S2S3S4RHS

1-3-2-500000

0254100060

0021010010

0121001/2010

04320001180

Tukar nilai dalam lajur pivot kepada 0 kecuali unsur pivot.PxyzS1S2S3S4RHS

1-3-2-500000

0254100060

0021010010

0121001/2010

04320001180

R0+5R3R0R14R3R1R3R2 R2

R42R3R4

PxyzS1S2S3S4RHS

1280005/2050

0-2-3010-2020

01000-11/200

0121001/2010

02-1000-11160

Oleh itu, langkah tamat di sini kerana ke semua nilai pada baris objektif adalah positif.Daripada jadual terakhir yang terbina, kita dapat mengetahui nilai x, y dan z.X = 0Y = 0Z = 10Bagi mendapatkan nilai maksimum, gantikan nilai-nilai x, y, dan z ke dalam persamaan.Maksimum :P = 3x + 2y + 5zP = 3(0) + 2(0) + 5(10) = 0 + 0 = 50Petunjuk :P = X, Q = Y, R = Z

P = 50Keuntungan maksimum = RM50.00

Kesimpulannya, keuntungan maksimum yang diperolehi ialah RM80 dan nilai bagi x, y dan z ialah 0, 0 dan 10 masing-masing. Ini bermakna, bagi mendapatkan keuntungan maksimum, hanya 10 unit roti R dihasilkan. Manakala tiada penghasilan roti P dan Q.

4.0Menyemak Semula Masalah Pengaturcaraan Linear Dengan Menggunakan Excel Solver

Soalan 1Semak semula menggunakan Excel Solver.Seorang pengusaha roti yang baru berkecimpung dalam bidang ini mengeluarkan tiga jenis roti iaitu X, Y dan Z. Pengusaha ini menghasilkan roti dalam kuantiti yang sedikit kerana masih mencari dan menambah tempat untuk memasarkan produk keluarannya. Setiap jenis roti yang dihasilkan memerlukan kuantiti bahan yang berbeza. Antara bahan yang diperlukan dalam penghasilan roti itu ialah marjerin, yis, gula dan tepung gandum seperti yang tercatat dalam jadual dibawah.

Bahan (kg)

Produk (roti)MarjerinYisGulaTepung gandum

P2024

Q5243

R4122

Pengusaha tersebutmempunyai60 kgmarjerin,10kg yis, 20 kg gula,dan180 kgtepung gandum. Pengusaha membuatkeuntungan sebanyakRM3.00, RM2.00 dan RM5.00pada jenis roti P,Qdan R yang dihasilkan. Anggapsemuajenis roti yang dikeluarkan boleh dijual dan tentukan pengeluaranyang boleh dilakukan supaya pengusaha ini mendapat keuntungan yang maksimum.

Petunjuk :P = X, Q = Y, R = Z

Maksima: P = 3x + 2y +5zKekangan: 2x + 5y + 4z 60 2y + z 10 2x + 4y + 2z 20 4x + 3y + 2z 180

Berikut merupakan langkah-langkah penggunaan Excel Solver untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear.

Langkah 1: Memasukkan nilai-nilai kekangan dan nilai maksima ke dalam petak-petak Micosoft Office Excel.

Langkah 2: Memasukkan formula berikut ke dalam lajur E mengikut abjad yang telah disenaraikan.A = B3*B2+C3*C2+D3*D2B = B4*B2+C4*C2+D4*D2C = B5*B2+C5*C2+D5*D2D = B6*B2+C6*C2+D6*D2E = B7*B2+C7*C2+D7*D2

Inilah yang akan terhasil setelah memasukkan formula ke dalam lajur E.

Langkah 3:Klik butang Data dan pilih Solver. Kotak dialog Solver Parameters akan muncul.

Langkah 4:Seterusnya masukkan E7 ($E$7) ke dalam kotak Set Target Cell. Kemudian klik pada Max.

Langkah 5:Untuk kotak By Changing Cells, taip B2:D2 ($B$2:$D$2).

Langkah 6:Untuk kotak Subject to the Constraints, klik Add dan kotak kotak dialog Add Constraints akan muncul.

Langkah 7:Masukkan nilai E3:E6 ($E$3:$E$6) ke dalam kotak Cell Reference dan masukkan nilai G3:G6 (=$G$3:$G$) ke dalam kotak Constraint dan klik OK.

Langkah 8:Kotak dialog Solver Parameters akan muncul dan klik Options

Langkah 9:Kotak dialog Solver Options akan muncul. Klik pada kotak Assume Linear Model dan Assume Non-Negative dan klik OK di bahagian bawah kotak dialog Solver Options.

Langkah 10:Kotak dialog Sover Parameters akan muncul dan klik butang Solve di bahagian bawah kotak dialog Solver Parameters.

Setelah itu, Microsoft Office Excel akan memaparkan nilai maksima yang dikehendaki.

