kumpulan soal-soal ujian

Kumpulan Soal-Soal Ujian Semester Genap 2006/2007 Angk. 2004 Semester 6 Angk. 2005 Semester 4 Angk. 2006 Semester 2 Matakuliah Wajib Semester 6 Kewarganegaraan Matematika Diskrit Peng. Analisis Real II Peng. Model Matematika Peng. Statistika Matematika Matakuliah Wajib Semester 4 Kalkulus Multivariabel II Peng. Analisis Numerik Aljabar Linear Kalkulus Lanjut Fungsi Variabel Kompleks Geometri Matakuliah Wajib Semester 2 Mekanika A Algoritma & Pemrograman Kalkulus II Ke-Gadjah-Madaan & Etika Math Peng. Struktur Aljabar I Geometri Analitik A Matakuliah Pilihan Peng. Teori Modul Peng. Topologi Teori Himpunan Peng. Teori Bilangan Peng. Teori Kendali Masalah Syarat Batas Peng. Teori Ukuran & Int. Umum

Ujian Tengah Semester

Kewarganegaraan Letkol Sus Drs. H.Mardoto, M.T 26 Maret 2007, Open Book

1. Apa yang dimaksud dengan negara menurut pandangan anda? 2. Berikan contoh yang dapat menjelaskan tentang “bukan penduduk” dan “warga

negara asing”. 3. Uraikan pendapat anda tentang hal-hal yang dapat dilakukan pemerintah dalam

menggelorakan semangat/wawasan berbangsa dan bernegara di lingkungan perguruan tinggi.

4. Jelaskan perbedaan pandangan antara John Locke dan J.J. Rosseau dalam Teori

Perjanjian Masyarakat.

5. Genosida dikelompokkan sebagai salah satu kejahatan kemanusiaan. Uraikan pendapat anda tentang hal tersebut berdasarkan referensi dengan alasan-alasan yang jelas.

Ujian Akhir Semester

Kewarganegaraan Letkol Sus Drs. H.Mardoto, M.T 15 Juni 2007, Open Book

1. Dari pendapat para pakar, pejabat dan politikus tentang RUU Keamanan Nasional yang digagas oleh Pemerintah (Departemen Pertahanan), bagaimanakah kecenderungan pemikiran mereka (setuju, tidak setuju atau yang lainnya). Sebutkan alasan-alasan yang mendasari pemikiran tersebut.

2. Uraikan pendapat anda tentang bagaimana mewujudkan/merealisasikan hak dan

kewajiban sebagai Warga Negara Indonesia yang masih berstatus sebagai mahasiswa.

3. Tanggal 27 April 2007 di Gianyar Bali, Indonesia – Singapura telah menandatangani tiga dokumen perjanjian yaitu Perjanjian Ekstradisi, Kerjasama Pertahanan dan Kerangka Aturan Daerah Latihan Militer. Jelaskan pendapat anda (sebagai WNI) tentang plus minus bagi negara kita setelah menandatangani ketiga dokumen terebut ditinjau dari sisi politik maupun pertahanan (boleh mereferensi pendapat pakar atau pengamat politik/pertahanan).

4. Beberapa waktu lalu Sultan Hamengkubuwono X telah memutuskan tidak ingin lagi

menjabat sebagai Gubernur DIY mulai tahun 2008. Keputusan ini dipandang para pengamat terkait RUU Keistimewaan DIY yang tidak segera disahkan DPR-Pemerintah, padahal konsep RUU telah diajukan tahun 2005. Jelaskan pendapat anda tentang keputusan Sultan HB X tersebut ditinjau dari bentuk negara kita dan status keistimewaan DIY (Bentuk Negara RI adalah Republik sedangkan Kesultanan jelas berbentuk Monarki).

5. Berdasarkan referensi/informasi/pengetahuan tentang materi pendidikan

kewarganegaraan pada perguruan tinggi negara lain (luar Indonesia) yang telah anda miliki, buatlah perbandingan (plus minusnya) dengan materi pendidikan kewarganegaraan yang telah anda terima.

6. Dalam era reformasi sekarang ini, banyak orang berdalil bahwa pemilihan pemimpin

apapun, entah itu pemerintahan (bupati, walikota, gubernur, presiden) maupun keorganisasian (Ketua Partai Politik, Rektor Perguruan Tinggi, Ketua KNPI, dan lainnya) agar demokratis harus dilakukan pemilihan secara langsung dengan satu orang satu suara. Sebagai salah seorang Warga Negara Indonesia yang telah belajar materi demokrasi, bagaimanakah pendapat anda tentang hal tersebut.


Peng. Analisis Real II Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS 26 Maret 2007, Closed Book

1. a. Jika fungsi :f I ⊂ → kontinu pada I, buktikan fungsi :f I → dengan

( ) ( )f x f x= juga kontinu pada I. b. Jika fungsi :g I → dengan ( ) 0g x ≥ untuk setiap x I∈ , kontinu pada I. Buktikan

fungsi :g I → dengan ( ) ( ) ( )g x g x= kontinu pada I.

2. Diberikan interval tertutup terbatas [ ],I a b= . Jika fungsi :f I → kontinu pada I buktikan f terbatas pada I.

3. Buktikan fungsi 1( )f xx

= kontinu seragam pada ( )1,∞

4. Diberikan interval I, titik c I∈ bukan titik ujung interval dan fungsi :f I → turun

monoton pada I. Buktikan { }lim ( ) inf ( ) | ,

x cf x f x x I x c

−→= ∈ <

5. Buatlah pendekatan fungsi 2( )f x x x= + pada (-2,1) dengan fungsi tangga

jika diambil 34

ε =


Peng. Analisis Real II Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS 2 Juni 2007, Closed Book

I. Diberikan A⊆ , fungsi :f A→ dan c A∈ . Buktikan pernyataan berikut ekuivalen: i. f kontinu di c

ii. Jika { }nx barisan dalam A yang konvergen ke c, maka barisan { }( )nf x konvergen ke f(c)

II. Diberikan interval tertutup terbatas [ ],I a b= . Jika fungsi :f I → kontinu pada I buktikan f terbatas pada I.

III. Jika interval I, titik c I∈ bukan titik ujung interval dan fungsi :f I → naik pada I dan c I∈ bukan titik ujung interval, buktikan:

i. { }lim ( ) sup ( ) | ,x c

f x f x x I x c+→

= ∈ >

ii. { }lim ( ) inf ( ) | ,x c

f x f x x I x c−→

= ∈ <

IV. Tentukan nilai limit berikut ini, jika ada

i. 0

log coslimx

xx+→

, domain fungsi 0,2π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

ii. log coslimlogx

x xx x→∞

+ , domain fungsi ( )0,∞

iii. 0

3lim 1x

x x+→

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

, domain fungsi ( )0,∞

iv. sin

0lim x

xx

+→, domain fungsi ( )0,∞

V. Selidiki apakah barisan fungsi { }nf dengan ( )nxf x

x n=

+ konvergen titik demi titik dan

konvergen seragam pada interval [ ]0,1 .


