1 MatematikaKelasXSetelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. menjelaskankonsep,menentukanunsur-unsur,danmenyusunpersamaankuadrat;2. menjelaskankonsep,menentukanunsur-unsur,danmenyusunfungsikuadrat;3. menggambar,membuatsketsa,danmenganalisisgrafikfungsikuadrat;4. menyusunmodelmatematikadarimasalahyangberkaitandenganpersamaandanfungsikuadrat;5. menerapkankonseppersamaankuadratdanfungsikuadratdalammemecahkanmasalahnyata.Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik memiliki sikap teliti, cermat, kritis, bertanggung jawab,konsistendanjujursertamenerapkannyadalamkehidupansehari-hari.PersamaanKuadratPersamaandanFungsiKuadratNilaiDiskriminan,RumusJumlah,danHasilKaliAkar-AkarsertaMenyusunPersamaanKuadratjikaDiketahuiAkar-akarnyaFungsiKuadrat Mendeskripsikanpersamaankuadratmelaluikegiatandiskusi. Mengamatilangkah-langkahmenentukanpenyelesaianper-samaankuadratdengancaramemfaktorkan,melengkapkankuadrat sempurna, dan mengguna-kanrumusabc. Membuktikanrumusabc. Mengamatilangkah-langkahmenentukanpenyelesaianper-tidaksamaankuadrat. Melakukankegiatanmenyelesai-kanpermasalahanyangberkaitandenganpersamankuadrat. Menemukanhubunganbanyakpenyelesaianpersamaankuadratdengannilaidiskriminandenganmengamatitabel. Menemukanrumusjumlahdanhasilkaliakar-akarpersamaankuadratdenganmengamatitabel. Menyusun persamaan kuadrat jikadiketahuiakar-akarnya. Membuktikanrumusjumlahdanhasilkali,danselisihakar-akarpersamaan kuadrat secara aljabar. Menemukan hubungan antaranilaidiskriminanpersamaankuadratax2 + bx + c = 0 dengan jenis-jenisakarnya. Mendeskripsikanfungsikuadrat. Menentukanunsur-unsurfungsikuadrat. Menggambargrafikfungsikuadrat Menyusunpersamaanfungsikuadratjikadiketahuiunsur-unsurnya. Menemukanhubunganantarapersamaankuadratdanfungsikuadrat. Menemukanhubunganantaraperubahannilaia,b,dancpadafungsi kuadrat y = ax2 + bx + c danperubahangrafiknya. Memilikisikapteliti,cermat,kritis,bertanggungjawab,konsisten,danjujursebagaihasilmempelajarimateripersamaandanfungsikuadrat. Mampumenerapkankonseppersamaandanfungsikuadratdalammenyelesaikanmasalahnyata. Mampumenentukanpenyelesaianpersamaankuadrat. Mampumembuatsketsagrafikfungsikuadrat. Mampumembuatmodelmatematikadaripermasalahannyatayangberkaitandenganpersamaankuadratataufungsikuadratdanmenyelesaikannya. Mampumenyusunpersamaankuadratdanfungsikuadratjikadiketahuiunsur-unsurnya.2 Persamaan dan Fungsi KuadratJawaban: aUntukmenentukanpenyelesaianpersamaankuadrat tersebut menggunakan cara melengkapkankuadratsempurna,keduaruaspersamaanditambah dengan kuadrat dari 12 koefisien x, yaitu(12 (12))2.Jawaban: a20x2 13x + 2 = 0= (5x 2)(4x 1) = 0= 5x 2 = 0 atau 4x 1 = 0= 5x = 2 atau 4x = 1= x = 25 atau x = 14Jadi, penyelesaian dari 20x2 13x + 2 = 0 adalahx = 25 atau x = 14.A.Pilihan Ganda1. 2.3.4. 5. Jawaban: cx2 5x 24 = 0= (x 8)(x + 3) = 0= x 8 = 0 atau x + 3 = 0= x = 8 atau x = 3Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x2 5x 24 = 0adalah x = 3 atau x = 8.Jawaban: d2x2 13x 7 = 0= (2x + 1)(x 7) = 0= 2x + 1 = 0 atau x 7 = 0= x = 12atau x = 7Oleh karena x2 > x1, maka x1 = 12 dan x2 = 7.2x1 + 3x2 = 2 (12) + 3 7 = 1 + 21 = 20Jadi, nilai 2x1 + 3x2 = 20.6. 7. 8. Jawaban: c3(x 2)2 48 = 0= 3(x 2)2= 48= (x 2)2= 16= x 2 = 16= x 2 = 4= x = 24= x = 2 + 4 atau x = 2 4= x = 6 atau x = 2Jadi, himpunan penyelesaian persamaan kuadrat3(x 2)2 48 = 0 adalah {2, 6}.Jawaban: cPerhatikan langkah 3 dan 4 berikut.Langkah 3: x2 + 5x + (52)2 = 132 + (52)2Langkah 4:(x + 52)2 = 132 + 104Langkah4salahkarenaseharusnya(x+ 52)2= 132 + 254.Jadi, Anindya mulai melakukan kesalahan padalangkah 4.Jawaban: d3x2 10x + 5 = 0a = 3, b = 10, dan c = 5x1, 2 = 2b b 4ac2a= 2( 10) ( 10) 4 3 52 3- -= 10 406 = 10 2 106 = 5 103= x1 = 5 103- atau x2= 5 103-Oleh karena 5 103- > 5 103- maka x1 = 5 103-dan x2 = 5 103-.2x1 x2= 2(5 103-) 5 103-= 10 2 103- 5 103-= 5 3 103-Jadi, nilai 2x1 x2 = 5 3 103-.Jawaban: a6 = 41x + 285xKedua ruas persamaan dikalikan dengan x2.= 6x2= 41x + 85= 6x2 41x 85 = 0Diperoleh a = 6, b = 41, c = 85= x1, 2= 2b b 4ac2a= 2(41) (41) 4 6 (85)2 6= 41 1.681+ 2.0402 6= 41 3.72112- = 41 61123 Matematika Kelas XJawaban: eMisalkan: p = panjang persegi panjang = lebar persegi panjangJari-jari lingkaran = r = 12pKeliling daerah yang diarsir = 120 cm= AB +

BC + CD+ DA = 120=+12 (2rr) + + p = 120= p + 2 +12 (2rr) = 120= p + 2 + p2r= 120= 2 = 120 p2r p== 60 p4r p2p

