KERTAS PENERANGAN TERHAD TERHAD MATEMATI K KEJURUTERAAN 2 Cetakan Kedua Mac 2011Institusi Latihan Jabatan Tenaga Manusia http ://www.jtm.gov.my/kurikulum Hak Cipta Terpelihara. Dokumen ini diklasifikasikan sebagai TERHAD. Tidak dibenarkan mengeluarmana-manabahagian dalamkandunganBahan PembelajaranBertulis(WIM) dalam apa jua bentuk tanpa keizinan daripada Jabatan Tenaga Manusia (JTM). BahanPembelajaranSEMESTERDUAinidibangunkanbagikursussepenuhmasadi InstitusiLatihanJabatanTenagaManusia(ILJTM)olehAhliJawatankuasa PembangunanWIMdandisemaksertadiluluskanolehJawatankuasaPemandu Kurikulum untuk tujuan gunapakai bagi semua ILJTM yang terlibat. Kod Pengesahan WIM: WIM/MK 2011/12011/S02/P1 Kod Pengesahan Silibus: SFB/MK 2011/12009/P1 Tarikh Pengesahan WIM: 11 Mac 2011 KANDUNGAN SENARAI AHLI JAWATANKUASA PEMBANGUNAN WIM ................................................ i SENARAI SINGKATAN ..................................................................................................... ii KERTAS PENERANGAN MODUL ....................................................................................1 MK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 ..............................................................1 GROUP CLUSTERING MODULE .................................................................................2 LE1INDEKS3 LE2ASAS NOMBOR30 LE3GARIS LURUS44 LE4TRIGONOMETRI64 LE5NOMBOR KOMPLEKS83 iSENARAI AHLI JAWATANKUASA PEMBANGUNAN WIM KLUSTER SUBJEK UMUM MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 Ahli Jawatankuasa : 1.Pn Ainin Nisak binti Ahmad Asnawi (Pengerusi Kluster Subjek Umum) ADTEC Shah Alam 2.En Ismail bin Sukeeman (Penolong Pengerusi Kluster Subjek Umum) ADTEC Melaka 3.Cik Norbaini binti Mohd Yusoff ILP Labuan 4.Cik Ayulita Ema binti Mohd YusopILP Kuala Lumpur 5.En Abdul Rahman bin Abu BakarILP Kangar 6.En Anizan bin MohamadILP Ledang Urusetia : 1.Pn Norpisah binti JuminBKT, Ibu Pejabat 2.En Ismail bin Mat TahaBKT, Ibu Pejabat Tarikh dibangunkan:6 Julai 9 julai 2010 Tempat:ADTEC Taiping iiSENARAI SINGKATAN ISINFORMATION SHEET WSWORK SHEET ASASSIGNMENT SHEET KOD KURSUS SEMESTER NO. MODUL KREDIT NO. LE JENIS WIM MK2011-LE2-IS KERTAS PENERANGAN MODULMK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 2 GROUP CLUSTERING MODULE MK 2011-LE1 INDEKS1.1Indeks Dan Hukum Indeks 1.2Olah Ungkapan Algebra Menggunakan Hukum Indeks MK 2011-LE2 ASAS NOMBOR 2.1Kenalpasti Kumpulan Nombor 2.2Operasi Asas Nombor 2.3Tukar Asas Nombor MK2011-LE3GARIS LURUS 3.1Kenal Sifat Garis Lurus 3.2Cari Kecerunan Garis Lurus 3.3Tentukan Persamaan Garis Lurus 3.4Cari Jarak Titik Ke Garis Lurus 3.5Cari Pintasan-x Dan Pintasan-y Bagi Suatu Garis Lurus 3.6Cari Titik Tengah Bagi Garis Lurus MK 2011-LE4 TRIGONOMETRI 4.1Konsep Teorem Pithagoras 4.2Mengira Tangen, Sinus Dan Kosinus Suatu Sudut Menggunakan Teorem Pithagoras 4.3Kenalpasti Graf Sinus, Kosinus Dan Tangen Trigonometri 4.4Selesaikan Masalah Yang Melibatkan Trigonometri MK 2011-LE5 NOMBOR KOMPLEKS 5.1Nombor Kompleks Dan Nombor Kompleks Konjugat 5.2Selesaikan Operasi NOmbor Kompleks 5.3Kenalpasti Dan Faham Gambarajah Argand

MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 3 INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTER SUBJEK UMUM MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 KOD DAN NAMA MODUL MK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE1 INDEKS NO. TUGASAN BERKAITAN 1.1INDEKS DAN HUKUM INDEKS 1.2PENGOLAHAN UNGKAPAN ALGEBRA BERKAITAN HUKUM INDEKS OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO) JELASKANKONSEP INDEKS DAN HUKUM INDEKS DENGAN MENGGUNAKAN KAEDAH LATIH TUBISUPAYA PELAJAR BOLEH : 1.MENGENALPASTI UNGKAPAN INDEKS DAN HUKUM INDEKS 2.MENGOLAH UNGKAPAN ALGEBRA DAN PERSAMAAN MENGGUNAKAN HUKUM INDEKS OBJEKTIF MEMBOLEH (EO) DI AKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH : MENYELESAIKANMASALAHMATEMATIKYANGMELIBATKAN NOMBOR-NOMBOR INDEKS MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 4 1.INDEKS 1.1.INDEKS DAN HUKUM INDEKS PENGENALAN : Kertaspeneranganiniadalahbertujuanuntukmenerangkankonsepindeks danHukumIndeksbagimenyelesaikanmasalah-masalahMatematikyang melibatkan nombor-nombor indeks. 1.1.1. Konsep Indeks -Jika suatu nombor nyata' ' adidarab secara berulang sebanyak' ' nkali,maka naakan diperolehi dan disebut sebagai' ' akuasa' ' n . -Contoh lain (pendaraban berulang) : (i) 28 8 8 = (8 kuasa 2) (ii)5 5 5 = () (iii)p p p p p =() (iv)( )3 3 3 38 2 2 2 2 2 x x x x x x = = = () (v)( )4 4 4b a ab ab ab ab ab = = ()

-Di mana, na a a a a a = .... ' ' nfaktor 1.1.2.Penulisan Indeks -Contoh : 37 7 7 7 = di mana -Ini bermakna, indeksmenunjukkan berapa kali nombor nyata telah didarab secara berulang. -Indeks na ialah pendaraban berulang nombor nyata' ' asebanyak ' ' nkaliiaitua a a a a an = .... asas @ nombor nyata37 indeks @ kuasa MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 5 -Contoh : (i)a a a a a =4 (ii)=75 (iii)= |.|

\|341 (iv)( ) = 63 Latihan : Dapatkan nilai bagi indeks yang berikut : (i)=24 (ii)( ) = 35 (iii)= |.|

\|432 (v)=43 . 0 (vi)( ) = 31 . 0 1.1.3. Hukum Indeks -Terbahagi kepada tiga (3) iaitu : (a) n m n ma a a+= (b) n m n mnma a aaa= = (c)( )n mnma a= MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 6 -Contoh : 1 Permudahkan yang berikut : (i) 5 3p p (ii)( ) ( )4 43 3 penyelesaian : (i)(a)( )( )8 5 3p p p p p p p p p p p = = (b) 8 5 3 5 3p p p p = = + (ii)(a)( ) ( ) ( )( )( )( ) | | ( )( )( )( ) | | ( )8 4 43 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = = (b)( ) ( ) ( ) ( )8 4 4 4 43 3 3 3 = = + KAEDAH 1 KAEDAH 2 KAEDAH 1 KAEDAH 2 Hukum Indeks (i) Hukum Indeks (i) Adalah Lebih Mudah Menggunakan HUKUM INDEKS untuk menyelesaikan Ungkapan & Persamaan Indeks MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 7 Latihan : 1 Permudahkan setiap yang berikut (i)= 7 26 6 (ii)= 9 7 45 4 5 (iii)( ) ( ) ( ) = 11 2 34 4 4 -Contoh : 2 Permudahkan yang berikut (a) 7 5 6 43 2 3 2 (b) 7 6 2 5 34 3 5 4 3 7 6 5 43 3 2 2 =2 5 7 6 35 4 4 3 3 = 7 6 5 43 2+ + =2 5 7 6 35 4 3 =+ + 13 93 2 =2 12 95 4 3 = Latihan : 2 Permudahkan yang berikut (i)= 2 3 10 3 118 8 7 8 7 (ii)= 5 2 3 4 5 411 3 10 11 10 3 (iii)= 3 3 4 5 412 12 7 7 12 -Contoh : 3 Permudahkan setiap yang berikut (a) 26 3 p p (b) 7 2 35 4 2 m m m ( )2 16 3+ = p ( )7 2 35 4 2+ + = m 318p =1240m = MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 8 Latihan : 3 Permudahkan setiap yang berikut (i)= 5 2 3y y y (ii)= 2 35 4 a a (iii)= 7 2 52 4 3 p p p -Contoh : 4 Permudahkan setiap yang berikut (a) 7 6 5 4n m n m (b) 3 2 34 2 pq q p 7 5 6 4n n m m = ( )3 2 34 2 q q p p = 7 5 6 4 + + = n m ( )3 2 1 38+ + = q p 12 10n m =5 48 q p = Latihan : 4 Permudahkan setiap yang berikut (i)( ) = 2 3 2 25 3 ab b a ab (ii)= 2 3 3 2 52 8 b a b a b (iii)= 3 2 4 34 3 y x y x Penyelesaian INDEKS Lebih MUDAH Dengan Menggunakan HUKUM INDEKS MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 9 -Contoh : 5 Permudahkan yang berikut : (a) 2 52 2 (b) 3844

