LAPORAN PRAKTIKUM IIUJI HIPOTESIS NILAI TENGAH DAN PROPORSI SATU

POPULASI

Oleh :

NAMA : HIDAYATI INDAH RUKMANA NIM : 125090501111008TANGGAL : 17 APRIL 2013ASISTEN I : ASHARINA DWI PARAMITAASISTEN II : DIAN SUCI RACHMAWATI

LABORATORIUM STATISTIKAPROGRAM STUDI STATISTIKA

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUA ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYAMALANG

2013

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangStatistika merupakan ilmu yang mendasari pengambilan

keputusan berdasarkan data yang ada. Keputusan yang diambil tentunya sudah melalui hasil analisis dari data yang dianggap bisa mewakili suatu objek pengamatan atau observasi. Dalam sebuah pengamatan digunakan istilah Hipotesis atau dugaan awal (sementara) sebelum memperoleh kesimpulan berdasarkan data yang dimiliki.

Setiap mengambil keputusan pasti akan ada sebuah resiko. Meskipun keputusan yang kita ambil berdasarkan fakta yang telah tersedia dan dapat dipercaya kebenarannya, namun mungkin saja ada faktor lain yang merubah kondisi pada saat ini dan faktor tersebut tidak kita pertimbangkan sebelumnya.

Uji hipotesis dalam statistika bisa dilakukan dengan uji populasi, dimana dalam pengujian tersebut akan diuji parameter populasi yang melibatkan nilai tengah (µ), ragam ¿¿), atau proporsi(ρ).

Dalam praktikum ini praktikan akan dilakukan pengujian hipotesis satu populasi terhadap nilai tengah dan terhadap proporsi.

1.2 Tujuana) Mengetahui bagaimana cara menyusun hipotesis satu populasi

dengan hipotesis satu sisi (baik sisi kanan maupun sisi kiri) dan hipotesis dua sisi serta membuktikan apakah hipotesis tersebut didukung atau tidak oleh data hasil pengamatan,

b) Menghitung statistik uji yang tepat berdasarkan parameter yang diuji dan didasarkan pada data hasil pengamatan terhadap sampel untuk menentukan hipotesis yang akan diterima (H0 atau H1).

c) Mencari nilai kritis dari tabel statistik yang sesuai dengan taraf nyata yang dipilih atau menghitung nilai p-value yang

bersesuaian dengan statistik uji yang diperoleh kemudian membandingkan dengan nilai α .

d) Mencari selang kepercayaan 1 arah atau 2 arah bagi µ untuk

menentukan apakah μ0 berada dalam selang atau tidak sehingga

dapat membuat keputusan untuk menolak atau menerima H 0.

e) Mengambil keputusan berdasarkan nilai statistik uji dan nilai kritis serta menyimpulkan hasil yang diperoleh.

BAB IITINJAUAN PUSTAKA

Hipotesis statistik merupakan suatu pernyataan tentang probabilitas dari suatu distribusi populasi yang mungkin saja dalam pengamatan (kenyataanya) dapat betul atau mungkin juga salah. Hipotesis yang diformulasikan dengan harapan ditolak maka dapat

dinamakan sebagai hipotesis nol (H 0 ¿, dengan menolak (H 0 ¿ berarti

akan menerima suatu hipotesis alternatif atau tandingan. (supranto,2001)

Untuk melakukan pengujian secara statistik, kita harus

menyatakan hipotesis nol (H 0 ¿ dan alternatifnya (H 1 ¿ terlebih dahulu.

Untuk sebaran normal, kita mempunyai gugus statistik uji yang sudah secara langsung dikaitkan dengan peluang. Ada tiga cara untuk menguji hipotesis, yaitu dengan membandingkan nilai statistik uji dan nilai kritis sebaran, dengan menggunakan nilai P, dan selang kepercayaan (Yitnosumarto, 1990).

A. Uji menyangkut satu rataan Untuk menghitung nilai statistik uji jika ragam populasi tidak

diketahui adalah

t hit =|x−μ|s /√n

Keputusan:

Jika H 1: μ>μ0, maka keputusan tolak H 0 saat nilai statistik uji > nilai

taraf nyata (α) begitu sebaliknya.

Jika H 1: μ<μ0, maka keputusan tolak H 0 saat nilai statistik uji < nilai

taraf nyata (α) begitu sebaliknya.

Jika H 1: μ ≠ μ0, maka keputusan tolak H 0 saat nilai statistik uji > nilai

taraf nyata (α) begitu sebaliknya.

