I. HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan objek tertentu Objek-objek itu dapat berupa bilangan, orang, benda-benda dan lain-lain. Contoh : Nama nama bulan Kumpulan bilangan ganjil kurang dari 15

Bukan himpunan : kumpalan orang pintar kumpulan orang kaya

Penulisan Himpunan 1. Cara tabulasi (rooster method, pendaftaran), yaitu dengan menuliskan anggotanya satu per satu di dalam kurung kurawalContoh :{1,2,3,4,5,6,7,8} 2. Cara deskriptif (rule method, cara aturan/metode pembentukan himpunan), yaitu dengan menuliskan aturan atau perumusan tentang sifat keanggotaannyaContoh :{x | x nama-nama hewan bertelur}

Macam-macam himpunan :1. Himpunan Kosong : himpunan yang tidak mempunyai anggota dan itulis dengan simbol atau {}. Contoh: kumpulan manusia bertangan 52. Himpunan Berhingga : jika kita menghitung elemen-elemen yang berbeda tersebut, maka proses menghitungnya dapat berakhir. Contoh : himpunan bilangan genap < 20Himpunan Tak Berhingga : himpunan yang banyak anggotanya tidak terhingga atau tidak terbatas Contoh : himpunan bilangan genap3. Himpunan Semesta: himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Dilambangkan dengan huruf S atau Contoh : himpunan mahasiswa IKIP PGRI BALIHimpunan Komplemen: himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya Contoh : A = {1,2,3,4,5,6} Ac = {7,8,9,10.....}4. Himpunan Sama : himpunan yang memiliki elemen-elemen yang sama, walaupun urutannya berbeda.Contoh: A={U, R, I}B={R, I, U}Himpunan Sederajat : himpunan yang jumlah anggotanya samaContoh: A ={1, 2}B={4, 7} n(A) = 2n(B) = 25. Himpunan Bersendi : himpunan yang anggotanya ada yang sama (unsur sekutu)Contoh: A = {A, B, C} B = {C, D, E}

Himpunan Lepas: himpunan yang elemen-elemennya berbeda.

Contoh: A = {1,2,3,4} B = {5,6,7,8}6. Himpunan Bagian : himpunan bagiandari S. kita nyatakan dengan 2nContoh: B= 1,2,3}23= 8 = ,{1},{2},{3}, {1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

Diagram HimpunanDalam materi himpunan, penyajian himpunan dapat berupa :1. Diagram Venn 2. Diagram Garis 3. Diagram Cartesius

II. OPERASI HIMPUNAN

1. Gabungan (U) Gabungan adalah penggabungan semua anggota dari himpunan A dan himpunan B. Dinyatakan dengan A U B, yang dibaca A union B atau A gabungan B.Contoh : A = {1,2,3,4} B = {4,5,6,7} A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

2. Perpotongan/Irisan ( )Anggota dari himpunan A yang sama dengan anggota dari himpunan B. Dinyatakan dengan A B yang di baca A intereksi B atau A irisan B.Contoh : A = {a, b, c, d} B = {a, b, c, d, f, g} A B = {a, b, c, d}

3. Penjumlahansebuah himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota gabungan himpunan A dan B (anggota A atau anggota B) tapi bukan anggota irisan himpunan A dan B. Dinyatakan dengan A+B Contoh: Tentukan A + B jika diketahui: A = {a, b, d, e, f} B = {1, a, 2, b, c} Dari dua himpunan yang diketahui kita dapatkan bahwa A B = {a, b} Sehingga A + B = {c, d, e, f, 1, 2}.

4. Selisihselisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A tetapi bukan anggota B. selisih dua himpunan A dan B ditulis A B atau dibaca selisih A dan B atau A dikurangi BA B => anggota A yang tidak disamakan dengan BA + B => anggota B yang tidak disamakan dengan AContoh :A = {1, 2, 3}B = {2, 3, 4, 5}A B = 1B A = 4, 5

5. Perkalianhasil perkalian pada dua himpunan akan menghasilkan sebuah himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan terurut. Pada sebuah pasangan terurut hasilnya akan berbeda jika tempatnya ditukarkan. Unsur pertama dari suatu pasangan terurut adalah anggota himpunan pertama yang dikalikan, sedangkan unsur kedua merupakan anggota dari himpunan kedua. Oleh karena itu perkalian himpunan A X B tidak akan sama dengan B X A. Contoh : Diketahui: A = { 1, 2, 3 }B = { a, b } A X B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}, sedangkan B X A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} Karena pada contoh di atas (x,y) (y, x) maka dapat kita simpulkan bahwa A X B tidak sama dengan B X A. sekaligus kita katakan bahwa operasi perkalian pada himpunan tidak bersifat komutatif.

