DAFTAR ISI

DAFTAR ISI............................................................................................................................................1

BAB IPENDAHULUAN.....................................................................................................................................2

1.Latar Belakang................................................................................................................................2

2.Tujuan............................................................................................................................................2

BAB IIPEMBAHASAN.......................................................................................................................................3

1.Tata Surya (Solar System)...............................................................................................................3

2.Hukum Kepler................................................................................................................................4

2.1.Hukum Kepler 1.......................................................................................................................6

2.2.Hukum Kepler 2.....................................................................................................................10

3.Pendekatan Metode Euler...........................................................................................................11

BAB IIIPENUTUP.............................................................................................................................................13

1.Kesimpulan...................................................................................................................................13

DAFTAR PUSTAKA...............................................................................................................................14

1

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Karena massa total planet dan satelit jauh lebih kecil dari massa Matahari,

maka pengaruh antar planet dapat diabaikan untuk kalkulasi orbit yang tidak terlalu

teliti. Aproksimasi yang dilakukan mengacu pada “two-body problem”, dengan

mengambil batasan massa salah satu objek itu dapat diabaikan terhadap masa Matahari.

Dalam perkembangan ilmu Astronomi dikenal nama Ptolemaeus (sekitar

tahun 125 M) yang mengemukakan bahwa bumi adalah pusat jagad raya. Pendapat ini

dikenal sebagai pandangan geosentris. Semua benda langit beredar mengelilingi bumi.

Untuk menjelaskan adanya gerak balik (retrograde motion) planet-planet, dibayangkan

model "deferent and epicycle" yang melukiskan pergerakan planet pada sebuah

lingkaran yang lebih kecil (epicycle) pada saat melakukan peredarannya mengelilingi

bumi pada lingkaran yang lebih besar (deferent). Titik pusat epicycle itu terletak pada

diferent.

Diawali oleh para pendahulunya, Copernicus (1473-1543), membuat

pembaruan dengan pandangan heliosentris, yaitu pandangan yang menyatakan bahwa

matahari sebagai pusat peredaran planet-planet, termasuk bumi, serta bintang-bintang.

Dengan pandangan heliosentris dijelaskan bagaimana gerak balik (retrograde motion).

Lebih lanjut mengenai lintasan dan pergerakan planet dijelaskan oleh Johannes Kepler

(1571-1630). Setelah dengan teliti mengamati lintasan Mars. Kepler pada tahun 1609

merumuskan Hukum I dan II Kepler.

2. Tujuan

Tujuan dari makalah ini adalah untuk mengetahui Hukum Kepler 1 dan

Hukum Kepler 2 dengan pendekatan metode Euler.

2

BAB II

PEMBAHASAN

1. Tata Surya (Solar System)

Bumi merupakan sebuah planet yang senantiasa mengitari bintang pusatnya,

yaitu Matahari. Selain Bumi, masih banyak benda-benda langit lainnya yang berputar

dalam pengaruh Matahari sebagai bintang pusat-nya. Benda-benda langit tersebut

adalah planet, planet kerdil, satelit, komet, asteroid, objek-objek trans neptunus, dan

yang lainnya. Seluruh benda langit tersebut beserta dengan Matahari berada dalam

suatu sistem yang dinamakan sistem tata surya.

Tata surya adalah kumpulan benda langit yang terdiri atas sebuah bintang

yang disebut Matahari dan semua objek yang terikat oleh gaya gravitasinya. Objek-

objek tersebut termasuk delapan buah planet yang sudah diketahui dengan orbit

berbentuk elips, lima planet kerdil/katai, 173 satelit alami yang telah diidentifikasi, dan

jutaan benda langit (meteor, asteroid, komet) lainnya.

Tata surya merupakan sebuah sebuah sistem yang terdiri dari matahari,

delapan planet, planet-kerdil, komet, asteroid dan benda-benda angkasa kecil lainnya.

Matahari merupakan pusat dari tata surya di mana anggota tata surya yang lain beredar

mengelilingi matahari.

