kalkulus satu mhd teknik mesin umi em123.pdf

Upload: muhammadridhaalikadir

Post on 05-Oct-2015

145 views

Category:

Documents


19 download

TRANSCRIPT

  • H W ARE YOU

    11/2/201211

    H W ARE YOUTO DAY

    Garuda dengan sayapmu kibarkan sang merah putih

  • UMI LEADERSHIP 2010 2014

    RectorProf. Dr. Hj. Masrurah Mokhtar, MAProf. Dr. Hj. Masrurah Mokhtar, MA

    Vice Rector for Academic AffairProf. Dr. H. Syahnur Said, MSi

  • UMI LEADERSHIP 2010 2014

    Vice Rector for Administration andFinancial AffairFinancial Affair

    Dr. Ir. H. Iskandar BP, MSc

    Vice Rector for Student AffairProf. Dr. H. Achmad Gani, SE, MSi

  • UMI LEADERSHIP 2010 2014

  • MENJADI

    SARJANA TEKNIK MESIN DAN PERTAMBANGANUNIVERSITAS MUSLIM INDONESIA

    MEMILIKI MOTIVASI & INOVASI BERKELANJUTAN

  • ANDA MEMULAI NYADARI SINI ?

  • JUMLAH SKS = 151 SKS

    BILA RERATA 20 SKS/ SEMISTER, MAKA

    151/ 20= 7,5-8 SEMISTER (3,5 - 4 TAHUN)

    ATAU IPK MENCAPAI 3-3,5 DAN RERATA 22-24SKS/ SEMISTER, MAKA

    11/2/20128

    SKS/ SEMISTER, MAKA

    151/24= 7 SEMISTER (3,5-4 TAHUN)

    ade2 sudah sarjana

    APA YANG PERLU DIMILIKI SEBAGAIMAHASISWA ?

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI8

  • JENIS MATA KULIAH

    1. CIRI KHAS-MULOK

    2. DASAR KEAHLIAN

    3. KEAHLIAN

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI

    9

    3. KEAHLIAN

    4. PILIHAN KONSENTRASI/ BA

    5. KP - KKN

    TOTAL 151 SKS

  • JENIS MATA KULIAH

    1. CIRI KHAS-KEUMIAN

    2. DASAR KEAHLIAN

    3. INTI/ KEAHLIAN

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI

    10

    3. INTI/ KEAHLIAN

    4. PILIHAN KONSENTRASI/ BA

    5. KP - KKN

    TOTAL 151 SKS

  • UNTUK MATA KULIAH DENGAN

    1. BOBOT 1 SKS DIPERLUKAN WAKTU

    TATAP MUKA DI KELAS 1 JAM MATA

    KULIAH = 50 MENIT

    ALOKASI WAKTU

    11/2/201211

    2. BOBOT 2 SKS = 100 MENIT

    3. BOBOT 3 SKS = 150 MENIT

    4. BOBOT 4 SKS = 200 MENIT

    5. waktu belajar di rumah minimal

    6. 4 5 jam/ hari.2mata kuliah

    11/2/2012MAHMUDDIN - TAMBANG UMI11

  • CARA BELAJAR

    KELOMPOK : TERDIRI 4-5 ORANG/ KLP

    KELAS : 40 ORG / 10-8 KELOMPOK

    - INFORMASI

    - SALING MENGUNTUNGKAN

    - LEBIH MUDAH - RINGAN

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI12 11/2/201212

    - LEBIH MUDAH - RINGAN

    - SALING MEMOTIVASI

    - SETIAKAWANAN

  • INILAH YANG PERLU DIMILIKI MAHASISWA ?

    - KONSENTRASI

    - FOKUS

    - PERHATIAN YANG TINGGI

    - DEDIKASI

    - BERPIKIR LOGIS

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI

    13

    - BERPIKIR LOGIS

    - INOVASI DAN KREATIVITAS

    - INTELEKTUAL DAN INTEGRITAS

    - MANDIRI DAN KEPERCAYA AN

    - KONSISTEN/ PENDIRIAN

    - MALU

  • MATA KULIAH

    KALKULUS SATU3TMI622

    FAK

    ULT

    AS

    TEK

    NIK

    UM

    IM

    AK

    AS

    SA

    R

    Dosen Pengampu : MahmuddinNo. HP : 081578897171Pengabdian : Jurusan Teknik Mesin (JTM) UMISub. Pengabdian : Lab. Pengujian Mesin JTM

    14

    JUR

    US

    AN

    TEK

    NIK

    MES

    INFA

    KU

    LTA

    ST

    EK

    NIK

  • SYARAT KELULUSAN NB KEHADIRAN MINIMAL 75% %

    TUGAS MANDIRI 15%

    UJIAN TENGAH SEMISTER (UTS) I 25%

    UJIAN TENGAH SEMISTER II 25%

    ME

    SIN

    UM

    IMA

    KA

    SS

    AR

    UJIAN SEMISTER (US) 35%

    SIKAP-MOTIVASI -+%

    Bila nilai UTS baik, bebas US

    dengan nilai A

    JUR

    US

    AN

    TE

    KN

    IKM

    ES

    INU

    MIM

    AK

    AS

    SA

    R

  • PERTEMUANAWAL

  • PENDAHULUAN

    Pertama mempelajari KALKULUS I, maka akan timbulbeberapa pertanyaan dalam benak kita diantaranya adalah:

    1. Apa yang dimaksud dengan kalkulus

    2. Mengapa kita harus mempelajarinya

    3. Mengapa kita ingin mempelajarinya3. Mengapa kita ingin mempelajarinya

    4. Bagaimana hubungan dengan ilmu-ilmu lain yang pernahkita pelajari maupun kaitannya dengan kenyataan-kenyataan yang ita hadapi sehari-hari

    5. Apa manfaat mempelajarinya

  • Persamaan Linear dan PersamaanLinear Simultan

    Persamaan dan identitas

    ` Persamaan adalah pernyataan kasamaan antara dua ekspresialjabar yang cocok untuk bilangan nilai variabel tertentu atauvariabel yang diketahui, dan penyelesaian persamaan adalahdengan proses menentukan nilai tertentu ini.. Jika pernyataan

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI27

    persamaan benar untuk semua nilai yang tidak diketahui,pernyataan itu identitas.

    Contoh:

    (x2 y2)=(x y)(x + y) benar untuk semua nilai x dan y danidentitas.

    (a + 3)2 = a2 + 4a + 17 adalah persamaan benar hanya jika a=4

    (a + 3)2 = a2 + 6a + 9 adalah identitas, benar untuk semua nilai a.

  • Persamaan Linear (PL)PL mencakup hanya satu variabel yang tidak diketahuidengan pangkat tidak lebih tinggi daripada yang pertama. PLjuga diacu sebagai persamaan sederhana.

    Solusi persamaan sedehana

    - Penyederhanaan persamaan pada masing-masing ruaspersamaan yang mengandung persamaan dalam bentuk,

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI28

    (ax + b) = (cx + d) menghasilkan (ax cx) = (d b) dansehingga diperoleh x = (d b)/ (a c)

    11/2/201228

    Contoh lainadalah:

  • Persamaan yang dianggap bukan persamaan yangsederhana seringkali dikembangkan menjadi persamaan

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI

    29

    sederhana seringkali dikembangkan menjadi persamaansederhana selama penyederhanaan. Misalnya adalah:

    X= -1

    Dengan x= -1 saudara mencek hasil dengansubtitusi harga x ke persamaan yang dimaksud

  • Dengan cara yang sama selesaikan persamaan ini:

    Diperoleh:

    Dengan persamaan sederhana mencakup pecahanaljabar, langkah pertama adalah untuk pengeliminasipenyebut dengan mengalikan semua dengan kelipatanKPK (persekutuan terkecil penyebut)KPK (persekutuan terkecil penyebut)

    Contoh:

    KPK 2, 3, 4dan 6

    adalah 12

  • Lakukan ini dengan cara yang sma

    KPK penyebut adalah x(x - 3)(x - 5)

    Perdengarkanlah suaramu bila berbisik ?

    Kerjakan dengan cara sama:

  • begini caranya ya ha ha ha ?

