komputasi terapan_pertemuan1_08092012
TRANSCRIPT
TEKNIK KOMPUTASI
(KOMPUTASI TERAPAN)
Prepared by:
Nazori AZ
Universitas Budi Luhur, Magister Komputer2011
Implementasi dengan Matlab
Matriks dan Komputasi
Mengenalkan matriks dan jenis-jenis matrik.Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.Mendeklarasikan elemen-elemen matriks ke dalam memori komputer.Membuat script operasi matriks.
BAB 1
TujuanAgar mahasiswa mempunyai pengetahuan dasar tentang konsep2 tentang matriks, operasi matriks, jenis matriks, transformasi elementer baris dan kolom pada matriks, matriks ekivalen, matriks elementer, ruang baris, dan ruang kolom dari matriks, rank matriks, partisi matriks dan implementasinya.
OutcomeMahasiswa mempunyai kemampuan untuk melakukan konsep2 matriks dan dapat menerapkan dalam bidang pengolahan citra.
1.1. Pengenalan Matriks
No Massa(kg)
Kecepatan(km/jam)
Tinggi(meter)
Panjang(meter)
Harga(juta Rp.)
1 2000 50 2.7 3,5 300
2 900 75 2,0 3,0 200
3 700 150 1,5 2,3 400
4 300 400 1,2 2,0 700
5 1000 100 2,5 2,4 550
Misalkan ada 5 buah mobil yang diamati mempunyai ciri2 seperti data yang disajikan sbb.
Bila vektor-vektor tersebut dikumpulkan menjadi satu, maka akan diperoleh data baru yang berbentuk 2 dimensi, yaitu 5 baris dan 5 kolom.
5004,25,21001000
7000,22,1400300
4003,25,1150700
2000,30,275900
3005,37,2502000
v
Sebuah data yang berbentuk 2 dimensi, disebut matriks
Notasi suatu matrik berukuran m x n ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya Am x n . Huruf m menyatakan jumlah baris, dan huruf n jumlah kolom. Suatu matrik tersusun dari elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil diikuti angka-angka indeks,misalnya aij , dimana indeks i menunjukan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom ke-j.
mnm
n
n
ijmxn
aa
aaa
aaa
aA
.........
...............
...............
......
......
1
22221
11211
Contoh 1: matriks A2x3
789
532A
Dimana masing2 elemennya: a11 = 2, a12 = 3, a13 = 5, a21 = 9, a22 = 8, a23 = 7
Contoh 2: matriks B3x2
78
95
32
B
Dimana masing2 elemennya: b11 = 2, b12 = 3, b23 = 5, b22 = 9, b31 = 8, b32 = 7
Dalam bahasa pemrograman Matlab, cara mengisi memori komputer dengan elemen-elemenmatrik A2x3 sesuai dengan Contoh 1 adalah
1 clear all2 clc3 4 A(1,1) = 2;5 A(1,2) = 3;6 A(1,3) = 5;7 A(2,1) = 9;8 A(2,2) = 8;9 A(2,3) = 7;10 A
1 clear all2 clc34 B(1,1) = 2;5 B(1,2) = 3;6 B(2,1) = 1;7 B(2,2) = 9;8 B(3,1) = 8;9 B(3,2) = 7;10 B
Untuk matriks B3x2 , contoh 2 adalah:
1 clear all2 clc34 A=[ 3 8 55 6 4 7 ];67 B=[ 1 38 5 99 2 4 ];atau1 clear all2 clc34 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ];5 B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];
atau dapat juga dalam bentuk yang lebih sederhana:
mnm
n
n
ijmxn
aa
aaa
aaa
aAA
.........
...............
...............
......
......
1
22221
11211
mnm
n
n
ijmxn
bb
bbb
bbb
bBB
.........
...............
...............
......
......
1
22221
11211
1.2. 0PERASI PADA MATRIKS
Misalkan diketahui 2 matriks A dan B
mnmnmm
nn
nn
ijij
baba
bababa
bababa
baBA
.........