Peng. Model Matematika Dr. Widodo dkk 28 Maret 2007, Closed Book

1. Jelaskan Model Logistik dan solusinya 2. Jelaskan Model Matematika dengan 2 Kompartemen 3. Jelaskan Model Penyebaran Penyakit SIR 4. Diketahui persamaan logistik diskrit dengan tundaan waktu dt t= ∆ :

[ ]( ) ( ) ( ) ( )N t t N t t N t a bN t t+ ∆ − = ∆ − −∆

Dengan notasi t m t= ∆ dan ( ) ( ) mN t N m t N= ∆ = , dengan 1,2,3,4,...m = maka persamaan akan menjadi :

( )1 1m m m mN N N Nα β+ −− = − Dengan a tα = ∆ dan b tβ = ∆

a. Linearkan persamaan diatas dengan metode perturbasi b. Selesaikan linearisasinya c. Interpretasikan penyelesaiannya

5. Model Probabilitas Proses Kematian Murni Satu Spesies

Asumsi : a. Hanya terjadi proses kematian, tidak terjadi proses kelahiran b. Peluang terjadinya kematian pada selang ( , )t t t+ ∆ , dengan t∆ cukup kecil hanya

bergantung pada t∆ (proporsional terhadap t∆ ), tidak bergantung pada permulaan waktu t.

c. Peluang pada b. saling bebas (independen) terhadap kejadian lain yang saling asing.

Buktikan :

a. 1( ) ( 1) ( ) ( )N

N NdP t N P t NP t

dtλ λ−= + −

b. 0

0 00 1 0

( )( 1) ( ) ( ) ( )N j

N j N j

dP tN j P t N j P t

dtλ λ−

− + −= − + − −

c. 0

0

0 0 00

( 1)...( 1)( ) ( 1) 1 , 1, 2,3,...,!

N t jj tN j

N N N j eP t e j Nj

λλ

−

−

− − + ⎡ ⎤= − − ∀ =⎣ ⎦

d. Mean : 0

00 00

( ) ( ) ( )N

tN j

jt N j P t N e λµ −

−=

= − =∑

e. Mean tersebut memenuhi persamaan differensial ( ) ( )d t tdtµ λµ= − ; 0(0) Nµ =


Peng. Model Matematika Dr. Widodo dkk 6 Juni 2007, Closed Book

1. Bicarakan titik kesetimbangan dan kestabilan persamaan logistik diskrit dengan tundaan waktu: [ ]( ) ( ) ( ) ( )N t t N t t N t a bN t t+ ∆ − = ∆ − −∆ .

2. Jelaskan kestabilan sistem linear

( )( )

( ) ( )

dx ta b x tdt

dy t c d y tdt

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

, dengan , , ,a b c d konstanta Real.

3. Jelaskan secara ringkas isi tugas paper/makalah anda terkait dengan mata kuliah

Pengantar Model Matematika.


Matematika Diskret Sutopo 2 April 2007, Closed Book

1. Consider the following solitaire game: For every integer i, there is an unlimited supply of balls marked with number i. Initially, we are given a tray of balls, and we throw away a ball that is marked with i. We can replace it by any finite number of balls marked 1,2,3,...,i-1 (Thus, no replacement will be made if we throw away a ball marked with 1). The game ends when the tray is empty. Prove that the game always terminates for any tray of balls given initially!

2. Diantara 50 mahasiswa dalam suatu kelas, 26 orang mendapatkan nilai A pada ujian

pertama dan 21 orang mendapatkan nilai A pada ujian kedua. Jika ada 17 orang yang tidak mendapatkan nilai A pada ujian pertama atau kedua, maka berapa banyak mahasiswa yang mendapat nilai A pada kedua ujian ?

3. Diberikan S dan T dua himpunan dan f fungsi dari S ke T serta R adalah relasi

ekuivalensi pada T. Selanjutnya U adalah sebarang relasi pada S sedemikian sehingga xUy jika dan hanya jika f(x) R f(y). Tunjukkan bahwa U juga merupakan relasi ekuivalensi !

4. Tunjukkan bahwa dari 52 bilangan bulat yang dipilih secara acak, akan terdapat dua

bilangan diantaranya yang jumlah atau selisihnya habis dibagi 100.

5. Diberikan ( ),A ≤ adalah Lattice Distributive. Tunjukkan bahwa jika a x a y∧ = ∧ dan a x a y∨ = ∨ untuk suatu a maka x y= .

6. Diberikan Aljabar Boolean berhingga ( ), , ,A ∧ ∨ − , apabila b adalah sebarang elemen tak

nol di A dan 1 2, ,..., ka a a semuanya atom-atom di A sedemikian sehingga ia b≤ , maka tunjukkan 1 2 3 ... kb a a a a= ∨ ∨ ∨ ∨ .


Matematika Diskret Sutopo / Al. Sutjijana 11 Juni 2007, Closed Book

1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan diferensi :

1

1

6 8 101

t t t

t t

y y xx y

+

+

= − += +

yang memenuhi syarat 0 2y = dan 0 1x = . 2. Buktikan identitas berikut :

2 2 2 2 2 2... ...

0 1 2n n n n n n

r n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Bentuklah relasi rekurensi yang sesuai untuk nilai determinan n x n berikut. Kemudian

selesaikan relasi rekurensinya !

