komputasi terapan

TEKNIK KOMPUTASI

(KOMPUTASI TERAPAN)

Prepared by:

Nazori AZ

Universitas Budi Luhur, Magister Komputer2011

Implementasi dengan Matlab

Matriks dan Komputasi

Mengenalkan matriks dan jenis-jenis matrik.Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.Mendeklarasikan elemen-elemen matriks ke dalam memori komputer.Membuat script operasi matriks.

BAB 1

TujuanAgar mahasiswa mempunyai pengetahuan dasar tentang konsep2 tentang matriks, operasi matriks, jenis matriks, transformasi elementer baris dan kolom pada matriks, matriks ekivalen, matriks elementer, ruang baris, dan ruang kolom dari matriks, rank matriks, partisi matriks dan implementasinya.

OutcomeMahasiswa mempunyai kemampuan untuk melakukan konsep2 matriks dan dapat menerapkan dalam bidang pengolahan citra.

1.1. Pengenalan Matriks

No Massa(kg)

Kecepatan(km/jam)

Tinggi(meter)

Panjang(meter)

Harga(juta Rp.)

1 2000 50 2.7 3,5 300

2 900 75 2,0 3,0 200

3 700 150 1,5 2,3 400

4 300 400 1,2 2,0 700

5 1000 100 2,5 2,4 550

Misalkan ada 5 buah mobil yang diamati mempunyai ciri2 seperti data yang disajikan sbb.

Bila vektor-vektor tersebut dikumpulkan menjadi satu, maka akan diperoleh data baru yang berbentuk 2 dimensi, yaitu 5 baris dan 5 kolom.

5004,25,21001000

7000,22,1400300

4003,25,1150700

2000,30,275900

3005,37,2502000

v

Sebuah data yang berbentuk 2 dimensi, disebut matriks

Notasi suatu matrik berukuran m x n ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya Am x n . Huruf m menyatakan jumlah baris, dan huruf n jumlah kolom. Suatu matrik tersusun dari elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil diikuti angka-angka indeks,misalnya aij , dimana indeks i menunjukan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom ke-j.

mnm

n

n

ijmxn

aa

aaa

aaa

aA

.........

...............

...............

......

......

1

22221

11211

Contoh 1: matriks A2x3

789

532A

Dimana masing2 elemennya: a11 = 2, a12 = 3, a13 = 5, a21 = 9, a22 = 8, a23 = 7

Contoh 2: matriks B3x2

78

95

32

B

Dimana masing2 elemennya: b11 = 2, b12 = 3, b23 = 5, b22 = 9, b31 = 8, b32 = 7

Dalam bahasa pemrograman Matlab, cara mengisi memori komputer dengan elemen-elemenmatrik A2x3 sesuai dengan Contoh 1 adalah

1 clear all2 clc3 4 A(1,1) = 2;5 A(1,2) = 3;6 A(1,3) = 5;7 A(2,1) = 9;8 A(2,2) = 8;9 A(2,3) = 7;10 A

1 clear all2 clc34 B(1,1) = 2;5 B(1,2) = 3;6 B(2,1) = 1;7 B(2,2) = 9;8 B(3,1) = 8;9 B(3,2) = 7;10 B

Untuk matriks B3x2 , contoh 2 adalah:

1 clear all2 clc34 A=[ 3 8 55 6 4 7 ];67 B=[ 1 38 5 99 2 4 ];atau1 clear all2 clc34 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ];5 B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];

atau dapat juga dalam bentuk yang lebih sederhana:

mnm

n

n

ijmxn

aa

aaa

aaa

aAA

.........

...............

...............

......

......

1

22221

11211

mnm

n

n

ijmxn

bb

bbb

bbb

bBB

.........

...............

...............

......

......

1

22221

11211

1.2. 0PERASI PADA MATRIKS

Misalkan diketahui 2 matriks A dan B

mnmnmm

nn

nn

ijij

baba

bababa

bababa

baBA

.........

...............

...............

......

......

][

11

2222222121

1112121111

1.2.1. Penjumlahan Matriks

Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut berukuran sama.