penyelesaian : (a)(i) 3 2 52 2 2 22 22 2 2 2 22 2 = = = (ii) 3 2 5 2 52 2 2 2 = = (b)(i) 5384 4 4 4 4 44 4 44 4 4 4 4 4 4 444= = = (ii) 5 3 8 3 8384 4 4 444= = = KAEDAH 1 KAEDAH 2 KAEDAH 1 KAEDAH 2 Hukum Indeks (ii) Hukum Indeks (ii) MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 10 Latihan : 5 Permudahkan yang berikut (i)=2799 (ii)= 4 3 1510 10 10 (iii)= 12 126 -Contoh : 6 Permudahkan yang berikut (a) 3 73 9 a a (b) 3 818 12 b b (c) 6 95 20 m m 3 739= a3 81812= b6 9520= m 43a =532b =34m = Latihan : 6 Permudahkan yang berikut (i)( )= 2 52 20 d d (ii)= 3 74 36 e e (iii)= 3 625 625 p p MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 11 -Contoh : 7 Permudahkan setiap yang berikut (a) 2 3 6 7y x y x (b) 2 6 6 911 121 f e f e 2 36 7y xy x=2 66 911121f ef e= 2637yyxx =266911121ffee = 2 6 3 7 = y x2 6 6 911 = f e 4 4y x =4 311 f e = Latihan : 7 Permudahkan setiap yang berikut (i)= 2 4 2 3 6 7t s r t s r (ii)= 4 7 52 8 pq b a (iii)= r q p r q p3 4 5 6 781 243 -Contoh : 8 Permudahkan yang berikut (a)( )6 2 3232 2 2 = = (b)( )18 3 6363 3 3 = = (c)( ) ( ) ( )20 5 4548 8 8 = = MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 12 Latihan : 8 Permudahkan yang berikut (i)( ) =6611 (ii)( ) = 3513 (iii)( ) = 735

-Contoh : 9 Permudahkan yang berikut (a)( )12 4 343p p p = = (b)( )30 5 656m m m = = (c)( )6 3 3 2 3 1323 3 3 q q q = = Latihan : 9 Permudahkan yang berikut (i)( ) =64q (ii)( ) =53a (iii)( ) =910n( )n mnma a=Di mana ; MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 13 -Contoh : 10 Permudahkan setiap yang berikut (a)( )35 45 3 (b)( )37 4 34 3 2 3 5 3 45 3 =3 7 3 4 3 34 3 2 = 15 125 3 =21 12 94 3 2 = (c)( )27 6q p (d)( )52 32 b a 2 7 2 6 = q p5 2 5 3 5 12 = b a 14 12q p =10 15 10 15 532 2 b a b a = = -Latihan : 10 Permudahkan setiap yang berikut (i)( ) = 43 67 2 (ii)( ) = 37 5 311 7 6 (iii)( ) =32ab (iv) ( ) =22 35 y x (v)( ) =34 3 23 z y x (vi)( ) =25 45 yz x Secara ringkasnya, didapati bahawa ( )p n p mpn mb a b a = MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 14 -Contoh : 11 Permudahkan setiap yang berikut (a) 24776||.|

\| (b) 343||.|

\|qp ( )( )242776=( )( )3433qp= 2 42 776= 3 43 3=qp 81476=129qp= Latihan : 11 Permudahkan setiap yang berikut (i)=||.|

\|2614aa(ii)=||.|

\|363216xx(iii)=||.|

\|453918yy Kesimpulannya, p np mpnmbaba=||.|

\| MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 15 -Contoh : 12 Permudahkan setiap yang berikut (a)( )2432p p (b) 43xyx||.|

\|(c) 2482aa |.|

\| 2 4 32p p = ( )( )433xyx =( )( )24482aa = 2 122+= p34 3yx x =42 428a a = 142p =34 3yx +=1682 4+=a 37yx=26a= Latihan : 12 Permudahkan setiap yang berikut (i)( )32 10 (ii)( )233 2x y x (iii)( ) ( )32433 2 a a (iv) 15332xx |.|

\| (v) 42222233|.|

\|||.|

\|nmnm MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 16 1.1.4.Indeks Negatif -Jika' ' nialah integer positif( ) ve + , maka :nnaa1=dan sebaliknyannaa=1 dengan syarat( ) 0 = a -Contoh : 1 Tukarkan yang berikut kepada indeks positif (a) 9131322= =(b) 216161633= =(c) 625151544= = Latihan : 1 Tukarkan yang berikut kepada indeks positif (i)=97 (ii)=29 (iii)=38 (iv)=3p (v)=4x (vi)=17a (vii)( )22y(viii) 318b -Contoh : 2 Tukarkan yang berikut kepada indeks negatif (a) 553131= xx(b) 55441= (c) 4477= yy Latihan : 2 Tukarkan yang berikut kepada indeks negatif (i)=6111(ii)=111c(iii)=76y(iv)=581 (v)=mx2(vi)=553r

MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 17 -Contoh : 3 Permudahkan setiap yang berikut kepada indeks positif (a) 5 6 p p (b) 3 6 4 q q q (c) 3 24 28 m m ( ) 5 6 += p( ) 3 6 4 + = q32428mm= 1p =1 = q3 27 = m p =q1= 57= m 57m= (d) 4 415 30 r r (e) 7 5 236 6 18 s s s 441530=rr 75 2366 18 =ss s ( ) 4 42 = r75 23 =ss s 82r =( ) ( ) 7 5 23 + = s 03s = 3 = Latihan : 3 Permudahkan setiap yang berikut kepada indeks positif (i)( )25 3 66 6 6 (ii) 3 2 57 7 7 (iii) 235 |.|

\| x (iv) 222 332||.|

\|b ab a(v) 8 4 56 6 6 (vi)( )23 3 49 9 9 MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 18 1.1.5.Indeks Pecahan -Jika' ' adan' ' nialah integer positif, maka na1 adalah punca kuasa ' ' nbaginombor' ' aiaitu : n na a =1 -Contoh : 1 (i)Pertimbangkan 2215||.|

\|dan( )25 2215||.|

\| = ||.|

\|||.|

\|21215 5 dan( )25 =( )( ) 5 5= 21215+@ 2215 =5 = 15 =5 Didapati bahawa, 2215||.|

\| =( )25Maka,215 =5 (ii)Pertimbangkan 3131313 3 3 dan 33 Di mana, 3131313 3 3 = 13 dan 33 =3 =3

313 = 33 iaitu 215adalah punca kuasa 2 bagi5. iaitu 313adalah punca kuasa 3 bagi3. Kira menggunakan kalkulator Kira menggunakan kalkulator MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 19 (iii)Pertimbangkan 3127 dan( )327 3127 =( )3133 = 3133 = 13 =3 Di mana,( )327 =3 3127 =( )327 (iv)Pertimbangkan 4116 dan( )416 4116 =( )4142 = 4142 = 12 =2 Di mana,( )416 =2 4116 =( )416 -Contoh : 2 Tukarkan ungkapan indeks berikut kepada ungkapan punca kuasa (a) 4 415 5= (b) 3 317 7= (c) 5 514 4 = 1)Tekan No. 3 2)Tekan Butang Shift 3)Tekan Simbol x 4)Tekan No. 27 5)Tekan Butang (=) 1)Tekan No. 4 2)Tekan Butang Shift 3)Tekan Simbol x 4)Tekan No. 16 5)Tekan Butang (=) MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 20 Latihan : 2 Tukarkan ungkapan indeks berikut kepada ungkapan punca kuasa (i)=513 (ii)=418 (iii)=614 (iv)=312 -Contoh : 3 Tukarkanungkapanpuncakuasaberikutkepadaungkapan indeks (a) 5159 9 = (b) 7178 8 = (c) 81820 20 = Latihan : 3 Tukarkan ungkapan punca kuasa berikut kepada ungkapan indeks (i)=35 (ii)=511 (iii)=7q (iv)=532 1.1.6.Mencari Nilai Indeks -Contoh : 1 Kirakan nilai bagi yang berikut(a) 318 ( )3132 = (b) 6164 ( )6162 = (c) 51243 ( )5153 = 3132 =6162 = 5153 = 12 =12 =13 = 2 = 2 = 3 = Latihan : 1 Kirakan nilai bagi yang berikut (i)=4181 (ii)=71128 (iii)=91512 (iv)=712187 MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 21 -Contoh : 2a Kirakan nilai bagi yang berikut (a) 3227 ( )3233 = (b) 4381 ( )4343 = (c) 1132048 ( )113112 = 3233 =4343 =113112= 23 =33 =32 = 9 = 27 = 8 = Latihan : 2a Kirakan nilai bagi yang berikut (i)=5232 (ii)=73128 (iii)=32216 (iv)=43625 -Nilai bagi nmaboleh didapati melalui dua (2) kaedah iaitu : Kaedah Pendaraban Hukum Indeks(Rujuk Contoh : 2a di atas) Kaedah ( )mn nma a = -Contoh : 2b Kirakan nilai bagi yang berikut mengikut Kaedah( )mn nma a = (a) 3227 ( )2327 = (b) 4381 ( )3481 = (c) 1132048 ( )3112048 = ( )23 = ( )33 = ( )32 = 9 = 27 = 8 = MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 22 Latihan : 2b Kirakan nilai bagi yang berikut mengikut Kaedah( )mn nma a = (i)=5232 (ii)=73128 (iii)=32216 (iv)=43625 -Contoh : 3 Kirakan nilai bagi yang berikut (a) 31278|.|