AB CDr

Jawaban: bLuas permukaan = 208= 2 (p + p t + t) = 208= 2(p (p 2) + p 12p + (p 2) 12p) = 208= 2(p2 2p + 12p2 + 12p2 p) = 208= 2(2p2 3p) = 208= 2p2 3p = 104= 2p2 3p 104 = 0= (2p + 13)(p 8) = 0= 2p + 13 = 0 atau p 8 = 0= p = 132 atau p = 8Oleh karena p = panjang maka p > 0 sehinggap = 132 tidak memenuhi.Panjang balok = p = 8 cmLebar balok = p 2 = 8 2 = 6 cmTinggi balok = 12p =12 8 = 4 cmVolume balok = 8 6 4 = 192 cm3Jadi, volume balok tersebut 192 cm3.= x1 = 41 6112- atau x2 = 41 6112-= x1 = 10212 atau x2 = 2012= x1 = 812 atau x2 = 123Jadi, penyelesaian persamaan 6 = 41x + 285x adalahx = 812 atau x = 123.9. 10. 11.Jawaban: eMisalkan y = 2p + 3.(2p + 3)2 + 3(2p + 3) 10 = 0= y2 + 3y 10 = 0= (y + 5)(y 2) = 0= y + 5 = 0 atau y 2 = 0= y = 5 atau y = 2=2p + 3 = 5 atau 2p + 3 = 2= 2p = 8 atau 2p = 1= p = 4 atau p = 12Jadi, himpunan penyelesaiannya {4, 12}.Jawaban: ad = vt + 12at2= 800 = 80 t +12 5 t2= 800 = 80t + 52t2= 0 = 52t2 + 80t 800= 0 = 5t2 + 160t 1.600= 0 = t2 + 32t 320= t2 + 32t 320 = 0= (t 8)(t + 40) = 0= t 8 = 0 atau t + 40 = 0= t = 8 atau t = 40Oleh karena t = waktu maka t > 0 sehingga t = 40tidakmemenuhi.Jadi,nilaityangmemenuhiadalah 8.12.Luas daerah yang diarsir = 364 cm2= Luas ABCD Luas12 lingkaran = 364= p 12rr2= 364= p (60 p4r p2) 12r(12p)2= 364= 60p 2p4r 2p2 18 rp2= 364= 60p p2(4r +12 + 8r) = 364= 60p p2(2274 +12 + 2278) = 3644 Persamaan dan Fungsi Kuadrat= 60p p2(1114 +12 + 1128) = 364= 60p p2(4728) = 364= 4728p2 + 60p 364 = 0Kedua ruas dikalikan 28.= 47p2 1.680p + 10.192 = 0Gunakan rumus abc.p1,2= 2b b 4ac2a- -= 2( 1.680) ( 1.680) 4 47 (1.092)2 47- - - - - = 1.680 906.30494= 1.680 95294p1 =1.680 95294- =2.63294 = 28p2 =1.680 95294- =72894 = 36447Jadi, panjang persegi panjang36447 cm atau 28 cm.13.14. 1 72Jawaban: d2x2 9x + 7 < 0= (2x 7)(x 1) < 0Pembuat nol:(2x 7)(x 1) = 0= 2x 7 = 0 atau x 1 = 0= x =72atau x = 1MenggunakantrikpadaSebaiknyaAndaTahudiperoleh garis bilangan beserta tandanya sebagaiberikut.Penyelesaiannya 1 < x < 72.Jadi,himpunanpenyelesaian2x29x+7 biaya produksi= 5.000x > 100.000 + 2.500x + 10x2= 0 > 100.000 + 2.500x + 10x2 5.000x= 0 > 10x2 2.500x + 100.000= 0 > x2 250x + 10.000= x2 250x + 10.000 < 0= (x 50)(x 200) < 0Pembuat nol:(x 50)(x 200) = 0= x 50 = 0 atau x 200 = 0=x = 50 atau x = 200MenggunakantrikpadaSebaiknyaAndaTahudiperoleh garis bilangan beserta tandanya sebagaiberikut.Penyelesaiannya 50 < x < 200.Jadi, perusahaan harus membuat produk antara50 dan 200 buah.50200B.Uraian1. Jawaban:a. x2 2x 1 = 0= x2 2x =1Kedua ruas ditambah dengan (12 (2))2 = 1.= x2 2x + 1 = 1 + 1= (x 1)2= 2= x 1 = 2= x = 1 +2atau x = 1 2Jadi,penyelesaianpersamaankuadratx22x1=0adalahx=1+2 ataux = 1 2 .5 Matematika Kelas Xb. x2 x 6 = 0= x2 x =6Kedua ruas ditambah dengan (12(1))2 = 14.= x2 x + 14=6 + 14= (x 12)2= 254= x 12= 254= x 12= 52= x = 12 52= x = 12 + 52 = 3 atau x = 12 52 = 2Jadi,penyelesaianpersamaankuadratx2 x 6 = 0 adalah 3 atau 2.c. 3x2 + 2x 2 = 0= 3x2 + 2x =2Kedua ruas dibagi dengan 3.= x2 + 23x = 23Kedua ruas ditambah dengan [12(23)]2 = 19= x2 + 23x + 19= 23 + 19= (x + 13)2= 79= x + 13= 79= x = 13 79= x = 13 73= x = 7 13- atau x = 7 13- -Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat 3x2 +2x 2 = 0 adalah x = 7 13- atau x = 7 13- -.d. 6x2 5x 6 = 0=6x2 5x = 6Kedua ruas dibagi dengan 6.= x2 56x = 1Keduaruasditambahdengan[12(56)]2= (512)2 = 25144.= x2 56x + 25144= 1 + 25144= (x 512)2= 169144= x 512= 169144= x 512= 1312= x = 512 1312= x = 512 + 1312atau x = 512 1312= x = 1812atau x = 812= x = 32atau x = 23Jadi,penyelesaianpersamaankuadrat6x2 5x 6= 0 adalah x = 32 atau x = 23.e. 15x2 + 14x 16 = 0= 15x2 + 14x = 16Kedua ruas dibagi dengan 15.=x2 +1415x = 1615Kedua ruas ditambah dengan (12 (1415))2 =(715)2 = 49225.= x2 +1415x + 49225= 1615 + 49225= (x + 715)2= 289225= x + 715= 289225= x + 715= 1715= x = 715 1715= x = 715 + 1715atau x = 715 1715= x = 1015ataux = 2415= x = 23atau x = 85Jadi,penyelesaianpersamaankuadrat15x2 + 14x 16 = 0 adalah x = 23 atau x = 85.6 Persamaan dan Fungsi KuadratJa abaa. x2 + 3x 2 = 0a = 1, b = 3, c = 2b2 4ac = 32 4 1 (2)= 9 + 8= 17x1,2 =2b b 4ac2a- - = 3 172- Jadi,akar-akarpersamaankuadratx2 + 3x 2= 0 adalah 3 172- - atau 3 172- -.b.2x2 4x 1 = 0a = 2, b = 4, c = 1b2 4ac = (4)2 4 2 (1)= 16 + 8= 24x1,2= 2b b 4ac2a- -= 4 244= 4 2 64 = 1 126Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x2 4x 1 = 0 adalah 1 +126atau 1 126 .c. 10x2 + 10x 3 = 0a = 10, b = 10, c = 3 x1, 2= 2b b 4ac2a- -= 210 10 4 10 ( 3)2 10- - -= 10 100 1202 10- -= 10 22020- = 10 2 5520- = 5 5510- =x1= 5 5510- -= 110( 55 5)ataux2 = 5 5510- - = 110( 55+ 5)Jadi, akar-akar persamaan 10x2 + 10x 3 = 0adalah ( 555) atau 110( 55 + 5).2. d. 24x2 + 30x 7 = 0a = 24, b = 30, c = 7 x1, 2= 2b b 4ac2a- -= 230 30 4 ( 24) ( 7)2 ( 24)- - - --= 30 900 6722 ( 24)- --= 30 2282 ( 24)- -= 30 2 572 ( 24)- - = 15 5724- -= x1 = 15 5724- -- atau x2 = 15 5724- --= x1 = 124(15 57 ) atau x2 = 124(15 +57 )Jadi, akar-akar persamaan 24x2 + 30x 7 = 0adalah124(15 57 ) dan 124(15 +57 ).a. 3x2 + 5x 2 0= (3x 1)(x + 2) 0Pembuat nol:(3x 1)(x + 2) = 0= 3x 1 = 0 atau x + 2 = 0=x =13 atau x = 2Menggunakan trik pada Sebaiknya Anda Tahudiperolehgarisbilanganbesertatandanyasebagai berikut.Penyelesaiannya x s 2 atau x 13 .Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan{x| x s 2 atau x 13, x = R}.b. (2x + 3)2 + 4x + 3 < 0= 4x2 + 12x + 9 + 4x + 3 < 0= 4x2 + 16x + 12 < 0= x2 + 4x + 3 < 0= (x + 3)(x + 1) < 0Pembuat nol:(x + 3)(x + 1) = 0= x + 3 = 0 atau x + 1 = 0=x = 3 atau x = 12 133. 7 Matematika Kelas XMenggunakan trik pada Sebaiknya Anda Tahudiperolehgarisbilanganbesertatandanyasebagai berikut.Penyelesaiannya 3 < x < 1.Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan{x| 3 < x < 1, x = R}.c.23(x + 2) + 1 s 13(2x + 1)Kedua ruas dikalikan 3.3 23(x + 2) + 1 3 s 3 13(2x + 1)2= 2(x + 2) + 3 s 4x2 + 4x + 1= 2x + 4 + 3 4x2 4x 1 s 0= 4x2 2x + 6 s 0= 2x2 + x 3 0= (2x + 3)(x 1) 0Pembuat nol:(2x + 3)(x 1) = 0= 2x + 3 = 0 atau x 1 = 0=x = 32 atau x = 1Menggunakan trik pada Sebaiknya Anda Tahudiperolehgarisbilanganbesertatandanyasebagai berikut.Penyelesaiannya x s 32 atau x > 1.Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan{x| x s 32 atau x > 1}.d. (x 3)2 > (3x + 5)2= (x 3)2 (3x + 5)2> 0= ((x 3) + (3x + 5))((x 3) (3x + 5)) > 0= (4x + 2)(2x 8) > 0Pembuat nol:(4x + 2)(2x 8) = 0= 4x + 2 = 0 atau 2x 8 = 0=x = 12 atau x = 4Menggunakan trik pada Sebaiknya Anda Tahudiperolehgarisbilanganbesertatandanyasebagai berikut.Penyelesaiannya x < 4 atau x > 12.Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan{x| x < 4 atau x > 12}.31321412Misalkan mesin I dapat mencetak10.000 bukudalam waktu t jam maka mesin II dapat mencetak10.000bukudalamwaktu(t+2)jam.MesinIdapat mencetak10.000 buku dalam waktu t jammaka dalam waktu 1 jam mesin I dapat mencetak10.000t buku. Mesin II dapat mencetak10.000 bukudalam waktu (t + 2) jam maka dalam waktu 1 jammesin I dapat mencetak 10.000t 2 -buku.Dalam waktu 10 jam kedua mesin dapat mencetak10.000 buku.Banyakbukuyangdicetakselama10jamolehmesin I dan mesin II = 10.000.= 10 10.000t + 10 10.000t 2 -= 10.000= 10 10.000 (1t + 1t 2 -) = 10.000=1t + 1t 2 -= 110=1t t 2t 2-- + 1t 2 - tt= 110=(t 2) tt(t 2)- --= 110= 10(2t +2) = t(t + 2)= 20t + 20 = t2 + 2t= t2 18t 20 = 0Diperoleh a = 1, b =18, c =20.= t1,2= 2b b 4ac2a- -= 218 ( 18) 4 1 ( 20)2 1 - - -= 18 324 802 -= 18 4042 = 18 2 1012 = 9 101= t1= 9 +101 atau t1= 9 101= t1= 19,049 atau t1= 1,049Oleh karena t menyatakan lama waktu maka ttidaknegatifsehingganilaityangmemenuhiadalaht = 19, 049 jam.4. a. Jadi, mesin I dapat mencetak10.000 bukudalam waktu t jam = 19, 049 jam.b. Jadi,mesinjeniskeduadapatmencetak10.000bukudalamwaktu(t+2)jam=(19, 049 + 2) jam = 21, 049 jam.8 Persamaan dan Fungsi KuadratJa abaDiketahui: t = tinggi kerucut semula = 3 cmMisalkan: r = panjang jari-jari semulaV = volume mula-mula= 13rr2t = 13rr2 3 = rr2V1= volumekerucutkarenajari-jaribertambah 24 cm= 13r(r + 24)2t = 13r(r + 24)2 3= r(r + 24)2V2= volumekerucutkarenatinggibertambah 24 cm= 13 rr2(t + 24) = 13 rr2(3 + 24)= 13 rr2 27 = 9rr2Perubahanvolumekarenajari-jaribertambah24cm=perubahanvolumekarenafungsibertambah 24 cm.5. = V1 V = V2 V= r(r + 24)2 rr2= 9rr2 rr2= r(r + 24)2= 9rr2= (r + 24)2= 9r2= r2 + 48r + 576 = 9r2= r2 + 48r + 576 9r2= 0= 8r2 + 48r + 576 = 0Kedua ruas dikalikan 18.= 18 (8r2 + 48r + 576) = 18 0= r2 6r 72 = 0= (r 12)(r + 6) = 0= r 12 = 0 atau r + 6 = 0=r = 12 atau r = 6Oleh karena r merupakan jari-jari kerucut, nilai rtidak boleh negatif sehingga r = 6 tidak memenuhi.Nilai r yang memenuhi adalah r = 12.Jadi, panjang jari-jari semula adalah 12 cm.A.Pilihan Ganda1.Jawaban: bBanyak penyelesaian persamaan kuadrat dapatditentukan dengan melihat nilai diskriminannya.1) x2 + 6x + 3 = 0a = 1, b = 6, c = 3D = b2 4ac= 62 4(1)(3)= 36 12= 24Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadratx2 + 6x + 3 = 0 mempunyai dua penyelesaian.2) 2x2 2x + 5 = 0a = 2, b = 2, c = 5D = b2 4ac= (2)2 4(2)(5)= 4 40= 36OlehkarenaD 0, persamaan kuadrat4x2 + x + 3 = 0 mempunyai dua penyelesaian.Jadi,persamaankuadrat2)tidakmempunyaipenyelesaian.Jawaban: dPersamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki akarkembar jika D = 0.2. Persamaan kuadrat 2x2 + (p + 1)x + 8 = 0 maka a= 2, b = p + 1, dan c = 8.D = b2 4ac = 0= (p + 1)2 4 2 8 = 0= p2 + 2p + 1 64 = 0= p2 + 2p 63 = 0= (p 7)(p + 9) = 0= p 7 = 0 atau p + 9 = 0=p = 7 atau p = 9Persamaan kuadrat memiliki akar kembar jikap = 7 atau p = 9.Jadi, salah satu nilai p adalah 7.3.Jawaban: ePersamaankuadratpx24x+p+3=0makaa = p, b = 4, dan c = p + 3.Persamaankuadratmempunyaiakar-akarnyata(real) dan berbeda jika D > 0.D > 0= b2 4ac > 0= (4)2 4 p (p + 3) > 0= 16 4p2 12p > 0= 4p2 12p + 16 > 0= (4p 4)(p 4) > 0Pembuat nol:(4p 4)(p 4) = 0= 4p 4 = 0 atau p 4 = 09 Matematika Kelas XJawaban: cPersamaan kuadrat x2 2px + 3p 2 = 0 makaa = 1, b = 2p, dan c = 3p 2 . x1 + x2 = ba = 2p1- = 2px1x2 = ca = 3p 21- = 3p 2x12 2x1x2 + x22= 48= x12 + x22 2x1x2= 48= ((x1 + x2)2 2x1x2) 2x1x2= 48= (x1 + x2)2 4x1x2= 48= (2p)2 4(3p 2) 48 = 0= 4p2 12p 40 = 0= p2 3p 10 = 0= (p + 2)(p 5) = 0= p + 2 = 0 atau p 5 = 0= p = 2 atau p = 5Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = 2 ataup = 5.= p = 44atau p = 4= p = 1 atau p = 4Penyelesaiannya: 4 < p < 1Jadi, batas-batas nilai p yang memenuhi adalah4 < p < 1.241+4. 5.Jawaban: dPersamaan kuadrat 3x2 5x 4 = 0 maka a = 3,b = 5, dan c = 4 . x1 + x2 = ba = 53- = 53x1x2 = ca = 43- = 43214x + 224x= 2 22 12 21 24x 4xx x- = 2 22 121 24(x x )(x x )-= 22 1 1 221 24[(x x ) 2x x ](x x )- -= 22 1 1 221 24(x x ) 8x x(x x )- -= 5 4 23 34 234 ( ) 8 ( )( )- --= 100 329 3169- = 1969169= 19616 = 494Jadi, nilai dari214x + 224x adalah 494.6.Jawaban: aPersamaankuadrat2x2+mx+16=0dengano = 2 maka a = 2, b = m, dan c = 16.x1 + x2 = ba= o + = m2x1x2 = ca= o = 162= 2 = 8= 2= 4= = 2Oleh karena positif maka = 2.o = 2 = 2 2 = 4o + = m2= 4 + 2 = m2= 6 = m2= m = 12Jadi, nilai m = 12.7.8. Jawaban: aAkar-akar persamaan kuadrat:x1 = 2 + 3dan x2 = 2 3x1 + x2= (2 +3 ) + (2 3 ) = 4x1x2= (2 +3 )(2 3 )= 4 3 = 1Persamaan kuadratnya:x2 (x1 + x2)x + x1x2= 0= x2 4x + 1 = 0Jawaban: aAkar-akarpersamaankuadrat2x2+3x5=0adalah p dan q.x1 + x2 = ba = p + q = 32x1x2 = ca = pq =52- = 52(2p + 1) + (2q + 1) = 2(p + q) + 2= 2 (32) + 2= 1(2p + 1)(2q + 1) = 4pq + 2(p + q) + 1= 4 (52) + 2 (32) + 1= 10 3 + 1= 12Persamaankuadratbaruyangakar-akarnya2p + 1 dan 2q + 1:x2 [(2p + 1) + (2q + 1)]x + (2p + 1)(2q + 1) = 0= x2 (1)x + (12 ) = 0= x2 + x 12 = 0Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya2p + 1 dan 2q + 1 adalah x2 + x 12 = 0.10 Persamaan dan Fungsi KuadratJawaban: e2x2 + 6x + 3 = 0 mempunyai akar x1 dan x2.Diperoleh x1 + x2 = 62 = 3 dan x1x2 = 32.Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x1 + x2)dan (x1x2) adalah:x2 ((x1 + x2) + (x1x2))x + (x1 + x2)(x1x2) = 0= x2 (3 + 32)x + (3) 32= 0= x2+ 32x92= 0= 2x2 + 3x 9 = 0Jadi, persamaan kuadratnya 2x2 + 3x 9 = 0.9.10. B.Uraian1. Jawaban: cAkar-akarpersamaankuadratx2bx+6=0adalah o dan .x1 + x2 = ba=o + = b1-=o + = b . . . (1)x1x2 = ca=o = 61=o = 6. . . (2)Akar-akarpersamaankuadratx24x+c=0adalah (o + ) dan (o ).x1 + x2 = ba=(o + ) + (o ) = 41-= 2o = 4= o = 2. . . (3)x1x2 = ca= (o + ) (o ) = c1= (o + ) (o ) = c . . . (4)Substitusikano=2kepersamaan2untukmenentukan nilai .o = 6 = 2 = 6 = = 3Substitusikan o = 2 dan = 3 ke persamaan (1untuk menentukan nilai b.o + = b = 2 + 3 = b = b = 5Substitusikan o = 2 dan = 3 ke persamaan (4untuk menentukan nilai c.(o + ) (o ) = c= ( 2 + 3) (2 3) = c= c = 5 (1)= 5Persamaankuadratyangmempunyaiakar-akax1 = b = 5 dan x2 = c = 5 adalah:x2 (x1 + x2) x + x1x2 = 0= x2 (5+ (5)) x + 5 (5 ) = 0= x2 25 = 0= x2 52= 0 Jadi, persamaan kuadrat yang mempunyai akarakar b dan cadalah x2 52 = 0.3x2 + 2x 18 = 0 maka a = 3, b = 2, dan c = 18.x1 + x2 = ba = 23x1x2 =ca =183- = 6a. x12 + x22= (x1 + x2)2 2x1x2= (23)2 2 (6) =49 + 12 = 1249b.211x + 221x=222 21 2xx x + 212 21 2xx x= 2 22 12 21 2x xx x- = 2 21 221 2x x(x x )-= 49212( 6) - = 1129 36 = 2881c. x13 + x23= (x1 + x2)3 3x12x2 3x1x22= (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)= (23)3 3(6)(23)= 827 12= 12827d.212xx + 221xx=311 2xx x + 321 2xx x=3 31 21 2x xx x-= 827126--= 16681= 24812.a. Persamaan kuadrat 2x2 kx + 8 = 0 makaa = 2, b = k, c = 8.Persamaan kuadrat mempunyai dua akar realjika D 0.D 0 = b2 4ac 0= (k)2 4 2 8 0= k2 64 0= (k 8)(k + 8) 0Pembuat nol:(k 8)(k + 8)= 0= k 8 = 0 atau k + 8 = 0= k = 8 atau k = 811 Matematika Kelas XMenggunakan trik pada Sebaiknya Anda Tahudiperolehgarisbilanganbesertatandanyasebagai berikut.88Misalkanakar-akarpersamaankuadratx2 px p 6 = 0 = x2 px (p + 6) = 0 adalaho dan sehingga diperoleh o + = p1-= p dano = (p 6)1- - = (p + 6).Akar-akar persamaan kuadrat 2qx2 5x + q 2 = 0adalah 1o dan 1.1)1o + 1 = 52q-=1o + 1= 52q=o - o= 52q=p(p 6) - -= 52q= q = 5(p 6)2p- - . . . (1)2)1o 1 = q 22q-=1o= q 22q-=1(p 6) - -= q 22q- . . . (2)Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2):1(p 6) - - = q 22q-=1(p 6) - -= 5(p 6)2p5(p 6)2p22- -- - ( ,-=1(p 6) - -= 5p 30 4p10(p 6)- - -- -=1(p 6) - -= 9p 3010(p 6)- -- -= 10 = 9p 30= 9p = 40= p = 409 - = 409Substitusikan p = 5 ke persamaan (1).q = 5(p 6)2p- - = 4094095( 6)2( )- - -- = 1494095( )2( )-- = 78Jadi, nilai p = 409 dan q = 78.3. 4.Persamaan kuadrat 3x2 (a 1)x 1 = 0 akar-akarnya x1 dan x2.x1 + x2 = (a 1)3- - = a 13-. . . (1)x1x2 =13- = 13-. . . (2)Persamaan kuadrat x2 (2b + 1)x + b = 0 akar-akarnya11x dan 21x.11x +21x = (2b 1)1- - = 2b + 1 . . . (3)11x 21x =b1 = b . . . (4)Perhatikan persamaan (3).11x + 21x = 2b + 1=2 11 2x xx x-= 2b + 1=1 21 2x xx x-= 2b + 1=a 1313--= 2b + 1=a 11--= 2b + 1= a 1= 2b 1= a= 2bPerhatikan persamaan (4).11x 21x = b = 1 21x x = b = 131- = b = b = 3Substitusikan b = 3 ke a = 2b.a = 2b = 2(3) = 6Jadi, nilai 2a + b = 2(6) + (3) = 9.5.Persamaan kuadrat 4x2 + bx + 4 = 0x1 + x2 = b4x1x2 = 44 = 1x11 + x21=11x +21x =1 21 2x xx x- =b41- = b4x13 + x23= (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)= (b4)3 3(1)(b4) =3b64- + 3b4x11 + x21 = 16(x13 + x23)= b4= 16(3b64 + 3b4)= b4= 3b4 + 12b= b = b3 + 48b= b3 b 48b = 0= b3 49b = 0= b(b2 49) = 0= b(b 7)(b + 7) = 0= b = 0 atau b = 7 atau b = 7Jadi, nilai b adalah 0, 7 atau 7.12 PersamaandanFungsiKuadrat4. Jawaban: bFungsikuadraty=5x220x+1makaa=5,b = 20, dan c = 1.Persamaan sumbu simetri:x = b2a = 202 5 = 2Jadi, persamaan sumbu simetrinya x = 2.5. Jawaban: dPersamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyaititik puncak (xP, yP) adalah y = a(x xP)2 + yP.Grafikfungsikuadratmempunyaititikpuncak(2, 1). Persamaan grafiknya:y = a(x xP)2 + yP y = a(x 2)2 +1Grafikfungsikuadratmelaluititik(0,5).Substitusikan x = 0 dan y = 5 ke dalam persamaangrafik.x = 0 dan y = 5 y = a(x 2)2 +1 5 = a(0 2)2 +1 5 = 4a + 1 4a = 4 a = 1Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan grafik.a = 1 y = a(x 2)2 +1= 1(x 2)2 +1= x2 4x + 4 + 1= x2 4x + 5Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalahy = x2 4x + 5.6. Jawaban: dPersamaan grafik fungsi kuadrat yang memotongsumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0) adalahy = a(x x1) (x x2).GrafikfungsikuadratmemotongsumbuXdi(1 , 0) dan (3, 0).Persamaan grafiknya:y = a(x x1) (x x2) y = a(x (1)) (x 3)= a(x +1)(x 3)Grafik fungsi kuadrat melaluititik ( 0, 6).Subsitusikan x = 0 dan y = 6 ke dalam persamaangrafik.x = 0 dan y = 6 y = a(x +1)(x 3) 6 = a(0 +1)(0 3) 6 = a 1 (3) a = 2Substitusikan a = 2 ke dalam persamaan grafik.a = 2 y = a(x +1)(x 3)= (2)(x + 1)(x 3)= 2x2 + 4x + 6Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalahy = 2x2 + 4x + 6.A. PilihanGanda1. Jawaban: cf(x) = 2x2 7x 5f(2) = 2 22 7 2 5 = 8 14 5 = 11Grafik fungsi f(x) melalui titik A(2, 11).f(1) = 2 (1)2 7 (1) 5= 2 + 7 5 = 4 0Grafik fungsi f(x) tidak melalui titik B(1, 0).f(4) = 2 (4)2 7 (4) 5= 32 + 28 5 = 55Grafik fungsi f(x) melalui titik C(4, 55).Jadi, grafik fungsi f(x) melalui titik A dan C.2. Jawaban: bFungsi kuadrat f(x) = 2x2 2x 12 y = 2x2 2x 121) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X jikay = 0.y = 0 2x2 2x 12 = 0 2(x + 2)(x 3) = 0x + 2 = 0 atau x 3 = 0 x = 2 atau x = 3Titikpotonggrafikfungsikuadratdengansumbu X adalah (2, 0) dan (3, 0).2) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu Y jikax = 0.x = 0 y = 2 02 2 0 12 = 12Titikpotonggrafikfungsikuadratdengansumbu Y adalah (0, 12).Jadi,koordinattitikpotonggrafikdengansumbuXdansumbuYberturut-turutadalah(2, 0), (3, 0), dan (0, 12).3. Jawaban: eFungsi kuadrat y = x2 4x 5 maka a = 1, b = 4,dan c = 5.Koordinat titik balik (xP, yP) dengan xP = b2a danyP = D4a.xP = b2a = 42 1 = 2yP = D4a = 2b 4ac4a = 2( 4) 4 1 ( 5)4 1 = 364 = 9Jadi,koordinattitikbalikgrafikfungsikuadratadalah ( 2, 9).13 MatematikaKelasX7. Jawaban: bMisalkan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebuty = ax2 + bx + c.(1, 5) 5 = a 12 + b 1 + c 5 = a + b + c . . . (1)(2, 1) 1 = a 22 + b 2 + c 1 = 4a + 2b + c . . . (2)(2, 7) 7 = a (2)2 + b (2) + c 7 = 4a 2b + c . . . (3)Eliminasi c dari (1) dan (2).5 = a + b + c1 = 4a + 2b + c 4 = 3a b 4 = 3a + b . . . (4)Eliminasi c dari (1) dan (3).7 = 4a 2b + c5 = a + b + c 12 = 3a 3b 4 = a b . . . (5)Eliminasi b dari (4) dan (5).4 = 3a + b4 = a b +8 = 4a a = 2Substitusi a = 2 ke dalam persamaan (5).4 = a b4 = 2 bb = 2Substitusi a = 2, b = 2, ke dalam persamaan (1).5 = a + b + c 5 = 2 + (2) + c 5 = c c = 5Diperoleh a = 2, b = 2, dan c = 5.Jadi, persamaan grafik fungsi kuadratnya:y = ax2 + bx + c = 2x2 2x 58. Jawaban: cGrafikfungsikuadratmelaluititik(1,0),(4,0),dan (0, 4).Perhatikan (1, 0) dan (4, 0) merupakan titik potonggrafik dengan sumbu X.Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotongsumbuXdi ( x1, 0) dan( x2, 0) adal ahy=a( xx1)(x x2).Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di (1, 0)dan (4, 0), persamaannya:y = a(x 1)(x 4)Grafik fungsi melalui titik (0, 4).4 = a (0 1) (0 4) 4 = a (1) (4) a = 1Substitusi a = 1 ke dalam persamaan:y = 1(x 1)(x 4)= 1(x2 5x + 4)= x2 + 5x 4Untuk x = 7, diperoleh:y = 72 + 5 7 4 = 18Jadi, nilai f(7) = 18.9. Jawaban: by = px2 + (p + 2)x p + 4D = b2 4ac= (p + 2)2 4p(p + 4)= p2 + 4p + 4 + 4p2 16p= 5p2 12p + 4Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di duatitik jika D > 0.D > 0 5p2 12p + 4 > 0 (5p 2)(p 2) > 0Pembuat nol:(5p 2)(p 2) = 0 5p 2 = 0 atau p 2 = 0 p = 25 atau p = 2Garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut.Jadi, agar fungsi tersebut memotong sumbu X didua titik, batas-batas nilai p adalah p < 25 atau p > 2.10. Jawaban: cGrafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c selalu terletakdi atas sumbu X untuk a > 0 dan D < 0.Grafikfungsikuadraty=3ax26x+1selaluterletak di atas sumbu X untuk 3a > 0 dan D < 0.1) 3a > 0 a > 0. . . (1)2) D < 0 2( 6) 4 3a 14 3a < 036 12a12a< 0Pembuat nol:a) 36 12a = 0 a = 3b) 12a = 0 a = 0Penyelesaian 36 12a12a < 0 adalah a < 0 ataua > 3. . . (2)++25200 314 PersamaandanFungsiKuadrat3) Irisan penyelesaian (1) dan (2) adalahNilaiayangmemenuhi3a>0danD 3.Jadi, grafik fungsi kuadrat y = 3ax2 6x + 1 selaluterletak di atas sumbu X untuk nilai a > 3.11. Jawaban: aFungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c definit negatifjika a < 0 dan D < 0.f(x) = (m + 1)x2 2mx + (m 3)a < 0 m + 1 < 0 m < 1. . . (1)D < 0 (2m)2 4(m + 1)(m 3) < 0 4m2 4(m2 2m 3) < 0 4m2 4m2 + 8m + 12 < 0 8m + 12 < 0 8m < 12 m < 128 m < 32. . . (2)Irisan penyelesaian (1) dan (2).Penyelesaiannya: m < 32Jadi, nilai m < 32 menyebabkan fungsi kuadratdefinit negatif.12. Jawaban: cPernyataan pada pilihan a, b, d, dan e benar. Grafikfungsi f(x) = 2 x x2 terbuka ke bawah sehinggaf(x) mempunyai nilai minimum bilangan real yangsangat kecil (negatif tak hingga).Jadi, pernyataan yang tidak benar pilihan c.13. Jawaban: dGrafik menghadap ke bawah, berarti a < 0.GrafikmemotongsumbuYdicnegatif,berartic < 0.Grafik tidak memotong sumbu X, berarti D < 0.14. Jawaban: dh(t) = 30t 5t2 = 5t2 + 30th(t) merupakan fungsi kuadrat.Titik balik fungsi adalah (xP, yP).xP = b2a = 302( 5) = 3yP = h(3) = 30(3) 5(3)2= 90 45= 45Nilai maksimum fungsi h(t) adalah 45.Jadi, tinggi bola maksimum 45 m.15. Jawaban: aMisalkan panjang halaman = x.Panjang kawat untuk pagar = 40 2 panjang + lebar = 40 2x + lebar = 40 lebar = 40 2xSketsa pagar yang dibuat:Luas halaman:L(x) = panjang lebar= x (40 2x)= 2x2 + 40xL(x) merupakan fungsi kuadrat dengan a = 2 danb = 40.Titik balik fungsi kuadrat adalah (xP, yP).xP = b2a = 402 ( 2) = 10yP= L(xP)= L(10)= 2(10)2 + 40 10= 200Jadi, luas halaman terbesar yang dapat dipagariadalah 200 m2.B. Uraian1. a. y = 3x2 12x + 2Fungsi kuadrat y = 3x2 12x + 2 maka a = 3,b = 12, dan c = 2.Koordinat titik balik (xP, yP) dengan xP = b2adan yP = D4a.xP = b2a = 122 3 = 20 3132321xx40 2x15 MatematikaKelasXyP = D4a= 2b 4ac4a= 2( 12) 4 3 24 3 = 144 2412= 12012= 12Persamaan sumbu simetri : x = xP = 2Koordinattitikbalikgrafikfungsikuadratadalah ( 2, 12).Oleh karena a = 3 > 0 maka grafik terbuka keatas sehingga titik balik (2, 12) merupakantitik balik minimum. Jadi, jenis nilai ekstrem-nya adalah nilai ekstrem minimum.b. y = x2 + x 20Fungsi kuadrat y = x2 + x 20 maka a = 1,b = 1, dan c = 20.Koordinat titik balik (xP, yP) dengan xP = b2adan yP = D4a.xP = b2a = 12 1 = 12yP = D4a= 2b 4ac4a= 21 4 1 ( 20)4 1 = 1 804+ = 814Persamaan sumbu simetri : x = xP = 12Koordinattitikbalikgrafikfungsikuadratadalah (12, 814).Oleh karena a =1 > 0 maka grafik terbuka keatas sehingga titik balik (12, 814) merupakantitikbalikminimum.Jadi,jenisnilaiekstremnya adalah nilai ekstrem minimum.c. y = x2 +2x 35Fungsi kuadrat y = x2 + 2x 35 maka a = 1,b = 2, dan c = 35.Koordinat titik balik (xP, yP) dengan xP = b2adan yP = D4a.xP = b2a = 22( 1) = 22 = 1yP = D4a= 2b 4ac4a= 22 4 ( 1) ( 35)4 ( 1) = 4 1404= 1364= 34Persamaan sumbu simetri : x = xP = 1Koordinattitikbalikgrafikfungsikuadratadalah (1, 34).Oleh karena a = 1 < 0 maka grafik terbukakebawahsehinggatitikbalik(1,34)merupakan titik balik maksimum. Jadi, jenisnilaiekstremnyaadalahnilaiekstremmaksimum.d. y = 5x2 25x + 1Fungsikuadraty=5x225x+1makaa = 5, b = 25, dan c = 1.Koordinat titik balik (xP, yP) dengan xP = b2adan yP = D4a.xP = b2a = 252 ( 5) = 2510 = 52yP = D4a= 2b 4ac4a= 2( 25) 4 ( 5) 14 ( 5) = 625 2020 += 64520 = 1294Persamaan sumbu simetri : x = xP = 52Koordinattitikbalikgrafikfungsikuadratadalah (52, 1294).Oleh karena a = 1 < 0 maka grafik terbukakebawahsehinggatitikbalik(52, 1294)merupakan titik balik maksimum. Jadi, jenisnilaiekstremnyaadalahnilaiekstremmaksimum.2. a. f(x) = x2 4x 51) Grafik memotong sumbu X jika y = 0.x2 4x 5 = 0 (x + 1)(x 5) = 0 x + 1 = 0 atau x 5 = 0 x = 1 atau x = 516 PersamaandanFungsiKuadratYX1 0 2 559f(x) = x2 4x 5YX093 6f(x) = (x 3)2Titik potong grafik dengan sumbu X yaitu(1, 0) dan (5, 0).Grafik memotong sumbu Y jika x = 0.y = f(0) = 02 4 0 5 = 5TitikpotonggrafikdengansumbuYyaitu (0, 5).Jadi,titik-titikpotonggrafikdengansumbuXdansumbuYberturut-turut(1, 0), (5, 0), dan (0, 5).2) Oleh karena a = 1 > 0, parabola terbukake atas dan titik puncaknya minimum.Koordinat titik puncak (xP, yP).xP= b2a= 42(1)= 2yP = f(xP) = f(2)= 22 4(2) 5= 4 8 5= 9Jadi, koordinat titik baliknya (2, 9).3) Sketsagrafikfungsikuadratf(x)=x2 4x 5:b. f(x) = (x 3)2 = x2 6x + 91) Grafik memotong sumbu X jika y = 0.y = 0 (x 3)2= 0 (x 3) = 0 x = 3Titik potong grafik dengan sumbu X yaitu(3, 0).Grafik memotong sumbu Y jika x = 0.x = 0 y = x2 6x + 9= 02 6(0) + 9= 9Titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu(0, 9).2) Oleh karena a = 1 > 0, parabola terbukake atas dan titik puncaknya minimum.Koordinat titik puncak (xP, yP).xP = b2a = 62 ( 1) = 3yP= f(xP) =(3 3)2 = 0Koordinat titik puncak (3, 0).3) Sketsa grafik fungsi kuadrat:c. f(x) = x2 + 5x 101) Grafik memotong sumbu X jika y = 0.y = x2 + 5x + 10D = 52 4 (1) (10)= 52 40= 15 < 0Oleh karena D < 0, grafik tidak memotongsumbu X.Grafik memotong sumbu Y jika x = 0.x = 0 y = x2 + 5x 10= 02 5 0 10= 10Titik potong grafik dengan sumbu Y, yaitu(0, 10).2) Oleh karena a = 1 < 0, parabola terbukake bawah dan titik puncaknya maksimum.Koordinat titik puncak (xP, yP).xP= b2a= 52 ( 1) = 52yP= f(xP)=(52)2 + 5 52 10= 154Koordinat titik puncak (52, 154).17 MatematikaKelasX3) Sketsagrafikfungsikuadratf(x)=x2 + 5x 10:3. Jawaban:a. f(x)=10x22x+3dengandaerahasal{x I 1 < x < 3, x R}.Nilai-nilaiujungselangadalahx=1danx = 3.Nilai-nilai fungsi di ujung selang:f(1 ) = 10(1)2 2(1) + 3= 10 + 2 + 3 = 5f(3 ) = 10(3)2 2(3) + 3= 90 6 + 3 = 93Nilai ekstrem fungsi adalah yP = D4a.yP = D4a= 2b 4ac4a= 2( 2) 4 ( 10) 34 ( 10) = 4 12040+= 12440 = 3110Oleh karena a = 10 < 0 maka grafik terbukakebawahsehingganilaiekstremyP= 3110adalah nilai ekstrem maksimum.Padadaerahasal{xI1 0 (2k)2 4(k + 1)(k) > 0 4k2 + 4k2 + 4k > 0 8k2 + 4k > 0 4k(k + 1) > 0Pembuat nol: 4k(k + 1) = 0 4k = 0 atau k + 1 = 0 k = 0 atau k = 1Penyelesaiannya:k < 1 atau k > 0 . . . (1)2) Fungsi kuadrat mempunyai grafik terbukake bawah jika a < 0. k + 1 < 0 k < 1 . . . (2)3) Irisan 1) dan 2).Penyelesaiannya: k < 1Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k < 1, k R.6. a. Fungsikuadratyanggrafiknyamempunyaititik balik (1, 4 )dan melalui titik (2, 3).Persamaangrafikfungsikuadratyangmempunyaititikpuncak(xP,yP)adalahy=a(xxP)2+yP.Grafikfungsikuadratmempunyai titik puncak (1, 4 ). Persamaangrafiknya:y = a(x xP)2 + yP y = a(x 1)2 +(4)Grafikfungsikuadratmelaluititik(2,3).Substitusikanx=2dany=3kedalampersamaan grafik.x = 2 dan y = 3 y = a(x 1)2 +(4) 3 = a(2 1)2 +(4) 3 = a 4 a = 1Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan grafik.a = 1 y = a(x 1)2 +(4)= 1(x 1)2 +(4)= x2 2x + 1 4 = x2 2x 3Jadi,persamaangrafikfungsiadalahy = x2 2x 3.b. FungsikuadratyanggrafiknyamemotongsumbuXdititik(4,0)dan(3,0)sertamemotong di titik (0, 12).PersamaangrafikfungsikuadratyangmemotongsumbuXdi(x1,0)dan(x2,0)adalah y = a(x x1) (x x2).19 MatematikaKelasXGrafikfungsikuadratyangmemotongsumbuXdi(4,0)dan(3,0).Persamaangrafiknya:y = a(x x1) (x x2) y = a(x (4)) (x 3) y = a(x + 4)(x 3)Grafikfungsikuadratmelaluititik(0,12).Subsitusikanx=0dany=12kedalampersamaan grafik.x = 0 dan y = 12 y = a(x + 4)(x 3) 12 = a(0 + 4)(0 3) 12 = a (4) ( 3) a = 1Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan grafik.a = 1 y = a(x + 4)(x 3)= 1(x + 1)(x 3) = x2 + x 12Jadi,persamaangrafikfungsiadalahy = x2 + x 12.c. Fungsikuadratyanggrafiknyamelaluititik(2,5)dan(7,40)sertamempunyaisumbusimetri x = 1.Persamaansumbusimetrigrafikfungsikuadratadalahx=1sehinggaabsistitikpuncakadalah1.Misalkankoordinattitikpuncak adalah (1, q).Grafik fungsi kuadrat mempunyai titik puncak(1, q). Persamaan grafiknya:y = a(x xP)2 + yP y = a(x 1)2 + qGrafik fungsi kuadrat melaluititik melalui titik(2, 5) dan (7, 40):x = 2 dan y = 5 y = a(x 1)2 +q 5 = a(2 1)2 +q 5 = a + q. . . .(1)x = 7 dan y = 40 y = a(x 1)2 +q 40 = a(7 1)2 +q 40 = 36a + q. . . .(2)Eliminasi q dari persamaan (1) dan (2):40 = 36a + q5 = a + q 35 = 35 a a = 1Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan (1):a = 1 5 = a + q 5 = 1 + q q = 4Substitusikana=1danq=4kedalampersamaan fungsi kuadrat.y = a(x 1)2 +q y = 1(x 1)2 +4= x2 2x + 31Jadi,persamaangrafikfungsiadalahy = x2 2x + 5.7. a. Fungsikuadratyanggrafiknyamempunyaititik balik (1, 8)dan melalui titik (0, 3).Persamaangrafikfungsikuadratyangmempunyaititikpuncak(xP,yP)adalahy = a(x xP)2 + yP. Grafik fungsi kuadrat mempunyai titik puncak(1, 8) . Persamaan grafiknya:y = a(x xP)2 + yP y = a(x 1)2 +8Grafikfungsikuadratmelaluititik(0,3).Substitusikanx=0dany=3kedalampersamaan grafik.x = 0 dan y = 3 y = a(x 1)2 +8 3 = a(0 1)2 +8 3 = a + 8 a = 5Substitusikana=5kedalampersamaangrafik.a = 5 y = a(x 1)2 +8 y = 5(x 1)2 +8 y = 5x2 + 10x 5 + 8 y = 5x2 + 10x+ 3Jadi,persamaangrafikfungsiadalahy = 5x2 + 10x+ 3.b. FungsikuadratyanggrafiknyamemotongsumbuXdititik(3,0)dan(6,0)sertamemotong di titik (0, 4).PersamaangrafikfungsikuadratyangmemotongsumbuXdi(x1,0)dan(x2,0)adalah y = a(x x1)(x x2).GrafikfungsikuadratyangmemotongsumbuXdi(3,0)dan(6,0).Persamaangrafiknya:y = a(x x1)(x x2) y = a(x (3))(x 6) y = a(x + 3)(x 6)Grafikfungsikuadratmelaluititik(0,4).Subsitusikanx=0dany=4kedalampersamaan grafik.x = 0 dan y = 4 y = a(x + 3)(x 6) 4 = a(0 + 3)(0 6) 4 = a (3)( 6) a = 418 = 29Substitusikana= 29kedalampersamaangrafik.a = 29 y = a(x +3)(x 6)= 29(x + 3)(x 6)= 29x2 23x 4Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambaradalah y = 29x2 23x 4.c. Misalkanpersamaangrafikfungsikuadrattersebut.y = ax2 + bx + cGrafikfungsikuadratmelaluititik(1,1),(0, 7), dan (2, 5).20 PersamaandanFungsiKuadratXYy = x2y = (x 2)2y = (x 2)2 + (5)0 25XYy = x2y = (x 3)2y = (x 3)2 + 5503(1, 1) 1 = a (1)2 + b (1) + c 1 = a b + c . . . (1)(0, 7) 7 = a 02 + b 0 + c 7 = c . . . (2)(2, 5) 5 = a 22 + b 2 + c 5 = 4a + 2b + c . . . (3)Substitusi (2) ke dalam persamaan (1).1 = a b + c 1 = a b 7 8 = a b . . . (4)Substitusi (2) ke dalam persamaan (3).5 = 4a + 2b + c 5 = 4a + 2b 7 2 = 4a + 2b 1 = 2a + b . . . (5)Eliminasi b dari (4) dan (5).1 = 2a + b8 = a b +9 = 3a a = 3Substitusi a = 3 ke dalam persamaan (4).8 = a b 8 = 3 b b = 5Diperoleh a = 3, b = 5, dan c = 7.y = ax2 + bx + c = 3x2 5x 7Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambaradalah y = 3x2 5x 7.8. Grafik fungsi f(x) = a(x (b2a))2 + (D4a) dapatdiperolehdenganmenggesergrafikfungsif(x) = ax2 sejauh (b2a) satuan searah sumbu Xdilanjutkan menggeser sejauh (D4a) satuan searahsumbuY.Gunakancaratersebutuntukmenggambar grafik berikut.a. f(x) = x2 4x 1b. f(x) = x2 + 6x 4Jawaban:a. f(x) = x2 4x 1= x2 4x + 4 5= (x 2)2 + (5)Grafik f(x) = (x 2)2 + (5) dapat diperolehdengan menggeser grafik g(x) = x2 sejauh2 satuan searah sumbu X dilanjutkan meng-geser sejauh (5) satuan searah sumbu Y.b. f(x) = x2 + 6x 4 f(x) = x2 + 6x 9 + 5 f(x) = (x2 6x + 9) + 5 f(x) = (x 3)2 + 5Grafikf(x)=(x3)2+5dapatdiperolehdengan menggeser grafik g(x) = x2 sejauh3 satuan searah sumbu X dilanjutkan meng-geser 5 satuan searah sumbu Y.9. a. h(t) = 60t 7,5t2Peluru mencapai maksimum untukh(t) = D4a = 2b 4ac4a= 260 4 ( 7, 5) 04 ( 7, 5) = (3.600)30 = 120Jadi, tinggi maksimum peluru itu 120 meter.b. Waktu yang diperlukan sehingga mencapaitinggi maksimum:t = b2a t = 602( 7,5) t = 4Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapaitinggi maksimum peluru itu adalah 4 detik.10. a. Luas AEF = 12 AE AF= 12 x (8 2x) = 4x x2Luas EBC = 12 EB BC= 12 (8 x) 8 = 32 4xLuas CDF = 12 CD DF = 12 8 2x = 8xb. LCEF= LABCD LAEF LEBC LCDF= 64 (4x x2) (32 4x) 8x= 64 4x + x2 32 + 4x 8x = 32 8x + x2c. Luas segitiga CEF:L(x) = 32 8x + x2Luas minimum:Lmin= D4a = 2( 8) 4 1 324 1 = 64 1284 = 644 = 16Jadi,luasminimumsegitigaCEFadalah16 cm2.21 MatematikaKelasXA. PilihanGanda1. Jawaban: dx2 3x 4 = 0 (x + 1)(x 4) = 0 x + 1 = 0 atau x 4 = 0 x = 1 atau x = 4Oleh karena x1 > x2 maka x1 = 4 dan x2 = 1.Jadi, nilai dari 2x1 + 5x2 = 2 4 + 5 (1) = 8 5 = 3.2. Jawaban: c2x2 + 4x 5 = 0a = 2, b = 4, c = 5D = b2 4ac= 42 4 2 (5)= 16 + 40= 56x1,2= b D2a = 4 562(2) = 4 2 144 = 1 1214Jadi,penyelesaianpersamaankuadrattersebutx = 1 1214.3. Jawaban: dx2 + 4x + 5 0 (x + 5)(x + 1) 0Pembuat nol: (x + 5)(x + 1) = 0 x + 5 = 0 atau x + 1 = 0 x = 5atau x = 1Penyelesaiannya x 1 atau x 5.Jadi, himpunan penyelesaian: {x | x 1 atau x 5}.4. Jawaban: bx(x + 3) 6 6x + 4 x2 + 3x 6 6x + 4 x2 3x 10 0 (x 5)(x + 2) 0Pembuat nol:(x 5)(x + 2) = 0 x 5 = 0 atau x + 2 = 0 x = 5 atau x = 2Penyelesaiannya x < 2 atau x > 5.Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x 2 atau x 5.5. Jawaban: cAkar-akar persamaan kuadrat x2 + (a 1)x + 2 = 0adalah dan dengan = 2.x1 + x2 = ba + = a 11 = 1 ax1x2 = ca = 21 (2)() = 2 22= 2 2= 1 = 1 = 1 atau = 1Untuk = 1 diperoleh = 2 = 2 1 = 2. + = 1 a 2 + 1 = 1 a 2 + 1 1 = a 2 = a a = 2Untuk = 1 diperoleh = 2 = 2 (1) = 2 + = 1 a 2 + (1) = 1 a 2 + (1) = a 4 = a a = 4Oleh karena nilai a > 0, nilai a yang memenuhia = 4.Jadi, nilai a = 4.6. Jawaban: bPersamaan kuadrat: 2x2 3x + 5 = 0 mempunyaiakar-akar dan . + = ba = 32 = 32 = ca = 52 + = 2 2 += 2( ) 2 + = 23 52 2522 = 94525 44 = 9 2010 = 1110Jadi, nilai + = 1110 .251522 PersamaandanFungsiKuadrat7. Jawaban: aPersamaan kuadrat 2x2 4x 1 = 0 akar-akarnyax1 dan x2.a = 2, b = 4, c = 1x1 + x2 = ba = 42 = 2x1x2 = ca = 12Persamaan kuadrat baru akar-akarnya 2x1 dan 2x2.2x1 + 2x2 = 2(x1 + x2) = 2 2 = 42x1 2x2 = 4x1x2 = 4 (12) = 2Persamaan kuadrat barunyax2 (2x1 + 2x2)x + 2x1 2x2= 0 x2 4x + (2) = 0 x2 4x 2 = 0Jadi, persamaan kuadrat barunya x2 4x 2 = 0.8. Jawaban: bx2 6x + 3 = 0a = 1, b = 6, c = 3 + = ba = 61 = 6 = ca = 31 = 3(3 + 1) + (3 + 1) = 3 + 3 + 2= 3( + ) + 2= 3(6) + 2= 18 + 2 = 20(3 + 1)(3 + 1) = 3(3 + 1) + (3 + 1)= 9 + 3 + 3 + 1= 9 + 3( + ) + 1= 9 3 + 3 6 + 1= 27 + 18 + 1 = 46Jadi, persamaan kuadrat barunyax2 ((3 + 1) + (3 + 1))x + ((3 + 1)(3 + 1)) = 0 x2 20x + 46 = 0.9. Jawaban: aPersamaan kuadrat x2 + b1x + c1 = 0 mempunyaiakar-akar dan maka diperoleh: + = b1 . . .(1) = c1 . . .(2)Persamaan kuadrat x2 + b2x + c2 = 0 mempunyaiakar-akar + dan maka diperoleh: + + = b2 2 = b2. . .(3)( + )( ) = c2. . .(4)Diketahui ( )2 = 4 = 21) Untuk = 2: ( + )( ) = c2 b1(2) = c2Rasio c2 : b1= b1(2) : b1 = 2 : 12) Untuk = 2:( + )( ) = c2 b1(2) = c2 2 b1= c2Rasio c2 : b1= 2b1: b1= 2 : 1Jadi, rasio c2 : b1yang mungkin adalah 2 : 1.10. Jawaban: cJika dan adalah akar-akar darix2 (k + 1)x + (k + 3) = 0 mempunyai akar-akar dan dengan = 2 maka diperoleh: + = (k 1)1 + + 2 = k + 1 3 = k + 1 k = 3 1 . . . (1) = k 31+ 2 = k + 3 22= k + 3 k = 22 3 . . . (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:k = 3 1 = 22 3 22 3 2 = 0 (2 + 1)( 2) = 01 = 12 atau 2= 21 = 12 k = 3 (12) 1= 522 = 2 k = 3 2 1 = 5Jadi, nilai k adalah 5 atau 52.11. Jawaban: aPersamaan kuadrat mempunyai dua akar real yangberbeda jika D > 0.