kumpulan soal dan ian

Download Kumpulan Soal Dan ian

Post on 11-Jul-2015

199 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

KUMPULAN SOAL DAN PENYELESAIAN

PERSIAPAN MENUJU OSN BIDANG MATEMATIKA

DISUSUN OLEH :

EDDY HERMANTO, ST

SMA NEGERI 5 BENGKULU JALAN CENDANA NO 20 BENGKULU KODE POS 38228

TELP. (0736) 21433 TAHUN 2006

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah Penulis ucapkan kepada Allah, SWT atas semua yang yang diberikan-N ya kepada Penulis sehingga Penulis dapat menyelesaikan penulisan buku ini. Buku ini Penulis tulis sebagai kelanjutan dari apa yang pernah Penulis sampaikan pada diskusi dengan gu ru-guru seIndonesia dalam acara Simposium Guru III pada kegiatan Olimpiade Sains Nasional Tahun 2005 di Jakarta.

Buku ini dapat digunakan oleh semua pihak dalam mempersiapkan siswa-siswanya men uju Olimpiade Matematika Tingkat Nasional.

Ucapan terima kasih dari Penulis kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian buku ini.

Penulis merasa bahwa buku ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu saran dan krit ik dari Pembaca sangat Penulis nantikan.

Akhir kata semoga buku ini dapat memberikan manfaat yang sebesar-besarnya bagi P embaca sekalian.

Bengkulu, April 2006

EDDY HERMANTO, ST

KUMPULAN SOAL DAN PENYELESAIAN PERSIAPAN MENUJU OSN BIDANG MATEMATIKA

1. Misalkan ABCD adalah segiempat talibusur dan P dan Q berturut-turut adalah ti tik yang terletak pada sisi AB dan AD sehingga AP = CD dan AQ = BC. Misalkan M adalah titik perpotongan AC dan PQ. Buktikan bahwa M adalah titik tengah PQ. (Sumber : Australian Mathematical Olympiad 1996) Solusi :

Misalkan [XYZ] menyatakan luas .XYZ. .QME = .PMF MQ = QE cosec .QME dan MP = PF cosec .PMF QEPFMQMP= AC adalah alas .ACP dan ACQ maka [] []ACQACPMQMPQEPF== Misalkan R terletak pada sisi AB atau perpanjangan AB sehingga CR tegak lurus AB . Maka CR merupakan tinggi dari .ABC dan .ACP. [] []ABAPABCACP= Misalkan T terletak pada sisi AD atau perpanjangan AD sehingga CT tegak lurus AD . Maka CT merupakan tinggi dari .ACD dan .ACQ. [] []ADAQACDACQ= [] [] [] []ACDAQABABCADAPACQACPMQMP ==

Misalkan .ABC = a maka .ADC = 180o - a (ABCD adalah segiempat tali busur) sin .ABC = sin .ADC = sin a [] [] [] []aasinsin = == CDADAQABBCABADAPACDAQABABCADAPACQACPMQMP Kumpulan Soal dan Penyelesaian

Karena AP = CD dan AQ = BC maka 1= MQMP .. MP = MQ M adalah titik tengah PQ (terbukti)

Kumpulan Soal dan Penyelesaian 2. Jika a,b, c > 0 dan a2 + b2 + c2 = 3 maka buktikan bahwa : 23111111= + + + + +cabcab (Sumber : Belarussian Mathematical Olympiad 1999) Solusi : Berdasarkan AM-GM didapat bahwa a2 + b2 = 2ab ; a2 + c2 = 2ac dan b2 + c2 = 2bc 211211211111111222222cacbbacabcab+ + + + + + + + = + + + + + Berdasarkan AM-HM didapat bahwa : 22222211133cbacba++ = ++ .. 2222229111cbacba++ =++. Maka : 33939211211211222222222+ = +++ = +

+ + + + + + +cbacacbba 23111111= + + + + +cabcab (terbukti)

3. Buktikan bahwa jika x dan y adalah bilangan rasional yang memenuhi pesamaan x5 + y5 = 2x2y2 maka 1 - xy adalah kuadrat dari suatu bilangan rasional (Sumber : British Mathematical Olympiad 1990) Solusi : Jika y = 0 dan atau x = 0 1 - xy = 12 Jika y . 0 dan x . 0 x6 + xy5 = 2x3y2 x6 + xy5 + y4 = 2x3y2 + y4 x6 - 2x3y2 + y4 = y4(1 - xy) (x3 - y2)2 = y4(1 - xy) 22231... . ... .=yyxxy

Kumpulan Soal dan Penyelesaian m2 - 1 = 1001a = 7 11 13 a 4. Tentukan bilangan enam angka n yang memenuhi (i) n adalah bilangan kuadrat se mpurna, (ii) bilangan dibentuk dengan tiga angka terakhir n lebih satu dari tiga angka pertama n. (Seb agai ilustrasi n terlihat seperti 123124 tetapi itu bukan bilangan kuadrat) (Sumber : British Mathematical Olympiad 1993 Round 1) Solusi : Misalkan tiga angka pertama n adalah a, maka n = 1000a + a + 1 = m2 100000 = m2 = 999999 316 < m < 1000 (m + 1) (m - 1) = 7 11 13 a Karena x dan y bilangan rasional maka 223yyxadalah juga bilangan rasional.

