Tegangan Normal Eksentris dan Lentur

Kuliah 11 :

Tegangan Kombinasi akibat gaya normal eksentris dan momen

lentur.

Contoh :

Balok AB menderita beban q = 5 kN/m’ dan beban terpusat P = 50 kN sebagaimana terlihat pada gambar. Balok juga menderita gaya normal eksentris N = 200 kN. Gaya normal N bekerja pada titik K. Hitung tegangan normal dan tegangan geser maksimum pada posisi momen positif maksimum dan momen negatif maksimum dan gambarkan diagram tegangan normal dan tegangan geser pada kedua posisi tersebut.

Contoh :

Gaya geser pada titik A ada dua yaitu D = -12.5 kN dan D = +56.20833kN Gaya geser pada titik P dapat dihitung dengan pendekatan D = 68.70833 – 12*5= 8.708 kN Pada titik P terdapat dua gaya geser (karena adanya lompatan gaya geser). Gaya geser kedua diperoleh dari 8.708 – 50 = - 41.29167 kN Dengan gaya geser D pada posisi titik P yang berubah dari positif menjadi negatif, maka momen maksimum akan terjadi pada titik P.

Contoh :

Momen positif maksimum dapat dihitung dengan rumus : MX = -1/2*q*122 + VA*9.5 MX = -1/2*5*122 + 68.70833*9.5 = 292.729 kNm

Contoh :

Contoh :

44m60.04659580cm24659580.66Ix

44m50.04087211cm84087211.53Iy

A = 5850 cm2 = 0.585 m2

Gaya dala pada posisi tumpuan : ML = 15.625 kNm N = 200 kN ex= 56.688 – 7.5 cm = 49.188 cm ey = 37.8205 – 25 cm = 12.8205 cm Mex = 200*0.49188 = 98.376 kNm Mey = 200*0.128205 = 25.641 kNm

Gaya dala pada posisi Momen positif maksimum : ML = 159.946 kNm N = 200 kN Mex = 200*0.49188 = 98.376 kNm Mey = 200*0.128205 = 25.641 kNm

Contoh :

Gambar diagram tegangan pada posisi momen negatif maksimum. Hitung masing-masing komponen tegangan dan tentukan tegangan maksimum diantara titik A, B, C, D dan E.

Contoh : A = 0.585 m2 4m60.04659580Ix

4m50.04087211Iy

MPa0.342m

kN341.88

0.585

200σ1

2

MPa0.809m

kN2867.088

0.04659580

0.38312*98.376σ2

2

MPa197.10.809*312.38

688.56σ3

MPa129.00.809*376.98

625.15σ4

MPa19.0197.1*376.98

625.15σ5

MPa0.237m

kN266.237

50.04087211

0.378205*25.641σ6

2

MPa3896.00.237*8205.37

1795.62σ7

Contoh :

MPa0.342m

kN341.88

0.585

200σ1

2

MPa0.809m

kN2867.088

0.04659580

0.38312*98.376σ2

2

MPa197.10.809*312.38

688.56σ3

MPa129.00.809*376.98

625.15σ4

MPa19.0197.1*376.98

625.15σ5

MPa0.237m

kN266.237

50.04087211

0.378205*25.641σ6

2

MPa3896.00.237*8205.37

1795.62σ7

Karena jumlah diagram tegangan makin banyak maka cara lain yang lebih mudah adalah menjumlahkan Mex dan ML. MR = Mex + ML = 114.001 kNm

Contoh :

MPa0.342m

kN341.88

0.585

200σ1

2

MPa0.937m

kN339.937

0.04659580

0.38312*114.001σ2

2

MPa386.10.937*312.38

688.56σ3

MPa0.237m

kN266.237

50.04087211

0.378205*25.641σ6

2

MPa3896.00.237*8205.37

1795.62σ7

Contoh :

Contoh : MPa0.342σ1 MPa0.937σ2

MPa386.1σ3

MPa0.237σ6

MPa3896.0σ7

A = 1 2 7= -0.985 MPa (tarik)

B = 1 2 6= -0.358 MPa (tarik)

C = 1 3 6= 1.965 MPa (tekan)

D = 1 3 7= 1.652 MPa (tekan)

E = 1 2 7= -0.251 MPa (tarik)

Pada tumpuan A, tegangan tekan maksimum = 1.965 Mpa dan tegangan tarik maksimum = 0.985 MPa

Contoh :

Dengan cara yang sama maka dapat dilakukan perhitungan tegangan pada titik A, B, C, D dan E .