(n 1)2 4 (4 n) > 0 n2 2n + 1 16 + 4n > 0 n2 + 2n 15 > 0 (n + 5)(n 3) > 0Pembuat nol:(n + 5)(n 3) = 0 n + 5 = 0 atau n 3 = 0 n = 5 atau n = 3Garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut.Jadi, nilai n yang memenuhi n < 5 atau n > 3.12. Jawaban: e1) Syaratagarakarpersamaankuadratrealadalah D > 0D > 0 b2 4ac > 0 q2 4 p (1 p) > 0 q2 4p + 4p2> 0 . . . (1)5323 MatematikaKelasX2) Syarat agar kedua akar saling berkebalikanadalah x1x2 = 1x1x2 = 1 1 pp= 1 1 p = p 1 = 2p p = 12. . . (2)Substitusikanp= 12kedalampersamaan(1),diperoleh:q2 4(12) + 4(12)2> 0 q2 2 + 1 > 0 q2 1 > 0 (q 1)(q + 1) > 0Pembuat nol:(q 1)(q + 1) = 0 q 1 = 0 atau q + 1 = 0 q = 1 atau q = 1Garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut.Penyelesaiannya q < 1 atau q > 1Jadi, nilai q haruslah q < 1 atau q > 1.13. Jawaban: cMisalkan lebar bingkai = x cm.Luas daerah berbayang 1.036 cm2, berarti:(45 2x)(36 2x) = 1.036 1.620 162x + 4x2= 1.036 4x2 162x + 584 = 0 2x2 81x + 292 = 0 (2x 73)(x 4) = 0 2x 73 = 0 atau x 4 = 0 x = 732 = 36,5 atau x = 4Lebar bingkai 732= 36,5 cm tidak mungkin.Jadi, lebar bingkai 4 cm.14. Jawaban: cDiketahui:AC = BC = 20 cmPanjang CE = AD= x cmCD = BE = 20 xLuas ABED > 50 Luas ABC luas DCE = 15212 20 20 12 x (20 x) = 152 200 10x + 12x2= 15212x2 10x + 48 = 0 x2 20x + 96 = 0 (x 8)(x 12) = 0 (x 8)(x 12) = 0 x = 8 atau x = 12Penyelesaiannya x = 8 atau x = 12Panjang AD = 8 atau panjang AD = 12.Jadi, salah satu nilai yang memenuhi adalah 12 cm.15. Jawaban: dMisalkan bilangan I adalah x dan bilangan II adalah(32 x).1x + 132 x = 21532 x xx(32 x) += 21532x(32 x) = 215 x(32 x) = 32 152 x(32 x) = 240 x2 + 32x 240 = 0 x2 32x + 240 = 0 (x 12)(x 20) = 0 x 12 = 0 atau x 20 = 0 x = 12 atau x = 20Untuk bilangan I = x = 12 maka bilangan II = 32 x= 32 12 = 20 sehingga selisihnya = 20 12 = 8Untuk bilangan I = x = 20 maka bilangan II = 32 x= 32 20 = 12 sehingga selisihnya = 20 12 = 8Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 8.16. Jawaban: cGrafik memotong sumbu X jika f(x) = 0.f(x) = 0 (x 1)2 4 = 0 (x 1)2= 4 x 1 = 2 x = 1 2 x = 3 atau x = 1Jadi, titik potongnya (1, 0) dan (3, 0).17. Jawaban: b1) Kurva memotong sumbu X jika y = 0.y = 0 3x2 5x 2 = 0 (3x + 1)(x 2) = 0 3x + 1 = 0 atau x 2 = 0 x = 13 atau x = 2Titik potong dengan sumbu X adalah (13, 0)dan (2, 0).1145cm36 cm(452x)cm(36 2x) cmxABCDExx(20x)(20x)24 PersamaandanFungsiKuadrat0YX0f(x)380 382) Kurva memotong sumbu Y jika x = 0.y = 3x2 5x 2 = 3 02 5 0 2 = 2Titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 2).Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu X dansumbu Y adalah (13, 0), (2, 0), dan (0, 2).18. Jawaban: af(x) = 2x2 4x + 5a = 2, b = 4, c = 5Koordinat titik balik (xP, yP).xP= b2a= 42 ( 2)= 1yP = f(xP) = f(1)= 2 (1)2 4 (1) + 5= 7Jadi, koordinat titik baliknya (1, 7).19. Jawaban: df(x) = x2 + 4x + 4a = 1 > 0 parabola terbuka ke atasSumbu simetri: x = b2a = 42 = 2Nilai minimum:f(2) = (2)2 + 4 (2) + 4= 4 8 + 4= 0Koordinat titik balik minimum (2, 0).Grafik yang sesuai pada pilihan d.20. Jawaban: bFungsi kuadraty = ax2 + bx + c dengana > 0 ,b > 0 , c > 0danb2 4ac > 0.Nilaiamenentukanarahterbukagrafikfungsikuadrat. Oleh karena nilai a > 0 maka grafik terbukake atas.Nilaibmenentukanabsiskoordinattitikpuncakgrafik fungsi kuadrat yaitu x = b2a.Oleh karenanilaia>0danb>0makax=b2a= ++=.Absis bernilai negatif sehingga titik puncak beradadi kiri sumbu Y.Nilai c menentukan ordinat koordinat titik potonggrafik fungsi kuadrat dengan sumbu Y. Oleh karenanilai c > 0maka grafik memotong sumbu Y positif.Nilai diskriminan menentukan banyak titik potonggrafik fungsi kuadrat dengan sumbu X. Oleh karenanilai b2 4ac > 0 maka grafik memotong sumbu Xdi dua titik.Grafik yang memenuhi nilai-nilai a > 0 , b > 0 , c > 0danb2 4ac > 0 adalah grafik pada pilihan b.21. Jawaban: bGrafik fungsi kuadrat beradadiatassumbuXjikagrafikterbuka ke atas (a > 0) dangrafik tidak memotong sumbuX (D < 0).f(x) = mx2 + (2m 3)x + m + 3a > 0 m > 0. . . (1)D < 0 (2m 3)2 4m(m + 3) < 0 4m2 12m + 9 4m2 12m < 0 24m + 9 < 0 m > 924 m > 38. . . (2)Irisan penyelesaian (1) dan (2).Penyelesaiannya: m > 38Jadi, grafik fungsi f(x) berada di atas sumbu X22. Jawaban: eSumbu simetri x = b2a = 1 (a 3)2(a 2)+= 1a 3 = 2(a + 2) a 3 = 2a + 4a = 7Fungsi kuadrat f(x) = (7 + 2) x2 + (7 3) x 20 f(x) = 5x2 10x 20Oleh karena nilai koefisien x2 adalah 5 < 0, grafikfungsi mempunyai nilai maksimum.Nilai ekstrem: f(1) = 5(1)2 10(1) 20= 5 + 10 20 = 15Jadi,nilaiekstremfungsikuadrattersebutmaksimum 15.23. Jawaban: cFungsikuadratyanggrafiknyamemotongsumbu X di titik(3, 0) dan (2, 0) serta memotongdi titik (0, 12).Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotongsumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0) adalahy = a(x x1) (x x2).25 MatematikaKelasXGrafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di(3, 0) dan (2, 0) Persamaan grafiknya:y = a(x x1) (x x2) y = a(x (3)) (x 2) y = a(x + 3)(x 2)grafikfungsikuadratmelaluititik(0,12).Subsitusikan x = 0 dan y = 12 pada persamaangrafik.x = 0 dan y = 12 y = a(x + 3)(x 2) 12= a(0 + 3)(0 2) 12= a (3) (2) a= 126 = 2Substitusikan a = 2 pada persamaan grafik.a = 2 y = a(x + 3)(x 2)= 2(x + 3)(x 2)= 2x2 + 2x 12Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalahy = 2x2 + 2x 12.24. Jawaban: ePersamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyaititik puncak (xP, yP) adalah y = a(x xP)2 + yP. Grafik fungsi kuadrat di samping mempunyai titikpuncak (1, 1) . Persamaan grafiknya:y = a(x xP)2 + yP y = a(x 1)2 +(1)Grafikfungsikuadratmelaluititik(0,2).Substitusikan x = 0 dan y = 2 pada persamaangrafik.x = 0 dan y = 2 y = a(x 1)2 +(1) 2 = a(0 1)2 1 2 = a 1 a = 1Substitusikan a = 1 pada persamaan grafik.a = 1 y = a(x 1)2 1= 1(x 1)2 1= x2 + 2x 1 1= x2 + 2x 2Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalahy = x2 + 2x 2.25. Jawaban: cMisalkan fungsi kuadrat tersebut f(x) = ax2 + bx + c.f(2) = 0 22a + 2b + c = 0 4a + 2b + c = 0. . . (1)f(4) = 0 42a + 4b + c = 0 16a + 4b + c = 0. . . (2)f(2)=f(4)=0artinyagrafikfungsimemotongsumbu X di titik (2, 0) dan (4, 0).Oleh karena sumbu simetri adalah x = 2 42+ = 3dan nilai maksimum 5, grafik fungsi berpuncak dititik (3, 5) atau f(3) = 5.f(3) = 32a + 3b + c 5 = 32a + 3b + c 5 = 9a + 3b + c . . . (3)Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2).4a + 2b + c = 016a + 4b + c = 0 12a 2b = 0 12a = 2b 6a = b b = 6aEliminasi c dari persamaan (2) dan (3).16a + 4b + c = 09a + 3b + c = 5 7a + b = 5 . . . (4)Substitusikan b = 6a ke dalam persamaan (4).7a + b = 5 7a + (6a) = 5 a = 5Substitusikan a = 5 ke persamaan b = 6a.b = (6) (5) = 30Substitusi a = 5 dan b = 30 ke dalam persamaan (1).4a + 2b + c = 0 4 (5) + 2 (30) + c = 0 20 + 60 + c = 0 c = 40Jadi, fungsi kuadrat tersebut f(x) = 5x2 + 30x 40.26. Jawaban: bf(x) = ax2 + bx + cDiketahui f(0) = 3, f(3) = 0, dan f(4) = 5.f(0) = 3 a(0)2 + b(0) + c = 3 c = 3f(3) = 0 a 32 + b 3 + c = 0 9a + 3b + c = 0 9a + 3b + 3 = 0 9a + 3b = 3 3a + b = 1 . . . (1)f(4) = 5 a 42 + b 4 + c = 5 16a + 4b + 3 = 5 16a + 4b = 8 4a + b = 2 . . . (2)Eliminasi b dari (1) dan (2).3a + b = 14a + b = 2 a = 1 a = 1Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan (1).3a + b = 1 3 (1) + b= 1 b= 2Diperoleh a = 1, b = 2, c = 3Nilai a + b + c = 1 + 2 + 3 = 4.26 PersamaandanFungsiKuadratYX027. Jawaban: cf(x) = x2 + 4x + 3Misalkan titik puncak fungsi kuadrat (xP, yP).xP = b2a = 42 1 = 2yP = f(xP) = f(2) = (2)2 + 4 (2) + 3 = 1Fungsi kuadrat f(x) = x2 + 4x + 3 titik puncaknya(2, 1).Titik(2,1)merupakantitikterendahfungsikuadratyangmelaluititik(1,3)sehinggapersamaan fungsi kuadratnya:y = a(x xP)2 + yP y = a(x + 2)2 + (1)Grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (1, 3).Substitusikanabsisdanordinattitik(1,3)kefungsi kuadrat.3 = a(1 + 2)2 + (1) 3 = a 1 a = 4Persamaan fungsi kuadratnyay = 4(x + 2)2 + (1)= 4(x2 + 4x + 4) + (1)= 4x2 + 16x + 16 1= 4x2 + 16x + 1528. Jawaban: bFungsi kuadrat f memiliki sifat f(x) 0.Adaduakemungkinangrafiknya,yaitusebagaiberikut.1) Grafik terbuka ke atas dan tidak memotongsumbu X.2) Grafikterbukakeatasdanmenyinggungsumbu X.Oleh karena f(1) = 0, artinya untuk x = 1 diperolehy = 0 sehingga grafik yang mungkin adalah nomor 2.Dengandemikian,titikpuncaknyaadalah(1,0).Persamaan fungsi kuadratnyay = a(x xP)2 + yP y = a(x 1)2 + 0 y = a(x 1)2Fungsi kuadrat melalui (2, 2) sehingga f(2) = 2.Substitusikan x = 2 dan y = 2 ke y = a(x 1)2.y = a(x 1)2 2= a(2 1)2 2 = aPersamaan fungsi kuadratnya y = 2(x 1)2.Rumus fungsi kuadratnya:f(x) = 2(x 1)2f(0) = 2(0 1)2 = 2 1 = 2f(4) = 2(4 1)2 = 2 9 = 18Jadi, f(0) + f(4) = 2 + 18 = 20.29. Jawaban: aMisalkan pendapatan dari penjualan x komputer =P(x) = 18.000x 80x2 dan biaya produksi x komputer= B(x) = x(2.000 + 8.000x)Keuntungan:K(x) = pendapatan biaya produksi= P(x) B(x)= 18.000x 80x2 x(2.000 + 8.000x)= 18.000x 80x2 2.000x 8.000= 80x2 + 16.000x 8.000Nilai maksimum diperoleh pada titik balik (xP, yP).xP = b2a = 16.0002( 80) = 100Jadi, keuntungan maksimum diperoleh pada saatmemproduksi komputer sebanyak 100 unit.30. Jawaban: bKeliling segitiga = panjang taliAB + AC + BC = 60 AB + AC = 60 24 AB + AC = 36 AB = 36 ACMisalkan: AC = xAB = 36 xLuas segitiga ABC= 12 AB AC= 12 (36 x) x= 12 36x 12x2= 12x2 + 18xLuas segitiga maksimum diperoleh pada saat(xP, yP).xP= b2a = 12182 ( ) = 18yP= 2b 4ac4a = 1 221218 4 ( ) 04 ( ) = 3242 = 162Jadi, luas maksimum segitiga 162 cm2.YX027 MatematikaKelasXB. `Uraian1. a.2x4 + x2 14 = 0 x2 + 2x 1 = 01) Dengan cara melengkapkan kuadratx2 + 2x 1= 0 x2 + 2x = 1 x2 + 2x + 1 = 1 + 1 (x + 1)2= 2 x + 1 = 2 x + 1 =2atau x + 1 = 2 x = 1 +2atau x = 1 22) Dengan rumus abcx2 + 2x 1 = 0a = 1, b = 2, dan c = 1x1,2= 2b b 4ac2a = 22 2 4 1 ( 1)2 1 = 2 82 = 2 2 22 = 1 2x1 = 1 +2atau x2 = 1 2b. 2x2 + x 10 = 25 3x x2 3x2 + 4x 35 = 01) Dengan cara melengkapkan kuadratx2 + 43x 353 = 0 x2 + 43x = 353 x2 + 43x + 49= 353 + 49 (x + 23)2= 1099 x + 23= 1099 x = 23 13109 x1= 23 + 13109ataux2= 23 131092) Dengan rumus abc3x2 + 4x 35 = 0a = 3, b = 4, c = 35x1,2= 2b b 4ac2a = 24 4 4 3 ( 35)2 3 = 4 4366 = 4 2 1096 = 2 1093 x1= 2 1093 += 23 + 13109x2= 2 1093 = 23 131092. Persamaan kuadrat 6x2 + (4p + 1)x + 2p = 0 makaa = 6, b = 4p + 1, dan c = 2p.x1 + x2 = ba x1 + x2 = 4p 16+x1x2 = ca x1x2 = 2p6a. Dua akar berkebalikan jika x1x2 = 1 dan D > 0x1x2 = 1 2p6= 1 p = 3Untuk p = 3, diperoleh:D = b2 4ac= (4p + 1)2 4 6 2p= (4 3 + 1)2 4 6 2 3= 132 144= 25 > 0Jadi, persamaan kuadrat mempunyai dua akarberkebalikan jika p = 3.b. Dua akar berlawanan jika x1 + x2 = 0 dan D > 0x1 + x2 = 0 (4p 1)6+= 0 4p + 1 = 0 p = 14Untuk p = 14 diperoleh:D = b2 4ac= (4p + 1)2 4 6 2p= (4(14) + 1)2 4 6 2(14)= 02 + 12= 12 > 0Jadi, persamaan kuadrat tersebut mempunyaidua akar berlawanan jika p = 14.28 PersamaandanFungsiKuadrat3. a dan b akar-akar persamaan x2 x + 3 = 0 maka: + = 1 dan = 3a. x2 (x1 + x2)x + x1x2 = 0 x2 (11 + + 11 +)x + 11 +11 += 0 x2 (1 1( 1)( 1) + + + + +)x + 1( 1)( 1) + += 0 x2 (2( ) 1 + + + + +)x + 1( ) 1 + + += 0 x2 (1 23 1 1++ +)x + 13 1 1 + += 0 x2 35x + 15= 0 5x2 3x + 1 = 0b. x2 (x1 + x2)x + x1x2 = 0 x2 (2 + 2)x + 22= 0 x2 (( + )2 2)x + ()2= 0 x2 (12 2 3)x + 32= 0 x2 + 5x + 9 = 0c. x2 (x1 + x2)x + x1x2 = 0 x2 (3 + 3)x + 33= 0x2 (( + )3 3( + ))x + ()3= 0 x2 (13 3 3 1)x + 33= 0 x2 + 8x + 27 = 0d. x2 (x1 + x2)x + x1x2 = 0 x2 ( + )x + = 0 x2 ( + 2 2)x + 1 = 0 x2 ( + 2( ) 2)x + 1 = 0 x2 (21 2 33 )x + 1 = 0 x2 + 53x + 1 = 0 3x2 + 5x + 3 = 04. Misalkankecepatanberlari=vldenganwaktu=tldankecepatansepedamotor=vmdengan waktu = tm.Diketahui bahwa t

+ tm = 45 menit = 34 jam danvm = v

+ 14.t

+ tm = 343v

+ m5v= 343v

+ 5v 14 +

= 343(v 14) 5vv (v 14)+ ++ = 34 4(3v

+ 42 + 5v

) = 3(v

2 + 14v

) 32v

+ 168 = 3v

2 + 42v

3v

2 + 10v

168 = 0 (3v

+ 28)(v

6) = 0 3v

+ 28 = 0 atauv

6 = 0v

= 283 atau v

= 6Oleh karena v

merupakan kecepatan maka v

> 0sehingga nilai v

yang memenuhi adalah v

= 6.Jadi, rata-rata kecepatan lari Edo 6 km/jam.5. Misalkan p = panjang persegi dan= lebar persegipanjang maka p = 3.L 75 p = 75 3 = 75 32= 75 2= 25 2 25 = 0 ( 5)( + 5) = 0 5 = 0 atau+ 5 = 0= 5atau= 5Oleh karena lebar bernilai positif, diperoleh= 5.Jadi, panjang kawat yang diperlukan:K = 2(3 + ) = 2(15 + 5) = 40 cm.6. Misalkanbanyaknyakomputeryangdibeli=n,maka banyak komputer yang terjual = n 1Harga beli setiap komputer = 120.000.000nHarga jual setiap komputer = 135.000.000n 1 Untuk setiap komputer makauntung = harga jual harga beli135.000.000n 1 120.000.000n = 1.500.000 n(n 1) n 135.000.000 (n 1)120.000.000= 1.500.000 n(n 1) 270n (n 1)240 = 3n(n 1) 270n 240n + 240 = 3n2 3n 3n2 3n 30n 240 = 0 3n2 33n 240 = 0 n2 11n 80 = 0 (n 16)(n + 5) = 0 n 16 = 0 atau n + 5 = 0 n = 16 atau n = 5 (tidak mungkin)Jadi,jumlahkomputeryangterjual=n1= 16 1 = 15 komputer.7. y = f(x) = 2x2 7x 4.a. GrafikmemotongsumbuXjikay=0,diperoleh:2x2 7x 4 = 0 (2x + 1)(x 4) = 0 x = 12 atau x = 4TitikpotonggrafikdengansumbuXyaitu(12, 0) dan (4, 0).29 MatematikaKelasXXY632f(x)=2(x4)2f(x)=2x2XY43 01832XY410f(x)=2(x4)2f(x)=2x2f(x) = 2(x 4)2 10YX0412744818b. Grafik memotong sumbu Y jika x = 0, diperoleh:y = f(0) = 2 02 7 0 4 = 4TitikpotonggrafikdengansumbuYyaitu(0, 4).c. Oleh karena a = 2 > 0, parabola terbuka keatas dan titik puncaknya minimum.Koordinat titik puncak (xP, yP).xP = b2a = 72(2) = 74yP = f(xP) = f(74)= 2 (74)2 7 74 4= 498 494 54= 818Jadi, koordinat titik puncaknya (74, 818).d. Grafik fungsi kuadrat f(x):8. a. f(x) = 2x2 y = 2x2Titik potong dengan sumbu koordinat.Grafik fungsi memotong sumbu Y jika x = 0x = 0 y = 2x2 = 2(0)2 = 0Titik potong dengan sumbu Y (0, 0).Titik balik maksimum diperoleh pada(b2a, D4a).xp = b2a = 02(2) = 0yp = 2b 4ac4a = 20 4( 2)(0)4( 2) = 0Titik balik maksimum (0, 0).Tabel titik bantu: x 4 2 1 2 4y = 2x232 8 2 8 32(x,y) (4,32) (2,8) (1,2) (2,8) (4, 32)Grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x2b. f(x) = 2(x + 6)2 = 2(x (6))2Grafik fungsi f(x) = 2(x + 6)2 dapat diperolehdengan menggeser grafik fungsi f(x) = 2x2sejauh (6) satuan searah sumbu X.c. f(x) = 2(x 4)2 10 = 2(x 4)2 + (10)Grafikfungsif(x)=2(x4)210dapatdiperoleh dengan menggeser grafik fungsi f(x)=2x2sejauh4satuansearahsumbuXdilanjutkan menggeser (10) satuan searahsumbu Y.30 PersamaandanFungsiKuadrat2ABCD PQRSx8 xx12 xx8 xx12 x1289. Jawaban:f(x) = x2 px + (1 p)Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di duatitik, berarti nilai D > 0.D > 0 b2 4ac > 0 (p)2 4 (1)(1 p) > 0 p2 + 4 4p > 0 p2 4p + 4 > 0 (p 2)2> 0Pembuat nol:(p 2)2 = 0 (p 2)(p 2) = 0 p 2 = 0 atau p 2 = 0 p = 2 atau p = 2Garis bilangan beserta tandanya sebagai berikut.Penyelesaiannya: p < 2 atau p > 2 atau p 2.Jadi,nilai p yang memenuhi p 2.10.Luas ABCD= Luas PQRS luas AQB luas BRC luas CSD luas APD= 12 8 12x (8 x) 12x (12 x) 12x (8 x) 12x (12 x)= 12 8 2 12 x(8 x) 2 12x(12 x)= 96 (8x x2) (12x x2)= 96 8x + x2 12x + x2= 96 20x + 2x2Misalkan f(x) = luas ABCDf(x) = 96 20x + 2x2Titik balik minimum fungsi f(x) = 96 20x + 2x2dicapai pada titik (b2a, D4a).xP = b2a = 202 2 = 5yP =D4a= 2b 4ac4a= 2( 20) 4 2 964 2 = 3688 = 46Nilai yP = D4a = 46 merupakan nilai balik minimum= yP = 46Jadi,luasminimumsegiempatABCDadalah46 cm2.31 Matematika Kelas XSetelahmempelajaribabini,pesertadidikmampu:1. menemukankonsepperbandingantrigonometripadasegitigasiku-siku;2. menemukansifat-sifatdanhubunganantarperbandingantrigonometripadasegitigasiku-siku;3. menentukanhubunganperbandingantrigonometridarisudutdisetiapkuadran,memilihdanmenerapkandalampenyelesaianmasalahnyatadanmatematika;4. menemukankonsepfungsitrigonometridanmenganalisisgrafikfungsinyasertamenentukanhubungannilaifungsinyasertamenentukanhubungannilaifungsitrigonometridarisudut-sudutistimewa.Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik berperilaku disiplin dan kritis dalam kehidupan sehari-hari. Memilikisikaplogis,kritis,kreatif,disiplin,danrasaingintahu,sertamemilikirasapercayadiridalammenyelesaikanmasalah. Berperilakujujurdanbertanggungjawabdalamberinteraksidenganlingkungansosial. Mampumenguasaikonsepperbandingantrigonometripadasegitigasiku-siku. Mampumenentukanhubunganperbandingantrigonometridarisudutdisetiapkuadran. Mampumenguasaikonsepfungsitrigonometridanmelakukananalisis. Mampumenerapkankonseptrigonometridalampermasalahannyata. Menjelaskanperbandingantrigono-metridiberbagaikuadran. Menjelaskanperbandingantrigono-metrisudutistimewa. Menjelaskanperbandingantrigono-metrisudutberelasi. Berdiskusi menyelidiki nilai sinus,kosinus,dantangensudutistimewa. Menjelaskansudutdanbesarsudut. Menjelaskan konsep dasar sudutpadasegitigasiku-siku. Menjelaskanperbandingantrigono-metripadasegitigasiku-siku. Berdiskusi menentukan rumuskebalikandanrumusperbandingantrigonometri. Menjelaskanfungsitrigonometri. Menggambar grafik fungsi trigono-metri. Menjelaskan persamaan trigono-metrisederhana. Menjelaskanidentitastrigonometri. Berdiskusi menggambar grafikfungsiy=asinkxdany=acoskx.TrigonometriUkuranSudutdanPerbandinganTrigonometriPerbandinganTrigonometriSudutIstimewaFungsi,Persamaan,danIdentitasTrigonometri32 TrigonometriA. Pilihan Ganda1. Jawaban: dOlehkarenaarahputaransudutsearahdenganputaranjarumjamsebesar30,sudutyangsesuaiadalah30atau330.2. Jawaban: c1rad=180 rad=18034=34180=5404=135Jadi,34=135.3. Jawaban: b1=180rad72=72180=72180 =25Jadi,72=25 rad.4. Jawaban: dsin=BCABsin=ACABcos=ACABcos=BCABtan=BCACtan=ACBC5. Jawaban: bAB=2 2AC BC =2 2(2 13) 6 = 52 36 = 16 =4cosA=ABAC=42 13=2 1313Jadi,cosA=21313 .6. Jawaban: eTerbentuksegitigaKLMsiku-sikudiK.KL =8satuanKM =6satuanLM =2 2KL+ KM=2 28+ 6= 64 + 36= 100=10satuancosL=KLLM=810=45tanM=KLKM=86=43Jadi,cosL=45dantanM=43.7. Jawaban: bTerbentuksegitigaPQRsiku-sikudiP.PQ=4satuanPR=6satuan3 sec Rcosec Q=QRPRQRPQ3 =3QRPRPQQR=3PQPR=3 46=126=28. Jawaban: bBC =2 2AC AB =2 24 3 = 16 9 = 7cotanA=ABBC=37=377Jadi,cotanA=377 .K LM4523YX0ACBYXPQR3210 4 3 2 1 1 2 3 4123CA B4333 Matematika Kelas X9. Jawaban: cPerhatikansegitigaberikut.tanP=5 1111=511a =2 2( 11) 5 += 11 25 + = 36 =6sinP=5a=56Jadi,nilaisinP=56.10. Jawaban: asinB=pACAB=pMisalkanAC=pmakaAB=1.BC =2 2AB AC =2 21 p =21 p tanB=ACBC=2p1 p Jadi,tanB=2p1 p .11. Jawaban: bcosK=1aKLKM=1aMisalkan panjang KL = 1 satuan maka panjangKM=asatuan.LM =2 2a 1 =2a 1 NilaisinKtanK =2a 1a2a 11=2a 1a12. Jawaban: acos =23ABAC=23ABx=23 AB =23xPadaABCberlaku:AC2=AB2+BC2 x2=(23x)2+52 x2=49x2+2559x2=25 5x2=925 x2=45 x = 45 =3 513. Jawaban: bsinM =23KLKM=2320KM=23 2KM =3 20 KM =3220 = 3 2 52=3 514. Jawaban: eLDEF=12DFEF 9 =12DF3 DF =6DE =2 2EF DF +=2 23 6 += 9 36 += 45 =3 5cosE=EFDE=33 5=155Jadi,cosE=155 .15. Jawaban: dPerhatikanABD.sin=ADBD sin=pBD BD=psin PerhatikanBCD.cos=BCBD BC=BDcos BC=psin cosJadi,panjangsisiBC=p cossin.CAB1pPa511x5A BCFDEKL M2034 TrigonometriB. Uraian1. a. BC =2 2AC AB =2 215 12 = 225 144 =81=9sin =BCAC=915=35cos =ABAC=1215=45tan =BCAB=912=34b.DE =2 2DF EF +=2 212 5 += 144 25 +=169=13sin =DFDE=1213cos =EFDE=513tan =DFEF=125c.AC =2 2AD CD +=2 224 7 += 576 49 +=625=25BC =2 2AC AB =2 225 20 = 625 400 =225=15sin =BCAC=1525=35cos =ABAC=2025=45tan =BCAB=1520=342. sinL =0,28KMLM=0,28KMLM=725MisalkanKM=7makaLM=25,diperoleh:KL =2 2LM KM =2 225 7 = 625 49 =576=24a. tanL=KMKL=724Jadi,tanL=724.b. tanM=KLKM=247Jadi,tanM=247.3. a. sin2C+cos2C=1Bukti:sinC=cba2+c2=b2cosC=absin2C+cos2C =(cb)2+(ab)2=22cb+22ab=2 22c ab+=22bb=1Terbuktibahwasin2C+cos2C=1.b. cosec2Acotan2A=1Bukti:cosecA=bccotanA=accosec2Acotan2A =(bc)2(ac)2=22bc22ac=2 22b ac=22cc=1Terbuktibahwacosec2Acotan2A=1.1215AB CB72024A CD125DEFKLM35 Matematika Kelas XA. Pilihan Ganda1. Jawaban: dTitikA(6,8)beradadikuadranII,denganx=6dany=8.r =OA=2 2x y +=2 2( 6) 8 += 36 64 += 100=10Kosinus di kuadran II bernilai negatif sehinggacos=610=35.2. Jawaban: esin150 sin120cos 210 cos 300 + =sin (180 30) + sin (180 60)cos (180 + 30) cos (360 60) =sin 30 + sin 60cos 30 cos 60 =1 12 21 12 233+ =( )1 12 21 12 233+ +=1Jadi,nilaisin150 sin120cos 210 cos 300 + =1.3. Jawaban: c=34=3 1804 =135AB =BC=6aAC =diagonalsisi=6a 2OC=12AC=3a 2OlehkarenaOP:PC=1:2,diperoleh:OP =11 2 +OC=133a 2=a 2PerhatikanPOBdengansiku-sikudiO.PB =2 2BO PO +=2 2(3a 2) (a 2) +=220a=2a 5sinPBO =OPPB=a 22a 5=22 5=1010Jadi,nilaisinPBO=1010.4. PerhatikanABC.tan=BCAB=BCDB 1 + BC=(DB+1)tan BC=DBtan+tan ...(1)PerhatikanDBC.tan =BCDB BC =DBtan ...(2)Daripersamaan(1)dan(2)diperoleh:DBtan =DBtan+tan DBtanDBtan =tan DB(tantan) =tan DB =tantan tan Jadi,panjangDB=tantan tan .5. Perhatikangambarberikut.A BC DOP36 Trigonometrisin =sin135=sin(18045)=sin45=122cos =cos135=cos(18045)=cos45=122Oleh karena nilai sin berlainan tanda dengancosmakajumlahkeduanyasamadengannol.sin+cos=122+(122)=0.4. Jawaban: dcos330 =cos(36030)=cos30=123tan(315) =tan315=tan(36045)=tan45=1sin(210) =sin210=sin(180+30)=sin30=12cotan330 =cotan(36030)=cotan30= 3Nilaicos330tan(315)sin(210)cotan330=(123)(1)(12)( 3 )=123+123= 35. Jawaban: ca=2 26 5 = 36 25 = 11KosinusdikuadranIIbernilainegatif.cos=a6=116Jadi,cos=1611.6. Jawaban: csinA =BCAC sin30 =6AC12=6AC AC =12cmJadi,panjangAC=12cm.7. Jawaban: bsin(2+2x)+sin(22x)=sin((2+2x))+sin(22x)=sin(22x)+sin(22x)=2sin(22x)=2cos2x8. Jawaban: ex+y+z =180 y+z =180x sin12(y+z) =sin12(180x)=sin(9012x)=cos12x9. Jawaban: eMisalkanA,B,danCadalahsudut-sudutsegitigaABC.A+B+C =180 A+B =180Ctan(A+B) =tan(180C)=tanCcotan(A+B) =1tan (A + B)=1tan C=cotanC10. Jawaban: cp =2 23 ( 3) = 9 3 = 6tan(2)+3cos=cotan +3cos=63+3(63)= 2 + 611. Jawaban: dp =2 22 1 += 4 1 += 52sin sin(+2)+cos()=2sin coscos=2sin 2cos=2(15)2(25)=25=255p216cmABC3056ap3337 Matematika Kelas X12. Jawaban: aCekbentuksegitiga.AB2=152=225AC2+BC2=82+132=233TernyataAB2AC2+BC2sehinggaABCbukansegitiga siku-siku. Oleh karena ABC bukansegitiga siku-siku, dapat digambarkan sebagaiberikut.PerhatikanADC.CD2=AC2AD2=82x2=64x2...(1)PerhatikanBCD.CD2=BC2BD2=132(15x)2=169(22530x+x2)=56+30xx2...(2)Daripersamaan(1)dan(2)diperoleh:64x2=56+30xx2 120 =30x x =4cmDiperolehAD=4cmdanBD=11cm.cosA=ADAC=48=12Jadi,nilaicosA=12.13. Jawaban: cK =36 AB+BC+AC =36 AC+AC+AC =36 3AC =36 AC =12sinA =CDAC sin60 =CD12123 =CD12 CD =6 3LABC=12ABCD =12126 3=36 3 cm2Jadi,luassegitigatersebut36 3 cm2.14. Jawaban: csin60 =x6123=x6 x =6(123) x = 3 3 mJadi, jarak ujung tangga dan permukaan tanah3 3 m.15. Jawaban: cPerhatikanABC.ABAC=cosABp=cos AB =pcosPerhatikanABD.sin =BDAB sin =BDp cos BD =psincosBAD+ABD+APB =180 +ABD+90 =180 ABD =18090 ABD =(90)sinABD =DEBD sin(90) =DEp sin cos cos =DEp sin cos DE =psincos2Jadi,panjangDE=psincos2.B. Uraian1. Jumlahsudut-sudutdalamsegitiga=180.D+E+F =180 D+E+90 =180 D+E =90a. NilaisinDcos(D+F) =p cos(D+90) =p sinD =p sinD =pJadi,nilaisinD=p.b. NilaicosED+E =90 E =90D cosE =cos(90D)=sinD=pJadi,cosE=p.A BC813(15x) D xA BCD60 60DEFx660TembokTangga38 Trigonometri4.LKLMN=240 KLNO =240 20NO =240 NO =12cmK dan L merupakan pasangan sudut dalamsepihak.K+L =180K+150 =180 K =30sinK =NOKN sin30 =12KN12=12KN KN =24cmKelilingjajargenjang=2(KL+LM)=2(KL+KN)=2(20+24)=2(44)=88cmJadi,kelilingjajargenjang88cm.5.PerhatikanACD.tanA =CDAC tan30 =CDBC 20 +133 =CDBC 20 + CD =133 (BC+20) ...(1)2. BDA=180(90+45)=45OlehkarenaBDA=ABD=45makaABDsamakaki.Akibatnya,DA=AB=10cmDB =2 2AB DA +=2 210 10 += 200=10 2PerhatikanCDB.cosCDB=CDDBcos60 =CD10 212=CD10 2 CD =10 22 CD = 5 2 cmJadi,panjangCD= 5 2 cm.3. Perhatikangambarberikut.PerhatikanAPC.CP2=AC2AP2 CP2=15292 CP2=22581=144 CP =12cmPerhatikanBPC.tanB =CPBP tan45 =12BP 1 =12BP BP =12cmLuassegitigaABC =12ABCP=12(AP+BP)CP=12(9+12)12=122112=126cm2Jadi,luassegitigaABC126cm2.A BCP1545K LMNO150A BDC20mMenara603039 Matematika Kelas XA. Pilihan Ganda1. Jawaban: eAmplitudo=12(5(5))=5Periode=3601=360Amplitudo=12(1(1))=1Periode=3605=72Jadi,amplitudoy1=5kaliamplitudoy2.2. Jawaban: cPersamaangrafikfungsidiatasadalahy=acoskxdengana=amplitudodank=360periode=2periode.a =12(nilaimaksimumnilaiminimum)=12(12(12))=12Periodegrafikfungsitersebut.k=2 k=2Jadi,grafiktersebutadalahgrafikfungsiy=12cos2x.3. Jawaban: cGrafik y = 2 cos 3x merupakan hasil pen-cerminangrafiky=2cos3xterhadapsumbuX.Pilihana: y=2cosx, x Pilihanb: y=2cos2x, x Pilihanc: y=2cos3x, x Pilihand: y=3cos2x, x Pilihane: y=3cos3x, x 4. Jawaban: cBentuk umum fungsi sinus adalah y = a sin kx.Oleh karena nilai maksimumnya 2 sehingganilai a yang memenuhi adalah 2. Periode (dari2 sampai32) adalah 2. Nilai k =22 = 1.Fungsisinussemulaadalahy=2sinx.Fungsiini bergeser sebesar2 ke kiri sehingga fungsiyangmemenuhigrafiktersebuty=2sin(x+2).5. Jawaban: aGrafikmelaluititik(0,2)sehinggay =acoskx 2 =acosk(0) 2 =acos0 2 =aPeriodegrafikfungsi(dari0sampai2)adalah2.Nilaik=22=1.Jadi,nilaiadankberturut-turutadalah2dan1.6. Jawaban: ePada interval 0 x 2, nilai maksimum danminimumf(x)=cosxadalah1dan1.fmaks=1+3=4fmin=1+3=2Jadi,daerahhasilf(x)adalah2f(x)4.PerhatikanBCD.tanCBD =CDBC tan60 =CDBC 3 =CDBC CD = 3 BC ...(2)Daripersamaan(1)dan(2)diperoleh:3 BC =133 (BC+20) BC =13(BC+20) 3BC =BC+20 2BC =20 BC =10mJarakRonisekarangdarimenara=BC=10m.Jadi, jarak Roni sekarang dari menara adalah10m.YX11y2=sin5x72 144 216 288 3600YX550 90 180 270 360y1=5sinx40 Trigonometri7. Jawaban: eFungsif(x)=acoskxmempunyainilaimaksimumadannilaiminimuma.Padafungsif(x)= 2 cos3x+1,diperoleh:nilaimaksimum=p= 2 +1nilaiminimum=q= 2 +1Nilaip2+q2=( 2 +1)2+( 2 +1)2=2+2 2 +1+22 2 +1=68. Jawaban: b4sinx =2 2 sinx =242 sinx =122 sinx =sin45 x1=45+k360ataux2=135+k360k=0 x1=45+0360=45 x2=135+0360=135k=1 x1=45+1360=405 x2=135+1360=495Jadi,himpunanpenyelesaiannya{45,135}.9. Jawaban: d2 sin(x+15) =1 sin(x+15) =12 sin(x+15) =122 sin(x+15) =sin45 x1+15 =45+k360 x1=30+k360atau x2+15 =(18045)+k360) x2+15 =135+k360 x2=120+k360k=0 x1=30+0360=30 x2=120+0360=120k=1 x1=30+1360=390 x2=120+1360=480Jadi,himpunanpenyelesaiannya{30,120}.10. Jawaban: d2cos2x = 3 cos2x =123 cos2x =cos150 2x1=150+k360 x1=75+k180atau 2x2=150+k360 x2=75+k180k=0 x1=75+0180=75 x2=75+0180=75k=1 x1=75+1180=255 x2=75+1180=105Jadi,himpunanpenyelesaiannya{75,105}.11. Jawaban: c2cos(2x60) =1 cos(2x60) =12 cos(2x60) =cos60 2x160 =60+k360atau2x260 =60+k360Untuk2x160 =60+k360 2x1=120+k360 x1=60+k.180Untuk2x260 =60+k360 2x2=0+k360 x2=0+k180k=0 x1=60+0180=60 x2=0+0180=0k=1 x1=60+1180=240 x2=0+1180=180Jadi,nilaixyangmemenuhiadalah{0,60,180}.12. Jawaban: a3 2 tanx = 6 tanx =63 2 tanx =3 23 2 tanx =133 tanx =tan6 x =6+kk=0 x=6+0=6k=1 x=6+1=76Jadi,himpunanpenyelesaiannya{6,76}.41 Matematika Kelas Xb. y=3cos(2x+2)2. a. 2sin2x 3 =0 2sin2x = 3 sin2x =123 sin2x =sin60 2x1=60+k360atau2x2=(18060)+k360Untuk2x1=60+k360 x1=30+k180Untuk2x2=(18060)+k360 2x2=120+k360 x2=60+k180k=0 x1=30+0180=30 x2=60+0180=60k=1 x1=30+1180=210 x2=60+1180=240Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{30,60,210,240}.b. 2cos(x30)+1 =0 2cos(x30) =1 cos(x30) =12 cos(x30) =cos120 x130 =120+k360ataux230 =120+k360Untukx130 =120+k360 x1=150+k360Untukx230 =120+k360 x2=90+k360k=0 x1=150+0360=150 x2=90+0360=90k=1 x1=150+1360=510 x2=90+1360=270Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{150,270}.13. Jawaban: a2sin2x+3cosx =0 2(1cos2x)+3cosx =0 22cos2x+3cosx =0 2cos2x3cosx2 =0 (2cosx+1)(cosx2) =0 2cosx+1 =0 atau cosx2 =0 cosx =12atau cosx =2 (tidakmemenuhi)Untukcosx =12 cosx =cos120 x1=120+k360ataux2=120+k360k=0 x1=120+0360=120 x2=120+0360=120k=1 x1=120+1360=480 x2=120+1360=240Jadi,nilaixyangmemenuhiadalah120dan240.14. Jawaban: ccosec Acos AcotanA =cosec Acos Acos Asin A= 2cosec A sin A cos Acos A sin A= 1 2sin Asin A cos Acos A sin A=21 cos Acos A sin A=2sin Acos A sin A=sin Acos A=tanA15. Jawaban: b2 22 sin A cos A1 + cosA sinA =2 2 2 22 sin A cos A(sinA + cosA) +cosA sinA =22 sin A cos A2 cosA=sin A cos Acos A cos A=sin Acos A=tanAB. Uraian1. a. y=2sin(x30)YX0 30 120 210 300 3602112YX43024424332112342 Trigonometric. 