kalkulus 1

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

Pertemuan 1

PENDAHULUAN

Mata kuliah Kalkulus I merupakan salah satu mata kuliah wajib di jurusan

Teknik Informatika Universitas Nasional pada semester Ganjil. Mata kuliah ini

memiliki bobot 2 SKS, dengan waktu tatap muka selama 100 menit setiap pertemuan.

Untuk setiap pertemuan akan disampaikan materi-materi sesuai dengan SAP yang sudah

disusun, kemudian akan diberikan soal-soal latihan sebagai pendalaman materi.

1.1. Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan

Adapun materi kuliah yang akan dibahas pada mata kuliah ini adalah sebagai

berikut :

Pert.Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Aktivitas

PembelajaranMedia/Referensi

1.

PENDAHULUANTIU : Agar mahasiswa

mengetahui materi-materi yang akan

dipelajari pada mata kuliah ini beserta

tujuannya dan penggunaan teori-teori

kalkulus dalam kehidupan sehari-hari.

1. Penjabaran pokok bahasan dan sub pokok bahasan mata kuliah Kalkulus I beserta tujuannya.

2. Penggunaan teori-teori kalkulus dalam kehidupan sehari-hari

- Kuliah Mimbar- Diskusi

Textbook :Modul, Ref. 1 Other :In FocusPapan TulisOHP

2.

HIMPUNANTIU : Agar mahasiswa

memahami definisi himpunan, notasi

himpunan dan macam-macam himpunan

1. Definisi Himpunan=> Agar mahasiswa memahami apa yang dimaksud dengan himpunan

2. Notasi Himpunan=> Agar mahasiswa memahami bagaimana cara menuliskan himpunan

3. Macam-macam Himpunan

=> Agar mahasiswa memahami macam-macam himpunan

- Kuliah Mimbar- Diskusi- Latihan Soal

Textbook :Modul, Ref. 1, Bab I Other :In FocusPapan TulisOHP

3. DIAGRAM VENNTIU : Agar mahasiswa

memahami definisi diagram Venn, operasi-

operasi antar himpunan, dan diagram

Venn untuk operasi-operasi antar himpunan

tersebut

1. Definisi Diagram Venn =>Agar mahasiswa

memahami apa yangdimaksud dengan diagram Venn

2. Operasi-operasi antar Himpunan

=> Agar mahasiswa memahami hubungan antar himpunan melalui operasi-operasinya


Textbook :Modul, Ref. 1, Bab I Other :In FocusPapan TulisOHP

1


3. Diagram Venn untuk Operasi-operasi Himpunan

=> Agar mahasiswa memahami cara membuat diagram Venn untuk operasi-operasi pada himpunan

4.

HIMPUNAN BILANGAN

TIU : Agar mahasiswa memahami tentang Skema Himpunan Bilangan, harga

mutlak, pertidaksamaan, harga mutlak, permutasi, dan

kombinasi

1. Sistem Bilangan => Agar mahasiswa

memahami skema himpunan bilangan

2. Pertidaksamaan=> Agar mahasiswa

memahami pertidaksamaan3. Harga mutlak

=> Agar mahasiswa memahami apa yang dimaksud dengan harga mutlak dan mengenal sifat-sifatnya.

4. Permutasi dan Kombinasi=> Agar mahasiswa memahami apa yang dimaksud permutasi kombinasi, rumus-rumusnya serta perbedaannya.


Textbook :Modul, Ref. 1, BAB II Other :In FocusPapan TulisOHP

5.

BINOMIUM NEWTON

TIU : Agar mahasiswa dapat memahami

Teorema Binomium Newton, mencari harga

pendekatan dan bilangan kompleks

1.Teorema Binomium Newton

=> Agar mahasiswa memahami bentuk teorema Newton dan penggunaannya

2. Mencari harga pendekatan

=> Agar mahasiswa memahami cara mencari harga pendekatan dan penggunaannya

3. Bilangan Kompleks => Agar mahasiswa

memahami bentuk bilangan kompleks dan sifat-sifat yang berlaku pada bilangan kompleks


Textbook :Modul, Ref. 1, BAB II Other :In FocusPapan TulisOHP

6. FUNGSITIU : Agar mahasiswa

dapat memahami definisi fungsi, grafik

fungsi, system koordinat, daerah

definisi dan daerah nilai serta jenis-jenis

fungsi Riil

1. Definisi Fungsi=> Agar mahasiswa memahami apa definisi fungsi

2. Grafik Fungsi Sistem Koordinat

=> Agar mahasiswa memahami bagaimana cara menggambarkan grafik fungsi pada sebuah sistem koordinat

3. Daerah Definisi dan Daerah Nilai


Textbook :Modul, Ref. 1, BAB IV Other :In FocusPapan TulisOHP

2


=> Agar mahasiswa memahami maksud dari daerah definisi dan daerah nilai dari sebuah fungsi

4. Jenis-jenis Fungsi Riil => Agar mahasiswa

mengetahui jenis-jenis fungsi Riil

7.

FUNGSI KHUSUSTIU : Agar mahasiswa mengetahui jenis-jenis fungsi khusus, fungsi

dalam bentuk parameter dan fungsi dalam koordinat polar

1. Jenis-jenis Fungsi Khusus=> Agar mahasiswa mengetahui jenis-jenis fungsi yang bentuknya khusus

2. Fungsi dalam Bentuk Parameter

=> Agar mahasiswa mengetahui fungsi dalam bentuk parameter

3. Fungsi dalam Koordinat Polar

=> Agar mahasiswa mengetahui fungsi dalam bentuk koordinat polar


Textbook :Modul, Ref. 1, BAB IV Other :In FocusPapan TulisOHP

8. UJIAN TENGAH SEMESTER

9.

LIMIT FUNGSITIU : Agar mahasiswa

memahami definisi limit fungsi secara intuitif dan teoritis,

sifat-sifat limit fungsi dan teorema tentang

limit fungsi

1. Definisi Intuitif Limit Fungsi => Agar mahasiswa

memahami definisi intuitif limit fungsi

2. Definisi Teoritis Limit Fungsi => Agar mahasiswa

mengetahui definisi teoritis limit fungsi

3. Sifat-sifat Limit Fungsi => Agar mahasiswa memahami sifat-sifat limit

Fungsi4. Teorema Limit Fungsi => Agar mahasiswa mengetahui teorema-teorema

tentang limit fungsi


Textbook :Modul, Ref. 1, BAB V Other :In FocusPapan TulisOHP

10.

KONTINUITAS FUNGSI

TIU : Agar mahasiswa memahami definisi

fungsi kontinu, sifat-sifat dan teorema

tentang fungsi kontinu

1. Definisi Fungsi Kontinu => Agar mahasiswa memahami definisi fungsi Kontinu2. Sifat-sifat Fungsi Kontinu => Agar mahasiswa memahami sifat-sifat fungsi Kontinu3. Teorema Fungsi Kontinu => Agar mahasiswa mengetahui teorema tentang fungsi kontinu


Textbook :Modul, Ref. 1, BAB V Other :In FocusPapan TulisOHP

11. TURUNAN FUNGSI 1. Definisi turunan - Kuliah Mimbar Textbook :

3



definisi turunan, rumus dasar turunan dan mampu mencari

turunan dari ber bagai bentuk fungsi.

- Mengerti akan turunan (derivative).

- Mampu menggunakan limit untuk mencari turunan sebuah fungsi.

- Mampu menyelidiki apakah sebuah fungsi mempunyai turunan pada sebuah titik.

2. Rumus dasar turunan- Mengenal rumus-rumus

dasar turunan dan dapat memanfaatkannya untuk menentukan turunan berbagai fungsi.

- Diskusi- Latihan Soal

Modul, Ref. 1, BAB VI Other :In FocusPapan TulisOHP

12.

TURUNAN FUNGSITIU : Agar mahasiswa

memahami Aturan rantai untuk fungsi

tersusun dan mencari turunan dari fungsi

invers

1. Aturan rantai untuk fungsi tersusun.

- Mengenal fungsi tersusun.

- Mampu menentukan turunan dari sebuah fungsi tersusun.

2. Turunan dari fungsi invers.

- Mampu menentukan turunan dari fungsi invers.


Textbook :Modul, Ref. 1, BAB VI Other :In FocusPapan TulisOHP

13.

TURUNAN FUNGSI TIU : Agar mahasiswa

memahami turunan dari fungsi implicit, dan mencari turunan

dengan bantuan logaritma

1. Turunan dari fungsi implisit.

- Dapat menentukan turunan dari sebuah fungsi implisit.

2. Penurunan dengan bantuan logaritma.

- Dapat mencari turunan sebuah fungsi dengan bantuan logaritma.



14. TURUNAN FUNGSI TIU : Agar mahasiswa

mengetahui turunan dari fungsi dalam

persamaan parameter dan mencari turunan kedua serta turunan

yang lebih tinggi

1. Turunan dari fungsi dalam persamaan parameter.

- Mampu menentukan turunan sebuah fungsi dalam persamaan parameter.

2. Turunan kedua dan turunan yang lebih tinggi.

- Mengerti cara menentukan turunan kedua dan turunan yang lebih tinggi dari sebuah fungsi.

- Dapat menentukan turunan kedua/lebih tinggi dari sebuah fungsi implisit fungsi tersusun dan fungsi dalam



4


persamaan parameter.

15.

BEBERAPA APLIKASI TURUNAN


penggunaan Turunan untuk menyelesaikan

beberapapersoalan.

1. Garis Singgung dan Garis Nomal

- Mampu membuat persamaan garis singgung dan garis normal dari sebuah kurva pada suatu titik yang diketahui dengan menggunakan turunan

- Mampu menghitung panjang garis singgung dan garis normal

2. Maksima dan Minima- Memeriksa sebuah - fungsi apakah fungsi

naik atau fungsi turun,fungsi cembung/cekung

- Mencari dan menentukan titik/nilai Ekstrim suatu

fungsi.


Textbook :Modul, Ref. 1, BAB VIIRef. 2, CHAP. 7, 8, 9 Other :In FocusPapan TulisOHP

16. UJIAN AKHIR SEMESTER

Keterangan :Aktivitas pembelajaran tidak diatur mengikat, hanya secara umum dan setiap Dosen diharapkan

mempunyai aktifitas tambahan masing-masing

Group Assignment:1. Kelas akan di bagi dalam kelompok. Dan tiap kelompok akan dibagi secara bergiliran untuk

membawakan kasus nyata yang sesuai dengan topik yang akan dibahas pada hari bersangkutan agar pemahaman terhadap matakuliah lebih mapan.

2. Akan diberikan beberapa kasus yang dibagi diantara kelompok mahasiswa. 3. Akan diberikan satu kasus besar yang dalam penyelesaiannya bertahap dari minggu ke minggu

sesuai bab pembahsan. Tugas akan dikumpulkan di akhir semester

Referensi :

[1] Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus S., Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi, Ghalia Indonesia, Jakarta, 1995[2] Frank Ayres, Differential and Integral Calculus 2/ed, McGraw-Hill Book Company, NewYork, 1978.[3] Leithold, L ., 1972, The Calculus with Analitic Geometry, Harper International Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.[4] Martono, K., 1970, Modern Control Engineering, Prentice-Hall., Englewood Cliffs, New Jersey.Kreyzig, E., 1983, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley and Sons, Inc, Canada.