Pada posisi momen positif maksimum

MR = ML - Mex = 61.57 kNm

Contoh : Pada posisi momen positif maksimum

MPa0.342m

kN341.88

0.585

200σ1

2

MPa0.506m

kN241.506

0.04659580

0.38312*61.57σ2

2

MPa749.00.506*312.38

688.56σ3

MPa0.237m

kN266.237

50.04087211

0.378205*25.641σ6

2

MPa3896.00.237*8205.37

1795.62σ7

Contoh : MPa0.342σ1 MPa0.506σ2

MPa749.0σ3

MPa0.237σ6

MPa3896.0σ7

A = 1 2 7= 0.458 MPa (tekan)

B = 1 2 6= 1.085 MPa (tekan)

C = 1 3 6= -0.17 MPa (tarik)

D = 1 3 7= -0.483 MPa (tarik)

E = 1 2 7= 0.062 MPa (tekan)

Pada posisi momen positif maksimum, tegangan tekan maksimum = 1.085 MPa dan tegangan tarik maksimum = 0.483 MPa

Contoh :

Buatlah gambar diagram tegangan geser pada posisi momen negatif maksimum dengan gaya geser D = 41.54167 kN

S1 = 100*30*23.312=69936 cm3 S2 = S1 + 50*8.312*4.156 = 71663.234 cm3

S3 = 50*15*49.188= 36891 cm3

S4 = S3 + 40*45*21.688= 75924.4 cm3

Ada perubahan statis momen

S5 = S4 + 0.5*50*1.6882= 75995.634 cm3

4m60.04659580Ix

Contoh : S1 = 100*30*23.312=69936 cm3 S2 = S1 + 50*8.312*4.156 = 71663.234 cm3

S3 = 50*15*49.188= 36891 cm3

S4 = S3 + 40*45*21.688= 75924.4 cm3

Ada perubahan statis momen

S5 = S4 + 0.5*50*1.6882= 75995.634 cm3

4m60.04659580Ix

MPa0.128m

kN78.271

60.04659580*0.5

0.071663*41.54167τ3

MPa0.1240.062*50

100τ2

MPa0.062m

kN62.35

60.04659580*1

0.069936*41.54167τ1

2

2

Contoh : S1 = 100*30*23.312=69936 cm3 S2 = S1 + 50*8.312*4.156 = 71663.234 cm3

S3 = 50*15*49.188= 36891 cm3

S4 = S3 + 40*45*21.688= 75924.4 cm3

Ada perubahan statis momen

S5 = S4 + 0.5*50*1.6882= 75995.634 cm3

MPa0.135169.0*50

40τ4'

MPa0.169m

kN222.961

60.04659580*0.4

0.075924*41.54167τ4

MPa0.08250.066*40

50τ5

MPa0.066m

kN65.779

60.04659580*0.5

0.036891*41.54167τ6

2

2

Contoh : S1 = 100*30*23.312=69936 cm3 S2 = S1 + 50*8.312*4.156 = 71663.234 cm3

S3 = 50*15*49.188= 36891 cm3

S4 = S3 + 40*45*21.688= 75924.4 cm3

Ada perubahan statis momen

S5 = S4 + 0.5*50*1.6882= 75995.634 cm3

MPa0.135τ4'

MPa0.169τ4

MPa0.0825τ5

MPa0.066τ6

MPa0.128τ3

MPa0.124τ2

MPa0.062τ1

Pada posisi tumpuan A, tegangan gesern maksimum = 0.169 MPa.

•Tegangan Leleh, Tegangan Ijin •Modulus Elastisitas Bahan •Pendimensian Penampang

Great East Japan Earthquake EQ-2011-000028-JPN

Statika mempelajari

•ilmu gaya •superposisi gaya

•keseimbangan gaya •Keseimbangan gaya luar dan

gaya dalam •Distribusi gaya dalam pada

elemen struktur

Gaya dalam pada elemen struktur timbul sebagai akibat

adanya keseimbangan gaya luar (gaya aksi) dan gaya reaksi yang

bekerja pada struktur.