...............
...............
......
......
][
11
2222222121
1112121111
1.2.1. Penjumlahan Matriks
Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut berukuran sama.
Contoh:
41035
2675
9841
A
40325
2695
7821
Bdan
Maka:
810620
4121610
161660
BA
1.2.1.a. Komputasi Penjumlahan Matriks
Program Matlab algoritma untuk penjumlahan kedua matrik tersebut adalah:
1 for i=1:32 for j=1:43 C(i,j)=A(i,j)+B(i,j);4 end5 end
Perhatikan penulisan indeks i harus didahulukan daripada indeks j. Jika ukuran matrik dinyatakan secara umum sebagai m x n, dimana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom, maka bentuk pernyataan komputasinya dalam matlab menjadi
1 for i=1:m2 for j=1:n3 C(i,j)=A(i,j)+C(i,j);4 end5 end
Program untuk menjumlahkan kedua matrik berikut dalam matlab adalah:
746
583A
127
359C
dan
1 clear all2 clc34 A(1,1) = 3;5 A(1,2) = 8;6 A(1,3) = 5;7 A(2,1) = 6;8 A(2,2) = 4;9 A(2,3) = 7;10 C(1,1) = 9;11 C(1,2) = 5;12 C(1,3) = 3;13 C(2,1) = 7;14 C(2,2) = 2;15 C(2,3) = 1;16 m=217 n=318 for i=1:m19 for j=1:n20 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);21 end22 end
1 Clear all2 Clc
3 A=[3 8 5; 6 4 7];4 C=[9 5 3; 7 2 1];5 D=A + C
Atau dalam matlab lebih simple dapat ditulis:
1.2.1.b. Komputasi penjumlahan Matriks dalam pengolahan citra digital
Operasi penjumlahan dalam aplikasi citra digital merupakan operasi kecerahan (brightness), yaitu suatu matriks dari citra gambar ditambah dengan matriks konstan.
Contoh 1, sebuah matriks citra gambar cameramen berukuran 256 x 256, dilakukan operasi penjumlahan dengan matriks konstan yg. bernilai positif
citra original proses brightness
Program Matlab
clear all clc RGB = imread('cameraman.tif'); RGB2 = imadd(RGB,50); subplot(1,2,1); imshow(RGB); subplot(1,2,2); imshow(RGB2);
citra original proses brightness
Contoh 2, sebuah matriks citra gambar cameramen berukuran 256 x 256, dilakukan operasi penjumlahan dengan matriks konstan yg. bernilai negatif.
clear all clc RGB = imread('cameraman.tif'); RGB2 = imsubtract(RGB,60); subplot(1,2,1); imshow(RGB); subplot(1,2,2); imshow(RGB2);
Contoh lain proses brightness pada citra penguins
citra original proses brightness
1.2.2. Perkalian Matriks
Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuransama seperti pada penjumlahan dua matrik.
ikjkij CBxA
Misalkan matrik A dan B:
mnm
n
n
aa
aaa
aaa
A
......
............
...
...
1
22221
11211
bnmb
bbb
bbb
B
n
m
m
......
............
...
...
1
22221
11211
Maka matriks: Amn x Bnm = Cmm
548966743916
578562773512
57
83
61
496
752
xxxxxx
xxxxxxxA
12861
8766A
Contoh perkalian matriks
jadi
Perkalian matriks dengan skalar:
mnm
n
n
kaka
kakaka
kakaka
kA
......
............
...
...
1
22221
11211
k = konstanta
1.2.2.a. Komputasi Perkalian Matriks
Program Matlab algoritma untuk perkalian kedua matrik Anxm dan Bmxp
1 for i=1:n2 for j=1:p3 E(i,j)=0.0;4 end5 end6 for i=1:n7 for j=1:p8 for k=1:m9 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);10 end11 end12 end
1.2.2.b. Komputasi perkalian Matriks dalam pengolahan citra digital
Selain menggunakan operasi penjumlahan matriks, brightness juga bisa menggunakan operasi perkalian matriks dengan skalar. Secara umum proses perkalian matrik dengan skalar disebut scaling. Bila factor scaling yang digunakan lebih besar dari satu, scaling brightness dari citra dan jika factor scaling yang digunakan lebih kecil dari satu, scaling darkness.
