TUGAS METODE NUMERIKPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

Oleh :1.Rio Pahlevy R Y B(M0512048)

2.Rofiqoh Hasanah(M0512052)

3.Yaniar Rahmah(M0512059)

4.Yudha Rizki Putra(M0512062)

5.Yuli Suprapto (M0512063)

JURUSAN INFORMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS SEBELAS MARET2014PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

Persamaan differensial merupakan persamaan yang menghubungkan suatu besaran dengan perubahannya. Persamaan differensial dinyatakan sebagai persamaan yang mengandung suatu besaran dan differensialnya, dan biasanya dituliskan dengan:

Salahsatu contoh persamaan differensial adalah persamaan gerak pegas dalam fisika yang dituliskan sebagai berikut:

dengan m adalah massa pegas, k tetapan pegas, c koefisien redaman, dan x posisi sebuah titik pada pegas. Karena x adalah fungsi dari t, maka persamaan ditulis juga sebagai:

Persamaan di atas mengandung fungsi x(t) yang tidak diketahui rumus eksplisitnya, x(t) merupakan turunan pertamanya, sedangkan x(t) merupakan turunan kedua. Arti fisis diferensial adalah laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain. Misalnya pada persamaan di atas, menyatakan laju perubahan posisi pegas x terhadap waktu t. Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial, diantaranya adalah metode Euler, metode Heur, metode Runge-Kutta, dan metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Metode-metode pendekatan ini menyebabkan penyelesaian yang dihasilkan bukanlah penyelesaian umum dari persamaan differensial, tetapi penyelesaian khusus dengan nilia awal dna nilai batas yang ditentukan. Berikut ini merupakan penjabaran lebih detail mengenai metode-metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial:A. Metode EulerDiberikan PDB orde satu, dan nilai awal Misalkan adalah hampiran nilai y di xr yang dihitung dengan metode Euler. Dalam hal ini

Metode Euler diturunkan dengan cara menguraikan di sekitar xr ke dalam deret Taylor.(P.1)Bila pada persamaan ini dipotong sampai suku orde tiga, diperoleh:(P.2)Berdasarkan bentuk baku PBD orde satu dengan nilai awal maka didapat: dan maka persamaan (P.2) dapat ditulis menjadi(P.3)Dua suku pertama persamaan (P.3) yaitu(P.4)menyatakan metode Euler atau metode Euler-Cauchy. Metode euler disebut juga metode orde-pertama, karena pada persamaan (P.3) hanya mengambil sapai suku orde pertama saja. Persamaan (P.4) juga dapat disederhanakan penulisannya menjadi:

Metode Euler juga dapat diturunkan dengan menggunakan aturan segi empat untuk mengintegrasikan f(x,y) pada persamaan differensial

Kemudian integrasikan kedua ruas dalam selang :

Gunakan aturan segiempat untuk mengintegrasikan ruas kanan, menghasilkan: atau yang merupakan metode Euler.Meskipun dalam penerapannya metode Euler cukup sederhana, namun pada metode ini terdapat galat pemotongan (truncation error) dan cumulatie erroe. Galat pemotongan dapat langsung ditentukan dari persamaan (P.3), yaitu:(P.5)Galat pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah h sehingga disebut juga galat per langkah (error per step) atau galat lokal. Semakin kecil nilai h (yang berarti semakin semakin banyak langkah perhitungan), semakin kecil pula galat hasil perhitungannya. Perhatikan bahwa nilai pada setiap langkah (yr) dipakai lagi pada langkah berikutnya . Galat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari langkah-langkah sebelumnya. Galat yang terkumpul pada akhir langkah ke-r ini disebut cumulative error. Jika langkah dimulai dari x0 = a dan berakhir di xn = b maka total galat yang terkumpul pada solusi akhir (yn) adalah:(P.6)Galat cumulative total ini sebenarnya adalah