Materi Ujian : UTS : - Materi minggu ke 1 s/d 7 UAS : - Materi Minggu ke 9 s/d 15

5


Pertemuan - 2

HIMPUNAN

1. Definisi Himpunan :

Himpunan adalah kumpulan atau kelompok elemen-elemen yang memiliki sifat atau

karakteristik tertentu dan memenuhi syarat keanggotaan, elemen-elemen tersebut

disebut anggota dari himpunan

2. Notasi-notasi yang berhubungan dengan suatu himpunan:

untuk menyatakan sebuah himpunan

untuk menyatakan anggota himpunan

a S a anggota dari himpunan S

p S p bukan anggota himpunan S

a, b, c anggota himpunan S jika S = a, b, c atau S = {b, a, c} atau S = b, a, c,

dalam hal ini, urutan dari elemen-elemen himpunan tidak diperhatikan.

Himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang memenuhi sifat p ditulis dengan notasi

x x memenuhi sifat p misalnya A adalah himpunan bilangan riil lebih besar dari 2

dapat ditulis A = x x riil, x 2

3. Macam-macam Himpunan :

1. Himpunan berhingga ( finite set ) yaitu himpunan yang jumlah elemennya

berhingga. Contoh :

A = x x adalah 4 bilangan genap pertama = 2, 4, 6, 8

B = x 2 x 10 , x = bilangan ganjil = 3, 7, 9

2. Himpunan tak berhingga ( infinite set ), yaitu himpunan yang jumlah elemennya

tidak berhingga. Contoh :

C = x x adalah bilangan ganjil 1 = 3, 7, 9, 11 ………

D = x x adalah bilangan riil 6 = 7, 8, 9 ……..……

6


3. Himpunan kosong ( void set ), yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen.

Contoh :

E = x x2 = 9 , x adalah genap = atau

4. Himpunan sama, yaitu himpunan yang memiliki elemen-elemen yang sama,

walaupun urutannya berbeda. Contoh :

Jika F = 6, 7, 8, 9 dan G = { 9, 7, 6, 8} maka F = G

5. Himpunan Ekivalen ( kesamaan 2 himpunan ), yaitu himpunan yang memiliki

jumlah elemen/kardinalitas yang sama. Contoh :

Jika H = 2, 3, 4, 5 dan I = { h, I, j, k } maka H I karena n(H) = n(I) = 4

6. Himpunan Bagian (subset), yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada

himpunan yang lain. Contoh :

Jika J = 2, 4, 6, 8 dan K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } maka J K ( J subset

dari K ), sedangkan K J ( K superset dari J ) karena K mengandung semua

elemen dari J.

7. Himpunan saling lepas / asing / disjoint, yaitu himpunan yang elemen-

elemennya berbeda. Contoh :

Jika L = 1, 2, 3, 4, 5 dan M = { 15, 16, 17, 18, 19 } maka L M

8. Himpunan Semesta ( Universal set ), yaitu himpunan yang mencakup semua

himpunan yang sedang dibicarakan. Contoh :

Jika N = a, b, c, d , O = { e, f, g, h } dan P = { i, j, k, l } maka himpunan

semestanya S = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l

9. Himpunan Komplemen, yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di

himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya.

Contoh : Jika S = { bilangan bulat positif }, Q = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan

R = 1, 3, 5, 7,... maka himpunan komplemen dari R adalah Rc = 2, 4, 6, 8, ...

dan himpunan komplemen dari Q adalah Qc = 8, 9, 10, …

10. Himpunan Keluarga / Set of Set, yaitu himpunan yang elemen-elemennya

berupa himpunan. Contoh :

T = 2,3, 1,0, 0,4,7 …….. Himpunan keluarga

U = 2,3, 5, 7 , 0,4,7 …….. Bukan Himpunan Keluarga

7


11. Himpunan Power Set / Kuasa, yaitu himpunan yang elemen-elemennya

merupakan subset dari himpunan yang bersangkutan

Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2 n maka jumlah

elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2n. Contoh :

W = 2, 5 maka himpunan bagiannya ada 22 = 4, yaitu :

2 2,5, 5 2,5, 2,5 2,5, 2,5} maka himpunan

kuasa W = 2,5 adalah 2,5,2,5,

LATIHAN SOAL Himpunan

Sebutkan jenis-jenis himpunan di bawah ini :

1 . A = senin, selasa

B = rabu, kamis, jumat

2. C = besar

D = kecil, sedang, besar

3. E = 1, 2, 3, 4

F = 3, 1, 2, 4

4. G = ice cream, permen, coklat

H = sepeda, motor, mobil

5. I = 11, 12, 13, 14

J = 12, 14 Jc = ………..

6. K = a

L = b

M = c S = ……..

7. N = 0,1, 1,0, 0,0, 1,1 ………….

O = 0,1, 1,0, 0,0, 1,1 ………….

8. P = x x adalah 2 bulan awal dalam setahun

9. Q = x x adalah nama-nama hewan berkaki 4

10. R = x 2x2 = 8 dimana x = ganjil

Pertemuan - 3

8


DIAGRAM VENN

1. Definisi Diagram Venn :

Alat untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan

Himpunan yang dimaksud digambarkan dengan lingkaran sedangkan himpunan

Semesta digambarkan dengan 4 persegi panjang

2. Operasi antar Himpunan :

1. Gabungan ( Union ) symbol

Contoh : S = a, b, c, d ; T = a, d, e, f , maka :

S T = a, b, c, d, e, f

S T = x x S atau x T

2. Irisan ( intersection ) symbol

Contoh : P = a, b, c, d ; R = a, d, e, f ; Q = h, i, j, k , maka :

P R = a, d

P R = { x x P dan x R }

P Q = …… saling asing/disjoint/kosong

R Q = …… saling asing/disjoint/kosong

3. Komplemen dari S symbol Sc

Contoh : S = 1, 2, 3 , maka :

Sc = 4, 5, 6……

Sc = 0,-1,-2…..

4. Selisih X – Y

Contoh : X = 10, 20, 30, 40, 50 ; Y = 10, 30, 60 , maka :

X – Y = 20, 40, 50

5. Selisih Simetri symbol

Contoh : A = 2, 3, 4, 6 ; B = 1, 3, 4, 5, 6 , maka :

A B = ( A B ) – ( A B )

= 1, 2, 3, 4, 5, 6 } – { 3, 4, 6

= { 1, 2, 5 }

Atau A B = ( A – B ) ( B – A )

9


= 2 } { 1, 5 }

= { 1, 2, 5 }

6. Hasil kali cartesius dari 2 himpunan A dan B symbol x

A x B = ( x,y ) x A, y B x dan y pasangan berurut

Contoh : A = a, b, c

B = 1, 2

A x B = (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)

B x A = (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)

A x B B x A

3. Diagram Venn untuk Operasi-operasi pada Himpunan :

1. Diagram Venn untuk operasi Gabungan

S

A B Himpunan A dan B saling lepas

S

A B Himpunan A dan B saling beririsan

S

A

B

Himpunan A subset dari himpunan B

S S S

10


2. Diagram Venn untuk operasi Irisan

3. Diagram Venn untuk operasi Selisih (A-B)

4. Diagram Venn untuk komplemen himpunan (AC)

5. Diagram Venn untuk operasi Selisih Simetri (AB)

S

A B

S

A B

S

A B

S

BB

A

S S S

A B A B

BB

A

S S S

A B A

BB

ABA

S

A B

S

B

A

S S S

A

BB

BA

11


CONTOH SOAL Diagram Venn

1. Diketahui : A = 1, 3, 5, 7, 9 B = 1, 2, 3, 4, 5, 6 C = 2, 4, 6, 8, 10 D = 8, 10, 12, 14 E = p, q F = 4, 5, 6

Maka : A B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 A B = 1, 3, 5 A C = = C - D = 2, 4, 6 D - C = 12, 14 C D = ( C D ) – ( C D ) = 2, 4, 6, 8,10, 12, 14 } – { 8,10 = { 2, 4, 6, 12, 14 } C D = ( C – D ) ( D – C ) = 2, 4, 6 } { 12, 14 = { 2, 4, 6, 12, 14 } E x F = (p,4), (p,5), (p,6), (q,4), (q,5),(q,6) F x E = (4,p), (4,q), (5,p), (5,q), (6,p), (6,q) Ec = a, b, c, d …… atau r, s, t, u ……… Fc = -1,-2,-3 …… atau 1, 2, 3, 7, 8 …

LATIHAN SOAL

I. Sebutkan jenis-jenis himpunan di bawah ini :

1. 3,2,2,3,3,2 6. xx adalah nama-nama hari

dalam seminggu

A BA

12


2. a,b,c,d dan e,f,g,h 7. h,i,j,k dan 2,3,4,5

3. 1,0,1,0 dan 0,1,0,1 8. 6,7,8,9 dan 10,11,12,13

4. xx adalah merk susu balita 9. xx2=8, x = bil.gasal

5. 7,8 dan 5,6,7,8 10. senin,selasa,rabu dan

kamis,jumat,sabtu,minggu

II. Isilah nilai masing-masing diagram venn di bawah ini :

Diketahui : A = merah,kuning,hijau,biru

B = jingga,kuning,biru,nila

C = nila,ungu

D = merah,jingga,hijau,ungu

E = 2,3,5

Ditanyakan : 1. Cc 6.(B/C)D 2. Ac 7.(AB)C 3. AB 8. AB

4.(AB)/C 9. CxE

5.(B/C)c 10. B-D

Jawaban : I). 1. H.keluarga II). 1. M,J,K,H,B

2. H.semesta 2. J,N,U

3. H.sama 3. M,J,K,H,B,N

4. H.tak berhingga 4. M,J,K,H,B

5. H.subset/superset 5. M,H,N,U

6. H.berhingga 6. J

7. H.ekivalen 7. K,B,N,U

8. H.saling lepas/univ 8. M,J,H,N

9. H.kosong 9. (n,2),(n,3),(n,5),(u,2),(u,3),(u,5)

10.H.saling lepas 10.K,B,N

13


Pertemuan – 4

HIMPUNAN BILANGAN

1. Skema Himpunan Bilangan

Bilangan Kompleks

Bilangan pecahan (1/n,xn,0.5) Bilangan bulat

Interval : A1 = x a x b , interval terbuka A2 = x a x b , interval tertutup-terbuka A3 = x a x b , interval tertutup-tertutup A4 = x a x b , interval terbuka-tertutup

2. Harga Mutlak : a -a , jika a 0 a , jika a 0

Contoh : 5 = 5 karena 5 0 -3 = 3 karena -3 0

3. Pertidaksamaan harga mutlak :Jika x a maka -a x aJika x a maka x -a atau x aJika x = a maka x = -a atau x = a

Bilangan khayal / imajiner (i,54i,i2)Bilangan nyata/riil (R#)

Bilangan rasional (hsl bagi b.bulat) Bilangan irrasional (2,,e=2,718)

BB negative

BB nol

BB Positive

14


LATIHAN SOAL(Himpunan Bilangan)

Tentukan interval pertidaksamaannya & hitung harga mutlak :1. 3 x – 4 8 = 3 + 4 x 8 + 4 = 7 x 122. -1 x + 3 2 = (-1)–3 x 2 - 3 = -4 x -13. -9 3x 12 = -3 x 4 …… dikalikan 1/3 4. -6 -2x 4 = 3 x -2 = -2 x 35. -4 + 2 – 5 = 4 + -3 = 4 + 3 = 76. 3 – 7 - -5 = -4 - -5 = 4 – 5 = -17. 2 – 8 + 3 – 1 = -6 + 2 = 6 + 2 = 88. 2 – 5 - 4 – 7 = -3 - -3 = 3 – 3 = 09. 4 + -1– 5 - -8 = 4 + -6 - -8 = 4 + 6 – 8 = 210. x 3 = -3 x 3 11. x – 2 5 = -5 x – 2 5 = -5 + 2 x 5 + 2 = -3 x 712. 2x – 3 7 = -7 2x – 3 7 = -7+3 2x 7+3 = -42x10 = -2 x 5

Cari nilai x dan intervalnya : 13. 3x + 2 7 = 3x + 2 7 = 3x 7 – 2 = 3x 5 = x 5/3 = 3x + 2 -7 = 3x -7 – 2 = 3x -9 = x -3

14. 18x – 3x2 = x (18 – 3x) 0 x 0 , 18 3x x 6

15. x2 – 5x + 4 0 = ( x – 4 ) ( x – 1 ) = 0 X = 4 , x = 1 x 4 , x 1

16. ( x + 3 ) ( x – 2 ) ( x – 4 ) 0 x < -3 x > 2 x < 4 x < -3 atau 2 < x < 4

15


4. Permutasi & Kombinasi

Jika n = bilangan asli, maka n factorial adalah : n! = n (n-1) (n-2)Contoh : 4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Rumus Permutasi dengan ambilan k (memperhatikan susunan/urutan) :

Pkn =

n!(n−k )!

Contoh : H = 4,7,8,9 hendak disusun bilangan yang terdiri 3 angka dan tidak boleh berulangMaka jumlah bilangan yang terbentuk adalah :

P34 =

4!( 4-3 )! = 4.3.2.1 = 24

Rumus Kombinasi (susunan/urutan tidak diperhatikan) :

Ckn =

n!k!(n-k )!

Contoh : H = a,b,c,d diambil 3 huruf maka banyaknya kombinasi adalah :

C34 =

4!3! ( 4-3 )! = 4

Rumus Permutasi dengan perulangan :

P =

n!n1 !n2 ! . .. .nk !

Contoh : Banyaknya permutasi dari kata DADDY =

5!3! = 20

16


LATIHAN SOAL DAN PENYELESAIAN

1. Diketahui 5 titik dimana tidak ada 3 titik yang segaris lurus, maka berapa banyak

garis lurus yang menghubungkan 2 titik yang dapat dibuat.

Jawab : C25 =

5!2! (5−2 )!

=5 .4 . 3 .2 . 12 .1 .3 . 2.1

=10

2. Diketahui ada 10 orang remaja ingin membentuk tim basket (1 regu 5 orang) maka

berapa regu yang mungkin disusun.

Jawab : C510 =

10!5!(10−5)!

=10 . 9 . 8.7 . 6 .5 . 4 .3 .2 .15 .4 . 3 .2 . 1. 5 . 4 .3 .2 .1

=252

3. Panitia perlombaan terdiri 3 orang yang dipilih dari 4 pasang suami istri, berapa cara

panitia dapat dipilih jika :

(i). Semua orang boleh dipilih : n = 8, k = 3

Jawab : C38 =

8!3! (8−3)!

=56

(ii). Panitia harus terdiri dari 2 pria & 1 wanita

Jawab : 2 pria dipilih dari 4 suami : n = 4, k = 2

C24 =

4!2! (4−2 )!

=6

1 wanita dipilih dari 4 istri : n = 4, k = 1

C14 =

4!1!( 4−1)!

=4

4. Berapa jumlah permutasi huruf yang terdapat pada kata “PRAPANCA”

Jawab : huruf “A” 3

huruf “P” 2

huruf “R” 1 P =

8!3!2!1!1!1!

=3360

17


huruf “N” 1

huruf “C” 1

5. Ari ingin mengirim surat ke Kalimantan dengan biaya prangko Rp 300 lalu ia

membeli 4 prangko yaitu : 1 lembar Rp 150, 1 lembar Rp 75, 1 lembar Rp 50, 1

lembar Rp 25. Berapa carakah agar 4 prangko tersebut dapat di tempel berurutan.

Jawab : Jika letak prangko ditukar-tukar maka permutasinya 4! = 24 cara

6. Suatu kotak berisi 8 bola merah dan 10 bola hijau lalu 1 mahasiswa mengambil 5

bola secara acak maka berapa banyak kombinasi yang akan di peroleh.

(i) 2 bola merah dan 3 bola hijau :

Jawab : 2 bola merah diambil dari 8 bola

C28 =

8!2!6!

=28

3 bola hijau diambil dari 10

C310 =

10!3!7!

=12

(ii) 5 bola hijau saja :

Jawab : 0 bola merah diambil dari 8 bola

C08 =

8!0!8!

=1

5 bola hijau diambil dari 10 bola

C510 =

10!5!5!

=252

7. Dengan kurikulum yang baru ada 2 kelompok mata kuliah wajib dan pilihan dimana

tersedia 10 mata kuliah pilihan dimana mahasiswa boleh memilih 6 dari 10 mata

kuliah pilihan. Berapa macam pemilihan dapat dilakukan setiap mahasiswa.

Jawab : C610 =

10 !6 !4 !

=21

8. Ada 5 orang sedang latihan baris berbaris maka

(i). berapa macam barisan yang dapat dibentuk oleh 5 orang tersebut.

n = 5 ( jumlah orang yang tersedia )

18


k = 5 ( barisan terdiri dari 5 orang )

Pnk =

n!(n−k )!

= 5 !(5−5 )!

=120macam

(ii) bila barisan terdiri dari 2 orang berapp macam barisan yang mungkin terbentuk

n = 5 ( jumlah orang yang tersedia)

k = 2 ( barisan terdiri dari 5 orang )

Pnk =

n!(n−k )!

= 5 !(5−2)!

=20

9. Ada 3 orang duduk di meja bundar maka berapa macam formasi yang dapat

dibentuk ke-3 orang tersebut :

Pnn = ( n – 1 )! = ( 3 – 1 )! = 2 Permutasi siklis/perulangan

10. Diketahui PT. UNTUNG MELULU mempunyai karyawan 30 orang (20 pria, 10

wanita) maka :

(i). Bila ingin dibentuk tim tarik tambang yang terdiri dari 5 pria & 5 wanita,

berapa formasi yang dapat dibentuk :

Untuk memilih 5 pria dari 20 karyawan pria n = 20, k = 5 maka :

C205 =

20 !920−5)!5 !

=15 .504formasi

Sedangkan memilih 5 wanita dari 10 karyawan wanita yang tersedia maka :

C105 =

10 !(10−5 )!5!

=252cara

Jadi untuk membentuk 1 tim yang terdiri dari 5 pria dan 5 wanita maka :

C205 x C10

5 = 15.504 x 252 = 3.907.008 cara

(ii). Bila ingin dibentuk 1 pasangan ganda campuran untuk permainan bulu

tangkis, berapa formasi yang dapat dibentuk :

C201 x C 10

1 =

20 !(20−1)!1! X

10 !(10−1 )!1 !

=252= 200

19


Pertemuan - 5

BINOMIUM NEWTON

1. Teorema Binomium Newton :

( a + b ) n = Cn0an+Cn

1an−1b+. .. . .+Cnn−1abn−1+Cn

nbn

( a + b ) n = ∑k=0

nCn

k an−k bk=∑k=0

n n!k ! (n−k )!

an−k bk

Di mana : a dan b Bilangan riil (0,1,2,3…..) n Bilangan asli (bilangan bulat positif ) k = bergerak mulai dari 0,1,2……

= notasi penjumlahan ( sigma )

Contoh Soal :( a ) Tentukan suku yang mengandung X10 dari ( 2x2 – y3 )8

Ck8 ( 2x2 )8-k (-y3)k = C3

8 ( 2x2 )8-3 (-y3)3

C38 (2x2)5(-y)9 =

8 !3! (8−3)! 25x10(-y)9 = -56 (32) x10y9

Suku yang mengandung x10 (2x2)8-k = X10

16 – 2k = 10 K = 3

( b ) Tentukan suku ke-10 dari ( ab - ba )15

Ck15 ( ab )15-k ( -ba)k k = (n-1) = 10-1 = 9

C915 =

15 !9 !(15−9) ! ( ab1/2 )6 (-ba1/2)9

= -5005 a10 ½ b12 a6 b3 –b9 a4,5 = ( a10,5b12)

2. Mencari Harga Pendekatan

( 1 + x )n 1 + nx ………… jika x mendekati nol

Contoh : (a) √1+x = ( 1 + x )1/2 = 1 + x/2

(b)

11+ x = ( 1 + x )-1 = 1 – x

20


(c) ( 1,04 )3 = ( 1 + 0,04)3 1 + 3 . 0,04 = 1,12 (d) ( 1/1,02) = ( 1,02 )-1 = ( 1 + 0,02)-1 1 - 0,02 = 0,98

(e) √1 ,06 = ( 1 + 0,06)1/2 1 + ½ . 0,06 = 1,03

√ x+Δx √ x+ Δx

2√ x ……….. bila ∆x x

Contoh : (a) √99=√100−1=√100− 1

2√100=10− 1

20=9 , 95

Atau

√99=√81+18=√81+182√81

=9+1818

=10

Hasil di atas mempunyai toleransi 0,5

3. Bilangan Kompleks

Bentuk Umum Bilangan Kompleks adalah : a ± bi , di mana a dan b = bilangan riil i = bilangan khayal/imjiner i = -1 dan i2 = -1

Operasi Bilangan Kompleks :

Jika bilangan kompleks Z1 = a+bi dan Z2 = c+di maka hasil dari operasi :(1) Penjumlahan Rumus : Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d)i Contoh : Z1 = 10 + 2i Z2 = 5 – 3i Z1 + Z2 = (10+5) + (2-3)i = 15 + i

(2) Pengurangan Rumus : Z1 – Z2 = (a - c) + (b - d)i Contoh : Z1 = 22 – 5i Z2 = -8 + 2i Z1 – Z2 = (22+8) + (-5-2)i = 30 – 7i

21


(3) Perkalian Rumus : Z1 . Z2 = (ac – bd) + (bc + ad)i Contoh : Z1 = -6 – 3i Z2 = 9 – 5i Z1 . Z2 = (-6-3i)(9-5i) = -54+30i-27i+15i2

= -54+3i-15 ………15i2=15(-1)=-15 = -69+3i (4) Pembagian

Rumus :

Z1

Z2

=( ac+bd )

c2+d2+(bc−ad )

c2+d2i

Contoh : Z1 = 8 – i Z2 = 7 + 5i

Z1

Z2

= 8−i7+5 i

= 8−i7+5 i

⋅7−5 i7−5 i

Z1

Z2

=( 8. 7+(−1 ). 5 )

72+52+((−1) . 7−8. 5 )

72+52i=51

74−47

74i

(5) Perpangkatan Rumus : (i) Dengan Binomium Newton. Jika Z = x + yi maka :

Zn=( x+ yi)n=Cn

0 xn+Cn1 xn−1 yi+Cn

2 xn−2 ( yi)2+. . .+Cnn ( yi)n

Di mana n adalah bilangan asli

Contoh : (-3+3i)4 = 1(-3)4 + 4(-3)3(3i) + 6(-3)2(3i)2 + 4(-3)(3i)3 + 1(3i)4

= 81 – 324i + 468i2 – 324i3 + 81i4 – 81 – 324i – 486 + 324i + 81 = -324

(ii) Dengan rumus De Moivre.

Jika Z1=r1 (cosφ1+isin φ1 )danZ2=r 2(cos φ2+i sin φ2 )maka:Z1 Z2=r1r2( cosφ1cos φ2+ isin φ1 cosφ2+icos φ1sin φ2+i2sin φ1sin φ2 )

=r1r2{(cosφ1cosφ2−sin φ1sin φ2 )+i(sin φ1 cosφ2+cosφ1sin φ2 )}

= r1r 2{cos(φ1+φ2 )+isin (φ1+φ2 )}

Jika Z1=Z2=r (cosφ+i sin φ ) maka Z1 Z2=Z2=r2{cos(2 φ )+isin (2φ)}

Secara Umum : Zn=rn{cos(nφ )+isin (nφ )} disebut Rumus De Moivre dan

22


berlaku untuk setiap bilangan bulat n = 0, ±1, ±2, …..