Terbukti bahwa 1 - xy adalah kuadrat dari suatu bilangan rasional.

Jika m + 1 = 143b dan m - 1 = 7c dengan bc = a Karena 317 < m + 1 < 1001 maka 2 < b < 7. Karena m - 1 = 7c maka m - 1 = 0 (mod 7) .. m = 1 (mod 7) m + 1 = 2 (mod 7) .. 143b = 2 (mod 7) 143b = 7 20b + 3b 3b = 2 (mod 7) Karena 2 < b < 7 maka nilai b yang memenuhi hanya b = 3 Jika b = 3 maka m = 143 3 - 1 = 428 .. 428 - 1 = 7c .. c = 61 a = bc = 183 .. n = 183184 = 4282 Jika m - 1 = 143b dan m + 1 = 7c dengan bc = a Karena 315 < m - 1 < 999 maka 2 < b < 7. Karena m + 1 = 7c maka m + 1 = 0 (mod 7) .. m = -1 (mod 7) m - 1 = -2 (mod 7) .. 143b = -2 (mod 7) 143b = 7 20b + 3b

3b = -2 (mod 7) .. 3b = 5 (mod 7) Karena 2 < b < 7 maka nilai b yang memenuhi hanya b = 4 Jika b = 4 maka m = 143 4 + 1 = 573 .. 573 + 1 = 7c .. c = 82

a = bc = 328 .. n = 328329 = 5732 Jika m + 1 = 91b dan m - 1 = 11c dengan bc = a Karena 315 < m + 1 < 999 maka 3 < b < 11. Nilai b yang mungkin adalah b = 4, 5, 6, 7, 8, 9 atau 10. Karena m - 1 = 11c maka m - 1 = 0 (mod 11) .. m = 1 (mod 11) m + 1 = 2 (mod 11) .. 91b = 2 (mod 11) 91b = 11 8b + 3b 3b = 2 (mod 11) Karena 3 < b < 11 maka nilai b yang memenuhi hanya b = 4 Jika b = 8 maka m = 91 8 - 1 = 727 .. 727 - 1 = 11c .. c = 66

a = bc = 528 .. n = 528529 = 7272 Jika m - 1 = 91b dan m + 1 = 11c dengan bc = a Karena 315 < m - 1 < 999 maka 3 < b < 11. Nilai b yang memenuhi adalah b = 4, 5, 6, 7, 8, 9 atau 10.

Kumpulan Soal dan Penyelesaian

Karena m + 1 = 11c maka m + 1 = 0 (mod 11) .. m = -1 (mod 11) m - 1 = -2 (mod 11) .. 91b = -2 (mod 11) 91b = 11 8b + 3b 3b = -2 (mod 11) .. 3b = 9 (mod 11) Karena 3 < b < 11 maka tidak ada nilai b yang memenuhi. Jika m + 1 = 77b dan m - 1 = 13c dengan bc = a Karena 315 < m + 1 < 999 maka 4 < b < 13. Nilai b yang memenuhi adalah b = 5, 6, 7, 8, 9 atau 10, 11, 12 Karena m - 1 = 13c maka m - 1 = 0 (mod 13) .. m = 1 (mod 13) m + 1 = 2 (mod 13) .. 77b = 2 (mod 13) 77b = 13 5b + 12b 12b = 2 (mod 13) Karena 4 < b < 13 maka nilai b yang memenuhi hanya b = 11 Jika b = 11 maka m = 77 11 - 1 = 846 .. 846 - 1 = 13c .. c = 65 a = bc = 715 .. n = 715716 = 8462 Jika m - 1 = 77b dan m + 1 = 13c dengan bc = a Karena 315 < m - 1 < 999 maka 4 < b < 13. Nilai b yang memenuhi adalah b = 5, 6, 7, 8, 9 atau 10, 11, 12 Karena m + 1 = 13c maka m + 1 = 0 (mod 13) .. m = -1 (mod 13) m - 1 = -2 (mod 13) .. 77b = -2 (mod 13) 77b = 13 5b + 12b 12b = -2 (mod 13) .. 12b = 11 (mod 13) Karena 4 < b < 13 maka tidak ada nilai b yang memenuhi.