Benda-benda langit tersebut beredar mengelilingi matahari secara konsentris

pada lintasannya masing-masing. anggota-anggota dalam sistem tata surya ditunjukkan

seperti Gambar 1.

3

Gambar 2.1. Matahari, planet, dan planet kerdil (dwarf planet) yang menjadi anggota

tata surya. Besar diameter dihitung relatif terhadap diamater Matahari

sedangkan jarak tidak diskalakan.

IAU secara umum mengelompokkan benda angkasa yang mengeliligi

Matahari menjadi tiga yaitu:

Planet

Sebuah benda langit dikatakan planet jika memenuhi kriteria sebagai berikut:

• mengorbit Matahari

• bentuk fisiknyanya cenderung bulat

• orbitnya bersih dari keberadaan benda angkasa lain

• Planet-Kerdil

Sebuah benda langit dikatakan sebagai planet-kerdil jika:

• mengorbit Matahari

• bentuk fisiknya cenderung bulat

• orbitnya belum bersih dari keberadaan benda angkasa lain

• bukan merupakan satelit

Benda-benda Tata Surya Kecil (Small Solar System Bodies)

Seluruh benda angkasa lain yang mengelilingi Matahari selain planet atau

planet-kerdil. Benda-benda Tata Surya Kecil tersebut di antaranya adalah komet,

asteroid, objek-objek trans-neptunian, serta benda-benda kecil lainnya.

2. Hukum Kepler

Hukum–hukum Kepler merupakan salah satu batu bata dasar ilmu astronomi

dan amat berguna dalam segenap bagian dalam jagat raya, mulai dari sistem Bumi dan

satelitnya (baik satelit alami maupun buatan), planet–planet dan satelitnya, Matahari

dan planet–planetnya hingga sistem tata surya non–Matahari maupun sistem bintang

kembar yang saling mengedari serta sistem bintang–bintang mengedari pusat galaksi

dalam sebuah galaksi yang berputar. Aplikasi yang amat luas ini barangkali tidak

pernah disadari oleh seorang Johannes Kepler saat mempublikasikannya untuk yang

4

pertama kali di tahun 1609. Pada saat itu Kepler adalah astronom besar yang juga

merupakan asisten sekaligus rekan kerja astronom besar Tycho Brahe, ia hanya berfikir

untuk menerapkan hukum–hukum tersebut dalam sistem tata surya Matahari saja.

Hukum–hukum Kepler terdiri dari tiga bagian, hukum-hukum ini sering

disebut juga sebagai Hukum Kepler 1, Hukum Kepler 2 dan Hukum Kepler 3. Hukum

Kepler 1 menyatakan setiap planet beredar mengelilingi Matahari dalam orbit yang

berbentuk ellips (lonjong), dengan Matahari terletak pada salah satu dari dua titik fokus

ellips tersebut. Sementara Hukum Kepler 2 berbunyi vektor radius (yakni garis

imajiner yang menghubungkan pusat sebuah planet dengan pusat Matahari) menyapu

area dengan luas yang sama dalam ellips tersebut untuk interval waktu yang sama. Dan

Hukum Kepler 3 menyatakan kuadrat dari periode orbit sebuah planet sebanding

dengan dengan pangkat tiga setengah sumbu utama orbitnya. Hukum Kepler 1 dan

Hukum Kepler 2 dipublikasikan pada tahun 1609, sedang Hukum Kepler 3 baru

dipublikasikan sepuluh tahun kemudian setelah Kepler selesai menganalisis data posisi

planet–planet hasil observasi Tyco Brahe selama bertahun–tahun yang tercetak dalam

“Rudolphine Tables”

Untuk memahami hukum Kepler, perlu terlebih dahulu memperhatikan

lintasan orbit benda langit yang bentuknya secara umum dinyatakan dalam irisan

kerucut. Sebagian besar objek tata surya bergerak dalam lintasan yang berbentuk elips

kecuali komet yang memiliki bentuk lintasan hiperbola atau parabola. Elips adalah

sebuah bangun geometri memiliki kelonjongan tertentu.