Contoh : Tentukan hasil (-3+3i)4 dengan rumus De Moivre !

Jawab : Ubah dulu r = √9+9=3√2 , tg φ = −33=−1

maka φ = 3 π

4

Jadi (-3+3i)4 = r4(cos 4φ + i sin 4φ ) = (3√2 )4 (cosφ + i sin 4φ )

= 324 (cos 4φ + i sin 4φ ) = -324

(6) Akar Pangkat. Jika Z = r(cosφ + i sinφ )n√Z=n√r (cosφ+i sin φ

LATIHAN SOAL DAN PENYELESAIAN

1. Jika bilangan kompleks Z1 = 20 + 5i dan Z2 = 10 – 8i maka tentukan hasil operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian !Jawab : a. Z1 + Z2 = 30 – 3ib. Z1 – Z2 = 10 + 13ic. Z1 . Z2 = 240 – 110i

d.

Z1

Z2

=160164

+210164

i

2. Jika Z1 = 1 – i, Z2 = -2 + 4i, Z3 = √3 – 2i , tentukan :

a. Z12 + 2Z – 5

b. (Z2 + Z3)(Z1 – Z3)

Jawab : a. -1 – 4i b. -7 + 3√3+ √3 i

3. Hitung : a. (2√3 – 2i)1/2 b.(i)2/3

Jawab : a. 2 cis 1650 , 2 cis 3450 b. cis 600 , cis 1800 , cis 3000

4. Hitung : (2 cis 500)6

Jawab : 32 – 32i√3

23


5. Tentukan x dan y bilangan riil sedemikian hngga :

2x – 3iy + 4ix – 2y -5 -10i = (x + y + 2) – (y – x + 3)i

Jawab : x = 1 dan y = -2

Pertemuan – 6

F U N G S I

1. Definisi Fungsi :

Fungsi dalam bahasa matematika dinyatakan sebagai pemetaan, di mana fungsi

merupakan kejadian khusus dari suatu relasi. Misalkan himpunan A dan B dengan relasi

R yang menghubungkan elemen A dengan elemen B. Suatu fungsi f dari A ke B

didefinisikan sebagai suatu relasi antara A dan B dengan sifat : f menghubungkan setiap

elemen A dengan satu dan hanya satu elemen B. Ditulis f : AB

Contoh : Misalkan A = {a,b,c,d} dan B = {1,2,3} maka :

A B A B A B

a 1 a 1 a 1

b 2 b 2 b 2

c 3 c 3 c 3

d d d

Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi

2. Grafik Fungsi, Sistem Koordinat

Suatu fungsi riil dapat digambarkan grafiknya dengan menggambarkan pasangan-

pasangan terurut dari fungsi tersebut pada sebuah system koordinat Cartesius yang

terdiri dari 2 sumbu yang saling tegak lurus. Sumbu mendatar (sumbu X) menyatakan

sumbu dari prapeta (sumbu variable bebas) dan sumbu tegak (sumbu Y) menyatakan

sumbu peta (sumbu variable bergantung)

Untuk contoh relasi fungsi di atas, grafiknya adalah :

24


a b c d0

0.51

1.52

2.53

3.5

a; Series1; 1

b; Series1; 3

c; Series1; 2

d; Series1; 3

Grafik Fungsi

sumbu x

sum

bu y

3. Daerah Definisi dan Daerah Nilai (Domain dan Range)

Jika fungsi f memetakan setiap elemen pada himpunan A ke elemen pada himpunan B,

atau f : AB, maka yang dimaksud Daerah Definisi (Domain) dari f adalah himpunan A,

ditulis A = Df (harus habis, artinya setiap elemen pada himpunan A harus mempunyai

pasangan pada himpunan B). Sedangkan himpunan B disebut Codomain dari f (tidak

harus habis, artinya ada kemungkinan elemen pada himpunan B tidak mempunyai pada

himpunan A). Himpunan bagian dari B merupakan himpunan semua peta (bayangan)

dari f, disebut Daerah Nilai (Range), ditulis Rf ={y|y=f(x), xA}

Contoh :

1. Dari fungsi f : AB pada gambar 1 di atas maka Df = A = {a,b,c,d} dan Rf =

{1,2,3}

2. Jika f : R# R# di mana x x2 maka Df = R# , sedangkan Rf = {y|y≥0} =

himpunan bilangan nonnegatif

3. Jika f(x) = y = √1−x2 maka Df = {x|1-x2 ≥ 0}= {x|-1 x 1} dan Rf = {y|0

y 1}

4. Jenis-jenis fungsi riil (R#) :

1. Fungsi Polinom/suku banyak, f(x) = a0.xn + a1.xn-1 + …… + an-1x + an ….

2. Fungsi Aljabar, y = f(x) = P0(x)yn + P1(x)yn-1 + ….. + Pn-1(x)y + Pn(x)

3. Fungsi Transenden/bukan fungsi aljabar, antara lain :

a. fungsi Eksponensial : f(x) = ax , a 0,1

b. fungsi Logaritma : f(x) = alogx , a 0,1

4. Fungsi Trigonometri :

25


sin x ,cos x , tg x=sin x

cos x,cot g x= 1

tg x,sec x= 1

cos x,cos ec x= 1

sin x

5. Fungsi Siklometri (Fungsi Invers Trigonometri)

arc sin x , arc cos x , arc tg x ,arc ctg x ,arc sec x , arc cos ec x

6. Hiperbolik

sinh x ,cosh x , tgh x , ctgh x ,sech x ,cosech x

Pertemuan-7

Fungsi Khusus

1. Jenis-jenis Fungsi Khusus :

a. Fungsi Konstanta, f(x) = k, dengan x variabel riil dan k suatu bilangan riil

tertentu. Grafik fungsi konstanta berbentuk garis lurus sejajar sumbu X. Contoh :

f(x) = 2, f(x) = -5, dsb.

b. Fungsi Identitas, f(x) = x, untuk x variabel riil. Notasi f = I.

c. Fungsi Satu-satu, jika untuk nilai variabel x1x2 mengakibatkan f(x1)f(x2).

Artinya : Untuk setiap elemen pada domain tepat memiliki satu dan hanya satu

pasangan pada codomain (tidak ada prapeta yang mempunyai peta yang sama).

Contoh : f(x) = 4x, f(x) = 5x-10, dsb. Apakah f(x) = x2 satu-satu? Kenapa?

d. Fungsi Pada (onto), jika daerah nilai fungsi (range) Rf sama dengan

codomainnya. Contoh : f : R#R# dengan f(x) = -5x adalah fungsi pada. Apakah

f(x) = x2 merupakan fungsi pada? Kenapa?

e. Fungsi Komposisi (Tersusun), jika f : ARf dan g : Rf C maka gof : AC disebut

fungsi komposisi dari f dan g. Contoh : f : xx+3 dan g : xx2-1. Maka fungsi

komposisi gof : xf⃗ x+3 g⃗ (x+3)2-1 atau gof(x)=g(f(x))=(x+3)2-1

f. Fungsi Invers, jika f : AB fungsi yang satu-satu pada, maka fungsi g : BA

disebut fungsi invers dari f apabila komposisi gof = I (fungsi identitas). Notasi :

g = f-1. Sebaliknya juga berlaku, f disebut fungsi invers dari g jika fog = I. Jadi :

26


gof = fog = I. Contoh : y = f(x)=2x-4 suatu fungsi riil. Invers dari fungsi f dapat

dicari dengan cara : y = 2x-42x = y+4x = (1/2)y+2 atau f-1(y)=(1/2)y+2 atau

simbol y diganti dengan x menjadi f-1(x)=(1/2)x+2

g. Fungsi Eksplisit, jika rumus fungsi y dinyatakan secara langsung oleh variabel

bebas x, yaitu y = f(x), di mana variabel y dan x ditulis terpisah pada ruas kiri

dan kanan, maka fungsi tersebut merupakan fungsi Eksplisit. Dalam hal lain,

maka fungsinya disebut fungsi Implisit, yaitu jika variabel bebas dan variabel

bergantungnya tidak terpisah. Suatu bentuk implisit kadang-kadang sukar

bahkan tidak bisa diubah ke bentuk eksplisit. Kadang-kadang bentuk implisit

bukan suatu fungsi, karena mempunyai nilai lebih dari satu, untuk itu disebut

fungsi berharga banyak.

Contoh : y = x2+3x-2 adalah fungsi eksplisit. Tetapi persamaan yx2 + 3x = 4

merupakan fungsi implisit dan persamaan 3x-2y2+4 = 0 bukan fungsi. Kenapa?

h. Fungsi genap, jika berlaku f(-x) = f(x) untuk setiap x Df. Sedangkan fungsi

ganjil, jika berlaku f(-x) = - f(x) untuk setiap x Df. Contoh : y = cos x adalah

fungsi genap sedangkan y = sin x adalah fungsi ganjil. Kenapa? Bagaimana

dengan fungsi y = e-x ?

i. Fungsi periodik, f(x) disebut fungsi periodik dengan periode T, jika untuk setiap

xDf berlaku f(x+T) = f(x), T>0 merupakan konstanta terkecil yang memenuhi.

Contoh : f(x) = sin x adalah fungsi periodik dengan periode 2. Kenapa?

Bagaimana dengan f(x) = tg x ?

j. Fungsi terbatas, f(x) disebut terbatas di atas pada suatu interval jika terdapat

konstanta M sehingga f(x) M, untuk setiap x pada interval tersebut. Disebut

terbatas di bawah jika terdapat konstanta m sehingga f(x) ≥ m, untuk setiap x

pada interval tersebut. f(x) disebut terbatas apabila f(x) terbatas di atas dan

terbatas di bawah. M disebut batas atas dan m disebut batas bawah. Contoh :

f(x)= 3+x tidak terbatas pada interval - < x < +, tetapi terbatas pada interval

-1 x 1. Kenapa?

k. Fungsi monoton, f(x) disebut monoton naik pada suatu interval jika untuk setiap

x1, x2 pada interval tersebut nilai x1 < x2 mengakibatkan f(x1) f(x2).

Sebaliknya, jika f(x1) f(x2) maka fungsi disebut monoton turun. Contoh :

f ( x )=5+√9−x adalah monoton turun pada interval 0 x 9. Kenapa?

27


2. Fungsi Dalam Bentuk Parameter

Sebuah fungsi y = f(x) jika dinyatakan sebagai : x = f1(t) dan y = f2(t), maka disebut

fungsi dalam parameter t. Apabila variabel t dihilangkan maka akan menghasilkan

bentuk fungsi semula yaitu y = f(x). Contoh : Jika x = 2t dan y = 4t2-3t maka akan

diperoleh sebuah fungsi baru, yaitu y = x2-(3/2)x. Bagaimana caranya?

3. Koordinat Polar

Selain sistem koordinat Cartesius, fungsi dapat digambarkan juga pada sistem koordinat

Polar, di mana setiap titik pada bidang datar dinyatakan sebagai pasangan terurut (r,∅).

r menunjukkan panjang vektor posisi titik P (panjang OP) dan ∅ menunjukkan sudut

polar, yaitu sudut antara sumbu polar dengan OP (dengan arah berlawanan jarum jam).