Contoh 1, sebuah matriks citra gambar bunga tulips, dilakukan operasi perkalian dengan matriks konstan yg. Lebih besar satu (brightness)
citra original proses brightness
clear all clc RGB=imread(‘C:\Users\DELL\Documents\Tulips.jpg’); RGB2 = immultiply(RGB,1.2); subplot(1,2,1); imshow(RGB); subplot(1,2,2); imshow(RGB2);
%Script dalam MATLAB
Contoh 2, sebuah matriks citra gambar bunga tulips, dilakukan operasi perkalian dengan matriks konstan yg. kurang dari satu (darkness)
clear all clc RGB=imread(‘C:\Users\DELL\Documents\Tulips.jpg’); RGB2 = immultiply(RGB,0.5); subplot(1,2,1); imshow(RGB); subplot(1,2,2); imshow(RGB2);
Operasi blending dan Negasi
1). Operasi blending dalam pengolahan citra digital adalah operasi pengabungan dua citra atau lebih, yang merupakan penjumlahan dari operasi perkalian ke-dua matriks dengan skalar. C = w1.A + w2 . B w1 + w2 = 1
2). Operasi negasi dalam pengolahan citra digital adalah operasi pengurangan matriks konstan dengan matriks (citra) sembarang.
C = k – A, k = matriks konstan
Tugas dan latihan:Diketahui matriks sebagai berikut
1534
7621
5490
8223
7329
5048
9673
1532
BdanA
Ditanya:a). Tentukan operasi blending dari kedua matriks diatas, jika diketahui, w1 = w2
b). Tentukan operasi negasi dari matriks diatas, jika elemen matriks k = 200c). Implementasikan dalam pengolahan citra digital dari operasi matriks soal a) dan b) diatas.
1.3. Macam-macam matriks
1.3.1. Matrik transposeOperasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen dalam satu kolom menjadi elemen-elemen dalam satu baris; demikian pula sebaliknya. Notasi matrik tranposeadalah AT atau At.Contoh , Operasi transpose terhadap matrik A
7591
3065
2473
9832
7329
5048
9673
1532
TAmakaA
Sifat dari matriks transpose:
TTT
TT
TT
TTT
ABAB
kAAk
AA
BABA
.4
.3
.2
.1
Contoh matriks transpose dari citra cameraman
citra original hasil transpose
1.3.2. Matrik bujur sangkar
Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama, Anxn.
Contoh : Matrik bujursangkar berukuran 4x4 atau sering juga disebutmatrik bujursangkar orde 4
7329
5048
9673
1532
A
1.3.3. Matriks satuan (identitas)
Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.Contoh matriks Indentitas 4 x 4
1000
0100
0010
0001
I
Sifat matriks identitas: I A = A I = A
1.3.4. Matriks simetris
Matrik simetris adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik A bernilai sama dengan matrik transpose-nya.
A = AT
Contoh matriks simetris:
7491
4065
9673
1532
A
7491
4065
9673
1532
TA
1.3.5. Matriks diagonal
Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonalnya atau disebut juga matriks skalar
7000
0800
0070
0002
A
1.3.6. Matriks segitiga bawah (lower-triangular)
Matrik lower-triangular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diagonal bernilai 0 (nol).
7197
0856
0074
0002
A
1.3.7. Matriks segitiga atas (upper-triangular)
Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen diagonalbernilai 0 (nol).