Untuk menghitung p value

H 1: µ < μ0

P{(t n−1) ≤ statitik uji}

Terima H 0 bila statistik uji lebih besar sama dengan -t α (n−1¿)¿

Tolak H 0bila statistik uji kurang dari -t α (n−1¿)¿

H 1:µ > μ0

P{(t n−1) ≥ statitik uji}

Terima H 0 bila statistik uji kurang dari sama dengan t α (n−1¿)¿

Tolak H 0bila statistik uji lebih dari t α (n−1¿)¿

H 1:µ ≠ μ0

2P {(t n−1) ≤- statitik uji}

2P {(t n−1) ≥ statitik uji} (supranto,2001)

Untuk menghitung selang kepercayaan Selang kepercayaan 1 arah

Jika H 1: μ>μ0 maka

y− t∝(n−1)s

√n

Jika H 1: μ<μ0 maka

y+t∝(n−1 )s

√n

Selang kepercayaan dua arah

y - t ∝2

(n−1) s

√n ≤μ0 ≤ y + t ∝

2(n−1)

s

√n

”menolak H 0bila μ0 tidak di dalam selang kepercayaan,

menerima H 0 bila μ0 berada di dalam selang kepercayaan”.

(Walpole,1995)

B. Uji menyangkut proporsiAkan diuji hipotesis nol H0 bahwa p = p0 , bila p parameter

distribusi binomial tersebut. Hipotesis tandingan mungkin salah satu dari : p < p0 , p> p0, atau p ≠ p0.

Satistik uji,

Zhit= p̂−p

√ p(1−p)n

p̂ = proporsi sukses dari sampel

p̂= xn

x = jumlah sukses

n = banyaknya sampel

I. H0 : µ = µ0 Apabila Zhit > Zα ,H0 ditolak.Ha : µ > µ0 Apabila Zhit ≤ Zα , H0 diterima.

II. H0 : µ = µ0 Apabila Zhit < -Zα , H0 ditolak.Ha : µ > µ0 Apabila Zhit ≥ -Zα ,H0 diterima.

III. H0 : µ = µ0 Apabila Zhit > Zα2 atau Zhit < -Z

α2 , H0 ditolak.

Ha : µ ≠ µ0 Apabila - Zα2 ≤ Zhit ≤ Z

α2

,H0 diterima.

Dengan Pi-ValueI. H0 : µ = µ0 dan Ha : µ > µ0

P (Z > Zhit) > P (Z > Za) , H0 diterimaP (Z > Zhit) < P (Z > Za) , H0 ditolak

II. H0 : µ = µ0 dan Ha : µ < µ0

P (Z < -Zhit) > P (Z < -Za) , H0 diterima

P (Z < -Zhit) < P (Z < -Za) , H0 ditolak

III. H0 : µ = µ0 dan Ha : µ ≠ µ0

2P(Z>Zhit) > P(Z > Za) atau 2P(Z < -Zhit) > P(Z < -Za), H0

diterima

2P(Z>Zhit) < P(Z > Za) atau 2P (Z > -Zhit) < P (Z > Za), H0

diterima.

Dengan Selang KepercayaanI. H0 : p = p0 dan Ha : p > p0

P( p−Zα √ pqn

≤ p)=1−α

II. H0 : p = p0 dan Ha : p < p0

P( p≤ x+Zα√ pqn )=1−α

III. H0 : µ = µ0 dan Ha : µ ≠ µ0

P( p−Zα √ pqn

≤ p≤ p+Zα√ pqn )=1−α

Berdasarkan hasil tersebut, Jika p0 berada dalam selang kepercayaan maka diambil keputusan menerima H0 dan jika p0 tidak berada dalam selang kepercayaan maka diambil keputusan menolak H0

(Supranto, 2001).

BAB IIIMETODOLOGI

Langkah-langkah pengujian hipotesis nilai tengah satu populasi dengan ragam populasi tidak diketahui (σ2) menggunakan GenStat adalah sebagai berikut:H 0: µ= 2

H1: µ> 21. Penyajian data

Buka Genstat. Klik speread > New > Create

Isi Rows dengan 20. Isi colums dengan banyaknya variable yaitu 1. Beri centang pada set as active sheet. Klik OK.

Masukkan data. Untuk mengganti nama C1 yaitu dengan cara klik kanan pilih Rename, Ganti C1 dengan pertumbuhan berat rata-rata perminggu kemudian OK.