6. Komplemen Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan dari elemen-elemen yang tidak termasuk A, yaitu, selisih dari himpunan semesta U dan A.Contoh :1. Diketahui semesta pembicaraan adalah bilangan cacah.A adalah himpunan bilangan genap.Maka A adalah bilangan ganjil.2. Misalkan semesta pembicaraan adalah himpunan manusia.Jika C adalah himpunan manusia yang suka merokokMaka C adalah himpunan bukan perokok.

Sifat-sifat operasi Himpunan1. Sifat komutatif A B = B A A U B = B U A2. Sifat asosiatif A (B C)= (A B) C A U (B U C) = (A U B) U C3. Sifat distributif A (B U C) = (A B) U (A C) A U (B C) = (A U B) (A U C)4. Sifat Idempoten A A = A A U A = A

5. Sifat Identitas A U = A A UU = U A = A U = A 6. Sifat Absorpsi A (A B) = A A (A B) = B7. De Morgan (A U B) = A B (A B) = A U B8. Komplemen A U A = U A A = (A) = A U =

III. FUNGSI DAN RELASI

Pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (domain) kepada anggota himpunan yang lain (kodomain). Contoh fungsi bilangan riil : y = f (2x) dapat juga dituliskan f : 2x y

Relasi dari himpunan A ke himpunan B artinya memetakan setiap anggota pada himpunan A (x A ) dengan anggotanya pada himpunan B (x B) Anggota x dikatakan domain Anggota y dikatakan kodomain Daerah hasil dikatakan range Contoh : Tiga orang anak ; via, andre, dan ita, masing-masing memiliki makanan kesukaan. Via menyukai permen dan coklat, andre menyukai coklat dan es krim, sedangkan ita menyukai es krim.

Cara Menyatakan Relasi 1. Diagram Panah

2. Pasangan Berurutan R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

3. Diagram Kartesius

4. Tabel

5. Matriks

Sifat Fungsi1. Injektif ( Satu Satu )

Setiap anggota B mempunyai tepat 1 pasangan pada anggota A. Namun, tidak semua anggota B harus berpasangan dengan anggota A.

2. Surjektif (Onto)

Setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A

3. Korespondensi Satu-Satu

Setiap anggota P berpasangan tepat 1 anggota Q. Setiap anggota Q berpasangan tepat 1 anggota P.

Jenis - jenis Fungsi 1. Fungsi Konstan Sebuah fungsi disebut fungsi konstanta apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, dimana C merupakan konstanta2. Fungsi LinearSebuah fungsi disebut fungsi linear, apabila fungsi tersebut ditentukan oleh f(x) = ax + b, dimana a 0. Fungsi linear termasuk dalam fungsi aljabar3. Fungsi Identitas Sebuah fungsi disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain x dipetakan pada dirinya sendiri4. Fungsi Bilangan Bulat TerbesarFungsi bilangan bulat terbesar disimbolkan [| |]. Misalkan y = [|x|] dibaca y merupakan bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan x5. Fungsi Ganjil dan Genap Sebuah fungsi dikatakan fungsi ganjil apabila berlaku f(-x) = -f(x). Disebut fungsi genap apabila berlaku f(-x) = f(x)

IV. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

(g o f)(x)=g(f(x))Fungsi komposisi yaitu g o f (g bundaran f atau g noktah f) atau f o g (f bundaran g atau f noktah g). Contoh :Fungsi f:R R dan g:R R di tentukan dengan aturan f(x)=5x+6 dan g(x)=2x. Tentukan a. Aturan untuk g o f ?b. Aturan untuk f o g ? Jawab : (gof)(x)=g(f(x))=g(5x+6)=2(5x+6)=10x+12(fog)(x)=f(g(x))=f(2x)=5(2x)+6=10x+6

Nilai-nilai komposisiContoh :fungsi f:RR dan g:RR di tentukan oleh f(x)=3x+6 dan g(x)=5x2. Tentukan nilai dari a. (gof)(-2) b. (fog)(1)

Jawab :a. (gof)(-2)= g(f(-2))b. (fog)(1)=f(g(1))=g(3(-2)+6) =f(5.12)=g(0) =f(5)=5.02 =3.5+6=0 =21

Menentukan Komponen Pembentuk Fungsi KomposisiBila aturan fungsi f dan aturan fungsi f o g (atau g o f ) diketahui maka aturan fungsi g dapat ditemukan Contoh : Diketahui g(x)=5x+3 dan (fog)(x)= 10x+7. Tentukan f(x) Jawab :(fog)(x)= 10x+7f(5x+3)= 10x+7f(5x+3)=2(5x+3)+1f(x)=2x+1Jadi f(x)= 2x+1

Sifat Sifat Fungsi KomposisiMisal ditemukan aturan fungsi f, fungsi g dan fungsi h dari RRa. Operasi komposisi pada fungsi umumnya tidak komutatif, artinya (f o g) (g o f).b. Pada komposisi funfsi berlaku sifat asosiatif, yaitu (f o g) o h=f o (g o h).c. Misal I adalah fungsi I(x)=x dan memenuhi f o I=I o f=f maka I adalah fungsi identitas.