    Tak kusangka dia datang ?

  • Persamaan linear simultan dengan dua anu

    Persamaan linear simultan adalah persamaan dengan duavariabel atau lebih persamaan dengan bilangan yangsama adalah bilangan variabel yang terhadap diperlukanuntuk mencapai jawabannya.

    Ada dua metode penyelesaikan persamaan ini :

    siapapun dia ?

    1. Solusi dengansubtitusi Selesaikan persamaan berikut ini

    1

    2

  • Jika x=4 disubtitusi kepersamaan asal lain, misalnya.

    Dengan demikian kita mempunyai x= 4 dan y= -3.Sebagai cek bahwa nilai x tersebut disubtitusi ke persamaan

    Aku tetap di hatimu ha ha ha

    Sebagai cek bahwa nilai x tersebut disubtitusi ke persamaan1 atau 2.

    Dan hasilnya adalah :

    Maka, x= 4 dan y= -3 adalahsolusi yang diperlukan.

    X= 4

    X= -3

  • Kerjakan dengan cara sama:.

    1

    2

    1. Solusi dengankoefisien persamaan

    Solusi ini lebih sederhana, yakni jika mengalikan persamaan (1)dengan koefisien y dari persamaan (2) dan mengalikanpersamaan (2) dengan koefisien y dari persamaan (1). Ataudengan koefisien dari x

    1

    2

  • Catatan boys:

    Bahwa jika suku y dan x mempunyai tanda yang sama, memangkita dapat mengurangkan satu baris dari yang lain untukmengeliminasi satu variabel.

    SOLUSINYA ADALAH,

    mengeliminasi satu variabel.

    Contoh lain1

    2

    Solusinya adalah,

  • Solusinya adalah,

    Kerjakan sepeti sebelumnya

    Persamaan linear simultan dengan tiga anu

    Dengan tiga anu, maka diperlukan tiga persamaan yangDengan tiga anu, maka diperlukan tiga persamaan yangmengandung jawaban yang diperlukan. Metodepenyelesaiannya adalah pengembangan dari penyelesaiandengan dua anu.. ?

    Solusinya adalah,

    Contoh :

  • Lakukan ujiterhadap

    persamaan (1),(2) atau (3)

    solusinya apa ?solusinya apa ?

  • Contoh lain:

    Jangan merasa pintar dan tahu ?

  • Penyederhanaan awalBila ditemukan suatu persamaan seperti berikut, makadisederhanakan terlebih dahulu sehingga diperolehpersamaan yang lebih sederhana.

  • Untuk x= 3 disubtitusi ke persamaan (3) atau (4) dandiperoleh y= 5. Selanjutnya cek dengan subtitusikan nilai xdan y dan hasilnya bagaimana ?

    Contoh berikutmengingatkanmemory lagi

    KPK = 20

  • KPK = 12

    Dengan metode subtitusiatau koefisien

  • Telah berlalu ?

  • LATIHAN SOAL-SOALSelesaikan persamaan linear berikut

    Selesaikan persamaan-persamaan simultanberikut

    Dengan subtitusi

    Dengan eliminasi

    Masih ingatkah ?

  • Selesaikan kelompok tiga persamaan dengan tiga variabel takdiketahui

    Sederhanakan dan selesaikankelompok persamaan simultanberikut.berikut.

    Adakah dihatimu ?

  • Selesaikan persamaan berikut.

    Mestinya bisa ?

  • Lanjutan.

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI

    48

    Tak kusangka dia ?

  • Selesaian persamaan simultan.

    Selesaian pasangan persamaan ini.

    Insy

    aA

    llah

    ?

    Selesaian.

    Insy

    aA

    llah

    ?

  • PER TEMU ANKEDUA

    11/2/2012TEKNIK MESIN - PERTAMBANGAN BY MAHMUDDIN50

    KEDUAbahasan : persamaan parsialdilanjutkan limit, diferensial

  • PECAHAN PARSIAL

    Untuk menyederhanakan persamaanaritmatika yang terdiri bilangan pecahanpertama-tama kita konversi pecahanmasing-masing ke bentuk baru yangmasing-masing ke bentuk baru yangmempunyai penyebut persekutuan yangadalah KPK penyebut individu

    MARI KITA SIMAK CONTOH BERIKUT INI

  • kita lihat ilustrasi ini

    Bahwa pecahan aljabar dapat dikombinasikan denganmengkonversi ke penyebut baru yang adalah KPK penyebutmasing-masing. Contoh.

    KPK penyebut adalah [x 3][x 1]

    Dalam praktek, proses kebalikan sering diperlukan yaitu yang dinyatakan denganpecahan aljabar yang ada, kita perlu menunjukkan sebagai bilangan pecahankomponen yang paling sederhana.

  • dari contoh sebelumnya jelas bahwa, pada kasus ini

    (2x2 - 20x - 58)/ (x3 + 3x2 6x 8) = [3/ (x+4) 5/ (x2) + 4(x+1)]Tiga pecahan sederhana pada ruas kanan disebut pecahanparsial persamaan di ruas kiri dan kita harus melihat bagaimanaini diperoleh jika kita tidak mempunyai bentuk fungsi aslinya.Sekarang kita perhatikan kasus sederhana dan proses tahappertahappertahap

    1. Tahap pertama adalah mencek bahwa pembilang fungsi yangdiberikan mempunyai derajat lebih rendah daripadapenyebutnya. Jika tidak pembilang harus dibagi denganpenyebutnya. Sebagai contoh, [3x2 - 10x - 4] / [x2 - 6x + 8],pembilang mempunyai pangkat tidak lebih kecil dari penyebut.Sehingga, kita membagi.

    Buka lembar berikut

  • 2. Kemudian kita faktorkan penyebut ke faktor-faktor primanya. Ini

    288 x

    3

    24183

    4103862

    22

    xx

    xxxx

    2. Kemudian kita faktorkan penyebut ke faktor-faktor primanya. Inipenting ketika faktor yang dimiliki menentukan bentuk pecahanparsial

    ..............862 xx

    Lembar berikutnya simak lanjutan soal ini

  • Setiap faktor linear (ax + b) pada pecahan memberikanpecahan parsial bentuk [A/ (ax + b)], dengan A konstan untukditentukan.

    Jadi.

    42288

    86

    2882

    xx

    x

    xx

    x

    42862 xxxx

    Jadi.

    Selanjutnya, kalikan kedua ruas dengan penyebutnya(x - 2)(x - 4) yang menghasilkan ..

    .

    4286

    2882

    x

    B

    x

    A

    xx

    x

    PERHATIKAN ke lembar berikutnya

  • lanjutan lembar sebelumnya

    Perhatikan aturan 2 dan 3

  • Ini adalah identitas dan benar untuk semua nilai x. Sangat mudah memilih nilai xyang membuat salahsatu kurung menjadi nol. Sebagai contoh, denganmenerapkan x= 4 memberikan . Lembar berikutnya ?

  • Dari persamaan ini,

    Bahwa untuk x= 4, maka B= 2 dan untuk x= 2, maka A= 6.dengan demikian dapat dituliskan bahwa persamaan awalberubah menjadi:

    SIMAK ATURAN PECAHANPARSIAL

    42288

    386

    2883

    86

    410322

    2

    xx

    x

    xx

    x

    xx

    xx

    4

    2

    2

    63

    86

    41032

    2

    xxxx

    xx

  • ATURAN PECAHAN PARSIAL

    1. Pembilang fungsi yang duberikan harus berderajatlebih rendah daripada penyebutnya. Jika tidak kitakemudian membanginya dengan pembagianpanjang untuk mendapat polinomial dan sisanyadibagi penyebut yang dapat ditunjukkan sebagaipecahan parsial.pecahan parsial.