\| 313332||.|

\|= ATAU 31278|.|

\| 3278= ( )( )31331332=33278= 31331332=32= 1132= 32= (b) 5132243|.|

\| 515523||.|

\|= ATAU 5132243|.|

\| 532243= ( )( )51551523=5532243= 51551523=23= 1123= 23= MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 23 Latihan : 3 Kirakan nilai bagi yang berikut (i)= |.|

\|4125616(ii)= |.|

\|31864(iii)= |.|

\|511024243(iv)= |.|

\|711282187 -Contoh : 4 Kirakan nilai bagi yang berikut (a) 31278|.|

\| 31827|.|

\|= (b) 5132243|.|

\| 5124332|.|

\|= 3827=524332= 33827=5524332= 23=32= Latihan : 4 Kirakan nilai bagi yang berikut (i)= |.|

\|4125616(ii)= |.|

\|31864(iii)= |.|

\|511024243(iv)= |.|

\|711282187 MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 24 -Contoh : 5 Kirakan nilai bagi setiap yang berikut (a) 32278|.|

\| 23278||.|

\|= (b) 4325616|.|

\| 3425616||.|

\|= 233278||.|

\|=34425616||.|

\|= 232|.|

\|=342|.|

\|=|.|

\||.|

\|=3232 321|.|

\|= 94= |.|

\||.|

\||.|

\|=212121 81= Latihan : 5 Kirakan nilai bagi setiap yang berikut (i)= |.|

\|431681(ii)= |.|

\|3212527(iii)= |.|

\|322168(iv)= |.|

\|3451264 -Contoh : 6 Kirakan nilai bagi setiap yang berikut (a) 32278|.|

\| 32827|.|

\|= (b) 4325616|.|

\| 4316256|.|

\|= 23827||.|

\|=3416256||.|

\|= 233827||.|

\|=34416256||.|

\|= 223|.|

\|=324|.|

\|=|.|

\||.|

\|=2323 49= ( )32 = 8 = MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 25 Latihan : 6 Kirakan nilai bagi setiap yang berikut (i)= |.|

\|431681(ii)= |.|

\|3212527(iii)= |.|

\|322168(iv)= |.|

\|3451264 1.2.PENGIRAAN BERKAITAN HUKUM INDEKS -Contoh : 1 Permudahkan yang berikut (a)( ) ( )32 3452 p p p (b) ( ) ( )( )223322mnmn n m 6 3 202 p p p =2 2 2 13 3 3 1 2 1 2 2 =n mn m n m 6 3 202 += p4 29 3 2 4n mn m n m = 172p =4 9 2 2 3 4 + += n m 7 5n m = (c) 5332xx |.|

\| ( )( )53332xx = 598xx = 5 91 8x x = 5 98+=x 148x= MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 26 Latihan : 1 Permudahkan yang berikut (i)=|.|

\|||.|

\|42222233 nmnm(ii) ( )= 3 24 223a aa a a(iii) ( ) ( )= 3 3 46 5 2 393 12z y xyz x y x -Contoh : 2 Permudahkan setiap yang berikut (a) 4123281 3 27 (b) 3265438 64 16 ( ) ( )414 23233 3 3 = ( ) ( ) ( )3236564342 2 2 = ( ) ( )1 2 23 3 3 = ( ) ( ) ( )2 5 32 2 2 = 1 2 23 +=2 5 32+ = 33 =02 = 27 = 1 = Latihan : 2 Permudahkan setiap yang berikut (i) ( )=723333 3(ii)=||.|

\|||.|

\| 42313324 4 4 (iii)=542331324 64(iv)( )= 41525621128 (v)= |.|

\| 312814 64 (vi)= 4 32 8 32 MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 27 1.2.1.Persamaan Berkaitan Indeks Objektif : Mencari nilai bagi pembolehubah -Contoh : 1 Kirakan nilai pembolehubah bagi persamaan berikut (a)0 9 273 1= x x ( ) ( )0 3 33213= x x 0 3 36 2 3 3= x x ( ) 0 6 2 3 3 = x x 0 6 2 3 3 = + x x 3 6 2 3 + = x x 3 = x (b)0 49 75 3= y y ( )0 7 752 3= yy 0 7 72 10 3= y y y y 2 10 37 7= y y 2 10 3 = 10 2 3 = + y y 10 5 = y 510= y 2 = y Ambil indeksnya sahaja apabilanombor asas telah sama iaitu 3 Ambil indeksnya sahaja apabilanombor asas telah sama iaitu 7 MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 28 Latihan : 1 Kirakan nilai pembolehubah bagi persamaan berikut (i)0 16 83 10 2= + x x(ii) 18 32+=x x(iii)1 625 1252 2 1= + x x -Contoh : 2 Kirakan nilai pembolehubah bagi persamaan berikut (a) 2 53 3 9 27 = y(b)( )x x 2 181 9 3 =+ () 2 5 2 33 3 3 3 = y ( ) ( ) x x 2 4 1 23 3 3 = + 2 5 2 33 3 3 3 = y x x 8 2 2 13 3 3 = + 2 5 2 33 3 = + y x x 8 2 2 13 3 =+ + 2 5 2 3 = + y x x 8 2 2 1 = + + 3 5 2 2 + = y 1 2 2 8 + = x x 4 2 = y 3 6 = x 24= y63= x2 = y21= x (c)( ) 432182= yy ( )2523222=yy 256222=yy 2 5 62 2 = y y 2 5 6 = y y 2 = y MK 2011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 29 Latihan : 2 Kirakan nilai pembolehubah bagi persamaan berikut (i)(a) 9 33 3 =x (b) 6 2 25 5 =+ x (c) 6 42 2 2 = x (d)( )627 7 7 =x x (e)4 4 41 2 2= x x (ii)32 4 22= x x (iii) 243927=yy (iv) 27 8192433= yy (v) 3281283212= + yy Rujukan : 1.Khoo Cheng, Siri Analisis PELANGI Matematik Tambahan Tingkatan 4 & 5 KBSM (Penerbitan PELANGI Sdn. Bhd - 1994) 2.Ooi Soo Huat, Moy Wah Goon, Wong Teck Sing, Khoo Cheng, Chew Su Lian dan Chong Pak Cheong, Focus Super SPM Additional Mathematics (Penerbitan PELANGI Sdn. Bhd - 2007) MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 30 INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTERSUBJEK UMUM - MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 KOD DAN NAMA MODUL MK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE2ASAS NOMBOR NO. TUGASAN BERKAITAN 2.1 KENALPASTI KUMPULAN NOMBOR 2.2 OPERASI ASAS NOMBOR 2.3 TUKAR ASAS NOMBOROBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO) JELASKAN KONSEPASAS NOMBOR DAN OPERASI PENUKARAN ASAS NOMBOR SUPAYA PELAJAR BOLEH : 1.MENGENALPASTI KUMPULAN NOMBOR YANG BERKAITAN 2.MENGENALPASTI OPERASI ASAS NOMBOR 3.MELAKUKAN PENUKARAN OPERASI ASAS NOMBOR

OBJEKTIF MEMBOLEH (EO) DI AKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH : MENYELESAIKANMASALAHMATEMATIKYANGMELIBATKAN OPERASI DAN PENUKARAN ASAS NOMBOR MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 31 2.1KENALPASTI KUMPULAN NOMBOR TUJUAN : Kertaspeneranganiniadalahbertujuanuntukmenerangkanasassepuluh (Demical),asasdua(Binary),asaslapan(Octal),danprosespengoperasian asas nombor. 2.1.1PENGENALAN KEPADA ASAS NOMBOR Semualitardigital,instrumendanperjalanansistemditunjukkandalam kuantitiyangtertentu.Contohnya,pengukurannilaivoltananalogoleh voltmeterdigitalditukarkepadabentukdigitaldandipaparkansebagai nomborsepuluh(decimal).Terdapat3jenisasasnomboryangperlu diketahui iaitu :- 1)Asas sepuluh (decimal) 2)Asas dua (binary) 3)Asas lapan (octal) 2.1.2ASAS SEPULUH (DECIMAL) Asas sepuluh menggunakan angka dasar 10 kerana ia menggunakan 10 digit iaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Jadual1menunjukkantandakedudukannilaibagikuasapositifasas sepuluh.Asas 10NilaiAsas 10Nilai 1001105100000 101101061000000 10210010710000000 1031000108100000000 104100001091000000000 JADUAL 1 MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 32 Jadual2menunjukkantandakedudukannilaibagikuasanegatifasas sepuluh. Asas 10KedudukanNilai 10-11/100.1 10-21/1000.01 10-31/10000.001 10-41/100000.0001 10-51/1000000.00001

JADUAL 2 2.1.3ASAS DUA (BINARY) Asas dua menggunakan angka dasar 2. Oleh itu, bagi sistem perduaan, digit yang digunakan ialah 0 dan 1.Dua digit ini mempunyai nilai yang sama sebagai 0 dan 1 dalam sistem sepuluh.Jadual3menunjukkantandakedudukannilaibagikuasapositifasas dua.Asas 2NilaiAsas 2Nilai 2012664 21227128 22428256 23829512 24162101024 25322112048 JADUAL 3 Jadual4menunjukkantandakedudukannilaibagikuasanegatifasas dua. Asas 2KedudukanNilai 2-10.05 2-20.25 2-31/80.125 2-41/160.0625 2-51/320.03125 2-61/640.015625 2-71/1280.078125 2-81/2560.00390625 JADUAL 4 MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 33 2.1.4ASAS LAPAN (OCTAL) Asas lapan menggunakan angka dasar 8. Ia biasanya digunakan dalam mikropemproses. Oleh itu, sistem ini mempunyai 8 digit iaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Jadual5menunjukkantandakedudukannilaibagikuasapositifasas lapan. Asas 8Nilai 801 818 8264 83512 844096 8532768 86262144 872097152 8816777216

JADUAL 5 Jadual6menunjukkantandakedudukannilaibagikuasanegatifasas lapan. Asas 8KedudukanNilai 8-11/80.125 8-21/640.015625 8-31/5120.001953125 8-41/40960.00024414 8-51/327680.000030517 8-61/2621440.000003814 JADUAL 6 MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 34 Jadual 7 menunjukkan hubungan di antara ketiga-tiga asas nombor ini.

