kumpulan rumus buat snmptn ipa
TRANSCRIPT
1
DASARMATEMATIKA
FUNGSI
Bentuk linear: a
bxxfbaxxf −=′⇒+= )()(
Bentuk pecahan: dcxbaxxf
++
=)(
acxbdxxf
−+−
=− )(1
Bentuk eksponen: papx
ax
xxfaxF
xxfaxf1
1
1
log)()(
log)()(
=⇒=
=⇒=′
−
−
Bentuk logaritma: xa axfxxf =⇒= − )(log)( 1 Bentuk akar pangkat:
abxxfbaxxf
nn −
=⇒+= − )()( 1
Bentuk fungsi kuadrat:
ab
aDx
axfcbxaxxf
241)()( 12 −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +±=⇒++= −
( )( )( ) ( )( )xghxfmakaxhxgf
rqxpxbaxfxfmakarqxpxbaxf
abrqxpxxgMaka
rqxpxxfogbaxxfJikaa
bqpxxgMaka
qpxxfogbaxxfJikafungsiKomposisi
1
2
2
2
2
)(:)()(
:,)(
)(:
)()(
)(:
)()(:
−==
++=+=
++=+
−++=
++=⇒+=
−+=
+=⇒+=
2
LIMIT
aljabarfungsiLimit
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
rqxpxrbxax
rqxpxrbxaxdengankalikanrqxpxcbxax
tertinggipangkatxdengansukugmagmabagilahbxax
xfxf
xg
xf
xgxf
xgxfgfxf
xgxfgfxf
xgxfgfxf
xfkxfk
makaxgdanadaxfJika
takonskkkx
jawabanpajikajawabanpajika
aqbjawabanpaJika
bdananilaiPerhatikan
rqxpxcbxax
akarBentukpenyebuttertinggipangkatadalahmpembilangtertinggipangkatadalahn
bajawabmnjika
jawabmnjikajawabmnjika
bxax
pecahanBentuk
x
m
n
x
n
x
m
x
x
x
x
xxx
xxx
xxx
xx
xx
x
nx
x
m
n
x
+++++
+++++++−++
−⇒++
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
=
⋅=⋅
−=−
+=+
=
=⇒=
=
+>−<
−=
++−++
=
<>
⇒++
→
→
→→
→
→
→
→→→
→→→
→→→
→→
→→
→
→
→
→
22
2222
~
~
~~
~
~
~
~~~
~~~
~~~
~~
~~!
~
~
22
~
~
:
sinsin..............................
)()(
)(
)(
)()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()(
:,)()(
tan
01
~).3(~:)2(
2:).1(
:.2
:
0:~:
........................................
:.1
lim
lim
limlim
limlim
lim
limlimlimlimlimlimlimlimlim
limlimlimlim
limlim
lim
lim
3
( )( )
nmenguraikadenganselesaikanatauataumisalkantentutak
dicariyangjawabanmerupakanb
atauaataubamisalkantertentuyahasijika
fungsikeakansubstitusixgxf
cbqpqpa
cxqbxpax
makaqpjikamnmakaqpjika
makaqpjika
xmxmxnxn
rc
rqxpxcbxax
TERTENTUBILANGANMENDEKATILIMIT
x
x
qp
pp
x
mm
nn
x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒
++−+
=−−+
<
=
=>
⇒++++
=++++++
→
→
+
+
→
−
−
→
~0
~~
00
00
:ln
)()(
.3
~
0
...............................2
................................1
lim
lim
lim
lim
0
0
1
1
11
2
11
2
0
1
1
0
4
LOGARITMA
( )( )0,0:
,10,1,0:,log≥∉≠
≠≥∉≠≠xnegatifbilanganxxmaka
adananegatifBilanganaaamakasyaratxa
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
rs
nmab
basehinggaba
aFxaFxF
mnasehinggab
mnb
makax
xxfJikabb
bfafbafeedcb
bfafbafb
nmb
makaxxfJikabb
bnb
cbfa
b
makacbxftdantdanbab
xxmakacbcb
xdanxakarakarmempunyaicbcbcxbxabacb
sbma
nm
rmb
naana
a
aana
adcba
an ma
gaa
ana
gMAKSb
a
ggt
ta
ab
aaa
aaa
ca
rn
rbna
a
mm
n
⋅=⋅
=⇒=
−==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⇒=
−==
+=⋅=⋅⋅⋅
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
==
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==
+=≠≥=
=−=
−+=⋅
=++=⇒=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
loglog.13
:.12
1)(log:loglog.11
:log21
log)(.17loglog.10
logloglogloglog.9
loglog.8
:,log)(.16log21log.7
loglog.62
loglog1log.5
:loglog)(.1510logloglog.4
10loglog:log.3
logloglog.20loglog.14log.1
log
log
2
21
21
2
LOGARITMAFUNGSIGRAFIK
y
( )
( )( )nxykirike
nxykanankeaxybawahke
xayataskesatuanndigeserxygrafikJika
a
a
na
na
a
+=⇒−
−=⇒−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒−
=⇒−
=
loglog
log
loglog
1,log >= axy a
( )0,1
1,log <= axy a
5
MAANPERTIDAKSA
mutlakahmaanPertidaksa arg
axfa
bxf
xfaatauaxfaxf
axfaaxf
ba <<⇔<
<−<⇔>
<<⇔<
)(1)(log
)()()(
)()(
( ) ( )
yxyx
yzzxyx
yxyx
yxyx
xx
memenuhiyangxahadatidakx
Rxmakax
bxaxbxax
axax
xxxuntuk
xxxuntukx
xx
+≤−
−+−≤−
=⋅
+≤+
=⇒≤
⇒
∈≥
+≤+⇔+≤+
≤⇔≤
−=⇒≤
=⇒≥
=
.11
.10
.9
.8
00.7
arg.6
0.5
22.4
.3
0
0.2
.1
22
22
2
yaamakaayxaamakaabaxsyarat
eksponenBentukcbaxanpenyelesaixgxfcbaxumumBentuk
makaxgxfdanaJikacamakacbba
xgxfbaba
makaxgxfdanaJikabamakabauntuk
xgxfbamakabauntukbamakaxgxfdanaJikaRcuntukcbcaba
xgxfcuntukbcacbamakaxgxfdanaJikacuntukbcacba
aritmaBentuksifatSifat
bsyaratba
negatifbilanganyfyfxnegatifbilanganxxsyaratyf
xfsyaratxf
yx
yx
aa
aa
aa
aa
x
⇒<<<
>⇒>>≥+
>+
≥>+
≥<<>>>
≤>⋅⇒>
≥<<<<
≤>>>
≤>∈+>+⇔>
≥<<⇔>≥>>>⇔>
−
≠
∉≠≠∉≠
>
:10:10:
:*:)()(:*
:)(log)(log10:,
)()(00
:)(log)(log10:
)()(::)(log)(log1
)()(0:)(log)(log10
:log*:*
0
)(,0)(1,,0)(log
0)()(
2
22
22
6
KUADRATPERSAMAANDANGRAFIK
cbxaxxffungsiGrafik ++= 2)( :.1 afaktorPengaruh
kirikekurvaputar −⇒ 090
0>a 0<a
:.2 bfaktorPengaruh y y y
x x x 0>b 0<b 0=b
y y y x x x
0<b 0>b 0=b
0:*0:*
0:*
=<
>
cmakakoordinatpangkalmelaluikurvaBilacmakaxsumbubawahdiysumbumemotongkurvaBila
cmakaxsumbuatasdiysumbumemotongkurvaBila
( )cadalahysumbudenganpotongTitikaacb
abparabolaPuncak
yymakaaJikayymakaaJika
ekstremnilaidiesbuta
Daacby
xfpenyebabsimetrisumbudisebuta
bx
aacb
abxaxfditulisdapatcbxaxxff
negatifselaluxfxsumbubawahdigrafiksemua
negatifdefinitdisebutxfmakaDdanaJika
positifselaluxfxsumbuatasdigrafiksemua
positifdefinitdisebutxfmakaDdanaJika
acbD
maksimumekstremimumekstrem
ekstrem
,0*44,
2*
00*44
4*
)(2
*
44
2)(:)(*
)()(00*
)()(00*
4*
2
min
2
222
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−⇒
=<⇔=>−
=−−
=
⇒−=
−−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=++==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<>
−=
y
x
y
x
×
×
×
y
x
0>c0=c
0<c
7
kuadratpersamaanakarakarSifat −
:,0: 221 berlakumakacbxaxpersamaanakarakarxdanxJika =++−
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )( )( )
( )
( )
( )
( )realakarmemilikitidakD
xxsamaakarmemilikiDberlainanyangrealakarduamemilikiD
rasionalakarmemilikikDrealakarmemilikiD
DNDISKRIMINA
acbDditulisdapata
acbbxrumusdengan
sempurnakuadratpersmembentukanmemfaktork
caradenganandiselesaikdapatRcbadenganadengancbxax
abxxsyaratxxsamaakarnyakeduaBila
csyaratakarnyasatusalahBila
casyaratx
xanberkebaliksalingakarakarBila
bsyaratxxberlawanansalingakarakarBila
xxxx
xxaacbxx
xxxxxxacbDdenganaD
xx
xxxxxxxxcb
xx
aDb
xxacxx
ababcxx
abxx
⇒<=⇒=
⇒>⇒=
⇒≥
−=⇒−±−
=
∈≠=++
−==⇒=
=⇒=
=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
=⇒−=−
+=+
−=+
+−=−−==−
−−+=+=
−=−=
−=+
−=+
0*0*0*
*0*
:
4:2
4:.3
..2.1
:,,00
2,*
0,0*
,1*
0,*
11.102.5
.94.4
22.81.3
.7.2
3.6.1
21
2
22
2,1
2
2121
21
21
221
22
21
22
21
2
222
21
22
21
22
21
42
41
221
221
2
212
2142
41
21
222
2121
3
332
3121
( ) ackkbberlakupembandingtakonskanakxx
ahsehinggasedemikianxdanxakarmemilikicbxaxkuadratPersamaan22
21
212
1:tandim
arg0*
+===
=++
( ) acbDdengananDakarselisih
makanxdanxakarmempunyaicbxaxkuadratPers
4
,0.*22
212
−=⋅=
+=++
8
( )PKBBaruKuadratPersamaan
02 =++ cbxxa ( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( ) 00.10
02
011.9
02
0.8
0
0.70
0.603
0.502
0.40
0.30
011.2
0
0.1
22
22121
2222
222
21
22
2
1
2
2
1
2
221
2
221
333
222
31
222
222
21
2
221
2
2
21
22
221
=−−+
=++⋅+−
=+−−
=++−
=+−−
=++−
=++++
=++−−−
=+−+−
=++++−
=+−−
=++−
=+−−
=++−
=+−
=++−−−
=++
=++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=++
=++−
bcxcabxaadalahcbxaxdarixxdanxxakarnyaakaryangPKB
axacbxcadalah
cbxaxdarix
danx
akarnyaakaryangPKB
acxacbacxadalah
cbxaxdarixxdan
xxakarnyaakaryangPKB
ckxbkxaadalah
cbxaxdaridarikurangnyakkxdankxakarnyaakaryangPKBckxbkxaadalah
cbxaxdaridarilebihnyakkxdankxakarnyaakaryangPKBcxbabcxa
cbxaxdarixdanxakarnyaakaryangPKBcxacbxaadalah
cbxaxdarixdanxakarnyaakaryangPKBcbxaxadalah
cbxaxdarixdanxberlawananakarnyaakaryangPKBabxcxadalah
cbxaxdarix
danx
kebalikanakarnyaakaryangPKB
ckkbxaxadalah
cbxaxdarikxdankxkalikakarnyaakaryangPKB
( ) ( ) 02 =⋅++−− βαβαβα xxadalahdanakarnyaakaryangkuadratPersamaan
222
2
112
1:cxbxacxbxargandaKuadrat
++++
=
( )( ) kDrcacabbrDraholehditentukanakarnyaahanaakarakarmempunyaiyanggandakuadratPers=++−−⇒
−
12211212 42argargdim,.
9
GARISPERSAMAAN
( ) ( ) :,,.1 2211 yxLdanyxKtitikduamelaluigarisPersamaan
( ) ( )( )
3333
2122
2111
22
1133
:
_
:,,,..2
ByAxByAxHasilByAxByAx
ByyyxAxxyx
yxLtitikdanyxKtitikmelaluiyanggarisdanyxMtitikmelaluigarisPers
+=++=+
=−⇒=−
⊥
( )( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) 0
00
0
0.10
:,,,,,.9
:,00.8
0,.7
:::.60,,0..5
0,..40,..3
12
13
12
13
332211
2221
21
2211
11
12
2112
12
21
2211
=+++⇒−=+−+⇒−=+++⇒−=++−⇒−
=++
−−
=−−
+
−=
=++=++
+
++=⇒=++
−−
=−−
=
+=+==+⇒
−=−⇒=++⊥+=+⇒=++
ckybaxbawahkesatuankckybaxataskesatuankcbykxakirikesatuank
cbykxakanankesatuank
digesercbyaxgarisJika
yyyy
xxxx
jikagarissatudalamterletakyxyxyxtitikbuahTiga
baccd
adalahcbyaxdengancbyaxantarasejajaryanggarisbuahduaJarak
bacbyaxdcbyaxgarisdenganyxAtitikJarak
mmcmcmydan
mmccx
adalahcxmyhgarisdancxmyggarispotongTitikHessHukumabbyaxbdanamelaluigarisPers
AbBaAyBxCByAxbamelaluigarisPersBbAaByAxCByAxsejajarbamelaluigarisPers
1y1x
2x 2yQyx =12 Pyx =21
( )QPBxyA −+= ( )QPBxyAaksudyangpersHasilAxxByy
−+==−=−
:dim.21
21
10
GRADIEN
( ) ( )
( ) ( )axmbymgradiendenganbamelaluigarisPersxxyymyxdanyxmelaluigarisGradien
mcmxygarissuatuGradienbamcbyaxgarissuatuGradien
amatauxymgarissuatuGradien
−=−⇒−−
=⇒
⇒+=
−=⇒=++
==
,..2
,,*
*
0*
tan*.1
12
122211
( ) ( )
.dim1
tan:,.6
0:*
:*
:*
:00..51:,
:,
:..4
,,..3
21
21
21
21
22
11
12
1
12
12211
gariskeduaolehdibentukyangsudutadalahanammmmmakbebasnberpotongagarisDua
bqaqbilanberpotongarc
qp
babilaberimpit
rcdanqp
babilasejajar
akanrqypxdancbyaxgarisPersmmbilalggaris
mmbilalgarissejajarggariscxmyl
cxmyggarisduaPersxxxx
yyyyyxdanyxtitikmelaluigarisPers
α
α+−
=
≠−
==
≠=
=++=++−=⋅⊥
=+=⇒+=⇒
−−
=−−
⇒
y
a x
11
RITRIGONOMET
( )( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )( ) 000
000
000
000
000
000
000
000
0000
000
000
000
000
000
000
000
000
0000
000
000
000
000
00
22
22
22
22
22
222
tan270cotcot270tansin270coscos270sincot180cottan180tancos180cossin180sin
:270180:.3
tan90cotcot90tansin90coscos90sincot180cottan180tancos180cossin180sin
:90180:.2
tan90cotcot90tansin90coscos90sin
:90:.1
cos1cot*sec1tan*
cossintan*
cos1sin*sin1cos*
1cossin*
cotseccos*
tan*
cos*
sin*
aaaaaaaaaaaaaaaa
aatauasudutuntukKuadran
aaaaaaaaaaaaaaaa
aatauasudutuntukKuadran
aaaaaaaa
asudutuntukKuadran
aecaaa
aaa
aaaa
aa
yxrdenganyxa
xra
yraec
xya
yxa
rya
+=−+=−−=−−=−+=++=+−=+−=+
−+ΙΙΙ
−=+−=+−=++=+
−=−−=−−=−+=−
+−ΙΙ
+=−+=−+=−+=−
−Ι
=+
=+
=
−=
−=
=+
+==⇒=⇒=
=
=
=
a
ry
x
12
( )
( ) ( )( )( )( )( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
α
αααα
ααα
ααα
α
α
ααα
ααα
βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα
βαβαβα
βαβαβα
βαβαβα
βαβαβα
βαβαβα
βαβαβα
βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα
βαβα
αα
π
212
212
212
212
21
21
2
2
2
22
21
21
21
21
21
21
21
21
22
min
sin21
1cos2sincoscos
cossin2sin:.10
tan1tan22tan
sin211cos2
sincos2coscossin22sin
:.9coscoscossin2
coscoscoscos2sinsinsincos2sinsincossin2
:.8sinsin2coscos
coscos2coscos
sincos2sinsin
cossin2sinsin:.7
tantan1tantantan
tantan1tantantan
sinsincoscoscossinsincoscoscossincoscossinsinsincoscossinsin
:.6min)()(
tan,cos)(
sincos)(.5
:
cossin.4
−=
−=−=
=
−=
−=
−=
−=
=
−−+=−−++=−−+=−++=
−+−=−
−+=+
−+=−
−+=+
+−
=−
−+
=+
+=−−=+−=−+=+
−++−=⇒+=
=+=+−=
++=
+−=⇒+=+=+=
anpengembangRumus
kembarsudutUntuk
berbedasudutdenganritrigonometfungsiPerkalian
berbedasudutdenganritrigonometFungsi
sudutduauntukselisihdanJumlahckimumxfckmaksimumxf
abdanbakdengancxkxfditulisdapat
cxbxaxfBentukP
Periode
cAycAycpxAyataucpxAyBentuk
imummaksimum
13
( ) ( ) ( )
:.152
sinsinsin.14cos2cos2cos2
:cos.13sinsinsin
:sin.12tan31
tantan33tan
cos3cos43cossin4sin33sin:3.11
21
21
21
222
222
222
2
3
3
3
ritrigonometfungsiGrafik
cbasdengancsbsass
AbcBacCabLCabbacBaccabAbccba
inusAturanC
cB
bA
ausAturan
rangkapSudut
++=⇒−−−=
===Δ
−+=
−+=
−+=
==
−−
=
−=
−=
αααα
ααα
ααα
α
y xy sin= 1
00 900 1800 2700 3600
– 1
y 1 xy cos= 00 902 1800 2700 3600 x
– 1
y xy tan= 00 900 1800 2700 3600 x
A B
C
ab
c
x
14
DERETDANBARISAN
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
barunkesukuUbarusukubanyaknyanbarunkesukujumlahSbarubedabdenngan
knnn
bnUnS
bnUUk
bb
makaaritmetikaderetsukuduadiantarasukukdisisipkanBila
dcdataucabataueadbc
asimetrisnysukurataratatengahsukuberlakuaritmetikaderetmembentukedandcbaJika
kelipamemilikiaritmetikaderetmembentukyangsikusikuSegitiga
npqnpSqpnU
linearnkeSukupb
pqpnUqnpnS
konspakuadrataritmetikaderetpertamasukuJumlahmmkkb
mnnkUUmnkU
tersebutsukudaribedamakakadalahndannkesukujumlahdankadalahnkesukudiketahuiBila
UUbgeometrideretdanaritmetikaderetuntukdipakaiSSU
UaU
diketahuitidakterakhirsukujikabnan
diketahuiterakhirsukujikaUanSnnaU
UUUUUnabababaaumumBentuk
AritmetikaDeretA
n
n
n
n
nn
nn
nn
n
nn
nnn
nt
nn
n
n
−=′=′−=′=′
−+=′
′−+=′
′−==′+
=′
+=
+=
+=
+=
−=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=⇒+=
−=
−+=⇒+=
−−
=⇒=+=+
==
−−−=
⇒−−=
+=
⇒−+=
⇒+=
−+=
−++++
−
;;;:1*
122
*
1*1
*
:.102222
:,,,,,:5,4,3tan.9
22
:.82*2*
:tantan.722
:,.6
.51.4
2.3
12
.21.1
,..................,1,..................,3,2,,:
:.