Gaya dalam tidak akan muncul pada elemen struktur jika

struktur tidak mampu memberikan reaksi akibat

adanya gaya luar yang bekerja padanya.

Akibat adanya gaya dalam, maka elemen struktur akan mengalami tegangan

(menegang).

Akibat adanya tegangan tersebut maka akan timbul beberapa kemungkinan kondisi :

1. Struktur masih tetap kokoh (tidak

mengalami perubahan bentuk) 2. Struktur mengalami perubahan bentuk

tetapi belum mengalami kehancuran 3. Struktur mengalami kerusakan atau

bahkan kehancuran.

Kemampuan elemen struktur dalam menahan tegangan sangat ditentukan oleh

1. Ukuran penampang struktur (luas

penampang, inersia penampang)

2. Material yang digunakan sebagai bahan dari elemen struktur

Bagaimana menentukan kekuatan material dalam menahan

tegangan yang bekerja padanya ?

Untuk mengetahui kekuatan material dalam menahan

tegangan yang bekerja padanya dapat dilakukan dengan dua

pendekatan :

1. Dengan pengujian bahan di laboratorium

2. Dengan melakukan pengujian bahan di lapangan (bangunan

sudah jadi)

Untuk pengujian bahan di laboratorium, maka bahan yang digunakan pada elemen struktur

harus diuji kekuatannya.

Perlu dipersiapkan sample bahan (benda uji) dan alat penguji

bahan.

Pengujian Laboratorium

UTM

UTM

Uji Tarik Baja

Uji Tekan Beton

Uji Lentur Beton

Uji Lentur Beton

Uji Kekuatan Geser Beton

Pengambilan Sample Beton di lapangan (core drill).

Pengujian Kekuatan Material di Lapangan (on site test)

Uji Kekuatan Beton dengan Schmidt Hammer

Uji Kekuatan Beton dengan Winsore Probe

Uji Kekuatan Elemen Struktur di Lapangan

Apa yang harus ditemukan (dicari) pada pengujian kekuatan material ?

1 . Apakah cukup dicari kekuatan hancur bahan / material

2. Atau juga diperlukan “sejarah” atau tahapan perubahan kekuatan material pada saat menerima beban (menderita

tegangan)

Dengan mengetahui kekuatan hancur material, maka kekuatan maksimum yang

digunakan pada material (tegangan terbaik) pada saat menderita tegangan cukup diambil lebih kecil dari kekuatan

hancur material. (contoh kasus ini adalah pada pengujian tekan sample kubus beton

atau silinder beton).

n

1i

2ir

rbk

1n

σσS

S*1.64σσ

Cara penentuan kemampuan hancur bahan pada saat mengalami tegangan kadang-

kadang tidak dapat menjawab secara lengkap tentang “tegangan terbaik“ yang

harus diambil pada material pada saat menderita tegangan.

Perubahan bentuk material pada saat

mengalami tegangan juga sangat diperlukan. Sebagai contoh pada pengujian material baja. Pada material baja kekuatan

hancur material akan terjadi pada saat material sudah berubah bentuk secara

tidak beraturan.

Perubahan bentuk yang biasa digunakan pada material pada saat menderita

tegangan adalah “regangan”.

Pada material baja, kekuatan maksimum material pada saat menderita tegangan

tidak dapat dilepaskan dari besarnya regangan yang terjadi pada material

tersebut pada suatu tegangan tertentu.

Salah satu bentuk pengujian yang sering dilakukan pada material baja adalah uji

tarik baja.

Sebuah batang baja dengan panjang L dan luas penampang A ditarik dengan gaya P.

Akibat gaya P maka akan terjadi tegangan :

A

Pσ

Akibat gaya P batang juga mengalami perpanjangan sebesar dL. Regangan yang

terjadi pada batang adalah :

L

dLε

Jika gaya P bertambah besar, maka tegangan dan regangan juga makin membesar.

Perubahan tegangan berbanding lurus dengan

perubahan regangan.

Perubahan tegangan dan regangan tidak selalu berbanding lurus. Pada saat terjadi tegangan

tertentu, ternyata regangan dapat berubah dengan cepat. Atau tegangan tidak berbanding

lurus dengan regangan. Kondisi ini berjalan terus sampai suatu saat sample baja putus.