SepuluhPerduaanPerlapan 000000 100011 200102 300113 401004 501015 601106 701117 8100010 9100111 10101012 11101113 12110014 13110115 14111016 15111117

JADUAL 7 2.1.5MENYATAKAN NILAI SESUATU DIGIT BAGI SUATU NOMBOR DALAMASAS DUA DAN ASAS LAPAN Contoh 1 Nyatakan nilai bagi digit yang digariskan dalam setiap nombor asas dua yang berikut: a.10 112 b. 11000012 Penyelesaian a)Nilai bagi digit yang digariskan = 21 = 2 b)Nilai bagi digit yang digariskan = 26 = 64 MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 35 Contoh 2 Nyatakan nilai bagi digit yang digariskan dalam setiap nombor asas lapanyang berikut: a.12348 b. 717568 Penyelesaian a)Nilai bagi digit yang digariskan= 83

= 1 x 512 = 512 b)Nilai bagi digit yang digariskan= 7 x 82 = 7 x 64 = 448 2.2OPERASI ASAS NOMBOR 2.2.1MEMBUATPENGIRAANMELIBATKANOPERASITAMBAHATAU TOLAK BAGI DUA NOMBOR DALAM ASAS DUA. Duanombordalamasasduabolehditambahatauditolakmelaluicara pengiraan yang sama seperti penambahan atau penolakan nombor biasa, kecualipemindahanataupeminjamannilaibersebelahanadalah berasaskan dua. MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 36 a)Berikut ialah beberapa hubungan am dalamoperasi tambah bagi dua nombor dalam asas dua. 0 0 1 1 11 +0_ +1__+ 0+ 1__ +1 0 _ __1___ 1_ 10__ 100 Perhatian : 1 + 1 = 2 dan 2 = 102 b)Berikutialahbeberapahubunganamdalamoperasitolakbagidua nombor dalam asas dua. 1 2 2 00 1 102 1 00 -0_ -1__-0-1_ - 1 1_0 ___1___1__1_1_ Contoh 3 : Cari hasil tambah bagi setiap yang berikut dalam asas dua. a)1002 + 1102 b) 10112 + 10012 Penyelesaian : a) 100 + 110_ 1010_maka, 1002 + 1102 = 10102 b)1011 + 1001 10100maka, 10112 + 10012 = 101002 MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 37 Contoh 4 : Cari baki bagi setiap yang berikut dalam asas dua. a)10112- 10012 b) 110012- 10112 Penyelesaian : a)1011 - 1001_ 10_ maka, 10112- 10012 = 102 b)11001 -1011_ 1110 _maka, 110012- 10112 = 11102 2.3 PENUKARAN ASAS NOMBOR 2.3.1ASASSEPULUHKEPADAASASPERDUAANDANASAS PERLAPAN Contoh 5 : Tukarkan 1710 kepada nilai asas perduaan dan asas perlapan. Penyelesaian : a)Perduaan 217Baki 281 240 220 210 01

Oleh itu, 1710=100012 Arah bacaan MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 38 b)Perlapan 817Baki 821 02

Oleh itu, 1710=218 Contoh 6 : Tukarkan 3010 kepada nilai asas perduaan dan asas perlapan. Penyelesaian : (a)Perduaan 230Baki 2150 271 231 211 01

Oleh itu, 3010=111102 (b) Perlapan 830Baki 836 03 Oleh itu, 3010=368 Arah bacaan Arah bacaan Arah bacaan MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 39 2.3.2ASAS PERDUAAN KEPADA SEPULUH DAN ASAS PERLAPAN Contoh 7 : Tukarkan 1012 kepada nilai asas sepuluh Penyelesaian :

1012 =(1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) =(1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1) =4 + 0 +1=510 Contoh 8 : Tukarkan 1110012 kepada nilai asas sepuluh Penyelesaian : 1110012 =(1 x 25) + (1 x 24) + (1 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) =(1 x 32) + (1 x 16) + (1 x 8) + (0 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1) =32 + 16 +8 + 0 + 0 +1=5710 MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 40 Contoh 9 : Tukarkan 11002 kepada nilai asas perlapan. Penyelesaian : (a) Perlapan Asas 2 1100 ++ Asas 8 14 Oleh itu, 11002= 148 Contoh 10 : Tukarkan 10110011012 kepada nilai asas perlapan. Penyelesaian : (a) Perlapan 001011001101 + +++ 1315 Contoh Pengiraan : 1012 58 = ( 1 X 22 ) + ( 0 X 21 ) + ( 1 X 20 )= 4+0 +1 = 5 Oleh itu, 10110011012=13158 MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 41 2.3.3ASAS PERLAPAN KEPADA ASAS SEPULUH DAN ASAS PERDUAAN Contoh 11 : Tukarkan 558 kepada nilai asas sepuluh Penyelesaian : 558 =(5 x 81) + (5 x 80) =(5 x 8) + (5 x 1) =40 + 5=4510 Contoh 12 : Tukarkan 2678 kepada nilai asas sepuluh Penyelesaian : 2678

=(2 x 82) + (6 x 81) + (7 x 80)=(2 x 64) + (6 x 8) + (7 x 1) =128 + 48 + 7=18310 Contoh 13 : Diberi 1108 = x10 , dengan keadaan x ialah Intiger, cari nilai x; Penyelesaian : 1108 = ( 1X 82 ) + (1X 81) + (0X 80) = 64 + 8 + 0 = 7210 maka, x = 72 MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 42 Contoh 14 : Tukarkan 328 kepada nilai asas perduaan Penyelesaian : Asas 8 32 ++ Asas 2011010 Oleh itu, 328 =110102 Contoh 15 : Tukarkan 3568 kepada nilai asas perduaan Penyelesaian : Asas 8356 +++ Asas 2011101110

Oleh itu, 3568 =111011102 SOALAN : 1)Nyatakan nilai bagi digit yang bergaris dalam setiap nombor berikut : a. 1102d. 258 b.1 00112 e. 1368 c. 1111002 2)Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas sepuluh: a.1112d. 11012 b.101112 e. 101001012 c.1100102

MK 2011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 43 3)Tukarkan setiap nombor berikut kepada asas perlapan : a.1100102d. 101011102 b.11101112e. 1110002 c.100012 4)Cari hasil tambah bagi setiap yangberikut : a.102 + 112 b.10112 + 11012 5)Cari baki bagi setiap yang berikut : a.1012- 1002 b.11012- 1112 6)Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas sepuluh : a.568 b.3578 c.25648 7)Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas dua : a.2668 b.328 c.5478 Rujukan : 1)Siri Analisis Matematik (SPM) Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd Tahun 1999 2)SiriAnalisisPelangiMatematik(SPM1868Soalan)-PenerbitanPelangi Sdn. Bhd Tahun 2005 3)SPM Persediaan Ke Universiti Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd Tahun 2005 4)Fokus U (SPM) -Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd Tahun 2005 MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 44 INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTERSUBJEK UMUM - MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 KOD DAN NAMA MODUL MK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE3GARIS LURUS NO. TUGASAN BERKAITAN 3.1KENAL SIFAT GARIS LURUS 3.2 CARI KECERUNAN GARIS LURUS 3.3TENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS3.4 CARI JARAK TITIK KE GARIS LURUS 3.5 CARI PINTASAN-X DAN PINTASAN-Y BAGI SUATU GARIS LURUS 3.6 CARI TITIK TENGAH BAGI GARIS LURUS OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO) JELASKANKONSEPGARISLURUSDANPENGGUNAANRUMUS-RUMUS YANG BERKAITAN SUPAYA PELAJAR BOLEH : 1.MENGENALPASTI SIFAT GARIS LURUS 2.MENCARI KECERUNAN GARIS LURUS 3.MENENTUKANDANMEMBENTUKPERSAMAANGARIS LURUS 4.MENCARI JARAK TITIK KE GARIS LURUS 5.MENCARIPINTASAN-XDANPINTASAN-YBAGISUATU GARIS LURUS 6.MENCARI TITIK TENGAH BAGI GARIS LURUS OBJEKTIF MEMBOLEH (EO) DI AKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH : MENGENALPASTISIFATGARISLURUSDANMENYELESAIKAN MASALAHMATEMATIKYANGMELIBATKANGARISLURUS MENGGUNAKAN RUMUS-RUMUS YANG BERKAITAN MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 45 3.1KENAL SIFAT GARIS LURUS 3.1.1Titik-Titik Segaris -Tiga atau lebih titik yang terletak pada satu garis lurus dipanggil titik-titik segaris. -Jika luas yang dilingkungi oleh tiga atau lebih titik ialah 0 unit2, maka titik-titik itu adalah segaris. -Tiga titik A, B dan C adalah segaris jika kecerunan AB = kecerunan BC. Contoh 1 Tentukan sama ada titik-titik A(2,4), B(-4,7) dan C(6,2) adalah segaris. Penyelesaian : Kaedah : Dengan kecerunan Kecerunan AB = 21632 44 7 == Kecerunan BC = 211054 67 2 ==+ Oleh kerana kecerunan AB = kecerunan BC, maka titik A, B dan C adalah segaris 3.2CARI KECERUNAN GARIS LURUS Kecerunanm,bagisatugarislurusyangmenyambungkanA(x1,y1)dan B(x2,y2) diberi oleh