7000
4800
9670
1532
A
Beberapa Script dalam MATLAB
Transpose matriks : A =A’Matriks konstan 0 (semua elemen 0) : Z = zeros(2,4)Matriks konstan 1 (semua elemen 1) : F = 5*ones(3,3)Matriks satuan : eye(n)
BAB 2
METODE ELIMINASI GAUSS
- Objektif : ⊲ Mengenalkan sistem persamaan linear. ⊲ Mengenalkan teknik triangularisasi dan substitusi
mundur. ⊲ Aplikasi metode Eliminasi Gauss menggunakan matrik. ⊲ Membuat algoritma metode Eliminasi Gauss. ⊲ Menghitung invers matrik menggunakan metode
Eliminasi Gauss.
2.1 Sistem persamaan linear
Secara umum, sistem persamaan linear dinyatakan sebagai berikut:
dimana a dan b merupakan konstanta, x adalah variable, n = 1, 2, 3, ....
nnnnnnnn bxaxaxaxaP .........: 332211
432:
323:
12:
43:
43214
43213
43212
4211
xxxxP
xxxxP
xxxxP
xxxP
Contoh :1. Misalnya ada sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu: 4321 ,, PdanPPP
Problem dari sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti bagi variabel x1, x2, x3, dan x4 sehingga semua persamaan diatas menjadi benar. Langkah awal penyelesaian problem tersebut adalah dengan melakukan penyederhanaan sistem persamaan linear.
Persamaan diatas dapat diselesaikan dengan beberapa cara untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana, namun masalahnya, kita ingin mendapatkan sebuah algoritma program yang nantinya bisa berjalan di komputer, sedemikian rupa sehingga apapun persamaannya, bisa disederhanakan oleh komputer. Kita akan berpatokan pada aturan operasi untuk menyederhanakan sistem persamaan linear di atas, yaitu dengan menghilangkan x1, x2, dst.
1. Meng-eliminir x1 , yaitu dengan cara:
144
133
122
3
2
PPP
PPP
PPP
8233:
1574:
75:
43:
4324
4323
4322
4211
xxxP
xxxP
xxxP
xxxPMaka hasilnya:
2. Meng-eliminir x2 , yaitu dengan cara:
244
233
3
4
PPP
PPP
1313:
13133:
75:
43:
44
433
4322
4211
xP
xxP
xxxP
xxxP
Maka hasilnya:
Pada langkah ke-dua ini persamaan diatas sudah sederhana, bentuk akhir dari persamaan diatas dikenal dengan bentuk triangular. Selanjutnya kita dapat mencari nilai pengganti variabelnya dengan mudah dimulai dari x4 proses ini dikenal dengan proses backward substitution .Jadi solusinya adalah:
10,2,1 4321 xdanxxx
434:
2:
203322:
82:
43214
3213
43212
43211
xxxxP
xxxP
xxxxP
xxxxP
2. Tentukan solusi dari persamaan linier berikut ini:
2.2. Metode Eliminasi Gauss dengan Matriks
Sejumlah matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear secara umum dapat ditulis dalam bentuk seperti berikut ini:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.........
......................................................
......................................................
.........
.........
2211
22222121
11212111
bn
b
b
xn
x
x
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
.........
....
................
....
....
2
1
2
1
21
22221
11211
Kalau dinyatakan dalam bentuk matriks:
Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss, bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi suatu matrik yang berukuran n x (n+1), yaitu mengubah matriks lengkap (matriks augmented) dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE) sehingga diperoleh matriks segitiga atas yg baru.
A x = b
.
....
....................
....
....
21
222221
111211
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaaMatriks baru berukuran nx(n+1) dapat ditulis:
Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga atas yang berbentuk:
.
....00
............00
....0
....
2222
111211
nnn
n
n
ba
baa
baaa
Sehingga dapat diselesaikan dengan teknik backward substitution
Contoh:
Hitunglah solusi dari persamaan linier berikut:
432
323
12
43
4321
4321
4321
421
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
Penyelesaian:
Bentuk matriks lengkapnya:
.
41321
32113
11112
43011
Kemudian kita lakukan operasi triangular terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama, yaitu mengubah matriks menjadi matriks segitiga atas
13
13
7
4
.
13000
13300
5110
3011
4
3
2
1
x
x
x
x
Selanjutnya dapat diselesaikan dengan teknik backward substitution
.