Catatan. Jika 1k iα β= + dan 2k iα β= − merupakan akar-akar kompleks dari persamaan karakteristik persamaan homogen suatu relasi rekurensi maka penyelesaian homogennya adalah

( ) ( )1 2 1 2cos sinn n n nna A i A i B n B nα β α β ρ θ ρ θ= + + − = +

dengan 2 2ρ α β= + , arctan β

αθ = , ( )1 1 2B A A= + , dan ( )2 1 2B A A i= − 4. Dengan cara yang sama seperti pada saat menurunkan rumus generating function untuk

Fibonacci Number, tentukan generating function untuk :

a) ( )H n , dengan ( ) ( ) ( )2 1 2H n H n H n= − − − , ( ) ( )0 0, 1 1H H= =

b) ( )G n , dengan ( ) ( ) ( )3 1 4 2G n G n G n= − + − , ( ) ( )1 2 1G G= =


Peng. Statistika Matematika Dr. Sri Haryatmi 28 Maret 2007, Open Rumus 1 lembar HVS

1. 1 &x y variabel random kontinu dengan pdf bersama

( , ) ( )f x y k x y= + 0 1x y≤ ≤ ≤

a) Cari k supaya ( , )f x y pdf bersama b) Cari CDF ( , )F x y c) Hitung ( / )E x y d) Hitung Var( y / x)

2. Hitung MGF dari Distribusi Normal ( )2,N µ σ dan Distribusi Gamma ( ), kθ Cari var (x) untuk kedua distribusi tersebut

3. 1 2, ,..., nX X X independen Normal berturut-turut dengan mean iµ dan variansi 2iσ

Cari pdf dari ( )i i

i

XY µσ−

=∑

4. 1 2 3, ,X X X independen gamma (1, )iXi G α∼ 1,2,3i =

3

1i i j

jY X X

=

= ∑ , 1, 2i =

3

31

jj

Y X=

= ∑

Cari pdf bersama 1 2 3, ,Y Y Y

Cari pdf 1

k

k ii

Y X=

=∑ , k = 2, 3


Peng. Statistika Matematika Dr. Sri Haryatmi 6 Juni 2007, Open Rumus 1 lembar HVS

1. Sampel random 1 2, ,..., nX X X berasal dari pdf Normal dengan mean µ dan variansi 2σ .

a) Turunkan distribusi dari X b) Turunkan distribusi dari

/X

nµ

σ−

2. Untuk sampel random berukuran n dari distribusi ( )exp θ

a) Tunjukkan bahwa 2nXθ berdistribusi ( )2 2nX

b) Buktikan sifat memoryless ( ) ( )|P X t b X b P X t> + > = > c) Cari median X

3. Gunakan metode MLE untuk mencari estimator parameter dalam distribusi Normal,

kemudian turunkan apakah estimator tersebut mempunyai sifat tak bias? 4. Tulis dan buktikan Teorema Limit Sentral! 5. Variabel Random Y berdistribusi Binomial(n,p). Konstruksikan interval konfidensi

untuk p!


Aljabar Linear Ari Suparwanto 27 Maret 2007, Closed Book

1. Misalkan 21:T P → adalah fungsi yang didefinisikan dengan rumus

2. ( ) ( )( ) (0), (1)T p x p p=

a. Tentukan ( )1 2T x− ! b. Tunjukkan bahwa T adalah Transformasi Linear! c. Tentukan basis dari range T ! d. Tunjukkan bahwa T injektif ! e. Tentukan ( )1 2,3T − !

3. Misalkan S basis untuk ruang vektor V berdimensi n. Tunjukkan

a. { }1 2, ,..., rv v v bebas linear di V jika dan hanya jika ( ) ( ) ( ){ }1 2, ,..., rs s sv v v

bebas linear di n ! b. { }1 2, ,..., rv v v membangun V jika dan hanya jika ( ) ( ) ( ){ }1 2, ,..., rs s s

v v v

membangun n !

4. Tentukan basis untuk ruang bagian dari 2P yang dibangun oleh { }2 21 , , 2 2 , 3x x x x+ − + − . 5. Diberikan ( ){ }1,V x x= ∈ dengan operasi :

( ) ( ) ( )1, 1, ' 1, 'y y y y+ = + dan ( ) ( ). 1, 1,k y ky= dengan k∈ Selidiki apakah V dengan operasi tersebut merupakan ruang vektor atas !


Aljabar Linear Ari Suparwanto 5 Juni 2007, Closed Book

1. a. Misalkan A dan B matriks bujursangkar yang berukuran sama. Buktikan A dan B similar jika dan hanya jika A I− dan B I− similar. b. Dengan menggunakan pernyataan pada bagian a., selidiki similaritas dari matriks :

1 0 01 1 11 0 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

dan 1 1 00 1 00 0 2

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2. Misalkan ( )2 2xM adalah ruang vektor dari semua matriks berukuran 2x2 atas .

Didefiniskan transformasi linear ( ) ( )2 2 2 2: x xT M M→ yaitu ( )T X AXB= , dengan : 1 21 3

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

dan 2 10 4

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Hitunglah trace dan determinan dari T ! 3. Misalkan 3V P= adalah ruang vektor dari semua polinomial berderajat 3≤ atas ,

( ){ }2 ,U a b x x a b= + − ∈ dan ( ){ }31 ,W c x dx c d= + + ∈

Selidiki apakah U W⊕ atau bukan !

4. Ditinjau 4 sebagai ruang inner produk Euclid. Tentukan basis ortonormal untuk 4

yang memuat vektor ( )1 1 1 11 2 2 2 2, , ,v = sebagai salah satu vektor dalam basis

ortonormalnya!


Kalkulus Multivariabel II Prof. Dr. Soeparna Darmawijaya 28 Maret 2007, Closed Book

1. a. Persamaan umum bidang datar di dalam ruang n dengan vektor arah ( )1 2, ,..., nα α α α= adalah , xα β= . Carilah nilai β agar bidang datar tersebut

melalui titik ( )1 2, ,..., ny y y y=

b. Carilah persamaan luasan bola di dalam ruang n yang memiliki titik pusat ( )1, 2,1,2α = − dan berjari-jari 4. 2. Buktikan bahwa fungsi ( )1 2, ,..., nf f f f= dari ke n mempunyai limit

( )1 2, ,..., nc c c c= untuk x a→ . Jadi lim ( )x a

f x c→

= jika dan hanya jika lim ( )k kx af x c

→= untuk

1,2,...,k n= .

3. Jika sin 2( ) , 1, tanxxf x e xx

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

dengan [ ]1, 2x∈ − ,

a) Hitung 0

lim ( )x

f x→

!

b) Cari titik-titik diskontinu dan titik-titik kontinu fungsi ( )f x tersebut!

4. Jika ( ) ( )2 2, 2 , 4F x y xy x y x= − − , (0,0), (1,2), (1,0)P Q R= = = , hitung nilai integral

garis .Q

Pc F d r∫ jika c memiliki persamaan :

a) Poligon yang menghubungkan P ke R ke Q b) 2y x= c) 22y x=


Kalkulus Multivariabel II Prof Dr. Soeparna Darmawijaya 6 Juni 2007, Closed Book Kerjakan 5 dari 7 soal dibawah ini !