    2. Faktorisasikan penyebut ke dalam faktor prima. Itumenetukan bentuk pecahan parsial yang dipunyai.

    3. Faktor linear (ax + b) memberikan pecahan parsialberbentuk [A/ (ax + b)].

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN59

  • 4. Ulangi faktor (ax + b)2 memberikan pecahan parsial

    [ A/ (ax + b) ] + [ B/ (ax + b)2]

    5. Serupa dengan di atas (ax + b)3 memberi[ A/ (ax + b) ]+ [ B/ (ax + b)2 ] + [ C+/ (ax + b)3 ].

    6. `Sebuah kuadrat irreducibel yaitu faktor kuadratik yangtidak dapat difaktorkan lebih lanjut ke faktor linear(ax2 + bx + c) memberikan pecahan parsial,

    [ Ax + B ] / [ ax2 + bx + c ]

    7. Ulangi faktor kuadratik tipe yang sama, (ax2 + bx + c)2,memberi pecahan parsial,

    [Ax + B]/ [ ax2 + bx + c ] + [Cx + D]/ [ ax2 + bx + c ]2

    BEBERAPA CONTOH LEMBAR BERIKUT :

  • aturan 1lanjutkanaturan 2

    dan 3

    1. Pembilang fungsi yang dIberikan harus berderajat lebihrendah daripada penyebutnya. Jika tidak kita kemudianmembanginya dengan pembagian panjang untukmendapat polinomial dan sisanya dibagi penyebut yangdapat ditunjukkan sebagai pecahan parsial.

    Nyatakan dalam pecahan paersial.Pertimbangan pertama adalah pembilangderajat yang lebih rendah daripada penyebutnya

    dapat ditunjukkan sebagai pecahan parsial.

    Jadi, kita harus membagi dengan pembangian panjang berikut.

  • 2. Faktorisasikan penyebut ke dalam faktor prima. Itumenetukan bentuk pecahan parsial yang dipunyai.

    3. Faktor linear (ax + b) memberikan pecahan parsialberbentuk [A/ (ax + b)].

    sehingga penyebutnya (x2 2x 3) diuraikanmenjadi (x + 1)(x - 3), selanjutnya diperoleh.

    langkah selanjutnya dibuat menjadi

    dengan menyamakanruas kiri dan kanan,adalah

  • setelah menyamakan ruas kiri dan kanan, kumpulkansemua suku yang sama dan diperoleh nilai A dan Bseperti berikut.

    subtitusi nlai A dan B kedalam persamaan akandiperoleh

  • diperoleh penyelesaianberikut ini

    Solusi dari pecahan parsial adalahSolusi dari pecahan parsial adalah

  • Contoh lain:ingat kembali:

    Pembilang fungsi yang diberikan harusberderajat lebih rendah daripada penyebutnya.Jika tidak kita kemudian membanginya denganpembagian panjang untuk mendapat polinomialdan sisanya dibagi penyebut yang dapatditunjukkan sebagai pecahan parsial.

  • perhatikan aturan 2 dan 3selanjutnya, penyebutnya diuraikan menjadi

    aturan 3 dituliskanaturan 3 dituliskan

    penyelesaiannya

  • Nomor 4

  • Nomor 5

    Subtitusi hargaA dan B

  • Nomor 6

    Subtitusi hargaA dan B

  • Nomor 7

    Subtitusi hargaA dan B ke

    persamaan awal

  • Nomor 8

    Subtitusi hargaA dan B ke

    persamaan awal

  • Untuk kasus ini adalah pembilang berderajat lebih rendah daripadapenyebutnya jadi, pembagian mula-mula tidak diperlukan.

    Namun, perhatikan bahwa penyebut mengandung faktor kuadrat yangtidak dapat difaktorkan lebih lanjut menjadi faktor linear uji yang umummengkonfirmasikan, untuk yang tidak

    Selesaikan dalam pecahanparsial berikut,

    Nomor 9

    kuadrat sempurna. Seperti telah disebutkan dalam satuan sebelumnya,faktor kuadrat yang tidak teratur memberikan

    pecahan parsial

    jadi

  • Mari kita bersama-samamesyimak caranya ...

    Kalikan semuanyadengan penyebut

  • Selanjutnya, kumpulkan semua suku diruas kanan menghasilkan,

    Hal ini adalah identitas, jadi dapat menyamakan koefisien sukudi masing-masing ruas,

    Suku konstan

    Dari persamaan(1) dan (2)

  • Subtitusi B dan C ke persamaan (3),akan diperoleh harga A !

    Subtitusi di dalam (1)

    Subtitusi di dalam (3)

    Harga A= 4, B= 3dan C=-2

    menghasilkan,

  • Selesaikan dalambentuk pecahan parsial

    Nomor 11

    Sekarang, untuk faktor

    yang bukan kuadrat sempurna, adalah tak teratur

    Pecahan parsial akan berbentuk ?

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN79

    Pecahan parsial akan berbentuk ?

    Hasilnya adalah,

  • Suku konstan

  • Subtitusi ke (1) dan (2) memberikan B= 1 dan C= 4

    harga A, B dan C yang telah diperoleh disubtitusike persamaan awal yaitu:

    11/2/2012

  • Kasus berikuk adalah dengan memakai kembali faktorpenyebut yang dihitung,

    memberikan pecahan parsial

    dan memberikan

    Contoh: selesaikan dalam bentuk pecahanparsial

    Diubah dalam bentuk

    Kemudian kalikan semuanya dengan penyebut asli,hasilnya adalah:

  • Sekarang samakan koefisien dan A dan B ditemukan,

  • Dengan cara sama selesaikan dengan pecahan parsial

    Hasilnya ini

    menyamakankoefisien sukusama, dan diperolehA, dan B

    Subtitusi harga A= 7dan B= 9, maka

  • Hasilnya ini

    Di sini,

    Evaluasikoefisien

    Sekarang samakan koefisiendan A dan B ditemukan

  • Dengan mensubtitusi harga A= 2 dan B= -3 dan C= 7,maka

    Solusinya ini

    Dengan cara sama selesaikan dengan pecahan parsial

  • Tunjukkan dalam pecahan parsial,

    Untuk hal berikut mempelajari kasus dengan penyebut adalahpetrsamaan kubik dengan faktor linear yang berbeda.

    Kalikan dan kumpulkan suku sejenis, dan ..

  • Menyelesaikan tiga persamaan simultan dan memberikannilai A, B dan C.

    Suku konstan

    menyamakankoefisien

    (4)

    (5)

  • Sekarang dapat menyelesaikan (4) dan (5) untukmenentukan A dan B dan kemudian subtitusikanke (1) untuk mencari C, akhirnya.

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN89

    Perhatikan cara menyelesaikan pemecahan parsial ini ?dan hasilnya adalah,

  • Contoh terakhir ini, penyebut telah diselesaikan denganbaik sebagai produk tiga faktor linear. Ini juga baik untukpersamaan kubik yang dalam kasus faktorisasi harusdiselesaikan menggunakan teorima sisa sebelum progresselanjutnya dapat dibuat. Di sini kemudian contoh ini yangmembawa ke puncak program ini.

    Tentukan pecahan parsial

    Pertama bahwa tidak ada pembagian awal yangdiperlukan kemudian harus faktorisasikan penyebut kefaktor primanya seperti pada contoh sebelumnya.

    Jadi, menerapkan f(x) = x3 4x2 +x + 6, kita dapatditentukan tiga faktor linear f(x) jika ada. Jawabannyaadalah ..

  • bukan faktor

    faktor f(x)

  • Dan sekarang ikuti selanjutnya !

  • Suku konstan

    menyamakankoefisien

  • hanya untuk mengingat contoh2 penyelesaianlembar sebelumnya

  • Jangan sia-siakan haribaikmu

  • SOAL DI BAWAH INI UNTUK LATIHAN DIRUMAH KOST ?

    DAN INI PP-NYANYATAKAN DALAMBENTUK PP

    berpikirlah secara sistematis

  • SO

    AL

    INID

    IRU

    MA

    HN

    YATA

    KA

    NP

    EC

    AH

    AN

    PAR

    SIA

    LK

    ER

    JAK

    AN

    SO

    AL

    -SO

    AL

    INID

    IRU

    MA

    HN

    YATA

    KA

    NP

    EC

    AH

    AN

    PAR

    SIA

    L

    Semoga anda terbaik

  • PER TEMU ANKE-tiga

    11/2/2012TEKNIK MESIN - PERTAMBANGAN BY MAHMUDDIN

    KE-tiga

    99

    bahasan : limit, diferensialdilanjutkan integral

  • Limit fungsi adalah bagian dari materi pengantarkalkulus terutama bahasan diferensial dan integralDasar-dasar limit dirumuskan oleh seorang ahlimatematika dari Perancis, Augustin-Louis Cauchy(1789-1857).