2. Cari nilai rata-rata dan simpangan baku. Klik sats > summary statistics > summarize cotents of variates.

Klik 2 kali pada pertumbuhan berat rata-rata perminggu. Beri centang pada Arithmetic Mean, variance, standard deviation. Klik Run.

Kemudian hasil akan muncul di output.

3. Pengujian a. Dengan statistik uji t

Cari nilai statistic uji t. stat > statistical test > one- and two-sample t-test

Klik 2 pada pertumbuhan berat rata-rata perminggu. Isi test mean 2, tulis confident limit (%) dengan 95. Pilih type of test one-side (y>mean). Run. Kemudian hasil akan muncul di output.

Atau dengan menggunakan cara lain.

Data > calculation

Tulis perhitungan statistik uji t. Beri centang pada print in output.run.

Hasil dapat dilihat di output.

b. Mencari titik kritis untuk (α = 0.05)Mencari titik kritis yaitu data >calculation >fuction. Kemudian akan muncul kotak dialog seperti berikut:

Pada Function Class, pilih inverse Probability. Pada Function, pilih t distribution . Kemudian tulis nilai cumulative probability 0.95 , degrees of freedom 19. Klik OK.

Lalu centang print in output > run. Hasil akan muncul di output

c. Mencari P-value dengan menggunakan statistic uji.Klik Data > Calculations > Functions.

Pada Function Class, pilih Upper Tail Probability. Pada Function, pilih t-distribution. pada X yaitu sebesar 3.94 , tulis degrees of freedom 1. OK

Lalu muncul jendela seperti berikut > run. Hasil dapat dilihat di output.

Atau dengan cara lain yaitu. Data> probability calculation.

Kemudian akan muncul jendela seperti berikut. Pada parameters of distribution masukkan 0 pada mean, 1 pada standard deviation dan 19 pada degrees of freedom, menu calculation pilih cumulative upper probability, kemudian pada x deviate masukkan nilai statistic uji yaitu 3.94. kemudian klik run.

Hasil dapat di lihat di output

d. Selang kepercayaan 1 arah bagi µ dengan α = 0.05Klik data>calculation

Kemudian masukkan y , t α (n−1), dan s

√n sesuai dengan rumus yang

telah ada > run

. Hasil dapat dilihat di output.

Langkah-langkah pengujian hipotesis proporsi satu populasi menggunakan Genstat adalah sebagai berikut :

H0 : p = 0.25H1 : p > 0.25

1. Transformasi data, nilai yang lebih dari 2,3 diberi bobot 1 (sukses) sedangkan tinggi yang kurang dari 2,3 diberi bobot 0 (gagal). Klik Data > Calculation. Diperole kotak dialog sebagai berikut:

Klik 2 kali pada Pertumbuhan berat rata-rata perminggu, kemudian klik tanda (>) dan tulis 2.3. Beri tanda centang pada Variates, masukkan Pertumbuhan berat rata-rata pada Save Result In, beri tanda centang pada Print in Output, beri tanda centang pada Display In Spreadsheet dan pilih [Book;1]Sheet1. Kemudian klik Run, sehingga diperoleh spreadsheet sebagai berikut:

2. Kriteria pengujian.Untuk mengetahui nilai penduga dari proporsi (ṕ), klik Stats > Statistical Tests > One- and two-sample Binomial Tests.

Diperoleh kotak dialog sebagai berikut:

Pilih One-sample pada Test, masukkan petumbuhan berat rata-rat ke Sample set, masukkan nilai proporsi awal sebesar 0.25 ke dalam Proportion of Success, gunakan Confidence Limit (%) sebesar 95, pilih Data sets pada Data Arrangement, karena data tersaji pada spreadsheet, pilih Exact test pada Method, pilih one sided p1>p2 pada type of test. klik run.

a) Membandingkan statistik uji Z dengan titik kritis.o Cari nilai statistik uji Z. Klik Data > Calculations. Kemudian

muncul kotak dialog sebagai berikut.Tulis perhitungan statistik uji Z pada tempat yang disediakan untuk menulis formula kalkulasi. Pastikan pada Available Data terdapat centang pada Variates. Beri centang pada Print in Output. Klik OK. Hasil dapat dilihat di output.

o Cari nilai titik kritis Z. klik Data>calculation.

