irisan dua lingkaran

05/01/2023 1

05/01/2023 2

IRISAN 2 LINGKARAN

05/01/2023 3

Disusun Oleh

1. Alda Clarissa Sunaryo2. Felicia Christian 3. Joey Leomanz Bartolomeusihosa 4. Jyotis Sugata5. Laurencia Marcelina6. Natasha Aurelia 7. Octavia A. Putri8. Risma Ayu Setyaningrum

05/01/2023 4

IRISAN DUA LINGKARAN

Persamaan Lingkaran dan Hubungan Dua

Lingkaran

Keliling Irisan Dua Lingkaran

Luas Irisan Dua Lingkaran Tali Busur

05/01/2023 5

Lingkaran

R

05/01/2023 6

Persamaan Lingkaran

A (x,y)r

x

yX

Y

X

YA (x,y)

P (a,b)

(x-a)

(y-b)

Lingk

aran

Ber

pusa

t di t

itik

(0,0

)

x2 + y2 = r2 r = jari-jari

(x – a)2 + (y - b)2 = r2

Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari

Lingk

aran

Ber

pusa

t di t

itik

(a,b

)

05/01/2023 7

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

CBA 2212

21 )()(

Persamaan Lingkarandalam bentuk umum

Pusat (-½A, -½B)

r =

05/01/2023 8

Hubungan Dua Lingkaran

P P P

P

P

PP

Q

Q

QQQ

QQ

R

rL2 L1

L2 L2

L2 L2 L2

L2 L1 L1

L1 L1 L1

L1

L2 di dlm L1PQ=0

L1 konsentris L2L2 di dlm L1

PQ<R-rbersinggungan di

dlmPQ=R-r

berpotongan di dlm

PQ<R-r

berpotongan di luarPQ<R-r

bersinggungan di luarPQ<R-r

terpisahPQ<R-r

PQ =

05/01/2023 9

05/01/2023 10

05/01/2023 11

05/01/2023 12



Lingkaran



05/01/2023 13

Keliling Irisan dua Lingkaran

C

B

a

c

b

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

cos α =?

Panjang Busur =

ATAU

A

r

r

n

cos α =

05/01/2023 14

Mencari titik potong dua lingkaran

Eliminasi x2 dan y2 pada kedua persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan garis yang melalui kedua titik potong lingkaran

Substitusikan nilai x atau y dari garis tersebut ke salah satu persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan koordinat

Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat pada langkah b

Substitusikan nilai x atau y yang diperoleh ke persamaan lingkaran sehingga mendapatkan pasangannya

05/01/2023 15



Lingkaran



05/01/2023 16

Luas Irisan Dua LingkaranB

c a

bA C

r

r

r

r

A

A

B

B

P

P

A

B

05/01/2023 17

Bentuk dan Luas Irisan Dua LingkaranBENTUK 1

PQ α β

A

B

r

r

R

R

05/01/2023 18

BENTUK 2

R

R

βαPQ

A

B

r

r

05/01/2023 19



Lingkaran



05/01/2023 20

PQ

A

B

r

r

RM

Panjang tali busur = 2 AM = 2 √ r² - p²

AM = √ r² - p²

Tali Busur

05/01/2023 21

Tali busur lingkaran adalah ruas garis dalam lingkaran yang menghubungkan 2 titik pada lingkaran.

Ciri ciri:

1. Berupa ruas garis2. Menghubungkan 2 titik pada lingkaranTali-tali busur pada gambar (a) berpotongan di dalam lingkaran. Tali-tali busur pada gambar (ii) berpotongan pada lingkaran. Sedangkan tali-tali busur lingkaran pada gambar (iii) berpotongan di luar lingkaran.

05/01/2023 22

Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran

Perhatikan bahwa sudut-sudut ABC dan ADC merupakan sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, sehingga sudut ABC sama dengan sudut ADC. Selain itu, sudut-sudut AKD dan CKB merupakan sudut-sudut yang bertolak belakang. Sehingga sudut AKD sama dengan sudut CKB. Oleh karena itu, segitiga AKD sebangun dengan segitiga CKB.

05/01/2023 23

Karena segitiga-segitiga AKD dan CKB merupakan segitiga-segitiga yang sebangun, maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sama, yaitu AK : CK = KD : KB. Atau dengan kata lain, AK × KB = CK × KD.

Jika dua tali busur berpotongan pada satu titik di dalam lingkaran, maka hasil kali kedua bagian dari satu tali busur sama dengan hasil kali kedua bagian tali busur yang lain.

05/01/2023 24

menyelidiki besar sudut yang dibentuk oleh perpotongan dua tali busur tersebut. Dengan cara yang sama dengan di atas, dapat ditunjukkan bahwa segitiga PLS sebangun dengan segitiga RLQ. Sehingga sudut P sama dengan sudut R, sudut S sama dengan sudut R, dan sudut L1 sama dengan sudut L2 (Sudut L1 dan L2 secara berturut-turut merupakan sudut L atas dan bawah). Karena sudut α berpelurus dengan sudut L1, maka α = 180° – L1. Sesuai dengan sifat penjumlahan sudut-sudut dalam segitiga, maka P + S + L1 = 180°. Atau dengan kata lain, L1 = 180° – P – S. Sehingga, α = 180° – (180° – P – S) = P + S. Karena sudut S sama dengan sudut Q, maka α = P + Q.

Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran besarnya sama dengan jumlah sudut keliling yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

05/01/2023 25

CONTOH SOAL

05/01/2023 26

05/01/2023 27

05/01/2023 28

Contoh Soal :

Jika dan adalah persamaan – persamaan lingkaran. Tentukan kedudukan kedua lingkaran itu.