2 12 11 21 2x xy yx xy ym== Bagiduagarislurusyangmempunyainilaikecerunanyangsama,ia dikatakan selari. MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 46 (a)Kecerunan garis lurus yang condong ke sebelah kanan adalah positif. Contoh 1: Kecerunan AB =1442 61 5= = (b)Kecerunan garis lurus yang condong ke sebelah kiri adalah negatif. Contoh 2 : Kecerunan CD = 311344 11 5 ==

y x C(1 , 5) D(4 , 1) y x A(2 ,1) B(6,5) MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 47 (c)Kecerunan garis lurus yang selari dengan paksi-x adalah sifar. Contoh 3 : Kecerunan EF =0501 63 3= = (d)Kecerunangarislurusyangselaridenganpaksi-yadalahtidak tertakrif . Contoh 4 : Kecerunan GH = = =053 31 6(tidak tertakrif) Contoh 5 : Dapatkan kecerunan bagi garis lurus yang menyambungkan titik-titik (a)( ) 2 , 3 Adan( ) 2 , 5 B(b)( ) 5 , 3 Cdan( ) 6 , 3 D(c)( ) 1 , 2 Edan( ) 4 , 1 F y x E(1 , 3) F(6 , 3) y x H(3 ,6) G(3 , 1) MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 48 Penyelesaian : (a)A(3,2) dan B(5,2) m =0203 52 2= = (b)C(3,5) dan D(3,6) m = = =023 35 6 (c)E(2,1) dan F(-1,4) Contoh 6 Jika titik-titik (-2,-5), (-2,-2) dan (8,p) adalah segaris, carikan nilai p. Penyelesaian :KatakankoordinatbagiA,BdanCmasing-masingialah(-2,-5),(-2,-2)dan (8,p). Kecerunan AB, MAB = 432 25 2=++ Kecerunan BC, MBC = 622 82 +=+ p p Oleh kerana titik-titik A, B dan C adalah titik-titik segaris, maka MAB dan MBC adalah sama. MAB = MBC

6243 +=p 212 2292 643= = |.|

\|= x p m =1332 11 4 == MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 49 Contoh 7 : Berdasarkan rajah di bawah, cari kecerunan bagi garis lurus PQ. Penyelesaian : 1 21 2x xy ym=

8 00 10 =

810=

45= 3.3TENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus yang bercerunan m dan melalui titik (x1,y1) ialah c mx y + = Dengan c ialah pintasan pada paksi y. y x P Q 10 8 MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 50 Contoh 1 Bentukkan persamaan garis lurus yang menyambungkan titik-titik A(2,5) dan B(4,6). Penyelesaian :Dari bentuk persamaan garis lurus : c mx y + =Mula-mula cari nilai kecerunan, m :212 45 61 21 2===x xy ymMasukkan nilai 21= m ,2 = xdan5 = yke dalam persamaanc mx y + =c mx y + =( ) c c + = + = 1 22154 1 5 = = cMaka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik A(2,5) dan B(4,6) ialah421+ = x y Contoh 2 Carikanpersamaangarislurusyangmempunyaikecerunan3danmelalui titik (4,-2) Penyelesaian :Dari bentuk persamaan garis lurus : c mx y + =Diberi3 = mMasukkan nilai3 = m ,4 = x dan2 = yke dalam persamaan am garis lurus c mx y + =c mx y + =( ) c c + = + = 12 4 3 217 12 5 = = c Maka persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan 3 dan melalui titik(4,-2) ialah17 3 = x y . MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 51 y x (-2 ,0) (0 , 43 ) Contoh 3 Carikan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (-5,3) dan (3,-6). Penyelesaian :Dari bentuk persamaan garis lurus : c mx y + =Mula-mula cari nilai kecerunan, m :( ) 895 33 61 21 2= ==x xy ymMasukkan nilai 89 = m ,5 = x dan3 = yke dalam persamaan am garis lurus c mx y + = c mx y + =( ) c c + = + =8455893821845 248453== = c Maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (-5,3) dan (3,-6) ialah 82189 = x y . Contoh 4 Tuliskanpersamaangarislurusyangditunjukkandidalamrajahdibawah dalam bentukc mx y + = . Penyelesaian :Daripada rajah di atas, diberi pintasan y, c = 43 MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 52 Kecerunan garis lurus, ( ) 832432 00431 21 2 == ==x xy ym Maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (0,43 ) dan (-2,0) ialah 4383 = x y . 3.3.1 PembentukanPersamaanGaris LurusApabilaKecerunanDanSatu Titik Diberikan Persamaangaris lurusyangmempunyaikecerunan mdanmelaluititik( )1 1, y xdi beri oleh Contoh 1 : Bentukkan persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan 2 dan melalui titik ( ) 5 , 3 . ( )1 1x x m y y = y x ( )1 1, y x) (1 2x x ( ) y x,) (1 2y y 1x x1yy0 MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 53 Penyelesaian : Masukkan nilai m = 2, x = 3 dan y = 15 ke dalam persamaan am garis lurus c mx y + =-5 = 2 (3) + c -5 = 6 + c C = -5 6 C = -11 Persamaan garis lurus yang melalui (3,-5) ialahy = 2x -11 3.3.2Pembentukan Persamaan Garis Lurus Apabila Dua Titik Diberikan Persamaan garis lurus yang melalui titik-titik( )1 1, y xdan( )2 2, y xialah Contoh 1 : Cari persamaan garis lurus yang melalui titik-titik( ) 2 , 3 dan( ) 4 , 1 . Penyelesaian : 31 = x 21 = y12 = x42 = y 1 21 211x xy yx xy y= 3 12 432+=+xy 4232=+xy 2132=+xy ) 3 ( 1 ) 2 ( 2 + = x y3 4 2 + = x y1 21 211x xy yx xy y= MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 54 4 3 2 + + = x y7 2 + = x y27 +=xy2721+ = x y Contoh 2 : Tuliskanpersamaangarislurusyangditunjukkandidalamrajahdibawah dalam bentukc mx y + = . Penyelesaian : 21 = x 01 = y02 = x 432 = y1 21 211x xy yx xy y= 2 004320+ =+xy 2432=+ xy 832 =+ xy ) 2 ( 3 8 + = x y6 3 8 + = x y4383 = x y8683 = x yx y ) 0 , 2 ( )43, 0 ( MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 55 3.4CARI JARAK TITIK KE GARIS LURUS ) , (1 1y x A dan) , (2 2y x B adalahduatitikdalamsatahkoordinatsepertiyang ditunjukkandiatas.ACadalahselaridenganpaksixdanBCadalahselari dengan paksi y, maka = Z 90 ACB . Daripada Teorem Pithagoras, 21 221 22 2 2) ( ) ( y y x xCB AC AB + =+ =

