graf fungsi iicontoh: graf fungsi kubik berdasarkan jadual di bawah, lukis graf bagi y x3 8x 5 bagi...

GRAF FUNGSI II

0

DISEDIAKAN OLEH:SURIATI BINTI ISMAIL SMK ST GEORGE (M), BALIK PULAUNUR ZAHIDAH BINTI SHAH KHOLIT SMK TELUK BAHANG, PULAU PINANG

GRAF FUNGSI II

Isi Kandungan

Gambaran Keseluruhan Modul

Bahagian A : Jadual nilai.

Bahagian B : Melukis Graf Fungsi

1.0 Melukis graf dengan menyambungkan titik-titik yang diberi.2.0 Melukis graf dengan menandakan titik pada skala yang ditetapkan.

Bahagian C : Mencari nilai pemboleh ubah x atau y daripada graf.

Bahagian D : Penyelesaian persamaan dengan kaedah graf.

1.0 Mencari persamaan garis lurus.2.0 Mencari titik persilangan bagi dua graf.

Bahagian E : Soalan Berformat SPM

Bahagian F : Tutorial Geogebra

Jawapan

1

2

i-Think

Isi JadualKenal pasti paksi x

dan y.

Lukis paksi x dan y mengikut skala yang ditetapkan

Plot titik mengikut koordinat (x dahulu,

kemudian y)

Mencari persamaan garis lurus –

persamaan linear

Cari nilai x dan y apabila diberi x dan

dan y

Sambung titik tanpa pembaris (mesti

menyentuh titik dan licin)

Cari titik persilangan antara lengkung dan garis

lurus

Lukis persamaan garis lurus

3

BAHAGIAN A

JADUAL NILAI

Contoh 1: Graf Fungsi Linear

2 y x

x 0 2y

Kaedah:

2 y x

Apabila 0x ,

0 2 y

2y

x 0 2y 2

Seterusnya, cari nilai y apabila 2x

2 2 y

4y

x 0 2y 2 4

Contoh 2: Graf Fungsi Kuadratik

4

Gantikan nilai x dengan 0

Gantikan nilai x dengan 2

Nota Pembelajaran

Strategi Pengajaran dan Pembelajaran

Kaedah Penggantian

Guru perlu memastikan pelajar dapat mencari nilai y di dalam fungsi yang diberi

menggunakan kaedah penggantian. Pelajar dijangkakan dapat menggantikan nilai x di

dalam fungsi yang diberi.

[Cite your source here.]

2 2 y x

x -3 -2 -1 0 1y

Kaedah:

2 2 y x

Apabila 3 x ,

2( 3) 2

3 3 2

9 2

11

y

y

y

y

x -3 -2 -1 0 1y 11

Seterusnya, cari nilai y apabila 2 x

2( 2) 2

2 2 2

4 2

6

y

y

y

y

x -3 -2 -1 0 1y 11 6 ……… ……… ………

Seterusnya, cari nilai-nilai y yang lain. Tulis jawapan di dalam jadual di atas.

Apabila 1 x Apabila 0x Apabila 1x

Contoh 3: Graf Fungsi Kubik

3 2 2y x x

x -3 -2 -1 0 1y

5

Gantikan nilai x dengan -3


Kuasa dua bermaksud nombor yang sama didarabkan dengan

dirinya sendiri dua kali.

2( ...... ) 2

...... ....... 2

....... 2

.......

y

y

y

y

2( ...... ) 2

...... ....... 2

....... 2

.......

y

y

y

y

2( ...... ) 2

...... ....... 2

....... 2

.......

y

y

y

y

Kaedah:

3 2 2y x x

Apabila 3 x ,

3( 3) 2( 3) 2

3 3 3 6 2

27 8

35

y

y

y

y

x -3 -2 -1 0 1y -35

Seterusnya, cari nilai y apabila 2 x

3( 2) 2( 2) 2

2 2 2 4 2

8 6

14

y

y

y

y

x -3 -2 -1 0y -35 -14 ……… ………


Apabila 1 x Apabila 0x

Contoh 4:

Graf

Fungsi Salingan

3y

x

x 1 2 3 4y

6



Kuasa tiga bermaksud nombor yang sama didarabkan dengan

dirinya sendiri tiga kali.


3( ...... ) 2(......) 2

...... ....... ........ 2(......) 2

....... ........

.......

y

y

y

y

3( ...... ) 2(......) 2

...... ....... ........ 2(......) 2

....... ........

.......

y

y

y

y

Kaedah:

3y

x

Apabila 1x ,

3

13

y

y

x 1 2 3 4y 3

Seterusnya, cari nilai y apabila 2x

3

21.5

y

y

x 1 2 3 4y 3 1.5


Apabila 3x Apabila 4x

7


3

........

........

y

y

3

........

........

y

y

1- Penggunaan Kalkulator

Contoh 1: 2 y x

x 0 2y

Untuk Casio fx-570MS

Paparan pada skrin

Untuk mencari nilai y

Masukkan nilai x = 0

Paparan pada skrin

Untuk mendapatkan nilai y yang seterusnya, tekan dan masukkan nilai x yang seterusnya.

8

ALPHA

ALPHA

+(CALC

0 =

CALC

) 2

Y = X + 2

X ?

Y = X + 2

2

CALC

UJI DIRI 1

1. Lengkapkan Jadual 1 di ruang jawapan bagi persamaan 3 3 8y x x .

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 60 -44

Jadual 1


x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 48 24

Jadual 2

3. Lengkapkan Jadual 3 di ruang jawapan bagi persamaan 3

yx

.

x -4 -3 -2.5 -2 -1 1 2 3 4y -0.75 0.75

Jadual 3


x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4y -37 -13

Jadual 4


x -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5y -13.88 43.88

Jadual 5


yx

.

x -4 -3 -2 -1 1 2 2.5 3 4.5y 1.5 -1.3

Jadual 6

9

10

BAHAGIAN B

MELUKIS GRAF

1.0 Melukis graf dengan menyambungkan titik-titik yang diberi.

1. Sambungkan semua titik bagi persamaan kuadratik 22 2y x .

11


Murid melukis graf dengan menyambungkan titik-titik yang diberi dan

mendapatkan suatu lengkung yang licin dan menyentuh semua titik.

2. Sambungkan semua titik bagi persamaan kubik 3 2 2y x x .

12

3. Sambungkan semua titik bagi fungsi salingan2

yx

.

13

1.0 Melukis graf dengan menandakan titik pada skala yang ditetapkan.

Contoh: Graf Fungsi Kuadratik

Berdasarkan jadual di bawah, lukis graf bagi 542 2 xxy bagi 52 x dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y.

14

x -2 -1 0 1 2 3 4 5y 11 -5 -7 -5 1 25


Murid menandakan titik pada graf mengikut skala yang ditetapkan. Seterusnya

murid melukis graf dengan menyambungkan titik-titik dengan garisan yang licin.

Perhatikan dua tempat kosong pada nilai y. Guna kaedah yang telah dipelajari di

Bahagian 1 untuk mencari nilai y tersebut. Seterusnya isi jawapan di ruang berkenaan.

Nota Pembelajaran

Bentuk am fungsi kuadratik: 2y ax bx c , dengan keadaan a, b dan c adalah pemalar.

Bentuk graf:

15

a > 0

a < 0

Melukis graf.

1- Mula dengan melukis paksi-x dan paksi-y. Perhatikan skala (2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y.

2- Label titik berdasarkan nilai di dalam jadual. Seterusnya sambung semua titik tanpa menggunakan pembaris.

16

-2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

--10

5

10

15

20

25

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

10 petak kecil mewakili 2 cm

Paksi-x tidak dilukis di tengah kerana nilai y lebih banyak nilai positif.

Paksi-y tidak dilukis di tengah kerana nilai x lebih banyak nilai positif.

Paksi-x dan paksi -y hendaklah ditanda dan dilabel dengan betul.

Contoh: Graf Fungsi Kubik

Berdasarkan jadual di bawah, lukis graf bagi 583 xxy bagi 43 x dengan menggunakanskala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y.

Bentuk am fungsi kubik:3 2y ax bx cx d , dengan keadaan a, b, c dan d adalah pemalar.

Bentuk graf:

17

x -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 4y 2 12 5 -2 -3 19.9 37

Perhatikan dua tempat kosong pada nilai y. Guna kaedah yang telah dipelajari di

Bahagian 1 untuk mencari nilai y tersebut. Seterusnya isi jawapan di ruang

berkenaan.

Nota Pembelajaran

a > 0

a < 0

Melukis graf.