1
1
2
2
21
21
2322
111
23211
1
2121
4321
32
1
15
:. GeometriDeretB
( )
( )
( )( )
anperbandingselisihanperbandingjumlahpertamajatuhsjatuhbolaasanlPanjang
samasisisegitigakelilingderetrasio
samasisisegitigaluasderetRasio
arbujursangkkelilingderetrasio
arbujursangkluasderetrasio
sangkarbujurDeretbbbbb
aritmaDeretrataurrjikadivergenjumlahmempunyaiTak
rrjikaitmemilikikonvergenjumlahMempunyair
aS
arararahinggatakgeometriDeretecdcabeacdbc
asimetrisnysukusukukalihasildengansamatengahsukuKuadratberlakumakageometrideretadalahedandcbaJikakkr
knkn
kesukudiketahuiBila
SSUruntukrraS
UaUruntukrraS
UUrarU
rasiorawalsukuUapertamasukunjumlahStengahsukuUnkesukuUJika
UUUUUararararaumumBentuk
ba
aaaa
nn
nnnn
n
n
ntn
n
n
n
nnn
ntn
n
n
×=⇒
=
=
=
=
=++++
>−<⇒>
<<−⇒<−
=
⇒
⋅=⇒⋅=⇒⋅=⇒⋅=
−
=⇒==
−
−=<⇒−−
=
=>⇒−−
=
==
=====−=
−
−
−
−
−
int.10
21*
41*.9
221*
21*
:.8log..................loglogloglog
:log.7111:*
111:lim/*.61
..................,,,,.5
:,,,,,.4
.3
111
111
;;;;:.2
,..................,,..................,,,,:.1
432
~
32
2222
1
2
22
11
1
1
1
1
4321
132
12
16
( )TURUNANLDIFERENSIA
( )h
xfhxfxfh
)()( lim0
−+=′
→
( )
2
1
1
0tan:.1
VVUVUy
VUy
VUVUyVUyVUyVUyVUyVUy
xnayxayxnyxy
ykonsccyaljabarfungsiTurunan
nn
nn
′−′=′⇒=
′+′=′⇒⋅=
′−′=′⇒−=
′+′=′⇒+==′⇒=
=′⇒=
=′⇒==
−
−
axax
xx
a
eayeyeyey
anxyxy
xayaxny
xyxny
aritmadaneksponenfungsiTurunan
=′⇒=
=′⇒=
=′⇒=
=′⇒=
=′⇒=
11log
1
11
log.2
axecayaxyaxayaxyaxayaxy
axayaxyxxyxy
xxecyxecyxecyxy
xyxyxyxy
xyxyritrigonometfungsiTurunan
2
2
2
2
coscotsectan
sincoscossin
tansecseccotcoscos
coscotsectan
sincoscossin
.3
−=′⇒=
=′⇒=
−=′⇒==′⇒=
⋅=′⇒=⋅−=′⇒=
−=′⇒=
=′⇒=
−=′⇒==′⇒=
( )
UecUyUyUUyUyUUyUyUUyUy
UeyeyUanayay
UUyUny
UUnyUyxiabelmenggantiuntukUmenjadiisalkanyakomposisatusalahanafungsibeberapadariterdiriyangkomposisi
merupakanmejemukfungsimajemukFungsi
UU
UU
nn
2
2
1
coscotsectansincos
cossin
1
1
vardimsindim
,:.4
′−=′⇒=
′=′⇒=
′−=′⇒=
′=′⇒=
′⋅=′⇒=
′=′⇒=
′=′⇒=
′⋅=′⇒= −
( )
:sin.8
2sincos2
sincoscos.7
2sinsin2
cossinsin.6
.5
21
21
2
kurvaggungGaris
bxbxbanyataubxbxbanybxay
bxbxbanyataubxbxbanybxay
dcxbcady
dcxbaxy
nnn
nnn
−−
−−
−=′=′⇒=
=′=′⇒=
+−
=′⇒++
=
)(xfy =
g ( )axmbygkurvaggunggarisPersamaan
−=−:sin
( )ba , )()( afxfmgradiendengan ′=′=
17
( )
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−==⇒==⇒==⇒=
=−
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==⇒==⇒==⇒=
=+
′==⇒′==
====⎩⎨⎧
=′′=′
⎩⎨⎧
>′′=′
==
⎩⎨⎧
<′′=′
==
⇒=<′⇒=>′⇒==′
241
5232
312
21
241
5232
312
21
1
111
2
22
1
11
11
minminminmin
**
:min.13
:,,,tan,tan:.120)(*
*)()(,:.11
0)(0)(
min)(*
0)(0)(
)(*
:.10)(,0)(*)(,0)(*
,,0)(*:/.9
cabcabacaabcaab
cba
cmaksabcamaksbacamaksabcamaksab
cba
imumdanmaksimumNilai
VtdvdaS
tdsdV
makawaktutjarakSkecepaVpercepaajikamekanikapadaTurunanxf
berubahtidakxxdisekitarfbilaxffungsibeloktitikmerupakanxfxbelokTitik
xfxf
bilaxxdiimumnilaimempunyaixfyFungsi
xfxf
bilaxxdimaksimumnilaimempunyaixfyFungsi
fungsisuatuekstremNilaiturunxfygrafikmakaxfJikanaikxfygrafikmakaxfJika
stasionertitikyxtitikmakamxfJikafungsisuatuturunNaik
( )abarsirdiyangdaerahmaksimumLuas 41.14 ⇒
( )abarsirdiyangdaerahmaksimumLuas 21⇒
343 ab
arsirdiyangdaerahmaksimumLuas ⇒
( )yx ,
b
a
a− a
b
( )ba ,
18
MATRIKS
( )
( )
qpbarpca
ydan
qpbaqrbc
xmakarqypxcbyax
vqsx
uprw
dc
camakaMPMN
spda
rc
qbmakaMPMN
xwvu
Msrqp
Ndcba
A
CBAsamakeduadanpertamamatrikskolombanyaknyabiladilakukandapathanyamatriksPerkalian
samaordoberyangmatriksmatrikspadadilakukandapathanyamatriksnpengurangadannPenjumlaha
samaseletaknyaelemenbelemendaansamaordomemilikibilasamadikatakanmatriksDuaperkaliankomutatifsifatberlakutidakBAAB
koefisienmatriksqpba
rc
yx
qpba
ditulisdapatrqypxcbyax
dbca
Aatransposnymatriksdcba
A
anerdenganmatriksinversmemilikitidakyangmatriksadalahgularMatriksacbd
bcadAAInvers
bcadAAAanerdcba
A
pmpnnm
t
==⇒=+=+
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−
=−−
===
−−
===⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=×⇒
−−
−⇒≠
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒
=+=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
==
−===⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
×××
−
,*
,*;;.10
:.9.
.8
.7
.6
.5
.4
0mindetsin.3
1.2
detmindet.1
1
( ) ( )CBAFEDNfdcFgfbEieaDidbChfaBgecAdengan
FEDCBAfgedba
ihgfedcba
Nmatriksihgfedcba
N
BCAdanCABmakaCBA
++−++=⋅⋅=⋅⋅==⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
=== −−
det;;,,;;;
det.12
,.11 11
( ) ( )( ) AA
AABAAB
anDeter
t detdet*det
1det*detdetdet*
:min.13
1
=
=⋅= −
( ) ( )( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
==⇒=
==−−
−−−
1001
***.14
11
111
I
identitasmatrikssatuanmatriksIdenganABatauBAIABABABABAB ttt
Sarruscara
19
STATISTIK
( )
( )
samayangbagianmenjaditerurutdatamembagiKuartil
positifgenapnuntukxx
Me
positifganjilnuntukxMe
diurutkantelahyangtengahdataMeMediann
xfxatau
nx
xmeanrataRata
tunggalDataA
nn
n
4:.32
1
21
.2
.1
:.
22 ⇒⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
=
⇒+
=
⇒
==⇒− ∑∑
321 QQQ ( ) ataskuartilQmediantengahkuartilQbawahkuartilQ === 321 ;;
munculseringyangdataadalahModus :.4
( )tersusundataervalDataB int.
( )
( )
kelaservalbanyaknyajangkauankelaservalpanjang
kelasbawahbataskelasatasbataskelasimtervaltengahtitikkelasbawahtepikelasatastepikelaservalpanjang
kelasatasbataskelasatastepikelasbawahbataskelasbawahtepi
CATATANdatabanyaknyanmediankelasfrekuensimeFfrekuensijumlahF
mediankelaservalpanjangPmediankelasbawahtepiTbmedianMedengan
PmeF
Fn
TbMe
fdf
mx
simpanganmxdsementarahitunganrataratamnd
mxrataratasimpangan
fxf
xmeanrataRata
ii
ii
i
i
ii
intint*
*int*
5,0*5,0*
:;;
;int;;:
2.2
;
.1
21
1
=
+=
−=+=
−=
======
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+=
+=
=−=−=
+=⇒−
⇒−
∑∑
∑∑∑
20
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )pnpqxnxdatanpenguranga
pnpqxnxdatapenambahan
datasekelompokdarirataRatabarudatabanyaknyamlamadatabanyaknyan
semularatarataxsekarangratarataxbarudatanilaixm
xxnxxmakaxbarurataratadidapathingga
msejumlahxbarudataditambahkemudianxrataratadengannadaBila
QQQdkuartilsemijangkauankuartilsimpangan
terkecildataterbesardatajangkauannn
SnSnS
bakusimpangandarikuadratsampeliansiS
tersusundatauntukn
xxfS
tunggaldatauntukn
xxS
darsdeviasibakudeviasibakusimpangann
xxMddeviasimeanrataratadeviasisimpanganratarata
SimpanganC
QkelasfrekuensiQf
beradaQkelassebelumkelaskelasfrekuensijumlahsfkkekuartilkelasbawahtepiTbkkekuartilQ
PQf
sfnk
TbQKuartil
kelaservalpanjangPsesudahnyakelasfrekuensidenganuskelasfrekuensiselisihSsebelumnyakelasfrekuensidenganuskelasfrekuensiselisihS
uskelastepiTbusMo
PsS
STbMoModus
b
b
iigabungan
ii
i
i
kk
k
k
kk
i
i
−−
=
++
=
−==
−=−==
−+=−
−
−=⇒
−=++
=
=
⇒−
=
⇒−
=
==
−=⇒=−=−
=
−=
−=−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+=⇒
===
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=⇒
∑
∑
∑
∑
∑
*
*
:.6;
;;;
:
,.521.4
.3
var
tan.2
.1
:.
;;;
4.4
intmodmod
;mod;mod
.3
011
01111
10
13
21
22
21
2
2
2
2
2
1
21
1
mulamuladatabanyaknyanditambahkayangnilaiqnditambahkayangdatabanyaknyapbaruratarataxlamaratarataxdengan b
−==−=−=
;;;:
21
( ) xnnnxnxnxn
PQ
xx
xx
nn
gabunganratarataanPerbanding
gab
gab
....................................
.7
321332211
1
2
2
1
+++=+++
=−
−=
−
EKSPONEN
( )
( )
( ) ( )acxxcgbga
bxbayxaa
eksponenPersamaan
adenganxgxfadenganxgxfxgxfaa
aaJikaaa
aaaa
aaaabaabaaa
gxx
ax
yx
xgxf
xgxfnm
n m
nnnmnm
nmnm
nnnnmnm
log0
log
:
10)()(*1)()(*)()(.5
.9.4
1.8.3
1.7:.2.6.1
2122
)()(
)()(
0
=+⇒=++
=⇒=
=⇒=
<<<>>=⇒=
>=
==
==
==⋅
−⋅
−
+
KOMBINASIPERMUTASI&
( ) ( )
( )
( ) ( ) !!!,
.2
!1:*
.........!!!!
.,,dimsec*
!!,
tan,*.1
321
321
kknnCknC
Kombinasi
nlingkaransebuahpadaberbedayangobjeknpenyusunancaraBanyaknya
nnnnP
dstsamaunsurnsamaunsurnsamaunsurnadaanabersamaanarasemuanyadiambilyangunsurnunsurdariPpermutasiBanyaknya
knnPknP
berbedayangunsurndaridiambilyangunsurkdarimungkinyangberbedayanurusemuaadalahnkuntukunsurndariunsurkPermutasi
nk
nk
−==
−
×××=
−==
≤
22
IPAMATEMATIKA
Integral
)()(
)()(
.1
xfxFmaka
CxFdxxfsebagaidirumudkanffungsidanldiferensiaantisemuaHimpunan
TentuTakIntegral
=′
+=∫
)(xF )(xF ′
1;1
1 1 −≠+
+ nxn
n nx
cxdxx
cxdxx
cdx
caxdxa
cxndxx
nCxn
dxx
Cxdxx
Cxdxx
Cxdxx
Cxdxx
xx
nn
+=
+−=
+=
+=
+=
−≠++
=
⇓
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+=
+=
+=
+=
∫∫∫∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
+
sincos*
cossin*
*
*
*
1;1
1*
514131
21
1
1
54
43
32
2
ll
−−−−
45
34
23
2
51413121
xx
xx
xx
xx
23
( )( )
( )
( )
( )cxxx
dxxxxdxxxxdxxx
dUVUVdVU
xVdxxVdandUdxmaka
dVdxxdanUxmisalkandV
dxxUxcontoh
dUVUVdUU
dVsebagaidianggapdxtermasuklainyangsisanyaUisalkanbagiansatusalah
partialegralisip
PartialIntegral
c
cUcU
dUUdUUmaka
dUdxxdUdxx
dxxsisanyaUxmisalkan
dxxxContoh
dUdalamdiubahharusdxtermasuklainyangsisanyaUisalkanbagiansatusalahSubstitusiIntegralinsip
SubstitusiIntegral
++−=
+⋅−=−−−⋅=
−=
−=⇒==
==
=
−=
⎩⎨⎧
++=
+=+⋅=
=
==
=+
=+
⇒
∫∫∫∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
sincos
coscoscoscossin
coscos:
sin:
...............sin:
/*dim*
intPr
.3
34201
201
51
41
41
41:
4128
234:
...............342:
*dim*Pr
.2
52
55
44
2
42
xsumbuterhadapkurvasuatuluasnPerhitungaIntegralPengertian
bawahbatasaatasbatasbaFbFxFdxxf
diabaikancfaktortertentuegralpadatertentuervalervalpadaegralmelakukandalamdigunakanTertentuIntegral
TertentuIntegral
b
a
b
a
*.5
;)()()()(
int*intintint
.4
==⇒−==
−
∫
y
0 a b x
⎩⎨⎧
⇒⇒
⇒ ∫ negatifxsumbubawahdidaerahpositifxsumbuatasdidaerah
dxxfarsirdiyangLuasb
a **
)(
)(xf
24
kurvaduaantaraluasnPerhitunga* y )(xg
)(xf
0 a b x
∫ −⇒b
a
dxxgxfarsirdiyangLuas )()(
xsumbuterhadapdiputarjikaputarbendaVolume
*.6
y )(xf
x
∫⇒b
a
dyyfVolume )(2π
ysumbuterhadapdiputarjika* y
∫⇒b
a
dyyfVolume )(2π
0 ab
b
a
)(xf
0 x
25
KERUCUTIRISAN
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
caqydirektris
capxdirektris
cqpFcqpFfokusqcpFqcpFfokusqbpBaqpAbqpBqapAqbpBaqpApuncakbqpBqapApuncak
xsumbusejajarxsumbusejajarellipspanjangsumbuqpellipspusatellipspanjangsumbuqpellipspusat
aqy
bpx
bqy
apx
sifatnyasifatdanellipsPersELLIPS
222121
2222
1111
2
2
2
2
2
2
2
2
,,,,,,,,,,,,
,,
11
:..1
±=±=
−+−+−−−−++++
=−
+−
=−
+−
−
( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⇒<≤
+=
>
=⇒
actaseksentrisiec
cbaba
berlakuellipsdalamdi
adalahqdanpnilaimakapusatjikaabLRrektumlaktusPanjang
fokussatusalahmelaluidanpanjangsumbupadalurustegakyanggarisadalahrektumLaktus
10*
**
00,0*
2
222
2
K3W
2W
E
P
T 1W
Q
y1B
2A 2F
2B1F 1A
xdirektirkdirektrik
y
1A1F
2FP2B
1B
2Ax
direktrik
direktrik
26
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
:.2
1,,1
sin*
222
21
21
112
2
2
2
sifatnyasifatdanparabolaPersamaanPARABOLA
bmapxmqymarahkoefisiendenganb
qyqya
pxpxyxtitikdib
qya
px
ellipspadaggunggarisPersamaan
−
+±−=−⇒
=−−
+−−
⇒=−
+−
( ) ( )axpby −=− 42 ( ) ( )bypax −=− 42 ( )
( )paxdirektrikbpaFfokus
baPparabolapuncak
−=⇒+⇒⇒
*,*
,* ( )( )
pbydirektrikpbaFfokus
baPparabolapuncak
−=⇒+⇒⇒
*,*
,*
y y x x
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=−⇒
−+=−−⇒−=−
=⇒
mpaxmbymarahkoefisienmempunyai
axxpbybyyxtitikdiaxpby
parabolaggunggarisPerspLRrektumLaktus
*
22,*4
sin.4
11112
sifatnyasifatdanhiperbolaPersamaanHIPERBOLA
−.3
( ) ( ) 12
2
2
2
=−
−−
aqy
bpx ( ) ( ) 12
2
2
2
=−
−−
bpx
aqy
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
capxdirektrik
pxabqyasimtot
qcpFqcpFfokusqapAqapApuncak
xsumbusejajartransfersumbuqpPhiperbolapusat
2
21
21
*
*
,,*,,*
*,*
±=⇒
−±=−⇒
−+⇒−+⇒
−⇒
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
caqydirektrik
pxbaqyasimtot
cqpFcqpFfokusaqpAappApuncak
ysumbusejajartransfersumbuqpPhiperbolapusat
2
21
21
*
*
,,*,,*
*,*
±=⇒
−±=−⇒
−+⇒−+⇒
−⇒
( ) 0,0,0:tan adalahqdanpnilaimakaOhiperbolapusatbilaCata
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−±−=−⇒
=−−
−−−
⇒=
−−
−
=>⇒+=⇒
222
21
21
11
2
2
2
2
222
*
1,*1
:sin.*
,1*
bmapxmqymarahkoefisienb
qyqya
pxpxyxtitikdi
bqy
apx
hiperbolapadaggunggarisPersactaseksentrisieebacberlakuhiperbolapada
direktrik
( )baP ,
simetrisumbu
F
( )baP , direktrik
27
VEKTOR
( )
( )111
1
1
111
,
,
.1
yxPkoordinatmakayx
Pjika
yx
OPPadalahPdiposisivektormakayxPkoordinatJika
POSISIVEKTOR
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==⇒
y
( )
( )111
1
1
1
1
1
1
1113
,,
,,,
zyxAtitikkoordinatmakazyx
ajika
zyx
OAaAtitikposisivektormakazyxAkoordinatdenganRdiAtitikJika
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==⇒
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒
10
;10
*
*
*
.2
2 jiRdivektoruntukSehingga
kdisebutzsumbuarahdengansatuanVektor
jdisebutysumbuarahdengansatuanVektor
idisebutxsumbuarahdengansatuanVektor
SATUANVEKTOR
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⇒
100
;010
;001
3 kjiRdisedangkan
( )11 , yxPP10 x x
1y
z ( )111 ,, zyxP1z y
0 1x
1y
x
P
yj
0i x z
k j
y
i0 xa
aadarisatuanVektor =⇒ l
28
( )
pvektorkomponenkomponendisebutydanx
jyixpsehingga
QPOQOPyxPtitikbila
RdibasisVektorBASISVEKTOR
−
+=⇒
+=⇒
11
11
11
2
,
.3
( )
kzjyix
PRQPOQ
PROPOR
makazyxRtitikbilaRdibasisVektor
111
111
3
:,,
++=
++=
+=
( )
21
21
21
1
1
1
21
21
21
21
21
21
222
222
3
21
21
1
1
21
21
21
21
222
2
1
1
1
111
;
*
;,
*
*
,*
zyxrrvektorpanjangzyx
rBila
zyxOR
zyxPRQPOQ
PROPOR
RdiVektor
yxppvektorpanjangyx
pbilaJadi
yxOP
yxQPOQOP
RdiVektor
pditulispvektorsuatuPanjang
zyx
rkolomvektor
zyxrbairsvektor
bentukdalam
disajikandapatruangdalamvektorsebuah
++=⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
++=
++=
++=
+=
+=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+=
+=
+=
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⇒
=⇒
y ( )11 , yxPpj
i0 x
z ( )111 ,, zyxR
k r j
i0 QP
x
29
abbaSehingga
baSRPSPR
baQRPQPR
makabQRbPSBila
aSRaPQBila
QRPQPRbac
komutatifvektornPenjumlaha
+=+⇒
+=+=
+=+=
=⇒=
=⇒=
+=⇒+=
:
*.4
( ) ( )
PS
SRPR
RSQRPQcbamaka
cSRbQRaPQ
asosiatif
=
+=
++=++⇒
=== ;;
*
( ) ( )
( ) ( )cbacba
PS
QSPQ
RSQRPQcba
++=++
=
+=
++=++
( )
QRPT
PSPQ
baba
vektornPenguranga
==
+=
−+=−
.5
S T Dari PQRΔ terlihat bahwa RQPRPQ =− 6. Perkalian Vektor
• Vektor dengan Skalar: ( ) kamjamiamam 321 ++=
• Vektor dengan Vektor: - Dot Product:
αcosbaba =⋅
332211 bababa ++=
( ) ( )23
22
21
23
22
21
332211cosbbbaaa
bababa++++
++=α
ba+
aP Q
R
b
RS
b
aP Q
S
PR
Qa b
c
P Q
R
b−
ba
( ) ( ) ( ) kbajbaibaba 332211 +++++=+
30
- Cross Product: αsinbaba ⋅=×
= luas jajaran genjang dengan sisi a dan b
321
321
bbbaaakji
ba =×
7. Pembagian:
nm
ambmp++
=
8. Proyeksi suatu vektor ke vektor lain: a. panjang proyeksi a pada b
b
ba
ad
⋅=
⋅= αcos
b. Vektor yang merupakan proyeksi a pada b bb
ba⋅
⋅⇒ 2
A
0B
m Pa
b
p n
α
a
ba
31
LINEARPROGRAM
I. Daerah penyelesaian. 1. Persamaan garis lurus yang melalui titik ( )11 , YX dengan gradien m : ( )11 xxmyy −=− 2. Persamaan garis lurus yang melalui titik ( )11 , YX dan ( )22 , YX :
12
1
12
1
xxxx
yyyy
−−
=−−
3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x di titik ( )0,a dan memotong sumbu y di titik ( )b,0 :
1=+by
ax
4. Dua garis saling sejajar, bila gradien kedua garis tersebut sama besar atau: 21 mm = 5. Dua garis saling tegak lurus, bila hasil kali kedua gradiennya sama dengan – 1 atau: 121 −=⋅ mm 6. Nilai maksimum dan minimum dalam daerah penyelesaian.
Misalkan daerah OABC pada gambar di bawah menyatakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear.
Andaikan pula dalam daerah penyelesaian tersebut ditentukan adanya fungsi tujuan Z yang dirumuskan dengan yxZ 43 += , maka nilai Z akan berubah-ubah tergantung pada harga x dan y yang disubstitusikan padanya.
Titik O A B C D E F G x 0 9 3 0 1 7 3 1 y 0 0 6 4 1 1 5 4
yxZ 43 += 0 27 33 16 7 25 29 19 Nilai Z terkecil adalah 0 sesuai dengan titik O (0 , 0) Nilai Z terbesar adalah 33 sesuai dengan titik B (3 , 6)
••
••
••
•
( )4,0C
6
G
F
( )6,3B
E
0 3
D
( )0,9Ax
y
32
SIGMANOTASI
Bentuk umum: ∑=
+++++=⇒n
knk aaaaaa
14321 ..................
( )
( )
∑∑∑
∑∑∑
∑ ∑∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑∑
∑ ∑
∑
−
+=+
+
+=−
=
+===
=
+
=−
−
=+
= = =
= ==
= =
=
==
<<⇒+=
==
+=±
±=±
=
=⇒=
pn
pmkpk
pn
pmkpk
n
mkk
n
mkk
m
kk
n
kk
n
k
n
kk
n
kkk
n
k
n
k
n
kkkkk
n
k
n
kk
n
kkkk
n
k
n
kkk
n
k
aaa
nmanaaaa
aaa
bdacbdac
baba
acac
takonsccnn
1dim
tan
111
1
1
21
1
01
1 1 1
1 11
1 1
1
Contoh:
Buktikan ( ) ( )12161
1
2 ++=∑=
nnnpn
p berlaku untuk semua bilangan asli n
Bukti: - untuk 1=n , ruas kiri = 12
ruas kanan = ( ) ( )1211161
++×
= 1 ruas kiri = ruas kanan
( ) ( ) 112161
1
2 +=⇒++=∑=
knjikakkkpn
p
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) naslibilangansetiapuntukberlakunnnp
kkk
kkk
kkk
kkkk
kkkk
kkkkp
n
p
n
p
⇒++=
+++++=
+++=
+++=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +++
+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ++++=
++++=
∑
∑
=
=
12161
11211161
322161
672161
61621
112611
112161
1
2
2
2
2
1
2
33
SISATEOREMABANYAKSUKU & Bentuk umum nn
nnn axaxaxaxa ++++⇒ −−−
12
21
10 ............... Menghitung Suku Banyak Misalkan : nn
nnn axaxaxaxaxf ++++= −−−
12
21
10 ...............2)( Cara menghitung: - dengan cara sustitusi:
Jika 542)( 3 ++= xxxf , maka nilai suku banyak tersebut untuk 1−=x adalah )1(−f
Jadi, 1
5425)1(4)1(2)1( 3
−=+−−=
+−+−=−f
- dengan pembagian Sintesis Horner: Jika dcxbxax +++ 23 adalah suku banyak, maka )(hf diperoleh dengan cara: a b c d h ha ⋅ bhah +2 chbhah ++ 23 a bah + cbhah ++2 dchbhah +++ 23
hdengankalikan Contoh: Hitunglah )4(f jika 2022 23 −++ xxx Jawab: 4 2 4 2 –20 8 48 200 2 12 50 180 180)( =xf
Pembagian Suku Banyak sxHxPxf += )()()(
- Jika pembaginya fungsi linear, maka hasil bagi dan sisanya dapat dicari dengan metode pembagian Sintesis Horner.
- Jika pembaginya bukan linear dan tidak dapat diuraikan maka digunakan metode Identitas.
Contoh: Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak: 251032 23 +++ xxx dengan 1−x Jawaban dengan metode Sintesis Horner: Koefisien pangkat x = 1 2 3 10 25 2 5 15 2 5 15 40
Sisanya = 40
+
+
34
Indentitas. Contoh : carilah hasil bagi sisa dari ( ) ( )2:10543 2234 +−−++− xxxxxx Jawaban: Pembagi ( )diuraikandapattidakDxx 078122 <−=−=⇒+− sisabagihasilpembagidibagiyang +×=
( ) ( ) QPxBAxxxxxxxx +++++−=−++− 22234 3210543 QPxBBxBxAAxAxxxx +++−++−++−= 22633 223234
( ) ( ) ( ) BQxPBAxBAxAxxxxx 2263310543 234234 +++−++−+−+=−−+−
1. 3 = 3 2. – 1 = A – 3 → A= 2 3. 4 = 6 – A + B → B = 0 4. 5 = 2A – B + P → P = 1 5. – 10 = Q + 2B → Q = – 10 Teorema Sisa: 1. suku banyak )(xf jika dibagi ( )ax − , maka sisanya )(af⇒ 2. suku banyak )(xf jika dibagi ( )ax + , maka sisanya )( af −⇒
3. suku banyak )(xf jika dibagi ( )bax − , maka sisanya ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒
abf
4. suku banyak )(xf jika dibagi ( )ax − , maka 0)( =⇒ af Contoh:
• Tentukan sisa pembagian dari ( ) ( )2:40523 23 −−+− xxxx Jawaban:
Sisa 4025222)2( 3 −⋅+⋅−=f
30
401088−=
−+−=
• Hitung sisa pembagian dari ( ) ( )1:10853 234 +++−− xxxxx Jawaban : sisa 10)1(8)1(5)1()1(3)1( 234 +−+−−−−−=−⇒ f
1
18513=
+−−+=
• Hitung sisa pembagian dari ( ) ( )12:1552 2 −+− xxx
Jawaban : sisa 15215
212
21 2
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒ f
13
15212
21
=
+−=
• Jika 20610)( 23 ++−= xxxxf
201240820262102)2( 23
++−=+⋅+⋅−=f
0=
35
Teorema Faktor. • Jika pada suku banyak )(xf berlaku 0)(;0)(;0)( === cfbfaf
Maka )(xf habis dibagi ( ) ( )cxax −− • Jika ( )ax − adalah faktor dari )(xf , maka ax = adalah akar dari )(xf
• Jika )(xf dibagi ( ) ( )bxax −− , maka sisanya ( )( )
( )( ) )()( af
babxbf
abaxS
−−
+−−
=⇒
• Jika )(xf dibagi ( ) ( ) ( )cxbxax −−− , maka sisanya
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) )()()( af
cabacxbxbf
cbabcxaxcf
bcacbxaxS
−−−−
+−−−−
+−−−−
=
Contoh: Tentukan sisa pembagian ( ) ( ) ( )21:10542 23 −−++− xxxxx • Jawaban :
10151412)1(1 23 +⋅+⋅−⋅=⇒= fx
1310542
=++−=
10252422)2(2 23 +⋅+⋅−⋅=⇒= fx
20
10101616=
++−=
( )( )
( )( )
( ) ( ) 1321220
121)()( ⋅
−−
+⋅−−
=−−
+−−
=xxaf
babxbf
abaxS
67
261320201
26131
2020
+=+−−=
−+
−=
xxx
xx
Jika )(xf dibagi ( )2−x mempunyai sisa 24, sedangkan jika dibagi dengan ( )5+x sisanya 10. Jika dibagi dengan 1032 −+ xx sisanya ......... • jawaban : ( ) qpxxhxxxf ++−+= )(103)( 2 ( ) ( ) qpxxhxx ++−+= )(25
pembagi sisa
bagihasil
).......(..........10)5(0)5()....(....................2420)2(
iiqpfiqpf
=+−+=−=++=
242)()( =+⇒ qpiidanidari
−=+− 105 qp
2147 =⇒= pp
20220244
242
+=⇒==+=+
xsisaqq
qp
36
Akar-akar Suku Banyak (Polinom): • Fungsi berderajad tiga:
dcxbxaxxf +++= 23)( untuk 0)( =xf
1. abxxx −=++ 321
2. acxxxxxx =++ 323121
3. adxxx −=⋅⋅ 321
• Fungsi berderajad empat: edxcbaxxf ++++= 234)( untuk xxf =)(
1. abxxxx −=+++ 4321
2. acxxxxxxxxxxxx =+++++ 434232413121
3. adxxxxxxxxxxxx −=+++ 432421431321
4. aexxxx =⋅⋅⋅ 4321
Rumus:
1. ( ) 212
2122
21 2 xxxxxx −+=+
2. ( ) ( )3231212
32123
22
21 2 xxxxxxxxxxxx ++−++=++
3. ( ) ( )3213213
32133
32
31 3 xxxxxxxxxxxx ++−++=++
37
INGGRISBAHASA
VOICEPASSIVE Bentuk umum ( )ParticiplePastVerbbeto 3+⇒
• Subject pada kalimat pasif berasal dari object kalimat aktif. • ‘Be ...... ing’ dalam aktif menjadi ‘being’ dalam bentuk pasif. • Verb3 dalam kalimat pasif dibentuk oleh verb pada kalimat aktifnya. • Hanya kalimat transitif (kalimat yang mengandung object) yang bisa diubah dalam
bentuk pasif dan atau kalimat pasif hanya berlaku bagi kata kerja transitif. • Tense pada kalimat pasif mengikuti bentuk kalimat aktifnya. • Kalimat pasif digunakan hanya untuk ingin menonjolkan hasil tindakan daripada
pelaku tindakan tersebut esentPr Active Passive
Simple OVS ++ 1 3// VareamisS ++ nConjunctio ingVareamisS ++ // 3// VbeingareamisS +++
Perfect 3/ VhashaveS ++ 3/ VbeenhashaveS +++ continuousPerfect ingVbeenhashaveS +++ / 3/ VbeingbeenhashaveS ++++
Past Active Passive
Simple OVS ++ 2 3/ VwerewasS ++ nConjunctio ingVwerewasS ++ / 3VbeenhadS +++
Perfect 3VhadS ++ 3VbeenhadS +++ continuousPerfect ingVbeenhadS +++ 3VbeingbeenhadS ++++
Future Active Passive Simple OVwillS +++ 1 3VbewillS +++
nConjunctio ingVbewillS +++ 3VbeingbewillS ++++ Perfect 3VhavewillS +++ 3VbeenhavewillS ++++
continuousPerfect ingVbeenhavewillS ++++ 3VbeingbeenhavewillS +++++
38
eSubjunctiv Subjunctive atau angan-angan digunakan untuk menyatakan / mengungkapkan kejadian, keinginan ataupun kenyataan yang bertentangan dengan apa yang sesungguhnya ada atau sesungguhnya terjadi. 1. Subjunctive Wish.
• Future:
3 ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
++++
ingVwerewouldcould
subjectthatwishSubject***
21
• Present:
( ) wereVsubjectthatwishSubject /21 2+++ atau
( )⎩⎨⎧
+++3
3
**
21Vhad
VhavecouldsubjectthatwishSubject
• Past:
( ) 33 /21 VhavecouldVhadsubjectthatwishSubject +++
2. Subjunctive as if / as though. • Present:
( ) wereVpastverbsubjectthoughasifaspresentverbSubject /:2/1 2++++ • Past:
( ) beenVhadsubjectthoughasifaspastverbSubject /2/1 3++++ Catatan: - Jika kalimat punya kata-kata seperti di atas, cari jawaban yang ada had + V3 atau cari
kata kerja V2 - Jika kalimat berpola seperti di atas, di-means-kan maka dari positif menjadi negatif.
Dan dari negatif menjadi positif. - Perkecualian semua to be harus were.
39
CAUSATIVE
Causative adalah suatu pola kalimat yang menyatakan bahwa seseorang / subjek menyebabkan orang lain melakukan sesuatu atau menyebabkan sesuatu dikerjakan untuknya oleh orang lain. 1. Active Causative.
• Subjek menyuruh / menyebabkan objek (pelaku) melakukan suatu tindakan.
( ) 1Vpelakuobject
helplet
makehave
Subject +
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
2. Passive Causative.
• Apabila objek dalam causative berupa benda (mati), passive causative digunakan dimana subjek menginginkan sesuatu (objek) dikerjakan oleh orang lain.
( ) 3Vbendaobjectget
haveSubject ++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+
• Bila causative memakai have, ‘have’ disini berfungsi sebagai kata kerja penuh, oleh karenanya bentuk negatif dan atau interogatif-nya menggunakan do / does / did. Contoh:
- You have the flowers delivered (+) - Do you have the flowers delivered? (?)
Arti secara umum ⎩⎨⎧
⇒jabetidaksubjeksomethingdotosomeoneask
ker**
41
SPEECHINDIRECTDIRECT − 1. Direct Speech.
Direct speech adalah kutipan asli suatu pembicaraan tanpa adanya suatu perubahan. Penulisan direct speech selalu diapit oleh tanda kutip, kalimat selalu diawali huruf kapital. Tanda titik dua (:) diletakkan sebelum direct speech bilamana kata penghubung / pelapornya berada di muka, dan tanda koma (,) harus diletakkan sesudah direct speech bilamana kata penghubung diletakkan setelah atau diantara direct speech-nya. Tanda baca seperti tanda seru (!), tanda tanya (?) yang menunjukkan jenis kalimat direct tidak mengalami perubahan.
2. Indirect Speech. Bentuk kalimat laporan ini adalah untuk menceritakan kembali pembicaraan / pendapat seseorang yang mengalami modifikasi tertentu. Ada tiga jenis indirect speech: - Command / request. - Statement. - Questioin. • Command / request.
Yang dilaporkan disini adalah suatu perintah. Karena kalimat perintah biasanya tidak mengenal subjek, maka verb dalam direct imperative tidak mengalami perubahan. Verb dalam indirect menjadi ‘to infinitife’
Direct Indirect
advadjbetonotadvadjbeto
VtonotVto
subject
warnedbegged
suggestedorderedaskedtold
subject
advadjbetDonadvadjBeVtDon
V
//
21
/'/
' 1
1
1
1
++
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⇒
• Statement.
Kalimat laporan dari suatu pernyataan mengalami beberapa perubahan antara lain: - Pronoun dan possessive adjective.
Direct Indirect
YourOurMyYou
I
herhismyourtheir
herhisherhimIthemshetheme
shehe
///
///////
/
42
- Keterangan Waktu dan Tempat. Direct Indirect Now Then
Today That day
Tommorow The next day The day after
The following day
Next The ......... after The following
Last The ......... before The previous .........
......... ago ......... before Yesterday The day before
The day before yesterday Two days before Here There This That
These those
- Tenses. Direct Indirect
• Present : simple, continuous, perfect, perfect continuous
• Future : simple, continuous, perfect, perfect continuous
• Past : simple, continuous, perfect, perfect continuous
• Past future : simple, continuous, perfect, perfect continuous
• Question. Bentuk question dibagi menjadi dua :
- berlawanan auxiliary - berlawanan kata tanya (question word)
auxiliaryBerlawanani).( Bila pertanyaan tersebut dimulai dengan auxiliary, yang hanya membutuhkan jawaban yes / no, maka dalam hal ini dipakai kata penghubung ‘if’ atau ‘ whether’ dalam indirect-nya. Kalimat indirect ini pertama dirubah ke dalam bentuk pernyataan (statement) lalu dilakukan perubahan seperti pada pola statement di atas.
( ) verbauxiliarysubjectwhetherifobjectaskedSubject +++++ 2/1 ( )QWwordquestionyakatanMenggunakaii /tan).(
( ) verbauxiliarysubjectwordquestionobjectaskedSubject +++++ 21
43
TENSES
1. Present Perfect Tense. OVhashaveS +++ 3/
• untuk menyatakan suatu kegiatan yang telah selesai dilakukan sekarang.