    LIMIT FUNGSI

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN100

    (1789-1857).

    Pengertin limit fungsi dengan limit kiri dan limitkanan, pengertian limit fungsi untuk xa danx.

    Di dalam bahasan ini mencakup: (1) limit fungsialjabar (2) limit fungsi trigonometri.

  • LIMIT FUNGSI ALJABAR

    Perhatikan beberapa ungkapan di bawah ini,

    Pemberantasan korupsi di Indonesia mendekati sepurna.

    Rancangan tentang revisi UU KPK hampir saja disetujui

    Nilai rata-rata kelas M1-TB1 untuk MT kalkulus satu hampir sajasama nilai rata-rata kelas TB2.sama nilai rata-rata kelas TB2.

    Pencemaran udara di kota Makassar sedikit lagi ambang batas.

    Hampir saja pernikahan ini batal

    dari kata-kata tersebut seperti sedikit lagi, hampir saja, mendekati,hampir sama dapat dianalogikan dengan pengertiIan L I M I Tdalam kalkulus.

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI101

  • Bila seorang raja menceritakan sesuatu kepada rakyatnyaadalah bijaksana bila untuk bersikap ragu-ragu. Tetapi jugadengan sikap bijksana pula untuk tidak menerimapernyataan raja sebelum memeriksanya. Untukmembuktikan sesuatu haruslah kita memahami arti kata-kata yang digunakan dengan sejelas-jelasnya. Terutamayang menyangkut limit, karena kalkulus semuanya

    Cerita pendek

    yang menyangkut limit, karena kalkulus semuanyaberstandar pada arti dari kata tersebut.

    Untuk menyatakan limitxxo f(x)= M berarti bahwa selisihantara f(x) dan M dapat dibuat sekecil mungkin denganmensyaratkan bahwa x cukup dekat tetapi tidak samadengan xo.

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI102

  • Bahwa f(x) berbeda dari M lebih kecil dari sama sajadengan mengatakan

    f(x) - M<

    M - < f(x) < M +

    Limit : Mengatakan bahwa limxxo f(x) = M berarti bahwa untuksetiap 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat 0yang sedemikian sehingga f(x)M asalkan bahwa0x xo , yakni0x xo , yakni

    0 x - xo<

    f(x) - M

    Perhatikan bahwa: x - xo< akan memberikan selangxo - < x < xo + , sedangkan 0

  • mari bersama-sama membaca ungkapan ini:

    Bila m adalah peubah real dan a adalah konstantareal. Kalau m mendekati nilai a, maka prosespendekatan ke nilai a dilakukan dari dua arah,yakni:

    1. m mendekati a dari arah kiri, ditulis ma-

    a

    x

    2. m mendekati a dari arah kanan, ditulis ma+

    a

    x

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI104

    ma+

    ma-

  • Disimpulkan bahwa

    Teorema limit utama. Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan gadalah fungsi-fungsi, yakni f(x) dan g(x) yang mempunyai limit di xo. Maka,

    1. Lim xxo k = k

    2. Lim xxo x = xo

    3. Lim xxo kf(x) = k lim xxo f(x)

    4. Lim xxo [f(x) +g(x)] = lim xxo f(x) + lim xxo g(x)4. Lim xxo [f(x) +g(x)] = lim xxo f(x) + lim xxo g(x)

    5. Lim xxo [f(x)-g(x)] = lim xxo f(x) - lim xxo g(x)

    6. lim xxo [f(x).g(x)] = lim xxo (fx). lim xxo g(x)

    7. Lim xxo [f(x)/g(x)] = lim xxo f(x)/lim xxo g(x) asalkan lim xxo g(x) 0

    8. lim xxo [f(x)]n = [lim xxo f(x)]

    n

    9. lim xxof(x) = lim xxof(x) asalkan lim xxo f(x)0 bilamana n genap

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN TAMBANlG UMI105

    n n

  • Contoh:

    1. Limitx3 2x4 = 162 (x=3 subtitusi ke x)

    Caranya, = 2 lim x3 [limx3 x]4 = 2[3]^4=162

    2. Limx4 (3x2 2x)

    limx4(3x2 - 2x) = limx4 [3x

    2] - limx4[2x]

    = 3 limx4[x2] - limx4 [2x] = 3 [limx4 x]

    2 2 limx4 [x]

    = 3 [4]2 2 [4] = 40= 3 [4]2 2 [4] = 40

    3. limx4 [x2 9]/ x =

    = limx4 [x2 9]/x = limx4[x

    2 9]/lim x4 [x]

    = limx4[x2 9]/4 = {limx4[x

    2 9]}

    = [limx4 (x2) limx4 (9)] = {[limx4 (x)]

    2 + 9} = 5/4

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI106

  • 3. Limx-1[x2 + 6x + 9] = [1 6 + 9] = 4

    4. Limx2 [x2 -1][x -3] = limx2[x

    2 1] Lim x2[x 3]

    = [4 1][2 3] = -3

    5. Limx5 [x2 25]/[x 5] = limx5 [(x 5)(x + 5)]/(x 5)

    = limx5 [x + 5] = 10

    6. Lim [x + 2]/ [x2 16] = . Tidak ada limit6. Limx4 [x + 2]/ [x2 16] = . Tidak ada limit

    7. Limx 1 [x2 x 2]/ [x2 1] = .. . . Tidak ada limit

    8. Limx 1 [x3-3x2-9x+5]/[x4-2x3+4x2-6x+3]

    = limx1 [(x - 1)2 (x + 5)]/[(x - 1)2(x2 + 3)]

    = lim x 1 [x + 5]/[x2 + 3] = 3/2

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI107

  • 9. Limxa [a + 2x 3x]/[ 3a + x 2x, dengan a0

    = limxa [a + 2x 3x]/[2a + x - 4x] . [3a + x + 2x]/

    [a+2x + 3x]

    = limxa [(a x)/(3a -3x)] . [(3a + x + 2x)/

    (a + 2x + 3x)]

    = 1/3 [4a/ 23a] =2/33= /3 [4a/ 23a] = /33

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI

    108

    Kalkulus adalah Logika, makabelajarlah dengan logika .. boy 2012

  • Membagi dengan pangkat tertinggi

    bila f(x)/g(x) dapat dihitung dengan cara membagi f(x)dan penyebut g(x) dengan xn, dengan n adalah pangkattertinggi dari f(x) dan g(x)..

    Contoh.

    Hutunglah tiap limit fungsi berikut

    1. Lim (4x-1)/(4x + 4) = Lim (4x/x -1/x)/(4x/x -4/x)1. Limx (4x-1)/(4x + 4) = Limx(4x/x -1/x)/(4x/x -4/x)

    = [4 1/x]/[4 -4/x] = 1

    2. limx (2 x2 x + 2)/(x2 + 7x + 7)

    = limx (2x2/x2 x/x2 +2)/(x2/x2 + 7x/x2 +7/x2)

    = (2 1/x +2/x2)/(1 + 7/x + 7/x2) = 2

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI109

  • 3. Limx(x-5)/ (2x + 4)

    4. Limx (2x2 + 3x + 2)/(2x- 10)

    5. Limx (4x2 -4x +3)/( x2 x +2)

    6. Limx (2x2 -2x +2)/(x2)

    7. Limx (2x 2)2/ (x + 1)2

    8. Limx (2x 1)3/ (x 2)(x2 + x + 1)8. Limx (2x 1) / (x 2)(x + x + 1)

    9. Limx (2x + 4)2/(x4)

    10. Limx (8x3 + 4x2 + x +2)/(16x3 + 3x2 + 7x + 1)

    11. Limx (x + 4)4/(x4 + 4)

    12. Limx (x2 + 3x + 2)/ (x + 1)2

    13. Limx (x2 + 2x)2/(x4 + 4)

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI

    110

  • Mengalikan dengan faktor lawan

    bila f(x)-g(x) dapat dihitung dengan caramengalikan dengan [f(x)+g(x)]/[f(x)+g(x)]sehingga bentuk limit dan akan menjadi.