5

Gambar 2.2 Bentuk irisan kerucut

2.1. Hukum Kepler 1

Gambar 2.3 Hukum Kepler Pertama dan Johannes Kepler

Hukum Kepler 1 berbunyi:

“Orbit suatu planet adalah ellips dengan matahari berada pada salah satu

fokusnya”.

Meski lingkaran merupakan bangun matematis yang sempurna karena setiap

titik di dalamnya berjarak sama dari sebuah pusat, namun implementasinya terhadap

posisi planet–planet dari waktu ke waktu menjumpai permasalahan besar. Sebab

pengamatan menunjukkan posisi planet–planet tersebut ternyata tidak pas dengan

prediksi sesuai orbit lingkaran sempurna. Model geosentris mencoba menjelaskannya

dengan menganggap setiap planet beredar dalam lingkaran sempurna yang lebih kecil,

yang dinamakan episiklus. Pusat episiklus tepat sama dengan garis lingkaran orbitnya.

Sehingga setiap planet dianggap berputar–putar pada episiklusnya dengan pusat

episiklus senantiasa bergeser pada kecepatan tetap di sepanjang garis orbit lingkaran.

6

Gambar 2.4 Hukum Kepler pertama menempatkan Matahari di satu titik fokus edaran elips.

Meski terlihat sesuai dengan hasil pengamatan, namun secara matematis

penggunaan episiklus menyebabkan kompleksitas tersendiri. Kepler menyadari

kompleksitas ini tatkala menganalisis data–data pengamatan planet Mars. Ia mendapati

Mars selalu berada dalam koordinat yang sama pada sebuah rasi bintang tertentu setiap

687 hari sekali. Ini berarti periode orbit Mars adalah 687 hari. Kekhasan semacam ini

tidak bisa dijelaskan dengan baik oleh model geosentris dengan konsep episiklus,

sebab dengan konsep episiklus seharusnya periode orbit sebuah planet amat bervariasi

dari waktu ke waktu. Sebaliknya, jika konsep episiklus disingkirkan dan digantikan

dengan dengan ellips (yang secara matematis lebih sederhana), kekhasan yang dialami

Mars dapat dijelaskan dengan mudah. Belakangan saat hal yang sama diterapkan pada

Jupiter, kekhasan serupa juga dijumpai.

Walaupun bisa menjelaskan bahwa orbit sebuah planet dalam mengelilingi

Matahari adalah berupa ellips, namun Kepler tidak tahu mengapa berbentuk ellips dan

bukannya lingkaran sempurna, meskipun dalam geometri bentuk ellips merupakan

variasi dari lingkaran sempurna. Barulah pada masa Sir Isaac Newton, tepatnya pada

1686 lewat bukunya yang populer : Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,

mengapa bentuk orbit planet adalah ellips menemukan penjelasannya. Newton

7

menyebutkan gravitasi-lah yang bertanggung jawab untuk itu. Bentuk orbit lingkaran

sempurna hanya akan terjadi jika tata surya hanya berisi Matahari (sebagai pusat) dan

satu planet saja yang beredar mengelilingi Matahari. Pada situasi tersebut, gerak planet

itu hanya dipengaruhi oleh gravitasi Matahari. Namun tata surya kita tak hanya terdiri

dari sebuah planet, melainkan ada delapan. Belum terhitung pula planet kerdil beserta

anggota–anggota berskala kecil seperti asteroid dan komet. Sehingga tatkala beredar

mengelilingi Matahari, sebuah planet tak hanya dipengaruhi gravitasi Matahari semata,

namun juga gravitasi planet–planet lainnya yang menjadi tetangganya. Inilah yang

membuat orbit setiap planet, juga setiap anggota tata surya lainnya, menjadi ellips.

Dalam orbit planet, Matahari menempati salah satu pusat ellips. Sementara

pusat lainnya tidak terisi apapun dan tidak bermakna apapun bagi sifat orbit planet

yang bersangkutan. Dalam tata surya kita nilai eksentrisitas planet–planet bervariasi

dari yang terkecil adalah Venus (0,007) dan yang terbesar adalah Merkurius (0,2).