Hubungan antara tegangan dan regangan secara garis besar dapat digambarkan sebagai

berikut :

Contoh diagram tegangan regangan baja

Dari tegangan 0 (nol) sampai tegangan p (tegangan proposional), tegangan bahan mempunyai kecenderungan hubungan linear terhadap regangan. Setelah tegangan p dilewati, maka bahan baja mempunyai kecenderungan tidak beraturan. Pada kondisi kedua tersebut, maka perilaku bahan pada saat menderita tegangan mulai tidak beraturan. Kondisi tidak beraturan ini juga dikenal sebagai kondisi leleh (Yield).

ε

σE

E = modulus elastisitas E = modulus Young.

Dari uraian di atas, maka kondisi bahan baja pada saat menderita tegangan secara umum dibagi menjadi dua yaitu kondisi Elastis dan Plastis. Jika baja menderita tegangan pada daerah elastis (< p) kemudian tegangan dihilangkan, maka bahan baja akan kembali pada bentuk aslinya. Jika tegangan sudah melewati daerah elastis (> p), maka jika tegangan dihilangkan, bahan baja tidak akan kembali pada bentuk semula.

Menentukan tegangan p sebetulnya bukan hal yang mudah. Untuk menentukan nilai p, beberapoa ahli mengambil nilai regangan 0.2% dan ditarik sejajar dengan garis elastis. Perpotongan garis dengan grafik tegangan regangan merupakan tegangan yang dianggap lebih penting. Tegangan ini dikenal sebagai tegangan leleh ( y). Nilai tegangan y sebetulnya lebih besar dari p. Tetapi karena perbedaannya sangat kecil, maka tegangan p ≈ y.

Bagaimana menentukan tegangan sp ?

Karena penentuan y tidak dapat diperoleh secara langsung pada saat pengujian material dan tegangan patah merupakan data yang dapat diamati secara langsung tetapi tidak digunakan secara langsung pada analisa kekuatan material, maka tegangan patah pada umumnya digunakan sebagai penciri atau nama dari satu material.

Apa fungsi dari kekuatan

/ tegangan patah

Kode Baja Tegangan Leleh Tegangan Patah

St 37 240 MPa 370 MPa

St 42 260 MPa 420 MPa

St 46 290 MPa 460 MPa

St 52 360 MPa 520 MPa

Contoh cara pemberian nama material baja

Penyederhanaan penggambaran diagram

tegangan regangan

Pada perencanaan kekuatan bahan baja, maka tegangan penting yang sangat diperlukan adalah y. Tegangan ini merupakan “batas “antara daerah elastis dan plastis. y merupakan tegangan maksimum yang diperbolehkan terjadi pada bahan pada saat menderita tegangan.

y merupakan batas tegangan

antara kondisi elstis dan kondisi leleh.

Pada saat bahan menderita tegangan y, maka bahan sudah ada dalam kondisi kritis, meskipun bahan belum mengalami kehancuran.

Pada saat bangunan atau struktur beroperasi atau digunakan kadang-kadang akan

mengalami pembebanan diluar rencana.

Sebagai contoh pada saat mengalami beban gempa atau beban angin atau beban-beban lain akibat peristiwa alam yang tidak bisa

diprediksi kapan dan berapa besarnya (uncertainty/unpredictable).

Jika tegangan yang terjadi pada struktur

diijinkan sampai pada tegangan y, maka kita akan berhadapan dengan persoalan yang

sangat rumit.

Bagaimana cara merencanakan elemen

struktur yang lebih baik ?

Pada saat menahan beban, sebaiknya elemen struktur mengalami tegangan yang

jauh lebih kecil dari y.

Jika struktur mengalami pembebanan yang sulit untuk

diprediksi, diharapkan tegangan yang terjadi pada

elemen struktur masih lebih kecil dari y.

≤ y

Untuk mengatasi ketidak-pastian pembebanan, maka tegangan yang

terjadi pada elemen struktur ( ) sebaiknya jauh dari y “ << y”.

Beberapa teori menggunakan nilai tertentu sebagai faktor keamanan

SF

σyσ

SF = safety factor = angka keamanan

Makin besar harga SF, maka bangunan atau struktur direncanakan makin aman.