Contoh:

41035

2675

9841

A

40325

2695

7821

Bdan

Maka:

810620

4121610

161660

BA

1.2.1.a. Komputasi Penjumlahan Matriks

Program Matlab algoritma untuk penjumlahan kedua matrik tersebut adalah:

1 for i=1:32 for j=1:43 C(i,j)=A(i,j)+B(i,j);4 end5 end

Perhatikan penulisan indeks i harus didahulukan daripada indeks j. Jika ukuran matrik dinyatakan secara umum sebagai m x n, dimana m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom, maka bentuk pernyataan komputasinya dalam matlab menjadi

1 for i=1:m2 for j=1:n3 C(i,j)=A(i,j)+C(i,j);4 end5 end

Program untuk menjumlahkan kedua matrik berikut dalam matlab adalah:

746

583A

127

359C

dan

1 clear all2 clc34 A(1,1) = 3;5 A(1,2) = 8;6 A(1,3) = 5;7 A(2,1) = 6;8 A(2,2) = 4;9 A(2,3) = 7;10 C(1,1) = 9;11 C(1,2) = 5;12 C(1,3) = 3;13 C(2,1) = 7;14 C(2,2) = 2;15 C(2,3) = 1;16 m=217 n=318 for i=1:m19 for j=1:n20 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);21 end22 end

1 Clear all2 Clc

3 A=[3 8 5; 6 4 7];4 C=[9 5 3; 7 2 1];5 D=A + C

Atau dalam matlab lebih simple dapat ditulis:

1.2.1.b. Komputasi penjumlahan Matriks dalam pengolahan citra digital

Operasi penjumlahan dalam aplikasi citra digital merupakan operasi kecerahan (brightness), yaitu suatu matriks dari citra gambar ditambah dengan matriks konstan.

Contoh 1, sebuah matriks citra gambar cameramen berukuran 256 x 256, dilakukan operasi penjumlahan dengan matriks konstan yg. bernilai positif

citra original proses brightness

Program Matlab

clear all clc RGB = imread('cameraman.tif'); RGB2 = imadd(RGB,50); subplot(1,2,1); imshow(RGB); subplot(1,2,2); imshow(RGB2);


Contoh 2, sebuah matriks citra gambar cameramen berukuran 256 x 256, dilakukan operasi penjumlahan dengan matriks konstan yg. bernilai negatif.

clear all clc RGB = imread('cameraman.tif'); RGB2 = imsubtract(RGB,60); subplot(1,2,1); imshow(RGB); subplot(1,2,2); imshow(RGB2);

Contoh lain proses brightness pada citra penguins


1.2.2. Perkalian Matriks

Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuransama seperti pada penjumlahan dua matrik.

ikjkij CBxA

Misalkan matrik A dan B:

mnm

n

n

aa

aaa

aaa

A

......

............

...

...

1

22221

11211

bnmb

bbb

bbb

B

n

m

m

......

............

...

...

1

22221

11211

Maka matriks: Amn x Bnm = Cmm

548966743916

578562773512

57

83

61

496

752

xxxxxx

xxxxxxxA

12861

8766A

Contoh perkalian matriks

jadi

Perkalian matriks dengan skalar:

mnm

n

n

kaka

kakaka

kakaka

kA

......

............

...

...

1

22221

11211

k = konstanta

1.2.2.a. Komputasi Perkalian Matriks

Program Matlab algoritma untuk perkalian kedua matrik Anxm dan Bmxp

1 for i=1:n2 for j=1:p3 E(i,j)=0.0;4 end5 end6 for i=1:n7 for j=1:p8 for k=1:m9 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);10 end11 end12 end

1.2.2.b. Komputasi perkalian Matriks dalam pengolahan citra digital

Selain menggunakan operasi penjumlahan matriks, brightness juga bisa menggunakan operasi perkalian matriks dengan skalar. Secara umum proses perkalian matrik dengan skalar disebut scaling. Bila factor scaling yang digunakan lebih besar dari satu, scaling brightness dari citra dan jika factor scaling yang digunakan lebih kecil dari satu, scaling darkness.