1. Jika 1 , 0V xα α= − = dan 2 , 0V xβ β= − = dua persamaan bidang datar di dalam

ruang n , maka berkas bidang datar yang dibentuk adalah 1 2 0V Vλ+ = (λ suatu parameter) 1 0V = dan 2 0V = disebut anggota pokok dan garis perpotongannya disebut garis pokok. Buktikan bahwa :

a) Setiap nilai λ menentukan suatu anggota dan setiap anggota menentukan satu nilai λ .

b) Setiap ny∈ dilalui oleh tepat satu anggota. c) Setiap anggota memuat garis pokok.

2. Jika persamaan : nf → mempunyai derivatif di titik a∈ buktikan bahwa setiap fungsi komponennya mempunyai derivatif di a pula dan sebaliknya. Lebih lanjut

buktikan pula ( ) ( )1 2, ,..., ndfdf dfd f a adt dt dt dt

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3. Jika kurva C mempunyai persaman 2 32( ) , ,3

r r t t t t⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

carilah kelengkungan, puntiran,

, ,T N B di suatu titik. 4. Jika R merupakan bagian luasan parabolaida 2 22z x y= + yang terletak di bawah bidang

datar 2z = dan ( ) ( )2, , 2 , ,F F x y z y xz yz= = − , hitung nilai integral luasan

R

F ndS∇× •∫∫ .

5. Jika V benda (daerah) dengan batas-batas bidang-bidang datar 0, 0, 0x y z= = = dan 2 2 6x y z+ + = , 1R luasan kulit benda tersebut dan

( ) ( )( )2, , 2 , , 3F F x y z xy z y x y= = + − + hitung nilai integral luasan 1R

F ndS•∫∫ .

6. Jika ( ) ( ), , 3 , 5 ,10F F x y z xy z x= = − dan C persamaan ( )2 2 3( ) 1,2 ,r r t t t t= = + , hitung

nilai integral garis .Q

Pc F d r∫ dengan (2,2,1), (5,8,8)P Q= = .

7. Diketahui ( ) ( )3 2 3, , 3 , ,3F F x y z xy z x xz= = +

a) Buktikan bahwa integral garis .Q

Pc F d r∫ , dengan (1, 2,1), (3,1,4)P Q= − = , bebas

lintas. b) Jika F mempunyai fungsi skalar potensial, carilah fungsi tersebut! c) Hitung nilai integral garis fungsi tersebut!


Kalkulus Lanjut Yusuf dan Lina Aryati 28 Maret 2007, Closed Book

1. Diberikan fungsi [ ]: ,f a b → terbatas. Jika untuk setiap 0ε > , terdapat partisi P pada

[ ],a b sedemikian sehingga ( ) ( ), ,U f P L f P ε− < , maka f terintegral Riemann pada

[ ],a b . Buktikan! 2. Diberikan fungsi :

2 , 0 1

3, 1( )

2, 1 22, 2 3

x xx

f xx x

x

⎧ ≤ <⎪ =⎪= ⎨− + < ≤⎪⎪ < ≤⎩

dan partisi P { }0,1 ,1 , 2 , 2 ,3h h h h= − + − + .

a) Hitung ( ) ( ), ,U f P L f P−

b) Apakah f terintegral Riemann pada [ ]0,3 ? Jelaskan alasannya! 3. Diberikan fungsi [ ]: ,f a b → terbatas. Jika f turun monoton pada [ ],a b maka f

terintegral Riemann pada [ ],a b . Buktikan ! 4. Diberikan fungsi [ ]: ,f a b → terbatas. Fungsi f terintegral pada [ ],a x untuk setiap

x b≤ dan [ ]( ) ( ) , ,x

a

F x f t dt x a b= ∈∫ .

Jika f kontinu di 0x , maka 0'( )F x ada dan 0 0'( ) ( )F x f x= . Buktikan!


Kalkulus Lanjut Yusuf dan Lina Aryati 15 Juni 2007, Closed Book

1. Diberikan fungsi [ ]: 2,3f − → dengan rumus :

22 , 2 1( ) 3, 1 2

2 1, 2 3

t tf x t t

t t

⎧ − − ≤ < −⎪= + − ≤ ≤⎨⎪ + < ≤⎩

Jika [ ]2

( ) ( ) , 2,3x

F x f t dt x−

= ∈ −∫ , tentukan :

a) Rumus 0( )F x secara eksplisit b) 0'( )F x

2. Diberikan deret suku positif 1

nn

a∞

=∑ . Jika 1lim n

nn

a ra+

→∞= , dengan 1r < , buktikan bahwa

1n

na

∞

=∑ konvergen!

3. Tentukan kovergensi / divergensi deret :

a. ( )

32 21

2

1n

n

n

∞

= +∑ b. 3

1

!10 k

n

k∞

=∑

4. Tentukan jari-jari dan interval konvergensi deret :

a. ( )( )

1

1

12 3 1

nn

n

xn n

+∞

=

−+

∑ b. ( )2

1

54

n

nn

xn

∞

=

−∑

5. Hitung nilai Integral :

a) ( )1

85

0

lnt t dt∫ ( gunakan subtitusi: ln t u= − )

b) 2

0

2u du

u−∫


Fungsi Variabel Kompleks Supama 26 Maret 2007, Closed Book

1. Selesaikan persamaan 4 3 0z i− + = 2. Tentukan bayangan bidang kompleks oleh pemetaan ( ) . .f z z z i z z= + + .

3. Diberikan fungsi : , ,f ff D C A D→ ⊂ dan 0z titik limit A. Tuliskan definisi

0

lim ( )z z

f z L→

= . Berdasarkan definisi tersebut tunjukkan 1limz i

iz→= − .

4. Jika f kontinu di 0z dan g kontinu di ( )0f z , maka tunjukkan bahwa h g f= kontinu di

0z .

5. Hitunglah 2

2lim

2z

zz→

−−


Fungsi Variabel Kompleks Supama 4 Juni 2007, Closed Book

1. Buktikan pernyataan-pernyataan berikut :

a) Bilangan z real atau imajiner murni jika dan hanya jika ( )2 2z z= .

b) Diketahui 10 1 1( ) ...n n

n nP z a z a z a z a−−= + + + + , n∈ , na ∈ dengan 0 0a ≠ . Jika

( ) 0P a ib+ = , maka ( ) 0P a ib− = . 2. Tunjukkan bahwa ( ) ( ), 2 1u x y x y= − homogen. Selanjutnya tentukan fungsi analitik

( ) ( )( ) , ,f z u x y iv x y= + . 3. Jika fungsi f analitik pada suatu domain D dan terdapat bilangan 0c > sehingga

( )f z c= , untuk setiap z D∈ , maka tunjukkan f konstan pada D.