Kesimpulannya, keuntungan maksimum yang diperolehi ialah RM50 dan nilai bagi x, y dan z ialah 0, 0 dan 10 masing-masing. Nilai yang dipaparkan ini adalah sama dengan nilai yang diperolehi menggunakan kaedah simpleks. Oleh itu, jawapannya adalah tepat.

5.0PenutupTugasan ini memberi banyak pengetahuan dan pengalaman kepada kami mengenai penyelesaian masalah pengaturcaraan linear dengan menggunakan pelbagai kaedah. Tugasan pertama iaitu mencari dan mengumpul maklumat tentang bagaimana menyelesaikan masalah Pengaturcaraan Linear menggunakan Excel Solver. Di sini kami dikehendaki membuat ringkasan daripada maklumat yang diperolehi. Terlebih dahulu, kami harus mahir menggunakan Excel Solver bagi menyelesaikan masalah Pengaturcaraan Linear. Oleh itu, kami belajar melalui inisiatif sendiri bagaimana untuk menguasai cara menggunakan Excel Solver.Selain itu, kami juga dikehendaki mencari satu soalan masalah Pengaturcaraan Linear dalam kehidupan seharian yang berkaitan dengan keuntungan yang diperolehi dalam pengeluaran produk. Soalan tersebut haruslah mengandungi sekurang-kurangnya tiga pembolehubah. Kami telah mencari dari pelbagai sumber yang ada sama ada internet mahupun buku bagi menyempurnakan tugasan ini.Setelah itu, soalan tersebut hendaklah diselesaikan dengan menggunakan Kaedah Simplex. Jawapan yang kami perolehi perlu disemak dengan menggunakan Excel Solver. Kedua-dua jalan penyelesaian beserta huraiannya telah kami tunjukan dalam tugasan ini,Kesimpulannya, tugas ini telah memberi impak yang besar kepada kami. Melalui tugasan ini, kami dapat menguasi kedua-dua kaedah penyelesaian iaitu dengan menggunakan Kaedah Simplek dan menggunakan Excel Solver. Oleh itu, sekarang kami berasa amat yakin untuk menyelesaikan masalah Pengaturcaraan Linear ini dan berasa bersedia untuk menjawab soalan berbentuk ini di dalam peperiksaan kami kelak.

6.0RefleksiAlhamdulillah, syukur ke hadrat Illahi kerana dengan limpah kurnianya saya dan pasangan saya mampu untuk menyiapkan Kerja Kursus Berasaskan Ilmu (KKBI) bagi Projek 1 iaitu Excel Solver ini tepat pada masa yang telah ditetapkan. Dengan ini, kami ingin mengucapkan jutaan terima kasih kepada pensyarah bimbingan kami iaitu Puan Hajah Samsiah binti Hassan kerana telah memberikan tunjuk ajar serta bimbingan kepada kami untuk menyempurnakan Projek 1 ini dengan jayanya. Tugasan Projek 1 ini meminta kami untuk mencari dan mengumpul maklumat bagaimana menyelesaikan masalah Pengaturcaraan Linear menggunakan Excel Solver. Maklumat yang diperolehi hendaklah diringkaskan tidak melebihi 3 muka surat. Kami juga diminta untuk mendapatkan satu soalan masalah Pengaturcaraan Linear dalam kehidupan seharian yang berkaitan keuntungan yang diperolehi. Soalan tersebut hendaklah mengandungi tiga pembolehubah. Kami juga diminta untuk membentuk masalah Pengaturcaraan Linear daripada maklumat yang diperolehi dan soalan itu hendaklah mengandungi sekurang-kurangnya tiga pembolehubah. Seterusnya, masalah Pengaturcaraan Linear tersebut hendaklah diselesaikan dengan menggunakan Kaedah Simpleks dan jawapan disemak dengan menggunakan Excel Solver.Tugasan ini banyak memberi impak yang positif kepada kami. Melalui tugasan ini, kami dapat meningkatkan kemahiran iaitu dalam menyelesaikan masalah Pengaturcaraan Linear dengan menggunakan Kaedah Simpleks. Selain itu, kami juga dapat menambah ilmu baru iaitu menyelesaikan masalah Pengaturcaraan Linear dengan menggunakan Excel Solver. Tugasan ini juga menyedarkan kami bahawa ilmu Pengaturcaraan Linear ini amat penting dalam kehidupan seharian dimana ia memudahkan kita dalam memaksimakan keuntungan pengeluaran produk dalam bidang perniagaan, pertanian, pelaburan dan sebagainya.Dalam sesuatu tugasan, pastinya mempunyai kelebihan serta kekurangannya. Tugasan ini juga tidak terlepas daripada mempunyai kelemahannya. Antara kelemahan atau kekangan yang kami hadapi semasa menyempurnakan tugasan ini adalah sukar bagi kami untuk mendapatkan sumber rujukan buku.Hal ini kerana, buku rujukan di perpustakaan amat terhad bilangannya. Perkara ini membuatkan kami bingung untuk mencari sumber rujukan buku. Bagi menyelesaikan masalah yang kami hadapi ini, kami telah meminjam buku rujukan daripada rakan-rakan. Kami meminta jasa baik rakan-rakan agar dapat berkongsi dengan kami. Selain itu, kami juga mendapatkan bahan rujukan daripada luar. Malah, kebanyakan sumber rujukan daripada internet adalah dalam bahasa Inggeris. Situasi ini menambahkan lagi kesulitan kepada kami bagi menyelesaikan tugasan KKBI ini. Tambahan disebabkan kesuntukan masa yang kami hadapi. Selain itu, kami juga menghadapi masalah dalam mencari soalan masalah. Pengaturcaraan Linear yang mengandungi sekurang-kurangnya 3 pembolehubah. Hal ini kerana, kebanyakan soalan yang kami temui mempunyai hanya 2 pemboleh ubah. Oleh itu, bagi menyelesaikan permasalahan ini, kami telah membuat banyak rujukan tidak kira di internet atau pun buku rujukan ilmiah. Seterusnya daripada permasalahan ini, ia telah membuatkan kami untuk tidak mudah mengalah dan terus berusaha bagi menyempurnakan tugasan ini mengikut arahan yang telah diberikan.Dengan ini, kami mencadangkan agar tugasan Excel Solver ini dipermudahkan dengan menambah bilangan ahli iaitu empat atau lima orang dalam satu kumpulan. Ini bertujuan, agar mempermudahkan dan mempercepatkan kefahaman kami bagi melaksanakan tugasan KKBI ini. Selain itu, kami berharap agar pensyarah dapat mengajar atau memberi pendedahan kepada kami terlebih dahulu bagaimana menggunakan Excel Solver dalam menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear. Kesimpulannya, walaupun kami menghadapi pelbagai kekangan atau rintangan semasa menyiapkan tugasan Kerja Kursus Berasaskan Ilmu ini, namun kami mampu menyiapkan dengan jayanya mengikut tarikh yang telah ditetapkan walaupun pelbagai cabaran dan dugaan datang menguji kami.