Pengertian Fungsi InversInvers suatu fungsi f dapat didefinisikan sebagai berikut: Jika fungsif : A Bdinyatakan dengan pasangan berurutan,maka invers dari fungsi f adalah f -1: B A ditentukan dengan catatan:1. Invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi,2. Jika invers suatu fungsi adalah fungsi maka invers fungsi tersebut disebutfungsi invers.

Cara Menentukan Rumus Fungsi Invers MatematikaJika f merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu, maka invers dari fungsi f atau f-1adalah fungsi invers. Coba perhatikan gambar (3) dibawah ini:

Y= f(x)Dari gambar (3), jika f merupakan fungsi bijektif dan y adalah bayangan (peta) dari x maka,

X= f-1Jika f-1adalah invers fungsi f , maka x adalah peta dari y oleh f -1dapat dinyatakan dengan

Langkah-Langkah Menentukan Fungsi Invers Matematika1. Ubahlah persamaan bentuk y = f (x) dalam bentuk x sebagi fungsi y2. Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah (1) di beri nama f-1(y)3. Ubahlah y pada pada bentukf-1(y) dengan x untuk mendapatkan f-1(x). f-1(x) yang diperoleh adalah rumus fungsi invers dari f(x).Contoh :Tentukanlah rumus fungsi invers dari

Penyelesaian : Tukarlah x dan y, maka Susunlah kembali,

V. FUNGSI KUADRAT

Pengertian dan Bentuk Fungsi KuadratFungsi kuadrat ialah pemetaan dari himpunan bilangan nyata R ke dirinya sendiri yang dinyatakan dengan: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c R dan a 0 Bentuk grafik fungsi kuadrat adalah parabola

Sketsa Grafik Fungsi KuadratBuatlah sketsa grafik dari fungsi kuadrat y = x + 8x + 12Jawab : a= 1 > 0 maka grafik terbuka ke atas Titik potong pada sumbu xy = 0x + 8x + 12 = 0(x+6) (x+2) = 0x = -6 dan x = -2Maka titiknya (-6,0) dan (-2,0) Titik potong pada sumbu y Maka titiknya (0,12)

Titik balik = = Maka titik baliknya (-4, -4)

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum Dengan memerhatikan tanda nilai dan nilai diskriminan maka grafik fungsi kuadrat dapat dibagi dalam dua kelompok seperti pada gambar dibawah ini.

VI. LOGIKA

Pernyataan Dan Nilai Kebenarannya1. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum pasti bernilai benar karena mengandung peubah atau variabel .Contoh : 3x 2 = 7 2. Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar saja atau salah saja, tidak mengandung keduanya. Pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. Contoh : sin 30 = 0,5

3. Negasi atau ingkaran adalah penyangkalan dari suatu penyataan. Ingkaran dari pernyataan p adalah ~p.Contoh:a. p = semua siswa belajar dengan rajin. Tunjukkan negasi dari p! (~p = beberapa siswa tidak belajar dengan rajin).

Pernyataan Majemuk1. Konjungsi ()Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan majemuk menggunakan konjungsi menjadi p q. Tabel kebenarannya:pqp q

BBB

BSS

SBS

SSS

p q benar bila p dan q benar.Contoh : setiap pengendara motor di jalan raya harus membawa SIM dan membawa STNK.2. Disjungsi ()Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan majemuk menggunakan disjungsi menjadi p q. Tabel kebenarannya:pqp q

BBB

BSB

SBB

SSS

p q salah bila p dan q salah.Contoh : untuk dapat diterima bekerja harus mengikuti ujian lisan atau mengikuti ujian tulis.3. Implikasi ()Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan majemuk menggunakan implikasi menjadi pq. Pada implikasi pq, p disebut hipotesa dan q disebut konklusi.