3 tanx=3 tanx =33 tanx = 3 tanx =tan3 x =3+kk=0 x=3+0=3k=1 x=3+1= 43Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 3, 43}.3. a. sin2x14=0 (sinx+12)(sinx12) =0 sinx=12atausinx =12Untuksinx =12 sinx =sin210 x1=210+k360ataux2=(180210)+k360 x2=30+k360k=0 x1=210+0360=210x2=30+0360=30k=1 x1=210+1360=570x2=30+1360=330Untuksinx =12 sinx =sin30 x1=30+k360ataux2=150+k360k=0 x1=30+0360=30x2=150+0360=150Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{30,150,210,330}.b. 2sin2x+5cosx+1 =0 2sin2x+5cosx+1 =0 2(1cos2x)+5cosx+1 =0 22cos2x+5cos2x+1 =0 2cos2x+5cosx+3 =0 (2cosx1)(cosx3) =0 2cosx1=0ataucosx3 =0 cosx=12ataucosx =3Untuk cos x = 3, tidak ada nilai x yangmemenuhi.Untukcosx =12 cosx =cos120 x1=120+k360ataux2=120+k360k=0 x1=120+0360=120x2=120+0360=120k=1 x1=120+1360=480x2=120+1360=240Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{120,240}.4. a. Buktisin A1 cos A =sin A1 cos A 1 + cos A1 + cos A=2sin (1 + cos A)1 cosA =2sin (1 + cos A)sin A=1 + cos Asin AJadi,sin A1 cos A =1 + cos Asin A.b. BuktisinA+cosAcotanA=sinA+cosAcos Asin A=sinA+2cos Asin A=2sin Asin A+2cos Asin A=1sin A=cosecAJadi,sinA+cosAcotanA=cosecA.c. BukticosecA+cotanA=1sin A+cos Asin A=1 + cos Asin A=1 + cos Asin A1 cos A1 cos A=21 cosAsin A(1 cos A)=2sin Asin A(1 cos A) =sin A1 cos A Jadi,cosecA+cotanA=sin A1 cos A .43 Matematika Kelas XA. Pilihan Ganda1. Jawaban: d =18043 =43180=460=2402. Jawaban: aSegitigaABCsiku-sikudiB.AB =6satuanBC =4satuanAC =2 26 + 4= 36 + 16= 52 =2 13cosA =ABAC=62 13=313133. Jawaban: cAC=2 2AB +BC =2 26 + 9= 36 + 81= 117=3 13sin=BCAC=93 13=313=313134. Jawaban: bOA = 2 2( 3) + ( 4)= 9 + 16= 25 =5sin=355. Jawaban: asinA =56BCAB=56MisalkanBC=5makaAB=6.AC = 2 2AB BC= 2 26 5= 36 25 = 11tanB=ACBC=115=15116. Jawaban: csin15=p=p1x=2 21 p =21 p tan15=px=2p1 p Jadi,tan15=2p1 p .c. (cosecCcotanC)(1+cosC)= cosecCcotanC+cosecCcosCcotanCcosC=1sin Ccos Csin C+1sin CcosCcos Csin CcosC=1sin Ccos Csin C+cos Csin C2cos Csin C=21 cos Csin C=2sin Csin C=sinC5. a.+sin A1 cos A+sin A1 cos A=+ sin A(1 cos A) + sin A(1+ cos A)(1 cos A)(1 cos A)=2sin A sin A cos A + sin A + sin A cos A1cos A=22 sin Asin A=2sin A=2cosecAb. (sinB+cosB)2+(sinBcosB)2= sin2B+2sinBcosB+cos2B+sin2B2sinBcosB+cos2B= 2sin2B+2cos2B= 2(sin2B+cos2B)= 2(1)=256ABCYX3210121 2 3 3 21ABC4 41px1544 Trigonometri11. Jawaban: aJumlahsudutsegitiga =180 A+B+C =180 A+B =180Csin(A+B) =sin(180C)=sinCJadi,nilaisin(A+B)=sinC.12. Jawaban: ctan25tan65sin 25cos 65=tan25tan(9025)sin 25cos (90 65) =tan25cotan25sin 25sin 25=tan251tan 25sin 25sin 25=11=013. Jawaban: acos110cotan160+sin200=cos(18070)cotan(18020)+sin(180+20)=cos70(cotan20)sin20=cos70(cotan(9070))sin(9070)=cos70(tan70)cos70=cos70(sin 70cos 70)cos70=sin70cos70=pq14. Jawaban: bcosM =LMKM cos60 =LM1212=LM12 LM=6cmJadi,panjangLM=6cm.15. Jawaban: dGrafikmemotongsumbuXpadasaaty=0.y =2cosx 0 =2cosx cosx =0 x =90,270Jadi, titik potong terhadap sumbu X adalah(90,0).7. Jawaban: dtan =12BCAB=12xAB=12 AB =2xAB2+BC2=AC2(tripelPythagoras) (2x)2+x2=(2 5 )2 4x2+x2=20 5x2=20 x2=4 x =2Jadi,nilaix=2.8. Jawaban: cp =2 25 ( 5) = 25 5 =20=2 5cotan(2)=tan=p5=2 55=29. Jawaban: cOleh karena AB = AC,segitigaABCsamakaki.B=C=75A+B+C =180A+75+75 =180 A+150 =180 A =30NilaicosA=cos30=123 .10. Jawaban: dsin 150 + cos 330tan 225 sin 300 =sin (180 30 ) + cos (360 30)tan (180 + 45) sin (360 60) =sin 30 + cos 30tan 45 ( sin 60) =1 12 21231 3++=1 32 3++2 32 3=2 3 2 3 34 3 + =1+ 3=(1 3 )Jadi,sin 150 + cos 330tan 225 sin 300 =(1 3 ).x2 5ABCKLM12cm60AB C75p5545 Matematika Kelas X16. Jawaban: cGrafik di atas merupakan grafik y = a sin kx,0x270.a =12(4(4))=4k =360periode=360180=2Jadi,grafikdiatasmempunyaipersamaany=4sin2x,0x270.17. Jawaban: cBentukumumfungsinyaadalahy=asinkx.Olehkarenanilaimaksimumnya2makaa=2.Periodegrafik(dari34sampai4)=sehinggak=2=2.Bentukdasarfungsiyaituy=2sin2x.Olehkarenakurvabergeserkekanansebesar4makagrafikfungsinyaadalah:y=2sin2(x4) y=2sin(2x2)18. Jawaban: cFungsi f(x) = a sin kx mempunyai batas nilaiaf(x)a.Batasnilaif(x)=2sin(x3)adalah2f(x) 2 22sin(x3) 2 2+12sin(x3)+1 2+1 12sin(x3)+1 3Jadi,nilaiminimumf(x)=2sin(x3)+1adalah1.19. Jawaban: df(x)=25sinx6Fungsi f(x) akan bernilai maksimum ketika nilaisinx6 bernilai minimum. Oleh karena nilaiminimumfungsisinusadalah1sehinggasinx6=1 sinx6=sin(2)x6=2 x =3Nilaiminimum=p=25(1)=2+5=7Nilaip+q=7+(3)=4.20. Jawaban: esin2x =12 sin2x =sin210 2x1=210+k360atau2x2=(180210)+k360Untuk2x1=210+k360 x1=105+k180Untuk2x2=(180210)+k360 2x2=30+k360 x2=15+k180k=0 x1=105+0180=105 x2=15+0180=15k=1 x1=105+1180=285 x2=15+1180=165k=2 x1=105+2180=465 x2=15+2180=345Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {105,165,285,345}.21. Jawaban: d2 sin(2x15)1 =0 2 sin(2x15) =1 sin(2x15) =12 sin(2x15) =122 sin(2x15) =sin45 2x115 =45+k360 2x1=60+k360 x1=30+k180atau 2x215 =135+k360 2x2=150+k360 x2=75+k180k=0 x1=30+0180=30x2=75+0180=75k=1 x1=30+1180=210x2=75+1180=255Jadi,himpunanpenyelesaiannya{30,75,210,255}.22. Jawaban: ecosx =123 cosx =cos150 x1=150+k360ataux2=150+k360k=0 x1=150+0360=150 x2=150+0360=15046 Trigonometri (tanx6)(tanx+1) =0 tanx6=0atautanx+1 =0 tanx=6atautanx =1OlehkarenaxberadadikuadranII,nilaitangendipilihyangnegatif,yaitutanx=1.tanx=1 tanx=tan135Jadi,nilaix=135.27. Jawaban: acos2A+tan2Asec2A=cos2A+tan2A(1+tan2A)=cos2A+tan2A1tan2A=cos2A1=cos2A(sin2A+cos2A)=sin2AJadi,cos2A+tan2Asec2A=sin2A.28. Jawaban: a2 sin A cos Acotan A+22sec A=cos Asin A2 sin A cos A+2cos2A=2sin2A+2cos2A=2(sin2A+cos2A)=2(1)=2Jadi,2 sin A cos Acotan A+22sec A=2.29. Jawaban: e+sin A1 cos A++ 1 cos Asin A=+ ++2 2sin A (1 cos A)sin A(1 cos A)=+ + ++2 2sin A 1 2 cos A cos Asin A(1 cos A)=+ + ++2 2sin A cos A 1 2 cos Asin A(1 cos A)=+ ++1 1 2 cos Asin A(1 cos A)=++2 2 cos Asin A(1 cos A)=+2(2 cos A)sin A(1 cos A)=2sin A=2cosecAJadi,+sin A1 cos A++ 1 cos Asin A=2cosecA.k=1 x1=150+1360=510 x2=150+1360=210Jadi,himpunanpenyelesaiannya{150}.23. Jawaban: b2 +2cosx =0 2cosx = 2 cosx =122 cosx =cos135 x1=135+k360ataux2=135+k360k=0 x1=135+0360=135 x2=135+0360=135k=1 x1=135+1360=495 x2=135+1360=225Diperolehx1=135danx2=225.Selisih=x2x1=225135=90.24. Jawaban: d2sin2x7sinx+3 =0 (2sinx1)(sinx3) =0Diperoleh:2sinx1=0 2sinx =1 sinx =12 x =30cosx =cos30=123Jadi,nilaicosx=123.25. Jawaban: esec2x+ 3 tanx =1 (1+tan2x)+ 3 tanx =1 tan2x+ 3 tanx =0 tanx(tanx+ 3 ) =0 tanx =0 atau tanx = 3x1=0 x3=120x2=180Jadi,himpunanpenyelesaiannya{0,120,180}.26. Jawaban: ctanx6cotanx5 =0 tanx6tan x5 =0 tan2x65tanx =0 tan2x5tanx6 =047 Matematika Kelas X30. Jawaban: dtan 1tan 1 +sin cossin cos + =sin cos cossin coscos + sin cossin cos + =sin cossin cos + sin cossin cos + =1Jadi,tan 1tan 1 +sin cossin cos + =1B. Uraian1. a.b. AB=4(4)=8satuanBC=3(3)=6satuanAC =2 2AB BC +=2 28 6 += 64 + 36= 100=10satuansinA=BCAC=610=35cosA=ABAC=810=45tanA=BCAB=68=34Jadi, nilai sin A =35, cos A =45, dantanA=34.2.AC =2 2AB +BC=2 23 + 4= 9 + 16= 25 =5AD =2 2AC + CD=2 25 + 12= 25 + 144= 169 =13sin =ACAD=513cos =CDAD=1213tan =ACCD=512Jadi,nilaisin=513,cos=1213,dantan=512.3. a.sin 60 cos 60tan 60 + sin 30=1 12 21233+=3 12 3 1+=3 12 3 1+2 3 12 3 1=6 3 2 3 112 1 +=7 3 311Jadi,sin 60 cos 60tan 60 + sin 30=7 3 311.b. sin600cos750tan1.125= sin(360+240)cos(30+2360)tan(45+3360)= sin240cos30tan45= sin60cos30tan45= (123)(123)1= 341=134Jadi,sin600cos750tan1.125=134.4. a. Grafikf(x)=3cos12xYXA(4,3)B(4,3)C(4,3)543211234 3 21 0 1 2 3 4 54551243AB CDX3322033222322523Y48 Trigonometrib. f(x)=3sin4x5. a. GrafikfungsiGrafikfungsidimisalkanmempunyaibentukdasar y = a sin kx. Oleh karena nilaimaksimumnya3sehingganilaia=3.Periodegrafik(dari4sampai74)=2.k=22=1Fungsiy=3sinxdigeserkekiri4sehinggagrafikfungsinyaadalahy=3sin(x+4).Jika grafik fungsi dimisalkan mempunyaibentukdasary=acoskx.Fungsi y = 3 cos x digeser ke kanan4sehinggagrafikfungsinyay=3cos(x4).Jadi, grafik fungsi yang memenuhi adalahy=3sin(x+4)atauy=3cos(x4).b. GrafikfungsiGrafikfungsidimisalkanmempunyaibentukdasar y = a sin kx. Oleh karena nilaimaksimumnya1sehingganilaia=1.Periodegrafik(dari30sampai150)=180.k=360180=2Fungsiy=sin2xdigeserkekiri30sehinggagrafikfungsinyaadalahy=sin2(x+30) y=sin(2x+60)Jika grafik fungsi dimisalkan mempunyaibentukdasary=acoskx.Fungsi y = cos 2x digeser ke kanan 15sehinggagrafikfungsinyaadalahy=cos2(x15) y=cos(2x30)Jadi, grafik fungsi yang memenuhi adalahy=sin(2x+60)atauy=cos(2x30).6. Misalkan:panjangBC=xtanBAC =BCAB tan30 =xAB 13=xAB AB =x 3LABCD=ABBC 36 3 =x 3 x 36 3 =x23 36 =x2 x =6cmPanjangBC=x=6cmPanjangAB=x 3 =6 3Kelilingpersegipanjang=2(AB+BC)=2(6 3 +6)=12 3 +12cmJadi,kelilingpersegipanjangABCDadalah(12 3 +12)cm.7. a. sinx =cosxsin xcos x=1 tanx =1 tanx =4 x =4+kk=0 x=4+0=4k=1 x=4+1= 54Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 4, 54}.b. cos(2x20) =123 cos(2x20) =cos150 2x120 =150+k360atau2x220 =150+k360Untuk2x120 =150+k360 2x1=170+k360 x1=85+k180Untuk2x220 =150+k360 2x2=130+k360 x2=65+k180Y303180 13590 45 45 90 135 180X49 Matematika Kelas Xk=0 x1=85+0180=85 x2=65+0180=65k=1 x1=85+1180=265 x2=65+1180=115k=2 x1=85+2180=445 x2=65+2180=295Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{85,115,265,295}.8. 2cos2x+sinx1 =0 2(1sin2x)+sinx1 =0 22sin2x+sinx1 =0 2sin2x+sinx+1 =0 2sin2xsinx1 =0 (2sinx+1)(sinx1) =0 2sinx+1=0atausinx1 =0 sinx=12 atausinx =1Untuksinx=12 sinx =sin210 x1=210+k360ataux2=(180210)+k360 x2=30+k360k=0x1=210+0360=210x2=30+0360=30k=1x1=210+1360=570x2=30+1360=330Untuksinx=1 sinx =sin90 x1=90+k360k=0x1=90+0360=90Jadi, himpunan penyelesaiannya {90, 210,330}.9. a. tanAcos4A+cotanAsin4A=sinAcosABukti:tanAcos4A+cotanAsin4A=sin Acos Acos4A+cos Asin Asin4A=sinAcos3A+cosAsin3A=sinAcosAcos2A+cosAsinAsin2A=sinAcosA(cos2A+sin2A)=sinAcosA(1)=sinAcosA (terbukti)b.22sin xcos x22cos xsin x=sec2xcosec2xBukti:22sin xcos x22cos xsin x=tan2xcotan2x=(sec2x1)(cosec2x1)=sec2xcosec2x(terbukti)10. Sederhanakanbentukoperasiberikut.a.++cos A cos Bsin A sinB+sin A sinBcos A cos Bb. (cosecsin)(seccoseccotan)Jawaban:a.++cos A cos Bsin A sinB+sin A sinBcos A cos B= + + 2 2 2 2cos A cos B sin A sin B(sin A sinB)(cos A cos B)=+ + 2 2 2 2sin A cos A sin B cos B(sin A sinB)(cos A cos B)=2 2 2 2(sin A cos A) (sin B cos B)(sin A sinB)(cos A cos B)+ ++ =+ 1 1(sin A sinB)(cos A cos B)=0Jadi,++cos A cos Bsin A sinB+sin A sinBcos A cos B=0.b. (cosecsin)(seccoseccotan)=(1sinsin)(1cos1sincossin)=(1sin2sinsin)( 1cos sin 2coscos sin)=( 21 sinsin)( 21 coscos sin)=2cossin 2sincos sin=cosJadi,(cosecsin)(seccoseccotan)=cos.50 GeometriSetelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. menentukankedudukansuatuunsurruang(titik,garis,ataubidang)terhadapunsurruangyanglain;2. menentukanjarakantaraduaunsurruang;3. menentukansudutyangdibentukolehduaunsurruang.Berdasarkanpengetahuandanketerampilanyangdikuasai,siswaberperilakudisiplin,konsisten,danjujursebagaidampakmempelajarikonsepgeometri. Menentukankedudukantitikterhadapgaris. Menentukankedudukantitikterhadapbidang. Menentukankedudukangaristerhadapgaris. Menentukankedudukangaristerhadapbidang. Menentukankedudukanbidangterhadapbidang.GeometriKedudukan Titik, Garis, dan Bidang Menentukan sudut antara duagaris. Menentukansudutantaragarisdanbidang. Menentukan sudut antara duabidang.SudutTitik,Garis,danBidang Menentukanjarakantaraduatitik. Menentukanjarakantaratitikdangaris. Menentukanjarakantaratitikdan bidang. Menentukanjarakantaraduagarissejajar. Menentukan jarak antara garisdan bidang. Menentukanjarakantaraduabidang.JarakTitik,Garis,danBidang Memilikisikapmandiridancermatdalammenyelesaikanmasalah. Mampumenentukankedudukantitik,garis,danbidang. Mampumenentukanjarakantaratitik,garis,danbidang. Mampumenentukansudutdalamruangantaragarisdanbidang.51 MatematikaKelasXA. Pilihan Ganda1. Jawaban: bRuas garis SW sebagai wakil garis h.Titik S dan W pada garis h.Titik P, Q, R, T, U, dan V di luar garis h.Jadi, titik Q dan U di luar garis h.2. Jawaban:cTitik-titik yang berada pada bidang KNRO adalahK, N, R, dan O.Titik-titik yang berada di luar bidang MNRO adalahL, M, P, dan Q.Jadi, titik K dan R pada bidang KNRO.3. Jawaban:cTitik P pada garis CF dangarisCFpadabidangCDEF,makatitikPpadabidang CDEF.Jadi,keududukantitikPpada di bidang CDEF.4. Jawaban:eRusuk-rusuk yang sejajar:AB//ED, BC//FE, dan CD//AF.Jadi, ada 3 pasang garis yang sejajar.5. Jawaban: bGaris DT bersilangan dengan garis AB, berarti (i)salah.Garis BC bersilangan dengan garis AT, berarti (ii)benar.Garis BT berpotongan dengan garis DT, berarti (iii)salah.Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan(ii) saja.6. Jawaban:cGaris BG terletak pada bidang BCGF. Oleh karenabidang BCGF sejajar dengan bidang ADHE, garisBG juga sejajar dengan bidang ADHE.7. Jawaban: dPerpotonganantaraduabidangberupagaris.BidangADHEdanbidangDCGHmelaluititikDdan H, berarti kedua bidang tersebut berpotonganpada garis DH.8. Jawaban:cBidang ADHE sejajar bidang BCGF. Bidang DBFHdan CFH berpotongan dengan bidang AFH.Oleh karena BG sejajar AH dan DB sejajar FH,sedangkanDBdanBGberpotongandanpadabidang DBG serta AH dan FH berpotongan danpada bidang AFH maka bidang DBG sejajar bidangAFH.Jadi,bidangyangsejajarbidangAFHadalahbidang DBG.9. Jawaban: dSisi-sisiyangsejajarada5 pasang:ABCDEFGH//IJKLMNOP,ABJI//FEMN, BCKJ//GFNO,CDLK//HGOP, danDEML//HAIP.10. Jawaban: bJika garis g pada bidang VdanbidangVmemotongbidangW,tidakdapatdisimpulkan bahwa garis gmemotongbidangWkarenamungkinjugagarisgsejajarbidangWsepertitampakpadagambar di samping.B. Uraian1. a. Titik H pada garis DH.b. TitikFdiluargarisAC.c. Titik G di luar bidangADHE.d. TitikEpadabidangACGE.2. a. Titik-titik pada garis TC adalah titik T dan C.b. Titik-titikdiluargarisABadalahtitikC,D,dan T.c. Titik-titikpadabidangABCDadalahtitikA,B, C, dan D.d. Titik-titik di luar bidang TAD adalah titik B danC.3. a. Rusuk-rusuk yang sejajar dengan CH adalahAF, BG, DI, dan EJ.Jadi, banyak rusuk yang sejajar dengan CHada 4.b. Rusuk-rusuk yang berpotongan dengan garisGH adalah BG, CH, FG, FJ, JI, dan IH.Jadi, banyak rusuk yang berpotongan denganGH ada 6.A BCPDEFG HA BCDE FGHI JKLM NOPVWgH GFCBDAE52 Geometric. Rusuk-rusuk yang bersilangan dengan garisDE adalah AF, BG, CH, FG, FJ, GH, dan IH.Jadi, banyak rusuk yang bersilangan denganDE ada 7.4. a. Bidang-bidang yang sejajar dengan garis SWadalah PQUT dan QRVU.b. Bidang-bidang yang berpotongan dengan garisPQ adalah PSWT dan QRVU.c. BidangyangsejajardenganbidangQRVUadalah PSWT.d. Bidang-bidangyangberpotongandenganbidang SRVW adalah PQRS, PSWT, TUVW,dan QRVU.5. a. Pernyataan bernilai benar.b. Pernyataanbernilaisalahkarenaadakemungkinan garis g sejajar garis .c. Pernyataanbernilaisalahkarenaadakemungkinan garis g, garis , dan garis h tidaksebidang.d. Pernyataan bernilai benar.gk