Kemudian muncul kotak dialog sebagai berikut

Lalu klik functions, dan akan muncul kotak dialog berikut:

Pada Function Class, pilih Inverse Probability. Pada Function, pilih Normal. Kemudian, tulis 0.95 pada Cumulative Probability, tulis 0 sebagai nilai tengah sebaran Z pada Mean, dan tulis 1 sebagai ragam sebaran Z pada Variance. Klik OK. Kemudian muncul kotak dialog sebagai berikut:

Klik Run. Hasil dapat dilihat di output

b. p-valueMencari p-value , Klik Data > Calculations > Functions.

Pada Function Class, pilih Upper Tail Probability. Pada Function, pilih Normal. Kemudian tulis nilai statistik uji Z pada X yaitu sebesar 0.5164 , tulis 0 sebagai nilai tengah sebaran Z pada Mean, dan tulis 1 sebagai ragam sebaran Z pada Variance. Klik OK.

Klik ok. Maka akan muncul jendela seperti berikut >run

c. Dengan selang kepercayaan 95% untuk proporsi.

Mencari selang kepercayaan. Klik Data > Calculations > Functions.

Masukkan p̂ , p0 ,q0 , dan n sesuai dengan rumus yang sudah ada

Setelah itu centang Display in Output. Kemudian klik Run.Kemudian hasilnya akan muncul pada Output.

BAB IVPEMBAHASAN

Pertumbuhan berat badan tubuh sapi sangat di pengaruhi tidak saja oleh banyaknya makanan hijau yang diberikan tetapi juga oleh kualitas makanan tersebut. secara rat-rata diketahui bahwa pertumbuhan berat sapi 2 kg/minggu. Untuk mengetahui apakah pertumbuhan berat merata sepanjang 1 tahun, selama musim penghujan dilakukan pengukuran terhadap 20 ekor sapi umur 1 tahun yang dipilih secara acak dan diperoleh pertumbuhan berat rata-rata perminggu sebagai berikut (dalam kg)

1.9 2.5 2.2 2.4 2.0 2.3 2.2 2.1 1.8 2.4

2.6 2.0 2.3 2.2 1.9 2.4 2.6 2.2 2.0 2.1

1a) Dengan α = 0.05, tentukan apakah pertumbuhan berat badan tersebut naik perminggunya! (menggunakan statistik uji dan p-value).

b) Tentukan selang kepercayaan 95% bagi µ.

2a) Dari data di atas ujilah apakah proporsi berat badan sapi yang lebih 2.3 kg adalah lebih dari 25%! (menggunakan statistik uji dan p-value)

b) tentukan selang kepercayaan 95% bagi µ.

Jawab :1a) H0 : µ = 2

H1 : µ > 2

Cara Manual

y=∑i=1

20

Yi

n=44.1

20=2.205

S2=∑i=1

20

Y i2−

(∑i=1

20

Y i)2

nn−1

¿98.27−

(44.1)2

2020−1

¿0.0542

S=√S2=√0.0542=0.233

Genstat

statistic ujikarena ragam tidak diketahui maka menyebar mengikuti sebaran t dengan derajat bebas (n-1) dan membandingkannya dengan titik kritis (α = 0.05).

Jika H 0 benar,

y−μ0

s√n

t (n−1)

2.205−20.2328

√20

t (n−1 )

3.94 t(19)

Cara Genstat

Titik kritis

Cara Manual untuk mencari titik kritis yaitu dengan cara melihat Tabel

t 0.05(19) = 1.729

Cara Genstat

Keputusan : Karena nilai statistik uji lebih besar dari nilai α yaitu 3.94>1.729 sehingga statistik uji berada pada daerah penolakan H0 maka TOLAK H0

Mencari P-Value Cara Manual

P−Value=P ( t(n−1)>3.94 ) ¿0.0004394

Cara Genstat

Keputusan : Karena p-value lebih kecil dari nilai taraf nyata (α) maka TOLAK H0.

b) Mencari selang kepercayaan bagi µ dengan α = 0.05

Cara Manual

y− t∝(n−1)s

√n

2.205−1.7290.2328

√202.205−0.0899(2.115)

Cara Genstat

Cara 1

95% one-sided confidence interval for mean: (2.115, ...)

Cara 2

Keputusan : Karena μ0 yaitu 2 berada di luar selang setengah

terbuka yaitu antara 2.115 ke atas maka TOLAK H0.

Kesimpulan: Dengan 3 kriteria pengujian yang telah di lakukan yaitu dengan cara pendekatan titik, membandingkan dengan P-Value dan dengan selang kepercayaan maka dapat disimpulkan

bahwa bukti sangat kuat untuk menyatakan bahwa rata-rata berat badan sapi naik per minggunya atau lebih besar dari 2 kg.