Contoh 1, sebuah matriks citra gambar bunga tulips, dilakukan operasi perkalian dengan matriks konstan yg. Lebih besar satu (brightness)


clear all clc RGB=imread(‘C:\Users\DELL\Documents\Tulips.jpg’); RGB2 = immultiply(RGB,1.2); subplot(1,2,1); imshow(RGB); subplot(1,2,2); imshow(RGB2);

%Script dalam MATLAB

Contoh 2, sebuah matriks citra gambar bunga tulips, dilakukan operasi perkalian dengan matriks konstan yg. kurang dari satu (darkness)

clear all clc RGB=imread(‘C:\Users\DELL\Documents\Tulips.jpg’); RGB2 = immultiply(RGB,0.5); subplot(1,2,1); imshow(RGB); subplot(1,2,2); imshow(RGB2);

Operasi blending dan Negasi

1). Operasi blending dalam pengolahan citra digital adalah operasi pengabungan dua citra atau lebih, yang merupakan penjumlahan dari operasi perkalian ke-dua matriks dengan skalar. C = w1.A + w2 . B w1 + w2 = 1

2). Operasi negasi dalam pengolahan citra digital adalah operasi pengurangan matriks konstan dengan matriks (citra) sembarang.

C = k – A, k = matriks konstan

Tugas dan latihan:Diketahui matriks sebagai berikut

1534

7621

5490

8223

7329

5048

9673

1532

BdanA

Ditanya:a). Tentukan operasi blending dari kedua matriks diatas, jika diketahui, w1 = w2

b). Tentukan operasi negasi dari matriks diatas, jika elemen matriks k = 200c). Implementasikan dalam pengolahan citra digital dari operasi matriks soal a) dan b) diatas.

Latihan:Diketahui matriks sebagai berikut

1534

7621

5490

8223

;

7329

5048

9673

1532

BA

Ditanya:a). A + Bb). A * Bc). B * Ad). C * Ae). C * Bf). A * C

41035

2675

9841

C

1.3. Macam-macam matriks

1.3.1. Matrik transposeOperasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen dalam satu kolom menjadi elemen-elemen dalam satu baris; demikian pula sebaliknya. Notasi matrik tranposeadalah AT atau At.Contoh , Operasi transpose terhadap matrik A

7591

3065

2473

9832

7329

5048

9673

1532

TAmakaA

Sifat dari matriks transpose:

TTT

TT

TT

TTT

ABAB

kAAk

AA

BABA

.4

.3

.2

.1

Contoh matriks transpose dari citra cameraman

citra original hasil transpose

1.3.2. Matrik bujur sangkar

Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama, Anxn.

Contoh : Matrik bujursangkar berukuran 4x4 atau sering juga disebutmatrik bujursangkar orde 4

7329

5048

9673

1532

A

1.3.3. Matriks satuan (identitas)

Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.Contoh matriks Indentitas 4 x 4

1000

0100

0010

0001

I

Sifat matriks identitas: I A = A I = A

1.3.4. Matriks simetris

Matrik simetris adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik A bernilai sama dengan matrik transpose-nya.

A = AT

Contoh matriks simetris:

7491

4065

9673

1532

A

7491

4065

9673

1532

TA

1.3.5. Matriks diagonal

Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonalnya atau disebut juga matriks skalar

7000

0800

0070

0002

A

1.3.6. Matriks segitiga bawah (lower-triangular)

Matrik lower-triangular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diagonal bernilai 0 (nol).

7197

0856

0074

0002

A

1.3.7. Matriks segitiga atas (upper-triangular)

Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen diagonalbernilai 0 (nol).

7000

4800

9670

1532

A

Beberapa Script dalam MATLAB

Transpose matriks : A =A’Matriks konstan 0 (semua elemen 0) : Z = zeros(2,4)Matriks konstan 1 (semua elemen 1) : F = 5*ones(3,3)Matriks satuan : eye(n)

BAB 2

METODE ELIMINASI GAUSS

- Objektif : ⊲ Mengenalkan sistem persamaan linear. ⊲ Mengenalkan teknik triangularisasi dan substitusi

mundur. ⊲ Aplikasi metode Eliminasi Gauss menggunakan matrik. ⊲ Membuat algoritma metode Eliminasi Gauss. ⊲ Menghitung invers matrik menggunakan metode

Eliminasi Gauss.

