hlatematikn. 1495, Jilid 11, hil. 2. hhn. 73 1 5 @Jabatan Matnmatik. L T M .

PEKALI DUA SUBKELAS FUNGSI BAK-BINTANG

KOSMAN M. A1,I & VTKRAMADITYA SING11 Pusat Pcngajian Sains h la ten~at ik

IIniversiti Sains Mala,vsia I 1800 Gelugor, Penang. Malaysia

Abstrak. Andaikan f sphirgai fnngsi analisis f(;] I t - x ,2m, i r" ~ a d a cakcra unit, ri ilntuk n < n < I , hingsi ,f diseln~t whngai fungsi hk-lint.an;: kuat prririrkat n jika

1 PENGENALAN A ~ d a i k a n L; s e h a ~ r i cakera imit I.-/ r I , d m A dari ,Ao ni;rsirig-nmsing sehngai krlni fungsi- fiingsi analisis J p d a II rimgan f ( 0 ) - J ' ( 0 ) - 1 -- 0 dau f ( O ) = 1 . Ilr~t.iik O < n < I, fiingsi f E .A ( l i s e l~ i~ t srbagai hak-bintang hual prriv,qkut R jika f rr~errt~nithi

batas &as 1.rrbaik u r ~ t ~ l k pekali ke-n f u n p i dalarr, kelas ini adalah mmih tertxtka. Di dalam makalah ini. di antara lain kita mendapatkan h a t s at,ns terbaik lllit.uk pekali krcmpat, dan kelirna fungsi pada kelas S'(m).

Suhwt, pada Ao ynng terdiri daripatia hlngsi-fungsi p E .40 dengan Ny p ( z j > 0, z E U. akan disimbolkan dengan P Kelas (-' C A ialah kelas yang terdiri ddripada filngsi- fungsi rcrnbung dengan f E C' jika d a t ~ linnva ; i l i a 1 + z f " ( t ) / f ' ( r ) E P. Coodrnan[:<J telah memprrkmialkarr kelas (:S.S C C Tang Cerdiri daripnda fi~ngsi-hlngsi cemhung secara seragam yang hersifat n n t i ~ k sr t iap lengkok m r r n h ~ ~ l a t 7 yang trrletak di rlalam Lr dengeti pusat.nya juga terletak di dalam f.!, inlej Imgknk I(-,) a<lirlah crmlml~g. Ardaikarr 1'4R =-

{ P ( z ) E P : P ( C J ) c n) ,ipllgnll

riisehut srbagni f i m g s i bnk-hintnrlg jlalnholikdnn kelas fltngsi-fungsi ini rlilan~hanglan dengan 5,. Maka fungsi f € ('SS jika dan liariya jika i f 1 ( , - ) E S,. Fungsi vang mrmetakan Ll

krsr l l~ruh rantan parahola R iwlah

.lrlmlall hnhawa f E C'.s.S jika da11 hanyajikn I 1- 2 J " ( z ) / f ' ( z ) arldah subordinat krparla *. yang kit,a akan nielinliskaii s e h a ~ a i

Dalam 161 rlan 17). hatas tilas lerhaik iuntn~k prkali kc71 filrlgsi-filngsi dalam ('.S.S t,elah diprrolehi rrncilk n :z 2. :1. - - . . f j .

I<rla.? Sp telah diitlakkan di dalanr [ill dcvgall mrliggunnkan parameter a dan r n e n a k r i h n ,S , (n) sehngai subkrlrtc pads /l yang t e r d i ~ i dnripada fimgsi-furigsi f dengan

Nanmn kelas ini brlnni lagi dikajikal~. Ui dalarn nlakalah ini. kit8 mmekaiikan kelas t,ersrc ., ,,

Imt. A k m tetapi, trrlebih dah~i lu kitn n~eng~l lmh srrlikit penakriian di a t= seprrt i yang b ~ r i k n t :

Chtuk 0 5 p < I . andaikan CI srbaga~ rantau parabola

.l?laslah bahawa Sp(1/2) = .SF d a ~ i S, , (p ) 111erlipki~11 subset pada kdas fi~ngsi l-rali- hint,arrg. Fungsi f E S , ( p ) d i s e h ~ t sebaaai bok-hirrtnng p n m h o i i k per ingknt p . Oleh sal-r.lL . C p ( l ) hanya nler>gandungi fungsi idpnt,iti. ni;isalali !,atas pekali untuli kclm S , ( p ) adalah menarik, yang kita akan rnengliajik;m di rialam niakalali ini. Khusus~~ya kilx akart rnenda- patknn I x d a s trrbaik ~uituk pckali k-rz f\mpsi pada S,,(p) dengan n - %,.3 dan 4.

2 PENDAHULUAN Andaikan R srbagai kelas yiirig tcrdiri dnripada fimgsi-fiulp,,i i r , ( z ) - p ( z ) - I . p E Ao. dengan lw(z ) j < I , z E ('.