Persamaan (P.6) menyatakan bahwa galat kumulative sebanding dengan h. Hal ini berarti metode euler tidak memberikan hampiran solusi yang baik sehingga metode ini kurang disukai.Berikut ini merupakan contoh soal dan penyelesaian persamaan differensial menggunakan metode Euler:1. Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0, 10)dengan ukuran langkah h = 0,05 dan h = 0,02. Jumlah angka benar = 5 pada PDB Dy/dx = x + y dan y(0)=1 dan solusi sejati PDB tresebut adalah y(x) = ex x 1 !Penyelesaian:1. Diketahuia = x0 = 0b = 0.10c = 0.05dalam hal ini f(x,y) = x + y, dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi

Langkah-langkah:

Jadi, Kemudian dibandingkan dengan solusi sejatinya,

Sehingga galatnya adalah Galat = 1.1103 1.1050 = 0.053

1. Diketahuia = x0 = 0b = 0.10c = 0.02

Dalam hal ini, f(x,y) = x+y dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi

Langkah-langkah:

Jadi Kemudian bandingkan dengan solusi sejatinya

sehingga galatnya adalah Galat = 1.1103 1.1082 = 0.031

1. Selesaikan persamaan differensial pada interval x = 0 s/d x = 1, h = . Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!Penyelesaian :Untuk x = 0 y = 1Untuk x = 0,25yi+1= yi + f(xi, yi).h= 1 + f(0,1).0,25

= = 1Untuk x = 0,5yi+1 = yi + f(xi, yi).h= 1 + f(0,25;1).0,25

= 1,0625

Untuk x = 0,75yi+1= yi + f(xi, yi).h= 1,0625 + f(0,5;1,0625).0,25

= 1,1914Untuk x = 1yi+1= yi + f(xi, yi).h= 1,1914 + f(0,75;1,1914).0,25

= 1,3961

xy

01

0,251

0,51,0625

0,751,1914

11,3961

Nilai eksak

Pada saat x = 0; y = 1

Persamaan

Untuk x = 0,25

Untuk x = 0,5

Untuk x = 0,75

Untuk x = 1

xyEulerysebenarnyat

0110 %

0,2511,03153,0538 %

0,51,06251,12895,8818 %

0,751,19141,30108,4243 %

11,39611,562510,6496 %

1. Gunakan metode Euler, untuk menyelesaikan persamaan differensial ; dengan syarat !Penyelesaian :Misalkan h yang akan digunakan adalah 0.01 untuk x dalam interval [0.01], memberikan hasil sebagai berikut :

Solusi efek dari persamaan differensial di atas adalah ,dan nilai x= 0.04 diperoleh nilai y = 0.9606.

1. Selesaikan persamaan di bawah ini dengan metode euler !

Diketahui x = 0 sampai x = 4 dengan panjang langkah Dx = 0.5 dan x = 0.25

Penyelesaian :Penyelesaian eksak dari persamaan di atas adalah :

Penyelesaian numeric dihitung nilai dengan jarak sx = 0.5 dari titik awal yaitu x = 0.Untuk i = 0, maka persamaannya menjadi :

Dari kondisi awal, pada x = 0 nilai fungsi y(0) = 1, sehingga :

Kemiringan garis di titik adalah

Sehingga

Nilai eksak pada titik x = 0.5 adalah :

Jadi kesalahan dengan metode euler adalah :

B. Metode HeunMetode Heun merupakan metode perbaikan dari metode Euler. Metode Euler memiliki ketelitian yang rendah karena galatnya besar atau sebanding dengan h. Namun, galat ini dapat dikurangi dengan menggunaka metode Heun. Pada metode ini solusi metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal (predictor) dan selanjutnya solusi perkiraan awal ini diperbaiki dengan metode Heun (corrector). Metode Heun diturunkan sebagai berikut (lihat PDB orde satu):

Integrasikan kedua ruas persamaan dari :