Hint: Karena 2( ). ( )f z f z c= maka 2

( )( )cf z

f z= .

4. Diketahui 4 2( )zef z

z z=

+. Hitunglah integral garis ( )

C

c f z dz∫ , jika

a) C lintasan positif berbentuk segi empat dengan titik-titik sudut 1 2i± dan 1 2i− ± . b) C: 3

2z i+ = arah positif.

5. Perderetkan secara Laurent ( )

2( )ln 1

zf zz

−=

− pada 0 1z< < . Selanjutnya hitung

( )C

c f z dz∫ , jika C lingkaran 23z = arah positif.


Geometri Moch. Tari M.Si 29 Maret 2007, Open Book

1. Diketahui ABL garis pada bidang Euclid dengan ( )0, 4A = dan ( )1, 2B = Jika fungsi : ABf L → didefinisikan sebagai : ( )( )f A t B A t B A+ − = − Untuk setiap ( ) ABP A t B A L= + − ∈ dengan t∈ , buktikan bahwa f suatu ruler pada

{ }2 , ,E EdL !

2. Dalam bidang Poincare diketahui tiga titik ( )0,3A = , ( )1, 4B = , dan ( )7, 4C = Apakah pada bidang tersebut berlaku pernyataan A B C− − ?

3. Diketahui empat titik dalam bidang Taxicab :

( )2,1A = , ( )8, 1B = − , ( )1, 2P = − , dan ( )2,3Q =

Tentukan titik R PQ∈ sehingga PR AB ! Bagaimana jika titik R QP∈ ?


Geometri Moch. Tari M.Si 7 Juni 2007, Open Book

1. Diketahui segiempat ABCD di bidang Moulton dengan : ( )2,1A = − , ( )4,5B = , ( )4,1C = , dan ( )2, 1D = −

Tentukan garis AB , BC ,CD , dan DA ! Kemudian hitung keliling segiempat tersebut !

2. Di bidang Poincare diketahui PQR dengan titik sudut :

( )3,0P = , ( )4,3Q = , dan ( )5,0R = Tentukan vektor singgung di titik P dan R jika ( )1 HM PRQθ = ∠ dan ( )2 HM RPQθ = ∠ Tentukan 1 2θ θ+ ! 3. Diketahui l PQ= garis yang melalui titik P dan Q dalam bidang Euclid.

Bidang setengah yang ditentukan oleh l didefinisikan :

( ) ( ){ }2 , 0H A A P Q P ⊥+ = ∈ − − >

( ) ( ){ }2 , 0H A A P Q P ⊥− = ∈ − − <

Buktikan bahwa H − konveks. Kemudian tentukan bidang H − jika titik ( )1, 2P = − dan ( )3, 4Q = ! Semua soal harus disertai gambar yang lengkap !


Peng. Analisis Numerik Lina Aryati 3 April 2007, Closed Book

1. a. Apa yang anda dapat simpulkan tentang fungsi ( ) 1 sinf x x= − dan 2cos( )

1 sinxg xx

=+

?

b. Fungsi mana yang anda pilih untuk menghitung pendekatan nilai fungsi untuk x mendekati 2

π ? Mengapa?

c. Fungsi mana yang anda pilih untuk menghitung pendekatan nilai fungsi untuk x mendekati 3 2

π ? Mengapa?

2. a. Misalkan 1( )P x merupakan interpolasi linear yang melewati dua data ( ), ( )o ox f x dan

( )1 1, ( )x f x . Jika 'f dan ''f ada dan kontinu pada [ ]0 1,x x , maka terdapat β dengan

0 1x xβ< < sehingga ( )( )0 11( ) ( ) ( ) ''( )

2!x x x x

e x f x P x f β− −

= − = , untuk setiap

[ ]0 1,x x x∈ . Buktikan! b. Diberikan data yang berasal dari ( ) lnf x x= berikut Tentukan polinom berderajad dua yang menginterpolasi data diatas. Kemudian

gunakan untuk menghitung nilai pendekatan dari ln (0,3). Dengan menghitung '''(0, 25)f , tentukan nilai pendekatan untuk ( )0,3e !

3. Dengan menggunakan metode Bisection sebanyak 4 langkah (n = 4), tentukan nilai

pendekatan untuk pembuat nol fungsi 3( ) 4 1f x x x= − + yang terletak di antara 0 dan 1.

4. Nilai pendekatan ( )b

a

f x dx∫ dapat dihitung dengan metode Trapezium

[ ]2 ( ) ( ) ( )2

b aT f f a f b−= +

Uraikan dengan lengkap cara mendapatkan rumus 2 ( )T f

x 0.1 0.2 0.4 f(x) -2.303 -1.609 -0.916


Peng. Analisis Numerik Lina Aryati 12 Juni 2007, Closed Book

1. a. Buktikan bahwa terdapat tepat satu polinom berderajad n yang menginterpolasi (n+1) data.

b. Diketahui hasil running program dengan suatu metode sebagai berikut: h Nilai Mutlak Error

1/4 0.5948 1/16 0.1544 1/64 0.0389

Berapakah perkiraan orde error dari metode yang digunakan? Mengapa?

2. a. Jika f analitik dan nilai f(x - h), f(x + h), dan f(x - 2h) diketahui, tentukan rumus pendekatan untuk ''( )f x dengan metode koefisien tak tentu. Berapakah error pendekatannya?

b. Dengan menggunakan hasil a., hitung nilai pendekatan untuk ''(0.5)f jika diketahui data berikut:

x 0.4 0.5 0.6 0.7 f(x) 0.737 0.794 0.843 0.888

3. a. Diketahui rumus pendekatan differensi berikut :

(1) ( 3 ) 9 ( ) 8 ( )'( ) ( )6h

f x h f x h f xf x D f xh

− + + + −= = ,

dengan error (1) 21( ) ''( )2he f x h f x≈ . Lakukan analisis sensitivitas nilai fungsi terhadap

error dari rumus pendekatan tersebut. b. Diketahui ( ) ln(1 )f x x= − . Jika nilai pendekatan untuk 1

2'( )f dihitung dengan rumus pendekatan pada a., dan nilai f dihitung sampai dua angka di belakang koma, tentukan nilai *h sehingga untuk *h h< batas errornya mulai membesar.