SF

σyi

iσ

SF

σyσ

i = tegangan normal ijin i = tegangan geser ijin

Contoh pada material baja : SF = 1.5 Jika baja mempunyai y = 240 Mpa, maka i (tekan

atau tarik) = 160 MPa. i diambil 0.56 i=96 MPa

Pada perencanaan struktur dari baja maka tegangan normal pada elemen struktur tidak boleh melebihi 160 MPa dan tegangan geser tidak boleh melebihi 96 MPa

τiτ

Contoh lain pada material beton dengan tegangan tekan ijin = 30 Mpa, tegangan tarik ijin = 4 Mpa dan tegangan geser ijin = 3 Mpa

Pada material Kayu, tegangan normal ijin

sejajar serat 15 Mpa, tegangan ijin tegak lurus serat = 4 MPa dan tegangan geser ijin = 2 Mpa.

Contoh sebuah balok kayu dengan bentang 4 meter ukuran penampang 8x15 cm2 menderita beban 1 kN/m. Tegangan ijin kayu i = 10 Mpa dan i = 2 MPa. Kontrol apakah ukuran kayu

mampu menahan beban tersebut di atas.

Mmax = 1/8*1*42 kNm= 2 kNm Dmax = ½ qL = 2 kN W = 1/6*b*h2 = 0.0003 m3

max = M/W = 6666.67 kN/m2 = 6.67 Mpa max = 3/2 D/bh= 250 kN/m2 = 0.25 MPa

max < i max < i

Balok kuat

Contoh yang sama tetapi ukuran penampang 6x12 cm2.

Mmax = 1/8*1*42 kNm= 2 kNm Dmax = ½ qL = 2 kN W = 1/6*b*h2 = 0.000144 m3

max = M/W = 13888.89 kN/m2 = 13.89 Mpa max = 3/2 D/bh= 416.667 kN/m2 = 0.417 MPa

max > i max < i

Balok tidak kuat

Jika SF menunjukkan keamanan material struktur pada saat menahan beban. Makin besar SF, maka

struktur didesain makin aman tetapi akan memberikan dampak ukuran penampang akan makin

besar jika menahan beban yang sama.

Tegangan ijin yang makin kecil juga memberikan gambaran tingkat kemampuan material pada saat

menahan beban.

Material Baja akan lebih kuat dari beton atau kayu dalam menahan beban

SF

σyσ

SF

σyi

Contoh sebuah balok dengan bentang 4 meter menderita beban 1 kN/m. Tentukan perbedaan ukuran penampang minimum yang diperlukan jika

balok didesain menggunakan kayu dan baja dengan ketentuan sbb : Tegangan ijin kayu i = 10 Mpa dan i = 2 MPa. Tegangan ijin baja i =

160 Mpa dan i = 96 Mpa. Penampang balok berbentuk 4pp dengan ukuran lebar = ½ kali ukuran tinggi balok.

Mmax = 1/8*1*42 kNm= 2 kNm Dmax = ½ qL = 2 kN W = 1/6*b*h2 = ⅔ b3

A = b*h = 2 b2

Dengan menggunakan kayu :

cm6.69bm0.0669b

10000

3b

m

kN10000

4b

12σmax

MPa10

(2b)*b*6

1

2σmax

3

23

2

cm74.2bm0.0274b

4000

3b

m

kN2000

2b

3max

MPa22b*b

2*

2

3max

2

22

Dari hasil perhitungan tersebut diatas, maka diambil ukuran balok kayu minimum 6.7 x 13.4 cm2

Kontrol perhitungan untuk material kayu :

MPa2MPa0.334m

kN334.15

0.134*0.067

2*

2

3τmax

2

MPa01MPa9.975m

kN63.9749

0.134*0.067*6

1

2max

22

Dengan menggunakan baja :

cm2.66bm0.0266b

160000

3b

m

kN160000

4b

12σmax

MPa160

(2b)*b*6

1

2σmax

3

23

2

cm4.0bm0.00395b

192000

3b

m

kN00069

2b

3max

MPa962b*b

2*

2

3max

2

22

Dari hasil perhitungan tersebut diatas, maka diambil ukuran balok baja minimum 2.7 x 5.4 cm2

Kontrol perhitungan untuk material baja :

MPa69MPa058.2m

kN613.0572

0.054*0.027

2*

2

3τmax

2

MPa016MPa416.521m

kN79.152415

0.054*0.027*6

1

2max

22