2. Present Perfect Continuous Tense. ingVbeenhashaveS +++ /
• Untuk menyatakan suatu kegiatan yang dimulai pada waktu lampau dan sekarang masih berlangsung dan ada kemungkinan masih akan terus berlangsung.
3. Future Continuous Tense.
ingVbewillshallS +++ / • Untuk menyatakan suatu kegiatan sedang berlangsung di waktu yang akan datang.
4. Future Perfect Tense. 3/ VhavewillshallS +++
• Untuk menyatakan kegiatan yang terjadi dan selesai pada saat kegiatan lain berlangsung di waktu yang akan datang.
5. Future Pefect Continuous Tense.
ingVbeenhavewillshallS ++++ /• Pada dasarnya sama dengan future perfect, hanya tense ini lebih menekankan pada
saat terjadinya peristiwa. Tense ini mengisyaratkan suatu peristiwa berdurasi di waktu yang akan datang.
6. Past Perfect Tense.
3VhadS ++ • Menyatakan suatu kegiatan yang terjadi sebelum kegiatan lain di waktu lampau,
biasanya ada dua atau lebih kegiatan yang bersamaan.
perfectpastsubjectafterpastsimpleSubjectpastsimplesubjectperfectpastsubjectAfter
perfectpastsubjectpastsimplesubjectBeforesimplepastsubjectbeforeperfectpastSubject
++++++++++++++++
21*21*21*21*
7. Past Perfect Continuous Tense.
ingVbeenhadS +++ • Untuk menyatakan suatu kegiatan yang dimulai sebelum waktu pembicaraan pada
waktu lampau dan berjalan terus sampai waktu itu, atau baru saja selesai terjadi sebelum orang tersebut bicara.
8. Simple Future Tense.
1/ VwillshallS ++ atau
1// VtogoingareamisS +++
44
MODALS
esentModals Pr PastModalsCan Could May Might Must Had to Will Would
Shall Should Should –
1. Bila terdapat pilihan jawaban yang se-arti / se-makna, maka dianggap salah
karena tidak pernah terjadi / terdapat jawaban ganda. 2. Bila soal dinyatakan dalam bentuk lampau, atau mengisyaratkan sesuatu
yang telah terjadi, pilih jawaban dalam pola perfectiveals +⇒ mod 3. Bila soal mengisyaratkan sesuatu yang terjadi saat ini, maka hindari pilihan
perfectiveals +mod 4. Hindari pilihan would dan beenVhavewould /3++ , bila kalimat tidak terdapat
kata otherwiseunlessif ;; karena would have umumnya hanya digunakan untuk pola conditional
Makna dan Arti dari Modals 1. Modal + simple form.
• could / may / might. Walaupun modal could digunakan dalam conditional / pengandaian selain untuk menyatakan kemampuan, could dapat juga digunakan untuk menyatakan suatu kemungkinan. Dalam hal ini could sama artinya dengan may atau might, pembicara tidak yakin akan sesuatu saat dia menggunakan modal ini.
• Sould. Modal ini digunakan untuk menyatakan:
- saran / anjuran, pendapat, atau keharusan / kewajiban. - harapan.
• Must. Modal ini digunakan untuk :
- keharusan mutlak: Dalam hal ini ‘must’ maknanya lebih kuat daripada ‘should’. Dengan menggunakan ‘should’ orang masih mempunyai pilihan, melakukannya atau tidak, tetapi dengan ‘must’ orang tidak punya pilihan.
- Kesimpulan logis. Must digunakan untuk menyatakan bahwa si pembicara menganggap sesuatu itu benar adanya berdasarkan fakta yang ada tetapi kebenaran tersebut tidak harus mutlak.
45
2. Modal + Perfective. Modal + perfective biasanya digunakan untuk menunjukkan waktu lampau.
beenVhaveModal /3++ Harus diingat, bahwa modal selalu diikuti V1 / be (simple form / bare infinitive), jadi have tidak pernah berubah menjadi has atau had. • Could + have V3 / been.
Bentuk ini digunakan untuk menyatakan sesuatu hal sebenarnya bisa terjadi di waktu lampau.
• Might + have V3 / been. Bentuk ini digunakan untuk menyatakan suatu kemungkinan / praduga dari apa yang sudah terjadi di waktu lampau.
• Should + have V3 / been. Bentuk ini digunakan untuk menyatakan sesuatu yang seharusnya sudah terjadi di waktu lampau, tetapi karena sesuatu hal lain hal tersebut tidak terjadi.
• Must + have V3 / been. Bentuk ini digunakan untuk menyatakan sesuatu kesimpulan logis dari apa yang telah terjadi di waktu lampau. Harus diingat bahwa untuk menyatakan keharusan di waktu lampau hanya digunakan ‘had to’ atau should + have V3 / been.
46
GERUND Gerund adalah bentuk kata kerja yang karena kasus tertentu harus ditambah –ing (Verb-ing) • Fungsi Gerund dapat hadir sebagai subject, object, dan pelengkap. • Gerund dapat juga hadir setelah:
1. Article. 2. Demonstative pronoun. 3. Possessive. 4. Expression (ungkapan). 5. Kata majemuk. 6. Preposisi.
• Beberapa kata yang harus diikuti
Gerund: - Mind. - Enjoy - Finish - Imagine - Keep - Leave - Consider - Give up - Attemp - Learn - Dislike - Prefer - Intend - Deny
- Deny. - Start - Bear - Begin - Suggest - Risk - Avoid - Omit - Love - Continue - Hate - Proper - Fear - Propose - Admit
47
PARTICIPLE
Active Participle • Active participle atau present participle adalah verb / kata kerja yang berujung ‘-ing’.
Bila active participle didahului oleh ‘to be’ menjadi pola progressive. • Active participle kerap kali muncul setelah objek dari kata kerja: see, hear, feel, listen
to, smell, observe, catch, leave, find, look at, notice, watch, keep, dimana fungsinya sebagai adjective atau adverb.
• Bila active participle (V-ing) muncul pada awal kalimat hendaknya diperhatikan dan diingat bahwa dalam bentuk active participle tersebut sudah terkandung beberapa arti.
- having = setelah (after). - V-ing (active participle) sebagai sub-clause mengandung makna ‘sedang /
sementara’. When / while (karena / sebab (because / as / since). - Kata ‘being’ sebagai sub-clause mempunyai arti karena – because / since / as
Passive Participle Passive participle atau past participle adalah verb / kata kerja bentuk ke-3. Bila past participle didahului oleh ‘to be’ menjadi passive form. Fungsi dari passive participle:
• Untuk menggantikan anak kalimat pengganti kata sifat (relative clause) yang bersifat pasif.
• Untuk menyatakan sebab akibat. • Bila active participle (V-ing) muncul di awal kalimat, hendaknya di
perhatikan dan diingat arti yang terkandung setelah itu. • V-ing (active participle sebagai sub clause mengandung makna:
- sedang / sementara (when / while) - karena / sebab / alasan (because / as / since), dapat juga
digunakan dalam kalimat past / passive participle. • Kata ‘Being’ sebagai sub clause mengandung arti karena (because /
since / as)
48
ITIMPERSONAL
Impersonal it membicarakan tentang : jam, hari, komentar, cuaca, dan ungkapan lain. Impersonal it dapat berarti: 1. Barang / benda / orang / binatang / harga. 2. Waktu / cuaca dan jarak. Impersonal it dapat hadir:
• sebagai subject • sebagai object (complement)
- Kata it dapat berfungsi sebagai kata ganti benda (pronoun).
Dalam kedudukannya sebagai pronoun, it dinamakan impersonal it (it sebagai kata benda). Bila tidak berkedudukan sebagai pronoun, maka menjadi suatu impersonal ‘it’. “It’ dapat di artikan sebagai ‘itu’ tetapi dalam impersonal it tidak dapat di artikan sebagai ‘itu’, harus disesuaikan dengan pola kalimatnya. Contoh: It seem that evrything will be as planned (kelihatannya semuanya akan seperti yang direncanakan) itimpersonal⇒
- Pola kalimat dengan “TO – OO” dan “OO – ing”
Impersonal it dapat diikuti oleh kata kerja (verb), lalu kata kerja berbentuk TO – OO (to-infinitive) atau OO – ing tersebut di depan sebagai subjek.
OOTOVerbIt −+ menjadi VerbOOTO − ingOOVerbIt −+ menjadi VerbingOO −
Pada umumnya, keempat pola di atas dapat dipakai dengan arti yang sama.
- Pola kalimat : NOUNADJBEIT /"" ++ Salah satu pola kalimat impersonal it adalah It + be + kata sifat (adjective) / kata benda (noun). Bila diikuti adjective, maka kata it menunjukkan sesuatu tertentu, misalnya: jarak, cuaca, dll.
- Pola kalimat dengan clause.
Impersonal it dapat diikuti oleh kata kerja (verb) dan clause “that”. Clause ini merupakan noun clause, yang kadang-karang boleh ditempatkan di depan.
49
CONCORD
Concord adalah persesuaian (agreement) antara subjek dalam suatu kalimat dengan kata kerja (verb) atau auxiliary-nya, yang juga suatu persesuaian antara kata dengan kata lainnya (word agreement). 1. Bila subjek dalam bentuk tunggal (singular), maka harus digunakan kata kerja (verb).
Auxiliary untuk tunggal ( )essverbhaswasis /,, +⇒ • Subjek yang diawali dengan kata
.........'/';.........'/';.........'';.........'' ofneitherneitherofeithereitherofeachevery harus dianggap singular.
• Subjek yang menyatakan jumlah jarak, volume, berat, ruang, dan waktu selalu dianggap tunggal, sehingga predikatnya pun harus tunggal
( )essVhaswasis /;; +⇒ • Untuk menentukan subjek utama dari subjek yang berupa frase panjang, tinggal
dilihat kata sebelum preposisi. Bila tunggal maka ( )essVhaswasis /,, +⇒ , dan bila jamak maka ( )esspaVhavewereare /tan,, −−⇒
• Subjek yang terbentuk dari gerund (Verb-ing) harus dianggap tunggal, sehingga ( )essVhaswasit /,, +⇒ harus dipilih untuk melengkapi predikatnya.
2. Subjek dengan menggunakan kata ‘number’ dapat dianggap tunggal tetapi dapat juga
dianggap jamak, tergantung pada kata sebelum ‘number’-nya. Bila yang muncul artikel ‘a’, maka dianggap jamak dan bila ‘the’ maka dianggap tunggal.
( )esspaverbhavewereareofnumberA /tan//.1 ⇒( )essverbhaswasisnumberThe ///.2 +⇒
3. Bila kata ''either dan ''neither diikuti oleh ''or kata kerja (verb) dan auxiliary-nya mungkin
tunggal atau jamak tergantung pada kata setelah ''or apakah tunggal atau jamak. Kalaupun kata '/' norot berdiri sendiri verb / auxiliary-nya tetap ditentukan oleh kata setelah ''or
( )
( )
( )
( )esspaverbhavewerearenounpluralnoror
noun
essverbhaswasisnoungularnoror
noun
esspaverbhavewerearenounpluralnoror
nounneithereither
essverbhaswasisnoungularnoror
nounneithereither
/tan//
///sin
/tan//
///sin
⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
50
4. Kata hubung ‘and’ menghubungkan pemakaian jenis dan bentuk kata yang setara, misalnya gerund dengan gerund, klausa dengan klausa, noun dengan noun, adjective dengan adjective, frase dengan frase , dst. Frase setelah ‘and’ berawalan kata tanya (how), maka frase sebelum ‘and’ pun harus brawalan kata tanya.
5. Ungkapan ‘not only ......... but also / as well as .........’ menghubungkan pemakaian kata, frase, klausa yang bentuk dan jenisnya sama / setara.
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
++
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
initivetogerundverb
phraseadverb
adjectivenoun
aswellasalsobut
initivetogerundverb
phraseadverb
adjectivenoun
onlynot
inf
/
inf
51
INFINITIVETO
To Infinitive digunakan bila: 1. kata kerja setelah objek pelaku (accusative object) 2. kata kerja setelah kata tanya yang mengawali klausa kata benda (noun clause) 3. kata kerja sebagai complement (O / ADV) 4. kata kerja setelah kata kerja tertentu
attempagreeclaimdecide
demanddesire
failforget
hesitatehopeneed
seemrefuse
pretendprepare
planantentofferlearntendstrivewant
.
exp
etcadvise
tellwishtry
permitect
begorder
promiseinvite
5. Kata kerja setelah kata sifat:
dangerousboringanxiouseagercertaingood
preparedgladready
pleasedableusual
commondiificultwrong
6. Terdapat sekelompok kata kerja yang dapat diikuti baik gerund (verb-ing) maupun
to infinitive (to + verb) yang memiliki pengertian berbeda. stop forget remember
Terdapat sekelompok kata kerja yang dapat diikuti gerund (verb-ing) dan to infinitive (to + verb 1), yang arti dan maknanya sama.
dstcancontinuelovelikepreferdreadstartbegin tan',,,,,,,
52
NCONJUNCTIO
1. Besides (preposisi) Semakna dengan ‘in addition’ yang berarti ‘lagi pula’, ‘selain’ yang berfungsi menambah informasi. Kata tersebut mengawali noun / pronoun. Besides (adverb) Berarti ‘lagi pula’, ‘lebih-lebih’, menagawali klausa Kata ‘moreover’ dan ‘furthermore’ memiliki arti yang semakna dengan conjunction ini.
2. However. Memiliki arti ‘namun demikian’, mengawali kata keterangan / sifat / klausa. Pernyataan yang diawali ‘however’ berkontradiksi dengan pernyataan lainnya. Kata ‘but’ dan ‘nevertheless’ memiliki makna yang senada tatkala mengawali sebuah klalimat.
3. Otherwise. Memiliki arti ‘sebaliknya’, ‘jika tidak’ untuk menyatakan kemungkinan akibat yang tidak diharapkan kalau pernyataan sebelumnya / lainnya tidak terpenuhi. Conjunction ‘or’, ‘if not’ dan ‘unless’ dapat menggantikan kedudukan ‘otherwise’.
4. Although / though / eventhough. Memiliki arti ‘walaupun’, menunjukkan kalimat yang bertentangan dan selamanya diikuti oleh bentuk klausa (S + predikat). ‘despite’ dan ‘inspite of’ meskipun artinya sama yaitu ‘walaupun’ tetapi conjunction ini harus diikuti frase / fragmen (noun / pronoun / gerund).
5. As, for, because, since. Ketiganya dapat berarti ‘karena’ ketika diikuti sebuah klausa.
6. Bila terdapat pilihan conjunction yang memiliki arti sama, maka harus dianggap salah, karena tidak pernah terjadi terdapat dua pilihan, carilah kata yang bermakna lain Berikut ini conjunction yang semakna:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
whilewhen
asfor
cebecause
ornotif
unlessotherwise
besidesmoreover
additioninefurthermor
yetbutstill
howeverssneverthele
ofspiteindespite
thoughalthough
eventhough
solyconsequent
hencetherefore
sin
53
ONCONSTRUCTIELIPTICAL
Eliptical construction adalah bentuk aklimat majemuk gabungan setara, terjadinya penghilangan bagian predikat yang sama dari suatu kalimat. 1. Gabungan setara.
Gabungan setara menggunakan kata ‘and’ Gabungan setara dibagi dua, yaitu: • Positif.
‘Too’ dan ‘so’ digunakan untuk menggabungkan kalimat positif dan juga digolongkan menjadi dua:
- Berauxiliary ( ) tooauxiliarysubjectandverbauxiliarySubject ++++++ 21
atau 2subjectauxiliarysoand +++
- Tidak ber-auxiliary.
toodoesdosubjectandverbSubject +++++ /211atau
2/ subjectdoesdosoand +++
toodidsubjectandverbSubject +++++ 221 atau
2subjectdidsoand +++
• Negatif. ‘Either’ dan ‘neither’ digunakan untuk menggabungkan kalimat negatif.
( ) eithernotauxiliarysubjectandverbnotauxiliarySubject +++++ 2 atau
2subjectauxiliaryneitherand +++
2. Gabungan setara berlawanan. notdoesdosubjectwhilebutverbSubject /2/11* ++++
notdidsubjectwhilebutverbSubject ++++ 2/11* ( ) notauxiliarysubjectwhilebutverbauxiliarySubject ++++ 2/1*
( ) auxiliaryaubjectwhilebutverbnotauxiliarySubject ++++ 2/1*
54
CLAUSETINDEPENDENDEPENDENT −
Dependent-independent clause adalah kalimat majemuk yang didalamnya terdiri atas main clause (induk kalimat) sebagai independent clause dan sub-clause (anak kalimat) sebagai dependent clause. Kata-kata kerja (verb) yang digunakan dalam independent clause sering menghendaki anak kalimat.
Agree Ask
Be afraid Believe Decide Expect Explain
Suppose Tell
Teach understand
Think Be worried
wonder
Promise Remember
Say See
Show To be Sorry
Feel Guess Hear Hope
ImagineKnow Learn
Susunan anak kalimat (dependent clause) selamanya harus dalam bentuk affirmative atau pernyataan.
that
auxiliaryverbmainauxiliaryverbsubjectwordQustionthat
auxiliaryverbsubjectwordquestionauxiliaryverbSubject
//*
//*
+++
++++
• Bila induk kalimat dalam bentuk present atau future, anak kalimat boleh dalam bentuk apa saja.
• Bila induk kalimat dalam bentuk lampau / past, anak kalimat juga harus dalam bentuk lampau.
55
SDERIVATIVE
Derivatives adalah kata jadian, kata yang berasal dari kata lain atau dari pangkal / dasar kata kerja / sifat dan sejenisnya. Partikel yang ditambahkan disebut affixes, yang di awal kata disebut prefix, ditangah disebut infix, di akhir kata disebut suffix. 1. Akhiran dapat digunakan untuk embentuk kata benda, kerja, keterangan, dan sifat.
Akhiran / suffix akan merubah jenis kata asalnya. • Noun-forming.
physicsicicsicdbrotherhoochildhoodhood
tailorteacherorarertesteetraineeemployeeee
kingdomwisedomdomcurrencyylieutenancencyancy
ceimporabsencecedisencyancepedestrianicianianan
emillionairretaryaireary
,log...,...,...
,...,...,..,,...
,...,...,...
tan,,tan...,......,...,...
sec...,...
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
activitytylengthheighttht
friendshipshiphappinessness
temployemenmentrelationionartististcriticismismanalysisis
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
...,...,...
...
...
...
...
...
...
...
• Adjective-forming.
Akhiran yang membentuk kata sifat ... able, ... ible ⇒ reasonable, edible ... ant, ...ent ⇒ distant, present ... ar, ... arious ⇒ luxurious, lunar ... al ⇒ mortal, partial ... ern ⇒ southern, eastern ... esque ⇒ Arabesque ... ful ⇒ beautiful
... ic ⇒ economic
... ior ⇒ superior
... ish ⇒ childish
... ive ⇒ innovative
... ly ⇒ friendly
... less ⇒ helpless, hopeless
... like ⇒ childlike
• Verb-forming.