Jarak di antara dua titik,) , (1 1y x A dan) , (2 2y x B

AB =( ) ( )21 221 2x y y x + Contoh 1 Dapatkan Jarak antara 2 titik A(2,2) dengan B(-15,-6). Penyelesaian : AB =( ) ( )2 26 2 15 2 + + +64 289 + =unit 79 . 18 353 = = y x ) (1 2x x ) , (1 1y x A) , (2 2y x B) (1 2y y ) , (1 2y y C MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 56 Contoh 2 Carikan jarak di antara pasangan A(2,1) dengan B(5,5). Penyelesaian : AB =( ) ( )2 21 5 2 5 + 2 24 3 + =unit 5 25 = = Contoh 3 Carikan jarak antara titik (-1,3) dan (4,15). Penyelesaian : AB =( ) | | ( )2 23 15 1 4 + ( ) ( )2 23 15 1 4 + + + = 2 212 5 + =144 25 + = unit 13 169 = = Contoh 4 Jarak antara dua titik A(1,4) dan B(-2,a) ialah 5 unit, carikan nilai-nilai yang mungkin bagi a. Penyelesaian : 5 =( ) ( )2 24 1 2 + a5 =16 8 92+ + a a5 =25 82+ a a25 =25 82+ a a0 82= a a( ) 0 8 = a a0 = a @8 = a MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 57 Contoh 5 Diberi titik-titik A(3,8), B(3,-2) dan C(t,1). Carikan nilai yang mungkin bagi t jikaAB =2BC. Penyelesaian : ( ) ( )2 22 8 3 3 + + = ABunit AB 10 100 = =( ) ( )2 21 2 3 + = t BC9 6 92+ + = t t BCunit t t BC26 18 + =BC AB 2 = Maka, 26 18 2 10 t t + =26 18 5 t t + =26 18 25 t t + =0 7 62= t t( )( ) 0 1 7 = + t t( ) 7 = t@( ) 1 = t Contoh 6 Tunjukkan bahawa titik-titik A(3,-3), B(-3,5) dan C(4,4) adalah bucu-bucu bagi satu segitiga sama kaki. Penyelesaian : PanjangAB =( ) ( )2 25 3 3 3 + +AB =64 36 +AB =unit 10 100 = Panjang AC =( ) ( )2 24 3 4 3 + AC =49 1+AC =unit 50 Panjang BC =( ) ( )2 24 5 4 3 + BC =1 49 + BC =unit 50Maka,ABC A adalah satu segitiga sama kaki. MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 58 3.5CARI PINTASAN-X DAN PINTASAN-Y BAGI SUATU GARIS LURUS -Pintasan-xialahkoordinat-xbagititikpersilangansuatugarislurus dengan paksi-x. -Pintasan-yialahkoordinat-ybagititikpersilangansuatugarislurus dengan paksi-y. Contoh 1: Nyatakan pintasan-x dan pintasan-y bagi garis lurus AB di bawah. Penyelesaian : Pintasan x = 4 Pintasan y = -3 Pi nt asan y Pi nt asan x m = b y x a Pintasan -y Pintasan -x BA0 x y 4 -3 Koordinat-x bagi titik B Koordinat-y bagi titik A MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 59 Contoh 2: Dapatkan nilai kecerunan bagi rajah yang berikut: Penyelesaian : Pintasan x = 3 Pintasan y = -9 x asan Py asan Pm =intint

3) 9 ( =

39= 3 = Contoh 3:Diberi pintasan-x bagi garis lurus AB ialah 8 dan kecerunannya ialah 21. Cari pintasan-y bagi garis lurus AB. Penyelesaian : Pintasan x = 8 Kecerunan, m = 21 x asan Py asan Pm =intint 3 y x -9 MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 60 x asan P m y asan P = int int821int = y asan P4 int = y asan P Contoh 4:Suatu garis lurus mempunyai kecerunan 6 dan melalui paksi-y pada -12. cari Pintasan-x bagi garis lurus itu. Penyelesaian : Pintasan y = -12 Kecerunan, m = 6 x asan Py asan Pm =intint

my asan Px asan P = intint

6) 12 (int = x asan P

612int = x asan P2 int = x asan P 3.6CARI TITIK TENGAH BAGI GARIS LURUS ) , (1y x D) , (1 2y y C) , ( y x M) , (2y x Ey x ) , (1 1y x A) , (2 2y x B MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 61 Dalam rajah di atas,) , ( y x Mialah titik tengah bagi) , (1 1y x A dan ) , (2 2y x B . Titik tengah bagi titik-titik) , (1 1y x A dan) , (2 2y x Bialah

Contoh 1 : Carikan koordinat titik tengah bagi garis yang menyambungkan(a)) 1 , 2 ( A dan) 3 , 4 ( B(b)( ) 7 , 4 Mdan( ) 3 , 2 N Penyelesaian : (a)Titik tengah AB = |.|

\|+ + 23 1,24 2 = ( ) 2 , 124,22=|.|

\| (b)Titik tengah MN =|.|

\| + +2) 3 ( 7,2) 2 ( 4 = |.|

\| 23 7,22 4 = ( ) 5 , 1210,22 =|.|

\| Contoh 2 : Jika) 1 , 2 ( Mialah titik tengah bagi) 2 , 3 ( A dan) , ( q p B .Dapatkan nilai p dan q. Penyelesaian : Titik tengah AB =|.|

\| + +22,23 y x ( )|.|

\| + += 22,231 , 2y x Pertimbangkan koordinat-xPertimbangkan koordinat-y: 223=+ x122 =+ y 1 3 4 = = x 4 2 2 = = y Maka koordinat titik B ialah (1,-4) ( ) |.|

\| + +=2,2,1 2 1 2y y x xy x M MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 62 Latihan : 1.Cari persamaan garis lurus yang mempunyaia)kecerunan 2 dan melalui titik( ) 3 , 5 b)kecerunan 32 dan melalui titik( ) 6 , 1 c)kecerunan 5 dan melalui titik( ) 7 , 0d)kecerunan 4 dan melalui titik( ) 0 , 0 2.Cari persamaan garis lurus yang melalui setiap pasangan titik berikut. a)( ) ( ) 9 , 8 , 6 , 2 . b)( ) ( ) 2 , 6 , 2 , 2 c)( ) ( ) 1 , 3 , 3 , 1 d)( ) ( ) 0 , 0 , 4 , 3 e)( ) ( ) 3 , 3 , 3 , 1 f)( ) ( ) 5 , 2 , 3 , 2 3.Cari persamaan garis lurus apabila diberi pintasan-x dan pintasan-y masing-masing ialah a)2 dan 5 b)4 dan 3 c) 31 dan 2 d) 43dan 21 4.Cari jarak antara titik-titik berikut. a )) 3 , 0 ( dengan) 5 , 6 ( b)) 5 , 3 ( dengan) 5 , 8 ( 5.Jika jarak antara titik( ) 5 , k Adengan titik( ) 3 , 8 Bialah 10 unit, cari nilai-nilai yang mungkin bagi k. MK 2011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 63 6.Cari koordinat titik tengah bagi garis lurus yang menyambungkan titik-titik a)( ) 3 , 2dan( ) 11 , 6b)( ) 0 , 5 dan( ) 4 , 5c)( ) 7 , 8 dan( ) 4 , 2 d)( ) 6 , 3 dan|.|

\| 212 , 1 7.Jika( ) 1 , 1 M ialahtitiktengahbagigarislurusyangmenyambungkantitik ) , ( k h P dan) 4 , 3 ( Q . Dapatkan nilai h dan k. 8.Jika( ) 1 , 2 Cialah titik tengah bagi titik) , 4 ( m A dan titik) 3 , ( n B . Dapatkan nilai m dan n. RUJUKAN : 1.Ibrahim bin Samad, Matematik untuk Juruteknik Elektrik Jilid 1, DBP 1988. 2.Jasbir Kaur dan Sim I- Jee, Aset Peperiksaan Matematik, Longman 2000, ISBN 9837415622 3.AngSiewLing,MatematikTambahan,PanAsiaPublication1995,ISBN 9838142239 4.Nota Matematik Politeknik Malaysia. 5.Lim Swee Hock, Matematik SPM, Fajar Bakti Sdn. Bhd., 1999 6.Yoong Kwee Soon, Yang Chor Chaw, Khoo Choong Quan, Matematik SPM 4&5, Sasbadi Sdn. Bhd., 2005 MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 64 INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTERSUBJEK UMUM - MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 KOD DAN NAMA MODUL MK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE4TRIGONOMETRI NO. TUGASAN BERKAITAN 4.1 KONSEP TEOREM PITHAGORAS 4.2 MENGIRA NILAI TANGEN, SINUS DAN KOSINUS SUATU SUDUT MENGGUNAKAN TEOREM PITHAGORAS 4.3 KENALPASTI GRAF SINUS, KOSINUS DAN TANGEN TRIGONOMETRI 4.4 SELESAIKAN MASALAH YANG MELIBATKAN TRIGONOMETRI OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO) JELASKANKONSEPTEOREMPITHAGORASDANPENGGUNAAN TRIGONOMETRI SUPAYA PELAJAR BOLEH : 1.MENGENALPASTIDANMEMAHAMIRUMUSTEOREM PITHAGORAS 2.MENGIRANILAITANGEN,SINUSDANKOSINUSSUATU SUDUT MENGGUNAKAN TEOREM PITHAGORAS 3.MENGENALPASTIGRAFSINUS,KOSINUSDANTANGEN TRIGONOMETRI 4.MENYELESAIKANMASALAHYANGMELIBATKAN TRIGONOMETRI OBJEKTIF MEMBOLEH (EO) DI AKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH : MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG MELIBATKAN TEOREM PITHAGORAS DAN TRIGONOMETRI MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 65 4.1KONSEP TEOREM PITHAGORAS 4.1.1PENGENALAN Teorem Pithagoras digunakan untuk segitiga bersudut tegak sahaja. Dalamsebuahsegitigabersuduttegak,sisiyangbersetentangdengan sudut tegak dinamakan hipotenus.Hipotenus juga adalah sisi yang terpanjang dalam sebuah segitiga bersudut tegak. Bagi suatu segitiga bersudut tegak ABC, Contoh 1: Caripanjangsisiyangtakdiketahui,xbagisetiapsegitigabersuduttegak berikut. a) Penyelesaian : 2 2 2AC AB BC + =2 2 28 10 + =x2 2 28 10 = x64 1002 = x362= x2 2 2AC BC AB + = . c Hi po t enus a b C B A x 8 cm 10 cm AC B MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 66 36 = xcm x 6 = b) Penyelesaian : 2 2 2QR PQ PR + =2 2 25 13 + =x2 2 25 13 = x25 1692 = x1442= x144 = xcm x 12 = Contoh 2 : Caripanjangsisiyangtakdiketahui,xbagisetiapsegitigabersuduttegak berikut. a) x 12 cm C B A 5 cm x5 cm 13 cm P Q R MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 67 Penyelesaian : 2 2 2BC AC AB + =2 2 212 5 + = x144 252+ = x1692= x169 = xcm x 13 = b) Penyelesaian : 2 2 2MN LM LN + =2 2 212 15 x + =2 2 212 15 = x144 2252 = x812= x81 = xcm x 9 = x 15 cm 12 cm M N L MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 68 Contoh 3 : Berdasarkanrajahdibawah,PQRdanQRSadalahsegitigabersuduttegak. Cari panjang QS (bundarkan jawapan kepada 2 tempat perpuluhan). Penyelesaian : 2 2 2QR PQ PR + =2 2 25 13 QR + =2 2 25 13 = QR25 1692 = QR1442= QR144 = QRcm QR 12 = 2 2 2RS QR QS + =2 2 26 12 + = QS36 1442+ = QS1802= QS180 = QScm QS 42 . 13 = S P 13 cm 5 cm QR 6 cm MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 69 4.2MENGIRA NILAI TANGEN, SINUS DAN KOSINUS SUATU SUDUT MENGGUNAKAN TEOREM PITHAGORAS 4.2.1Trigonometri Dalam sebuah segitiga bersudut tegak, hubungan sisi-sisi dengan sudut tirus,adalah seperti berikut : Hipotenusadalahsisiyangterpanjangdanbertentangandengansudut tegak.Sisi tentangan adalah sisi yangbertentangan dengan sudut tirus, . Sisi sebelahan adalah sisi yang berada di sebelah sudut tirus, . Sin Bagi Sudut Tirus Kos Bagi Sudut Tirus Hi pot enus Tent angan Sebel ahan A Hi pot enus Tent angan C B = sin Tent angan Hi pot enus ACBC=Hi pot enus Sebel ahan A C B kos= Sebel ahan Hi pot enus ACAB= MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 70 Tan Bagi Sudut Tirus Nisbah tangen juga boleh didapati dengan mengira nisbah sin berbanding dengan nisbah kos. tanu= sisi bertentangan sisi bersebelahan sisi bertentangan =hipotenus sisi bersebelahan hipotenus Oleh itu Contoh 4 : Hitung nilai kosbagi segitiga EFG di bawah. = tanTent angan Sebel ahan ABBC= Sebel ahan A C B Tent angan 5 cm G E F 3 cm 4 cm tan = kossin

MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 71 Penyelesaian : kos = HipotenusSebelahan kos = EGFG = 53 Contoh 5 : Hitung nilai sin , kosdan tanbagi segitiga ABC di bawah. Penyelesaian : sin = Hipotenusgan Ten tan sin = ACBC = 106 = 53 kos = HipotenusSebelahan kos = ACAB = 108 = 54 tan = Sebelahangan Ten tan tan = ABBC = 86 = 43 B A C 10 cm 8 cm Hipotenus G E F Sebelahan Tentangan Tentangan B A C Sebelahan Hipotenus 6 cm MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 72 Contoh 6 : Hitung nilai kosbagi segitiga PQR di bawah. Penyelesaian : kos = HipotenusSebelahan kos = PRQR

2 2 2QR PQ PR + =2 2 212 9 + = PR144 812+ = PR2252= PR225 = PRcm PR 15 = kos = PRQR = 1512 = 54 P 9 cm QR 12cm Tentangan P QR Sebelahan Hipotenus MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 73 4.2.2Menggunakankalkulatoruntukmendapatkansinus,kosinusdan tangen Sekiranyaandatelahmemahamikonsepnisbahtrigonometriyangtelahdi terangkansebelumini,andadapatmencarinisbahtrigonometrimenggunakan kalkulator saintifik dengan senang. Kalkulator anda mempunyai kekunci sin, cos dantanpadapapankekunci.Jikaandamenggunakankekuncisin,kalkulator akanmemberinisbahsinus,kekuncicosakanmemberinisbahkosinusdan kekuncitanakanmemberinisbahtangen.Bagilebihmemahamilagidalam menggunakankalkulator,silabacamanualkalkulatordanpastikanandatelah memilih mode yang bersesuaian dengan penggunaannya. Kadangkala, nilai nilai sisi segi tiga bersudut tegak diketahui tetapi nilai sudut tidakdiketahui.Konseptrigonometrisongsangsangatpentingdalamkeadaan sedemikian.Jikaaadalahsisibertentangan,bsisibersebelahanbagisudutdan h adalah hipotenus, maka kita boleh menyatakan simbol songsangan seperti berikut :- Anda boleh mencari songsangan bagi nisbah fungsi trigonometri dengan menggunakan kalkulator. Untuk membuktikan kenyataan ini gunakan kalkulator anda bagi menyelesaikan nilai nilai berikut :- SimbolDi sebut sebagai =sin-1 ha Songsangan bagi sinus =kos-1 hb Songsangan bagi kosinus =tan-1 ba Songsangan bagi tangen MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 74 sin = 0.5 =sin-1 (0.5)=30o Hanya tekan kekunci di kalkulator anda Contoh 1: Dengan menggunakan kalkulator dapatkan nilai-nilai yang berikut: a) kos = 0.62 =kos-1 (0.62)=51.684o b)tan = 1.5=tan-1 (1.5) =56.309o Contoh 2 : Tentukannilai-nilaibagisetiapfungsitrigonometriberikut.Bundarkanjawapan kepada 4 tempat perpuluhan. a) 30 sin = 0.5 b) 30 kos = 0.8660254038 = 0.8660 c) 30 tan = 0.5773502692 = 0.5774 d) 135 sin = 0.7071067812 = 0.7071 e) 150 kos = -0.8660254038 = 0.8660 f) 308 tan = -1.279941632 = -1.2799 MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 75 4.3KENALPASTI GRAF SINUS, KOSINUS DAN TANGEN TRIGONOMETRI 4.3.1Graf sin 4.3.2Graf kos 00900180027003600 sin 010-10 00900180027003600 kos 10-101 90027001800 3600 y y = sin MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 76 4.3.3Graf tan 00300600900120015001800 tan 00.5771.732-1.732-0.5770 900270018003600 y y = kos 90027001800 y y = tan MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 77 4.4SELESAIKAN MASALAH YANG MELIBATKAN TRIGONOMETRI Contoh 1: Berpandukan segitiga PQR di bawah, diberi = 40dan panjangQR = 12 cm. Cari panjang PQ dan PR. Penyelesaian : tan 40 = 12 PR PR= (12) tan 40 =14.30 cm maka : PQ2=PR2 + QR2 = (14.30 x 14.30) + (12.0 x 12.0) =348.49 PQ=18.67 cm

Contoh 2: Berdasarkanrajahdibawah,dapatkansin,kosdantanbagisekiranya adalah bersamaan dengan o30 Q P R 30 2 1 C 2 BR A MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 78 Penyelesaian : Sin u= TentanganHipotenus sin= ABAC = 21 kos u=SebelahanHipotenuskos= ABCB = 12 tan u= TentanganSebelahan tan= CBAC = 21 Contoh 3: Berdasarkan gambarajah di bawah; Diberi nilai sin = 138; a. Cari panjang sisi QR. b. Cari nilai kos dan tan . R QP MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 79 Penyelesaian : a. Cari panjang sisi QR. sin = HipotenusTentangan = PRPQ

Diberi sin = 138; maka PQ = 8 dan PR = 13; QR2= PR2 PQ2 QR2= 132 82 QR2= 169 64 QR2 = 85 QR=85 QR= 9.22 b. Cari nilai kos dan tan . kos = HipotenusSebelahan = PRQR

kos = 1322 . 9 = 0.709 tan = SebelahanTentangan = QRPQ

tan = 22 . 98 = 0.868 Sebelahan Tentangan Hipotenus R QP MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 80 Contoh 4 : Rajah di bawah menunjukkan sebuah tangga 20m panjang tersandarpada sebuah dinding 12m tinggi. Jika kaki tangga itu berada9m daridinding kira berapakah panjang tangga yang melepasi dinding itu? Penyelesaian : AC = AD + CD = 9 + 12 = 81 + 144 = 225 AC =225= 15 m Panjang tangga yang melepasi dinding, BC = AB AC = (20 - 15) m = 5 m 20m B C 12m A9mD MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 81 Latihan. 1.Kirakan nilai-nilai berikut: a. sin 30 b. sin 170 c. sin (-70)d. kos 100 e. kos 1000 f.tan 75 g. tan (-100) h. tan 285 2.Tapak bagi satu segitiga kaki sama ialah 10 cm dan sisinya yang samaialah 15 cm. Kira a.Tinggi tegaknya, dan b.Ketiga-tiga sudut segitiga itu. 3.Kirakan panjang sisi-sisi yang bertanda x dalam rajah berikut: a. b. 5 cm G E F x cm 400 B A C x 9 cm 260 MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 82 RUJUKAN : 7.Ibrahim bin Samad, Matematik untuk Juruteknik Elektrik Jilid 1, DBP 1988. 8.Jasbir Kaur dan Sim I- Jee, Aset Peperiksaan Matematik, Longman 2000, ISBN 9837415622 9.AngSiewLing,MatematikTambahan,PanAsiaPublication1995,ISBN 9838142239 10. Nota Matematik Politeknik Malaysia. 11. Lim Swee Hock, Matematik SPM, Fajar Bakti Sdn. Bhd., 1999 12. Yoong Kwee Soon, Yang Chor Chaw, Khoo Choong Quan, Matematik SPM 4&5, Sasbadi Sdn. Bhd., 2005 MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 83 INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTER SUBJEK UMUM - MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 KOD DAN NAMA MODUL MK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE5NOMBOR KOMPLEKS NO. TUGASAN BERKAITAN 5.1NOMBOR KOMPLEKS DAN NOMBOR KOMPLEKS KONJUGAT5.2SELESAIKAN OPERASI NOMBOR KOMPLEKS 5.3KENALPASTI DAN FAHAM GAMBARAJAH ARGAND

OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO) JELASKAN KONSEP NOMBOR KOMPLEKS DAN OPERASI NOMBOR KOMPLEKS SUPAYA PELAJAR BOLEH : 1.MENGENALPASTINOMBORKOMPLEKSDANNOMBOR KOMPLEKS KONJUGAT 2.MENYELESAIKANOPERASIPENAMBAHAN,PENOLAKAN, PENDARABANDANPEMBAHAGIANBAGINOMBOR KOMPLEKS 3.MENDAPATKANMODULUSDANHUJAHBAGINOMBOR KOMPLEKS 4.MENYATAKANNOMBORKOMPLEKSDALAMGAMBARAJAH ARGAND OBJEKTIF MEMBOLEH (EO) DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH : MEMAHAMIDANMENYELESAIKANMASALAHMATEMATIKYANG MELIBATKAN NOMBOR KOMPLEKS MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 84 5.1 NOMBOR KOMPLEKS DAN NOMBOR KOMPLEKS KONJUGAT 5.1.1Nombor Kompleks -Nombor kompleks ditakrifkan sebagai nombor yang mempunyai bentukbi a +dimana a dan b adalah nombor nyata dan i =-1. -Suatu nombor kompleks terdiri daripada dua bahagian : a)aialah bahagian nyata b)biialah bahagian khayalan -PERHATIAN :, 12 = i Contoh Tuliskan yang berikut dalam bentuk nombor kompleksbi a + : (i)9 (ii)4 3 + (iii)36 5 + Penyelesaian : (i)9 9 1 =i 3 = (ii)4 1 3 4 3 + = + i 2 3 + = (iii)36 1 5 36 5 + = +i 6 5 + = Soalan Ungkapkan yang berikut dalam bentukbi a +: a)64 b)9 2 + c)12 4 + d)7 9 MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 85 5.1.2Nombor Kompleks Konjugat -Jika nombor kompleksbi a z + =, nombor kompleks konjugat bagi z ialahbi a z =- -Hasil darab dua nombor kompleks konjugat ialah satu nombor nyata. ) )( ( * bi a bi a zz + =

2 2 2i b abi abi a + =

2 2b a + =-PERHATIAN : Perwakilanzjuga boleh digunakan untuk mewakili konjugat nombor kompleks bagi z Contoh Dapatkan nombor kompleks konjugat bagi yang berikut : (i)i z + = 2 (ii)i z 5 3 + = (iii)i z 2 1 = Penyelesaian : (i)i z + = 2 i z = 2 (ii)i z 5 3 + = i z 5 3 * = (iii)i z 2 1 = i z 2 1 * + = Soalan Nyatakan nombor kompleks konjugat bagi yang berikut : a)i z 3 9 + = b)i z 1223+ =c)i z215 = d)i z = 1 MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 86 5.2SELESAIKAN OPERASI NOMBOR KOMPLEKS 5.2.1Penambahan ) ( ) ( di c bi a + + +i d b c a ) ( ) ( + + + = Contoh : ) 5 ( ) 3 2 ( i i + + +i ) 1 3 ( ) 5 2 ( + + + =i 4 7 + = 5.2.2Penolakan ) ( ) ( di c bi a + +i d b c a ) ( ) ( + = Contoh : ) 3 2 ( ) 4 3 ( i i + +i ) 3 4 ( ) 2 3 ( + =i + =1 5.2.3Pendaraban ) )( ( di c bi a + +2bdi bci adi ac + + + =bd bci adi ac + + =i bc ad bd ac ) ( ) ( + + = Contoh : ) 5 )( 3 2 ( i i + +) )( 3 ( ) 5 )( 3 ( ) )( 2 ( ) 5 )( 2 ( i i i i + + + =23 15 2 10 i i i + + + =3 15 2 10 + + = i i) 15 2 ( ) 3 10 ( i i + + =i 17 7 + = 12 = i MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 87 5.2.4Pembahagian -Pembahagian suatu nombor kompleks dengan suatu nombor kompleks boleh dilakukan jika penyebut (atau pembahagi) dijadikan sebagai suatu nombor nyata. -Untuk menjadikan penyebut (atau pembahagi) sebagai nombor nyata , darabkan pengangka dan penyebut dengan konjugat nombor kompleks bagi penyebut (atau pembahagi). ) () () () () () (di cdi cdi cbi adi cbi a++=++ 2 2 22i d cdi cdi cbdi bci adi ac + + =2 22d cbdi bci adi ac+ + =2 2) ( ) (d ci ad bc bd ac+ + += Contoh :

) 5 () 5 () 5 () 3 2 () 5 () 3 2 (iiiiii++=++ i i ii i i + + =5 5 253 15 2 102 1 253 13 10+ + +=i 2613 13 i +=i26132613+ =i2121+ = Soalan Diberi : i P 4 2 + =i Q 2 5 =i R = 3i S 5 1+ = Darabkan pengangka dan penyebut dengan nombor kompleks konjugati 5) )( ( ) )( 5 ( ) )( 5 ( ) 5 )( 5 () )( 3 ( ) 5 )( 3 ( ) )( 2 ( ) 5 )( 2 (i i i ii i i i + + =12 = i MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 88 Cari :a)P+Q b)R+S c) Q-R d)3Q e)SQ f) PQ 5.3KENALPASTI DAN FAHAM GAMBARAJAH ARGAND 5.3.1 Gambarajah Argand -Gambarajah Argand ialah perwakilan satah suatu nombor kompleks oleh satu titik dengan koordinat (a,b) pada satah koordinat. -Dalam gambar rajah Argand, paksi-x mewakili nombor nyata manakala paksi-y mewakili khayalan. Oleh itu, paksi-x juga dikenal sebagai paksi nyata, manakala paksi-y dikenal sebagai paksi khayalan. Rajah 1 a b P (a, b) x y MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 89 Contoh Plotkan setiap yang berikut pada gambarajah Argand : a)i z 3 2 + = b)i z + = 3 Penyelesaian : a)i z 3 2 + = b)i z + = 3

1 -3 (-3, 1) 2 3 (2, 3) MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 90

Soalan Plotkan setiap yang berikut pada gambarajah Argand: a)i z + = 5 b)i z 9 2 + = c)i z 5 3 = d)i z 2 1 = 5.3.2Modulus dan Hujah Nombor Kompleks Modulusbagi suatu nombor kompleks,, yi x z + = ditulis sebagaiz ialah jarak/panjang titikPdariasalanO(nilaimodulussentiasapositif).Jarak,rdiperolehdengan menggunakan teorem Pithagoras, iaitu

2 2y x r z + = =

Rajah 2 Olehkerana, *2 2y x zz + = maka 2* z zz = .Hujahnomborkompleks, yi x z + =ditulis sebagai huj z, ialah sudut yang dicangkum oleh garis OP dengan paksi-x (atau paksi nyata). Sudut dinyatakan dalam radian, iaitu . s < x P(x , y) r y x y MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 91 Daripada rajah 2, |.|

\|= ==xyz hujxy1tantan

Contoh Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks yang berikut : (i)i z 4 3 + = (ii)i z 2 4 + = (iii)i z = 5 Penyelesaian : (i)i z 4 3 + = 2 24 3 + = =z z Modulus 16 9 + =25 =5 = |.|

\|= =34tan1z huj z Hujahradian 93 . 0 = (ii)i z 2 4 + = 2 22 ) 4 ( + = =z z Modulus 4 16 + =20 = |.|

\|= =42tan1z huj z Hujah radian 46 . 0 =JikaR y x yi x z e + = ,2 2y x r z z Modulus + = = = |.|

\|= =xyz huj z Hujah1tan MK2011-LE5-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 92 (iii)i z = 5 2 2) 1 ( ) 5 ( + = =z z Modulus 1 25 + =26 = |.|

\|= =51tan1z huj z Hujahradian 20 . 0 = Soalan Dapatkan modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks yangberikut : a)i z + =1 b)i z 12 5 + = c)i z = 2 d)i z 5 3 = RUJUKAN : 1.Tey Kim Soon,Tan Ah Geok, Goh Choon Booy, MATEMATIK STPM ( Matematik S & Matematik T Kertas 1 ), Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd., ISBN 983 50 3485 0 2.Quek Suan Goen, Leng Ka Man, Yong Ping Kiang, Pasport Kecemerlangan STPM ( Matematik T ), Penerbitan Federal Publications, ISBN 983 58 0610 03.pptnotes.ump.edu.my, Nombor Kompleks, 01 Jun 2010, 10 p