    Limx[f(x)g(x)] x [f(x)+g(x)] / [f(x)+g(x)]

    =Lim [f2(x)+g2(x)] / [f(x)+g(x)]=Limx [f2(x)+g2(x)] / [f(x)+g(x)]

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI111

    Contoh:1. Limx [(x+2)] [(x+1)] = Limx [(x+2)] [(x+1)] x [(x+2)]

    + [(x+1]) / [(x+2)] + [(x+1)]Limx (x+2) (x+1)/ [(x+2)] + [(x+1)]Limx 1/ [(x+2)] + [(x+1)] dibagi x

  • 2. Limx [(x2+3x-4)] [(x2-x+2)]

    Limx [(x2+3x-4)] [(x2-x+2)] x [(x2+3x-4)] + [(x2-x+2)] /

    [x2+3x-4] + [x2-x+2]

    Limx (1/x)/ [(1 + 2/x)]+ [(1 + 1/x)]

    = 0/ [1+0] + [1 + 0] = 0

    [x2+3x-4] + [x2-x+2]

    Limx [4x 6] / [(x2 + 3x 4)] + [(x2 - x + 2)]

    Selanjutnya akan dibagi dengan x, hasilnya adalah

    Limx [4 6/x] / [(1 + 3/x - 4/x2)] + [(1 1/x 2/x2)]

    Untuk x, akan diperoleh

    = 2 = 211/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI112

  • Limx [(2x2 - x + 1)] [(x2 + 3x 1)]

    Limx [(2x2 - x +1)] [(x2 + 3x 1)] x {[2x2 - x +1]

    + [(x2 + 3x 1)]/ [(2x2 - x +1)] + [(x2 + 3x 1)]}

    Limx [x2 - 4x + 2] / [(2x2 - x +1)] + [(x2 + 3x 1)]

    Selanjutnya akan dibagi dengan x2

    Lim [1 4/x + 2/x2]/ [(2/x2 1/x3 + 1/x4)] +Limx [1 4/x + 2/x2]/ [(2/x2 1/x3 + 1/x4)] +

    [1/x2 + 3/x3 1/x4)], subtitusi x

    = [1 0 0]/ [(0+0+0)] + [(0 + 0 + 0)], hasilnya adalah:

    = (tidak ada limit)

    Contoh-contoh di atas membuka memori untuk penyelesaian soal selanjutnya

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI113

  • TURUNAN

    (DERIVATIVE)(DERIVATIVE)

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI114

  • TURUNAN (DERIVATIVE)

    Turunan Fungsi Aljabar

    Definisi: Bila y =f(x) adalah suatu fungsi variabel x, danbila,

    dy/dx = lim x0 [y/x], atau berarti

    f1(x) = lim [f(x + x) f(x)]/x

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI115

    f1(x) = limx0 [f(x + x) f(x)]/x

    ada dan tidak terbatas, maka limit tersebut dinamakanturunan atau derivative dari y terhadap x dan f(x)dikatakan fungsi dari x yang dapat diturunkan(diffrentiable).

    11/2/2012115

  • Secara geometri dapatdigambarlan sebagai berikut.

    P(x0,y0) titik sembarang pada grafikpada y = f(x) dan Q(x1,y1) titik yanglain juga terletak pada y = f(x)sedangkan hubungan antara P danQ diberikan

    y= f(x)

    y

    y

    Qy1

    y Q diberikan

    x1 = x0 + x, maka x = x1 - x0y1 = y0 + y, maka y = y1 - y0x = PR dan y = RQ, berarti dariP ke Q, bila x0 bertambah x, makay0 juga bertambah y.

    x

    x1 xxo

    P Ry0

  • Koefisien arah (slope) garis sekans yang menghubungkantitik P dan Q adalah

    m = [y1 y0]/ [x1 x0] = y/x

    = f(x0 + x) f(x0)/ x

    Bila, P(x0,y0) titik tetap, sedangkan Q(x1,y1) adalah titik yangberjalan sepanjang grafik menuju P, maka dalam keadaan

    limit, berarti x0 akan memberikan koefisien arah garisselama berubah menjadi koefisien arah garis singgungpada grafik di titik P (mtg).

    mtg = limQP m = limx0y/x

    = limx0 [f(x0 + x) f(x0)]/ [x]

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI117

  • Bukti: bila y = c, c adalah konstanta

    Maka untuk x = xox = xo + x

    Harga y adalah tetap sama dengan c,

    y=c

    x

    y

    Teori (1). Turunan dari suatu konstanta sama dengannol (zero).

    Harga y adalah tetap sama dengan c,

    Maka. y = c

    y + y = c

    Dibagi dengan x, maka

    y/x = 0

    dy/dx = limx0 [y/x] = 011/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI118

    x

    x1 xxo

    y = 0

  • Teori (2).Turunan y = xn terhadap x sama dengan nx(n-1), dimana nbilangan bulat positif.

    Bukti: Dengan rumus Binomial, maka

    y + y = (x + x)n

    x + x n = 1

    x2 + 2x (x) + (x)2 n = 2

    x3 + 3x2 (x) + 3x (x)2 + (x)3 n = 3

    xn+ nxn-1 (x) + (suku-suku dalam x dan x (x)2 n 3xn+ nxn-1 (x) + (suku-suku dalam x dan x (x)2 n 3

    Karena y = xn, maka

    x n = 1

    2x (x) + (x)2 n = 2

    3x2 (x) + 3x (x)2 + (x)3 n = 3

    nxn-1 (x) + (suku-suku dalam x dan x).(x)2 n 3

    ++

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI119

    y

  • Dibagi dengan x

    1 n = 1

    2x + x n = 2

    3x2 + 3x(x) + (x)2 n = 3

    nxn-1 + (suku-suku dalam x dan x).(x)2 n 3

    Dengan pengertian Limit untuk x0, maka diperoleh turunan

    y/x

    Dengan pengertian Limit untuk x0, maka diperoleh turunan

    1 n = 1

    2x n = 2

    3x2 n = 3

    nxn-1 n 3

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI120

    dy/dx

  • Teori: Bila U = f(x) adalah fungsi dari x yang dapat diturunkan, ckonstanta, maka.

    d c U/dx = c dU/ dx

    Bukti, misal y = c U, dimana U = f(x)

    Maka, y + y = c(U + U), dimana U + U = f (x +x)

    Jadi, y = c (U+U) c U = c (U) =

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI121

    Jadi, y = c (U+U) c U = c (U) =

    y/x = c (U/x)

    dy/dx = limx0 y/x = limx0 c(U)/x

    = c limx0 U/x = c (dU/dx)

    y= c U dy/dx = d c U/ dx = c (dU/dx)

  • Dengan demikian bahwa. Bila U = xn, dan

    y = cxn, n adalah bilangan bulat

    dy/dx = cnxn-1

    Contoh; y = 10x3, y = 3x4 + 4x3 + 2x2 + 3x + 8

    y = 3x10, y = 4x3 + 3x2 + 3x2 + 4x +7

    Jadi, bila y = xn, n bilangan bulat positif, maka

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI122

    Jadi, bila y = xn, n bilangan bulat positif, maka

    dy/dx= nxn-1, Sehingga dy/dx disebut turunan pertama dari y= f(x) terhadap x, besarnya juga diberi simbol y, d/dx f(x),f(x) atau Dy.