1313000
1313300
75110
43011
2.3. Metode Eliminasi Gauss – Jordan
Metode ini prosesnya sama dengan eliminasi gauss, metode eliminasi Gauss – Jordan merupakan perluasan dari eliminasi Gauss. Matriks lengkap yang dikenai OBE diubah sedemikian sehingga menjadi matriks satuan.
.
1000
0100
0010
0001
4
3
2
1
x
x
x
x
Tugas/latihan, lakukan solusi untuk contoh diatas dengan menggunakan eliminasi Gauss – Jordan dan buatlah script dalam MATLAB, dari pemrograman sampai keluarannya dengan metode eliminasi Gauss.
Contoh algoritma script eliminasi gauss dalam matlab
1 clear all2 clc3 A(1,1)=1;4 A(1,2)=1;5 A(1,3)=-1;6 A(1,4)=0;7 A(2,1)=6;8 A(2,2)=-4;9 A(2,3)=0;10 A(2,4)=24;11 A(3,1)=6;12 A(3,2)=0;13 A(3,3)=2;14 A(3,4)=10;15 A
16 n=3 %jumlah persamaan17 pause1819 %== Proses Triangularisasi ==20 for j=1:(n-1)2122 %----mulai proses pivot---23 if (A(j,j)==0)24 for p=1:n+125 u=A(j,p);26 v=A(j+1,p);27 A(j+1,p)=u;28 A(j,p)=v;29 end30 end
31 %----akhir proses pivot---32 jj=j+1;33 for i=jj:n34 m=A(i,j)/A(j,j);35 for k=1:(n+1)36 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));37 end38 end39 end40 A41 pause42 %= Akhir Proses Triangularisasi =
4344 %---Proses Substitusi mundur----45 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);4647 for i=n-1:-1:148 S=0;49 for j=n:-1:i+150 S=S+A(i,j)*x(j,1);51 end52 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);53 end54 x
2.4. Invers Matriks
4
3
2
1
4
2
1
21
22221
11211
.....
....
................
....
....
b
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
Kita tinjau sistem persamaan linier yg dalam bentuk matriks dapat ditulis sbb:
.
....
................
....
....
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
4
2
1
....
x
x
x
x
4
3
2
1
b
b
b
b
b
Atau: A x = b
Matriks A, matriks bujur sangkar non-singular (matriks yang determinannya ≠ 0) jika dikalikan dengan suatu matriks maka akan menghasilkan matriks satuan (indentitas), maka matriks tersebut dinamakan matriks invers atau invers dari matriks A
.
1....00
............
0....10
0....01
11
AAAA
2.4. 1. Invers Matriks menggunakan transformasi elementer
Contoh: Tentukan invers matriks beriktu ini
314
532
001
A
Jawab:
104310
012530
001001
100314
010532
001001122
143
bb
bb
Lanjutkan OBE nya......
4/34/12/5100
4/54/32/7010
001001
Terakhir akan kita dapatkan matriks seperti berikut ini:
4/34/12/5
4/54/32/7
0011A
Maka invers dari matriks A adalah:
2.4. 2. Invers Matriks menggunakan matriks adjoint
0)det(,)det(
).(1 AdanA
AadjA
Invers dari suatu matriks A didefinisikan:
Adj.(A) = Adjoint A adalah matriks transpose dari matriks kofaktor Adet(A) = determinan matriks A
314
532
001
A
Contoh: Tentukan invers matriks beriktu ini dengan menggunakan matriks adjoint
Jawab:
Mencari kofaktor matriks A:
431
53.)1( 11
11 a 1434
52.)1( 21
12 a
teruskan untuk
.........,,, 222113 aaa
Maka matriks adjoint A adalah transpose dari matriks kofaktor A
3110
5314
004
)(AAdj
dan determinan matriks A:
4
314
532
001
)det( A
4/34/12/5
4/54/32/7
001
)det(
).(1
A
AadjA
Jadi:
%Script program dalam MATLABclear allclc A=[1 0 0; 2 3 5; 4 1 3];Adet(A)inv(A)
%hasil:A = 1 0 0 2 3 5 4 1 3ans = 4.0000ans = 1.0000 -0.0000 0.0000 3.5000 0.7500 -1.2500 -2.5000 -0.2500 0.7500
2.5. Penyelesaian SPL dengan Invers Matriks
4
3
2
1
4
2
1
21
22221
11211
.....