1- Mula dengan melukis paksi-x dan paksi-y. Perhatikan skala (2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y.


18

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-5

5

10

15

20

25

30

35

40

y

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

Contoh: Graf Fungsi Salingan

Berdasarkan jadual di bawah, lukis graf bagi x

y8 bagi 55 x dengan menggunakan skala 2

cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y.

Bentuk am fungsi salinagn: a

yx

,

dengan keadaan a ialah pemalar.

Bentuk graf:

19

x -5 -4 -2.5 -1.6 -1 1 1.6 2.5 4 5y -1.6 -2 -5 -8 8 3.2 2 1.6

Perhatikan dua tempat kosong pada nilai y. Guna kaedah yang telah dipelajari di Bahagian 1 untuk mencari nilai y tersebut.

Seterusnya isi jawapan di ruang berkenaan.

Nota Pembelajaran

Melukis graf.

1- Mula dengan melukis paksi-x dan paksi-y. Perhatikan skala (2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y).


20

x-5

-2

-4

-6

-8

0

2

4

6

8

10

y

-1-2-3-4 1 2 3 4

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

1. a) Lengkapkan Jadual 1 di ruang jawapan bagi persamaan 3 3 8y x x .

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 60 10 6 8 10 -10 -44

Jadual 1

b) Lukis graf bagi 3 3 8y x x bagi 4 4x dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1

unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y.


x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 48 18 9 4 6 13 24

Jadual 2




yx

.

x -4 -3 -2.5 -2 -1 1 2 3 4y -0.75 -1 -1.5 -3 1.5 1 0.75

Jadual 3

b) Lukis graf bagi 3

yx

bagi 4 4x dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada

paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit pada paksi-y.


x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4y -37 -20 2 7 5 -2 -13

Jadual 4



21

UJI DIRI 2


x -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5y -13.88 0 18 15 12 15 43.88

Jadual 5

b) Lukis graf bagi 3 4 15y x x bagi 3.5 3.5x dengan menggunakan skala 2 cm kepada

1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y.


yx

.

x -4 -3 -2 -1 1 2 2.5 3 4.5y 1.5 3 6 -6 -3 -2 -1.3

Jadual 6

b) Lukis graf bagi 6

yx

bagi 4 4.5x dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit

pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit pada paksi-y.

22

23

BAHAGIAN CMENCARI NILAI

PEMBOLEHUBAH X DAN Y

-2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

--10

5

10

15

20

25

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1. Daripada graf di bawah, cari nilaia) y apabila x = -1.5b) x apabila y = 15

24

apabila x = -1.5, y = 5.5

apabila y = 15, x = 4.3

c) x apabila y = -3

apabila y = -3, x = -0.4 dan 2.4

Jawab soalan di bawah ini berdasarkan graf yang dilukis di Uji Diri 2

1. Daripada graf, cari i) nilai y apabila x = 2.5ii) nilai x apabila y = 12

2. Daripada graf, cari i) nilai y apabila x = -1.3ii) nilai x apabila y = 21

3. Daripada graf, cari i) nilai y apabila x = -1.5ii) nilai x apabila y = -1.5

4. Daripada graf, cari i) nilai y apabila x = 1.7ii) nilai x apabila y = -15

5. Daripada graf, cari i) nilai y apabila x = 2.5ii) nilai x apabila y = 8

6. Daripada graf, cari i) nilai y apabila x = 3.5ii) nilai x apabila y = 2.6

25

UJI DIRI 3

26

BAHAGIAN DPENYELESAIAN

PERSAMAAN DENGAN KAEDAH GRAF

Contoh soalan:

Berdasarkan contoh graf fungsi kuadratik 542 2 xxy , lukis suatu garis lurus yang sesuai padagraf untuk mencari nilai x yang memuaskan persamaan 0382 2 xx untuk -2 ≤ x ≤ 5. Nyatakannilai-nilai x

542 2 xxy ….(1)20 2 8 3x x …..(2)

------------------------------------------ 4 8y x

Daripada persamaan yang diperoleh, lukis suatu garis lurus yang memenuhi persamaan 4 8y x .

x -2 5y -16 12

Seterusnya, plot titik dan sambung.

27

5 3 8 0y y 4 ( 8 ) 4x x x

Letak 0 di hadapan

persamaan-

Perhatikan tanda positif atau negatif pada pemalar x2!!! Sekiranya tanda adalah

sama, (1) – (2)Sekiranya tanda tidak sama, (1) + (2)

Nilai x = 4 dan -4 diperoleh daripada soalan.