Hubungan antara koordinat Cartesius dan Polar :

Jika x = r cos ∅ dan y = r sin ∅ maka r2 = x2 + y2 dan tg ∅ = y/x . Bagaimana caranya?

Contoh : Jika r = a√2 cos 1/2∅ diubah ke bentuk koordinat Cartesius maka menjadi :

x6 + y6 + 3x4y2 + 3x2y4 – 4a2x2y2 – 2a2x4 – 2a2y4 + a4y2 = 0. Coba buktikan!

LATIHAN

(1) Jika T adalah relasi dari A = 1,2,3,4,5 , B = merah,putih,biru,hijau di mana

T = (1,merah),(1,biru),(3,biru),(4,hijau) maka :

(i) gambarkan diagram pohon/panah relasi T

(ii) tentukan domain & range dari T

(iii) tentukan T-1

(2) Diketahui A B maka carilah :

a* f *x

b* *y

c* *z

28


d* *w

(i) nilai range dari setiap elemen di A

(ii) range dari f (A)

(iii) tuliskan f sebagai himpunan dari pasangan terurut

(3) Diketahui : f memetakan setiap Negara di dunia ke ibukotanya

Tentukan f(Prancis), f(Canada), f(Jepang)

(4) Diketahui fungsi f(x) = x2 – 3x + 2

Ditanyakan : (i) f(x2)

(ii) f(y-z)

(iii) f(x+3)

(iv) f(2x-3)

(5) Diketahui fungsi f : R R yaitu f(x) = x3

Ditanyakan ; (i) f(3) dan f(-5)

(ii) f(y) dan f(y+1)

(iii) f(x+h)

(iv) f[ f(x+h) – f(x) ] / h

(6) Gambarkan grafik fungsi f(x) = 3x-2 dengan nilai x = -2,0,2

(7) Gambarkan grafik fungsi g(x) = x2 + x – 6

(8) Misal A = 1,2,3,4 , B = a,b,c,d , C = x,y,z dengan relasi R dan S sbb :

R = {(1,a),(2,d),(3,a),(3,b),(3,d)} dan S = {(b,x),(b,z),(c,y),(d,z)}

Cari relasi komposisi RoS dan gambarkan diagram panahnya!

(9) Diketahui A = { a,b,c,d }, B = { 1,2,3 }, C = { w,x,y,z } dengan relasi sbb :

R = {(a,3),(b,3),(c,1),(c,3),(d,2)} dan S = {(1,x),(2,y),(2,z)}

Tentukan relasi komposisi R0S & diagram panahnya

29


(10) Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x2 - 2 , tentukan :

a. gof(x) b. fog(x)

c. gof(4) d. fog(4)

e. gof(a+2) f. fog(a+2)

(11) Tentukan domain dari fungsi :

a. y = (x-2)/(x2-4)

b. y = √(3−x )(2 x+4 )

(12) Gambarkan grafik dari fungsi

a. y = |x+4| + |2x+6|

b. y = |x2 – x|

(13) Tentukan nilai dari :

a. tg (2 arc sin 3/5)

b. arc sin (cos 2x)

(14) Ubahlah bentuk persamaan parameter berikut dalam bentuk persamaan biasa :

a. x = a cos t dan y = b sin t

b. x = 6t – 12t2 dan y = 2t

(15) Ubahlah bentuk persamaan berikut dalam bentuk polar :

a. x2 + y2 = a2

b. (x2 + y2)2 = ax2y

(16) Ubahlah bentuk persamaan berikut dalam bentuk Cartesius :

a. r = a sin ∅ tg ∅

b. 4(1 – cos ∅)-1

(17) Tentukan fog dan gof jika relasi :

a. f = {(a,b),(b,a)} dan g = {(a,b),(b,a)}

b. f = {(1,2),(2,4),(3,1)} dan g = {(3,2),(5,1),(6,4)}

(18) Tentukan invers dari fungsi :

a. y = 5x – 10 b. y = (6x + 8)/(-7x -10)

(19) Tentukan daerah nilai/range dari fungsi :

a. y = x2 + 8x -10 dengan Df = {x|0 < x < 1}

b. y = sin 2x dengan Df = {x|-π < x < π}

(20) Gambarkan grafik fungsi pada soal no.19

30


Pertemuan - 9

LIMIT FUNGSI

1. Definisi Intuitif

Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil

sedemikian hingga:

• Bila x dekat a tetapi tidak sama dengan a (xa), f(x) dekat ke L

• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L

• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dengan membuat x cukup

dekat a tetapi tidak sama dengan a

• Maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) bila x mendekati a adalah L,

Contoh :

, jika dihitung secara numerik maka hasilnya dapat dilihat pada tabel

dan grafik berikut :

0.82 8.02

0.800042.001 79996.0999.1

0.803922.1 7959.09.1

81818.05.2 7778.05.1

83333.03 75.01

)()(

xfxxfx

2. Definisi Limit secara teoritis :

Limit dari f(x) bila x menuju a adalah L R, ditulis

5

4

6xx

4xlim 2

2

2x

31

limx→a

f ( x )=L

f ( x )= x2−4x2+x−6

limx→a

f ( x )=L


jika dan hanya jika, untuk e > 0, terdapat d > 0 sedemikian sehingga jika

0 < |x - a| < d maka |f(x) - L| < e

3. Sifat-sifat limit fungsi :

Bila limx→a

f ( x )=Ldan

limx→a

g( x )=M, dengan a sebarang bilangan riil, boleh - dan +

Maka berlaku sifat-sifat berikut ini :

1. limx→a

kf ( x )=k limx→ a

f ( x )=kL, k adalah sebarang bilangan

2. limx→a

( f ( x )±g ( x ))=limx→a

f ( x )±limx→a

g ( x )=L±M (sifat penjumlahan)

3. limx→a

( f ( x ) . g (x ))=limx→ a

f ( x ) . limx→ a

g( x )=L. M (sifat perkalian)

4. limx→a

( f ( x ))n=( limx→a

f (x ))n=Ln

, n bilangan asli (1,2,3…..) (sifat perpangkatan)

5.

limx→a

1g ( x )

= 1lim g( x )

x→a

= 1M

, jika M≠0

6.

limx→a

f ( x )g ( x )

=lim f (x )

x→a

lim g( x )x→a

= LM

, bila M 0 (sifat pembagian)

7. limx→a

n√ f (x )=n√ limx→a

f ( x )=n√L, asalkan

n√L bilangan riil (sifat akar)

8. limx→a

ln f ( x )= ln limx→a

f ( x )=ln L(sifat logaritma natural)

9. limx→a

pf (x )=plimx→a

f (x )=pL

, asalkan PL bil.riil, P sebarang bil. Riil (sifat eksponensial)

10 .Misalkan limx→a

g( x )=L dan limx→L

f ( x )=f (L ) maka

limx→a

f ( g( x ))=f ( limx→a

g( x ))=f (L ). (Hk .Substitusi/ Limit Komposisi )

4. Teorema Limit

1. Teorema Limit trigonometri :

32

limx→0

sin xx

=1


2. Hukum Apit : Misalkan f(x) g(x) h(x) untuk semua x disekitar a namun x a,

dan

maka

Contoh :

Bukti :

0dan 11

sin1,0Untuk 2 xx

x

Apit). Prinsipan (menggunak 01

sinlim maka

0limdan 0)lim( karena

2

0

2

0

2

0

xx

xx

x

xx

• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri) :

• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan) :

Teorema : jika dan hanya jika :

Contoh :

33

limx→a

g( x )=Llimx→a

f ( x )=L=limx→a

h( x )

Tunjukkan limx→0

x2sin1x=0 .

−x2≤x2 sin1x≤x2

limx→a−

f ( x )=L

limx→a+

f ( x )=L

limx→a−

f ( x )=L=limx→a+

f ( x )limx→a

f ( x )=L

f ( x )={1 , x≥0−2 , x<0

.

Untuk x>0 , limx→0+

f ( x )= limx→0+

1=1 . limit kanan .

Untuk x<0 , limx→0−

f ( x )= limx→0−

(−2)=−2. limit kiri .

Maka limx→0

f ( x ) tidak ada


Contoh soal :

(1) lim x→1

( x2+1 )=12+1=2.

(2) lim x→0

x=0 .

(3 ) lim x→ 0

1x2

does not exist .

(4 ) f ( x )={1 , x≥0−1 , x<0

lim x→0

f ( x ) does not exist .

(5 ) limx→3

x2−9x−3

;

Disini f ( x )=x2−9x−3

⇒ f (3) tidak terdefinisi .

Tetapi

f ( x )=x2−9x−3

=( x−3)( x+3 )x−3

=x+3 , untuk x≠3.

Jadi

limx→3

x2−9x−3

=limx→3

( x+3 )=3+3=6 .

LATIHAN

34


( a ) limx→1

3 x+54 x−2

= 3. 1+54 .1−2

=82=4

( b ) lim

x→±∞

x+1x

= limx→±∞

(1+ 1x)=1

( c ) limx→2

x2−4x−2

= limx→2

( x+2)( x−2 )( x−2 )

=4

( d ) lim 1/x sin2x = lim 1/x . lim sin2x = 0 . lim sin2x = 0 x x x x

( e ) lim x 2 – x – 2 = lim (x+1)(x-2) = 2 + 1 = 3 x2 x – 2 x2 x – 2

( f ) lim x 3 – 8 = lim (x-2).(x 2 +2x+4) = lim 22 + 2.2 + 4 = 12 x2 x - 2 x2 (x-2) x2

( g ) lim t 2 – 5t + 6 = lim (t-2) (t-3) = (2-3) = -1/3 t2 t2 – t – 2 t2 (t-2) (t+1) (2+1)

( h ) lim x 2 – 1 = lim (x+1) (x-1) = lim x + 1 = 2 x1 x – 1 x1 (x-1) x1 = lim (x+1) (x-1) = lim x + 1 = -2 x-1 -(x-1) x-1 -1

( i ) lim (25 – x2) = (25 – 16) = 9 = 3 x4

( j ) lim x 3 – 27 = lim (x-3) (x 2 +3x+9) = 27 = 9/2 x3 x2 – 9 x3 (x-3) (x+3) 6

( k ) lim (x+h) 2 – x 2 = lim x 2 +2hx+h 2 – x 2 = lim 2hx + h 2 = (2x+h) = 2 h0 h h0 h h0 h ( l ) lim 1 = lim 1 = 1/3 x0 3 + 21/x x0 3 + 0 = lim 1 = 0 x0 3+

( m ) lim ( x+ h ) 3 – x 3 = lim ( x 3 +3x 2 h + 3xh 2 + h 3 ) – x 3 h0 h h0 h = lim 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 h0 h = lim ( 3x2 + 3xh + h2 ) = 3x2

h0

( o ) lim ( x2 – 1 ) ( x – 3 ) = lim ( x2 – 1 ) . lim ( x – 3 )

35


x 2 x2 x2 = ( 4 – 1 ) . ( 2 – 3 ) = -3

( p ) lim 3x 3 + 5x 2 – 7 = lim 3 + 5/x – 7/x 3 = 3 (dikali 1/x3) x 10x3 – 11x2 + 5x x 10 – 11/x + 5/x2 10

( q ) lim ln ( 1 + x ) = lim (1/x ) (ln ( 1 + x )) x0 x x0 = lim ln ( 1 + x ) 1/x = ln lim ( 1 + x ) 1/x = ln 1 x0 x0