    1. contoh: y = x5, y = x6, y = x2 + x + 6,y = x3 + x2 + x + 4, y = x4 + x3 + x2 + x + 4

  • perhatikan, y = (a + b)n

    perhatikan grafik sebelumnya

    x0, maka diperoleh y/x = dy/dx adalah: dy/dx = nxn-1

  • Simak cara ini : TURUNAN fungsi berikut:

    Bila y= x2, maka

    y + y = (x + x)2

    y + y = x2 + 2x.x + x2

    Karena y = x2, disubtitusi ke...,diperoleh y =2x.x +(x)2

    y/ x = 2x +(x)y/ x = 2x +(x)

    karena x0,

    y/x = dy/dx = 2x

    bila, y = x2 maka dy/dx = 2x

    dy/dx adalah gradien garissinggung kurva y = x2

  • y = x3

    y + y = (x + x)3

    y + y = (x3 + 3x2x + 3x x2 + x3)

    Karena, y = x3, maka diperoleh

    y = 3x2 x + 3x x2 + x3, dan

    Bagaimana bila fungsi

    yang diberikan, y = x3

    y = 3x x + 3x x + x , dan

    y/x = 3x2 + 3x x + x3/x

    x0, maka

    y/x = 3x2, y/x= dy/dx = 3x2

    Bila y =x3, maka dy/dx = 3x2

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI125

  • Bila y = 4x2 + 7Misalkan, y = ax2 + b perhatikan grafik sebelumnya

    y + y = a (x + x)n + b

    y + y = a [(xn +nx(n-1)(x) + a[n(n-1)/2!][x(n-2)(x)2] + a[n(n-1)(n-2) /3!] [xn-3 (x)3]+ + (b) dengan, y = axn + b

    y = anx(n-1)(x) + a[n(n-1)/2!][ x(n-2)(x)2] + a[n(n-1)(n-2)/3!]y = anx (x) + a[n(n-1)/2!][ x (x) ] + a[n(n-1)(n-2)/3!][xn-3 (x)3]+ .

    y/x = anx(n-1)+ a[n(n-1)/2!] [ x(n-2)( x)]+a [n(n-1)(n-2)/3!] [xn-3

    (x)2]+ .

    x0, maka y/x) = anx(n-1) + 0 + 0 + 0 +.

    y/x) = dy/dx = anx(n-1)

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI126

  • Untuk, y = (4x2 + 7)

    y + y = 4 (x + x)2 + 7

    y + y = 4 [(x2 +2x(2-1)(x) + 4[2(2-1)/2!][ x(2-2)(x)2] + 7

    dan y = 4x2 + 7

    y = 4 [2x(2-1)(x) + 4[2(2-1)/2!][x(2-2)(x)2]

    y/x = 8x+ 8/2[ x0)(x)2]y/x = 8x+ 8/2[ x0)(x)2]

    untuk x0, diperoleh hasil

    y/x = 8x+ 8/2[x0 (x)2]

    Jadi, y/x = dy/dx = 8x

    Bila y = 4x2 + 7, dy/dx = 8x

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI127

  • Teori. Turunan dari jumlah fungsi-fungsi yang dapat diturunkansama dengan jumlah turunan dari masing-masing fungsi berikut.

    U + U = f(x + x) dan

    V + V = g(x + x) Dan bila y = U + V, maka

    y + y = (U + V) + (V + V) dan

    Turunan dengan penjumlahan dan pengurangan fungsi

    y + y = (U + V) + (V + V) dan

    y = U + V

    Bila masing-masing ruas dibagi dengan x, maka diperoleh

    y/x = U/x + V/x

    Keadaan limit untuk x0

    limit y/x = lim U/x + lim V/x11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI128

  • Maka menurut definisi, bahwa dy/dx = dU/dx + dV/dx Akibat daripersamaan ini, Bila U, V, W . Z masing-masing fungsi xyang dapat diturunkan, dan bila

    y = U + V + W + Z, akan diperoleh turunanpertama dari fungsi ini adalah

    dy/dx = dU /dx + dV/dx + dW/dx + .. dZ/dx

    Masing-masing diberikan, U= x2 + 3x +5 dan V= x3 + 4x2 + 4x + 7,maka , dU/dx = 2x + 3 dan dV/dx = 3x2 + 8x + 4, dengandemikian akan diperoleh

    dy/dx = [2x + 3] + [3x2 + 8x + 4]

    = [3x2 + 10x + 7]

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI129

  • Atau juga dalam bentuk lain, yakni bila

    Z= U+V, dengan U dan V adalah fungsi x, ditulis dalam U = f(x)dan V = g(x). Turunan dari fungsi ini adalah

    dZ/dx = dU/dx + dV/dx

    Contoh lain: simak penyelesaiannya ?

    1. y = (x3 + 2x2 + 4x) + (3x2 + 7x + 10)1. y = (x + 2x + 4x) + (3x + 7x + 10)

    2. y = (x4 + 3x3 - 2x2 + 10) + ( x3 - 3x2 + 7x - 8)

    3. y = (x5 - 3x4 + 2x3) - ( 3x3 + x2 - 7x)

    4. y = (5x4 + 4x3) - ( 6x3 - 5x2)

    5. y = 4(2x4 + 2x3 - 4x2) - 2( 2x3 - 4x2 + 7x)

    6. y = 2(x3 + x2 5x) 3(x2 + 2x - 7)

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI130

  • 7. y = (x8 + 2x7 - 4x6) - ( 2x5 - 4x4) + (7x3 + x2 + x)

    8. y = (2x4 + 2x3) (2x3 - 4x2) + (2x + 4)

    9. y = x4 7x3 21x2 + 5

    10. y = 7x + 1010. y = 7x + 10

    11. y = (10x3 + 2x2) + (-10x3 2x2)

    12. y = (x3 x2 x) (2x3 4x2 -2x)

    13. y = (x + 2) (2x + 3) (x 4) + (2x2 + 4x + 4)

    14. y = (x + 1)2 + (x3 + 2x + 4) - (x2 + 2)2

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI131

  • TURUNAN FUNGSI RASIONAL

    Teori: Hasil ganda dari dua fungsi U dan V yang dapat diturunkanadalah dapat diturunkan, dan berlaku.

    d(U.V)/dx = V (dU/dx) + U (dV/dx)

    Bukti: bila y = UV, maka

    y + y = (U + U) (V + V)y + y = (U + U) (V + V)

    = U V + V (U) + U (V) + (U.V)

    y = V (U) + U (V) + (U. V) akan dibagi x, diperoleh

    y/x = V (U/x) + U (V/x) + U (V/x)

    Bila x0, maka juga U0 dan V0

    Jadi, lim y/x = V lim U/x + U lim V/x + limU lim V/x

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI132

  • Oleh karena limU0 U limx0V/x = 0

    dy/dx = d (U.V)/dx = V dU/dx + U dV/dx

    Dengan cara yang sama

    Bila, U1, U2, U3, U4 Un dan U adalah masing-masing fungsi x atau U= f(x) yang dapat diturunkan, dan bila

    y = U1 U2 U3 Uny = U1 U2 U3 Undy/dx = U2 U3 Un dU1/dx + U1 U3 Un dU2/dx +

    U1 U2 Un dU3/dx + U1 U2 U3 Un-1 dUn/dx

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI133

    Teori : Bila U dan V adalah fungsi dari x yang dapat diturunkandan V 0, maka

  • Untuk turunan hasil bagi fungsi x yang dinyatakansebagai berikut.

    y = U/ V, dengan U dan V adalah fungsi x, atau

    U = f(x) dan V = g(x)

    Teori : Bila U dan V adalah fungsi dari x yang dapat diturunkandan V 0, maka

    U = f(x) dan V = g(x)

    d/dx (U/V) = [V (dU/dx) U (dV/dx)]/V2

    dy/dx = V (dU/dx) U (dV/dx)/(V2)

    Simak contoh-contoh

    1. Di papan .. Tulis

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI134

  • dUn/dx = nUn-1 dU/dx,

    Bila misalkan U dinyatakan dalam y = Un dan n = p/q ( p dan q bilanganbulat positif atau negatig dan q 0),

    Maka, y = Up/q dan yq = Up

    DENGAN INDUKSI LENGKAP

    Teori: Bila U adalah fungsi yang dapat diturunkan dann bilangan rasional

    Maka, y = U dan y = U

    bahwa ruas kaki masing-masing didiferensialkan terhadap x, memberikan

    qyq-1 dy/dx = pUp-1 dU/dx,

    dy/dx = [pUp-1dU/dx] / [qyq-1] atau = [(p/q)Up-1 x y/yq x dU/dx]

    Harga y = Up/q dan yq = Up disubtitusi dan menghasilkan

    dy/dx= [p/q Up-1 x (Up/q/Up) dU/dx] = [p/q U(p/q-1) dU/dx], Jadi dUn/dx = n Un-1 dU/dx dan untuk n bilangan bulat atau rasional posneg