2 H0 : p = 0.25

H1 : p > 0.25

Transformasi data ke dalam bentuk data binomial, nilai yang lebih dari 2,3 diberi bobot 1 (sukses) sedangkan tinggi yang kurang dari 2,3 diberi bobot 0 (gagal).

1.9 2.5 2.2 2.4 2.0 2.3 2.2 2.1 1.8 2.4

2.6 2.0 2.3 2.2 1.9 2.4 2.6 2.2 2.0 2.1

Cara Manual

Karena yang ingin di uji adalah proporsi berat badan sapi yang lebih dari 2.3 kg maka berat badan sapi yang lebih dari 2.3 kg di anggap sukses sedangkan yang kurang dari 2.3 kg di anggap gagal

0 1 0 1 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 1 0 0 0

Kemudian di cari p̂Y = 6 ( banyaknya sukses)

p̂=Yn= 6

20=0.3

Cara Genstat

One-sample binomial testSummary

Sample Size Successes Proportion20 6 0.3

Test of null hypothesis that proportion is not greater than 0.2500 Exact probability = 0.383

95% confidence interval for proportion: (0.1189, 0.5428)

a) Mencari statistik uji yang menyebar mengikuti sebaran Z dan membandingkannya dengan titik kritis (α = 0.05). Cara Manual

Jika H 0 benar,

p̂−p0

√ p0 q0

n

Z

0.3−0.25

√ 0.25 ×0.7520

Z

0.5164 Z

Cara Genstat

Cara Manual untuk mencari titik kritis yaitu dengan cara melihat Tabel

t 0.05(19) = 1.645

Cara Genstat

Keputusan : Karena nilai statistik uji lebih kecil dari nilai α yaitu 0.5164<1.645 sehingga statistik uji berada pada daerah penerimaan H0 maka TERIMA H0

Mencari P-Value Cara Manual

P−Value=P (Z>0.5164 )

¿0.302

Cara Genstat.

Keputusan : Karena nilai-p atau p-value lebih besar dari nilai taraf nyata (α) maka TERIMA H0.

b. Mencari selang kepercayaan bagi µ dengan α = 0.05.

Cara Manual

p̂−Z∝√ p0 q0

n

0.3−1.645√ 0.25 ×0.7520

0.3−1.645 ×0.09680.3−0.1592(0.1407)

Cara Genstat

Keputusan : Karena p0 yaitu 0.25 berada di dalam selang

setengah terbuka yaitu antara 0.1407 ke atas maka TERIMA H0.

Kesimpulan: Dengan 3 kriteria pengujian yang telah di lakukan yaitu maka dapat disimpulkan bahwa belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa rata-rata berat badan sapi yang lebih dari 2.3 kg proporsinya lebih dari 25%.

BAB VPENUTUP

5.1 Kesimpulan

1. Dari soal pertama: Dengan 3 kriteria pengujian yang telah di lakukan yaitu dengan cara pendekatan titik, membandingkan dengan P-Value dan dengan selang kepercayaan maka dapat disimpulkan bahwa bukti sangat untuk menyatakan bahwa rata-rata berat badan sapi naik perminggunya atau lebih besar dari 2 kg.

2. Dari soal kedua: Kesimpulan: Dengan 3 kriteria pengujian yang telah di lakukan yaitu dengan cara pendekatan titik, membandingkan dengan P-Value dan dengan selang kepercayaan maka dapat disimpulkan bahwa belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa rata-rata berat badan sapi yang lebih dari 2.3 kg proporsinya lebih dari 25%..

5.2 Saran

1. Dalam memproses data jangan lupa mengklik Print in Output sebelum klik Run karena apabila lupa maka hasil tidak akan muncul di output

2. Dibutuhkan ketelitian dalam memasukkan data atau rumus, kesalahan sedikit maka hasil tidak akan muncul di output atau error.

DAFTAR PUSTAKA

Walpole, Ronald.E.1995. Pengantar Statistika Edisi ke-4. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.

Ir.Yitnosumarto, suntoyo.1990.Dasar-Dasar Statistika.Jakarta: Rajawali

Walpole, Ronald.E dan Myers, Raymond.H.1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuan Edisi ke-3. Bandung: ITB

Supranto, J. 2001. Pengantar Statistika dan Peluang. Jakarta : CV. Rajawali