( r ) lim [( x2 + 1 )( 3x – 1 )] = lim ( x2 + 1 ) . lim ( 3x – 1 ) x 2 x 2 x 2 = [ lim (x2) + lim (1)] [ lim (3x) – lim (1)] x 2 x 2 x 2 x 2 = [ lim (x2) + 1 ] [ 3 lim x – 1] x 2 x 2 = [ 22+1 ] [ 3(2)–1 ] = 25

( s ) lim 3x 4 – 8 = lim (3x4 – 8) lim (3x4) – lim 8 x-2 x3 + 24 x -2 = x -2 x -2____ lim (x3+24) lim (x3) + lim 24 x -2 x -2 x -2 = 3 lim (x4) – 8 x -2______ lim (x)3 + 24 x -2 = 3(-2) 4 – 8 = 5 = 2,5 -8+24 2

( t ) lim (2t3 + 15)13 = lim (2t3) + lim (15)13

t-2 t-2 t-2 = 2 lim (t3) + 15 13 = [ 2(-2)3 + 15 ]13 = (-1)13 = -1

( u ) lim ( 2w4 – 9w3 + 19 )-1/2 = lim (2w4) – lim (9w3) + lim (19) -1/2

w5 w5 w5 w5 = 2 lim (w)4 – 9 lim (w)3 + 19 -1/2

w5 w5 = 2 (5)4 – 9(5)3 + 19 -1/2

= (144)-1/2

= 144 1/12

( v ) lim 2f(x) – 3g(x) = 2 lim f(x) – 3 lim g(x) xa f(x) + g(x) xa xa lim f(x) + lim g(x) xa xa = 2(3) – 3(-1) = 9 = 4,5

(3) + (-1) 2

36


dengan f(x) = 3 , g(x) = -1

( w ) lim f(x) – f(2) = lim ( 3x 2 – 5 ) – (7) x2 x – 2 x2 x – 2 = lim 3x 2 – 12 x2 x – 2 = lim 3( x+2 )( x-2 ) = 3(2+2) = 12 x2 x - 2 dengan f(x) = (3x2 – 5)

Pertemuan - 10

Kontinuitas Fungsi

1. Definisi :

Fungsi f (x) di sebut kontinu di x = x0 jika :i. f ( x0 ) terdefinisi

ii.limx→x 0

f ( x )ada

iii.limx→x 0

f ( x )= f(x0)

Fungsi f (x) disebut kontinu di x = x0 jika ketiga syarat di atas terpenuhi. Tetapi jika salah satu atau lebih persyaratan tidak terpenuhi maka di sebut diskontinu.

Secara grafik, fungsi f kontinu di x=x0 jika grafik fungsi f pada suatu interval

yang memuat x0 tidak terpotong di titik ( x0 , f ( x0 )). Jika fungsi f tidak kontinu di x0

maka dikatakan f diskontinu di x0. Pada Gambar, f kontinu di x1 dan di setiap titik di

dalam (a , b ) kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena

limx→x 2

f ( x ) tidak ada, diskontinu di x3 karena nilai

limx→x 3

f ( x )tidak sama dengan nilai

fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini

tidak ada.

37


y = f ( x )

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.

Contoh :

(a). Fungsi f dengan rumus f ( x ) = x2 − 1

x − 1 diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak

terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh

H ( x ) = {0 jika x < 0

1 jika x ≥ 0

diskontinu di x = 0 sebab limx → 0

H ( x ) tidak ada.

(c). Fungsi g dengan definisi:

g ( x )= {x2 − 4

x − 2jika x ≠ 2

1 jika x = 2

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan limx →2

g (x ) = limx → 2

x2 − 4x − 2

= limx → 2

( x + 2 ) = 4.

Namun demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab limx → 1

g (x ) = 3 = g (1 ).█

2. Sifat-sifat dasar fungsi kontinu.

(ii). Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di c jika limx →c+

f (x ) = f (c ) .

Teorema : Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka

f+g, f – g, kf, dan fg kontinu di a. Demikian pula,

fg kontinu di a asalkan

a x1 x2 x3 x4 b

Gambar 3.7.1

38


Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu diberikan pada definisi berikut ini

Contoh : Diberikan f ( x ) = √1 −x2 . Selidikilah kekontinuan fungsi f.

Penyelesaian:

Jelas f tidak kontinu pada (−∞ , −1 ) dan pada (1 , ∞ ) sebab f tidak terdefinisi pada

interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:

limx →a

f ( x ) = limx → a

√1 − x2= √ limx → a

(1 − x2) = √1 − a2 = f (a )

Jadi, f kontinu pada (1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:

limx →−1 +

f (x ) = 0 = f (−1 ) dan

limx → 1−

f (x ) =0= f (1 )

sehingga f kontinu dari kanan di x = 1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu

pada [−1,1 ] .█

Contoh :

(a).f ( x ) = x2 − x + 1 kontinu pada R .

Definisi (i). Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika lim

x →a−= f (a )

.

39


(b).f ( x ) = x3 −5 x

x2 − 1 kontinu pada {x ∈ R ; x ≠ 1 , x ≠−1 }.

(c). f ( x ) = √ x − 1 kontinu pada [1 , ∞).█

Contoh Soal dan penyelesaiannya :

a. Selidiki kekontinuan fungsi f(x) = 2x + 3 di titik x0 = 1

Jawab : ( i ) f(x0) = f(1) = 2(1) + 3 = 5

(ii) limx→1 2x+3 = 2(1) + 3 = 5

(iii) limx→1 2x+3 = f(1) = 5

Karena ke tiga (3) syarat terpenuhi maka f(x) kontinu pada x = 1

b. Selidiki kekontinuan fungsi f ( x )=

( x2−4 )( x−2)

Jawab : (i) f (2)=

(22−4 )(2−2)

=00 tidak terdefinisi

Karena syarat pertama tidak terpenuhi, maka f(x) diskontinu di x = 2

c. Selidiki kekontinuan fungsi

f ( x )={x2−4x−2

untuk x≠2

4 untuk x=2

Jawab : (i) f (2)=4

(ii) limx→2

f ( x )= limx→ 2

x2−4x−2

=limx→2

( x+2 )( x−2)( x−2)

=4

(iii) limx→2

f ( x )= limx→ 2

x2−4x−2

=limx→2

( x+2 )( x−2)( x−2)

=4= f(2)

Karena ketiga syarat terpenuhi maka f(x) kontinu pada x = 2

Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam teorema berikut.

40


Contoh 3.7.9 Hitung limx → 1

ln (1 + x ).

Penyelesaian: Namakan f ( x ) = ln x dan g ( x ) = 1+ x . Karena limx → 1

g ( x ) = 2 dan f(x)

kontinu di x = 2 maka

limx→1

ln (1 +x ) = limx → 1

f (g ( x ) )= f ( limx → 1

g ( x )) = ln ( limx → 1

g (x ))= ln 2.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.

1. h( x )= √ x + 3

x 2. f ( x )=3√x2 − 1 3.

f ( x )= x+2

x3−1

4. g( x )=x tan x 5. f (s )= 2 s

s2−3 6. h( t )= t2−4

t−2

7.

g( x ) = {3x2 −1 , x > 35 , 1 < x ≤3

3 x + 2 , x ≤ 1 8.

f ( x )={ x , x<02x , 0≤x≤1 /33 x2 , x>1 /3

9. Selidiki kontinuitas f ( x )= 1

1 −x pada [−1 , 5 ]

10.Jika f ( x )= { 2 x , 0≤x ≤3

15 − x2 , 3 < x ≤ 7 maka tunjukkan bahwa f kontinu pada [ 0,7 ].

Untuk soal 11 – 13, tentukan nilai a dan b agar fungsi-fungsi berikut kontinu untuk

pada R.

41


11.

f ( x )= {ax2 − 3x + 5

, x >−5

bx + 2 , x ≤−5 12.

f ( x )={tan axtan bx

, x < 0

4 , x = 0

ax + b , x > 0

Pertemuan-11

TURUNAN FUNGSI

1. Definisi : Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat

fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan

variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari

garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu

fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik

tersebut.

Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung

42

http://wapedia.mobi/id/Pendekatan_linear

http://wapedia.mobi/id/Grafik_fungsi

http://wapedia.mobi/id/Garis_singgung

http://wapedia.mobi/id/Gradien

http://wapedia.mobi/id/Fungsi_real

http://wapedia.mobi/id/Berkas:Tangent_to_a_curve.svg


Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit daripada konsep yang

ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan

input sebuat angka dan output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah

fungsi dan outputnya juga adalah sebuah fungsi.

Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika. Dalam

notasi matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan turunan

dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f' (dibaca f aksen).

.

Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju

perubahan di mana fungsi tersebut berubah.

Jika fungsi tersebut adalah fungsi linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan

y=mx+b, di mana:

.

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

43

http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Tangent_derivative_calculusdia.svg


Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah

garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat

menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari

suatu fungsi dapat diekspresikan:

di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara

dua titik.

Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit :

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f′(x) di suatu titik

adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva di titik tersebut. Kemiringan ini

ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):

44

http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Sec2tan.gif


2. Rumus Dasar Turunan :

a. y = Xn turunannya y’ = nXn-1

Contoh : y = 10x3 + 8x2 - x – 3 y’ = 30x2 + 16x -1

y = 1/x2 = x -2 y’ = -2x -3 = -2/x3

y = x = x1/2 y’ = ½ x -1/2 = 1/2x

b. y = c, dengan c adalah konstanta turunannya y’ = 0

Contoh : y = 5 y’ = 0

c. y sebagai fungsi trigonometri :

y = sin x turunannya y’ = cos x

y = cos x turunannya y’ = -sin x

y = tg x turunannya y’ = sec2x

y = ctg x turunannya y’ = -cosec2x

y = secx turunannya y’ = secx tgx

y = cosecx turunannya y’ = -cosecx ctg x

Contoh : y = -3tgx y’ = -3sec2x

y = ctg2x y’ = -2cosec2 2x

y = sec2x y’ = 2sec2x tg2x

y = cosec3x y’ = -3cosec3x ctg3x

y = cos(1-x2) y’ = 2xsin(1-x2)

d. y sebagai fungsi logaritma :

y = ln x turunannya y’ = 1/x

y = glogx turunannya y’ = 1/xlng

45


Contoh : y = 3logx 1 / x ln3

y = ln 2x 1 / 2x

e. y sebagai fungsi eksponen :

y = ax turunannya y’ = ax ln a

y = ex turunannya y’ = ex

Contoh : y = 2x y’= 2xln 2

y = ex y’ = ex

y = x2 – e3x y = 2x – e3x

SOAL LATIHAN

1. Tentukanlah f ‘(x) fungsi-fungsi berikut ini.

a. f(x) = x2 + x b. f(x) = cos x

c. f(x) = (5x2 – 1) (3x – 2) d. f(x) = cos x sin x

2. Buktikan jika f(x) = x∛x2 maka f’(x) = 5/3 . x∛x2

Pertemuan - 12

TURUNAN FUNGSI (LANJUTAN)

1. Aturan Rantai Untuk Fungsi Tersusun

Untuk fungsi-fungsi yang bentuknya rumit, di mana y adalah fungsi dari u (atau

v), u dan v merupakan fungsi dari x, maka turunannya dicari dengan mengembalikannya

ke rumus dasar. Cara pengembaliannya adalah sebagai berikut :

1). y = U y’ = (U)’

Contoh : a) y = x3 + 2x2 + 4x + 6

=> y’ = 3x2 + 4x + 4

b) y = 23√ x2

+ 4/x + 7x + 16

= 2x2/3 + 4x-1 + 7x1/2

46


=> y’= 2.2/3x-1/3 – 4x-2 + 7. 1/2x-1/2

= 4 _ - 4 + 7_

33√ x x2 2x

c) y = 3√ x2+1 = ( x2 + 1 )1/3

=> y’ = 1/3 (2x) (x2+1)-2/3

= 2x_____

3 3√( x2+1 )2

2). y = U V y’ = U’ V’