Akhiran yang membentuk kata kerja ... ate ⇒ graduate ... en ⇒ lenghten ... fy ⇒ clarify ... ize, ... yze ⇒ analyze, anesthetize Awalan yang membentuk kata kerja ⇒ en ...... ⇒ enlarge
• Adverb-forming Awalan yang membentuk kata keterangan ... ly ⇒ badly, beautifully ... ward, ... wards ⇒ backwards ... wise ⇒ likewise
56
2. Prefix Penambahan awaln merubah arti kata, tetapi tidak mengubah jenis kata. a ...... : asleep al ...... : altogether dis ...... : dismiss, distract hyper ...... : hypersensitive hypo ...... : hypothesis in ...... : incorrect
non ...... : nonsense out ...... : outdoor, outgoing over ...... : oversleep pre ...... : pretest post ...... : postpone re ...... : reward
• Bila setelah titik-titik bukan kata benda / kerja / sifat, maka kata yang menentukan adalah
kata sebelum titik-titik. Bila muncul Jawaban
Kata keterangan Kata kerja Bilangan : one, two etc. Kata benda
Article : a / an / the Kata benda Possessive adjective : my, your, etc Kata benda
Kata sifat Kata benda Very / quite / more Kata sifat
57
FISIKA
MEKANIKA
SATUANdanBESARAN
• Jika dua buah vektor dijumlahkan, maka 22YX RRR +=⇒
VektornPenjumlaha VektorPerkalian
αcos222 abbaR ++= oductDot Pr oductCross Pr
αcosbaba =⋅ αsinbaba =×
γβα sinsinsin
cba==
SkalarHasil ⇒ bdanavektorbidangR
arahVektorHasil⊥
⇒
LURUSGERAKKINEMATIKA
• Jarak yang ditempuh benda = luasan yang dibentuk grafik V – T • Gerak vertikal ke atas adalah GLBB dengan percepatan = –g • Gerak Jatuh Bebas adalah GLBB dengan Vo = 0 dan percepatan = +g • Jika dua gerak peluru masing-masing membentuk sudut 1α dan 2α , maka jarak
terjauhnya akan sama, bila: 0
21 90=+ αα
Jarak terjauh akan terjadi, bila ( ) θ21
=⇒ MAKSS
Perbandingan antara jarak tembak dalam arah mendatar (S) dan
tinggi maksimum peluru (h) αcot4 ⋅=⇒hS
Persamaan gerak dalam sumbu ( )GLBx tVox
tetapVoVx⋅=
⇒=αα
coscos
Persamaan gerak dalam sumbu ( )GLBBy
tgVoVy −= αsin 2
21sin tgoVoy −= α
ygVoyV 2sin222 −= α
Pada titik tertinggi g
Vohy maks 2sin22 α
==
gVot αsin
=
Pada titik terjauh g
Vox α2sin2
=
gVot αsin2
=
Pada sembarang titik 22 yVxVV +=
α
θ
58
LURUSGERAKDINAMIKA Hukum Newton: 1. Hukum Newton I (Hukum kelembaman):
Jika resultan gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol, maka benda yang diam akan tetap diam dan benda yang bergerak lurus beraturan tetap bergerak lurus beraturan.
2. Hukum Newton II: Percepatan suatu benda berbanding lurus dengan gaya yang bekerja pada benda dan berbanding terbalik dengan massa benda itu amF ⋅=⇒
3. Hukum Newton III: Bila benda A melakukan gaya terhadap benda B, maka benda B melakukan gaya pada benda A sama besar tetapi berlawanan arah.
• Syarat benda menggeser ∑ ≠⇒ 0f dan ∑ = 0τ
• Syarat benda mengguling ∑ =⇒ 0f dan ∑ ≠ 0τ
• Syarat benda menggeser dan mengguling ∑ ≠⇒ 0f dan ∑ ≠ 0τ
Rumus Koefisien gesek: 1. Pada bidang miring, jika benda diam tepat akan bergerak atau meluncur dengan
kecepatan konstan θμ tan=⇒ 2. Pada batang bersandar di dinding dan membentuk sudut θ terhadap lantai
θμ cot21
=⇒
3. Pada batang homogen yang tergantung pada tali dan menempel pada dinding, dengan
beban W (gambar di bawah) αμ tanab
=⇒
Kesetimbangan tali:
γβα sinsinsincba FFF
== 2
2
1
1
sincos
sincos
αβ
αβ ba FF
=
Fb Fa
αa b
W
bF
aF
cFα
βγ
1β 2β
1α2α
59
ENERGIdanUSAHA Usaha (kerja) sFW ⋅=⇒ αcos
s
hgmEp ⋅⋅= 2
21 vmEk ⋅= EkEpEm +=
MOMENTUMdanIMPULS
• Momentum adalah impuls dan impuls adalah momentum. tFvmIP Δ⋅=⋅==
• Pada tumbukan tidak lenting sama sekali, jika benda 1 (massa 1m ) menumbuk benda
2 (massa 2m ) sehingga benda:
- Menggeser, sejauh s meter sgm
mmv ⋅⋅+
=⇒ μ21
211
- Bergeser naik h meter hgm
mmv ⋅⋅+
=⇒ 21
211
• Jika tidak ada gaya luar yang bekerja pada satu sistem, maka jumlah momentum
sistem tersebut adalah konstan. tFI Δ⋅= vmP ⋅= PPPvmvmI Δ=−=−= 1212
PEGASGAYA
keteganganstress = AF
=τ
jenisreganganstrain = Io
Ie Δ=
Youngulusselastisitaulus modmod = I
IoAF
eE
Δ===
τ
HookeHukum xkF Δ⋅=
pegaspotensialenergi ( )221
21 xkxFEp Δ⋅=Δ⋅=
F= gaya tekan / tarik (N). A = luas permukaan (m2). ∆I = tambahan panjang (m) Io = panjang mula-mula (m) k = tetapan pegas (N/m) ∆ x = pertambahan panjang
melingkarGerak
• Kecepatan minimum benda di titik terendah agar dapat menempuh satu lingkaran penuh Rgv imum 5min =⇒
• Kecepatan ggerak melingkar pada bandul Igv θtan=⇒ θ
F
αcosF
60
GMB Ket.
Percepatan Sentripetal ( )spa RRvasp ⋅== ϖ
2
Kecepatan Linear ( )v RR
Rv ⋅== ϖπ2
Kecepatan Sudut ( )ϖ fT
⋅== ππϖ 22
Gaya Sentripetal ( )spF spsp amRm
RvmF ⋅=⋅⋅== 2
2
ϖ
Periode ( )T NtT =
Frekuensi ( )f tNf =
v = kececpatan linear (m/s) m = kecepatan sudut (rad/s) R = jari-jari lintasan M = massa (kg) t = lama berputar (s) N = banyak putaran
TEGARBENDA Rotasi Benda Tegar
• Koefisien gesek antara benda dengan lantai pada batang kayu tersandar di dinding
AB μθ
μ+
=⇒tan2
1
A NA NB W C
Gerak Rotasi Momen Gaya Momen Inersia tot αωω ±=
to αωθ21
±=
tΔΔ
=ωα
Hasil kali gaya tersebut dengan jarak titik terhadap gaya, merupakan besaran vektor, positif jika arahnya searah putaran jarum jam.
Merupakan hasil kali massa dengan kuadrat jarak terhadap
sumbu putarnya. Besarnya tergantung pada bentuk, massa,
dan sumbu putar benda.
Ra ⋅= α dF ×=τ .........222
211
2 ++== ∑ RmRmRmI
Kesetimbangan benda tegar Syarat kesetimbangan: 1. ∑ ∑⇒= ff 0 = jumlah gaya
2. ∑∑ ⇒= ττ 0 = jumlah momen gaya. 3. kesetimbangan ada dua macam:
- Kesetimbangan statik, syarat ⎩⎨⎧
==
==⇒⇒
∑ ∑ 0;0*0;0*
τω
fVdiambenda
- Kesetimbangan mekanik
⎪⎩
⎪⎨⎧
==≠⇒
=≠=⇒⇒
∑ ∑∑ ∑
tetapfrotasigankesetimban
tetapVftranslasigankesetimban
ωτ
τ
;0;0*
;0;0*
- -
BfB
61
MAGNETdanLISTRIK LISTRIK • Waktu yang diperlukan oleh alat listrik : Rangkaian seri 21 ttt +=⇒
Rangkaian paralel 21
21
ttttt
+⋅
=⇒
• RIV ⋅=
• Pengukuran : pengukuran dengan volt meter RV
VRUKUR
DEPAN ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⇒ 1
pengukuran dengan amperemeter
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⇒1
UKUR
SHUNT
IIRR
tikaElektrosta
Hukum Coulomb 2r
qQkF ⋅=
Kuat Medan Listrik A
QrQk
QFE
002 εε
τ====
Kapasitor
Kapasitas kapasitor dA
VQC 0ε==⇒
Permitifitas Relatif UDARA
ZAT
UDARA
ZAT
UDARA
ZAT
CC
===⇒εεε
Susunan Seri
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
++====
++=
⇒
......:1:1:1......:::*
......*......*......1111*
2121
21
21
21
CCCVVV
VVVQQQCCC
SS
S
S
S
Susunan Paralel
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
++++
=
====++=++=
⇒
............*
......:::::*......*......*......*
21
2211
2121
21
21
21
CCVCVCV
CCCQQQVVVQQQCCC
P
PP
P
P
P
Energi dalam Kapasitor CQQVCVW
222
21
21
21
===⇒
Energi Potensial
Listrik rqQkEp =
⋅==
041επ
Potensial Listrik
rEr
kQq
EpV ⋅===
Unruk dua keping sejajar dEV ⋅=⇒
F = gaya Coulomb (N) Q = q = jumlah muatan (C) r = jarak (m)
k = 229
0
/1094
1 CNm⋅=⋅επ
E= kuat medan (N/C) τ = rapat muatan (C/m2)
0ε = permitivitas udara = 8,85 . 10-12 c2/Nm2 Ep = energi potensial V = potensial (volt) d = jarak dua keping (m) C= kapasitas (F)
Hukum Usaha dan
Energi VqEpEpW Δ=−= 12
62
amikaElektrodin
Kuat arus listrik t
entQI ⋅
==
Hambatan listrik AIR ρ=
( )tRRt Δ+= α10 Hukum Ohm RIVVV BAAB ⋅=−=
Susunan Hambatan
Seri .........321 +++=⇒ RRRRS .........321 ==== IIIIS .........321 +++= VVVVS 321321 :::::: RRRRVVVV SS =
I = kuat arus listrik (A) n = jumlah elektron Q = jumlah muatan (C) e = muatan elektron = 1,6 . 10-19C R = hambatan (Ω) ρ = hambatan jenis (Ω.m) α = koefisien suhu (0C-1) V = potensial (volt)
LISTRIKARUSsekitardiMAGNETIKMEDAN
Besar induksi magnetik berdasarkan geometri pada gambar yang dikenal sebagai Hukum Biot – Savart adalah:
1. sebanding dengan kuat arus listrik ( )I 2. sebanding dengan pajang elemen penghantar ld 3. berbanding terbalik dengan kuadrat jarak r antara titik P dengan elemen penghantar 4. sebanding dengan sinus sudut apit θ antara arus pada ld dengan garis penghubung
titik P dengan ld
2
sinrldIkBd θ
=
Dengan k tetapan ( )AmWb / yang memenuhi hubungan πμ4
0=⇒ k
Sehingga 20 sin
4 rldIBd θ
πμ
=⇒
dengan 0μ = permeabilitas vakum = 4π x 10-7 Wb A-1m-1 Besarnya induksi magnetik B yang ditimbulkan oleh penghantar lurus berarus I di suatu
tempat yang jaraknya a dari suatu penghantar lurus berarus aIB
πμ2
0=⇒
Dari persamaan di atas, nilai B dapat ditentukan dengan metode integral:
∫∫ ∫ ===2
1
2
1
2
1
sin4
sin4
00θ
θ
θ
θ
θ
θ
θθπμθθ
πμ d
aI
adIdBB ( ) ( )12
00 coscos4
cos4
2
1
θθπμθ
πμ θ
θ−−=−=⇒
aI
aIB
( )210 coscos
4θθ
πμ
−=aIB
( )Iarusr
θ
Bd
PO
ld
63
Karena 02 180=+ βθ , maka βθ coscos 2 −= . Untuk menyederhanakan notasi αθ =1 . Maka :
( )βαπμ coscos4
0 +=aIB
Untuk penghantar yang panjang, 00=α dan 00=β , maka:
( ) ( )aIB
aI
aIB
πμ
πμ
πμ
211
40cos0cos
400000 =⇒+=+=
Penghantar melingkar memiliki keliling aπ2=l , sehingga besar induksi magnetik di titik P
adalah αμ 30 sin2a
IB =⇒
Bila titik P digeser sehingga merupakan titik pusat lingkaran, maka 090=α dan ar = ,
induksi magnetik di pusat lingkaran menjadi aIB
20μ=⇒
Untuk penghantar melingkar yang terdiri dari N lilitan, maka induksi magnetik di pusat
lingkaran adalah a
INB20μ=⇒
• Untuk semua bentuk lintasan teretutup yang mengelilingi penghantar berarus I di dalam vakum, medan magnet yang ditimbulkan selalu sedemikian sehingga berlaku:
∫ = IldB 0cos μθ Dengan ld adalah elemen panjang dari lintasan tertutup, θ adalah sudut antara arah induksi magnetik B dengan lintasan ld , dan I adalah total kuat arus yang dilingkupi oleh lintasan tertutup.
• Besar induksi magnetik di pusat solenoida l
INB 0μ=⇒
• Besar induksi magnetik di ujung solenoida l
INB20μ=⇒
• Induksi magnetik di titik ( )βαμ coscos2
0 +=⇒l
INBP
MAGNET
• Induktansi kumparan I
NL Φ=⇒
• Kelajuan gerak partikel dalam medan magnet dan medan listrik BEV =⇒
• Gaya yang dialami kawat dalam medan magnet R
VBIF22
=⇒
64
Induksi Elektromagnetik RIN
LIN
rI
aI
AB
πμμμ
πμ
22220000 ====
Φ=
Gaya Lorentz
αα sinsin VqBBILFL == (Arah gaya Lorentz mengikuti aturan
tangan kanan) Gaya Lorentz pada dua kawat
sejajar berarus listrik
aLIIFF
⋅⋅⋅
==π
μ2
21021
Transformator
Ideal ( )PS PP == ;%100η
S
P
P
S
P
S
II
NN
VV
==
Non ideal ( )PS PP << ;%100η
SSPPSPHILANG IVIVPPP −=−=
PP
SS
PP
SS
P
S
ININ
IVIV
PP
===η
GGL Induksi Generator tABN ωωε sin⋅⋅⋅⋅= Arus Bolak Balik Besar tegangan dan arus bolak balik
terhadap waktu tII MAKS ωsin=
( )θω ±= tVV MAKS sin (+ = mendahului ; – = tertinggal)
Rangkaian RLC
C
C
L
LR
XV
XV
RV
ZVI ====
( )22CL XXRZ −+=
( )22CLR VVVV −+=
R
CLCL
VVV
RXX −
=−
=θtan
( )22CLR VVVV −+=
VV
ZR R==θcos ( )dayafaktor
θθ coscos 22 ZIIVRIP ===
B = induksi magnet (W b/m2 = T) I = kuat arus listrik (A) Φ = fluks magnet (Wb) a = jarak ke kawat arus (m) r = jari-jari kawat melingkar (m) N = jumlah lilitan L = panjang solenoida (m) R = jari-jari toroida (m) FL = gaya Lorentz (N) q = muatan (C) v = kecepatan (m/s) α = sudut antara B dan I = sudut antara B terhadap V P = daya listrik ε = GGL induksi A = luas penampang lilitan
ω = kecepatan sudut (2πf = Tπ2 )
f = frekuensi (Hz) T = periode (s) θ = sudut fase V = tegangan total Z = impedansi XL = reaktansi induktif XC = reaktansi kapasitif P = daya
Untuk kawat lurus berarus listrik, arah induksi magnet mengikuti aturan tangan kanan, yaitu: • Ibu jari = arus listrik • Genggaman / telapak = induksi
Untuk kawat melingkar, solenoida dan toroida, arah induksi magnet mengikuti aturan tangan kanan, yaitu:
• genggaman = arus • ibu jari = induksi
65
KALORdanZAT Perbandingan rapat massa benda dalam air dan cairan
aAU
CUC mm
mm ρρ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
Tekanan Hidrostatis hgPoP ρ+= Bejana Berhubungan 2211 hh ρρ =
Gaya Archimides vgF cA ′⋅⋅= ρ
Tegangan Permukaan rgh
⋅⋅=
ρθγ cos2
P = tekanan ρ = massa jenis G = percepatan gravitasi h = kedalaman v′ = volume benda terapung
KALOR Perubahan Suhu tcmQ Δ= Perubahan Fase LmQ =
Asas Black dilepasQdiserapQ =
Q = kalor m = massa c = kalor jenis L = kalor perubahan t = suhu
PEMUAIAN ZAT Muai Panjang ( )tLotL Δ+= α1
Muai Luas ( )tAotA Δ+= β1
Muai Volume ( )tVotV Δ+= γ1
L = panjang A = luas V = volume α = koefisien muai panjang β = koefisien muai luas γ = koefisien muai volume t = suhu
RAMBATAN KALOR
Konduksi (Hantaran) L
tAkH Δ⋅⋅=
Konveksi (Aliran) ΤΔ⋅⋅= AhH
Radiasi (Pancaran) AeP ⋅Τ⋅⋅= 4σ
H = rambatan k = konstanta konduksi h = konstanta konveksi A = luas L = panjang T = suhu mutlak
TEORI KINETIK GAS ⇒ usaha yang dilakukan gas = luas siklus Persamaan Gas Ideal Τ== kNTRnVP
Energi Kinetik Τ=== RnVPvmkE23
23
21 2
Energi dalam Gas
Suhu Rendah (± 3000C)
Τ⋅⋅= kNU23
Suhu Sedang (± 5000C)
Τ⋅⋅= kNU25
Suhu Tinggi (± 10000C)
Τ⋅⋅= kNU27
Kecepata Rata-Rata (rms) Gas Ideal rM
RsP
mkV Τ
==Τ
=333
66
TERMODINAMIKA Perubahan efisiensi pada mesin Carnot:
- Suhu Tinggi Berubah ( ) ( )ηη −Τ=′−Τ′⇒ 11 11
- Suhu Rendah Berubah ( ) ( )ηη −Τ
=′−
′Τ⇒
1122
Proses-Proses Gas
Proses Isobar 2
2
1
1
Τ=
Τ⇒
VV
Proses Isovolum 2
2
1
1
ΤΡ
=ΤΡ
⇒
Proses Isothermis 2211 VV ⋅Ρ=−Ρ⇒ Proses Adiabatik 2211 VV ⋅Ρ=⋅Ρ⇒ 2211 VV ⋅Τ=⋅Τ⇒
Usaha Luar / Kerja
Proses Isobar VW Δ⋅Ρ=⇒ Proses Isovolum 0=⇒ W
Proses Isothermis 1
21VVnRnW Τ=⇒
Proses Adiabatik Τ=⇒ RnW23
Hukum Termodinamika
WuQ +Δ=
Efisiensi Kerja 1
21QQu −=Δ=⇒ η
Efisiensi Suhu 1
21ΤΤ
−=⇒ η
Mesin Carnot 1
2
1
2
ΤΤ
P = konstan V = volume n = jumlah mol R = tetapan gas ideal k = konstanta konduksi h = konstanta konveksi A = luas L = panjang T = suhu mutlak
67
BUNYIdanGELOMBANGGETARAN ;
SELARASGETARAN Hubungan antara simpangan dan kecepatan getaran
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
maksVVAY
Hubungan antara energi potansial suatu saat dan energi potensial maksimum
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
AypEpE makst
Hubungan antara kecepatan getaran terhadap simpangan
222 YAfV −= π Hubungan energi kinetik terhadap simpangan
( )222
21 YAmkE −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ϖ
Getaran Selaras glπ2=Τ
Ayunan fl
km
==Τ π2
Persamaan Getaran
tAy ωsin= tAa ωω sin2−=
tAV ωω cos= 2
21 ykEp =
tAmEp ωω 222 sin21
=
2
21 vmEK =
tAmEK ωω 222 cos21
=
tankonsEMEKEP ==+22
21 AmEM ω=
T = periode (s) l = panjang tali (m)
68
GELOMBANG xdepandikoefisientdepandikoefisienV =⇒
Persamaan Gelombang
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±=
λπ xtfAYt 2sin
( )kxtAYt ±= ωsin
ftπϖ 2
=
λπ2
=k
xλπθ 2
=Δ
λϕ xΔ=Δ
Cepat Rambat Gelombang
Gelombang Transversal
AF
mLFFV
ρμ===
Gelombang Longitudinal
Dalam Zat Cair ρBV =⇒
Dalam Zat Padat ρEV =⇒
Dalam Gas rM
TRV γ=⇒