  • Contoh

    1. (x3 + 3x)2 dengan tahapan adalah:

    - dimisalkan bahwa U = x3 + 3x

    - dituliskan kembali dalam y = Un

    - diferensialakn y terhadap U, hasilnya dy/dU=nUn-1

    - diferensialkan U terhadap x,- diferensialkan U terhadap x,

    Selanjutnya,

    dy/dx = [(nUn-1) x (dU/dx)] atau = [(dy/dU) x (dU/dx)]

    Dengan dU/dx = 3x + 3 dan dy/dU = 2 U, jadi diperoleh

    dy/dx = 2 U (3x + 3), U = x3 + 3x, maka

    dy/dx = 2(x3 + 3x)(3x + 3) = 6x3 + 9X2 + 15X

  • 2. y = (4x3 + 4)1/2

    3. y = (3x + 2)/(4x2 + 3)

    4. y = (x2 + 1)(3x2 2x3)

    5. y = (x2 + 3)

    6. y = (x2 + 3)/ x

    7. y = (x2 - 1)(x3 2x 1)

    3

    3

    bers

    ma-

    sam

    a

    7. y = (x2 - 1)(x3 2x 1)

    8. y = (x2 - 9)(x3 27)(x4 81)

    9. y = (3x + 2)(9x2 4)(27x3 + 8)

    10. y = 3/ (2x -5) 11. y = (x3 - 4x)/(16 x2)

    12. y = x/(x2 + 1) 13. y = x(x2 + 1)

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI137

    Sim

    akbe

    rsm

    a

  • Teori: Bila U adalah fungsi x yang dapat diturunkan dan nbilangan rasional, maka

    y = Un jadi dy/dx = n Un-1 [dU/dx], berlaku untuk nbilangan bulat atau rasional positif atau negatif.

    Contoh:

    1. y = (x2 + 3x)2 dy/dx = 2(2x3 + 9x2 + 9x)

    2. y = (4x3 + 1)1/2 dy/dx = 6x2/ (4x3 + 1)

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI138

    2. y = (4x3 + 1)1/2 dy/dx = 6x2/ (4x3 + 1)

    3. y = (3x + 2)/(4x2 + 3) dy/dx = -(12x2 - 16x 9)/(4x2 + 3)2

    4. y = (x3 4x)/ (16 x2) dy/dx = -(x4 - 44x2 + 64)/(16 - x2)2

    5. y = 3/ (2x 5) dy/dx = -6/ (2x 5 )2

    6. y = (x2 9)(x3 27)(x4 81) 10. y = (x2 + 2) 11. y =(x2 + 3)/x

    7. y = x/(x2 + 1) 8. y = x(x2 + 1) 9. (3x + 2)/(4x2 + 3)

    3 3

  • 1. Persamaan lintasan dari suatu partikel adalah s = 2x2 + 3t + 5,s dalam cm dan t seconds. Berapakah kecepatan rata-rata daripartikel dalam interval t=1 dan t=5

    2. Persamaan lintasan dari suatu partikel adalah s = t3 - 9t2 + 15t -7Tentukan harga s dan v jika percepatan = 0, dan untuk harga-harga tyang manakah v 0.

    3. Sebuah tangki minyak akan dikosongkan isinya, bila kapasitas minyak3. Sebuah tangki minyak akan dikosongkan isinya, bila kapasitas minyakdalam tangki pada saat t menit sebesar

    Q = 67.500 - 9000t - 300t2

    Berapa meterkubik permenit kecepatan minyak mengalir keluar padasaat t=0 dan pada saat t= 2 menit sebelum minyak dalam tangki habis.

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI139

  • Untuk mencari turunan fungsi implisit yang dinyatakandalam bentuk f(x,y)= 0. Lebih baik disajikan dengancontoh penyelesaian berikut.

    Hitunglah dy/dx dari

    1. x2y + xy2 = 6, masing-masing suku didifrensialkan terhadap x,akan memberikan

    TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

    140

    akan memberikan

    d/dx(x2y) + d/dx(xy2) - d/dx(6) = 0

    2xy + x2dy/dx + y2 + 2xy dy/dx 0 = 0

    kumpulkan suku yang mengandung dy/dx, dan menghasilkan

    (x2 + 2xy)dy/dx = -(2xy + y2)

    Jadi, dy/dx = -[(2xy + y2)/(x2 + 2xy)]; untuk x2 + 2xy 0

    contoh berikutnya

  • 2. y = x/ (x2 + 1)

    3. xy + (x + y + 1)2 = 0

    4, (3x + 7)5 = 2y3

    5. y3 = (x y)/ (x + y)

    6. (x + y)3 + (x y)3 = x4 + y4

    Simak bersama-sama

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI141

    TURUNAN FUNGSI KOMPOSIT (COMPOSITE)

  • Bila fungsi y = F(x) ditulis dalam bentuk persamaanparameter dalam t, yakni x = f(t) dan y = g(t), maka

    y = F(x) = F[f(t)] = g(t) dan dy/dx dituliskan berikut

    dy/dx = [dy/dt ]/ [dx/dt] untuk dx/dt 0

    Contoh:

    Hitunglah dy/dt dari x = [t + 1/t] dan y = [t 1/t]Hitunglah dy/dt dari x = [t + 1/t] dan y = [t 1/t]

    - Tuliskan dx/dt hasilnya 1 - 1/t2

    - Tuliskan dy/dt hasilnya 1 + 1/t2

    - Kemudian subtitusi ke dy/dx = [dy/dt ]/ [dx/dt] dan diperoleh

    dy/dx = [1 + 1/t2]/[1 1/t2] = [t2 + 1]/[t2 1] dibagi t,dy/dx = [t+ 1/t]/[t 1] subtitusi x dab y, dy/dx = ( x/ y)

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI142

  • 1. x = u2/(u2 +1) dan u = (2x +1)

    2. x = 2t + 3 dan y = t2 1

    3. x = 1/ (1 t) dan y = t2

    Bila suatu fungsi dinyatakan dalam y = f(x) dan z = g(x) atau

    y = F(x) = g[f(x)]. Maka F adalah fungsi dari x yang dapat

    diturunkan dan turunan y terhadap x adalah:diturunkan dan turunan y terhadap x adalah:

    dy/dx = [dy/dz] x [dz/dx] rumus cantik

    Bila Z = F(x,y) dan x dan y adalah fungsi t, maka

    dZ/dt = (dZ/dx)( dx/dt) + (dZ/dy)( dy/dt)

    Bila, W = f(x, y, z) dan x, y dan z adalah fungsi t. Maka

    dW/dt = (dW/dx)(dx/dt) + (dW/dy)(dy/dt) + (dW/dz)(dz/dt)

  • DIFERENSIAL PARSIAL

    Jika suatu fungsi F = f(x,y) dan fungsi ini didiferensialkanterhadap x, dan y, maka diperoleh fungsi baru,

    dF/dx= dan dF/ dy

    Misalnya:Misalnya:

    Z= x2 + y2, disini Z merupakan fungsi dari x dan y. Dengan demikian,

    dZ/dx, dapat dicari dengan mendiferensialkan Z terhadap x, dengany konstan.

    dZ/dy, juga dapat dicari mendiferensialkan Z terhadap y,,dengan xkonstan.

  • Contoh:

    1. Untuk memperoleh du/dx, kita anggap y konstan.

    Diferensialkan x2 terhadap x adalah 2x

    Diferensialkan parsial xy terhadap x adalah y. dan (y adalahfaktor konstan).

    Diferensialkan parsial y2 terhadap x adalah 0 (y2 adalah suku

    u = x2 + xy + y2

    Diferensialkan parsial y2 terhadap x adalah 0 (y2 adalah sukukonstan), jadi du/dx= 2x + y

    2. Untuk memperoleh du/dy, kita anggap x konstan, diferensialkanparsial x2 terhadap y=0 (x2 adalah suku konstan).

    Diferensialkan parsial xy terhadap y=x (x adalah suku konstan).