Bumi kita sendiri mempunyai eksentrisitas 0,017. Pada dasarnya planet–planet

memiliki nilai eksentrisitas orbit yang kecil, sehingga menjamin stabilitas posisinya

dalam orbitnya masing–masing berdasarkan perspektif hukum gravitasi universal.

Sebaliknya asteroid atau komet umumnya memiliki eksentrisitas besar (antara 0,3

hingga 0,7) sehingga relatif takstabil. Komet–komet tertentu bahkan memiliki

eksentrisitas 1 atau lebih besar, yang menjadikannya hanya mampu sekali mendekati

Matahari saja untuk kemudian terlontar keluar dari lingkungan tata surya kita, menuju

ke ruang antarbintang.

Kepler menduga, bahwa lintasan planet yang berbentuk elips seharusnya ada

gaya magnetik yang bekerja, tetapi Kepler tidak mengetahui alasan mengapa planet

bergerak dengan cara demikian. Ketika Newton mulai tertarik dengan gerakan planet-

planet, Newton menemukan bahwa hukum Kepler bisa diturunkan secara

matematisdari hukum gravitasi universal dan hukum gerak Newton. Newton juga

menunjukkan bahwa di antara kemungkinan yang masuk akal mengenai hukum

gravitasi, hanya satu yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang konsisten

dengan hukum Kepler.

8

Perhatikan orbit ellips yang dijelaskan pada hukum I Kepler. Sumbu panjang

pada orbit ellips disebut sumbu mayor alias sumbu utama, sedangkan sumbu pendek

dikenal dengan sumbu semi utama atau semimayor (Supardi, 2010).

Gambar 2.5 Posisi matahari dan planet dalam lintasan ellips

F1 dan F2 adalah titik fokus. Matahari berada pada F1 dan planet berada pada

P. tidak ada benda langit lainnya berada pada F2. Total jarak dari F1 dan F2 ke sama

untuk semua titik dalam kurva ellips. Jarak pusat ellips O dan titik fokus (F1 dan F2)

adalah ea, dimana e merupakan angka tak berdimensi yang besarnya berkisar ntara 0

dan 1 disebut eksentrisitas. Jika e=0 maka ellips berubah menjadi lingkaran.

Kenyataannya, orbit planet berupa ellips alias mendekati lingkaran. Dengan demikian

besar eksentrisitas tidak pernah sama dengan nol. Nila e untuk orbit planet bumi adalah

0.017. Perihelion merupakan titik terdekat dengan matahari, sedangkan titik terjauh

disebut aphehelon.

Pada persamaan hukum gravitasi Newton, telah dipelajari bahwa gaya tarik

gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (1/r2), dimana hal ini hanya bisa

terjadi pada orbit yang berbentuk ellips atau lingkaran saja.

(1)

9

2.2. Hukum Kepler 2

Hukum Kepler 2 berbunyi:

"Suatu garis khayal yang menghubungkan matahari dengan planet menyapu luas

juring yang sama dalam selang waktu yang sama."

Hukum ini dapat diilustrasikan dengan Gambar 2.4 di bawah:

Gambar 2.6 Illustrasi hukum Kepler kedua. Bahwa Planet bergerak lebih cepat di

dekat Matahari dan lambat di jarak yang jauh. Sehingga, jumlah area

adalah sama pada jangka waktu tertentu.

Hukum Kepler yang kedua memberikan implikasi mengenai kecepatan planet

yang berbeda-beda pada saat mengelilingi matahari. Jika jarak planet ke matahari dekat

maka kecepatannya besar dibandingkan ketika jaraknya dekat.

Adapun titik-titik sebuah planet saat mengorbit matahari, yaitu:

a. Aphelion

Aphelion adalah titik terdekat orbit sebuah planet dengan matahari. Pada saat

itu, kecepatan orbit planet lebih cepat karena gaya yang dihasilkan lebih besar.