k = konstanta f = frekuensi (Hz) A = amplitudo (m) Y = simpangan (m) x = simpangan (m) ω = kecepatan anguler (rad/s) v = kecepatan linear (m/s) t = waktu (s) V = cepat rambat (m/s) F = tegangan tali (N) μ = massa per satuan panjang L = panjang tali (m) m = massa tali (kg) ρ = massa jenis B = modulus Bulk E = modulus Young γ = konstanta Laplace
Gelombang Stasioner pada Dawai dengan Ujung Bebas. Persamaan gelombang stasionar akibat pemantulan pada ujung bebas:
( )ll ktkxATtxAyp −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ω
λπ
λπ sincos22sin2cos2
Amplitudo gelombang stasioner pada ujung bebas tergantung pada jarak dari titik pantul , x ,
kxAxAAp cos22cos2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=λ
π
Letak perut dari ujung pemantul Perut (amplitudo terbesar), yaitu 2A terjadi bila
( ) πλππ
λπ
λπ nxataunxxnx ==⇒=
2cos2cos2cos
KKK,2,1,0,21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ndengannx λ
69
Letak simpul dari ujung pemantul Simpul (amplitudo = 0), terjadi bila
( ) ( )2
1222
12cos2cos02 ππλπππ
λπ
λπ
+=+=⇒= xatauxx
( ) KKK,2,1,0,4112 =+= ndengannx λ
Simpul trejadi bila
( ) pantultitikdarixposisipadaganjilbilanganx KKK,45,
43,
41
41 λλλλ =⇒×=⇒
Gelombang Stasioner pada Dawai dengan Ujung Terikat. Persamaan gelombang stasioner akibat pemantulan pada ujung terikat:
( )ll ktkxATtxAyp −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ω
λπ
λπ cossin22cos2sin2
Amplitudo gelombang stasioner pada ujung terikat tergantung pada jarak dari titik pantul, x,
xkAxAAp sin22sin2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=λ
π
Perut (amplitudo terbesar), yaitu 2A terjadi bila:
( ) ( )2
1222
12sin2sin πλππ
λπ +=+= nxataunx
( ) KKK,2,1,04112 =+= ndengannx λ
Simpul (amplitudo = 0), terjadi bila
( ) πλππ
λπ
λπ nxataunxx
==⇒=2sin2sin02sin
KKK,2,1,0,21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ndengannx λ
Simpul terjadi bila
( ) pantultitikdarixposisipadabulatbilanganx KKK,23,,
21,0
21 λλλλ =⇒×=⇒
Hubungan antara taraf Intensitas bunyi terhadap jumlah jumlah sumber bunyi
1
212 log10
nnTITI +=
Hubungan antara taraf intensitas bunyi terhadap jarak ke sumber bunyi
1
212 log20
RRTITI −=
70
Pipa Organa Terbuka Hukum Bernoulli I (perbandingan frekuensi) .........:3:2:1.........::: 210 =⇒ fff Pola gelombang pada pipa organa terbuka:
∑ ∑ ∑ ∑ +=⇔+=+= 12,1 simpulperutnperutnsimpul
( ) .........23
21
211 210 ====+= λλλλnnl
( ) ( )l2
11 0vnfnfn +=+=
Dengan .........,2,1,0=n = notasi untuk nada dasar, nada atas pertama, dst. Pipa Organa Tertutup Hukum Bernoulli II (perbandingan frekuensi) .........:5:3:1.........::: 210 =⇒ fff Pola gelombang pada pipa organa tertutup
∑ ∑ +== 1nperutsimpul
( ) .........45
43
41
4112 210 ====+= λλλλnnl
( ) ( )l4
1212 0vnfnfn +=+=
Dengan .........,2,1,0=n = notasi untuk nada dasar, nada atas pertama, dst. Resonansi Resonansi adalah peristiwa ikut bergetarnya suatu benda karena ada benda lain yang bergetar. Resonansi dapat terjadi bila kedua frekuensi sama atau frekuensi yang satu merupakan kelipatan frekuensi yang lain. Hubungan panjang kolom udara ( )l terhadap panjang gelombang ( )λ , adalah :
( ) λ4112 += nnl
Dengan .........,2,1,0=n , karena frekuensi garpu tala diketahui, maka cepat rambat gelombang bunyi dapat ditentukan melalui λfv =⇒ Energi Gelombang. Energi yang dipindahkan gelombang adalah energi getaran. Besar energi tersebut dapat ditentukan dari energi potensial maksimum getaran, yaitu: energi yang dipindahkan oleh gelombang berbanding lurus dengan kuadrat frekuensi dan kuadrat amplitudo
222222 221
21
mmm yfmymykE πω ===
Dengan ( ) ( ) ( ) takonskmamplitudoyHzfrekuensifkgmassam m tan,,, ====
71
Pelayangan Bunyi. 21 fff p −=
Dengan ( ) ( )( )Hzygelombangfrekuensif
Hzygelombangfrekuensifsekonlayanganbanyakpelayanganfrekuensif p
22
11 ,,/=
==
Efek Doppler s
s
p
ps
s
pp vv
fvv
fatauf
vvvv
f±
=±±
±=⇒
Dengan ⇒
( )( )( )
( )( )smbunyisumberkecepav
smpendengarkecepavsmbunyigelombangrambatcepatv
HzbunyisumberdarifrekuensifHzpendengarolehdidengaryangfrekuensif
s
p
s
p
/tan/tan
/
=
===
=
Aturan penetuan tanda pv dan sv adalah: • Bila pendengar ( )P mendekati sumber, tanda positifvp ⇒ • Bila pendengar ( )P menjauhi sumber, tanda negatifvp ⇒ • Bila sumber ( )S mendekati pendengar, tanda negatifvs ⇒ • Bila sumber ( )S menjauhi pendengar, tanda positifvs ⇒
Bila angin berhembus dengan kecepatan av , cepat rambat bunyi di udara akan dipengaruhi. Bila angin berhembus dari posisi S ke P , maka berlaku:
( )( ) s
sa
pap f
vvvvvv
f±+
±+=
Bila angin berhembus dari posisi P ke S , maka berlaku:
( )( ) s
sa
pap f
vvvvvv
f±−
±−=
72
MODERNFISIKA Hubungan antara frekuensi ( )f , panjang gelombang ( )λ , dan cepat rambat gelombang elektromagnetik ( )c λfc =⇒ A. netikElektromagGelombang
Hukum Pergeseran Wien maks
wCλ
=Τ
Hukum Stefan-Boltzman 4Τ⋅⋅== τeAPR
T = suhu mutlak (K) Cw = konstanta = 2,89 . 10-3 m 0K λ = panjang gelombang (m) R = radiasi (watt/m2) P = daya (watt) A = luas e = emisivitas (0 < e < 1) τ = konstanta = 5,67 . 10-8 W/m2K4
B. EinsteinlativitasRe
ac
==θ
γcos
1
Realtivitas Kecepatan 2
21
21
1C
VVVVVt ⋅
+
+=
Realtivitas Massa, Panjang, dan Waktu 0
0
02
2
1
1ΤΔΤΔ
===
−
=LL
MM
CV
γ
Kesetaraan Massa dan Energi
Benda bergerak 2
02 cmcmE ⋅⋅== γ
Benda Diam 2
00 cmE = Energi Kinetik
( ) 200 1 cmEEEk γ−=−=
V = kecepatan Vt = kecepatan relatif γ = konstanta transformasi M = massa bergerak M0 = massa diam L = panjang bergerak L0 = panjang diam ∆T = waktu bergerak ∆T0 = waktu diam m = massa diam c = laju cahaya (3 x 108 m/s)
Teori Kuantum λchfhE foton ==
λchnfhnEtotal ==
Efek Foto Listrik WchWfhWEEk −=−=−=λ
Hipotesa De Broglie ∂⋅==
mh
Phλ
h = konstanta Planck (6,6 . 10-34J.s) n = jumlah foton λ = panjang gelombang cahaya c = laju cahaya (3 x 108 m/s) f = frekuensi Ek = energi kinetik E = energi foton W = fungsi kerja P = momentum partikel ∂ = laju partikel
a
bc
73
OPTIKA
Bayangan pada Cermin / Lensa ⇒
• Sifat bayangan pada cermin cekung dan lensa cembung:
- 5=+ BAYANGANBENDA RR
- ⎩⎨⎧
⇒diperkecildiperbesar
RR BAYANGANBAYANGAN **
- Jika terbaliknyataRtegakmayaR
BENDA
BENDA
,1,1
⇒≠⇒=
Pembiasan pada Prisma Cahaya yang merambat melalui prisma akan mengalami dua kali pembiasan, yaitu saat memasuki dan meninggalkan prisma. Jika sinar datang dan sinar bias diperpanjang, maka keduanya akan berpotongan di R dan membentuk sudut yang dinamakan : Sudut Deviasi ( )D
32 θθβ += βθθ −+= 41D
Deviasi Minimum βθ −=⇒ 12mD Jika indeks bias medium adlah mn , maka dengan menggunakan Hukum Snellius diperoleh:
( ) ββ21sin
21sin pmm nDn =+
Khusus untuk sudut pembias (sudut puncak) prisma yang kecil ( )015≤β
β⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 1
m
pm n
nD
Lebar spektrum yang ditimbulkan oleh prisma tergantung pada selisih deviasi warna ungu dan warna merah. Selisih antara sudut deviasi kedua warna tersebut disebut : Sudut Dispersi ( )ϕ
( ) ( ) ββϕ 11 −−−=−= mumu nnDD⇓
( ) βϕ mu nn −=
MffS ±=
βT
1N
1θ2θ 3θ 4θ
S
RD
2N
udaraudara
gdaar tansinkeluararsin
prisma
74
Pemantulan cahaya pi ∠=∠
Pembiasan cahaya 2
1
2
1
1
2
sinsin
λλ
===vv
ri
nn
Kaca Plan Paralel ( )
rridt
cossin −
=
Cermin
Rf21
=
ssf ′+=
111
ss
hhm
′=
′=
Prisma β−= 12 iD
Pembiasan Bidang Sferis R
nnsn
sn 1221 −
=+
hh
snsnm
′=
⋅′⋅
=2
1
Lensa
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
21
1111RRn
nf m
L
ssf ′+=
111
ss
hhm
′=
′=
Kekuatan Lensa fP 100=
( )cmdalamf
Lensa Gabungan .........1111
321
+++=ffffg
i = sudut datang p = sudut pantul r = sudut bias n = indeks bias v = cepat rambat dalam medium λ = panjang gelombang d = tebal lensa D = deviasi minimum β = sudut pembias prisma f = jarak fokus
⊕ cermin cekung Ө cermin cembung s = jarak benda s′ = jarak bayangan h = tinggi benda m = pembesaran ⊕ nyata Ө maya R = jari-jari kelengkungan
Interferensi Maksimum terjadi jika kedua gelombang memiliki fase yang sama (sefase) Dua gelombang memiliki fase yang sama, bila selisih lintasannya sama dengan nol atau bilangan bulat kali panjang gelombang ( )λ . KKK,2,1,0sin =⇒= mmd λθ Bilangan m disebut orde atau nomor terang. Untuk 0=m disebut maksimum orde ke-0 (terang pusat). Untuk 1=m , disebut terang ke-1, dst.
Karena dl >> , sudut θ sangat kecil. Maka dapat digunakan pendekatan lp
=≈ θθ tansin ,
sehingga:
λmldp=
75
Interferensi Minimum terjadi jika beda fase kedua gelombang 1800 atau π rad. Lintasan kedua gelombang sama dengan bilangan ganjil kali setengah λ , sehingga:
KKK,3,2,121sin =⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= mmd λθ
Bilangan m disebut orde atau nomor gelap. Tidak ada gelap ke-0. Untuk 1=m disebut
minimum orde ke-1, dst. Mengingat lp
== θθ tansin , maka:
λ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
21m
ldp
Jarak dua garis terang yang berurutan sama dengan jarak dua garis gelap yang berurutan
λ=Δl
dp
• Syarat terjadinya interferensi maksimum (terang) :
KKK,3,2,121cos2 =⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= mmrdn λ
• Syarat terjadinya interferensi minimum (gelap) :
KKK,2,1,0cos2 =⇒= mmrdn λ
NEWTONCINCIN • Syarat terjadinya interferensi maksimum (lingkaran terang):
KKK,3,2,1212 =⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= mRmrn t λ
Dengan tr = jari-jari lingkaran terang ke- m , dan n = indeks bias medium • Syarat terjadinya interferensi minimum (linkaran gelap) :
KKK,2,1,02 =⇒= mRmrn g λ
Dengan gr = jari-jari lingkaran gelap ke- m
DIFRAKSI • Garis gelap ke- m terjadi bila KKK,3,2,1sin =⇒=⇒ mmd λθ
Untuk sudut θ yang kecil lp
=≈ θθ tansin , sehingga
λmldp=
Syarat terjadinya garis terang ke- m
KKK,2,1,021sin =⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += mmd λθ
Untuk sudut θ yang kecil, maka:
λ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
21m
ldp
76
Difraksi pada Celah Majemuk (KISI) :
cmN
d 1=
Pola Difraksi Maksimum KKK,2,1,0sin =⇒=⇒ mmd λθ
Pola Difraksi Minimum KKK,3,2,121sin =⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⇒ mmd λθ
• Pola Difraksi yang dihasilkan oleh lubang sempit berbentuk lingkaran, jika diameter
lubang ( )D , panjang gelombang ( )λ , dan sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan lubang sempit dengan pusat lingkaran pola difraksi dengan garis yang menghubungkan lubang sempit dengan lingkaran gelap pertama pada pola difraksi ( )1θ , maka:
Dλθ 22,1sin 1 =
Sudut resolusi minimum ( )mθ agar dua titik masih dapat dipisahkan secara tepat,
berdasarkan kriteria Rayleigh Dmλθ 22,1sin =⇒
Karena sudut mθ sangat kecil, maka mm θθ =⇒ sin , sehingga berlaku Dmλθ 22,1=⇒
Dengan mθ dalam radian dan D = diameter bukaan alat optik
Untuk mθ yang sangat kecil berlaku juga l
dmmm ==⇒ θθ tan , sehingga;
Dlld mm
λθ 22,1==
Dengan md = daya urai (batas resolusi) dalam meter dan l = jarak benda dari lensa
POLARISASI Hasil percobaan para ahli fisika menunjukkan bahwa cahaya pantul terpolarisasi sempurna jika sudut datang 1θ mengakibatkan sinar bias dengan sinar pantul saling tegak lurus. Sudut datang tersebut disebut sudut polarisasi atau sudut Brewster. Dengan menggunakan hukum pembiasan Snellius, maka:
1
21tan
nn
=θ
Polarisasi karena absorbsi selektif Polarisasi dapat juga terjadi karena suatu bahan menyerap berbagai arah getar sinar yang melaluinya dan mentransmisikan satu arah tertentu. Arah tersebut disebut sumbu mudah
dari polaroid 01 21 II =⇒
Bila sudut antar sumbu mudah 1P dengan 2P adalah θ , intensitas cahaya yang dilewatkan analisator adalah:
θθ 20
212 cos
21cos III ==
Polarisasi karena Hamburan Besarnya sudut perubahan arah polarisasi cahaya θ tergantung pada panjang larutan l , konsentrasi larutan c αθ Ic=⇒
77
OPTIKALATALAT −
Cacat Mata dan Kacamata
Rabun Jauh
RPP 100−=
Rabun Dekat
RPsP 100100
−=
Mikroskop
Mata tak Berakomodasi
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′=
ok
n
ob
ob
fs
ssM
okob fsd +′= Mata Berakomodasi Maksimum
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′= 1
ok
n
ob
ob
fs
ssM
okob ssd +′=
LUP (Kaca Pembesar)
Mata tak Berakomodasi
fsM n=
Mata Berakomodasi Maksimum
1+=fsM n
78
BANYAKNBERELEKTROATOM
Bilangan Kuantum Utama Energi total elektron pada kulit ke-n untuk atom hidrogen :
Ven
En 2
6,13=
Untuk ion dari atom lain yang juga memiliki sebuah elektron, energi total elektronnya :
Ven
ZEn 2
26,13=
Dengan Z = nomor atom dari unsur tersebut. Besar momentum sudut elektron ( ) hllL 1+=⇒ Elektron atomik yang memiliki momentum sudut berinteraksi dengan medan magnetik luar. Jika diambil arah medan magnetik luar sejajar dengan sumbu Z, maka kemungkinan nilai L untuk arah A tersebut adalah h1mLZ =⇒ Spektrum Emisi dan Absorbsi
Deret spektrum ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⇒ 2
221
111nn
Rλ
Dengan : λ = panjang gelombang dari gelombang elektromagnetik R = tetapan Rydberg (1,097 x 107m-1) n1 dan n2 = bilangan kuantum utama Ion-ion seperti He+, Li2+, Be+3 masing-masing elektron memiliki sebuah spektrum yang mirip dengan spektrum atom hidrogen, persamaannya dinyatakan:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 2
221
2 111nn
RZλ
Dengan Z = nomor atom.
79
KIMIA
TERMOKIMIA
Hukum Hess: Pada reaksi kimia, kalor atau perubahan entalpi tidak tergantung pada jalannya reaksi, tetapi tergantung pada keadaan awal dan akhir.
434 Κ⎯⎯ →⎯Κ ΗΔ
3ΗΔ 5ΗΔ
awalkeadaan ( )1Κ ⎯⎯→⎯ ΗΔ ( )2Κ akhirkeadaan
∆H = H2 – H1 = HPRODUK – HREAKTAN = ∆H3 + ∆H4 + ∆H5 Energi Ikat rata-rata: ∆Hreaksi = ∑Ei reaktan – ∑Ei produk = ∑Epemutusan ikatan – ∑Epembentukan ikatan
• Hukum Dasar Ilmu Kimia - Hukum kkekalan massa (Hukum Lavosier)
Massa zat sebelum dan sesudah reaksi sama - Hukum Perbandingan Tetap (Hukum Proust)
Perbandingan massa unsur dalam setiap senyawa adalah tetap Dari hukum tersebut dapat dirumuskan:
diketahuiyangmassayadiyangMryadiyangMr
yadiyangzatmassa %tan%tan%
tan% ×=∑∑
- Hukum Perbandingan Berganda (Hukum Dalton) Jika dua unsur dapat membentuk dua senyawa atau lebih, dan massa salah satu unsur sama, maka perbandingan massa unsur kedua berbanding sebagai bilangan bulat dan sederhana
- Hukum Gas Ideal Untuk Gas Ideal atau suatu Gas yang dianggap ideal berlaku:
TRnVP ⋅⋅=⋅ P= tekanan (atmosfer) V = volume (liter) n = mol R = tetapan gas (liter. atm/ml. K) T = suhu (Kelvin)
80
RISTOIKIOMET
1. PxQy dengan berat a gram, maka:
yQPxrMPrAxPBeratdan
yQPxrMPrAxPKadar
⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
⋅= %100
2. Senyawa mengandung air kristal, OnHPxQy 2⋅ , maka
QyPxmolOHmolnatau
nQyPxMrnkristalairKadar 2%100
1818
=⋅+⋅⋅
=
Massa Atom relatif dan Massa Molekul Relatif.