Tabel kebenarannya:

pqp q

BBB

BSS

SBB

SSB

p q salah bila p benar dan q salah.Contoh : jika masyarakat menjaga kebersihan lingkungan maka tidak terjadi banjir.Suatu pernyataan majemuk dengan implikasi p q dapat diubah menjadi bentuk-bentuk pernyataan majemuk yang lain, yaitu:a. q p disebut konvers;b. ~p ~q disebut invers;c. ~q ~p disebut kontraposisi. Bentuk p q mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan bentuk ~q ~p. Jadi, p q dapat ditulis menjadi ~q ~p.4. Biimplikasi ()Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan majemuk menggunakan biimplikasi menjadi pq. Tabel kebenarannya:pqp q

BBB

BSS

SBS

SSB

p q benar bila p dan q benar atau p dan q salah. Contoh : sebuah segi empat adalah bujur sangkar jika dan hanya jika keempat sisinya tegak lurus dan sama panjang.

Kesetaraan Dan Ingkaran Pernyataan Majemukp q ~q ~pContoh : Jika x bilangan bulat maka x adalah bilangan bulat jika x bukan bilangan bulat maka x bukan bilangan bulat. q p ~p ~qContoh : jika beroda dua maka sepeda jika bukan sepeda maka tidak beroda dua.Bentuk kesetaraan yang lain:p q ~p qContoh : jika macan binatang buas maka macan makan daging macan bukan binatang buas atau makan daging.

Ingkaran Pernyataan Majemuk1. ~(p q) ~p ~qContoh: setiap pengendara motor di jalan raya harus membawa SIM dan membawa STNK.Ingkaran: setiap pengendara motor di jalan raya tidak harus membawa SIM atau tidak membawa STNK.2. ~(p q) ~p ~qContoh: untuk dapat diterima bekerja harus mengikuti ujian lisan atau mengikuti ujian tulis. Ingkaran: untuk dapat diterima bekerja tidak harus mengikuti ujian lisan dan tidak mengikuti ujian tulis. 3. ~( p q) p ~qContoh:jika masyarakat menjaga kebersihan lingkungan maka tidak terjadi banjir.Ingkaran: masyarakat menjaga kebersihan lingkungan dan terjadi banjir.4. ~( p q) (p ~q) (q ~p)Contoh: sebuah segi empat adalah bujur sangkar jika dan hanya jika keempat sisinya tegak lurus dan sama panjang.Ingkaran: sebuah segi empat adalah bujur sangkar dan keempat sisinya tidak tegak lurus dan sama panjang atau keempat sisinya tegak lurus dan sama panjang dan sebuah segi empat bukan bujur sangkar

VII. LOGIKA MATEMATIKA

Pernyataan BerkuantorPernyataan berkuantor merupakan kata-kata tertentu yang ditambahkan terhadap suatu kalimat terbuka untuk mengungkapkan berapa banyak.

Jenis-Jenis Kuantor 1. Kuantor UniversalKuantor Universal menggunakan lambang dan dibaca untuk setiap atau untuk semua Contoh : p(x) : x + 2 = 7, dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat B. jawab: (x B), (x + 2 = 7) dibaca : untuk semua bilangan bulat x, berlaku x + 2 = 72. Kuantor Eksistensial Kuantor Eksistensial mengunakan lambang dan dibaca beberapa, terdapat atau ada. Contoh : Diketahui kalimat terbuka 2x + 1= 7. Tentukan pernyataan berkuantor eksistensial serta nilai kebenarannnya, jika himpunan semesta adalah semua bilangan real R. Jawab :(x R) (2x + 1 = 7)Pernyataan bernilai benar, sebab ada sebuah x R, yaitu x = 3 sehingga 2x + 1 =7 terpenuhi.

Penarikan KesimpulanKesimpulan (Konklusi) ditarik dari beberapa pernyataan yang diasumsikan benar terjadi. Asumsi-asumsi ini disebut premis (Anteseden). Jika implikasi dari konjungsi premis-premis dengan konklusi merupakan tautologi maka kesimpulan sah (valid)

Negasi dari Pernyataan BerkuantorIngkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial. ~ ( x) p(x) (x) ~ p(x) dibacaIngkaran dari setiap x berlaku p(x) ekuivalen dengan terdapat x yang bukan p(x) Contoh : P= semua ikan bertelur ~P= ada ikan yang tidak bertelur

Penarikan Kesimpulan 1. Modus PonensPenarikan kesimpulan dengan Modus Ponens dilakukan berdasarkan premis-premisnya yang berbentuk p q dan p yang menghasilkan konklusi q.Secara umum premis 1 : p qpremis 2: pkonklusi: q Contoh :Tentukan konklusi dari premis berikut !Jika x bilangan real, maka |x| 0 premis 1x bilangan real premis 2Jawab :premis 1 : Jika x bilangan real, maka |x| 0 p qpremis 2 : x bilangan realp

konklusi : |x| 0 q

2. Modus Tollens Penarikan kesimpulan modus tollens dilakukan berdasarkan premis-premisnya yang berbentuk p q dan ~q yang menghasilkan konklusi ~p . Secara umum premis 1 : p qpremis 2: ~qkonklusi: ~p Contoh : Tentukan konklusi dari premis-premis berikut : 1. Jika ia seorang pemimpin, maka tindakannya terpuji. Tindakannya tidak terpuji.