g k

hg

hg

kA. Pilihan Ganda1. Jawaban:cPerhatikan persegi panjang PQRS berikut.Jarak titik T ke titik P sama dengan panjang ruasgaris TP.Segitiga PST siku-siku di S, maka:TP = 2 2TS SP += 2 27,5 10 +=56,25 100 +=156,25= 12,5 cmJadi, jarak titik T ke titik P adalah 12,5 cm.2. Jawaban:eJarak titik T ke S sama dengan panjang ruas garisTS.Segitiga PQS siku-siku di P, maka:SQ =+2 2PS PQ=+2 23 4=+ 9 16=25= 5 cmSU = 12SQ= 12 5= 2,5 cm7,5cmT7,5cmS RPQ10cmTP QR SU6cm4cm3cm53 MatematikaKelasXSegitiga TUS siku-siku di U, maka:TS =+2 2TU SU= +2 26 2,5= + 36 6,25= 42,25= 6,5 cmJadi, jarak titik T ke titik S adalah 6,5 cm.3. Jawaban: dPerhatikan sisi PSWT pada balok PQRS.TUVW.Jarak titik P ke ruas garis TS sama dengan panjangruas garis PM dengan M titik pada ruas garis TSsedemikian hingga PM tegak lurus TS.Segitiga TPS siku-siku di P, maka:TS= 2 2TP PS += 2 26 8 += 36 64 +=100= 10 cmLuas segitiga TPS adalah L = 12 TS PM atauL = 12 PS PT, maka:12 TS PM = 12 PS PT12 10 PM = 12 8 6 5 PM = 24 PM = 4,8Jadi, jarak titik P ke garis TS adalah 4,8 cm.4. Jawaban:aPanjang rusuk = 6 cmJarak titik G ke diagonalBEsamadenganjaraktitik G ke P dengan P titiktengah BE.Segitiga ABE siku-siku diA, maka:BE = 2 2AB AE += 2 26 6 +=36 36 +=72= 6 2cmBE = BG = EG = 6 2cmBP = 12BE= 12 6 2= 3 2cmSegitiga BPG siku-siku di P, maka:GP = 2 2BG BP = 2 2(6 2) (3 2) = 72 18 =54= 3 6cmJadi, jarak titik G ke garis BE adalah 3 6cm.5. Jawaban:ePerhatikan balok KLMN.PQRS berikut.Jarak titik R ke garis PMsamadenganpanjangruas garis RT dimana titikT pada garis PM dengansyaratruasgarisRTtegak lurus garis PM.Segitiga PQR siku-siku diQ, maka:PR = 2 2PQ QR += 2 23 4 += 9 16 +=25= 5 cmSegitiga MPR siku-siku di R, maka:PM = 2 2PR RM += 2 25 12 += 25 144 +=169= 13 cmMTWSP8cm6cmA BC DEFG HPS12cmRQPNKM4cm3cm L54 GeometriLuas segitiga MPR adalah L = 12 PM RT atauL = 12 PR RM, maka:12 PM x RT = 12 PR RM12 13 RT = 12 5 12 RT = 12125 1213 = 6013Jadi, jarak titik R ke garis PM adalah 6013 cm.6. Jawaban: dAMGsegitigasamakaki,maka MN tegak lurus AGdengan N titik tengah AG.Jarak titik M dengan garisAG sama dengan panjangruas garis MN.AGmerupakandiagonalruang, maka AG = 8 3cm.Segitiga AEM siku-siku di A, maka:AE = 8 cmEM = 12EH = 12 8 = 4 cmAM = 2 2AE EM +=64 16 +=80cm= 4 5cmMG = AM = 4 5cmSegitiga AMN siku-siku di N, maka:AM = 4 5cmAN = 12AG = 12 8 3= 4 3cmMN = 2 2AM AN = 2 2(4 5) (4 3) =80 48 =32= 4 2cmJadi, jarak titik M ke AG adalah 4 2cm.7. Jawaban: bJaraktitikAkebidangTBC sama dengan jaraktitikAkegarisTFyaitupanjang AE.ABCsiku-sikudiA,maka:BC = 2 2AB AC += 2 26 6 +=72= 6 2cmAF tegak lurus BC dan BF = FC = 12BC = 3 2cm.Oleh karena ABC siku-siku sama kaki, ABC =45.SehinggaABFsiku-sikusamakakidenganAF = BF = 3 2cm.TAF siku-siku di A, maka:TF = 2 2AT AF += 2 26 (3 2) +=36 18 +=54= 3 6cmLuas segitiga TAF:L = 12 AT AF = 12 TF AE12 6 3 2 = 12 3 6 AE 9 2 = 326AE AE = 63 = 2 3Jadi, jarak titik A ke bidang TBC adalah 2 3cm.8. Jawaban:eJarak titik E ke bidang BGD sama dengan jaraktitik E ke garis GP dengan P titik tengah BD, yaitusama dengan panjang EQ.ABC DEFG HMNABCEFT6cm6cmABCDEFG HPEPGxcmQ55 MatematikaKelasXEG dan AC merupakan diagonal sisi, maka panjangEG = AC = 8 2cm.Segitiga APE siku-siku di A dengan:AE = 8 cmAP = 12AC= 12 8 2= 4 2cmEP = 2 2AE AP +=64 32 +=96= 4 6cmPerhatikan segitiga EGP.GP = EP = 4 6cmMisalkan PQ = x cm, maka GQ = (4 6 x) cm.EQ2 = EP2 PQ2= EG2 GQ2 (4 6 )2 x2= (8 2 )2 (4 6 x)2 96 x2= 128 96 + 8 6 x x2 64 = 8 6 x x = 648 6 x = 866 x = 436Diperoleh panjang PQ = 436cm.EQ = 2 2EP PQ = 64696 = 2563= 1633cmJadi, jarak titik E ke bidang BGD adalah 1633cm.9. Jawaban: bJarak garis BC ke garis EH sama dengan jarak Bke garis EH yaitu panjang ruas garis BE.Segitiga ABE siku-siku di A, maka:BE = 2 2BA AE += 2 212 6 +=144 36 +=180=6 5cmJadi, jarak garis BC ke garis EH adalah 6 5cm.10. Jawaban:cJarak bidang PQRS dan KLMN sama dengan jarakantara QR dan LM yaitu OL.Segitiga AQR siku-siku di A, maka:QR = 2 2AQ AR += 2 26 8 +=100= 10 cmLuas segitiga QRL adalah L = 12QROLatau L = 12 RL AR sehingga:12 QR OL = 12 RL AR OL = RL ARQR= 12 810 = 9,6 cmJadi,jarakbidangPQRSdanKLMNadalah9,6 cm.B. Uraian1. Panjang rusuk kubus = AB = 6 cmPanjang diagonal bidang kubus = AC = 6 2cmPanjang diagonal ruang kubus = AG = 6 3cma. JaraktitikAdantitikHsamadenganpanjangdiagonalbidangAH yaitu 6 2cm.12cm8cm6cmH GFCEDA BA BC DMR 8 cm 8 cm6 cm6 cmQL12 cmOA BCDEFG H KLMNPQRS8 cm 8 cm6 cm6 cm10 cmBCADEG HF56 Geometrib. JaraktitikCketitikPsamadenganpanjangruas garis CP.HP = 12 HE= 12 6= 3 cmRuas garis CH merupakan diagonal bidang,maka CH = 6 2cm.Segitiga CHP siku-siku di H, maka:CP = 2 2CH CP += 2 2(6 2) 3 +=72 9 +=81 = 9 cmJadi, jarak titik C ke titik P adalah 9 cm.c. JaraktitikBketitikQsamadenganpanjangruas garis BQ.RuasgarisFHm e r u p a k a ndiagonalbidang,maka FH = 6 2cm.FQ = 12 FH = 12 6 2= 3 2cmSegitiga BFQ siku-siku di F, maka:BQ = 2 2BF FQ += 2 26 (3 2) +=36 18 +=54= 3 6cmJadi, jarak titik B ke titik Q adalah 3 6cm.2.a. Jarak titik B ke garis GH sama dengan jaraktitik B ke titik G, yaitu panjang ruas garis BG.Segitiga BCG siku-siku di G, maka:BG = 2 2BC CG += 2 26 (6 3) +=36 108 +=144= 12 cmJadi, jarak titik B ke garis GH adalah 12 cm.b. Jarak titik D ke garis EG sama dengan jaraktitikDketitikPdenganPtitiktengahEG,yaitu panjang ruas garis DP.Segitiga HEF siku-siku di E, maka:HF = 2 2HE EF += 2 26 6 +=36 36 +=72= 6 2cmHP = 12 HF=12 62= 3 2cmSegitiga DHP siku-siku di H, maka:DP = 2 2DH HP += 2 2(6 3) (3 2) +=108 18 +=126= 3 14cmJadi, jarak titik D ke garis EG adalah 3 14cm.c. PerhatikansegitigaACE di samping.Jarak titik A ke garisCEsamadenganpanjangruasgarisAQ dengan Q padaCEsedemikianhinggaAQtegaklurus CE.SegitigaACEsiku-siku di A, maka:CE = 2 2AC AE += 2 2(6 2) (6 3) +=72 108 +=180= 6 5 cmBDAEH GCFPEHA BGFDEQADBEHCGP6cmF6 3 cm6cm63cmEQA C6 2 cm57 MatematikaKelasXLuas segitiga ACE adalah L = 12 CE AQatau L = 12 AC AE, maka:12 CE AQ = 12 AC AE12 6 5 AQ = 12 6 2 6 3 3 5 AQ = 18 6 AQ = 18 63 5= 6530cmJadi,jaraktitikAkegarisCEadalah6530cm.3.a. JaraktitikPdenganbidangABCDsamadengan jarak titik P dengan titik Q dengan Qtitik pusat ABCD.PQ = AE = 4 cmJadi, jarak titik P dengan bidang ABCD adalah4 cm.b. Jarak titik P dengan bidang BDG sama denganjarak titik P ke garis QG, yaitu panjang ruasgaris PR.EG merupakan diagonal bidang, maka EG =4 2cm.PG = 12EG= 12 4 2= 2 2cmSegitiga PQG siku-siku di P, maka:QG =+2 2PQ PG=+2 24 (2 2)=+ 16 8=24= 2 6cmLuas segitiga PQG:LPQG = 12 QG PR atauLPQG = 12 PQ PG12 QG PR = 12 PQ PG12 2 6 PR = 12 4 2 2 PR 6 = 4 2 PR = 4 26= 43= 433cmJadi, jarak titik P dengan bidang BDG adalah433cm.4. a. Jarak titik T ke bidangABCDsamadenganpanjang TO atau tinggilimas yaitu 6 cm.b. Jarak titik O ke bidangTBCsamadenganjaraktitikOkegarisTP yaitu panjang ruasgaris OR.TO = 6 cmOP = 12AB= 12 9= 4,5 cmSegitiga TOP siku-siku di O, maka:TP = 2 2TO OP += 2 26 4,5 +=36 20,25 += 56,25= 7,5 cmLuas segitiga TOP:LTOP = 12 TP OR atauLTOP = 12 OP OT12 TP OR = 12 OP OT12 7,5 OR = 12 4,5 6 OR = 4, 5 67, 5= 277,5= 3,6 cmJadi,jaraktitikOkebidangTBCadalah3,6 cm.ABC DEFG HPQPQRG4A BC DP ORT58 Geometri5. JarakBCkebidangPQRSadalahXU(lihatgambar).AU2= AB2 BU2= 102 62= 100 36= 64 AU = 8 cmUF2= AU2 AF2= 82 42= 64 16= 48 UF =48= 4 3cmUXE dan UFA sebangun.E titik tengah AU danD titik tengah TU.XUUF = EUAU XU = UF EUAU= 4 3 48= 2 3Jadi, jarak BC ke bidang PQRS adalah 2 3cm.1. Jawaban:aPerhatikanpersegipanjang KLMN berikut.SudutantaragarisKNdan LN adalah KNL.SegitigaKNLsiku-sikudi K, maka:NL = 2 2NK KL += 2 29 12 += 81 144 +=225= 15 cmMisalkan besar KNL =, maka:cos = NKNL= 915= 35Jadi, nilai kosinus sudut antara garis KN dan LNadalah 35.2. Jawaban:cSudut antara garis BG danBDyaituGBD.Olehkarena segitiga BDG samasisi, besar GBD = 60.Jadi,besarsudutantaragarisBDdanBGadalah60.3. Jawaban: bSudutantaragarisACdanTCadalahadalahACT=PCT = dengan Pmerupakantitiktengah AC.SegitigaABCsiku-siku di B, maka:AC = 2 2AB BC += 2 24 4 +=16 16 +=32= 4 2cmPC = 12AC = 12 4 2= 2 2cmSegitiga TPC siku-siku di P, maka:cos = PCTC = 2 24 = 122 = 45Jadi, besar sudut antara garis AC dan TC adalah45.4. Jawaban:eProyeksi titik G pada bidang ABCD adalah titik C,berarti sudut antara AG dan ABCD adalah GAC= .CG = 8 cmAC2=+2 2AB BC=+ 64 64=128= 8 2cmBA CDEFTRSQPUXT F AE DUXK 12cm9 cmN MLH GAEFDBCA BC DT4cm4cm4cmPA BCDE FG H59 MatematikaKelasXAG = 2 2AC CG +=+ 128 64=192= 8 3cmcos = ACAG= 6 26 3= 1365. Jawaban:cSudut antara AE dan bidang AFH sama dengansudutantaraAEdanAPdenganPtitiktengahHF, berarti = EAP.EG merupakan diagonal bidang, maka:EG = 4 2cmEP = 12 EG= 12 4 2= 2 2cmAP= 2 2AE EP +=16 8 +=24= 2 6cmsin = EPAP = 2 22 6 = 13 = 133Jadi, nila