05/01/2023 29

Jawab : L1 : Pusat : P = (-1/2 A,-1/2 B) = (1,-2) Jari-jari :

05/01/2023 30

L2 :

Jadi L1 berpotongan dengan L2

05/01/2023 31

Tentukan persamaan

lingkaran yang berpusat

di (0, 0) dengan panjang

jari-jari .

05/01/2023 32

Pembahasan

Jari-jari r = sehingga = 12.

Jadi, persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan adalah x2 + y2 = 12.

05/01/2023 33

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan melalui titik (–6, –8).

05/01/2023 34

Pembahasan

Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r adalah :x2 + y2 = r2 .... (1)

Oleh karena lingkaran melalui titik (–6, –8) maka dengan mensubstitusikan (–6, –8) pada persamaan (1), diperoleh :

05/01/2023 35

x2 + y2 = r2 ↔ (–6)2 + (–8)2 = r2

↔ r2 = 36 + 64 = 100↔ r = =10Kemudian, r2 = 100 substitusikan pada persamaan (1), diperoleh x2 + y2 = 100.

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 100.

05/01/2023 36

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2x2 + 2y2 – 4x –12y = 101.

05/01/2023 37

05/01/2023 38

1. Perhatikan gambar berikut ini.

Diketahui Luas lingkaran2 154 cm dan r1 = 14 cm. Jika cos α dan β = 0Tentukan keliling daerah arsiran?α

β

Dik : L 2 = 154 cos α = 0 r1 = 14 cm cos β = 0 π = 22 7cos α = 0 α = β

α = 90˚ 90˚= β L 2 → 154 = πr² 154 = 22 r² 7 154 x 7 = r² 22 49 = r² 7 = r

K. Arsiran = Busur 1 + Busur 2

=( α x 2πr) + ( β x 2πr ) 360˚ 360˚

1

2

3

4

05/01/2023 39

Busur 1 = α x 2πr 360˚ = 90° x 2. 22 . 14 360˚ 7 = 0,25 x 88 = 44 cm

Busur 2 = β x 2πr 360˚ = 90° x 2. 22 . 7 360˚ 7 = 0,25 x 44 = 11 cm

K. Arsiran = Busur 1 + Busur 2

= 44 cm + 11 cm

= 55 cm

56

7

Soal

05/01/2023 40

2.

Perhatikan gambarL1 : x2 + y2 + 2x - 2y - 7 = 0L2 : x2 + y2 - 6x + 12y + 41 = 0Jika α dan β 90˚.Berapa luas daerah arsiran?

L. Arsiran = L tembereng₁ + L tembereng₂ = (L juring – L segitiga)+(L juring –L segitiga) =( β x πr² - 1 r² sinβ )+(α x πr²- 1 r² sinα) 360˚ 2 360˚ 2

r1 = √(- 1 A)² + (- 1 B )² – C 2 2 = √(- 1 2)² + (- 1 (-2))² – (-7) 2 2 = √(- 1)² + (1)² +7 = √1+1+7 = √9 = 3 cm

r2 = √(- 1 A)² + (- 1 B )² – C 2 2 = √(- 1(-6))² + (- 1 12)² – 41 2 2 = √(3)² + (-6)² -41 = √9+36-41 = √4 = 2 cm

Dik : α = 90˚ β = 90˚

α β

1

2

3

4

5

05/01/2023 41

L tembereng₁ = β x πr² - 1 r² sin β 360˚ 2 = 90° x 3,14(3)² - 1 (3)² sin 90° 360˚ 2 = 0,25 x 3,14(9) - 1 (9) (1) 2 = 0,25 x 28,26 – 4,5 = 2,565 cm²

L tembereng2 = α x πr² - 1 r² sin α 360˚ 2 = 90° x 3,14(2)² - 1 (2)² sin 90° 360˚ 2 = 0,25 x 3,14(4) - 1 (4) (1) 2 = 0,25 x 12,56 – 2 = 1,14 cm ²

L. Arsiran = L tembereng₁ + L tembereng₂ = 2,565 cm + 1,14 cm = 3,705 cm²

6 7

8

05/01/2023 42

R

R

βαPQ

A

B

r

r

Perhatikan gambar.Jika α= 120˚ dan β= 90˚Dan keliling L₂ = 88 cm² serta r₁ = 7 cm.Berpa Luas daerah arsiran? π= 22 7

3.Dik : α = 120 ˚ β = 90˚ r₁ = 7 K. L₂ = 88 π = 22 7

L. Arsiran = L juring besar APB + Luas ΔAPB + Luas tembereng Q

1

2.

3.

05/01/2023 43

K. L₂ → 2πr = 88 πr = 88 2 22 r = 44 7 r = 44. 7 22 r₂ = 14

= 360˚- 120˚ x 22 7² + 1 7² sin 120˚+ 14² ( 90˚ x 22 - 1 sin 90˚) 360˚ 7 2 360˚ 7 2= 240˚ x 22 49 + 1 49. √3 + 196 (1 x 22 - 1 . 1) 360˚ 7 2 2 4 7 2= 2 x 154 + 49√3 + 196 (2 ) 3 4 7= 308 + 21,2 + 56 3= 102,6 + 77,2= 179,8 cm²

L. Arsiran = L juring besar APB + Luas ΔAPB + Luas tembereng Q

4

5

05/01/2023 44

Diketahui : QI = 4,2 cm dan MI = r dengan p = QM 10 Maka panjang tali busur AB adalah?

PQ

A

B

r

5

RM

4.

I

P=QM → QI – MI = 4,2 – r 10 = 4,2 - 5 10 = 4,2 – 0,2 = 4 cm

AB = 2 √ r² - P² = 2 √ 5² - 4² = 2 √ 25 -16 = 2 √9 = 2.3 = 6 cm

1

2 3

05/01/2023 45

Terima Kasih

irisan dua lingkaran

Education