Jawab :premis 1 : Jika ia seorang pemimpin, maka tindakannya terpuji p qpremis 2 : Tindakannya tidak terpuji~q

Konklusi : Ia bukan seorang pemimpin ~p3. Silogisme Penarikan kesimpulan dengan silogisme dilakukan berdasarkan premis-premisnya yang berbentuk p q dan q r yang menghasilkan kesimpulan p r Secara umum premis 1 : p qpremis 2: q r konklusi: p r Contoh :Tentukan konklusi dari premis-premis berikut!1. Jika x R, maka ada x yang memenuhi x2 + 4x + 4 = 0.Jika ada x yang memenuhi x2 + 4x + 4 = 0, maka x = 2.

Jawab :Premis 1 : Jika x R, maka ada x yang memenuhi x2 + 4x + 4 = 0 p qPremis 2 : Jika ada x yang memenuhi x2 + 4x + 4 = 0, maka x = 2 q r Konklusi : Jika x R, maka x = 2 p r

VIII. LOGIKA MATEMATIKA

Ekuivalensi Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika, jika memiliiki nilai kebenaran yang sama dan dinotasikan oleh A B.(p q) (~ p q)pq~p p q ~ p q

BBS B B

B SS S S

S BB B B

S SBEKUIVALEN B B

bentuk bentuk logika yang ekuivalen : Hukum komutatif : 1) p q q p 2) p q q p Hukum asosiatif : 1) ( p q ) r p ( q r ) 2) ( p q ) r p ( q r )

Hukum distributif : 1) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) 2) p ( q r ) ( p q ) ( p r ) Hukum de Morgan : 1) ~( p q ) ~p ~q 2) ~( p q ) ~p ~q TautologiSuatu Pernyataan Majemuk dengan nilai kebenarannya selalu benar untuk kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari pernyataan pembentuknya.Contoh :tunjukkan bahwa pernyataan berikut merupakan tautologi : ( p q ) pp q p q (p q) p

B B B B

B S S B

S B S B

S S S B

3 KontradiksiSuatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua nilai yang mungkin dari pernyataan - pernyataan komponennya.Contoh :tunjukkan bahwa pernyataan pernyataan berikut adalah kontradiksi : p ~p p~p

B S S

B S S

S B S

S B S

a) p ~p

KontingensiSuatu pernyataan majemuk yang dapat bernilai benar atau salah, bergantung pada nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel pernyataannya.Contoh :tunjukkan bahwa pernyataan berikut merupakan kontingensi !

a) p (q p ) p q q p p (q p )

B B B B

B S S S

S B S B

S S S B

Konvers Suatu implikasi yang pernyataan p dan q di tukar posisinya dari bentuk p q menjadi q p Contoh : 1) p = sin 90=1 q = sin-1 1=90 Penyelesaian:IMPLIKASI p q = JIKA sin 90=1 MAKA sin-1 1 = 90 KONVERS q p = JIKA sin-1 1 = 90 MAKA sin 90= 1

Invers suatu implikasi yang pernyataan p dan q dinegasi/dingkarkan dari bentuk pq menjadi bentuk ~p ~qContoh : p = sudut segitiga siku siku adalah 90q = sudut segitiga sama sisi adalah 60Penyelesaian :Implikasi : p q = jika sudut segitiga siku siku adalah 90 maka sudut segitiga sama sisi adalah 60Invers : ~p ~q = jika sudut segitiga siku siku bukan 90 maka sudut segitiga sama sisi bukan 60

Kontraposisi suatu implikasi yang pernyataan p dan q ditukar posisinya dan dinegasi/dingkarkan, dari bentuk p q menjadi ~ q ~ p Contoh : p = panjang sisi persegi adalah 2 mq = luas persegi adalah 4 m2 Penyelesaian :Implikasi : pq = jika panjang sisi persegi adalah 2 m maka luas persegi adalah 4m2 Kontraposisi : ~q~p = jika luas persegi bukan 4 m2 maka panjang sisi persegi bukan 2 m16Pengantar Dasar Matematika