Nyatakan di ruas kiri dan suku-suku lainnya di ruas kanan:(P.7)Suku yang mengandung integral di ruas kanan, , dapat diselesaikan dengan kaidah trapesium menjadi:(P.8)Masukkan persamaan (P.8) ke dalam persamaan (P.7), menghasilkan persamaan:(P.9)yang merupakan metode Heun, atau metode Euler-Cauchy yang diperbaiki. Dalam persamaan (P.9), suku ruas kanan mengandung . Nilai ini adalah solusi perkiraan awal (predictor) yang dihitung dengan metode Euler, sehingga persamaan (P.9) dapat dituliskan seperti berikut: (P.10)Atau ditulis dalam satu kesatuan:(P.11)Dari persamaan (P.10), suku bersesuaian dengan aturan trapesium pada integrasi numerik. Dengan demikian galat per langkah metode Heun sama dengan kaidah trapesium, yaitu(P.12) Sedangkan galat kumulativenya adalah:(P.13)

Berikut ini merupakan contoh soal persamaan differensial dan penyelesaiannya menggunakan metode Heun:1. Selesaikan persamaan differensial dengan metode Heun pada interval x = 0 s/d x = 1, h = Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!Penyelesaian:1. Untuk x = 0,251. Slope awal = = f(0,1) = = 01. Mencari prediktor = + = 1 + . 0,25= 1 + 0 . 0,25= 11. Mencari slope akhir = f(0,25 ; 1) = = 0,251. Mencari slope rata-rata

1. = + = 1 + 0,125 . 0,25 = 1,0313

Untuk x = 0,51. Slope awal = = f(0,25 ; 1,0313) = = 0,253881. Mencari prediktor = + = 1,0313 + . 0,25= 1,0313 + 0,25388 . 0,25= 1,09481. Mencari slope akhir = f(0,5 ; 1,0948) = = 0,523161. Mencari slope rata-rata

1. = + = 1,0313 + 0,38852 . 0,25 = 1,1284Untuk x = 0,751. Slope awal = = f(0,5 ; 1,1284) = = 0,531131. Mencari prediktor = + = 1,1284 + . 0,25= 1,1284 + 0,53113 . 0,25= 1,26121. Mencari slope akhir = f(0,75 ; 1,2612) = = 0,842271. Mencari slope rata-rata

1. = + = 1,1284 + 0,68670 . 0,25 = 1,3001Untuk x = 11. Slope awal = = f(0,75 ; 1,3001) = = 0,855161. Mencari prediktor = + = 1,3001 + . 0,25= 1,3001 + 0,85516 . 0,25= 1,51391. Mencari slope akhir = f(1 ; 1,5139) = = 1,23041. Mencari slope rata-rata

1. = + = 1,3001 + 1,0428 . 0,25 = 1,5608Tabel errorx

0110

0,251,03131,03150,01939

0,51,12841,12890,0443

0,751,30011,30100,06918

11,56081,56250,1088

1. Hitung y(0.5) dengan metode Heun (h = 0.25), y(0) = 1 ! Penyelesaian:n = = 2

h = 0,25

untuk 1,25

untuk 1,7847 Jadi, nilai y(0,5) adalah 1,9858

1. Diketahui PDB: dy/dx = x + y ; y(0) = 1 hitung y(0.10) dengan metode Heun (h = 0.02)Penyelesaian:Diketahui:f(x,y) = x + ya = x0 = 0b = 0.10h = 0.02maka n = (0.10 - 0)/0.02 = 5 (jumlah langkah)langkah-langkah:x1 = 0,02 y(0)1 = y0 + hf(x0, y0) = 1 + 0.02(0+1) = 1.0200Y(1)1 = y0 + (h/2)[f(x0,y0)+f(x1,y(0)1)] = 1 + (0.02/2)(0+1+0.02+1.0200) = 1.0204X2 = 0.04 y(0)2 = y1 + hf(x1, y1)= 1.0204 + 0.02(0.02 + 1.0204)= 1.0412 Y(1)2 = y1 + (h/2)[f(x1, y1) + f(x2, y(0)2)]= 1.0204 + (0.02/2)[0.02 + 1.0204 + 0.04 + 1.0412]=1.0416X5 = 0.10 y(0)5= y4 + hf(x4, y4) Y(0)5 = y4 + (h/2)[f(x4, y4) + f(x5,y(0)5)]= 1.1104Jadi, y(0.10) 1.1104