2.1 Sistem persamaan linear

Secara umum, sistem persamaan linear dinyatakan sebagai berikut:

dimana a dan b merupakan konstanta, x adalah variable, n = 1, 2, 3, ....

nnnnnnnn bxaxaxaxaP .........: 332211

432:

323:

12:

43:

43214

43213

43212

4211

xxxxP

xxxxP

xxxxP

xxxP

Contoh :1. Misalnya ada sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu: 4321 ,, PdanPPP

Problem dari sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti bagi variabel x1, x2, x3, dan x4 sehingga semua persamaan diatas menjadi benar. Langkah awal penyelesaian problem tersebut adalah dengan melakukan penyederhanaan sistem persamaan linear.

Persamaan diatas dapat diselesaikan dengan beberapa cara untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana, namun masalahnya, kita ingin mendapatkan sebuah algoritma program yang nantinya bisa berjalan di komputer, sedemikian rupa sehingga apapun persamaannya, bisa disederhanakan oleh komputer. Kita akan berpatokan pada aturan operasi untuk menyederhanakan sistem persamaan linear di atas, yaitu dengan menghilangkan x1, x2, dst.

1. Meng-eliminir x1 , yaitu dengan cara:

144

133

122

3

2

PPP

PPP

PPP

8233:

1574:

75:

43:

4324

4323

4322

4211

xxxP

xxxP

xxxP

xxxPMaka hasilnya:

2. Meng-eliminir x2 , yaitu dengan cara:

244

233

3

4

PPP

PPP

1313:

13133:

75:

43:

44

433

4322

4211

xP

xxP

xxxP

xxxP

Maka hasilnya:

Pada langkah ke-dua ini persamaan diatas sudah sederhana, bentuk akhir dari persamaan diatas dikenal dengan bentuk triangular. Selanjutnya kita dapat mencari nilai pengganti variabelnya dengan mudah dimulai dari x4 proses ini dikenal dengan proses backward substitution .Jadi solusinya adalah:

10,2,1 4321 xdanxxx

434:

2:

203322:

82:

43214

3213

43212

43211

xxxxP

xxxP

xxxxP

xxxxP

2. Tentukan solusi dari persamaan linier berikut ini:

2.2. Metode Eliminasi Gauss dengan Matriks

Sejumlah matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear secara umum dapat ditulis dalam bentuk seperti berikut ini:

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

.........

......................................................

......................................................

.........

.........

2211

22222121

11212111

bn

b

b

nx

x

x

nnanana

naaanaaa

....2

1

....2

1

.

....21

................2....2221

1....1211

Kalau dinyatakan dalam bentuk matriks:

Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss, bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi suatu matrik yang berukuran n x (n+1), yaitu mengubah matriks lengkap (matriks augmented) dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE) sehingga diperoleh matriks segitiga atas yg baru.

A x = b

.

....

....................

....

....

21

222221

111211

nnnnn

n

n

baaa

baaa

baaaMatriks baru berukuran nx(n+1) dapat ditulis:

Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga atas yang berbentuk:

.

....00

............00

....0

....

2222

111211

nnn

n

n

ba

baa

baaa

Sehingga dapat diselesaikan dengan teknik backward substitution

Contoh:

Hitunglah solusi dari persamaan linier berikut:

432

323

12

43

4321

4321

4321

421

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

Penyelesaian:

Bentuk matriks lengkapnya:

.

41321

32113

11112

43011

Kemudian kita lakukan operasi triangular terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama, yaitu mengubah matriks menjadi matriks segitiga atas

13

13

7

4

.

13000

13300

5110

3011

4

3

2

1

x

x

x

x

Selanjutnya dapat diselesaikan dengan teknik backward substitution

.