Maka bilangan-bilangan tersebut adalah 183184 = 4282, 328329 = 5732, 528529 = 72 72 dan 715716 = 8462

5. Segitiga ABC siku-siku di C. Garis bagi dalam sudut BAC dan ABC memotong sisi BC dan CA berturutturut di titik P dan Q. Titik M dan N masing-masing terletak pada sisi AB sehing ga PM dan QN tegak lurus AB. Tentukan besar .MCN. (Sumber : British Mathematical Olympiad 1995 Round 1) Solusi :

Dibuat CL dengan L terletak pada AB sehingga CL tegak lurus AB. Segitiga-segitiga .ACB, .ANQ, .ALC, .CLB dan .PMB semuanya sebangun. Misalkan .MCL = x

Kumpulan Soal dan Penyelesaian

Karena PM sejajar CL maka .MCL = .PMC = x Pada .APC dan APM, ketiga sudut segitiga tersebut sama serta AP merupakan hipote nusa kedua segitiga sehingga .APM dan .APC kongruen (sama dan sebangun). .. PC = PM Karena PC = PM maka .CPM sama kaki. .. .PCM = .PMC = .MCL = x Misalkan .NCL = y Karena QN sejajar CL maka .NCL = .QNC = y Pada .BQC dan BQN, ketiga sudut segitiga tersebut sama serta BQ merupakan hipote nusa kedua segitiga sehingga .BQN dan .BQC kongruen (sama dan sebangun). .. QC = QN Karena QC = QN maka .CQN sama kaki. .. .QCN = .QNC = .NCL = y .MCN = .MCL + .NCL .MCN = (.BCL + .ACL) .MCN = .ACB .MCN = 45o

6. Tentukan pasangan bilangan bulat positif (m, n) yang memenuhi 2 kondisi berik ut : (a) m dan n keduanya adalah bilangan kuadrat empat angka (b) dua digit m sama baik nilai maupun posisinya dengan n (satuan dengan satuan, puluhan dengan puluhan, ratusan dengan ratusan, ribuan dengan ribuan) sedangkan dua digitnya la innya dari m masing-masing kurang satu dari kedua digit n pada masing-masing posisi) Bilangan tersebut terlihat seperti 1345 dan 1446, 3526 dab 4527 meskipun bilanga n-bilangan tersebut bukan bilangan kuadrat (Sumber : British Mathematical Olympiad 1996 Round 1) Solusi : Misalkan m = 1000a + 100b + 10c + d maka n = 1000a + 100b + 10c + d + 10p + 10q dengan p dan q adalah bilangan bulat berbeda, p > q dan 0 = p, q = 3. Misalkan m = x2 dan n = y2

n - m = (y + x)(y - x) = 10p + 10q Jika x genap dan y ganjil atau x ganjil dan y genap maka y + x dan y - x keduany a ganjil .. n - m ganjil. Jika x dan y keduanya genap atau keduanya ganjil maka y + x dan y - x keduanya g enap .. n - m adalah bilangan genap habis dibagi 4. Ada 6 kasus yang akan ditinjau : p = 3 dan q = 2 n - m = (y + x)(y - x) = 1100 Pasangan (y + x, y - x) yang memenuhi adalah (550, 2), (50, 22), (110, 10) * Jika y + x = 550 dan y - x = 2 didapat y = 276 dan x = 274 .. n = 76176 (tidak 4 angka) * Jika y + x = 50 dan y - x = 22 didapat y = 36 dan x = 14 .. m = 196 (tidak 4 a ngka) * Jika y + x = 110 dan y - x = 10 didapat y = 60 dan x = 50 .. n = 3600 dan m = 2500 p = 3 dan q = 1 n - m = (y + x)(y - x) = 1010 Tidak ada nilai x dan y yang memenuhi sebab 1010 tidak habis dibagi 4. p = 3 dan q = 0 n - m = (y + x)(y - x) = 1001 = 7 11 13

Kumpulan Soal dan Penyelesaian

Pasangan (y + x, y - x) yang memenuhi adalah (1001, 1), (143, 7), (91, 11), (77, 13) * Jika y + x = 1001 dan y - x = 1 didapat y = 501 dan x = 500 .. m = 250000 (tid ak 4 angka) * Jika y + x = 143 dan y - x = 7 didapat y = 75 dan x = 68 .. n = 5625 dan m = 4 624 * Jika y + x = 91 dan y - x = 11 didapat y = 51 dan x = 40 .. n = 2601 dan m = 1 600 * Jika y + x = 77 dan y - x = 13 didapat y = 45 dan x = 32 .. n = 2025 dan m = 1 024 p = 2 dan q = 1 n - m = (y + x)(y - x) = 110 Tidak ada nilai x dan y yang memenuhi sebab 110 tidak habis d