Murid boleh menggunakan nilai lain.

-2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

--10

5

10

15

20

25

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

28

-15

-20

-15

X

x = 3.45x = -1.55

X

Lanjutan dari Uji Diri 1, 2, 3

Persamaan (a) adalah dari Uji Diri 1.

Lukis suatu garis lurus yang sesuai pada graf untuk mencari nilai x yang memuaskan persamaan berikut. Seterusnya, nyatakan nilai-nilai x itu.

1.3

3

3 8 (1)

8 2 (2)

y x x

x x

2.2

2

2 3 4 (1)

2 4 8 0 (2)

y x x

x x

3.3

(1)

3 ( 1) (2)

yxx x

4.2

2

2 3 7 (1)

2 2 17 0 (2)

y x x

x x

5.3

3

4 15 (1)

4 1 0 (2)

y x x

x x

6.

6 (1)

62 1 (2)

yx

xx

29

UJI DIRI 4

30

BAHAGIAN ESOALAN BERFORMAT

SPM

1. a) Lengkapkan jadual di bawah untuk persamaanx

y4 .

x -4 -2.5 -1 -0.5 0.5 1 2 3.2 4y 1 1.6 8 -8 -4 -1.25 -1

b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf yang disediakan..

Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada

paksi-y, lukis graf x

y4 untuk -4 ≤ x ≤ 4.

c) Daripada graf, cari i) y apabila x = 1.8,ii) x apabila y = 3.4.

d) Lukis suatu garis lurus yang sesuai pada graf untuk mencari nilai x yang memuaskan

persamaan 324 xx

untuk -4 ≤ x ≤ 4.

Nyatakan nilai-nilai x.

2. a) Lengkapkan jadual di bawah untuk persamaan 1053 xxy .

x -3.4 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.4y -12.3 12 14 10 6 22 32.3


Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y, lukis graf 1053 xxy untuk -3.4 ≤ x ≤ 3.4.

c) Daripada graf, cari i) y apabila x = 0.7,ii) x apabila y = 0.

d) Lukis suatu garis lurus yang sesuai pada graf untuk mencari nilai x yang memuaskan persamaan 0263 xx untuk -3.4 ≤ x ≤ 3.4.Nyatakan nilai-nilai x.

31

3. a) Lengkapkan jadual di bawah untuk persamaan 342 2 xxy .

x -2 -1 0 1 2 3 4 4.5 5y k 3 -3 -5 -3 m 13 19.5 27


Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y, lukis graf 342 2 xxy untuk -2 ≤ x ≤ 5.

c) Daripada graf, cari i) y apabila x = -1.5,ii) x apabila y = 0.

d) Lukis suatu garis lurus yang sesuai pada graf untuk mencari nilai x yang memuaskan persamaan 0232 2 xx untuk -2 ≤ x ≤ 5.Nyatakan nilai-nilai x.


x -2 -1 0.5 1 2 3 4 4.5 5y 7 -2 -2 3 12 33 42



c) Daripada graf, cari i) y apabila x = 3.6,ii) x apabila y = 3.7.

d) Lukis suatu garis lurus yang sesuai pada graf untuk mencari nilai x yang memuaskan persamaan 1032 2 xx untuk -2 ≤ x ≤ 5.Nyatakan nilai-nilai x.

32


x -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 4y -12 -3 3 0 -7 -25 -33


Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf 383 xxy untuk -3.5 ≤ x ≤ 3.5.

c) Daripada graf, cari i) y apabila x = -0.7,ii) x apabila y = -0.9.

d) Lukis suatu garis lurus yang sesuai pada graf untuk mencari nilai x yang memuaskan persamaan 8133 xx untuk -3.5 ≤ x ≤ 3.5.Nyatakan nilai-nilai x.

6. a) Lengkapkan jadual di bawah untuk persamaan24

yx

.

x -4 -3 -2 -1 1 1.5 2 3 4y -6 -12 -24 24 12 8 6


Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada

paksi-y, lukis graf 24

yx

untuk 44 x .

c) Daripada graf, cari i) y apabila x = 2.9,ii) x apabila y = -13.

d) Lukis suatu garis lurus yang sesuai pada graf untuk mencari nilai x yang memuaskan persamaan 8133 xx untuk 44 x .