....
................
....
....
b
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
Tinjau SPL berikut:
bAX
bAAXA
BAX
1
11
Contoh: hitunglah solusi dari sistem persamaan linier berikut ini
2x + y – z = 33x + 2y – 4z = 1x + 4y + z = 15
Jawab :
15
1
3
.
141
423
112
z
y
x
15
1
3
19/119/719/10
19/519/319/7
19/219/519/18
.1 bAx
2
3
1
x
dan
Jadi solusi SPL adalah: x = 1, y = 3 dan z = 2
Hitunglah solusi dari SPL berikut ini dengan metode inves matriks dan lengkap dengan menggunakan script MATLAB
432
323
12
43
4321
4321
4321
421
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
TUGAS
2.6. APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINIER
2.6.1. menghitung arus listrikContoh hitung besarnya arus listrik pada rangkaian dibawah ini:
42 V
6 V
3 Ω
3 Ω
4 Ω 6 Ω
6 Ω
4 Ω
+
+
-
-
Dari rangkaian terdapat 3 buah loop tertutup, yang masing2 kita namai I1 , I2 , dan I3
42 V
6 V
3 Ω
3 Ω
4 Ω 6 Ω
6 Ω
4 Ω
+
+
-
-
I1
I2 I3
Persamaan masing2 loop adalah:
426416
423463:1
321
121311
III
IIIIIIloop
6104
646:2
21
122
II
IIIloop
6106
646:3
31
313
II
IIIloop
6
6
42
.
1006
0104
6416
3
2
1
I
I
I
di jadikan dalam bentuk matriks:
A = 16 -4 -6 -4 10 0 -6 0 10
ans = 0.0926 0.0370 0.0556 0.0370 0.1148 0.0222 0.0556 0.0222 0.1333
I = 3.7778 2.1111 1.6667
Hasil perhitungan dengan menggunakan MATLAB
42 V
6 V
3 Ω
3 Ω
4 Ω 6 Ω
6 Ω
4 Ω
+
+
-
-
Sekarang kita mencari arus yg. mengalir pada tiap cabang, langkah selanjutnya kita namai cabang2 nya sehingga rangkaian menjadi:
ia
ibic
id
ie if
I1
I3
I2
A B
Hukum Kirchoff arus menyatakan bahwa jumlah arus yang masuk dalam suatu simpul sama dengan arus yg. Meninggalkannya.Dengan demikian kita sesuaikan dulu arus loop dengan cabang nya, maka
6667,1
1111,2
7778,3
3
2
1
f
b
ad
iI
iI
iiI
Perhatikan simpul A : cba iii
Simpul B: fde iii
AiAiAi
AiAiAi
fed
cba
6667,11111,27778,3
6667,11111,27778,3
Jadi:
4 V
7 V
29 V
2 Ω 4 Ω
1 Ω
5 Ω
3 Ω
Tugas latihan:
1. Tentukan nilai arus tiap cabang
2. Gambar dibawah ini menunjukan arus lalu lintas yg. melewati titik2 cabang A, B, C dan D di jalan raya pada jam sibuk. Tentukan besarnya x1 , x2 , x3 dan x4 (gunakan Hukum Kircoff tentang arus)
600
500
600
100
100
400
1000
1000
A B
C D
x1
x2x3
x4
3. Tentukan solusi SPL berikut ini :
162
10
703106
12423
zyxw
zyxw
zyxw
zyxw
11 V
9 V
3 Ω 2 Ω
4 Ω
1 Ω
5 Ω 6 Ω
4 V
7 V