Contoh : y = sin 2x + cos 2x

y’ = 2cos2x – 2sin2x

Contoh : y = tg3x – ctg23x

y’ = 3sec23x + 6cosec23x . ctg23x

dimana : Ctg23x = ctg3x . ctg3x

U = ctg3x , U’ = -3cosex23x

V = ctg3x , V’ = -3cosex23x

y’ = U’V + UV’

= -3cosex23x . ctg3x + ctg3x . -3cosex23x

= -6cosex23x . ctg23x

3). y = U.V y’ = U’V + UV’

Contoh : y = ( x2+1 ) ( 3x3–4x )

U = X2+1 , U’ = 2x

V = 3x3-4x , V’ = 9x2-4

y’ = U’V + UV’

= 2x . (3x3-4x) + (x2+1) . (9x2-4)

= 6x4 – 8x2 + (9x4-4x2+9x2-4)

= 15x4 – 3x2 – 4

Contoh : y = x3.2x

U = X3 , U’ = 3x2

V = 2x , V’ = 2xln2

y’ = U’V + UV’

= 3x2 . 2x + x3 . 2xln2

Contoh : y = 3x2.ex.tgx

47


U = 3x2 , U’ = 6x

V = ex , V’ = ex

W= tgx , W’ = sec2x

Y’ = U’VW + UV’W + UVW’

= 6x.ex.tgx + 3x2.ex.tgx + 3x2.ex.sec2x

Contoh : y = ( x2+1 ) ( 3x+4 )3

U = x2+1 , U’ = 2x

V = (3x+4)3 , V’ = 9(3x+4)2

y’ = U’V + UV’

= 2x.(3x+4)3 + (x2+1).9(3x+4)2

= ( 9x2+24x+16 ).(15x2+8x+9)

= 135x4+432x3+513x2+344x+144

Contoh : y = sinx.coshx

U = sin x , U’ = cosx

V = coshx , V’ = -sinhx

y’ = U’V + UV’

= cosx.coshx - sinx.sinhx

Contoh : y = sin2x.tghx

U = sin2x , U’ = -sin2x.cos2x

V = tghx , V’ = sechx

y’ = U’V + UV’

= cos2xsin2x . tghx + sin2xsechx

Dimana : sin2x = sinx . sinx

U = sinx , U’ = cosx

V = sinx , V’ = cosx

y’ = U’V + UV’

= cosx.sinx + sinx.cosx

= cos2x.sin2x

Contoh : y = coshx2 . cosx2

U = coshx2 , U’ = -2xsinhx2

V = cosx2 , V’ = -2xsinx2

48


y’ = U’V + UV’

= -2xsinhx2.cosx2 - coshx2.2xsinx2

= -2x {(sinhx2.cosx2 + coshx2.2xsinx2)}

Contoh : y = ( 3x2+1 ) ( sec2x )

U = 3x2+1, U’ = 6x

V = sec2x , V’ = 2sec2xtg2x

y’ = U’V + UV’

= (6x).(sec2x) + (3x2+1).(2sec2xtg2x)

= 2sec2x { 3x + (3x2+1).tgx }

Dimana : sec2x = secx.secx

U = secx , U’ = secxtgx

V = secx , V’ = secxtgx

y’ = U’V + UV’

= secxtgx.secx + secx.secxtgx

= sec2xtgx + sec2xtgx

= 2sec2xtgx

4). y = U/V y’ = U’V – UV’ V2

Contoh : y = _x 2 +1_

x+4

U = x2+1 , U’ = 2x

V = (x+4)1/2 , V’ = ½(x+4)-1/2

y’ = U’V – UV’ = (2x)(x+4) 1/2 – {(x 2 +1).1/2(x+4) -1/2 } V2 x + 4

= 2x.x+4 – 1 .(x2+1) 2 x+4______ x + 4

Contoh : y = x 2 +1__ x + lnx

U = x2+1 , U’ = 2x

V = x + lnx , V’ = 1 + 1/x

y’ = 2x.(x+lnx) – (x 2 +1).(1+1/x)

49


(x + lnx)2

= 2x 2 +2xlnx – x 2 +x+1+1/x x2+2xlnx+lnx2

Contoh : y = tg2x = sin2x cos2x

U = sin2x , U’ = 2cos2x

V = cos2x , V’ = -2sin2x

y’ = 2cos2x.cos2x – sin2x . -2sin2x ( cos2x )2

= 2 ( cos 2 2x+ sin 2 2x ) = 2 = 2 sec22x Cos22x cos22x

Dimana : cos22x+ sin22x = 1

1/cos22x = sec22x

5). Aturan Rantai

Jika y = f(x) merupakan suatu fung si tersusun, yaitu y = g(u) dan u = h(x) maka untuk

turunannya dicari dengan cara :

dy = dy . du dx du dx

Contoh : y = 2u4 – 4u2 – 5u dan u = 4x3 + 3x

Maka :

dydx

=dydu

.dudx

=(8 u3−8 u−5)(12 x2+3 )

2. Turunan dari Fungsi Invers

Teorema : misal y = f(x) maka x(y) = f-1(y) disebut Fungsi Invers. Turunan dari Fungsi

Invers x(y) adalah x’(y) =

1f '( x ) atau

dxdy

= 1dy

dx

Teorema : Turunan fungsi f (x) = xr, r rasional adalah :

f(x) = xr => f’(x) = rxr-1

contoh :

Diberikan suatu fungsi f(x) = 3√( x2−2 x )2= (x2 – 2x)2/3, maka

50


f’(x) =

23( x2−2 x )

−13 (2 x−2 )

=

4 ( x−1)

33√x2−2 x

, x≠{0,2}

g(x) = cos 3√ tan x=cos ( tan x )

13

g’(x) = - sin ( tan x)

13 .

13( tan x )

−23 sec2 x

=

-

sin 3√ tan x . sec2 x

33√( tan2 x )

,

x≠12

π+kπ , k bulat

SOAL LATIHAN DAN JAWABAN

Tentukan Turunan dari :

1. f(x) = √ 1−x1+x

2. f(x) = √ x sin x

3. f(x) = 3√sin√x

Jawab :

1) f(x) = √ 1−x1+x

=( 1−x1+x )

12

=

f’(x) =

12 ( 1−x

1+x )−12 .(−1)(1+x )−(1−x )1

(1+x )2

=

12 ( 1−x

1+x )−12 .{−1−x−1+x

(1+ x )2 }

=

12 ( 1−x

1+x )−12 .

−2(1+x )2 =

51


−1

(√1−x1+x )(1+x )2

=−1

(1+x )2 .(1−x )

12

(1+x )12

−1

(1+x )32 (1−x )

12

2) f(x) = √ x sin x=( x sin x )1

2

f’(x) =

12( x sin x )

−12 (1. sin x+s cos x )

12( x sin x )

−12 (sin x+x cos x )

3) f(x) = 3√sin√x=(sin√ x )

13

f’(x) =

13( sin√x )

−23 . cos√ x (

12

x−1

2 )

16

x−1

2(sin√ x )−2

3 .cos √x

cari

dydx dari x3 + y2 + x2 y3=3

di (1,1)

df ( x , y )dx

=3 x2+2 ydydx

+2 xy 3+3 y2 x2 dydx

=0

di (1.1)

3+2dydx

+2+3dydx

=0

5+5dydx

+0

jika diminta untuk mencari

dydx , maka

5

dydx = – 5 , maka

dydx = –1 .

52


PERTEMUAN 13


1. Turunan Fungsi Implisit

Fungsi implisit adalah fungsi yang berbentuk f (x,y)= 0 atau f(x,y)=c. Maka cara

mencari dy/dx dari fungsi implicit adalah sebagai berikut:

Untuk memudahkan pemahaman , maka akan langsung diberikan beberapa contoh.

Contoh:

1) x2 + y2= 25 (fungsi Implisit)

dydx

=2 x+2 ydydx

=0

2 x+2 ydydx

=0

2 ydydx

=−2 x

dydx

=−2 x2 y

dydx

=−xy

2) jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0

tentukan

dydx

dand2 ydx2

di titik

x=3y=2

Jawab :

x2 + y2 – 2x – 6y + 5 =0

2x + 2y

dydx

−2−6dydx

=0

(2y - 6)

dydx =2 – 2x

53


2 (y-3)

dydx =2(1-x)

dydx =

1−xy−3

di (3,2)

dydx

=−2−1

=2

d2 ydx2

= ddx ( 1−x

y−3 )=( y−3 )(−1 )−(1−x )(1)

dydx

( y−3 )2

¿(3− y )−(1−x )

dydx

(2−3)2

¿(3−2)−(1−3 ) .2

(2−3)2

¿1−(−2 )2

1=5

3) f(x,y)= x + xy2 – x sin y

(atau, x + xy2 = x sin y)

cari

dydx dan

d2 ydx2

Jawab : (Coba sendiri yah, buat latihan .... )

2. Penurunan dengan Bantuan Logaritma

Untuk menurunkan Fungsi yang berpangkat Fungsi, dapat digunakan penurunan dengan

bantuan logaritma.

Jika diketahui z = f(u,v)= uv, dimana u,v adalah fungsi dalam x maka

dfdx dapat dicari

dengan 2 cara:

1. z = uv

ln z = ln uv

54


ln z = v ln u

diturunkan ke-x:

1z

dzdx

=dvdx

. lnu+vu

dudx

dzdx

=uv (dvdx

ln u+vu

dudx )

2. z = uv

z = eln uv

=ev ln u

dzdx

=ev lnu ( dvdx

lnuvu

dudx )

uv( dvdx

lnu+ vu

dudx )

contoh:

Diketahui z = xx

Cara pertama:

z = xx

ln z = ln xx

ln = x ln x

1z

dzdx

=1 . ln x+ xx

dzdx =xx (ln x +1)

Cara kedua:

z = xx

z = eln X X

=ex ln x

dzdx

=ex ln x(1 ln x+ xx )

e x ln x (ln x+1 )xx ( ln x+1)

PERTEMUAN 14

55



1. Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter

x= f ( t )y=g ( t ) t = parameter

dydx

= limΔx−0

ΔyΔx

= limΔt−0

Δy /ΔtΔx /Δt

=limΔt−0

Δy /Δt

limΔt−0

Δx /Δt=dy /dt

dx /dt

Jika

dydx

= y '

dydt

=Y¿

dxdt

=X¿

y’=

Y¿

X¿

maka

d2 ydx2

= ddx (

dydt

dxdt)= d

dt (dy

dtdx

dt). dt

dx

=

dxdt

d2 ydt2−

dydt

d2 xdt2

1dx

dt

(dxdt)2

= y = { { {x} cSup { size 8{ cdot } } {y - {}} cSup { size 8{ cdot cdot } } {y} cSup { size 8{ cdot } } {x} cSup { size 8{ cdot cdot } } } over { left ( {x} cSup { size 8{ cdot } } right ) rSup { size 8{3} } } } } { ¿ y '= y

¿

x¿

Contoh:

1) x= 2 – t

y=t2 – 6t + 5

maka y’ =

dydx

= y¿

x¿

56


dxdt

= y¿

=2 t−6

dxdt

=x∘=−1

y '=dydx

=2 t−6−1

=6−2t=2 (2−t )+2

= 2x+2

= 2(x+1)

2. Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah Lebih Dari Satu

Secara umum jika diketahui z adalah funsi dari u1, u2, u3, …, un, dan u1, u2, u3,

…, un adalah fungsi dari x, maka

dzdx

= ∂ z∂ u1

.du1

dx+ ∂ z∂u2

.du2

dx+ .. .+ ∂ z

∂ un

.dun

dx

∂ z∂u = derifatif parsiil pertama dari z ke u

artinya peubah lain kecuali u dianggap konstan.