4. Diketahui Masalah Nilai Awal:

2'( ) YY xx Y

= −+

, Y (0) = 1

Hitung pendekatan untuk Y(1,5) menggunakan metode Runge-Kutta order dua dengan h = 0,5


Peng. Teori Bilangan Budi Surodjo 3 April 2007, Open Book Catatan: Kalau berani kerjakan dahulu soal yang sulit

1. Diberikan sistem bilangan asli ( ),+ a) Bilamana dapat terjadi 0 > 1 ? Beri alasan secara jelas. b) Kenapa 1+1 = 2?

2. Diberikan sistem bilangan asli ( ), ,+ ⋅ . Jika ,m n∈ dan m n≤ ,

buktikan |n m atau ( ) ( ), . 1p q n pm q q n∃ ∈ = + ∧ ≤ < 3. Di dalam sistem bilangan asli ( ), ,+ ⋅ dibentuk himpunan

( )( ){ }| | 1P p n n p n p n= ∈ ∀ ∈ ⇒ = ∨ =

Tunjukkan : a) P bukan himpunan kosong b) 1 P∉ dan ( ).1 1n n∀ ∈ + ≤

c) ( ) ( )( )1 1 21 ,..., . ...k kn n p p P n p p p∀ ∈ ≠ ⇒ ∃ ∈ =


Peng. Teori Bilangan Budi Surodjo 12 Juni 2007, Open Book

1. Diberikan S himpunan tidak kosong dilengkapi dengan operasi biner *: S S S× → yang memenuhi :

a. ( )( )( )1 1 1*e S s S s e e∃ ∈ ∀ ∈ ≠

b. ( )( )( )2 2 2, * *e S r s S r e s e r s∃ ∈ ∀ ∈ = ⇒ =

c. ( )( )( )3 3 3, ( * )* *( * )e S r s S s r e s r e∃ ∈ ∀ ∈ =

d. ( ) ( )( )1 2 3 1,2,3, , *G S e e e G s G s e G G S∀ ⊆ ∃ ∈ ∧ ∈ ⇒ ∈ ⇒ =

Apakah S dapat membentuk sistem bilangan asli? Jelaskan jawaban anda! 2. Diketahui { }( , ) ,S S n m n m S× = ∈ dengan ( ), ,S SS + × sistem bilangan asli dan

( ) ( ){ }, , S Sn m k l S S k m n l= ∈ × + = +

2.1. Tunjukkan bahwa ada sistem ( ), ,S S S SS S

× ×× + × yang membentuk perluasan

( ), ,S SS + × !

2.2. Ada berapa banyak pasangan ( ) ( )( ), , ,n m k l yang memenuhi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), . , , . 11,1 13,1 . , 1, . 1,n m k l n m k l m m l l= + + + + Catatan: Notasi × disingkat dengan .

3. Diketahui ( ){ }( ) ( ) ( ){ }{ }, , , ,P P m m n l n P l P m m× − = ∈ ∈ − dengan P S S= × .

3.1. Tunjukkan bahwa ada sistem ( ), ,P P P PP P

× ×× + × yang membentuk perluasan

( ), ,S S S SS S× ×

× + × .

3.2. Jika ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) dan , , , 1 1,1 , 1,QQ P P m k p q q q⎛ ⎞= × ≥ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

, buktikan

bahwa ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) , , , , , , 3,1 , 1,Qm k p q p q m k k k+ ≥ +

3.3. Buatlah suatu sistem yang merupakan perluasan dari sistem ( ), ,P P P PP P× ×

× + × .

Jelaskan prosesnya!


Masalah Syarat Batas Moch. Tari M.Si 29 Maret 2007, Open Book

1. Tentukan Integral Fourier Sinus dan Cosinus untuk fungsi

2( ) 4xxf x e

−=

2. Fungsi f didefinisikan :

4sin ,

( )0 , dan

x xf x

x xπ ππ π

− < <⎧= ⎨ < − >⎩

Ditanyakan :

a. Integral Fourier Fungsi itu b. Dengan menggunakan hasil pada a. dan kovergensinya di x π= , perlihatkan

bahwa 22

0

1 sin 01

dπα αα

∞

=−∫

3. Tentukan penyelesaian masalah syarat batas semi infinit berikut:

i. 14t xxU U= , 0 , 0x t< < ∞ >

ii. ( )0, 0U t = , 0t >

iii. ( ),0 0,004U x = , 0 x< < ∞


Masalah Syarat Batas Moch. Tari M.Si 7 Juni 2007, Open Book

1. Selesaikan BVP untuk vibrasi membran berikut:

tt xx yyU U U= + ; 0 , 0 , 0x y tπ π< < < < >

( ) ( ) ( ) ( )0, , , , ,0, , , 0U y t U y t U x t U x tπ π= = = = ; 0t ≥

( ), ,0 0tU x y = ; 0 , 0x yπ π< < < <

( ), ,0 0, 25U x y xy= ; 0 , 0x yπ π< < < < 2. Diketahui BVP berikut:

14tt xxY Y= ; 0 , 0x t< < ∞ >

( )0, 0Y t = ; 0t ≥

( ),0 0tY x = ; 0 x< < ∞

( ) 32

1,0 ( )32

Y x f x xe−= = ; 0 x< < ∞

Tentukan penyelesaiannya, kemudian tentukan ( , )Y x t jika syarat terakhir diganti dengan

( )1( ) 12

xf x e−= − ; 0 x< < ∞


Peng. Teori Kendali Dr. Salmah M.Si 2 April 2007, Open Book

1. Diberikan sistem dengan persamaan s u=

Diambil state 1x s= dan 2x s= a. Tentukan persamaan bentuk state space sistem! b. Desain observer sedemikian sehingga pole observer terletak di 1 i− ± ! c. Berikan persamaan sistem observer!

2. Pandang sistem

6 28 32 2 1

x x u−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )1 14y x= − a. Buatlah desain umpan balik dengan pole system terletak di -1 dan -2! b. Buatlah desain observer dengan pole observer terletak di 1 i− ± ! c. Buatlah gabungan desain umpan balik dan observer dengan pole terletak seperti pada

soal a. dan b.! d. Berikan persamaan sistem setelah diberi umpan balik dan dibangun observer!

3. Diberikan sistem dalam bentuk state space

1 1 20 2 0

x x u−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a. Tunjukkan bahwa sistem tidak teramati! b. Selidiki sub ruang teramati sistem tersebut! c. Apakah sistem dapat distabilkan?

4. Diberikan sistem

1 0 2 10 3 0 11 0 0 0

x x u−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a. Tunjukkan bahwa sistem tidak stabil! b. Tunjukkan bahwa sistem dapat distabilkan! c. Hitunglah kendali umpan balik u Fx= sedemikian sehingga pole sistem terletak

di -1, -2, dan -3! d. Tunjukkan bahwa sistem tidak teramati! e. Apakah sistem detectable? Jelaskan jawaban anda!


