KOORDINAT Arum Handini Primandari

KOORDINAT CARTESIUS

Penomoran kuadran

dengan berlawanan

arah jarum jam

Titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1):- 𝑥1 merupakan koordinat-x

- 𝑦1 merupakan koordinat-y

Source: mathisfun.com

RUMUS JARAK

Rumus jarak berkenan dengan Teorema Pythagoras

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

Misalkan kita memiliki titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2), maka jarak antara P dan Q

y

x

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

R(x2,y1)

2 2

2 1 2 1d P,Q x x y y

Source:

https://commons.wikimedia.

org/wiki/File:Areaspitagor

as01.svg

JARAK

Contoh:

Tentukan jarak 𝑃( 2, 3) dan 𝑄(𝜋, 𝜋)

Penyelesaian:

𝑑 𝑃, 𝑄 = 2 − 𝜋2+ 3 − 𝜋

2

= 2 − 2 2𝜋 + 𝜋2 + 3 − 2 3𝜋 + 𝜋2

= 5 + 2𝜋2 − 2 2𝜋 − 2 3𝜋

= 2,23

JARAK TITIK KE GARIS

Jarak titik A(x0,y0) ke garis g:ax+by+c=0 dirumuskan:

Contoh:

jarak titik D (4,-1) ke garis 3x-4y=5, yaitu

0 0

2 2

ax by cd A,g

a b

3 4 4 ( 1) 5 11d

59 16

GARIS

Bentuk persamaan garis:

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 , atau

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Dimana: 𝑚 merupakan koefisien, sementara 𝑏 merupakan konstanta

Secara grafik, fungsi linier merupakan garis lurus dengan gradien sebesar m.

Bentuk umum persamaan garis dapat dituliskan: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, yang memiliki

gradien sebesar 𝑚 = −𝑎

𝑏

PERSAMAAN GARIS

Bila garis mempunyai gradient 𝑚 dan titik (𝑥0, 𝑦0), maka bentuk persamaangarisnya adalah:

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)

Bila garis melaui 𝑥1, 𝑦1 dan (𝑥2, 𝑦2) maka bentuk persamaan garisnyaadalah:

𝑦 − 𝑦1𝑦2 − 𝑦1

=𝑥 − 𝑥1𝑥2 − 𝑥1

HUBUNGAN DUA GARIS

Dua garis saling sejajar (parallel) apabila:

𝑚1 = 𝑚2

Dua garis saling tegak lurus (perpendicular) apabila

𝑚1 ×𝑚2 = −1

Source:

https://saylordotorg.github.io/text_elementary-

algebra/s06-06-parallel-and-perpendicular-lin.html

PERSAMAAN LINGKARAN• Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak yang

tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat)

• Andaikan (x,y) adalah titik sembarang pada lingkaran, maka menurut rumusjarak:

𝑟 = 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2

⇔ 𝑟2 = 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2

• Lingakaran tersebut: • Berjari-jari r

• Berpusat di P(a,b)

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN

• Bentuk umum persamaan lingkaran:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

• Lingkaran tersebut:

• Berpusat di: −𝐴

2, −

𝐵

2

• Berjari-jari: 𝑟 =𝐴2

4+

𝐵2

4− 𝐶

LATIHAN 1

Purcel 0.3:

Tentukan persamaan garis:

Tentukan titik pusat dan jari-jari

lingkarang:

Tentukan persamaan lingkaran:

SISTEM KOORDINAT KUTUB

Titik P adalah perpotongan antara lingkarandengan sinar garis O. Jika r adalah jari-jarilingkaran dan θ adalah sudut antara sinar garis dengan

sumbu kutub, maka (r, θ) dinamakan koordinatkutub (polar)o

𝑃(𝑟, 𝜃)

x

RUMUS TITIK TENGAH

• Diberikan titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1) dan 𝑄 𝑥2, 𝑦2 , dimana𝑥1 < 𝑥2. Apabila M merupakan titik yang terletakdi tengah segmen garis yang terbentuk antara PQ maka:

𝑀 =𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2

Misalkan sumbu kutub berimpit dengan sumbu X pada koordinat kartesius, maka akan berlaku hubungan berikut:

𝜃

P(x,y)=(r,𝜃)

x

y

ytan

x

ysin

r

xcos

r

2 2 2

x r cos

y r sin

r x y

LATIHAN 2

1. Tentukan koordinat kutub dari 3,− 3

2. Tentukan koordinat kartesius dari 4,2

3𝜋

3. Tentukan persamaan kutub dari 2𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0