.Ielaslali Ixihawa fi~ngsi f ( r ) - z t C , : = , n , , z n E S'(I,) jika clan ttariya j i k ~ w11j11d f~rngsi

Bukti Teorem 1 A~ldaikan

Daripada ( I ) , Trorern 1 rnmunjukkan hahawa iungsi f terirtak &lam S,(/ , ) jihr dan

ter1~t.ak dalam P. Jika f(z) = I I r,::, 2'. nidw nndahlah 11nt11k <liti~njukhan bahawa

Teorem A Andaikan p ( z ) - 1 4- p l z -1 p2z2 + . . . 71,,2" + . - . E ,do. l laka p E I ' jilm rlirn hanva jika

Bukti Lema 2 I M a m (0) pililikan j11j11kan { a } sllpayir 2, = al;f - n p r , zr - - p . z:, =- 1. dari 20 = 0. z!. - 0, k > 4. Oleh it u

Teorem 2 rrdaikan f ( z ) = t i n,,:" E S ' ( o ) . Mnlia

Bukti Teorem 2 Anrlaikan f E .S'(n). Ihr ipadn (2). u n t ~ ~ k n~rndapat,kan hatas atns I I L ~ I . kita mm~rrhiklui

Peraniaal i -pcr i i~~r~aat i ili a tas n i c ~ ~ ~ l ~ ~ ~ ~ i l l i i ~ ~ I f l - - 5 ~ 1 dan (92 - 2 7 i I ) . Olrh ~ b a b if2 5 2 rnnktl 17rr' < 2. CIIIIII; ~r~elenghapliali pemlx~ktian, kitn perlii n i e n ~ p a n ~ ~ r k a r l sat11 f u ~ @ h E P scpcrti dx lan~ ( 6 ) . Satu r11ripsi terwbut i d a h

Daripada ( 5 ) dengall p -- 1 dan k~t,aksaniaan di at%-. kit8 nirmp~rolehi

Olrli schal, s~rnutt pt4cali adalah l,ositif. Lmm I nnrcnghasilkan

pekali dalarn (15) ,adalah posit,if, Lema I dan 2 rnemmj~~kkan bahawx maksirnt~m (11 dic;+pai apabila p dil~erikan oleh (14). llal ini mr;ril~t~ktikati kr td isnmaar~ pwt;irtl;r d a l a n ~ (12).

I!r~tulr k d aksarrtaart krdtta. ~ ~ c r h n t i k a ~ i bahaaa jika

l i i ta t , nn j~~ l ika r~ ball;ia-a 11 5 2 utrt,uk 0 < n < a, rlpng;itl n l 0.:15016 sehagni pensifar w i l i pilda ( 0 , 1) fungsi

( I - 2<~l)(1OO2 - lo,> i~ 3) +p - - = I + , :!.

,'3(:i - i n ) .I 2 ' i

Teorem 3 Andailmn

K ~ s n n l a a ~ ~ d a l a n ~ ( I f ; ) , ( 1 T ; i ) da11 (18;~) bwlitku ,jilm dnn hanya jika f(z) = /Y2(z) utau puthralulvn. I<?.sarnaa~l d a l a n ~ (1711) berltikl~ jikn dnn l~nnya jika f(z) - l i : i(z) . dan rlalam (18h) jika clan hnriya jika f j z ) 2 l i . r ( t ) nl a11 p~ztaralir~yn.

171 I\'. %Ta k D. k ? h i e , IJni fomd!, C,n,%,~.r F u n ~ , t ? w w 11, .Anr) . Polon. k ldlk. , ~ k m tv!! i l I 8 . I , . I 1 T I t : l . f . ! ~ t I , I ' m c :

\,lath. i o c . 8 (1957). 11-23 l a F'. K m l l i i i g , On Stndtkr. Ft,,i,.!,o,,i A,ssu.-rnriri ~ m i h . r o n h d r i . i i r , g r r ; i i . AT,!,. I l r l i \ . hlariac. C' lur l -

Skiodnwwska 5-c-t. A 45 (IO!ll). I : 7 122. l l i l F. Rmlrl8llg. nn710nillv ~ ' P ~ V P T F ~ n ~ : i ~ , m 0 7 ~ ~ 1 u I ' ~ , ~ n , i l i ~ n ~ d m q f:!m nf .S fw l?k~ F b r f r , ! o n ~ . l ' ! ~

A t r ~ i . i la t l l . Sor. 118 (1!1!1:31. 18? l!1G 1 1 .I. Stnnkiewirr. ,5'n,ii. R-lriarb iPl,ir.r.niziey .S,nrlzkr. T , i i i r . f~o i i s . R>l l l . A rad Polnln S< i . Srr. S r i \In1 1,.

A s t r o n o m Ptl.vs. 18 (1:Glll. 16!:4-14'i. i ~ r I . startkin,,irr. $lt,.~q.i,..r ~ ~ ~ ~ ~ t , t ; ~ ~ . . , ~ I J T ~ ~ . , ~ L ~ , , ? . r , , ~ ~ , , ~ LCS CI&~S~.S nrs i'rrilrtr.,iii li~n,lgliinlr..,ilcni

I t l A . I . a ' k I k 5 - A 20 11996). i!l Ti 1:i. ,I s i 07 a I J I ! I , i n n . I ln lv, i l 6 r i , a C:~~r~ i -S l~ lo r i ow~ka Set: A

22-24 (IQR~/~o). I ~ w x I ! I ! I ; ~ ~ .