Peng. Teori Kendali Dr. Salmah M.Si 11 Juni 2007, Closed Book

1. Diberikan sistem yang memenuhi

x Ax Bu= + dengan 0 1 0

, 0,16 1 1

A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a. Selidiki apakah sistem terkendali! b. Jika sistem dapat dikendalikan carilah umpan balik sedemikian sehingga pole sistem

terletak di 1,2 1 iµ = − ± !

c. Diberikan ( )1 0y x= . Apakah sistem teramati? d. Jika dapat buatlah desain observer yang menempatkan pole sistem di 1,2 1 iλ = − ± !


x Ax Bu= + dengan 1 0 2 1

0 3 0 , 1 , 1 0 0 0

A B y Cx−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dengan ( )1 0 0C =

a. Apakah sistem stabil? b. Apakah sistem dapat distabilkan? c. Dapatkah menempatkan pole sistem di -1, -2, dan -3? Jika dapat hitunglah kendali

umpan baliknya! 3. Selidikilah masalah kendali optimal berikut apakah mempunyai penyelesaian. Jika

mempunyai penyelesaian optimal tentukan penyelesaian optimal tersebut. Minimalkan :

a. 1

2 2

0

12 ( ) ( ) 2

x t u t dt⎧ ⎫− −⎨ ⎬⎩ ⎭∫ yang memenuhi 0( ) 2 ( ) ( ), (0)x t x t u t x x= − + =

b. { }1

2 2

0

2 ( ) ( ) x t u t dt−∫ yang memenuhi 01( ) ( ) ( ), (0)2

x t x t u t x x= + =


x Ax Bu= + dengan 0 1 0

, 0 0 1

A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Akan diminimalkan fungsi objektif ( )2

0

TJ x Qx u dt∞

= +∫ , dengan 1 00 2

Q ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a. Tentukan persamaan aljabar Riccatinya! b. Carilah solusi persamaan aljabar Riccati! c. Carilah kendali optimal steady state! d. Tentukan sistem lingkar tertutupnya dan selidiki kestabilannya.

e. Jika 0

11

x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, tentukan rumus ( )x t untuk respon sistem lingkar tertutupnya.

Kemudian tentukan x(5)!


Teori Himpunan Budi Surodjo 27 Maret 2007, Closed Book Catatan: Kalau berani kerjakan dahulu soal yang sulit

1. Diberikan dua himpunan A dan B.

1.1 Benarkah A B A∪ ∼ jika dan hanya jika B A⊆ ? Jelaskan! 1.2 Jika { }| :BA f f B A= → himpunan denumerabel, apakah yang anda ketahui tentang

A dan B? jelaskan!

2. Ceritakan dan beri penjelasan:

2.1 Manfaat teori himpunan pada bidang statistika ?! 2.2 Manfaat teori himpunan pada bidang ilmu komputer ?!

3. Untuk sebarang himpunan H didefinisikan

{ }( ) |H X X H= ⊆P

3.1 Apa yang anda ketahui tentang ( )P ∅ ? Jelaskan! 3.2 Jika K himpunan, apakah ( ) ( ) ( )H K H K× ×∼P P P ? Jelaskan!

4. Diketahui {1,2,3,...}= . Himpunan A hingga, jika A =∅ atau

( ) { }. 1, 2,3,...,n A n∃ ∈ ∼ . Himpunan A tak hingga jika

( )( )B A A B B A∃ ⊆ ≠ ∧ ∼ Buktikan:

1. Jika ( ). {1, 2,..., }n A n∀ ∈ , maka A =∅ atau A tak hingga. 2. A hingga jika dan hanya jika tak benar A tak hingga!


Teori Himpunan Budi Surodjo 5 Juni 2007, Closed Book

1. Diberikan fungsi :f A B→ dan fungsi :g B C→ . a. Tentukan syarat agar f g terdefinisi! b. Jika g f injektif, apakah selalu g dan f keduanya injektif? Beri alasan!

2. Diketahui A ≠ ∅ dan adalah himpunan semua bilangan real. Notasi ( )BC

menyatakan kardinalitas himpunan B.

2.1. Apakah selalu berlaku [ ]( 0,1 ) ( )=C C ? Jelaskan! 2.2. Definisikan ( ) ( )A B−C C ! 2.3. Apakah ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D A B D A D B− = −C C C C C C C ? Jelaskan!

3. Sekelompok anak akan bermain kelereng. Mereka meletakkan 27 kelereng ke dalam atau

pada suatu segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 meter. Jari-jari setiap kelereng 1 cm.

Setiap kelereng paling luar terletak pada segitiga dengan pusat kelereng tepat pada sisi

segitiga. Buktikan bahwa terdapat paling sedikit dua kelereng yang berjarak paling jauh

18 cm!

4. Diketahui { }1,2,3,...,iA i n= adalah koleksi himpunan-himpunan hingga. Apakah benar

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

1 , 1 , , 11

, , , 1

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ...

( 1) ( ... )

n n n n

i i i i i i ii i i i i ii

n

i i i ii i i i

nn

A A A A A A A

A A A A

A A A

= ≥ ≥=

≥

= − ∩ + ∩ ∩

− ∩ ∩ ∩ + +

− ∩ ∩

∑ ∑ ∑

∑

∪C C C C

C

C

dengan j ki i≠ untuk setiap i k≠ ? Jika ya, buktikan!


Peng. Teori Modul Sri Wahyuni, M.S, DR, Prof. 27 Maret 2007, Closed Book

1. Misalkan M adalah modul atas Ring R, dan 1S serta 2S adalah submodul-submodul dalam M.

a) Tunjukkan 1 2S S∩ juga submodul di M b) Tunjukkan 1 2S S+ juga submodul di M c) Tunjukkan 1 2S S∪ belum tentu submodul di M d) Tunjukkan 1 2 1 2S S S S+ = ∪ e) Sudah diketahui bahwa akan terbentuk 4 modul faktor

( ) ( )

( ) ( )1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2, , , S S S S S S

S S S S S S+ +

∩ ∩

Terangkan hubungan-hubungan yang mungkin diantara keempat Modul Faktor tersebut. Jelaskan!

(Nilai: 50)

2. Misalkan V adalah ruang vektor atas F. Sudah kita ketahui bahwa akan terbentuk Ring Suku Banyak F[x]. Misalkan juga T adalah Transformasi Linear dari V ke V.

a) Tunjukkan bahwa V merupakan modul atas F[x] terhadap operasi sebagai berikut:

( ) ( )( )p x v p T v= ( ) [ ]p x F x∀ ∈ dan v V∀ ∈ b) Jika diambil 3V = dan 3 3:T → dengan definisi

1 13

2 1 2

3 2 3

0,

x xT x x x

x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ∀ ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Deskripsikan Modul V atas F[x] melalui Transformasi Linear T seperti pada soal a) di atas!