• Massa atom relatif adalah perbandingan massa atom terhadap 121 massa 1 atom C12
12121
−=
Catomsatumassa
xatomsatumassaxAr
• Massa molekul relatif ( )Mr adalah perbandingan massa satu molekul terhadap
12
121 Catom
12121
−=
Catomsatumassa
YmolekulsatumassaYMr
Rumus Empiris dan Rumus Molekul Rumus Empiris adalah : rumus yang menyatakan perbandingan terkecil atom-atom dari
unsur-unsur yang menyusun suatu senyawa Rumus molekul adalah : rumus yang menyatakan jumlah atom-atom dari unsur-unsur yang
menyusun satu molekul senyawa Untuk pembakaran senyawa hidrokarbon:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⇒
ynOH
nxCO
yxnO
dibakarCxHyn
4*
*41*
2
2
2
Dengan syarat ⇒ reaksi stoikiometris
81
LARUTAN
( )PMrPmPLaru
−×=⇒
1001000%tan
Pengenceran Larutan 2211 MVMV ⋅=⋅⇒ V1 = volume sebelum pengenceran M1 = konsentrasi sebelum pengenceran V2 = volume sesudah pengenceran M2 = konsentrasi sesudah pengenceran Konsentrrasi campuran 332211 MVMVMV ⋅=⋅+⋅⇒ Kelarutan (S) dan Hasil Kali Kelarutan (Ksp)
( )( )( )n n
nn
nKspSdanSnKsp 1
1
11 −
−
−=⋅−=
Untuk reaksi ⇒ [ ] [ ]nm
air
CBAKsp
CnBmsA−+
−+
⋅=
+⎯→⎯)(
• Jika hasil kali konsentrasi ion-ion > Ksp, maka larutan lewat jenuh (terjadi endapan) • Jika hasil kali konsentrasi ion-ion < Ksp, maka larutan belum jenuh (tidak terjadi
endapan) • Jika hasil kali konsentrasi ion-ion = Ksp, maka larutan tepat jenuh Untuk Garam ( ) ( ) ( )( )mnmn SmnKspBmAn +⋅⋅=⇒ Garam akan mengendap jika:
• [ ] SG > • Massa mengendap [ ]( ) MrvolSG ××−⇒ [ ]G = konsentrasi garam S = kelarutan
Derajad Keasaman (pH)
[ ] [ ] pOHHpHHhitungasamlarupH −=−=⇒⇒ ++ 14logtan* [ ] [ ]−− −=⇒⇒ OHpOHOHhitungbasalarupH logtan*
Air sedikit terionisasi, karena bersifat elektrolit lemah −+ +→⇒ OHHOH2 Pada suhu 250C:
82
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]−+
−−+−−+
−+−+
=+=+==⇒==
=⇒==
OHatauHikonsentrasmencariberartipOHpHmencaripOHpHdanpKwpOHpH
OHHKwOHHOHK
OHOHHKMOHH
/14
1010
10
14142
2
7
Catatan: - pH larutan < 7 : larutan bersifat asam - pH larutan > 7 : larutan bersifat basa - pH larutan = 7 : larutan netral
Reaksi-reaksi Asam-Basa
• Asam kuat / Basa kuat [ ][ ] kuatbasadariOHkuatBasa
kuatasamdariHkuatAsam−
+
⇒
⇒
• Asam lemah / Basa lemah
[ ][ ] KCCKbOHlemahBasa
KCCKaHlemahAsam
⋅=⋅=⇒
⋅=⋅=⇒−
+
• Asam + Basa - Sisa Asam kuat / Basa kuat ⎯→⎯ ionisasi
[ ][ ] kuatbasasisadariOHkuatbasasisa
kuatasamsisadariHkuatasamsisa−
+
⎯→⎯
⎯→⎯
- Sisa Asam lemah / Basa lemah ⎯→⎯ terbentuk buffer / penyangga
[ ]
[ ]G
BkbOHgaramnyalemahbasabasabuffer
GAKaHgaramnyalemahasamasambuffer
⋅=⇒+⎯→⎯
⋅=⇒+⎯→⎯
−
+
*
*
A / B = selisih asam dan basa (sisa asam lemah / basa lemah) G = yang paling kecil mol-nya (garam) - Tidak sisa, maka terjadi hidrolisis:
[ ]
[ ]
[ ]kb
KaKwHlemahbasalemahasam
KaGKwOHkuatbasalemahasam
kbGKwHkuatbasakuatasam
⋅=⇒+
⋅=⇒+
⋅=⇒+
+
−
+
*
*
*
Netral terjadi jika Asam kuat + Basa kuat ⎯→⎯ garam + air , maka pH = 7.
83
BASAASAMTEORI
nyabasadarilebihmeilikiAsamsamayangsenyawadariberasalBasadanAsam
−Η+1**
1. ARHENIUS.
• Asam adalah zat yang dalam pelarut air menghasilkan ion hidrogen [H+] Contoh : −+ +⎯→⎯ lCHHCl
• Basa adalah zat yang dalam pelarut air menghasilkan ion hidroksil [OH-] Contoh : −+ +⎯→⎯ OHNaNaOH
2. BRONSTED-LOWRY. • Asam adalah pemberi H+ / donor proton (zat yang dapat melepaskan proton) • Basa adalah penerima H+ / akseptor proton (zat yang dapat menerima proton)
3. ASAM-BASA KONJUGASI • Asam konjugasi adalah asam yang kelabihan 1H+ terhadap basa-nya • Basa konjugasi adalah basa yang kekurangan 1H+ terhadap asam-nya
Contoh : asambasabasaasam
NHOHNHOH −− +⎯→←+ 432
H2O dan OH- adalah pasangan asam basa konjugasi NH3 dan NH4
+ adalah pasangan basa konjugasi
4. LEWIS. • Asam adalah zat yang dapat menerima pasangan elektron bebas (penerima
pasangan elektron bebas) • Basa adalah zat yang dapat melepaskan pasangan elektron (pemberi pasangan
elektron bebas).
Reaksi Asam Basa
∑ ∑ ⋅⋅=⋅⋅ BBBAAA alVMValVMV Reaksi dalam Larutan Elektrolit
• Asam + basa ⎯→⎯ garam + air Contoh : HCl + NaOH ⎯→⎯ NaCl + H2O
• Basa + oksida asam ⎯→⎯ garam + air Contoh : NaOH + CO2 ⎯→⎯ Na2CO3 + H2O
• Oksida basa + asam ⎯→⎯ garam + air Contoh : K2O + H2SO4 ⎯→⎯ K2SO4 + H2O
• Gas amonia + asam ⎯→⎯ garam amonium Contoh : NH3 + HCl ⎯→⎯ NH4Cl
84
• Oksida asam + oksida Basa ⎯→⎯ garam Contoh : Na2O + CO2 ⎯→⎯ Na2 + CO3
• Logam aktif + asam non oksidator ⎯→⎯ garam + gas H2 Contoh : Fe + 2HCl ⎯→⎯ FeCl2 + H2
• Logam reaktif I + garam I ⎯→⎯ garam II + logam II Contoh : Zn + CuSO4 ⎯→⎯ Znso4 + Cu
• Basa I + garam I ⎯→⎯ garam II + basa II Contoh : NaOH + CuSO4 ⎯→⎯ Na2SO4 + Cu(OH)2
• Garam I + asam I ⎯→⎯ garam II + asam II Contoh : FeS + 2HCl ⎯→⎯ FeCl2 + H2S
Ciri-ciri asam:
• Rasanya masam • Larutannya dalam air menghasilkan ion H+ • pH < 7 • [H+] besar • Lakmus merah ⎯→⎯ merah • Lakmus biru ⎯→⎯ merah
Oksida-oksida asam (oksida metaloid): • Oksida yang berasal dari unsur bukan logam • Dalam air membentuk asam
Ciri-ciri basa: • pH > 7 • larutannya dalam air menghasilkan ion yang bermuatan positif dan ion hidroksil yang
bermuatan negatif (OH) • rasanya licin jika terkena kulit • [OH-] besar • Lakmus merah ⎯→⎯ biru • Lakmus biru ⎯→⎯ merah
Oksida-oksida basa (oksida logam): • Oksida yang berasal dari unsur yang termasuk logam • Persenyawaannya dengan air menghasilkan basa
85
KIMIAGANKESETIMBAN
( )nkkahndikali
kkdibalikreaksi
1arg*
11*
=⇒
=⇒
Keadaan kesetimbangan.
DCrrBA ++
2
1
Keadaan setimbang bila 21 rr =⇒
[ ] [ ][ ] [ ]ba
dc
BADCKc =*
( )[ ] [ ][ ] [ ]
( )
suhuolehidipengaruhhanyaKaHsajagasfasehanyagkandiperhitunKpatauKcah
samatidakfasenyaheterogenyangsistemuntukTRKcKpdirumuskandapatKpdenganKcantaraHubungan
PBPAPDPCKp
KptekanangankesetimbantetapandalamtakandapatdinyaKahgassistemUntuk
n
ba
dc
arg*arg
),(*
arg*
Δ⋅=⇒
=
Dissosiasi ( ) ααα ⋅⋅−=⇒ac
abCBA 1::
( )mulamulamoljumlah
teruraiyangmoljumlahdissosiasiderajad−
=α
Jika, sebagianteruraizatsempurnateruraizat
teruraitidakzat
⇒<<⇒=⇒=
1010
ααα
Untuk Reaksi yang Berubah Derajad Dissosiasinya
( ) ( )2
22
1
21
1211 KVK
kVK
−=
−
Pergeseran Kesetimbangan. Asas Le Chatelier : Bila dalam suatu sistem kesetimbangan diberikan aksi yang
mengganggu sistem kesetimbangan, maka akan timbul reaksi yang akan memperkecil aksi tersebut.
86
Faktor-faktor yang mempengaruhi kesetimbangan: 1. Konsentrasi :
• Jika konsentrasi diperbesar, kesetimbangan akan bergeser ke arah yang berlawanan. • Jika konsentrasi diperkecil, kesetimbangan akan bergeser ke arah zat tersebut.
2. Volume / tekanan: • Jika V > / P < ⎯→⎯ kesetimbangan bergeser ke jumlah koefisien yang lebih besar. • Jika V > / P > ⎯→⎯ kesetimbangan bergeser ke jumlah koefisien yang lebih kecil.
3. Suhu : • T > ⎯→⎯ kesetimbangan bergeser ke endoterm • T < ⎯→⎯ kesetimbangan bergeser ke eksoterm
4. Katalis : • Katalis tidak mempengaruhi letak kesetimbangan. • Katalis hanya mempercepat tercapainya kesetimbangan.
Catatan:
- Bila jumlah mol ke kiri sama dengan ke kanan, maka perubahan tekanan maupun volume tidak mempengaruhi kesetimbangan.
- Untuk sistem kesetimbangan heterogen, koefisien (mol) yang diperhitungkan adalah fase gas saja.
87
REAKSIKECEPATAN
( ) ( )YX BAKV =
sVrVydan
qVpVx Cbs
Cbrcaqcap
loglog ==
• Order terhadap A, maka data yang digunakan data B yang tetap. • Order terhadap B, maka data yang digunakan data A yang tetap. Kecepatan Reaksi didefinisikan sebagai pengurangan konsentrasi pereaksi per satuan waktu atau pertambahan konsentrasi hasil per satuan waktu.
waktusatuanikonsentrasperubahanreaksikecepa =tan
atau nCKV =
Dengan : V = kecepatan reaksi K = tetapan kecepatan reaksi C = konsentrasi n = orde reaksi Yang dimaksud perubahan konsentrasi, yaitu: • berkurangnya konsentrasi pereaksi, atau • bertambahnya konsentrasi hasil reaksi
Kecepatan Reaksi. 1. Untuk reaksi CcBbAa ⎯→⎯+
• dTdC
cTdBd
bTdAd
aV ⋅+=⋅−=⋅−=
111
• Kecepatan Reaksi ( ) ( )ba BAkV =⇒
2. Faktor-faktor yang mempengaruhi kecepatan reaksi: - Sifat dan keadaan zat:
• Reaksi senyawa ion pada umumnya berlangsung lebih cepat daripada reaksi senyawa kovalen
- Suhu / cahaya:
• Dari percobaan setiap kenaikan 100C menyebabkan kecepatan reaksi menjadi dua kali
88
- Konsentrasi: • Dari rumus nCkV ⋅= dapat disimpulkan bahwa:
kecepatan reaksi berbanding lurus dengan konsentrasi C. Jika C >> maka V >> Untuk reaksi orde nol, kecepatan reaksi tidak dipengaruhi konsentrasi kVCkV =⇒⋅= 0
- Luas permukaan: • Makin halus zat yang bereaksi, makin luas permukaannya, sehingga
kemungkinan terjadinya tumbukan lebih besar, maka reaksi akan lebih cepat. - Katalis.
• Katalisator adalah zat kimia yang dapat mempercepat reaksi (menurunkan Ea). Fungsi katalis untuk menurunkan energi aktivasi Mempercepat ⎯→⎯ katalisator Memperlambat ⎯→⎯ inhibitor Katalisator terlibat dalam reaksi tetapi tidak mengalami perubahan kimia dan secara fisik bersifat spesifik.
3. Suhu:
• 10t
KoVtVΔ
⋅=
suhuperubahantsuhukoefisienK
nulamulakecepaVotsuhupadakecepatV
=Δ=
−==
tantan
4. Orde reaksi / tingkat reaksi
( )nAktV = N = 0 ⎯→⎯ orde nol ⎯→⎯ V = k N = 1 ⎯→⎯ orde satu ⎯→⎯ V = K (A)1 N = 2 ⎯→⎯ orde dua ⎯→⎯ V = K (A)2
Teori Tumbukan. Reaksi kimia terjadi karena adanya tumbukan yang efektif antara atom-atom atau molekul-molekul pereaksi. Tumbukan yang dapat menghasilkan reaksi harus memenuhi syarat: • posisinya baik • atom atau molekul yang bertumbukan mempunyai energi cukup
Pengaruh Suhu terhadap Kecepatan Reaksi. Jika laju reaksi pada suhu T0 adalah V0 dan setiap kenaikan 100C kecepatan reaksi naik n kali, maka kecepatan reaksi pada T1 adalah:
01 1001
110
01
1 tn
tdanVonVTT
TT
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅=
−−
reaksisuhuTdanreasksiwaktutdengan ==
89
IAELEKTROKIMDANREDOKS
1. O2 = -2, kecuali peroksida O = -1 2. H = +1, kecuali hibrida H = -1 3. Logam = +valensi 4. senyawa atau unsur netral = 0 5. Ion = muatan ion
Perkembangan Reaksi Redoks. Oksidasi:
• Reaksi suatu zat dengan oksigen • Reaksi yang disertai pelepasan elektron • Mengalami kenaikan bilangan oksidasi (sebagai reduktor)
Reduksi:
• Reaksi pengurangan / pelepasan oksigen • Reaksi yang disertai penangkapan elektron • Mengalami penurunan bilangan oksidasi (sebagai oksidator)
reaksimenyertaiyangelektronmolBOselisih = Catatan: Oksidator : - zat yang mengalami reduksi - lebih mudah menangkap elektron Reduktor: - zat yang mengalami oksidasi - lebih mudah melepas elektron
Bilangan Oksidasi. • Bilangan oksidasi unsur-unsur dan molekul-molekul dari atom sejenis = 0
Contoh: bilangan oksidasi Na = 0 bilangan oksidasi H dalam H2 = 0
• Bilangan oksidasi H dalam senyawa = +1, kecuali dalam senyawa hibrida : BO H = -1 Contoh: BO H dalam H2O = +1 BO H dalam CaH2 = -1
• Bilangan oksidasi O dalam senyawa = -2, kecuali dalam senyawa: Contoh: OF2, BO O = +2 Peroksida, BO O = -1 (H2O2 , Na2O2 , dsb)
• Jumlah aljabar bilangan oksidasi dalam senyawa = 0 Dalam senyawa HNO3 berlaku : BO H + BO N + 3BO O = 0
• Jumlah aljabar bilangan oksidasi seluruh atom dalam ion = muatan ion.
Dalam ion SO42- berlaku : BO.2 + 4BO O = -2
90
Penyetaraan Persamaan Reaksi Redoks.
reaksikoefisienkalihasilelektronmol = Setiap persamaan Reaksi kimia harus memenuhi:
• Hukum kekekalan massa • Hukum kekekalan muatan
Elektrokimia ⎪⎩
⎪⎨⎧
⎯→⎯
⎯→⎯⇒
reduksimengalamikatoda
oksidasimengalamianoda
*
*
1. Sel Volta.
Energi kimia ⎯→⎯ energi listrik Katoda ⎯→⎯ + reduksi Anoda ⎯→⎯ – oksidasi
2. Sel Elektrolisa. Energi listrik ⎯→⎯ energi kimia Katoda ⎯→⎯ – reduksi Anoda ⎯→⎯ + oksidasi
3. Hukum Faraday.
• 96500
tiem ⋅⋅=
• BA BEBEmBmA :: =
• oksidasibilanganatommassae =
4. Potensial Sel.
kiriEkananEoksidasiEreduksiEselE
−=−=
( )( )reduksioksidasi
nEselE log059,000 +=
91
••••••••••••••••
KARBONKIMIAdanINTIKIMIA
Partikel yang Dipancarkan Zat Radioaktif. Radioaktif adalah : peristiwa perubahan inti atom suatu unsur menjadi inti atom unsur lain yang terjadi secara spontan, disertai pemancaran sinar radioaktif. Unsur-unsur yang dipancarkan sinar tersebut dinamai radioaktif. Sinar radioaktif yang dipancarkan mempunyai sifat:
• tidak tampak oleh mata • dapat menghitamkan plat film • mempunyai daya ionisasi terhadap gas • memudarkan benda-benda yang berlapis Zn, S • merusak jaringan tubuh • oleh pengaruh medan magnet atau listrik terurai menjadi sinar alfa, beta, dan gamma Partikel Massa sma Muatan Simbol Sifat
Alfa Beta
Gamma Neutron Proton
Positron
4 0 0 1 1 0
+2 -1 0 0
+1 +1
α42
42 =He
e01− γ n1
0 P e
Partikel Partikel
Gelombang Elektromagnetik
Partikel Partikel Partikel
Partikel. Penembak efektif ⎯→⎯ neutron : - tidak bermuatan
- massa besar
Sifat γβα ,,
– +
λ ⎯→⎯ kecil Daya tembus ⎯→⎯ besar Daya ionisasi ⎯→⎯ kecil Peluruhan Radioaktif. Bila terjadi peluruhan:
- terjadi unsur baru - terjadi pemancaran
- waktu paruh 2
11⎯→⎯
teNoN λ−⋅= λ693,0
21=t
n
NoN
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21
γα β
92
N = massa bahan setelah terjadi peluruhan No = massa bahan awal T = waktu peluruhan t 2
1 = waktu paruh λ = konstanta peluruhan
n = 21t
t
Reaksi Inti. A. Transmutasi.