Contoh:

z = x2+y3+x2y3

dzdx

=z '=2 x+3 y2 dydx

+2 xy 3+3 y2 x2dydx

∂ z∂ x

=zx=2 x+2 xy 3

∂ z∂ y

=zy=3 y2+3 y2 x2

57


2)

x=t−sin ty=1−cos t 0<t<

x∘=

dxdt

=1−cos t

y∘=dy

dt=sin t

y '=sin t1−cos t

=sin ty

sin t dinyatakan dalam y

y= 1 – cos t

cos t = 1 – y (sin2t + cos2t = 1)

sin t = √1−cos2 t

√1−(1− y )2 =√1−(1−2 y+ y2)

√1−1+2 y− y2=√2 y− y2

y’=

1y√2 y− y2

PERTEMUAN 15PERTEMUAN 15

BEBERAPA APLIKASI TURUNANBEBERAPA APLIKASI TURUNAN

58

fs naik

fs turun


1. FUNGSI NAIK DAN TURUN1. FUNGSI NAIK DAN TURUN

Definisi :

Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan

pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 < x2 yang terletak dalam

interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) .

Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan

pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 > x2 yang terletak dalam

interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) .

Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1.

Skema :

x0-h x1 x0 x2 x0+h

x0-h x1 x0 x2 x0+h

Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Dalil :

Jika f ' ( x0) > 0 y = f (x) naik di x = x0

f ' ( x0) < 0 y = f (x) turun di x = x0

59

+-+-


f ' ( x0) = 0 titik stasioner dari fungsi f tercapai

f } } \( x rSub { size 8{0} } \) `<`0} {¿ ¿¿ maka titik (x0 , f(x0)) titik maksimum

f } } \( x rSub { size 8{0} } \) `>`0} {¿ ¿¿ maka titik (x0 , f(x0)) titik minimum

Contoh :

f ( x )=2 x4−4 x2+3

Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsi f

Jawab :

f (x) = 2x4 – 4x2 + 3

f’ (x) = 8x3 – 8x

= 8x (x2 – 1)

f” (x) = 24x2 – 8

Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0

f’ (x) = 8x (x2 – 1) = 0

= 8x (x+1) (x-1) = 0

x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1

f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1

-1 0 1

f” (0) = -8 < 0 maka (0, 3) titik maksimum

f” (1) = 16 > 0 maka (1, 1) titik minimum

f” (-1) = 16 > 0 maka (-1, 1) titik minimum

Sebelum mempelajari soal-soal lebih lanjut, akan diberikan terlebih dahulu

teorema-teorema yang mendukung fungsi naik maupun fungsi turun.

60


Teorema Uji Keturunan Kedua untuk KecekunganTeorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan

Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua pada selang I (terbuka)

1. Jika f } } \( x \) `>`0} {¿¿¿ Grafik f cekung ke atas pada I

2. Jika f } } \( x \) `<`0} {¿¿¿ Grafik f cekung ke bawah pada I

Definisi Titik Belok (Ekstrim)

f fungsi kontinu pada selang terbuka I a ∈ I . Titik (a , f (a )) dikatakan titik belok jika

dipenuhi 2 syarat berikut :

1. Terdapat perubahan kecekungan dari grafik fungsi f disekitar x = a

2. Terdapat garis singgung pada grafik fs f di (a , f (a ))

Contoh :

f ( x )=5 x3−3 x5+2

f ' ( x )=−15 x4+15 x2=0

x2(15−15 x2 )

(a) Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah

(b) Tentukan semua titik ekstrimnya

Jawab :

f ( x )=5 x3−3 x5+2 , x ∈ R

f ' ( x )=15 x2−15 x4 , x ∈ R

f } } \( x \) ``= 30 x - 60 x rSup { size 8{3} } ~,`x` func `R} {∈ ¿¿¿

= −60 x ( x2−1

2)

= −60 x ( x+ 1

2√2 ) ( x−1

2√2

x1=0 x2=−12√2 x3=

12√2

f (0)=2 ;f (−1

2√2 )=2−7

8√2

;f ( 1

2√2 )=2+ 7

8√2

61

TitikEkstrim

TitikEkstrim

TitikEkstrim


0

−12√2

12√2

x<−12√2 −1

2√2<x<0 x>1

2√2

(a) f cekung ke atas :

(−n ,−12√2) ; (0 ,

12√2)

f cekung ke bawah :

(−12√2 , 0) ; ( 1

2√2 , n)

(b) Karena f”(x) ada di x ∈ R dan disekitar x=−1

2√2 , x=0 , x=1

2√2

ada

perubahan kecekungan, maka titik ekstrimnya

(−12√2 , 2−7

8√2) ; (0 , 2 ) ; ( 1

2√2 , 2+ 7

8√2)

2. Garis singgung dan Garis Normal

Untuk menentukan garis singgung suatu kurva, dapat menggunakan teorema-teorema

berikut ini :

a. Teorema Rolle

Misalkan f memenuhi syarat :

+ + - - + + - -

62


a) Kontinu pada selang tertutup (a, b)

b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)

c) f (a) = f (b)

Maka terdapat suatu c ∈ (a , b ) Э f’ (c) = 0

(Teorema ini menjamin adanya titik-titik pada grafik f(x) dimana f’ (x) = 0 atau

garis singgung mendatar).

Skema :

f’(c) = 0

f (c)

f

f (a) = f (b)

a c b

Gambar 3.2. Skema Teorema Rolle.

b. Teorema Nilai Rata-rata

Misalkan f memenuhi syarat :

d) Kontinu pada selang tertutup (a, b)

e) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)

Maka terdapat suatu c ∈ (a , b ) sehingga f ' (c )=

f (b )−f (a )b−a

(Teorema ini menjamin adanya titik pada f yang garis singgung // dengan ruas garis

yang menghubungkan titik (a, f(a)) dengan (b, f(b)).

63

(b, f (b))


Skema :

f’(c)

f (c)

f (b)

f (a)

a c b

b – a

Gambar 3.3 Skema Teorema

Nilai Rata-rata.

c. Teorema, Rumus Tayor

Misal fungsi f mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang memuat

titik x dan x0 , maka f(x) dapat diuraikan dalam bentuk :

f(x)= f ( x0)+

f ' ( x0)1!

( x−x0 )+f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {2!} } \( x - x rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } +~ dotsaxis ~+{}} { ¿¿¿

f (n)( x0 )n !

( x−x0 )n+

f (n+1 )(c )(n+1 )!

( x−x0 )n+1

c terletak antara x dan x0 .

Dapat ditulis :

f ( x )=Pn ( x )+Rn ( x )

Dimana :

Pn(x) = suku banyak Taylor berderajad n

Rn(x) =

f (n+1 )(c )(n+1 )!

( x−x0 )n+1

= suku sisa uraian Taylor

Contoh :

Deretkan dengan R. Talyor f(x) = sin x di x0 = 0

Jawab :

64


f(x) = sin x f (0) = 0

f’(x) = cos x f’(0) = 1

f”(x) = -sin x f”(0) = 0

f3(x) = -cos x f3(0) = -1

f4(x) = sin x f4(0) = 0

f5(x) = cos x f5(0) = 1

f(x)= f (0)+

f ' (0)1!

x+ f \( 0 \) } over {2!} } x rSup { size 8{2} } +~ dotsaxis } {¿¿¿

= 0+1 . x+0+

(−1 )3 !

x3+ ⋯

= x− x3

3 !+ x5

5 !− ⋯

Deret Taylor dimana x0 = 0 dinamakan Deret Mac Laurin.

Contoh :

Diket : f(x)=x3-9x2+15x-5

Tentukan semua titik ekstrimnya.

Jawab:

f'(x) = 3x2-18x+15

Stasioner jika f'(x) = 0, maka Stasioner jika f'(x) = 0, maka 3x2-18x+15 =0 atau =0 atau x2-6x+5 = 0.

Sehingga (x-5)(x-1)=0, x1 = 5, x2 = 1..

f''(x) = 6x – 18 , maka f''(5) > 0, dan f''(1) < 0.f''(x) = 6x – 18 , maka f''(5) > 0, dan f''(1) < 0.

Jadi ekstrim minimum terjadi di titik (5, 12) dan ekstrim maksimum di titik (1,-12).Jadi ekstrim minimum terjadi di titik (5, 12) dan ekstrim maksimum di titik (1,-12).

65


3. Bentuk-bentuk Tidak Tertentu3. Bentuk-bentuk Tidak Tertentu

Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut:Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut:

00

; ∞∞ ; 0 .∞ ; ∞−∞ ; 1∞ ; 00 ; ∞0

Aturan dari de l’ Hospital :

1. Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan sebanyak n kali disekitar

x = a.

f (a )= f ' (a )=f \( a \) =` dotsaxis `=f rSup { size 8{ \( n - 1 \) } } \( a \) =0} {¿

g(a )=g ' (a )=g \( a \) =` dotsaxis `=g rSup { size 8{ \( n - 1 \) } } \( a \) =0} { ¿Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak nol, maka :

limx→a

f ( x )g ( x )

=f (n)(a )g(n)( a)

2. Kecuali untuk bentuk

00 , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai untuk bentuk

∞∞ .

f (a )= f ' (a )=f \( a \) = dotsaxis =f rSup { size 8{n - 1} } \( a \) = infinity } {} # g \( a \) =g' \( a \) =g (a )=⋯=gn−1 (a )=∞ ¿Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak tak berhingga, maka :

limx→a

f ( x )g ( x )

=f (n)(a )g(n)( a)

Contoh:

1.lim

x→2

x2−x−22−x →

00

= lim

x→ 2

2 x−1−1

=−3

2.lim

x→0

sin x2

sin2 x→

00

= lim

x→0

2 x cos x2

2 sin x cos x →00

= lim

x→0

2 x cos x2

sin 2 x →00

66


= lim

x→ 0

2cos x2−(2x ) (2x )sin x2

2cos2 x

=

2. 12

=1

3.lim

x→∞

x2+ x3 x2+1

→∞∞

= lim

x→∞

2 x+16 x →

∞∞ =lim

x→∞

26=

13

=

limx→∞

2xx+ 1

x6 xx

=26=

13

Contoh:

1.

limx→ Π

2

ln( x−Π2)

tan x

=

limx→ π

2

1x−π /2

sec2 x =

limx→ π

2

cos2 xx−π /2 =

limx→ π

2

1/2(cos2 x+1 )x−π /2 =

limx→ π

2

1/2(−2 sin 2 x )1 = 0

2.limx→0

ex−1x2

= limx→0

e x

2 x=lim

x→0

ex

2=1/2

3.lim

x→∞

x2

ℓx−1

= limx→∞

2 x

ex=

limx→∞

2

e x=0

67


DAFTAR PUSTAKA

[1] Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus S., Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi, Ghalia Indonesia, Jakarta, 1995

[2] Frank Ayres, Differential and Integral Calculus 2/ed, McGraw-Hill Book Company, NewYork, 1978.

[3] Leithold, L ., 1972, The Calculus with Analitic Geometry, Harper International Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.

[4] Martono, K., 1970, Modern Control Engineering, Prentice-Hall., Englewood Cliffs, New Jersey.

Kreyzig, E., 1983, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley and Sons, Inc, Canada.

68

kalkulus 1

Documents