1313000

1313300

75110

43011

2.3. Metode Eliminasi Gauss – Jordan

Metode ini prosesnya sama dengan eliminasi gauss, metode eliminasi Gauss – Jordan merupakan perluasan dari eliminasi Gauss. Matriks lengkap yang dikenai OBE diubah sedemikian sehingga menjadi matriks satuan.

.

1000

0100

0010

0001

4

3

2

1

x

x

x

x

Tugas/latihan, lakukan solusi untuk contoh diatas dengan menggunakan eliminasi Gauss – Jordan dan buatlah script dalam MATLAB, dari pemrograman sampai keluarannya dengan metode eliminasi Gauss.

Contoh algoritma script eliminasi gauss dalam matlab

1 clear all2 clc3 A(1,1)=1;4 A(1,2)=1;5 A(1,3)=-1;6 A(1,4)=0;7 A(2,1)=6;8 A(2,2)=-4;9 A(2,3)=0;10 A(2,4)=24;11 A(3,1)=6;12 A(3,2)=0;13 A(3,3)=2;14 A(3,4)=10;15 A

16 n=3 %jumlah persamaan17 pause1819 %== Proses Triangularisasi ==20 for j=1:(n-1)2122 %----mulai proses pivot---23 if (A(j,j)==0)24 for p=1:n+125 u=A(j,p);26 v=A(j+1,p);27 A(j+1,p)=u;28 A(j,p)=v;29 end30 end

31 %----akhir proses pivot---32 jj=j+1;33 for i=jj:n34 m=A(i,j)/A(j,j);35 for k=1:(n+1)36 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));37 end38 end39 end40 A41 pause42 %= Akhir Proses Triangularisasi =

4344 %---Proses Substitusi mundur----45 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);4647 for i=n-1:-1:148 S=0;49 for j=n:-1:i+150 S=S+A(i,j)*x(j,1);51 end52 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);53 end54 x

2.4. Invers Matriks

nb

b

b

nx

x

x

nnanana

naaanaaa

...2

1

....2

1

.

....21

................2....2221

1....1211

Kita tinjau sistem persamaan linier yg dalam bentuk matriks dapat ditulis sbb:

.

....

................

....

....

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

nx

x

x

x....

2

1

nb

b

b

b...

2

1

Atau: A x = b

Matriks A, matriks bujur sangkar non-singular (matriks yang determinannya ≠ 0) jika dikalikan dengan suatu matriks maka akan menghasilkan matriks satuan (indentitas), maka matriks tersebut dinamakan matriks invers atau invers dari matriks A

.

1....00

............

0....10

0....01

11

AAAA

2.4. 1. Invers Matriks menggunakan transformasi elementer

Contoh: Tentukan invers matriks beriktu ini

314

532

001

A

Jawab:

104310

012530

001001

100314

010532

001001122

143

bb

bb

Lanjutkan OBE nya......

4/34/12/5100

4/54/32/7010

001001

Terakhir akan kita dapatkan matriks seperti berikut ini:

4/34/12/5

4/54/32/7

0011A

Maka invers dari matriks A adalah:

2.4. 2. Invers Matriks menggunakan matriks adjoint

0)det(,)det(

).(1 AdanA

AadjA

Invers dari suatu matriks A didefinisikan:

Adj.(A) = Adjoint A adalah matriks transpose dari matriks kofaktor Adet(A) = determinan matriks A

314

532

001

A

Contoh: Tentukan invers matriks beriktu ini dengan menggunakan matriks adjoint

Jawab:

Mencari kofaktor matriks A:

431

53.)1( 11

11 a 1434

52.)1( 21

12 a

teruskan untuk

.........,,, 222113 aaa

Maka matriks adjoint A adalah transpose dari matriks kofaktor A

3110

5314

004

)(AAdj

dan determinan matriks A:

4

314

532

001

)det( A

4/34/12/5

4/54/32/7

001

)det(

).(1

A

AadjA

Jadi:

%Script program dalam MATLABclear allclc A=[1 0 0; 2 3 5; 4 1 3];Adet(A)inv(A)

%hasil:A = 1 0 0 2 3 5 4 1 3ans = 4.0000ans = 1.0000 -0.0000 0.0000 3.5000 0.7500 -1.2500 -2.5000 -0.2500 0.7500

2.5. Penyelesaian SPL dengan Invers Matriks

4

3

2

1

4

2

1

21

22221

11211

.....