C. Metode Runge-KuttaMetode Runge-Kutta merupakan pengembangan dari metode sebelumnya yakni metode Euler dan metode Taylor. Dalam perhitungan dengan menggunakan deret Taylor membutuhkan perhitungan turunan f(x,y), padahal tidak semua fungsi mudah dihitung turunannya. Sedangkan kekurangan dari metode Euler adalah tingkat akurasi yang rendah sehingga membuat kerugian ganda. Untuk mencapai akurasi yang tinggi memerlukan h yang sangat kecil, disamping meningkatnya waktu komputasi dan mengakibatkan terjadinya kesalahan pembulatan (round off error). Metode Rung-Kutta menggunakan tititk-titik lanjutan pada tiap-tiap langkah interval sehingga tingkat akurasi tinggi. Bentuk umum metode Runge-Kutta orde-n adalah: (P.14)dengan a1, a2, ..., an adalah tetapan, dan

Nilai ai, pi, qij dipilih sedemikaian rupa sehingga meminimumkan galat per langkah, dan persaaan (P.14) akan sama dengan metode deret Taylor dari orde setinggi mungkin.Galat per langkah metode Rung-Kutta orde-n : O(hn+1)Galat kumulative metode Rung-Kutta orde-n : O(hn)

1. Metode Runge-Kutta Orde SatuMetode Runge-Kutta orde satu berbentuk:(P.15)Galat per langkah metode Rung-Kutta orde satu : O(h2)Galat kumulative metode Rung-Kutta orde satu : O(h)Yang termasuk ke dalam metode Runge-Kutta orde satu ialah metode Euler:(dalam hal ini a1 = 1)

2. Metode Runge-Kutta 2Metode Runge-Kutta Orde dua berbentuk:Galat per langkah metode Rung-Kutta orde dua : O(h3)Galat kumulative metode Rung-Kutta orde dua : O(h2)Contoh metode Runge-Kutta orde dua adalah metode Heun, dimana:dalam bentuk Runge-Kutta orde 2, metode Heun dapat dituliskan:Contoh Runge-Kutta lainnya adalah metode Raltson, dimanadalam bentuk Runge-Kutta orde 2, metode Raltosn dapat dituliskan:

3. Metode Runge-Kutta Orde TigaMetode Runge-Kutta Orde tiga berbentuk:Galat per langkah metode Rung-Kutta orde tiga : O(h4)Galat kumulative metode Rung-Kutta orde tiga : O(h3)

4. Metode Runge-Kutta Orde EmpatMetode Runge-Kutta Orde tiga berbentuk:Galat per langkah metode Rung-Kutta orde empat : O(h3)Galat kumulative metode Rung-Kutta orde empat : O(h2)Metude Rung-Kutta orde tiga dan orde empat adalah metode yang banyak dipakai dalam prakter. Kedua metode ini memiliki ketelitian yang tinggi, mudah dibuat program, dan stabil.

Berikut ini merupakan contoh soal persamaan differensial dan penyelesaiannya menggunakan metode Runge-Kutta:1. Gunakan metode Runge Kutta untuk menghitung nilai y(2) dengan h = 0.5 dari

Jawab:Diket : h = 0.5, x0= 1 dan y0= 4 Iterasi awal n = 0

Iterasi kedua n = 1

Di titik x = 2 diperoleh y(2) = 5.4643951.

1.

DAFTAR REFERENSIhttps://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-v-masalah-nilai-awal-persamaan-diferensial.pdf