7.0Bibliografi

Rujukan : George B. Dantzig (1963), Linear Programming and Extensions, Princeton University Press, Princeton, N.J.Frederick Hillier & Gerald Lieberman (1995), Introduction to Operations Research, sixth edition, McGraw-Hill.The Cobb Group (1994), Running Excel 5 for Windows, fourth edition, Microsoft PressAnderson, D. R., D. J. Sweeney, and T. A. Williams (2002), An Introduction to Management Science. 10th ed. Cincinnati, OH: South-Western.Winston, W. L., and S. C. Albright (2000), Practical Management Science.2nd ed. Belmont, CA: Duxbury Press.

Laman web:

1. http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/introduction-to-optimization-with-the-excel-solver-tool-HA001124595.aspx2. http://www.economicsnetwork.ac.uk/cheer/ch9_3/ch9_3p07.htm3. http://www.youtube.com/watch?v=YAugMpW-aJw4. http://www.economicsnetwork.ac.uk/cheer/ch9_3/ch9_3p07.htm5. http://www.duncanwil.co.uk/solvlp.html6. http://www.solver.com/suppstdsolver.htm7. http://www.easyexceltutorial.com/excel-solver.html8. http://puccini.che.pitt.edu/~karlj/Classes/CHE2101/solver.html

8.0Kolaborasi

Nama:Faridah binti Mohamad / Zalina binti MohamedNo. K/P:800430 11 5242 / 800620 03 5294No Matrik:g611ttmtec5242 / g611ttmtec5294

TarikhCatatanTandatangan

18 Februari 2012 Menerima tugasan daripada pensyarah MATEMATIK KEPUTUSAN (MTE 3104), Puan Hajah Samsiah binti Hassan.

_______________(PUAN HAJAH SAMSIAH BINTI HASSAN)

25 Februari 2012 Mencari dan kumpul maklumat cara menyelesaikan masalah Pengaturcaraan Linear menggunakan Excel Solver. _______________(FARIDAH BINTI MOHAMAD)

_______________(ZALINA BINTI MOHAMED)

3 Mac 2012

Mencari satu masalah Pengaturcaraan Linear dalam kehidupan seharian yang berkaitan keuntungan yang diperolehi dalam pengeluaran produk dan sebagainya yang mengandungi sekurang-kurangnya tiga pembolehubah.


_______________(FARIDAH BINTI MOHAMAD)

10 Mac 2012 Perbincangan cara menghasilkan tugasan Kerja Kursus Berasaskan Ilmu (KKBI) iaitu Projek 1 Excel Solver. _______________(FARIDAH BINTI MOHAMAD)


17 Mac 2012 Melaksanakan tugasan bersama pasangan seperti mana yang dikehendaki oleh pensyarah._______________(ZALINA BINTI MOHAMED)

_______________(FARIDAH BINTI MOHAMAD)

24 Mac 2012 Menghantar tugasan kepada pensyarah MATEMATIK KEPUTUSAN (MTE 3104), Puan Hajah Samsiah binti Hassan.

_______________(PUAN HAJAH SAMSIAH BINTI HASSAN)

5

matematik keputusan.docx

Documents