....

................

....

....

b

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

nnnn

n

n

Tinjau SPL berikut:

bAX

bAAXA

BAX

1

11

Contoh: hitunglah solusi dari sistem persamaan linier berikut ini

2x + y – z = 33x + 2y – 4z = 1x + 4y + z = 15

Jawab :

15

1

3

.

141

423

112

z

y

x

15

1

3

19/119/719/10

19/519/319/7

19/219/519/18

.1 bAx

2

3

1

x

dan

Jadi solusi SPL adalah: x = 1, y = 3 dan z = 2

Hitunglah solusi dari SPL berikut ini dengan metode inves matriks dan lengkap dengan menggunakan script MATLAB

432

323

12

43

4321

4321

4321

421

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

TUGAS

2.6. APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINIER

2.6.1. menghitung arus listrikContoh hitung besarnya arus listrik pada rangkaian dibawah ini:

42 V

6 V

3 Ω

3 Ω

4 Ω 6 Ω

6 Ω

4 Ω

+

+

-

-

Dari rangkaian terdapat 3 buah loop tertutup, yang masing2 kita namai I1 , I2 , dan I3

42 V

6 V

3 Ω

3 Ω

4 Ω 6 Ω

6 Ω

4 Ω

+

+

-

-

I1

I2 I3

Persamaan masing2 loop adalah:

426416

423463:1

321

121311

III

IIIIIIloop

6104

646:2

21

122

II

IIIloop

6106

646:3

31

313

II

IIIloop

6

6

42

.

1006

0104

6416

3

2

1

I

I

I

di jadikan dalam bentuk matriks:

A = 16 -4 -6 -4 10 0 -6 0 10

ans = 0.0926 0.0370 0.0556 0.0370 0.1148 0.0222 0.0556 0.0222 0.1333

I = 3.7778 2.1111 1.6667

Hasil perhitungan dengan menggunakan MATLAB

42 V

6 V

3 Ω

3 Ω

4 Ω 6 Ω

6 Ω

4 Ω

+

+

-

-

Sekarang kita mencari arus yg. mengalir pada tiap cabang, langkah selanjutnya kita namai cabang2 nya sehingga rangkaian menjadi:

ia

ibic

id

ie if

I1

I3

I2

A B

Hukum Kirchoff arus menyatakan bahwa jumlah arus yang masuk dalam suatu simpul sama dengan arus yg. Meninggalkannya.Dengan demikian kita sesuaikan dulu arus loop dengan cabang nya, maka

6667,1

1111,2

7778,3

3

2

1

f

b

ad

iI

iI

iiI

Perhatikan simpul A : cba iii

Simpul B: fde iii

AiAiAi

AiAiAi

fed

cba

6667,11111,27778,3

6667,11111,27778,3

Jadi:

4 V

7 V

29 V

2 Ω 4 Ω

1 Ω

5 Ω

3 Ω

Tugas latihan:

1. Tentukan nilai arus tiap cabang

2. Gambar dibawah ini menunjukan arus lalu lintas yg. melewati titik2 cabang A, B, C dan D di jalan raya pada jam sibuk. Tentukan besarnya x1 , x2 , x3 dan x4 (gunakan Hukum Kircoff tentang arus)

600

500

600

100

100

400

1000

1000

A B

C D

x1

x2x3

x4

3. Tentukan solusi SPL berikut ini :

162

10

703106

12423

zyxw

zyxw

zyxw

zyxw

11 V

9 V

3 Ω 2 Ω

4 Ω

1 Ω

5 Ω 6 Ω

4 V

7 V

17 V

38 V

2 Ω 4 Ω

6 Ω

5 Ω

1 Ω 3Ω

23 V

38 V