Reaksi inti yang terjadi karena penembakan inti atom sehingga menjadi inti atom baru yang stabil
B. Radioaktivitas Buatan. Reaksi inti yang terjadi akibat penembakan inti atom sehingga terbentuk inti atom baru yang tidak stabil yang bersifat radioaktif
C. Reaksi Fisi. Pembelahan inti atom karena penembakan inti atom sehingga terbentuk 2 inti atom baru yang disertai dengan sejumlah energi
D. Reaksi Fusi. Reaksi yang terjadi akibat bergabungnya dua inti atom ringan menjadi satu inti atom yang lebih berat disertai sejumlah energi yang besar.
Perbedaan Fusi dan Fisi.
FUSI FISI • hasil stabil • pencemaran radioaktif dan radiasi kecil • energi jauh lebih besar • pelaksanaan sulit
• hasil radioaktif • pencemaran radioaktif dan radiasi besar • energi cukup besar • pelaksanaan mudah
93
LARUTANKOLIGATIFSIFAT
1. Penurunan Tekanan Uap Jenuh ⎯→⎯ PΔ Menurut Roult : tekanan uap larutan sama dengan tekanan uap jenuh pelarut murninya dikalikan dengan fraksi mol pelarutnya.
2. Kenaikan Titik Didih bTΔ⎯→⎯ Menurut Roult : kenaikan titik didih larutan sebanding dengan jumlah mol zat terlarut.
3. Penurunan Titik Beku fTΔ⎯→⎯ Menurut Roult : penurunan titik beku larutan sebanding dengan jumlah mol zat terlarut
4. Tekanan Osmosis. Tekanan Osmosis adalah beda tekanan antara pelarut dan larutan karena bergeraknya molekul pelarut kearah larutan melalui dinding semi permeabel.
Larutan Non Elektrolit. Sifat koligatif yang dapat ditentukan dari larutan non elektrolit adalah:
• 0PbXP ⋅=Δ • fKmbT ⋅=Δ • fKmfT ⋅=Δ • TRC ⋅⋅=π
murnipelaruttekananPterlarutfraksimolbXMW
pm =⇒=⇒= 0
111000
Larutan Elektrolit. Sifat koligatif yang dapat ditentukan dari larutan elektrolit adalah:
• ibKmbT ⋅⋅=Δ • ifKmfT ⋅⋅=Δ • iTRC ⋅⋅⋅=π
( ) HofftVanfaktorni '11 ⇒−+= α Tb tinggi, maka besarnm ⇒⎯→⎯ α,,
ELEKTROLIT KUAT ELEKTROLIT LEMAH
Sifat: • terionisasi sempurna • α = 1 • Daya hantar listrik kuat Contoh: • Asam: HCl , HBr , HI, HNO3 , H2SO4 • Basa: basa-basa alkali , Sr(OH)2 , Ba(OH)2 • Garam: hampir semua garam elektrolit kuat
Sifat: • terionisasi sebagian • 10 << α • Daya hantar listrik lemah • Asam lemah punya Ka • Basa lemah punya Kb Contoh: • Asam: HF , CH3COOH , H2PO4 , HCN • Basa: NH4OH , A(OH)3 , Fe(OH)3 • Garam: garam-garam merkuri (II).
94
KARBONKIMIA
1. ISOMERISASI: • Contoh: C4H10
A. CH3 – CH2 – CH2 = CH2 : n butena. B. H3C – C – CH3 : 2 metil propana | CH3
2. ALKOHOL (ALKANOL): A. Primer B. Sekunder C. Tersier
• CH3 – CH2 – CH2 – CH2OH (Butil Alkohol) • CH3 – CH2 – CH – CH3 (Sekunder Butil Alkohol) | OH • CH3 CH3 | | CH3 – C – CH3 CH3 – C – CH2 – CH3 | | OH OH
(Tersier Butil Alkohol) (Tersier Amil Alkohol)
95
BIOLOGI
METABOLISME SEL: • Respirasi Aerob: yaitu proses respirasi yang memerlukan oksigen, berlangsung dalam
Mitokondria. Bila yang dioksidasi glukosa, maka persamaannya: C6H12O6 + O2 → 6CO2 + 6H2O + 675 kal • Respirasi Anaerob: yaitu respirasi yang tidak memerlukan oksigen bebas. Lazim pula
disebut Fermentasi, meskipun tidak semua fermentasi itu anaerob. Respirasi ini umumnya terjadi pada timbuhan tingkat rendah:
C6H12O6 ⎯⎯ →⎯RAGI 2C2H5OH + 2CO2 + 28 kal • Fotosintesis: Proses asimilasi zat karbon yang menggunakan energi sinar (matahari)
sebagai sumber energi, dengan bantuan klorofil. 6CO2 + 12H2O → C6H12O6 + 6H2O + 6O2 • Kemosintesis:: Penyusunan senyawa komplek dari senyawa sederhana dengan
menggunakan energi yang berasal dari proses-proses kimia. Kemosintesis hanya dapat dilakukan oleh jenis bakteri tetentu yang tidak berklorofil.
GENETIKA: • Struktur kimia DNA Ada tiga komponen dasar penyusun DNA, yaitu:
- Deoksiribosa (Pentosa) - Gugusan fosfat - Basa nitrogen, yang terdiri atas:
1. Purin, yang terdiri dari Guanin (G) dan Adenin (A). 2. Pirimidin, yang terdiri dari Timin (T) dan Sitosin (S)
• Sifat-sifat DNA: 1. Hanya ditemukan di nukleus 2. berbentuk rantai panjang dan ganda (double helix) 3. fungsinya berhubungan erat dengan sintesa protein dan penurunan sifat 4. Basa nitrogennya terdiri dari: adenin, timin, guanin, dan sitosin 5. kadarnya tidak dipengaruhi oleh sintesa protein 6. Komponen gulanya deoksiribosa
• RNA: Ada tiga macam RNA, yaitu: mRNA, tRNA, dan rRNA. Adapun sifat-sifat RNA adalah: A. ditemukan di nukleus dan sitoplasma B. berbentuk rantai pendek dan tunggal C. fungsinya berhubungan erat dengan sintesa protein dan penurunan sifat D. kadarnya tidak dipengaruhi oleh sintesa protein E. basa nitrogennya terdiri atas: guanin, urasil, adenin, dan sitosin F. komponen gulanya ribosa
96
POLA-POLA HEREDITAS.
A. PAUTAN: - 1 : 1 : 1 : 1 → gen bebas - 1 : 1 → berpautan dekat (pautan sempurna) - n : 1 : 1 : n → berpautan SIS dan terjadi crossing over (pautan tak sempurna). - 1 : n : n : 1 → berpautan TRANS dan terjadi crossing over.
B. Penyimpangan semu Hukum Mendel:
1. Interaksi dari beberapa gen: Hasil perbandingan akhir: 9 : 3 = 3 : 1 Perbedaan dengan perbedaan dihibrid: - F1 tidak menyerupai salah satu induknya - Munculnya dua sifat baru: pial sumpel (walnut) dan bilah.
2. Polimeri:Pada polimeri, beberapa pasang gen non alelik, mempengaruhi satu sifat atau ciri tertentu. Syarat polimeri: A. Masing-masing gen penghasil warna harus menghasilkan pengaruh yang sama B. Pengaruh gen bersifat kumulatif C. Tidak ada epistatis diantara gen D. Tidak terjadi pautan E. Tidak ada pengaruh lingkungan Hasil perbandingan fenotipnya: 15 : 1
3. Kriptomeri: persilangan antar gen-gen dominan yang mengadakan interaksi, sehingga
terbentuk fenotip baru. Fenotip baru muncul bila dua buah gen dominan ada dalam suatu individu. Ada sementara ahli menganggap peristiwa ini sebagai peristiwa komplementer. Contoh peristiwa ini adalah hasil penyelidikan Correns pada Linaria Maroccana, yang pada F2-nya menghasilkan perbandingan: 12 : 3 : 1
4. Epistatis dan Hipostatis:
Pada peristiwa ini gen dominan mengalahkan (menutupi) gen dominan lain yang bukan sealel. Yang dominan dan yang menutupi disebut epistatis dan yang tertutup disebut hipostatis. Contoh peristiwa ini pada kulit gandum, warna bulu ayam, warna mencit, warna mata. Perbandingan fenotipnya: 9 : 7
97
HEREDITAS PADA MANUSIA:
1. Jenis kelamin manusia: Jenis kelamin pada manusia ditentukan oleh kromosom (X) dan (Y):
- XX = perempuan - XY = laki-laki - Laki-laki kromosom X nya pasti dari ibu dan Y dari bapak, sedangkan perempuan X
yang satu dari ayah dan yang satu dari ibu.
2. Penyakit yang menurun pada manusia: - Hemophyli: disebabkan adanya gen resesif yang terdapat pada sex–X kromosom (sex
X linkage resesif). Bila dalam keadaan homozygot bisa bersifat letal (pada saat zygot / embrio pubertas).
- Pada laki-laki: Xh Y akan menderita Hemophyli
xHxH >< xhY XhXh = perempuan letal ↓ XhY = laki-laki Hemophyli xhxh, xhY, xHxh, XHY XHXh = perempuan karier XHY = laki-laki normal
3. Buta warna, disebabkan adanya gen resesif yang terpaut pada sex–X XBxb >< CbY XBY = laki-laki normal XbY = laki-laki penderita XBXb = perempuan karier XbXb = perempuan penderita
4. Albino:
- Autosomal resesif - Munculnya dalam keadaan homozygot resesif: Pp >< Pp
↓ PP : 2Pp : pp
5. Kecenderungan terhadap penyakit tertentu 6. Gangguan-gangguan mental
98
GIBIOTEKNOLO
Bioteknologi merupakan ilmu terapan dari biologi dalam pengolahan bahan oleh agen biologi untuk menyediakan barang dan jasa yang berguna bagi pemenuhan kebutuhan manusia. Bioteknologi dapat dilakukan dengan: 1. Pemanfaatan Mikroorganisme, untuk:
A. Menghasilkan bahan pangan B. Menghasilkan sumber obat. C. Membasmi hama tanaman D. Menghasilkan logam E. Sebagai sumber bahan bakar pengganti minyak
2. Rekayasa Genetika, untuk; A. Memproduksi hormon insulin B. Memproduksi hormon pertumbuhan BST
3. Tehnik Hibridoma. 4. Kultur jaringan.
REKAYASA GENETIKA. Kloning atau rekayasa genetika merupakan biotehnologi modern yang menimbulkan banyak perubahan dan kemajuan. Teknologi rekayasa genetika disebut juga ADN rekombinan, karena teknologi ini bekerja dengan merubah materi hereditas yakni asam deoksiribonukleat. A. Enzym restriksi:
Merupakan enzym yang mampu mengkatalisasi pembelahan ADN di beberapa tempat yang dapat diproduksi. Enzym ini disebut juga endonuklease Restriksi, jadi enzym ini mampu memotong untaian ADN pada tempat-tempat tertentu.
B. Enzim Ligase: Untuk menggabungkan potongan ADN luar (invitro) ke dalam plasmid dibutuhkan enzym ligase ADN agar terbentuk plasmid yang tersisipi ADN luar.
C. Plasmid:
Adalah unsur genetik yang terletak di luar kromosom (ekstrakromosomal) yang mampu melakukan replikasi secara otonom di dalam sel bakteri.
D. Kromosom Bakteri: Bakteri termasuk prokariotik karena tidak memiliki membran inti.Kromosom bakteri merupakan molekul ADN berbentuk bulat, telanjang, dan beruntai ganda. ADN terdapat pada daerah di dalam sel yang dinamakan nukleotid, dimana ADN-nya sangat terpilin, terikat dan sangat sedikit partikel sitoplamiknya.
99
TEHNIK HIBRIDOMA: Hibridoma dilakukan dengan penggabungan dua sel yaitu sel Limfosit B mencit dengan Sel Kanker (sel miolema). Sel Limfosit B mampu membentuk antibodi, yaitu komponen protein dari sistem kekebalan yang mampu mengidentifikasi dan meniadakan molekul asing (antigen). Sel kanker mempunyai sifat untuk melakukan pembelahan sel secara terus menerus, sehingga jika dua sel tersebut digabung maka akan dihasilkan sel bastar atau hibridoma yang mampu menghasilkan antibodi yang homogen (monoklonal) dalam jumlah besar secara terus menerus. Antibodi monoklonal dapat digunakan:
1. Alat diagnostik untuk mengetahui penyebab penyakit 2. Untuk pengobatan 3. Untuk menguji kehamilan pada urin wanita 4. mengurangi daya tolak jaringan ketika dilakukan transplantasi organ 5. mengikat racun
JAMUR Merupakan makhluk hidup yang tidak berklorofil, terdiri atas benang-benang (hifa) yang akan membentuk jaring-jaring (miselium). • Ciri-ciri umum:
- Tersusun dari bersel satu atau bersel banyak - Sel jamur memiliki membran inti (Eukariotik) - Dinding sel tersusun oleh kitin, kecuali jamur Oomycotina yang dinding selnya tersusun
oleh selulosa - Tidak mengandung klorofil, sehingga tidak mampu mensintesa makan sendiri (heterotrof). - Menyimpan makanan dalam bentuk glikogen - Dalam sistem hidupnya memiliki keturunan diploid yang singkat, kecuali Oomycotina.
1. Oomycotina: Ciri-ciri:
- Sperma yang terbentuk berflagel ganda (spora kembar) - Dinding sel tidak dari kitin, tersusun oleh selulosa - Perkembangbiakan dapat secara vegetatif dan generatif - Contoh: Phytium: penyakit rebah semai
Phythopthora infestan: penyakit kentang Phythopthora faberi: penyakit pada karet 2. Zigomycotina: Ciri-ciri:
- Perkembangbiakan secara generatif dengan pembentukan zigospora - Turunan 2n (diploid) merupakan hasil konjugasi dan mampu membentuk sporangium
yang menghasilkan spora yang memiliki kromosom n (haploid) - Contoh: Rhizopus: pada tempe Endomikoriza: jamur tanah
100
3. Ascomycotina: Ciri-ciri:
- Umumnya hifa bersekat-sekat - Perkembangbiakan secara generatif dengan pembentukan gelembung seperti bola
(Askus) yang menghasilkan Askospora, sedangkan perkembangbiakan secara vegetatif dengan Konidiospora
- Contoh: Saccharomyces: penghasil vitamin B komplex Aspergillus flavus: penghasil racun aflatoxinz
4. Basidiomycotina: Ciri-ciri:
- Hifa bersekat-sekat - Memiliki tubuh buah (basidiocarp) - Basidium menghasilkan empat spora yang berangkai (2 berjenis (+) dan berjenis (-)),
perkawinan antara jenis (+) dan (-) menghasilkan miselium yang berinti dua (Plasmogami) - Contoh: Pucina graminis: jamur api Ustilago: jamur karat Auricularia politricha: jamur kuping Volvariella volvacea: jamur merang
5. Deuteromycotina: Ciri-ciri:
- Berkembangbiak secara vegetatif, disebut juga jamur inperfecti (jamur tidak sempurna) - Monilia siptophila pernah dimasukkan dalam kelompok jamur ini - Kebanyakan jamur Deuteromycotina menyebabkan penyakit kulit (dermatomikosis). - Contoh: Trichophyton Epidermophyton
PAKUdanLUMUTGANGGANG,
Ganggang, lumut dan paku merupakan makhluk hidup yang bersifat eukariotik dengan catatan Alga Biru tidak dimasukkan. I. ALGA: Klasifikasi alga dikelompokkan berdasarkan pigmen yang dimiliki (zat warna). Alga dibagi menjadi: 1. Alga hijau (Chlorophyceae) 2. Alga keemasan (Chrysophyceae) 3. Alga pirang (Phaeophyceae) 4. Alga merah (Rhodophyceae)
• Alga hijau:
Termasuk Eukariotik (inti yang berdinding). Ada yang bersel tunggal, ada yang bersel banyak berupa koloni, benang, lembaran atau tabung, ada yang mampu bergerak ada yang tidak. Ada juga yang sering digunakan untuk penyelidikan fotosintesa di laboratorium, yaitu: Chlorella.
101
• Alga keemasan: Zat warna yang menyebabkan alga ini berwarna kuning adalah Karotin. Contoh:
Ochoromonas, Navicula dan Vouchheria. • Alga pirang:
Alga ini berwarna pirang karena zat warna Fukosantin yang mampu menutup warna hijau dari klorofil dan warna kuning dari Karotin. Tempat hidupnya adalah laut, terutama laut yang agak dingin. Beberapa alga pirang menghasilkan asam lagenat yang digunakan untuk perusahaan tekstil dan perusahaan makanan. Bentuk alga pirang semuanya berupa benang dan lembaran. Contoh: Turbinaria, Focus, Visieulocus.
• Alga merah:
Alga ini berwarna merah karena pigmen Fikoeritin yang berwarna merah dan Fikosianin yang berwarna biru. Alga merah banyak mendatangkan manfaat, seperti agar-agar. Contoh: Eucheuma, Spinosum, Gelidium dan Gracilaria.
II. LUMUT:
• Lumut berumah satu: dalam satu individu terdapat antheridium dan arkegonium. Contoh: Politricum commune • Lumut berumah dua: Antheridium dan Arkegonium terdapat pada individu yang berlainan. Contoh: Marchantia geminata.
Klasifikasi lumut: 1. Klas: Hepaticae (lumut hati)
Famili: Anthocerotaceae Ordo: Anthocerotales Spesies: Anthoceros laevis Ordo: Marchantiales Famili: Marchantiaceae Spesies: Marchantia polymorpha Ordo: Jungermaniales Famili: Acrogynaceae Spesies: Plagoichilla asplenoides
2. Klas: Musci (lumut daun)
Ordo: Andraeales Famili: Andraeaceae Spesies: Andraea petrophila Ordo: Sphagnales Famili: Spagnaceae Spesies: Sphagnum fimbriatum Ordo: Bryales Famili: Poytrichaceae Spesies: Polytrichum commune
102
TAINVERTEBRA
1. Porifera: termasuk metazoa karena terdiri oleh beberapa sel. Dibedakan menjadi: A. Calcarea: rangkanya terdiri atas spikula dari zat kapur, hidup di laut dangkal.
Contoh: Sycon, Clatharina dan Schypa B. Hexactinellida (spikula dari kersik, hidup di laut dalam). Contoh: Pheronema dan
Euplectella C. Demospongia (tubuhnya lunak, rangka dari silikat, spongin atau campuran, tidak
mempunyai rangka luar). Contoh: Euspongia, Spongia dan Cliona. 2. Coelenterata:
Daur hidup: - Polip: melekat pada dasar / menetap - Medusa: berenang bebas
3. Anthropoda: Ciri-ciri umum: - Tubuh dan kaki beruas-ruas, bilatedral simetris - Berangka luar - Sistem peredaran darah terbuka, darah bening tidak ber-hemoglobin tetapi
mengandung haemocyanin - Sistem syaraf tangga tali - Sistem pernafasan: trakea, insang, paru-paru buku atau permukaan kulit.
103