33


x –3.5 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y –25.9 –12 3 3 0 18 51


Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y, lukis graf 343 xxy untuk 3.5 4x .


d) Lukis suatu garis lurus yang sesuai pada graf untuk mencari nilai x yang memuaskan persamaan 017163 xx untuk 3 2.5x .



x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 2.6 3.5y 19 1 –2 –1 13 20.3 34


Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf 132 2 xxy untuk 4 3.5x .


d) Lukis suatu garis lurus yang sesuai pada graf untuk mencari nilai x yang memuaskan persamaan 072 2 xx untuk 4 3.5x .Nyatakan nilai-nilai x.

34

35

BAHAGIAN FTUTORIAL GEOGEBRA

Buka aplikasi GeoGebra yang telah dimuat turun atau terus daripada www.geogebra.org

1. Masukkan persamaan (berdasarkan contoh di bawah) input bar dan tekan ‘enter’.

a) Lengkapkan jadual di bawah untuk persamaan 342 2 xxy .

x -2 -1 0 1 2 3 4 4.5 5y k 3 -3 -5 -3 m 13 19.5 27



c) Daripada graf, cari iii) y apabila x = -1.5,iv) x apabila y = 1.

di) Lukis suatu garis lurus yang sesuai pada graf untuk mencari nilai x yang memuaskan persamaan 0232 2 xx untuk -2 ≤ x ≤ 5.Nyatakan nilai-nilai x.

36

http://www.geogebra.org/

Paparan yang terhasil

3. Untuk mendapatkan jawapan bagi soalan (c), contoh c(i) – cari nilai y apabila x = -1.5, masukkan persamaan x = -1.5 di ruangan input dan tekan enter.

37

Untuk mendapatkan titik persilangan, klik ‘Point’ dan pilih ‘ Intersect’. Klik pada lengkung kuadratik dan garis lurus.

38

Titik A adalah titik persilangan antara graf dan garis lurus apabila x = -1.5

Didapati nilai y yang sepadan ialah 7.5

Seterusnya untuk mendapatkan nilai x apabila y =0, ulang prosedur yang sama.

39

Didapati nilai x yang sepadan ialah 2.58 dan -0.58.

3. Untuk mencari persamaan di (d), klik pada ‘View’ dan pilih ‘CAS’.

40

Masukkan persamaan di (a) di 1 dan persamaan di (d) pada 2

Pelajar perlu mengetahui yang persamaan (1) – (2)

41

Klik pada persamaan (3) Graf garis lurus 5 20y x akan muncul pada skrin.

Ulang prosedur untuk mencari titik persilangan.

Didapati nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ialah 3.15 dan -3.65

42

LATIHAN BERFORMAT SPM

1. (a) 4 , – 2

(b) Graph (c) (i) y = – 2.2 (ii) x = – 1.2

(d) 32 xy , x = – 2.3 , 0.85

2. (a) k = – 2 , m = 8

(b) Graph (c) (i) y = 6.8 (ii) x = – 2.9

(d) 122 xy , x = – 2.25 , – 0.32 , 2.6

3. (a) k = 13 , m = 3

(b) Graph (c) (i) y = 7 (ii) x = 2.6 , – 0.5

(d) 205 xy , 3.1 x 3.2

4. (a) 2 , – 18

(b) Graph (c) (i) y = – 4.7 (ii) x = 3.55

(d) 72

3 xy , x = – 2.85 , 3.1

5. (a) y = 11 , y = – 5

(b) Graph (c) (i) y = 8 (ii) x = – 3.4

(d) 55 xy , x = 0.64 , x = 3.24 ,

6. (a) y = – 8 , y = 16

(b) Graph

43

JAWAPAN

(c) (i) y = 8 (ii) x = – 1.85

(d) 52 xy , x = 2.45

7. (a) y = 7 , y = – 2

(b) Graph (c) (i) y = 2.5 (ii) x = – 1.65

(d) xy 8 , x = – 0.8 , x = – 2.4 ,

8. (a) y = 8 , y = 4

(b) Graph (c) (i) y = 14 (ii) x = 2.85

(d) 62 xy , x = – 2.14 , x = 1.64 ,

44

graf fungsi iicontoh: graf fungsi kubik berdasarkan jadual di bawah, lukis graf bagi y x3 8x 5 bagi...

Documents