Perihelon

Perihelon adalah titik terjauh orbit sebuah planet dengan matahari. Pada saat

itu, kecepatan orbit planet lebih lambat karena gaya yang dihasilkan lebih kecil.

(Berbanding terbalik dengan kuadrat jarak)

10

Pada selang waktu yang sangat kecil, garis yang menghubungkan matahari

dengan planet melewati sudut dθ . Garis tersebut melewati daerah yang diarsir yang

berjarak r, dan luas . Laju planet ketika melewati daerah itu adalah

disebut dengan kecepatan sektor (bulan vektor). Hal yang paling utama dalam hukum

Kepler II adalah kecepatan sektor mempunyai harga yang sama pada semua titik

sepanjang orbit yang berbentuk ellips. Ketika planet berada di perihelion nilai r kecil,

sedangkan besar. Ketika planet berada di apehelion nilai r besar, sedangkan

kecil.

3. Pendekatan Metode Euler

Menurut hukum Newton tentang gravitasi dinyatakan bahwa gaya yang

ditimbulkan oleh dua buah benda didefinsikan sebagaimana persamaan (1). Jika m1

adalah matahari dan m2 adalah bumi, maka persamaan (1) dapat dinyatakan kembali

menjadi:

(2)

dimana ms adalah massa matahari dan me adalah massa bumi, sedangkan G

adalah konstanta gravitasi. Diasumsikan bahwa massa matahari sangat besar

dibandingkan dengan bumi sehingga gerakannya diabaikan. Untuk menghitung posisi

bumi sebagai fungsi waktu, melalui hukum kedua Newton tentang gerak diperoleh

bahwa:

(3)

dimana FG , x dan FG , y adalah gaya grafitasi pada komponen x dan y.

Selanjutnya FG, x dan FG, y dapat dinyatakan kembali sebagai:

11

(4)

Dari persamaan (4) kita peroleh persamaan diferensial orde pertama sebagai

berikut:

(5)

Selanjutnya kita akan mengubah persamaan gerak (5) ke dalam persamaan

beda yang siap untuk dilakukan komputasi. Jadi dari (5) didapatkan:

(6)

Persamaan (12) adalah pendekatan Euler yang menjadi dasar bagi penyelesaian orbit

beberapa planet.

12

BAB III

PENUTUP

1. Kesimpulan

a. Dari persamaan gaya gravitasi universal dijelaskan bahwa: gaya tarik menarik antara

dua titik massa, m1 dan m2 berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antaranya, dan

tanda minus berarti bahwa makin besar jarak kedua titik massa, makin kecil pula gaya

gravitasinya, sebaliknya makin kecil jarak ke dua titik massa, makin besar pula gaya

gravitasinya dan arah gaya gravitasi terdapat pada sepanjang garis hubung antara m1

dan m2. Hal ini sesuai dengan Hukum Kepler II.

Beberapa persamaan membuktikan bahwa lintasan planet berbentuk elips, karena terjadi

perubahan jarak antara planet dan matahari pada saat planet melintasi lintasannya, serta

perubahan kecepatan orbit/revolusi planet pada saat planet melintasi lintasannya. Hal ini

sesuai dengan Hukum Kepler I.

Pendekatan Euler dapat menjadi dasar bagi penyelesaian orbit beberapa planet.

13

DAFTAR PUSTAKA

Admiranto, A Gunawan. 2009. Menjelajah Tata Surya. Yogyakarta: Kanisius.

Maulana, Mochamad Erewin dan Yamin W Ono. Modul Tata Surya. PPPPTK IPA

Supardi dan R. Yosi Apriansari. 2010. Simulasi Gerak Planet dalam Tatasurya

(Penelitian Kelompok FMIPA). Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.

http://astrolearningcenter.blogspot.com/2012/05/hukum-keppler-2.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Tata_Surya

http://kafeastronomi.com/hukum-kepler-1.html

http://www.zakapedia.com/2013/01/pembahasan-hukum-kepler-i-ii-dan-iii.html

14