    Diferensialkan parsial y2 terhadap y= 2y,

    Maka diperoleh du/dy= x + 2y

  • Bila Z adalah fungsi x dan y atau Z = f(x,y) dinyatakan (2x-y)(x+3y)

    Bentuk ini merupakan bentuk perkalian (ingat kuliah sebelumnya).Aturan perkalian yang biasa dapat diterapkan disini denganmengingat bahwa untuk mencari dZ/dx, dan y konstan dan dalammencari dZ/dy, dan x konstan. Maka,

    dZ/dx = (2x-y) + 2(x+3y) = 4x + 5y

    dZ/dy = -(x+3y) + 3(2x-y) = 5x 6y dZ/dy = -(x+3y) + 3(2x-y) = 5x 6y

    Z = (4x-2y)(3x+5y)

    dZ/dx = 24x + 14y

    Sedangkan, dZ/dy = 14x 20y

    Z = (2x-y)/(x+y) tentukan dZ/dx dan dZ/dy. Karena bentuk ini adalahpembagian, maka

    =

  • 4x + 14= 3y (x + y) dan

    2x + 7 = -3x/ (x + y)

    x/y = (x3 + 3x + y3 - 3Y)

    x + y = (xy + x2y2 - x - y)

    Z = ( x + y)/ (x y)

    Z = (x2 + y2)/ (x2 y2)

    Fungsi Implisit

    Z = (x + y )/ (x y )

    Z = (y2 + x2)/ (y2 x2)

    Z = (x2 + y2)/(x2 - y2)

    Z = (x2 - y2)/(x2 + y2)

    Z = (x + y)2 / (x y)2

    bahasan turunan funsgi tidaklah susah dan sulit, kecuali kesulitan itu datang dari kita sendiri

    .. Boy 2012

    Fungsi parsial

  • Z = (x + y) dengan x = 2t + 4 dan y = 4 2t

    Z = 2x2 + 7x + y3 -3y) dengan x = t2 + 4t dan y = 4t t3

    Z = (x3 + 3x + y3 3y) dengan x = 2t2 dan y = 2t2

    Z = (xy + x2y2 - x - y) dengan x = 3t2 + 2 dan y = 3t2 - 2

    Z = ( x + y)/ (x y) dengan x =(2t + 1)2 dan y = (2t - 1)2

    W = (x2 + y2+ z2) dengan x = 2t 4, y = 2t + 4 dan z = t2 + 2t

    SOAL-SOAL PENTING . ?

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI148

    W = (x2 + y2+ z2) dengan x = 2t 4, y = 2t + 4 dan z = t2 + 2t

    y = (x2 + 2x)1/3/ (x2 2x)1/3

    y = (x2 + 2x)/(x2 2x2) y = x/x

    y = (x2 2x) x (x2 + 4)/(x2 2x) x (x2 - 4) y = (x + 2)/(x + 1)

    y = (x3 + 2x2 + 4x)2 / (x3 x2 7x)2 y = (x + 1)/(x-1)

    y = (x3 + 2x2 + 4x)2 /(x3 x2 7x)23 3

    TAK KUSANGKA DATANG LAGI . ?

  • Konsultasikan bila belum dimengertiboys 2012

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI149 WAJAHMU BIDADARIKU ?

  • DIFERENSIAL POLINOMIAL

    MENDIFERENSIALKAN fungsi polinomial adalahmendiferensialkan masing-masing suku .

    TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI150

  • Notasi alternatif Koefisien diferensialNotasi alternatif Koefisien diferensial

    y = 2x2 5x + 3, maka dy/dx = 4x 5. ini adalah pernyataanpada yang dapat ditulis sebagi pernyataan tunggal denganmenempatkan y dan dy/dx, yaitu d/dx (2x2 5x + 3) dengancara yang sama, maka d/dx (4x3 7x2 + 2x 5)

    12x2 14x + 2Metode I dan II adalah pilihan ?

  • Kemiringan grafik garislurus dinyatakan

    m = dy/dx = tg

    KEMIRINGAN GRAFIK GARIS LURUS

    m = dy/dx = tg

  • Bila titik P(2,3) dan Q(6,4), makakemiringan grafik garis lurus adalahm= (4 2)/(6 2) = 0,5 dan darititik koordinat di P dan Q dapatdituliskan persamaan garis lurusyang dinyatakan dalam

    y 4 = 0,5[x 3]y 4 = 0,5[x 3]

    y = 0,5x + 2,5

  • Bila titik P(3,5) dan Q(7,1),maka kemiringan grafik garislurus adalah

    m = (1 5)/(7 3) = -1

    dan dari titik koordinat di P danQ dapat dituliskan persamaangaris lurus yang dinyatakangaris lurus yang dinyatakandalam

    y 1 = -1 [x 7]

    y = -x + 8

  • Bagaimana m bisa diperoleh dan tuliskan persamaan garis lurusyang menghubungkan titik koordinat P dan Q.

  • Bila titik Q bergeser sepanjanggaris PQ ke titik Q1, Q2 Q3 hinggatitik Q berimpit dengan titik P.Titik P adalah titik singgung garisf(x) Gambar (1). Dan membuatgaris lurus yang menyinggungtitik P seperti pada Gambar (2)

    Q1Q2Q3

    titik P seperti pada Gambar (2)

    11/2/2012

    Maka persamaan garis singgungkurva f(x) di titik P adalah

    y1 y2 = m (x1 x2)

    Jadi m = y/x

  • Ke

    mir

    ing

    an

    ga

    ris

    luru

    s(m

    )(1

    )g

    rafi

    k(2

    )tu

    run

    an

    Ke

    mir

    ing

    an

    ga

    ris

    luru

    s(m

    )(1

    )g

    rafi

    k(2

    )tu

    run

    an

  • TURUNAN FUNGSI GONIOMETRI

    Bila y = sinx

    Maka, y + y = sin(x + x), y = sin(x + x) y

    y = sin(x + x) - sinx dari rumus baku diperoleh bahwa:

    sin A-sinB = 2[cos(A+B)/2][sin(A-B)/2] dengan

    A= (x+x) dan B= xA= (x+x) dan B= x

    Dengan demikian,

    y = 2[cos(x+x)/2][sin(x/2] = 2[cos (x+x/2)] sin(x/2)

    y/x = 2[cos(x+x/2)] [sin(x/2)]/x

    = [cos(x+ x/2)] sin(x/2)/ (x/2)

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI158

  • masih ingatkah aku

    TURUN AN BAK U

    TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI159

    dari turunan baku dapatdituliskan bahwa:

  • Dengan x0 disubtitusikan ke . danDengan x0 disubtitusikan ke . dandiperoleh y/x = dy/dx cosx.1

    Jika y = sinx, maka dy/dx = cosx

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI160

  • Dengan cara sama, maka

    Bila y = cosx

    Maka, y + y = cos(x + x), y = cos(x + x) y

    y = cos(x + x) - cosx dari rumus baku diperoleh bahwa:

    cosA-cosB = -2[sin(A+B)/2][sin(A-B)/2] dengan

    A= (x+x) dan B= x

    wahai bidadariku

    A= (x+x) dan B= x

    Dengan demikian,

    y = -2[sin(2x+x)/2][sin(x/2] = -2[sin(x+x/2)] sin(x/2)

    y/x = -2[sin(x+x/2)] [sin(x/2)]/x

    = [sin(x+ x/2)] sin(x/2)/ (x/2)

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI161

  • Sentuhlah aku ?

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI162

    Dengan x0 disubtitusikan ke ....... dandiperoleh y/x = dy/dx -sinx.1

    Jika y = cosx, maka dy/dx = -sinx

  • Turunan baku selengkapnya baca halaman awal PP

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI163

  • F adalah fungsi x, F(x)

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI164

  • Perhatikan contoh penyelesaian berikut

  • DENSUS 88 and TERORIS

    11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI167

  • mengerjakan soal2 latihan sambil minum kopi rasanya masyuuus .. ?

    y = sin(2x -2)

    y = x3/sinx

    y = tan(2x -2)y = tan(2x -2)

    y = tan2x

    y = e2xtan(2x -2)

    y = 4 cos(5x + 4)

    y = e2x

    y = -2e2x+-211/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI168

  • Selamat JalanSemoga Sukmamu Diterima

    Di sisi Allah SWTDi sisi Allah SWTamin .

    Bahasan selanjutnya INTEGRAL