(Nilai: 50)


Peng. Teori Modul Sri Wahyuni, M.S, DR, Prof. 5 Juni 2007, Closed Book

1. Misalkan M1 dan M2 masing-masing adalah Modul atas Ring Komutatif R dengan elemen satuan 1R. Selanjutnya dibentuk himpunan

( ){ }1 2 1 2 1 1 2 2, ,M M m m m M m M× = ∈ ∈

dan operasi jumlahan + pada 1 2M M× ,yaitu untuk setiap ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , ', 'm m m m M M∈ × didefinisikan :

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, ', ' ', 'm m m m m m m m+ = + + Perintah a.) Tunjukkan secara singkat bahwa 1 2M M× merupakan Grup Abelian! Selanjutnya, jika r R∈ dan ( )1 2 1 2,m m M M∈ × didefinisikan operasi (pergandaan skalar) sebagai berikut :

( ) ( )1 2 1 2, ,r m m rm rm= Perintah b.) Tunjukkan 1 2M M× merupakan Modul atas Ring R terhadap operasi diatas! 2. Diketahui Modul M atas Ring Komutatif R dengan elemen satuan 1R. Selanjutnya

dibentuk himpunan ( ) { }: homomorfisma modulREnd M f M M f= →

Pada ( )REnd M didefinisikan operasi + dan sebagai berikut.

Untuk setiap ( ), Rf g End M∈ dan untuk setiap m M∈

i. f g+ adalah fungsi dari M ke M dengan definisi ( ) ( ) ( ) ( )f g m f m g m+ = +

ii. f g adalah fungsi dari M ke M dengan definisi ( ) ( ) ( ( ))f g m f g m=

Perintah a.) Tunjukkan secara singkat bahwa ( )REnd M adalah Ring dengan elemen satuan!

Selanjutnya didefinisikan operasi pergandaan skalar antara ( )Rf End M∈ dan m M∈ sebagai berikut :

( )f m f m= Perintah b.) Tunjukkan bahwa M merupakan Modul atas Ring ( )REnd M terhadap operasi pergandaan skalar diatas! 3. 8 dapat dipandang sebagai -Modul dan juga dapat dipandang sebagai 8 -Modul.

Hitunglah :

a) ( )8 T jika 8 = -Modul

b) ( )8 T jika 8 = 8 -Modul

c) Annihilator { }2 jika 8 = -Modul

d) Annihilator { }2 jika 8 = 8 -Modul


Peng. Topologi Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS 29 Maret 2007, Closed Book

1. Diberikan { }1, 2,3,...= dan didefinisikan { , 1, 2,...}nE n n n= + + , untuk n∈

Dibentuk keluarga himpunan bagian sebagai berikut : { } { }|nE nτ = ∪ ∈Ø Buktikan τ topologi pada ! 2. Jika ( ),X τ ruang topologi, A X⊂ dan A himpunan semua titik interior A, buktikan:

a. A terbuka b. A himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam A

3. Untuk setiap ruang topologi ( ),X τ dan ,A B X⊂ buktikan :

a. A B A B∪ = ∪ b. A B A B∩ ⊂ ∩ dan tidak berlaku sebaliknya

4. Jika { , , , , }X a b c d e= buktikan { }{ , },{ , },{ , },{ , }S a b b c e d d e= Merupakan subbasis untuk suatu topologi pada X. Tentukan juga topologinya. 5. Dalam ruang topologi biasa ( ),τ buatlah liput terbuka untuk interval [ )2,1− yang tidak

memuat liput terbuka berhingga.


Peng. Topologi Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS 7 Juni 2007, Closed Book

1. Jika 1 2, ,..., nτ τ τ topologi pada himpunan tak kosong X, buktikan 1

n

ii

τ=∩ topologi pada X !

2. Diberikan ruang topologi biasa ( ),τ dan himpunan

1 13A n nn n

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ∈ ∪ − ∈⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Tentukan , ', , ( ), dan ( )A A A b A ext A 3. Diberikan ruang topologi ( ),X τ , himpunan K kompak di dalamnya dan F K⊂ dengan

F tertutup. Buktikan F kompak! 4. Jika ( ),X τ ruang topologi terhubung dan fungsi :f X Y→ kontinu pada X, buktikan

f(x) terhubung.

5. Buktikan setiap ruang T4 pasti ruang T3 dan setiap ruang T3 pasti ruang Hausdorff.


Peng. Teori Ukuran & Integral Umum Ch. Rini Indrati 3 April 2007, Closed Book

I. JAWABAN SINGKAT

1. Berikan pengertian himpunan E ⊆ terukur Lebesgue! 2. Diketahui X himpunan tidak kosong dan A Aljabar σ− pada X

i. Kapan A X⊆ terukur? ii. Berikan pengertian ukuran µ pada ruang terukur ( ),X A !

iii. Berikan pengertian fungsi :f X → terukur µ− ! iv. Berikan pengertian fungsi sederhana pada X! v. Berikan pengertian SIFAT P berlaku hampir dimana-mana pada E X⊆ !

3. Diberikan ruang ukuran ( ), ,X µA dan f fungsi terukur non negatif pada X. Berikan

pengertian X

f dµ∫ !

II. ESSAY

1. Diketahui { }1, 2,3, 4X = , { } { }{ }1 , , 1 , 2,3, 4X= ∅A , dan { } { }{ }2 , , 2 , 1,3, 4X= ∅A . a. Berikan 1 2∪A A ! b. Selidiki apakah 1 2, A A , maupun 1 2∪A A aljabar pada X ?

2. Tunjukkan bahwa koleksi semua himpunan terukur Lebesgue di membentuk aljabar!

3. Tunjukkan bahwa jika { }nf barisan fungsi terukur µ− pada ruang terukur ( ),X A , maka

inf nnf terukur µ− pada ruang terukur ( ),X A !

4. Diberikan fungsi ( )3, 1 41, 4 54, 5 7

xf x x

x

− ≤ <⎧⎪= ≤ ≤⎨⎪ < ≤⎩

. Hitunglah ( ) ( ) E

f x d xµ∫ , dengan [ ]1,7E = −

dan µ ukuran Lebesgue pada !

5. Diberikan ruang ukuran ( ), ,X µA dan f fungsi terukur non-negatif pada X. Jika 0f =

hampir di mana-mana pada X, tunjukkan bahwa 0X

f dµ =∫ !

kumpulan soal-soal ujian

Documents