himpunan - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-3+1.pdfmatematika diskret (tke132107) -...
TRANSCRIPT
Tahun Ajaran 2013/2014
HimpunanMatematika Diskret (TKE132107)
Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Semua mahasiswa Teknik Elektro Unsoed.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan adalah kumpulanobyek-obyek yang berbeda.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Struktur diskret dasar yang mendasari struktur diskret lain seperti relasi, kombinasi, graf, ...
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Ada 4 cara menyajikan himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(1) Enumerasi(menuliskan semua elemen)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan ditentukan oleh anggota-anggotanya, bukan urutan anggotanya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Mengandung anggota yang berbeda.
T = {a, b, {a,b,c}, {a,c}}U = {a, {a}, {{a}}}V = {{}}
Apakah himpunan-himpunandi atas dapat disebut sebagaihimpunan?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
W = {a,b,c,...,x,y,z}X = {1,2,...,100}
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
P = himpunan bilangan bulan positif = {1,2,3,...} R = himpunan bilangan nyata ...
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan yang universal.(semesta)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
U = {1,2,3,4}. A = {2,3}.(A adalah himpunan bagian dari U)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(3) Notasi pembentuk himpunan
Notasi: { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}
A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 7.
Tulis dengan cara notasi pembentuk himpunan!
M adalah himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskret.
Tulis dengan cara notasi pembentuk himpunan!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Secara Grafis. John Venn. 1881.(segi empat, lingkaran)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan yang tak memiliki satupun elemen.(atau himpunan dengan kardinal = 0)
Notasi: ⊘ atau { }
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A subset dari B, B superset dari A.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Teorema untuk himpunan A:
(1) A ⊆ A,(2) ⊘ ⊆ A,(3) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen yang sama.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Notasi: A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Catatan: urutan elemen tidak penting, pengu- langan elemen tidak berpengaruh, aksioma himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Aksioma 3 himpunan A, B, dan C.
1. A = A, B = B, C = C. 2. Jika A = B, B = A. 3. Jika A = B dan B = C, A = C.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dua himpunan dikatakan ekivalen, jika dan hanya jika keduanya berkardinal sama.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan dikatakan saling lepas jika kedua himpunan tidak memiliki elemen yang sama.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan kuasa dari himpunan dari A adalah himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A. (termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan elemen dari himpunan A dan B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Notasi: A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B}
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan A dan B yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atauhimpunan B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Notasi: A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Komplemen A terhadap himpunan semesta U adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen U tapi bukan elemen himpunan A.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Notasi: A = { x | x ∈ U dan x ∉ A}
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan yang elemennya merupakan ele- men dari A tetapi bukan elemen dari B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A-B) ∪ (B-A)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Hukum komutatif dan asosiatif pada beda setangkup dapat dibaca di buku referensi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Notasi: A x B = { (a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di bawah ini?
A = {g = gethuk, c = coto, m = mie rebus}B = {s = susu, k = kopi, d = dawet }
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Catatan
● Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka |A x B| = |A| . |B|.
● Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a); Dengan kata lain (a,b) ≠ (b,a).
● Perkalian kartesian tidak komutatif, A x B ≠ B x A, dengan syarat himpunan A dan B tidak kosong.
● Jika A = ⊘ atau B = ⊘ maka A x B = B x A = ⊘.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Perampatan Operasi Himpunandapat dibaca di buku referensi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kesamaan himpunan (set identities).
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Identitas, null/dominasi, komplemen,idempoten, involusi, penyerapan, komutatif,
asosiatif, distributif, De Morgan, 0/1** Hukum komplemen 2
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Notasi pada hukum logika: ∧, ∨, B, S.Notasi pada himpunan: ∩, ∪, ⊘, dan U.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Letak kemudi.(keharusan berjalannya kendaraan, lajur untuk
mendahului, “belok jalan terus”?)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Konsep “kiri dan kanan” dapat dipertukarkantetapi tetap dapat berlaku di masing-masing tempat.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip dualitas juga terdapat pada himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Beberapa sifat himpunan merupakan analog satu sama lain.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A ∪ A = U analog dengan A ∩ A = ⊘
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Semua pasangan dalamhukum aljabar himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Tinggal mengganti operatornya saja.(himpunan kosong ditukar dengan semesta, dan sebaliknya)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip dualitas pentingdalam aljabar himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kita dapat menggunakan prinsip ini untuk menurunkan kesamaan himpunan yang mengandung ∪ dan ∩, serta ⊘ dan U.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
..atau untuk membuktikan dualdari kesamaan himpunan lain.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dualitas hukum aljabar himpunandapat dibaca di buku referensi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Penggabungan 2 himpunan, A dan B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Hasilnya adalah himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari
himpunan A dan B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kardinal himpunan irisan A dan B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Pada 2 himpunan yang beririsan terdapatelemen yang dihitung 2 kali jika digabungkan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jadi, seharusnya elemen yang berada di dalam irisan kedua himpunan dihitung sekali saja.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Karena itu jumlah elemen hasil penggabungan kedua himpunan adalah total jumlah gabungan elemen masing-masing himpunan dikurangi jumlah elemen di dalam irisannya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
“Total gabungan” dikurangi irisannya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
| A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B |
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Perkecualian jika A // B,| A ∪ B | = | A | + | B |
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
| A ⊕ B | = | A | + | B | – 2 | A ∩ B |
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Inklusi-Eksklusi
● Definisikan dulu himpunan dan operasinya dengan penyajian sesuai data yang diberikan.
● Definisikan permasalahan dalam notasi himpunan.
● Selesaikan permasalahan dengan konsep-konsep himpunan.● Kardinal tiap-tiap himpunan dan operasinya.● Kardinal permasalahan.● Kesimpulan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
| A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | - | A ∩ B | -| A ∩ C | - | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C |
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Proposisi yang menggunakan notasi himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika A ∩ B = ⊘ dan A ⊆ (B ∪ C),selalu berlaku bahwa A ⊆ C.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Terdapat 4 metode pembuktiankebenaran proposisi himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(1) Pembuktian dengan diagram Venn
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dengan cara menggambar diagram Venn untuk masing-masing ruas pada kesamaan himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(2) Pembuktian dengan tabel keanggotaan
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Mirip seperti tabel kebenaran dengan penggunaan nilai 0 untuk bukan anggota dan 1 untuk anggota.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Ingat operator logika dan himpunan!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(3) Pembuktian dengan aljabar himpunan
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Menggunakan hukum aljabar himpunan, termasuk teorema, definisi operasi himpunan, dan prinsip dualitas.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(4) Pembuktian dengan menggunakan definisi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Digunakan untuk membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan.